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CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DlESARROLLO TECNOLOGLCO

cenidet MODELADO DE LA EXPANSION DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LIQUIDA EN TUBEFUAS

HORIZONTALES

T E S I S P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E :

- DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA

P R E S E N T A

OCTAVIO CAZAREZ CANDIA M.C.

CENIDET CENTRO DE INFORMACION

D!RECTORES DE TESIS: DR. GILBERT0 ESPINOSA PAREDES (UAM-I) DR:ALFONSO GARCIA GUTIERREZ (IIE-CENIDET)

CUERNAVACA, MORELOS

I-

DICIEMBRE DE 2001

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIN Y DESARROLLO TECNOLGICO

cenidet DOCTORADO EN CIENCIAS EN

INGENIERIA MECNICA

TESIS

MODELADO DE LA EXPANSI~N DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LQUIDA

EN TUBEIAS HORIZONTALES

PRESENTA

M.C. OCTAVIO CZAREZ CANDIA

ASESORES

Dr. Gilberio Espinosa Paredes UAM-I

Dr. Alfonso Garcia Gutirrez IIE-CENIDET

JURADO

Dra. Gabriela lvarez Garcia (CENIDET) P r e s i d e n t e

Dr. Gilbert0 Espinosa Paredes (UAM-I) Secretario

Dr. Rigoberto Longoria Ramrez (CENIDET) Dra. Sara Lilia Moya Acosta (CENIDET) ler. Vocal 2" Vocal

Di-. Alfonso Garcia Gutirrez (CENIDET-IIE) Dr. Gustavo Urquiza Beltrn (CENIDET-IIE) 3er. Vocal Suplente

Diciembre de 2001 Cueriiavaca, Morelos

U SI'I' J Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico Cuernavaca. Mor., Noviembre 22.2001

Asunto: Se autoriza impresi6n de tesis y fecha para examen de grado.

DR. JESOS ARNOLD0 BAUTISTA CORRAL DIRECTOR DEL CENIDET P r e s e n t e .

A h . - Dr. Riqoberto Lonqoria Ramirez JEFE DEL DEPTO. DE ING. MECNICA

Por este conducto hacemos de su conocimiento que, despus de haber sometido a revisin el trabajo de tesis titulado:

"MODELADO DE LA EXPANSIN DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LQlDA EN TUBERiAS HORIZONTALES"

Desarrollado por el M.C. OCTAVIO CZAREZ CANDIA y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorizaci6n de impresin de tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted.

A T E N T A M E N T E - COMIT TUTORIAL /\

DESARR0LI.C SUBDIRECCIC

Dra. Sara Lllla M4ya Acosta

Dr. Gustavo Urauiza Beltrn

INTERIOR INTERNADO PALMIRA S/N. CUERNAVACA. MOR. MCXICO APARTADO POSTAL 5-164 CP 62050. CUERNAVACA. TEL YFAX j7]3140637,12Y3127613 cenidet

Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico

Cuernavaca, Mor., Diciembre 9, 2001.

Asunto: Se autoriza impresin de tesis.

M.C. OCTAVIO CZAREZ CANDZA Candidato al Grado de Doctor En Ciencias en Iiigeniera Mecnica I' I' e s e n t e.

Despus de haber sometido a revisin su trabajo de tesis titulado:

"MODELADO DE LA EXPANSI~N DE BURBUJAS PRESENTES EN LA FASE LQUIDA EN TUBERAS HORIZONTALES"

Y habiendo cumplido con las indicaciones que el comit tutorial de tesis realiz, se le comunica q u e se le concede la autorizacin para que proceda a la impresin de la misma como requisito para la obtencin del grado.

Sin otro particular quedo de usted.

6.E.P 0.G.i.l CEHIRO NACIOXAL !Xi I>~VEITlGAClOW

Y DESARROLLO TECNOLOGCO SUBDIRECCION ACAOEMICA

A T E N T A M E N T E

DR. RIGOBERTO LO RAMfREZ Jefe del Depto. de Ing. c nica del Cenldet

c.c.p.- Servicios Escolares c.c.p.- Expediente

re mnacde impresl6n de tesis ai alumm doctwando

INTERIOR INTERNADO PALMIRA S I N . CUERNAVACA. MOR. MBICO APARTADO POSTAL 5 1 6 4 C P 62050. CUERNAVACA. TE1.Y FAX: (7)3140637. 12Y3127613 cenidet

Resumen

En esta tesis se presenta un modelo matemtico basado en el mtodo del

promedio volumtrico, dependiente del tiempo, para un flujo bifhico burbujeante

de aire y agua en una tubera horizontal. En el modelo se toma en cuenta

la compresibilidad de la fase gaseosa as como la fuerza interfacial debida a

las variaciones del radio de burbuja y la pulsacin de la burbuja en el gradiente de

presin entre las fases.

El anlisis se basa en las ecuaciones de conservacin, promediadas

en volumen, de masa, cantidad de movimiento y energa para ambas

fases y sus interfases (modelo a dos fluidos), las cuales se derivaron tericamente

a partir de las ecuaciones locales instntaneas en tres dimensiones

y rgimen transitorio aplicando el mtodo del promedio volumtnco. AI

aplicar dicho mtodo y teoremas sobre promediado volumtrico, se obtienen en

forma natural los trminos interfaciales. Esto da lugar a un conjunto cerrado de

ecuaciones, y para cerrar el sistema se utiliz un modelo de celda concntrica y

la teora de flujo potencial para desarrollar las cerraduras correspondientes a los

efectos de masa agregada, del promedio de la dida de las desviaciones espaciales

de la velocidad de la fase lquida, de la diferencia de los promedios de la presin y

de la fuerza debida a la variacin del radio de burbuja.

Para resolver el sistema de ecuaciones resultante se llev a cabo un anlisis

de estabilidad lineal obtenendose as una ecuacin de onda promedio de cuarto

... 111

Resumen iv

orden, de la cual se obtienen las velocidades de propagacin de la onda de vaco

con lo cual se determina el rango de comportamiento hiperblico del sistema de

ecuaciones promedio.

Adems, con el fin de estudiar los efectos debidos a las no linealidades,

tambin se obtuvo una solucin del sistema resultante de ecuaciones aplicando el

mtodo de diferencias finitas con un esquema implicit0 hacia atrs y usando el

concepto de celda donadora.

Este anlisis permiti evaluar la influencia de la compresibilidad sobre la

fraccin de vaco, la velocidad del gas, la velocidad del lquido y la presin del

lquido. Se estudiarn dos casos: un modelo adiabtico y un modelo

cuasi-isotrmico (temperatura del gas constante). Los resultados numricos y

analticos (caso lineal) se compararn con datos tericos y experimentales

reportados en la literatura. -

Todo lo anterior permiti avanzar en la comprensin del efecto de los

parmetros que controlan la dinmica del flujo bifsico burbujeante, encontrndose

que los trminos del gradiente de presin entre las fases que implican variacin del

radio de burbuja, hacen que la velocidad "rpida" de la onda de vaco sea mayor que

la velocidad promedio de la fase gaseosa, y que la velocidad "lenta" sea menor que

la velocidad promedio.de la fase lquida. Se encontr que esto tambin se debe a la

fuerza interfacial causada por las variaciones del radio de burbuja, haciendo que el

rango de comportamiento hiperblico disminuya. Tambin se encontr que debido
http://promedio.de

Resumen V

a la expansin de la burbuja, la fuerza de flotacin sobre ella aumenta haciendo que

tambin aumenten la velocidad promedio de la fase gaseosa y la fraccin de vaco.

Al expandirse la burbuja se provoca un arrastre de lquido haciendo que la velocidad

promedio de la fase lquida tambin aumente. Todo lo anterior ocurre mientras se

presenta una cada de presin a lo largo de la tubera.

As, la principal contribucin del presente estudio radica en la derivacin de

las relaciones de cerradura para un flujo bifsico burbujeante, en las cuales se toma

en cuenta la compresibilidad de la fase gaseosa. Adems, se deduce una ecuacin de

onda en la cual los trminos de tercer y cuarto orden se deben a la compresibilidad

de la fase gaseosa. En la literatura especializada, hasta donde se sabe, no se han

reportado estos trminos que incluyen el efecto de compresibilidad.

Tambin, se logra una gran contribucin en el entendimiento de la influencia

que tiene la suposicin de flujo cuasi-isotrmico sobre la propagacin de ondas de

vaco.

Reconocimientos

Se agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACyT) por

el apoyo econmico brindado en la realizacin del presente trabajo.

vi

Con tenido

Lista de Figuras VIII ... ................................................................ Lista de Tablas x

Nomenclatura xi

...................................................................

...................................................................

.. Introduccion ..................................................................... 1

1 Trabajos previos y problema a resolver ................................... 4

Trabajos experimentales ..................................................... 4 1 . 1

1.2 Trabajos tericos ........................................................... 12

1.3 Investigacin realizada ..................................................... 21

Objetivo de la investigacin .......................................... 22 1.3.1

1.3.2 Alcance de la investigacin .......................................... 22

1.4 Problema a resolver ........................................................ 23

1.4.1 Metodologa ........................................................ 26

2 Ecuaciones de transporte basadas en el promedio volumtrico . . . . . . 29

Ecuaciones de conservacin locales instantneas ............................. 29

Mtodo del promedio volumtrico ........................................... 36

Ecuaciones promediadas en volumen ........................................ 39

Ecuacin de masa promediada en volumen e instantnea . . . . . . . . . . . . . . . 40

instantnea .......................................................... 43

- 2.1

2.2

2.3

2.3.1

2.3.2 Ecuacin de cantidad de movimiento promediada en volumen e

Contenido ...

V l l l

2.3.3

2.3.4

Ecuacin de energa promediada en volumen e instantnea . . . . . . . . . . . . 5i

Condiciones de salto promediadas e instantneas ...................... 56

2.4 Discusion .................................................................. 60

2.5 Conclusiones ............................................................... 60

..

3 Relaciones de cerradura ................................................... 62

Ecuaciones promedio de transporte para gas y lquido ........................ 62 3.1

3.2 Estructura de la celda unitaria concntrica ................................... 66

3.3 Promedio interfacial de los esfuerzos viscosos ............................... 67

3.4 Integral de las desviaciones espaciales de la presin .......................... 68

3.4.1

3.4.2 Desviaciones espaciales del vector velocidad .......................... 76

3.4.3 Dida de las desviaciones espaciales de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4.4 Gradiente de presin interfacial de la fase lquida ..................... 79

3.5 Fuerza radial debida a las variaciones del radio de burbuja .................... 82

3.6 Discusion .................................................................. 85

3.7 Conclusiones ............................................................... 87

Desviaciones espaciales del potencial de velocidad .................... 73

..

4 Sistema cerrado de ecuaciones ........................................... 88

4.1 Ecuaciones promediadas .................................................... 88

4.2 Simplificacin de las ecuaciones promediadas ............................... 90

4.3 Conclusiones ............................................................... 95

.... . i % . 5 Descripcin dinmica;de la ecuacin.de onda de.vaco . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ., 5.1 Introduccion ............................................................... 98
http://ecuacin.de

Contenido ix

5.2 Ecuaciones en el estado base y entre variables perturbadas .................... 99

5.2.1 Estado base y perturbaciones ........................................ 100

5.2.2 Estado base de las ecuaciones de transporte promedio . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2.3 Ecuaciones de transporte entre variables perturbadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 Ecuacion de onda ......................................................... 102

5.4

5.5

5.6 Resultados analticos y discusin ........................................... 112

5.7 Conclusiones .............................................................. 120

..

Velocidades de propagacin, tiempo de relajacin y coeficiente de difusin . . . 1 1 O

Estabilidad lineal para flujo burbujeante .................................... 112

. . . . 6 Solucion numerica ........................................................ 122 6.1 Introduccion .............................................................. 123 ..

6.2 Discretizacin de las ecuaciones promedio instantneas ..................... 124

6.3 Procedimiento de solucin ................................................. 129

6.4 Resultados numricos y discusin ................ : ......................... 13 1

Propagacin de la onda de vaco ..................................... 133

Validacin del cdigo numrico ..................................... 134

6.4.3 Comportamiento transitorio ......................................... 137

6.4.1

6.4.2

............................................................. 6.5 Conclusiones. 138

7 Conclusiones y Recomendaciones ....................................... 140

.................................................................... Referencias 144

. . A Termino fuente ............................................................ 153

Contenido X

.. B Clculo de u1 y ~2 ......................................................... 160 C Potencial de velocidad .................................................... 166

D Coeficientes de la ecuacin de onda ........ .... : ....................... 178

E Parmetros de las ecuaciones discretizadas ............................ 181

F Publicaciones. Ponencias. Conferencias ................................ 187

Contenido xi

Lista de Figuras

Figura Descripcin Pgina

1 Comparacin de la fraccin de vaco (A) y la velocidad del lquido (B). Distribuciones en flujo vertical ascendente entre el modelo de Dimitris et al., 1995 (todas las lneas) y datos experimentales (todos los smbolos) de Bankoff, 1990. (Figura modificada de Dimitris et al., 1995).

Efecto del flujo volumtrico del gas sobre los perfiles de la fraccin .de vacos local. (Modificado de Andreussi et al., 1990).

8

2 9

3 Distribucin de las burbujas de gas corriente abajo 11 del orificio: (a) 0.5 a 4.5 dimetros, (b) 9 a 14 dimetros, (c) 69 a 72 dimetros.(Modificado de Warren y Klausner, 1995).

4 Modelo fisico de un flujo bifsico burbujeante horizontal. 23

5 Metodologa para estudiar un flujo bifsico burbujeante. 26

6 Volumen promedio V usado por el presente estudio. ro es la 3 1 longitud caracterstica del volumen promedio, 1, y 11 son las longitudes caractersticas de las fases gas y lquido, respectivamente, ngl es el vector normal unitario apuntando de la fase gas a la fase lquida y ni, = -ngi.

7 Longitudes caractersticas. 67

8 Celda unitaria concntrica. 73

9 Velocidades caractersticas en funcin de la fraccin de vacos. Presente trabajo, caso cuasi-isotrmico. (O) con compresibilidad, (O) sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167), (A) sin la fuerza de reaccin radial debido a las variaciones del radio de burbuja, (*) sin compresibilidad.

Velocidades caractersticas en funcin de la fraccin de vacos. Presente trabajo, caso adiabtico. (O) con compresibilidad, (O) sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167), (A) sin la fuerza de reaccin radial debido a las variaciones del radio de burbuja, (*) sin compresibilidad.

1 15

10

.. i

1 16

Contenido xii

Figura Descripcin Pgina

11

12

13

14

15

Comparacin de modelos de onda de vacos. (O) Pauchon y Banerjee (1988) con interaccin de burbuja, (o) Pauchon y Banerjee (1986), (o) Lahey (1991), (A) Pauchon y Bamejee (1988) sin interaccin de burbuja, presente modelo sin compresibilidad, (*) presente modelo cuasi-isotrmico con compresibilidad, (A) presente modelo cuasi-isotrmico sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167), (i) presente modelo adiabtico con compresibilidad, (O) presente modelo adiabtico sin variaciones del radio de burbuja en la ecuacin (167).

Perfiles de la fraccin de vaco, presin y velocidad a lo largo de la tubera considerada en el presente estudio. (A) velocidad promedio intrnseco del gas, (i) velocidad promedio intrnseco del lquido, (o) fraccin de vaco, (O) presin promedio intrnseco del lquido.

Comparacin de la velocidad de onda de vacos como funcin de sg para diferentes valores de la velocidad superficial del lquido. Tomadas de Bemier (1982). (i) (vi) = 0.073 d s , (O) (VI) = 0.169 m / S , (A) (VI) = 0.318 &S.

Comparacin de la velocidad de onda de vacos como funcin de E~ para diferentes valores de la velocidad superficial del lquido. Tomadas de Mercadier (1981). (i) (VI) = 0.1 mis, (0) ( V I ) = 0.2 m / S , (A) (VI) = 0.29m/~, (A) (vi) = 0.39 mis , ( 0 ) (VI) = 0.49 m / ~ .

Fraccin de vacos como funcin del tiempo para los modelos adiabtico y cuasi-isotrmico transitorios. (o) modelo adiabtico, (O) modelo cuasi-isotrmico.

118

131

134

135

137

Contenido ... XI11

Lista de Tablas

Tabla Descripcin Pgina

1 Aproximaciones para los casos cuasi-isotrmico y adiabtico. 112

2

3

4

Tiempo de relajacin para los trminos de tercer orden t:(= 2). 112 113

113

Tiempo de relajacin para los trminos de cuarto orden t:(= e). Difusividad, de(= 9) como funcin de la fraccin de vacos.

Contenido xiv

...

Nomenclatura Smbolo Descripcin Unidades

aceleracin

tensor mtrico en coordenadas de supficie (a, B = 1,2).

rea interfacial (rea de la superficie comn a la fase I y la fase g) contenida en la regin macroscpica, (= A,l)

radio de la esfera de lquido

calor especfico a presin constante de la fase gas

calor especfico a presin constante de la fase lquida

coeficiente de masa agregada

coeficiente de difusividad referido al tiempo de relajacin

elemento infinitesimal de rea

elemento infinitesimal de volumen

vectores normales unitarios en coordenadas cartesianas

vectores normales unitarios en coordenadas esfricas

vector de fuerza de arrastre interfacial

vector de fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja

vector de fuerza de masa virtual

vector de aceleracin de la gravedad que acta en la fase k

tensor simtrico en coordenadas espaciales ( j , k = 1,2 ,3)

entalpia especfica

curvatura media local instantnea, medida desde la fase gas

m / S

-

m2

ni

J/kg-K

Jkg-K

-

m2/s

m2

m3 .

-

-

N/m3

N/m3

N/m3

d S 2

-

Jk 1 /m

xv Contenido

Descripcin Unidades Smbolo

tensor unitario

nhmero de onda

coeficiente en la relacin de cerradura de las desviaciones espaciales de la velocidad, (= 1/5)

parmetro auxiliar definido por la ecuacin (398) del Apndice E

longitud caracterstica de la fase gas

longitud caracterstica de la fase lquida

longitud caracterstica del sistema en estudio

fuerza normal debida a la tensin de superficie

fuerzas interfaciales por unidad de volumen, (= Mmk)

vector normal unitario dirigido de la fase 1 a la fase g (= -ngl)

vector normal unitario dirigido de la fase k a la fase m k = 1 para m =g y IC =g para m = 1, (= - n m k )

vector normal unitario

presin local instantnea de la fase k

presin interfacial @km # pmk)

presin promedio interfacial de la fase k , (= ( P k ) g I )

vector de flujo de calor por unidad de rea de la fase k

trmino de generacin de calor por unidad de volumen de la fase k

coordenada esfrica

longitud caracterstica del volumen promedio

= 1 ,2 ,3 (mismo significado que nig)

-

-

adim

kg/m3

m

m

m

N/m2

N/m3

-

-

- -.

N/m2

N/m2

N/m2

J1s-m'

J/s-m3

I l l

ni

Contenido xvi

Smbolo Descripcin Unidades

radio de la burbuja esfrica contenida de una esfra de lquido de radio b

Nmero de Reynolds

tiempo

tensor hbrido, a = 1,2; k = 1 , 2 , 3

tiempo de relajacin

tensor de esfuerzos viscosos local instantneo

tensor de esfuerzos interfaciales

vector velocidad local instantneo de la fase k

m

-

S

-

S

NimZ

N/mZ

m / S

velocidad local instantnea de la fase k en la direccin del flujo m/s ( z )

velocidad relativa (velocidad radial en el Apndice C ) m / S

volumen promedio m3

vector de velocidad interfacial

coordenada rectangular -~

m / S

m

Smbolos especiales


o promedio de fase - ( Y promedio de fase intrnseco -

desviacin espacial - I

Contenido xvii

. Smbolos griegos - I


espesor de la capa lmite alrededor de la superficie de m la burbuja

fraccin volumen de la fase k -

coordenada esfrica -

viscosidad de la fase k

coeficiente de la relacin de cerradura (= 1/4)

kg/m-s

-

densidad de la fase IC kg/m3

tensin superficial

potencial de velocidad

N/m

m2/s

coordenada esfrica -

- variable genrica, representa un escalar, vector o tensor

diferencia de presin interfacial N/mz

tamao de paso en tiempo S -

tamao de paso en espacio

parmetro auxiliar definido por la ecuacin (403) del Apndice E

m

m / s

variable auxiliar definida por la ecuacin (126)

variable auxiliar definida por la ecuacin (127)

d S 2

m / S 2

Contenido xviii

Subndices y superndices


j

IC

km

t

t + A t

nmero de nodo o celda (j =nodo actua1,j - 1 = - nodo anterior)

k = 1 para la fases lquida y k =g para la fase gas

k = 1 para m =gy k =gpara m = 1

tiempo anterior

tiempo actual

Introduccin

El flujo de fluidos a dos fases, lquido y gas, ocurren con mucha frecuencia en las

plantas de energa e industrias petrolera, geotrmica, qumica y equipos de proceso

(Delhaye, et al. 1981). Algunos ejemplos de aplicaciones son, flujos de agua-vapor

en reactores nucleares, transporte de mezclas de gas-aceite y procesos de extraccin y

destilacin de multicomponentes.

1 As, el nmero desituaciones donde se ven involucrados los flujos bifsicos es muy

diverso. Por ello, en la conduccin de mezclas bifsicas lquido-gas. se pueden presentar

diversas configuraciones de flujo, dependiendo de las proporciones de cada una de las fases,

la geometra, orientacin de la tubera y de las propiedades termodinmicas y de transporte

de los fluidos involucrados.

En la industria petrolera mexicana, por ejemplo, se manejan los "crudos libres de

gas"; en las plataformas petroleras se realiza una separacin de las fases lquido y gas,

con el objeto de conducir la produccin de manera monofsica y evitarse as problemas

causados por la dinmica de mezclas bifsicas en tuberas. El crudo ya desgasificado se

transporta por medio de tuberas a io largo de varias decenas de kilmetros. Sin embargo.

el petrleo llega al otro extremo de la tubera con un cierto contenido de burbujas, situacin

que induce a errores de medicin del flujo de crudo entre la entrada y la salida, dado que a

la entrada de la tuberia se tenia un flujo monofsico y a la salida es bifasico.

Las burbujas aparecen en la medida en que disminuye la presin del crudo debido a

la prdida de presin en una tubera tan larga y de topografa variable. La separacin del

I

Introduccin 2

gas en las plataformas petroleras no es del 100% efectiva, por lo que se tienen

microburbujas de gas disueltas en el crudo. Dichas burbujas se expanden conforme el crudo

avanza en la tubera por efectos de la cada de presin, y se puede presentar coalescencia de

tal suerte que aparecen las burbujas. De esta manera se tiene un flujo burbujeante, el cual

podra evolucionar a flujo pulsante si el contenido de gas disuelto es lo suficiente como para

generarlo. La caracterstica principal del flujo pulsante es el hecho de que fluye de manera

alternada en paquetes de lquido separados por una burbuja cuya longitud es normalmente

de varios dimetros de la tubera. Ello induce inestabilidades hidrodinmicas en la tubera

y, en consecuencia, vibraciones mecnicas que pueden daar el sistema de transporte.

En Geotermia se presenta un problema similar para el caso cuando se conduce agua

en estado saturado. Durante la separacin de las fases lquido y vapor, ste ltimo se

conduce hacia la turbina. El iquido saturado se despresuriza parcialmente para generar ms

vapor flasheo), el cual se introduce en la turbina en una etapa intermedia de presin. De

esta forma se incrementa la produccin de energa. El agua remanente en estado saturado

se conduce hacia una laguna de evaporacin atmosfrica o se reinyecta al subsuelo a fin de

recuperar ms energa. Durante la conduccin de agua se van formando burbujas de vapor

debido a que la presin disminuye, apareciendo en consecuencia un flujo burbujeante. Si la

tubera es muy larga y la cada de presin alta, se podra presentar de igual forma un flujo

pulsante.

-

La eficiencia ylo la seguridad de dichos sistemas industriales se incrementa conforme

se adquiere y se tiene un mejor conocimiento de las caractersticas locales del flujo (Tribbe '

Introduccin 3

Y Muller, 2000). Por 10 anterior, se presenta la necesidad de estudiar en detalle los

mecanismos de la expansin de la fase gaseosa en un flujo bifsico.

El flujo bifsico burbujeante en tuberas ha sido objeto de numerosos estudios

experimentales y tericos, de tal manera que se cuenta con informacin satisfactoria para

la distribucin radia!. Sin embargo, no se han identificado claramente los mecanismos que

contribuyen a la expansin de la fase gaseosa en el desarrollo axial del flujo (Ruggles et

a1.,1988b; Grossetete, 1992).

De acuerdo con lo anterior, la habilidad para analizar la transferencia de energa y

cantidad de movimiento se ve limitada por un entendimiento inadecuado de !a distribucin

de fases, y de la interaccin entre fases, y de stas con la pared del conducto que las

contiene. En otras palabras, es necesario una adecuada constitucin de modelos

matemticos y la generacin de una base de datos experimentales suficientes: sobre el flujo

en dos fases.

As, en el presente trabajo, se deducen las ecuaciones de transporte para masa,

cantidad de movimiento y energa promediadac en volumen, las cuales componen

el modelo a dos fluidos. La deduccin se hace en tres dimensiones y

estado transitorio, tomando en cuenta la compresibilidad de la fase gaseosa. Tambin se

deducen las relaciones de cerrado mediante las cuales se estudia la interaccin interfacial

de las fases gaseosa y lquida para un flujo bifsico burbujeante horizontal. Se predicen

los perfiles de la presin del lquido, de las velocidades de ambas fases y de la fraccin de

vaco en direccin axial. Tambin se estudia el fenmeno de la propagacin de la onda de

vaco y la influencia que tienen las cerraduras sobre lla.

Captulo 1 Trabajos previos y problema a resolver

En este capNi0 se presenta la revisin del estado del arte relacionado con el flujo

bifsico burbujeante. Se estudi informacin referente a trabajos experimentales y tericos,

sobre la distribucin de la fraccin de vaco en direccin axial y radial. Tambin se presenta

informacin referente al modelo a dos fluidos y las cerraduras utilizadas en trabajos previos.

Adems se hace nfasis en la propuesta de la investigacin desarrollada en la presente tesis.

1.1 Trabajos experimentales

En el flujo burbujeante disperso o simplemente flujo burbujeante a travs de tuberas

horizontales, la fase gaseosa se encuentra en forma de pequeas burbujas (dimetro mucho

ms pequeo que el dimetro de la tubera) inmersas en una fase lquida continua. Los

tamaos de burbuja varan desde unos cuantos milmetros hasta unos cuantos centmetros

de dimetro (Kokal y Sianislav, 1989a). A bajas fracciones de gas, las burbujas se localizan

cerca de la parte superior de .la tubera, debido a los efectos de flotacin, pero a altas

fracciones de gas las burbujas se dispersan uniformemente.

La aparicin de burbujas que dan lugar al flujo bifsico burbujeante se debe

principalmente a tres factores: Ebullicin, reaccin qumica y cada de presin.

La ebullicin se presenta cuando existe transferencia de calor, la cual puede propiciar

un cambio de fase en el lquido o,bin una liberacin de gases disueltos (conduccion de . ,.

4

5

petrleo cmdo), mientras que una reaccin qumica entre lquido-lquido o liquido-slido

puede provocar la formacin de gases como producto de la propia reaccin. Si se

considera el caso de un flujo monofsico adiabtico y no reactivo a travs de una tubera, el

nico factor que puede provocar un flujo bifsico es la cada de presin, la cual induce un

cambio de fase o bien una liberacin de gases disueltos. En los tres casos la aparicin de la

segunda fase se presenta en forma de microburbujas, las cuales posteriormente dan lugar a

las burbujas.

En el mbito experimental, la formacin de burbujas puede provocase

principalmente por la inyeccin de gas en el lquido (Avijit, et al., 1998; Ieehwan, et al.,

1994), la transferencia de calor por medio de resistencias elctricas o bin por la cada de

presin provocada en un liquido que se encuentra saturado con un gas a una cierta presin

(Yehuda y Abraham, 1985).

Para identificar y comprender cuales son los parmetros que controlan la dinmica

del flujo bifsico burbujeante, as como para poder medir y modelar las variables ms

representativas del patrn de flujo, es necesario estudiar las fuerzas que actan sobre las

burbujas, antes y durante su viaje a travs del medio continuo (lquido). Las variables

ms representativas son (Kokal y Stanislav, 1989b): La fraccin de vaco, las velocidades

del gas y lquido, la cada de presin y la distribucin de presiones de las fases gaseosa y

lquida.

Con relacin al flujo bifsico burbujeante adibatico y no reactivo a travs de

tuberas, se han realizado varios trabajos tericos y experimentales, principalmente a travs

de tuberas verticales y en menor medida en tuberas horizontales. Lo anterior se debe a

1.1 Trabajos experimentales 6

que en la prctica se presentan con mayor frecuencia flujos verticales. ~n dichos trabajos

se detemina la fraccin de vaco, adems de

evaluar la contribucin de los efectos interfaciales sobre la fraccin de vaco y la velocidad

de propagacin de la onda de vaco.

la distribucin axial y ragial de

En cuanto a la distribucin radial J e la fraccin de vaco, el flujo bifsico

burbujeante vertical ha sido objeto de numerosos estudios (Serizawa, 1974; Drew y Lahey,

1978; Steven et al., 1985; Ishii, 1975; Liu y Buikoff, 1990; Zun y Mose, 1990; Johnson et

al., 1990; Dimitris et al., 1995). AI respecto y F r q u e tiene mayor relacin con la discusin

que nos ocupa, Serizawa (1974) estudi exvrimentalmente la distribucin de las fases

en direccin radial cuando una mezcla burbujeante de aire/agua fluye ascendente en un

conducto vertical en forma circular. l us un memmetro de pelcula caliente para medir

la fraccin de vaco local nicamente en direccin radial, la velocidad media axial del

lquido y la velocidad de burbuja. Para flujos 5urbujeantec ascendentes con una calidad de

0.0085, los autores observarn mximos de Ii fraccin de vaco cerca de la pared y una

distribucin homognea en el centro de la tu?era, pero conforme el valor de la calidad

aumenta, la distribucin central homognea -:a tomando una forma de campana con un

mximo en el centro de la tubera, de tal mazera que el flujo burbujeante cambia a flujo

bala (slug) a partir de una calidad de 0.0427.

Por otro lado, Dimitris et al. (1995) atsarrollaron una aproximacin anlitica del

problema de flujo burbujeante vertical ai,al-simtrico disperso en estado estable en

tuberas. La formulacin incorpora observacianes experimentales y tambin el efecto de

tamao de burbuja. Los autores supoxn que las variaciones de la densidad

1.1 Trabajos experimentales 7

del lquido promediadas en tiempo generan perfiles axial-simtricos, lo cual es una buena

aproximacin para flujos en canales verticales y flujos horizontales con pequeas burbujas

y altas velocidades. Adems consideran rgimen permanente y bidimensional, asumiendo

que, excepto para la presin, todas las otras derivadas en la direccin axial se desprecian,

el flujo es turbulento y estable despus de realizar un promediado en tiempo y desprecian

los efectos de la tensin superficial. El modelo produce buenos resultados para

cantidades pequeas de flujo promediado en volumen, pero no puede describir exactamente

los aspectos locales del flujo por que no toma en cuenta los mecanismos interfaciales.

Los resultados del modelo se presentan en la Figura 1, donde se comparan stos con

los datos experimentales de Liu y Bankoff (1 990).

Como se observa en la Figura 1, el perfil de la fraccin de vaco presenta un valor

mximo cerca de la pared y decrece hasta un valor casi constante en la regin central

de la tubera. La fraccin de vaco se ve afectada por el nmero de Reynolds ya que se

tienen valores ms grandes para Re=28000 que para Re=41000 para la misma velocidad

superficial del gas ((vK)=0.23 d s ) . De la misma manera, la velocidad del gas influye

sobre la fraccin de vaco ya que se tienen valores mayores para (vK)=0.347 m/s que para

(v,)=0.027 m / s para el mismo nmero de Reynolds (Re=41000). Ntese que el efecto de la

velocidad superficial del gas sobre la velocidad del lquido es igual al efecto sobre el perfil

de la fraccin de vaco, ya que a mayores velocidades del gas, mayores son los valores de

la velocidad del lquido y mayor es la fraccin de vaco.

Por otro lado, el estudio de la distribucin radial de la fraccin de vaco en

una configuracin horizontal o cerca de la horizontal es de inters en la transportacin

. 1.1 Trabajos experimentales 8

- 8 0.3 O

9

de mezclas gas-lquido a travs de tuberas. En esas aplicaciones, el flujo burbujeante

puede ser observado, ya sea en grandes 'slugs aireados (burbuja grande en forma de bala

con burbujas pequeas viajando atrs de ella) viajando por la tubera o bajo condiciones de

velocidades superficiales de poco gas y gran cantidad de lquido (flujo burbujeante

disperso).

En tuberas horizontales, la fuerza de flotacin provoca la migracin de las burbujas

de gas hacia la parte superior de la tubera y el flujo es altamente asimtrico en la seccin

transversal de la tubera. Bajo esas condiciones, las observaciones experimentales descritas

por Andreussi et al. (1990) indican que la velocidad media del gas (velocidad promediada

en la seccin transversal) puede ser apreciablemente menor que la velocidad del lquido y

que el perfil de la fraccin de vaco es cada vez menos simtrico conforme el ngulo de

inclinacin con referencia al eje vertical aumenta hasta un valor de 90"(tubera horizontal).

Dichos autores tambin estudiaron el efecto del flujo de gas sobre la distribucin de

vaco a lo largo de una tubera horizontal, encontrando que a menor flujo de gas, el perfil de

la fraccin de vaco tiende a ser homogneo en la seccin transversal de la tubera (Figura

2).

-

Andreussi et al., (1 999) realizaron experimentos para analizar nuevamente

la distribucin de la fase gaseosa en un flujo bifsico horizontal. Se basaron en pruebas

de conductancia para medir la fraccin de vaco local, dimetro de burbuja y velocidad de

la fase gaseosa, obteniendo resultados similares a los observados en su trabajo publicado

en 1990 (Andreussi et al., 1990). De los resultados ms importantes obtenidos por estos

autores indican que el dimetro mximo para que exista flujo bifsico burbujeante disperso

I. 1 Trabajos experimentales I O

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

j , = 4.4 m/s

O 10 20 30 40 50

Y imm)

Figura 2. Efecto del flujo volumtrico del gas sobre los perfiles de la fraccin de vacos local. (Modificado de Andreussi et al., 1990).

- a travs de tuberas horizontales es de 6 mm, valor para el cual las burbujas cambian su

forma esfrica a elipsoidal.

Warren y Klausner (1995) realizaron mediciones de la cada de presin y la fraccin

de vaco en una tubera horizontal de 19.1 mm de dimetro interior por la cual circula un

flujo bifsico burbujeante disperso. Las mediciones de la cada de presin fueron usadas

para identificar la longitud en la cual se desarrolla el esfuerzo cortante despus de una

obstruccin al ujo, para flujos msicos por unidad de rea entre 1277 a 2126 kg/m2s.

fraccin de vaco de O a 0.2, presin esttica absoluta de 124 a222 kPa y rea de obstruccin

1 . I Trabajos experimentales 11

A,/&de 0.2 a 0.8, donde A, es la rea de flujo del orificio y A, es la rea de la seccin

transversal de prueba.

Para medir la fraccin de vaco, los autores utilizaron la tcnica

de capacitancia, colocando sensores a 68 dimetros corriente arriba y 115 dimetros

corriente abajo de la obstruccin. Hicieron mediciones de la fraccin de vaco en direccin

axial, inmediatamente despus de la obstruccin pero no reportan los resultados. Tambin

realizaron observaciones del comportamiento de las burbujas en direccin axial, notando

que la distribucin radial y el tamao de burbuja cambia en dicha direcci'n, de tal manera

que cuando las burbujas son pequeas viajan ocupando toda la seccin transversal de la

tubera y al crecer, tienden a viajar preferentemente en la parte superior (Figura 3).

. ,. Figura 3. Distribucin de las burbujas de gas corriente abajo del orificio: (a) 0.5 a 4.5 dimetros, (b) 9 a 14 dimetros, (c) 69 a 72 dimetros.(Modificado de Warren y Klausner, 1995).

1.2 Trabajos tericos 12

La Figura 3 muestra la estructura del flujo bifsico burbujeante corriente abajo de la

obstruccin (50% de obstruccin al flujo). El nmero de Reynolds para el lquido es de

52000 y la fraccin de vaco en la regin de flujo desarrollado es de 0.09. En la Figura

3a, las burbujas son esfricas y pequeas comparadas con las burbujas (no esfricas) en la

regin de flujo desarrollado (Figura 3c) en donde las burbujas emigran a la parte superior

del tubo.

Los autores tambin observaron que el tamao de burbuja medio en la regin

completamente desarrollada decrece con el incremento del flujo volumtrico del lquido

y que el rea de obstruccin no afecta la estructura del flujo en la regin completamente

desarrollada.

AI igual que los trabajos comentados anteriormente, en la literatura se encuentran

otras investigaciones relacionadas con la distribucin radial de la fraccin de vaco, pero

no referentes a la distribucin axial. Adems, existe poca informacin para el fenmeno

del flujo bifsico burbujeante disperso a travs de tuberas horizontales. Sin embargo, hay

informacin importante referente al modelo a dos fluidos el cual se puede utilizar para

predecir la distribucin axial de la fraccin de vaco y evaluar la influencia de los efectos

interfaciales sobre la fraccin de vaco y la velocidad de propagacin de la onda de vaco.

Dicha informacin se presenta en la seccin de trabajos tericos.

1.2 Trabajos tericos

Se han realizado diversos trabajos para conocer la descripcin dinmica del flujo bifsico

por medio de cantidades promediadas ya sea en espacio-tiempo o bin en tiempo-espacio.

, . . . .


Tambin se han realizado trabajos (Ishii, 1975; Yadigaroglu y Lahey, 1976; Gray y Lee,

1977; Hassanizadeh y Gray, 1979; Banerjee y Chan, 1980; Delhaye, 1981; Drew, 1983;

Lahey y Drew, 1989; Soria y de Lasa, 1991; Zhang y Prosperetti, 1994; Espinosa y Soria,

1998; Sherwood, 1999) sobre la derivacin exacta de las ecuaciones que modelan dichas

cantidades promedio, El proceso de promediado muestra la interaccin entre las regiones

homogneas (fases, interfases y lneas de contacto) en un sistema multifsico (Soria y de

Lasa, 1991). Una vez que se utilizan aproximaciones nmericas, las ecuaciones

de transporte promediadas para flujo multifsico se pueden usar para resolver una gran

variedad de problemas prcticos. Pero en cualquier caso, la dificultad de usar

dichas formulaciones, estriba en el uso de relaciones de cerrado apropiadas para cada uno

de los trminos que se introducen debido al proceso de promediado.

Las relaciones para obtener un conjunto cerrado de ecuaciones de

conservacin promedio para cada fase, el cuai se conoce como modelo a dos fluidos,

se han obtenido en trabajos anteriores para un flujo bifsico burbujeante (Zuber, 1964; Van

Wijngaarden, 1976; Stuhmiller, 1977; Biesheuvel y Spoelstra, 1989; Lahey, 1991; Pouchon

y Smereka,l992; Espinosa y Soria, 1998; Shenvood, 1999). En los trabajos mencionados,

los resultados sobre las relaciones de cerrado son similares respecto a la aproximacin de la

teora del flujo potencial alrededor de una burbuja esfrica con un modelo de celda unitaria

concntrica. Sin embargo, se puede obtener una formulacin general para dichas relaciones

de cerrado utilizando un modelo de celda unitaria excntrica (Espinosa-Paredes, 2001).

El modelo a dos fluidos utilizado en los trabajos mencionados, vara en cuanto a las

ecuaciones de conservacin utilizadas. El modelo puede estar formado por cuatro


ecuaciones (dos para masa y dos para cantidad de movimiento) o por seis ecuaciones (dos

para rnasa,dos para cantidad de movimiento y dos para energa). Adems,

las consideraciones hechas por cada investigador, en cuanto a las fuerzas involucradas,

transferencia de calor, transferencia de masa y compresibilidad de las fases hacen que los

modelos difieran entre s.

Para establecer el estado del arte del modelo a dos fluidos es imprescindible anunciar

aqu el modelo obtenido en el presente trabajo (Capitulo 2). Dicho modelo consiste de las

ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energa promediadas en volumen intrnseco,

las cuales son:

a) Conservacin de masa

b) Conservacin de cantidad de movimiento

1.2 Trabajos tericos

c) Conservacin de energa

15

En las ecuaciones (I), (2) y (3), E es la fraccin de vaco, p es la densidad, v es la

velocidad, p es la presin, g es la gravedad, T es el tensor de esfuerzos viscosos, Ap es

el gradiente de presin, h es la entalpa, q es la transferencia de calor interfacial, V es el

volumen ocupado por las fases gaseosa y lquida, A es la rea, w es la velocidad, n es el

vector normal, q"' es la generacin de calor, IC y m representan gas (k =g) o lquido ( I C = 1 )

con IC # m, s representan slido o pared, el tlde (I) representa desviacin espacial y el

corchete ( ) k representa promedio en volumen intrnseco.

En relacin con el modelo a dos fluidos dado por las ecuaciones (1), (2) y (3), Chen

et al. (1985), analizaron la propagacin de perturbaciones infinitesimales (ondas de sonido)

enun flujo bifsico burbujeante de aire y agua con el fin de evaluar algunas

- v i v : . . . ..leyes .de.transferencia interfacial en modelos unidimensionales.de. .dos.fluidos (ecuaciones . ~,

de conservacin promediadas en espacio y tiempo). Los autores consideraron a las fases

lquido y gas como compresibies y a la fase gaseosa como un gas ideal.
http://unidimensionales.de


Los autores utilizaron la ecuacin (1) nicamente con los dos trmiiios del miembro

izquierdo; la ecuacin (2) nicamente con el primero, segundo, tercero y quinto trminos

del miembro izquierdo y con el tercer, cuarto y quinto trminos del miembro derecho; la

ecuacin (3) nicamente con el primero, segundo y cuarto trminos del miembro izquierdo

y el tercer y cuarto trminos del miembro derecho. Dichas ecuaciones las usaron en una

sola dimensin.

Para resolver las ecuaciones ( I ) , (2) y (3) con las simplificaciones mencionadas

anteriormente, los autores utilizaron ecuaciones constitutivas las cuales expresan las leyes

de transferencia interfacial en trminos de las variables dependientes.

Por otro lado, Ruggles et al. (1988a) midieron la atenuacin y dispersin de ondas a

travs de una mezcla burbujeante de aire y agua. Adems, obtuvieron datos experimentales

los cuales combinados con un modelo a dos fluidos (Chen et al., 1983; Ruggles, 1987) les

permiti establecer una relacin emprica entre el coeficiente de volumen virtual, C,,, y la

fraccin de vaco,

Los autores tambin utilizaron un modelo a dos fluidos para predecir 10s

datos medidos. El modelo fue desarrollado para un flujo disperso de aire y agua en el

cual se tomaron en cuenta los efectos viscosos y la transferencia de calor interfacial. Las

ecuaciones que utilizaron los autores son las ecuaciones (I), (2) y (3) sin tomar en cuenta

los mismos trminos que despreciaron Chen et a1.(1985), adems de que en la ecuacin (2)

no tomaron en cuenta el quinto trmino del miembro derecho. Tambin usaron la ecuacin

-. . ,de'gas ideal;-Ircual permite determinar las variacionesdela'densidad del gas con respecto ' ' . . ^. "1

ai tiempo y la posicin.


Ruggles et al. (1988b) tambin usaron el modelo a dos fluidos para predecir

informacin referente a la propagacin de ondas de vaco de un flujo burbujeante de aire

y agua. Analizaron la importancia del uso de la transferencia de cantidad de movimiento

interfacial (arrastre, masa virtual y desviaciones espaciales de la velocidad) en el modelo

a dos fluidos. El modelo usado por los autores se compone de las ecuaciones (I), (2) y

(3) en una dimensin. Los autores hicieron las mismas simplificaciones hechas por Chen

et al. (1985), pero en la ecuacin (2) s tomarn en cuenta el cuarto trmino del miembro

izquierdo y el primer trmino del miembro derecho.

En 1991, Lahey present un anlisis lneal y no lneal del fenmeno de ondas de

vaco. Su estudio se bas en el modelo unidimensional a dos fluidos promediado en espacio

ytiempo (Lahey y Drew, 1989), con el cual encuentra que la dispersin de las ondas de

vaco es fuertemente influenciada por el deslizamiento entre las fases. Adems observ

que la fuerza de masa virtuai es un parmetro muy importante en el modelado de ondas

de vaco. Muestra adems que el anlisis de ondas de vaco es un excelente medio para

evaluar las cerraduras utilizadas en el modelo a dos fluidos.

El flujo que analiza el autor es un flujo burbujeante de aire y agua. Las ecuaciones

de conservacin en las que basa su estudio son las ecuaciones de ( I ) y (2) con las mismas

simplificaciones hechas por Ruggles, et al. (1988b). El autor considera que ambas fases

son compresibies pero omite la fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja.


En 1992, Lahey nuevamente present un anlisis lineal y no ineal del fenmeno

de ondas de vaco, con el mismo propsito que su trabajo de 1991. l utiliza un modelo

unidimensional a dos fluidos promediado en espacio y tiempo para un flujo adiabtico de

aire y agua a travs de un conducto de seccin transversal constante, el cual consiste de las

ecuaciones ( I ) y (2) con las mismas simplificaciones que su trabajo de 1991, adems de la

ecuacin (3), en la cual hizo las mismas suposiciones que Ruggles et al. (i988b). En el

modelo se asume que ambas fases son compresibles y que se tiene una ecuacin de estado

dada por la ecuacin (4).

En este caso, Lahey incluye la fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja y

realiza un desarrollo (similar al realizado por Chen et al., 1985) para encontrar una relacin

entre las presiones de fase del lquido y gas. Para lo anterior, considera una sola burbuja

rodeada por un medio lquido infinito y excitada por oscilaciones sinusoidales de presin.

Supone que la respuesta de la burbuja es simtricamente esfrica y sin oscilaciones de

traslacin. -

El autor nuevamente encuentra que el coeficiente de masa virtual es el parmetro que

afecta ms significativamente al modelo de dos fluidos.

Espinosa y Soria (1998) desarrollaron un modelo a dos fluidos promediado en

volumen para fluidos Newtonianos (aire-agua), el modelo es unidimensional, isotrmico,

incompresible y dependiente del tiempo. Para obtener las relaciones

de cerrado, consideraron flujo potencial alrededor de las burbu.ias esfricas. Los autores

utilizaron el modelo para estudiar los efectos de interaccin de cantidad de movimiento para

un patrn de flujo burbuja. Para lo anterior realizaron un anlisis dinmico lineal basado


en la tcnica de eigenvalores, determinando el dominio de comportamiento hiperblico

y la velocidad de la onda de fraccin de vaco. Para obtener el modelo partieron de las

ecuaciones de conservacin locales de masa y cantidad de movimiento a las cuales les

aplicaron operadores de promediado en volumen intrnseco. Supusieron que ambas fases

son incompresibles, obteniendo dos ecuaciones para masa y dos ecuaciones para cantidad

de movimiento, las cuales se obtienen haciendo la densidad constante en las ecuaciones (I)

y (2) y usando una sola dimensin. Adems, en dichas ecuaciones no tomaron en cuenta el

segundo, quinto, sexto y sptimo trminos de la ecuacin (2).

Las relaciones de cerrado que utilizan son semejantes a las presentadas por otros

investigadores. No incluyen la fuerza debida a las variaciones del radio de burbuja y

resuelven el sistema cerrado de ecuaciones utilizando el mtodo de diferencias finitas con

un arreglo implcito y aplicando el concepto de celda donante, el cual fue usado por Saurel

et al. (1994).

Dos son las tcnicas que comnmente se utilizan para analizar la propagacin de

ondas de vaco. Una es la evaluacin de los eigenvalores (races caractersticas)

y eigenvectores del conjunto de ecuaciones resultante del modelo a dos fluidos (Ramshaw

y Trapp, 1978; Biesheuvel y Van Wijngaarden, 1984; Pauchon y Banejee, 1986). La otra

tcnica consiste en la linealizacin del conjunto de ecuaciones y anlisis de la relacin de

dispersin (Ramshaw y Trapp, 1978; Lahey, 1991; Biesheuvel y Gorissen, 1990; Park et

al , 1990; Lisseter y Fowlor, 1992). Cuando se tienen races caractersticas reales,

las perturbaciones pequeas de la longitud de onda se estabilizan, tal que el problema

de valor inicial esta correctamente planteado (Ramshaw y Trapp, 1978). Sin embargo,


las rakes caractersticas complejas no necesariamente indican una formulacin incorrecta,

ya que pueden aparecer por una inestabilidad fsica de la configuracin de flujo supuesta,

indicando posiblemente transicin a un patrn de flujo diferente (Soria y de Lasa, 1992;

Brauner y Maron, 1992).

En su trabajo, Espinosa-Paredes y Soria (1998) utilizan la tcnica de evaluacin de

eigenvalores, encontrando que el sistema de ecuaciones hiperblico que resuelven, esta

bien planteado (races reales). La transicin matemtica de sistemas hiperblicos a no

hiperblicos indica una posible transicin de flujo (coalescencia de burbujas) tal como lo

determinaron Ruggles et al. (1988b).

Adems los autores encontraron que al incluir el esfuerzo cortante interfacial se

reduce el dominio de hiperblicidad y se incrementa ste con las desviaciones espaciales

de la velocidad. En particular, el dominio de hiperblicidad se reduce cuando el coeficiente

de masa virtual (Cvm) es mayor a 0.5 y se incrementa cuando C,, es pequeo. Los autores

tambin estudiaron el efecto de la tensin superficial sobre el dominio de hiperblicidad

(regin estable) observando que dicho parmetro afecta en mayor medida a la solucin del

sistema de ecuaciones para velocidades superficiales del lquido pequeas (Z 0 . lds ) que

para velocidades grandes (g 0.4ds) .

Relacionado con el trabajo anterior, Espinosa-Paredes (200 1) estudi un conjunto de

burbujas dispersas en una fase lquida continua. Utiliz las ecuaciones promediadas en

espacio y tiempo (modelo a dos fluidos) para un flujo bifsico transitorio, incompresible e

isotrmico con el fin de describir las caractersticas de la propagacin de ondas de vaco e

investigar la estabilidad lineal del rgimen de flujo burbujeante. Para la descripcin

1.3 Investigacin realizada 21

promedio, el autor propuso flujo potencial alrededor de las burbujas con lo cual obtuvo

relaciones de cerrado usando un modelo de celda excntrica. Las relaciones de cerrado

obtenidas comprenden la masa virtual, la diferencia entre la presin promedio intrnseco y

la presin promedio en la interface, as como el promedio de la dida de las desviaciones

espaciales de la velocidad para la fase lquida.

El punto de partida que utiliza el autor en su estudio son las ecuaciones

de transporte promediadas en volumen, tridimensionales y dependientes del tiempo dadas

por las ecuaciones (I) y (2) con las mismas restricciones que las del trabajo de Espinosa-

Paredes y Soria (1998).

Con este trabajo, Espinosa-Paredes (2001) encuentra que el modelo fue estable para

fracciones de vaco menores o iguales a 217, y que es posible determinar la masa virtual y

la dida de las desviaciones espaciales de la velocidad como funcin de la excentricidad

tal que las ecuaciones gobernantes promedio para flujo en dos fases sean estables. Deriva

adems relaciones de cerrado en funcin de la excentricidad con las cuales obtiene un

modelo a dos fluidos unidimensional para flujo burbuja, el cual es nuevo en el campo de

estudio en el flujo en dos fases.

-

1.3 Investigacin realizada

De acuerdo a la revisin de literatura que se present en la seccin anterior, se realiz

un trabajo de investigacin dividido en dos grandes etapas. La primera tiene que ver

con el establecimiento de relaciones de cerrado del modelo a dos fluidos para establecer

un modelo fsico objetivo. La segunda etapa tiene que ver con el diseo y desarrollo de

1.3 Investigacin realizada 22

un programa de cmputo que simula la expansin de microburbujas y la evolucin del

flujo burbujeante en una tubera horizontal considerando la distribucin axial de las fases.

El modelo es validado con datos tericos y experimentales referentes a la velocidad de

propagacin de la fraccin de vaco reportados en la literatura.

1.3.1 Objetivo de la investigacin

Modelar la hidrodinmica de la expansin de burbujas presentes en la fase lquida en una

tubera horizontal para describir la distribucin axial de la fraccin de vaco debido a la

cada de presin. Para esto se establece un modelo fsico y se desarrolla un programa de

computo para simular los fenmenos hidrodinmicos y de interaccin interfacial.

1.3.2 Alcance de la investigacin

El modelado de la expansin de las burbujas no tiene solucin exacta por lo que se

aplicaron dos aproximaciones: a) linealizar las ecuaciones promedio y obtener una solucin

analtica a travs de la ecuacin de onda y b) considerar o estudiar los efectos no lineales

desarrollando un modelo numrico (unidimensional y transitorio) para un flujo bifsico

burbujeante adibatico y no reactivo. Los modelos fsico y computacional consideran la

aparicin de las burbujas como producto de la expansin de microburbujas presentes en la

fase lquida o como el flujo de fases (lquido/gas) en una tubera y que dan lugar a un flujo

bifsico burbujeante.

-

El modelo toma en cuenta la interaccin lquido-burbujas (fuerzas de arrastre, las de

masa virtual y las debidas a la variacin del radio de burbuja).

1.4 Problema a resolver 23

Se obtienen tericamente las expresiones para las ecuaciones de cerradura, utilizando

la teora de flujo potencial y un modelo de celda unitaria concntrica. Adems, se toma en

cuenta la compresibilidad de la fase gaseosa.

1.4 Problema a resolver

El fenmeno de flujo en dos fases y, en particular, el flujo bifsico burbujeante a travs de

tuberas se presenta en varias aplicaciones industriales, por ejemplo en condensadores y

evaporadores, equipos de procesos qumicos, reactores nucleares, tuberas de aceite, entre

Otras.

La importancia de conocer el tamao y distribucin de las burbujas en procesos

industriales donde se llevan a cabo fenmenos de transferencia de calor y masa, cada de

presin y transicin del patrn de flujo, es crucial debido a que son funcih de la fraccin

de vaco. Tambin es importante conocer las velocidades de las fases involucradas, ya que

son parmetros que se toman en cuenta para el diseo y seguridad de dichos equipos.

En el presente trabajo se estudia un sistema como el mostrado en la Figura 4. Dicho

sistema consiste de un flujo bifsico burbujeante adiabtico y no reactivo para el cual se

predice la fraccin de vaco, las velocidades, presiones y temperaturas de las fases gaseosa

y lquida.

El sistema en estudio es un flujo en dos fases y dos componentes viajando a travs

de un ducto horizontal en rgimen de flujo burbuja. El sistema est constituido por una

fase continua lquida (agua) y una fase dispersa de gas (aire). La longitud caracterstica

del ducto es mucho mayor que el tamao individual de las burbujas, las cuales


Volumen promedio, Y

Fase dispersa, s I , I - - - - - - - - - - - 4

Figura 4. Modelo fisico de un flujo bifsico burbujeante horizontal

se suponen esfricas con radio variable viajando preferentemente en la parte central de la

tubera (Warren y Kiausner, 1995; Andreussi et al., 1990), por lo que no interactan con la

pared de sta. Adems se supone que las burbujas no interactan entre s.

En general, las burbujas pueden aparecer debido a intercambio de calor, reaccin

qumica, cada de presin o bien a una combinacin de stas. En este trabajo, debido a que

no existe transferencia de calor entre la pared de la tubera y los fluidos y que los fluidos no

reaccionan qumicamente entre s, la aparicin y expansin de las burbujas de aire se debe

nicamente al gradiente de presin que existe entre dos puntos distantes en la direccin

axial de la tubera.

~~


Se considera que los fluidos son Newtonianos, ambas fases estn en movimiento y

la distribucin, nmero y posicin de las burbujas no se conocen. Adems, la tensin

superficial es constante y no se presenta transferencia de masa interfacial.

El volumen promedio seleccionado para este estudio es constante y mucho mayor

que el tamao individual de las burbujas. Adems, se encuentra lejos de la pared del ducto

y de la entrada del flujo bifsico a la tubera, con lo cual se asegura que el sistema es

homogneo y continuo. Con estas restricciones los efectos viscosos lejos de la pared del

ducto son despreciables.

En trminos matemticos, la restriccin de escala de longitud impuesta para estudiar

flujo burbujeante se expresa con la siguiente desigualdad (Espinosa-Paredes y Soria, 1998)

donde I , y 11 son las longitudes caractersticas microscpicas de la fase gaseosa y fase

lquida, respectivamente, r,, es la longitud caracterstica del volumen promedio y L es la

longitud caracterstica macroscpica.

A fin de simular adecuadamente el flujo bifsico, se deben simular los

flujos representativos de gas y lquido con sus interacciones y, tambin se debe modelar

la distribucin de tamaos de burbuja, los perfiles de velocidad de las fases lquido y gas,

..: 'as como'labfraccin de ,vaco. ;:Adems, se deben desarrollar modelos.paradas. ecuaciones

de cerrado que cumplan con el principio de objetividad de material, que sean modelos bien

propuestos, y que reproduzcan bien los datos experimentales.


Lo anterior es el problema que se resuelve en la presente investigacin para el sistema

mostrado en la Figura 4. El resultado es un modelo matemtico el cual permite predecir

el comportamiento de un flujo bifsico burbujeante adiabtico y no reactivo que circula a

travs de una tubera horizontal, tomando en cuenta la expansin de las burbujas. Adems,

se obtienen expresiones para las ecuaciones de cerrado, las cuales permiten obtener un

modelo matemtico totalmente terico, es decir no se utilizan correlaciones en

su constitucin.

1.4.1 Metodologa

La metodologa que se sigue en el presente trabajo se muestra en el esquema de la Figura

5.

Primeramente se deben establecer las ecuaciones de gobierno locales instantneas,

las cuales consisten de un conjunto de ecuaciones de transporte de masa, cantidad de

movimiento y energa para cada una de las fases y la condicin de salto de cantidad de

movimiento interfacial, la cual incorpora los efectos de las fuerzas interfaciales.

El siguiente paso es aplicar a las ecuaciones de gobierno el mtodo de promedio

volumtrico para obtener informacin suficiente para estimar el comportamiento global del

sistema en trminos de variables promedio (Captulo 2).

A continuacin es necesario determinar las cerraduras, las cuales se formularon como

un problema asociado con las desviaciones espaciales alrededor de los valores promedio

de las variables.locales instantneac:Para.ello se aplica.4a teora de flujo potencial.en una ~ ' . .~

1.4 Problema a resolver

Comparacin con datos Ecuacin de onda (Anlisis lineal) experimentales

21

Solucin numrica (Aproximacin no lineal)

Modelo de celda

kuaciones locales y puntuales de masa, cantidad de movimiento y energa

Aplicacin del mtodo del promedio volumtnco

Obtencin de las ecuaciones . promedio ecuaciones promedio Obtencin de cerraduras

Figura 5. Metodologa para estudiar un flujo bifsico burbujeante.

celda concntrica (Captulo 3). El siguiente paso es acoplar las ecuaciones promedio con

las cerraduras para lograr un conjunto cerrado de ecuaciones (Captulo 4).

Enseguida se realiza un anlisis de estabilidad lineal del conjunto cerrado de

ecuaciones promedio que consiste en determinar la ecuacin de onda de donde

se identifican la velocidad de propagacin, los tiempos de relajacin y el coeficiente de

difusividad de la onda cinemtica. Esta ecuacin con derivadas parciales de cuarto orden es

I _ *

1.4 Problema a resolver 2s

la ecuacin jerrquica que gobierna los fenmenos de propagacin de la onda de fraccin

de vaco (Captulo 5).

Con el fin de estudiar los efectos que provocan las no linealidades, el sistema cerrado

de ecuaciones promedio se resuelve numricamente aplicando la tkcnica de diferencias

finitas. El sistema que se simula es un flujo bifsico burbujeante disperso a travs de una

tubera horizontal. Se desarrolla un cdigo numrico con el cual se calcula la velocidad

de propagacin y se obtienen las distribuciones de la fraccin de vaco, las velocidades y

las presiones de las fases (Captulo 6). Finalmente se obtienen las conclusiones del trabajo

(Captulo 7).

Captulo 2 Ecuaciones de transporte basadas en el

promedio volumtrico

En este captulo se presenta la derivacin terica de las ecuaciones de conservacin

promediadas en volumen para los procesos de flujo en dos fases usando el mtododel

promedio volumtrico. Se promedian las ecuaciones de conservacin de masa, cantidad de

movimiento y energa, obtenindose un conjunto de ecuaciones promedio para cada una de

las fases e interfases conocido como modelo de dos fluidos. El planteamiento matemtico

es en tres dimensiones y rgimen transitorio.

2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas

La descripcin local instantnea esta constituida por un conjunto de ecuaciones de balance

de masa, cantidad de movimiento y energa. Debido a la presencia de la interfaz que separa

las fases gas-lquido, tambin es necesario especificar un conjunto de ecuaciones de balance

locales instantneas de masa, cantidad de movimiento y energia que describan los procesos

fsicos en la regin interfacial (supuesta como bidimensional) conocidas como condiciones

de salto. Para obtener una solucin particular es necesario especificar las condiciones de

frontera y las condiciones iniciales. Las ecuaciones locales instantneas son el punto de

partida para desarrollar el modelo promedio volumtrico para flujo en dos fases aplicando

el promedio en volumen.

-

29

2.1 Ecuaciones de conservacin locales instantneas 30

Las hiptesis y suposiciones de los procesos de transferencia de masa, cantidad de

movimiento y energa que se aplican para obtener la descripcin local instantnea son:

Flujo adibatico

Transferencia de masa interfacial nula

Tensin superficial constante

Las ecuaciones de balance locales instantneas que describen los procesos

de transferencia de masa, cantidad de movimiento y energa no pueden resolverse para

un sistema con un nmero desconocido de burbujas movindose en el lquido tal y como

se ilustra en la Figura 6 . Sin embargo, una descripcin promedio proporciona suficiente

informacin para estimar el comportamiento global del sistema en trminos de variables

promedio. Por lo anterior, se presenta la necesidad de promediar en volumen

dichas ecuaciones, para lo cual se selecciona un volumen promedio lejos de las paredes

slidas del ducto y de la entrada del flujo en dos fases, para asegurar que el sistema sea

homogneo y continuo. Con esta restriccin, los efectos viscosos lejos de las paredes

del ducto son despreciables (Espinosa-Paredes y Soria, 1998). Adems, el considerar al

volumen promedio lejos de las paredes del ducto garantiza que se cumpla la restriccin de

escala de longitud dada por la ecuacin ( 5 ) .

Las ecuaciones locales instantneas que describen los procesos fsicos

de transferencia de masa cantidad de movimiento y energa para cada una de las fases estn

dadas por el siguiente conjunto (Ishii, 1975; Delhaye, et al., 1981):


Figura 6. Volumen promedio V usado para el presente estudio. r, es la longitud caracterstica del volumen promedio, 1, y 11 son las longitudes caractersticas de las fases gas y lquido respectivamente, nrf es el vector normal unitario apuntando de la fase gas a la fase lquida y nlg = -nai.

a) Ecuacin de continuidad para la fase k :

aPk - + v . ( P k V k ) = o at

b) Ecuacin de cantidad de movimiento de la fase k :


donde I es el tensor identidad, pk representa la presin de la fases k , g es el vector de

aceleracin de la gravedad que acta sobre la fase k y Tk es el tensor de esfuerzos viscosos

de la fase k , el cual para flujo Newtonian0 y localmente compresible esta dado como:

donde pk es la viscosidad de la fase IC y el superndice T denota transpuesta.

c) Ecuacin de energa para la fase k :

donde hk es la entalpa especfica de la fase k , 4; es el vector flujo de calor por unidad de rea de la fase k y < es el trmino de generacin de calor por unidad de volumen de la fase k .

Por otro lado las condiciones de salto estn dadas por (Ishii, 1975; Espinosa-Paredes,

2001):

a) Condicin de salto de masa interfacial:


donde wig es la velocidad de la interfase 1-g, Al, es la regin interfacial (Figura 6) , Aka

es la regin ocupada entre la fase k y la pared slida s del ducto, nlE es el vector normal

unitario dirigido de la fase 1 a la fase g, el cual tiene la propiedad niL = -nzt, y nks es el

vector normal unitario dirigido de la fase k a la pared del ducto s. La condicin de salto

de masa [Ecuacin (log)] no considera efectos de acumulacin en la regin interfacial,

mientras que la ecuacin ( I 1) establece la condicin de frontera de adherencia o tambin

conocida como condicin de no deslizamiento en la interfase k - s.

b) Condicin de salto de cantidad de movimiento:

[plvi (vi - wig) f piEI - TiE] . ni E

+ [pzvg (vg - wig) + P ~ J - Tgt] . nzt = m' en AlE (12)

donde m es la fuerza debida a la tensin superficial, la cual esta definida por:

m = (t$@o) ,o = ZH,U~,, + t,amPu,p (13)

Esta ecuacin se deriva en el Apndice A, y como caso particular, cuando u

es constante se reduce a:

m = (tea k aP u) ,o = 2H,onFI (14)

.. ,_ En las ecuaciones (13) y.(14), tt es el tensor hbrido, amo es el tensoKsimtrico en la

superficie, u es la tensin superficial, H, representa la curvatura media interfacial medida

desde la fase gaseosa, ( ),o denota derivada covariante en coordenadas de superficie y los

2.1 Ecuaciones de conservacin locales insianineas 34

ndices con letras griegas significan coordenadas de superficie (a ,@ = 1,2) . La ecuacin

(13) en coordenadas espaciales esta dada por (Apndice A):

donde gkJ representa el tensor simtrico espacial, nj es el vector normal con

notacin indicia1 y tiene el mismo significado que nig, [ ] , j denota derivada covariante

en coordenadas espaciales y los ndices con letras latinas significan coordenadas espaciales

( j , IC = 1 , 2 , 3 ) .

Es importante mencionar que cuando no existe transferencia de masa de una fase a la

otra, ya sea por un proceso de condensacin o evaporacin a travs de la regin interfacial,

las ecuaciones (10) y (12) se pueden escribir como:

La ecuacin (16) establece que no existe transferencia de masa interfacial debido a

que se impone que la velocidad de la fase k en la direccin normal en la interfase es igual

, j i .:a

2.2 Mtodo del promedio volurntrico 35

donde E es el trmino fuente de energa de superficie debido a la tensin superficial (trabajo

debido por la tensin superficial), el cual esta dado por (Ishii, 1975):

(19) E = (,a k 4 u wig) ,p = -2H,on,, . wl,

La solucin tambin requiere de condiciones de frontera y condiciones iniciales:

c.1. Pk = 9 (4 i en t = O (21)

donde Ake representa las reas de entrada y salida de la fase IC asociadas con la regin de

estudio (Figura 6) , x es el vector de posicin, t la variable temporal y yk representa a las

variables dependientes (p , v,p y h) de cada una de las fases.

Por otro lado, la ecuacin de estado esta dada por:

la cual permite implicar el efecto de compresibilidad en las ecuaciones de conservacin,

2.2 Mtodo del promedio volumtrico 36

2.2 Mtodo del promedio volumtrico

El conjunto de ecuaciones locales instantneas definidas en la seccin anterior no se pueden

resolver para un sistema con un nmero desconocido de burbujas movindose en el lquido,

por lo cual es necesario promediarlas en espacio. Gray (1983) desarroll expresiones para

el mtodo del volumen promedio dependientes en espacio y tiempo, mientras que en este

estudio se restringe a un volumen promedio constante. Adems, en el presente trabajo se

considera que las ecuaciones promedio obtenidas son independientes de la geometra del

volumen promedio, siempre y cuando ste sea independiente del tiempo, de la localizacin

en el sistema de flujo en dos fases y que cumpla con la restriccin impuesta de escalas de

longitud dada por la ecuacin (5). El volumen promedio se compone de las fases gaseosa

y lquida, donde el volumen promedio es constante y el volumen de cada una de las fases

depende del tiempo:

Las cantidades promedio se asocian con cantidades locales a travs de un operador

promedio, el cual para una variable genrica 1c, en la fase IC se define por:

donde .j $k, es el. .valor .de . 1c, en. la .... fase IC y puede. ser un escalar,.vector,o tensor.

La expresin dada por la ecuacin (24) se conoce como promedio ,fuse, mientras que el

promedio intrnseco defuse esta dado por:


Los operadores promedio de fase y promedio de fase intrnseco estn relacionados a

travs de la siguiente expresin:

( $ k ) = E k ( @ d k

donde ~k es la fraccin volumen definido por

Otra cantidad promedio importante que se aplica en el presente estudio es el promedio

en rea:

Para obtener la descripcin promedio, se deben aplicar dos teoremas de integrales

(Slatery, 1967; Whitaker, 1967). Dichos teoremas son una herramienta matemtica que

permiten intercambiar las variables entre derivadas promedio por derivadas de variables

promedio. .El primer teorema es la ecuacin de transporte general, con la cual se relaciona

la derivada promedio de una cantidad Gk con respecto ai tiempo. Para un sistema de M

fases, este teorema esta dado por:


El segundo teorema es conocido como teorema de promedio espacial. Para cualquier

cantidad Sk asociada con la fase k , este teorema esta dado por:

m=M

(v$k) = v($k) + $ l,_,,, $knkmdA (30) m=l(k#n)

Si Gk es igual a 1, los teoremas dados por las ecuaciones (29) y (30) se reducen,

resultando:

donde w k m es la velocidad en la interfase k - m, n k m es el vector normal unitario en la

interfaz apuntando de la fase k a la fase m y gk es cualquier cantidad asociada con la fase

k . Si qLk es una constante igual a 1, de la ecuacin (24) se obtiene:

La ecuacin (33) indica que el promedio de una constante es igual a la fraccin de

vaco de la fase k multiplicada por esa constante.

2.3 Ecuaciones promediadas en volumen 39

Es importante mencionar que si se aplica la condicin dada por la ecuacin (1 1) y se

toma en cuenta que hay dos fases fluyendo a travs de la tubera, una gaseosa y otra lquida,

y que wlg = w8/, Al, = A*,, ngl = -nl,. las ecuaciones (29)-(32) se pueden escribir como:

nkmdA - - nksdA; k # m (37) ' S V E k = Ak,(t) Es importante recordar que la derivacin terica de las ecuaciones anteriores - debe

satisfacer la restriccin de escalas de longitud (&,h


entre el promedio de fase y el promedio de fase intrnseco [ecuacin (26)] se obtienen las

ecuaciones de conservacin promedio en fase intrnseco.

2.3.1

Aplicando el operador promedio dado por la ecuacin (24) en la ecuacin (6) ,

Ecuacin de masa promediada en volumen e instantnea

y usando los teoremas dados por las ecuaciones (34) y (35) en la ecuacin (38) y aplicando

la condicin de frontera dada por la ecuacin (1 1), se obtiene:

El trmino de la integral representa la transferencia de flujo msico interfacial por

unidad de volumen para el caso en que la fase 1 se evapora. La transferencia de masa

se lleva a cabo en la interfaz entre las fases fluidas y se presenta debido al desequilibrio

termodinmico entre las fases. Algunos autores representan a dicho trmino por ri = -r, y su magnitud se determina por medio de una cerradura.

-

Una de las variables ms importantes a determinar es la fraccin de vaco ~k de la fase

k. Por lo tanto, es conveniente representar la ecuacin 39 en trminos de ~ k . Lo anterior se

logra aplicando la ecuacin (26), obtenindose:


Para el planteamiento propuesto es ms conveniente obtener productos

entre promedios de las variables que el promedio de productos entre variables locales

instantneas. Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones espaciales de

las variables locales instantneas (Gray, 1975). Las variables entre desviaciones

espaciales tienen caractersticas importantes asociadas con su longitud caracterstica que

permiten realizar simplificaciones de las ecuaciones promedio, las cuales estn en trminos

de variables promedio y de las desviaciones espaciales (Ochoa-Tapia y Whitaker, 1995).

Una variable local instantnea cualquiera ( $ k ) esta dada por la suma de su promedio en

volumen intrnseco y su desviacin espacial

Cuando se presenta el producto entre dos variables locales instantneas Qk1 y $k2, y

usando la ecuacin (41) se tiene que: -

(1CikISlkZY = ( $ k d k ( 1 / l k A k + ( $ k i ! M k

Similarmente para tres variables locales instantneas se tiene que:

(43)


Entonces todos los trminos que contienen variaciones espaciales de la densidad alrededor

de su valor promedio, se pueden despreciar. Adems si se aplica la ecuacin (43) en la

ecuacin (40) para el caso en que Gkl = pk y Gk2 = v k , se obtiene la ecuacin

de conservacin de masa promediada en volumen e instantnea en trminos de la fraccin

volumen, de variables promedio y de las desviaciones espaciales para la fase IC .

La ecuacin (48) considera efectos de acumulacin, convectivos, dispersivos y de

transferencia de masa interfacial. Este resultado fue obtenido previamente por Gray y Lee

(1977).

2.3.2 Ecuacin de cantidad de movimiento promediada en volumen e instantnea

Aplicando la ecuacin (24) en la ecuacin de cantidad de movimiento local instantnea

dada por la ecuacin (7), se obtiene: -.

(v) + (v ' ( P k V k V k ) ) -k ( v p k ) - (v ' T k ) - ( P k g k ) = 0 (49) Aplicando los teoremas de promedio en espacio y tiempo @Zcuaciones (34) y ( 3 5 ) ]

en la ecuacin (49) se obtiene:


( P k g k ) = ( P k ) gl; (54)

El resultado de la ecuacin ( 5 I ) se obtiene al aplicar la condicin de adherencia dada

por la ecuacin (1 1), la cual establece que no hay deslizamiento de las fases con la pared

del ducto, es decir:

Es interesante observar que en la ecuacin (52) aparecen tres trminos de presin en

forma natural al aplicar el mtodo de volumen promedio. Estos trminos estn relacionados

con el gradiente de presin en la fase k, la presin en la regin interfacial k - m y la presin

en la regin interfacial k - s. Lo mismo se puede observar en la ecuacin (53), donde

...c...: ..-el iproceso de ..pi;omediado-da lugar-a tres trminos viscosos, uno .de ellos..es. el gradiente

de los esfuerzos viscosos fluido-fluido en la fase &, el segundo trmino son los esfuerzos

viscosos en la regin interfacial k - m y el tercer trmino son los esfuerzos viscosos en la

2.3 Ecuacionespromediadas en volumen 45

regin interfacial k - s. Para flujo turbulento en dos fases, los esfuerzos viscosos en las

fases normalmente son pequeos y frecuentemente no se consideran. Sin embargo, en este

trabajo s se consideran para obtener un conjunto de ecuaciones promedio con el mnimo

de restricciones posibles.

Sustituyendo la ecuacin (8) en la ecuacin (53), se puede demostrar que para un flujo

Newtonian0 y compresible, la divergencia del promedio del tensor de esfuerzos viscosos

esta dado por:

y los trminos de las integrales estn dados por:


De las ecuaciones (56) y (57) se puede observar que el promedio del trmino viscoso

para un flujo Newtonian0 y compresible da origen a 14 trminos viscosos para cada una de

las fases. '.

Sustituyendo las ecuaciones (50)-(54) en la ecuacin (49):

Para expresar la ecuacin (58) en trminos de se deben usar la ecuacin (26), la

ecuacin (43) y la ecuacin (44):

Para la presin local instantnea se aplica en el presente trabajo la descomposicin

espacial propuesta por Banerjee y Chan (1980):

2.3 Ecuaciones promediadas en volumen

P k ( p k ) k + ( A P k m ) + P k m

donde la diferencia de los promedios de la presin esta definida por:

47

donde el primer trmino es el promedio en rea de la presin y el segundo trmino es el

promedio intrnseco de la presin. Las desviaciones espaciales de la presin interfacial son:

(62)

La descomposicin anterior tambin fue aplicada por Lahey y Drew (1989) para la

I

p k m = Pk - ( p k ) k m

obtencin de las ecuaciones de conservacin promediadas en volumen y tiempo.

Sustituyendo la ecuacin (60) en la segunda y tercera integrales del lado derecho de

la ecuacibn (59):


lado derecho de la ecuacin (63) representan el gradiente de la fraccin de vaco [ecuacin

(37)], entonces:

Sustituyendo la ecuacin (64) en la ecuacin (59):

donde

La primera integral del lado derecho de la ecuacin (65) representa el intercambio de

la cantidad de movimiento interfacial debido a la transferencia de masa interfacial

2.3 Ecuaciones.promediadas en volumen 49

Debido a io explicado en la obtencin de la ecuacin de conservacin demasa

(seccin 2.1.2), en cuanto a que los trminos que contienen desviaciones de la densidad se

pueden despreciar y si se aplica la ecuacin (37), entonces la ecuacin (65) se simplifica:

El trmino dispersivo definido por el quinto trmino del miembro izquierdo de la

ecuacin (67), se atribuye a la presencia de las fases y no se refiere a los esfuerzos de

Reynolds clsicos en flujo turbulento, los cuales representan la correlacin de

las fluctuaciones (temporales) de la velocidad.

La ecuacin (67) se puede simplificar, observando que los esfuerzos viscosos

interfaciales son mucho mayores que los esfuerzos viscosos de las fases, y de acuerdo con

la siguiente estimacin de orden de magnitud de los trminos viscosos:


donde LT es la longitud caracterstica asociada con los cambios en ( T k ) y L, es la longitud

caracterstica asociada con los cambios en ~ k . El orden demagnitud del tensor de esfuerzos

viscosos dentro de una capa lmite de espesor 6 en el lquido, muy cerca de la superficie de

la burbuja es:

El orden de magnitud para la integral se obtiene de la ecuacin (32):

Ntese que en las ecuaciones (69) y (70), el trmino 6 > 1. S LT = O [LE], el orden de magnitud del trmino V. ( T k ) en la ecuacin (68) es mucho menor que la integral sobre

el rea interfacial en la ecuacin (69):

Por lo tanto, la ecuacin se simplifica resultando:


El significado de cada uno de los trminos de la ecuacin (73) es: el primer trmino

del miembro izquierdo es la aceleracin temporal o acumulacin, el segundo trmino son

los efectos convectivos, el tercer trmino son los efectos de presin, el cuarto trmino es la

dispersin, el quinto trmino es la fuerza de gravedad; Del lado derecho, el primer trmino

es el promedio del gradiente de presin interfacial en la interfase k- m , el segundo trmino

es la transferencia de cantidad de movimiento interfacial, el tercer y septimo trminos son

los trminos dispersivos, el cuarto y quinto trminos son los esfuerzos viscosos interfaciales

asociados con las fuerzas de arrastre y de pared, respectivamente, mientras que el sexto

trmino es el promedio del gradiente de presin interfacial en la interfase k - s. -

2.3.3 Ecuacin de energa promediada en volumen e instantnea

Aplicando el operador promedio dado por la ecuacin (24) en la ecuacin de balance de

energa local instantnea dada por la ecuacin (9):

,

52 2.3 Ecuaciones promediadas en volumen

Aplicando los teoremas de promedio en espacio y tiempo, dados por las ecuaciones

(34) y (35) en la ecuacin (74) se obtiene:

( P k g k ' vk) = g k ' (PkVk) 680)

En la obtencin de las ecuaciones (76) y (78) se consider que

,


Lo anterior es debido a la condicin de no deslizamiento [ecuacin (il)] entre las

fases fluidas y la pared del ducto.

El trmino (pkhk) de la ecuacin (as), se puede escribir como:

(Pkhk ) = E k ( P k ) k ( h k ) k + E k ( P m

Sustituyendo la ecuacin (83) en la ecuacin (75), se obtiene:

- Sustituyendo la ecuacin (83) y aplicando la ecuacin (44) para +kl = pk, qk2 = hk

y $ J ~ ~ = vk en la ecuacin (76), se obtiene:

El primer trmino de la ecuacin (77), se puede expresar en trminos del promedio

intrnseco:


Si se aplica la definicin de las desviaciones espaciales dada por la ecuacin (60) en

la integral sobre el rea interfacial que aparece en la ecuacin (77), se obtiene:

. , .

La ecuacin (87) se puede simplificar aplicando la ecuacin (36):

- Sustituyendo las ecuaciones (86) y (88) en la ecuacin (77), se obtiene:

Usando la ecuacin (41), el primer trmino de la ecuacin (78), tambin se puede

descomponer:

( T k ' v k ) = & k (

centro nacional de investigacion y … octavio... · tuberÍas horizontales" ... de la cual se...

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