cepuns 2013-ii semana 03

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

b

a

H

COSenA

b

c

H

CACosA

c

a

CA

COTanA

a

b

CO

HCscA

c

b

CA

HSecA

a

c

CO

CACotA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-II

TRIGONOMETRA RAZONES TRIGONOMTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

Razn Trigonomtrica: Son aquellos nmeros que

resultan de dividir dos lados de un tringulo

rectngulo.

Teorema de Pitgoras: La suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa

. a2 + b2 = c2

Teorema: Los ngulos agudos de un tringulo

rectngulo son complementarios

. A + B = 90

Definicin De Las Razones Trigonomtricas Para

Un ngulo Agudo: Dado el tringulo ABC, recto en

C, se establecen las siguientes definiciones:

Sen = Hipotenusa

OpuestoCateto =

ca

Cos = Hipotenusa

AdyacenteCateto = cb

tg = AdyacenteCateto

OpuestoCateto =

ba

Ctg = OpuestoCateto

AdyacenteCateto =

ab

Sec = AdyacenteCateto

Hipotenusa =

b

c

csc = OpuestoCateto

Hipotenusa =

a

c

Razones Trigonomtricas Recprocas

Siendo un ngulo agudo se cumple:

1csc.1

csc

sensen

;

1sec.coscos

1sec

;

1.1

ctgtgtg

ctg

Razones Trigonomtricas De ngulos

Complementarios

Dos ngulos agudos se llaman complementarios si su

suma es un ngulo recto.

En la figura se muestra:

y : Son ngulos complementarios ( + = 90)

Hemos nombrado el ngulo opuesto al cateto b

como y al ngulo opuesto al cateto a como en

consecuencia:

coscb

sen ; sencacos

ctgab

tg ; tgba

ctg

cscsec ac

; seccsc bc

Debido a estas relaciones las co-razones son::

seno y coseno.

tangente y cotangente.

secante y cosecante.

Teorema del complemento

de ocomplementRTcoRT

Semana N 3

Lic. Rodolfo Carrillo Velsquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometra.

2


Se llaman corazones trigonomtricas una de la

otra.

NOTA:

Si:

1

1

1

CtgTg

SecCos

CscSen

Si: 90 RTcoRT

TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

45

45

1

1

2

30

60

1

2

3

37

53

35

4 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES

30 37 45 53 60

Sen 2

1 5

3 2

2

5

4 2

3

Cos 2

3

5

4 2

2

5

3 2

1

Tan 3

3

4

3 1 3

4 3

Cot 3 3

4 1

4

3

3

3

Sec 3

32

4

5 2

3

5 2

Csc 2 3

5 2

4

5

3

32

A partir de estos se determinarn otros

adicionales como:

26 30'

63 30'

15

2

8

82

1

7

16

74

725

24

5 2

22 30'

67 30'

14 + 2 2

2 + 1

15

75

6 - 24

6 + 2

18 30'

71 30'

110

3

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

* CLCULO DE LADOS: Es el procedimiento

mediante el cual se determinan los lados

faltantes de un tringulo rectngulo, en

trminos de un lado que s se conoce; y de un

ngulo agudo que tambin se conoce.

Criterio:

conocido) .(T.Rconocido Lado

odesconocid Lado

Casos:

1.

A B

C

L

BCTanL

BC

AC L

AC

I)

II)

2.

A B

C

L ABCot

L

AB

AC L

AC

I)

II)

3

A B

C

L BCSenL

BC

L

AB

I)

II)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Halle ctg del grfico, si:

BCAB

M

B

A C

120


3


A) 32 B) 33 C) 3 D) 6/3 E) 9/3 RESOLUCIN

3n

APM: ctg 3

n

33ctg

RPTA.: B

2. Si ,AD3CD halle: tg

(tomar: sen37=0,6)

A)

16

1 B)

8

1 C)

8

3 D)

16

3 E) 4

1

RESOLUCIN

Se pide: 16

3

k16

k3tg

RPTA.: D

3. Si el tringulo ABC es equiltero. Determine tg.

A)

5

3 B) 6

3 C) 7

3 D)8

3 E) 9

3

RESOLUCIN

k 3 3

tg7k 7

RPTA.: C

4. Siendo y "" las medidas de 2 ngulos agudos tales que:

1sec.11cos

1csc.cos

Halle: '3052sen.'3037tgW

A)1 B) C) 3

2 D) 3 E)

3

3

RESOLUCIN

Datos: i) cos11.sec =111= (I)

ii) 1csc.cos

)..(9090csc.90 IIsen

'3072

159011:)( IIenI

B

A C

a

D

3a

CA

53

D

M

B

A C

2n

2n

3n2 3n 3nP

3n60

6060

30

4n

30

n 30

4n

3n 3

n

A

53

CD

9K

15K

12K

4K

5K

53

3K

B

A C

a = 2k

D

3a = 6k

6030

60

8k

60

7k k

k 3


4


'30822

165

2

1511:Ien""

Piden:

?'3052.'3037 sentgW

2

130.45 sentgW

RPTA.: B

5. En un tringulo rectngulo si la hipotenusa es el doble de la media geomtrica de los catetos. Calcule la suma de las tangentes trigonomtricas de los ngulos agudos del tringulo. A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 RESOLUCIN

Si: ab2c Si pide: tgtgE

2 2a b a b

Eb a ab

Pero: a + b = c

E = 4ab

ab4

RPTA.: C

6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N

son puntos medios. Determine "cot " .

A) 2 B) 1 C) 3 D) E) 1/3

RESOLUCIN

De la figura: 3Cot RPTA.: D

7. Del grfico, halle x, en trminos de .

A) 3cos 2Sen

B) 2cos 3Sen

C) 2sen 3cos

D) 3sen 2cos

E) 2sen 3cos RESOLUCIN

CosSenx 23 RPTA.: D

b

ac

B

CD

A

N

M

3

2

x

2a 2a

2a

a

45

a2

a

x

3

2

Sen3

Cos2


5


8. En la figura, halle X en trminos de ,

y m.

A) tgctgm B) m tg ctg

C) 1 tgctgm

D) 1 ctgtgm E) tgctg.m

RESOLUCIN

Del grafico: mxtgxCtg

x Ctg tg m

1 tgctgmx RPTA.: C

9. En la figura, halle el permetro del

rectngulo OABC si se conoce , y el radio del cuadrante MON es r.

A) 2r sen cos

B) r csc sen

C) r sen cos

D) 2r csc sec

E) 2r sec csc

RESOLUCIN

Permetro del rectngulo

OABC= 2R csc sec RPTA.: D

PROBLEMA DE CLASE

1) Si es la medida de un ngulo agudo que satisface la

igualdad:

TgCscTgSec

43

, entonces el valor

de la expresin

SenCos

CosSenE

2 , es:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2) Si la igualdad se verifica para un valor de 'x' en

2;0

.......... CosxxCosxxCosxxSenxx

Indicar el valor de:

xCtgxCtg

xtgxtgE

1861

816

.18.16

86

a) 9/19 b) 7/17 c)1 d) 1/2 e) -1

3) Si A, B y C son los ngulos de un tringulo

rectngulo ABC recto en B. Calcular el valor de: ATgCCscCCosAE 2222cos

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3

O

r

MA

C

N

B

m

X

m

X

xctg xtg

r

A

C

B

r Csc

r Sec r Sec

r Csc


6


4) En la figura AOB es un cuadrante, tal que

OD = 4 DE, entonces el valor de tg es:

A)4

141 B) 4

341 C) 4

541 D) 4

1 E) 2

1

5) Si 2

041

40 ySen , hallar

4

Ctg

a) 4

541 b) 4

541 c) 4

341

d) 4

341 e) 4

3

3 EXAMEN SUMATIVO 2010 III

6) En la figura mostrada AOD es un cuadrante, M

y P son puntos de tangencia. Determinar

E=(1 tg)2. A

P

B0 M

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7) En el grfico mostrado, calcular "tg ".

Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de

tangencia.

a) 1/3 b) c)

2

2 d) 2 e) 2 2 3 EXAMEN SUMATIVO 2009 III

8) Se sabe que:

6.3

3.

2.

3.

tgbSecaSen

y que SecSecbyCscCsca ..

Entonces el valor de

2.2

SecH , es:

A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10

9) S m 32 ; entonces el valor de

R = tg730` - Ctg 7 30`, en trminos de m es:

a) m/3 b) m/2 c) m d) 2m e) 3m

10) En un tringulo ABC, AC = 10m,


7


A

D

B

C

A) m sen.ctgB) m cos.tg

C) m sen.tg D) m[tg ctg

E) m cos.ctg

15) Siendo ABCD un cuadrado, adems


8


A) a sec2 B)a sen2 C)a cos2

D) a tg2 E) a ctg2

9) En la figura mostrada M es punto medio de

AC , m BCD 60 , AM=MD=2u. Hallar 4BN.

D

C

M

N

A

B

A)

6

2 B) 6 2 C) 2 6 2

D) 2 2 6 E) 4 6 2

10) En la figura mostrada ABCD es un rectngulo,

AM=PC=a, MB=3a, BP=2a y m MPD x . Halle E=tgx 1.

A M

D

P

C

B

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

11) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y

M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg .

A M B

D C

A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1

12) Halle el valor aproximado de:

1054

37

4

53

CtgCtgE

A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6

13) En un tringulo BAC, recto en A, la mediana BM

y el cateto AC forman un ngulo x; luego tgx es

igual a:

A) 2tgC B) TgB + TgC C) 2tgB

D) tgC + ctgC E) 2(tgC + tgB)

14) Del grfico que se muestra encontrar el valor

de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es

mediana relativa a la hipotenusa.

A M C

B

37

x

y

A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28

15) Con los datos de la figura si tg 76 =4,

entonces el valor de x es:

A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24

16) Si:

sen cos 02

tg cot 03 2

Calcular:

sen cos tg36 .tg22 2

a) 0 b ) c) 1 d) 2 e)

2 3

3

17) Si los catetos de un tringulo rectngulo son

como 3 es a 5, el coseno del ngulo agudo

mayor Es:

a)

43

1 b)

34

1

c)

34

3 d)

43

3 e) 3

34

cepuns 2013-ii semana 03

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