cepuns 2013-ii semana 08

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo

1xCscxCot

1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc

1xSecxTan

1xTanxSecZn ;

21)(2nRx ; 1xTanxSec

xSen1xCos

xCos1xSenRx ; 1xCosxSen

22

2222

22

2222

22

2222

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-II

TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas del

ángulo doble y mitad”

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL

ÁNGULO DOBLE

sen2 = 2sen cos

sen2 =

sen40º =

sen8 =

cos = cos - sen

2 22

cos2 =

cos40º =

cos4 =

tan2 =

tan2 = __________________

tan2 =

__________________

2tan

1 - tan

2

También:

xSen21x2Cos 2

1xCos2x2Cos 2 Ejemplos:

Sen80° = 2Sen40°Cos40°

2Sen3xCos3x = Sen6x

Cos72° = Cos236° – Sen236°

Cos10x = 2Cos25x – 1

Cos5x = 1 – 2Sen2

2

x5

2Cos2

8

– 1 = Cos

4

1 – 2Sen225° = Cos50°

30Tg

15Tg1

15Tg2

2

Triángulo del Ángulo Doble:

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

Así tenemos:

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

Ejemplos:

Sen18° =

9Tg1

9Tg2

2

Cos8x =

x4Tg1

x4Tg1

2

2

Fórmulas de Degradación:

x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2

x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2

42

42

x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222

x2Csc2TanxCotx

x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222

x2Csc2TanxCotx

1x2SecTanx

x2Tan1x2SecxTanx2Tan

1x2Sec

Tanx

x2Tan1x2SecxTanx2Tan

4Cos8

3

8

5CosSen

4Cos4

1

4

3CosSen

66

44

Ejemplos:

2Sen43x = 1 – Cos 6x

2Cos218

= 1 + Cos9

1 – Cos60° = 2Sen230°

1 + Cos74° = 2Cos37°

Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Tg3x = 2Cot6x

Sen415° + Cos

415° =

4

1

4

3 Cos60°

Sen6

8

+ Cos6

8

= 2

Cos8

3

8

5

Semana Nº 9

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

2


cos1

sen

cos1

sen

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD

1 cossen

2 2

1 coscos

2 2

1 costg

2 1 cos

NOTA: el signo (±) se elige según el cuadrante del arco

2

y de la R.T. a la

que afecta.

AUXILIARES

tg csc ctg2

ctg csc ctg2

radicalesn

senn

""

2...2222

21

radicalesn

n

""

2...2222

cos21

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Halle “x”

A) 17

15

B) 8

15 C) 1

15 D) 4

15

E) 5

18

RESOLUCIÒN

2

2tgtg2

1 tg

2

12

4tg2

11

4

1

82tg2 tg215 15

16

8 x 1 32x 1

15 4 15

; 17x

15

RPTA.: A

2. Si: 94

tg

Halle E = 2ctg

A) - 9

40 B) 5

18 C) 1

40 D) 11

40 E) 1

25

RESOLUCIÒN

tg tgx 9

4

; x x4 4

M ctg2 ctg 2 x

4

M ctg 2x tg2x

2

2 2

2 92tgx 18M

1 tg x 1 811 9

18M

80

9M

40

RPTA.: A

3. Reduce:

2x xE ctg 2cos ctgx

2 2

A) 1 B) cos x C) sen x D) tg x E) ctg x RESOLUCIÒN

2x xE ctg 2cos ctgx

2 2

E cscx ctgx 1 cosx ctgx

E cscx ctgx ctgx cosxctgx

21 cosx 1 cos

E cosxsenx senx senx

2sen x

Esenx

E senx RPTA.: C

4. Reduce: x

tg ctgx2

Mx

ctgx ctg2

A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3 RESOLUCIÒN

x

ctgx tg2

Mx

ctgx ctg2

ctgx cscx ctgxM

ctgx cscx ctgx

ctgx csc x ctgx csc xM

ctgx csc x ctgx csc x

M = 1 RPTA.: A

1

4

x


3


PROBLEMA DE CLASE

1) Si: 2sen2x – cos2x = 3 ; calcular el valor de

0;2sec52csc62 CosxxxP

A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1

2) Si: a = sen – cos , b= cos2 ; entonces, se

puede afirmar que:

A) 02 224 baa B) 03 224 baa

C) 0224 baa D) 0224 baa

E) 022 224 baa

3) Si: Ctg = 7 y

11

2tg

;

entonces el valor de

Tg (+2) es:

A) ½ B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2

4) Si: xε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 , calcular

Tg7x + Ctg7x

A) 737 B) 742 C) 763 D) 791 E) 794

5) Simplifique la expresión:

4.

82416 357

sensen

sensensen

A)sen B) sen2 C) sen3 D) sen4 E) sen5

6) Sabiendo que:

SenxCosx

C

SenxCosx

B

Cosx

A

xCosCosx

2.

1 ;

calcular

C

BA

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E)2

7) Si:

3

1Senx ; Calcular

24

2 xTg

A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9

8) Simplifique:

xSecxsenCtgxx

xtgE 22

2csc2

2 2

A) tgx

xTg

1

2 2

B)

xTg

Tgx21

2

C)

xtg

xTg2

2

1

1

D)

xtg

xTg2

2

1

1

E) xtg

Tgx21

2

9) Determinar la variación numérica de:

CtgCosCosCosCtgE .2

.2.2

2

A)

16

1;

16

1 B)

8

1;

8

1

C)

4

1;

4

1

D)

2

1;

2

1 E) 1;1

10) Si: ε <4;6> y

13

5

2

2cos1

entonces

Calcule:

8

Sen

A)

26

265 B)

26

263

C)

26

2623

D)

26

267 E)

26

1

11) Si:

31

96 ;

Calcular

16842

CscCscCscCscCsc

A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12) Si: 2,sec2 nntgxx , entonces

3

33

cos

cos

xsenx

xxsen

es igual a:

a) 2

3

nn b)

2

1

nn c)

2

1

nn

d) 2

3

nn e)

2

2

nn

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III

13) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular: 2cos27 senK

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2


14) Si 8

,0

x , al reducir:

xCos4222

2

,

se obtiene:

a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx

2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I 15) Reducir la siguiente expresión:

3;:;csc2

1cos

1cos

xsix

xsenx

xSenxE

A)

2

xTg

B)

2

xCTg

C)1


4


D)

2

xCTg

E)

2

xTg

16) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo

valor de M si Myx

11

11

Sugerencia: utilice identidades del ángulo

doble

A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18

PROBLEMA DE REPASO

1) Al reducir:

2.

44

2

2

ctgtgtgM

,

Se obtiene:

A)2

3 B) 3

2 C) 3 D) 4 E) N.A.

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - II

2) Si tg +Ctg= 9

40 , entonces el valor de

sen2, es;

a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20

2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III

3) En un sector circular cuyo ángulo central es

“” está inscrito un cuadrado de lado “L” , el

radio de la circunferencia correspondiente es:

a)x

ctgctgL

5

222

2

b)

5

22

22

2 ctgctg

L d)

2

22

ctg

L

c) rrt

ctgctgL

5

24

22

2 e) dd

ctgL

2

22

EXAMEN PREFERENTE – UNS 2010

4) Del gráfico mostrado, R= 9 y r = 4.Calcular tg

a) 11/3 b) -11/3 c)13/7 d) -13/7 e) -5/12

5) Si: 0 , entonces el máximo valor de:

2

ctgctgE ; es

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2


6) Del grafico mostrado, Hallar “x”

a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14

7) Si:

2

2.2.4

Csc

SecCtgSenK donde:

28

3

;

se afirma que:

a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4

d) K = 0 e) K = Cos2

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I

8) Si: 2

2

2

2 1

4;

1

4 n

mCtg

n

mTg

: entonces

2

44

nnm es igual a:

a)

2

sen

b)

2

Tg

c)

2

Ctg

d)

2

Sec

e)

2

Csc

9) Si: Tg2 +ctg2

= 66; y 24

; entonces, el

valor de Ctg2es:

a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5


10) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que

xxxx

senE 2cos.cos.2

cos.2

.8 , es

a) 2

2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2


cepuns 2013-ii semana 08

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