CINEMTICA DEL ROBOT

La cinemtica del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia, por lo tanto se interesa por la descripcin analtica del movimiento espacial del robot como una funcin del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posicin y la orientacin del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares. En este mbito existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemtica del robot: Problema cinemtico directo: consiste en determinar cul es la posicin y orientacin del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parmetros geomtricos de los elementos del robot. Problema cinemtico inverso: resuelve la configuracin que debe adoptar el robot para una posicin y orientacin del extremo conocidas.

Denavit y Hartenberg propusieron un mtodo sistemtico para describir y representar la geometra espacial de los elementos de una cadena cinemtica, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este mtodo utiliza una matriz de transformacin homognea para describir la relacin espacial entre dos elementos rgidos adyacentes, reducindose el problema cinemtico directo a encontrar una matriz de transformacin homognea 4X4 que relacione la localizacin espacial del extremo del robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.Por otra parte, la cinemtica del robot tambin trata de encontrar las relaciones entre las velocidades del movimiento de las articulaciones y las del extremo. Esta relacin viene dada por el modelo diferencial expresado mediante la matriz Jacobiana.A. CINEMTICA DIRECTAEsencialmente se usa el lgebra vectorial y matricial para representar o describir la localizacin de un objeto en el espacio tridimensional con respecto a un sistema de referencia fijo. Dado que el robot se puede considerar como una cadena cinemtica formada por objetos rgidos o eslabones unidos entre s mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localizacin de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia. Entonces el problema cinemtico directo se reduce a encontrar una matriz homognea de transformacin T que relacione la posicin y orientacin del extremo del robot respecto del sistema de referencia fijo. Esta matriz T ser funcin de las coordenadas articulares.a) Resolucin del problema cinemtico directo mediante matrices de transformacin homogneaEsta resolucin consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localizacin espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.As, si se han escogido coordenadas cartesianas y ngulos de Euler para representar la posicin y orientacin del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solucin al problema cinemtico directo vendr dada por las relaciones:

La obtencin de estas relaciones en general no es complicada, siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos grados de libertad) fcil de encontrar mediante simples consideraciones geomtricas. Por ejemplo para un robot con 2 GDL se obtiene que:

Para robots de ms grados de liberta puede plantearse un mtodo sistemtico basado en la utilizacin de las matrices de transformacin homognea.En general, un robot de n grados de libertad est formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par de articulacin-eslabn constituye un grado de libertad. A cada eslabn se le puede asociar un sistema de referencia solidario a l y, utilizando las transformaciones homogneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot. Normalmente la matriz de transformacin homognea que representa la posicin y orientacin relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se suele denominar matriz . As pues, describe la posicin y orientacin del sistema de referencia solidario al primer eslabn con respecto al sistema de referencia solidario a la base, describe la posicin y orientacin del segundo eslabn respecto al primero, etc. Del mismo modo, denominando a las resultantes del producto de las matrices con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemtica que forma el robot. As, por ejemplo, la posicin y orientacin del sistema solidario con el segundo eslabn del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz :

De manera anloga la matriz representa la localizacin del sistema del tercer eslabn:

Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz se le suele denominar T. As, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posicin y orientacin del eslabn final vendr dada por la matriz T:

Aunque para describir la relacin que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitual que se suele utilizar en robtica es la representacin de Denavit-Hartenberg (D-H), los que propusieron en 1955 un mtodo matricial que permite establecer de manera sistemtica un sistema de coordenadas ligado a cada eslabn i de una cadena articulada, pudindose determinar a continuacin las ecuaciones cinemticas de la cadena completa.Segn la representacin D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociadas a cada eslabn, ser posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones bsicas que dependen exclusivamente de las caractersticas geomtricas del eslabn.Estas transformaciones bsicas consisten en una sucesin de rotaciones y traslaciones que permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestin son las siguientes (es importante recordar que el paso del sistema al mediante estas 4 transformaciones est garantizado solo si los sistemas han sido definidos de acuerdo a unas normas determinadas que se expondrn posteriormente.1) Rotacin alrededor del eje un ngulo 2) Traslacin a lo largo de una distancia ;vector 3) Traslacin a lo largo de una distancia ; vector 4) Rotacin alrededor del eje un ngulo Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

Realizando el producto indicado obtenemos:

Donde son los parmetros D-H del eslabn i. De este modo, basta con identificar dichos parmetros para obtener las matrices A y relacionar as todos los eslabones del robot.

b) Algoritmo de Denavit-Hartenberg para la obtencin del modelo cinemtico directoD-H 1) Numerar los eslabones empezando con 1 (primer eslabn mvil de la cadena) y acabando con n (ultimo eslabn mvil). Se numerar como eslabn 0 a la base fija del robot.D-H 2) Numerar cada articulacin comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.D-H 3) Localizar el eje de cada articulacin. Si sta es rotativa, el eje ser su propio eje de giro. Si es prismtica, ser el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.D-H 4) Para i de 0 a n-1 situar el eje sobre el eje de la articulacin i+1.D-H 5) Situar el origen del sistema de la base en cualquier punto del eje . Los ejes e se situarn de modo que formen un sistema dextrgiro con .D-H 6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema (solidario al eslabn i) en la interseccin del eje con la linea normal comn a y . Si ambos se cortasen se situara en el punto de corte. Si fuesen paralelos se situara en la articulacin i+1.D-H 7) Situar en la linea normal comn a y D-H 8) Situar de modo que forme un sistema dextrgiro con Situar D-H 9) Situar el sistema en el extremo del robot de modo que coincida con la direccin de sea normal a D-H 10) Obtener como el ngulo que hay que girar en torno a para que y queden paralelos.D-H 11) Obtener como la distancia, medida a lo largo del eje , que habra que desplazar , para que y quedasen alineadosD-H 12) Obtener como la distancia medida a lo largo de (que ahora coincidir con ) que habra que desplazar el nuevo para que su origen coincidiese con .D-H 13) Obtener como el ngulo que habra que girar en torno a (que ahora coincidir con ), para que el nuevo coincidiese totalmente con .D-H 14) Obtener las matrices de transformacin definidas anteriormente.D-H 15) Obtener la matriz de transformacin que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot D-H 16) La matriz T define la orientacin (submatriz de rotacin) y posicin (submatriz de traslacin) del extremo referido a la base en funcin de las n coordenadas articulares.

Los cuatro parmetros de D-H () dependen nicamente de las caractersticas geomtricas de cada eslabn y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente. En concreto estos representan los parmetros indicados en la imagen inferior.

Es el ngulo que forman los ejes y medido en un plano perpendicular al eje , utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parmetro variable en articulaciones giratorias. Es la distancia a lo largo del eje desde el origen del sistema de coordenadas (i-I)-simo hasta la interseccin del eje con el eje . Se trata de un parmetro variable en articulaciones prismticas. Es la distancia a lo largo del eje que va desde la interseccin del eje con el eje hasta el origen del sistema i-simo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismticas, se calcula como la distancia ms corta entre los ejes y . Es el ngulo de separacin del eje y el , medido en un plano perpendicular al eje , utilizando la regla de la mano derecha.Una vez obtenidos los parmetros D-H, el clculo de las relaciones entre los eslabones consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calculan segn la expresin general de la ecuacin 7. Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadas por las matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A.

Los pasos anteriores son reproducibles y se pueden aplicar a otros casos de robots con ms grados de libertad como los que se muestra a continuacin:

B. CINEMTICA INVERSAEl objetivo del problema cinemtico inverso consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente segn una determinada localizacin espacial.As cmo es posible abordar el problema cinemtico directo de una manera sistemtica a partir de la utilizacin de matrices de transformacin homogneas, e independientemente d la configuracin del robot, no ocurre lo mismo con el problema cinemtico inverso, siendo el procedimiento de obtencin de las ecuaciones fuertemente dependiente de la configuracin del robot.Se han desarrollado algunos procedimientos genricos susceptibles de ser programadas, de modo que un computador pueda, a partir del conocimiento de la cinemtica del robot (parmetros D-H) obtener la n-upla de valores articulares que posicionan y orientan su extremo. El inconveniente de estos procedimientos es que se trata de mtodos numricos iterativos, cuya velocidad de convergencia e incluso su convergencia en si no est siempre garantizada.Al momento de resolver el problema cinemtico inverso es mucho ms adecuado encontrar una solucin cerrada. Esto es, encontrar una relacin matemtica explcita de la forma:

Este tipo de solucin presenta, entre otras, las siguientes ventajas: En muchas aplicaciones, el problema cinemtico inverso ha de resolverse en tiempo real (por ejemplo, en el seguimiento de una determinada trayectoria). Una solucin de tipo iterativo no garantiza tener la solucin en el momento adecuado. Al contrario de lo que ocurrira en el problema cinemtico directo, con cierta frecuencia la solucin del problema cinemtico inverso no es nica; existiendo diferentes n-uplas que posicionan y orientan el extremo del robot del mismo modo. En estos casos una solucin cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solucin obtenida sea la ms adecuada de entre las posibles (por ejemplo, limites recorridos articulares).No obstante, a pesar de las dificultades comentadas, la mayor parte de los robots poseen cinemticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolucin de su problema cinemtico e inverso. Por ejemplo si se consideran solo los tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Esta circunstancia facilita enormemente la resolucin del problema. Asimismo,, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres ltimos grados de libertad, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, corresponden a giros sobre ejes que se cortan en un punto. De nuevo esta situacin facilita el clculo de la n-upla correspondiente a la posicin y orientacin deseadas.Los mtodos geomtricos permiten obtener normalmente los valores de las primeras variables articulares, que son las que consiguen posicionar al robot (prescindiendo de la orientacin de su extremo). Para ello utilizan relaciones trigonomtricas y geomtricas sobre los elementos del robot. Se suele recurrir a la resolucin de tringulos formados por los elementos y articulaciones del robot.Como alternativa para resolver el mismo problema se puede recurrir a manipular directamente las ecuaciones correspondientes al problema cinemtico directo. Es decir, puesto que este establece la relacin:

Donde los elementos son funcin de las coordenadas articulares , es posible pensar que mediante ciertas combinaciones de las 12 ecuaciones planteadas en la seccin anterior se puedan despejar las n variables articulares en funcin de las componentes n, o, a y pPor ltimo si se consideran robots con capacidad de posicionar y orientar su extremo en el espacio, esto es, robots con 6 GDL, el mtodo de desacoplamiento cinemtico permite, para determinados tipos de robots, resolver los primeros grados de libertad, dedicados al posicionamiento, de manera independiente a la resolucin de los ltimos grados de libertad, dedicados a la orientacin. Cada uno de estos dos problemas simples podr ser tratado y resuelto por cualquier procedimiento.a. Resolucin del problema cinemtico inverso por mtodos geomtricosEste procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren slo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo.El procedimiento se basa en encontrar suficiente nmero de relaciones geomtricas en las que intervendrn las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones fsicas de sus elementos.Para mostrar el procedimiento a seguir se va aplicar el mtodo a la resolucin del problema cinemtico inverso de un robot con 3 GDL de rotacin (estructura tpica articular) tal como se muestra en la seccin anterior. El dato de partida son las coordenadas referidas a en las que se quiere posicionar su extremo.Como se observa dicho robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ngulo de la primera variable articular . El valor de se obtiene mediante:

Considerando ahora nicamente los elementos 2 y 3 que estn situados en un plano (como se muestra en la parte inferior), y utilizando el teorema del coseno, se tendr:

Esta expresin permite obtener q3 en funcin del vector posicin del extremo p. Pero se recomienda usar la expresin de arco tangente por razones computacionales.

Tenemos que:

Y obtendremos:

Como se ve, existen dos posibles soluciones para q3 segn se tome el signo positivo o el signo negativo de la raz. Estas corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo del robot.El clculo de q2 se hace a partir de la diferencia entre :

Siendo:

Luego finalmente:

De nuevo los dos posibles valores segn la eleccin del signo dan lugar a dos valores diferentes de q2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.

b. Resolucin del problema cinemtico inverso a partir de la matriz de transformacin homogneaEn principio es posible tratar de obtener el modelo cinemtico inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo. Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posicin y orientacin del extremo del robot en funcin de sus coordenadas articulares, obtener por manipulacin de aquellas las relaciones inversas.Sin embargo, en la prctica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que obliga a desecharla. Adems, puesto que el problema cinemtico directo, resuelto a travs de las expresiones de las secciones anteriores, contiene en el caso de un robot de 6 GDL 12 ecuaciones, y se buscan solo 6 relaciones (una por cada grado de libertad) , existirn necesariamente ciertas dependencias entre las 12 expresiones de partida (resultado de la condicin de ortonormalidad de los vectores n, o y a) con lo cual la eleccin de que ecuaciones escoger deber hacerse con sumo cuidado.c. Desacoplo cinemticoLos procedimientos visto en los apartados anteriores permiten obtener los valores de las 3 primeras variables articulares del robot, aquellas que posicionan su extremo en unas coordenadas determinadas, aunque pueden ser igualmente utilizadas para la obtencin de las 6 a costa de una mayor complejidad.En general no basta posicionar el extremo en un punto del espacio, si no que casi siempre es preciso tambin conseguir que la herramienta que aquel porta se oriente de una manera determinada. Para ello, los robots cuentan con otros tres grados de libertad adicionales, situados al final de la cadena cinemtica y cuyos ejes, generalmente se cortan en un punto, que informalmente se denomina mueca del robot. Si bien la variacin de estos tres ltimos grados de libertad origina cambio en la posicin final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio.El mtodo cinemtico aprovecha este hecho, separando ambos problemas: posicin y orientacin. Para ellos, dada una posicin y orientacin final deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 ltimos ejes (mueca del robot) calculndose los valores de las tres primeras variables articulares que consiguen posicionar este punto. A continuacin, a partir de los datos de orientacin y de los ya calculados se obtiene los valores del resto de las variables articulares.