7/16/2019 CIN_U3_A7_JUPC

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 Unidad 3. Métodos de integración

Actividad 7. Resolución de integrales

Durante esta actividad practicarás la evaluación de integrales. Realiza lo siguiente:

Evalúa las siguientes integrales:

1.

∫ ∫

 

Descomponiendo en fracciones parciales:

 

 

Multiplicando por el denominador común

 

La identidad se cumple para . Sustituyendo ese valor:

 

Realizando las operaciones de la identidad y agrupando los términos:

   

De acuerdo a las ecuaciones que se forman tenemos:

   

También:

 

Por lo tanto:

⁄ ⁄ ⁄  

Reescribimos la integral:

∫ ∫

 

A fin de facilitar la integración del segundo término de la nueva integral, lo descomponemos en dos

sumandos:

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Por lo tanto:

∫

∫

 

∫ ∫

∫  

Resolvemos cada una de las integrales:

a.

∫

∫

| |  

b. Hacemos

. Luego:

∫

∫

|| | |  

c.

∫

∫

∫  

Si hacemos y debido a que , tenemos una integral de la forma:

∫

 

Sustituimos términos:

∫

√  √  √ 

√   

Consolidamos todas las partes:

∫

| | | | √ 

√   

Agrupamos los logaritmos:

∫

√  √ 

√ 

√ √ 

√   

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2.

∫  

Como el numerador y el denominador son del mismo grado, realizamos la división indicada en lafracción:

 

Reescribimos la integral:

∫ ∫ ∫

∫  

Resolvemos la integral que nos falta haciendo  

Sustituimos los valores:

∫ || | |  

Unimos los resultados encontrados:

∫ | |  

3.

∫  

Sea

√ 

 

√   

Tenemos la ecuación en términos de :

∫ ∫ √  ∫

√  ∫ √   

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 Para deshacernos del radical utilizamos fracciones parciales, usando la función secante como

sustitución de :

 

Luego:

       

Reescribiendo la integral en términos del ángulo:

∫ √  ∫

∫  

Hacemos un nuevo cambio de variable para integrar por partes:

Sea  

Hacemos:

 

Hacemos  

Luego:

∫  

Integrando por partes:

∫ ∫ ∫ ∫  

 

Ponemos el ángulo en términos de la tangente:

 

Realizamos la conversión a términos de y escribiremos la constante hasta el final de las operaciones

(Recordemos que √  ):

*       + Realizamos ahora la sustitución en términos de (Recordemos que √  √  :

∫ *   +    

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4.

∫(√ ) 

Sea

 

Reescribimos la integral:

∫(√  ) ∫

∫  

Aplicamos integración por partes haciendo  

∫  

∫ ∫ ∫ (√  ) (√ )(√ ) 

Luego:

∫(√ ) ∫

[(√  ) (√ )(√  ) ] (√  )√ 

(√  ) 

5.

∫ ∫ ∫