VICERRECTORADO ACADMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE COMPUTACION

ESTRUCTURAS DISCRETAS

UNIDAD 6: INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS6.1 Elementos del Algebra de BooleEl lgebra de Boole consiste en una serie de leyes y propiedades que permiten el anlisis y el diseo de sistemas, circuitos, redes y dispositivos, cuyo funcionamiento se basa en las reglas de la Lgica y el Sistema Binario.

Los elementos fundamentales del Algebra de Boole son:a. Viables Lgicas o Boolenas: Son variables que solo pueden tomar como valores el 0 y el 1. Se representan por letras ejemplo: W, X, Y, Z o A, B, C, Db. Valores Lgicos o Booleanos: Conformados por el 1 y el 0 Lgicos.

c. Operadores: son los elementos que permiten modificar los valores de las expresiones en funcin de las variables y de los valores lgicos. Los operadores fundamentales son:Complemento: se basa en la regla lgica de la negacin, se conoce como el operador lgico NOT. Se representa por: __ ___

0 = 1 y 1 = 0 tambin se puede expresar: 0 = 1 y 1 = 0

Suma Booleana: se basa en el operador lgico de disyuncin, se conoce como operador lgico OR. Se representa por:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1

Producto Booleano: se basa en el operador lgico de conjuncin, se conoce como operador lgico AND y se representa por:

0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 1 = 1

Suma Booleana Excluyente: se basa en el operador lgico de disyuncin excluyente, se conoce como el operador XOR. Se representa por:

0 0 = 0 0 1 = 1 1 1 = 0

Suma Booleana Complementada: es la combinacin del operador OR y el NOT, se conoce con el nombre de NOR. Se representa por:

__________

X + Y o X|X

Producto Booleano Complementado: es la combinacin del operador AND y el NOT, se conoce con el nombre de NAND. Se representa por: __________

X . Y o XX

Ejemplo: Calcular el valor de la siguiente expresin Booleana.

________(1.0) + (0+1) = 0 + 0 = 06.2 Expresiones y Funciones Boolenas

Una funcin transforma los elementos de un conjunto A en otro conjunto B. Se denota por A B o tambin por F(A) =B, donde A es el conjunto de partida o Dominio y B es el conjunto de llegada o Rango, donde estn las imgenes de los elementos de A. Para cada elemento del Dominio corresponder un elemento del Rango.

Grficamente la relacin de transformacin de elementos de una funcin se puede apreciar en el siguiente esquema:

Funcin A B

DominioRango

f (a)1

f (b)2

f (c)3

Una funcin booleana es aquella cuyo dominio es formado por n-tuplas de elementos binarios (cadenas de bits), donde a cada elemento del conjunto de n-tuplas le corresponde una imagen en el conjunto de rangos formado por los elementos el conjunto del binario (0,1).

Ejemplo:

Funcin Bn B

DominioRango

f (0,1)0

f (0,0)0

f (1,1)1

Una variable booleana es aquella que permite representar los valores que pueden tomar los elementos de las funciones, se representan por letras maysculas. A continuacin se muestra la forma de expresar las funciones booleanas:F (X, Y) = Funcin booleana de 2 bits.

F (X, Y, Z) = Funcin booleana de 3 bits.

F (W, X, Y, Z) = Funcin booleana de 4 bits.

EjemploRepresentar en una tabla de verdad las siguientes funciones booleanas:

a) F (X, Y) = XY

b) F (X, Y, Z) = XY + Z

Solucin caso a:

X YF (X, Y) = XY

0 00F (0,0) = 0.0 = 0.1 = 0

0 10F (0,1) = 0.1 = 0.0 = 0

1 01F (1,0) = 1.0 = 1.1 = 1

1 10F (1,1) = 1.1 = 1.0 = 0

Solucin caso b:

X Y Z F (X, Y) = XY + Z

0 0 01F (0,0,0) = 0.0 + 0 = 1

0 0 10F (0,0,1) = 0.0 + 1 = 0

0 1 01F (0,1,0) = 0.1 + 0 = 1

0 1 10F (0,1,1) = 0.1 + 1 = 0

1 0 01F (1,0,0) = 1.0 + 0 = 1

1 0 10F (1,0,1) = 1.0 + 1 = 0

1 1 01F (1,1,0) = 1.1 + 0 = 1

1 1 11F (1,1,1) = 1.1 + 1 = 1

Una expresin booleana es la forma mas general de una funcin, esta formada por operadores, variables booleanas y adicionalmente valores (0,1).

Ejemplo:

F1 = XY+Z Funcin (Operadores y variables)

E1 = XY+1 Expresin (Operadores, variables y valores.

En conclusin toda toda funcin booleana esta implcita en una expresin booleana.

6.3 Propiedades del Algebra de Boole

Se utilizan para simplificar expresiones o para determinar equivalencias de expresiones booleanas. Las ms comunes son:NombreIdentidadIdentidad

Doble complementoX = X

IdempotenciaX + X = XX . X = X

Elemento neutroX + 0 = XX . 1 = X

AcotacinX + 1 = 1X . 0 = 0

ConmutativaX + Y = Y + XX . Y = Y . X

AsociativaX + (Y + Z) = (X + Y) + ZX (Y Z) = (X Y) Z

DistributivaX + YZ = (X + Y) (X + Z)X (Y + Z) = XY + XZ

De Morgan(XY) = X + Y(X+Y) = X.Y

AbsorcinX + XY = XX (X+Y) = X

InversoX + X= 1XX= 0

Ejemplo:

Aplicando las propiedades del Algebra de Boole, demostrar que X(X+Y) = X

Aplicando distributiva:

XX + XY = X

Aplicando idempotencia:

X + XY = X

Aplicando distributiva:

X(1 + Y) = X

Aplicando acotacin:

X.1 = X

Aplicando elemento neutro: X = X

6.4 Representacin de funciones booleanas

Las funciones se pueden representar a travs de suma de productos llamados miniterminos. Los miniterminos se conforman por un producto de n literales, los literales son variables booleanas que pueden estar o no complementadas. La siguiente funcin esta conformada por la suma de tres miniterminos, los primeros dos miniterminos tienen 3 literales y el tercero tiene 2 literales:

F (X, Y, Z) = XYZ + XYZ + XY

Para la representacin de funciones booleanas se pueden presentar dos casos:

a) Dados los valores de una funcin en una tabla de verdad, obtener una expresin que la represente. En este caso a partir de la tabla se busca una expresin de miniterminos para cada combinacin donde la funcin esta definida, es decir, donde vale 1. Si la variable vale 1 en la combinacin esta queda tal cual en el minitermino, si la variable vale 0, esta debe ser complementada en le minitermino. b) Dada la funcin a travs de una expresin booleana, obtener una tabla de valores que la represente. Se sustituyen las combinaciones de valores de las variables y para cada caso se obtiene el resultado. Con estos valores se construye la tabla de verdad.Ejemplo:

Dada la siguiente tabla de valores para las funciones F (X, Y, Z) y G(X, Y), obtener unas expresiones en suma de productos que representen a cada funcin.

X Y Z F (X, Y, Z)G (X, Y, Z)

0 0 000

0 0 100

0 1 001

0 1 100

1 0 000

1 0 110

1 1 001

1 1 100

Solucin:La funcin F (X, Y, Z) ser: F = XYZ

La funcin G (X, Y, Z) ser: G = XYZ + XYZ

Estas son las combinaciones para las cuales las funciones F y G estn definidas (valen 1), para el resto de los casos las funciones no estn definidas (valen 0)

Ejemplo

Hallar la expresin en suma de productos de la funcin

F (X, Y, Z) = (X + Y)Z

Solucin:

Se construye la tabla de valores en base a la expresin dada

X Y Z X + Y(X + Y)Z

0 0 000

0 0 100

0 1 011

0 1 110

1 0 011

1 0 110

1 1 011

1 1 110

De la tabla la funcin en suma de productos ser: F = XYZ + XYZ + XYZ

6.5 Compuertas Lgicas

Son elementos bsicos de circuitos, de naturaleza elctrica o electrnica, que permiten la implementacin de las operaciones lgicas, basndose en las reglas del Algebra de Boole. Se aplican para el diseo de los circuitos lgicos y constituyen la base electrnica para el hardware de los computadores. Los tipos de compuertas fundamentales son: NOT (1 entrada), OR, AND y XOR (2 a n entradas). A travs de combinaciones se obtienen la NAND, NOR y XNOR .X X

0 1

1 0

a. Compuerta NOT

b. Compuerta OR

X YX + Y

0 00

0 11

1 01

1 11

c. Compuerta AND

X YX . Y

0 00

0 10

1 00

1 11

d. Compuerta XOR

X YX Y

0 00

0 11

1 01

1 10

e. Compuerta NOR

Es una combinacin de una compuerta OR con una NOT a la salida.X Y(XY)

0 01

0 10

1 00

1 10

f. Compuerta NAND

X Y(XY)

0 01

0 11

1 01

1 10

g. Compuerta XNOR

X YX Y

0 01

0 10

1 00

1 11

6.6 Circuitos Lgicos

Son arreglos de combinaciones de compuertas lgicas diseados para realizar funciones especficas. Operan con niveles de voltaje alto (+5V) para representar el valor 1 y niveles de voltaje bajo (0V) para representar el valor 0.Ejemplo:

Construir un circuito lgico que produzca las siguientes salidas:

a) XY + XYb) (X + Y) Xc) X (Y + Z)d) (X + Y + Z) (XYZ)

Ejemplo:

Disear dos circuitos lgicos para modelar una instalacin elctrica de iluminacin, de manera que al accionar cualquier interruptor, la luz se encienda si esta apagada y se apague si esta encendida. En el primer caso el sistema es de dos interruptores y en el segundo de 3 interruptores.

Solucin al caso de los 2 interruptores:

a) Se asignan los valores lgicos a las condiciones de los interruptores y las lmparas.

F(X,Y) = 1 Luz encendida X=Y=1 Interruptor cerrado

F(X,Y) = 0 Luz apagada X=Y=0 Interruptor abierto

b) Se establece la tabla de valores segn el enunciado.

X YF

0 01

0 10

1 00

1 11

c) Se establece la expresin booleana en suma de productos

F = XY + (XY)

d) Se dibuja el circuito lgico respectivo para la expresin booleana

Solucin al caso de los 3 interruptores:

Tabla de valores y funcin booleanaX Y Z F

1 1 11

1 1 00

1 0 01

1 0 10

0 1 01

0 1 10

0 0 11

0 0 00

F (X, Y, Z) = XYZ + XYZ + XYZ + XYZ

El circuito de la expresin es:

6.7 Ejercicios Propuestos de la Unidad 7:1.- Sean las funciones, F (x, y, z) = XYZ + XYZ y G (x, y, z) = Z (XZ + XZ), dos funciones booleanas. Si la funcin H (x, y, z) = F G. Hallar la tabla de valores de la funcin H(x, y, z). 2.- Disear el circuito lgico basado en compuertas lgicas, que produzca la salida indicada en la siguiente funcin:

____________ ______

____ ___ ___ _____________ F (X, Y, Z) = ((X Y Z) (X + Y + Z)) + ( X Y)

3.- Disear un circuito lgico de 3 entradas, basado en compuertas lgicas que cumpla con la siguiente funcin: se enciende una lmpara indicadora si dos de las tres entradas estn en 1. Una segunda lmpara se enciende cuando todos los suiches estn cerrados o todos estn abiertos. La lmpara se apaga en el resto de los casos.

4.- Obtener la funcin booleana de la salida F (x, y, z). Por otra parte, determinar el valor de la salida en cada compuerta, si las entradas son x=y=1 y z=0

F (x, y, z)

5.- Disear un circuito lgico para comparar 2 enteros X e Y, codificados a 2 Bits, de manera que determine las condiciones X > Y, Y>X y X = Y.

6.- Disear un circuito que sume dos enteros codificados a dos Bits.

7.- Dadas las siguientes funciones, encontrar un circuito basado en compuertas NAND y otro basado en compuertas NOR, para cada funcin:

F = (X+Y) (X+Z) G = (XY) + (XZ)

x

x

x

y

y

y

z

z

z

EMBED Visio.Drawing.11

B

Bn

0

1

(0,1)

(0,0)

(1,1)

X

Y

X

X

B

A

1

2

3

a

b

c

(X + Y)

Y

X

X Y

Y

X

EMBED Visio.Drawing.11

X . Y

Y

X

EMBED Visio.Drawing.11

X + Y

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

(X . Y)

Y

X

EMBED Visio.Drawing.11

(X Y)

Y

X

EMBED Visio.Drawing.11

PAGE 8Modulo Instruccional Estructuras Discretas. Teora y Prctica

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