TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN:

RC , RL, Y RLC

1.−OBJETIVOS

El propósito de esta práctica es estudiar la respuesta natural de circuitos pasivos lineales de primer orden ysegundo orden. Estos circuitos contienen uno (primer orden) o dos (segundo orden)componentes reactivos(condensadores y bobinas). Estudiaremos en concreto :

1. La curva de carga y descarga de un circuito RC. Un circuito de este tipo consiste en un condensadorconectado en serie con una resistencia a través de la cual pasa la corriente de carga/descarga.

2. La evolución temporal de la intensidad que fluye por una autoinducción conectada a una resistencia(circuito RL) a la que se aplica o retira bruscamente una tensión de continua.

3. La respuesta transitoria a una excitación de tipo escalón ( conexión a una fuente de tensión continua ) de uncircuito de segundo orden RLC.

La respuesta de cualquier de estos circuitos se describe a través de una ecuación diferencial ordinaria decoeficientes constantes de primer y segundo orden, lo que justifica el nombre que reciben los circuitos de cadauno de estos tipos.

2.−FUNDAMENTO TEÓRICO

Circuito RC

Vamos a estudiar las curvas de carga y descarga del circuito RC se muestra en la siguiente figura:

Para el proceso de carga tenemos, aplicando conceptos elementales de la teoría de circuitos, que:

(t0)

La ecuación anterior tiene como solución particular vc(t)=V ( solución que corresponde al estado estacionario,cuando ya no varía en el tiempo la tensión en el condensador debido a que éste está cargado completamente).Teniendo en cuenta que el condensador en el instante inicial está completamente descargado ( vc(t=0)=0 ), lacurva de carga viene dada por :

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donde =RC es la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito RC. De forma similar, una vez cargado elcondensador hasta alcanzar la tensión vc(t>>)=V, podemos cortocircuitar el generador de tensión, iniciándose un proceso de descarga descrito por la ley:

vc(t)=Vexp(−t/)

Para tiempos pequeños, como empleamos en esta práctica, es más apropiado usar un osciloscopio. Noobstante, en un osciloscopio sólo podemos visualizar procesos periódicos. La solución a este inconvenienteestriba entonces en excitar el circuito RC con una señal de tensión de forma cuadrada, lo que equivale a cargary descargar el condensador de forma alternativa y periódica . Si el periodo de la onda cuadrada essignificativamente mayor que la constante de tiempo del circuito RC , podremos visualizar en la pantalla delosciloscopio procesos de carga y descarga completos alternantes .

Circuito RL

Consideramos un circuito de primer orden en el que el elemento reactivo es una autoinducción, como semuestra en la siguiente figura:

Consideramos como función respuesta a una excitación brusca en tensión, del tipo ¨ función escalón ¨, a laintensidad que pasa por la bobina.

Aplicando la ecuación de malla y teniendo en cuenta la forma de vi(t), llegaremos como solución de laecuación de primer orden (condición inicial vR(t=0)=0) a que:

vR(t)=(R/Rt)V[1−exp(−t/)]

siendo =L/Rt

Al eliminar la excitación es evidente, por comparación con el caso del condensador y la resistencia , que:

vR(t)=(R/Rt)Vexp(−t/)

Circuito RLC

Consideramos la asociación en serie de los componentes R, L y C, como se muestra en la siguiente figura:

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Estudiamos cómo evoluciona la tensión en el condensador, vc(t), cuando se excita el sistema con una tensiónescalón.

La ecuación diferencial que debe cumplir es :

donde hemos llamado :

LC=1/w0 ;

Resolvemos la ecuación anterior:

La solución particular corresponde al estado estacionario: vc(t)=V

Para resolver la ecuación homogénea hemos de encontrar las raíces del polinomio característico:

m2+2*m+wo2=0

Esta situación es análoga a la que se nos presenta en el estudio del oscilador lineal amortiguado. Debemosdistinguir tres casos:

Caso A) Régimen subamortiguado:

Se caracteriza porque :

w02**2 ; R*2(L/C)1/2

En este caso aparecen las típicas oscilaciones amortiguadas de un oscilador con fricción.

La solución general para las condiciones de contorno siguientes es:

vc(t=0)=0

ic(t=0)=0

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;

Caso B) Régimen sobreamortiguado:

Se caracteriza porque

w02**2 ; R*2(L/C)1/2

Aplicando las condiciones iniciales ya mencionadas la solución general será:

vc(t)=V[1+(*1−*2)−1(*2exp(−*1t)− *1exp(−*2t)))

El aspecto de la curva se parece a las exponenciales de los circuitos de primer orden, pero en este caso lapendiente de salida en t=0 es nula ( la intensidad inicial ha de ser cero a causa de la presencia de la bobina,cosa que no ocurría en el circuito RC).

Caso C)Amortiguamiento crítico:

Se da en el caso en que

w02=*2 ; R=2(L/C)1/2

Ahora la solución es

vc(t)=V[1−(1+*t)exp(−*t)]

Para el valor crítico de la resistencia se alcanza el estado estacionario en el menor tiempo posible.

3.−INSTRUMENTAL

Disponemos para realizar esta práctica del siguiente instrumental:

*Generador de señales.

*Osciloscopio de rayos catódicos.

*Regleta universal para interconexión de componentes.

*Cables de interconexión(incluyendo un cable coaxial con conectores BNC y otro para excitar los circuitosmontados en la regleta) .

*Resistencias, condensadores y autoinducciones de diversos valores.

REALIZACION DE LA PRÁCTICA.

4.−CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR.

Montamos el circuito con el condensador de 27nF y una resistencia de 1k

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.Comprobamos el ajuste de las sondas del osciloscopio .

Para estudiar el proceso de carga y descarga del condensador a través de la resistencia R aplicamos unatensión de forma de onda cuadrada con un periodo adecuado para permitir visualizar correctamente todo elproceso de carga y descarga(es importante que el condensador se cargue y descargue completamente en cadasemiperiodo.)

Medimos el tiempo de relajación de la exponencial de descarga(para ello medimos el tiempo que tarda en caera la mitad la tensión medida en un instante arbitrario y, a partir de tal dato obtendremos:

V(c)=Vex(−t/*)

*=25.936*s

Comparamos este valor con el producto RC para

R=(1k+50) *

donde 50 * es la resistencia del generador.

C=20nF

*(teórico)=RC=28.4*s

Registramos los siguientes valores de tensión de carga y descarga

tiempo(*s) tensión(v)

10*10 12*0.4

20*10 8*0.4

35*10 4*0.4

50*10 2*0.4

70*10 1*0.4

Descarga del condensador

Carga del condensador

tiempo(*s) tensión(v)

5*10 0.2*0.2

10*10 0.4*0.2

20*10 0.8*0.2

25*10 1.0*0.2

110*10 1.6*0.2

Representamos gráficamente ambas tablas

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DESCARGA DEL CONDENSADOR CARGA DEL CONDENSADOR

A partir de los valores tomados sobre la curva de descarga ajustamos mediante el método de mínimoscuadrados la curva:

ln vc(t)=lnV−t/RC

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A partir de ella obtenemos el valor RC

!/RC=0.041*0.004

Midiendo R con el polímetro resulta

R=986 *

Que junto con lo anterior obtenemos un valor de C

C=(25*2)nF

Obtenemos un error que nos da un valor de la capacidad parecida a la teórica.

− A continuación vamos a idear un procedimiento para medir la resistencia del generador a partir de la medidade un tiempo de relajación. Para ello quitamos la resistencia y cargamos el condensador con únicamente laresistencia del generador y conociendo :

C=(25*2)nF

*=0.721*s (éste ha sido determinado en el laboratorio por de forma rápida)

Como *=1/RC resulta R=Rg=50 *

5.−TRANSITORIO EN CIRCUITO RL

Vamos a estudiar ahora la evolución temporal de la intensidad que fluye por una autoinducción conectada enserie con una resistencia al aplicarle de forma brusca una tensión de continua. Para ello procederemos comosigue:

− Una bobina real viene caracterizada por el valor de su autoinducción L, pero el efecto de su resistencia RLsuele no ser despreciable. Además, en condiciones de corriente continua ( y por extensión a frecuencias bajas

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) la autoinducción no tiene efecto alguno sobre la caída de tensión a se través ( no hay dependencia temporalde la intensidad ), de modo que la bobina queda en este caso determinada exclusivamente por su resistencia.

Vamos a determinar la resistencia de nuestra bobina aplicando el principio del divisor de tensiones:

(La bobina además de su L esta caracterizada por su RL .Ahora estudiamos ésta anulando el efecto de L yconsiderando la bobina como una resistencia ordinaria gracias a la corriente continua que imponemos)

RL=(VLRG)/(VG−VL) VL=0.6v VG=2.0v RG=50 *

Sustituyendo al final estos datos obtenemos

RL=21.42 *

Rteórica=20.01 *

Nota: para el condensador nunca se habla de su resistencia interna pues podemos considerarla como infinitadebido a que los dielectricos no conducen bien.

Montamos ahora el circuito RL. La caída de tensión en le resistencia R (R=100 * ) es proporcional alintensidad que fluye por la bobina. Aplicamos al circuito una forma de onda cuadrada.

Visualizando en el osciloscopio el VR(t) determinamos mediante el procedimiento rápido el tiempo derelajación.

*=47*s

Obtenemos un resultado del mismo orden del *teórico que calculamos como:

*=L/(RG+RL+R) *=59*s

Tomamos medidas de VR(t):

tiempo (*s) VR(v)

0*10 8.0*0.2

15*10 6.0*0.2

40*10 4.0*0.2

80*10 2.0*0.2

150*10 0.7*0.2

250*10 0.2*0.2

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Con estos datos representamos la función I(t)=VR(t)/R :

Utilizando escala logarítmica obtenemos el valor de

*=(67*2) *s

6.−OSCILACIONES AMORTIGUADAS EN UN CIRCUITO RLC

Estudiamos ahora el comportamiento de un circuito RLC , cuando le excitamos con una tensión de tipoescalón, que corresponde a la conexión brusca del circuito a una fuente de continua.

Montamos el circuito . La resistencia R será la propia resistencia interna del generador ( no conectaremosfísicamente ninguna resistencia mas) en serie con la resistencia en la propia bobina. Para el condensadortendremos

C=1.5nF

Excitamos el circuito con una forma de onda cuadrada a una frecuencia apropiada. Tomamos los siguientesdatos acerca de los máximos observados ( exponencial moduladora ) .

tiempo(*s) amplitud(v)

12*2 18*1

35*2 16*1

57*2 14*1

80*2 13*1

104*2 11*1

127*2 10*1

150*2 9*1

173*2 8*1

196*2 7*1

219*2 6*1

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La amplitud de los máximos esta referida a la línea equidistante a los máximos y como observamos lasdistancias entre éstos es constante .

Calculemos el factor de atenuación alfa.

*(experimental )=5121Hz

Factor de atenuación teórico:

*(teórico)=3571Hz

Obtenemos valores claramente diferentes pero coherentes orden.

Calculamos la pseudofrecuencia (la separación temporal entre dos máximos)

f=54kHz

Comparamos este valor con la predicción teórica

f=41kHz

Representamos gráficamente los distintos casos.

Caso A) RÉGIMEN SUBAMORTIGUADO

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Caso B) RÉGIMEN SOBREAMORTIGUADO

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Nota: debemos observar que en este caso la pendiente de la salida en t=0 es cero ( la intensidad inicial ha deser cero a causa de la presencia de la bobina)

Caso C)AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

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