0

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA

EDUCACION

CARRERA DOCENCIA EN INFORMATICA

Septiembre 2012

Febrero 2013

ELEMENTO 3 MAPAS DE

KARNAUGH NOMBRE: MAURICIO CAGUANA

SEMESTRE: TERCERO

DOCENTE: ING MSS. WILMA BAVILANES

1

MAPAS DE KARNAUGH

Es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una

tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado.

Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se

puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su

utilidad práctica se limita a seis variables. El siguiente análisis se limitara a problemas de

hasta cuatro entradas, ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado

complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora.

Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la

simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano

para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así

identificar y eliminar condiciones muy inmensas.

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de

la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee

2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables de la

expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que

sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de

la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1,

dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden

utilizar para funciones de hasta 6 variables.

PROCESO PARA SIMPLIFICAR

a) La minimización de una suma de productos comienzas agrupando los 1 que están

situados en celdas adyacentes del mapa

b) Un grupo debe contener el mayor número de celdas de acuerdo a lo siguiente:

Toda celda del grupo debe ser adyacente a un grupo

El numero de celdas de cada grupo debe de ser potencias de 2

c) Cada 1 del mapa debe de ser incluido en al menos un grupo aunque un 1 puede estar

incluido en varios grupos solapados

d) Puede haber barias agrupaciones pero siempre teniendo en cuenta que el objetivo

final es maximizar el tamaño de los grupos al mismo tiempo que se trata de

minimizar el grado para obtener una respuesta.

FORMATO DEL MAPA DE KAMAUGH

El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relaci6n entre

las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres ejemplos de mapas K

para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad correspondientes. Estos

ejemplos ilustran varios puntos importantes:

2

1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de

entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso

en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11

Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro

variables. La condición A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en

el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el

cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condición A = 1, B = 1 en la tabla de

verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un

1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza

en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.

2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente

adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda

del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se encuentra a la

derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados

verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior

3

izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la

variable B es diferente).

Note que cada cuadrado del renglón superior se considera adyacente al correspondiente

cuadrado del renglón inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglón superior es

adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A.

Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior.

Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del

extremo derecho de la columna.

3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente

difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden

indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda

a derecha:

4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de

productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1.

En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y

ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'.

Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando

los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se

denomina agrupamiento.

Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de

verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente

adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos

términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C' permanecen

sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que

elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y complementada. Esto se

demuestra fácilmente como sigue

Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente

adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes.

Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no

complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B.

4

Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones

superior e inferior se consideran adyacentes. Así, los dos unos en este mapa se pueden

repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar.

Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el

renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las

columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa

el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D') para dar el

término A'B'C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término

AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X.

Para resumir lo anterior:

El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que

aparece en forma complementada y no complementada.

5

Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de

cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13

muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente

adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 -

13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes entre sí. Los cuatro

unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que,

como mencionamos anteriormente. los renglones superior e inferior y las columnas de los

extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí.

Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no

cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 -

13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El

análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y

B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la expresión

resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

6

Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que

contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos términos

indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la expresión

simplificada para X es X = AD

Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada.

El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que

sean las expresiones indicadas para X. Para resumir:

El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen en la forma

complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes

entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos.

Cuando porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho

cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma

forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no

complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los

otros ejemplos en la figura 4 - 14.

7

EJEMPLOS:

Simplificación por mapa de karnaugh

1.- Remplazar en un mapa de karnaugh la siguiente función booleana y simplificar .Dar su

diseño.

2.-Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente

empleando para ello lo0s mapas de karnaugh.

Simplificación

Circuito

8

3.- Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente

empleando para ello lo0s mapas de karnaugh. Dar su diseño.

Simplificación

Circuito

Simplificación

9

4.- Representar en un mapa de karnaugh la siguiente función booleana y simplifique. Dar su

diseño.

F=a'.b'.c'.d'+a.b'.c'.d'+a'.b'.c'.d+a'.b.c'.d+a.b.c'.d+a'.b'.c.d+a'.b'.c.d'+a.b'.c.d'

Circuito

Simplificación

Circuito

10

5.- Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente

empleando para ello lo0s mapas de karnaugh. Dar su diseño.

Simplificación

11

UTILIZACION DE SIMULADOR LOGICO PARA VERIFICAR CIRCUITOS

1- SIMILITUD DE SEMISUMADORES

Circuito

12

2- DE SUMADOR Y SEMISUMADORES

13

3- SEMAFORO

4- Se desea controlar dos motores M1 y M2 por medio de 3 interruptores A,B,C que

cumplan las siguientes condiciones.

1. Si A esta activo y los otros 2 no lo están se activa el M1.

2. Si C está activo y los otros 2 no lo están se activa M2.

3. Si los 3 interuptores están inactivos se activan M1 YM2.

14

5- Visualizar con un displey o un led de 8 salidas hacer que funcionen los números del

1 al 8

15

BIBLIOGRAFÍA

http://www.slideshare.net/Frank049/mapas-de-karnaugh-sistemas-

digitales#btnNext

http://html.rincondelvago.com/mapa-de-karnaugh.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh