Martin Hilbert (Dr.; Ph.D.) MartinHilbert[at]gmail.com

CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS)

Una exploración guiada de conceptos y métodos

7ta sesión (de 9) La formación y los efectos de las REDES

(Redes Parte 2)

Las preguntas de hoy

I. ¿Cómo podemos testear modelos de redes?

II. ¿Cómo crecer redes en el tiempo?

III. ¿Cómo podemos utilizar modelos de redes para hacer

predicciones?

Encontrar un fenómeno real y describa sus propiedades

Analizar estas propiedades y busca patrones en el ruido

Plantear la hipótesis de un mecanismo generativo de la funcionalidad que

produce este fenómeno

Compruebe si nuestras ideas son correctas o si sólo estamos soñando

despiertos?

“It’s all the same, only the names will change…”

Erdos-Renyi (1959-1960) Gráficos aleatorios o Comience con n nodos

o Formar enlaces independientes con probabilidad de cada nodo p

o Formar M enlaces independientes

o Ejemplos de propiedades:

o ¿Cuál es el grado promedio de la red?

solución numérica => simular y conteo

solución analítica =>???

o Lo bueno es que tenemos propiedades "casi seguros" con ajustes específicos de G(n, p)

o ¿Cuál es la distribución grados en la red?

o ¿Cuál es la probabilidad de obtener un nodo central con todos los enlaces

concentrado en él solo?

benchmark G(n,p) or G(n,M) G(3,2)

Gráficos aleatorios

Erdos-Renyi funciones de umbral o La probabilidad de adquirir una propiedad (o no) depende (casi seguro) de p (por

ejemplo, la distribución promedio de grado). Pero surgen transiciones de fase no lineales en ciertos puntos de inflexión: "más es diferente" o “diferencias meramente cuantitativas más allá de cierto punto resultan en cambios cualitativos“

o por ejemplo: con p > 1/n => red tendrá ciclos y un componente gigante único (con n2/3 nodos)!

o por ejemplo: con p = ln (n) / n => red estará completamente conectado!

Source: Jackson M. (2013); Social and Economic Networks: Models and Analysis; Coursera. Wilensky, U. (2005). NetLogo Giant Component model. Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling.

solución numérica ¿Cuántos amigos tus amigos

necesitan tener para que

información / enfermedad se

propague rápidamente a

través de la mayor parte de la red?

Gráficos aleatorios

Erdos-Renyi funciones de umbral o La probabilidad de adquirir una propiedad (o no) depende (casi seguro) de p (por

ejemplo, la distribución promedio de grado.). Pero surgen transiciones de fase no lineales en ciertos puntos de inflexión: "más es diferente" o “diferencias meramente cuantitativas más allá de cierto punto resultan en cambios cualitativos“

o por ejemplo: con p > 1/n => red tendrá ciclos y un componente gigante único (con n2/3 nodos)!

o por ejemplo: con p = ln (n) / n => red estará completamente conectado!

Source: Jackson M. (2013); Social and Economic Networks: Models and Analysis; Coursera. Wilensky, U. (2005). NetLogo Giant Component model. Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling.

solución numérica ¿Cuántos amigos tus amigos

necesitan tener para que

información / enfermedad se

propague rápidamente a

través de la mayor parte de la red?

Formación de red: creciendo redes siguiendo a otras reglas

Añadir nodos con probabilidad uniforme o Comience con m nodos totalmente conectados

o Añadir nuevos nodos con k enlaces a los nodos existentes con igual probabilidad

o Un nodo existente tiene una probabilidad [k / # de nodos] de conseguir un nuevo enlace

o Nodos mas antiguos tendrán más enlaces ("...el viejo diablo...")

Añadir nodos con probabilidad no uniforme o En realidad, algunos nodos tienen muchas más conexiones que otros

o Conexión preferencial / ricos se enriquecen

o La probabilidad es proporcional al número de grados existentes

o Los nuevos nodos tienen a unirse a nodos existentes

o En el momento t, habrá t * m enlaces

o Número total de grados = t * m * 2 (cada enlace proporciona dos grados, uno para cada nodo conectado)

o Probabilidad de adjuntar al nodo j = [grado de j] / [2 * t * m]

Source: Yule, G. U. (1925). "A Mathematical Theory of Evolution, Based on the Conclusions of Dr. J. C. Willis, F.R.S". Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences 213 (402–410): 21–23. Price de Solla, D. J. (1965). Networks of Scientific Papers. Science, 149(3683), 510–515. Barabasi, A.-L., & Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks. Science, 286(5439), 509–512.

Modelos "híbridos": o Nuevos nodos crean una fracción de sus vínculos uniformemente al azar

o la otra fracción mirando los "amigos de los amigos" del nodo conectado

Amigos de los amigos son más propensos altamente conectados los nodos más conectados son más a menudo amigos que nodos de bajo grado, simplemente porque tienen más conexiones!

La segunda parte es como la vinculación preferencial nodos con más conexiones son más fáciles de encontrar y tendrán más amigosFriends of friends are more likely highly connected

Source: Jackson, M.O., and B.W. Rogers (2007) “Meeting Strangers and Friends of Friends: How Random Are Social Networks?” American Economic Review 97(3):890–915. Jackson M. (2013); Social and Economic Networks: Models and Analysis; Coursera.

O:

o la otra fracción, considerando "la proximidad geográfica“, etc...

Formación de red: creciendo redes siguiendo a otras reglas

Creciendo redes de mundo pequeño El mundo es un pañuelo! Desde Milgram, a un asado, a redes eléctricas y neuronales!

o Redes con:

o alto nivel de clustering: poco probable que alcance rápidamente que otros

o pequeño promedio de ruta: probable de llegar rápidamente otros!

o Erdos-Rényi no tiene clustering => clustering uniforme con p

o Netlogo simulación:

o enlaces a cada unos de sus dos vecinos de ambos lados (clustering alto y ruta larga)

o RECABLEO cambia conexiones al azar

pocos enlaces cruzados reducen el promedio de la ruta rápidamente

Si no se recablea demasiado, se mantiene alto clustering

Source: Watts, D.J.; Strogatz, S.H. (1998). "Collective dynamics of 'small-world' networks.". Nature 393 (6684): 409–10. Wilensky, U. (2005). NetLogo Small Worlds model. Center for CLCBM, Northwestern U.

Clustering high

Avg. path length low! 5

1

2 3

4 5

1

2 3

4

5

1

2 3

4

Gráfico de Modelos Aleatorios Exponenciales ERGMs (Markov, p *)

Permite introducir características locales (número de enlaces, # de triadas, número de aislamientos, etc)

También permite hacer comparaciones estadísticas (ya que conocemos distribuciones exponenciales bastante bien)

o por ejemplo probabilidad de enlace depende de:

atributo de nodo (número de grados, etc)

tener amigos en común (tríadas)

Comprueba si las características locales son más o menos probable que el azar

o Teorema por Hammersly y Clifford (1971): cualquier modelo de red se puede expresar en la familia exponencial con estadísticas de gráficos = forma muy general

o Probabilidad = e (nodo de atributo + tríadas) / Σ e (todo atributo de nodo + todas las tríadas)

Problema: o siendo cuestionado, ya que incluso con MCMC la muestra resultante es muy pequeño en comparación con el número de posibles redes

SourceHammersley, J. and P. Clifford (1971): “Markov fields on finite graphs and lattices,”

Utilizando redes para hacer predicciones

¿Qué va a pasar dentro de la red? Red estable con estructura dada o ¿Cuántos grupos se formarán si la red está siendo atacada?

o ¿Cómo se difunde un rumor / innovación / opinión / enfermedad dentro de la red?

¿Qué tipo de red se formará? Cambio de estructura de red (nodos y enlaces) o ¿Formarán redes estables?

o ¿Formarán redes eficientes?

o ¿Cómo se mueven las redes entre la estabilidad y la eficiencia?

o ¿Puede alguna intervención contribuir a mejorar la eficiencia / estabilidad?

Predicción de Patrones de difusión

Diferentes Modelos de NetLogo de la difusión o http://www.LAdamic.com/netlearn/NetLogo501/BADiffusion.html

o Erdos-Rényi (pro-pref = 0): ¿cómo varía la velocidad con m (número de grados por nodo)?

o Que red conduce a una difusión más rápida: Erdos-Rényi o conexión preferencial?

Source: Adamic L. (2012), Social Network Analysis, Coursera

http://www.ladamic.com/netlearn/NetLogo501/BADiffusion.html

Los hubs son importantes 2

o Los hubs son más propensos a contraer la enfermedad / innovation / opinión

o Hubs tienen más probabilidades de transmitir la enfermedad / innovation / opinión

nodo con grado 1000 => 1,0002 = 1.000.000 veces más probabilidades de ser contagiosa

Source: Krebs, 2003; 2005; Mark Newman (2011); Using Networks To Make Predictions , Santa Fe Institute Ulam Lectures; http://www.youtube.com/watch?v=rwA-y-XwjuU ; Mac Hyman (2012). "Part 6 Simulation Models: TRANSISMS and EpiSims". Disaster Resillence leadership Academy“ ; http://www.youtube.com/watch?v=pGftX_56X8g

¿Cómo eliminar la enfermedad? ¿Campaña de vacunación

aleatorio?

¿Cómo encontrar los hubs?

Usando centralidad Pagerank, simulaciones muestran que se require

menos de la mitad de vacunas!

Predicción de Patrones de difusión

Creciendo redes eficientes hasta "equilibrio" La lógica (económica) el costo y beneficio (equilibrio de Nash, óptimo de Pareto…)

o Crecer / forma / reorganizar la red hasta que está en equilibrio = nada cambia

o No se puede añadir o eliminar nodos o enlaces para “mejorar” algo (equilibrio estable por parejas)

Redes eficientes en Modelo de conexiones simétricas o Dado cierto costo y beneficio de vínculos: ¿cuál es la estructura de la red más eficiente?

o alto costo (beneficio + (n-2) * benefit2 Red de vacío es eficaz

o Medio costo => Estrellas son especialmente eficientes

o bajo costo (beneficio - benefit2> costo) => red completa es eficaz Source: Jackson, M. and A. Wolinsky (1996) “A Strategic Model of Social and Economic Networks,” Journal of Economic Theory 71(1):; Jackson M. (2013); Social and Economic Networks: Models and Analysis; Coursera.

0 beneficio – – 0 costo

2 beneficio – – 2 costo

4 beneficio – – 4 costo

2*0.8 – 2*0.2 = = 1.6 – 0.4 = 1.2

4*0.8 – 4*0.2 = = 3.2 – 0.8 = 2.4

4 beneficio + 2 beneficio2– 4 costo

4*0.8 + 2*0.82 – 4*0.2 = = 3.2 + 1.28 – 0.8 = 3.68

Beneficios indirectos!

6 beneficio + 6 beneficio2 – 6 costo

6*0.8 + 6*0.82 – 6*0.2 = = 4.8 + 3.84 – 1.2 = 7.44

6 beneficio + 4 beneficio2 + 2 beneficio3 – 6 costo

6*0.8 + 4*0.82 + 2*0.83 – 6*0.2 = = 4.8 + 2.56 + 1.024 – 1.2 = 7.184

normalizada 0 ≤ beneficio ≤ 1 beneficio3 < beneficio2

Enlaces directos son más valiosos que los vínculos

indirectos

<

Creciendo redes eficientes hasta "equilibrio"

Eficiencia Social vs. Inestabilidad Social! Medio-alto costo: (beneficio < costo < beneficio + (n-2) * benefit2) o dado que beneficio < costo =>

o sólo desea formar enlaces, si recibe beneficios indirectos! o Centro de la estrella no tiene beneficios indirectos => quiere romper el vínculos! o Pero periferia tiene beneficios indirectos => quiere mantener todos los enlaces!

eficiencia social es mayor en una estrella (más nodos se benefician de estrellas), pero el centro no quiere seguir el juego (no se beneficia de la estrella)

La eficiencia social: la suma de valores de todo el mundo es alta La estabilidad social: nadie puede mejorar a añadir o cortar enlaces

Source: Jackson, M. and A. Wolinsky (1996) “A Strategic Model of Social and Economic Networks,” Journal of Economic Theory 71(1):; Jackson M. (2013); Social and Economic Networks: Models and Analysis; Coursera.

Evolución dinámica de redes Manejo de las externalidades

o Externalidades positivas: enlace proporciona un beneficio adicional al mismo nodo

o Externalidades negativas: enlace proporciona un costo a otro nodo (por recurso limitado)

Externalidades negativas dependen de:

o Cantidad de mis enlaces y enlaces de mis amigos

o Valor disminuye con mas enlaces ("modelo de co-autor" JW (96))

o Valor = SUMA de

1

# 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑜𝑠+

1

# 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑖𝑔𝑜𝑠+ 𝑠𝑖𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 =

1

# 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑜𝑠 ∗ 𝑎𝑚𝑖𝑔𝑜𝑠

1

1+

1

1+

1

1 = 3

3 3

3 3

1

2+

1

1+

1

2

3.25 3.25

2 2

1

2+

1

2+

1

4

1

1+

1

2+

1

2

2.5

2.5 2.5

2.5

2.78

2.78 2

2

2.33

2.33 2.33

2.33

Social Value 12 10.5 10 9.56 9.32

Source: Jackson, M. and A. Wolinsky (1996) “A Strategic Model of Social and Economic Networks,” Journal of Economic Theory 71(1):; Bloch F, Jackson MO. 2007. The formation of networks with transfers among players. Journal of Economic Theory 133: 83 ‐ 110; Jackson M. (2013); Social and Economic Networks: Models and Analysis; Coursera.

Intervención Estratégica en la red

La intervención externa / "transferencias" o Sector Público: impuestos y subsidios

o Sector Privado: negociación / favores entre individuos / subsidios dentro de empresas

o P.ej.: utilizar fondos para mantener el centro de una estrella de la red

Pero no siempre funciona:

o a veces hay que dar sin tomar de los demás requiere recursos externos = quitar de terceros que no están involucrados

o a veces hay que tomar de algunos sin quitar de otros acumular recursos adicionales (dar a los que no están involucrados...)

3 3

3 3

3.25

2

3.25

2

-0.625=2.625 -0.625=2.625

+0.625=2.625 +0.625=2.625

La transferencia hace que la red eficiente esta estable!

Las preguntas de hoy

I. ¿Cómo podemos testear modelos de redes?

II. ¿Cómo crecer redes en el tiempo?

III. ¿Cómo podemos utilizar modelos de redes para hacer

predicciones?

Reconocimiento

En este caso, especialmente (pero no exclusivamente) de:

Adamic L. (2012), Social Network Analysis, Coursera; http://www.coursera.org/course/sna

Jackson, M. and A. Wolinsky (1996) “A Strategic Model of Social and Economic Networks,” Journal of Economic Theory 71(1):;

Jackson, M. O. (2013) Social and Economic Networks: Models and Analysis. Coursera http://www.coursera.org/course/networksonline

Monge, P. R., & Contractor, N. (2003). Theories of Communication Networks. Oxford University Press, USA.

Newman, N. (2011); Using Networks To Make Predictions , Santa Fe Institute Ulam Lectures; http://www.youtube.com/watch?v=rwA-y-XwjuU

Wilensky, U. (1999). NetLogo. http://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling, Northwestern University, Evanston, IL..

…entre otros…

“...la innovación ... consiste en la realización de nuevas combinaciones" Schumpeter, J. (1939). Business Cycles. New York: McGraw-Hill. p. 84