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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CIRCUITOS CON RESISTORES NO LINEALES(Versión Preliminar)

OSCAR GERMÁN DUARTE VELASCO

SANTAFÉ DE BOGOTÁ, JULIO DE 1996

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TABLA DE CONTENIDO

TABLA DE CONTENIDO 2

INTRODUCCION 1

1. CONCEPTOS BASICOS 2

1.1. ELEMENTO DE CIRCUITOS DE DOS TERMINALES 21.2. PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS 3

1.2.1. VARIACIÓN EN EL TIEMPO 41.2.2. MEMORIA 51.2.3. PASIVIDAD 61.2.4. CONTROL POR TENSIÓN O POR CORRIENTE 61.2.5. BILATERALIDAD 71.2.6. LINEALIDAD 7

1.3. RESISTORES 81.4. RESISTORES NO L INEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO (RNLIT) 9

2. CONEXIONES SIMPLES DE ELEMENTOS DE CIRCUITOS 10

2.1. CONEXIÓN SERIE 102.2. CONEXIÓN PARALEL O 13

3. ANALISIS D.C. (PUNTO DE OPERACION) 18

3.1. ANÁLISIS MATEMÁTICO 193.2. ANÁLISIS GRÁFICO 21

4. MODELAMIENTO DE RNLIT 24

4.1. AJUSTE DE CURVAS 244.2. EL DIODO IDEAL 30

4.2.1 ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES CON DIODOS IDEALES 314.2.2 EL RECTIFICADOR DE MEDIA ONDA 35

4.3. RESISTORES CÓNCAVOS Y CONVEXOS 374.4. MODELAMIENTO DE RNLIT CON RESISTORES CÓNCAVOS Y CONVEXOS 434.5. ANÁLISIS D.C. CON RNLIT MODELADOS 504.6 ANÁLISIS DE PEQUEÑA SEÑAL : 514.7 ANÁLISIS DE PEQUEÑA SEÑAL ALREDEDOR DEL PUNTO DE OPERACIÓN: 56

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APÉNDICE MÉTODOS NUMÉRICOS 58

A.1 AJUSTE DE CURVAS A FUNCIONES (REGRESIONES) 58A.1.1 REGRESIÓN LINEAL: 59A.1.2 REGRESIÓN MONOMIAL: 59A.1.3 REGRESIÓN EXPONENCIAL: 60A.1.4 REGRESIÓN POLINOMIAL DE GRADO M: 60

BIBLIOGRAFIA 62

INTRODUCCION

El presente texto pretende mostrar una primera aproximación al estudio de los circuitos nolineales, limitando el análisis a aquellos que incluyan resistores invariantes en el tiempo y fuentesindependientes de tensión y corriente. El estudio también está limitado al análisis DC1, con unabreve presentación del análisis de pequeña señal.

Se asume que el lector está familiarizado con los conceptos de carga eléctrica, corriente eléctrica,diferencia de potencial eléctrico, potencia eléctrica, energía eléctrica, leyes de Kirchhoff, ley deOhm, técnicas de análisis de nodos y mallas, Proporcionalidad, Superposición, EquivalentesThévenin y Norton.

Se recomienda al lector no omitir el estudio de los ejemplos, ya que en ellos se han incluidoalgunas explicaciones importantes sobre la metodología de análisis de circuitos que incluyanresistores no lineales.

1 El numeral 4.2.2. trata un caso que no es un análisis DC; este tema se incluye para ayudar a la comprensión delcomportamiento de los diodos ideales, y de los diodos bipolares.

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1. CONCEPTOS BASICOS

Es común que se inicie el estudio de los circuitos eléctricos empleando redes que incluyenresistores pasivos no lineales e invariantes en el tiempo y fuentes de tensión y corrienteindependientes y de valor constante; sin embargo, también es común que las propiedades de talesresistores y fuentes no sean especificadas claramente, y por tanto no se identifiquen. Este capítulotiene por objetivo principal delimitar el tipo de circuitos no lineales con los que se trabajará en eltexto, identificando las propiedades de los elementos de circuitos que se emplearán.

1.1. Elemento de Circuitos de Dos Terminales

Para efectos de la teoría de Circuitos, un elemento de circuitos de dos terminales es un dispositivogenérico con dos puntos de conexión (también llamados terminales) entre los cuales puede existiruna tensión eléctrica v(t) y a través de los cuales puede circular una corriente i(t) 2. Si bien escierto que un elemento de circuitos puede tener más de dos terminales, en este texto limitaremosel análisis al caso elemental de dos terminales, y al referirnos a un Elemento de Circuitos,estaremos hablando en realidad de un Elemento de Circuitos de Dos Terminales.

En la figura 1.1 se muestra el símbolo que se usará en este texto para identificar un elemento decircuitos de dos terminales, incluyendo la nomenclatura usada para la tensión v(t) y la corrientei(t). Es indispensable insistir en la convención de signos implícita en la figura: se asume que lacorr iente está entrando por el terminal marcado como positivo.

Figura 1.1

Usando esta convención se puede calcular la potencia instantánea consumida por el elemento pc(t)como

p t v t i tc( ) ( ) * ( )=

y la potencia instantánea entregada por el elemento pe(t) como

p t v t i te( ) ( ) * ( )= −

En esencia, lo que diferencia un elemento de circuitos de otro, es la relación que existe entre latensión presente entre sus terminales y la corriente que lo atraviesa, es decir su relación tensión- 2 Tanto la tensión v(t) como la corriente i(t) pueden ser cero, como es el caso de los cortocircuitos y los circuitosabiertos respectivamente.

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corriente. Dicha relación está caracterizada por ciertas propiedades, que resultan ser las mismaspropiedades de los elementos de circuitos, según se explica en el siguiente numeral.

1.2. Propiedades de los Elementos de Circuitos

De lo anterior se desprende que un elemento de circuitos está caracterizado por su relacióntensión-corriente; algunos elementos tienen una relación tensión-corriente tal, que puede trazarseen una gráfica de tensión contra corriente; dicha gráfica se conoce como la característica v-i delelemento. En ocasiones se invierten los ejes para trazar una gráfica de corriente contra tensión,resultando entonces la característica i-v del elemento (ver figura 1.2).

figura 1.2

Ejemplo 1.1: Un elemento cuya relación tensión corriente sea de la forma

( )v t

d i t

dt( )

( )=

no tiene una característica v-i que lo defina, porque un determinado valor de corrienteno tiene asignado un único valor de tensión, sino que éste depende de la forma de laseñal de corriente.

Las siguientes son propiedades de las relaciones tensión corriente de los elementos de circuitos,algunas de las cuales sólo tienen sentido para aquellos elementos que poseen una característicav-i.

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1.2.1. Variación en el Tiempo

Una relación tensión corriente es invariante en el tiempo si es la misma para cada instante detiempo. En caso contrario, la relación será variante en el tiempo.

Ejemplo 1.2: Supóngase un elemento de circuitos cuya relación tensión corriente esde la forma

v(t) = 10 *i(t)

su característica i-v se muestra en la figura siguiente y corresponde a un resistor lineal(m es la pendiente de la recta).

Aún cuando i(t) puede ser una corriente variante en el tiempo, la relación que existeentre la tensión v(t) y la corriente i(t) es fija. Tal relación es invariante en el tiempo.

Ejemplo 1.3: Supóngase un elemento de circuitos cuya relación tensión corriente esde la forma

v(t) = 10*t* i(t)V

dicha relación correspondería a un resistor variante en el tiempo. La figura siguientemuestra como su característica i-v es distinta para cada instante de tiempo (nótesecomo a cada instante de tiempo t1, t2, t3, t4, corresponde una recta de pendiente m1,m2, m3, m4) Tal relación es variante en el tiempo.

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1.2.2. Memoria

Un elemento de circuitos tiene memoria si su relación tensión corriente está determinada porsucesos pasados. Expresado en otra forma, si a un determinado estímulo (corriente o tensión) larespuesta producida (tensión o corriente) depende de las condiciones previas del elemento dichoelemento posee memoria. Por su naturaleza, un elemento de circuitos con memoria no tiene unacaracterística v-i que lo defina.

Ejemplo 1.4: Supóngase un elemento de circuitos cuya relación tensión corriente seade la forma

v t i t dto

t

( ) ( )= ∫

Supónganse también dos posibles estímulos:

i1(t) = 2 Ai2(t) = t A

Para el instante de tiempo t = 2 s los estímulos de corriente valen ambos i1(2) = i2(t)= 2 A, pero las respuestas de tensión de tensión son distintas

v1(2) = 4 Vv2(2) = 2 V

Tal elemento tiene memoria, porque su comportamiento depende de sus estadosprevios.

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1.2.3. Pasividad

Un elemento de circuitos es pasivo si la única potencia instantánea positiva que puede entregar esparte de aquella que previamente ha almacenado. Un elemento de circuitos que no sea pasivo esun elemento activo.

Para los elementos sin memoria la definición anterior puede simplificarse, ya que sucomportamiento no está condicionado por el pasado. Diremos entonces que un elemento decircuitos sin memoria es pasivo si no puede entregar potencia instantánea positiva3.

Si un elemento de circuitos es pasivo y además posee una característica v-i que lo defina, éstadebe estar en el primer y tercer cuadrante de la curva v-i, ya que en estos cuadrantes los signos dela corriente y la tensión son iguales, y por lo tanto su producto (que es la potencia instantáneaconsumida) será mayor o igual a cero (ver figura 1.3).

figura 1.3

1.2.4. Control por tensión o por corr iente

Se dice que un elemento de circuitos está controlado por tensión si su relación tensión-corrientees tal que a cada valor de tensión le corresponde un único valor de corriente.

En términos matemáticos podríamos decir que un elemento de circuitos está controlado portensión si la relación R de tensión a corriente es una función

tensión corrienteR →

En forma análoga, se dice que un elemento de circuitos está controlado por corriente si surelación tensión-corriente es tal que a cada valor de corriente le corresponde un único valor detensión.

En términos matemáticos podríamos decir que un elemento de circuitos está controlado porcorriente si la relación R de corriente a tensión es una función (ver figura 1.4).

corriente tensiónR →

3 o lo que es igual, si sólo puede consumir potencias positi vas o cero.

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figura 1.4

1.2.5. Bilateralidad

Un elemento de circuitos es bilateral si su característica v-i es tal que posee simetría con respectoal origen, es decir, si al rotar la característica 180o se obtiene la misma característica original.

Esta definición de bilateralidad es equivalente a decir: Un elemento de circuitos tiene una relacióntensión corriente bilateral si para toda pareja (v,i) que forme parte de dicha relación, es decir queesté sobre la curva de la característica v-i, la pareja (-v,-i) también forma parte de la relación (verfigura 1.5).

figura 1.5

1.2.6. L inealidad

Un elemento de circuitos es lineal si su relación tensión-corriente es una función lineal. Es decir,que si la relación tensión-corriente es de la forma

v(t) = f(i(t))

con f una función, entonces deben cumplirse dos condiciones:

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1) para toda pareja de corriente i1(t) e i2(t)

f(i1(t)) + f(i2(t)) = f(i1(t) + i2(t))

2) para toda corriente i(t) y para todo escalar K

K* f(i(t)) = f(K* i(t))

La anterior definición de linealidad puede aplicarse también a un elemento de circuitos cuyarelación tensión corriente sea de la forma

i(t) = g(v(t))

De las dos condiciones necesarias para que un elemento de circuitos sea lineal, se desprenden dospropiedades aplicables a circuitos lineales: Superposición y Proporcionalidad.

1.3. Resistores

Definimos aquí un Resistor como un elemento de circuitos de dos terminales sin memoria, y cuyacaracterística v-i pasa por el origen4 (ver figura 1.6).

figura 1.6

Nótese que al usar esta definición:

1. Se admite que un resistor puede ser Variante o Invariante en el tiempo.

2. Se admite que un resistor pueda ser pasivo o activo.

4 Esta definición no coincide con la utili zada por Chu, Kuh & Desoer en Linear and Nonlinear Circuits, ya queellos consideran las fuentes independientes de voltaje y corriente como resistores, y su característica v-i nonecesariamente pasa por el origen.

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3. Se admite que un resistor puede tener una característica v-i bilateral o no bilateral.

4. Se admite que un resistor pueda ser controlado por tensión o por corriente.

5. Se admite que un resistor pueda o no ser lineal.

6. Se deduce que todo resistor puede representarse por una característica v-i; si el resistor esvariante en el tiempo, su característica también lo será.

7. Se evidencia que los resistores aquí referidos son elementos teóricos de circuitos que nodeben ser confundidos con el elemento físico generalmente denominado de igual forma.

1.4. Resistores No Lineales Invariantes en el Tiempo (RNLIT)

Un caso particular de los resistores son aquellos que no varían en el tiempo, y que pueden o noser lineales; como la no linealidad es un caso más general que la linealidad, este grupo deresistores los denominaremos aquí Resistores No Lineales Invariantes en el Tiempo, o RNLIT. Lafigura 1.7 muestra el símbolo utili zado para representar un RNLIT y su convención de signos.

figura 1.7

Además de las propiedades ya anotadas de los resistores, de los RNLIT puede decirse tambiénque:

1. Tienen una única característica v-i que los define completamente.

2. Tienen un subconjunto especial que son los Resistores Pasivos Lineales Bilaterales, queobedecen la ley de Ohm.

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2. CONEXIONES SIMPLES DE ELEMENTOS DE CIRCUITOS

A partir de este momento, limitaremos nuestro análisis a los circuitos que incluyen elementos quetienen una característica v-i que los define (escencialmente elementos sin memoria). En primerainstancia estudiaremos como se pueden remplazar algunos elementos interconectados por otrosmás sencill os de comportamiento equivalente.

2.1. Conexión Serie

Por definición, dos o más elementos de circuitos están conectados en serie si por ellos circula lamisma corriente. Supóngase el caso genérico de la figura 2.1 en el que n elementos estánconectados en serie entre los terminales a y b. La tensión total entre los terminales a y b es lasuma de las tensiones individuales de cada elemento (Ley de tensiones de Kirchhoff), lo que sepuede escribir como

v t v tt j

j

n

( ) ( )==

∑1

figura 2.1

Si cada uno de los elementos posee una característica i-v, es posible encontrar la característica i-vde un elemento equivalente a la serie, es decir, de un elemento cuyo comportamiento sea tal, queninguna red que se conecte a la izquierda de los terminales a y b pueda distinguir si a la derechade dichos terminales está la serie o el elemento equivalente.

La característica del elemento equivalente puede obtenerse sumando punto a punto los valoresindividuales de tensión de cada elemento de la serie, para todos los valores de corriente, tal como

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se muestra en la figura 2.2. El resultado de la suma puede no ser obvio para el caso de elementosno controlados por corriente, bien sea porque la respuesta de tensión sea multivaluada, o porqueno este definida, como se explica en los ejemplos 2.1 y 2.2. Debe anotarse tambien que paraelementos no bilaterales es imprescindible observar la polaridad de la conexión, antes de efectuarla suma (ver ejemplo 2.3).

figura 2.2

Ejemplo 2.1: Obtenga la característica i-v del elemento equivalente a la serie de loselementos A y B, cuyas características son:

Respuesta: El elemento equivalente tiene una característica i-v que es la suma punto apunto de las dos características, pero B es multivaluado para algunos valores decorriente (como io). Por lo tanto, el elemento equivalente también será multivaluado.

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Ejemplo 2.2: Repetir el Ejemplo 2.1 pero con las siguientes características:

Respuesta: B no está definido para corrientes mayores que io por lo tanto elequivalente tampoco

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Ejemplo 2.3: Los resistores A y B tienen las características que se muestra. Cuál es lacaracterística del equivalente mostrado en a y en b?

Respuesta: Usando la convención de signos de la figura 1.8 se encuentra que paraobtener el equivalente en el caso b debe invertirse primero la característica del resistorB (espejo vertical y horizontal) antes de sumar las gráficas.

2.2. Conexión Paralelo

Por definición, dos o más elementos están conectados en paralelo si están conectados entre elmismo par de nodos, o lo que es igual, si entre sus terminales existe la misma tensión. En el caso

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genérico de la figura 2.3 n elementos están conectados en paralelo entre los terminales a y b. Lacorriente total que entra por el terminal a es la suma de las corrientes individuales que atraviesan alos n elementos (Ley de corrientes de Kirchhoff). Es decir,

i t i tt j

j

n

( ) ( )==

∑1

figura 2.3

En forma análoga al caso serie, es posible obtener la característica de un elemento equivalente alparalelo. En este caso, es necesario sumar punto a punto los valores de individuales de corrientede cada elemento del paralelo, para todos los valores de tensión, tal como se muestra en la figura2.4. Si alguno de los elementos no es controlado por tensión, es posible que se presentenconfusiones en la suma, bien sea porque la respuesta de corriente es multivaluada, o no estádefinida, como se muestra en los ejemplos 2.4 y 2.5. Nuevamente, es necesario revisar lapolaridad de los elementos no bilaterales antes de efectuar la suma (ver ejemplo 2.6).

figura 2.4

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Ejemplo 2.4: Obtenga la característica i-v del elemento equivalente al paralelo de loselementos A y B, cuyas características son:

Respuesta: El elemento equivalente tiene una característica i-v que es la suma punto apunto de las dos características, pero B es multivaluado para algunos valores detensión (como vo). Por lo tanto, el elemento equivalente también será multivaluado.

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Ejemplo 2.5: Repetir el Ejemplo 2.4 pero con las siguientes características:

Respuesta: B no está definido para tensiones mayores que vo por lo tanto elequivalente tampoco

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Ejemplo 2.6: Los resistores A y B tienen las características que se muestra. Cuál es lacaracterística del equivalente mostrado en a y en b?

Respuesta: Usando la convención de signos de la figura 1.8 se encuentra que paraobtener el equivalente en el caso b debe invertirse primero la característica del resistorB (espejo vertical y horizontal) antes de sumar las gráficas.

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3. ANALISIS D.C. (PUNTO DE OPERACION)

Entenderemos aquí por análisis D.C. la búsqueda de las distintas variables eléctricas (tensión,corriente, potencia) presentes en un circuito conformado por RNLIT, fuentes independientes decorriente y tensión de valor constante, cuando dicho circuito está en estado estacionario5. Enalgunos circuitos no lineales es posible encontrar más de una solución posible, o no encontrarninguna. En el primer caso diremos que la solución es multivaluada, y en el segundo que no existesolución.

Supóngase un circuito como a los que se refiere el parrafo anterior, que puede separarse en dosredes A y B conectadas por dos terminales, como lo muestra la figura 3.1. Supóngase tambiénque se está interesado en averiguar los valores de tensión v y corriente i marcados en la figura.

figura 3.1

En tal circuito, todos los elementos están definidos por su característica v-i, y por tanto las redesA y B también pueden definirse por alguna característica v-i, que llamaremos característica A ycaracterística B.

Es indispensable subrayar que las polaridades con que se han definido dichas características sontales que la corriente se considera entrando por el terminal marcado como referencia positiva detensión; por lo tanto en el circuito la corriente i que se desea averiguar coincide con la usada paradefinir la característica B, pero a su vez tiene el sentido contrario de la usada para definir lacaracterística A.

Tambien es importante señalar que si alguna de las dos redes es lineal, su característica v-i será lade una fuente práctica de tensión o de corriente (Teoremas de Thévenin y Norton), es decir, unalínea recta. Esta recta se conoce como la recta de carga del circuito.

Presentamos a continuación dos técnicas para efectuar análisis D.C. al circuito genérico anterior.

5 Al excluir los elementos con memoria, la respuesta transitoria carece de sentido.

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3.1. Análisis Matemático

Esta técnica es viable en caso de contar con alguna expresión matemática de las doscaracterísticas A y B. Supóngase que en el circuito de la figura 3.2 la red A está definida por

vA=fA(iA) ( Es decir, es controlada por corriente)

por su parte, la Red B está definida por

vB=fB(iB) (Es decir, es controlada por corriente)

figura 3.2

Los valores de tensión y de corriente presentes en el circuito corresponden a la pareja (v,i) quesatisface

v=fA(-i)v=fB(i)

Los ejemplos 3.1 y 3.2 muestran dos casos sencill os, el primero de los cuales corresponde a uncircuito resistivo lineal, y el segundo muestra el cuidado que debe tenerse con la ecuación de lared A, debido a que la corriente i es distinta a la corriente iA. Ahora bien, si alguna de las dosredes no es controlada por corriente sino por tensión, la situación cambia ligeramente, como semuestra en el ejemplo 3.3.

Ejemplo 3.1: Obténganse los valores de tensión y corriente solución del circuitomostrado en la figura 3.2 si las características de las redes A y B son las siguientes:

Red A: VA = 10 (Fuente de Tensión constante de 10 Voltios)Red B: VB = 2IB (Resistor Pasivo Lineal Bilateral de 2 Ohm)

Respuesta: Debemos igualar las dos expresionesVA = VB

10=2IB

IB=5Por lo tanto una solución se encuentra en

I = 5 A ; V = 10 V

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Red A: VA = 2 - IA

Red B: VB = IB 2

Respuesta: Debemos igualar las dos expresiones, observando que el valor deseado decorriente tiene el sentido contrario a IA

2 + I = I2 La solución de esa ecuación arroja dos posibles resultados:

I = -1 A , V = 1 VI = 2 A, V = 4 V


Red A: VA = 2 + IA

Red B: IB = VB2

Respuesta Como la red B está controlada por tensión, entonces la solución delcircuito corresponde a la pareja (v,i) que satisface

v=fA(-i)i=fB(v)

Por lo tanto deben solucionarse las ecuaciones

V = 2 - II = V2

O lo que es igualV = 2 - V2

La solución de esa ecuación arroja como resultadosV = 1 V ; I = 1 AV = -2 V ; I = 4 A

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3.2. Análisis Gráfico

La obtención de la pareja (v,i) solución de un circuito genérico como el de la figura 3.2 puedeefectuarse también gráficamente; si no se cuenta con una expresión matemática de alguno de loselementos del circuito, esta técnica resulta ser la única viable.

La metodología consiste en trazar las características A y B sobre unos mismos ejes coordenados,y encontrar el punto de corte gráficamente, que dará la pareja v-i solución del circuito. Debenotarse que la característica de la red A debe trazarse invirtiendo el sentido de la corriente paraque los ejes sean los mismos (ver ejemplo 3.4).

Ejemplo 3.4: Resolver el ejemplo 3.1 gráficamenteRespuesta: Las características i-v de las dos redes son las siguientes

Al invertir la característica de la red A, las dos características quedan así:

En el corte de las dos características se pueden leer los valores de tensión y corrientepresentes en el circuito:

1) I = -1 A , V = 1 V 2) I = 2 A, V = 4 V

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Variaciones sobre esta metodología consisten en:

- Trazar la característica del elemento equivalente a la serie de las redes A y B y obtener lacorriente i para tensión cero. Con esta corriente puede obtenerse la tensión v en cualquiera de lasdos características A o B (ver ejemplo 3.5); Nótese que para obtener la característica de la seriees necesario invertir una de las dos características (ver numeral 2.1 y ejemplo 2.3).

Ejemplo 3.5: Resolver el ejemplo 3.1 gráficamente

Respuesta: La características i-v del equivalente serie es el siguiente:

En el corte del eje de corriente (tensión igual a cero) se lee:i =-1 A, i= 2 A

En la característa i-v de la red B se lee, para esos valores de corriente,v = 1V, V = 4 V

- Trazar la característica del elemento equivalente al paralelo de las redes A y B y obtener latensión v para corriente cero. Con esta corriente puede obtenerse la corriente i en cualquiera delas dos características A o B (ver ejemplo 3.6).

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Ejemplo 3.6: Resolver el ejemplo 3.1 gráficamenteRespuesta: La característica i-v del equivalente paralelo es el siguiente:

En el corte del eje de tensión (corriente igual a cero) se lee:v = 1 V, v = 4 V

En la característa i-v de la red B se lee, para esos valores de tensión,i = -1 A, i = 2 A

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4. MODELAMIENTO DE RNLIT

En este capítulo se pretende mostrar algunas técnicas para reperesentar el comportamiento de unRNLIT genérico del cual se conoce su característica v-i, mediante modelos que tengan unaexpresión matemática. A lo largo del capítulo se hará uso intensivo de Métodos Numéricos paraefectuar ajustes de curvas; se recomienda al lector que no esté familiarizado con estos temasremitirse al Apéndice.

4.1. Ajuste de curvas

Al contar con la característica v-i de un RNLIT, se cuenta con una información gráfica sobre larelación tensión-corriente de dicho elemento. Es factible intentar ajustar algún tipo de expresiónmatemática que represente esa característica, al menos en algún tramo de la curva. Si bien escierto que se cuenta con herramientas matemáticas para efectuar dicho ajuste, también es ciertoque su utili dad y exactitud dependen en buena medida de la habili dad del modelador paraseleccionar el tipo de expresión matemática que desea ajustar, y el tramo de curva a modelar.

Algunas de las expresiones matemáticas más usadas para ajustar tramos de curvas son:

Línea recta:v = ai + b ó

i = cv +dcon a y b (ó c y d)los parámetros a determinar (ver figura 4.1).

figura 4.1

Monomio :v = aib ó

i = cvd

con a y b (ó c y d) los parámetros a determinar (ver figura 4.2).

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figura 4.2

Polinomio de grado fijo (m):v = amim + an-1in-1 + an-2in-2 + .... +a1i +a0 ói = bmvm + bn-1vn-1 + bn-2vn-2 + .... +b1v +b0 ó

con los parámetros ak

(ó bk)a determinar (ver figura 4.3)

figura 4.3

Función exponencial:v = a*exp (bi) ó

i = c*exp(dv)con a y b (ó c y d) los parámetros a determinar (ver figura 4.4).

figura 4.4

En los ejemplos 4.1, 4.2, 4.3 y 4.4 se muestran distintos casos de ajustes de características v-i aexpresiones matemáticas como las anteriores.

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Ejemplo 4.1: A partir de una gráfica como la de la figura 4.1 se obtuvieron lasparejas (i,v) que forman parte de la característica

i(A) -2 -1 0 1 2v(V) -29.8 -15.2 0.9 15.1 30.1

Efectúese un ajuste a línea recta de la característica i-v.

Respuesta: Efectuando una regresión lineal con los datos anteriores (ver Apéndice) seobtiene la siguiente ecuación que describe la gráfica:

V = 15.01*I + 0.22correlación = 99.98%

Otra forma de obtener el resultado anterior consiste en (ver Apéndice) partir de laecuación deseada

V = aI + by escribir dos ecuaciones auxili ares a partir de ésta, para obtener las dos incógnitas

V a I b n

V I a I b I

∑ ∑∑ ∑∑

= +

= +

*

* 2

en donde n es el número de parejas de datos de la tabla, y las sumatorias se hacensobre todas las parajas.

Con los datos de la tabla puede obtenerseV

I

V I

I

n

∑∑∑∑

=

=

=

=

=

11

0

1501

10

5

2

.

* .

y por lo tanto las ecuaciones auxili ares son1.1 = 0a +5b

150.1 = 10a+0bque tienen por solución

a = 15.01b = 0.22

Lo que significa que la ecuación que describe la gr;afica esV = 15.01*I + 0.22

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i(A) 0.1 1 2 3 4v(V) 0.9 3.1 4.2 5.2 6.0

Efectúese un ajuste a monomio de la característica i-v.

Respuesta: La ecuación deseada es de la formaV = aIb

Para efectuar el ajuste primero aplicamos logaritmos naturales a la ecuación anterior(ver Apéndice):

ln(V) = ln(a) + b*ln(I)resultando entonces la ecuación de una línea recta de ln(V) vs ln(I); se debe entoncescompletar la tabla de datos de la siguiente forma:

I 0.1 1 2 3 4V 0.9 3.1 4.2 5.2 6.0ln(I) -2.3 0 0.693 1.098 1.386ln(V) -0.105 1.131 1.435 1.648 1.792

Efectuando una regresión lineal con los datos de las últimas dos filas (ver Apéndice)se obtiene la siguiente ecuación

ln(V) = 1.0899 + 0.514*ln(I)correlación = 99.95%

Lo anterior significa queln(a) = 1.0899 a = 2.974

b = 0.514Concluimos entonces que la ecuación que describe la gráfica es

V = 2.974*I0.514


i(A) -1 0 1 2 3 4v(V) -9 0 -1 -6 -9 -4

Efectúese un ajuste a polinomio grado 3 de la característica i-v.

Respuesta: Para obtener el ajuste (ver Apéndice) escribimos de la ecuación deseadaV a I a I a I a I= + + +3

32

21

10

0

y buscamos cuatro ecuaciones auxili ares a partir de ésta, para obtener las cuatroincógnitas

28

V a I a I a I a n

V I a I a I a I a I

V I a I a I a I a I

V I a I a I a I a I

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

= + + +

= + + +

= + + +

= + + +

33

22

1 0

34

23

1

2

0

23

52

41

3

0

2

3

36

25

1

4

0

3

*

*

*

*

Con los datos de la tabla puede obtenerseV

I

V I

V I

V I

I

I

I

I

I

n

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

= −

=

= −

= −

= −

=

=

=

=

=

=

29

9

47

179

539

31

99

355

1299

4891

6

2

3

2

3

4

5

6

*

*

*

y por lo tanto las ecuaciones auxili ares son−−−−

=

29

47

179

539

99 31 9 6

355 99 31 9

1299 355 99 31

4891 1299 355 99

3

2

1

0

a

a

a

a

que tienen por solucióna3 = 1 ; a2 = -5 ; a1 = 3 ; a0 = 0

Lo que significa que la ecuación que describe la gr;afica esV = 1*I3 -5*I2 +3*I1 +0*I0

29


i(A) -2 -1 0 1 2v(V) 74 27 10 3.7 1.4

Efectúese un ajuste a función exponencial de la característica i-v.

Respuesta: La ecuación deseada es de la formaV = aebI

Para efectuar el ajuste primero aplicamos logaritmos naturales a la ecuación anterior(ver Apéndice):

ln(V) = ln(a) + bIresultando entonces la ecuación de una línea recta de ln(V) vs I; se debe entoncescompletar la tabla de datos de la siguiente forma:

I -2 -1 0 1 2V 74 27 10 3.7 1.4ln(V) 4.304 3.296 2.303 1.308 0,336

Efectuando una regresión lineal con los datos de las filas primera y tercera (verApéndice) se obtiene la siguiente ecuación

ln(V) = 2.30936 - 0.9927*Icorrelación = 99.99%

Lo anterior significa queln(a) = 2.30936 a = 10.67

b = -0.9927Concluimos entónces que la ecuación que describe la gráfica es

V = 10.67*e-.99I

30

4.2. El Diodo Ideal

Antes de proseguir con el modelamiento de los RNLIT genéricos, es necesario presentar unRNLIT específico, el diodo ideal, ya que este elemento será usado en el modelamiento de losRNLIT. El símbolo del diodo ideal, y sus características v-i e i-v se presentan en la figura 4.5.

figura 4.5

De estas características se pueden concluir varios puntos sobre el comportamiento del diodo ideal:

1. No es un elemento bilateral.

2. No es controlado por corriente.

3. No es controlado por tensión.

4. No admite tensiones positivas, y para tensiones negativas presenta una conductancia cero(resistencia infinita).

5. No admite corrientes negativas, y para corrientes positivas presenta una conductancia infinita(resistencia cero).

6. Según las dos conclusiones anteriores, el diodo se comporta como un circuito abierto paratensiones negativas, y como un cortocircuito para corrientes positivas.

31

Se dice que un diodo ideal está polarizado en inversa cuando se comporta como un circuitoabierto, es decir, cuando entre sus terminales se presenta una tensión negativa. Por otra parte, sedice que un diodo está polarizado en directa cuando se comporta como un corto circuito, esdecir, cuando lo atraviesa una corriente positiva.

4.2.1 Análisis de circuitos lineales con diodos ideales

Supóngase un circuito cuyo único elemento no lineal es un diodo ideal, como el mostrado en elfigura 4.6.

figura 4.6

Dicho diodo ideal sólo tiene dos opciones: comportarse como un circuito abierto, o como uncorto circuito. De esta propiedad puede derivarse la siguiente metodología de análisis para uncircuito como el de la figura 4.6:

• Supóngase que el diodo está operando como un circuito abierto.

• Analícese el circuito lineal resultante con la técnica que se desee, hasta obtener la tensiónentre los terminales del diodo ideal ahora representado como un circuito abierto.

• Si esta tensión es negativa (con la polaridad de la figura 4.5) la suposición inicial es correcta;si la tensión es positiva, resulta ser una condición imposible para el diodo ideal, y por tanto lasuposición inicial es falsa.

• Si la suposición inicial es falsa, el diodo está operando como cortocircuito. Puede ahorareanalizarse el circuito con esta nueva condición. A manera de verificación, puede hallarse lacorriente en el diodo, y ésta debe ser positiva.

Por supuesto, en la metodología descrita anteriormente puede tomarse como suposición inicialque el diodo esta operando como cortocircuito y verificar si la corriente que lo atraviesa espositiva o negativa.

Si en un circuito existen dos o más diodos ideales, es necesario suponer un estado para cada unode ellos, analizar el circuito, y verificar las condiciones de todos ellos. En los ejemplos 4.5 y 4.6 sepresentan algunos circuitos lineales con un diodo ideal, y en el ejemplo 4.7 con más de un diodoideal. Es posible que en circuitos con más de un diodo existan varias combinaciones depolarización válidas; en este caso, un análisis de estado estacionario como el planteado en este

32

texto no es suficiente para determinar el punto de operación: se requiere conocer la estabili dad decada posible punto de operación (punto de equili brio), lo cual implica modelar las ecuacionesdinámicas del circuito (escencialmente inductancias y capacitancias no necesariamente lineales).Este tópico se sale del alcance del presente texto, y por lo tanto no se abordará.

Ejemplo 4.5: Obténgase el valor de tensión marcado como vx en el siguiente circuito:

Respuesta: como el circuito incluye un diodo ideal, suponemos un estado para éste,por ejemplo lo suponemos en polarización directa (como un cortocircuito) yanalizamos el circuito resultante:

La corriente que circula por el diodo (ahora representado como un cortocircuito) espositiva, y por lo tanto la suposición inicial fue correcta. Se concluye entonces que elvalor de tensión buscado es

vx = 8 V

33


Respuesta: como el circuito incluye un diodo ideal, suponemos un estado para éste,por ejemplo lo suponemos en polarización directa (como un cortocircuito) yanalizamos el circuito resultante:

La corriente que circula por el diodo (ahora representado como un cortocircuito) esnegativa, y por lo tanto la suposición inicial fue incorrecta. Debemos entoncessuponer que el diodo está polarizado en inversa (como un circuito abierto), en cuyocaso el circuito resultante es:

La tensión presente en el diodo (ahora representado como un circuito abierto) esnegativa. Se concluye entonces que el valor de tensión buscado es

vx = 4.8 V

34


Respuesta: como el circuito incluye dos diodos ideales, suponemos un estado paracada uno de ellos, por ejemplo lo suponemos en polarización directa (como uncortocircuito) y analizamos el circuito resultante:

La corriente que circula por el diodo 1 es positiva, pero la del diodo 2 es negativa,por lo tanto es necesario cambiar la suposición inicial. Al suponer el diodo 1 enpolarización directa, y el diodo 2 en polarización inversa el circuito resultante es

La corriente que circula por el diodo 1 es positiva y la tensión presente en el diodo 2es negativa, por lo tanto las suposiciones ahora son correctas. Al analizar las otras dosposibles condiciones de los diodos se encuentran que éstas no son posibles, y por lotantto se concluye entonces que el valor de tensión buscado es

vx = 4.5 V

35

4.2.2 El rectificador de media onda

En este numeral presentaremos un circuito especial cuyo estudio no consiste en un análisis D.C.,debido a que cuenta con una fuente de tensión de valor variable. El circuito se muestra en lafigura 4.7 y consta de : una fuente independiente de tensión, un diodo ideal y un resistor lineal decarga.

La tensión de la fuente es de la formavf(t) = Vmaxcos(wt)

figura 4.7

En la figura 4.8 se muestran las características v-i del diodo ideal, del resistor lineal, y de la seriede los dos. En la figura 4.9 se ha tomado la curva vf(t) contra t y la característica de la serie paraobtener la curva i(t) contra t. Nótese que la presencia del diodo ha eliminado la posibili dad de quecirculen corrientes negativas por la carga; esta característica hace que se denomine el circuito dela figura 4.7 un rectificador. Este rectificador en particular se llama de media onda porqueelimina medio ciclo; otro tipo de rectificador de media onda se muestra en el ejemplo 4.8

figura 4.8

36

figura 4.9

Ejemplo 4.8: Obténgase la curva i(t) contra t para un circuito como el de la figura 4.7en donde el diodo ideal se ha sustituido por un diodo pn cuya característica v-i es lasiguiente

Respuesta: la característica v-i de la serie diodo pn y resistor lineal es la siguiente

37

La curva de corriente puede obtenerse en forma similar a como se obtuvo la delrectificador de media onda con diodo ideal:

4.3. Resistores Cóncavos y Convexos

Definimos un resistor cóncavo como un RNLIT, cuyas característica v-i e i-v son como lasmostradas en la figura 4.10 (en la misma figura se muestra el símbolo que representa a un resistorcóncavo), es decir, cuya relación tensión-corriente es de la forma

i = G(v-vc) si v>vci= 0 si v<= vc

o lo que es igual,

i = 1/2G[ |v-vc| + (v-vc)]

38

en donde G es la conductancia (unidades de conductancia), y vc es la tensión de corte (unidadesde tensión) del resistor cóncavo.

figura 4.10

La característica v-i de un resistor cóncavo cuya conductancia sea negativa tiene la forma quemuestra la figura 4.11.

figura 4.11

Puede verse fácilmente que el circuito que se muestra en la figura 4.12 tiene una característica v-iigual a la de los resistores cóncavos, por tanto pueden considerarse como equivalentes de éstos.Esta equivalencia puede usarse para analizar circuitos que incluyan resistores cóncavos, como semuestra en el ejemplo 4.9. Nótese que el equivalente planteado en la figura 4.12 no es válido pararesistores cóncavos con conductancia negativa.

39

figura 4.12


Respuesta: como el circuito incluye un resistor cóncavo, lo remplazamos por suequivalente, y el circuito resultante es el siguiente:

40

Este nuevo circuito incluye elementos lineales y un único diodo ideal; para analizarlo,suponemos un estado para éste, por ejemplo lo suponemos en polarización directa(como un cortocircuito) y analizamos el circuito resultante:


vx = 7.333 V

Por otra parte, definimos un resistor convexo como un RNLIT, cuya característica v-i es como lamostrada en la figura 4.13 (en la misma figura se muestra el símbolo que representa a un resistorconvexo), es decir, cuya relación tensión-corriente es de la forma

v = R(i-ic) si i>icv= 0 si i<= ic

o lo que es igual,

v = 1/2R[ |i-ic| + (i-ic)]

en donde R es la resistencia (unidades de resistencia), e ic es la corr iente de corte (unidades decorriente) del resistor convexo. Esta definición hace evidente la dualidad que existe entre elresistor cóncavo y el convexo.

41

figura 4.13

La característica v-i de un resistor convexo cuya resistencia sea negativa tiene la forma quemuestra la figura 4.14.

figura 4.14

Puede verse fácilmente que los circuitos que se muestran en la figura 4.15 tiene una característicav-i igual a la de los resistores cóncavos, por tanto pueden considerarse como equivalentes deéstos. Esta equivalencia puede usarse para analizar circuitos que incluyan resistores cóncavos,como se muestra en el ejemplo 4.10. Nótese que el equivalente planteado en la figura 4.15 no esválido para resistores convexos con resistencia negativa.

42

figura 4.15

Ejemplo 4.10: Obténgase el valor de tensión marcado como vx en el siguientecircuito:

Respuesta: como el circuito incluye un resistor convexo, lo remplazamos por suequivalente, y el circuito resultante es el siguiente:

Este nuevo circuito incluye elementos lineales y un único diodo ideal; para analizarlo,suponemos un estado para éste, por ejemplo lo suponemos en polarización directa(como un cortocircuito) y analizamos el circuito resultante:

43


vx = -12 V

4.4. Modelamiento de RNLIT con resistores cóncavos y convexos

La característica v-i de un RNLIT genérico puede aproximarse a una sucesión de trozos de líneasrectas, tal como se muestra en la figura 4.16. A su vez, toda característica v-i que sea unasucesión de trozos de líneas rectas puede representarse como el resultado de combinar en serie oen paralelo algunos elementos lineales y resistores cóncavos y convexos, según se muestra en losejemplos 4.11 y 4.12.

figura 4.16

44

Ejemplo 4.11: Aproxímese el RNLIT cuya característica v-i se muestra acontinuación, como una combinación en serie y en paralelo de resistores cóncavos yconvexos.

Respuesta: Inicialmente aproximamos la característica v-i del RNLIT a una sucesiónde trozos de líneas rectas:

Un primer tramo de esa sucesión de trozos de líneas rectas puede obtenerse mediantela combinación en paralelo de RNLIT cuyas características v-i sean las siguientes:

45

Un segundo tramo de la sucesión de trozos de líneas rectas puede obtenerse mediantela combinación en serie de los elementos anteriores con un Resistor convexo:

Por lo tanto el RNLIT original puede aproximarse al circuito anterior:

46

Ejemplo 4.12: Aproxímese el RNLIT cuya característica i-v se muestra acontinuación, como una combinación en serie y en paralelo de resistores cóncavos yconvexos.

Respuesta: Inicialmente aproximamos la característica i-v del RNLIT a una sucesiónde trozos de líneas rectas:

Esa sucesión de trozos de líneas rectas puede obtenerse mediante la combinación enparalelo de Resistores cóncavos cuyas características v-i sean las siguientes:

47

Por lo tanto el RNLIT original puede aproximarse al siguiente circuito:

Sin embargo, el modelo presentado en la figura 4.12 no sirve para resitores cóncavosde conductancia negativa; En el ejemplo 4.14 se presenta un posible modelo de ésteresistor.

De lo anterior se desprende que todo RNLIT puede ser aproximado a una cierta combinación deelementos lineales, resistores cóncavos y convexos, o lo que es igual, a una cierta combinación defuentes independientes, resistores lineales y diodos ideales, según se muestra en los ejemplos 4.13y 4.14.

48

Ejemplo 4.13: Aproxímese el RNLIT cuya característica i-v se muestra acontinuación, como una combinación en serie y en paralelo de fuentes independientes,resistores lineales y diodos ideales.

Respuesta: A partir del circuito equivalente obtenido en el ejemplo 4.11,reemplazamos los resistores cóncavos y convexos por sus equivalentes:

Ejemplo 4.14: Obténgase un modelo equivalente de un resistor cóncavo conconductancia negativa, como el siguiente, empleando fuentes ideales, resistoreslineales y diodos ideales

49

Respuesta: La característica v-i del resistor cóncavo con conductancia negativa puedeobtenerse a partir de la combinación en paralelo de dos RNLIT con características v-icomo las siguientes:

El primer RNLIT puede modelarse por una combinación en serie de una fuente detensión ideal y un Resistor Lineal de conductancia negativa:

El segundo RNLIT puede modelarse por una combinación en serie de un resistorlineal, una fuente ideal de tensión y un diodo ideal:

50

Por lo tanto el siguiente circuito es un posible modelo del resistor cóncavo deconductancia negativa:

4.5. Análisis D.C. con RNLIT modelados

Al modelar un RNLIT con resistores cóncavos y convexos, en realidad lo que se está haciendo esconvertirlo en una red compuesta por elementos lineales y por diodos ideales, por lo tanto, elanálisis D.C. de un circuito que incluya RNLIT modelados con resistores cóncavos y convexos esen realidad el análisis D.C. de un circuito lineal con diodos ideales6. Los ejemplos 4.15 y 4.16presentan algunos casos de circuitos que incluyen elementos lineales y RNLIT.

6 Nótese que esta afirmación implica que el circuito original incluye únicamente elementos lineales y RNLIT.

51

Ejemplo 4.15: En el circuito que se muestra a continuación el RNLIT corresponde aldel ejemplo 4.13. Obténgase el valor de tensión marcado como vx .

Respuesta: Al sustituir en el circuito el RNLIT por su equivalente, el circuitoresultante es el siguiente

El análisis de dicho circuito (ver numeral 4.2.1) arroja el siguiente resultado

vx = 4/3V

4.6 Análisis de pequeña señal:

El análisis de pequeña señal se emplea para estudiar circuitos en donde la excitación proviene defuentes independientes constantes y de fuentes independientes variables, cuya máxima amplitud es"pequeña" en comparación con las de las fuentes constantes. El principio de análisis parte de lasuposición siguiente: el efecto de las fuentes variables es suficientemente "pequeño" como parasuponer que no afecta en gran medida el estado del circuito. Un caso en donde esa suposición escorrecta se muestra en el ejemplo 4.16, y dos casos en los cuales es falsa se muestran en losejemplos 4.17 y 4.18.

52

Cuando un circuito incluye RNLIT modelados, puede considerarse que el estado del circuito nocambia en gran medida si la polarización de los diodos ideales con que se modelan los RNLIT nocambia aún con el mayor de los efectos de la fuente variable. Por lo tanto, si la suposición depequeña señal es válida, puede utili zarse la siguiente metodología:

• Modelar los RNLIT presentes en el circuito com una combinación de fuentes independientes,resistores lineales y diodos ideales.

• Analizar el circuito ignorando las fuentes variables, para determinar la polarización de losdiodos idelaes (Análisis DC).

• Analizar el circuito equivalente con las fuentes variables.

Ejemplo 4.16: En el circuito que se muestra a continuación, ¿Puede considerarse lafuente variable como una señal pequeña?

Respuesta: como el circuito incluye un RNLIT, inicialmente obtenemos su equivalentey lo llevamos al circuito:

Estudiamos el circuito ignorando la presencia de la fuente ( Vf(t) = 0) y obtenemosque el diodo ideal está polarizado en directa, y por tanto el circuito equivalente es elsiguiente:

53

Ahora bien, para averiguar si la fuente variable es o no pequeña, estudiamos elcircuito considerando ahora el máximo efecto positivo de la fuente:

El resultado obtenido nos muestra que el diodo no cambia su polarización.Estudiamos ahora el máximo efecto negativo de la fuente variable:

El resultado nos muestra que el diodo tampoco cambió su polarización, por lo tanto elcircuito equivalente es el mismo. Concluimos entonces que el efecto de la fuentevariable es pequeño.

54




Ahora bien, para averiguar si la fuente variable es o no pequeña, estudiamos elcircuito considerando ahora el máximo efecto negativo de la fuente:

55

El resultado obtenido nos muestra que el diodo cambia su polarización y pasa ainversa alterando por lo tanto el circuito equivalente se ha modificado. Concluimosentonces que el efecto de la fuente variable no es pequeño.




56

Ahora bien, para averiguar si la fuente variable es o no pequeña, estudiamos elcircuito considerando ahora el máximo efecto negativo de la fuente:

El resultado obtenido nos muestra que el diodo cambia su polarización y pasa ainversa alterando por lo tanto el circuito equivalente se ha modificado Concluimosentonces que el efecto de la fuente variable no es pequeño.

Nótese que a diferencia del ejemplo 4.18, en este caso puede atribuirse el cambio delequivalente más a un punto de operación DC inadecuado, que a un valor grande deseñal variable.

4.7 Análisis de pequeña señal alrededor del punto de operación:

Otra forma de emplear el análisis de pequeña señal consiste en modelar el RNLIT alrededor delpunto de operación DC como una línea recta tangente a la característica del RNLIT en el puntode operación, según se muestra en el ejemplo 4.19. La ventaja de este método consiste en que larecta tangente puede interpretarse como la combinación serie de una fuente independiente detensión con un Resistor Lineal Pasivo Bilateral, es decir se obtiene un modelo muy sencill o, peroque sólo es válido en cercanía del punto de operación

57

Ejemplo 4.19: Obténgase un modelo simple que contenga una fuente de tensión y unReisistor Lineal para el RNLIT del siguiente circuito; el RNLIT tiene unacaracterística como la que se muestra

Respuesta: Mediante un análisis gráfico se obtiene que el punto de operación DC es elque se muestra en la siguiente figura:

Al modelar el RNLIT como una recta tangente a la característica en el punto deoperación, puede obtenerse el siguiente equivalente del RNLIT:

58

APÉNDICE Métodos Numéricos

A.1 Ajuste de curvas a funciones (Regresiones)

El problema de ajustar curvas a funciones puede plantearse de la siguiente manera:

"Dada una curva que relacione dos variables x,y se debe encontrar una expresiónmatemática analítica de la forma y = f(x) tal que represente la curva inicial lo másexactamente posible"

Usualmente el problema se plantea con una restricción adicional, consistente en que la expresiónf(x) debe tener una forma específica; por ejemplo, puede ser que se quiera obtener una expresiónde la forma y(x) = ax + b , y por lo tanto el problema se convierte en averiguar cuáles son losvalores de los coeficientes a y b que representan la curva inicial lo más exactamente posible.

Los métodos analíticos para ajustar curvas a funciones, a diferencia de los métodos gráficos,parten de la obtención de un conjunto de parejas <x1,y1>, <x2,y2>... mediante lectura directa de lacurva. La forma usual de evaluar qué tan exactamente representa una expresión matemática alconjunto de parejas ordenadas es mediante la suma del error cuadrático e2 :

e y f xi ii

n

22

0

= −=∑ ( ( ))

En este caso, el problema se conoce como la obtención de una Regresión para el conjunto deparejas, y puede plantearse en los siguientes términos:

"Dado un conjunto de n parejas ordenadas <x1,y1>, <x2,y2>...<xn,yn> querelacione dos variables x,y se debe encontrar una expresión matemática analítica dela forma y = f(x) tal que minimice la sumatoria de los errores cuadráticos"

Existen distintos tipos de Regresión, dependiendo de la forma que se desee para la expresión f(x);así, se pueden definir:

Regresión Lineal: Se busca una expresión de la forma y = f(x) = ax + b

Regresión Mononomial: Se busca una expresión de la forma y = f(x) = axb

Regresión Exponencial: Se busca una expresión de la forma y = f(x) = a.exp(b.x)

Regresión Polinomial de grado m: Se busca una expresión de la forma y = f(x) = a0x0 + a1x

1 +a2x

2 +... + amxm

59

A continuación se presentan las metodologías necesarias para obtener las Regresiones definidasarriba, para un conjunto de n parejas ordenadas7.

A.1.1 Regresión Lineal:

Sean las n parejas ordenadas <x1,y1>, <x2,y2>...<xn,yn>, de las cuales se quiere obtener unaRegresión de la forma:

y = f(x) = ax + b

Los coeficientes a y b que minimizan los errores cuadráticos se obtienen así:

an x y x y

n x x

by a x

n

i i ii

n

i

n

ii

n

i ii

n

i

n

i ii

n

i

n

=−

−

=−

== =

==

==

∑∑ ∑

∑∑

∑∑

11 1

2

1

2

1

11

A.1.2 Regresión Monomial:


y = f(x) = axb

Al aplicar logaritmos naturales a cada lado de la expresión deseada se obtiene:

ln(y) =ln( axb)ln(y)=ln(a) + ln(xb)ln(y)=ln(a) + b.ln(x)

Nótese que la anterior expresión corresponde a una Regresión lineal en la que las variables x,yhan sido remplazadas por ln(y), ln(x) respectivamente; por esta razón la estrategia para obtener laRegresión Monomial consiste en:

i) Crear un nuevo conjunto de n parejas ordenadas <ln(x1),ln(y1)>, <ln(x2),ln(y2)> ...<ln(xn),ln(yn)>

ii) Efectuar una Regresión lineal con el nuevo conjunto, de la formay = f(x) = cx + d

7 En esta presentación se ha omitido la demostración de porqué estas metodologías efectivamente minimizan lasumatoria del error cuadrático.

60

iii ) Obtener los coeficientes a y b a partir de las igualdadesln(a) = d

b = civ) La Regresión monomial es entonces

y =axb

A.1.3 Regresión Exponencial:


y = f(x) = a.exp(b.x)

Al aplicar logaritmos naturales a cada lado de la expresión deseada se obtiene:

ln(y) =ln( a.exp(b.x))ln(y)=ln(a) + ln(exp(b.x))

ln(y)=ln(a) + b.x

Nótese que la anterior expresión corresponde a una Regresión lineal en la que las variables x,yhan sido remplazadas por ln(y), x respectivamente; por esta razón la estrategia para obtener laRegresión Monomial consiste en:

i) Crear un nuevo conjunto de n parejas ordenadas <x1,ln(y1)>, <x2,ln(y2)> ... <xn,ln(yn)>

ii) Efectuar una Regresión lineal con el nuevo conjunto, de la formay = f(x) = cx + d

iii ) Obtener los coeficientes a y b a partir de las igualdadesln(a) = d

b = civ) La Regresión monomial es entonces

y =a.exp(b.x)

A.1.4 Regresión Polinomial de grado m:


y = f(x) = a0x0 + a1x

1 + a2x2 +... + amxm

Los coeficientes a0 , a1 ,a2 ... am que minimizan los errores cuadráticos se obtienen así:

61

i) Se plantea el sistema de (m+1) ecuaciones lineales en donde las (m+1) incógnitas son loscoeficientes a0 , a1 ,a2 ... am

x y a x a x a x

x y a x a x ax

x y a x a x ax

i ii

n

ii

n

ii

n

m im

i

n

i ii

n

ii

n

ii

n

mim

i

n

im

ii

n

im

i

n

im

i

n

mim m

i

n

0

10

0

11

1

1 1

1

10

1

11

2

1

1

1

10

1

11

2

1 1

= = = =

= = =

+

=

=

+

=

+

=

+

=

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

= + + +

= + + +

= + + +

...

...

....

...

ii) Solucionar el sistema de ecuaciones anterior, para obtener los coeficientes a0 , a1 ,a2 ... am

iii ) La Regresión Polinomial de grado m es entonces

y = a0x0 + a1x

1 + a2x2 +... + amxm

62

BIBLIOGRAFIA

circuitos con resistores no lineales (versión … de cont… · dicha relación correspondería a...

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