cien 10 u2 otros modulos

Unidad 1er año de

bachillerato

2

Las

Ciencias

Naturales

Ciencias Naturales •

mediciones,

su xpresión

y

representación

119

Introducción

En esta unidad encontrarás términos como “precisión”, “error”, “incerteza”,

“sistemas de medida”, “potenciación”, etc. pero debes tener la certeza de tus

capacidades, propósitos y metas para tu vida, por lo que, si las medidas que

realizas no son confiables, tú debes expresar toda la confianza y determinación

en lo que desde hoy emprendas.

Es un área muy bonita de la física, útil y práctica en tu vida, en la diversidad de

todos los ámbitos, ya que no existe persona alguna que nunca haya medido

algo; ni proceso, actividad económica, educativa o industrial, sin elementos

mensurables.

Para expresar las mediciones correctamente deben llevar las unidades respectivas;

pero dado que una misma cantidad física puede estar en diferente sistema, es

necesario tener equivalencias de los sistemas utilizados desde y hacia el sistema

internacional SI, con los factores de conversión y las herramientas de matemática.

Para comprender las magnitudes físicas debes leer detenidamente la teoría,

relacionar tus conocimientos previos, responder las preguntas, comparar y discutir

las respuestas, proponer otras magnitudes y clasificarlas como escalares o

vectoriales, buscar cantidades físicas correspondientes, realizar las medidas

requeridas en las actividades, las operaciones y conversiones de los ejercicios

planteados; aprender y comprender las ideas básicas te ayudará a la

autoevaluación, tanto como ejercitar operaciones con incertezas y analizar

las gráficas de las proporcionalidades. Tú puedes.

120

• Módulo 2

Objetivos

Tú serás competente para:

Objetivo general

Comprender las magnitudes y cantidades físicas, sistemas de unidades y

proporcionalidades para utilizarlas en situaciones de la vida cotidiana, a la vez

reflexionar sobre la inexactitud de las medidas y como te afecta en la diversidad

del entorno.

Objetivos específicos

• Comprender las magnitudes físicas, a partir de tus conocimientos previos,

para realizar mediciones y demostrar diferencias entre medidas directas e

indirectas en un ambiente de participación y colaboración con tus compa-

ñeros/as.

• Diferenciar sistemas de unidades y aplicar en ejercicios de conversiones para

lograr seguridad en el contenido y el desempeño personal.

• Comprender las relaciones entre magnitudes físicas por medio de repre-

sentaciones gráficas para aplicarlas en problemas afines de todos los ámbitos,

y comparar tus logros y cambios significativos al interpretar la relación directa

entre tu esfuerzo y el éxito.


121

Mapa conceptual

Mediciones, expresiones y

representación

¿Qué medimos? ¿Kilómetros? ¿Cuánto confiar en

Representación gráfica

¿Qué es medir?

¿Millas?

¿Metros?

¿Yardas?

Sistemas de

unidades

Como se

relacionan

las medidas?

Inexactitud

¿Cómo saber?

Tipos de

incertezas

de medidas

¿Qué forma

adquieren las

relaciones?

Proporcionalidad

Directa Inversa

Relaciones Relaciones

122

lineales y kxn

• Módulo 2

¿Qué es lo que medimos

en realidad?

Objetivo

Comprender las magnitudes físicas, a partir de tus conocimientos previos, para

realizar mediciones y utilizar unidades apropiadas, a la vez, compartir la

experiencia en un ambiente de amistad y colaboración con los/as demás.

Preguntas

¿Qué colores observas en los objetos de tu alrededor?

¿De qué material están hechos los lápices, el techo, el depósito de la basura, tus

zapatos, etc.?

¿Cuánto pesas?

¿Cuál es tu estatura?

¿Cuántos litros de agua consumes al día, aproximadamente?

Los objetos que te rodean, los fenómenos naturales, e incluso tú mismo/a, tienes

ciertas “propiedades que te caracterizan a los objetos y fenómenos”.

Algunas de estas propiedades son bastante

independientes de aspectos subjetivos, a estas les

denominamos “propiedades físicas”.

Por ejemplo, acerca de una pizarra podemos decir, que es “bonita”, y esa es una

“propiedad”, pero cuando decimos que la pizarra tiene cierta “área” o cierto “color”,

estamos mencionando propiedades físicas.

Algunas de las propiedades físicas pueden asociarse con un número, otras no.

Por ejemplo el “color” de la pizarra no se expresa con un número, decimos!

“es verde”, sin embargo el área definida es de 3 x 1.5 metros cuadrados”.


123

Las propiedades físicas de los objetos o fenómenos

naturales que podemos expresar cuanti-

tativamente se denominan “magnitudes físicas”

Actividad

Observa el siguiente cuadro donde se indi-

can las propiedades físicas y las magnitudes

físicas de un lápiz y una naranja. completa

el cuadro con el otro objeto.

Objeto

lápiz

color

Propiedades físicas

magnitudes físicas

longitud

naranja

otro objeto

material

consistencia

color

consistencia

forma

peso

masa

volumen

densidad

peso

masa

diámetro

volumen

densidad

Nota: la materia, el sabor y el valor nutritivo de la naranja son propiedades químicas.

124

• Módulo 2

• Observa y comparte las propiedades del objeto propuesto en el cuadro de tus

compañeros/as.

• Para poder expresar numéricamente una magnitud física, necesitamos medirla:

Lo que medimos son las magnitudes físicas de

los objetos y fenómenos

• Mide la longitud del lápiz con una regla graduada

• Mide el diámetro de una naranja con la regla graduada. El diámetro de la

naranja es equivalente a la distancia entre la parte interna de los lápices en

paralelo. Hacer dibujo.

valores probables:

longitud del lápiz: 14 cm.

diámetro de la naranja: 6 cm.

Concepto importante

los valores que tú mediste

El valor específico que toma una magnitud

física se llama: Cantidad Física


125

Por ejemplo, si decimos que el área de una pizarra es de 3m2, el área es la

magnitud física y los 3m2 es la cantidad física. Observa el cuadro:

objeto

libro

naranja

lápiz

pizarra

otro

magnitud física

volumen

masa

longitud

área

cantidad física

168 cm3

0.4 kg.

10cm.

3m2

Es posible que estés pensando en la enorme cantidad de magnitudes físicas que

existen, sin embargo también notarás que hay un pequeño grupo que son las

más utilizadas y también las aplicadas en una mayor diversidad de casos. Así, de

manera arbitraria (conveniencia), las magnitudes físicas se dividen en “básicas”

y “derivadas”.

Las magnitudes derivadas se calculan en términos de las básicas, así, dos mag-

nitudes básicas (longitud y tiempo) al combinarse apropiadamente, dan lugar a

una derivada que es la rapidez ( longitud / tiempo). En el caso de la naranja, la

masa es magnitud básica; el volumen, es magnitud derivada.

El siguiente cuadro muestra las magnitudes físicas básicas aceptadas en la

actualidad y algunas derivadas:

Magnitudes básicas

Masa, longitud, tiempo,

intensidad de corriente

eléctrica, temperatura,

termodinámica, cantidad

de substancia e

intensidad luminosa

126

Magnitudes derivadas

Rapidez, fuerza, voltaje, carga eléctrica, área,

volumen, aceleración, cantidad de movimiento,

densidad, calor, temperatura, presión, inercia

rotacional, capacidad calorífica, energía, trabajo,

coeficiente de dilatación, campo eléctrico, campo

magnético, resistencia eléctrica, ....

• Módulo 2

La mayoría de las magnitudes enumeradas serán utilizadas en el desarrollo de

los temas de ciencias naturales.

Optometrista

Debe tomar medidas precisas y

exactas para indicar lentes

adecuados al paciente.

Entonces, ¿qué es medir?

¿Has hecho alguna vez una medición?, piensa qué haces cuando mides una

magnitud física.

Para poder hacer una medición necesitamos tres elementos: Un patrón, una

unidad, y un procedimiento.

Estos tres elementos están íntimamente relacionados, ya que el patrón es el

objeto que posee la magnitud física en la cantidad que vamos a tomar como tér-

mino de referencia, es decir como unidad. Así, por ejemplo, el patrón de masa

es un cilindro metálico cuya masa se define como un kilogramo.

El patrón es el cilindro y la unidad, la cantidad de masa que el mismo posee.

Un patrón no necesariamente es un objeto, también puede ser un concepto. Por

ejemplo si alguien decide utilizar el tiempo que tarda un péndulo en realizar

una oscilación (el período) como unidad, esa oscilación en particular constituye

el patrón. La oscilación es un concepto y no un objeto.

El procedimiento particular en medición, es importante para realizar

correctamente las medidas, y depende de los patrones, las unidades, del objeto

medir y las condiciones en que se realiza el proceso.


127

Medir es comparar una cantidad física con otra de la misma

naturaleza que se toma como término de comparación.

Es el proceso mediante el cual asignamos el valor concreto

a una magnitud física, es decir, encontramos la cantidad

física correspondiente.

Medidas: directas e indirectas

Las medidas pueden ser directas e indirectas, según sea el procedimiento para

obtenerlas. Así, cuando comparamos directamente el patrón (o en general el

instrumento de medida) con la cantidad que deseamos cuantificar, hacemos

una medida directa.

En cambio cuando primero tenemos que realizar dos o más mediciones y luego

operar matemáticamente los resultados para calcular la cantidad buscada,

efectuamos una medida indirecta.

Ejemplos de medidas directas

Tu estatura (metros); el volumen de cierto líquido en una botella (mililitros); la

masa de algún cereal en una balanza (kilogramos); intensidad de corriente

eléctrica en un amperímetro (amperios); medida de fuerzas mínimas con un

dinamómetro (décimas de newton o en dinas); temperatura de un reactivo en

probeta (centímetros cúbicos) y grados centígrados.

Ejemplos de medidas indirectas

La altura de un edificio (en metros, utilizando fórmulas); el volumen de un

sólido (en metros cúbicos usando fórmulas); el área de una cancha de foot ball

(en metros cuadrados con la fórmula del rectángulo, obteniendo primero largo y

ancho directamente, luego multiplicamos esos valores); la altura de un árbol,

128

• Módulo 2

midiendo la sombra que proyecta y por triangulación utilizas el teorema de

Pitágoras. Este procedimiento puedes utilizar para calcular la altura del edificio.

Actividad

Mide con un metro las dimensiones de la puerta de tu

salón (ancho y largo en metros), luego, multiplica esos

valores y tendrás el área en metros cuadrados.

Las longitudes son medidas directas; el área es medida

indirecta.

Área = base por altura, o sea, ancho por largo de un rectángulo.

Continuemos con la naranja

Ya tienes el diámetro: 6cm. medida directa

El radio es la mitad del diámetro: 3.cm.

Calcular el volumen a partir de la fórmula medida indirecta.

Aunque la naranja no es una esfera regular, usemos la fórmula del volumen de 3

una esfera; donde V = volumen ; = 3.1416 (constante) ; R = radio al cubo.

Sustituyendo R en la fórmula: R = 3cm x 3cm = 9cm² x 3cm = 27 cm3

¿kilómetros o millas? ¿metros o yardas?


129

Nuestro país cuenta con hermosos paisajes naturales. Uno de ellos son sus pla-

yas. Nota la distancia a la que se encuentran las siguientes playas desde San

Salvador.

playa

El Tamarindo

El Espino

Los Cóbanos

distancia

113.7 millas

156 kilómetros

85,000 metros

¿Cuál playa es la más cercana a San Salvador?

Como notaste, para responder esta pregunta es necesario que las distan-

cias estén expresadas en las mismas unidades de longitud, de tal forma que

puedas compararlas. Para realizar esta conversión, debes conocer los dife-

rentes sistemas de medidas.

Las medidas pueden ser directas o indirectas, según sea el procedimiento para

obtenerlas. Así, cuando comparas directamente el patrón (o en general el

instrumento de medida) con la cantidad que deseas cuantificar, haces una

medida directa”. En cambio, cuando primero tienes que realizar dos o más

mediciones y luego operar matemáticamente los resultados para calcular la

cantidad buscada, efectúas una medida indirecta.

Ejemplos:

En nuestro país utilizas una gran cantidad de unidades, las cuales no siempre

son compatibles entre sí, por ejemplo es muy común utilizar libras para medir el

peso de los objetos, pero también esto puede hacerse mediante kilogramos.

Algunas medidas de longitud, por ejemplo la longitud de las piezas de tela,

suelen medirse en yardas; pero para otras cosas utilizas los metros.

130

• Módulo 2

Muchas veces tienes una idea clara de cuanto es una libra, pero no conoces cuál

es su equivalencia en kilogramos, compras un tubo especificando su diámetro

en pulgadas, pero generalmente no lo conoces en centímetros.

Ejercicio

El diámetro de un tubo es de 5 pulgadas. ¿A cuántos centímetros equivale esa

medida?

Una pulgada = 2.54 centímetros

5 pulgadas = 2.54 x 5

= 12.2cm.

De seguro puedes pensar en otras situaciones en las cuales se mezclan diferentes

unidades para medir las mismas magnitudes.

Ejercicio

1 sandía pesa 3lbs. ¿a cuántos kilogramos equivale?

1kg = 2.205 lbs.

1kg = 2.205lbs.

XKg 31 lbs 1.36 Kg

3lbs

2.205 lbs

1.36 Kg

2.205lbs

En realidad lo que se mide en una balanza o en una báscula es la masa. El peso

está relacionado con la atracción de la gravedad sobre esa masa.

peso = masa x gravedad o sea, p = mg

El peso es una magnitud física vectorial y sus unidades son combinadas (new-

ton, dinas y kg. fuerza).

En la comunidad científica internacional, las unidades utilizadas no eran (aún

no son del todo) las mismas que se utilizan en diferentes países o regiones.

Algunos utilizaban un determinado conjunto de unidades, otros, utilizaban

diferente. Ese hecho dificulta, entre otras cosas, la comunicación efectiva de los

conocimientos científicos, de igual manera esa diversidad conlleva problemas en

el uso práctico de las mediciones.


131

¿Qué son los sistemas de unidades?

Dado que el medir es algo tan común en la vida y tan importante en la ciencia,

es necesario definir un conjunto consistente de unidades, es decir, un “sistema

de unidades de medida”, para facilitar las tareas que requieren de la medición.

Desafortunadamente, no todos los países adoptaron el mismo sistema de

unidades, inclusive en un mismo país, por ejemplo en El Salvador, utilizamos

una mezcla de varios sistemas.

En la siguiente tabla se muestran las unidades para las tres principales magni-

tudes básicas en diferentes sistemas de unidades:

magnitud

longitud

masa

tiempo

sis. inglés

pie

slug

segundo

sistema

centímetro

gramo

segundo

sistema

metro

kilogramo

segundo

sistema

metro (m)

kilogramo

(kg)

Como puedes notar, el sistema internacional tiene las tres unidades indicadas

iguales a las del sistema m.k.s.; pero el sistema internacional (SI) es diferente

al m.k.s. Entonces ¿dónde está la diferencia? Básicamente la diferencia está en

la definición de otras magnitudes básicas y de sus correspondientes patrones.

El Sistema Internacional (SI) ha sido adoptado por la mayoría de países en la

actualidad, y su uso es obligatorio por ley, por ejemplo en El Salvador, la Ley

del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología contenida en el Decreto Nº

287, publicada en el Diario Oficial Nº 144 el 10 de agosto de 1992, declara al

(SI) el sistema legal de unidades de medida en nuestro país.

132

• Módulo 2

Los patrones evolucionan y se refinan en la medida que la ciencia y la

tecnología avanzan, por ejemplo en la edad media, el patrón para el “pie” se

definía así:

“Para encontrar la longitud de una

pértica (sic) de forma correcta y

legal, y de acuerdo con el uso cientí-

fico, se procederá como sigue.

Sitúese en la puerta de una iglesia un

domingo y pida que se queden dieci-

séis hombres, altos y bajos, a medida

que vayan saliendo al terminar el ser-

vicio; entonces haga que pongan sus

pies izquierdos uno detrás de otro.

La longitud así obtenida será pértica

correcta y legal para medir (sic) y

apear la tierra, y su dieciseisava parte

será un pie correcto y legal.”

En la actualidad la definición para el patrón de longitud según

(SI) es:

“El metro es la longitud del trayecto recorrido en el vacío

por la luz durante 1/299792458 de segundo”

¡Es notable la diferencia en la definición!

En la práctica, cuando realizamos una medición, no

utilizamos los patrones directamente, sino utilizamos

copias de dicho patrón u objetos que han sido

contrastados con el patrón correspondiente; razón

por la cual difieren las escalas de los instrumentos

de medida y se da la impresición en la lectura de las

mediciones.


133

El sistema internacional de unidades establece, la forma correcta de escribir los

símbolos de las unidades, lo cual es importante cuando se tiene que leer datos

sin importar el idioma en que se haya escrito la información.

Este tipo de notación es cada vez más usado en el comercio y la industria, por

ejemplo, casi todos los aparatos eléctricos que utilizamos en nuestras casas tienen

anotadas las especificaciones acerca de su capacidad, consumo de energía

eléctrica, etc. Esta información debe ser tomada en cuenta para la apropiada

conexión de los aparatos, lo cual se vuelve aún más crítico en la instalación de

maquinaria industrial.

Cuadro de prefijos para múltiplos y submúltiplos

prefijo

pico

nano

micro

mili

kilo

mega

giga

tera

símbolo

p

n

ì

m

k

m

g

t

valor numérico

10-12

10-9

10-6

10-3

103

106

109

1012

Definir los anteriores prefijos para los múltiplos y submúltiplos, es una necesidad

que surge al tener que realizar mediciones en un amplio rango de valores y

134

• Módulo 2

tener que expresarlos de manera concisa, así, escribir 0.000001 m se simplifica

escribiendo 1μm; 1000 m como un km., etc.

• Las bacterias tienen diámetros de más o menos 0.00001 micras, los filtros de

agua tienen porosidades con un mínimo de 0.5 micras, o sea, entre 0.1 y 1

micras.

Es fácil concluir que por cualquier filtro las bacterias se pasan libremente hasta

en colonias.

1 micra = 0.001 milímetros.

a) Equivalencias entre diferentes unidades de longitud

1 m =

1 m 1 cm

1 100

1 km 1 pie 1 milla 1 pulgada 1 yarda

0.001 3.281 6.215x10-4 39.37 1.0936

1 cm =

1 km =

1 pie =

1 milla =

1 pulgada=

1 yarda=

0.01

1000

0.3048

1609

2.540x10-2

0.9144

1

100000

30.48

1.609x10-5

2.540

9144

10-5

1

3.048x10-4

1.609

2.540x10-5

9.144x10-4

3.281x10-2

3281

1

5280

1/12

3

6.214x10-6

0.6215

1.894x10-4

1

1.578x10-5

1760

0.3937

3.937x10-4

12

6.336x10-4

1

36

1.0936x10-2

10.93

1/3

1/1760

1/36

1


135

1 kg =

1 kg

1

1 g

1000

1 slug

6.852x10-2

1 onza

35.27

1 libra 1 tonelada

2.205 1.102x10-3

1 g =

1 slug =

1 onza =

1 libra =

1 tonelada =

Ejercicio

0.001

14.59

2.835x10-2

0.4536

907.2

1

1.459x10 -4

28.35

453.6

9.072x10-5

6.852x10-5

1

514.8

3.108x10-2

62.16

3.527x10-2

514.8

1

16

3.2x10-4

2.205x10-3

32.17

1/16

1

2000

1.102x10-5

1.609x10-2

3.125x10-5

0.0005

1

1. Expresar 46 millas en metros

Revisa la tabla de conversiones y encontrarás 1 milla = 1609metros, entonces,

se plantea la regla de tres

1mi

46mi

1609m

X

X = 46mi x 1609m ÷ 1mi

X = 74014m

2. ¿A cuántos kilogramos equivalen 45lbs?

de la tabla de valores tienes que 1kg = 2.205lbs, por lo tanto

2.205lbs

45lbs

136

1kg

X

X = 1kg x 45lbs ÷ 2.205lbs

X = 20.41kg

• Módulo 2

3. Expresar 5 pies en centímetros, 1pie = 30.48cm

1pie

7pies

30.48cm

X

X= 30.48cm x 7p ÷ 1p

X = 213.36cm

4. Reducir 5horas a segundos

1h

5h

3600seg

X

X = 3600seg x 5h ÷ 1h

X = 18000seg

Nota: se eliminan las unidades 1) millas, 2) libras, 3) pies, 4) horas

Actividad

• Mide con una regla graduada en centímetros, el largo de tu cuaderno y expresa

la medida en pulgadas.

R/ según sea el tamaño del cuaderno

1 pulg. = 2.54cm

• ¿A cuantas pulgadas equivalen tres metros?

• ¿Cuántas onzas hay en quince libras?

• ¿Cuántas yardas hay en ocho metros?

• ¿A cuántas micras equivalen 3 centímetros?


R/ 118 pulgadas

R/ 240 onzas

R/ 8.75 yds

R/ 30,000 micras

137

• ¿De San Salvador a Santa Ana hay 60km aproximadamente; cuánto sería en

metros?

R/ 60,000 metros

• Convertir 8 micras a pulgadas R/ 0.003 pulg

• Expresar cinco yardas en metros R/ 4.57 metros

• 32 onzas convertirlas a gramos R/ 909 gramos

• Convertir 4000 micras a centímetros R/ 0.4 centímetros

¿Cuánto confiar en las medidas?

Objetivo

A partir de conceptos previos y afines, inducir los conceptos de precisión y

exactitud en las medidas para aplicar incertezas en la expresión de las mismas

y, a la vez, lograr actitudes de confianza y eficiencia en tu trabajo de ciencias.

¿En qué caso utilizas la palabra “cabal”? o la expresión “ok, le va completo, hasta

pasadito”

Pero muchas veces te quejas de la inexactitud de las medidas, principalmente

cuando compras algún producto. Por ejemplo, la libra de arroz que compras en

muchos establecimientos contiene menos gramos de los que legalmente debe

tener.

En este punto debes diferenciar dos aspectos, el primero, es el caso de las medidas

inexactas debido a una deshonesta intención, el segundo, es la limitación que

toda medida tiene, aún cuando pones empeño y técnica para realizarla.

138

• Módulo 2

El conocimiento de las medidas y sus limitaciones ayuda también a combatir las

medidas inexactas y te da un respaldo para reclamar, en forma objetiva, tus

derechos como consumidor.

Inexactitud

Una medida nunca puede ser 100% exacta

La anterior es una sentencia que puede parecer pesimista; pero ciertamente

nunca puedes obtener una medida exacta, aunque uses los instrumentos y

técnicas de medición más avanzados. Esto se debe a que siempre que realices

una medida, interactúas con el objeto o fenómeno que mides, alterando de alguna

manera sus cantidades o sus magnitudes físicas.

¿Cómo saber si es confiable una medida?

Cuando tienes una medida es deseable saber cuánto puedes confiar en ella.

El error (E) en una medida (X) se define como el valor

absoluto de la diferencia entre el verdadero valor (Xv) y

el valor medido (Xm):

E = |Xv - Xm|

Este error así definido nunca se puede llegar a conocer ¿por qué?

Cuando no puedes conocer algo, es muy común que lo estimes de alguna manera,

así el error en una medida se estima mediante otra cantidad llamada o

denominada incerteza.


139

La incerteza de una medida es un dato vital para los científicos, prácticamente si

una medida no es acompañada de su incerteza, no tiene ningún valor

científico.

Así también en el comercio, la industria y la vida diaria, es cada vez más frecuente

el uso de las incertezas, sobretodo con los requisitos que el proceso de

globalización exige a los productos de las empresas, también es una fuente de

información útil para los consumidores.

Debes tener la certeza de que eres capaz y persistente

para alcanzar tus metas, no importa en qué medida

tengas que esforzarte

Tipos de incerteza

absoluta

incerteza unitaria

relativa

porcentual

a. incerteza absoluta ( x)

Expresa la desviación que puede tener una medida respecto del valor reportado,

∆ así la medida (X) se expresa: (X ± X)

Por ejemplo: si dices que un alambre mide (2.0m ± 0.1m), significa que el

140

• Módulo 2

verdadero valor se encuentra entre 1.9m y 2.1m, siendo el más probable 2.0m.

Como puedes notar, la incerteza absoluta tiene las mismas unidades que la

medida.

b. incerteza relativa unitaria X

X

Indica la fracción del error en el que se puede estar incurriendo en la medida,

por cada unidad contabilizada, la medida se reporta como:

( X ± X )

X

Por ejemplo, si una longitud se reporta como (2.3m ± 0.1)cm, significa que el

valor más probable es 2.3m, pero que posiblemente se haya cometido un error

en una décima (0.1); la incerteza relativa es 0.1

2.3 = 0.04

de cada metro medido, la incerteza relativa no tiene unidades.

c. incerteza relativa porcentual ( X . 100 )

X

Es la misma incerteza relativa unitaria multiplicada por 100, en tal caso representa

el porcentaje de error probable en la medida. El ejemplo anterior se escribiría

así: 0.04 x 100 = 4 entonces quedaría así (2.3 m ± 4 %).

¿Cómo se encuentra la incerteza de una medida?

Ahora, estudiarás las técnicas básicas para obtener la incerteza de una medida,

el criterio a aplicar siempre es que debes tratar de reportar una medida con su

incerteza de la forma más segura, es decir, que es preferible decir que la calidad

de la medida no es muy buena (incerteza grande) a decir que es excelente

(incerteza pequeña) pero sin estar seguro de eso. Lo ideal es obtener una medida

con una incerteza pequeña de la cual estés razonablemente seguro/a.


141

Casos posibles:

a. medida directa realizada una sola vez. b. medida directa realizada varias

veces.

c. medida indirecta realizada una sola vez. d. medida indirecta realizada varias

veces.

Actividad

Realiza 4 veces la siguiente medida (caso b)

Con una regla o metro graduado hasta los milímetros mide la longitud de tu

pupitre

a = _____cm, b =____cm, c =_____cm, d =_____cm

promedio = a + b +c +d entre 4 (centímetros)

a) medida directa realizada una sola vez

Cuando realizas una medida directa una sola vez, la incerteza se calcula basándose

en las características de los instrumentos utilizados, consultando el manual del

aparato, ejemplo: los multímetros utilizados por los radiotécnicos en su manual,

generalmente especifican su incerteza, en cualquiera de sus variantes, o al menos,

la información necesaria para calcularla.

Si el instrumento que utilizas para medir no tiene manual o no puedes accederlo,

se toma como incerteza absoluta una fracción “razonable” de la misma escala

que tenga el aparato.

Al medir con una regla graduada en milímetros, la incerteza absoluta es

0.5milímetros; si la menor división es un centímetro, la incerteza puede ser 0.3

cm. de acuerdo a las condiciones en que se realiza la medición.

142

• Módulo 2

Si la escala es muy pequeña se toma la menor división completa.

b) medida directa realizada varias veces

Si es posible realizar varias veces la misma medida puedes utilizar un criterio

más formal para asignar la incerteza, mediante el cálculo del promedio con su

desviación típica.

c) medida indirecta realizada una sola vez

Las medidas originales se trabajan individualmente con los criterios del literal

“a” y luego se aplican las reglas de propagación de incertezas.

d) medida indirecta realizada varias veces

En los casos “c” y “b”, es necesario definir las reglas de propagación de las

incertezas, ya que cuando una magnitud física se obtiene midiendo otras y luego

operándolas matemáticamente, los errores de las cantidades originales deben

reflejarse adecuadamente.

¿Cómo se propagan las incertezas?

Sabes que el error se propaga en los resultados de las operaciones que realizas.

Considera dos medidas tomadas con su incerteza

(X ± X) (Y ± Y)

Reglas para la propagación de incertezas

Suma o resta de dos cantidades

Si Z = X + Y ó Z = X - Y, la incerteza de “Z” se calcula z = x + y.∆ ∆ ∆


143

No importa si las cantidades se suman o se restan, la incerteza del resultado

siempre es la suma de las incertezas de las cantidades originales, además, hay

que tener en cuenta que para sumar o restar dos o más cantidades, éstas deben

tener la misma naturaleza. Esto significa sumar o restar metros con metros,

kilogramos con kilogramos, etc. ¿acaso puedes sumar dólares más quetzales sin

antes hacer una conversión?

Atención: Si estás manejando la propagación de errores

e incertezas, debes convenir en esto:

Sí cometes errores, aprende lo que puedas de ellos; pero

jamás los repitas, mucho menos los propagues en tu

convivencia con los demás.

Continúa, concéntrate en el siguiente ejercicio, si es posible dibuja el puente.

Un puente tiene dos tramos, de diferente longitud: el primero, tiene L1 = 13.6m.

± 0.1m.; y el segundo, una longitud L2 = 20.8m. ± 0.3m. ¿ cuál es la longitud

total del puente.?

tramo A tramo B

L1 = 13.6 ± 0.1m. L2 = 20.8 ± 0.3m.

L1 + L 2 = 13.6 m. + 20.8m. = 34.4 (suma de longitudes)

0.1 + 0.3 = 0.4

o sea (13.6 + 20.8)m ± (0.1 + 0.3)

(34.4 ± 0.4)m. longitud total del puente

144

• Módulo 2

Una medición está correctamente expresada si

además del valor numérico y las unidades

correspondientes, lleva la incerteza absoluta.

En el ejercicio la suma total resultó 34.4m. pero ± 0.4 significa que puede tener

4 decímetros menos ó 4 decímetros más, o sea que el intervalo donde se encuentra

la longitud verdadera del puente es de 34.0m. a 34.8m.

Multiplicación o división de dos cantidades

si Z = X.Y ó Z = X÷Y

Entonces para calcular la incerteza de Z, debe utilizarse la incerteza relativa

(unitaria o porcentual)

∆z = ∆x + ∆y

Z X Y

Ejemplo: se mide un terreno rectangular y se encuentra que su largo es L =

320.5m ± 0.6m y que su ancho es 90.2m. ± 0.3m. ¿cuál es el área del terreno?

área = largo x ancho, debes usar la incerteza porcentual

En los datos tienes incerteza absoluta y debes calcular las relativas, la incerteza

relativa porcentual

El área “A” se calcula A = largo x ancho.


145

Como son porcentajes no es necesario que:

∆l / l x 100 = 0.6m / 320.5m x 100 = 0.187 %

∆a / a x 100 = 0.3 m / 90.2 m x 100 = 0.333 %

El número de decimales coincida con los de las medidas y los de las incertezas

absolutas.

El área es:

A= (320.5 m x 90.2m) ± (0.187 % + 0.333 %)

Es decir:

A= 28909.1m² ± 0.52 %.

Potenciación y radicación

Al elevar una medida a una potencia n, es decir Z = Xn ó sacar la raíz enésima

Z = X , (recordando que los radicales pueden expresarse como exponentes

fraccionarios:

n 1/n

X = X

La incerteza relativa de Z es igual al producto de la incerteza relativa de X

multiplicada por el exponente de X, es decir:

basándose en las reglas anteriores, ¿puede argumentar las razones para este

último caso?

∆Z ∆X

Si Z = Xn entonces = n *

Z X

146

• Módulo 2

n ∆Z 1 ∆X

Si Z = X entonces = *

Z n X

Ejercicios de propagación de incertezas:

Si A = (X ± ∆X) = (20.5 ± 0.2) cm

B = (Y ± ∆Y) = (74.2 ± 0.3) cm

Incertezas relativas: 0.2/20.5 y 0.3/74.2

= 0.0098 y 0.0040

Incerteza porcentual: 0.0098 x 100 y 0.0040 x 100

= 0.98 y 0.40

Suma de incertezas porcentuales: 0.98 + 0.40 = 1.38

Producto de las medidas: 20.5cm x 74.2cm = 1521.1cm²

Expresión correcta del producto: (1521.1 ± 1.38 %) cm²

Encontrar el volumen de un cubo si una de sus aristas es de (2 ± 0.1)cm

Volumen = a³ = l³ (1 arista = 1 lado)

(2 ± 0.1)³

Incerteza relativa unitaria: 0.1/2 = 0.05


147

Entonces: n = 3

0.1

n (2)

= 3 ( 0.05 ) = 0.15

23 = 8 entonces (8 ± 0.15) cm³

Reflexiona:

En la potencia la propagación de incertezas es más

grande que en la suma, la resta, el producto y el cociente.

Actividad ex aula:

construye un cubo de 5 ± 0.1cm. de lado y

encuentra su volumen

148

• Módulo 2

Representación gráfica de las relaciones

entre magnitudes físicas

Objetivo

Comprender las relaciones entre magnitudes físicas por medio de representaciones

gráficas para aplicarlas en problemas afines de todos los ámbitos, y comparar

tus logros y cambios significativos al interpretar la relación directa entre tu esfuerzo

y el éxito.

En las ciencias, la representación gráfica de los resultados de un experimento o

un estudio, es una primera forma de buscar las relaciones entre dos o más

magnitudes físicas, además de una forma de reportar los resultados.

¿Qué forma adquieren las relaciones

entre las magnitudes físicas?

En realidad, la pregunta del título es la pregunta crucial de las ciencias natu-

rales, equivale a preguntar, en muchos casos ¿cuál es la ley que describe un

fenómeno?

Pero antes reflexiona sobre las variables un tanto

subjetivas pero reales y muy significativas para ti:

1. Si te levantas temprano dispones de mayor tiempo para hacer más actividades

productivas.

2. Entre más trabajas o estudias, tendrás más satisfacciones.


149

3. Cuanto más te esfuerces serán más tus posibilidades de éxito.

4. A mayor atención e interés en tus clases y documentos, mayor comprensión y

aprendizaje.

Todas esas reflexiones y muchas más que puedas pensar y escribir, son relaciones

directamente proporcionales. También puedes aplicarles los adverbios menos,

menor y verás que los resultados son negativos; pero siempre son directamente

proporcionales.

Dos variables o magnitudes físicas son directamente

proporcionales, si al aumentar una, aumenta la otra o si

al disminuir una disminuye la otra.

Observa esta gráfica (solo para ilustrar)

Calificaciones

La variable dependiente de

esta gráfica debería ser

“indicadores de logros” en

vez de calificaciones.

Horas de estudio

150

• Módulo 2

Por supuesto que si utilizas tu tiempo con calidad, puede ocurrir que estudiando

sólo 2 horas, tus notas sean excelentes; pero ¿qué pasaría si sólo estudiaras 15

minutos?

La diversidad de formas como se relacionan las magnitudes físicas es muy grande.

Las más comunes y que tienen aplicación práctica en otros ámbitos, son éstas:

Las proporcionalidades directas. Las relaciones lineales en general. n

Las proporcionalidades inversas. Las relaciones de la forma Y = K.X

Para indicar que una cantidad es proporcional a otra, se utiliza el símbolo de

proporcionalidad: α

Al decir que la cantidad “a” es directamente proporcional a la cantidad “F”, escribe

a F.

Proporcionalidades directas

Son el tipo de relación más simple entre dos magnitudes, en este tipo de relación,

cuando cambia la variable independiente, la otra lo hace en la misma proporción,

es decir, si “x” se duplica, el valor de “y” también se duplica, si “x” se reduce a la

décima parte “y” cambia también a su décima parte. Matemáticamente se

representa de la forma y = k.x, donde “k” es una “constante de proporcionalidad”,

la cual depende del fenómeno particular que se estudie.

Ejemplo: La distancia recorrida “x” por una motocicleta que se mueve con rapidez

constante “v”, a medida que el tiempo “t” trascurre.

t = 0 s t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

x = 0 m


x = 3 m

x = 6 m

x = 9 m

151

Así, cuando la rapidez de la motocicleta es 3 m/s tenemos los siguientes:

t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

x = 0 m

x = 3 m

x = 6 m

x = 9 m

Debes notar que al duplicar el tiempo, también se duplica la distancia recorrida,

al triplicar el tiempo, también se triplica la distancia, etc.

Si la motocicleta aumenta la velocidad (acelera), en menor tiempo

puede recorrer la misma distancia. Eso pasa contigo como estudiante

de la modalidad semipresencial, tienes que acelerar tu velocidad de

estudio para alcanzar el mismo nivel de otros sistemas. Tú no eres

diferente, puedes lograrlo.

Las gráficas de este tipo de relaciones, son líneas rectas que pasan por el origen

de coordenadas:

Forma general de la gráfica que representa la distancia recorrida por una

motocicleta con rapidez constante en función del tiempo.

x (m)

t (seg)

El tiempo es la variable independiente;la distancia es la variable dependiente.

152 • Módulo 2

=

La pendiente de esa gráfica es la velocidad

V =

x

t

en

m

s

Las relaciones lineales en general

Este tipo de relación es una generalización del anterior, la diferencia básica es

que en la relaciones lineales, no necesariamente la relación contiene al par

ordenado (0,0), por lo tanto la gráfica no pasa por el origen, sino que intercepta

al eje “y” por el par ordenado (0,b), donde “b” se denomina el “intercepto”, y por

lo tanto la relación toma la forma

y = k.x + b. Su gráfico general es:

y

b

x

Para el ejemplo anterior de la motocicleta que se mueve con rapidez constante,

podríamos tener este tipo de gráfico si en el momento que comenzamos a

=

observarlo (t = 0 s) ya ha recorrido alguna distancia. (en este caso (x = y) y

(t =x).)


153

Las proporcionalidades inversas

Como su nombre lo indica, en este tipo de relación las magnitudes se comportan

de forma inversa entre sí. Así cuando una aumenta, la otra disminuye en la

proporción inversa; es decir si “x” se duplica, “y” se reduce a la mitad; si “x” se

reduce a su décima parte, “y” aumenta por un factor de 10, etc.

La gráfica típica de esta proporcionalidad es:

y

x

x

Un ejemplo lo tenemos cuando un volumen (V) de gas es sometido a una presión

(p). El volumen es inversamente proporcional a la presión bajo ciertas condiciones,

tal como se estudiará más adelante.

Las relaciones de la forma y = k.xn

Esta forma de relación es más general e incluye a las anteriores como casos

particulares, con la excepción de la relación lineal general.

154

• Módulo 2

La mayoría de fenómenos que estudiarás en este curso de ciencia y los próximos

años, adquieren esta forma o se pueden aproximar de manera aceptable a ella.

Las formas de las gráficas son muy diversas, ya que el exponente puede ser

entero o fracción, positivo o negativo. Así tenemos las siguientes posibilidades:

y y y

0

x 0 x 0 t x

y = k.xº y = k.x y = k.x²

y y

0 x 0 x

y = k.√x y = k.x¯¹

Autoevaluación

1. El objeto o concepto que materializa a las unidades se denomina:

a) metro

b) cantidad física

c) patrón

d) magnitud física


155

2. ¿Qué literales sólo contienen magnitudes físicas?

a) belleza, presión, fuerza, área.

b) densidad de masa, velocidad, fuerza, área.

c) temperatura, longitud, color, superficie.

d) volumen, cantidad de movimiento, fuerza, textura.

3. Expresa correctamente las unidades básicas del SI

4. Escribe el nombre de las incertezas estudiadas

5. Cuando decimos que el peso de una caja es 450N, la cantidad física es:

6. La incerteza absoluta de una medida nos indica:

a) el error cometido al realizarla.

b) el porcentaje de error que está equivocada.

c) el rango donde puede encontrarse la verdadera medida.

7. En la expresión (23.4 ± 0.2) la incerteza relativa porcentual es:

a) 0.85

b) 0.0085

c) 0.085

8. El nombre de las dos variables que intervienen al hacer una gráfica son.

a) pendiente, dependiente.

b) incerteza, independiente.

c) dependiente, independiente.

156

• Módulo 2

9. 60 km expresados en millas equivalen a

a) 120 millas

b) 37.5 millas

c) 30.5 millas

10. Al convertir 64oz a libras obtienes

a) 32lbs

b) 16lbs

c) 4lbs


157

Glosario

Cantidad física:

Error:

Incerteza:

Incerteza absoluta:

es el valor particular que toma una magnitud física.

La diferencia entre el valor medido y el verdadero

valor. Nunca puede llegar a conocerse.

es una estimación del error.

es el valor que puede desviarse en uno u otro

sentido, el valor reportado es una medición.

Incerteza relativa unitaria: es la fracción en la cual posiblemente se haya

cometido error, en uno u otro sentido, por cada

unidad medida.

Incerteza relativa porcentual: es el probable porcentaje de error cometido al

obtener una medida.

Magnitudes físicas:

Medición:

Medida directa:

Medida indirecta:

Patrón:

Propiedades físicas:

158

son aquellas propiedades físicas que pueden

medirse.

proceso mediante el cual se asocia un valor

numérico a una magnitud física.

se realiza cuando se compara el patrón o

instrumento de medición con otra magnitud que

se desea medir.

se realiza cuando se miden antes otras magni

tudes y luego se realizan con ellas una o más

operaciones matemáticas.

Es el objeto o concepto que materializa a las

unidades.

cualquier cantidad de los objetos, sistemas o

• Módulo 2

fenómenos que existe relativamente

independiente de nuestra

subjetividad.

Proporcionalidad directa: relación entre dos magnitudes, en la que cuando

cambia la variable independiente, la otra lo hace

en la misma proporción.

Proporcionalidad inversa: relación entre dos variables donde cuando una

aumenta, la otra disminuye en la misma

proporción.

Bibliografía

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ZITZEWITS, P., NEFT, R. & DAVIDS, M. 1995. Física 1. Principios y problemas.

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159

• Módulo 1

cien 10 u2 otros modulos

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