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7/24/2019 Cf Paredes Cb

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UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS

DETERMINACIN DE LA DISTRIBUCIN DE TAMAO DE BURBUJAS VAANLISIS DE IMGENES: ANLISIS Y ALTERNATIVAS

MEMORIA PARA OPTAR AL TTULO DE INGENIERA CIVIL DE MINAS

CONSTANZA IVONNE PAREDES BUJES

PROFESOR GUA:WILLY KRACHT GAJARDO

MIEMBROS DE LA COMISINXAVIER EMERY

JULIN ORTIZ CABRERA

SANTIAGO DE CHILEMARZO 2012


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RESUMEN

La distribucin de tamao de burbujas (DTB), entre otras propiedades de dispersin deaire, es un parmetro clave en el desempeo del proceso de flotacin, por lo que es esencialdisponer de tcnicas confiables para su estimacin.

La tcnica actual de muestreo y anlisis de imgenes para determinar la DTB consiste enmuestrear burbujas desde una celda de flotacin, para fotografiarlas en un visor inclinado a unafrecuencia de 1 imagen/segundo. Las imgenes son procesadas mediante un software quegeneralmente no incluye un algoritmo de procesamiento de clusters (conglomerados deburbujas), de modo que stos no son considerados en el clculo de la DTB.

Este trabajo presenta un estudio de las limitaciones y sesgos de la tcnica de muestreo yanlisis de imgenes utilizada para estimar la DTB en celdas de flotacin y valida una nuevatcnica, llamada modelo booleano, capaz de reducir algunos de los sesgos identificados.

Las principales limitaciones de la tcnica de muestreo y anlisis de imgenes detectadasson:

Segregacin espacial de las burbujas en el visor: la zona central de las imgenes presentauna mayor densidad de burbujas.

Sesgo por muestreo temporal: debido a la diferencia de velocidades entre burbujas dedistinto tamao, las burbujas de mayor tamao son submuestreadas.

Sesgo por eliminacin de clusters (anlisis tradicional): la eliminacin de los clustersgenera una subestimacin del tamao de burbujas. Este efecto depende fuertemente de la

densidad de burbujas en la imagen y de la DTB.

El sesgo por muestreo temporal puede ser reducido si se consigue un perfil homogneo develocidades de burbujas. Para esto, se propone y se prueba satisfactoriamente el uso de un visorvertical donde las burbujas estn confinadas a un espacio horizontal de 3.6 cm. Esta tcnicarequiere el uso de un mtodo de anlisis de imgenes capaz de procesar los clusters pues en estetipo de rgimen su efecto es importante. Para esto se utiliza el modelo booleano, el cual es capazde analizar las burbujas superpuestas. El mtodo permite determinar con precisin el dimetro deSauter, parmetro de dispersin de aire clave para determinar el rea superficial disponible en la

celda de flotacin, esto a pesar de no cumplirse a cabalidad los supuestos sobre los que seconstruye.


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ABSTRACT

The Bubble Size Distribution (BSD), among other gas dispersion properties, is closelyrelated to the flotation performance; therefore, it is important to have reliable techniques formeasuring it.

Currently, the most accepted technique to measure BSD is based on image analysis. Itconsists of a viewing chamber where bubbles sampled from the flotation cell are photographedwith a frequency of 1 frame per second and then processed. Most of the times, the processingsoftware does not account for clusters of bubbles and bubbles truncated by the image borders,which are removed from the BSD estimation.

The main purposes of this work are to achieve a characterization of the limitations andbiases of this sampling imaging image analysis measurement process and to validate a newtechnique which is able to reduce some of the biases: the Boolean model.

Several viewing chambers were developed in order to obtain images and high speedvideos, which were processed by hand in order to acquire a golden standard to evaluate theperformance of the Boolean model and to study the limitations and biases of the currenttechnique.

The main limitations of the current technique found in this work are:

Spatial segregation at the chamber: bubble number density is higher at the center of theimages

Time sampling bias: given the differences in velocities by size, larger bubbles tend to beunder represented in the estimated BSD.

Cluster removal bias: by removing the clusters, the current technique tends tounderestimate the mean bubble size. This bias depends heavily on the number density ofbubbles in the image and on the BSD.

Time sampling bias may be reduced by forcing the bubbles to move at similar speeds. Forthis purpose, a vertical viewer with horizontal movement restriction for bubbles is proposed andsuccessfully tested. The use if this viewer requires an image-analysis technique capable ofprocessing the large number of clusters generated. In order to satisfy those requirements, theBoolean model is proposed and tested. It shows efficient calculations of the Sauter mean diameterof the BSD, a key parameter for the surface area flux in flotation devices.


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AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo fue financiado por la Comisin Nacional de Investigacin Cientfica yTecnolgica (Conicyt) a travs del proyecto basal FB0809, otorgado al Centro Avanzado deTecnologa para la Minera (AMTC) y realizado en el laboratorio avanzado de supercmputo

estadstico (ALGES) de la Universidad de Chile.

Es muy importante para m agradecer a mi profesor gua, Sr. Willy Kracht, no slo por sugran paciencia y dedicacin en lo acadmico, sino tambin por su calidad humana, comprensiny especialmente por su buen humor. Tambin a mi profesor co-gua, Sr. Xavier Emery, quienrealiz grandes aportes intelectuales a mi memoria y siempre estuvo disponible para colaborar eneste trabajo.

Mis agradecimientos al profesor Claudio Acua, de la Universidad Catlica del Norte, porsu colaboracin con los videos de alta velocidad.

A Paula Cabrera, de la Unidad de Calidad de Vida, quien me ayud a encontrar nuevasperspectivas en momentos difciles, quiero agradecerle por su apoyo y su cario, porque es unaexcelente profesional y porque sinceramente creo que su trabajo es esencial para las carreras demuchos estudiantes: espero que su trabajo en esta facultad perdure y que siga ayudando a muchosms estudiantes atribulados.

Quiero agradecer a algunos de los compaeros que de una u otra forma me ayudarondurante la carrera: a Agustn Panes por su amistad, a Cristin Prez por su paciencia, a Ignacio

Glvez por su afabilidad y sus apuntes maravillosos y salvadores y a Montserrat Pineda, Miguelngel Fuenzalida y Luis Felipe Orellana por siempre tener un espacio para compartir y rer.

No puedo dejar de mencionar a mi padre, Fernando, gracias por tu cario y apoyoincondicional, por siempre tener un abrazo clido y un consejo sabio cuando los necesit. Creoque todos estos aos de ser amigos me han hecho ser una mujer independiente y feliz. Tambin ami hermano, Gabriel, porque todo el afecto que me entrega, porque siempre ha confiado en m yme ha hecho sentir capaz de lograr mis metas. Me alegra mucho que ambos puedanacompaarme en el momento de cerrar este ciclo.


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NDICE DE CONTENIDOS

RESUMENABSTRACTAGRADECIMIENTOS

NDICE DE CONTENIDOS ......................................................................................................... i

NDICE DE FIGURAS ............................................................................................................... iiiNDICE DE TABLAS .................................................................................................................. v1.

INTRODUCCIN ................................................................................................................. 1

1.1. Motivacin del trabajo ................................................................................................... 11.2. Objetivos ........................................................................................................................ 4

1.2.1.

Objetivo General..................................................................................................... 4

1.2.2.

Objetivos Especficos ............................................................................................. 4

1.3. Alcances ......................................................................................................................... 52. ANTECEDENTES ................................................................................................................ 6

2.1.

Parmetros de dispersin de aire en Flotacin ............................................................... 6

2.1.1.

Velocidad superficial de gas ................................................................................... 6

2.1.2. Hold-up de gas ........................................................................................................ 62.1.3.

Distribucin de tamao de burbujas ....................................................................... 7

2.1.4. Flujo de rea superficial de burbujas ...................................................................... 82.2. Velocidad de burbujas en medio acuoso ........................................................................ 92.3.

Muestreo y Anlisis de Imgenes Tradicional ............................................................... 9

2.4. Modelo Booleano ......................................................................................................... 153. METODOLOGA ............................................................................................................... 20

3.1.

Diseo Experimental .................................................................................................... 20

3.2.

Captura de imgenes .................................................................................................... 23

3.3. Tcnica de Anlisis de Imgenes Manual .................................................................... 24

3.4.

Anlisis de Imgenes Modelo Booleano...................................................................... 25

4.

LIMITACIONES DE LA TCNICA DE MUESTREO Y ANLISIS DE IMGENESPARA DETERMINAR DTB .............................................................................................. 26

4.1. Datos ............................................................................................................................ 264.1.1.

Imgenes anlisis preliminar ............................................................................... 26

4.1.2. Imgenes McGill Bubble Size Analyser .............................................................. 284.1.3. Videos e imgenes asociadas ................................................................................ 29

4.2.

Muestreo espacial ........................................................................................................ 33

4.3.

Muestreo temporal ....................................................................................................... 35

4.3.1. Sesgo por muestreo temporal ............................................................................... 354.3.2. Sesgo terico para dos regmenes de movimiento................................................ 36

4.3.3.

Variabilidad temporal de la DTB y sesgo de muestreo temporal para distintosvisores.. ........................................................................................................................... 38

4.4. Anlisis de imgenes ................................................................................................... 404.4.1.

Sesgos en etapa de binarizacin ........................................................................... 40

4.4.2. Sesgos por burbujas en clusters y burbujas en bordes .......................................... 414.4.3. Relacin clusters y sesgo ...................................................................................... 45

4.5.

Sesgo global ................................................................................................................. 48

5.

MODELO BOOLEANO ..................................................................................................... 50


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5.1. Datos ............................................................................................................................ 505.2.

Pruebas de aleatoriedad ............................................................................................... 50

5.2.1.

Distribucin espacial de burbujas ......................................................................... 51

5.2.2. Probabilidad de observar burbujas aisladas .......................................................... 535.3. Estudio del sesgo de anlisis tradicional ...................................................................... 575.4.

Resultados modelo booleano ....................................................................................... 61

6. DISCUSIN ........................................................................................................................ 627. CONCLUSIONES ............................................................................................................... 668.

REFERENCIAS .................................................................................................................. 68

ANEXO A: CALIBRACIN ..................................................................................................... 70ANEXO B: DISTRIBUCIN GAMMA ................................................................................... 71


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NDICE DE FIGURAS

Figura 1-1: Desempeo del anlisis tradicional con watershed. ................................................. 3Figura 2-1: Ejemplo de DTB y correspondiente funcin de distribucin acumulada .................. 7

Figura 2-2: Velocidad de burbujas segn rgimen ....................................................................... 9

Figura 2-3: Fotografa de burbujas de aire en medio acuoso ..................................................... 10

Figura 2-4: Esquema de funcionamiento del MBSA.................................................................. 11

Figura 2-5: Esquema del algoritmo de watershed para separacin de burbujas vecinas yburbujas en contacto ................................................................................................................... 13Figura 2-6: Ejemplo de watershedaplicado a una imagen real de burbujas .............................. 14Figura 2-7: Esquema de covariograma geomtrico para un disco.............................................. 16Figura 2-8: Covariograma geomtrico para un crculo de dimetro unitario ............................. 16Figura 2-9: Covariograma geomtrico para dos poblaciones de crculo .................................... 17Figura 2-10: Ejemplo de DTB para imgenes obtenidas computacionalmente y analizadas conel modelo booleano y con el anlisis tradicional. ....................................................................... 19Figura 3-1: Visor vertical 1 para imgenes de burbujas.. ........................................................... 20Figura 3-2: Visor 1. Fotografa frontal del visor con el separador incluido y Vista lateral ....... 21

Figura 3-3: Visor vertical de burbujas en mquina de flotacin Labtech-ESSA ....................... 22

Figura 3-4: Calibracin flujo de aire celda neumtica ............................................................... 23Figura 3-5: Montaje de elementos para fotografa ..................................................................... 23Figura 3-6: Montaje de elementos para videos de alta velocidad............................................... 24

Figura 3-7: Procesamiento manual de imgenes ........................................................................ 25Figura 4-1: Esquema del proceso para estimar la DTB .............................................................. 26Figura 4-2: Ejemplos de imgenes del set I y set II.................................................................... 27Figura 4-3: Imagen en visor vertical sobre celda mecnica. Set III y set IV.............................. 28 Figura 4-4: Imgenes MBSA ...................................................................................................... 29Figura 4-5: Sub-imagen MBSA .................................................................................................. 29

Figura 4-6: Imagen de burbujas en visor vertical 1 .................................................................... 33

Figura 4-7: Trayectoria de burbujas en visor 1........................................................................... 34

Figura 4-8: Relacin entre la posicin horizontal y el tamao de burbujas para muestreos devideo. .......................................................................................................................................... 35

Figura 4-9: Comparacin DTB video y muestreos ..................................................................... 36Figura 4-10: Comparacin muestreo real y simulacin para rgimen de swarm y burbujasaisladas ....................................................................................................................................... 37

Figura 4-11: Evolucin del dimetro medio de la DTB para visor vertical y DTB final ........... 39Figura 4-12: Evolucin del dimetro medio de la DTB para visor vertical con restriccin yDTB final .................................................................................................................................... 39

Figura 4-13: Evolucin del dimetro medio de la DTB para visor inclinado y DTB final ........ 40Figura 4-14: Anlisis de imgenes y thresholding ..................................................................... 41

Figura 4-15: Distribucin de tamaos set I ................................................................................ 42

Figura 4-16: Distribucin de tamaos set II ............................................................................... 42

Figura 4-17: Distribucin de tamaos imagen MBSA I ............................................................. 43Figura 4-18: Distribucin de tamaos imagen MBSA II ........................................................... 43Figura 4-19: Distribucin de tamaos imagen set III ................................................................. 44

Figura 4-20: Distribucin de tamaos imagen set IV ................................................................. 44Figura 4-21: Esquema de muestreo temporal para video I ......................................................... 46Figura 4-22: Esquema de superposicin de imgenes. ............................................................... 46


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iv

Figura 4-23: Sesgo versus % de burbujas en clusterspara la DTB de muestreos video I ......... 47Figura 4-24: Desviaciones respecto de la DTB real segn muestreo temporal y anlisis .......... 48

Figura 5-1: Esquema de tests de aleatoriedad en tres configuraciones distintas ........................ 51

Figura 5-2: Distribucin espacial de burbujas imgenes set III ................................................. 52Figura 5-3: Probabilidad de burbujas aisladas y sin contacto con el borde de la imagen para elset III ........................................................................................................................................... 56

Figura 5-4: Error de anlisis para D10 y D32 en funcin de la desviacin estndar para distintosvalores de ................................................................................................................................ 59Figura 5-5: Error de anlisis para D10 y D32 en funcin de del dimetro medio para distintosvalores de ................................................................................................................................ 60

Figura 5-6: Resultados modelo booleano para dimetro de Sauter set III.................................. 61 Figura 6-1: Ejemplo de sesgo terico por muestreo temporal, imgenes MBSA ...................... 64Figura 6-2: Densidad relativa de burbujas para muestreos de video V ...................................... 65Figura B-1: DTB simuladas para dimetro medio 1.0 mm y desviacin estndar variable.....72

Figura B-2: DTB simuladas para desviacin estndar 0.5 y dimetro medio variable ........... 72


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NDICE DE TABLAS

Tabla 4-1: Condiciones de flotacin imgenes visor vertical..................................................... 26 Tabla 4-2: Estadsticas bsicas imgenes visor vertical ............................................................. 27

Tabla 4-3: Condiciones de flotacin sets III y IV ...................................................................... 28

Tabla 4-4: Estadsticas bsicas sets III y IV ............................................................................... 28Tabla 4-5: Estadsticas bsicas imgenes MBSA ....................................................................... 29

Tabla 4-6: Estadsticas bsicas videos alta velocidad ................................................................ 30

Tabla 4-7: Estadsticas bsicas muestreos temporales. .............................................................. 31 Tabla 4-8: Estadsticas bsicas videos alta velocidad ................................................................ 31Tabla 4-9 Estadsticas bsicas muestreos temporales................................................................. 32

Tabla 4-10: Resumen sets de imgenes y videos de alta velocidad ........................................... 32Tabla 4-11: Comparacin muestreos simulados y real ............................................................... 38Tabla 4-12: Sesgo de muestreo temporal para distintos visores ................................................. 40

Tabla 4-13: Resumen sesgo de anlisis para distintos sets de imgenes .................................... 45Tabla 4-14: Muestreos video I y combinaciones. ....................................................................... 47

Tabla 4-15: Error global en clculo del dimetro medio para video de alta velocidad. ............. 49Tabla 5-1: Probabilidad de burbujas aisladas imgenes visor vertical ....................................... 55

Tabla 5-2: Probabilidad de burbujas aisladas imgenes MBSA................................................. 55Tabla A-1: Calibracin flujo de aire celda Labtech-Essa ........................................................... 70


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1.INTRODUCCIN

1.1. Motivacin del trabajo

El proceso de produccin de cobre consta de un gran nmero de etapas que permitenobtener ctodos desde un yacimiento mineral. Luego de ser extrado desde una mina, el mineralpasa por etapas sucesivas de conminucin. En el caso de minerales oxidados de cobre, lassiguientes etapas de procesamiento corresponden a hidrometalurgia y electrometalurgia. Paraminerales sulfurados, luego de la conminucin el procesamiento requiere etapas de concentracinpor flotacin y pirometalurgia. Los minerales sulfurados de cobre representan la gran mayora delos minerales que actualmente se procesan en nuestro pas y constituyen la mayor parte de lasreservas mineras en Chile [1].

El proceso de flotacin, como parte de la cadena productiva de minerales sulfurados decobre, permite separar selectivamente partculas de mineral de inters y partculas de ganga nometlica. Esto se logra aprovechando las diferencias de hidrofobicidad de ambas especies: sedeposita el material conminuido en reactores (celdas de flotacin) formando una pulpa con aguay reactivos. Mediante la inyeccin de burbujas de aire, se logra recuperar las partculas demineral que se adhieren a las burbujas de aire y flotan hacia una fase espuma que se genera en laparte superior de la celda. A diferencia de los minerales sulfurados, las partculas de ganga nometlica no son hidrofbicas por lo que no son colectadas por las burbujas de aire. Se debe notarque de todas formas la flotacin recupera mineral de ganga que se encuentra en partculas mixtas,es decir, partculas en las que hay mineral y ganga. Desde la fase de espuma las partculas ricasen sulfuros son separadas de la ganga no metlica, la cual es retirada como parte de la pulpa en laparte inferior de las celdas. El proceso se regula mediante el uso de reactivos: cal para regular elpH de la operacin, colectores que favorecen la estabilidad de la unin burbuja-partcula yespumantes que favorecen la formacin de burbujas de aire ms pequeas y eficientes en lacoleccin de partculas de mineral.

Existen dos tipos principales de celdas de flotacin en la industria: las de agitacinmecnica y las columnares. Las primeras son destinadas a flotacin primaria y de barrido, debidoa su alta recuperacin, en tanto que las celdas columnares son usadas como celdas de limpieza del

concentrado de las otras etapas, ya que permiten obtener una alta ley en el concentrado final.Entre las celdas mecnicas, existen celdas autoaspiradas, en las cuales el aire ingresa debido a lasuccin que el impeler ejerce al agitar la pulpa, y las celdas con inyeccin de aire. En lasprimeras el aire es una variable no controlada, sin embargo en las segundas el flujo de aire puedeser controlado mediante la presin en el sistema de aire comprimido que alimenta las celdas [2].


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Los parmetros de dispersin de aire en las celdas de flotacin permiten evaluar la formaen que el flujo de aire se dispersa en el volumen de la celda. Entre estos parmetros de dispersinde aire, se encuentra la Distribucin de Tamao de Burbujas (DTB), que caracteriza el tamao delas burbujas presentes en una celda de flotacin. Este parmetro se utiliza para evaluar cuneficientemente opera la flotacin, pues la coleccin de partculas hidrofbicas dependeespecficamente del rea superficial de aire disponible en la celda. Para un mismo flujovolumtrico de aire, una DTB con burbujas muy pequeas presentar un rea superficial mayorque la de una DTB con burbujas ms grandes, por tanto para burbujas ms pequeas el procesode flotacin es ms eficiente. Por supuesto, existe un lmite inferior para el tamao de burbujas yaque es necesario que el empuje sobre las burbujas de aire sea capaz de hacer flotar partculas demineral de un cierto tamao.

Con el objetivo de medir la distribucin de tamao de burbujas in situen las plantas deflotacin se han desarrollado equipos que estiman la DTB con el siguiente procedimiento:muestreo de burbujas desde la celda de flotacin, fotografa de las burbujas con iluminacin

desde atrs y anlisis de imgenes de las burbujas muestreadas [3][4].

El muestreo de las burbujas en la celda de flotacin se realiza usualmente mediante untubo de media pulgada de dimetro, inmerso en la pulpa. Las burbujas muestreadas con el tuboviajan por ste hasta un visor en el cual las burbujas son fotografiadas. Se supone,tradicionalmente, que la DTB que ingresa al visor es equivalente a la DTB real en la celda deflotacin y no se conoce con certeza la efectividad de este mtodo de muestreo pues no existe unestndar con el cual comparar la DTB que ingresa al visor [3].

La toma de imgenes se debe realizar con un intervalo que evite el remuestreo, es decir,

que evite que algunas burbujas aparezcan en ms de una imagen. Tpicamente se toman imgenescada un segundo. Se desconoce si este muestreo temporal de burbujas induce algn sesgo en elclculo final de la DTB.

La resolucin de las imgenes usualmente es del orden de 45-60 pixeles/mm, lo que selogra con fotografas de un ancho tpico de unos 4-5 cm. Por tanto, la imagen es tomada en unapequea porcin del rea del visor. No existe certeza de que la distribucin espacial de lasburbujas sea homognea, de modo que tampoco se conoce el efecto que el muestreo espacialpueda tener en el clculo final de la DTB.

El anlisis de imgenes actualmente se realiza mediante un programa que binariza lasimgenes tomadas, filtra el ruido de la imagen (puntos o manchas pequeas), identifica objetosindividuales y los caracteriza. El problema con este procedimiento es que el anlisis eliminaburbujas que sean poco esfricas, burbujas que queden cortadas por el borde de la fotografa,burbujas que queden detrs de otras burbujas en la imagen, o burbujas que queden agrupadas enconglomerados.


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Una de las hiptesis

tienen mayor probabilidad degenerara un sesgo contra lasfecha que muestren este hipot

Existe un algoritmoalgoritmo de watershed [5], elnea de separacin de aguproporcional a su radio. En ltocan, pero no es capaz de proparte de los conglomerados,tiempo y en la prctica no se

Un ejemplo de las lim

cual se muestran burbujas elique no son posibles de analiz

Figura 1-1: Desempeo del anliDerecha: el mejor anlisis disponide conglomerados de burbujas usdel rea de burbujas, Se destaca

Considerando las limitdeterminar la DTB, los acadde Minas de la Universidadanalizar las imgenes utilizaposiciones de las burbujas eobtiene un modelo booleanosupone que las burbujas ocurPoisson cuya tasa es la frec

3

entrales de este trabajo es que las burbujasser eliminadas del anlisis por las razones yaburbujas de mayor tamao, sin embargo notico sesgo.

dicional que se puede incluir en el anlisisl cual es capaz de separar conglomerados de bu

as, representando las burbujas como cuenca prctica, este algoritmo es til para separarcesar objetos superpuestos. Utilizando watersh

sin embargo este algoritmo es computacionaltiliza.

itaciones del anlisis tradicional se presenta en

inadas por estar cortadas por el borde, por estr mediante watershedo por no ser suficienteme

is tradicional con watershed. Izquierda:Imagen realble usando combinacin de algoritmo de burbujas inando watershed, presentando slo las burbujas medid

burbujas de gran tamao eliminadas del anlisis. Fu

aciones de la actual tcnica de muestreo y anliicos Xavier Emery y Willy Kracht del Departde Chile han propuesto un nuevo enfoque

ndo herramientas estadsticas, en particular,n cada foto se pueden modelar como un prode generacin de burbujas en la imagen [6].en en la fotografa en una ubicacin aleatoria,encia de burbujas por unidad de rea en la f

grandes y medianasmencionadas, y estoxisten estudios a la

radicional, llamadorbujas mediante unas con profundidadobjetos que slo sed, se pueden incluir

mente muy caro en

la Figura 1-1, en la

r en conglomeradosnte esfricas.

e medicin en planta.ividuales y separacins. Se recupera el 72%nte: Acua (2007) [5]

is de imgenes paramento de Ingenieraara este problema:

suponiendo que laseso de Poisson, sel modelo booleanoegn un proceso detografa. Bajo esos


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supuestos, aplicando anlisis variogrfico a la imagen, se puede determinar la distribucin detamao de las burbujas. Parte de este trabajo consiste en construir una base de datos de imgenesreales para validar este modelo.

El anlisis estadstico presenta, en teora, ventajas sobre el anlisis tradicional: es capaz derepresentar burbujas superpuestas (en conglomerados o burbujas escondidas por otras) y norequiere eliminar todas las burbujas cortadas por el borde de la fotografa, por tanto se presumeque elimina parte del sesgo que el anlisis tradicional presenta contra burbujas que cumplen esascondiciones. El mtodo booleano es capaz de capturar burbujas que cortan el borde de lafotografa en tanto el centro de la burbuja se encuentre dentro de la imagen. Burbujas con centrofuera de la imagen no son contempladas.

Para poder aplicar el modelo booleano, se requiere una validacin experimental quecorrobore los supuestos realizados, es decir, que determine cuan preciso es el mtodo y quecuantifique su desempeo en comparacin con el anlisis tradicional de imgenes, adems de

verificar la sensibilidad de los resultados frente a variaciones en los parmetros experimentales demedicin tales como flujo de aire, resolucin de la imagen, etc.

Los temas centrales del trabajo de ttulo presentado en este informe son el estudio de laslimitaciones y sesgos del muestreo y anlisis de imgenes utilizado actualmente para determinarla DTB, y la validacin del modelo booleano como tcnica en la determinacin de la DTB.

1.2.

Objetivos

1.2.1.

Objetivo General

Estudiar las limitaciones del anlisis de imgenes en la determinacin de la distribucinde tamao de burbuja en celdas de flotacin.

1.2.2.

Objetivos Especficos

Estudiar las fuentes de error asociadas al anlisis de imgenes para determinar DTB.

Validar el modelo booleanoaplicado al anlisis de imgenes para determinar la DTB.

Determinar condiciones de muestreo para aplicar el modelo booleano Determinar la exactitud del modelo comparando los resultados de ste contra resultados

obtenidos al procesar las imgenes manualmente.


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1.3. Alcances

Este trabajo da cuenta de los sesgos de la tcnica de determinacin de DTB medianteanlisis de imgenes y los sesgos de muestreo de imgenes, para todo el proceso que ocurre desdeque el aire ingresa al visor hasta que se determina la DTB computacionalmente. Se toma comoreferencia la DTB que ingresa al visor y se analizan sesgos espaciales y temporales del muestreo(toma de fotografas) y sesgos en el anlisis computacional. Se entiende que la medicin enplanta tiene asociados errores de muestreo de burbujas mediante tubo en la celda, ya sea poralgn tipo de segregacin o por cambio en las condiciones termodinmicas y qumicas entre lacelda de flotacin y el visor. Es posible que la geometra del mismo equipo de muestreo puedaalterar la distribucin de tamao de burbujas real [7][8]. El estudio de ese tipo de errores quedafuera del alcance de este trabajo.

Se pretende validar el modelo booleano para analizar imgenes de burbujas en medioacuoso, para reducir el error asociado al procesamiento de las imgenes y al muestreo temporal y

espacial de burbujas dentro del visor, es decir, la forma y tiempo en que se toman las fotografas.

La validacin del modelo booleano se realizar especficamente para burbujas en medioacuoso, dentro del rgimen de movimiento de burbujas utilizado en flotacin de mineralessulfurados. No se pretende validar el modelo booleano para otro rgimen de movimiento u otromedio.


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2.ANTECEDENTES

2.1. Parmetros de dispersin de aire en Flotacin

Con el objeto de evaluar el funcionamiento de la flotacin en plantas concentradoras deminerales sulfurados de cobre, se establecen parmetros que caracterizan la dispersin del airedentro de una celda. Los parmetros tradicionales que se utilizan tanto en evaluacin decondiciones operacionales como en modelacin son [3]: velocidad superficial de gas (Jg),contenido (hold-up) de gas (g), distribucin de tamao de burbujas (DTB) y flujo de reasuperficial Sb. Estos parmetros, adems de su importancia en el desempeo de las celdas enoperacin, han sido relevantes para comprender y modelar el proceso de flotacin [4].

2.1.1.

Velocidad superficial de gas

La velocidad superficial de gas Jgcorresponde al flujo volumtrico de gas normalizadopor rea transversal en la celda de flotacin, que se expresa segn la siguiente ecuacin [2]:

= (1)En donde:

= velocidad superficial de gas [cm/s]

= flujo de gas de alimentacin a la celda [cm3/s]= rea de la seccin transversal efectiva de la celda [cm2]

2.1.2.

Hold-up de gas

La pulpa dentro de una celda de flotacin se conforma de tres fases: la fase lquidacompuesta de agua con reactivos, la fase slida que es el mineral y la fase gaseosa conformadapor las burbujas de aire en el interior de la celda. El hold-upde gas gcorresponde a la proporcinvolumtrica del gas en la pulpa [4], es decir, el volumen de aire sobre el volumen total de pulpaaireada en la celda:

%= (2)


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En (2) , y corresponden a los volmenes de gas, lquido y slido dentro de lacelda respectivamente. El hold-upde pulpa o proporcin volumtrica de las fases lquida y slidaen conjunto puede escribirse como (1- g) [2]

2.1.3.

Distribucin de tamao de burbujas

La distribucin de tamao de burbujas es una funcin de distribucin () que a cadadimetro le asigna una densidad de probabilidad. En la prctica, la DTB es un conjunto devalores discretos que representa el porcentaje del total de burbujas que se encuentra entre losdimetro y . Se define tambin la funcin de distribucin acumulada () como laproporcin de burbujas que tiene un dimetro menor o igual a . La relacin entre ()y ()para el caso continuo y para el caso discreto es:

()= ()

(3)

= (4)

La DTB se puede representar por dos tamaos caractersticos [10], d1,0y d3,2, conocidoscomo el dimetro medio en nmero y el dimetro de Sauter, definidos de la siguiente manera:

, = (5), = (6)

Figura 2-1: Ejemplo de DTB (izquierda) y correspondiente funcin de distribucin acumulada (derecha)


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8

En donde: = nmero de burbujas = dimetro de la burbuja i-simaEl dimetro de Sauter es de especial importancia ya que presenta la misma razn volumen

versus rea que la poblacin completa de burbujas, por lo que puede usarse para describir el flujode rea de burbujas. Para distribuciones de tamao estrechas (con poca varianza) el dimetro deSauter es similar al dimetro medio, por el contrario si la distribucin tiene mucha varianza ogran asimetra, el dimetro de Sauter es muy distinto al dimetro medio.

Una medida utilizada comnmente en estadstica para caracterizar poblaciones son los

momentos de una distribucin. Se define el momento de orden k (k) de una distribucin detamao de burbujas como el valor esperado de la potencia ensima del dimetro de burbujas,tanto para el caso continuo como para el caso discreto:

= () (7) = (8)

Se utilizarn en este documento esencialmente los momentos de orden 1 y 2 de la DTB. Elmomento de orden 1 corresponde a la media de la distribucin, en tanto que el momento de orden2 corresponde a la suma de la varianza y el cuadrado del promedio de la DTB.

2.1.4.

Flujo de rea superficial de burbujas

La eficiencia en el proceso de flotacin depende fuertemente del rea superficial deburbujas disponible en la celda [9][10], por lo que se define una nueva variable que correspondeal flujo de rea superficial Sb, definido como el rea de burbujas por rea de seccin transversalpor unidad de tiempo [10]. Si se suponen burbujas esfricas, se puede deducir que la expresinpara Sbest dada por (9) [2]

= , (9)

En donde: = flujo de rea superficial [cm2de burbujas/s]/[ cm2celda]


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9

2.2. Velocidad de burbujas en medio acuoso

La velocidad de ascenso de burbujas en medio acuoso est determinada por las fuerzasque actan sobre las burbujas, las dos ms importantes son el empuje del lquido y el roce. Elbalance entre estas dos fuerzas indica que, en general, las burbujas ms grandes se mueven conmayor rapidez que las ms pequeas [11]. En este trabajo se consideran dos regmenes de

movimiento de burbujas en medio acuoso: burbujas aisladas sin interaccin entre ellas, y rgimende enjambre o swarm, en que las burbujas no se mueven con velocidad independiente pues lasms pequeas se ven afectadas por efecto de la estela de las burbujas ms grandes, de modo quelas velocidades son ms homogneas que en el caso en que las burbujas se muevenindependientemente.

Figura 2-2: Velocidad de burbujas segn rgimen

La Figura 2-2 muestra las velocidades segn tamao de burbuja para un enjambre encondiciones similares a las utilizadas en este trabajo, calculadas por Acua & Finch, 2010 [12].Se presenta tambin el perfil de velocidades por tamao que tendran las burbujas si seencontraran aisladas [11].

2.3. Muestreo y Anlisis de Imgenes Tradicional

El anlisis de imgenes se aplica en el proceso de flotacin para determinar la distribucinde tamao de burbujas en las celdas de flotacin. El proceso se inicia con la toma de fotografasde alta resolucin (usualmente del orden de 50 pixeles/mm). Desde la celda de flotacin existe unmuestreo mediante un tubo vertical de de dimetro que conduce el agua con burbujas hacia

0

10

1

20

2

30

0 1 2 3 4

( & , 2010) ()


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10

un visor, el cual se ilumina desde atrs de modo que la luz atraviesa el visor (y las burbujas) antesde llegar a la cmara. La imagen capturada se toma en escala de grises que va desde 0(correspondiente al color negro) a 255 (correspondiente al color blanco), los colores desde 1 a254 representan distintos tonos de grises desde el ms oscuro al ms claro. Las burbujas aparecenen la fotografa asociadas a colores ms oscuros, como se ve en la Figura 2-3, ya que evitan elpaso de una porcin de la luz emitida por la iluminacin llegue al lente de la cmara.

Figura 2-3: Fotografa de burbujas de aire en medio acuoso

Las burbujas en la imagen pueden aparecer como objetos circulares, elpticos o de formaoblonga cuando se encuentran como objetos individuales, sin embargo en la imagen pueden

aparecer burbujas superpuestas entre s o en contacto. Se define un cluster o conglomerado deburbujas como un conjunto de dos o ms burbujas cuyas imgenes en la fotografa se intersectan.Un conglomerado puede consistir en burbujas que se superponen en la fotografa pero que enrealidad estn en distintos planos y no se encuentran en contacto, o puede consistir en burbujas enel mismo plano que estn en contacto. Un caso particular de conglomerado que no puede serdetectado por el anlisis es la existencia de burbujas superpuestas ocultas detrs de burbujas msgrandes. Este tipo de superposicin s podra ser estimada por el modelo booleano.

El procesamiento clsico de las imgenes sigue una secuencia de pasos que, entre otraslimitaciones, eliminan total o parcialmente los clusters de burbujas (dependiendo si se

implementa o no el algoritmo de watershed), los objetos con poca esfericidad (por ejemplo,burbujas cortadas por el borde de la fotografa) y no cuantifican el efecto de burbujas que quedandetrs de otras (superposicin) al momento de tomar la fotografa. Este tipo de anlisis deimgenes se denomina Anlisis de Imgenes Tradicional, en contraposicin al AnlisisEstocstico de Imgenes [6], el cual es un mtodo nuevo que procesa las imgenes binariasutilizando un modelo booleano y permite, en teora, eliminar varios de los errores o sesgosasociados al mtodo tradicional.


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11

El instrumento o visor utilizado para el anlisis de imgenes tradicional, desarrollado porla Universidad de McGill (denominado Bubble Viewer) consiste en un visor inclinado en 15iluminado desde atrs (Figura 2-4). La inclinacin del visor tiene por objetivo obtener una capanica de burbujas, es decir, la inclinacin del vidrio del visor evita la superposicin de burbujas.Es importante comprender que la inclinacin del visor fue introducida en respuesta a unalimitacin de la tcnica de anlisis de las imgenes, ya que el algoritmo convencional no es capazde procesar burbujas en clusters, pues la implementacin del algoritmo tradicional en la prcticano incluye watershed debido a su alto costo en tiempo computacional. Los visores verticalesgeneran imgenes con burbujas en conglomerados naturalmente, sin embargo el Bubble Viewerest diseado para minimizar el nmero de burbujas que se intersectan entre s. El sistemacompleto de visor y la tcnica de anlisis que se describir a continuacin es conocido comoMcGill Bubble Size Analyser o MBSA.

Figura 2-4: Esquema de funcionamiento del MBSA, adaptado de Gomez & Finch. (2007) [3]

La cmara fotografa el flujo de burbujas a una tasa de 1 imagen por segundo. Con estatasa de imgenes/segundo se evita remuestreo pues la velocidad de las burbujas permite que enun segundo una burbuja salga del campo de la fotografa. El tiempo de exposicin es de 0.5 o 1milisegundo, dependiendo de la iluminacin [13]. Una vez tomada la fotografa se procede alprocesamiento, que se divide en las siguientes etapas:

Conversin de la imagen a escala de grises (en caso de que la imagen original sea encolores).

Thresholding o Definicin de umbral: Para poder determinar qu objetos son burbujas, elprimer paso es binarizar la imagen, es decir, transformar cada pixel en blanco o negro. Paraesto, ya que la imagen est en escala de grises, se debe definir un umbral de separacin que


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12

depende de la iluminacin basal. El software de la universidad de McGill contempla unalgoritmo para definir el umbral automticamente en funcin del histograma de intensidad deluz de cada fotografa. Un tratamiento ms sofisticado del proceso de Thresholding puederealizarse definiendo umbrales locales. Tambin se puede evitar errores asociados a unailuminacin dispareja (por ejemplo, una ampolleta corriente emite luz circular, dejando porlo tanto los bordes de la fotografa con menor intensidad) realizando una correccin por esteefecto basada en una fotografa inicial sin burbujas. El algoritmo de Calzado-Acua [5], porejemplo, utiliza la intensidad media de la luz en una fotografa ms una funcin de error eitera para conseguir un ptimo en el nmero de burbujas detectadas segn el umbral. Unavez escogido el umbral, se binariza la imagen, la cual puede ser convertida en una matriz devalores 0 y 1. Este proceso permite, adems, disminuir el espacio en disco que ocupan lasimgenes.

Segmentacin: Se define un objeto como un conjunto de pixeles negros contiguos. Laimagen binaria contiene, entre otros, objetos denominados blobs por sus siglas en ingls:

Binary Large OBjectS. En primera instancia se eliminan objetos muy pequeos quecorresponden a ruido de la imagen, luego se seleccionan secciones negras de la imagenbinaria que estn conectadas en alguna de 8 direcciones seleccionadas (Norte, Sur, Este,Oeste, Noreste, Noroeste, Sureste, Suroeste). Estas secciones se denominan blobs. Los blobspueden presentar agujeros o zonas ms claras en su interior, los cuales son rellenados por elsoftware y se puede proceder a medir sus caractersticas [5][8].

Medicin de propiedades de objetos binarios o blobs: Para determinar cules de los objetosen la matriz de la fotografa binarizada corresponden a burbujas, se realizan mediciones delas caractersticas geomtricas de los blobs, tales como: rea total, eje mayor, eje menor,

factor de forma, permetro, nmero de agujeros internos, dimensiones de un rectngulocircunscrito, etc. Cabe destacar que estas propiedades dependen fuertemente de la relacinentre la resolucin y el tamao de los objetos medidos, sern muy imprecisas si la resolucin(pixeles/mm) es baja, por ejemplo si se tienen 2 pixeles por mm y se desea medir un objetode 2 milmetros de dimetro, el objeto quedar representado por 8 pixeles, y su esfericidadcalculada ser menor que si se tiene una resolucin mayor en la fotografa.

Clasificacin de blobs: Los objetos medidos deben ser clasificados para realizar un filtro queelimine aquellos objetos que no son burbujas. La primera clasificacin que se realizaselecciona aquellas burbujas individuales. Esto se puede realizar con distintos algoritmos, elms tradicional es el que las clasifica segn el factor de forma. Esta tcnica analiza la raznentre el factor de forma del objeto y el factor de forma de una esfera perfecta. Si esta raznest sobre 0.9, el objeto corresponde a una burbuja individual. La desventaja es que estemtodo puede incluir conglomerados de varias burbujas o rechazar burbujas individuales encasos particulares. Otros mtodos de filtrado de burbujas individuales se han propuesto, porejemplo, contar el nmero de agujeros dentro de un objeto (slo para fluidos con dos fases,


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13

es decir, burbujas y agua, no acepta partculas slidas en el visor), o utilizar un factor deforma corregido para objetos elipsoidales. Despus de este proceso se tiene una poblacin deburbujas individuales y una poblacin de burbujas en aglomerados o clusters.[5]

Separacin de clusters de burbujas: Inicialmente los conglomerados de burbujas eranexcluidos del anlisis pues el procesamiento posterior requiere burbujas individuales. Sinembargo, se desarroll un algoritmo conocido como watershed para separar las burbujasagrupadas.Este algoritmo consiste en representar cada punto de un conglomerado como unaaltura topogrfica que es proporcional a la escala de gris del pixel correspondiente [5], demodo que se genera una configuracin semejante a una topografa (ver Figura 2-5). Lasburbujas se separan segn la lnea que seguira un flujo de agua que cayera por esatopografa (de ah el nombre del algoritmo). Un ejemplo de la aplicacin de este algoritmo sepresenta en la Figura 2-6. Las burbujas separadas son entonces sumadas al anlisis de ladistribucin de tamao de burbujas.

Figura 2-5: Esquema del algoritmo de watershedpara separacin de burbujas vecinas y burbujas en contactoaplicado en Matlab, realizado por Acua [5]

Burbujasen contacto

Burbujasvecinas


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14

Figura 2-6: Ejemplo de watershedaplicado a una imagen real de burbujas

Es importante notar algunas de las deficiencias y/o limitaciones del anlisis de imgenestradicional que no han podido ser corregidas a la fecha:

Burbujas superpuestas: El mtodo no da cuenta de las burbujas que pueden quedarescondidas tras otras. De hecho, funciona mejor con una mono-capa de burbujas, que selogra mediante un visor inclinado.

Burbujas cortadas por el borde de la fotografa: Cualquier burbuja que est cortada por elborde de la fotografa es retirada del anlisis.

Burbujas en clusters: En la prctica, por razones de tiempo computacional, no se utiliza el

algoritmo de watershed, por lo que se eliminan las burbujas en conglomerados.

Alto tiempo de procesamiento computacional para cada imagen.

Adems existen limitaciones en la tcnica de muestreo y toma de imgenes (fuera delalcance de esta memoria), por ejemplo:

Mtodo de muestreo: El muestreo en el tubo desde la celda podra provocar cambios en ladistribucin de tamao por quiebre, adems podra existir segregacin espacial dentro de lacelda lo que se vera reflejado en una medicin de DTB distinta a la real. En particular, eldimetro del tubo de muestreo genera un cambio en la DTB: se han medido casos en que untubo de muestreo ms pequeo induce una DTB con dimetro medio menor [8].


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15

2.4. Modelo Booleano

Recientemente se ha propuesto utilizar un modelo estocstico llamado modelo booleanopara analizar las fotografas de burbujas de flotacin y determinar la distribucin de tamao deburbujas (DTB), descrito por Kracht, Emery y Egaa (2011) [6].

Un modelo booleano en corresponde a un modelo matemtico del tipo germen ygrano, formalmente definido como un conjunto aleatorio X cerrado de forma [14]: = ( + ) (10)

En la ecuacin (6), el germen {} es un proceso puntual en y el grano {} es unasucesin de compactos en . En particular, en el modelo booleano, el germen corresponde a unproceso puntual de Poisson y el grano al objeto que se ubicar centrado en el germen. En laaplicacin para determinar la DTB de una fotografa de burbujas de flotacin, el grano

corresponde a un crculo de radio definido.

El modelo aplicado al caso particular en estudio supone que las burbujas en una fotografaocurren con dimetro y ubicacin aleatorios, y su ocurrencia se da segn un proceso de Poissonde tasa que corresponde al nmero promedio de burbujas por unidad de rea (pixel), adems sesupone que las burbujas son independientes entre s, es decir, que no existe segregacin espacialde objetos. Si se cumplen estos supuestos, entonces la funcin covarianza de la imagen se puedeexpresar como funcin de la DTB y de .

Sea

{ (),

} un proceso estocstico estacionario en

, es decir, que

depende de la posicin en el espacio, continuo en el dominio . La covarianza no centrada delproceso es una funcin que se define (para procesos en 2D) como [6]:()= () ( + ) , (11)

Se define el covariograma geomtrico K(h) de un objeto (o grano) como el rea deinterseccin entre ese objeto y una copia de s mismo desplazado en un vector h(ver Figura 2-7),para cualquier valor deh. Por tanto, para desplazamientoshmayores al tamao del objeto en unadeterminada direccin, el covariograma vale cero, y para desplazamientos pequeos el

covariograma es mximo. Parah=0, el covariograma es igual al rea del objeto. Por simplicidad,en adelante se trabajar con distancias (h) en vez de desplazamientos (h) ya que para el propsitode este documento slo es relevante el mdulo del desplazamiento, pues se trabaja en unescenario istropo.


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16

Figura 2-7: Esquema de covariograma geomtrico para un disco (regin sombreada)[6]

Para un objeto circular de dimetro , el covariograma geomtrico toma la forma de uncovariograma circular (que corresponde a la versin en 2D de un covariograma esfrico), el cualqueda definido por:

0, =

arccos

1

, 0 , > (12)

Grficamente, el covariograma circular para un crculo de dimetro unitario se observa enla Figura 2-8

Figura 2-8: Covariograma geomtrico para un crculo de dimetro unitario

Si en vez de tener un nico disco de dimetro , tenemos una distribucin discretabimodal de dos posibles dimetros y , con probabilidad y respectivamente, entoncesel covariograma (K) del objeto tpico corresponde a:

0, ()= + (13)

h


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17

Figura 2-9: Covariograma geomtrico para dos poblaciones de crculo de dimetro 1 y 0.5, para distintosvalores dep1(proporcin en nmero de crculos de dimetro 1)

En la Figura 2-9 se observa el comportamiento de la ecuacin (13) para distintos valoresde . Se infiere de (13) que para una distribucin continua de dimetros aleatorios con funcinde distribucin de probabilidades (fdp) () el covariograma combinado resulta ser:

0, ()= () (14)Se observa, por lo tanto, que existe una relacin entre la fdp de los dimetros de los

objetos (es decir, entre la DTB de las burbujas en una foto) y el covariograma.

Por otra parte, existe una relacin entre la funcin covarianza descrita en (11) y elcovariograma del objeto tpico [6]. Para esto, la funcin covarianza se modifica, computndosepara el fondo de la fotografa, empricamente calculada como la probabilidad de que dos puntos auna distancia h se encuentren al mismo tiempo en el fondo de la imagen (i.e. que no pertenezcana ninguna burbuja). Las ecuaciones que relacionan la covarianza del fondo de la imagen, (),con el covariograma, (), son:

> 0, ()= () 2(0) (15a)

> 0, () = () (15b)La funcin covarianza del fondo de la imagen puede ser calculada numricamente desde

la imagen binaria, de modo que es posible obtener el covariograma en base a ella a travs de laecuacin (15b), si se conoce el parmetro . Una vez calculado el covariograma, se puedecalcular la DTB. La ecuacin que correlaciona la DTB con el covariograma resulta de invertir(14) [6]:


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18

> 0, 1 ()= () (16)En (16) F() corresponde a la distribucin acumulada para un tamao , y Kcorresponde

al covariograma del objeto tpico en la fotografa.

En la prctica el proceso que se realiza para obtener la DTB es el siguiente:

Estimar la funcin covarianza experimental del fondo de la imagen C(h) para pasos hmltiplos de la distancia real entre pixeles. La funcin C(h) se calcula como la proporcinemprica de pares de puntos que estn a una distancia h y ambos estn en el fondo de laimagen.

Tomar el logaritmo de la funcin calculada y estimar su segunda derivada usando diferencias

finitas, de modo que se pueda conocer el valor de )(hK usando la ecuacin (15b).

Aplicar la ecuacin (16) usando integracin numrica, de modo que se obtiene un estimadorpara 1 (). El parmetro puede ser calculado por distintos algoritmos, ya sea como la meseta de la

funcin 1 (). calculada en el paso anterior, o como funcin de la intensidadluminosa de la fotografa [15]. En el contexto de esta memoria, el valor de se calculamediante el primer mtodo mencionado. Cuando el valor de en la ecuacin (16) tiende acero (es decir, cuando el dimetro de la burbuja tiende a cero), la funcin de distribucinacumulada () tiende a cero, y el valor de la integral en el lado derecho de la ecuacinconverge a . En la prctica el valor de se calcula haciendo una regresin entre los puntosdonde

converge a cero ya que no es posible evaluar en cero la integral porque existe un

dimetro mnimo limitado por la resolucin de la imagen (la distancia mnima est acotadapor la distancia correspondiente a un pixel).

Algunas de las ventajas de este mtodo por sobre el tradicional son:

Manejo de clustersy burbujas cortadas por el borde: El covariograma del fondo de la imagenpuede ser calculado con la imagen completa, no se eliminan burbujas cortadas, lo mismo conlos conglomerados de burbujas, de modo que la distribucin de tamao da cuenta de esasburbujas. Por lo mismo no se necesita utilizar un visor inclinado como el MBSA.

Una comparacin del desempeo del modelo booleano versus el desempeo del anlisis deimgenes tradicional se observa en la Figura 2-10. Para realizar la comparacin se realiz unasimulacin computacional para generar 100 imgenes de burbujas en base a una DTB terica, conposiciones aleatorias [6]. En el panel izquierdo se muestra el desempeo del anlisis tradicional,sin utilizar watershed(curva segmentada con tringulos) versus la DTB terica (lnea continua),se aprecia claramente el sesgo contra los tamaos mayores, pues la curva segmentada est


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desplazada hacia la izquierda con respecto a la curva continua. Por otra parte, en el panel derechose presenta la curva emprica del modelo booleano (curva segmentada con crculos) para elmismo caso, tomando en cuenta que el modelo booleano no elimina burbujas. Se observa que serespeta la forma de la curva terica, con pequeos errores locales, pero no se observa el sesgo quetiene el anlisis tradicional.

Figura 2-10: Ejemplo de DTB para imgenes obtenidas computacionalmente y analizadas con el modelobooleano y con el anlisis tradicional. Fuente: Kracht, Emery & Egaa (2010) [6]


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3.METODOLOGA

3.1.

Diseo Experimental

Para observar el comportamiento de burbujas en un visor y caracterizar los posibleserrores de muestreo y anlisis de imgenes, se construyeron varios diseos experimentales. Elprimero consiste en un recipiente recto donde las burbujas son generadas dentro del visor, entanto que los siguientes son visualizadores que se ubican directamente sobre una celda delaboratorio agitada mecnicamente, de modo que las burbujas son muestreadas desde un sistemacon agitacin mecnica e inyeccin de aire, ambos ajenos al visor. El primer visor (visor 1) seutiliz para caracterizar cualitativamente el movimiento y distribucin espacial de las burbujas, elresto fue utilizado para tomar los datos definitivos que se utilizan como input para probar elmodelo booleano y para tomar imgenes que permitan comparar distintos regmenes demovimiento de burbujas.

En los visores se tomaron imgenes de burbujas en un sistema de dos fases (agua y aire),sin presencia de mineral. Se utilizaron concentraciones de 5 y 10 ppm de MIBC (Metil IsobutilCarbonil, comercializado bajo el nombre de AEROFROTH 70) como espumante para obtenerburbujas similares a las obtenidas en flotacin.

El visor 1 consiste en un recipiente de acrlico transparente de 1 cm de grosor. Lasdimensiones internas del recipiente son 15 cm de largo, 30 cm de alto y 5 cm de ancho, como seobserva en la Figura 3-1. Las burbujas fueron generadas mediante un aspersor de aire cilndrico

del tipo usado en los acuarios, con conexin va manguera plstica a una bomba de aire convelocidad de inyeccin de aire variable. El aspersor se ubica dentro de un tubo de acrlico demedia pulgada de dimetro que emula el ingreso de aire tal como ocurre en el MBSA.

Figura 3-1: Visor vertical 1 para imgenes de burbujas. Dimensiones en mm.


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La bomba de inyeccin de aire de flujo variable fue calibrada por medio del mtodo de laprobeta invertida y se regul para dos flujos de aire distintos: 0.3 l/min y 0.07 l/min. Estoequivale a un Jg igual a 1 cm/s en un tubo de muestreo de 1 y pulgadas respectivamente. Elvisor fue dotado de un separador vertical de acrlico, con extremo inferior inclinado, que capturalas burbujas emitidas por el aspersor y las confina a una zona de 1 cm de profundidad,manteniendo el rea transversal, como se ve en la Figura 3-2. Esto permite obtener fotografascon burbujas ms dispersas en la horizontal y con una profundidad de campo menor.

Figura 3-2: Visor 1. Izquierda: Fotografa frontal del visor con el separador incluido. Derecha: Vista lateral

Los otros visores de acrlico son tres estructuras de 3 cm de profundidad, 20 cm de alto y8 cm de ancho como se aprecia en la Figura 3-3. En su parte superior se dispone de un tapn conhilo y en su parte inferior se incluye un tubo de PVC de pulgada de dimetro y 45 cm de largo.El extremo inferior del tubo de PVC se sumerge en una celda mecnica de 4,9 litros de capacidadcon flujo de aire y agitacin variable proporcionados por una mquina de flotacin batch. Estostres visores corresponden a:

Un visor vertical Un visor vertical con restriccin que confina el movimiento de las burbujas a un ancho

de 3.6 cm en el centro del visor. Un visor inclinado en 15 con respecto a la vertical, emulando la configuracin del

McGill Bubble Size Analyser


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Figura 3-3: Visor

La mquina de flotaciESSA, dotada de un rotmetr

sensor digital para medir la vutilizada tiene una capacidadimpeler correspondiente a est

El flujo de aire entregala probeta invertida. La relaciy el flujo real se observa laminuto y 13 litros por minuto,de la calibracin se presentan

Foco

PantallaDifusora

ControlAgitacin

Impeler

22

vertical de burbujas en mquina de flotacin Labtech

n utilizada corresponde a una celda de flotapara control de flujo de aire, graduado entre

elocidad de agitacin, con capacidad entre 0 yde 4.9 litros de volumen til y un rea de ccelda tiene un dimetro de 10.7 cm y un alto d

do por la mquina de flotacin fue calibrado mn entre el flujo nominal indicado por el contrigura 3-4. La celda se opera a dos flujos nomesto corresponde a Jg=0.7 y 0.5 cm/s dentro den el Anexo A.

Tubomues

Visor

ContFlujo

Celd

-ESSA

in batch Labtech- y 25 l/min, y de un

1200 rpm. La celdalda de 397 cm2. El2.7 cm [2]

diante el mtodo del de aire de la celdainales: 20 litros por

la celda. Los datos

detreo

olde aire


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23

Figura 3-4: Calibracin flujo de aire celda LabTech-Essa

3.2.

Captura de imgenes

Las imgenes de burbujas fueron capturadas con una cmara digital Nikon modelo D90,utilizando un lente AF-S Micro Nikkor de 60 mm y razn focal mnima 2.8. Las imgenes soncapturadas a distancia focal fija (dependiendo del visor), con un intervalo de tiempo entreimgenes de 1 segundo, para garantizar que las imgenes no contengan burbujas remuestreadas.La resolucin mxima permite obtener imgenes de 4288x2848 pixeles. La iluminacin de lasburbujas o backlightingpara imgenes se realiza con un foco y una pantalla difusora que permiteuna iluminacin ms homognea, como se observa en la Figura 3-5.

Figura 3-5: Montaje de elementos para fotografa

0.0

2.0

4.0

.0

.0

10.0

12.0

14.0

1.0

1.0

20.0

0 10 1 20 2

Foco

Pantalladifusora

Cmara

Trpode

Visor

y= 0.95x - 2.41R = 0.987


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24

Se dispuso tambin de una cmara modelo TroubleSooter HR1para toma de videos de altavelocidad de las burbujas en los visores ya mencionados. La resolucin mxima permite obtenerimgenes de 1280x1024 pixeles a 250 cuadros por segundo. La iluminacin de las burbujas serealiza con un foco de 1000 Watts, cada visor es equipado de una pantalla de papel vegetaladherida en la parte trasera que permite obtener iluminacin ms homognea.

Figura 3-6: Montaje de elementos para videos de alta velocidad

3.3. Tcnica de Anlisis de Imgenes Manual

El anlisis de imgenes manual se realiz utilizando el software Autocad. La metodologafue la siguiente:

Importar imagen a color en Autocad.

Ajustar la escala de Autocad para que coincida con la escala real en pixeles de la imagen.

Ajustar manualmente un objeto circular a cada burbuja. Para burbujas no circulares, se

utilizaron elipses.

Extraer como hoja de clculo las coordenadas de los centros de cada burbuja y susdimensiones (para burbujas circulares, el radio; para burbujas elpticas, el semieje mayory el semieje menor, el radio equivalente ser calculado posteriormente como el promediogeomtrico de los semiejes).

1Cmara perteneciente a Claudio Acua de la Universidad Catlica del Norte.

Foco

Pantalla Cmara

Trpode

Visor

Tubo de

muestreo

Celda


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25

Exportar una imagen en blanco y negro en formato .png con los objetos creados, sinincluir la imagen inicial. Las dimensiones de esta imagen son ajustadas para que semantengan los pixeles contenidos en la imagen inicial2.

La Figura 3-7 muestra el resultado de procesar manualmente una imagen utilizando elmtodo previamente descrito.

Figura 3-7: Procesamiento manual de imgenes

3.4. Anlisis de Imgenes Modelo Booleano

El anlisis de imgenes con el modelo booleano fue realizado en base a las imgenesblanco y negro obtenidas con el procesamiento manual. La tcnica computacional de anlisis deimgenes escapa a los alcances de esta memoria, las imgenes fueron analizadas por FelipeGarrido, memorista de Ingeniera Civil en Computacin.

2Esto se realiza para exportar imgenes en blanco y negro que posteriormente sern procesadas mediante el mtodobooleano.


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4.LIMITACIONES DE LA TCNICA DE MUESTREO Y ANLISIS DEIMGENES PARA DETERMINAR DTB

En este captulo se abordan los efectos que el procedimiento de muestreo y anlisis de

imgenes tiene en el clculo de la DTB, con el objetivo de comprender la diferencia entre la DTBdentro del visor, es decir, aquella que ingresa al mismo, y la DTB que se mide en el anlisis deimgenes tradicional. En la Figura 4-1 se presentan las distintas etapas en la medicin de la DTB.El foco de este captulo est en la segunda y tercera etapas de procesamiento, en las cuales sepasa de una DTB real en el visor a una DTB analizada.

Figura 4-1: Esquema del proceso para estimar la DTB

4.1. Datos

4.1.1.

Imgenes anlisis preliminar

Para realizar un anlisis preliminar, se estudiaron dos conjuntos o sets de 10 imgenescada uno, ambos obtenidos con anterioridad a la realizacin de este trabajo con un visor verticalconectado a la celda Labtech-ESSA. Las condiciones de flotacin de ambos sets de imgenes sepresentan en la Tabla 4-1. La resolucin de las imgenes es de 2592x1944 pixeles. La Figura 4-2muestra ejemplos de las imgenes para ambos sets.

Tabla 4-1: Condiciones de flotacin imgenes visor vertical

Set I Set IIMineral Cuarzo Cuarzo + CalcopiritaJg[cm/s] 0.42 0.42Agitacin [rpm] 440 440Xantanto [ppm] 20 0MIBC [ppm] 10 5

1

2


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27

Figura 4-2: Ejemplos de imgenes del set I (izquierda) y set II (derecha)

Se presenta a continuacin las caractersticas bsicas de cada set de datos en la Tabla 4-2.Se incluye la razn entre el rea media de una burbuja y el rea total de la imagen como indicador

del tamao relativo de las imgenes con respecto a las burbujas.

Tabla 4-2: Estadsticas bsicas imgenes visor vertical

Set I Set IIBurbujas por imagen 147.0 45.6[Burbujas/pix ] 3.0x10- 9.1x10-

Dimetro medio [pix] 74.8 113.4Dimetro de Sauter [pix] 98.7 137.7rea burbuja/rea imagen 8.7x10-4 3.0x10-

Adems, se dispone de imgenes tomadas en el visor 1 (con burbujas generadas por unaspersor dentro del visor), que permiten observar cualitativamente los sesgos espaciales en lasfotografas de burbujas, y de imgenes tomadas sistemticamente en el visor vertical sobre lacelda Labtech-ESSA, con las condiciones de flotacin indicadas en la Tabla 4-3. Un ejemplo delas imgenes obtenidas se presenta en la Figura 4-3. La resolucin de las imgenes es de1500x1000 pixeles, a una escala de 53.6 pix/mm. Las estadsticas bsicas de los sets tomados coneste visor se presentan en la Tabla 4-4. Para efectos de notacin, estos set de imgenes sedenominarn set III y IV.


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Tabla 4-3: Condiciones de flotacin sets III y IV

Set III Set IVMineral Sin mineral Sin mineralJg[cm/s] 0.7 0.7Agitacin [rpm] 450 450

MIBC [ppm] 5 10

Figura 4-3: Imagen en visor vertical sobre celda mecnica. Izquierda: set III, derecha: set IV.

Tabla 4-4: Estadsticas bsicas sets III y IV

Set III Set IV

Burbujas por imagen 45.0 284.8[Burbujas/pix ] 2.0x10- 1.1x10-4Dimetro medio [mm] 0.94 0.66Dimetro de Sauter [pix] 64.2 53.2Dimetro de Sauter [mm] 1.2 0.95rea burbuja/rea imagen 1.4x10- 0.7x10-

4.1.2.

Imgenes McGill Bubble Size Analyser

Se analizaron dos imgenes tomadas con el MBSA (Figura 4-4). La resolucin de estasimgenes es de 3456x2304 pixeles. Estas imgenes fueron divididas en 12 sub-imgenes de860x635 pixeles, para obtener imgenes como la Figura 4-5. Esta escala de reduccin de tamaofue elegida para que la razn entre el tamao de burbujas y el tamao de la fotografa (en cuantoa rea) sea similar a la que tienen las imgenes del visor vertical (Sets I y II).


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Figura 4-4: Imgenes MBSA

Figura 4-5: Sub-imagen MBSA

Las estadsticas bsicas de las imgenes del MBSA se presentan en la Tabla 4-5.

Tabla 4-5: Estadsticas bsicas imgenes MBSA

Imagen I MBSA Imagen II MBSABurbujas por imagen 1234 1892Burbujas por sub-imagen 89.6 128.1[Burbujas/pix ] 1.6x10-4 2.4x10-4

Dimetro medio [pix] 30.14 29.2Dimetro de Sauter [pix] 33.7 31.5rea burbuja/rea sub-imagen 1.3x10- 1.5x10-

4.1.3.

Videos e imgenes asociadas

Utilizando el visor vertical 1, se tom un video con la cmara digital Nikon D90 paracaracterizar el movimiento de las burbujas, con velocidad de 24 cuadros/segundo. El video fueanalizado caracterizando tres tipos de trayectoria: para burbujas grandes, medianas y pequeas.Se define una burbuja grande como aqulla cuyo dimetro es al menos dos veces mayor aldimetro promedio de las burbujas, una burbuja mediana como aqulla con tamao similar al


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promedio, y una burbuja pequea como aqulla cuyo dimetro es inferior a la mitad del dimetropromedio.

En una segunda instancia, se tomaron tres videos de alta velocidad3 que permiten unacaracterizacin ms precisa de la trayectoria de las burbujas. Los tres videos son repeticiones delmismo experimento y son tomados en las mismas condiciones, uno despus de otro. Utilizando lamisma tcnica descrita para analizar las imgenes, en conjunto con el programa ImageJ paraseguir la trayectoria de las burbujas y medirlas una a una, fue posible determinar la distribucinde tamao de burbujas para los videos. Por lo tanto, se tiene la DTB de todas las burbujas queatraviesan el campo visual del video en un periodo de tiempo, y al mismo tiempo se analizan setsde imgenes tomadas cada cierto intervalo de tiempo durante el mismo periodo total para obtenerla DTB correspondiente a ese muestreo temporal.

La Tabla 4-6 presenta las caractersticas de los tres videos.

Tabla 4-6: Estadsticas bsicas videos alta velocidad

Video I Video II Video IIICuadros totales 2146 1249 1007Velocidad [cuadros/segundo] 500 250 250Duracin video [segundos] 4.29 5.00 4.03Burbujas Procesadas totales 707 801 474Burbujas/segundo 164.73 160.32 117.68Dimetro Medio [pix] 33.09 32.91 33.66Dimetro de Sauter [pix] 52.93 50.29 52.23

Tamao imagen [pix ] 1280x512 1280x512 1280x512Escala [pix/mm] 19.76 19.70 19.95Dimetro Medio [mm] 1.67 1.67 1.70Dimetro de Sauter [mm] 2.67 2.53 2.64

La fila rotulada como Burbujas Procesadas totales representa el nmero total deburbujas que cruzan el campo visual de la cmara en el tiempo medido, por ejemplo, para elvideo I los 2146 cuadros totales corresponden a un intervalo de tiempo de 4.3 segundos, durantelos cuales 707 burbujas atravesaron el campo visual de la cmara.

Para comparar la DTB del video con la DTB de imgenes, se determin visualmente elmnimo tiempo de muestreo de imgenes para evitar remuestreo de burbujas pequeas. Para estose observaron todas las burbujas pequeas y se midi el tiempo que demoran en atravesar el

3Videos tomados por Claudio Acua en la Universidad Catlica del Norte con la cmara de alta velocidad descritaen 3.2


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campo visual de la cmara. El tiempo que demora la burbuja ms lenta indica la mximafrecuencia de muestreo posible. La frecuencia de muestreo mxima obtenida fue 2.5 imgenespor segundo. Con el fin de obtener un conjunto significativo de muestreos, se obtuvieron 7muestreos distintos, a frecuencia 2.5 imgenes por segundo, cada muestreo iniciando en untiempo distinto. Los muestreos M1 a M3 corresponden al video 1, M4 y M5 al video 2, M6 y M7al video 3.

Los resultados de cada set de imgenes se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 4-7: Estadsticas bsicas muestreos temporales.

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7Nmero de imgenes 11 11 11 13 13 11 10

Frecuencia [imgenes/segundo] 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5

Burbujas totales 218 242 212 251 255 149 162

Burbujas/imagen 19.82 22.00 19.27 19.31 19.62 13.55 16.20

Dimetro Medio [mm] 1.51 1.61 1.45 1.57 1.66 1.63 1.53

Dimetro de Sauter [mm] 2.30 2.84 2.04 2.51 2.57 2.44 2.73

Finalmente, utilizando los tres visores ubicados sobre la celda Labtech-Essa, se disponede tres videos obtenidos para un flujo de aire de 12 l/min (equivalente a un Jgen celda de 0.45cm/s), con 10 ppm de MIBC y agitacin 450 rpm en la celda.

Tabla 4-8: Estadsticas bsicas videos alta velocidad

Video IV(visor vertical)

Video V(visor vertical con

restriccin)

Video VI(visor inclinado)

Cuadros analizados 318 270 180Velocidad [cuadros/segundo] 250 250 250Duracin video [segundos] 1.27 1.08 0.72Burbujas Procesadas totales 954 783 505Burbujas/segundo 750 725 701Dimetro Medio [pix] 33.58 35.12 39.82

Dimetro de Sauter [pix] 59.18 55.68 69.73Tamao imagen [pix ] 1280x512 1280x512 1280x512Escala [pix/mm] 33.10 32.79 34.67Dimetro Medio [mm] 1.11 1.07 1.16Dimetro de Sauter [mm] 1.79 1.69 2.01


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Tabla 4-9 Estadsticas bsicas muestreos temporales.

MuestreoVideo IV

MuestreoVideo V

MuestreoVideo VI

Nmero de imgenes 10 10 10

Burbujas totales 533 436 477

Burbujas/imagen 53 44 48Dimetro Medio [mm] 0.96 1.03 1.09

Dimetro de Sauter [mm] 1.52 1.80 2.09

La siguiente tabla presenta un resumen de todos los datos especificados en esta seccin:

Tabla 4-10: Resumen sets de imgenes y videos de alta velocidad

CmaraResolucin

[pix]Visor

Jg

[cm/s]MIBC[ppm]

BurbujasProcesadas

Set I -- 2592x1944 Vertical 0.4 10 1470Set II -- 2592x1944 Vertical 0.4 5 456Set III Nikkon D90 1500x1000 Vertical 0.7 5 450Set IV Nikkon D90 1500x1000 Vertical 0.7 10 2848ImagenMBSA I

-- 3456x2304 MBSA -- -- 1234

ImagenMBSA II

-- 3456x2304 MBSA -- -- 1892

Videos I, IIy III

TroubleSooterHR

1280x512 Vertical 1.0 -- 1982

MuestreosM1 a M7

TroubleSooterHR

1280x512 Vertical 1.0 -- 1489

Video IVTroubleSooter

HR1280x512 Vertical 0.5 10 954

MuestreoVideo IV

TroubleSooterHR

1280x512 Vertical 0.5 10 783

Video VTroubleSooter

HR1280x512

Verticalcon

restriccin0.5 10 505

Muestreo

Video V

TroubleSooter

HR 1280x512

Vertical

conrestriccin 0.5 10 533

Video VITroubleSooter

HR1280x512 Inclinado 0.5 10 436

MuestreoVideo VI

TroubleSooterHR

1280x512 Inclinado 0.5 10 477


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4.2. Muestreo espacial

Para caracterizar cualitativamente los efectos del muestreo espacial en la DTB finalcalculada mediante anlisis de imgenes, se tomaron fotografas en el primer visor verticalconstruido. La Figura 4-6 presenta una seccin de imagen tomada para el visor utilizando elseparador (ver Figura 3-2). Se aprecia claramente que las burbujas estn agrupadas al centro de lafotografa, este efecto responde al hecho de que el ingreso de las burbujas ocurre en el centro delvisor. El cono que forman las burbujas al ascender no cubre completamente el ancho del visor. Laobservacin de imgenes en este visor permiti determinar que para las condiciones de la Figura4-6, el ancho tpico que alcanza el cono es de 8 cm, dependiendo de la altura a la que se tome lafoto con respecto a la base del visor.

Figura 4-6: Imagen de burbujas en visor vertical 1, para condiciones en visor de 10 ppm de MIBC, conseparador dentro del visor (profundidad de campo de 1 cm) y flujo de aire 0.07 l/min

Para un flujo de aire asociado a Jg=1 cm/s (equivalente a 0.3 l/min en el visor vertical),

existe una poblacin de burbujas pequeas que no pertenecen al cono de ascenso principal delflujo de aire. Estas burbujas no tienen un movimiento ascendente, si no que (como se observa engrabaciones del movimiento de burbujas en este visor) corresponden a burbujas en descenso queson arrastradas por flujos de agua generados por efecto sifn.

El efecto sifn se induce porque existe un gradiente de presin en la zona inferior delvisor. Este gradiente se produce debido a que en la zona de inyeccin de aire la presin es menorque en su vecindad, de modo que existe una fuerza que empuja al agua desde los bordes hacia elcentro del visor. Para compensar este movimiento, existe un movimiento vertical descendente enlas reas laterales del visor, que es capaz de arrastrar burbujas pequeas que hayan alcanzado la

zona superior.

Se utiliza el programa ImageJ para graficar las trayectorias de burbujas en el visor,mediante elpluginMTrackJ4[16], que permite seguir una burbuja particular en una secuencia deimgenes, para observar la trayectoria de burbujas.

4 Erik Meijering. Plugin de distribucin gratuita para usos educacionales y de investigacin.


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Figura 4-7: Trayectoria de burbujas en visor 1 para 10 ppm MIBC, flujo de aire 0.3 l/min. Rojo: Burbujasgrandes, Amarillo: Burbujas medianas, Azul: Burbujas pequeas.

La Figura 4-7 permite apreciar el movimiento para distintos tamaos de burbujas. Cadacrculo en una trayectoria representa la posicin de la burbuja para una imagen. Se debe notar queel intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas es el mismo para todas las trayectorias,de modo que mientras ms larga es la distancia entre dos crculos, mayor es la velocidad de laburbuja, lo que muestra que las burbujas ms grandes viajan ms rpido. Esta imagen, adems de

permitir apreciar la trayectoria descendente de burbujas pequeas por efecto sifn en los sectoreslaterales, sugiere un eventual sesgo por muestreo temporal, asociado a la diferencia develocidades segn tamao, que se analizar en la siguiente seccin.

Como conclusin del anlisis espacial en el visor vertical 1, se presentan dos sectoresdiferenciados en las imgenes: el cono central de ascenso que contiene burbujas de todos lostamaos, y los sectores laterales que presentan principalmente burbujas pequeas en descenso.Para tomar imgenes representativas del flujo ascendente y evitar remuestreo de burbujaspequeas se debe confinar la fotografa al sector central del visor, especficamente a una distancia

horizontal correspondiente a un tercio del ancho total del visor.

En general, en todos los sets de imgenes se observa que existe un flujo ascendente queconcentra la mayor parte de las burbujas y en los bordes de la imagen hay menor presencia deburbujas. En particular, para el conjunto de muestreos asociados al video de alta velocidad, seobserva en la Figura 4-8 que adems las burbujas de mayor tamao slo se presentan en el centrode la imagen, en tanto que las pequeas y medianas se dispersan a lo ancho del visor.


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Figura 4-8: Relacin entre la posicin horizontal y el tamao de burbujas para muestreos de video.

4.3. Muestreo temporal

4.3.1.

Sesgo por muestreo temporal

El procedimiento de muestreo de imgenes (1 cada segundo en el visor vertical) garantizaevitar el remuestreo ya que con la velocidad que alcanzan las burbujas en el visor permite que enun segundo recorran una distancia mayor al alto de la fotografa. Este muestreo temporal, sinembargo, no garantiza que las burbujas fotografiadas sean representativas de la distribucin totalde tamaos de las burbujas, ya que si existen burbujas que viajan ms rpido que otras (comosucede, en teora, con burbujas ms grandes), entonces sern fotografiadas con menor frecuenciaque burbujas que viajen ms lento, de modo que se produce un sesgo contra burbujas que viajanms lento.

Para comprobar el supuesto de que la diferencia de velocidades por tamao afecta la DTBmedida, se trabaja con tres videos de alta velocidad (Videos I, II y III, descritos en Tabla 4-7) ylas imgenes muestreadas de stos (muestreos M1 a M7, descritos en Tabla 4-8). La DTB medidade ambas maneras (video y muestreo de imgenes) se compara, para poder concluir respecto delsesgo producido por el muestreo temporal. Dado que los tres videos son repeticiones de un

mismo experimento en condiciones iguales, se calcula una nica DTB para el video y se trabajacon los 7 muestreos como un conjunto de mediciones. La distribucin real dentro del visorcorresponde a la DTB del video.


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Figura 4-9: Comparacin DTB video y muestreos

De la Figura 4-9, se desprende que la diferencia ms importante entre las distribucionesmuestreadas (imgenes) y la distribucin real (video) es que las burbujas pequeas (de dimetromenor a 1.5 mm) en este caso aparecen sobrerrepresentadas en las imgenes, mientras que lasburbujas grandes (de dimetro mayor a 1.5 mm) se ven subrepresentadas.

4.3.2.

Sesgo terico para dos regmenes de movimiento

Es posible caracterizar tericamente el sesgo promedio que tendra el muestreo a unafrecuencia dada, bajo ciertos supuestos, conociendo la DTB real y la velocidad de las burbujas.Supongamos que se muestrea cada segundos. Si se supone que las burbujas ingresan al visorsiguiendo un proceso de Poisson de tasa burbujas por segundo, y su distribucin de tamao estcaracterizada por , entonces la tasa de generacin de burbujas del tamao i-simo es:

= (17)

Con esto se tiene una estimacin del nmero promedio de burbujas del tamao i-simoque ingresaron en el intervalo que va desde segundos antes de tomar la fotografa y el instantede la toma de la imagen, . Si adems se conoce la velocidad caracterstica de burbujas deltamao i-simo (en funcin de su dimetro ), es posible determinar la proporcin de esasburbujas que salen del campo visual y cuantas (en promedio) se mantienen en el campo visual al


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momento de la toma de la fotografa. Con esto se puede construir la distribucin de tamao queun muestreo terico debiese tener si las burbujas tuvieran una velocidad determinada, ycompararlo con el obtenido empricamente. Adems, es posible modificar el perfil de velocidadversus radio para adaptarlo a cualquier rgimen de movimiento, en particular se exploran loscasos de burbujas aisladas, sin efectos de arrastre por otras burbujas, y burbujas en swarm oenjambre, descritos en los antecedentes tericos.

Dado que los datos para velocidades en rgimen de swarmno cubren completamente elrango de tamaos de burbujas que presentan los videos (Figura 2-2), fue necesario extrapolar losdatos de Acua & Finch, 2010 [12]. Se opt por ajustar un polinomio de grado 3 para lostamaos hasta 3 mm, y por mantener una velocidad constante para tamaos superiores a 3 mm.

Figura 4-10: Comparacin muestreo real y simulacin para rgimen deswarmy burbujas aisladas

La Figura 4-10 es el resultado de un muestreo simulado en rgimen de enjambre y enrgimen de burbujas aisladas. La simulacin del muestreo se realiza tomando como base la DTBdel video para conseguir 2 muestreos tericos distintos segn el rgimen simulado. El valor realde la distribucin es el mismo presentado en la Figura 4-9. Se puede concluir que: el muestreo

terico en rgimen de burbujas aisladas tiene un error mayor al muestreo terico si se suponergimen de enjambre, este ltimo se parece mucho ms al muestreo real que el primero. Tambines notorio que el muestreo terico en ambos casos subestima el porcentaje de burbujas detamaos mayores a 1.5 mm y sobreestima el porcentaje de burbujas pequeas, es decir, sigue elcomportamiento del muestreo real, sin embargo estos errores son mayores al real en el caso dergimen de burbujas aisladas. La Tabla 4-11 muestra los resultados en promedio para losmuestreos.


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Tabla 4-11: Comparacin muestreos simulados y real

Se deduce de los resultados y de la observacin del movimiento de las burbujas en el visorque el rgimen en el visor es similar al de enjambre, sin embargo en los bordes del visor sedistinguen burbujas aisladas, de modo que el resultado esperado es un resultado intermedio entreambos regmenes. En la prctica, el resultado del muestreo real cumple esta premisa, pero se

encuentra mucho ms cerca del rgimen de enjambre.

4.3.3.

Variabilidad temporal de la DTB y sesgo de muestreo temporal para distintos visores

Contemplando lo expuesto en la seccin anterior, se decidi observar el comportamientode la DTB para tres visores distintos sobre la celda LabTech-Essa: un visor vertical, un visorvertical con restriccin y un visor inclinado. El objetivo es comparar el sesgo por muestreotemporal para dos regmenes distintos: considerando que en el segundo visor las burbujas estnconfinadas a un espacio horizontal de 3.6 cm, se espera que su movimiento sea similar a un

rgimen de swarm, en tanto que las burbujas en el primer visor pueden ubicarse en todo elespacio horizontal del visor (8 cm), por tanto se espera que su movimiento sea ms cercano alrgimen de burbujas aisladas. Finalmente, se desea referenciar el comportamiento de estas DTB yasociarlo al observado en un tercer visor, inclinado.

Los videos de alta velocidad fueron muestreados para obtener imgenes con unafrecuencia de 2 imgenes por segundo. Estos videos fueron analizados en un intervalo de tiempoque asegura una DTB estable, es decir, al final del intervalo utilizado, el dimetro medio y eldimetro de Sauter de la DTB se mantuvieron constantes dentro de un 1% de variacin. Estosignific tomar para los videos un intervalo cercano a 1 segundo, asociado a cerca de 300burbujas. Por otra parte, se requirieron 10 imgenes para estabilizar la

cf paredes cb

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