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cnológico

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Subdirección Académica

Cuernavaca, Morelos, México. Febrero de 2013.

Subsecretaría de Educación Superior

Dirección General de Educación Superior Tecnológica

Coordinación Sectorial Académica

Dirección de Estudios de Posgrado e Investigación

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Control de un Sistema de Alimentación basado en Celdas de

Combustible con Modelado de Compresor

presentada por

Ing. Elfrich González Arévalo

como requisito para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez

Codirectora de tesis

Dra. Ma. Guadalupe López López

Resumen

Las celdas de combustible son dispositivos electroquímicos que convierten la energíaquímica de un combustible de hidrógeno en electricidad a través de una reacción químicacon oxígeno. El desempeño del sistema de celdas de combustible depende de varios factores:la alimentación de aire e hidrógeno, la regulación del flujo másico y la presión, y laadministración del calor y el agua.

En esta tesis, el estudio se concentra en el subsistema de aire que alimenta de oxígeno alcátodo de la celda de combustible. El subsistema motor-compresor que está compuestode un compresor de doble tornillo seco impulsado por un motor de imanes permanentessíncrono, y que además está adaptado para una celda de combustible de 75 kW , esdesarrollado y controlado por un controlador digital usando la colocación de polos y ajustede la función de sensibilidad perturbación a la salida.

El compresor de doble tornillo, el cual combina las ventajas del compresor reciprocante(desplazamiento positivo) y del compresor centrífugo (movimiento rotatorio), consiste endos rotores que están contenidos en una carcasa común. Ambos rotores tienen lóbulos deforma helicoidal y giran en contra de cada uno sobre sus ejes. Ademas, existen pequeñosespacios entre los rotores, y entre los rotores y la carcasa. Por lo tanto, el compresor dedoble tornillo tiene varios caminos de fuga, los cuales afectan la eficiencia volumétrica eincrementan las pérdidas de potencia.

En este trabajo de investigación, se desarrolló un modelo matemático del proceso detrabajo del compresor de doble tornillo seco para predecir su desempeño y los efectosde los caminos de fuga sobre éste. El modelo matemático ha sido desarrollado tomandolos trabajos previos de [14] y [15]. Además, este modelo ha sido integrado al simulador deceldas de combustible mejorado en [1].

Abstract

Fuel cells are electrochemical devices that convert the chemical energy of a hydrogen fuelinto electricity through a chemical reaction with oxygen. The response of a fuel cell systemdepends on several factors: the air and hydrogen feed, the flow and pressure regulation,and the heat and water management.

In this thesis, the study focuses on the air subsystem that feeds the fuel cell cathodewith oxygen. A moto-compressor composed of a twin dry screw compressor driven bya permanent magnet synchronous machine, and adapted to the 75kW fuel cell stack,is developed and controlled by a robust digital controller using pole placement withsensitivity function shaping method.

The twin screw compressor, which combines the advantages of a reciprocating compressor(positive displacement) with those of a centrifugal compressor (rotary motion), consists oftwo rotors that are contained in a common casing. Both rotors carry intermeshing helicallobes that rotate against each other with tight clearances between the rotors, and betweenthe rotors and casing. Therefore, the twin screw compressors have many leakage pathswhich leads to the decrease of the volumetric efficiency and the increase of power loss.

In this work a mathematical model of the working process of twin dry screw compressorhas been developed in order to predict the twin dry screw compressor performance andthe effects of leakage paths on it. This mathematical model has been developed taking theprevious works of [14] and [15]. Further, this model has been integrated to the fuel cellssystem simulation program [1].

Dedicatoria

A Dios y al Señor por salvarme y darme esperanza.

A mi Madre por su amor y todo su esfuerzo.

A mi Padre por su amor.

A mi Chérie por su amor y cariño.

A mis hermanos Manlio y Daniel.

A mi familia.

Agradecimientos

A Dios por amarme y al Señor por extender su mano sobre mí, darme vida y siempreguiarme.

A mi madre por su amor y dedicación incondicional para con mis hermanos y conmigo.

A mi padre por su amor, oraciones y consejos.

A Eunice por su amor, por entrar a mi vida y alegrarla día con día.

A mi familia: primos, primas, tíos, tías, abuelos, abuelas y a mis hermanos Manlio yDaniel por su amor, cariño y oraciones.

A mis amigos de la maestría: Beatriz, Félix, Alfredo, Raquel, Manuel, Héctor, Alan,Carlos, Emanuel y Alberto Alvarado por su amistad y ánimo en los momentos difíciles.

A mis directores de tesis, el Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez y la Dra. Ma. GuadalupeLópez López, por su gran paciencia y tiempo durante la realización de la tesis.

A mis revisores, el Dr. Carlos Daniel García Beltrán por el apoyo y consejos, el Dr.Ricardo Fabricio Escobar Jiménez por aventarse al ruedo en el último momento y el Dr.Enrique Quintero-Mármol Márquez por sus comentarios.

Al Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez y a mis profesores de la universidad HeribertoI. Hernández Martínez, Esteban O. Guerrero Ramírez y José A. Moreno Espinosa por lasprimeras y segundas oportunidades.

A mis profesores del CENIDET por instruirme en el control automático y mostrarme lomaravilloso que es.

Al CONACYT por brindarme el apoyo económico durante los estudios de maestría, alprograma de movilidad estudiantil ECEST 2012 por la beca otorgada y a la Dra. Adrianadel Carmen Téllez Anguiano por su apoyo en el programa.

Contenido

Lista de figuras VII

Lista de tablas XIII

Lista de símbolos XV

1 Introducción 1

1.1 Definición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7.1 Modelo del compresor de aceite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7.2 Modelo del compresor seco o libre de aceite . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.3 Control del compresor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Organización del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Compresores 13

I

Contenido

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Desplazamiento positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Recíprocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Centrífugo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Turbocargadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Supercargadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1 Centrífugos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.2 Desplazamiento positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Compresores para celdas de combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Fabricantes de compresores para celdas de combustible . . . . . . . . . . . 18

2.7.1 Honeywell Aerospace (Allied Signal) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.2 Arthur D. Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.3 Vairex Corporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.4 OPCON Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.8 Motores para compresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.1 Motor de imanes permanentes (PMSM) . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.2 Motor sin escobillas (BLDC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.9 Requisitos y selección del compresor para la celda de combustible . . . . . 20

2.9.1 Curva de polarización de la celda de combustible tipo PEM . . . . . 21

2.9.2 Selección del compresor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Compresor de doble tornillo 23

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Compresores de doble tornillo de aceite y libres de aceite . . . . . . 23

II

Contenido

3.1.2 Ventajas de los compresores de doble tornillo . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3 Funcionamiento del compresor de doble tornillo . . . . . . . . . . . 25

3.1.4 Perfil del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Modelo matemático unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Proceso de succión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3 Proceso de compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.4 Proceso de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.5 Ecuaciones del compresor de doble tornillo en función de la posición 35

3.3 Desempeño del compresor de doble tornillo seco . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Potencia del compresor de doble tornillo seco . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Fugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.2 Fugas a través del espacio rotor-a-rotor (interlobe) . . . . . . . . . . 40

3.4.3 Fugas a través del espacio de "blowhole" . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.4 Fugas a través del extremo de la descarga . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.5 Fugas a través de los espacios punta del rotor-carcasa . . . . . . . . 42

3.4.6 Deducción de las ecuaciones de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.7 Fugas de gas hacia dentro de las cavidades . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.8 Fugas de gas hacia fuera de las cavidades . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Ecuaciones del compresor de doble tornillo en función del tiempo . . . . . . 47

4 Diseño del rotor y validación del modelado de compresor 49

4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Programa DISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Diseño del perfil de rotor para el compresor seco de la celda de combustible 53

4.3.1 Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III

Contenido

5 Controlador digital por colocación de polos y ajuste de la función de

sensibilidad perturbación a la salida 59

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Funciones de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Definición de una plantilla para la función de sensibilidad perturbación a lasalida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Estabilidad del sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 Robustez del sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6 Colocación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Análisis dinámico y control del subsistema de alimentación de aire 67

6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Representación en variable de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 Simulación en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Análisis del subsistema de alimentación de aire . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5 Diseño del controlador digital por colocación de polos y ajuste de la funciónde sensibilidad perturbación a la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7 Pruebas y resultados 79

7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Cambios en el simulador de celdas de combustible . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3 Seguimiento y regulación del flujo másico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3.1 Perfil de perturbación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


7.4 Seguimiento y regulación del flujo másico: prueba de robustez (variaciónparamétrica) y rechazo de perturbación a la salida . . . . . . . . . . . . . . 90


7.5 Regulación de la razón de exceso de oxígeno . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


IV

Contenido

7.5.1.1 Control por colocación de polos y ajuste de la funciónde sensibilidad perturbación a la salida con controlprealimentado dinámico + PI . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5.1.2 Control no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5.1.3 Resultados y comparaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


7.5.2.1 Control por colocación de polos y ajuste de la funciónde sensibilidad perturbación a la salida con controlprealimentado dinámico + PI . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.5.2.2 Control no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.5.2.3 Resultados y comparaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8 Conclusiones 111

8.1 Del modelo matemático del compresor de doble tornillo . . . . . . . . . . . 111

8.2 Del controlador por colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad113

8.3 De la interacción de los controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.4 Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.4.1 En cuanto al modelo matemático del compresor de doble tornillo . . 114

8.4.2 En cuanto al subsistema de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Bibliografía 117

Anexos

A Programa 123

A.1 Condiciones iniciales y valores de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . 123

A.2 Diagrama de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.3 Código fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.4 Funciones usadas del repositorio [33] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

V

Lista de figuras

1.1 Estructura de una celda de combustible tipo PEM. . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Sistema de alimentación basado en celdas de combustible. . . . . . . . . . 2

2.1 Clasificación y tipos de compresores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Turbocargador centrífugo y expansor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Supercargador centrífugo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Supercargador de doble tornillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Datos de polarización para la celda de combustible tipo PEM a 80C ypresiones de 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 y 4 bar [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Compresores de inyección de aceite y libre de aceite [23]. . . . . . . . . . . 24

3.2 Proceso de trabajo en un compresor de doble tornillo. . . . . . . . . . . . 26

3.3 Diagrama ideal de la curva PV para un compresor de doble tornillo. . . . 27

3.4 Diagrama ideal de la curva PV para un compresor de doble tornillo conbaja compresión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Diagrama ideal de la curva PV para un compresor de doble tornillo consobrecompresión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Tipos de perfiles empleados en un compresor de doble tornillo [23]. . . . . 30

3.7 Caminos de fuga en un compresor de doble tornillo. . . . . . . . . . . . . . 40

3.8 Diagrama del flujo de fugas de masa de gas a través de los espacios delcompresor de doble tornillo [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.9 Área de "blowhole" [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

VII

Lista de figuras

3.10 Líneas de sellado en el compresor de doble tornillo [22]. . . . . . . . . . . . 43

3.11 Movimiento de la línea de sellado [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Programa de diseño DISCO [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Detalles del perfil de rotor ’N’ [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Perfil de rotor asimétrico ’N’ configuración 3/5 generado con el programaDISCO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Diagrama de deflecciones del perfil de rotor asimétrico ’N’ configuración 3/5generado con el programa DISCO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Comparación de resultados obtenidos para la curva PV con el programaDISCO y el modelo matemático: a) Pd = 1.5 bar, b) Pd = 2 bar, c) Pd =

2.5 bar, d) Pd = 3 bar, e) Pd = 3.5 bar y f) Pd = 4 bar. . . . . . . . . . . . 57

4.6 Comparación de resultados obtenidos para la curva Tgθ con el programaDISCO y el modelo matemático: a) Pd = 1.5 bar, b) Pd = 2 bar, c) Pd =

2.5 bar, d) Pd = 3 bar, e) Pd = 3.5 bar y d) Pd = 4 bar. . . . . . . . . . . . 58

5.1 Sistema en lazo cerrado con un controlador RST [31]. . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Plantilla deseada para la función de sensibilidad perturbación a la salida. . 63

5.3 Traza de Nyquist: márgenes de módulos, ganancia y fase. . . . . . . . . . 64

6.1 Diagrama del sistema en lazo abierto [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Respuesta del sistema en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Mediciones en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4 Interconexión del sistema de celdas de combustible y el control propuesto[18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5 Diagrama de bloques para la relación de las ecuaciones 6.4.1 a 6.4.3. . . . 72

6.6 Análisis del subsistema de aire: a) Lugar de las raíces. b) Respuesta al escalón. 73

6.7 Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia 6.5.1. . . . . . . 75

6.8 Diagrama de polos y ceros de la función S−1yp (z−1). . . . . . . . . . . . . . 76

6.9 Márgenes de robustez: módulos, ganancia y fase. . . . . . . . . . . . . . . 77

VIII

Lista de figuras

6.10 Diagrama de la plantilla para la función de sensibilidad perturbación a lasalida y respuesta del controlador diseñado por colocación polos. . . . . . . 77

7.1 Perfiles de perturbación para el sistema de celdas de combustible.[1] . . . 79

7.2 Sistema de celdas de combustible: a) Original. b) Cambios realizados. . . . 81

7.3 Sistema de celdas de combustible con controles para el subsistema de aire,presión, voltaje y razón de exceso de oxígeno. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Comportamiento de las variables (λO2 y Wcp) del sistema proupuesto en7.2b ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.5 Comportamiento de las variables Pan, Pca, psm, Vst y Vcm del compresor enel sistema propuesto en la figura 7.2b ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . 85

7.6 Comportamiento de las variables Pcp, Tg y mgo del compresor en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.7 Eficiencia volumétrica y velocidad del compresor de doble tornillo en elsistema propuesto de la figura 7.2b ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . 86

7.8 Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto de lafigura 7.2b ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.9 Comportamiento de las variables λO2 y Wcp en el sistema propuesto de lafigura 7.2b ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.10 Comportamiento de las variables Pan, Pca, psm, Vst y Vcm del compresor enel sistema propeusto de la figura 7.2b ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . 88

7.11 Comportamiento de las variables Pcp, Tg y mgo del compresor en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.12 Eficiencia volumétrica y velocidad del compresor en el sistema propuestode la figura 7.2b ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.13 Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto de lafigura 7.2b ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.14 Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 1 convariación paramétrica y perturbación a la salida. . . . . . . . . . . . . . . 91

IX

Lista de figuras

7.15 Acercamiento del efecto de la variación paramétrica (6 s) y perturbación ala salida (18 s) en el seguimiento y regulación de flujo másico. . . . . . . . 92

7.16 Comportamiento de las variables Pan, Pca, psm, Vst y Vcm del compresoren el sistema propuesto de la figura 7.2b) ante el perfil 1 con variaciónparamétrica y perturbación a la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.17 Comportamiento de las variables Pcp, Tg y mgo del compresor en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 1 con variación paramétrica yperturbación a la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.18 Eficiencia volumétrica y velocidad del compresor de doble tornillo ante elperfil 1 con variación paramétrica y perturbación a la salida. . . . . . . . . 94

7.19 Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto en lafigura 7.2b ante el perfil 1 con variación paramétrica y perturbación a lasalida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.20 Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema propuesto en la figura 7.3 anteel perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.21 Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηv y velocidad del compresorde doble tornillo del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 1. . . . . . . . . 98

7.22 Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto en lafigura 7.3 ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.23 Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema de la figura 7.2a ante el perfil 1. 99

7.24 Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηc y velocidad del compresorcentrífugo del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . 100

7.25 Región de operación del compresor y potencias del sistema de la figura 7.2aante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.26 Comparación de potencias y eficiencia isentrópica entre el compresorcentrífugo y el compresor de doble tornillo ante el perfil 1. . . . . . . . . . 103

7.27 Comparación de la temperatura de descarga del gas y región de operaciónen el mapa del compresor entre el compresor centrífugo y el compresor dedoble tornillo ante el perfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

X

Lista de figuras

7.28 Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema propuesto en la figura 7.3 anteel perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.29 Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηv y velocidad del compresorde doble tornillo (sistema de la figura 7.3) ante el perfil 2. . . . . . . . . . 104

7.30 Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto en lafigura 7.3 ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.31 Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema de la figura 7.2a ante el perfil 2. 106

7.32 Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηc y velocidad del compresorcentrífugo del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . 107

7.33 Región de operación del compresor y potencias del sistema de la figura 7.2aante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.34 Comparación de potencias y eficiencia isentrópica entre el compresorcentrífugo y el compresor de doble tornillo ante el perfil 2. . . . . . . . . . 109

7.35 Comparación de la temperatura de descarga del gas y región de operaciónen el mapa del compresor entre el compresor centrífugo y el compresor dedoble tornillo ante el perfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.1 Diagrama de flujo del compresor de doble tornillo seco. . . . . . . . . . . . 125

XI

Lista de tablas

2.1 Compresores de doble tornillo fabricados por OPCON Group. . . . . . . . 19

3.1 Componentes de la línea de sellado [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Valores del compresor de 17 kW generados en DISCO. . . . . . . . . . . . 55

4.2 Dimensiones de los espacios y de las áreas de las líneas de sellado por DISCO. 55

4.3 Error promedio entre lo obtenido con el modelo y el programa DISCO. . . 56

6.1 Parámetros del motor. [35] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.1 Índices desempeño del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 1. . . . . . . . . . 86

7.2 Índices desempeño del sistema propuesto en la figura 7.2b ante el perfil 2. . 89

7.3 Índices desempeño del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 1 con variaciónparamétrica y perturbación a la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Índices desempeño del sistema propuesto en la figura 7.3 ante el perfil 1. . 99

7.5 Índices desempeño del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 1. . . . . . . . 101

7.6 Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante elperfil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.7 Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 1. . 102

7.8 Índices desempeño del sistema propuesto en la figura 7.3 ante el perfil 2. . 105

7.9 Índices desempeño del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 2. . . . . . . . 106

7.10 Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante elperfil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

XIII

Lista de tablas

7.11 Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 2. . 108

8.1 Error promedio entre lo obtenido con el modelo y el programa DISCO(capítulo 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante elperfil 1 (capítulo 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.3 Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 1(capítulo 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante elperfil 2 (capítulo 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.5 Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 2(capítulo 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.6 Índices desempeño del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 2 con variaciónparamétrica y perturbación a la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

XIV

Lista de símbolos

Símbolo

θ Posición angular gradosθm Posición angular del rotor macho gradosV Volumen geométrico del espacio de trabajo m3

A Área de la transferencia de calor m2

P Presión en el espacio de trabajo Nm2

Vlg Volumen de la fuga de gas a la presión Ps m3

Vt1 Volumen geométrico de la cavidad formada por el rotor macho y hembra m3

Tg Temperatura del gas en el espacio de trabajo KVg Volumen del gas inducido dentro del espacio de trabajo m3

Mg Masa de gas atrapada entre el rotor y la carcasa kgcp Calor específico del gas a presión constante J

kgK

cv Calor específico del gas a volumen constante JkgK

k Razón de los calores específicos Cp

Cv

Mil Fuga de gas por interlobe durante el proceso de compresión kgTs Temperatura del gas a las condiciones de succión K o tiempo de muestreo sT1 Temperatura del gas al final del proceso de succión KM1 Masa de gas al final del proceso de succión kgTlg Temperatura del gas que se escapa por los caminos de fuga KTgb Temperatura del gas que proviene de la cavidad más cercana al puerto de descarga Kmgi Tasa de fuga de gas a la entrada kgmgo Tasa de fuga de gas a la salida kgm Tasa de fuga de masa a través de camino de fuga durante el proceso de compresión kgC Coeficiente de flujo de la tobera

XV

Lista de símbolos

P1 Presión del gas a temperatura T1 en el espacio de trabajo,presión ascendente Nm2

P2 Presión descendente Nm2

Ac Área de fuga m2

Nm Velocidad de rotación del compresor rpsts Tiempo requerido para el proceso de succión st Tiempo en el que transcurre el proceso de evolución de las variables termodinámicas sr Razón de presión P2

P1

h Coeficiente de transferencia de calorPa Presión del gas justo antes de entrar al proceso de descarga N

m2

Ta Temperatura del gas justo antes de entrar al proceso de descarga KPd Presión del gas en la descarga N

m2

Td Temperatura del gas en la descarga KCbl Coeficiente de flujo de fuga del blowholeAbl Área del blowhole principal m2

Cdmi Coef. de flujo de fuga en el extremo de descarga del rotor macho del surco principalAdmi Área de fuga en el extremo de descarga del rotor macho del surco principal m2

Cdfi Coef. de flujo de fuga en el extremo de descarga del rotor hembra del surco principalAdfi Área de fuga en el extremo de descarga del rotor hembra del surco principal m2

Abt Área de blowhole secundario m2

Cdmt Coef. de flujo de fuga del rotor macho precedente en el extremo de descarga del surco sec.Admt Área de fuga en el extremo de descarga del rotor macho del surco secundario m2

Cdft Coef. de flujo de fuga en el extremo de descarga del rotor hembra del surco secundarioAdft Área de fuga en el extremo de descarga del rotor hembra del surco secundario m2

Cil Coeficiente de flujo de fuga de interlobeAil Área de fuga de interlobe m2

Am Área del surco del rotor macho m2

Af Área del surco del rotor hembra m2

L Longitud de los rotores macho y hembra mMt1 Masa de gas al final del proceso de succión a las condiciones (Ps, T1) kg

z1 Numero de lóbulos del rotor macho

ωcp Velocidad angular del rotor machorad

s

XVI

Lista de símbolos

Wcp Flujo másico kgs

Siglas

PI Proportional-IntegralRST Control digital de dos grados de libertadPEM Proton Exchange MembraneDISCO Design Integration for Screw COmpressorsSCORPATH Screw Compressors Rotor Profiling and Thermodynamics

Acrónimo

CENIDET Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

XVII

Lista de símbolos

XVIII

Capítulo 1

Introducción

En recientes décadas la tecnología de las celdas de combustible de membrana deintercambio protónico (PEM, por sus siglas en inglés) ha tenido un gran desarrollo eimpulso principalmente por empresas fabricantes de automóviles. Comparado con unmotor de combustión interna, la celda de combustible tipo PEM tiene bajas emisionesdebido a la conversión directa de energía química a electricidad sin necesidad decombustión. Comparada con las baterías de los vehículos eléctricos, tiene las ventajasde no presentar problemas de corrosión y de que los electrodos no se consumen durante suoperación, sino que permanecen invariables. En consecuencia, el combustible y el oxidantedeben proporcionarse continuamente por una fuente externa.

Las características que la celda de combustible tipo PEM posee son: un bajo ruido, bajatemperatura de operación y alta densidad de potencia.

Una celda de combustible tipo PEM está conformada por un ánodo, un cátodo y unelectrolito. En este conjunto, una membrana polimérica hace la función de electrolito. Lamembrana está hecha con un material aislante que separa los reactivos (H2 y 02/aire)y permite únicamente el tránsito de protones entre los electrodos. Los electrodos estánconstituidos de una capa de difusión de gases y una capa activa, la cual tiene una estructuraporosa. Este ensamble es insertado entre dos colectores de corriente, también conocidoscomo placas bipolares. Las placas bipolares sirven para suministrar los gases y comoelemento de conexión electrónica entre monoceldas (véase figura 1.1).

Los sistemas de alimentación basados en celdas de combustible tipo PEM, estánconstituidos por un apilamiento de celdas y equipo auxiliar como: subsistemas dealimentación de reactivos, humidificación, enfriamiento y de acondicionamiento depotencia. Éstos permiten que se preserven las condiciones de operación para las celdas. Al

1

Oxidantehumidificado

Combustiblehumidificado

Exceso deoxidante+ agua

Exceso decombustible

+ agua

AL

Ánodo Cátodo

e- e-H+

membrana

Figura 1.1: Estructura de una celda de combustible tipo PEM.

sistema completo se le conoce como balance de planta.

Cada uno de estos subsistemas se encuentra conformado por una serie de componentesauxiliares, los cuales permiten que el subsistema en cuestión cumpla con su propósitoespecífico. Así, el subsistema de alimentación de reactivos está integrado por un subsistemade alimentación de aire (motor-compresor) para abastecer de oxígeno al sistema y untanque presurizado de hidrógeno (véase figura 1.2).

Tomade aire

Motor

Compresor

Enfriador/Humidificador

Cátodo

Electrolito

Ánodo

Regulador de presión

Celda de combustiblePEM

Salida de aire yvapor de agua

Tanque de hidrógenoa alta presión

Figura 1.2: Sistema de alimentación basado en celdas de combustible.

2

Capítulo 1. Introducción

1.1. Definición del problema

Se ha observado de los resultados del simulador en [1] que el compresor centrífugo propuestoen [2] debe permanecer en una cierta región de operación para así tener un nivel deeficiencia aceptable. Además, operar en esa región limita la capacidad de los niveles depotencia neta que la celda de combustible puede entregar a una determinada carga y paraciertas demandas de corriente a la celda de combustible el compresor consume una altapotencia. Así, los problemas a resolver para el subsistema de alimentación de aire son:disminuir el consumo de energía del compresor y evitar límites de operación en la relaciónPd/Ps contra flujo másico.

1.2. Justificación

El modelado de un compresor es importante, ya que la mayor pérdida parásita de carga enun sistema de celdas de combustible tipo PEM es debida al uso del compresor ([3] y [38]).Así, un entendimiento profundo y detallado de la influencia del compresor en la operacióny comportamiento de la celda de combustible tipo PEM es esencial para la optimizacióny el control del sistema.

Implementar un simulador lo más cercano a la realidad mediante la combinación demétodos de modelado y diseño de controladores apropiados, permite el estudio de losdiferentes escenarios que se pueden presentar y provee una forma de comprender laconexión entre los aspectos teóricos y prácticos en un proceso. Además de un ahorrode recursos económicos y de tiempo en implementación.

1.3. Hipótesis

Un compresor volumétrico de desplazamiento positivo diseñado para suministrar losrequerimientos de flujo másico-presión de la celda de combustible, permitirá operareficientemente el sistema de alimentación basado en celdas de combustible ante la demandaenergética de una carga.

3

1.4. Objetivos

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo general

Los propósitos de este proyecto de tesis son: a) mejorar el simulador del sistemade alimentación basado en celdas de combustible con el que se cuenta, afinando elmodelo matemático del compresor del subsistema de aire mediante el dimensionamientoo modificación del compresor y motor y b) diseñar un controlador para el subsistema dealimentación de aire con fines de eficientar su desempeño, todo a nivel simulación con elsistema completo.

1.4.2. Objetivos específicos

• Analizar el funcionamiento y operación del subsistema de alimentación de aire.

• Revisar el estado del arte de los diferentes compresores para celdas de combustible ydel modelo matemático que describe el comportamiento termodinámico y mecánicodel compresor.

• Revisar sobre los tipos de motores usados en compresores.

• Revisar el estado del arte sobre las técnicas de control del subsistema de aire.

• Modelar, programar y evaluar al compresor seleccionado.

• Desarrollar pruebas al subsistema motor-compresor.

• Diseñar un controlador digital por colocación de polos y ajuste de la función de lasensibilidad perturbación a la salida para el subsistema de aire.

• Desarrollar pruebas al esquema de control diseñado a fin de evaluar su desempeño.

• Integrar el nuevo subsistema de aire junto con el controlador diseñado al simuladorpara evaluar el funcionamiento global del sistema.

4


1.5. Alcances

Los alcances de este trabajo de tesis son:

• Obtener el modelo matemático del compresor seleccionado y programarlo en lenguajeestructurado para MATLAB®.

• Diseñar un controlador que cumpla con los objetivos de control para el subsistemade aire (seguimiento y regulación de flujo másico).

• Evaluar el desempeño del controlador a nivel simulación.

• Acoplar el nuevo subsistema de aire y controlador al simulador actual del sistema dealimentación basado en celdas de combustible.

Quedaron fuera del alcance del presente trabajo los siguientes puntos:

• No hay un desarrollo ni modificación de otras partes del modelo del sistema dealimentación basado en celdas de combustible.

• No se diseñó un control supervisorio que coordine y supervise la operación de todoel sistema.

1.6. Aportaciones

Este trabajo de tesis tiene como aportación el modelo matemático de un compresor dedoble tornillo seco implementado en código para MATLAB®. El modelo considera lasfugas internas existentes en este tipo de compresores volumétricos de desplazamientopositivo. Una revisión de los tipos de compresores que se usan en celdas de combustible.Y el controlador robusto que asegura el correcto funcionamiento del subsistema dealimentación de aire.

1.7. Estado del arte

1.7.1. Modelo del compresor de aceite

En [4] los autores presentan un modelo matemático con base en las leyes termodinámicaspara gases ideales para el compresor de doble tornillo de aceite y un nuevo perfil de rotor

5


para incrementar el desempeño del compresor. Obtienen experimentalmente los coeficientesde transferencia de calor entre el gas y el aceite. Los coeficientes de flujo para los caminosde fuga son obtenidos a partir de las curvas eficiencia-abertura.

En [5] los autores desarrollan un modelo analítico para el compresor de doble tornillo deaceite y las características geométricas del rotor como la curva de volumen, la longitud dela línea de sellado, el área del puerto de descarga, el área del blowhole, etc. Con base enlas relaciones del momento de área geométrico (momento estático) para las coordenadasespaciales (x, y, z), el par, la presión y la longitud del rotor, presentan un procedimiento elcual tiene la ventaja de simplificar el cálculo numérico para la curva de volumen. Incluyenen el modelo los efectos de las fugas internas, el intercambio de calor entre el gas y elaceite, la resistencia del fluido en los puertos de succión y descarga.

En [6] los autores proponen un modelo validado experimentalmente el cual considera todaslas fugas, pérdidas por viscosidad, en los puertos de entrada y descarga. Para definir laspérdidas de potencia y la transferencia de calor debido al aceite.

En [7] los autores desarrollan un modelo matemático para investigar y predecir eldesempeño de los parámetros de diseño de un compresor de doble tornillo para evaluarlos efectos de los espacios sobre la eficiencia, así como los cambios geométricos para unrango de operación. El volumen de control del modelo considera la expansión a través dela entrada del compresor, la compresión con el cambio del volumen en el compresor y laexpansión a través de la descarga.

En [8] el autor desarrolla un modelo del compresor el cual predice el comportamientodel enfriamiento con aceite. Considerando el efecto de la viscosidad del aceite sobre loscaminos de fuga. El gas que pasa a través del puerto de entrada es considerado isentálpico.La transferencia de calor entre el gas y el aceite es tratado de dos formas: debido a ladiferencia de presión y la rotación de los rotores se asume que la fuga de aceite que vahacia dentro del volumen de control a través de los espacios en el extremo de la descargaes atomizada; debido a las fuerzas centrífugas se asume que el aceite que se ha fugadodentro del volumen de control está en las paredes de la carcasa. Esto significa que sólo lasfugas de gas que han ido hacia dentro del volumen de control se mezcla con el gas actualdentro del volumen de control.

En [9] los autores describen los resultados de un modelo para el compresor de doble tornilloque considera el enfriamiento por aceite, el efecto de los tamaños de las gotas del aceite,

6


la posición del puerto de entrada, la temperatura y la viscosidad del aceite, así como larazón de la relación entre la masa del gas y la masa del aceite, sobre el ciclo del compresor.Consideran en el modelo la transferencia de calor entre el gas y el compresor de dobletornillo (carcasa y rotores). El gas o la mezcla de gas-aceite dentro y fuera, a través delpuerto de succión y descarga respectivamente, es considerado isentrópico. La fuga de gaso mezcla gas-aceite a través de los espacios de fuga se considera isentálpica.

En [10] el autor describe un modelo para un compresor de doble tornillo para aplicacionesde refrigeración, considerando pérdidas en los puertos de carga y descarga con baseen una geometría específica, pulsaciones en la descarga con la interacción del procesode compresión. El proceso de compresión es representado por ecuaciones de energía ycontinuidad para un gas real.

En [11] los autores describen el modelo dinámico de un compresor de doble tornillo conaceite. El modelo es dividido en cuatro subsistemas: la válvula de entrada, el motor,el compresor y el separador de aire/aceite. Para cada subsistema presentan un modelomatemático. El modelo en general es validado con mediciones de tres tipos de compresorespara diferentes capacidades.

En [12] los autores presentan un modelo matemático del proceso de trabajo de uncompresor de doble tornillo, con base en un modelo geométrico en función del ángulo derotación del rotor macho. Toman en cuenta los efectos de las fugas internas considerandoseis caminos de fuga, la transferencia de calor gas-aceite, la fricción interna que ocurreen las superficies principales con rozamiento y el calentamiento del aceite producto de lafricción. Para el modelo asumen el flujo del gas isentrópico a través de todos los puertos,usando coeficientes de flujo empíricos. El flujo en los caminos de fuga desde la entradahasta el área de sección transversal más pequeña es considerado reversible y adiabáticopara propósitos del cálculo de la velocidad máxima del flujo de fuga, donde el límite es lavelocidad sónica. El proceso de trabajo lo consideran adiabático puesto que desprecian elintercambio de calor entre el fluido de trabajo y los rotores del compresor.

En [13] los autores proponen un modelo teórico para el estudio de compresores operandocon aceite y libres de aceite. El modelo del compresor incluye parámetros de diseñocomo el perfil del rotor, los espacios geométricos, el ángulo de inyección del aceite,la temperatura del aceite, la razón del volumen de diseño y otras características querepercuten en el desempeño de la máquina. De los resultados numéricos concluyen que la

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eficiencia volumétrica del compresor de doble tornillo puede ser mejorada incrementandola temperatura del aceite inyectado, haciendo que la temperatura de descarga disminuya;existiendo una temperatura óptima de inyección que resulta en una eficiencia decompresión más alta y en menor consumo de potencia.

En [14] el autor describe el desempeño y proceso de trabajo de un compresor de dobletornillo de aceite. El modelo considera las fugas de masa de gas internas para una cavidadde trabajo formada por los surcos de los rotores macho y hembra. Se consideran cuatrocaminos de fuga, la relación de la mezcla del aceite y gas (masa del gas/masa del aceite),el intercambio de calor entre el gas y el aceite y la temperatura al final del proceso desucción del gas inducido. Las ecuaciones dinámicas y las relaciones algebraicas del modeloson implementadas y resueltas en un programa que opera iterativamente hasta que laeficiencia volumétrica calculada coincida con la experimental, bajo el supuesto de queal inicio del proceso de trabajo no hay fugas internas y las condiciones iniciales de lasvariables termodinámicas son adecuadas para la solución.

1.7.2. Modelo del compresor seco o libre de aceite

En [15] los autores desarrollan un modelo matemático para el estudio del compresor librede aceite que describe los procesos de compresión y descarga. El proceso de compresiónlo modelan dinámicamente y el proceso de descarga estáticamente. En el modelo de lacompresión, el cambio del volumen lo relacionan con la rotación del rotor macho y elcambio de la masa del gas con las fugas debidas a los espacios geométricos. Para simplificarlos cálculos, las relaciones propuestas para el proceso de compresión no son usadas en laetapa de succión, únicamente consideran las fugas internas para calcular el incremento dela temperatura al final de la succión.

1.7.3. Control del compresor

El controlador prealimentado estático propuesto en [2], aprovecha el hecho de que laperturbación al sistema es medible. A partir de esto, se puede determinar una funciónque correlacione el valor en estado estable de la entrada de control vcm y la perturbaciónIst. Esta función es una prealimentación estática que puede ser implementada con una tablade búsqueda. El cálculo de dicha prealimentación está basada en encontrar el voltaje decontrol al compresor centrifugo v∗cm, el cual logra que se alcance el flujo de aire requerido

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para reponer el flujo de oxígeno, que fue utilizado por la reacción de los protones dehidrógeno con las moléculas de oxígeno durante la demanda de corriente Ist.

En [2] los autores diseñan un controlador el cual está basado en técnicas de control óptimo.Este controlador utiliza la retroalimentación de estados, otorgando ventajas sobre loscontroladores prealimentados en términos de robustez en presencia de perturbacionesdesconocidas y variaciones paramétricas de la planta. El esquema de control LQR+Iimplementado supone que todo el vector de estado está disponible para medición. Sepuede añadir un control integral para reducir el error en estado estable. Debido a que lavariable a controlar λO2 no es medible físicamente, el control integral se aplica a una de lasvariables medidas. La elección obvia para Pukrushpan es la medición de la tasa de flujomásico del compresor centrifugo y1 = Wcp por dos razones: (1) es fácil de medir y (2) esrelativamente sencillo calcular la tasa de flujo de aire requerida a través de W ∗

cp = fcp(Ist),la cual satisface la razón de exceso de oxígeno deseado (λO2 = 2).

W ∗cp =

(1 +

MvPsat(Tatm)

Ma (Patm − Psat(Tatm))

)λO2

XO2

MO2

nIst4F

(1.7.1)

donde Ma es la masa molar del aire seco, XO2 es la fracción másica de oxígeno en el aireseco. Si la fracción molar de oxígeno en el aire seco es de 0.21, los valores para Ma yXO2 son 28x10−3 kg/mol y 0.23301 respectivamente. Psat = 101.325 kPa es la presión desaturación a la condición de temperatura atmosférica Tatm = 298.15 K. Ist es la corrientedel apilamiento. MO2 es la masa molar del oxígeno su valor es 32x10−3 kg/mol. λO2 es larazón de exceso de oxígeno. n es el numero de monoceldas del apilamiento (381). F es elnumero de Faraday igual a 96.485 Coulombs.

En [16] los autores proponen un controlador jerárquico para regular la razón de exceso deoxígeno. El controlador jerárquico está compuesto por un controlador esclavo y un PI nolineal, el cual estabiliza el flujo de aire en el compresor centrífugo y permite el seguimientode referencia. Un segundo controlador, el maestro, calcula la referencia de flujo de aire queutiliza el controlador esclavo para estabilizar la razón de exceso de oxígeno a un valor de2. Éste está compuesto por un control de prealimentación dinámica más un PI lineal paraevitar errores en estado estacionario.

En [17] mediante la preservación de las principales características del modelo no linealpropuesto en [2] de nueve variables de estado para la celda de combustible, lo reducen atres variables de estado para el control del subsistema de aire; aprovechando la propiedad

9

1.8. Organización del trabajo

de pasividad en uno de los subsistemas para hallar la sintonización de los parámetros yprobar la estabilidad del sistema controlado. Diseñan lazos de control en cascada paracontrolar la insuficiencia de oxígeno; un PI para el lazo de control interno (flujo másico) yun control linealizado por retroalimentación para la razón de exceso de oxígeno en el lazoexterno.

En [18] implementan tres tipos de controladores para el control del subsistema de aireimpulsado por un motor volumétrico de pistón, un control PI en cascada, un control RSTy un control de modos deslizantes de segundo orden. Reportan que el control PI presentalimitaciones de desempeño debido al uso de un sensor de flujo con cierto retardo en surespuesta de medición. Así, un controlador RST es diseñado para mejorar el desempeñoya que este tipo de control tiene un comportamiento idóneo para sistemas con retardo.Finalmente la respuesta del control por modos deslizantes es comparada con la del RSTresultando en un mejor desempeño.

De la revisión documental anteriormente sobre el modelado matemático del compresor dedoble tornillo y el control del subsistema de alimentación de aire, se retomó lo siguiente:

• del trabajo propuesto en [14], se consideraron las ecuaciones que describen las fugasde la masa de gas internas de entrada y salida para la cámara de trabajo delcompresor, así como las ecuaciones de la eficiencia volumétrica y la temperaturadel gas al final del proceso de succión. Las consideraciones que propone de losvalores iniciales para las variables termodinámicas para la solución de las ecuacionesdiferenciales del modelo matemático,

• del trabajo propuesto en [15], se consideraron las ecuaciones que describen el cambiode temperatura y presión para los procesos de compresión y descarga en el compresorde doble tornillo, y

• del trabajo propuesto en [18] el esquema propuesto para el controlador del subsistemade alimentación de aire.

1.8. Organización del trabajo

Este documento consta de 8 capítulos, de los cuales la presente introducción es el primero.A continuación se hace una descripción del contenido de cada capítulo, con el fin de obteneruna visión estructurada y de conjunto del documento de tesis.

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En el capítulo 1 se exponen la problemática a abordar, así como la propuesta de solucióny una revisión del estado del arte correspondiente al tema.

En el capítulo 2 se hace un resumen sobre los tipos de compresores y de motores paracompresores, con énfasis en los utilizados en celdas de combustible, proporcionando unalista de fabricantes de este tipo de máquinas. Finalmente se selecciona un compresorespecífico para su modelado e implementación en un sistema de celdas de combustible.

En el capítulo 3 se profundiza en el funcionamiento del tipo de compresor seleccionado: setrata de compresores de doble tornillo. Se exponen sus ventajas y modelado matemático.

En el capítulo 4 se diseña el rotor de un compresor de doble tornillo de acuerdo con losprocedimientos publicados en la literatura para el tipo de compresor. Posteriormente sevalida el diseño del rotor y el modelo matemático usando datos adquiridos por el programaDISCO.

En el capítulo 5 se expone la teoría (función de sensibilidad, estabilidad y robustez)acerca del esquema del controlador a implementar para el control del subsistemamotor-compresor.

En el capítulo 6 se realiza un análisis dinámico del subsistema de aire del sistema deceldas PEM con el modelo del compresor incorporado en este y se diseña el controladorpor colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad, manipulando el voltaje delmotor Vcm para variar la velocidad ωcp del compresor y en consecuencia el flujo másicoWcp que entrega el compresor a la celda de combustible, exhibiendo las características dedesempeño (función de sensibilidad, estabilidad y robustez) del mismo.

En el capítulo 7 se presentan los cambios realizados en el simulador de celdas decombustible implementado en [1], con el fin de acoplar el nuevo subsistema de aire ysu controlador. Se hacen las pruebas correspondientes para dos perfiles de perturbaciónpropuestos con el fin de verificar que se cumplen los objetivos (regulación y seguimientode flujo másico, regulación de exceso de oxígeno y minimización de presión). También seevalúa la robustez y el rechazo a perturbaciones a la salida del controlador por colocaciónde polos y ajuste de la función de sensibilidad. Al final de las pruebas de regulación deexceso de oxígeno, se comparan los resultados obtenidos con el compresor centrífugo [2]y el compresor de doble tornillo desarrollado en esta tesis. Por último, en el capítulo 8se presentan las conclusiones respecto a las aportaciones de la tesis y se sugieren posibleslíneas de investigación y desarrollo para trabajos futuros.

11

Capítulo 2

Compresores

2.1. Introducción

Un compresor es un instrumento mecánico que reduce el volumen ocupado por un fluido(aire) a través de cierta presión ejercida sobre él. Esta presión se obtiene mediante untrabajo mecánico que realizan los elementos móviles que componen el compresor, paraasí dar cumplimiento a su funcionamiento. La compresión puede ser una transformaciónisotérmica o adiabática. La primera implica un proceso pequeño de equilibrio con elambiente. La segunda implica lo opuesto, dado que es un proceso que se realiza muyrápido y por consiguiente no hay intercambio de energía con el ambiente durante lacompresión. Básicamente existen dos tipos de compresores, los de desplazamiento positivoy los dinámicos (véase figura 2.1).

Figura 2.1: Clasificación y tipos de compresores.

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2.2. Desplazamiento positivo

2.2. Desplazamiento positivo

Los compresores de desplazamiento positivo funcionan atrapando un volumen de gas yreduciendo su volumen. La característica general de estos compresores son el flujo constantey la razón de presión variable para una velocidad dada. Los compresores de desplazamientopositivo no son seriamente afectados por las propiedades del gas como son: peso molecular,volumen específico o densidad de entrada.

2.2.1. Rotatorios

Para este tipo de compresor, la compresión y el desplazamiento es resultado de una acciónpor elementos rotatorios. Los compresores de doble tornillo lubricados con aceite tienenun rango de volumen de 10.34×−3 m3/s hasta 1.457 m3/s, y los libres de aceite tienen unrango de 0.188 m3/s a 0.564 m3/s. Los compresores de doble tornillo y lóbulo son usadospara carga parcial o carga básica. Los compresores de veleta tienen un rango aproximadode hasta 1.41 m3/s.

2.2.2. Recíprocos

Tienen un arreglo mecánico en el cual un movimiento reciprocante es transmitido a unpistón que se mueve libremente dentro de un cilindro. La acción de desplazamiento delpistón junto con las válvulas de entrada, causan una entrada de cierta cantidad del fluido enel cilindro donde éste es comprimido y posteriormente descargado. El rango de volúmenesde aire es aproximadamente de hasta 2.82 m3/s.

2.3. Dinámicos

Son máquinas rotatorias de flujo continuo en las cuales la rotación rápida del impulsoracelera el gas después de ser succionado y éste pasa a través de ella, convirtiendo la energíacinética en energía potencial y con esto aumentando la presión.

2.3.1. Centrífugo

En este tipo de compresor, la compresión se realiza mediante la rotación del impulsor queacelera el fluido, el cual tiene un flujo radial. Los rangos de volumen son aproximadamentede hasta 8.46 m3/s.

14

Capítulo 2. Compresores

2.3.2. Axial

En este compresor la aceleración del gas es obtenida por la rotación del rotor de palas. Elsentido del flujo del fluido es axial.

2.4. Turbocargadores

Los turbocargadores son más eficientes que otros compresores, porque usan una turbinaque aprovecha la energía de los gases del sistema de escape (véase figura 2.2) para serimpulsados en lugar de un motor eléctrico. No están limitados a una ubicación específicaporque no requieren mecanismo de accionamiento mecánico como poleas o bandas. Elpeso de un turbocargador es considerablemente menor al de un supercargador. Su diseñose encuentra para amplios rangos de flujos másicos.

Figura 2.2: Turbocargador centrífugo y expansor.

2.5. Supercargadores

Es parecido o similar a un turbocargador excepto que un supercargador es impulsado porel motor en lugar del sistema de escape del motor, éste puede consumir hasta un 20 % dela potencia del motor, pero el consumo es compensado por el incremento en la potenciaque el supercargador produce.

2.5.1. Centrífugos

Su uso se ha vuelto muy popular debido a que es más pequeño que un supercargadorde desplazamiento positivo y que otros tipos de compresores. Su diseño es totalmentediferente a los de desplazamiento positivo y es más parecido a un turbocargador (véase

15

2.5. Supercargadores

figura 2.3). De hecho la carcasa es muy semejante a la del turbocargador y utiliza unimpulsor en lugar de los lóbulos o tornillos para mover el aire. Utiliza una banda y unacaja de engranes (step-up gear en inglés) para hacer girar el impulsor más rápido que losrotores de los supercargadores de desplazamiento positivo.

Figura 2.3: Supercargador centrífugo.

2.5.2. Desplazamiento positivo

Estos supercargadores consisten de dos rotores en forma lobular o de doble tornillo quegiran dentro de una carcasa de aluminio (véase figura 2.4). El supercargador de dobletornillo no sufre fugas internas y tiene una eficiencia adiabática en la región de operaciónde 70 % a 80 %. Trabajan bombeando aire en el colector de admisión a un ritmo másrápido de lo que normalmente ingiere un motor de combustión interna. Se les llama dedesplazamiento positivo debido a que bombean aire a una tasa fija en relación con lavelocidad del motor y el tamaño del supercargador. Éstos son también más eficientesen producir la compresión a velocidades bajas del motor que los centrífugos. La mayordesventaja de este tipo de supercargador es su tamaño, dado que para incrementar lainducción de aire tope de diseño, es necesario incrementar el tamaño del supercargador.

Figura 2.4: Supercargador de doble tornillo.

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2.6. Compresores para celdas de combustible

Todas los compresores vistos anteriormente son para uso industrial, sistemas derefrigeración o para automóviles con motor de combustión interna. Con esto surge lanecesidad de conocer qué tipo de compresor es el adecuado para el sistema de celdas decombustible. En la investigación de [19] consideran tres familias de compresores que sepueden utilizar para un sistema de celdas de combustible tipo PEM, y éstas son:

1. Centrífugos: los compresores centrífugos tienen la ventaja de ser compactos y ligeros,más que cualquier otro compresor volumétrico. La velocidad de rotación es muy altay la eficiencia también, pero sólo en una pequeña zona en el flujo y la presión. Nopueden trabajar a presión constante independientemente del flujo másico. Al trabajarpor arriba de la zona de bombeo (línea de surge) el funcionamiento del compresores inestable. Además, para bajas presiones el rendimiento es muy pobre.

2. Compresores volumétricos sin compresión interna: dado que el trabajo para lograruna compresión es alto, este compresor es muy ineficiente a altas presiones. Cuantomenor sea la presión de operación, la eficiencia es mayor. Estos compresores, por lotanto, son adecuados para las celdas de combustible que operan a bajas presiones(≤ 1.5 bar). Ejemplo de ellos son compresores de lóbulo y ventiladores.

3. Compresores volumétricos con compresión interna: estos compresores tienengeneralmente una porción fija de compresión interna (presión de diseño vi). Porlo tanto deben adaptarse a la presión del sistema a fin de tener el mejor rendimiento.Esto se obtiene para presiones ligeramente superiores a la presión interna delcompresor. Este compresor permite el proceso de integración de la humidificación ensu proceso de compresión, dando un diseño más compacto y eficiente dado que latemperatura de descarga disminuye. Contrariamente a los compresores centrífugos,estos compresores permiten trabajar a los sistemas a presión constante sin zona deoperación inestable. También tienen una eficiencia relativamente alta en un ampliorango de variación para tasas de flujo másico.

17

2.7. Fabricantes de compresores para celdas de combustible

2.7. Fabricantes de compresores para celdas de

combustible

A continuación se presenta un breve resumen de fabricantes de compresores para celdasde combustible.

2.7.1. Honeywell Aerospace (Allied Signal)

Honeywell Aerospace [40] es un fabricante que ha diseñado un turbocompresor centrífugosimilar a un turbocargador usado por una motor de combustión interna. La diferencia esque un motor eléctrico es utilizado para proveer la energía de compresión faltante que noes recuperada por la turbina. Aunque el compresor puede obtener una tasa de rango depresión cercana a 3.2 (relación Pd/Ps), es difícil diseñar un compresor de una sola etapaque pueda proveer el rango completo de flujos másicos demandados.

2.7.2. Arthur D. Little

Arthur D. Little [41] es una empresa que ha desarrollado un compresor de desplazamientopositivo (compresor scroll) para celdas de combustible, es similar al usado en sistemasde refrigeración y aire acondicionado en aplicaciones vehiculares. El compresor tiene lahabilidad de proveer una corriente continua de aire, pero debido a los espacios internosen su construcción, los rangos de presión (relación Pd/Ps) cercanos a 3.0 son difíciles delograr.

2.7.3. Vairex Corporation

Vairex Corporation [42] es una empresa que diseña compresores de veleta y bombasregenerativas con alta eficiencia, motores y controladores integrados. Los diseños paracompresores están enfocados a celdas de combustible de 750 W a 10 kW .

2.7.4. OPCON Group

OPCON Group [43] es una compañía europea que produce tecnología de máquinas dedesplazamiento positivo (compresores de doble tornillo) de uso común en supercargadorescon aplicación a motores de combustión. El compresor de doble tornillo (AutoRotor)es el único que asegura tener fugas de masa de aire mínimas y bajas temperaturas de

18


descarga. Esto contribuye a minimizar la potencia de trabajo y al aumento de la eficienciavolumétrica. El compresor de doble tornillo tiene básicamente dos partes móviles (rotores).Estos rotores no se tocan y por lo tanto el aire está libre de cualquier contaminacióngenerada por el roce de los rotores o el aceite que es usado comúnmente para sellar,lubricar y disipar el calor en la compresión. Diseñan compresores con amplio rango deflujo másico lubricados con agua y secos, a diferentes tasas de presión. A continuaciónse muestran las características de algunos productos que provee esta empresa (tabla 2.1),bajo las siguientes condiciones de operación: eficiencia adiabática mínima de 30 %, máximaeficiencia a máxima velocidad continua y razón de presión r = 2.0 a una temperatura desucción Ts = 20 C.

Tabla 2.1: Compresores de doble tornillo fabricados por OPCON Group.

Capacidad mínima Capacidad máxima

Compresor litro/s m3/min m3/hr g/s kg/hr litro/s m3/min m3/hr g/s kg/hr

OA 0005 3.7 0.22 13.2 4.4 15.8 27.0 1.6 96.0 32.0 115.0

OA 1032 9.0 0.54 33.0 10.8 39.0 86.0 5.2 312.0 103.0 375.0

OA 1040 9.0 0.54 33.0 10.8 39.0 107.0 6.4 384.0 128.0 460.0

OA 1050 9.0 0.54 33.0 10.8 39.0 133.0 8.0 480.0 160.0 576.0

2.8. Motores para compresores

2.8.1. Motor de imanes permanentes (PMSM)

Es al parecer, el motor mayormente usado para impulsar compresores volumétricos ycentrífugos. Ofrece un buen factor de potencia, altos rendimientos y la densidad de potenciapuede ser superior a otros tipos de motores. Un motor de una potencia de 750 W puedealcanzar una velocidad de 46000 rpm; es cinco veces más ligero que los motores deinducción y consume 33 % menos de electricidad. En [19] mencionan que la compañíaMohawk Innovative Technology Egalement ha desarrollado un turbocompresor sin aceitepara celdas de combustible impulsado por un motor de imanes permanentes montadosobre cojinetes de aire. La potencia de salida es de 12 kW y puede alcanzar velocidades

19

2.9. Requisitos y selección del compresor para la celda de combustible

de aproximadamente 120000 rpm. Este tipo de motor, ofrece rendimientos de 30 a 35 %

más alto que los motores de alta velocidad con rodamientos de bolas lubricadas.

2.8.2. Motor sin escobillas (BLDC)

El motor sin escobillas (BLDC por sus siglas en inglés) funciona tomando ventaja de lastécnicas avanzadas de conmutación basadas en electrónica moderna y así poder eliminar elpunto débil del diseño mecánico de los motores de corriente continua (emplean escobillasen la conmutación para la transferencia de energía). Añadiendo cierta complejidad en suelectrónica pero resultando en un motor bastante eficiente y fácil de controlar. Algunas delas ventajas de los motores sin escobillas con respecto a los motores de corriente directaconvencionales son:

• Tamaño compacto y peso ligero.

• Alta eficiencia.

• Mejor relación velocidad-par motor.

• Bajo ruido de operación.

• Mayor densidad de potencia y par que los motores convencionales.

• Mayor rango de velocidad.

2.9. Requisitos y selección del compresor para la celda

de combustible

En el sistema de alimentación basado en celdas de combustible, el subsistema de aire tienecomo principales tareas:

• Proveer suficiente flujo másico de aire para evitar la insuficiencia de oxígeno ymantener la razón de exceso de oxígeno en el valor deseado ([1] y [2]).

• Entregar aire limpio: cualquier partícula o sustancia química (aceite) puede dañarlas membranas del apilamiento. Por lo tanto el aire debe ser filtrado y garantizarque los químicos dañinos sean eliminados.

20


Se considera un sistema de celdas de combustible de hasta 75 kW , con una razón deexceso de oxígeno λO2 = 2 y un voltaje promedio por monocelda vfc = 0.6 V . El cual fuesimulado con el programa de [1], tomando el modelo del sistema de celdas de Pukrushpanen [2]. Para determinar los requerimientos de flujo másico de un sistema de este tipo seusa la ecuación 2.9.1 deducida en [20], de esta forma, el flujo másico que necesita la celdade combustible es igual a 0.08925 kg/s ≈ 90 g/s.

Tasa de flujo de aire = 3.57x−7λO2

Pstvfc

kg

s(2.9.1)

2.9.1. Curva de polarización de la celda de combustible tipo PEM

La figura 2.5 muestra diferentes ejemplos de curvas de polarización a 80C y presionesde 1 a 4 bar a las que la celda de combustible puede operar. El flujo másico de consumocorrespondiente a estas presiones de operación va desde 0.01 a 0.09 kg/s de acuerdo a loreportado en [2]. Estos datos son utilizados para la selección y diseño del compresor, elcual debe entregar un flujo de 0.09 kg/s a una presión máxima de 4 bar, para satisfacerlas necesidades de flujo másico y presión de la celda de combustible.

Por lo tanto, en este trabajo, se considera como requerimiento máximo, un flujo de aire de0.09 kg/s. Por otro lado, de acuerdo con las presiones requeridas en la celda de combustible,se establece un rango de presiones a la salida del compresor, de 1 bar a 4 bar.

Figura 2.5: Datos de polarización para la celda de combustible tipo PEM a 80C y presionesde 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 y 4 bar [2].

21

2.9. Requisitos y selección del compresor para la celda de combustible

2.9.2. Selección del compresor

La elección de un compresor para celdas de combustible no es una tarea sencilla, dado quehay que considerar varios factores como: costo de la máquina, peso, rendimiento, motor ydriver de control para manejarla, consumo energético y eficiencia; pero dado que el objetivode esta tesis es la implementación del modelo matemático del compresor elegido, ademásde considerar los factores antes mencionados, se tomó en cuenta también lo siguiente:

• Que existiera comercialmente un compresor con rangos de flujo másico y presión deoperación cercanos a los reportados en [2].

• Que el compresor no tuviera regiones límite de operación y que la relaciónvelocidad-flujo másico fuera lineal.

• Que existiera suficiente información sobre el modelo matemático y el funcionamientodel compresor en la literatura.

• Que existiera una herramienta para calcular los parámetros geométricos de lamáquina o se contará con datos de ellos en la literatura.

• Que en su proceso de trabajo se pudiera implementar la humidificación.

Tomando como punto de partida lo anterior se escogió el compresor de doble tornillo.Primero, porque se halló que en el mercado existe un compresor que cubre el rango deoperación de flujo másico (véase el modelo OA 1032 en la tabla 2.1) que consume lacelda de combustible. Segundo, porque en la literatura se encontró que los compresoresde desplazamiento positivo tienen un comportamiento lineal de operación. Además, estaelección es reforzada en el capítulo siguiente, en donde se expone a detalle las característicasy ventajas que el compresor de doble tornillo ofrece al ser una máquina que combina lasfortalezas del compresor centrífugo y de desplazamiento positivo.

22

Capítulo 3

Compresor de doble tornillo

3.1. Introducción

Las máquinas de desplazamiento positivo realizan cambios en la presión admitiendo unamasa fija del fluido dentro de una cámara de trabajo donde es confinado y entonces escomprimido o expandido hasta que finalmente es descargado. Para un compresor de dobletornillo el proceso es repetido en cada lóbulo de los rotores. Por lo tanto, para un perfilde 3/5 existen tres lóbulos en el rotor macho z1 = 3 y cinco en el rotor hembra z2 = 5,teniendo tres ciclos de compresión durante cada rotación del rotor macho o tres cámarasde trabajo, cada ángulo múltiplo de 360/z1.

3.1.1. Compresores de doble tornillo de aceite y libres de aceite

El compresor de doble tornillo puede ser clasificado en dos tipos, en compresores de aceitey compresores libres de aceite (húmedos o secos). En los compresores de aceite, se inyectael aceite para lubricar, sellar y reducir el incremento de la temperatura del gas duranteel proceso de compresión. Este tipo de compresor no requiere de sellos internos, es simpleen cuanto a diseño mecánico, con un costo de fabricación económico y altamente eficiente.En los compresores libres de aceite no hay una mezcla entre el gas de trabajo y el aceite,el contacto entre los rotores es prevenido mediante un sistema de engranes los cuales sonlubricados externamente. Para evitar que el lubricante entre en la cámara de trabajo, seusan sellos internos en cada eje de la cámara de trabajo y en los cojinetes. En la figura 3.1se muestran dos compresores con el mismo tamaño de rotores, la diferencia de tamaño enla carcasa es debida a los sellos especiales que necesita el compresor libre de aceite.

23

3.1. Introducción

Figura 3.1: Compresores de inyección de aceite y libre de aceite [23].

3.1.2. Ventajas de los compresores de doble tornillo

El compresor de doble tornillo tiene la ventaja de bajos niveles de vibración mecánicasimilar a los compresores centrífugos debido al movimiento rotatorio. Sin embargo,los compresores de doble tornillo al ser máquinas de desplazamiento positivo con unprincipio de trabajo similar a los compresores reciprocantes, combinan las ventajas delos compresores centrífugos y reciprocantes.

A continuación se listan las ventajas de los compresores de doble tornillo sobre loscompresores centrífugos y reciprocantes:

• El flujo del volumen de succión y la potencia de consumo crecen linealmente con lavelocidad del compresor a una presión de descarga constante.

• La importancia de las fugas se vuelve menor conforme se incrementa la velocidad deoperación.

• Ni la presión de descarga ni el peso molecular del gas tienen un gran efecto en elflujo másico.

• A diferencia de las máquinas reciprocantes, pueden alcanzar velocidades mayores deoperación.

• A diferencia de los compresores reciprocantes, scroll y de veleta, la longitud de todaslas líneas de sellado disminuyen conforme el volumen geométrico de la cámara detrabajo disminuye y la presión aumenta en paralelo. Esto minimiza el escape del gasde las cámaras debido a las fugas durante los procesos de compresión y expansión[21].

24

Capítulo 3. Compresor de doble tornillo

En el caso de los compresores centrífugos, la presión de descarga y el peso molecular síafectan el desempeño. Si la presión de descarga en un compresor centrífugo es mayorque la presión para la cual está diseñado, el compresor centrífugo entrará en la zona deoleada (surge). Si el peso molecular cae por debajo del valor para el cual el compresor estádiseñado, el compresor nuevamente entrará en la zona de oleada (surge).

3.1.3. Funcionamiento del compresor de doble tornillo

La figura 3.2 muestra los dos rotores y el proceso de trabajo del compresor de dobletornillo. Mediante la rotación de los rotores, el volumen de la cámara de compresiónincrementa desde cero hasta el máximo y el gas entra a través del puerto de succión. Porcada rotación de 360, los lóbulos del rotor pasan los límites de la línea de entrada y lacámara de compresión es cerrada. Entonces el proceso de compresión comienza y el gas escomprimido mediante la reducción del volumen geométrico entre los lóbulos de los rotoresy la carcasa, paralelamente el gas es empujado axialmente hacia la zona de descarga.Finalmente los lóbulos del rotor pasan los límites de la línea de salida, aquí la cámara decompresión es abierta a la zona de descarga y el gas es descargado.

Cada proceso de trabajo consiste de tres fases: succión, compresión y descarga, las cualesson repetidas cíclicamente. La figura 3.3 muestra un proceso idealizado en un diagrama PV(presión-volumen). Durante las fases de succión y descarga, el volumen del gas es conectadoa las zonas de succión y descarga mediante puertos fijos ubicados en la carcasa delcompresor. Durante el proceso de compresión, a diferencia de los compresores centrífugos,el gas es atrapado en una cámara de trabajo cerrada formada por los surcos de los rotoresy la carcasa. El trabajo de compresión absorbido por el gas está representado por el áreabajo la curva de las lineas de succión, compresión y descarga. Así, el trabajo de compresiónestá dado por:

W =

∫V dP (3.1.1)

la potencia de compresión es,

Potencia =dW

dt

∫V dP (3.1.2)

A diferencia de los compresores reciprocantes, los compresores de doble tornillo no tienen

25

3.1. Introducción

Figura 3.2: Proceso de trabajo en un compresor de doble tornillo.

26


Figura 3.3: Diagrama ideal de la curva PV para un compresor de doble tornillo.

válvulas que abren y cierran automáticamente para la entrada o descarga de la masa degas. El intercambio de masa de gas está determinado por aperturas fijas en la carcasa queestán relacionadas con cierta posición angular de los rotores y a un cierto volumen de lacámara de trabajo. La razón de volumen de diseño vi (built-in volume por su nombre eninglés) puede ser definida como [21]: la razón del desplazamiento volumétrico a la entradadel puerto de descarga con respecto al desplazamiento volumétrico en el punto de cierredel puerto de succión.

vi =V1

V2

(3.1.3)

El valor del vi es fijo para un cierto diseño de compresor de doble tornillo porque estádeterminado por la geometría de la carcasa y la posición del puerto de descarga. Sinembargo, se pueden obtener diferentes valores para vi mediante el cambio de la posicióndel puerto de descarga. Durante la reducción del volumen de la cámara desde el valormáximo V1 hasta el inicio de la apertura de descarga V2, la masa de gas atrapada escomprimida. El valor de vi y el exponente adiabático k dan la relación llamada razón depresión de diseño (built-in pressure ratio por su nombre en inglés), expresada como:

r =PdPs

=

(V1

V2

)k= vki (3.1.4)

Una cierta discrepancia del valor de vi y la razón de presión externa es a menudo inevitablesin causar esto una desventaja o problema. Sin embargo, grandes desviaciones entre ambosvalores pueden causar serios problemas tales como una caída en la eficiencia, pulsaciones en

27

3.1. Introducción

el puerto de descarga y sobrecalentamiento para el caso de la sobrecompresión. Una razónde presión de diseño menor que la razón de presión externa es llamada baja compresión(undercompression por su nombre en inglés) y una razón de presión de diseño mayor quela razón de presión externa es llamada sobrecompresión (overcompression por su nombreen inglés).

La figura 3.4 muestra el efecto de la baja compresión. La presión de succión y la presiónde descarga es la misma que la figura 3.3. La cámara de trabajo es abierta a la descargamientras la presión interna permanece menor que la presión de descarga. Esto causa unrápido flujo de retorno de la masa de gas desde la zona de descarga hacia la cámarade trabajo hasta que las presiones se igualen. La baja compresión causa una pérdida eneficiencia y puede causar severas pulsaciones en el puerto de descarga.

Figura 3.4: Diagrama ideal de la curva PV para un compresor de doble tornillo con bajacompresión.

El efecto de la sobrecompresión se muestra en la figura 3.5. La presión de succión y lapresión de descarga es la misma que las figuras 3.3 y 3.4. Se observa que la presión internade la cámara de trabajo sobrepasa la presión de descarga. Cuando la cámara de trabajoestá conectada a la zona de descarga, la presión interna cae rápidamente a la presiónde descarga. La sobrecompresión causa pérdida en eficiencia, porque el gas es altamentecomprimido innecesariamente y se expande nuevamente.

3.1.4. Perfil del rotor

Un compresor de doble tornillo eficiente requiere un perfil de rotor el cual tenga un áreade sección transversal grande, una línea de sellado corta y áreas triangulares (blowhole)

28


Figura 3.5: Diagrama ideal de la curva PV para un compresor de doble tornillo consobrecompresión.

pequeñas, puesto que líneas de sellado cortas y pequeños blowhole reducen las fugas ytasas de fuga pequeñas incrementan la eficiencia volumétrica. Esto aumenta la eficienciaadiabática porque menos potencia es gastada en la compresión de gas el cual estárecirculando internamente. Existen dos tipos de perfiles: los simétricos y los asimétricos(véase 3.6). El perfil asimétrico tipo ’N’ es sugerido en [21] y [30] para ser usado encompresores de doble tornillo, ya que aumenta la eficiencia del compresor, esto porqueminimiza las fugas de masa de gas y es el que mejores prestaciones presenta paracompresores libres de aceite.

El diseño del perfil está influenciado por el compromiso entre la eficiencia, métodos defabricación, costo y robustez mecánica. Para una óptima eficiencia volumétrica, la longitudde la línea de sellado entre los rotores debe ser minimizada. La robustez mecánica es unaimportante característica porque los rotores al transmitir par están sujetos a esfuerzosmecánicos radiales y axiales. Las fuerzas radiales causan una deformación en los rotores.El desplazamiento de volumen por rotación puede ser maximizado para un cierto diámetrode rotor para lograr minimizar el tamaño de la máquina. En [21] mencionan que eldesplazamiento de volumen es grande para rotores largos con pocos lóbulos. Este tipode perfil de rotor es adecuado para aplicaciones con diferencias de presión bajas y grandesvolúmenes de flujo. Para aplicaciones con presiones bajas una combinación de 3/5 lóbuloses recomendada ya que esta configuración da una larga área de sección transversal conlóbulos robustos en el rotor macho más que cualquier otra combinación conocida para elrotor en un compresor de doble tornillo.

29

3.2. Modelo matemático unidimensional

Figura 3.6: Tipos de perfiles empleados en un compresor de doble tornillo [23].


3.2.1. Introducción

El desempeño del compresor de doble tornillo está gobernado por los efectos interactivosde los procesos termodinámicos, del flujo del fluido de trabajo y la geometría de losrotores, por lo que se deben considerar simultáneamente. Sólo de esta manera se puedecalcular de forma fiable el desempeño de la máquina. Esto puede ser logrado medianteun modelo matemático de una o más dimensiones. Para muchas aplicaciones, un modelounidimensional es suficiente y es el que se describe en este capítulo.

El modelo matemático para el compresor de doble tornillo seco, fue desarrollado medianteel estudio y la unión de los trabajos [14] y [15]. El modelo predice la variación de latemperatura y la presión del gas con el cambio del volumen geométrico durante el procesode compresión y las variaciones de la masa de gas debidas a las fugas internas. Las fugasinternas de gas derivadas de los espacios entre los rotores y la carcasa son el primer factorque determina la eficiencia volumétrica en el compresor de doble tornillo. En el análisis delvolumen de control, las fugas internas de gas de entrada y salida en la cámara de trabajoconstituyen las corrientes de entrada y salida.

El modelo matemático obtenido se basa en la aplicación de ecuaciones de conservaciónde energía y masa; así como en un conjunto de ecuaciones algebraicas usadas paradefinir varios fenómenos relacionados a los procesos de succión, compresión y descargadel fluido de trabajo. Además, este modelo define el volumen de la cámara de trabajo ysu cambio con respecto al ángulo de rotación de los rotores. Así, tenemos un conjunto deecuaciones diferenciales no lineales las cuales se resolvieron en este trabajo con el uso del

30


método de Runge-Kutta de cuarto orden, considerando condiciones iniciales apropiadas.El método para la solución de las ecuaciones diferenciales ha sido ampliamente sugeridoen la literatura, algunas referencias son: [14], [22], [23], [24], [25] y [26].

3.2.2. Proceso de succión

El análisis del proceso de succión [14] de un compresor es esencial para saber la cantidadde masa de gas fresca inducida en las cavidades de succión. La cantidad de masa de gasinducida es una función de las temperaturas del gas de entrada y las fugas internas. Latemperatura T1 al final del proceso de succión es más alta que la temperatura Ts del gasfresco inducido, esto debido a la transferencia de calor presente en la cámara de trabajo.Las fugas internas de gas de retorno a la zona de succión son consideradas para calcularel incremento de la temperatura de la carga fresca de gas inducida.

Las siguientes suposiciones han sido consideradas en el análisis del proceso de succión. Yaque las fluctuaciones de la presión y la temperatura son generalmente insignificantes, elanálisis se ha simplificado considerando como constantes las siguientes cantidades:

• La velocidad del gas de entrada.

• La temperatura del gas de entrada.

• La caída de presión a través del puerto de succión.

Tomando las suposiciones antes mencionadas, el estado del gas al final del proceso desucción es calculado usando el balance de masa y energía. La transferencia de calor desdela fuga de masa de gas a la carga fresca de masa de gas inducida es:

Q = cpM1(T1 − Ts) (3.2.1)

La transferencia de calor por convección entre la masa de la fuga de gas y la carga frescade masa de gas inducida durante el proceso de succión se expresa como:

Q = hA(Tlg − Ts)ts (3.2.2)

Donde el coeficiente de transferencia de calor h es:

31


h =kPsVt1

(k − 1)Ats

dηrel,evdTs

(3.2.3)

con dηrel,evdTs

= .0026K−1 para el aire [14].

Bajo condiciones ideales, el calor perdido por la masa de la fuga de gas es igual al calorganado por la carga fresca de masa de gas. De las ecuaciones 3.2.1 y 3.2.2, la temperaturamedia del gas inducido es:

T1 =hA(Tlg − Ts)ts

M1cp+ Ts (3.2.4)

donde A = V23t1 es definida como el área de transferencia de calor representativa [4].

Usando la ecuación de estado del gas ideal, la cantidad total de masa de gas incluyendola masa de la fuga de gas ocupando el volumen de succión a las condiciones (Ps,Ts) es:

Mts =PsVt1RTs

(3.2.5)

donde Vt1 = (Am + Af )L definida en [5].

La masa de gas actual contenida en el volumen al final del proceso de succión a lascondiciones (Ps,T1) es:

Mt1 =PsVt1RT1

= MtsTsT1

(3.2.6)

La masa total de gas a las condiciones (Ps,T1) es la suma de la carga fresca inducida y lamasa de la fuga de gas. Así, tenemos:

Mt1 = M1 +Mil (3.2.7)

donde Mil = (mgi − mgo)ts es la fuga neta para todas las cavidades durante el tiempo desucción ts.

Usando la ecuación 3.2.6, la carga fresca de gas a las condiciones (Ps,T1) puede serexpresada como:

M1 = MtsTsT1

−Mil (3.2.8)

32


Nótese queM1 es la carga fresca de gas a las condiciones (Ps,T1).Mts es la masa de gas totala las condiciones (Ps,Ts) y Mil es la masa de gas a las condiciones (Ps,T1). Sustituyendo elvalor de M1 de la ecuación 3.2.8 en la ecuación 3.5.1, encontramos una relación cuadráticapara T1 expresada como:

− cpMilT21 + T1[cpMtsTs + cpMilTs − hA(Tlg − Ts)ts]− cpMtsT

2s = 0 (3.2.9)

La solución de la ecuación cuadrática 3.2.9 da como resultado la temperatura de la masade gas al final del proceso de succión. El valor para Mil se determina de la actualizaciónde las fugas en la cámara de trabajo.

3.2.3. Proceso de compresión

Los análisis de los procesos de compresión y descarga son requeridos para encontrar lavariación de la temperatura del gas y la presión para diferentes posiciones angularesdel rotor macho. Para una velocidad angular constante del rotor, las variaciones detemperatura y presión pueden ser expresadas como cantidades proporcionales al tiempo.Las consideraciones de modelado de la compresión son las siguientes:

• Las propiedades del gas son uniformes en todo el volumen de control a cualquierinstante de tiempo.

• El fluido de trabajo es un gas perfecto, por lo que los calores específicos a presión yvolumen constante (cp y cv respectivamente) son constantes.

• La transferencia de calor a las paredes de la carcasa y los rotores no se considera.

• La presión es homogénea a través del espacio de trabajo en cualquier instante detiempo.

• La energía cinética del fluido es despreciable, o al menos el cambio es despreciable.

El volumen de compresión depende de la rotación de los rotores y la masa dentro de lacámara de trabajo depende de las fugas internas en un ciclo de trabajo. La compresiónprovoca variaciones de temperatura, presión y energía interna del gas. Las siguientesecuaciones se derivan de las consideraciones de modelado mencionadas anteriormente.

33


Ecuación de estado

dP

dt= (

1

Mg

dMg

dt+

1

Tg

dTgdt− 1

Vg

dV

dt

)kP (3.2.10)

Ecuación de energía

dU

dt= −P dV

dt+ cpTgbmgi − cpTgmgo (3.2.11)

Ley de la conservación de masa

dMg

dt= mgi − mgo (3.2.12)

donde P ,Tg, Mg, V y U son las pequeñas variaciones de P , Tg, Mg, Vg y U durante unintervalo de tiempo dt respectivamente, mgi y mgo son masas de gas fluyendo hacia dentroy fuera del volumen de control respectivamente. Tgb es la temperatura del gas fluyendodentro del volumen y proviene de la zona con mayor temperatura, la cual está cercana alpuerto de descarga.

U puede escribirse como:

dU

dt= (mgi − mgo)cvTg +Mgcv

dTgdt

(3.2.13)

Igualando las ecuaciones 3.2.11 y 3.2.13, se obtiene:

dTgdt

=

(−(k − 1)

1

Vg

dV

dt+ (kτi − 1)

mgi

Mg

− (k − 1)mgo

Mg

)Tg (3.2.14)

donde k = cpcv

y τi =TgbTg

De la ecuación 3.2.14 se obtiene la relación para calcular el perfil de temperatura del gascon respecto al tiempo.

De las ecuaciones 3.2.10, 3.4.1 y 3.2.14 se consigue la siguiente relación para determinarel perfil de presión con respecto al tiempo.

dP

dt=

(− 1

Vg

dV

dt+ τi

mgi

Mg

− mgo

Mg

)kP (3.2.15)

34


El volumen de control V en las ecuaciones 3.2.14 y 3.2.15 está representado como unafunción del ángulo de rotación del rotor macho V (θ) (ecuación 3.2.26). Esta ecuación parael volumen puede ser obtenida geométricamente o como es el caso de este trabajo, usandoun ajuste de curva sobre los datos obtenidos de [27] para aproximar la relación de V (θ).La relación existente entre el cambio del volumen del gas dentro de la cámara de trabajoy el cambio del volumen geométrico en el tiempo es:

dVgdt

=dV

dt(3.2.16)

donde dVdt

en el tiempo está expresada como:

dV

dt= 3p1 (360Nm)3 t2 + 2p2 (360Nm)2 t+ 360p3Nm (3.2.17)

Para la ecuación 3.2.17 los valores de p1, p2 y p3 son obtenidos mediante un ajuste decurva usando un polinomio cúbico para la curva de volumen del compresor generada porel software DISCO [27].

3.2.4. Proceso de descarga

Las mismas suposiciones de modelado y ecuaciones de compresión de la sección anterior,son usadas para el proceso de descarga. Se considera que la presión alcanzada al final delproceso de compresión permanece constante durante la etapa de descarga. Sólo cuando lapresión de compresión interna antes de entregar el gas a la etapa de descarga difiere de lapresión de operación de descarga, el gas en la zona de descarga es bruscamente expandidoo comprimido al inicio del proceso de descarga. Entonces la temperatura del gas se calculacon la ecuación 3.2.18:

Td =

(k − 1

k

PdPa

+1

k

)Ta (3.2.18)

3.2.5. Ecuaciones del compresor de doble tornillo en función de

la posición

Debido a la experiencia previa de implementar el modelo matemático del compresor dedoble tornillo seco en un lenguaje estructurado, se notó que dejar la dependencia de la

35


variable de posición θm (que actualiza al volumen geométrico V ) con respecto a una solavariable (ωcp) y no de dos variables (ωcp y t) como en la ecuación 3.2.17, es mejor dado quepermite variar el incremento del angulo, sin necesidad de depender del tiempo. Tomandoen cuenta que la relación existente entre la velocidad angular (ω),el tiempo (t) y la posición(θ) se expresa como:

ω =θ

t(3.2.19)

derivando 3.2.19 y despejando para el tiempo, tenemos:

dt =dθ

ω(3.2.20)

sustituyendo el operador dt de la ecuación 3.2.20 en las ecuaciones 3.5.2 a 3.5.5 tenemosel cambio de variable del tiempo a la posición, y las ecuaciones en función de la posiciónson:

dP

dθ=

(− 1

Vg

dV

dθ+

1

ωMg

(τimgi − mgo)

)kP (3.2.21)

dTgdθ

=

(−(k − 1)

1

Vg

dV

dθ+

1

ωMg

((kτi − 1)mgi − (k − 1)mgo)

)Tg (3.2.22)

dMg

dθ= (mgi − mgo)

1

ω(3.2.23)

dVgdθ

=dV

dθ(3.2.24)

Para dV (θ) se deriva una ecuación que es menos compleja de calcular, ya que dependeúnicamente de θ, la cual depende únicamente de la la velocidad del rotor macho, no deltiempo y la velocidad del rotor macho como la ecuación 3.5.7. dV (θ) que es equivalente ala ecuación 3.2.17 se expresa como:

dV

dθ= 3p1θ

2 + 2p2θ + p3 (3.2.25)

Para dV antes de derivar con respecto a θ tenemos:

36


V (θ) = p1θ3 + p2θ

2 + p3θ + p4 = Vg (3.2.26)

3.3. Desempeño del compresor de doble tornillo seco

En la literatura existen muchas definiciones de la eficiencia para evaluar el desempeño deun compresor. El índice de desempeño de un compresor está caracterizado por su capacidadde manejar cierto volumen o masa y el consumo de potencia específico asociado a esto. Así,el índice de desempeño estará determinado por dos eficiencias: la eficiencia volumétrica yla eficiencia en potencia. La eficiencia en potencia puede ser llamada eficiencia adiabática,isotérmica o politrópica dependiendo del proceso de compresión. La eficiencia volumétricade un compresor de doble tornillo depende del volumen de las fugas de masa de gas quevan del extremo de la zona de descarga hasta las cavidades de succión a través de losespacios o aberturas del compresor.

En un compresor de doble tornillo, la cantidad actual de masa de gas fresca tomada duranteel proceso de succión decrece debido a la recirculación de las fugas de masa de gas. Laeficiencia volumétrica puede ser definida en términos de la tasa de flujo volumétrico o dela tasa de flujo másico. Así, la expresión para la eficiencia volumétrica se expresa como:

ηv =El volumen de gas descargado por unidad de tiempo a las condiciones de succion

El volumen de gas desplazado por unidad de tiempo(3.3.1)

ηv =La masa de gas entregada por un par de cavidades del rotor

La masa de gas teorica contenida para el mismo volumen a las condiciones de succion(3.3.2)

Así, la eficiencia volumétrica en términos de la masa de gas queda expresada como:

ηv =Mt1 − (mgi −mgo)ts

Mts

(3.3.3)

3.3.1. Potencia del compresor de doble tornillo seco

La potencia de un compresor considerando una unidad de tiempo de acuerdo con [39],puede ser calculada con el cambio de la temperatura como:

37

3.3. Desempeño del compresor de doble tornillo seco

Potencia = W = cp∆TWcp (3.3.4)

donde,

∆T = Td − Ts =Tsηc

((PdPs

) k−1k

− 1

)(3.3.5)

ηc =Ts

Td − Ts

((PdPs

) k−1k

− 1

)(3.3.6)

ηc es la eficiencia isentrópica la cual es muy útil ya que nos dice que tanto se incrementala temperatura, no se está diciendo que el proceso sea es isentrópico, sino que se estácomparando con uno isentrópico.

Wcp = Mgz1Nm (3.3.7)

mg es el flujo másico que entrega el compresor.

Sustituyendo las ecuaciones 3.3.5 a 3.3.7 en la ecuación 3.3.4 y considerando el valor decp = 1004Jkg−1K−1 y k = 1.4, la potencia del compresor queda expresada como [39]:

Potencia = W = 1004Tsηc

((PdPs

).286

− 1

)Wcp (3.3.8)

38


3.4. Fugas

3.4.1. Introducción

El desempeño del compresor de doble tornillo depende del volumen y las pérdidas del flujode masa de gas a través de los rotores. Por lo que para predecir la eficiencia y estimarel desempeño del compresor es necesario un adecuado cálculo de las fugas. Las relacionesentre las fugas y el desempeño en un compresor de doble tornillo, están basadas en elmodelo parámetrico de los rotores del compresor. Así, es posible relacionar la geometríadel perfil del rotor con diferentes diseños de rotores requeridos por un criterio particularde desempeño como son: tamaño, razón de presión, fugas internas y eficiencia volumétrica.Los caminos de fuga son generados durante el diseño de los rotores, su forma y tamañoson influenciados por el perfil geométrico del rotor con relación a la geometría de loscomponentes como son la carcasa, así como los puertos de entrada y salida.

Debido a que deben existir espacios entre los componentes móviles para compensarla tolerancia de las fuerzas de deformación en los rotores y la expansión térmica delcompresor, estos espacios originan los caminos de fuga en el compresor de doble tornillo(véase figura 3.7). Los caminos de fuga pueden ser modelados como una tobera convergente.La tasa de fuga depende de las áreas de fuga, coeficientes de flujo y diferentes temperaturasy presiones entre las cámaras de trabajo actuales y adyacentes. Los coeficientes de flujopueden ser estimados por simulación para empatar con los resultados experimentales. Paraencontrar las tasas de flujo de masa de las fugas, el estado del surco adyacente a la cámarade trabajo necesita ser conocido con respecto al ángulo del rotor macho θm. Para la posiciónde la cámara de trabajo al ángulo θm de rotación del rotor macho, las cámaras precedentey siguiente están en la posición θm + 2π/z1 y θm − 2π/z1 respectivamente, siendo z1 elnúmero de lóbulos en el rotor macho. En asociación con la figura 3.7, los estados de losparámetros se muestran con la ayuda del diagrama de la figura 3.8. Donde cuatro fuentesde fugas internas existen en un compresor de doble tornillo [14]. Estas fuentes son:

• Fugas a través del espacio rotor-a-rotor (interlobe).

• Fugas a través del espacio del blowhole.

• Fugas a través del extremo de la descarga.

39

3.4. Fugas

• Fugas a través de los espacios punta del rotor-carcasa

2L 2L

3L3L

1L 4L

Caminos de fuga

InterlobeBlowholePunta del rotor-carcasaExtremo de la descarga

3L

1L

2L

4L

Figura 3.7: Caminos de fuga en un compresor de doble tornillo.

m 1zMg( -2 / )

m 1zTg( -2 / )

m 1zP( -2 / )

m 1zMg( +2 / )

m 1zTg( +2 / )

m 1zP( +2 / )

m

m

m

Mg( )Tg( )

P( )

Cámara desucción(Ps,Ts)

Interlobe

Figura 3.8: Diagrama del flujo de fugas de masa de gas a través de los espacios delcompresor de doble tornillo [14].

A continuación se detallan los cuatro tipos de fugas considerados por Seshaiah en [14].

3.4.2. Fugas a través del espacio rotor-a-rotor (interlobe)

El espacio generado entre los rotores es conocido como interlobe. Este espacio promueve lasfugas de masa de gas entre los surcos adyacentes. Estos espacios de diseño son realizadosentre los lóbulos para evitar pérdidas por el desgaste mecánico. La fuga de masa de gas através de este espacio va directamente a la cámara de succión. La cantidad de fuga de masade gas depende del área del espacio, la temperatura, el coeficiente de flujo y la diferenciade presión entre la cámara de trabajo y la cámara de succión.

40


3.4.3. Fugas a través del espacio de "blowhole"

El área del "blowhole" puede ser definida como [28]: el área triangular más pequeñalimitada por la carcasa y los dos rotores, en un plano normal al camino de fuga entredos cavidades adyacentes.

El dibujo del lado izquierdo en la figura 3.9 muestra una sección transversal de la carcasa ylos dos rotores en un plano normal a los ejes de los rotores. En la figura del lado izquierdo,uno de los lóbulos del rotor macho está en contacto con la parte más alta de la carcasa yotro lóbulo está en contacto con el lóbulo del rotor hembra, formando de esta manera uncamino de fuga de la cavidad I a la cavidad II. El dibujo del lado derecho en la figura 3.9es una reproducción del dibujo del lado izquierdo, pero aquí los rotores han rotado a unaposición tal que, uno de los lóbulos del rotor macho está en contacto con la parte bajade la carcasa. La punta del lóbulo del rotor hembra ahora está tocando la parte más altade la carcasa formando un largo "blowhole". Sin embargo las cavidades III y IV, están auna misma presión de succión, y una fuga despreciable se lleva a cabo desde una cavidada otra. Así, tenemos triángulos de fuga con la misma área en ambas zonas (succión ycompresión) del compresor, las cuales afectan el desempeño.

El tamaño del triángulo de fuga está definido por los perfiles geométricos del rotor, lo quela hace un camino de fuga inevitable. Pero otros parámetros geométricos como el ángulode atrape, el número de lóbulos, etc., también tienen alguna influencia.

Durante el proceso de compresión dos "blowhole" son formados, los cuales son llamados"blowhole" principal y "blowhole" secundario. Ambos tienen la misma área. El "blowhole"principal está formado entre la cámara de trabajo y la cámara adyacente precedente a unángulo de θm + 2π/z1, mientras el "blowhole" secundario está formado entre la cámara detrabajo y su cámara adyacente siguiente a un ángulo θm − 2π/z1. Las fugas de masa degas que van hacia dentro de la cámara de trabajo se llevan acabo a través del "blowhole"principal, mientras que las fugas de masa de gas que van hacia afuera de la cámara detrabajo son a través del "blowhole" secundario.

3.4.4. Fugas a través del extremo de la descarga

Otra fuga de masa de gas importante es a través del espacio formado entre el extremodel rotor y el extremo final de la descarga. Las fugas de masa de gas desde las cavidades

41

3.4. Fugas

II

I

IV

III

Lado de presiónalta

Lado de presiónbaja

Rotor machoRotor hembraCarcasa

Figura 3.9: Área de "blowhole" [28].

precedentes (θm+2π/z1) de los rotores macho y hembra, van a la cámara de trabajo actualque está en el ángulo θm a través del espacio entre el rotor macho y el extremo final de ladescarga. Similarmente, las fugas de masa de gas que salen de la cámara de trabajo actualθm van a la cámara siguiente (θm − 2π/z1) formada por las cavidades del rotor macho yhembra.

3.4.5. Fugas a través de los espacios punta del rotor-carcasa

Las fugas de masa de gas alrededor de las puntas del rotor dependen del espacio formadoentre la punta del rotor y la carcasa a lo largo de la longitud de la línea de sellado. Lalongitud de la línea de sellado, a su vez depende del ángulo de rotación θm. Conforme elrotor comienza a rotar, la longitud de la línea de sellado decrece debido a que el volumengeométrico de la cámara de compresión disminuye como se ve el la figura 3.11 . La longitudde la línea de sellado al inicio del proceso de compresión (θm = 0) es igual a la suma de laslíneas de sellado individuales (véase figura 3.10) de todos los caminos de fuga y es cero alfinal del proceso de descarga (θm = 360). En la figura 3.11 el contorno de la línea de selladoes extrapolada (línea punteada) más allá de los límites del rotor para visualizar las líneasde sellado más claramente. Cuando el rotor gira sobre su eje, una sección principal de lalínea de sellado aparece y conforme la rotación continua la línea se mueve paralelamenteal eje z y decrece en dimensión hasta que eventualmente desaparece como se muestra en lafigura 3.11. De esta forma la línea de sellado varía conforme el rotor gira. En la tabla 3.1están los nombres de las líneas de sellado individuales que se muestran en la figura 3.10.

42


P

P

P

P

P

PP

PP

Rotor

y

z

Eje del rotor

Final de succión Final de descarga

7 ‘

6 ‘

7

6

5

23

14

Figura 3.10: Líneas de sellado en el compresor de doble tornillo [22].

Tabla 3.1: Componentes de la línea de sellado [22].

Línea Nombre

P1 − P2 Blowhole principal

P2 − P3 Interlobe secundario

P3 − P4 Blowhole secundario

P4 − P5 Punta del rotor secundario

P5 − P6 Blowhole en el lado de expansión

P6 − P7 Interlobe principal

P7 − P1 Punta del rotor principal

P′6 − P

′7 Extremo del lóbulo

M=288°

M=144°

M=0°

Figura 3.11: Movimiento de la línea de sellado [22].

43

3.4. Fugas

3.4.6. Deducción de las ecuaciones de fuga

La masa de gas varía continuamente debido a la fuga durante los procesos decompresión-descarga. De la ley de conservación de masa, la tasa de cambio de la masade gas puede escribirse de la siguiente forma:

dMg

dt= mgi − mgo (3.4.1)

La masa de la fuga de gas puede ser expresada en términos de las variables localesa cualquier instante de tiempo en la cámara de trabajo y se considera que tiene uncomportamiento de una tobera convergente. Si la caída de presión de un fluido a través dela tobera es considerable, la ecuación de la energía para un fluido adiabático compresiblese puede expresar como [29]:

k

(k − 1)

P1

ρ1g+V 2e1

2g+ Z1 =

k

(k − 1)

P2

ρ2g+V 2e2

2g+ Z2 (3.4.2)

Si se considera que las corrientes de subida y bajada de los caminos de fuga están a lamisma elevación (Z1=Z2) y la velocidad de entrada del gas es suficientemente pequeñacomparada con la velocidad de salida, la ecuación 3.4.2 se reduce a la forma:

k

(k − 1)

P1

ρ1

=k

(k − 1)

P2

ρ2

+V 2e2

2(3.4.3)

De la ley de la conservación de la masa a la entrada ′1′ y salida ′2′ se deriva la ecuación:

ρ1A1Ve1 = ρ2A2Ve2 (3.4.4)

de las ecuaciones 3.4.3 y 3.4.4, después de desarrollar y simplificar, la tasa de fuga de lamasa de gas es expresada como [14]:

44


m =CAcP1√

T1

√√√√√k(

2(k−1)

)k + 1

k − 1

Rpara 0 < r ≤

(2

(k + 1)

) k

k − 1 (3.4.5)

y

m =CAcP1√

T1

√2k(r

2k − r k+1

k )

(k − 1)Rpara

(2

(k + 1)

) k

k − 1< r ≤ 1 (3.4.6)

donde r = Pd/Pr es la razón de presión de diseño y k = cp/cv.

El área de fuga Ac para las ecuaciones 3.4.5 y 3.4.6 es determinada mediante lamultiplicación de la longitud de la línea de sellado con la dimensión del espacio (abertura)para cada tipo de fuga. La dimensión del espacio se determina de la medición experimentalo de diseño del compresor y los coeficientes de flujo C son seleccionados empíricamente.Los compresores de doble tornillo tienen un número de cámaras de trabajo, y es igual alnúmero de lóbulos en el rotor macho. Los procesos de succión, compresión y descarga sellevan a cabo simultáneamente en todos los surcos con ángulos de fase de 360/z1. Estetambién es el ángulo de fase entre dos cámaras de trabajo adyacentes. Cuando un par decavidades de los rotores macho y hembra que están a un ángulo θm de rotación del rotormacho, las fugas de masa de gas que entran a estas cavidades, provienen de la cámara detrabajo anterior a ésta, la cual está a un ángulo de θm + 360/z1. Similarmente, la fugade la masa para la cavidad siguiente está a un ángulo de θm − 360/z1. Para el cálculo delas fugas, se considera un par de cavidades macho y hembra, y los resultados se aplicana las demás cavidades, esto porque todas las cavidades tienen las mismas característicasgeométricas.

3.4.7. Fugas de gas hacia dentro de las cavidades

Las fugas de masa de gas que entran a la cámara de trabajo son:

1. Fugas a través del blowhole principal (línea P1 − P2 en la figura 3.10).

2. Fugas provenientes del extremo final del rotor macho en la zona de descarga (L4 enla figura 3.7).

45

3.4. Fugas

3. Fugas provenientes del extremo final del rotor hembra en la zona de descarga (L4 enla figura 3.7).

Usando la ecuación de la tobera (3.4.5), la tasa de fuga de masa de gas neta que entra ala cámara de trabajo a través de todos los caminos de fuga es calculada con la siguienteecuación:

mgi = (CblAbl + CdmiAdmi + CdfiAdfi)P1√T1

√√√√√k(

2(k−1)

)k + 1

k − 1

R(3.4.7)

3.4.8. Fugas de gas hacia fuera de las cavidades

Las fugas de la masa de gas proveniente de las cavidades en compresión a las cámaras detrabajo adyacentes son a través de:

1. Fugas a través del blowhole secundario (línea P3 − P4 en la figura 3.10).

2. Espacios de interlobe (L1 en la figura 3.7).

3. Espacios en el extremo de la descarga de la cavidad del rotor macho (L4 en la figura3.7).

4. Espacios en el extremo de la descarga de la cavidad del rotor hembra (L4 en la figura3.7).

Es importante señalar que las fugas a través de los espacios de interlobe van directamentea las cavidades de succión (véase figura 3.8) y las fugas del blowhole secundario van a lacavidad siguiente (θm−360/z1). Similarmente, las fugas de masa de gas van a sus cavidadessiguientes debido a los espacios entre los rotores macho y hembra junto con el extremo dela descarga.

Usando la ecuación de la tobera (3.4.5), el flujo de fuga de gas neto que sale de la cámarade trabajo a través de todos los caminos de fuga es calculada con la ecuación 3.4.8:

mgo = (CbtAbt + CdmtAdmt + CdftAdft + CilAil)P1√T1

√√√√√k(

2(k−1)

)k + 1

k − 1

R(3.4.8)

46


3.5. Ecuaciones del compresor de doble tornillo en

función del tiempo

En resumen, se ha derivado el siguiente conjunto de ecuaciones 3.5.1 a 3.5.9 para simularel ciclo de trabajo de un compresor de doble tornillo seco.

Proceso de succión

− cpMilT21 + T1[cpMtsTs + cpMilTs − hA(Tlg − Ts)ts]− cpMtsT

2s = 0 (3.5.1)

Proceso de compresión/descarga

dP

dt=

(− 1

Vg

dV

dt+ τi

mgi

Mg

− mgo

Mg

)kP (3.5.2)

dTgdt

=

(−(k − 1)

1

Vg

dV

dt+ (kτi − 1)

mgi

Mg

− (k − 1)mgo

Mg

)Tg (3.5.3)

dMg

dt= mgi − mgo (3.5.4)

dVgdt

=dV

dt(3.5.5)

Td =

(k − 1

k

PdPa

+1

k

)Ta (3.5.6)

dV

dt= 3p1 (360Nm)3 t2 + 2p2 (360Nm)2 t+ 360p3Nm (3.5.7)

Fugas que entran a la cavidad de trabajo

mgi = (CblAbl + CdmiAdmi + CdfiAdfi)P1√T1

√√√√√k(

2(k−1)

)k + 1

k − 1

R(3.5.8)

Fugas que salen de la cavidad de trabajo

mgo = (CbtAbt + CdmtAdmt + CdftAdft + CilAil)P1√T1

√√√√√k(

2(k−1)

)k + 1

k − 1

R(3.5.9)

47

Capítulo 4

Diseño del rotor y validación del

modelado de compresor

4.1. Introducción

En este capítulo se explica cómo se determinaron los parámetros geométricos de uncompresor de doble tornillo, que cumpliera con los requerimientos de un sistema de celdasde combustible de membrana tipo PEM de 75 kW . Estos requerimientos se detallaron enla sección 2.9 y en resumen son: flujo máximo de 0.9 kg/s y relación de presión máximade 4 bar. Este diseño geométrico, se hizo utilizando como herramienta una versión deprueba del programa "Diseño de Integración para compresores de tornillo" (DISCO© porsus siglas inglés [27]), específicamente, empleando el subprograma "Perfiles Óptimos deRotores para Compresores de Tornillo y su Termodinámica" (SCORPATH por sus siglas eninglés). El programa DISCO fue desarrollado por el centro de compresores de la universidadde Londres, que ha revolucionado los conceptos para el balance termodinámico de loscompresores de doble tornillo; y que históricamente ha estado involucrado en el desarrollode perfiles avanzados de rotor para este tipo de compresores [21]. Los compresores deaire seco e inundados en aceite con diversas configuraciones para el número de lóbulosen los rotores (2/3, 3/5, 4/5, 4/6, 5/6 y 6/7) y diferentes tipos de perfil (simétricoo asimétrico) pueden ser analizados con el subprograma SCORPATH. El programaDISCO permite el diseño y simulación de los dos tipos de compresores (lubricados conaceite/agua/refrigerante y seco).

El modelo matemático del compresor de doble tornillo implementado en el programaDISCO considera los siguientes aspectos:

49

4.2. Programa DISCO

• El fluido de trabajo puede ser cualquier gas o mezcla de gas-líquido.

• Considera la transferencia de calor entre el gas, los rotores y la carcasa.

• Considera las fugas de gas a través de los espacios rotor a rotor, y entre los rotoresy las partes fijas del compresor.

• El modelo tiene la capacidad de estimar el desempeño de cualquier geometría o tipode máquina de desplazamiento positivo.

• La inyección de líquido como aceite, agua o refrigerante durante los procesos desucción, compresión y descarga.

4.2. Programa DISCO

Figura 4.1: Programa de diseño DISCO [27].

El subprograma SCORPATH permite iniciar un diseño de perfil de rotor desde unaplantilla o partir de cero (ningún dato), en la imagen de la figura 4.1 se muestran datosmodificados de una plantilla de diseño correspondiente a un perfil de rotor ’N’ asimétrico

50

Capítulo 4. Diseño del rotor y validación del modelado de compresor

con una combinación de lóbulos 3-5. Donde los parámetros de entrada de diseño mínimosse describen a continuación.

Los perfiles de rotor están definidos por los siguientes parámetros (Geometría):

A, R, R0, Gap, L/D, e, z1, z2, Ψ, R1, R2, R3, R4 y α1 donde:

A - Distancia del centro (mm).

R, R1, R2 - Radios del diente del rotor macho (mm).

R0, R3, R4 - Radios del rotor hembra (mm).

Gapl, GapR, GapA - Espacios de interlobe, radial y axial (mm).

L/D - Longitud relativa del rotor.

L - Longitud del rotor (mm).

D - Diámetro externo del rotor macho (mm).

E - Excentricidad del diente del rotor (únicamente para el perfil C ) (mm).

z1, z2 - Número de dientes en el rotor macho y hembra.

Ψ - Ángulo de la punta del perfil del rotor (grados).

α1 - Ángulo de presión de la banda de contacto (únicamente ILOBE 6) (grados).

El proceso termodinámico y de flujo están definidos por los siguientes

parámetros:

Ángulos φ1s, φou, φ1c y εbl donde:

φ1s - Ángulo donde la compresión inicia (grados).

φou - Ángulo de atrape (grados).

φ1c - Ángulo donde la compresión termina (si εbl = 0) (grados).

εbl - Razón de volumen de diseño.

Las condiciones de trabajo:

Wtip - Velocidad de la punta (m/s).

P0 - Presión de succión (bar).

Pr - Presión de descarga (bar).

T0 - Temperatura de succión (K).

51

4.2. Programa DISCO

Tr - Temperatura de descarga pre especificada (K).

Tvap - Temperatura de evaporación (solo refrigerantes) (K).

Tkon - Temperatura de condensación (solo refrigerantes) (K).

Ts - Temperatura media de la carcasa (si es 0, no hay transferencia de calor) (K).

Xs - Calidad del vapor en la entrada.

El fluido de trabajo:

K - Razón de los calores específicos o exponente adiabático (Cv/Cp).

Rgas - Constante de los gases (J/kgK).

En la figura 4.2 se pueden observar las ubicaciones de los parámetros de entrada para losradios del rotor macho y hembra, los cuales deben ser seleccionados adecuadamente paraque el programa no genere un perfil de rotor irreal.

R

R4R2

R0

R0 R

R4

R1

R3 y=x^n

1

2

R3

Figura 4.2: Detalles del perfil de rotor ’N’ [27].

52


4.3. Diseño del perfil de rotor para el compresor seco

de la celda de combustible

De acuerdo a los requerimientos reportados en la subsección 2.9.1, se diseño el perfil delrotor de doble tornillo seco para la celda de combustible mediante el uso del subprogramade diseño SCORPARTH explicado en al sección anterior. La obtención de los parámetrosdel modelo matemático y correspondiente su validación también fueron realizados con estaherramienta.

Con los valores obtenidos en la subsección 2.9.1, lo expuesto en la subsección 3.1.4 y losugerido en [20] y [30], se diseñó un perfil de rotor para el compresor de doble tornillo secoque cumple con las siguientes características de operación:

• Flujo másico máximo de 0.1 kg/s.

• Presión de diseño (r = Pd/Ps) de 4 bar.

• Velocidad de operación de 9000 rpm.

• Consumo aproximado de 17 kW .

Para lograr un diseño que consumiera menos del 20 % de la energía generada por la celdade combustible 75kW se realizaron varias pruebas de diseño, partiendo de la modificaciónde la plantilla con perfil asimétrico ’N’ propuesta en el subprograma SCORPATH. El mejordiseño logrado es el mostrado en las tablas 4.1 y 4.2. Este diseño fue elegido porque tienelóbulos robustos en el rotor macho (véase figura 4.3). Además fue el diseño que presentómenos deformación en los lóbulos (véase la figura 4.4), donde se observa que para el rotormacho las deflecciones están en el rango de 1 µm a 1.5 µm, mientras que para el rotorhembra son de 4 µm a 5.5 µm.

53

4.3. Diseño del perfil de rotor para el compresor seco de la celda de combustible

Figura 4.3: Perfil de rotor asimétrico ’N’ configuración 3/5 generado con el programaDISCO.

Figura 4.4: Diagrama de deflecciones del perfil de rotor asimétrico ’N’ configuración 3/5generado con el programa DISCO.

54


Tabla 4.1: Valores del compresor de 17 kW generados en DISCO.

Compresor seco de 17 kW @ 4 bar por DISCO Valor Unidad

Número de lóbulos (combinación) 3-5 adimensional

Dm 98 mm

Df 90 mm

Longitud del rotor 125 mm

Ángulo de compresión (final) 224 grados

Volumen de la cavidad 19.66 cm3

Razón de volumen de diseño (vi) 2.9 adimensional

Razón de presión de diseño (r) 4 bar

Velocidad 9000 rmp

Área del lóbulo del rotor macho 847 mm2

Área del lóbulo del rotor hembra 726 mm2

Tabla 4.2: Dimensiones de los espacios y de las áreas de las líneas de sellado por DISCO.

Compresor seco de 17 kW @ 4 bar por DISCO Valor Unidad

Espacios interlobe, radial y axial 0.0028 mm

Longitud del área de la línea de sellado de fuga 0.352 mm2

Área de Blow-hole 0.66 mm2

4.3.1. Validación

La validación del modelo matemático (ecuaciones 3.5.1 a 3.5.9) y la implementación delos parámetros de diseño del rotor (tablas 4.1 y 4.2) fueron realizadas comparando losresultados de las curvas PV y Tgθ del subprograma SCORPATH con las del modelomatemático. Se le asignó más importancia a los datos que comprenden la compresión,puesto que el modelo matemático desarrollado considera la dinámica de este proceso detrabajo. Se fijó una velocidad de trabajo para el compresor que fue de 4600 rpm dondese obtiene un flujo másico aproximado de 0.052 kg/s y la presión (Pd)de descarga inicial

55


demandada al compresor fue de Pd = 1.5 bar y se tomaron valores hasta Pd = 4 bar,con incrementos de 0.5 bar. Este procedimiento fue escogido puesto que la temperaturavaría poco con la velocidad, en cambio la presión sí genera cambios significativos en estavariable.

Las figuras 4.5 y 4.6 muestran que hay una diferencia entre lo obtenido con el programaDISCO y el modelo matemático, esta diferencia se asume que es debido a todos los factoresque considera el modelo implementado en DISCO. El modelo implementado en esta tesisno considera la transferencia de calor entre el gas y su entorno (carcasa y rotores delcompresor). Además el proceso de descarga se considera ideal, es decir, el proceso estálimitado ya que considera la temperatura de descarga Tg como una relación estática yasume que la presión durante el proceso de descarga permanece sin variaciones. Por estasrazones se observa una diferencia para la temperatura y presión en la parte de descarga enlas imágenes de las figuras 4.5 y 4.6. Sin embargo, se concluye que el modelo matemáticoimplementado tiene una aproximación aceptable a lo obtenido por el programa DISCO,ya que aún con las limitaciones del mismo, los resultados del modelo implementado parala curva PV (mostradas en la figura 4.5) presentan la mayor diferencia en el proceso dedescarga, mientras que para los resultados de la temperatura (figura 4.6) éstos tienenaproximadamente la misma forma y valores. En la tabla 4.3 se muestra los resultadosde la comparación para las curvas PV y Tgθ entre lo obtenido con DISCO y el modelomatemático programado.

Tabla 4.3: Error promedio entre lo obtenido con el modelo y el programa DISCO.

Pd/Ps 1.5 2 2.5 3 3.5 4

PVe 7.29 7.8 7.6 7.71 6.4 7.22 %

Tge 4.14 4.19 2.17 1.75 1.57 1.42 %

56


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 4.5: Comparación de resultados obtenidos para la curva PV con el programa DISCOy el modelo matemático: a) Pd = 1.5 bar, b) Pd = 2 bar, c) Pd = 2.5 bar, d) Pd = 3 bar,e) Pd = 3.5 bar y f) Pd = 4 bar.

57


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 4.6: Comparación de resultados obtenidos para la curva Tgθ con el programa DISCOy el modelo matemático: a) Pd = 1.5 bar, b) Pd = 2 bar, c) Pd = 2.5 bar, d) Pd = 3 bar,e) Pd = 3.5 bar y d) Pd = 4 bar.

58

Capítulo 5

Controlador digital por colocación de

polos y ajuste de la función de

sensibilidad perturbación a la salida

5.1. Introducción

La figura 5.1 muestra un esquema del diagrama a bloques del controlador RST, donde laplanta en tiempo discreto está representada mediante la siguiente función de transferencia([32]).

H(z−1) =z−dB(z−1)

A(z−1)(5.1.1)

donde z−1 es el operador de desplazamiento hacia atrás, d es el numero entero de períodosde muestreo (Ts) contenidos en el retardo puro de la planta y

A(z−1) = 1 + a1z−1 + · · ·+ anA

z−nA (5.1.2)

B(z−1) = b1z−1 + b2z

−1 + · · ·+ bnBz−nB (5.1.3)

La forma canónica para un controlador RST está dada por:

S(z−1)u(t) = T (z−1)y∗(t+ d+ 1)−R(z−1)y(t) (5.1.4)

59

5.1. Introducción

Figura 5.1: Sistema en lazo cerrado con un controlador RST [31].

donde u(t) es la entrada de la planta, y(t) es la salida de la planta y y∗(t + d + 1) es latrayectoria de seguimiento deseada (referencia). Esta trayectoria puede ser generada porun seguimiento del modelo de referencia.

y∗(t+ d+ 1) =Bm(z−1)

Am(z−1)r(t) (5.1.5)

donde r(t) es la señal de referencia. La función de transferencia en lazo cerrado entre latrayectoria de referencia y la salida de la planta está dada por:

HCL(z−1) = z−dB(z−1)T (z−1)

P (z−1)(5.1.6)

donde,

P (z−1) = A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1) = PD(z−1)PF (z−1) (5.1.7)

define los polos en lazo cerrado. PD(z−1) y PF (z−1) definen los polos dominantes yauxiliares en lazo cerrado, respectivamente. P (z−1) es el denominador de la función detransferencia en lazo cerrado que define las raíces del sistema y se elige de la forma:

P (z−1) = 1 + p′

1z−1 + p

′

2z−2 (5.1.8)

Para definir p′1 y p′2 el método recomendado es considerar un modelo en tiempo continuode segundo orden normalizado e igualar el denominador de este modelo discretizado conP (z−1).

El modelo en tiempo continuo de segundo orden normalizado se define con lasespecificaciones de la respuesta al escalón de la planta, fijando el tiempo de levantamiento(tr ) y el sobrepaso máximo(M) deseados en lazo cerrado y utilizando las funciones

60

Capítulo 5. Controlador digital por colocación de polos y ajuste de la función desensibilidad perturbación a la salida

programadas por Landau en [33]. De esta manera se puede determinar ω0 y elamortiguamiento ζ para el sistema de segundo orden normalizado. El período de muestreoTs y la frecuencia natural ω0 deben verificar la siguiente condición ([32]):

0.25 ≤ ω0Ts ≤ 1.5 ; 0.7 ≤ ζ ≤ 1 (5.1.9)

5.2. Funciones de sensibilidad

Las funciones de sensibilidad describen la atenuación en las perturbaciones, es decir,permiten determinar instantáneamente una cierta cantidad de información sobre el sistemade control (perturbaciones, estabilidad y robustez) [32]. En el sistema de la figura 5.1, sepueden obtener varias funciones de sensibilidad importantes que relacionan la perturbacióncon la salida y la entrada de la planta. Al añadirse un modelo del sistema deseado Bm/Am,la señal de referencia r(t) es remplazada por la "trayectoria deseada" y∗(t), obtenidamediante el filtrado de la señal de referencia r(t).

La función de transferencia entre la perturbación p(t) y la salida y(t) (función desensibilidad perturbación a la salida) se define como:

Syp(z−1) =

A(z−1)S(z−1)

A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1)=A(z−1)S(z−1)

P (z−1)(5.2.1)

Esta función de sensibilidad permite la caracterización del desempeño del sistema desdela perspectiva de la atenuación de la perturbación.

La función de transferencia entre la perturbación p(t) y la entrada de la planta u(t) (funciónde sensibilidad perturbación a la entrada) se define como:

Sup(z−1) =

−A(z−1)R(z−1)

A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1)=−A(z−1)R(z−1)

P (z−1)(5.2.2)

La función de transferencia entre el ruido de medición b(t) y la salida de la planta y(t)

(función de sensibilidad ruido a la salida) se define como:

Syb(z−1) =

−z−dB(z−1)R(z−1)

A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1)=−z−dB(z−1)R(z−1)

P (z−1)(5.2.3)

Esta función con signo positivo es llamada la función de sensibilidad complementaria. ConT = R en la figura 5.1 se define la función complementaria como:

61

5.3. Definición de una plantilla para la función de sensibilidad perturbación a la salida

Syr(z−1) =

z−dB(z−1)R(z−1)

A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1)=z−dB(z−1)R(z−1)

P (z−1)= −Syb(z−1) (5.2.4)

De las funciones de sensibilidad de perturbación a la salida Syb(z−1) y de ruido con respectoa la salida Syb(z−1) se puede definir la siguiente propiedad:

Syp(z−1)− Syb(z−1) = 1 (5.2.5)

5.3. Definición de una plantilla para la función de

sensibilidad perturbación a la salida

En [34] usando el teorema de la pequeña ganancia y varias representaciones de lasincertidumbres de la planta, definen y muestran que el módulo de margen y el margen deretardo pueden ser convertidos en condiciones para estabilidad robusta. Las condicionesde estabilidad robusta permiten la definición de plantillas para los módulos de variasfunciones de sensibilidad.

Para un margen de retardo con un período de muestreo, la condición de estabilidad robustaes expresada como:

|Syb(z−1)| < |(1− z−1

)−1, z = e−jω, 0 ≤ ω ≤ π (5.3.1)

de la ecuación 5.2.5 se tiene:

1− |Syb(z−1)| < |Syp(z−1)| < 1 + |Syb(z−1)| (5.3.2)

Si Syb(z−1) satisface la condición 5.3.1, entonces Syp(z−1) satisfará la siguiente condición:

1− |1− z−1|−1 < |Syp(z−1)| < 1 + |1− z−1|−1; z = e−jω, 0 ≤ ω ≤ π (5.3.3)

Por lo tanto, con el fin de asegurar el margen de retardo ∆τ = Ts, es necesario queel módulo de Syp(z−1) se encuentre entre los límites definidos por la parte baja de laplantilla |W−1|inf = 1− |1− z−1|−1 y la parte alta de la plantilla definida por |W−1|sup =

1 + |1− z−1|−1.

62


El requisito del desempeño nominal y las condiciones de estabilidad robusta llevan a ladefinición de una plantilla deseada para la función de sensibilidad. La plantilla deseadatoma en general la forma mostrada en la figura 5.2. En cuanto a la estabilidad robusta,el margen de módulo escogido definirá el valor máximo del módulo de la función desensibilidad perturbación a la salida (plantilla superior) y el margen de retardo escogidodefine los inicios superior e inferior de la plantilla (e.j. alrededor de 0.15fs para ∆τ = Ts).

Figura 5.2: Plantilla deseada para la función de sensibilidad perturbación a la salida.

5.4. Estabilidad del sistema en lazo cerrado

En el diagrama de la figura 5.3, el punto [−1, j0] es el punto crítico. El vector que uneeste punto a la traza de Nyquist de HOL tiene la expresión siguiente,

S−1yp (z−1) = 1 +HOL =

A(z−1)S(z−1) +B(z−1)R(z−1)

A(z−1)S(z−1)(5.4.1)

donde,

HOL =B(z−1)R(z−1)

A(z−1)S(z−1)(5.4.2)

Este vector representa la inversa de la función de sensibilidad perturbación a la salidaSyp(z

−1) (véase la ecuación 5.2.1) y los ceros de S−1yp (z−1) corresponden a los polos del

sistema en lazo cerrado. Con el fin de tener un sistema en lazo cerrado asintóticamenteestable, es necesario que todos los ceros de S−1

yp (z−1) (que son los polos de Syp(z−1)) esténdentro del circulo unitario (|z| < 1). La condición necesaria y suficiente para la estabilidad

63

5.5. Robustez del sistema en lazo cerrado

asintótica del sistema en lazo cerrado está dada por el criterio de Nyquist. Para sistemasque tienen polos estables en lazo abierto el criterio de la estabilidad de Nyquist establece:la traza de Nyquist de HOL recorrida en el sentido de las frecuencias ascendentes (de ω = 0

a ω = π), deja el punto crítico [−1, j0] a la izquierda.

5.5. Robustez del sistema en lazo cerrado

Figura 5.3: Traza de Nyquist: márgenes de módulos, ganancia y fase.

La robustez en lazo cerrado está relacionada con la distancia mínima entre la traza deNyquist para el modelo de la planta nominal y el "punto crítico", como también con lascaracterísticas en frecuencia del módulo de las funciones de sensibilidad. Para resumir, lossiguientes elementos con sus valores típicos para los márgenes de estabilidad en un diseñorobusto, ayudan a evaluar qué tan lejos está el punto crítico [−1, j0] (véase figura 5.3 ):

• margen de ganancia: ∆G ≥ 2 (6dB)

• margen de fase: 30 ≤ ∆φ ≤ 60

• margen de retardo: ∆τ = ∆φωcr≥ Ts

• margen de módulos: ∆M ≥ 0.5 (−6dB),

donde ωcr es la frecuencia a la que la traza de Nyquist corta al circulo unitario (véasefigura 5.3).

64


El margen de módulos es importante porque:

• define el valor máximo admisible para el módulo de la función de sensibilidadperturbación a la salida, y por lo tanto, los límites mínimos del desempeño en elrechazo de perturbaciones.

• define la tolerancia con respecto a los elementos no lineales o que varían en el tiempo,lo cuales pueden pertenecer al sistema.

5.6. Colocación de polos

La estrategia de control de colocación de polos permite el diseño de un controlador digitalRST para sistemas estables e inestables con las siguientes características:

• Sin restricción en el grado del polinomio A(z−1) y B(z−1) del modelo de la plantaen tiempo discreto (No deben tener factores comunes).

• Sin restricción en el tiempo de retardo.

• Sin restricción en los polos de la planta (estable o inestable).

Este método no simplifica los ceros del sistema ya que pueden ser inestables. La únicarestricción concerniente a los posibles factores comunes de A(z−1) y B(z−1), es que éstosdeben ser simplificados antes de iniciar los cálculos del diseño.

Los polos dominantes en lazo cerrado PD(z−1) son escogidos para satisfacer el desempeñode la regulación deseada. Los polos auxiliares PF (z−1) pueden ser escogidos para filtrar losefectos en regiones de cierta frecuencia o para reducir el esfuerzo en el actuador, así comomejorar la robustez del sistema en lazo cerrado.

Por diferentes razones los polinomios R(z−1) y S(z−1) pueden contener partes fijasespecificadas, debido a que se pueden establecer comportamientos deseados del controladory fijar polos.

Las partes fijas más comunes que se añaden al controlador de acuerdo a [32] son: unintegrador al polinomio S(z−1), nombrado como HS(z−1) y un filtro pasabajas llamadoHR(z−1) en el polinomio R(z−1).

65

5.6. Colocación de polos

El parámetro HS(z−1) introduce el término (1− z−1) y asegura el error cercano a cero enestado estable, y el parámetroHR(z−1) introduce el término (1+z−1), y se denomina "abrirel lazo"; lo que hace que el controlador se comporte como un filtro pasabajas rechazandoseñales con frecuencias mayores a la frecuencia de muestreo, las siguientes expresiones sederivan de lo dicho anteriormente:

R(z−1) = R′(z−1)HR(z−1) (5.6.1)

S(z−1) = S′(z−1)HS(z−1) (5.6.2)

donde,

S(z−1) = 1 + s1z−1 + · · ·+ snS

z−nS (5.6.3)

R(z−1) = ro + r1z−1 + · · ·+ rnR

z−nR (5.6.4)

Así, los polos en lazo cerrado en la ecuación 5.1.7 ahora son:

P (z−1) = A(z−1)HS(z−1)S′(z−1) + z−dB(z−1)HR(z−1)R

′(z−1) (5.6.5)

El procedimiento de diseño se puede resumir como:

1. Escoger los polos en lazo cerrado deseados P (z−1), las partes fijas del controladorHR(z−1), HS(z−1) y la dinámica de seguimiento Bm(z−1)

Am(z−1).

2. Calcular S ′(z−1) y R′(z−1) resolviendo la ecuación 5.6.5 y mediante la solución delas ecuaciones 5.6.1 y 5.6.2.

3. Calcular el pre-filtro T (z−1) = P (1)/B(1) si B(1) 6= 0 y la dinámica de regulación yseguimiento son iguales.

66

Capítulo 6

Análisis dinámico y control del

subsistema de alimentación de aire

6.1. Introducción

En el presente capítulo se analiza el comportamiento dinámico en lazo abierto del sistemade celdas de combustible con el modelo del compresor de doble tornillo propuesto en estatesis. Posteriormente se analiza el subsistema de aire para el diseño del controlador digitalrobusto por colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad perturbación a lasalida para el seguimiento y regulación del flujo másico.

6.2. Representación en variable de estado

Las variables de estado consideradas por Pukrushpan en [2] para representar la dinámicadel sistema de alimentación son las siguientes: la masa de oxígeno en el cátodo (mO2,ca),la masa de hidrógeno en el ánodo (mH2,an), la masa de nitrógeno en el cátodo (mN2,ca),la velocidad angular del compresor ( ωcp), la presión del colector de suministro (Psm), lamasa del colector de suministro (msm), la masa de agua en el ánodo (mw,an), la presiónel colector de retorno (Prm) y la masa de agua en el cátodo (mw,ca). Donde las masas seexpresan en kilogramos, las presiones en pascales y la velocidad en radianes sobre segundo.Así, el vector de estados queda representado por:

x =[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

]T(6.2.1)

67

6.3. Simulación en lazo abierto

x =[m02,ca mH2,an mN2,ca ωcp Psm msm mw,an Prm mw,ca

]T(6.2.2)

De acuerdo con Pukrushpan en [2], la entrada de control es el voltaje aplicado al motor delcompresor (vcm), este voltaje es de corriente directa y es obtenido del mismo apilamiento ysus unidades son voltios, por lo que vcm ≤ vst. Con respecto a la perturbación, la corrientedemandada al apilamiento es considerada como tal y se mide en amperios, por lo que,Ist = w, y dado que la corriente sólo puede circular en dirección del ánodo al cátodo (porel flujo de electrones que se genera), ésta se encuentra en w ∈ [0, w], en donde w es lacorriente máxima que puede entregar el apilamiento.

Las mediciones consideradas por Pukrushpan corresponden al flujo másico del compresor(Wcp), a la presión del colector de suministro (psm) y al voltaje del apilamiento (vst).

y =[y1(x4, x5) y2 = x5 y3(x1, x2, x3, x9, x4)

]T(6.2.3)

Además, se utilizan dos variables para representar el desempeño del sistema, estas son:(1) la potencia neta del sistema (Pnet) expresada en watts, la cual es la diferencia entrela potencia del apilamiento Pst y la potencia consumida por el motor del compresor Pcm(dado que es considerado una carga parásita) y (2) la razón de exceso de oxígeno en elcátodo (λO2) que es adimensional, la cual es utilizada para determinar si el sistema seencuentra cerca de la insuficiencia de oxígeno (starvation por su nombre en inglés).

z =[z1(x1, x2, x3, x4, x9, u, w) z1(x1, x3, x9, w)

]T(6.2.4)

z =[Pnet λO2

]T(6.2.5)

La representación general del sistema está dada por:

x = f(x, u, w) y = h(x,w) z = g(x, u, w) (6.2.6)

6.3. Simulación en lazo abierto

Para la simulación en lazo abierto (véase figura 6.1), se utiliza el punto de operacióncorrespondiente a una corriente de apilamiento de 191 A y un voltaje de control de 35 V ;

68

Capítulo 6. Análisis dinámico y control del subsistema de alimentación de aire

Figura 6.1: Diagrama del sistema en lazo abierto [1].

con ello se tiene una razón de exceso de oxígeno de dos y una potencia neta cercana a los40 kW . Este punto de operación corresponde al elegido por Pukrushpan para obtener unmodelo lineal y llevar acabo las estrategias de control propuestas en [2]. En la figura 6.2 semuestran las respuestas del sistema (ecuación 6.2.5), la presión de operación y el excesode oxígeno. Mientras que en la figura 6.3 se pueden observar las mediciones consideradaspor el modelo (ecuación 6.2.3); donde el flujo másico es la variable que se va a monitorearpara indicar el desempeño del controlador diseñado en esta tesis.

(a) (b)

Figura 6.2: Respuesta del sistema en lazo abierto.

Como se puede observar, ante una perturbación constante, mientras se aplica un voltajede control también constante, las variables se comportan de manera estable a partirde dos segundos al no presentar oscilaciones; además, las presiones de ánodo y cátodopresentan el mismo comportamiento dinámico y estacionario, aunque existe una diferenciade 1100 pascales. La diferencia de presión que existe entre el compartimiento del ánodoy el del cátodo, se debe a que la presión se controla a través de un esquema proporcional

69

6.4. Análisis del subsistema de alimentación de aire

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.3: Mediciones en lazo abierto

de ganancia estática, como lo reportan en [1], por lo que no se elimina el error en estadoestable y durante transitorios de corriente de gran amplitud, la diferencia de presión podríaaumentar. Para esta simulación no existe un controlador actuando sobre el subsistema deaire. Con el objetivo de mostrar el efecto transitorio, las gráficas se acotan en tiempo,durante el cual existen cambios en los valores de las variables analizadas.


El diagrama del sistema de celdas de combustible de la figura 1.2 puede ser descrito porla interconexión de tres subsistemas de acuerdo a [18] como sigue:

Subsistema Σ1 : u→ ωcp, representa el motor,Subsistema Σ2 : (ωcp, Psm) → Wcp, el cual está definido por el modelo matemático delcompresor de doble tornillo, ySubsistema Σ3 : (Wcp, Ist)→ λO2 , representa la celda de combustible.

70


En la figura 6.4 se muestra la interconexión propuesta del sistema. Como se observa enla figura, el controlador ΣC

RST genera la entrada de control u (voltaje del motor vcm) queasegura la convergencia de Wcp a la referencia W ∗

cp. La referencia de aire W ∗cp se supone

conocida (ecuación 1.7.1, capítulo 1.7.3) y representa el aire que necesita la celda decombustible.

Figura 6.4: Interconexión del sistema de celdas de combustible y el control propuesto [18].

El objetivo del control en este trabajo de tesis, es diseñar y programar controles parael lazo del subsistema de aire, donde un compresor de doble tornillo impulsado por unmotor de imanes permanente síncrono (PMSM), es usado para proporcionar el flujo deaire demandado por el apilamiento. Por lo tanto, analizando este subsistema, se tieneque el comportamiento dinámico del motor y el compresor está descrito por la ecuaciónsiguiente:

dωmdt

=1

Jeq(Tm − Tcp) (6.4.1)

donde, ωm es la velocidad angular del motor (ωcp = ωm), Jeq es la inercia conjunta delmotor y del compresor, Tm es el par del motor y Tcp es el par del compresor.

El par del compresor Tcp es obtenido con la ecuación termodinámica expresada como:

Tcp =cpTsWcp

ηcNm

((PdPs

) k−1k

− 1

)(6.4.2)

El par del motor Tm es obtenido mediante la siguiente ecuación estática del motor,

Tm = ηmktRm

(Um − kvωcp) (6.4.3)

71


donde, kt, kv y Rm son constantes del motor y ηm es la eficiencia mecánica del motor.La tabla 6.1 muestra los valores de los parámetros para el motor de imanes permanentessíncrono.

Tabla 6.1: Parámetros del motor. [35]

Parámetro Valor Unidad

kv 0.02 Vrads

kt 18.6 Nm

A

Rm 0.159 Ω

ηm 98 %

Jeq 0.3 kgm2

Dado que el esquema de control que se va a diseñar es un control digital por colocación depolos robusto, lo siguiente en su diseño de acuerdo a [32], es expresar el sistema o plantaa controlar como una función de transferencia (una entrada una salida). Así, se puedeexpresar en un diagrama a bloques la relación existente entre las ecuaciones 6.4.1, 6.4.3 y6.4.2, como lo muestra la figura 6.5.

Figura 6.5: Diagrama de bloques para la relación de las ecuaciones 6.4.1 a 6.4.3.

La función de transferencia que relaciona la salida Wcp (flujo másico del compresor) conla entrada Um (Voltaje del motor vcm) tiene la forma:

Wcp(s)

Um(s)=

1

2π

Mgz1ηmktJeqRm s+ ηmktkv

(6.4.4)

sustituyendo los valores de los parámetros del motor y compresor, y el valor nominal paraMg = 2.3265 × 10−4 kg correspondiente al valor obtenido en la simulación a lazo abierto

72


del sistema de celdas (véase la sección 6.3), la función de transferencia de la ecuación 6.4.4queda de la siguiente forma:

G(s) =Wcp(s)

Um(s)=

0.002025

0.0477 s+ 0.3646(6.4.5)

Las gráficas del lugar de las raíces y la respuesta al escalón unitario para la función detransferencia G(s) (ecuación 6.4.5) se muestran en la figura 6.6.

(a)

(b)

Figura 6.6: Análisis del subsistema de aire: a) Lugar de las raíces. b) Respuesta al escalón.

De la figura anterior se puede observar que el subsistema de aire es estable al tener un polo

73

6.5. Diseño del controlador digital por colocación de polos y ajuste de la función desensibilidad perturbación a la salida

real negativo (véase figura 6.6a). Del análisis de la figura 6.6b se obtienen los siguientesdatos:

• Tiempo de levantamiento tr = 300 ms a 90 % del valor final V F = .0055 kg/s.

• Constante de tiempo T = 130 ms

Los valores anteriores son de gran utilidad ya que con ellos se diseña el controlador de lasiguiente sección.

6.5. Diseño del controlador digital por colocación de

polos y ajuste de la función de sensibilidad

perturbación a la salida

La técnica de colocación de polos es digital, por lo tanto, hay que pasar la función detransferencia G(s) (ecuación 6.4.5) de tiempo continuo a tiempo discreto para diseñar elcontrolador. Así, se elige un tiempo de muestreo de Ts = T/16 = 8 ms. De acuerdo a loanterior, la función de transferencia discretizada es,

G(q−1) =0.0003294q−1

1− 0.9407q−1(6.5.1)

Al analizar la estabilidad de la función de transferencia en tiempo discreto, se observa quetiene un polo estable (figura 6.7), este polo se encuentra muy cerca al círculo unitario; por lotanto, cualquier perturbación podría desestabilizar el subsistema. Landau en [32] mencionaque cuando hay plantas con ceros o polos cerca del circulo unitario es recomendable usarla misma dinámica para seguimiento y regulación en el controlador de colocación de polos.Por esta razón se asigna la misma dinámica a la regulación y seguimiento al controladordiseñado.

El tiempo de levantamiento del subsistema de aire es de 0.3 s. Se desea una aceleraciónde un factor de siete veces ese tiempo para la respuesta en el tiempo en lazo cerrado(trd = 0.042 s) junto con un sobretiro pequeño. Usando la función omega_dmp.m delrepositorio [33], obtenemos un sistema de segundo orden en tiempo continuo con valoresde ζ = 0.8438 y ω0 = 62.38 rad/s para la dinámica deseada en lazo cerrado. Por lo tanto,

74


Figura 6.7: Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia 6.5.1.

para obtener la dinámica de seguimiento (polinomios Bm(q−1) y Am(q−1)) y la dinámicade regulación (polinomio P (q−1)), se discretiza el sistema de segundo orden en tiempocontinuo con un tiempo de muestro de Ts = 8 ms. Los valores de ζ, ω0 y Ts aseguran lacondición establecida en 5.1.9 para la selección del desempeño del polinomio deseado enlazo cerrado.

Se escogen las partes fijas HR = 1 + q−1 y HR = 1− q−1 para las ecuaciones 5.6.1 y 5.6.2y usando la función bezoutd.m del repositorio [33], obtenemos los polinomios R(q−1) yS(q−1). A continuación se muestran los resultados del cálculo del controlador:

Datos de la dinámica de seguimiento con Ts = 8 ms , ζ = 0.8438 y ω0 = 62.38 rad/s

Bm(q−1) = 0.0818q−1 + 0.0617q−2 (6.5.2)

Am(q−1) = 1− 1.2872q−1 + 0.4308q−2 (6.5.3)

Datos de la dinámica de regulación con Ts = 8 ms , ζ = 0.8438 y ω0 = 62.38 rad/s

P (q−1) = 1− 1.2872q−1 + 0.4308q−2 (6.5.4)

Polinomios del controlador diseñado:

75

6.5. Diseño del controlador digital por colocación de polos y ajuste de la función desensibilidad perturbación a la salida

R(q−1) = 1× 103 ∗ (1.0738 + 0.2179q−1 − 0.8559q−2) (6.5.5)

S(q−1) = 1− 0.7003q−1 − 0.2997q−2 (6.5.6)

Para el cálculo de T (q−1) tenemos:

T (z−1) =P (1)

B(1)= 435.7882 (6.5.7)

Para el cálculo de la estabilidad del controlador más la planta en lazo cerrado, en la imagende la figura 6.8 se observa que todos los ceros de S−1

yp (z−1) = 1 + HOL(z−1) están dentrodel circulo unitario, cumpliendo el criterio de estabilidad mencionado en la subsección 5.4.

Figura 6.8: Diagrama de polos y ceros de la función S−1yp (z−1).

A continuación se muestran los valores de los indicadores de robustez y en la gráfica de lafigura 6.9 se muestran los vectores de los márgenes de módulos, ganancia y fase.

Margen de retardo: 740 ms;Margen de fase: 50.1137 grados;Margen de ganancia: 3.788 (11.57 dB);Margen de módulos: 0.6585 (−3.628 dB).

76


Figura 6.9: Márgenes de robustez: módulos, ganancia y fase.

En la gráfica de la figura 6.10 se muestra la plantilla creada para la función de sensibilidadperturbación a la salida junto con la respuesta del control diseñado por colocación depolos. Para la creación de la plantilla se usaron las funciones desarrolladas en [31].

Figura 6.10: Diagrama de la plantilla para la función de sensibilidad perturbación a lasalida y respuesta del controlador diseñado por colocación polos.

En el siguiente capítulo se exponen los resultados de la implementación del controladordiseñado en esta sección.

77

Capítulo 7

Pruebas y resultados

7.1. Introducción

En este capítulo se presentan las pruebas y resultados considerando a la corrientedemandada a la celda de combustible como la perturbación, debido a los efectos queprovoca en la potencia neta y en la razón de exceso de oxígeno. Esta perturbación esconocida dado que es medible. En [1] se proponen dos perfiles de perturbación, los cualesson retomados para este trabajo. En la figura 7.1 se muestran estas perturbaciones. El perfil1 (figura 7.1a) es una perturbación escalonada en el tiempo, lo cual podría representar laconexión y desconexión de cargas en el suministro de voltaje del apilamiento. El perfil 2(figura 7.1b) es una curva suave para ciertos tiempos y en otros evoluciona abruptamente,lo cual se asemeja a una demanda de corriente de un motor eléctrico de un automóvilecológico determinado.

0 5 10 15 20 25 30190

200

210

220

230

240

250

260

270Perfil de perturbación 1

Tiempo [s]

A

(a)

0 5 10 15 20 25 30190

200

210

220

230

240

250

260

270Perfil de perturbaciÃ³n 1

Tiempo [s]

A

(b)

Figura 7.1: Perfiles de perturbación para el sistema de celdas de combustible.[1]

79

7.2. Cambios en el simulador de celdas de combustible

Dado que uno de los objetivos de este trabajo es integrar lo desarrollado en esta tesis alsimulador actual, se describe primero cuáles son los cambios realizados en el simuladorde celdas de combustible. La segunda parte de este capítulo corresponde a las pruebasdel controlador diseñado para el subsistema de aire modificado. Y en la última parte delcapítulo se realizan pruebas y comparaciones entre el sistema de celdas de combustible conel compresor centrífugo usado en [1], contra el compresor de doble tornillo modelado en estatesis. Se toman los resultados de [1] como referencia para las comparaciones, puesto quesu trabajo consistió en el mejoramiento del desempeño del sistema de celdas propuestoen [2], mediante controladores no lineales. A continuación se describen los objetivos decontrol que se abordaron en [1].

7.2. Cambios en el simulador de celdas de combustible

En la figura 7.2a se muestra el simulador mejorado en [1] donde se abordaron tres objetivosde control, los cuales son:

• Regular la razón de exceso de oxígeno a un valor de dos, de acuerdo con [2].

• Minimizar la diferencia de presión entre el compartimiento del ánodo y del cátodo.

• Regular el voltaje del apilamiento a un valor deseado.

La insuficiencia de oxígeno y la diferencia de presión son abordadas a través de un enfoquede regulación, basado en una función de Lyapunov (por objetivo de control) para permitiraprovechar las no linealidades del sistema. Lo anterior con el objetivo de ofrecer rechazo aperturbaciones y robustez ante variaciones paramétricas. La definición de la ley de controlpara regular la razón de exceso de oxígeno, (y que considera el diámetro del compresorcentrífugo) queda sin aplicación útil para el nuevo subsistema de aire, puesto que se cambióel compresor centrífugo por uno de doble tornillo.

Por esta razón, el controlador no lineal diseñado para la regulación de la razón de excesode oxígeno desarrollada en [1] se elimina del simulador.

Por otra parte, el cambio del compresor y motor no tuvo implicación alguna en los otrosobjetivos de control (diferencia de presión y regulación de voltaje). Esto debido a que la

80

Capítulo 7. Pruebas y resultados

función de Lyapunov de la ley de control no lineal para la diferencia de presión no utilizaparámetros del compresor o motor en su definición. Además, la regulación de voltaje estáimplementada con un PI. Por lo tanto, el control para la diferencia de presión y el controlpara la regulación de voltaje se dejaron sin cambios en el simulador.

Debido a que la regulación de exceso de oxígeno es importante para el desempeño delsistema ([1] y [2]), se integró un control prealimentado dinámico más un PI al esquema dela figura 7.2b para estabilizar la razón de exceso de oxígeno a un valor de dos y evitar dañosal sistema de celdas de combustible por insuficiencia de oxígeno. La figura 7.3 muestra laimagen del sistema de celdas de combustible con controles para el subsistema de aire,presión, razón de exceso de oxígeno y de regulación de voltaje.

(a)

(b)

Figura 7.2: Sistema de celdas de combustible: a) Original. b) Cambios realizados.

81

7.3. Seguimiento y regulación del flujo másico

Figura 7.3: Sistema de celdas de combustible con controles para el subsistema de aire,presión, voltaje y razón de exceso de oxígeno.


Dado que el objetivo es regular el flujo másico, se define su error (Wcpe) como la diferenciaentre el flujo másico deseado (W ∗

cp) y el flujo másico entregado por el compresor (Wcp). Apartir de este error se utilizan los índices de desempeño:

Integral del error cuadrático (ISE):∫W 2cpedt.

Integral del valor absoluto del error (IAE):∫|Wcpe| dt.

Integral del valor absoluto del error por el tiempo (ITAE):∫|Wcpe| tdt.

Objetivo de las pruebas:El primer objetivo es evaluar el desempeño en seguimiento y regulación del control porcolocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad perturbación a la salida ante lasvariaciones del error del flujo másico (Wcpe), que está definido como la diferencia entre elflujo másico de referencia (W ∗

cp) y el flujo másico de salida del compresor (Wcp) (véase figura6.4). Esta referencia de flujo másico es actualizada con los cambios de nivel en la corrientede los perfiles de perturbación 1 y 2. El segundo objetivo es evaluar el acoplamiento ydesempeño del nuevo subsistema de aire (motor-compresor) en el simulador de celdas decombustible. El esquema donde se realizan las pruebas es el mostrado en la figura 7.2b.

Condiciones de la pruebaLas simulaciones se realizan con los perfiles 1 y 2 de perturbación donde: el perfil 1 es unaperturbación escalonada en el tiempo, lo cual podría representar la conexión y desconexión

82


de cargas en el suministro de voltaje del apilamiento. El perfil 2 es una curva suave paraciertos tiempos y en otros evoluciona abruptamente, lo cual se asemeja a una demanda decorriente de un motor eléctrico de un automóvil ecológico determinado.

Resultados esperados:El controlador diseñado debe responder adecuadamente a los cambios repentinos en elerror de flujo másico (Wcpe) y debe lograr una diferencia de flujo másico cercana a ceroen estado estable (Wcpe ≈ 0) entre la referencia y lo entregado por el compresor. De estaforma se asegura que el subsistema de aire suministre la cantidad de oxígeno necesariapara mantener la relación de exceso de oxígeno cercana a un valor de dos.

También se espera un consumo de energía aceptable por parte del compresor de dobletornillo (menos del 20 % de la generada por el sistema) ante los dos perfiles de perturbación,puesto que el dimensionamiento del compresor fue realizado para abastecer las necesidadesdel sistema de celdas de combustible con el mínimo consumo de energía.

A continuación se exponen los resultados obtenidos.

7.3.1. Perfil de perturbación 1

(a) (b)

Figura 7.4: Comportamiento de las variables (λO2 y Wcp) del sistema proupuesto en 7.2bante el perfil 1.

En las imágenes de la figura 7.4 se observa el comportamiento de λO2 y Wcp con respectoa su referencia ante el perfil 1. En la figura 7.4a se observa que el flujo másico entregadopor el compresor es regulado adecuadamente y tiene un seguimiento apropiado, ya queel error en estado estable es menor al 0.5 % entre las curvas de flujo másico deseado(generada por la ecuación 1.7.1) y el flujo másico de salida del compresor. Esto indica que

83


el controlador diseñado para el subsistema de aire tiene un desempeño favorable ante esteperfil de perturbación. En la figura 7.4b se observan las curvas de la razón de exceso deoxígeno deseada y la respuesta de oxígeno debida al suministro de aire del compresor. Enestado estable existe una diferencia entre estas dos curvas, esto se debe a que no existe uncontrolador en el sistema que esté regulando esta variable. La diferencia no comprometela integridad de la celda de combustible ya que tiene un error en estado estable menor al5 %. Esto indica que la razón de exceso de oxígeno está cercana al valor deseado λO2 = 2.En la tabla 7.1 se resumen los índices de desempeño logrados para λO2 , Wcp.

En la figura 7.5a se observa que el seguimiento de presión por parte del controlador nolineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia de presiónentre el cátodo y el ánodo, esto indica que el controlador por colocación de polos y elcambio del subsistema de aire no interfieren con el desempeño del controlador no linealde presión. La presión del colector de suministro refleja los cambios de presión existentesen el cátodo y es semejante a la presión de salida del compresor de doble tornillo (véasefigura 7.6a). El voltaje del la celda de combustible (Vst) depende de la presión del cátodo.Por lo que si esta varía con la perturbación, así lo hará el voltaje. Esto se observa en lafigura 7.5c donde cada vez que se incrementa la presión en el cátodo (Pca), el voltaje Vstdisminuye y viceversa. En la figura 7.5d se observa la señal de salida u del controladordel subsistema de aire (véase figura 6.4). Este voltaje conserva la forma de la curva dela perturbación del perfil 1, dado que tiene una correspondencia directa en la señal dereferencia W ∗

cp (véase ecuación 1.7.1).

La temperatura del gas a la salida del compresor de doble tornillo se ve principalmenteafectada por los cambios en la presión que se le demanda (véase figura 7.6a), si esta presiónaumenta, también las fugas internas mgo (véase figura 7.6b) que se mezclan con el gas queestá en el proceso de succión, resultando en una temperatura de salida cada vez mayor yen una disminución de la eficiencia volumétrica del compresor (véase 7.7a). En la figura7.7b se muestra el rango de velocidades en las que el compresor de doble tornillo operapara este tipo de perfil y en la figura 7.8a su región de operación (Pd/Ps contra flujomásico). En la figura 7.8b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible.Se observa que la potencia neta del sistema de celdas está la mayor parte del tiempo porarriba de los 47 kW , y las potencias del motor y compresor están por debajo de los 9kW .Con esto se muestra que el compresor consume energía por debajo del 20 % de la generadapor la celda de combustible.

84


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.5: Comportamiento de las variables Pan, Pca, psm, Vst y Vcm del compresor en elsistema propuesto en la figura 7.2b ante el perfil 1.

(a) (b)

Figura 7.6: Comportamiento de las variables Pcp, Tg y mgo del compresor en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 1.

85


(a) (b)

Figura 7.7: Eficiencia volumétrica y velocidad del compresor de doble tornillo en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 1.

(a) (b)

Figura 7.8: Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto de lafigura 7.2b ante el perfil 1.

Tabla 7.1: Índices desempeño del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 1.

Perfil 1 Flujo másico Exceso de oxígeno

ISE 6.086×10−5 0.06832

IAE 0.003885 0.8159

ITAE 0.02049 9.596


En las imágenes de las figuras 7.9 se observa el comportamiento de λO2 yWcp con respectoa su referencia ante el perfil 2. En la figura 7.9a se observa que el flujo másico entregado

86


por el compresor es regulado adecuadamente y tiene un seguimiento apropiado, ya queel error en estado estable es menor al 1 % entre las curvas de flujo másico deseado(generada por la ecuación 1.7.1) y el flujo másico de salida del compresor. Esto indicaque el controlador diseñado para el subsistema de aire tiene un desempeño favorable anteeste perfil de perturbación. En la figura 7.9b se observan las curvas de la razón de exceso deoxígeno deseada y la respuesta de oxígeno debida al suministro de aire del compresor. Enestado estable existe una diferencia entre estas dos curvas, esto se debe a que no existe uncontrolador en el sistema que esté regulando esta variable. La diferencia no comprometela integridad de la celda de combustible ya que tiene un error en estado estable menor al5 % pero tarda 3 segundos en llegar al estado estable a partir del segundo 22. Esto indicaque la razón de exceso de oxígeno está cercana al valor deseado λO2 = 2. En la tabla 7.2se resumen los índices de desempeño logrados para λO2 , Wcp.

(a) (b)

Figura 7.9: Comportamiento de las variables λO2 yWcp en el sistema propuesto de la figura7.2b ante el perfil 2.

En la figura 7.10a se observa que el seguimiento de presión por parte del controlador nolineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia de presiónentre el cátodo y ánodo, esto indica que el controlador por colocación de polos y el cambiodel subsistema de aire nuevamente no interfieren con el desempeño del controlador no linealde presión. La presión del colector de suministro refleja los cambios de presión existentesen el cátodo y es semejante a la presión de salida del compresor de doble tornillo (véasefigura 7.11a). En la figura 7.10d se muestra el voltaje del motor, este voltaje varía entrelos rangos de 35 V a 50 V y conserva la forma de la curva de la perturbación del perfil 2.

En la figura 7.11a se observa nuevamente como la temperatura del gas de descarga del

87


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.10: Comportamiento de las variables Pan, Pca, psm, Vst y Vcm del compresor en elsistema propeusto de la figura 7.2b ante el perfil 2.

compresor de doble tornillo es afectada por los cambios en la presión que se le demanda, sila presión demandada al compresor aumenta, las fugas mgo aumentan (véase figura 7.11b)y a su vez esto hace que la temperatura Tg se incremente y la eficiencia volumétrica delcompresor disminuya (véase 7.12a). En la figura 7.12b se muestra el rango de velocidadesen las que el compresor de doble tornillo opera para este tipo de perfil y en la figura7.13a se muestra el rango de operación en el mapa del compresor también asociado a esteperfil. En la figura 7.12b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible.Se observa que la potencia neta del sistema de celdas está la mayor parte del tiempo porarriba de los 41 kW , y las potencias del motor y compresor están por debajo de los 10kW

y 9kW respectivamente. Nuevamente el consumo de energía por parte del compresor estápor debajo del 20 % de la energía generada por la celda de combustible.

88


(a) (b)

Figura 7.11: Comportamiento de las variables Pcp, Tg y mgo del compresor en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 2.

(a) (b)

Figura 7.12: Eficiencia volumétrica y velocidad del compresor en el sistema propuesto dela figura 7.2b ante el perfil 2.

Tabla 7.2: Índices desempeño del sistema propuesto en la figura 7.2b ante el perfil 2.


ISE 5.518×10−5 0.06857

IAE 0.004206 0.9623

ITAE 0.03028 15.61

Conclusiones de la prueba: Se concluye: 1) que el consumo de energía del compresor fuemenos del 20 % de la energía generada por la celda de combustible (figuras 7.8b y 7.13b); 2) que los cambios realizados al sistema (la eliminación del control no lineal de exceso

89

7.4. Seguimiento y regulación del flujo másico: prueba de robustez (variaciónparamétrica) y rechazo de perturbación a la salida

(a) (b)

Figura 7.13: Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto de lafigura 7.2b ante el perfil 2.

de oxígeno, el cambio del compresor centrífugo por el de doble tornillo y la integración delcontrol de por colocación de polos) no entorpecieron el desempeño del control no linealde presión (figuras 7.5a y 7.10a); que el controlador de colocación de polos y ajuste dela función de sensibilidad tuvo un desempeño adecuado (seguimiento y regulación) antelos dos perfiles de perturbación. Esta afirmación está basada en los índices de desempeñomostrados en las tablas 7.1 y 7.7.

A continuación se describen los resultados de las pruebas sobre robustez y rechazo aperturbaciones a la salida del control del subsistema de aire.

7.4. Seguimiento y regulación del flujo másico: prueba

de robustez (variación paramétrica) y rechazo de

perturbación a la salida

Objetivo de la prueba:En esta prueba se aborda la variación paramétrica y el rechazo a perturbaciones a la salidapara evaluar si el control por colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidada la salida es robusto bajo este tipo de incertidumbres. Para la robustez, la variación serealiza en la resistencia del estator (Rm) del motor de corriente continua, que impulsael compresor. Este parámetro es una fuente posible de incertidumbre dado que su valorresistivo depende de la temperatura a la que se encuentre operando el motor. Para el

90


rechazo de perturbaciones a la salida, la perturbación se realiza variando el valor de flujomásico que entrega el compresor.

Condiciones de la pruebaPara la robustez: se propone variar el valor de la resistencia con un cambio de tipo escalónpara simular la aparición de una falla aditiva en el estator en el segundo 6. La variacióntiene un incremento del 50 % sobre el valor nominal (véase tabla 6.1).Para el rechazo de perturbaciones a la salida: se propone reducir la salida de flujo másicodel compresor de doble tornillo en un 15 % del flujo que esté entregando a la celdade combustible. La variación tiene un comportamiento de tipo escalón para simular laaparición de una falla aditiva y ocurre en el segundo 18.

Resultados esperados:Se espera que el controlador diseñado tenga un rechazo a perturbaciones satisfactorio yaque en la gráfica de la figura 6.10 se observa que la respuesta del controlador está dentrode los márgenes establecidos de desempeño ante perturbaciones. También se espera unarespuesta rápida ante las variaciones paramétricas y a la perturbación en la salida delsubsistema de aire.

A continuación se presentan los resultados obtenidos.


(a) (b)

Figura 7.14: Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 1 convariación paramétrica y perturbación a la salida.

En las imágenes de las figuras 7.14 se observa el comportamiento de λO2 yWcp con respectoa su referencia ante el perfil 1 con variación paramétrica y perturbación a la salida. En

91


la figura 7.14a se observa que el flujo másico entregado por el compresor es reguladoadecuadamente y tiene un seguimiento apropiado aún con la variación paramétrica y laperturbación a la salida del compresor. El error en estado estable entre W ∗

cp y Wcp esmenor del 1 %. Esto indica que el controlador diseñado para el subsistema de aire tiene undesempeño favorable ante la variación paramétrica y la perturbación a la salida. Además,la regulación se efectúa rápidamente ya que cuando se presenta la variación paramétricao la perturbación, el controlador responde mandando el valor de voltaje Vcm apropiadoal compresor para corregir la diferencia y hacer que sea cercano a cero Wcpe ≈ 0 en untiempo corto (véase figura 7.15).

En la figura 7.14b se observan las curvas de la razón de exceso de oxígeno deseada y larespuesta de oxígeno debida al suministro de aire del compresor. En estado estable existeuna diferencia entre estas dos curvas, la diferencia no compromete la integridad de lacelda de combustible ya que tiene un error en estado estable menor al 5 %. Esto indicaque la razón de exceso de oxígeno esta cercana al valor deseado λO2 = 2, pero tarda unossegundos en llegar al estado estable. En la tabla 7.3 se resumen los índices de desempeñologrados para λO2 , Wcp.

(a) (b)

Figura 7.15: Acercamiento del efecto de la variación paramétrica (6 s) y perturbación a lasalida (18 s) en el seguimiento y regulación de flujo másico.

En la figura 7.16a se observa que el seguimiento de presión por parte del controlador nolineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia de presiónentre el cátodo y ánodo. La presión del colector (psm), el voltaje de la celda de combustible(Vst) y la eficiencia volumétrica del compresor tienen el mismo comportamiento y rangode valores que los reportados sin variación paramétrica y perturbación a la salida.

92


En la figura 7.16d se muestra el voltaje del motor, que al ser la señal de salida u delcontrolador del subsistema de aire (véase figura 6.4) refleja los cambios abruptos de voltajey el incremento para corregir el valor del error de flujo másico Wcpe ≈ 0 debido a laperturbación a la salida.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.16: Comportamiento de las variables Pan, Pca, psm, Vst y Vcm del compresoren el sistema propuesto de la figura 7.2b) ante el perfil 1 con variación paramétrica yperturbación a la salida.

La temperatura del gas de descarga que entrega el compresor presenta variaciones mínimasen los tiempos en que se presenta la variación y la perturbación (véase figura 7.17). En lafigura 7.18b se muestra el rango de velocidades en las que el compresor de doble tornilloopera para este tipo de perfil y en la figura 7.19a se observa el rango de operación enel mapa del compresor también asociado a este perfil. Estas gráficas reflejan los cambiosdebido a la variación paramétrica y perturbación a la salida. En el caso de la velocidaddel compresor, que es la misma que la del motor, se nota de la figura 7.18b que en elinstante de tiempo que se presenta la perturbación a la salida, la velocidad se incrementa.

93


Esto se debe a que el controlador aumenta el voltaje Vcm para corregir la diferencia dedel error Wcpe y llevar la salida del flujo másico Wcp al valor de la referencia W ∗

cp. En lafigura 7.19b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible. Se observa quelas potencias tienen el mismo rango de valores y comportamiento reportados que con laperturbación sin variación paramétrica y perturbación a la salida. Excepto en los instantesde tiempo en los que se presentan la variación paramétrica y la perturbación a la salida.

Figura 7.17: Comportamiento de las variables Pcp, Tg y mgo del compresor en el sistemapropuesto de la figura 7.2b ante el perfil 1 con variación paramétrica y perturbación a lasalida.

(a) (b)

Figura 7.18: Eficiencia volumétrica y velocidad del compresor de doble tornillo ante elperfil 1 con variación paramétrica y perturbación a la salida.

94


(a) (b)

Figura 7.19: Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto en lafigura 7.2b ante el perfil 1 con variación paramétrica y perturbación a la salida.

Tabla 7.3: Índices desempeño del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 1 con variaciónparamétrica y perturbación a la salida.


ISE 8.206×10−5 0.07525

IAE 0.00518 0.8387

ITAE 0.02869 9.73

7.5. Regulación de la razón de exceso de oxígeno

Dado que el objetivo es regular la razón de exceso de oxígeno, se define su error (eλO2)como la diferencia entre la razón de exceso de oxígeno deseada (λ∗O2

) y la razón existenteen el sistema (λO2). A partir de este error se utilizan los índices de desempeño:

Integral del error cuadrático (ISE):∫eλO2dt.

Integral del valor absoluto del error (IAE):∫|eλO2| dt.

Integral del valor absoluto del error por el tiempo (ITAE):∫|eλO2| tdt.

A continuación se presentan los resultados obtenidos con el controlador prealimentadodinámico + PI para la regulación del exceso de oxígeno que se añadió al esquema de lafigura 7.2b, formando de esta manera el esquema de la figura 7.3 el cual es un simuladorque considera los objetivos de control abordados en [1] más el control del subsistema de

95


aire desarrollado en este trabajo de tesis.

Objetivo de las pruebas:El objetivo es evaluar en conjunto el desempeño de los controladores siguientes:

• control prealimentado dinámico + PI (regulación de exceso de oxígeno λO2) [18],

• control no lineal de diferencia de presión (minimizar la diferencia de presión entre elánodo Pan y cátodo Pca) [1], y

• control digital por colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad(seguimiento y regulación del flujo másico Wcp) desarrollado en este trabajo de tesis.

Comparando los resultados obtenidos del esquema de la figura 7.3 con lo obtenido con elsimulador desarrollado en [1] para exhibir las mejoras del compresor de doble tornillo conrespecto al compresor centrífugo.

Condiciones de la pruebaLas simulaciones se realizan bajo las mismas condiciones que en la subseccion 7.3.

Resultados esperados:Los controladores antes mencionados deben funcionar en conjunto para lograr una razónde exceso de oxígeno cercana a dos (λO2 ≈ 0) entre la referencia λ∗O2

generada por elcontrol prealimenado dinámico+PI y la respuesta generada por la celda de combustibleλO2 . El control del subsistema de aire debe lograr una diferencia de flujo másico cercanaa cero en estado estable (Wcpe ≈ 0) entre la referencia y lo entregado por el compresor.

A continuación se exponen los resultados obtenidos.


7.5.1.1. Control por colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad

perturbación a la salida con control prealimentado dinámico + PI

En las imágenes de las figuras 7.20 se observa el comportamiento de λO2 , Wcp con respectoa su referencia ante el perfil 1. En la figura 7.20a se observa que el flujo másico entregadopor el compresor es regulado adecuadamente y tiene un seguimiento apropiado, ya queel error es menor del 3 %. Esto indica que el controlador diseñado para el subsistema deaire tiene un desempeño favorable ante los cambios de la referencia W ∗

cp generados por el

96


controlador prealimentado dinámico + PI. En la figura 7.20b se observan las curvas de larazón de exceso de oxígeno deseada λ∗O2

y la respuesta de oxígeno debida al suministro deaire del compresor λO2 . En estado estable la diferencia entre estas dos curvas es menor al1 %. Esto se debe a que el controlador prealimentado dinámico está regulando la referenciade flujo másico W ∗

cp de acuerdo a los cambios de la perturbación de corriente, lograndoque la razón de exceso de oxígeno esté cercana al valor deseado λO2 = 2. En la tabla 7.4se resumen los índices de desempeño logrados para λO2 , Wcp.

(a) (b)

Figura 7.20: Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema propuesto en la figura 7.3 ante elperfil 1.

En la figura 7.21a se observa que el seguimiento de presión por parte del controladorno lineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia depresión entre el cátodo y el ánodo. La temperatura del gas de descarga que entrega elcompresor de doble tornillo a la celda de combustible se ve principalmente afectada porlos cambios de presión que se le demanda al compresor (véase figura 7.21b). Esto hace quela temperatura se incremente y la eficiencia volumétrica del compresor disminuya (véase7.21c). En la figura 7.21d se muestra el rango de velocidades en las que el compresorde doble tornillo opera para este perfil de perturbación y en la figura 7.22a el rango deoperación (relación de presión-volumen) en el mapa del compresor también asociado a esteperfil. En la figura 7.22b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible.Se observa que la potencia neta del sistema de celdas está la mayor parte del tiempo porarriba de los 47 kW , y las potencias del motor y compresor están por debajo de los 9kW .Con esto se muestra que el compresor consume energía por debajo del 20 % de la generadapor la celda de combustible.

97


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.21: Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηv y velocidad del compresor dedoble tornillo del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 1.

(a) (b)

Figura 7.22: Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto en lafigura 7.3 ante el perfil 1.

98


Tabla 7.4: Índices desempeño del sistema propuesto en la figura 7.3 ante el perfil 1.


ISE 9.017×10−5 0.05984

IAE 0.006015 0.2586

ITAE 0.04074 1.649

7.5.1.2. Control no lineal

En las imágenes de las figuras 7.23 se observa el comportamiento de λO2 ,Wcp con respecto asu referencia ante el perfil 1. En la figura 7.23a se observa que el flujo másico entregado porel compresor es regulado adecuadamente, aún que no existe un control para ese subsistemay el error en estado estable es menor al 2 %. En la figura 7.23b se observan las curvas dela razón de exceso de oxígeno deseada λ∗O2

y la respuesta de oxígeno debida al suministrode aire del compresor λO2 . En estado estable la diferencia entre estas dos curvas es menoral 1 %, pero tiene un retardo para llegar a la referencia. En la tabla 7.5 se resumen losíndices de desempeño logrados para λO2 , Wcp.

(a) (b)

Figura 7.23: Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema de la figura 7.2a ante el perfil 1.

En la figura 7.24a se observa que el seguimiento de presión por parte del controlador nolineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia de presiónentre el cátodo y el ánodo. La temperatura del gas de descarga que entrega el compresorcentrífugo a la celda de combustible alcanza una temperatura superior a los 420 K (véasefigura 7.24b). En la figura 7.24c se muestra la eficiencia isentrópica la cual está entre el

99


80 % y 75 %. En la figura 7.24d se muestra el rango de velocidades en las que el compresorcentrífugo opera para este perfil de perturbación y en la figura 7.25a el rango de operación(relación de presión-volumen) en el mapa del compresor centrífugo también asociado a esteperfil. En la figura 7.25b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible.Se observa que la potencia neta del sistema de celdas de combustible está la mayor partedel tiempo entre los 33 kW y 40 kW , y las potencias del motor y compresor están pordebajo de los 10kW .

(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.24: Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηc y velocidad del compresorcentrífugo del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 1.

7.5.1.3. Resultados y comparaciones

Se observa en la figura 7.27a que la temperatura de descarga del compresor de dobletornillo se mantiene a lo largo del tiempo 10K por debajo de la temperatura de descargadel compresor centrífugo. Esto indica que su eficiencia es mayor, como se ve en la figura7.26d donde el compresor de doble tornillo tiene una mejor eficiencia isentrópica, por lo

100


(a) (b)

Figura 7.25: Región de operación del compresor y potencias del sistema de la figura 7.2aante el perfil 1.

Tabla 7.5: Índices desempeño del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 1.


ISE 1.357×10−5 0.03709

IAE 0.01942 0.4585

ITAE 0.271 4.211

cual el consumo de energía para realizar la compresión es menor (véase figura 7.26c) y estobeneficia a la celda de combustible ya que le permite tener una mayor potencia neta (véasefigura 7.26b). Además, el tener un rango mayor de operación (relación Pd/Ps contra flujomásico) en el mapa del compresor (vease figura 7.27b) le permite a la celda de combustiblegenerar mayor energía como se observa en la figura 7.26a. La tabla 7.6 resume los índicesde desempeño de ambos compresores para el seguimiento y regulación de flujo másicoante el perfil de perturbación 1. Y la tabla 7.7 resume los índices de desempeño de amboscompresores para la regulación de exceso de oxígeno ante el perfil de perturbación 1.


7.5.2.1. Control por colocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad

perturbación a la salida con control prealimentado dinámico + PI

En las imágenes de las figuras 7.30 se observa el comportamiento de λO2 , Wcp con respectoa su referencia ante el perfil 2. En la figura 7.28a se observa que el flujo másico entregado

101


Tabla 7.6: Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante el perfil1.

Índice de desempeño Compresor de doble tornillo Compresor centrífugo

ISE 9.017×10−5 1.357×10−5

IAE 0.006015 0.01942

ITAE 0.04074 0.271

Tabla 7.7: Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 1.


ISE 0.05984 0.03709

IAE 0.2586 0.4585

ITAE 1.649 4.211

por el compresor es regulado adecuadamente y tiene un seguimiento apropiado, el error enestado estable es menor al 1 %. Esto indica que el controlador diseñado para el subsistemade aire tiene un desempeño favorable ante los cambios de la referencia W ∗

cp generados porel controlador prealimentado dinámico + PI. En la figura 7.28b se observan las curvas dela razón de exceso de oxígeno deseada λ∗O2

y la respuesta de oxígeno debida al suministrode aire del compresor λO2 . En estado estable la diferencia entre estas dos curvas es menoral 1 %. En la tabla 7.8 se resumen los índices de desempeño logrados para λO2 , Wcp.

En la figura 7.29a se observa que el seguimiento de presión por parte del controladorno lineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia depresión entre el cátodo y el ánodo. La temperatura del gas de descarga que entrega elcompresor de doble tornillo a la celda de combustible está entre 380 K y 420 K. En lafigura 7.29d se muestra el rango de velocidades en las que el compresor de doble tornilloopera para este perfil de perturbación y en la figura 7.30a el rango de operación (relaciónde presión-volumen) en el mapa del compresor también asociado a este perfil. En la figura7.30b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible. Se observa que lapotencia neta del sistema de celdas está arriba de los 40 kW , y las potencias del motor ycompresor están por debajo de los 10kW .

102


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.26: Comparación de potencias y eficiencia isentrópica entre el compresorcentrífugo y el compresor de doble tornillo ante el perfil 1.

(a) (b)

Figura 7.27: Comparación de la temperatura de descarga del gas y región de operación enel mapa del compresor entre el compresor centrífugo y el compresor de doble tornillo anteel perfil 1.

103


(a) (b)

Figura 7.28: Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema propuesto en la figura 7.3 ante elperfil 2.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.29: Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηv y velocidad del compresor dedoble tornillo (sistema de la figura 7.3) ante el perfil 2.

104


(a) (b)

Figura 7.30: Región de operación del compresor y potencias del sistema propuesto en lafigura 7.3 ante el perfil 2.

Tabla 7.8: Índices desempeño del sistema propuesto en la figura 7.3 ante el perfil 2.


ISE 8.317×10−5 0.04389

IAE 0.005491 0.2393

ITAE 0.03959 2.065

7.5.2.2. Control no lineal

En las imágenes de las figuras 7.31 se observa el comportamiento de λO2 , Wcp con respectoa su referencia ante el perfil 2. En la figura 7.31a se observa que el flujo másico entregadopor el compresor es regulado adecuadamente debido a que el error en estado estable es del1 %.En la figura 7.31b se observan las curvas de la razón de exceso de oxígeno deseada λ∗O2

yla respuesta de oxígeno debida al suministro de aire del compresor λO2 . En estado estableel error oscila entre el 4 % y 1 %. En la tabla 7.9 se resumen los índices de desempeñologrados para λO2 , Wcp.

En la figura 7.32a se observa que el seguimiento de presión por parte del controlador nolineal diseñado en [1] está funcionando correctamente al minimizar la diferencia de presiónentre el cátodo y el ánodo. La temperatura del gas de descarga que entrega el compresorcentrífugo a la celda de combustible alcanza una temperatura máxima de 430 K (véasefigura 7.32b). En la figura 7.32c se muestra la eficiencia isentrópica la cual está entre el

105


(a) (b)

Figura 7.31: Comportamiento de λO2 y Wcp del sistema de la figura 7.2a ante el perfil 2.

79 % y 78 %. En la figura 7.32d se muestra el rango de velocidades en las que el compresorcentrífugo opera para este perfil de perturbación y en la figura 7.33a el rango de operación(relación de presión-volumen) en el mapa del compresor centrífugo también asociado a esteperfil. En la figura 7.33b se muestran las potencias del sistema de celdas de combustible.Se observa que la potencia neta del sistema de celdas de combustible está la mayor partedel tiempo entre los 35 kW y 40 kW , y las potencias del motor y compresor están pordebajo de los 10kW .

Tabla 7.9: Índices desempeño del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 2.


ISE 1.713×10−5 0.03311

IAE 0.02199 0.624

ITAE 0.3357 8.87

7.5.2.3. Resultados y comparaciones

Se observa en la figura 7.35a que la temperatura de descarga del compresor de doble tornillose mantiene a lo largo del tiempo aproximadamente 10K por debajo de la temperatura dedescarga del compresor centrífugo. Esto indica que su eficiencia es mayor, como se ve enla figura 7.34d donde el compresor de doble tornillo tiene una mejor eficiencia isentrópica(entre 80 % y 85 %), por lo cual el consumo de energía para realizar la compresión esmenor (véase figura 7.34c) y esto beneficia a la celda de combustible ya que le permite

106


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.32: Comportamiento de las variables Pan, P , Tg, ηc y velocidad del compresorcentrífugo del sistema de la figura 7.3 ante el perfil 2.

(a) (b)

Figura 7.33: Región de operación del compresor y potencias del sistema de la figura 7.2aante el perfil 2.

tener una mayor potencia neta (véase figura 7.34b). Además, el tener un rango mayorde operación (relación Pd/Ps contra flujo másico) en el mapa del compresor (vease figura

107


7.35b) le permite a la celda de combustible generar mayor energía como se observa en lafigura 7.34a. La tabla 7.10 resume los índices de desempeño de ambos compresores para elseguimiento y regulación de flujo másico ante el perfil de perturbación 2. Y la tabla 7.11resume los índices de desempeño de ambos compresores para la regulación de exceso deoxígeno ante el perfil de perturbación 2.

Tabla 7.10: Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante el perfil2.


ISE 8.317×10−5 1.713×10−5

IAE 0.005491 0.02199

ITAE 0.03959 0.3357

Tabla 7.11: Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 2.


ISE 0.04389 0.03311

IAE 0.2393 0.4624

ITAE 2.065 8.87

108


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.34: Comparación de potencias y eficiencia isentrópica entre el compresorcentrífugo y el compresor de doble tornillo ante el perfil 2.

(a) (b)

Figura 7.35: Comparación de la temperatura de descarga del gas y región de operación enel mapa del compresor entre el compresor centrífugo y el compresor de doble tornillo anteel perfil 2.

109

Capítulo 8

Conclusiones

8.1. Del modelo matemático del compresor de doble

tornillo

El modelo matemático desarrollado en esta tesis predice el comportamiento del procesode trabajo del compresor de doble tornillo con un desempeño aceptable. Esta afirmaciónpuede comprobarse en los resultados obtenidos en los capítulos 4 y 7, donde se realizaronlas evaluaciones de desempeño al modelo matemático del compresor de doble tornillo y alsubsistema motor-compresor respectivamente. Los resultados de la evaluación del modelomatemático del compresor de doble tornillo se resumen en la tabla 8.1, mientras que losresultados de los índices de desempeño obtenidos en el capítulo 7 se muestran en las tablas8.3 a 8.5, donde los índices desempeño IAE e ITAE más bajos son los del compresor detornillo.

Tabla 8.1: Error promedio entre lo obtenido con el modelo y el programa DISCO (capítulo4).

Pd/Ps 1.5 2 2.5 3 3.5 4

PVe 7.29 7.8 7.6 7.71 6.4 7.22 %

Tge 4.14 4.19 2.17 1.75 1.57 1.42 %

La implementación del modelo matemático del compresor de doble tornillo en ellenguaje estructurado para MATLAB® fue realizada satisfactoriamente, puesto queel acoplamiento de este bloque al simulador de celdas de combustible no generó

111

8.1. Del modelo matemático del compresor de doble tornillo

Tabla 8.2: Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante el perfil1 (capítulo 7).


ISE 9.017×10−5 1.357×10−5

IAE 0.006015 0.01942

ITAE 0.04074 0.271

Tabla 8.3: Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 1 (capítulo7).


ISE 0.05984 0.03709

IAE 0.2586 0.4585

ITAE 1.649 4.211

Tabla 8.4: Índices de desempeño de seguimiento y regulación de flujo másico ante el perfil2 (capítulo 7).


ISE 8.317×10−5 1.713×10−5

IAE 0.005491 0.02199

ITAE 0.03959 0.3357

Tabla 8.5: Índices de desempeño de regulación de exceso de oxígeno ante el perfil 2 (capítulo7).


ISE 0.04389 0.03311

IAE 0.2393 0.4624

ITAE 2.065 8.87

complicaciones a los procesos de simulación, tales como el posible cálculo de valoresprohibitivos (una presión o temperatura negativa) o la interferencia con los valores de

112

Capítulo 8. Conclusiones

otros subsistemas del sistema global (una masa de oxígeno igual a cero). Además, el códigoimplementado es flexible a modificaciones, lo que permite la simulación de otros diseñosde perfil de rotor para compresores de doble tornillo seco con mínimos cambios.

8.2. Del controlador por colocación de polos y ajuste de

la función de sensibilidad

El diseño del controlador fue realizado con las funciones del repositorio en [27] buscandoun seguimiento y regulación con una velocidad de respuesta rápida. Por esta razón, laseñal de control quedó acelerada. Esto se observa en la respuesta de algunas variables,principalmente el voltaje Vcm del motor (actuador) y en consecuencia la velocidad ωcp delsubsistema motor-compresor, lo que posiblemente en el mundo físico dañaría el actuador osimplemente la inercia conjunta del motor y el rotor impedirían que el motor no respondieraa la rapidez de cambio de la señal de control Vcm.

Las características de robustez y el rechazo a perturbaciones a la salida de la planta delcontrolador fueron evaluados para el esquema del simulador modificado considerando elenfoque de seguimiento y regulación del flujo másico. Los resultados fueron satisfactorios(tabla 8.6) pues el controlador llevó el valor de la variable Wcp al de la referencia W ∗

cp enpresencia de variación paramétrica (50 % del valor nominal Rm) y perturbación a la salidadel compresor (15 % del valor de flujo másico que entraga el compresor). Con esto se logródisminuir el error (Wcpe) entre estas variables y en consecuencia estabilizar la variable deexceso de oxígeno a un valor cercano de dos (λO2 ≈ 2).

Tabla 8.6: Índices desempeño del sistema (figura 7.2b) ante el perfil 2 con variaciónparamétrica y perturbación a la salida.


ISE 9.621×10−5 0.07723

IAE 0.01081 0.9975

ITAE 0.1763 15.97

113

8.3. De la interacción de los controladores

8.3. De la interacción de los controladores

De los resultados obtenidos en las pruebas (capítulo 7) y resumidos en las tablas 8.3 a 8.5donde se muestra que los índices de desempeño IAE e ITAE son menores a los obtenidoscon el control no lineal desarrollado en [1], se concluye que estos tres controles interactúanadecuadamente a pesar de que dos de ellos (control no lineal de presión y el prealimentadodinámico + PI) fueron diseñados para un sistema de celdas de combustible que utiliza uncompresor centrífugo para suministrar el aire ([1] y [16] ). Esto refuerza lo expuesto en lasubsección 8.1 y da pie a continuar con la línea de investigación en el compresor de dobletornillo. En la sección siguiente se proponen trabajos futuros para esta línea.

8.4. Trabajos futuros

A continuación se presentan las sugerencias para trabajos posteriores y que se considerande mayor prioridad, relevancia y viabilidad.

8.4.1. En cuanto al modelo matemático del compresor de doble

tornillo

• Mejorar el modelo que describe el proceso de descarga añadiendo la dinámicacorrespondiente a las ecuaciones actuales que describen este proceso. Un ejemplo esconsiderar en la ecuación que describe el cambio de la masa de gas (dMg

dt= mgi−mgo

o dMg

dθ= (mgi − mgo)

1ω), el tamaño del puerto de descarga que está conectado a la

cámara de trabajo, ya que el área de sección transversal que define el tamaño deeste puerto es variable y depende del ángulo de rotación θm del rotor macho. Estopermitiría analizar el fenómeno en el puerto de descarga de que una área grandegenera bajas diferencias de presión entre la cámara de descarga y la tubería conectadaal puerto. [36].

• Modificar o desarrollar a partir del modelo matemático del compresor seco, unmodelo matemático que incluya la inyección de agua, esto disminuirá la temperaturadel gas de salida del compresor, mejorando la eficiencia del compresor, reduciendo elconsumo de energía y eliminando posiblemente el subsistema de humidificación delsistema de celdas de combustible [37].

114

Capítulo 8. Conclusiones

8.4.2. En cuanto al subsistema de aire

• Basado en el modelo matemático del compresor desarrollado en esta tesis, se puedederivar el modelo matemático que describa el comportamiento de un expansor dedoble tornillo. Este modelo podrá ser usado en el subsistema de aire y de esta formarecuperar un porcentaje de la energía pérdida por el compresor de doble tornillo,dado que incluso un expansor ineficiente puede mejorar sustancialmente la eficienciadel sistema [38].

• Diseñar o dimensionar un motor de corriente continua que satisfaga las necesidadesdel compresor de doble tornillo. Lo cual disminuiría el consumo de energía por partedel subsistema de aire.

115

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[31] Camacho, V., S. P., "Diseño de un controlador robusto usando el método decolocación de polos y ajuste de la función de sensibilidad perturbación a la salida"(2009). CENIDET. Cuernavaca, Morelos, México. Tesis.

[32] Landau, I. D. y Zito, G., "Digital Control Systems: Design, Identification andImplementation" (2006). Editorial Springer.

[33] Landau, I. D. y Zito, G., "Digital Control Systems by Landau and Zito: ComputationRoutines". http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/~ioandore.landau/

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[34] Landau, I. D. y Karimi, A., "Robust Digital Control Using Pole Placement withSensitivity Function Shaping Method" (1998). International Journal of Robust andNonlinear Control. Articulo 191-210.

[35] Bao, C.; Ouyang, M. y Yi, B., "Modeling and Control of Air Stream and HydrogenFlow with Recirculation in a PEM Fuel Cell System-I.Control-Oriented Modeling"(2006). International Journal of Hydrogen Energy. Articulo 1879-1896.

[36] Mujic, E.; Kovacevic, A.; Stosic, N. y Smith, I. K., "The influence of Port Shapeon Gas Pulsations in a Screw Compressor Discharge Chamber" (2005). Centre forPositive Displacement and Compressor Technology.

[37] Jianfeng, L.; Huagen, W.; Bingming, W.; Ziwen, X. y Pengcheng, S., "Researchon the Performance of Water-Injection Twin Screw Compressor" (2009). AppliedThermal Engineering. Elsevier. Articulo 3401-3408.

[38] Kovacevic, A.; Stosic, N. y Smith, I. K., "Combined Compressor-Expander in FuelCell Application". Centre for Positive Displacement and Compressor Technology.

[39] Larminie, J. y Dicks, A., "Fuel Cell Systems Explained" (2003). Editorial Wiley ,segunda edición.

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Bibliografía

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[41] Arthur D. Little: Linking strategy, technology and innovation, http://www.

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Anexo A

Programa

A.1. Condiciones iniciales y valores de las variables

Símbolo Descripción y valor

θm Posición angular del rotor macho 0 grados

p1 4.347× 10−12

p2 Constante −2.262× 10−9

p3 Constante −2.872× 10−7

p4 Constante 0.0001974

cp Calor específico del gas a presión constante 1004 JkgK

cv Calor específico del gas a volumen constante 718 JkgK

k Razón de los calores específicos 1.4 Cp

Cv

h Coeficiente de transferencia de calor 2.5710×3

R Constante de los gases 286.9 J/(kg ∗K)

Vt1 Volumen geométrico del espacio de trabajo 1.9739× 10−4 m3

A Área de la transferencia de calor 0.0034 m2

Am Área del surco del rotor macho 0.8478e− 03 m2

Af Área del surco del rotor hembra 0.7263e− 03 m2

L Longitud de los rotores macho y hembra 0.1254 m

Ts Temperatura del gas a las condiciones de succión 298.15 K

Ps Presión de succión 101325 Nm2

123

A.1. Condiciones iniciales y valores de las variables

Símbolo Descripción y valor

Cbl Coeficiente del flujo de fuga del blowhole 0.0007

Abl Área del blowhole principal 6.63× 10−7 m2

Cdmi Coeficiente del flujo de fuga en el extremo de descargadel rotor macho del surco principal 0.0003

Admi Área de fuga en el extremo de descarga del rotor macho (surco principal) 0 m2

Cdfi Coeficiente del flujo de fuga en el extremo de descargadel rotor hembra del surco principal 0.0003

Adfi Área de fuga en el extremo de descarga del rotor hembra (surco principal) 3.52× 10−7 m2

Abt Área del blowhole secundario 6.63× 10−7 m2

Cdmt Coeficiente del flujo de fuga del rotor macho precedenteen el extremo de descarga del surco sec.0.0006

Admt Área de fuga en el extremo de descarga del rotor macho (surco secundario) 0 m2

Cdft Coeficiente del flujo de fuga en el extremo de descargadel rotor hembra del surco secundario 0.0003

Adft Área de fuga en el extremo de descarga del rotor hembra (surco secundario) 3.52× 10−7 m2

Cil Coeficiente del flujo de fuga de interlobe 0.0007

Ail Área de fuga de interlobe m2

z1 Numero de lóbulos del rotor macho 3

P Presión en el espacio de trabajo 101325 Nm2

Tg Temperatura del gas en el espacio de trabajo 300 K

Vg Volumen del gas inducido dentro del espacio de trabajo 1.9739× 10−4 m3

Mg Masa de gas atrapada entre el rotor y la carcasa 2.3238× 10−4 kg

Mt1 Masa del gas al final del proceso de succión a las condiciones (Ps, T1) 2.3238× 10−4 kg

M1 Masa de gas al final del proceso de succión 2.3238× 10−4 kg

Tgb Temperatura del gas que proviene de la cavidad más cercana al puerto de descarga 300 K

mgi Tasa de fuga de gas a la entrada 0 kg

mgo Tasa de fuga de gas a la salida 0 kg

Ta Temperatura del gas justo antes de entrar al proceso de descarga 300 K

Pd Presión del gas en la descarga 101325 Nm2

124

Anexo A. Programa

A.2. Diagrama de flujo

Figura A.1: Diagrama de flujo del compresor de doble tornillo seco.

A.3. Código fuente

%===============================================================

% Tesis: Control de un Sistema de Alimentación basado en Celdas

% de Combustible con Modelado de Compresor

% Compresor de doble tornillo seco en función de la posición

% Autor: Elfrich González Arévalo

% Director de tesis

125

A.3. Código fuente

% Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez

% Codirectora de tesis

% Dra. Ma. Guadalupe López López

%CENIDET , FEBRERO 2013

%

%Programa en función de la posición (teta)

%

%

function y =dryScrewCompresor(u)

%clear

mm = u(1);

tt(mm+1) = u(2);

hh = u(3);

teta = u(4);

%==============

i = u(5);

contC = u(6); %no se usa

bandera = u(7); %no se usa

%==============

x(mm+1) = u(8);

x2(mm+1) = u(9);

x3(mm+1) = u(10);

x4(mm+1) = u(11);

%==============

Vg = u(12);

P = u(13); Pdown2=u(13);

Tg = u(14);

Mg = u(15);

126

Anexo A. Programa

T1 = u(16);

massflow = u(17);

density = u(18);

W = u(19);

%==============

Pa = u(20);

Ta = u(21);

Pd = u(22);

Tgdes = u(23);

Mgdes = u(24);

Torcp = u(25);

%==============

mgi = u(26);

mgo = u(27);

Tgb = u(28);

%==============

efiv = u(29);

efisent = u(30);

%==============

Nrpm = u(31); % Velocidad del rotor [rpm]

Pdesc = u(32); % Presión demandada

t = u(33); % Tiempo de simulación

%rotor P3-5 17 KW a 4 bar built volume ratio 2.9

%Flow coeficients

C0aux=.0007;%blowhole,interlobe

C1aux=.0003;%extremo de la descarga surco principal

C2aux=.0006;%extremo de la descarga surco secundario

%Valores de áreas, obtenidos por DISCO

Cbl=C0aux; %Coeficiente de descarga,

127

A.3. Código fuente

%coeficiente de blowhole principal [sin unidad]

Abl=6.635329e-07; %Área de fuga, área de blowhole principal [m^2]

Cdmi=C1aux; %Coeficiente de flujo de fuga del rotor macho

%en el extremo de la descarga del surco principal [sin unidad]

Admi=0; %Área de fuga del rotor macho en el extremo

%de la descarga del surco princicpal [m^2]

Cdfi=C1aux; %Coeficiente de flujo de fuga del rotor hembra

% en el extremo de la descarga del surco principal [sin unidad]

Adfi=3.526436e-07;%Área de fuga del rotor hembra en el extremo


Cil=C0aux; %Coeficiente de fuga de interlobe,

%coeficiente del espacio de interlobe [sin unidad]

Ail=.972e-7; %Área de fuga de interlobe [m^2]

Cbt=C2aux; %Coeficiente de flujo de blowhole secundario [sin unidad]

Abt=6.635329e-07; %Área de fuga del blowhole secundario [m^2]

Cdmt=C2aux; %Coeficiente de flujo de fuga del rotor

% macho en el extremo de la descarga del surco secundario [sin unidad]

Admt=0; %Área de fuga del rotor macho en el extremo

% de la descarga del surco secundario [m^2]

Cdft=C1aux; %Coeficiente de flujo de fuga del rotor

%hembra en el extremo de la descarga del surco secundario [sin unidad]

Adft=3.526436e-07;%Área de fuga del rotor hembra en el extremo


z1 = 3; % Número de lóbulos del rotor macho

Am = .8478e-03; % Área de sección transversal del surco del rotor macho [m^2]

Af = .7263e-03; % Área de sección transversal del surco del rotor hembra [m^2]

L = .1254; % Longitud del rotor [m]

% Dm = 0.091; % Diámetro del rotor Macho

% Df = 0.078; % Diámetro del rotor Hembra

omicron=224; % Ángulo del final del proceso de compresión

128

Anexo A. Programa

Ps=101325; % Presión de succión [Bar]

Ts=298.15; % Temperatura de succión [K]

Cp = 1004; % Aire Cp = 1004 J/(kg*K)

Cv = 718; % Aire Cv = 718 J/(kg*K)

R = 286.9; % Constante de los gases J/(kg*K)

k=Cp/Cv; % Razón de los calores especificos

Vt1=(Am+Af)*L; % Volumen geométrico formado por los surcos macho y hembra [m^3]

% igual al volumen máximo de la curva de volumen

A=Vt1^(2/3); % Área representativa de la transferencia de calor

% Coeficientes de la curva geométrica del rotor P3-5,

% 17 KW a 4 bar built-in volume ratio 2.9

% Obtenidos del ajuste de curva realizado en la curva de volumen generada

% por DISCO

p1aux = 4.347e-012;

p2aux = -2.262e-009;

p3aux = -2.872e-007;

p4aux = 0.0001974;

pasos=.001; %paso de integracion, incremento del angulo

Nm = Nrpm/60; %Velocidad de rotación del rotor macho [rps]

%tiempo de ciclo

ts=1/Nm; %Tiempo requerido para el proceso de succión [s]

dnrelev_dTs=0.0026;%[K^-1]

%coeficiente de transferencia de calor [W/m^2K]

h=((k*Ps*Vt1)/((k-1)*A*ts))*dnrelev_dTs;

129

A.3. Código fuente

%Cantidad total de masa de gas, incluyendo las fugas de masa de gas

%que ocupa el volumen de succion

Mts=(Ps*Vt1)/(R*Ts);

% Masa de gas actual al final del proceso de succión

Mt1=(Ps*Vt1)/(R*T1);

if t == 0

%condiciones iniciales de operación propuestas en

%Seshaiah, N., "Experimental and Computational Studies

%on Oil Injected Twin-Screw Compressor" (2006),

%Mechanical Engineering Department National Institute of Technology Rourkela,Tesis

P=101325; % Pascal

Vg=Vt1; %Volumen geométrico

Tg=300; % K

Mg=P*Vg/(R*Tg); % kg

density=P*Mg/(R*Tg);

T1=300; %K

Tgb=300; %K

mgi=0; %fugas de entrada

mgo=0; %fugas de salida

W=0;

%=====

efiv=0;

massflow=0;

efisent=0;

Torcp=0;

Pd=0;

Tgdes=0;

Mgdes=0;

%==============

%variable de tiempo para resolver por el Metodo de Runge-Kutta de 4to Orden

130

Anexo A. Programa

tt(1)=0;

i=1;

%================

tetaincre=6*Nrpm*pasos; %Paso o incremento del ángulo

hh=tetaincre;

teta=-hh; %contador de ángulo hasta 360 grados

end

%

Tipoflujo=(2/(k+1))^(k/(k-1));%tipo de flujo

%Para un nuevo ciclo de trabajo (succión, compresión y descarga)

if teta >= 360

Tgb=Tg; %toma el valor de la tempe. de fuga

%condiciones iniciales de operación propuestas en

%Seshaiah, N., "Experimental and Computational Studies on Oil

%Injected Twin-Screw Compressor" (2006),

%Mechanical Engineering Department National Institute of Technology

%Rourkela,Tesis

P=101325; %1.01325; %[bar]

Vg=Vt1;

Tg=300;

Mg=P*Vg/(R*Tg);


%condiciones iniciales de operación

mgi=0;

mgo=0;

Pdown2=P;

T1=300;

W=0;

%======================

i=1;

%=========================

tetaincre=6*Nrpm*pasos;%Paso o incremento del ángulo

131

A.3. Código fuente

hh=tetaincre;

teta=-hh; %contador de ángulo hasta 360 grados

end

if teta <= 360

teta=teta+hh; %contador de ángulo hasta 360 grados

if(teta>=0)

if(teta<=360)

Mil=(mgi-mgo)*ts;%Cantidad total de fugas de masa de gas

%dentro de la cavidad de succión en un ciclo

%=== Proceso de SUCCION ===

%Cantidad total de masa de gas, incluyendo las fugas de masa de gas

%que ocupa el volumen de succion

%Mts=(Ps*Vt1)/(R*Ts);

%Mt1:masa de gas en la cavidad formada por el rotor macho y hembra

% en el proceso de succión a las condiciones (Ps,T1) [Kg]

%Mt1=(Ps*Vt1)/(R*T1);%Mts*(Ts/T1);

if Mil == 0

%cuando mgi y mgo son iguales a cero, sin fugas en el inicio de ciclo

%temperatura en el proceso de succión

T1=(Cp*Mts*Ts^2)/(Cp*Mts*Ts-h*A*(Tg-Ts)*ts);

else

%cuando mgi y mgo son mayores a cero, con fugas despues del inicio de ciclo

% se resuelve la ecuación cuadratica para la temperatura

aq=-Cp*Mil;

bq=(Cp*Mts*Ts+Cp*Mil*Ts-h*A*(Tg-Ts)*ts); %

cq=-Cp*Mts*Ts^2;

dq=bq^2-4*aq*cq;

T1=(-bq+sqrt(dq))/(2*aq);

132

Anexo A. Programa

end

%%=== FIN del Proceso de SUCCION ===

%%================================

end

end

if teta >= 0

if teta <= omicron


% volumen geométrico actualizado por el angulo de rotación,

% polinomio optenido del ajuste de curva

% realizado para la curva de volumen optenida por DISCO

V = (p1aux*(teta)^3 + p2aux*(teta)^2 + p3aux*(teta) + p4aux);

dV=(3*p1aux*teta^2 + 2*p2aux*teta+ p3aux);

%=============================================================

%======= COMPRESION

%==============================================================

%----- Metodo de Runge-Kutta de 4to Orden -----

% para resolver el ODE W, trabajo

Vg=V;

%

f1=@(tt,x)(-dV/Vg +((Tgb*mgi)/Tg -mgo)/(Mg*Nm*2*pi))*P*k*dV;

x(1)=W;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;

F1=hh*f1(tt(m),x(m));

F2=hh*f1(tt(m)+hh/2,x(m)+F1/2);

F3=hh*f1(tt(m)+hh/2,x(m)+F2/hh);

F4=hh*f1(tt(m)+hh,x(m)+F3);

x(m+1)=x(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

%

133

A.3. Código fuente

% para resolver el ODE P, presión

clear F1 F2 F3 F4

f2=@(tt,x2)( -dV/Vg +((Tgb*mgi)/Tg -mgo)/(Mg*Nm*2*pi))*P*k; %P

x2(1)=P;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;

F1=hh*f2(tt(m),x2(m));

F2=hh*f2(tt(m)+hh/2,x2(m)+F1/2);

F3=hh*f2(tt(m)+hh/2,x2(m)+F2/hh);

F4=hh*f2(tt(m)+hh,x2(m)+F3);

x2(m+1)=x2(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

% para resolver el ODE Tg, temperatura

clear F1 F2 F3 F4

f3=@(tt,x3)(-(dV/Vg)*(k-1)+(mgi*((k*Tgb/Tg)-1) -mgo*(k-1))/(Mg*Nm*2*pi))*Tg;

x3(1)=Tg;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;


F2=hh*f3(tt(m)+hh/2,x3(m)+F1/2);



x3(m+1)=x3(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

% para resolver el ODE Mg

clear F1 F2 F3 F4

f4=@(tt,x4)(mgi-mgo)/(Nm*2*pi); %Mg, masa del gas

x4(1)=Mg;

134

Anexo A. Programa

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;


F2=hh*f4(tt(m)+hh/2,x4(m)+F1/2);



x4(m+1)=x4(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

W = x(i);

Vg = V;

P = x2(i);

Tg = x3(i);

Mg = x4(i);

%%FIN PROCESO DE COMPRESION

Ta=Tg;

Pa=P;

mm=i; i=i+1;

end

end

%==========INICIO FUGAS

if t ==0

%cero fugas en el inicio de ciclo

mgi=0; mgo=0;

else

%fugas que entran en la cavidad de trabajo

Pup1=P; %presión de subida

Tup1=Tg; %temperatura de subida

% Pdown2=u(13); %presion de bajada

rateP1P2=Pdown2/Pup1; %para calcular el tipo de flujo

135

A.3. Código fuente

%rateP1(cont)=rateP1P2;

mgi=lmgi(k,R,Tipoflujo,Cbl,Abl,Cdmi,Admi,Cdfi,Adfi,rateP1P2,Pup1,Tup1);

%fugas que salen de la cavidad de trabajo

Pup1=u(13);%presión de subida

Tup1=u(14);%temperatura de subida

Pdown2=Ps; %presion de bajada

rateP1P2=Pdown2/Pup1; %para calcular el tipo de flujo

%rateP2(cont)=rateP1P2;

mgo=lmgo(k,R,Tipoflujo,Cbt,Abt,Cdmt,Admt,Cdft,Adft,Cil,Ail,rateP1P2,Pup1,Tup1);

end

% ====== FIN FUGAS ============================================

%==============================================================

%%========= D E S C A R G A

%==============================================================

if teta >= omicron

if teta <= 360

V = (p1aux*(teta)^3 + p2aux*(teta)^2 + p3aux*(teta) + p4aux);

dV=(3*p1aux*teta^2 + 2*p2aux*teta+ p3aux);

%%===============

%%DESCARGA

%----- Metodo de Runge-Kutta de 4to Orden -----

% para resolver el ODE W, trabajo

f1=@(tt,x)(-dV/Vg +((Tgb*mgi)/Tg -mgo)/(Mg*Nm*2*pi))*P*k*dV;

x(1)=W;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;

F1=hh*f1(tt(m),x(m));

136

Anexo A. Programa

F2=hh*f1(tt(m)+hh/2,x(m)+F1/2);

F3=hh*f1(tt(m)+hh/2,x(m)+F2/hh);

F4=hh*f1(tt(m)+hh,x(m)+F3);

x(m+1)=x(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

% para resolver el ODE P, presión

clear F1 F2 F3 F4

f2=@(tt,x2)0;%( -dV/Vg +((Tgb*mgi)/Tg -mgo)/(Mg*Nm))*P*k; %P

x2(1)=P;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;


F2=hh*f2(tt(m)+hh/2,x2(m)+F1/2);



x2(m+1)=x2(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

% para resolver el ODE Tg, temperatura

clear F1 F2 F3 F4

%Tg

f3=@(tt,x3)0;%(-(dV/Vg)*(k-1)+(mgi*((k*Tgb/Tg)-1) -mgo*(k-1))/(Mg*Nm))*Tg;

x3(1)=Tg;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;


F2=hh*f3(tt(m)+hh/2,x3(m)+F1/2);



x3(m+1)=x3(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

% para resolver el ODE Mg, masa

137

A.3. Código fuente

clear F1 F2 F3 F4

f4=@(tt,x4)0;%(mgi-mgo)/(Nm*2*pi); %Mg

x4(1)=Mg;

m=i;

tt(m+1)= tt(1)+(m)*hh;


F2=hh*f4(tt(m)+hh/2,x4(m)+F1/2);



x4(m+1)=x4(m)+(1/6*(F1(1)+2*F2(1)+2*F3(1)+F4(1)));

Vg = V; %volumen del gas

P = Pdesc; %presión de descarga

Tg=( ((k-1)*Pdesc/(Pa*k)) + 1/k)*Ta; %temperatura de descarga

Mg = x4(i); %masa de descarga

W = x(i);

%%===============

%%FIN PROCESO DE DESCARGA

%if teta >= (contC+1)*320

Pd=Pdesc;

%Vgdes=Vg;

Tgdes=Tg;

Mgdes=Mg;

%flujo másico

massflow= Mg*z1*Nm;%/gamma;

%eficiencia volumetrica

if teta >= 320

efiv=(Mt1-(mgi-mgo)*ts)/Mts;

138

Anexo A. Programa

end

%eficiencia isentrópica

efisent=(Ts/(Tg-Ts))*(((P/Ps)^((1.4-1)/1.4))-1);

%par del compresor

Torcp=(massflow*Cp*Ts*(((P/Ps)^((1.4-1)/1.4))-1))/(efisent*Nm);

%end

%==============================

mm=i; i=i+1;

end

end

end

if teta > 360

teta=360;

end

bandera=0;

contC=0;

varAux = [mm,tt(mm+1),hh,teta];% 4 term

edosTerm = [x(mm+1),x2(mm+1),x3(mm+1),x4(mm+1)];% 4 term

ScrewComp = [Vg,P,Tg,Mg,T1,massflow,density,W];% 8 term

contadores = [i,contC,bandera];% 3 term

descarga=[Pa,Ta,Pd,Tgdes,Mgdes,Torcp];% 6 term

fugas=[mgo,mgi,Tgb];% 3 term

eficiencias=[efiv,efisent];% 2 term

y=[varAux,edosTerm,ScrewComp,contadores,descarga,fugas,eficiencias];% 30 term

end

139

A.3. Código fuente

%=====Funciones====================

%==== FUGAS =======================

%==================================

%==== Entrada =====================

%====== función lmgi

function y = lmgi(k,R,Tipoflujo,Cbl,Abl,Cdmi,Admi,Cdfi,Adfi,rateP1P2,P1,T1)

if rateP1P2 >= 0

if rateP1P2 <= Tipoflujo

aux1=k*((2/(k-1))^((k+1)/(k-1)));

aux2=sqrt(aux1/R);

aux3=(P1/sqrt(T1))*aux2;

y=(Cbl*Abl+Cdmi*Admi+Cdfi*Adfi)*aux3;

end

end

if rateP1P2 > Tipoflujo

aux0=(k-1)*R;

aux1=2*k*(rateP1P2^(2/k)-rateP1P2^((k+1)/k));

aux2=sqrt(aux1/aux0);

aux2=abs(aux2);


y=(Cbl*Abl+Cdmi*Admi+Cdfi*Adfi)*aux3;

end

end

%===================================

%====== SALIDA =====================

%===== función lmgo ================

140

Anexo A. Programa

function y = lmgo(k,R,Tipoflujo,Cbt,Abt,Cdmt,Admt,Cdft,Adft,Cil,Ail,rateP1P2,P1,T1)

if rateP1P2 >= 0

if rateP1P2 <= Tipoflujo

aux1=k*((2/(k-1))^((k+1)/(k-1)));

aux2=sqrt(aux1/R);


mgil=(Cil*Ail)*aux3;

y=(Cbt*Abt+Cdmt*Admt+Cdft*Adft)*aux3+mgil;

end

end

if rateP1P2 > Tipoflujo

aux0=(k-1)*R;

aux1=2*k*(rateP1P2^(2/k)-(rateP1P2^((k+1)/k)));

aux2=sqrt(aux1/aux0);

aux2=abs(aux2);


mgil=(Cil*Ail)*aux3;

y=(Cbt*Abt+Cdmt*Admt+Cdft*Adft)*aux3+mgil;

end

end

141

A.4. Funciones usadas del repositorio [33]


%=================================================

%=================================================

function [omega_0,dmp]=omega_dmp(tm_req,M_req);

%function [omega_0,dmp]=omega_dmp(tm_req,M_req);

%computes natural frequency omega_0 and damping dmp of a continues

%2nd order system with required properties: maximum overshoot M_req

%and rise time tm_req. The continues system has a standard form:

% omega_0

% G2(s)= ---------------------------------

% s^2 + 2.dmp.omega_0.s + omega_0^2

%inputs:

%tm_req ... required rise time in seconds

%M_req ... required maximum overshoot

%outputs:

%omega_0 ... natural frequency of the continues system

%dmp ... damping of the continues system

%

%written by: H. Prochazka, I.D. Landau

%7th june 2002

%damping computing

precision=0.1;%precision of 0.1%

omega_0=6;%initial value 6 rad/s to compute damping for overshoot

dmp_min=0;

dmp_max=1;

error=precision*10;%initial setting

while error>precision,

dmp_act=dmp_min+ (dmp_max-dmp_min)/2;

sys=tf([omega_0^2],[1 2*dmp_act*omega_0 omega_0^2]);

142

Anexo A. Programa

[resp,tim]=step(sys);

M_act=(max(resp)-1)*100;

if M_act<M_req,

dmp_max=dmp_act;

else

dmp_min=dmp_act;

end;

error=abs(M_act-M_req);

end;

dmp=dmp_act;

%natural frequency computing

k=1;while resp(k)<0.1, k=k+1;end;

t01=tim(k-1);

k=1;while resp(k)<0.9, k=k+1;end;

t09=tim(k);

tm_act=t09-t01;

omega_0=tm_act*omega_0/tm_req;

%=================================================

%============== BEZOUTD ==========================

function [Rp,Sp,nrp,nsp]=bezoutd(A,B,Hs,Hr,P)

%function [Rp,Sp,nrp,nsp]=bezoutd(A,B,Hs,Hr,P)

%solves AHsSp+BHrRp=P by coefficient comparison.

%Delay and discretization delay need to be integrated in B

%(zeros at the begining).

%

%inputs:

%A=[a0 a1 ... aNa] ... vector of model denominator

% coefficients A=a0 + a1z^(-1) + a2z^(-2) +...+ aNaz^(-Na)

%B=[b0 b1 ... bNb] ... vector of model numerator

143


%coefficients B=b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) +...+ bNbz^(-Nb)

%Hs=[hs0 hs1 ... hsNhs] ... vector of controller

%denominator fixed part Hs=hs0 + hs1z^(-1) +...+ hsNhsz^(-Nhs)

%Hr=[hr0 hr1 ... hrNhr] ... vector of controller

%denominator fixed part Hr=hr0 + hr1z^(-1) +...+ hrNhrz^(-Nhr)

%P=[p0 p1 ... pNp] ... vector of desired polynomial

%coefficients P=p0 + p1z^(-1) + p2z^(-2) +...+ pNpz^(-Np)

%outputs:

%Rp=[rp0 rp1 rp2 ...] ... vector of coefficients

%for resulted controller numerator

%Sp=[sp0 sp1 sp2 ...] ... vector of coefficients

%for resulted controller denominator

%nrp ... order of Rp

%nsp ... order of Sp

%

%written by: J. Langer, I.D. Landau, H. Prochazka

%7th june 2002

%Modified 06/08/2007 : "convz" replaced by "conv"

PRECISION=1e-16;

D=size(A);

if D(1)>1, A=A’; end;

D=size(B);

if D(1)>1, B=B’; end;

D=size(Hs);

if D(1)>1, Hs=Hs’; end;

if D(1)==0, Hs=1; end;

D=size(Hr);

if D(1)>1, Hr=Hr’; end;

if D(1)==0, Hr=1;end;

D=size(P);

144

Anexo A. Programa

if D(1)>1, P=P’; end;

na=length(A)-1;

nb=length(B)-1;

np=length(P)-1;

nhs=length(Hs)-1;

nhr=length(Hr)-1;

if (nhs>0), Ah=conv(A,Hs); else Ah=A*Hs; end; % Ah = A * Hs

nah=length(Ah) -1;

if (nhr>0), Bh=conv(B,Hr); else Bh=B*Hr; end;

nbh=length(Bh) -1;

if (np>nah+nbh-1), disp(’Bezout error: too many poles’);end;

% increase size of P using zeros if necessary

if (np<nah+nbh-1),

% P=[P zeros(1,nah+nbh-1-np)];

% set remaining poles onto a circle with radius rmin

rootsPdes=roots(P);

nextra=nah+nbh-1-np;

rmin=1e-16;

angle=[0:nextra-1]’/nextra*2*pi;

j=sqrt(-1);

rootsPextra=rmin*exp(j*angle);

P=poly([rootsPdes;rootsPextra]);

np=nah+nbh-1;

end;

P,

nsp=nbh-1;

nrp=nah-1;

145


%matrix is smaller than vector PD

if (np>nah+nbh-1),

disp(’Order of model denominator is too low! Add a polynom of higher order to Hs or Hr. ’);

end;

% ns=nsp+nhs

% nr=nrp+nhr

M=[];

for j=1:nsp+1,

V=[];

if (j>1), V=[V ; zeros(j-1,1)]; end;% zeros in front of Ah

V=[V ; Ah’];% Ah

if (j<=nsp), V=[V ; zeros(nsp+1-j,1)]; end;% zeros behind Ah

if (length(V)~=nah+nbh), disp(’bezoutb: error V’); end;

M=[M V]; % add one column to M

end;

for j=1:nrp+1,

V=[];

if (j>1), V=[V ; zeros(j-1,1)]; end;

V=[V ; Bh’];

if (j<=nrp), V=[V ; zeros(nrp+1-j,1)]; end;

if (length(V)~=nah+nbh), disp(’bezoutb: error V’); end;

M=[M V];

end;

D=size(M);

if (D(1)~=nah+nbh), disp(’bezoutb: error size M row’); end;

if (D(2)~=nah+nbh), disp(’bezoutb: error size M column’); end;

% make P column vector

P=P’;

146

Anexo A. Programa

global M1;

M1=M;

X= M\P;

% coefficients are real values

X=real(X);

% make X row vector

X=X’;

Sp=X(1:nsp+1);

Rp=X(nsp+2:nsp+nrp+2);

147

centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico · cnológico subsecretaría de...

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