centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico · 2020. 7. 7. · dedicatoria a dios....

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Control de Sistemas Electromecánicos Mediante Controladores PID Generalizados y PID Inteligentes

presentada por

Felipe de Jesús Sorcia Vázquez Ing. Electrónico por el I. T. de Orizaba

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Carlos Daniel García Beltrán

Co-Director de tesis: Dr. Juan Reyes Reyes

Jurado: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez – Presidente Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza – Secretario

Dr. Carlos Daniel García Beltrán – Vocal Dr. Juan Reyes Reyes – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 12 de octubre de 2010

Dedicatoria

A Dios.

A mis padres: Mateo y Maty. A mis hermanos: May, Teo, y Faty.

A mis sobrinitos: Mateín, Owen, Ary, Dennis y Gabrielito.

Agradecimientos

Al Dr. Carlos Daniel García Beltrán por su amistad y por haberme guiado a lo largo del desarrollo de este trabajo, mil gracias.

Al comité revisor de tesis: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez y al Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza, por sus valiosas observaciones que realizaron para mejorar este trabajo.

A mis profesores: Dr. Manuel Adam, Dr. Juan Reyes, Dr. Alejandro Rodríguez, Dr. Víctor Alvarado, M. C. Guadalupe Madrigal, M. C. Pedro Rafael Mendoza, M.C. Alfredo González, por todas las valiosas enseñanzas.

A mis padrinos: Jaime y Juanis, y a mis primos: Lili, Mima, Jimmy y Miry, por todas sus palabras de aliento, buenos consejos para que siguiera adelante y bendiciones.

A mi cuñada Adriana, por siempre desearme lo mejor y por lo buena persona que eres conmigo y mi familia, gracias Adri.

A mi tío Antonio Vázquez, y las señoritas Lety y Ely, por haberme brindado su ayuda y su tiempo para conseguir material necesario para el desarrollo de este trabajo.

A mis amigos Abraham y Vidal, gracias por su amistad y apoyo en estos dos años, sin ustedes esto hubiese sido mucho más difícil de lo que fue, siempre los recordaré.

A mis nuevos amigos de control que compartieron las aulas del CENIDET conmigo y mucho más: Chuma, Diego, Julio y Miguel, ha sido un placer conocerlos.

A mis nuevos amigos de potencia: Wendy, Faby, Carmen, Rodo, Chente, R e Irán, gracias por su amistad.

A la Sra. Maira Correa y a la Srita. Ana María Pérez por su trato amable y ayuda con los tramites de titulación, muchas gracias.

Al Cenidet, por haberme dado la oportunidad de continuar con mi formación académica.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico para el desarrollo de este trabajo.

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

Isaac Newton

Control de Sistemas Electromecánicos Mediante Controladores PID Generalizados y PID Inteligentes

Felipe de Jesús Sorcia Vázquez

Resumen

Dentro de la gran variedad de sistemas electromecánicos que existen en la actualidad, los brazos robots accionados mediante motores eléctricos (CA o CD) se han convertido en una herramienta altamente utilizada. Estos dispositivos se han empleado en la industria manufacturera, en el área espacial e incluso en medicina (por ejemplo: microcirugía), con el fin de evitar que el trabajador realice tareas tediosas o que representen un riesgo elevado para su salud o bienestar físico, y en otros casos, en tareas que requieren una alta precisión. En un principio, los brazos robots se construían de materiales rígidos, los cuales eran pesados, este hecho originaba que los actuadores (en este caso motores eléctricos) tuvieran que ser muy potentes para poder mover los brazos, ya que estos tenían un peso considerable, además de la carga que el efector final manipulaba, así entonces, los actuadores consumían una potencia considerable. Por tanto, con el propósito de reducir el tamaño y la potencia de los actuadores, los brazos se comenzaron a construir con materiales más ligeros o las geometrías de estos se modificaron, pero al realizar este tipo de modificaciones originó que se presentaran fenómenos de oscilación en la estructura, estas oscilaciones se debían a flexibilidad en el eslabón o en la articulación, lo que representa un problema. En este proyecto de tesis se abordan dos esquemas de control para la solución del problema de control de brazos flexibles, los cuales se derivan del control PID clásico y engloban conceptos de platitud diferencial, estos son: el control PID generalizado y el control PID inteligente. El control PID generalizado se basa en el modelo del sistema y en la obtención de la salida plana del sistema para poder realizar su diseño, mientras que en el control PID inteligente el modelo del sistema es descartado para su diseño. Ambos controladores son propuestos para realizar seguimiento de trayectoria.

Estos controladores se validaron en tiempo real, por lo que se utilizó un brazo de eslabón flexible y uno de articulación flexible de la marca Quanser, del cual se obtuvo el modelo matemático para realizar las simulaciones.

Control of Electromechanicals Systems Using Generalized PID and Intelligent PID controllers

Felipe de Jesús Sorcia Vázquez

Abstract Within the wide range of mechatronics systems that nowadays exists, the robot arms are one of the most important tools in industry. These devices have been applied in the manufacturing industry, spatial area and medicine (for example: microsurgery), the main objective of these devices is to avoid tedious or dangerous task for the human workers; however, they are also used in activities that require high accuracy.

At the beginning, the robot arms were constructed with rigid heavy materials, and

traditionally actuated by electrical motors. The high weight of the arms required very powerful motors to move the arms by itself and the moved load that the final effectors manipulated; therefore, the actuators consumed a considerable electric power. In order to reduce the size and power of the actuators, the arms began to be constructed with lighter materials or with different geometries. These changes originated an oscillation phenomenon in the structure due to the flexibility in the link or in the joint. This phenomenon represents a control problem since the overshoots and settling time are increased due to the oscillations. This thesis addresses two control schemes to solve the flexible arms control problem, the “Generalized PID” control and the called “Intelligent PID” control, both structures are derived from the classic PID control together with concepts of differential flatness. The Generalized PID control is based on the system model and the flat output to perform its design, while the intelligent PID control discard the system model for its design. Both controllers are proposed for trajectory tacking. These controllers were validated in real time using a laboratory scale flexible link and flexible joint arms. Some experimental tests for reference tracking and disturbance rejection were made.

I

Tabla de contenido LISTA DE FIGURAS. ....................................................................................................................................III LISTA DE TABLAS. ..................................................................................................................................... IX LISTA DE SÍMBOLOS. .............................................................................................................................. XIII Capítulo 1 INTRODUCCIÓN. .......................................................................................................................................... 1

1.1. DEFINICIÓN Y MOTIVACIÓN. ........................................................................................................... 2 1.1.1. Definición. ..................................................................................................................................... 2 1.1.2. Motivación. .................................................................................................................................... 3

1.2. UBICACIÓN E INTERÉS DEL PROBLEMA. ....................................................................................... 5 1.2.1. Presencia de brazos flexibles. .......................................................................................................... 5

1.3. JUSTIFICACIÓN. .................................................................................................................................. 6 1.4. HIPÓTESIS. ........................................................................................................................................... 7 1.5. PROPUESTA DE SOLUCIÓN. .............................................................................................................. 7 1.6. OBJETIVO............................................................................................................................................. 7

1.6.1. Objetivos particulares. .................................................................................................................... 8 1.7. ESTADO DEL ARTE............................................................................................................................. 8

1.7.1. Control Robusto. ............................................................................................................................ 8 1.7.2. Control Adaptable. ......................................................................................................................... 9 1.7.3. Control Inteligente. ......................................................................................................................... 9 1.7.4. Control por Platitud Diferencial. ..................................................................................................... 9 1.7.5. Control Óptimo. ............................................................................................................................. 9 1.7.6. Control GPID. ................................................................................................................................ 9

1.8. ESTADO DEL ARTE DE LOS CONTROLADORES GPID E I-PID. ....................................................10 1.8.1. Control GPID. ...............................................................................................................................10 1.8.2. Control i-PID.................................................................................................................................12

1.9. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS..........................................................................................................13 Capítulo 2 MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN BRAZO ROBOT DE ESLABÓN Y ARTICULACIÓN FLEXIBLE. .....................................................................................................................15

2.1. MODELO DEL SISTEMA DE ESLABONES FLEXIBLES. .................................................................15 2.2. CONTROL DE LOS BRAZOS FLEXIBLE MEDIANTE TÉCNICAS CLÁSICAS: CONTROL PI Y CONTROL LQR. .........................................................................................................................................22

2.2.1. Control PI del brazo de eslabón flexible. ........................................................................................22 2.2.2. Control LQR del brazo de eslabón flexible. ....................................................................................25 2.2.3. Control PI del brazo de articulación flexible. ..................................................................................28 2.2.4. Control LQR del brazo de articulación flexible. ..............................................................................30

2.3. RESULTADOS PREVIOS. ...................................................................................................................32 Capítulo 3 CONTROL GPID. ..........................................................................................................................................33

3.1. PLATITUD DIFERENCIAL. ................................................................................................................33 3.2. DISEÑO DE UN CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES CONSTANTES. ............38

3.2.1. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES CONSTANTES APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES. ...........................................................................................................................41 3.2.1.1. Resultados de la aplicación del control GPID RPC al brazo de eslabón flexible. .........................44

3.3. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES POLINOMIALES. ....................................47 3.3.1. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTUBACIONES POLINOMIALES APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES. ...........................................................................................................................49 3.3.1.1. Resultados de la aplicación del control GPID RPP al brazo de eslabón flexible. ...........................52

3.4. CONTROL GPID BASADO EN OBSERVADOR. ................................................................................55 3.4.1. CONTROL GPID ROBUSTO BASADO EN OBSERVADOR APLICADO AL SISTEMA DE BRAZO FLEXIBLE. ...............................................................................................................................56

Tabla de contenido.

II

3.4.1.1. Resultados de la aplicación del control GPID OBSV al brazo de eslabón flexible. ....................... 62 3.5. RESULTADOS PREVIOS. ................................................................................................................... 64

Capítulo 4 CONTROL I-PID. ......................................................................................................................................... 67

4.1. CONTROL I-PID LIBRE DE MODELO............................................................................................... 68 4.2. CONTROL I-PID LIBRE DE MODELO APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES. ......................... 69

4.2.1. Resultados de la aplicación de control i-PI libre de modelo al brazo de eslabón flexible.................. 70 4.3. CONTROL I-PID DE MODELO RESTRINGIDO. ............................................................................... 74 4.4. CONTROL I-PID DE MODELO RESTRINGIDO APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES. .......... 74

4.4.1. Resultados de la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de eslabón flexible. ...... 76 4.5. RESULTADOS PREVIOS. ................................................................................................................... 79

Capítulo 5 ANÁLISIS DE RESULTADOS, CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS. ....................................... 81

5.1. ANÁLISIS DE RESULTADOS. ........................................................................................................... 81 5.2. CONCLUSIONES. ............................................................................................................................... 84 5.3. TRABAJOS FUTUROS. ....................................................................................................................... 85

REFERENCIAS. ............................................................................................................................................ 87 APÉNDICE A. ............................................................................................................................................... 91 APÉNDICE B............................................................................................................................................... 101 APÉNDICE C. ............................................................................................................................................. 119 APÉNDICE D. ............................................................................................................................................. 125 APÉNDICE E............................................................................................................................................... 129 APÉNDICE F. .............................................................................................................................................. 135 APÉNDICE G. ............................................................................................................................................. 137

III

LISTA DE FIGURAS Figura 1.1. Flexibilidad en articulaciones. ............................................................................... 2 Figura 1.2. Flexibilidad en eslabones. ..................................................................................... 3 Figura 1.3. Mecanismo basado en acomodación pasiva para ensamblado automático. ............. 4 Figura 1.4. Manipulador remoto espacial. ............................................................................... 5 Figura 1.5. Robot soldador industrial. ..................................................................................... 6 Figura 1.6. Grúa telescópica de carga. ..................................................................................... 6

Figura 2.1. Sistema de brazos flexible: a) eslabón flexible, b) articulación flexible. ............... 15 Figura 2.2. Circuito de armadura y subsistema mecánico de un motor de CD de imanes permanentes. ......................................................................................................................... 16 Figura 2.3. Validación experimental del modelo del motor de CD: a) Velocidad del motor, b) Ampliación de la zona muerta. .............................................................................................. 17 Figura 2.4. Diagrama esquemático del brazo flexible. ........................................................... 18 Figura 2.5. Modelo simplificado del brazo flexible................................................................ 18 Figura 2.6. Validación experimental del modelo de los brazos flexibles: a) brazo de eslabón flexible, b) brazo de articulación flexible. ............................................................................. 21 Figura 2.7. Referencia basada en polinomios de Bézier. ........................................................ 22 Figura 2.8. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.................................................................................................................... 24 Figura 2.9. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta.................................................................................................................... 25 Figura 2.10. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ............................................................................................................. 27 Figura 2.11. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................................ 28 Figura 2.12. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................................................................................. 29 Figura 2.13. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................................ 29 Figura 2.14. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ................................................................................................ 31 Figura 2.15. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 32

Figura 3.1. Diagrama esquemático del control GPID RPC aplicado a los brazos flexibles. .... 43 Figura 3.2. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ................................................................................................ 45 Figura 3.3. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 46

Lista de figuras.

IV

Figura 3.4. Diagrama esquemático del control GPID RPP aplicado a los brazos flexibles. ... 52 Figura 3.5. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ............................................................................... 53 Figura 3.6. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .............................................................................. 54 Figura 3.7. Diagrama de esquemático para la estructura de control GPID basada en observador. ........................................................................................................................... 62 Figura 3.8. Resultados en simulación del control GPID OBSV aplicado al brazo de eslabón flexible e introduciendo la estimación de la perturbación con el observador. ......................... 63 Figura 3.9. Resultados en simulación del control GPID OBSV aplicado al brazo de eslabón flexible e introduciendo la reconstrucción de la perturbación a partir de la ecuación de

1, , ,

my y V m . ...................................................................................................................... 63

Figura 4.1. Diagrama esquemático para el esquema de control i-PI libre de modelo. ............. 70 Figura 4.2. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ................................................................. 72 Figura 4.3. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ................................................................ 73 Figura 4.4. Diagrama esquemático para el esquema de control i-PI de modelo restringido. ... 76 Figura 4.5. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ................................................... 77 Figura 4.6. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .................................................. 78

Figura A.1. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ................................................................................................ 92 Figura A.2. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 93 Figura A.3. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................ 94 Figura A.4. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ....................................................................... 95 Figura A.5. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................. 96 Figura A.6. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................ 97 Figura A.7. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................. 98 Figura A.8. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................ 99

Lista de figuras.

V

Figura B.1. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.................................................................................................................. 101 Figura B.2. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .......................................................................................................... 102 Figura B.3. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ........................................................................................................... 103 Figura B.4. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .......................................................................................................... 103 Figura B.5. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 104 Figura B.6. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 105 Figura B.7. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 105 Figura B.8. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 106 Figura B.9. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 107 Figura B.10. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 107 Figura B.11. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................... 108 Figura B.12. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. .......................................................................... 109 Figura B.13. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 109 Figura B.14. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta: a) Seguimiento de posición (Bézier), b) Señal de control, c) Error de posición................................................................................................................. 110 Figura B.15. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................... 111 Figura B.16. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. .......................................................................... 111 Figura B.17. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .................................................................................. 112 Figura B.18. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ................................................................................. 113 Figura B.19. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................... 113 Figura B.20. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. .......................................................................... 114

Lista de figuras.

VI

Figura B.21. Resultados de la simulación del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ................................................................... 115 Figura B.22. Resultados de la simulación del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .................................................................. 115 Figura B.23. Resultados de la simulación del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................................. 116 Figura B.24. Resultados de la simulación del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................ 117

Figura C.1. a) Señal con ruido a derivar y b) ruido introducido a la señal. ........................... 121 Figura C.2 derivada de la señal sin ruido............................................................................. 121 Figura C.3. Derivada de la señal con ruido obtenida con el derivador de Matlab. ................ 121 Figura C.4. Derivada de la señal con ruido obtenida con el estimador descrito por (C.1) ..... 122 Figura C.5. Derivada de la señal con ruido obtenida con el estimador implementado en [29]. ........................................................................................................................................... 122 Figura C.6. Derivada de la señal con ruido obtenida con el filtro de variables de estado. ..... 123

Figura D.1. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real. ............................................. 125 Figura D.2. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real. .............................................. 126 Figura D.3. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real. ............................................. 126 Figura D.4. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real. .............................................. 127 Figura D.5. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real. ............................................. 127 Figura D.6. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real. .............................................. 127 Figura D.7. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real.................................... 128 Figura D.8. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real. .................................... 128

Figura E.1. Acuerdo de licencia de instalación de software. ................................................ 129 Figura E.2. Administrador de características de instalación. ................................................ 130 Figura E.3. Licencias disponibles para autentificar el software instalado. ............................ 130 Figura E.4. Configuración de licencia. ................................................................................ 131 Figura E.5. Registro de la licencia. ..................................................................................... 131 Figura E.6. Final de la configuración de la licencia. ............................................................ 131

Lista de figuras.

VII

Figura E.7. Bloque de inicialización de la tarjeta Q8 en Simulink........................................ 132 Figura E.8. Bloques de entrada salida de la tarjeta Q8 en Simulink...................................... 133

Lista de figuras.

VIII

IX

LISTA DE TABLAS

Tabla 2.1. Criterios de desempeño del control PI del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .................................................................................................................................... 24 Tabla 2.2. Criterios de desempeño del control PI del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .................................................................................................................................... 25 Tabla 2.3. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ................................................................................................................................ 27 Tabla 2.4. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ................................................................................................................................ 28 Tabla 2.5. Criterios de desempeño del control PI del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ................................................................................................................................ 29 Tabla 2.6. Criterios de desempeño del control PI del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ........................................................................................................................... 30 Tabla 2.7. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................................................................... 31 Tabla 2.8. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ........................................................................................................................... 32

Tabla 3.1. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.................................................................................................................... 46 Tabla 3.2. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.................................................................................................................... 47 Tabla 3.3. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.................................................................................................................... 54 Tabla 3.4. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.................................................................................................................... 54 Tabla 3.5. Criterios de desempeño del control GPID OBSV aplicado al brazo de eslabón flexible.................................................................................................................................. 64

Tabla 4.1. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 72 Tabla 4.2. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 73 Tabla 4.3. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 78 Tabla 4.4. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 79

Lista de tablas.

X

Tabla 5.1. Resultados de la evaluación del criterio de error ITAE con la referencia basada en polinomios de Bézier. ........................................................................................................... 82 Tabla 5.2. Resultados de la evaluación del criterio de error ITAE con la referencia sinusoidal. ............................................................................................................................................. 83

Tabla A.1. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................................................................................. 92 Tabla A.2. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................................ 93 Tabla A.3. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. .................................................................................................................. 94 Tabla A.4. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................................ 95 Tabla A.5. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 96 Tabla A.6. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................... 97 Tabla A.7. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................................................. 98 Tabla A.8. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................ 99

Tabla B.1. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ........................................................................................................... 102 Tabla B.2. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. .......................................................................................................... 102 Tabla B.3. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 103 Tabla B.4. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 104 Tabla B.5. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 104 Tabla B.6. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 105 Tabla B.7. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 106 Tabla B.8. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 106 Tabla B.9. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 107

Lista de tablas.

XI

Tabla B.10. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 108 Tabla B.11. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................... 108 Tabla B.12. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de articulación flexible con masa en la punta. .......................................................................... 109 Tabla B.13. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .............................................................................................. 110 Tabla B.14. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................................. 110 Tabla B.15. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ........................................................................... 111 Tabla B.16. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de articulación flexible con masa en la punta. .......................................................................... 112 Tabla B.17. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. ............................................................................. 112 Tabla B.18. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible con masa en la punta. ............................................................................ 113 Tabla B.19. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ....................................................................... 114 Tabla B.20. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ...................................................................... 114 Tabla B.21. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. .................................................................... 115 Tabla B.22. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.................................................................... 116 Tabla B.23. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible sin masa en la punta. ............................................................. 116 Tabla B.24. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible con masa en la punta. ............................................................ 117

Tabla F.1. Parámetros del sistema de brazos flexibles. ........................................................ 135

Lista de tablas.

XII

XIII

LISTA DE SÍMBOLOS

mV Voltaje de armadura (V).

mI Corriente de armadura (A).

mR Resistencia del circuito de armadura (Ohms).

mL Inductancia del circuito de armadura (H).

emfE Fuerza contra electromotriz.

,m m Posición (rad ) y velocidad del eje del motor ( /rad s ).

, ,load load load Posición (rad ), velocidad ( /rad s ) y aceleración ( 2/rad s ) vistas desde el

sistema de engranajes. ,

g m Eficiencias del sistema de engranajes y del motor respectivamente.

,m T

K K Constate de fuerza contra electromotriz ( /Vs rad ) y de par ( /Nm A ) respectivamente.

gK Factor de reducción del sistema de engranaje.

stiffK Constante de rigidez de los brazos.

mT Par generado por el motor de CD (N ).

, , ,m arm eq hub

J J J J Inercias del motor de CD, de los brazos, del sistema de engranaje y

equivalente ( 2Kgm ).

eqB Coeficiente de fricción viscosa equivalente ( . /Nm s rad ).

1m Masa en la punta del brazo (Kg ). L Longitud del brazo (m ). R Distancia de la articulación al anclaje del brazo (m ). d Distancia en forma paralela entre la articulación y los puntos de anclaje de la

base del brazo (m ). r Distancia fija entre el brazo y los puntos de anclaje de la base de este (m ).

rF Fuerza de restablecimiento del resorte (N ).

rK Rigidez del resorte ( /N m ).

rL Longitud del resorte (m ).

T Energía cinética total del sistema. V Energía potencial total del sistema.

,q q Lagrangiano.

q Función de disipación de Rayleigh.

y Salida del sistema. x Vector de estado del sistema. u Entrada de control.

Lista de símbolos.

XIV

,p i

K K Ganancias proporcional e integral respectivamente. F Función del control i-PID libre de modelo. H Función del control i-PID de modelo restringido. Conjunto de los números reales. A Matriz de la dinámica del sistema. B Matriz de acompañamiento de la entrada. Vector renglón. Perturbación constante.

1( )pO t Perturbación polinomial dependiente del tiempo. ACRÓNIMOS CA Corriente Alterna. CD Corriente Directa. GPID Control Proporcional Integral Derivativo Generalizado. i-PID Control Proporcional Integral Derivativo inteligente. LQR Regulador Cuadrático Lineal. PI Control Proporcional Integral. SISO Sistema de una entrada una salida.

1

Capítulo 1

1. Introducción

En los últimos años los robots con brazos flexibles han constituido un campo de interés para los investigadores de este ramo, debido a la demanda de robots más esbeltos y rápidos, tanto para aplicaciones a nivel industrial como espacial. Sin embargo, este tipo de robots presentan fenómenos de flexibilidad en eslabones y articulaciones debido a los materiales o las geometrías que se utilizan en la construcción de dichos robots.

Los objetivos principales de la investigación en la robótica se centran en la necesidad de tener la mayor precisión posible en la posición del efector final de estos, es decir, que llegue a la posición final deseada en el menor tiempo posible, ya que ésta se ve afectada por las deflexiones en la estructura de dichos robots.

El principal problema en los brazos flexibles se presenta cuando el brazo llega a la

posición final deseada, el brazo presenta oscilaciones debido a la inercia, lo cual hace que el tiempo de establecimiento sea mayor que en un brazo rígido.

Muchas de las investigaciones se enfocan al estudio de brazos de un solo eslabón, las

cuales particularmente proveen las bases para el estudio de robots con más eslabones. Así, el desarrollo de este trabajo se basa en el estudio de los brazos de articulación flexible y el eslabón flexible, con el prototipo de laboratorio marca Quanser.

Control de sistemas electromecánicos mediante controladores PID generalizados (GPID) y PID inteligentes (i-PID).

2

1.1. DEFINICIÓN Y MOTIVACIÓN

1.1.1. Definición Los brazos flexibles son aquellos que presentan deformación de tipo elástica en alguno de sus componentes mecánicos al estar sujetos a un par o fuerza.

Tipos de flexibilidad. Existen dos tipos de flexibilidad:

1. En articulaciones (flexible joints). 2. En eslabones (flexible links).

La flexibilidad en las articulaciones es consecuencia de la torsión en los elementos que

conectan a los actuadores (motores) con los eslabones y siempre es de tipo rotacional, esto se traduce en una variación en el ángulo. Por ejemplo, en las cajas de engranajes de reducción, acopladas a los motores de los robots, pueden presentar deflexiones cuando estos son sometidos a movimientos rápidos. En la Figura 1.1 se muestra esquemáticamente la deflexión de la articulación, la representación de la articulación flexible se encuentra en coordenadas

cartesianas , ,x y z . Se puede observar en esta figura que en la coordenada x se tiene un

desplazamiento, debido a la flexibilidad de la articulación, representado por el vector x en línea punteada, el comportamiento deseado se representa por el vector en línea solida.

Figura 1.1. Flexibilidad en articulaciones.

La flexibilidad en los eslabones también se presenta por consecuencia de movimientos

rápidos, el transporte de grandes cargas o por la generación de grandes fuerzas o momentos en el extremo del robot. En la Figura 1.2 se muestra esquemáticamente la deflexión en un eslabón, al igual que el esquema de la articulación flexible, este se representa en coordenadas

cartesianas , ,x y z . Considerando el i-ésimo eslabón cuyas coordenadas son , ,i i ix y z , se

observa que este presenta deformación en la estructura del eslabón, lo que origina que se

desplace del punto deseado representado por las coordenadas 1 1 1, ,x y z .

CAPÍTULO 1

3

Figura 1.2. Flexibilidad en eslabones.

1.1.2. Motivación

Como se mencionó, la necesidad de hacer robots más ligeros y rápidos, genera la presencia de flexibilidad en las articulaciones y en los eslabones, a diferencia de los brazos rígidos que son relativamente más fáciles de controlar, pero estos presentan la desventaja de requerir altos consumos de potencia, baja velocidad en los movimientos, actuadores sobredimensionados así como costo elevado. Estos inconvenientes pueden ser disminuidos si se utilizan brazos más ligeros, pero originando que la flexibilidad en los eslabones y en las articulaciones aumente, esto ocasiona que al llegar a las posiciones finales en ambos casos no sea rápida, debido a las deflexiones que se presentan. Este fenómeno representa un punto interesante a investigar, lo cual se ha venido haciendo, diversas técnicas de control se han utilizados para resolver este problema como: el control no lineal, control adaptable, control robusto así como técnicas de control inteligente. El control de trayectoria de un robot de eslabones o articulaciones flexibles debe conseguir el mismo objetivo que el control de brazos rígidos, estabilizando las vibraciones que se excitan de forma natural sin modificar el número de actuadores. Por otro lado, la flexibilidad en las estructuras de los robots también puede ser considerada una ventaja en la realización de determinadas tareas respecto a los clásicos robots “rígidos”, algunas de estas ventajas son [9]:

1. Control del robot en situaciones de colisión: los brazos robot han sido de gran aplicación de la industria en las últimas décadas, éstos pueden interactuar coordinadamente entre sí o con seres humanos. Un problema clásico relacionado con la interacción con el ser humano es garantizar la seguridad física de éste ante movimientos inesperados del robot. Si un robot de estructura rígida impacta a una persona, éste le puede ocasionar un daño considerable a dicha persona. Sin embargo, si un robot flexible impacta a una persona, los daños pueden ser reducidos considerablemente ya que [9]:

a) Son robots más ligeros por lo que tiene menos energía cinética al momento del impacto que un robot rígido.

b) Si un robot de estructura flexible impacta con un objeto, la energía cinética de éste se

transforma básicamente en energía potencial elástica del brazo y se minimizan los daños


4

debidos a la colisión. Caso contrario es un robot de estructura rígida, ya que al momento de una colisión, éstos pueden destruir el objeto que impacten o incluso las piezas de su estructura pueden verse dañadas.

c) En caso de colisión en robots de estructura rígida, las fuerzas de reacción en el extremo

pueden crecer abruptamente en microsegundos, sin embargo en el caso de robots de estructura flexible crece más lentamente que en el caso anterior (debido al proceso de conversión de energía cinética a potencial) tomando valores de pico más pequeños y siendo dicho proceso de crecimiento de algunos milisegundos.

2. Facilitar tareas de ensamblado: frente al enfoque de control de las fuerzas de reacción del entorno sobre el efector final, ubicado en el extremo del robot, mediante la retroalimentación de la información dada por sensores adicionales con el propósito de modificar la posición del efector final, para generar que éste coincida con la pieza a ensamblar, tal instrumentación necesaria para orientar adecuadamente el efector final, puede ser eliminada mediante el uso de un efector con muñeca flexible, como se muestra en la Figura 1.3. En este caso las fuerzas de reacción generadas en el efector originan que la muñeca se deforme, ocasionando que el efector se adapte mecánicamente al entorno facilitando que, por ejemplo, un perno se introduzca en un barreno, a pesar de los pequeños errores de posición.

Figura 1.3. Mecanismo basado en acomodación pasiva para ensamblado automático.

3. Robótica móvil: estos robots que también se construyen con materiales cada vez más

ligeros, cuando éstos realizan movimientos rápidos se inducen vibraciones en la estructura que pueden ser perjudiciales para la carga transportada, por lo que se requiere el uso de reguladores que cancelen activamente dichas vibraciones.

Dentro de los tres tipos de robot de estructura flexible, se abordará únicamente el caso de brazos robots con flexibilidad en los eslabones o en las articulaciones.

CAPÍTULO 1

5

1.2. UBICACIÓN E INTERÉS DEL PROBLEMA

El problema de control de brazos flexibles, radica en poder encontrar la ley de control adecuada para poder llevar al brazo a la posición final deseada. El robot al presentar oscilaciones al llegar a la posición final, genera problemas en la posición del efector final, por ejemplo, en el caso de los manipuladores espaciales, es de vital importancia la precisión en la posición del efector final, ya que oscilaciones en este tipo de estructuras podría causar daño en el equipo, y como se sabe estos son de muy alto costo, o causar averías que pudieran representar un riesgo para la tripulación de la misión espacial. En el caso de robots terrestres, por ejemplo, los robots industriales de manufactura, la precisión en la posición del efector final también es de vital importancia, por ejemplo, un robot soldador que une piezas de la carrocería de un automóvil, si no llega rápidamente a la posición final deseada, origina que la línea de ensamblado se vuelva lenta. Por otro lado, el factor riesgo que representa un robot que oscile al llegar a la posición final, radica en que puede lesionar al personal debido a las deflexiones.

1.2.1. Presencia de brazos flexibles Los brazos flexibles se presentan cuando se pretende hacer que el peso de éstos sea menor así como sus dimensiones, es decir, que los efectos de la inercia debido al peso del robot disminuyan y, por otro lado, facilitar el transporte de estos. Un ejemplo de la necesidad de que el brazo sea lo menos pesado posible, es en los manipuladores espaciales, como se muestra en la Figura 1.4, ya que trasportarlos al espacio es una tarea difícil.

Figura 1.4. Manipulador remoto espacial.

Por otro lado, en aplicaciones terrestres, se tienen los robots industriales de

manufactura, como se muestra en la Figura 1.5, en este tipo de casos, se necesitan robots más rápidos en sus movimientos, esto con el fin de que los procesos de fabricación se aceleren generando mayores índices de producción. En el sentido de ahorro de energía, un robot más esbelto no necesita actuadores que demanden grandes cantidades de potencia al momento de que se requiere que el robot realice un movimiento.


6

Figura 1.5. Robot soldador industrial.

Este tipo de fenómenos también se presenta en las grúas telescópicas de carga, como se

observa en la Figura 1.6, esto debido a la longitud de la pluma, ésta presenta un deflexión estática como consecuencia de las cargas trasportadas. Este tipo de sistemas también pueden presentar oscilaciones en su posición final, debido la inercia que la pluma y la carga generan.

Figura 1.6. Grúa telescópica de carga.

1.3. JUSTIFICACIÓN

En el CENIDET se han trabajado distintas técnicas de control, tales como: control robusto, control adaptable, control no lineal, control inteligente, entre otros. Ahora se pretende el estudio de las técnicas de control GPID e i-PID, en las cuales se aplican los conceptos de platitud diferencial [10]. Estas técnicas de control se aplicarán para el control de sistemas electromecánicos que presentan flexibilidad en sus componentes mecánicos.

En particular se abordará el problema de control de brazos robots con articulaciones y eslabones flexibles, en ambos casos el control de la posición del efector final es el objetivo a seguir.

En este trabajo las leyes de control diseñadas serán simuladas e implementadas en línea

mediante la elaboración de programas computacionales (a partir del paquete computacional Matlab/Simulink).

CAPÍTULO 1

7

1.4. HIPÓTESIS El control de robots que presentan fenómenos de brazos flexibles es un reto que se ve enfrentado en la actualidad, debido a que en las industrias la automatización de procesos mediante el uso de robots manipuladores ha tenido un crecimiento elevado. Se han presentado diversas soluciones para resolver este problema en particular, pero en algunos casos el diseño de dichos controladores tienen un alto nivel de dificultad y requieren de un conocimiento preciso del modelo del sistema, lo cual, en algunas ocasiones, puede ser una limitante. En el caso de tener conocimiento del modelo lineal del sistema, una de las hipótesis sobre las cuales se fundamenta este trabajo es: El control PID generalizado presenta una solución adecuada para el problema de seguimiento de trayectoria en robots de brazos flexibles. Para el caso en el que se tiene el sistema parciamente modelado o definitivamente se desconoce el modelo de dicho sistema, se propone otra hipótesis para la solución de este problema, tal hipótesis es: El control PID inteligente presenta una solución adecuada para el problema de seguimiento de trayectoria en robots de brazos flexibles.

1.5. PROPUESTA DE SOLUCIÓN Como solución al problema de control de brazos flexibles se propone la aplicación del control PID generalizado y el control PID inteligente, de los cuales se tienen las siguientes variantes: Control GPID

1. Control GPID robusto para perturbaciones contantes. 2. Control GPID robusto para perturbaciones polinomiales 3. Control GPID basado en observador robusto para perturbaciones polinomiales.

Control i-PID

1. Control i-PID libre de modelo. 2. Control i-PID de modelo restringido.

1.6. OBJETIVO

El objetivo de esta tesis es la exploración y análisis de dos tipos de controladores, los cuales se derivan de los conceptos de platitud diferencial y asemejan sus funcionamientos al del PID


8

clásico, estos son: el controlador GPID y en control i-PID. El marco de referencia para el análisis y comparación de dichos controladores es un brazo flexible (articulación o eslabón).

1.6.1. Objetivos particulares Los objetivos particulares que se ven asociados a este tema de tesis se basan en el modelado del brazo flexible, la revisión del estado del arte sobre el control de brazos robots con articulaciones o eslabones flexibles, así como la asimilación de las técnicas de control i-PID y GPID. Dichos objetivos son los siguientes:

1. Obtener de los modelos dinámicos de los brazos de articulación y eslabón flexible.

2. Analizar la estructura y el procedimiento de diseño del controlador GPID.

3. Analizar la estructura y el procedimiento de diseño del controlador i-PID.

4. Realizar un estudio comparativo entre estas dos metodologías.

1.7. ESTADO DEL ARTE En este punto se describen cada unas de las diferentes soluciones que se han propuesto para el control de brazos flexibles. Éstas son:

1.7.1. Control Robusto En [1] se consideró modelar por componentes el sistema, una componente que describiera la componente rígida o lenta del sistema, y otra componente que describe la parte flexible o rápida del sistema. Para la componente lenta se diseñó un control utilizando técnicas de control robusto mediante modos deslizantes para poder hacer frente a las dinámicas no modeladas y a los disturbios, al igual que en [3]. Para la componente rápida se diseñó un controlador óptimo LQR, la ley de control final es la suma de las dos leyes de control, es decir, la ley de control para la parte rápida y la ley control para la parte lenta.

En [2] y [3] se utilizó control no lineal por H∞, en [2] el par de control es diseñado en dos partes, una parte que considera al sistema nominal, es decir, no se consideran incertidumbres en el modelado, y otra parte la cual si considera incertidumbres en el modelado, es aquí donde se aplican las técnicas de control robusto, el cual se encarga de absorber incertidumbres en el sistema. De igual forma, en [3] se diseña el controlador para hacer frente a las incertidumbres y perturbaciones del sistema.

CAPÍTULO 1

9

1.7.2. Control Adaptable En [4] se propone una estrategia de control no lineal, el cual fue un control PD, este control se diseñó en primer lugar no adaptable y posteriormente se diseñó adaptable, esto para un brazo robot de dos grados de libertad. Se observó que la ley de control no lineal adaptable mejoraba la respuesta del robot en comparación de la ley de control no lineal no adaptable. En [5], se diseñó la ley de control acotando el torque aplicado al brazo. En [6] se diseña la ley de control considerando como desconocidos los parámetros del sistema y únicamente se consideran las mediciones de posición del eje del motor así como del brazo.

1.7.3. Control Inteligente En [7] se analiza el sistema separando las dos dinámicas, es decir, la dinámica rígida y la dinámica flexible, para este caso se propuso un controlador neuronal, este controlador fue comparado contra el funcionamiento de dos controladores: un PD y un PID clásicos.

1.7.4. Control por Platitud Diferencial En [10] se aborda el problema de control de un brazo de articulación flexible mediante control por platitud diferencial. La platitud diferencial es una propiedad de algunos sistemas dinámicos controlables, la cual simplifica la tarea de planeación de trayectorias. La propiedad de platitud diferencial permite parametrizar todas las variables del sistema (entradas, salidas y estados) en términos de un conjunto finito de variables independientes y un número finito de sus derivadas, dichas variables independientes son conocidas como salidas planas. Para este caso, se encuentra que el sistema es diferencialmente plano y se considera como salida plana a la posición angular del brazo, a través de esta variable se parametrizan diferencialmente las variables del sistema obteniendo como resultado la ley de control deseada.

1.7.5. Control Óptimo En [8] se aborda el control de un brazo robot de dos grados de libertar con eslabones flexibles, el cual representa la estructura de un manipulador espacial. El problema de seguimiento de trayectoria es resuelto mediante la aplicación de un control óptimo, el cual supone que todo el estado está disponible. Se realizó una comparación con un esquema PID clásico, los resultados demuestran que el desempeño del control óptimo supera el desempeño del control PID clásico.

1.7.6. Control GPID En [23] se aborda la aplicación de un control GPID en versión adaptable para el control de un brazo robot de eslabón flexible de un grado de libertad. El mecanismo de adaptación del controlador está basado en algoritmos de identificación algebraica no asintótica, para la estimación de los parámetros con incertidumbre y actualizar las ganancias del controlador. El


10

diseño del control se realizó en dos etapas: a) Control para la dinámica motor de CD y b) Control para la dinámica del eslabón, la suma de las dos leyes de control generan el control aplicado al sistema.

1.8. ESTADO DEL ARTE DE LOS CONTROLADORES GPID E i-PID

1.8.1. Control GPID La técnica de control GPID, introducida por M. Fliess y colaboradores [24], integra la estimación de estados no medibles así como un controlador retroalimentado, está basado en la estimación estructural de las variables sin tener que utilizar estimadores asintóticos [14]. La estimación estructural está formada a partir del uso de las estradas y salidas del sistema e integrales iteradas de estas mismas. Tales “reconstructores integrales” presentan un “off-set” o desviación del valor verdadero del estado debido a la condición inicial de éste.

Para tener una mejor comprensión de lo que un controlador GPID representa, consideremos el siguiente sistema lineal de segundo orden

1 2

2

1

x x

x u

y x

(1.1)

El sistema es evidentemente plano. La salida plana está dada por y ; se supone que el

valor inicial del estado 2x es completamente desconocido y se denota como 20

x . Ahora se

obtiene la parametrización diferencial de las variables del sistema en función de la salida plana

1

2

x y

x y

u y

(1.2)

La parametrización integral de las variables de estado del sistema, obviando las

condiciones iníciales, está dada por

20

1 1

ˆ ( )

ˆ

t

x u d

x x y

(1.3)

La relación exacta entre la parametrización integral anterior y las variables de estado del

sistema está dada por

CAPÍTULO 1

11

2 20 2 200

1

ˆ( )

ˆ

t

x u d x x x

x y

(1.4)

Una ley de control por retroalimentación de estados para el sistema lineal dado puede ser

1 1 2 2 1 2

u k x k x k y k y (1.5)

donde las constantes 1

k y 2k deben ser estrictamente positivas. Se define la variable de control

auxiliar . Así, en lugar de utilizar la ley de control (1.5) se utiliza la siguiente ley de control

1 1 2 2 1 2

0

ˆ ( )t

u k x k x k y k u d (1.6)

Ya que la variable 2

x tiene un error de desviación respecto a 2x , la ley de control

anterior se puede escribir en términos de los estados actuales 1x , 2

x y la condición inicial

desconocida 20x . Así, la ley de control entonces se define por

1 1 2 2 2 20

u k x k x k x (1.7)

Ahora se puede apreciar claramente que el término se agregó para compensar el valor

inicial desconocido de la variable no disponible 2x . Por tanto, el sistema en lazo cerrado al

usar la ley de control (1.7) está dada por

2 1 2 20y k y k y k x (1.8)

Si se define que 0

k y con 0)0( , se obtiene el sistema en lazo cerrado

2 1 0 2 20

0

( )t

y k y k y k y d k x (1.9)

Evidentemente, para cualquier condición inicial, la dinámica del sistema en lazo cerrado

satisface (3)

2 1 00y k y k y k y (1.10)


12

la cual puede hacerse asintóticamente estable mediante la correcta elección de las constantes

0k , 1

k y 2k , al hacer que éstas sean los coeficientes de un polinomio Hurwitz

3 22 1 0

( )p s s k s k s k . Entonces, para el sistema lineal descrito por la ecuación (1.1), su

ley de control retroalimentado sintetizada en términos de la salida y una integral de la entrada está dada por

1 20

0

( )

, (0) 0

t

u k y k u d

k y

(1.11)

La técnica de GPID ha sido utilizada tanto en sistemas lineales como no lineales; dentro de los sistemas lineales se tiene:

1. Control de las oscilaciones del líquido en la transportación de contenedores [26]. 2. Estabilización de un convertidor Boost sin medición de la corriente del inductor [14]. 3. Control de un péndulo invertido cuyo modelo fue linealizado [14]. 4. Control de un sistema mecánico rotacional [12].

En lo que respecta a la aplicación del control GPID a sistemas no lineales se tiene:

1. Control de un brazo robot de un grado de libertad [27]. 2. Control de un péndulo giroscópico [27].

1.8.2. Control i-PID

La técnica de control i-PID fue introducida por M. Fliess y C. Join [11], es una técnica de control que toma en cuenta partes desconocidas de la planta que se desean controlar sin tener que modelarlas; estas partes desconocidas pueden ser no linealidades o parámetros variables en el tiempo. Se parte de la idea de que el sistema puede ser representado mediante

, , , , , , , , 0l kE t y y y u u u (1.12)

y a partir de la aplicación del teorema de función implícita se puede obtener la n -esíma derivada de la salida del sistema, esto es:

1 1, , , , , , , , , , ,n n n l ky t y y y y y u u u E (1.13)

si se satisface que 0 , 0nn l E y .

CAPÍTULO 1

13

Al aproximar F u E , se obtiene ny F u (1.14)

La función nF y u se obtiene mediante la obtención de la n -ésima derivada de la salida del sistema. En dicha función está concentrada toda la información del sistema que se desea controlar.

Para poder obtener el comportamiento deseado del sistema anteriormente descrito, se

propone la siguiente estructura a la que nos referiremos como PID inteligente [11] y [16]:

*( )n

p y i y d y

F yu K e K e K e

(1.15)

Esta técnica de control se ha aplicado tanto a sistemas lineales como no lineales, dentro de los cuales destacan:

1. Sistemas lineales con retardo. 2. Ejemplo académico de un sistema no lineal monovariable inestable. 3. Sistema de Bola y biga. 4. Un sistema de 3 tanque interconectados.

1.9. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS

En el capítulo dos se aborda el modelado del prototipo de laboratorio a utilizar y se realiza la validación experimental del modelo obtenido. Se realiza la implementación en tiempo real de dos controladores lineales, estos son:

1. Control PI clásico. 2. Control LQR.

En el capítulo tres se introducen los conceptos de platitud diferencial, los cuales son

necesarios para obtener un control nominal que se emplea en el diseño de los controladores GPID. Se aborda el análisis, diseño e implementación en tiempo real de los controladores GPID en sus tres variantes:

1. Control GPID robusto para perturbaciones contantes. 2. Control GPID robusto para perturbaciones polinomiales. 3. Control GPID robusto basado en observador.


14

En el capítulo cuatro se realiza el análisis, diseño e implementación en tiempo real de los controladores i-PID, en sus dos variantes: 1. Control i-PID de modelo restringido. 2. Control i-PID libre de modelo o control sin modelo. En el capítulo cinco se realiza un análisis comparativo del desempeño de los controladores propuestos, así como el de los controladores lineales. Finamente se dan las conclusiones generales del trabajo y se plantean posibles trabajos futuros relacionados al tema de esta tesis.

15

Capítulo 2

2. Modelado, Simulación y Control de un Brazo Robot de Eslabón y Articulación Flexible

2.1. MODELO DEL SISTEMA DE ESLABONES FLEXIBLES

El sistema de brazo flexible marca Quanser consiste en un motor de CD de alto par, acoplado a un eslabón de material flexible mediante dos sistemas de engranajes, uno incorporado en la carcasa del motor y otro montado en la estructura. Las Figuras 2.1 (a) y (b) muestran el sistema de brazo de eslabón flexible y el de articulación flexible

a) b)

Figura 2.1. Sistema de brazos flexible: a) eslabón flexible, b) articulación flexible.

Para obtener el modelo del sistema, se parte del modelo matemático del motor de CD de imanes permanentes. En la Figura 2.2 se muestra el circuito de armadura del motor y el esquema del subsistema mecánico [20].


16

Figura 2.2. Circuito de armadura y subsistema mecánico de un motor de CD de imanes permanentes.

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff para la malla del circuito de armadura, se

obtiene la representación matemática del subsistema eléctrico del motor que se representa por 0

m m m m m emfV R I L I E (2.1)

donde mV e mI son el voltaje y la corriente de armadura, respectivamente; mR y mL son la

resistencia e inductancia de armadura, respectivamente; emfE es la fuerza contra electromotriz

generada por el motor. Considerando que la resistencia del devanado es mucho mayor que la inductancia de éste, es decir, m mR L , el término

m mL I en (2.1) se puede despreciar. Dado

que emf m mE K , con m la velocidad del eje del motor y mK una constante propia del motor,

se puede obtener la ecuación de la corriente de armadura como

m m m

mm

V KIR

(2.2)

El motor se encuentra acoplado al brazo mediante un sistema de reducción de

engranes, con factor de reducción gK y eficiencia g . Así, el par aplicado a la carga es

load g g mT K T (2.3) donde mT es el par generado por el motor m m T mT K I (2.4)

Para el modelado del sistema mecánico, se parte de (2.2), (2.3) y (2.4)

m m g loadload g m g T

m

V K KT K K

R

(2.5)

mLmR

mV mI

efmE mJ

m mBeT

LT

CAPÍTULO 2

17

El modelado del subsistema mecánico, se obtiene aplicando la segunda ley de Newton para obtener las fuerzas que interactúan es este subsistema

hub load load eq loadJ T B (2.6)

donde hubJ es la inercia del sistema de engranaje y eqB es el coeficiente de fricción viscosa

total del sistema. Después de sustituir (2.5) en (2.6) y de realizar el álgebra correspondiente, se obtiene la ecuación diferencial del motor de CD de imanes permanentes:

Teq m load eq m g m m T g load g m g T m

J R B R K K K K K V (2.7) donde 2 eq hub g g mJ J K J .

Los motores de CD presentan un fenómeno llamado de zona muerta [25], lo que significa que el motor tiene una zona en la que a cierto voltaje de entrada, el motor no presenta movimiento, este voltaje se relaciona con la fricción de Coulomb, la cual se describe en [17], [18] y [19]. Esta fricción, que es función de la velocidad, origina que a velocidades bajas el motor no pueda vencer su inercia. Para la aplicación de los controladores se propuso agregar una compensación de la zona muerta exhibida en [25]. Para el caso de motor del sistema Quanser la zona muerta es de 0.1 volts aproximadamente. En la Figura 2.3 se muestra la validación experimental del modelo del motor de CD incluyendo el término de zona muerta

Figura 2.3. Validación experimental del modelo del motor de CD: a) Velocidad del motor, b)

Ampliación de la zona muerta. Ahora, se procederá a obtener el modelo del brazo, el cual representa tanto al brazo de

eslabón flexible como al de articulación flexible, éste se obtiene mediante la formulación de Euler-Lagrange [22].

-6 -4 -2 0 2 4 6-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

X: 0.108Y: 2.557

Vel

ocid

ad (r

ad/s

)

Validación del modelo del motor de CD de imanes permanentes

Voltaje aplicado al motor (Volts)

ModeloSistema físico

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Vel

ocid

ad (r

ad/s

)

Validación del modelo del motor de CD de imanes permanentes

Voltaje aplicado al motor (Volts)

ModeloSistema físico


18

, ,q q q q qd

udt q q q

(2.8)

donde ,q q es el Lagrangiano, que se define como la diferencia de la energía cinética T y

potencial V , q es la función de disipación de Rayleigh, u es la entrada de control, q y q

son las coordenadas generalizadas de posición y velocidad. Se plantea el sistema de ecuaciones con base en el par aplicado al eslabón y la velocidad del mismo. Para el eslabón flexible se definen como variables generalizadas a y load

que son la deflexión de brazo y la

posición del motor respectivamente.

Esta deflexión origina un desplazamiento D del punto final del eslabón con respecto a su posición inicial, la deflexión se supone pequeña. Se define el ángulo de deflexión del eslabón de longitud L como

D L (2.9)

La Figura 2.4 presenta la deflexión del eslabón flexible con 1

m la masa en la punta del

eslabón.

Figura 2.4. Diagrama esquemático del brazo flexible.

En la Figura 2.5 se representa el brazo de eslabón ó articulación flexible como un

resorte rotario. Los vectores Xi y Yi se toman como ejes de referencia, y el eje del motor como el origen.

Figura 2.5. Modelo simplificado del brazo flexible.

DYi

Xi

hubJ

L

D

1m

1m

a rmJ

X i

Y i Yi

P ar

X i

X lX h

h u bJV ista late ral s ti ffP ar reso rte K

X i

Y i X lX h

V is ta su p er io r.

CAPÍTULO 2

19

El desplazamiento del sistema de engranaje se representa con el vector Xh y la

deflexión del eslabón con el vector Xl . Para el caso del eslabón flexible se tiene se tiene la siguiente ecuación dinámica

arm stiffJ K (2.10)

donde

stiffK representa la rigidez del eslabón y armJ representa la inercia del eslabón.

Suponiendo una condición inicial dada y conociendo la frecuencia natural de

amortiguamiento del eslabón c , se puede representar cualquier oscilación del eslabón mediante

2 c (2.11)

La constante de rigidez del brazo de eslabón flexible se obtiene al sustituir (2.11) en (2.10) 2

stiff c armK J (2.12)

Para el caso del brazo de articulación flexible la constante de rigidez está dada por

2 3/2 2

3/2

2stiff r r r r

RK Dd Rr F D d DL d Rr L K

D

(2.13)

donde R es la distancia de la articulación al anclaje del brazo. d es la distancia en forma paralela entre la articulación y los puntos de anclaje de la base del brazo. r es la distancia fija entre el brazo y los puntos de anclaje de la base de este.

rF es la fuerza de reestablecimiento del resorte.

rK es la rigidez del resorte.

rL es la longitud del resorte.

2 2( )D r R d


20

La energía potencial del sistema proviene únicamente del resorte

212

resorte stiffV V K (2.14)

La energía cinética del sistema se debe al movimiento del eje del motor y del eslabón

221 12 2

eje brazo eq load load loadT T T J J (2.15)

donde 2

1load armJ J m L representa la inercia total debida a las inercias del eslabón y de la

masa de la punta.

Así, para este sistema el Lagrangiano está dado por

22 21 1 1, ,2 2 2

eq load load load stiffT V J J K (2.16)

La función de disipación de Rayleigh se obtiene a partir del coeficiente de fricción

viscosa total del sistema, esto es:

212

loadeqB (2.17)

Sustituyendo (2.16) y (2.17) en (2.8) y realizando las operaciones se obtiene:

load loadeq eqload load loadJ J J T B (2.18)

0 load load load stiffJ J K (2.19)

Al despejar load y de (2.18) y (2.19), respectivamente, y usando (2.5), que describe

el par de entrada, obtenemos las ecuaciones dinámicas del brazo

2

stiff g m m T g eq m g m g Tload load m

eq m eq m eq

K K K K B R K KV

J R J R J (2.20)

2

stiff eq load g m m T g eq m g m g T

load meq load m m eq

K J J K K K B R K KV

J J R R J (2.21)

CAPÍTULO 2

21

A partir de las ecuaciones (2.20) y (2.21), y despejando la inercia relacionada con la masa 1

m , se puede obtener una representación en espacio de estados:

2

2

0 0 1 0 00 0 0 1 0

0 0

0 0

load load

stiff g m m T g eq m g m g T

eq m eqload load m eq

g m g Tstiff eq arm g m m T g eq m

m eqeq arm m eq

K K K K B R K K

J R J R JK KK J J K K K B R

R JJ J R J

1

0

0,

0

1

mV m

1 1 0 0

load

load

y

(2.22)

donde 2

1

1 2 21

, stiff

arm arm

K m Lm

J J m L

, permite incluir las perturbaciones asociadas a la carga

1m .

A este modelo se le puede representar en forma general como sigue

1 1 2 2x Ax B u B u

y Cx

(2.23)

A continuación se muestra en la Figura 2.6 la validación experimental del modelo del

brazo de eslabón flexible, así como el brazo de articulación flexible, descrito por (2.22).

a) b) Figura 2.6. Validación experimental del modelo de los brazos flexibles: a) brazo de eslabón flexible, b)

brazo de articulación flexible.

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2Posición eje motor (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7-0.05

0

0.05Posición Brazo (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2Posición final (rad)

Tiempo (seg)

Sistema realModelo

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2Posición eje motor (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7-0.1

0

0.1Posición Brazo (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2Posición final (rad)

Tiempo (seg)

Sistema realModelo


22

Como se puede observar en la figura anterior, la dinámica principal fue capturada por (2.22), sin embargo, el modelo no puede reproducir toda la dinámica referente a las oscilaciones del brazo. Los parámetros para la validación de los modelo se muestran en el apéndice E.

2.2. CONTROL DE LOS BRAZOS FLEXIBLE MEDIANTE TÉCNICAS CLÁSICAS: CONTROL PI Y CONTROL LQR

En este punto se realizará el control de los brazos flexibles, se analizará el comportamiento de los brazos flexibles ante la acción de controladores PI y controladores por retroalimentación de estado, ya que son parte del marco de referencia para el análisis del funcionamiento de los controladores propuestos.

Como referencias para el seguimiento de trayectoria se utilizarán dos señales que sean continuamente diferenciables, ya que los controladores GPID e i-PID requieren del cálculo de derivadas tanto de la señal de referencia como de la señal de salida, la primera referencia es una señal construida a partir de polinomios de Bézier, en la Figura 2.7 se muestra dicha señal.

Figura 2.7. Referencia basada en polinomios de Bézier.

La segunda señal propuesta es una señal sinusoidal de la forma

* siny t A t (2.24) donde 3A , 2 f y 0.1 Hzf .

2.2.1. Control PI del brazo de eslabón flexible

Como se mencionó, se propusieron dos controladores lineales, uno de estos es el control PI, entonces, el control PI que se utilizó tiene la forma

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Referencia construida a partir de polinomio de Bézier

rad

Tiempo (seg)

CAPÍTULO 2

23

*m m p y i yV V K e K e (2.25)

donde p

K es la ganancia proporcional, iK es la ganancia integral y *

ye y y es el error de

seguimiento de posición. Las ganancias del controlador se obtuvieron con la ayuda del toolbox de optimización de Matlab llamado signal-constraint. Como se puede observar en (2.25) al control PI se le agregó una precompensación *

mV , ya que éste por sí sólo no era capaz de

realizar un seguimiento de trayectoria adecuado. La precompensación *m

V es el control basado

en platitud diferencial cuyo procedimiento de cálculo se describirá en el capítulo 3. Dentro del esquema de pruebas se realizaron con cambios en la masa de la punta del brazo, en un principio se realizaron estas pruebas sin masa en la punta y posteriormente se agregó una masa de 0.025 Kg . Las simulaciones de los controladores se muestran en el apéndice B de este documento. Para la aplicación en tiempo real se utilizó el mismo tiempo de muestreo que el utilizado en las simulaciones, ya que éstas se realizaron con paso de integración fijo, este tiempo de muestreo fue de 2 milisegundos. Las ganancias del control PI utilizadas en esta prueba son: 3.069

pK y 0.1924

iK . El objetivo de esta prueba (y el de

las subsecuentes) es realizar seguimiento de trayectoria de posición. En la Figura 2.8 se muestran los resultados de la implementación en tiempo real del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible sin agregar masa a la punta del brazo. En esta figura se muestra el seguimiento de trayectoria obtenido con las señales de referencia propuestas, la señal de control aplicada y el error de seguimiento. Como se observa en la Figura 2.8 a, para la señal de referencia basada en polinomios de Bézier, se tiene que al llegar a una posición constante se presenta un error constante ya que la posición del brazo no converge al valor de referencia, esto se observa claramente en la Figura 2.8 b que muestra el error de seguimiento. El error se mantiene constante ya que el controlador no genera el voltaje necesario para que la posición converja al valor deseado, ya que este voltaje no supera el voltaje de zona muerta y, por ende, el desempeño del controlador se degrada.

En lo que respecta a los resultados obtenidos con la señal de referencia sinusoidal, la Figura 2.8 d muestra el seguimiento de trayectoria. Para esta referencia el error de seguimiento se mantiene oscilando, como se puede observar en la Figura 2.8 e, pero respecto al resultado obtenido con la trayectoria de tipo Bézier, se tiene un mejor seguimiento de trayectoria.

Para la evaluación del desempeño de los controladores se utilizaron los siguientes

criterios de error: ISE, IAE e ITAE. En la Tabla 2.1 se muestran los resultados de la evaluación de estos criterios de error. De esta tabla se puede decir que el desempeño del control PI no es adecuado, ya que a pesar de que se agregó el control por platitud diferencial los criterios de error no se minimizaron.


24

Figura 2.8. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la

punta.

Tabla 2.1. Criterios de desempeño del control PI del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.

Criterio Bézier Sinusoidal ISE 0.006 0.0038 IAE 0.3195 0.2473

ITAE 2.9822 2.3398 Posteriormente se agregó la masa a la punta del eslabón, en la Figura 2.9 se muestran

los resultados obtenidos. Considerando los resultados obtenidos con la señal de referencia de tipo Bézier, se puede observar que el error presenta oscilaciones que afectan el desempeño del controlador, esto se observa en la Figura 2.9 b, que muestra el error de seguimiento para esta referencia.

En lo que respecta a los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, se puede ver

que, al igual que con la señal de referencia tipo Bézier, la masa en la punta origina que las oscilaciones aumenten su amplitud, estas oscilaciones se reflejan en el error de seguimiento mostrado en la Figura 2.9 e, y por tanto, el desempeño del control tiende a degradarse.

En la Tabla 2.2 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error, en

esta tabla se puede constatar como el desempeño del controlador se ve afectado con la presencia de la masa en la punta del brazo.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

a) Seguimiento de la referencia de tipo Bézier

rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

b) Error de posición para la referencia de tipo Bézier

rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)

c) Señal de control para la referencia de tipo Bézier

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

d) Seguimiento de la referencia sinusoidal

rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

e) Error de posición para la referencia sinusoidal

rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

f) Señal de control para la referencia sinusoidal

Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

CAPÍTULO 2

25

Figura 2.9. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en

la punta. Tabla 2.2. Criterios de desempeño del control PI del brazo de eslabón flexible con masa en la

punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.0064 0.0051 IAE 0.3365 0.2832

ITAE 3.1552 2.6395

2.2.2. Control LQR del brazo de eslabón flexible

Dentro de los controladores propuestos como marco de referencia para el análisis comparativo de los controladores GPID e i-PID, se propone el uso de un control por retroalimentación de estados LQR, este controlador tiene la forma m

V Kx (2.26)

donde K es la ganancia de retroalimentación de estados que se obtiene mediante la solución de la ecuación de Ricatti, esto a partir de la definición de dos matrices, éstas son Q y R. Q debe ser una matriz real, simétrica y positiva semidefinida, R debe ser una matriz real, simétrica y positiva definida, ambas matrices deben ser de dimensiones apropiadas. La ecuación de Ricatti está definida por

1' 'K t K t B t R t B t K t K t A t A t K t Q t

(2.27)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


26

Para este caso, se definieron las siguientes matrices Q y R

3000 0 0 0

0 2000 0 0

0 0 1 0

0 0 0 10

Q

10R

Con estas matrices, el vector de ganancias del controlador tiene la forma

17.32 11.24 1.23 0.3752K

Para poder aplicar el control propuesto se diseñó un observador de Luenberger para la

estimación de la velocidad del brazo, ya que únicamente se tienen las mediciones de posición del brazo y del motor, así como la velocidad del motor. Este observador tiene la forma

1 1ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

x Ax B u L y y

y Cx

(2.28)

donde 14 208 18591 31600L .

En la Figura 2.10 se muestran los resultados obtenidos con el control LQR aplicado al

brazo de eslabón flexible sin agregar la masa en la punta de brazo. Considerando los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se observa que el seguimiento de trayectoria no es adecuado, al igual que con el control PI, el error no tiende a converger a cero, como se ve en la Figura 2.10 b, este hecho origina que el desempeño del controlador se degrade en comparación al desempeño obtenido con el control PI.

En lo que concierne a los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, se puede ver que se tiene un desfasamiento en el seguimiento de la trayectoria, lo que origina que el error tenga una tendencia sinusoidal, como se observa en la Figura 2.10 e, esto genera que el desempeño del controlador se degrade.

La Tabla 2.3 muestra los resultados los resultados de la evaluación de los criterios de

error, al comparar con los resultados obtenido con el control PI, mostrados en la Tabla 2.1, se puede ver el bajo desempeño del control LQR.

CAPÍTULO 2

27

Figura 2.10. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa

en la punta.

Tabla 2.3. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.


ITAE 5.5880 4.7942

En la Figura 2.11 se muestran los resultados de la aplicación del control LQR con masa

en la punta del brazo. Considerando los resultados obtenidos con la señal de referencia de tipo Bézier, se puede observar que la masa en la punta del brazo no degrada, el desempeño del controlador, aunque el ruido de la señal de control aumentó, como se observa en la Figura 2.11 c, que muestra la señal de control.

Ahora, en lo que concierne a los resultados obtenidos con la señal de referencia sinusoidal, el sistema se tornaba inestable, como se observa en la Figura 2.11 f la señal de control osciló de forma creciente, por lo que para evitar daños al motor de CD que acciona el brazo, la corrida se detuvo.

En la Tabla 2.4 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error. En el caso del desempeño obtenido con la trayectoria de tipo Bézier, éste no se degradó, comparado con el desempeño obtenido en el caso sin masa; pero para el caso de la referencia sinusoidal no se tienen resultados debido a la inestabilidad que presentó el controlador y que pudo haber dañado el motor del sistema.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

ReferenciaSalida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


28

Figura 2.11. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible con masa

en la punta.

Tabla 2.4. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.

Criterio Bézier Sinusoidal ISE 0.0270 - IAE 0.5602 -

ITAE 5.5556 -

2.2.3. Control PI del brazo de articulación flexible En este punto se mostrarán los resultados de la aplicación del control PI descrito por (2.25) al brazo de articulación flexible. Las ganancias utilizadas para esta aplicación son:

4.3126, 0.0058 p iK K , las cuales, al igual que en el casos del control PI aplicado al brazo

de eslabón flexible, se obtuvieron con el toolbox de Matlab signal-constraint. En la Figura 2.12 se muestran los resultados de la implementación en tiempo real del control PI sin masa a la punta del brazo. Considerando los resultados que conciernen a la referencia de tipo Bézier, se puede observar que este control no realiza un buen seguimiento de trayectoria, como se puede ver en la Figura 2.12 b, el error de seguimiento no converge a cero lo que ocasiona que el desempeño del controlador se degrade.

En lo que respecta a los resultados con la señal de referencia de tipo sinusoidal, el error se mantiene oscilando, como se observa en la Figura 2.12 e, esto genera que el desempeño del controlador se degrade. En la Tabla 2.5 se muestran los resultados de la evaluación de criterios de error para el control PI.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1

0

1


rad

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.1

0

0.1


rad

0 1 2 3 4 5 6 7 8-5

0

5


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

CAPÍTULO 2

29

Figura 2.12. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de articulación flexible sin masa

en la punta.

Tabla 2.5. Criterios de desempeño del control PI del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 3.0874 2.7947

En la Figura 2.13 se muestran los resultados donde ahora se consideró la masa de la punta del brazo. Como se puede observar en esta figura, el seguimiento de trayectoria no se ve afectado de manera considerable en los resultados de ambas referencias, si se observan las Figuras 2.13 b y 2.12 b, se puede ver que el error no se ve afectado, por lo que el desempeño del controlador no se degrada de manera notoria; y para el casos de la referencia sinusoidal el error también no se ve afectado, esto se puede comprobar comparando la Tabla 2.6 con la Tabla 2.5.

Figura 2.13. Resultados en tiempo real del control PI aplicado al brazo de articulación flexible con

masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

ReferenciaSalida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


30

Tabla 2.6. Criterios de desempeño del control PI del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 3.2557 2.9563

2.2.4. Control LQR del brazo de articulación flexible Al igual que al brazo de eslabón flexible, al brazo de articulación flexible se le aplicó un control LQR, descrito por (2.26). Para este caso, se definieron las siguientes matrices Q y R

3500 0 0 0

0 2500 0 0

0 0 0 0

0 0 0 10

Q

10R

Con estas matrices, el vector de ganancias del controlador tiene la forma

18.70 13.07 1.31 0.476K

Para poder aplicar el control propuesto se utilizó el observador de Luenberger propuesto anteriormente, el cual está descrito por (2.28), para este caso el vector de ganancias tiene la forma

18.58 206.87 5368.3 14177L .

En la Figura 2.14 se muestran los resultados obtenidos con el control LQR aplicado al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En lo que respecta a los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se puede ver que la posición del brazo no converge a la referencia, como se observa en la Figura 2.14 b que muestra el error de seguimiento, éste no converge a cero lo que origina que el controlador no tenga un buen desempeño. Considerando los resultados que se obtuvieron la referencia sinusoidal, se puede observar que, al igual que con la referencia de tipo Bézier, no se tiene un buen seguimiento de trayectoria, se presenta un desfasamiento entre la referencia y la posición del brazo, lo que origina que se presente un error con tendencia sinusoidal como se ve en la Figura 2.14 e. La

CAPÍTULO 2

31

Tabla 2.7 muestra los resultados de la evaluación de los criterios de desempeño, como se observa en esta tabla, el desempeño del control LQR no es satisfactorio.

Figura 2.14. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible sin

masa en la punta.

Tabla 2.7. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 5.9179 6.4203

A continuación en la Figura 2.15 se muestran los resultados obtenidos con el control

LQR aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta del brazo. De los resultados que conciernen a la referencia de tipo Bézier, se puede observar que aunque el seguimiento de trayectoria no es adecuado, el sistema no se ve afectado por la presencia de la masa en la punta del brazo, como se puede ver en la Figura 2.15 b el error de seguimiento no se afectó, lo que dio como resultado que el desempeño del controlador no se degrade significativamente, esto en comparación con el desempeño obtenido en el caso sin masa, al comparar la Tabla 2.8 con la Tabla 2.7 se puede comprobar lo anteriormente mencionado.

En lo que respectan a los resultados obtenidos con la trayectoria sinusoidal, como se

puede observar en la Figura 2.15 e, se presentan oscilaciones en el segundo 4, aproximadamente el segundo 12 y en segundo 16, debido a que la masa originó que se presentaran oscilaciones en señal de control, como se puede ver en la Figura 2.15 f que muestra la señal de control aplicada, pero este hecho no ocasiona que el desempeño se degrade respecto al desempeño obtenido en el casos sin masa, esto se puede comprobar comparando la Tabla 2.8 con la Tabla 2.7.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


32

Figura 2.15. Resultados en tiempo real del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible con

masa en la punta. Tabla 2.8. Criterios de desempeño del control LQR del brazo de articulación flexible con masa

en la punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.0437 0.0256 IAE 0.6739 0.6421

ITAE 6.0266 6.2020

2.3. RESULTADOS PREVIOS En este capítulo se propuso la aplicación de dos controladores lineales, estos son: el control PI y el control LQR, los resultados obtenidos muestran que el control PI no puede realizar un buen seguimiento de trayectoria para este sistema.

Respecto al control LQR el desempeño de este no es adecuado, ya que en ninguno de los casos se tiene un buen seguimiento de trayectoria, y para el caso de la aplicación al brazo de eslabón flexible, al agregar la masa de la punta este control se tornaba inestable cuando la referencia es de tipo sinusoidal (ver Figura 2.11).

Estos resultados dan pie al uso de los controladores que sean capaces de realizar un buen seguimiento de trayectoria, sin importar errores de modelado, eliminación de no linealidades en el proceso de linealización del modelo e incertidumbre en los parámetros, para este fin se propuso la aplicación de los controladores GPID e i-PID, que son de naturaleza lineal pero son capaces de realizar seguimiento de trayectoria en sistemas no lineales y con incertidumbre en parámetros.

En el capítulo siguiente se abordará el análisis, diseño e implementación en tiempo real del control GPID aplicado a los brazos flexibles.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

33

Capítulo 3

3. CONTROL GPID

La técnica de control GPID, mencionada en [12], [14], [23] y [24], integra la estimación de estados no medibles así como el controlador retroalimentado. Está basado en la estimación estructural de las variables sin tener que utilizar estimadores asintóticos. La estimación estructural está formada a partir del uso de las entradas y salidas del sistema e integrales iteradas de estas mismas. En la literatura se encuentran tres variantes del controlador GPID: el control GPID robusto para perturbaciones constantes (GPID RPC), el control GPID robusto para perturbaciones polinomiales (GPID RPP) y el control GPID basado en observador (GPID OBSV). Para el desarrollo de los controladores GPID RPC y GPID RPP se utilizan las reconstrucciones de las 1n derivadas del error de salidas del sistema. El control GPID OBSV incluye un observador de Luenberger que estima las perturbaciones asociadas con la entrada de control, además de incluir en el esquema de compensación un control GPID RPC. En este capítulo se mostrará el análisis y procedimiento de diseño de cada una de las variantes del control GPID, así como los resultados de la aplicación de estos controladores al brazo de eslabón flexible en tiempo real.

3.1. PLATITUD DIFERENCIAL La Platitud diferencial es una idea asociada con sistemas representados mediante ecuaciones diferenciales. Representa la posibilidad de parametrizar completamente las variables del sistema en términos de un conjunto de variables “libres” del mismo sistema [10]. Los


34

conceptos de platitud diferencial se ven aplicados en la teoría de los controladores i-PID (intelligent PIDs) ó PID inteligentes y GPID (generalized PID) ó PID generalizados. La obtención de la salida plana y, por ende, la obtención de control basado en platitud diferencial son requisitos indispensables para el diseño del control GPID.

Ya que la controlabilidad es una propiedad deseada de los sistemas dinámicos, entonces, es posible encontrar la propiedad de platitud diferencial de un sistema dinámico dado, será equivalente a tener al sistema controlado satisfaciendo de alguna forma de la propiedad general de controlabilidad. Dado que la controlabilidad está fuertemente relacionada con la capacidad de lograr que la trayectoria de estado del sistema realice razonablemente todo lo que se desee, dentro de un intervalo finito de tiempo. Así, la platitud diferencial está fuertemente relaciona con la capacidad de poder planificar, fuera de línea, las trayectorias de estado factibles. Esto permite concebir controladores prealimentados correspondientes que hagan que el estado siga con exactitud dichas trayectorias [10] y [15]. De aquí se desprende una definición formal del concepto de platitud diferencial [21]:

Definición. Considere el sistema n dimensional SISO ( , )x f x u cuyo estado está

definido en nx y su entrada u . Es diferencialmente plano si existe un escalar que da lugar a una salida ficticia ( )y x llamada salida plana, que permite parametrizar diferencialmente al estado y a la entrada conforme

1, ,

, ,

nx

nu

x y y y

u y y y

(3.1)

Un resultado importante de la parametrización definida por la ecuación (3.1), es que una

vez elegida una trayectoria deseada *y para la salida plana, se puede definir un control

nominal *u para el sistema no perturbado a partir de la trayectoria deseada y de sus derivadas sucesivas

* * ** , , nu

u y y y (3.2)

Ahora se analizará el procedimiento para obtener la salida plana en sistemas lineales

invariantes en el tiempo (LTI), representados en espacio de estado.

Para un sistema lineal controlable, el cual está representado en espacio de estados x Ax Bu (3.3) se puede obtener su salida plana a partir de la inversa de su matriz de controlabilidad, es decir:

CAPÍTULO 3

35

1

10 0 ... 1 , ,..., ny B Ab A B x

(3.4)

Con facilidad se puede ver que la salida plana puede ser definida para que dependa

únicamente de las variables de estado del sistema. Si se tiene que la salida plana es función de las variables de estado del sistema, se puede escribir como:

y x (3.5) para un cierto vector renglón lambda , el cual debe satisfacer a la salida plana calculada a partir de (3.4). Una vez que se tiene el vector lambda que satisfaga a la salida plana, se pueden calcular las derivadas sucesivas de dicha salida en función de los estados

2

1 1 2 2...n n n n

y x

y x Ax Bu

y A x ABu Bu

y A A Bu Bu

(3.6)

Para el modelo de los brazos flexibles descrito por (2.22), el cual se encuentra en una

representación lineal, se puede obtener a partir de (3.4) una salida plana que parametrice los estados y la entrada de control. Para el modelo de los brazos flexible, la matriz de controlabilidad se construye considerando el término relacionado con la perturbación cero, es decir, no se consideran variaciones en la masa de la punta. Así, la matriz está definida por

2 3

1 1 1 1, , ,

CM B AB A B A B

Al desarrollar los términos que se que se involucran en el cálculo de la matriz de controlabilidad, se tiene que para el caso del modelo representado por (2.22) dicha matriz está definida por

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

C

a a a a

a a a aM

a a a a

a a a a

donde

211 21 12 31 13 32 2 2

0; ; ; g m g m g m g m

g m m t g eq meq m eq m

K K K Ka a a a a a K K K B R

J R J R


36

22

14 33 3 3 2

222 41 23 42 2 2

224 43 2 3 3

;

;

g m g m g m g m stiff

g m m t g eq m

eq m eq m

g m g m g m g mg m m t g eq m

eq m eq m

g m g m stiff g m g meq load g m m t g eq

eq load m eq m

K K K K Ka a K K K B R

J R J R

K K K Ka a a a K K K B R

J R J R

K K K K Ka a J J K K K B

J J R J R

2

234 3 2

22 2

3 3 3 3

244 3 2

3 3

...

1

...

1

m

g m g m stiffg m m t g eq m

eq m

g m g m stiffg m m t g eq m g m m t g eq m

eq m eq m eq m

g m g m stiffg m m t g eq m

eq m

g m g mg m

eq m eq m

R

K K Ka K K K B R

J R

K K KK K K B R K K K B R

J R J R J R

K K Ka K K K B R

J R

K KK

J R J R

22 2

3 3

stiffm t g eq m g m m t g eq m eq load

eq m

KK K B R K K K B R J J

J R

Así, la inversa de la matriz de controlabilidad está dada por

2

1

2 2

0g m t m g eq m

g m g m

eq load m load m

g m g m g m g mC

g m t m g eq m load g m t m g eq m load

g m g m stiff g m g m stiff

eq load m eq load m


K K K B R

K K

J J R J R

K K K KM

K K K B R J K K K B R J

K K K K K K

J J R J J R

K K K K K K

2 2

0 0

eq load m load m

g m g m g m g m

g m t m g eq m load g m t m g eq m load


eq load m eq load m


J J R J R

K K K K

K K K B R J K K K B R J

K K K K K K

J J R J J R

K K K K K K

Ya que la inversa de la matriz de controlabilidad del sistema descrito por (2.22) existe,

por tanto, dicha matriz es de rango pleno y, por ende, el sistema es controlable.

CAPÍTULO 3

37

Entonces, para este sistema se puede obtener su salida plana mediante

10 0 0 1

load

C loadload

y M

(3.7)

donde 2

eq arm m

g m g m stiff

J J R

K K K

. Cualquier múltiplo de ky es también salida plana, seleccionando

1k , se obtiene una salida plana 'y , así entonces se tiene que

1 1'

load loady ky y

A partir del conjunto de ecuaciones representado por (3.6), se obtienen las derivadas de

la salida plana del modelo representado por (2.22). El vector está definido como

1 1 0 0

Por tanto, la primera derivada de la salida plana está dada por

load

y x Ax Bu (3.8) La segunda derivada de la salida plana se define por

2

1y A x ABu Bu (3.9)

donde

1

stiff eq armstiff

eq eq arm

K J JK

J J J

.

La tercera derivada de la salida plana está dada por

3 2

1y A x A Bu ABu Bu (3.10)

La cuarta derivada de la salida plana se obtiene al derivar (3.10)

(4)1

y (3.11)


38

Una vez que se obtuvo la salida plana y sus derivadas temporales, se puede plantear la parametrización de los estados en función de dicha salida y sus n derivadas sucesivas (3.8), (3.9), (3.10), (3.11), entonces se tiene que

(4)

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1, , , ,

load loady y y y y y y

A partir de la ecuación de , del modelo del sistema representado por (2.22), se puede obtener una parametrización del voltaje de entrada m

V , en función de la salida plana y sus

derivadas sucesivas, así entonces, la ecuación del voltaje de entrada está dada por (4)

1 2 3 4mV y y y y (3.12)

donde

2 2 11 2 3 4

3 1 3 1 3 1 3

1, , ,

2

1 2 3, ,

stiff eq load g m m T g eq m g m g T

eq load m eq m eq

K J J K K K B R K KJ J R J R J

A partir de (3.12) se puede definir el control nominal del sistema no perturbado, esto mediante la sustitución de la trayectoria de referencia *y y sus n derivadas sucesivas, por tanto, el control nominal está definido por

* * * * *(4)1 2 3 4m

V y y y y (3.13)

3.2. DISEÑO DE UN CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES

CONSTANTES El análisis y diseño del control GPID robusto para perturbaciones constantes (GPID RPC) parte de la suposición de que se tiene un sistema formado por una cadena de integradores, y afectado por una perturbación constante (3.14) ny u (3.14) donde es una perturbación constante, u es la entrada de control, y es la salida del sistema y n es el orden del sistema.

De (3.14) es posible definir una ley de control nominal basada en la n -ésima derivada de la trayectoria de la salida deseada, por supuesto, sin tomar en cuenta la perturbación

CAPÍTULO 3

39

* *nu y (3.15) donde *u es la entrada de control nominal libre de perturbaciones.

De aquí se define la siguiente ecuación de error

n

y ue e (3.16)

donde *

*

n n ny

u

e y y

e u u

De (3.16) se pueden obtener reconstrucciones integrales de las 1n derivadas del error

de salida, esto mediante la integración iterada del error de entrada, así entonces

1 1

11 1

0 0

21 1

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1

1 1

2 2

2 1 2 1

t tny u

ny u

y u

n n

t t

t t

n n

e e d d

e e d d d d

e e d d d d d d

Por facilidad en la notación se reescribirá la integral iterada como

11 2

2 10 0 0 0

( )

0

tn

d d dt

Con las reconstrucciones integrales de las 1n derivadas del error de salida, se

propone la siguiente ley de control basada en retroalimentación de estados con compensación integral debido a los errores de reconstrucción y considera la presencia de la perturbación más el control nominal *u

(2) ( )* 1 22 1 2 2 1 1 2 0

nn nn y n y n y n y n y n y y

u u k e k e k e k e k e k e k e (3.17)

Ya que se tiene la ley de control, se procede a obtener la ecuación de la trayectoria del

error. De (3.16) al no considerar los efectos de la perturbación constante se obtiene que:ny ue e , por lo tanto, *n

ye u u


40

21 2 22 1 2 2 1 1 2 0

0nn n n

y n y n y n y n y n y n y ye k e k e k e k e k e k e k e

(3.18)

Al derivar n veces (3.18), las 1n integrales de la perturbación se eliminan, esto quiere decir que el control cancela los efectos de la perturbación, así entonces, la ecuación dinámica del error de salida de lazo cerrado está dada por 2 2 1 2 2 1 1 2

2 1 2 2 1 1 2 0 0n n n n n n ny n y n y n y n y n y n y ye k e k e k e k e k e k e k e

(3.19) Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior se obtiene el polinomio de

lazo cerrado 2 2 1 2 2 1 1 2

2 1 2 2 1 1 2 00n n n n n n n

n n n n n ns k s k s k s k s k s k s k

(3.20)

Se puede manipular (3.17) que describe el control propuesto, en esta ecuación se sustituyen el error de entrada

ue u u y las reconstrucciones integrales de las derivadas del

error de salida, pero sin tomar en cuenta las integraciones de la perturbación ya que éstas se eliminan al llegar al polinomio de lazo cerrado, entonces se tiene que

2 1 2

2 1 2 2 1 1 2 0

n n

u n u n u n u n y n y n y ye k e k e k e k e k e k e k e

(3.21)

Se aplica la transformada de Laplace y se realiza el álgebra pertinente para generar la

función de transferencia requerida

2 1 2 2 1 1 2 02 1 2

1 n n n n nu n yn n

k k k k k ke k e

s ss s s s

1 2 2 1 2

2 1 2 2 1 1 2 01

n n n n n nn n n n n n

u yn n

s k s k s k k s k s k s ke e

s s

1 2 2 1 22 1 2 2 1 1 2 0

n n n n n nn n n u n n n y

s s k s k s k e k s k s k s k e

1 2

1 2 0

1 2 22 1 2 2 1

n n nn n n

u yn n nn n n

k s k s k s ke e

s s k s k s k

CAPÍTULO 3

41

Si se sustituyen las relaciones de error se tiene que el control está dado por

1 2*1 2 0

1 2 22 1 2 2 1

n n nn n n

n n nn n n

k s k s k s ku u y y

s s k s k s k

(3.22)

3.2.1. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES CONSTANTES

APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES Como se observó en el desarrollo del control GPID robusto para perturbaciones constantes (GPID RPC), el diseño de éste requiere de la obtención del control nominal del sistema que se desea controlar, por tal motivo se obtuvo el control nominal de los brazos, el cual está descrito por (3.13). Para generalizar el diseño del control GPID RPC se requiere:

1. Determinar del orden del sistema. 2. Obtener el control nominal de éste y definir la ecuación de error de entrada. 3. Aplicar (3.17) para obtener el control GPID RPC. 4. Sustituir las reconstrucciones de las 1n derivadas del error de salida en función de

las integrales del error de entrada. 5. Desarrollar el álgebra pertinente del punto anterior para obtener la ecuación dinámica

del error de lazo cerrado y posteriormente aplicando la transformada de Laplace obtener el polinomio de lazo cerrado.

6. Una vez obtenido el polinomio de lazo cerrado obtenido en el punto anterior, proponer un polinomio de lazo cerrado deseado para la determinación de las ganancias

0 2 1,

nk k del controlador.

7. Una vez obtenidas estas ganancias aplique (3.22).

Para el caso de los brazos flexibles el orden del sistema es 4n , el control nominal se presentó en la sección 3.1, entonces se procede a definir la ecuación de error de entrada

* (4)1 2 3 4mV m m y y y y

e V V e e e e (3.23)

Del procedimiento de diseño los puntos 1 y 2 ya se completaron, entonces se propone el control GPID RPC

(2) (3) (4)*7 6 5 4 3 2 1 0m m y y y y y y y y

V V k e k e k e k e k e k e k e k e (3.24) De acuerdo al procedimiento se sustituye las reconstrucciones de las derivadas del error

de salida en función de las integrales del error de entrada, esto es


42

(2) (3) (2) (3) (4)*7 6 5 4 3 2 1 0m m mm m V V V y y y y y

V V k e k e k e k e k e k e k e k e (3.25) Se sustituye (3.23) en (3.25) para llegar al polinomio de lazo cerrado, requerido en el

punto 5, esto es

(4) (4)1 2 3 4 7 1 2 3 4

(2) (3)(4) (4)6 1 2 3 4 5 1 2 3 4

(2) (3) (4)

4 3 2 1 00

y y y y y y y y

y y y y y y y y

y y y y y

e e e e k e e e e

k e e e e k e e e e

k e k e k e k e k e

De realizar el álgebra necesaria y derivar cuatro veces la ecuación anterior, se obtiene la ecuación dinámica del error de lazo cerrado

(8) (7) (6) (5) (4)7 6 5 4 3 2 1 0 0y y y y y y y y ye e e e e e e e e

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación dinámica del error se tiene que

8 7 6 5 4 3 27 6 5 4 3 2 1 0

0s s s s s s s s E s

donde

3 7 4 2 7 3 6 4 1 7 2 6 3 5 47 6 5

4 4 4

, , ,k k k k k k

7 1 6 2 5 3 4 6 1 5 2 3 5 1 2 14 3 2 1

4 4 4 4

00

4

, , , , k k k k k k k k k k

k

De las relaciones anteriores se obtienen las ganancias para el diseño del control GPID robusto para perturbaciones constantes

7 4 3 6 4 2 7 3 1 5 4 7 2 6 37 6 5

4 4 4

, , k k k

k k k

34 6 2 5 3 4 4 7 1 5 2 6 1 3 4 2 5 1 2 4 1 1 4

0 0 4

, , , , k k k k k k k k k k

k

Se propone el siguiente polinomio deseado de lazo cerrado, el cual está definido por

CAPÍTULO 3

43

42 2( ) 2 0d n n

P s s s

Como lo indica el procedimiento, se aplica la (3.22) para obtener la estructura del control GPID RPC, esta es

4 3 2

* *4 3 2 1 0

3 27 6 5

m m

k s k s k s k s kV V y y

s s k s k s k

El control GPID RPC que se diseñó se aplica tanto al brazo de eslabón flexible como al de articulación flexible, ya que el modelo descrito por (2.22) representa la dinámica de ambos brazos. En la Figura 3.1 se muestra el diagrama esquemático del control GPID robusto para perturbaciones constantes, el cual incluye compensación de la zona muerta del motor.

Figura 3.1. Diagrama esquemático del control GPID RPC aplicado a los brazos flexibles.

Para la elección de la frecuencia natural n

del polinomio deseado de lazo cerrado se

parte de la frecuencia natural de oscilación del eslabón c , la cual está definida por

2 2 (3.2Hz) 20.1

c cf rad

Así entonces, para la elección de la frecuencia natural del polinomio deseado de lazo

cerrado se propone el siguiente intervalo de valores

20 25n

El factor de amortiguamiento de polinomio deseado de lazo cerrado se elije de tal forma que el ruido de medición no origine que la señal de control se sature, para este sistema se propone el siguiente intervalo para la elección del factor de amortiguamiento

Control platitud diferencial

4 3 24 3 2 1 0

3 27 6 5

k s k s k s k s k

s s k s k s k

Compensación zona muerta

Brazo de

eslabón o articulación

flexible

Variaciones en la masa m1

Control GPID robusto a perturbaciones constantes

mV

*m

V

y*y


44

1 2

Estos valores de n

y de son validos tanto para el control GPID robustos para

perturbaciones constantes como para el control GPID robusto para perturbaciones polinomiales.

3.2.1.1. Resultados de la aplicación del control GPID RPC al brazo de eslabón

flexible En este punto se presentarán los resultados experimentales en la aplicación del control GPID robusto para perturbaciones contantes. Experimento 1. Seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control GPID RPC. Objetivo

El objetivo de este experimento es realizar seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control GPID RPC. La importancia de la aplicación de este control es minimizar los resultados de los criterios de error obtenidos con los controladores lineales. Desarrollo del experimento

El experimento se desarrollará de la siguiente forma:

1. Realizar seguimiento de trayectoria sin masa en la punta del brazo: Referencia de tipo Bézier. Referencia sinusoidal.

2. Realizar seguimiento de trayectoria con masa en la punta del brazo: Referencia de tipo Bézier. Referencia sinusoidal.

Resultados del experimento

Considerando los intervalos definidos en la sección 3.2.1, se definieron los siguientes

parámetros para el polinomio deseado de lazo cerrado, estos son

1

25n

CAPÍTULO 3

45

Resultados obtenidos sin masa en la punta del brazo

En la Figura 3.2 a se muestra el seguimiento de posición con la referencia basada en polinomios de Bézier, en esta figura se observa que el seguimiento de trayectoria es eficiente, ya que la posición de salida converge a la posición deseada. Al observar Figura 3.2 b, que muestra el error de posición, se ve que este error se mantiene oscilando entre 0.01 rad y con tendencia a converger a cero, lo que origina que los criterios de error se minimicen respecto al desempeño que se obtuvo con los controladores clásicos, demostrando la eficiencia del controlador. En la Figura 3.2 c se muestra la señal de control aplicada, se puede observar que ésta presenta oscilaciones de alta frecuencia debido al ruido que se tiene en el sensor, pero este hecho no representa problema alguno porque dichas oscilaciones se encuentran por debajo del voltaje de zona muerta del motor de CD.

Ahora se consideran los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal. La Figura 3.2

d muestra la gráfica de seguimiento de trayectoria, en esta figura se puede observar que el controlador realiza un seguimiento trayectoria adecuado, pero observando la Figura 3.2 e, que muestra el error de seguimiento para esta referencia, se observa que al inicio de la trayectoria se presentan oscilaciones que el control atenúa en aproximadamente un segundo y posteriormente el error se mantiene oscilando alrededor de 0.01 rad y en algunos puntos converge a cero. La Figura 3.2 f muestra la señal de control aplicada, como se puede observar en esta figura, debido al ruido, esta señal de control tiene montada una componente de alta frecuencia pero que no afecta al funcionamiento del sistema.

Figura 3.2. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible sin

masa en la punta.

En la Tabla 3.1 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error para el control GPID RPC con el brazo de eslabón flexible sin masa en la punta, aquí se puede observar que el controlador presentó un mejor desempeño con la referencia de tipo sinusoidal que con la señal basada en polinomios de Bézier.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.04

-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


46

Tabla 3.1. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.


ITAE 0.6466 0.5627 Resultados obtenidos con masa en la punta del brazo

En la Figura 3.3 se muestran los resultados obtenidos con masa en la punta del brazo. Analizando las gráficas que muestran los resultados obtenidos con la señal de referencia de tipo Bézier, se puede observar que la masa afecta el desempeño del controlador, comparando la Figura 3.3 b, que muestra el error de seguimiento, con la Figura 3.2 b, que muestra el error de seguimiento para el casos sin masa, se observa que se tuvo un incremento en las oscilaciones del brazo, lo que originó que el desempeño del controlador tuviera una ligera degradación, aunque el error se mantiene oscilando entre 0.01 rad .

Ahora, de los resultados obtenidos con la señal de referencia de tipo sinusoidal, se puede

observar que la masa originó que las oscilaciones que se presentan al inicio de la trayectoria aumentaran su amplitud, esto se observa en la Figura 3.3 e que muestra el error de seguimiento, en esta misma figura se observa que se presentan oscilaciones a lo largo de la evolución de la trayectoria lo que ocasionó que el desempeño del controlador se degradara respecto al desempeño obtenido en el caso sin masa. En la Figura 3.3 f se observa los efectos de las oscilaciones en la señal de control.

En la Tabla 3.2 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios, como se

puede observar, el agregar la masa en la punta originó que el desempeño se degradara debido a las oscilaciones que ésta originó.

Figura 3.3. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible con

masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

CAPÍTULO 3

47

Tabla 3.2. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 0.7551 1.0436 Conclusiones y observaciones del experimento

De los resultados obtenidos en este experimento se puede concluir que:

El control GPID robusto para perturbaciones constantes mejora el desempeños de los controladores lineales propuestos en el capitulo dos.

El desempeño del controlador con la referencia sinusoidal tuvo una mayor variación

que el desempeño obtenido con la referencia de tipo Bézier al agregar la masa en la punta del brazo.

3.3. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES POLINOMIALES

El control GPID robusto a perturbaciones polinomiales (GPID RPP) está diseñado para ser robusto a partes no modeladas del sistema, las cuales se supone que pueden ser representadas mediante un polinomio dependiente del tiempo con coeficientes completamente desconocidos, además de ser robusto a incertidumbre paramétrica, entonces se parte del sistema descrito por 1( )n py u O t (3.26) donde 1( )pO t es la perturbación polinomial de orden 1p .

Al igual que con el control GPID robusto para perturbaciones contantes, se utiliza el control nominal del sistema descartando los efectos de la perturbación, esto es * *nu y (3.27)

donde *u es la entrada de control nominal libre de perturbaciones.

De aquí se define la siguiente ecuación de error

1n py u

e e O t (3.28)


48

donde

*

*

n n ny

u

e y y

e u u

De (3.28) se pueden obtener reconstrucciones integrales de las 1n derivadas del error de salida, esto mediante la integración iterada del error de entrada, así entonces

1

(2)2 1

( ) 1

( 1) 2

( )

( )

( )

( )

n py u

n py u

n ii n i py u

n n py u

e e O t

e e O t

e e O t

e e O t

Una vez definidas las reconstrucciones integrales de las 1n derivadas del error de

salida, se propone la siguiente ley de control basada en retroalimentación de estados con compensación integral debido a los errores de reconstrucción y que considera la presencia de la perturbación polinomial más el control nominal *u

(2) ( 1)* 1 22 2 2 3 1 2 3 0

n pn nn p y n p y n p y n p y n p y n p y y

u u k e k e k e k e k e k e k e

(3.29)

Una vez definida la ley de control, se procede a obtener la ecuación dinámica del error, al igual que en el caso del GPID RPC, se sustituye *n

y ue e u u

(2) ( 1)1 22 2 2 3 1 2 3 0

0n pn n n

y n p y n p y n p y n p y n p y n p y ye k e k e k e k e k e k e k e

(3.30)

Al derivar 1n p veces la ecuación, 2n p las integrales de la perturbación se

eliminan, esto quiere decir que el control cancela los efectos de la perturbación, así entonces, la ecuación dinámica del error de salida de lazo cerrado está dada por 2 1 2 2 2 3 1 2

2 2 2 3 1 2 0 0n p n p n p n p n p n py n p y n p y n p y n p y n p y ye k e k e k e k e k e k e

(3.31)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior se obtiene el polinomio de lazo cerrado

CAPÍTULO 3

49

2 1 2 2 2 2 1 22 2 2 3 1 2 0 0n p n p n n p n p n pn p n p n p n p n ps k s k s k s k s k s k (3.32)

Se puede manipular (3.30) que describe el control propuesto, en esta ecuación se

sustituye el error de entrada u

e u u y las reconstrucciones integrales de las derivadas del

error de salida, pero sin tomar en cuenta las integraciones de la perturbación polinomial ya que dichas integraciones se ven eliminadas al llegar al polinomio de lazo cerrado, entonces se tiene que

2 1 1

2 2 2 3 1 2 0

n n p

u n p u n p u n p u n p y n p y ye k e k e k e k e k e k e

(3.33)

Se aplica la transformada de Laplace y se realiza el álgebra pertinente para generar la

función de transferencia requerida

2 2 2 3 2 012 1 1

1 n p n p n p n pu n p yn n p

k k k k ke k e

s ss s s

1 2 1 2

2 2 1 2 0

1 1

n n n p n pn p n p n p n p

u yn n p

s k s k k s k s ke e

s s

1 2 1 22 2 1 2 0

p n n n p n pn p n p u n p n p y

s s k s k e k s k s k e

1 2

1 2 0

1 22 2

n p n pn p n p

u yp n nn p n p

k s k s ke e

s s k s k

Si se sustituyen las relaciones de error se tiene que el control está dado por

1 21 2 0 *

1 22 2

n p n pn p n p

p n nn p n p

k s k s ku u y y

s s k s k

(3.34)

3.3.1. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTUBACIONES POLINOMIALES

APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES

El procedimiento de diseño del control GPID RPP es similar al procedimiento del control GPID RPC, pero la diferencia radica en que para el control GPID RPP se debe definir el orden


50

del polinomio con el que se desea aproximar la perturbación, así entonces, para el diseño del control GPID RPP se requiere:

1. Determinar del orden del sistema. 2. Obtener el control nominal de éste y definir la ecuación de error de entrada. 3. Definir el orden del polinomio que se asignará a la perturbación. 4. Aplicar (3.29) para obtener el control GPID RPP. 5. Sustituir las reconstrucciones de las 1n derivadas del error de salida en función de

las integrales del error de entrada. 6. Desarrollar el álgebra pertinente del punto anterior para obtener la ecuación dinámica

del error de lazo cerrado y posteriormente aplicando la transformada de Laplace obtener el polinomio de lazo cerrado.

7. Una vez obtenido el polinomio de lazo cerrado obtenido en el punto anterior, proponer un polinomio de lazo cerrado deseado para la determinación de las ganancias

0 2 2,

n pk k del controlador.

8. Una vez obtenidas estas ganancias aplique (3.34).

Para el caso de los brazos flexibles el orden del sistema es 4n , la ecuación de error de entrada está definida por (3.23), y se desea considerar la perturbación como un polinomio de primer orden, es decir, 2p

Del procedimiento de diseño los puntos 1, 2 y 3 ya se completaron, entonces se propone el control GPID RPP

(2) (3) (4) (5)

8 7 6 5 4 3 2 1 0*

m m y y y y y y yV V k e k e k e k e k e k e k e k e k e (3.35)

De acuerdo al procedimiento se sustituye las reconstrucciones de las derivadas del error

de salida en función de las integrales del error de entrada, esto es

(2) (3) (2) (3) (4) (5)*8 7 6 5 4 3 2 1 0m m mm m V V V y y y y y y

V V k e k e k e k e k e k e k e k e k e (3.36)

Se sustituye (3.23) en (3.25) para llegar al polinomio de lazo cerrado requerido en el punto 5, esto es

(4) (4)1 2 3 4 8 1 2 3 4

(2) (3)(4) (4)7 1 2 3 4 6 1 2 3 4

(2) (3) (4) (5)

5 4 3 2 2 00

y y y y y y y y

y y y y y y y y

y y y y y y

e e e e k e e e e

k e e e e k e e e e

k e k e k e k e k e k e

CAPÍTULO 3

51

De realizar el álgebra necesaria y derivar cinco veces la ecuación anterior, se obtiene la ecuación dinámica del error de lazo cerrado

(9) (8) (7) (6) (5) (4)8 7 6 5 4 3 2 1 0 0y y y y y y y y y ye e e e e e e e e e

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación dinámica del error se tiene que

9 8 7 6 5 4 3 28 7 6 5 4 3 2 1 0

( ) 0P s s s s s s s s s s E s

donde

2 8 3 7 4 1 8 2 7 3 6 43 8 4

8 7 6

4 4 4

, , k k k k kk

8 1 7 2 6 3 5 7 1 6 2 4 6 1 3 2

5 4 3 2

4 4 4 4

1 0

1 0

4 4

, , , ,

,

k k k k k k k k k k

k k

De las relaciones anteriores se obtienen las ganancias para el diseño del control GPID

robusto para perturbaciones polinomiales

7 4 2 8 3 1 6 4 8 2 7 38 4 38 7 6

4 4 4

, , k k k

k k k

45 7 2 6 3 5 4 8 1 6 2 7 1 4 4 3 6 1 3 4 2 2 4

1 1 4 0 0 4

, , ,

,

, k k k k k k k k k k

k k

Se propone el siguiente polinomio deseado de lazo cerrado

42 2

1( ) 2 0

d n nP s s s s p

Como lo indica el procedimiento, se aplica (3.34) para obtener la estructura del control

GPID RPP, ésta es

5 4 3 2

* *5 4 3 2 1 0

2 3 28 7 6

m m

k s k s k s k s k s kV V y y

s s k s k s k

Este método de diseño se aplica a ambos brazos flexibles, con la diferencia de que los

parámetros del polinomio deseado de lazo cerrado serán distintos.


52

En la Figura 3.4 se muestra el diagrama esquemático del control GPID robusto para perturbaciones polinomiales, el cual incluye compensación de la zona muerta del motor.

Figura 3.4. Diagrama esquemático del control GPID RPP aplicado a los brazos flexibles.

3.3.1.1. Resultados de la aplicación del control GPID RPP al brazo de eslabón flexible En este punto se presentarán los resultados experimentales en la aplicación del control GPID robusto para perturbaciones polinomiales. Experimento 2. Seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control GPID RPP. Objetivo

El objetivo de este experimento es realizar seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control GPID RPP. La importancia de la aplicación de este control es minimizar los resultados de los criterios de error obtenidos con los controladores lineales, además de poder realizar una comparación con el desempeño obtenido con el control GPID RPC. Desarrollo del experimento






Brazo de


flexible


Control GPID robusto a perturbaciones polinomiales

mV

*m

V

y*y

5 4 3 25 4 3 2 1 0

2 3 28 7 6

k s k s k s k s k s k

s s k s k s k

CAPÍTULO 3

53

Resultados del experimento Para la aplicación del control GPID robusto para perturbaciones polinomiales al brazo de eslabón flexible se definieron los siguientes parámetros para el polinomio deseado de lazo cerrado de acuerdo con los intervalos fijados en el punto 3.2.1

1

2

20

20n

p


A continuación, en la Figura 3.5, se muestran los resultados obtenidos al aplicar el

control GPID robusto para perturbaciones polinomiales al brazo de eslabón flexible, sin masa en la punta del brazo. Como se puede observar en la Figura 3.5 b el error de seguimiento se mantiene oscilando entre 0.02 rad , lo cual repercute en el desempeño del sistema, esto generó que el desempeño de este controlador no mejorara el desempeño del control GPID RPC, que tiene un mejor desempeño. Al comparar la Tabla 3.3 con la Tabla A.1 se puede constatar numéricamente la diferencia entre los desempeños de los controladores.

De los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, se observa que en este caso el

transitorio del error al inicio de la trayectoria se amortigua de manera rápida, en comparación a los resultados obtenidos con el control GPID RPC, pero a diferencia de este controlador, el control GPID RPP no puede a evitar que el brazo se desvíe de la referencia cuando ésta llega a un valor máximo, lo que origina que el desempeño se degrade. Al comparar la Tabla 3.3 con la Tabla A.1 se puede constatar numéricamente la diferencia entre los desempeños del control GPID RPP y del control GPID RPC. Otra diferencia respecto al control GPID RPC es que las señales control que genera el control GPID RPP son más sensibles al ruido.

Figura 3.5. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de

eslabón flexible sin masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


54

Tabla 3.3. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.


ITAE 1.8712 0.9749 Resultados obtenidos con masa en la punta del brazo

Ahora, en la Figura 3.6 se muestran los resultados obtenidos con masa en la punta del

brazo; como se puede ver en la Figura 3.6 b, que muestra el error de seguimiento, la tendencia de este error en similar que en el caso sin masa, pero en este caso el desempeño tiene un ligera mejora. Al comparar la Tabla 3.4 con la Tabla 3.3 se puede observar la mejora que presentó el desempeño del controlador.

En lo referente a los resultados obtenidos con la trayectoria sinusoidal, el error de

seguimiento, que se muestra en la Figura 3.6 e, tuvo un aumento en la amplitud de las oscilaciones, esto debido a los efectos de la masa en la punta, lo que originó que el desempeño del controlador se degradara respecto al desempeño obtenido en el caso sin masa. La variación entre los desempeños del controlador entre caso sin masa y este caso en el que se agrega masa en la punta del brazo, se puede observar comparando la Tabla 3.4 con la Tabla 3.3.

Figura 3.6. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de

eslabón flexible con masa en la punta.

Tabla 3.4. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 1.6706 1.2111

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

CAPÍTULO 3

55

Conclusiones del experimento De los resultados obtenidos en este experimento se puede concluir que:

El control GPID robusto para perturbaciones polinomiales mejora el desempeños de los controladores lineales propuestos en el capitulo dos.

Al agregar la masa en la punta del brazo, con la referencia de tipo Bézier el desempeño

no se degrado e incluso mejoró, caso contrario es el desempeño obtenido con la referencia sinusoidal donde el desempeño si tuvo degradación.

En el aspecto del diseño del controlador, no se pudo realizar el diseño con el orden de

la perturbación 2p . Por ejemplo, para el caso donde se considera que el orden de la perturbación es 3p , el polinomio de lazo cerrado es de orden 10, y no se pudo encontrar ganancias que estabilizaran el sistema.

3.4. CONTROL GPID BASADO EN OBSERVADOR El análisis y diseño del control GPID basado en observador (GPID OBSV) parte de la suposición de que se tiene un sistema lineal representado en función de transferencia, descrito por (3.37), el cual tiene como entrada una perturbación, esto es

1

1 1 0

1( ) ( )

n nn

Y s ss a s a s a

(3.37)

donde los coeficientes ia , 1,,1,0 ni , se asumen perfectamente conocidos, la perturbación se considera como un polinomio del tiempo de la forma

1

0( )

r

ii

it p t

donde todos los coeficientes i

p son completamente desconocidos.

El sistema lineal descrito anteriormente tiene la siguiente representación en espacio de

estados en forma canónica observable

( )

1 0 0

x Ax b t

y x


56

1

2

1

1

0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 y

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

n

n

m

m

a

a

aA b

a

a

a

Para este sistema, se propone utilizar un observador de Luenberger que estime la

perturbación de entrada polinomial del tiempo, éste tiene la estructura siguiente

1 1

2 2

1 1

1 1

0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0ˆ ˆ ˆ

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

n n r

n n r

m r m

m r m

r

r

a

a

ax x y y

a

a

a

1 2 1

2 2 21

1 1

0

ˆ

ˆ

;

ˆ

ˆ

ˆ 1 0 0 0

r

r

r r

r

z z y y

z z y yz

z z y y

z y y

y x

(3.38)

El observador anterior junto con la estimación de la perturbación 1z tiene la siguiente

ecuación dinámica del error de estimación de salida

( ) ( 1) ( )1 1 1 1 0 1 0 1

0n r n r rn n r r

e a e a e e (3.39)

A esta ecuación se le aplica la transformada de Laplace para obtener el polinomio

característico

11 1 1 0 1

0n r n rn n r

s a s s E s

(3.40)

3.4.1. CONTROL GPID ROBUSTO BASADO EN OBSERVADOR APLICADO AL

SISTEMA DE BRAZO FLEXIBLE Considere el sistema de brazo flexible, cuyo modelo está dado por la ecuación (2.27), se determinará el controlador GPID robusto para perturbaciones polinomiales basado en

CAPÍTULO 3

57

observador (GPID OBSV), esta perturbación está relacionada a las variaciones en la masa de la punta 1

m . Como describe (3.37), se debe tener el sistema representado en función de

transferencia, para que se asocie la perturbación como entrada al sistema. Se aplicará la fórmula para trasformar de representación en espacio de estados a función de transferencia, ésta está descrita por

1G s C sI A B

(3.41)

Para poder aplicar (3.41) al modelo del brazo de eslabón flexible descrito por (2.22), la

perturbación asociada con las variaciones de la masa se tendrá que considerar en la matriz de la dinámica del sistema, por tanto, el modelo útil para obtener la representación en función de transferencia está descrito por

2

2 21

2 21

0 0 1 0 00 0 0 1 0

0 0

0 0

stiff g m m T g eq m g m g T

eq m eq

stiff eq arm stiff g m m T g eq m

eq arm m eqarm arm

K K K K B R K KJ R J R

K J J K mL K K K B R

J J R JJ J mL

mm eq

g m g T

m eq

VJ

K K

R J

1 1 0 0y

(3.42)

Para facilitar las operaciones, se le asignan a cada constante de las matrices una literal,

por lo que la representación del sistema queda como

1 2 5

3 4 5

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0

0 0

mV

1 1 0 0y

(3.43)


58

donde

2 21

1 2 3 31 32 2 21

4 2 5

, , ,

,

stiff eq armstiff g m m T g eq m stiff

eq m eq eq arm arm arm

g m g T

m eq

K J JK K K K B R K mL

J R J J J J J m LK K

R J

Por tanto, se tiene una representación del sistema en espacio de estado de la forma

x Ax Bu

y Cx

Para la obtención de la función de transferencia del sistema se realiza en primer lugar el

cálculo: sI A , esto es

1 2 1 2

3 4 3 4

1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

s

ssI A s

s

s

Como lo indica la formula descrita por (3.41), se obtiene la inversa de la matriz sI A

3 2 22 3 2 3 1 4 1 3 1

3 2 21 2 4 2

2 34 3 21 3 12 3 2 3 1 4

2 2 3 23 1 4 2 3 4 2

010

0

s s s s s

s s s s ssI A

s s s ss s s s

s s s s s

Al desarrollar por completo (3.41) se tiene que la función de transferencia que

representa a los brazos flexibles tiene la forma

3 5 1 54 3 2

2 3 2 3 1 4m

Y s

V s s s s s

(3.44)

De la función de transferencia (3.44) se procede a obtener la ecuación diferencial del

sistema y a agrupar los términos relacionados con la masa 1m , esto mediante la sustitución de

3 31 32 , donde 32

es el término relacionado con dicha masa. Así entonces se tiene

que la ecuación diferencial del sistema es

CAPÍTULO 3

59

(4)2 31 2 31 1 4 31 5 1 5 2 5 32m m

y y y y V y y V (3.45)

Se renombran las constantes de (3.45) para facilitar las operaciones, por tanto se tiene

(4)3 2 1 0 1

, , ,m m

y a y a y a y V y y V m (3.46)

donde

3 2 2 3 1 2 31 1 4 0 31 5 1 5 1 2 5 32, , , , , , ,

m ma a a y yV m y y V

El sistema representado por (3.46) tiene al siguiente representación en forma canónica

observable

3

2

1(4)

0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

ˆ 1 0 0 0

m

y a y

y a yV

y a y

yy

y

yy

y

y

Fácilmente se puede ver que el sistema no es observable, ya que no se obtiene la forma canónica observable, debido a que en la función de transferencia del sistema involucra un integrador. A pesar de este hecho, se propone utilizar el siguiente observador, con el fin de demostrar que se requiere que el sistema sea completamente observable.

3 6

2 51

1 4(4)

0 3

ˆ ˆ1 0 0 0 0ˆ ˆ0 1 0 0 0

ˆˆ ˆ0 0 1 0 0ˆ0 0 0 0 1ˆ

m

y ya

y yaV z y y

y a y

yy

ˆˆ

ˆ 1 0 0 0 ˆ

ˆ

y

yy

y

y


60

1 2 2

2 3 1

3 0

ˆ

ˆ

ˆ

z z y y

z z y y

z y y

donde 1

z es la estimación de la perturbación 1, , ,

my y V m .

Del esquema anterior se tiene que la ecuación dinámica del error está dada por

(7) (6) (5) (4)1 3 6 1 2 5 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1

0e a e a e a e e e e e

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene el polinomio característico del

observador

7 6 5 4 3 23 6 2 5 1 4 3 2 1 0 1

0s a s a s a s s s s E s

Se propone el siguiente polinomio deseado para el diseño de las ganancias del

observador, el cual debe ser Hurwitz

32 2

1 1 1 2( ) 2 0

d n nP s s s s p

De (3.46) se puede obtener el control nominal del sistema, esto mediante el despeje de

mV , ya que se puede observar que la ecuación está parametrizada en función de las derivadas

de la salida, esto quiere decir que (3.46) es diferencialmente plana, por tanto, el voltaje de entrada tiene al forma

(4)3 2 1 1

0 0

1 1, , ,

m mV y a y a y a y y y V m

(3.47)

De (3.47) se obtiene el control nominal mediante la definición de una trayectoria de

referencia *y y considerando que no hay variaciones en la masa 1m de la punta lo que hace

que la perturbación se anule, por tanto el control nominal tiene la forma

* *(4) * * *3 2 1

0

1m

V y a y a y a y

Ahora se propone el siguiente controlador, se utilizará un control GPID robusto para perturbaciones constantes, descrito por (3.22), al cual se le añadirá la estimación de la perturbación 1

z , entonces se tiene que

CAPÍTULO 3

61

4 3 2

* *4 3 2 1 013 2

0 07 6 5

1 1m m

k s k s k s k s kV V y y z

s s k s k s k

Ahora se utiliza (3.17) para llegar al polinomio de lazo cerrado del sistema, entonces se

tiene que

(2) (3) (4)*

7 6 5 4 3 2 1 0m m y y y y y y y yV V k e k e k e k e k e k e k e k e (3.48)

Se define el error de entrada como

(4)1 2 3

0

1mV y y y y

e a e a e a e e

(3.49)

Al sustituir (3.49) en (3.48), realizar el álgebra correspondiente y derivar cuatro veces

la ecuación se obtiene la ecuación dinámica del error de lazo cerrado, que está dada por

(8) (7) (6) (5) (4)7 6 5 4 3 2 1 0 0y y y y y y y y ye b e b e b e b e b e b e b e b e

Aplicando la transformada de Laplace se tiene que

8 7 6 5 4 3 27 6 5 4 3 2 1 0

0s b s b s b s b s b s b s b s b E s

donde

7 7 3 6 6 3 7 5 5 1 3 6 2 7 4 4 3 5 2 6 1 7, , , b k a b k a k b k a a k a k b k a k a k a k

3 3 2 5 1 6 2 2 1 5 1 1 0 0, , , b k a k a k b k a k b k b k

De las relaciones anteriores se obtienen las ganancias para el diseño del control GPID

robusto para perturbaciones constantes

7 7 3 6 6 3 7 5 5 1 3 6 2 7 4 4 3 5 2 6 1 7, , , k b a k b a k k b a a k a k k b a k a k a k

3 3 2 5 1 6 2 2 1 5 1 1 0 0, , , k b a k a k k b a k k b k b

Se propone el siguiente polinomio deseado de lazo cerrado, el cual está definido por

42 2( ) 2 0d n n

P s s s


62

este polinomio debe ser Hurwitz, esto mediante la correcta elección de y n

.

En la figura (3.11) se muestra el diagrama esquemático de la estructura de control GPID

basada en observador.

Figura 3.7. Diagrama de esquemático para la estructura de control GPID basada en observador.

3.4.1.1. Resultados de la aplicación del control GPID OBSV al brazo de eslabón flexible

Para la aplicación del control GPID basado en observador al eslabón flexible se

propusieron los siguientes parámetros para el polinomio deseado del observador

1

1

2

7

10

100n

p

Para el polinomio deseado del control GPID robusto para perturbaciones constantes se

propusieron los siguientes parámetros

1

20n

Pruebas realizadas en simulación A continuación se muestran las pruebas realizadas en simulación de la aplicación del control GPID basado en observador. La Figura 3.8 muestra los resultados en donde se agregó a la señal de control la estimación de la perturbación obtenida con el observador propuesto. Como se puede ver en esta figura, el seguimiento de trayectoria se ve claramente afectado debido a la errónea estimación de la perturbación. El control GPID RPC incluido en el esquema de compensación es quien trata de compensar los efectos de la estimación errónea de la perturbación, pero aun así el desempeño del controlador se degrada notoriamente. En la Figura


4 3 24 3 2 1 0

3 27 6 5

k s k s k s k s k

s s k s k s k


Brazo de


flexible


Control GPID basado en observador.

mV

*m

V

Estimación de

0

1

y*y

1ˆ , , ,my y V m 1

, , ,m

y y V m

CAPÍTULO 3

63

3.8 b se puede observar que el error de seguimiento se torna oscilatorio debido a que el control no puede compensar totalmente los efectos de la estimación generada por el observador, dichas oscilaciones se encuentran entre 0.05 rad aproximadamente. En la Figura 3.8 d se observa la reconstrucción de la perturbación a partir de la ecuación que la describe y la estimación realizada por el observador, se puede ver que el observador no realiza una adecuada estimación de dicha perturbación.

Figura 3.8. Resultados en simulación del control GPID OBSV aplicado al brazo de eslabón flexible e

introduciendo la estimación de la perturbación con el observador.

Como parte de la pruebas para demostrar que una estimación adecuada de la perturbación generaría que el desempeño del controlador fuese adecuado, se reconstruyó la perturbación a partir de la ecuación que la describe y a se agregó a la señal de control. La Figura 3.9 muestra los resultados obtenidos en esta prueba; como se puede observar en esta figura, la correcta estimación de la perturbación genera que el desempeño del controlador no se vea afectado. En la Figura 3.9 b se puede observar que el error de seguimiento se minimizó respecto al error obtenido en la prueba anterior, este error se encuentra entre 0.002 rad .

Figura 3.9. Resultados en simulación del control GPID OBSV aplicado al brazo de eslabón flexible e

introduciendo la reconstrucción de la perturbación a partir de la ecuación de 1, , ,

my y V m .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

a) Seguimiento de la referencia de tipo Bezier

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

d) Estimacion de la perturbacion asociada a la masa de la punta del brazo

EcuaciónObservador

seg

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


ReferenciaSalida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2x 10-3


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

c) Señal de control para la referencia de tipo Bézierseg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

d) Estimacion de la perturbacion asociada a la masa de la punta del brazo

EcuaciónObservador

seg


64

En la Figura 3.9 d se muestra la reconstrucción de la perturbación hecha partir de ecuación que la describe y la estimación realizada por el observador, como se puede ver en esta figura el observador no puede reconstruir la perturbación. La Tabla 3.5 muestra los resultados de la evaluación de los criterios de error de las pruebas anteriores, como se puede ver en esta tabla, el desempeño del controlador se degrada debido a la errónea estimación de la perturbación y al realizar la estimación de la perturbación con la ecuación al que la describe el desempeño del controlador no se degrada.

Tabla 3.5. Criterios de desempeño del control GPID OBSV aplicado al brazo de eslabón flexible.

Criterio Con observador Con ecuación ISE 0.015 0.0000 IAE 0.4441 0.0094

ITAE 5.157 0.0879

Conclusión del experimento De los resultados obtenidos en este experimento se puede concluir que:

Ya que se necesita la función de transferencia del sistema, al obtener la función que representa al sistema de brazos flexibles se tuvo que al pasar a la representación en forma canónica observable el sistema no es observable, por lo que la estimación de la perturbación no es correcta y, por tanto, el control GPID RPC, que se utiliza en el esquema de compensación, es quien realiza toda la acción de control e incluso trata de anular los efectos de la incorrecta estimación de la perturbación.

3.5. RESULTADOS PREVIOS En este capítulo se abordó el análisis, diseño e implementación en tiempo real del control PID generalizado, del cual se estudiaron tres variantes: el control GPID robusto para perturbaciones contantes, el control GPID robusto para perturbaciones polinomiales y el control GPID basado en observador. Respecto a los desempeños obtenidos con los controladores PI y LQR, se pudo constatar que dos de las variantes del control GPID minimizan los criterios de error utilizados con el fin de obtener información cuantitativa del desempeño de los controladores. Por otro lado, haciendo un breve análisis del desempeño de los controladores GPID, el control GPID robusto para perturbaciones constantes fue el que presentó el mejor desempeño de entre las tres variantes, aunque entre el desempeño de éste y el desempeño del control GPID robusto para perturbaciones polinomiales, no hubo una diferencia sustancial. El control GPID basado en observador que no pudo superar el desempeño de los dos anteriores, debido a

CAPÍTULO 3

65

que el modelo obtenido no es observable, lo que origina que la estimación de la perturbación sea errónea y, por tanto, no se realice una adecuada compensación. Finalmente, el diseño de los controladores GPID está fuertemente ligado del conocimiento del modelo del sistema, obviamente este hecho genera tener que realizar un proceso de modelado y validación del modelo del sistema, además de la obtención de un control nominal basado en platitud diferencial; por otro lado, en el capítulo siguiente se aborda el análisis y diseño del control i-PID, en el cual el modelo del sistema es descartable y aun así poder resolver el problema de seguimiento de trayectoria.


66

67

Capítulo 4

4. CONTROL i-PID

El esquema de control i-PID, que se presenta en [11] y [16], es un esquema que toma en cuenta partes desconocidas de la planta que se desean controlar sin tener que modelarlas, estas partes desconocidas pueden ser no linealidades o parámetros variables en el tiempo.

Dentro del esquema de i-PID se tienen dos variantes: el control i-PID libre de modelo y el control i-PID de modelo restringido. En la primera variante se tiene un desconocimiento total del modelo del sistema, y se basa en la actualización local de un modelo elemental mediante el uso de la información de entrada y salida del sistema. Este modelo engloba las partes no modeladas de dicho sistema. La actualización del modelo elemental no se debe confundir con la identificación de cajas negras. En la segunda variante se tiene modelado parcialmente el sistema, de éste se obtiene el control nominal basado en platitud diferencial; al igual que en el esquema libre de modelo, es una identificación local de las partes desconocidas del sistema, pero en este caso, se realiza a partir de la reconstrucción del control nominal.

Ambos esquemas requieren de la obtención de las derivadas de la señal de salida del

sistema, por lo que es necesario un derivador que obtenga derivadas de una señal con ruido de medición. En el apéndice B se muestra el derivador utilizado.


68

†Teorema de la función implícita: considere la función ( , )z F x y . Sea 20 0,( )x y un punto tal que 0 0( , ) 0F x y .

Suponga que la función F tiene derivadas parciales en una bola B con centro 0 0( ),x y y que 0 0( , ) 0F y x y .

Entonces 0 0( , ) 0F x y se puede resolver para y en términos de x y definir así una función ( )y f x con dominio en una vecindad V de 0x , tal que 0 0( )y f x [30].

4.1. CONTROL i-PID LIBRE DE MODELO Considere el sistema SISO de dimensión finita

, , , , , , , , 0l kE t y y y u u u (4.1)

Este sistema puede ser lineal o no lineal. E es una función suficientemente suave de sus argumentos, es decir, tanto la entrada como la salida son continuamente diferenciables. Se

asume que para un entero n , 0 , 0nn l E y [11], por lo tanto, al utilizar el teorema

de la función implícita†, se puede determinar la n -ésima derivada de la salida del sistema a partir de (4.1). Entonces se tiene que:

1 1, , , , , , , , , , ,n n n l ky t y y y y y u u u E (4.2) al aproximar F u E , se obtiene ny F u (4.3) donde:

es un parámetro constante no físico, el cual se elige de tal manera que F y u sean de la misma magnitud.

F contiene la información del sistema que se desea controlar.

La función nF y u se obtiene mediante la estimación de la n -ésima derivada de la salida del sistema. En dicha función se concentra toda la información del sistema que se desea controlar.

Se asume que el sistema es invertible por la izquierda, es decir, que se pueden calcular las variables de salida a través de ecuaciones diferenciales [16]. Si hay más variables de salida que variables de entrada, por ejemplo, p m , se toman m variables de salida, para conseguir un sistema cuadrado invertible. La ecuación (4.3) se extiende a partir de

1( )

1 1 1,1 1 1,( )

,1 1 ,

...

...p

n

m mn

p m m p m m

y F u u

y F u u

(4.4)

donde 1j

n , 1, ,j p .

CAPÍTULO 4

69

Para eliminar cualquier lazo algebraico debido a que la estimación de F se realiza con

la señal de control, se calcula un valor numérico de

( )

,1 1 ,...jn

j j j j m mF y u u (4.5)

en cada instante de muestreo mediante [16]:

( )

,1

( ) [ ( )] , ( 1)j

mn

j j e j i ii

F k y k u k

(4.6)

donde [ ( )]jn

j ey k corresponde a la estimación de la derivada en el instante de tiempo k .

Para poder obtener el comportamiento deseado del sistema anteriormente descrito se

propone la siguiente estructura, a la que nos referiremos como PID inteligente [11] y [16]:

*( )n

p y i y d y

F yu K e K e K e

(4.7)

donde y es la trayectoria de referencia, ny es la n -ésima derivada de la trayectoria de

referencia, y e y y es el error de seguimiento.

4.2. CONTROL i-PID LIBRE DE MODELO APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES

Para la aplicación del control PID inteligente libre de modelo se pueden seguir los pasos que se enlistan a continuación:

1. Sintonizar un control PID, PI ó PD clásico. 2. Determinar el orden la derivada de la señal de referencia y de la señal de salida. 3. Obtener la estimación de F . 4. Determinar el valor de la constante de diseño de tal forma que F y u sean de la

misma magnitud.

Así, en lo que concierne a la aplicación del control PID inteligente a los brazos flexibles, se sintonizaron controladores PI.

Por tanto, se utilizó un control i-PI para realizar seguimiento de trayectoria, las ganancias proporcional e integral propuestas para el brazo de eslabón flexible son las que se obtuvieron para la aplicación del control PI en el capítulo 2, estas ganancias son:


70

3.069

0.1924

p

i

KK

El parámetro para la estimación de F es δ = 70, y se utiliza sólo la primera derivada de la señal de salida y de la señal de referencia, es decir, y y *y . Por lo tanto, el control i-PI tiene la forma

*m p i

F yV K e K e

La estimación de F esta dado por:

mF y V

En la Figura 4.1 se muestra el diagrama esquemático del control i-PI. Para la obtención

de las derivadas de la referencia y de la señal de salida se utilizó el filtro de variables de estado (FVE) [28], el cual es capaz de obtener la derivada a pesar del ruido que contiene la medición de la posición del motor y del brazo. El filtro se muestra en el apéndice B.

Figura 4.1. Diagrama esquemático para el esquema de control i-PI libre de modelo.

4.2.1. Resultados de la aplicación de control i-PI libre de modelo al brazo de eslabón

flexible Experimento 4. Seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control i-PI libre de modelo. Objetivo.

El objetivo de este experimento es realizar seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control i-PI libre de modelo. La importancia de la aplicación de este control es minimizar los resultados de los criterios de error obtenidos


Brazo de


flexib le


mV y*y

ddt

PI

1

*yddt

yF

Control i-PI libre de modelo

CAPÍTULO 4

71

con los controladores lineales, además de comparar su desempeño con el desempeño del los controladores GPID. Desarrollo del experimento




Resultados del experimento


En la Figura 4.2, se muestran los resultados obtenidos con el control PI inteligente libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta. Considerando los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se observa que el seguimiento de trayectoria es adecuado, pero presenta errores en las transiciones de la trayectoria. Esto origina que el desempeño del controlador se degrade. Por otro lado, no se presentan oscilaciones debidas a las flexibilidad del eslabón, como se observa en la Figura 4.2 b que muestra el error de seguimiento. La señal de control no presenta ruido, en comparación con las señales generadas por los controladores GPID. Cuando la señal de referencia llega una posición constante la señal de control oscila, como se observa en la Figura 4.2 c, pero sin ocasionar movimiento del eje del motor debido a que está por debajo del nivel del voltaje de zona muerta.

Ahora en lo que concierne a los resultados obtenidos con la señal de referencia sinusoidal, se puede observar que el seguimiento de trayectoria es mejor que con la trayectoria de tipo Bézier, en la Figura 4.2 e, que muestra el error de seguimiento, se observa que éste presenta oscilaciones pero de menor amplitud que con la primera referencia, esto origina que el desempeño del controlador sea mejor.

En la Tabla 4.1, que muestra los criterios de error evaluado, se puede comprobar la

diferencia entre los desempeños obtenidos para cada una de las referencias. Claramente se observa que se tiene un mejor desempeño con la referencia sinusoidal que con la referencia de tipo Bezier.


72

Figura 4.2. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo

de eslabón flexible sin masa en la punta.

Tabla 4.1. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 3.2862 1.7438

Resultados obtenidos con masa en la punta del brazo

En la Figura 4.3 se muestran los resultados obtenidos al agregar masa en la punta del brazo; tomando en cuenta los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se puede observar que la masa en la punta del brazo afecta notoriamente el seguimiento de trayectoria y, por ende, el desempeño del controlador. En la Figura 4.3 b, que muestra el error de seguimiento, se pueden ver las oscilaciones que la masa genera, éstas presentan mayor amplitud que en el caso sin masa.

Ahora, considerando los resultados obtenidos con la señal de referencia sinusoidal, se puede observar que la masa originó que el brazo oscilara a lo largo de la trayectoria de referencia. En la Figura 4.3 e, que muestra el error de seguimiento, se pueden ver dichas oscilaciones, esto origina que el desempeño del control se degrade de manera notoria. La señal de control, mostrada en la Figura 4.3 f, se torna oscilatoria, y por ende, no puede estabilizar las oscilaciones del brazo.

En la Tabla 4.2 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error,

comparando esta tabla con la Tabla 4.1 se puede observar claramente la degradación de los desempeños cuando se agrega la masa.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

CAPÍTULO 4

73

Figura 4.3. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo

de eslabón flexible con masa en la punta.

Tabla 4.2. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 4.4663 13.0485

Conclusiones y observaciones del experimento De los resultados obtenidos en este experimento se puede concluir que:

El control i-PI libre de modelo logro mejorar el desempeño del control LQR. Se descarto completamente el modelo del sistema en el diseño del controlador y aun

así realizar seguimiento de trayectoria. Por otro lado, el control PI necesitó del control basado en platitud diferencial ya que por sí sólo no realizaba un adecuado seguimiento de trayectoria.

Este controlador no pudo mejora los desempeños obtenidos con los controladores GPID robusto para perturbaciones constantes y para perturbaciones polinomiales.

Se pudo notar que el agregar la masa en la punta del brazo originó que el desempeño se degradara, respecto al desempeño obtenido en el caso sin masa. El sistema se tornó oscilatorio cuando se utilizó la referencia sinusoidal.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


74

4.3. CONTROL i-PID DE MODELO RESTRINGIDO Considere un sistema el cual se modeló parcialmente, éste puede ser representado mediante

, , , 0n m

y y u u G (4.8)

donde G representa las partes no modeladas del sistema.

La entrada de control puede ser representada como una función de la salida y de sus n derivadas sucesivas, esto representa que el sistema es diferencialmente plano, por tanto, la entrada de control se representa por

,n

u y y H (4.9)

donde H G en general. H se puede considerar como una perturbación asociada a la entrada de control. De (4.9) se obtiene el control nominal al definir una trayectoria de referencia *y y sin considerar los efectos de H , por tanto se tiene que

** *,n

u y y (4.10)

La estimación de H se realiza mediante la obtención de las n derivadas sucesivas de la

señal de salida, así como el uso de la señal de control, por tanto, H tiene la forma

*ˆ ˆH u u (4.11)

Se propone el siguiente controlador i-PID de modelo restringido [16]

* ˆ

p y i y d y

u Hu K e K e K e

(4.12)

4.4. CONTROL i-PID DE MODELO RESTRINGIDO APLICADO A LOS BRAZOS FLEXIBLES

Para la aplicación del control PID inteligente de modelo restringido se pueden seguir los pasos que se enlistan a continuación:

1. Obtener el control nominal del modelo parcial del sistema. 2. Sintonizar un control PID, PI ó PD clásico.

CAPÍTULO 4

75

3. Obtener la estimación de H . 4. Determinar el valor de la constante de diseño .

Así entonces, como el procedimiento anterior lo indica, se procede a obtener el control

nominal de la parte modelada del sistema, que en este caso es el motor de CD, entonces, considerando el modelo de dicho motor el cual está descrito por (2.7), éste es:

Teq m load eq m g m m T g load g m g T m

J R B R K K K K K V

Para facilitar la notación, el modelo se reescribe como sigue: 1 0load load m

c cV (4.13) donde

2

0 1,g m g T eq m g m m T g

eq m eq m

K K B R K K Kc c

J R J R

De la ecuación (4.13), se observa que está en función de la velocidad vista desde la caja

de engranaje y de la aceleración, es decir, load y load

, por tanto, se considera como salida

plana la posición load , así, se define el control nominal para el motor de CD, éste está

descrito por

* * *1

0

1m load load

V cc

Así entonces, con el control nominal definido, se propone utilizar el siguiente control i-

PI de modelo restringido * ˆ

mm p y i y

V HV K e K e

donde la estimación de H se realiza mediante

10

1 ˆ ˆˆload load

H c uc

Retomando las ganancias proporcional e integral del experimento anterior: 3.069pK y

0.1924iK ; el parámetro para la estimación de H es 70 . En la Figura 4.4 se muestra el diagrama esquemático del control i-PI de modelo restringido aplicado a los brazos flexibles.


76

Figura 4.4. Diagrama esquemático para el esquema de control i-PI de modelo restringido.

4.4.1. Resultados de la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de

eslabón flexible Experimento 4. Seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control i-PI libre de modelo. Objetivo

El objetivo de este experimento es realizar seguimiento de trayectoria de posición del sistema de brazo de eslabón flexible con la aplicación del control i-PI libre de modelo. La importancia de la aplicación de este control es minimizar los resultados de los criterios de error obtenidos con los controladores lineales, además de realizar una comparación de su desempeño con los desempeños del control i-PI de libre de modelo y con la variantes del control GPID. Desarrollo del experimento





Brazo de


flexible


mV y*y

PI

1

HControl Platitud diferencial

Reconstrucción*u

Control i-PI con modelo restringido.

CAPÍTULO 4

77

Resultados del experimento Resultados obtenidos sin masa en la punta del brazo

En la Figura 4.5 se muestran los resultados de la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta. Considerando los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se puede observar que se obtuvo un seguimiento de trayectoria eficiente. Como se puede ver en la Figura 4.5 b, que muestra el error de seguimiento, éste tiende a converger a cero cuando la referencia alcanza un valor constante.

En lo que concierne a los resultados obtenidos con la trayectoria de referencia sinusoidal, en esta figura se observa que el seguimiento de trayectoria adecuado. En la Figura 4.5 e, que muestra el error de seguimiento, se puede ver que se presenta un sobretiro en este error al inicio de la trayectoria pero que el controlador atenúa con facilidad, posteriormente se observa que se tiene un error oscilatorio pero de una amplitud máxima de 0.03 rad . Como se puede observar en las figuras 4.7 c y f, que muestran las señales de control, estas señales no se ven afectadas por el ruido que se tiene en los sensores.

En la Tabla 4.3 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error, al

comparar esta tabla con la Tabla 4.1 se puede observar que el control i-PI libre de modelo tuvo un mejor desempeño con la trayectoria de tipo Bézier, pero el control i-PI de modelo restringido mejoró el desempeño obtenido con la trayectoria sinusoidal.

Figura 4.5. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado al

brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


78

Tabla 4.3. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 3.5051 1.4978

Resultados obtenidos con masa en la punta del brazo En la Figura 4.6 se muestran los resultados obtenidos al agregar masa en la punta del

brazo. Considerando los resultados que se obtuvieron con la señal de referencia tipo Bézier, se puede observar claramente que el control i-PI de modelo restringido supera el desempeño del control i-PI libre de modelo, en la Figura 4.6 b, que muestra el error de seguimiento, se puede ver que las oscilaciones se ven atenuadas, esto origina que el desempeño no se degrade de manera considerable, en comparación con el desempeño del control i-PI libre de modelo.

Ahora, en lo que respecta a los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, se

puede observar que los efectos de la masa también son compensados, como se puede ver en la Figura 4.6 e, que muestra el error de seguimiento. Al inicio de la trayectoria se presentan oscilaciones que en aproximadamente dos segundos son atenuadas, y aunque a lo largo de la evolución de la trayectoria continúan oscilaciones, no origina que el sistema se torne inestable como en el caso del control i-PI libre de modelo, en el cual se torno oscilatorio.

La Tabla 4.4 muestra los resultados de la evaluación de los criterios de error, al

comparar esta tabla con la Tabla 4.2 se puede observar como el desempeño del control i-PI de modelo restringido supera al desempeño del control i-PI libre de modelo.

Figura 4.6. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado al

brazo de eslabón flexible con masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

CAPÍTULO 4

79

Tabla 4.4. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 3.596 2.2144 Conclusiones y observaciones del experimento

De los resultados obtenidos en este experimento se puede concluir que:

El control i-PI de modelo restringido logro mejorar el desempeño de control LQR. Ahora este controlador tomo en cuenta el modelo parcial del sistema, y se obtuvo el

control basado en platitud diferencial correspondiente a este modelo. Al igual que el control i-PI libre de modelo, este controlador no pudo mejorar los

desempeños obtenidos con los controladores GPID robusto para perturbaciones constantes y para perturbaciones polinomiales.

Un aspecto relevante es que al aplicar la referencia sinusoidal y agregar masa en la punta del eslabón, el control compensó las oscilaciones que la masa originaban, a diferencia del control i-PI libre de modelo, con el cual el sistema se tornaba oscilatorio.

4.5. RESULTADOS PREVIOS

En este capítulo se realizó el análisis, diseño e implementación del control i-PID con dos variantes, las cuales son: el control i-PID libre de modelo y el control i-PID de modelo restringido. El control i-PID libre de modelo omite la necesidad de modelar el sistema y aun así se puede diseñar un control capaz de realizar seguimiento de trayectoria, pero se pudo constatar que este control no siempre mantiene un buen desempeño, ya al agregar masa en la punta del brazo y tener como referencia una señal sinusoidal el sistema se tornaba oscilatorio. Por otro lado, el control i-PID de modelo restringido toma en cuenta el modelo parcial del sistema para el diseño de éste, lo cual genera que el control presente mayor robustez que el control i-PID libre de modelo, ya que el agregar la masa en la punta no originó que el sistema se tornara oscilatorio, como en el caso de control i-PID libre de modelo. Ahora que los controladores propuestos se han implementado, en el capítulo siguiente se realiza un análisis comparativo entre estos, se dan las conclusiones y se enumeran algunos trabajos futuros.


80

81

Capítulo 5

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS, CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.1. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Dentro del desarrollo del proyecto de tesis se abordaron diferentes variantes de los controladores GPID e i-PID, para el control GPID se estudiaron los esquemas: GPID robusto para perturbaciones constantes, GPID robusto para perturbaciones polinomiales, GPID basado en observador. Para el control i-PID se estudiaron los esquemas: i-PID libre de modelo e i-PID de modelo restringido. Todos los esquemas propuestos se simularon e implementaron en tiempo real y se aplicaron a un brazo de eslabón flexible y a un brazo de articulación flexible, ambos de un grado de libertad (Los resultados de la aplicación al brazo de articulación flexible se muestran en el apéndice A y los resultados en simulación se muestran en el apéndice B). Para la evaluación del desempeño de los controladores se utilizaron los siguientes tres criterios de error: ISE, IAE, ITAE. Como punto referencia para determinar la diferencia entre los desempeños de los controladores GPID, i-PID y los dos controladores lineales propuestos en el capítulo dos, se tomará el criterio de error ITAE, ya que como se observó, este criterio da información para poder hacer una correcta distinción entre el desempeño de los controladores.

En la Tabla 5.1 se muestran los resultados de la evaluación del criterio ITAE para los controladores aplicados al brazo de eslabón flexibles, para este caso se utilizó como referencia la señal construida a partir de polinomios de Bézier. Como se puede observar en esta tabla, el


82

controlador que mejor realizó el seguimiento de trayectoria de trayectoria fue el control GPID robusto para perturbaciones constantes (GPID RPC), el cual se puede observar que de acuerdo con el control PI y LQR, logró minimizar este criterio de error. El control GPID robusto para perturbaciones polinomiales (GPID RPP) también minimizó el criterio ITAE, pero no logró mejorar el desempeño del control GPID RPC.

Por otro lado, se observa que los controladores i-PI (libre de modelo y de modelo

restringido), en el caso sin masa en la punta, presentan desempeños similares, a pesar de que uno de estos controladores hace de lado el modelo del sistema, éste realiza un seguimiento de trayectoria que se puede considerar adecuado, el otro controlador, que utiliza el modelo parcial de sistema, también realiza un seguimiento adecuado de trayectoria, pero el hecho de que éste utilice dicho modelo parcial del sistema hace que se marque diferencia entre el desempeño de estos dos controladores al agregar la masa en la punta del brazo.

Dentro de las pruebas realizadas para evaluar el desempeño de los controladores propuestos, se propuso agregar una masa en el extremo del brazo para comprobar la robustez de los controladores ante perturbaciones desconocidas. En la Tabla 5.1 se muestran los resultados de la evaluación del criterio de error ITAE al agregar masa en la punta del brazo. En esta tabla se puede observar que el control GPID RPC es el que mejor desempeño obtuvo, la masa en la punta del brazo no origino que el desempeño del controlador se degradara de forma significativa. De los controladores PI y LQR, se observa que el desempeño PI se degrado, pero en el caso del control LQR su desempeño se mantuvo. En lo que respecta al control GPID RPP se puede observar que el desempeño tuvo una ligera mejora, pero de igual forma que en el caso sin masa, no mejora el desempeño del control GPID RPC.

Tabla 5.1. Resultados de la evaluación del criterio de error ITAE con la referencia basada en polinomios de Bézier.

Controlador ITAE sin masa ITAE con masa PI 2.9822 3.1552 LQR 5.5880 5.5556 GPID RPC 0.6466 0.7551 GPID RPP 1.8712 1.6706 GPID OBSV - - i-PI libre de modelo 3.2862 4.4663 i-PI de modelo restringido 3.5051 3.596

Dentro de los controladores i-PI, se observa que el desempeño del control i-PI libre de

modelo se degradó debido a las oscilaciones que la masa en la punta originaba. Para el caso de control i-PI de modelo restringido, se observa que éste presentó robustez ante la variación de la masa en la punta del brazo, se puede ver que los desempeños no presentan variaciones significativas, por lo que se puede decir que el desempeño de este controlador se mantuvo.

CAPÍTULO 5

83

Se propuso utilizar como segunda trayectoria de referencia una señal sinusoidal de baja frecuencia. En la Tabla 5.2 se presentan los resultados de la evaluación del criterio de error ITAE de cada controlador propuesto, se puede observar en esta tabla que el control GPID RPC presentó el mejor desempeño de todos los controladores, al igual que el caso de la referencia construida a partir de polinomios de Bézier. Los controladores PI y LQR son los que presentan el desempeño más bajo.

Los controladores i-PI presentaron una mejora en su desempeño, esto respecto al

desempeño obtenido con la primera referencia. Se puede observar que estos controladores mejoran los desempeños de los controladores PI y LQR. Por otro lado, se puede decir que la diferencia entre el desempeño del control i-PI de modelo restringido y el desempeño del control i-PI libre de modelo no es significativa en el caso donde no se agrega masa en la punta del brazo.

Por último, al observar los resultados de la evaluación del criterio de error ITAE al

aplicar como referencia la señal sinusoidal y agregando masa en la punta de los brazos, que se muestran en la Tabla 5.2, se puede observar que al igual que en el caso de la primera referencia, los controladores GPID presentan los mejores desempeños, y dentro de las dos variaciones evaluadas de éste, el control GPID RPC presentó el mejor desempeño. Los controladores PI y LQR no presentan mejora en ninguno de los casos y, además, el control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible presentó inestabilidad, por lo cual no se concluyó la prueba para evitar daños al motor del sistema. En la aplicación de los controladores i-PI se tuvo que el control i-PI libre de modelo no pudo compensar el que se haya agregado la masa en la punta del brazo. En el caso del control i-PI de modelo restringido, éste si compensó los efectos de la masa y únicamente presentó ligeras variaciones en su desempeño respecto al caso sin masa, a diferencia del control i-PI libre de modelo que se tornaba oscilatorio. Tabla 5.2. Resultados de la evaluación del criterio de error ITAE con la referencia sinusoidal.

Controlador ITAE sin masa ITAE con masa PI 2.3398 2.6395 LQR 4.7942 - GPID RPC 0.5627 1.0436 GPID RPP 0.9749 1.2111 GPID OBSV - - i-PI libre de modelo 1.7438 13.0485 i-PI de modelo restringido 1.4978 2.2144

En el aspecto de la metodología de diseño de los controladores implementados, el control GPID, en sus dos variantes implementadas, presenta un desarrollo más complejo que el control i-PI, en sus dos variantes, debido a que se tiene que contar con una representación matemática, al menos parcial, del sistema físico, hecho que el control i-PI libre de modelo


84

hace a un lado, lo cual hace que el diseño del control i-PI sea más sencillo. Por otro lado una de las desventajas de control i-PI es el hecho de que utiliza derivadas de la señal de salida del sistema, y como se sabe, los sensores utilizados para la medición de variables físicas por naturaleza presentan ruido, debido a diversas fuentes, por tanto se requiere de algoritmos de derivación que sean robusto al ruido, pero en algunos casos de implementación en tiempo real no pueden ser aplicados satisfactoriamente. Respecto al control GPID basado en observador no se obtuvieron resultados, ya que la estructura del modelo de los brazos flexibles necesaria para la aplicación de este controlador, resulto que esta estructura no era observable.

5.2. CONCLUSIONES Dentro de las dos técnicas de control analizadas, se pudo constatar que tanto el control GPID como el i-PID presentan una solución para el problema de seguimiento de trayectoria aplicado a un brazo de eslabón o articulación flexible (los resultados que conciernen al brazo de articulación flexible se muestran en el apéndice A), lo que representa que las hipótesis planteadas en el capítulo 1 se comprobaron satisfactoriamente.

Los esquemas de control presentan robustez ante perturbaciones desconocidas, el control GPID presenta tres variantes las cuales son: robusto para perturbaciones constantes, para perturbaciones polinomiales y basado en observador que también es robusto para perturbaciones polinomiales pero éste estima la perturbación de asociada a la entrada de control y se cancela directamente. Respecto al control i-PID presenta sólo dos variante: libre de modelo y de modelo restringido.

Una de las ventajas de estos controladores es que pueden ser aplicados a sistemas no

lineales, siendo estos controladores de naturaleza lineal. El control GPID robusto para perturbaciones constantes considera una perturbación constante desconocida, la cual puede variar en el tiempo, aproxima mediante constantes un perturbación que no sea constante, el control GPI robusto a perturbaciones polinomiales y el control GPID basado en observador puede compensar los efectos de no linealidades que no sean tomadas en cuenta en el modelado del sistema, ya que el primero considera estas no linealidades como polinomios de coeficientes desconocidos y variantes en el tiempo, lo que hace capaz de compensar las no linealidades del sistema y hacer un seguimiento de trayectoria adecuado, el segundo esquema estima los efectos de las no linealidades en la entrada y lo compensa directamente, éste también se basa en aproximar las no linealidades mediante polinomios de coeficientes desconocidos.

En lo que respecta al control i-PI libre de modelo, éste se basa en realizar una

identificación local del sistema a partir de derivadas de la salida y de la señal de control, esto da origen a la función F, mediante la estimación de derivadas de las señal de salida, y se introduce en el control, respecto al control i-PI de modelo restringido también se realiza un

CAPÍTULO 5

85

identificación local de la función H, que se obtiene a partir del modelo parcial del sistema, y de igual forma se introduce al control.

Respecto a la aplicación de los controladores a los brazos flexibles se puede decir que se obtuvieron resultados satisfactorios, el modelo obtenido en la Capítulo 2 no representa fielmente al sistema real, ya sea por dinámicas no lineales eliminadas en proceso de linealización o por incertidumbre en los parámetros, pero este hecho no fue de gran relevancia ya que los controladores propuestos presentan robustez ante dichas incertidumbres.

Respecto a los esquemas de control, el control GPID robusto a perturbaciones constante

fue el que mejor desempeño tuvo, el controlador GPID robusto para perturbaciones polinomiales no pudo superar al control GPID robusto para perturbaciones constante, esto nos dice que no fue es necesaria la implementación de controladores más complejo para obtener un buen desempeño de un sistemas en lazo cerrado, pero por otro lado todo dependerá de las necesidades y de la dinámica de cada sistema en particular.

El control GPID basado en observador no se pudo aplicar al sistema de brazos flexible,

ya que al pasar el modelo a función de transferencia y obtener la representación de este en forma canónica observable, el sistema resultante es no observable, por lo que no se puede realizar una adecuada estimación de la perturbación y, por ende, no se puede aplicar.

El control i-PI también presentó una solución adecuada para el control de los brazos

flexibles, ya que como se sabe este control puede tomar en cuenta o no lo que se conozca del modelo de sistema, lo que hace una solución prometedora para sistemas más complejos.

5.3. TRABAJOS FUTUROS

En este trabajo de tesis se abordó el estudio de dos tipos de controladores que se derivan del control PID clásico, estos fueron: el control GPID con tres variantes: GPID robusto para perturbaciones contantes, GPID robusto para perturbaciones polinomiales, GPID basado en observador, y el control i-PID con dos variantes: i-PID libre de modelo e i-PID de modelo restringido. Estos controladores fueron aplicados a brazos flexibles, tanto el caso del brazo de eslabón flexible como el de articulación flexible, donde estos presentan una dinámica rápida y oscilatoria; estos sistemas se engloban dentro de los sistemas electromecánicos. Por otro lado, estos dos brazos flexibles, son sistemas SISO (single input- single output); así entonces, como trabajos futuros se proponen:

1. La aplicación a brazos robóticos de más de un grado de libertad. 2. La aplicación a sistemas MIMO, en el cual se puede diseñar un banco de controladores

para cada salida y entrada. 3. El estudio de tolerancia a fallas, tanto en simulación como en tiempo real.


86

87

6. Referencias

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90

91

7. Apéndice A

En este apéndice se mostrarán los resultados en tiempo real de la aplicación de los controladores propuestos ene los capítulos 3 y 4 al brazo de articulación flexible. A.1. RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL GPID RPC AL BRAZO DE ARTICULACIÓN FLEXIBLE Para la aplicación del control GPID robusto para perturbaciones constantes al brazo de articulación flexible, se definieron los siguientes parámetros para el polinomio deseado de lazo cerrado, estos son

1

25n

Estos parámetros son similares a los que se propusieron para el brazo de eslabón flexible.

A continuación, en la Figura A.1 se muestran los resultados obtenidos con el control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible, sin masa en la punta del brazo. La Figura A.1 a muestra el seguimiento de trayectoria de la señal tipo Bézier, se puede observar que el seguimiento de trayectoria es eficiente, de la Figura A.1 b el error de seguimiento, se puede ver que este error se mantiene oscilando entre 0.005 rad aproximadamente, por lo que se tiene un mejor desempeño respecto al desempeño de los controladores clásicos.

Ahora, de los resultados obtenidos con la señal de referencia sinusoidal, se observa que

se tiene un buen seguimiento de trayectoria, como lo muestra la Figura A.1 d. El error de seguimiento presenta ligeras oscilaciones pero que tienden a converger a cero, como se puede


92

ver en la Figura A.1 e, lo que origina que se tenga un buen desempeño del controlador, respecto al resultado obtenido con los controladores clásicos. En las Figuras A.1 c y f se puede observar que las señales de control que se generaron para cada una de las referencias presentan oscilaciones de alta frecuencia pero que no afectan el desempeño del sistema.

En la Tabla A.1 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error

para el control GPID RPC con el brazo de articulación flexible sin masa en la punta, al igual que en los resultados obtenidos con el brazo de eslabón flexible, se observa que el controlador presentó un mejor desempeño con la referencia de tipo sinusoidal que con la señal basada en polinomio de Bézier.

Figura A.1. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible

sin masa en la punta.

Tabla A.1. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 0.5845 0.5336

Ahora se muestran los resultados obtenidos con masa en la punta del brazo, de la Figura A.2 b, que muestra el error de seguimiento, se puede observar que éste se vio afectado por la masa en la punta de brazo, haciendo que la amplitud de las oscilaciones aumentara, pero por efectos de fricción en la articulación de éste, el error tendía a converger a cero lo que originó que el desempeño se mejorara respecto al desempeño obtenido en el caso donde no se agrega masa en la punta del brazo. En la Tabla A.2 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error, comparando esta tabla con la Tabla A.1 se puede comprobar lo anteriormente mencionado.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.01

0

0.01


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice A

93

De los resultados obtenido con la señal de referencia sinusoidal, se puede observar que las oscilaciones del error de seguimiento aumentaron su amplitud, respecto a lo obtenido en el caso sin masa, como se observa en la Figura A.2 e, pero este hecho no originó que el desempeño del controlador se degradara significativamente, como en el caso del brazo de eslabón flexible, al comparar la Tabla A.2 con la Tabla A.1 se puede observar claramente la ligera diferencia entre los desempeños para esta referencia.

Figura A.2. Resultados en tiempo real del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación flexible

con masa en la punta.

Tabla A.2. Criterios de desempeño del control GPID RPC del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 0.5414 0.6001 A.2. RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL GPID RPP AL BRAZO DE ARTICULACIÓN FLEXIBLE Para la aplicación del control GPID robusto para perturbaciones polinomiales al brazo de articulación flexible, se definieron los siguientes parámetros para el polinomio deseado de lazo cerrado

1

25

5n

p

La Figura A.3 muestra los resultados obtenidos al aplicar el control GPID RPP sin masa

en la punta del brazo. Considerando los resultados con la trayectoria de tipo Bézier, se observa que se tiene un seguimiento de trayectoria eficiente, el error, mostrado en la Figura A.3 b, se

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

-0.01

0

0.01


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


94

mantiene acotado entre 0.005 rad , esto origina que mejore el desempeño del control GPID RPC, aunque la señal del control GPID RPP presente un mayor nivel de ruido, como se observa en la Figura A.3 c.

De los resultados obtenidos con la señal de referencia sinusoidal, se puede observar que el al inicio de la trayectoria el error de seguimiento, mostrado en la Figura A.3 e, presenta oscilaciones que el controlador atenúa posteriormente pero no del todo, durante la evolución de la trayectoria se presentan más oscilaciones, aunque de menor amplitud lo que originó que el desempeño no se degradara, e incluso se mejoró el desempeño del control GPID RPC.

En la Tabla A.3 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error, en

esta tabla se puede observar que el controlador presentó desempeños similares en la aplicación de las dos referencias, y comparando esta tabla con la Tabla 3.3 se observa la mejora que el desempeño del control GPID RPP presentó respecto al control GPID RPC bajo las mismas condiciones.

Figura A.3. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de

articulación flexible sin masa en la punta.

Tabla A.3. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 0.4979 0.4364

Ahora, en la Figura A.4 se muestran los resultados obtenidos con masa en la punta del brazo. Considerando los resultados obtenidos con la referencia tipo Bézier, se puede observar que la masa afecta el seguimiento de trayectoria, esto se puede comprobar en la Figura A.4 b que muestra el error de seguimiento, aquí se puede observar que se presentan oscilaciones en el brazo, e incluso cuando el brazo llega al final de la trayectoria éste comienza a oscilar en

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice A

95

forma creciente, todos estos factores originan que el desempeño se degrade, considerando el desempeño obtenido en el caso sin masa.

Ahora, en los que respecta a los resultados obtenidos con la trayectoria de referencia sinusoidal. Como se puede observar en la Figura A.4 e que muestra el error de seguimiento, éste se ve afectado por la presencia de la masa en la punta del brazo, ya que origina que la amplitud de las oscilaciones aumente y repercute en el desempeño del controlador.

En la Tabla A.4 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error, al

comparar esta tabla con la Tabla A.3 se puede observar como el desempeño del controlador se ve afectado por la presencia de la masa en la punta del brazo.

Figura A.4. Resultados de la aplicación en tiempo real del control GPID RPP aplicado al brazo de

articulación flexible con masa en la punta.

Tabla A.4. Criterios de desempeño del control GPID RPP del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 1.178 0.6452

A.3. RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL i-PI LIBRE DE MODELO AL BRAZO DE ARTICULACIÓN FLEXIBLE Ahora, para la aplicación al brazo de articulación flexible, al igual que con el brazo de eslabón flexible, se utilizó un control i-PI para realizar seguimiento de trayectoria, así entonces, para este caso las ganancias proporcional e integral propuestas son:

4.3126, 0.0058 p iK K y el parámetro para la estimación de F es δ = 120.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


96

La Figura A.5 muestra los resultados de la aplicación del control i-PI a este brazo;

considerando los resultados obtenidos con la señal de referencia tipo Bézier, se tiene un seguimiento de trayectoria eficiente, pero al igual que en el caso del brazo de eslabón flexible, se presentan algunas particularidades, como se puede ver, cuando se presentan las transiciones entre los cambios de posición se presenta un error que posteriormente tiende a cero cuando la posición es constante, como se observa en la Figura A.5 b que muestra el error de seguimiento, pero no converge en cero, sino que presenta pequeñas oscilaciones que originan que el desempeño del controlador se degrade aún más, esto respecto al desempeño que se obtuvo en el caso del brazo de eslabón flexible.

Ahora, considerando los resultados que se obtuvieron con la referencia de sinusoidal, como se observa en la Figura A.5 e, que muestra el error de seguimiento, se puede ver que el error tiene oscilaciones, pero a diferencia del caso en el que se utiliza la referencia de tipo Bézier, la amplitud del error es menor y, por ende, el controlador minimiza los criterios de error evaluados.

En la Tabla A.5, que muestra los resultados de la evaluación de los criterios de error, se

puede comprobar la diferencia entre los desempeños obtenidos para cada una de las referencias.

Figura A.5. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al

brazo de articulación flexible sin masa en la punta.

Tabla A.5. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación

flexible con masa en la punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.0173 0.0043 IAE 0.4599 0.203

ITAE 4.3565 1.8203

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice A

97

En la Figura A.6 se muestran los resultados obtenidos al agregar masa en la punta del brazo de articulación flexible. Considerando los resultados obtenidos con la referencia tipo Bézier, se puede observar que el error mostrado presenta un aumento en las oscilaciones, como se puede ver en la Figura A.6 b, pero este hecho origina que el desempeño del controlador no se degrade notoriamente, ya que las oscilaciones son amortiguadas.

Ahora, considerando los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, se puede observar que la masa en la punta del brazo afecta notoriamente el seguimiento de trayectoria, ya que el controlador no puede compensar dichas oscilaciones, en la Figura A.6 e, que muestra el error de seguimiento, se pueden ver las oscilaciones que la masa genera.


comparar esta tabla con la Tabla A.5 se puede observar como el desempeño del controlador se degrada de forma notoria cuando la masa se agrega y se utiliza como referencia la señal sinusoidal.

Figura A.6. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI libre de modelo aplicado al

brazo de articulación flexible con masa en la punta.

Tabla A.6. Criterios de desempeño del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 4.6568 24.3505

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5


Vol

ts (V

)ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


98

A.4. RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL i-PI DE MODELO RESTRINGIDO AL BRAZO DE ARTICULACIÓN FLEXIBLE Ahora, para la aplicación al brazo de articulación flexible, al igual que con el brazo de eslabón flexible, se utilizó un control i-PI para realizar seguimiento de trayectoria, así entonces, para este caso las ganancias proporcional e integral propuestas son:

4.3126, 0.0058 p iK K y el parámetro para la estimación de H es 100 . La Figura

A.7 muestra los resultados de la implementación en tiempo real; considerando los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se puede observar que el seguimiento de trayectoria es aceptable, en la Figura A.7 b se observa el error de seguimiento, este error presenta algunas oscilaciones que se reflejan en el desempeño del controlador.

En lo que concierne a los resultados obtenidos con la referencia de sinusoidal, se puede ver que el seguimiento de trayectoria es eficiente, en la Figura A.7 e, que muestra el error de seguimiento, se observa que éste presenta un sobretiro al inicio de la trayectoria que es amortiguado por el controlador, posteriormente en la evolución de la trayectoria se presentan ligeras oscilaciones que degradan el desempeño del controlador. La Tabla A.7 que muestra los criterios de error evaluados, se puede ver claramente que el desempeño obtenido con la referencia sinusoidal es mejor que el obtenido con la referencia de tipo Bézier.

Figura A.7. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado

al brazo de articulación flexible sin masa en la punta.

Tabla A.7. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 4.2727 1.5174

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice A

99

En la Figura A.8 se muestran los resultados obtenidos al agregar masa en la punta del brazo de articulación flexible. Considerando los resultados obtenidos con la referencia de tipo Bézier, se puede observar que el haber agregado la masa en la punta del eslabón no afecta el desempeño del controlador, respecto al desempeño obtenido en el caso sin masa, esto se puede comprobar gráficamente observando las Figuras A.9 b y A.10 b, que muestran el error de seguimiento.

Ahora en lo que respecta a los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, se puede observar que el brazo oscila pero el controlador compensa estas oscilaciones atenuándolas, esto se puede ver claramente en la Figura A.8 e, que muestra el error de seguimiento, este hecho origina que el desempeño del controlador no se degrade y, por ende, realice un buen seguimiento de trayectoria.


comparar esta tabla con la Tabla A.6 , se puede observar que el desempeño del control i-PI de modelo restringido es mejor.

Figura A.8. Resultados de la aplicación en tiempo real del control i-PI de modelo restringido aplicado

al brazo de articulación flexible con masa en la punta.

Tabla A.8. Criterios de desempeño del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 4.1572 2.0903

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


100

101

8. Apéndice B

En este apéndice se mostrarán los resultados en simulación de los controladores propuestos en los capítulos 2, 3 y 4. B.1. RESULTADOS EN SIMULACIÓN DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL PI Y LQR A LOS BRAZOS FLEXIBLES En la Figura B.1 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control PI al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.1 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.1. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa

en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


102

Tabla B.1. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.


ITAE 0.5252 0.5126

En la Figura B.2 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control PI al brazo de eslabón flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.2 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.2. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de eslabón flexible con masa

en la punta.

Tabla B.2. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 1.2217 0.6341

En la Figura B.3 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control LQR al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.3 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

103

Figura B.3. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa

en la punta.

Tabla B.3. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.


ITAE 4.9919 5.5038

En la Figura B.4 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control LQR al brazo de eslabón flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.4 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.4. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de eslabón flexible con

masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


104

Tabla B.4. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 5.9704 5.8310

En la Figura B.5 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control PI al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.5 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.5. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de articulación flexible sin

masa en la punta.

Tabla B.5. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 1.7299 2.9562

En la Figura B.6 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control PI al brazo de articulación flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.6 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02

0.04


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

d) Seguimiento de la referencia sinusoidalra

d

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

105

Figura B.6. Resultados de la simulación del control PI aplicado al brazo de articulación flexible con

masa en la punta.

Tabla B.6. Criterios de desempeño en simulación del control PI del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 2.0747 3.0206

En la Figura B.7 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control LQR al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. Tabla B.7 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.7. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible sin

masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

ReferenciaSalida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)

c) Señal de control para la referencia de tipo Bézierseg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


106

Tabla B.7. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 4.9291 5.3001

En la Figura B.8 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control LQR al brazo de articulación flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.8 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.8. Resultados de la simulación del control LQR aplicado al brazo de articulación flexible con

masa en la punta.

Tabla B.8. Criterios de desempeño en simulación del control LQR del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 4.9312 5.3443

B.2. RESULTADOS EN SIMULACIÓN DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL GPID RPC A LOS BRAZOS FLEXIBLES

En la Figura B.9 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPC al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.9 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

107

Figura B.9. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible

sin masa en la punta. Tabla B.9. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de eslabón

flexible sin masa en la punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.0002 0.0002 IAE 0.0190 0.0254

ITAE 0.1844 0.1637

En la Figura B.10 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPC al brazo de eslabón flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.10 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.10. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de eslabón flexible

con masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5x 10-3


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


108

Tabla B.10. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 0.7087 0.21

En la Figura B.11 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPC al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.11 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.11. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación

flexible sin masa en la punta.

Tabla B.11. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 0.3576 0.3134

En la Figura B.12 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPC al brazo de articulación flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.12 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

109

Figura B.12. Resultados de la simulación del control GPID RPC aplicado al brazo de articulación

flexible con masa en la punta.

Tabla B.12. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPC del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 0.4812 0.3173

A.3. RESULTADOS EN SIMULACIÓN DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL GPID RPP A LOS BRAZOS FLEXIBLES En la Figura B.13 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPP al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.13 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.13. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de eslabón flexible

sin masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.01

0

0.01


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


110

Tabla B.13. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de eslabón

flexible sin masa en la punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.0001 0.0007 IAE 0.0363 0.0402

ITAE 0.3452 0.1736

En la Figura B.14 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPP al brazo de eslabón flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.14 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.14. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de eslabón flexible con masa en la punta: a) Seguimiento de posición (Bézier), b) Señal de control, c) Error de posición.

Tabla B.14. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de eslabón

flexible con masa en la punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.007 0.0067 IAE 0.2987 0.1464

ITAE 2.8693 0.4181

En la Figura B.15 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPP al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.15 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1

d) Seguimiento de la referencia sinusoidalra

d

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

111

Figura B.15. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de articulación

flexible sin masa en la punta.

Tabla B.15. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 0.2657 0.1885

En la Figura B.16 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control GPID RPP al brazo de articulación flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.16 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.16. Resultados de la simulación del control GPID RPP aplicado al brazo de articulación flexible con masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.01

0

0.01


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.01

0

0.01

0.02


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


112

Tabla B.16. Criterios de desempeño en simulación del control GPID RPP del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 0.3318 0.2063

B.5. RESULTADOS EN SIMULACIÓN DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL i-PI LIBRE DE MODELO A LOS BRAZOS FLEXIBLES En la Figura B.17 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI libre de modelo al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.17 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.17. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.

Tabla B.17. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.


ITAE 3.3413 1.5727

En la Figura B.18 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI libre de modelo al brazo de eslabón flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.18 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

113

Figura B.18. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón

flexible con masa en la punta.

Tabla B.18. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 3.5149 10.6741

En la Figura B.19 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI libre de modelo al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.19 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.19. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


114

Tabla B.19. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 4.995 1.8307

En la Figura B.20 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI libre de modelo al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.20 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.20. Resultados de la simulación del control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de


Tabla B.20. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI libre de modelo del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 5.753 2.0498

B.6. RESULTADOS EN SIMULACIÓN DE LA APLICACIÓN DEL CONTROL i-PI DE MODELO RESTRINGIDO A LOS BRAZOS FLEXIBLES En la Figura B.21 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.21 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

115

Figura B.21. Resultados de la simulación del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de eslabón flexible sin masa en la punta.

Tabla B.21. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del

brazo de eslabón flexible sin masa en la punta. Criterio Bézier Sinusoidal

ISE 0.0128 0.0024 IAE 0.3650 0.159

ITAE 3.4439 1.3909

En la Figura B.22 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de eslabón flexible al agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.22 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

Figura B.22. Resultados de la simulación del control i-PI de modelo restringido aplicado al brazo de

eslabón flexible con masa en la punta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Volts

(V)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


116

Tabla B.22. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de eslabón flexible con masa en la punta.


ITAE 3.4294 1.3892

En la Figura B.23 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de articulación flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.23 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.



Tabla B.23. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible sin masa en la punta.


ITAE 3.7831 1.3991 En la Figura B.24 se muestran los resultados en simulación de la aplicación del control i-

PI de modelo restringido al brazo de eslabón flexible sin agregar masa en la punta del brazo. En la Tabla B.24 se muestran los resultados de la evaluación de los criterios de error.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1


Vol

ts (V

)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.

Apéndice B

117



Tabla B.24. Criterios de desempeño en simulación del control i-PI de modelo restringido del brazo de articulación flexible con masa en la punta.


ITAE 4.9895 1.8772

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

Vol

ts (V

)


ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2


rad

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2


Volts

(V)

ReferenciaSalida

seg.

seg.

seg.


118

119

9. Apéndice C

Para la aplicación de los controladores i-PID se requiere de la obtención de derivadas de la señal de salida, este hecho genera la necesidad de obtener estimadores de derivadas que no amplifiquen el ruido, ya que en la medición de cualquier variable física se presentan diversas fuentes de ruido, lo que complica la obtención de derivadas de esta señal. En [13] se propone un método el cual está basado en una serie truncada de Taylor, y al mismo tiempo se integra un filtro variante en el tiempo. Este estimador de derivadas está descrito por

( )

1

1 ! 1 ! 1 !1 1ˆ ,

! 1 ! ! 1 ! 1 !

1,

ii

ji k i jj

r r

k i k i j k jy t y t z k t

i k i i j k k it t t t

i d

(C.1)

El filtro variante en el tiempo, el cual tiene como estados a las variables

jz , tiene la

forma

2

1

1

1

1

!, 1 1 ! ,

1 ! 1 !

, ! 1 , 1, , 2

i k i

i r i

k

k

kz k t i t t z k t

k i i

z k t k y t i k

(C.2)

donde: ( )y t es la señal a derivar.

k es el orden en la expansión de la serie de Taylor. d es el número de derivadas a estimar. t es el tiempo.

rt es el tiempo de reset.


120

Dentro de las limitaciones de este algoritmo de derivación es que conforme t , la estimación de la derivada diverge respecto al valor real de la derivada, por tanto, el estimador tiene que ser reiniciado para continuar con la estimación, lo cual presenta un problema en la aplicación en tiempo real, ya que el sistema de tiempo real de Matlab no soporta funciones, por lo que todo se tiene que realizar a bloques de Simulink, lo que genera que el algoritmo no de buenos resultados. Así entonces se propuso un filtro de variables de estado (FVE) para obtener dichas derivadas, descrito en [28] y [31], el cual es un filtro pasa-bajas, este es más sencillo de aplicar en tiempo real ya que consta únicamente de integradores. La ecuación de un filtro de variables de estado de segundo orden esta descrito por

2ˆ ˆ ˆ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( )c C

y t F y t F y t y t (C.3)

donde C

F es la frecuencia de corte del filtro.

De (C.3) se obtiene la derivada de la señal ( )y t , una de las desventajas radica en que se

tienen que utilizar derivadores conectados en cascada para poder obtener derivadas de segundo orden en adelante, ya que en la estimación de la segundo derivada de (C.3) se amplifica el ruido. Se simularon ambos algoritmos, para el estimador se propuso expandir la serie de Taylor en 7k y 3d , el intervalo de reset se aplicó de 1.8 segundos, por tanto, el estimador aplicado tiene la forma

17

51 2

42 3

33 4

24 5

5 6

6

42 1ˆ ( ) ( )( ) ( )

882 ( ) ( )

7350 ( ) ( )

29400 ( ) ( )

52920 ( ) ( )

35280 ( ) ( )

5040 ( )

r r

y y t z tt t t t

z t y t z t

z t y t z t

z t y t z t

z t y t z t

z ty t z t

z y t

Para el filtro de variables de estado se propuso una frecuencia de corte 20

CF . En la

Figura C.1 se muestra la señal a derivar, el ruido aplicado fue de aproximadamente de 0.1%de la amplitud de la señal a derivar. En [29] se implemento un estimador el cual fue considerado en para la aplicación de los controladores i-PID.

Apéndice C

121

En la Figura C.2 se muestra la derivada sin ruido de la señal mostrada en Figura C.1 a), con la ayuda de los estimador propuesto en [13], en [29] y el filtro de variables de estado se espera tener una aproximación adecuada de la derivada mostrada en la Figura C.2.

a) b)

Figura C.1. a) Señal con ruido a derivar y b) ruido introducido a la señal.

Figura C.2 derivada de la señal sin ruido.

En la Figura C.3 se muestra la obtención de la derivada de la señal con ruido con el derivado de Matlab, en esta figura se observa que este derivador amplifica el ruido, esto es un resultado indeseable ya que no se puede usar en la aplicación de los controladores i-PID.

Figura C.3. Derivada de la señal con ruido obtenida con el derivador de Matlab.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

0

10

20

30

40

50

60Señal a derivar

Tiempo (seg)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (seg)

Ruido

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

45Derivada de la señal sin ruido

Tiempo (seg)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

-50

0

50

100

150Derivada obtenida con el derivador de Matlab

Tiempo (seg)


122

En la Figura C.4 se muestra el resultado de la obtención de la derivada de la señal con ruido con el estimador propuesto en [13], como se puede observar en esta figura, el estimador amplifica el ruido cuando se presenta el tiempo de reset de la estimación, este comportamiento también es indeseable en la aplicación de los controladores i-PID.

Figura C.4. Derivada de la señal con ruido obtenida con el estimador descrito por (C.1)

Se utilizo el estimador implementado en [29], se observa en la Figura C.5 que este

realiza una buena estimación de la derivada de la señal con ruido, pero en la implementación del algoritmo del estimado, por su estructura, se requiere del uso de funciones de Matlab, esta funciones entran en conflicto con el sistema de tiempo real del mismo Matlab por lo que su implementación en los controladores i-PID se tuvo que descartar.

Figura C.5. Derivada de la señal con ruido obtenida con el estimador implementado en [29].

Finalmente, con el filtro de variable de estado propuesto en [28] se obtuvo un resultado

adecuado para la aplicación de los controladores i-PID, como se puede observar en la Figura C.6, comparando con la Figura C.5, se puede ver que es estimador implementado en [29] y el filtro de variables de estado dan resultados similares.

En conclusión, el filtro de variables de estado proporciona una adecuada estimación de

la derivada de una señal con ruido, y además, su implementación es sencilla.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

-50

0

50

100

150Derivada obtenida con el estimador propuesto en [13]

Tiempo (seg)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70Derivada obtenida con el estimador implementado en [29]

Tiempo (seg)

Apéndice C

123

Figura C.6. Derivada de la señal con ruido obtenida con el filtro de variables de estado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60Derivada obtenida con el FVE

Tiempo (seg)


124

125

10. Apéndice D

En este apéndice se exhibirán las gráficas de las derivadas y la reconstrucción de las señales de control nominal obtenidas de la simulación e implementación en tiempo real, dichas derivadas y reconstrucciones de las señales de control se obtuvieron mediante el uso del filtro de variables [28] de estados descrito en el apéndice C por la ecuación (C.3). Se presentarán los resultados al utilizar como referencia la señal construida mediante polinomios de Bézier y la referencia sinusoidal, estas gráficas se obtuvieron del caso sin masa, y se mostrarán las de los dos brazos.

En la Figura D.1 se muestran los resultados de la obtención de la derivada en el control i-PI libre de modelo aplicado al brazo de eslabón flexible, en la Figura D.1 a se muestran los resultados en simulación y en la Figura D.1 b en tiempo real, se observa que la obtención de la derivada mediante el filtro de variables de estado es adecuada, en la simulación se trató de utilizar un ruido que se asemejara al que se tiene en el sensor de la deflexión del brazo.

a) b)

Figura D.1. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Derivada de la referencia y derivada de salida (Sim)

Tiempo (seg)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Derivada de la referencia y derivada de salida (Real)

Tiempo (seg)


126

En la Figura D.2 se muestran los resultados obtenidos con la referencia sinusoidal, como se observa en esta figura, tanto es simulación como en tiempo real se tiene un buen resultado en la obtención de la derivada de la salida a pesar del ruido presente.

Figura D.2. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de

referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real.

Ahora, en la Figura D.3 se muestran los resultados de la reconstrucción del control nominal basado en platitud diferencial del modelo del motor de CD utilizado en la aplicación del control i-PI de modelo restringido al brazo de eslabón flexible, en la Figura D.3 a se muestran los resultados en simulación y en la Figura D.3 b los resultados en tiempo real, se puede observar que a pesar de que la reconstrucción del control nominal requiere de las dos primeras derivadas de la señal de salida, el ruido no se ve amplificado de manera que la información sustancial del control nominal reconstruido se pierda, tanto en simulación como en tiempo real la reconstrucción es adecuada.

a) b)

Figura D.3. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real.

A continuación se muestra la reconstrucción del control nominal para la señal de referencia sinusoidal, la Figura D.4 se muestran los resultados obtenidos en simulación y en tiempo real, como se puede observar en esta figura la reconstrucción del control nominal es adecuada a pesar del ruido que la señal tiene.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Derivada de la referencia y derivada de salida (Sim)

Tiempo (seg)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

-0.5

0

0.5

1


Tiempo (seg)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Control nominal vs Control nominal estimado (Sim)

Tiempo (seg)

EstimadoNominal

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Control nominal vs Control nominal estimado (Real)

Tiempo (seg)

EstimadoNominal

Apéndice D

127

a) b)

Figura D.4. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de eslabón flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real.

Ahora se mostrarán los resultados obtenidos en la aplicación de los controladores i-PI al

brazo de articulación flexible. En la Figura D.5 se muestran los resultados obtenidos con el control i-PI libre de modelo y con la trayectoria construida a partir de polinomios de Bézier.

a) b)

Figura D.5. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real.

Enseguida se muestra los resultados de la obtención de la derivada de la salida del sistema de brazo de articulación flexible al utilizar la referencia sinusoidal, la Figura D.6 muestra dichos resultados.

a) b)

Figura D.6. Derivadas de la señal de salida del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tiempo (seg)

EstimadoNominal

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tiempo (seg)

EstimadoNominal

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Derivada de la referencia y derivada de salida (Sim)

Tiempo (seg)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Tiempo (seg)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Derivada de la referencia y derivada de salida (Sim)

Tiempo (seg)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

-0.5

0

0.5

1


Tiempo (seg)


128

A continuación se muestran los resultados de la reconstrucción del control nominal utilizado en el control i-PI de modelo restringido, que como se mencionó, éste está basado en el modelo del motor de CD. En la Figura D.7 se muestras los resultados de la reconstrucción del control nominal, tanto en simulación como en tiempo real, con la trayectoria de referencia basada en polinomios de Bézier, como se puede observar en esta figura la reconstrucción del control es adecuada, aunque presenta oscilaciones ya que la salida también las presenta, por tanto se reflejan en la reconstrucción es este control.

a) b)

Figura D.7. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia tipo Bézier: a) simulación, b) tiempo real.

Finalmente, en la Figura D.8 se muestra los resultados de la reconstrucción del control nominal al utilizar como la referencia la trayectoria sinusoidal, como se puede ver en esta figura, y como en los casos anteriores, la reconstrucción del control es adecuada a pesar del ruido de medición presente.

a) b)

Figura D.8. Reconstrucción del control nominal del sistema de brazo de articulación flexible con la señal de referencia sinusoidal: a) simulación, b) tiempo real.

A manera de conclusión, se tuvo que el filtro de variables de estado resultó ser robusto para la obtención de más de una derivada de una señal con ruido, tanto en simulación como en tiempo real. Por otro lado, la aplicación del filtro de variables de estado es sencilla, ya que sólo consta de una ecuación diferencial de segundo orden.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Tiempo (seg)

EstimadoNominal

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Tiempo (seg)

EstimadoNominal

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Control nominal vs Control nominal estimado (Sim)

Tiempo (seg)

EstimadoNominal

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tiempo (seg)

EstimadoNominal

129

11. Apéndice E

Este apéndice exhibirá los pasos para el proceso de instalación del software necesario para el control de la tarjeta Q8 de Quanser, el primer paso es:

1. Insertar la tarjeta Q8 en la computadora antes de comenzar la instalación. 2. Antes de instalar el software de la tarjeta, instalar Visual Estudios 2005. 3. Entrar a la raíz del disco de instalación, abrir la carpeta win32 y ejecutar el instalador

install_quarc_windows. 4. Después de ejecutar el instalador aparecerá una pantalla donde se promocionan los

artículos de Quanser, únicamente se debe pulsar el botón Next, posteriormente aparecerá una pantalla de bienvenida, en la cual se debe realizar la misma acción anterior.

5. Una vez ejecutados los pasos anteriores, parecerá la pantalla del acuerdo de licencia (Figura E.1), se deben aceptar los términos y pulsar el botón Next.

Figura E.1. Acuerdo de licencia de instalación de software.


130

6. Después de aceptar el acuerdo de licencia, aparecerá la pantalla de selección de características que se desean instalar (Figura E.2), se recomienda instalar todas las características. Para la configuración de la licencia de la tarjeta se remienda dejar activado el Quanser License Manager.

Figura E.2. Administrador de características de instalación.

7. Después de seleccionar las características de instalación del software, aparecerá una

pantalla para confirmar la instalación, únicamente se requiere pulsar el botón Next para que la instalación comience.

8. Una vez que la instalación se ha realizado aparecerá una pantalla mostrando los tipos de licencia existentes para la tarjeta (Figura E.3), en caso de la tarjeta que posee CENIDET, la licencia es de usuario único o single-user, por tanto, el software se configurará para este tipo de licencia.

Figura E.3. Licencias disponibles para autentificar el software instalado.

9. En el paso siguiente aparecerá la pantalla que pregunta si se desea configurar la

licencia en ese preciso momento (Figura E.4), lo cual es lo más recomendable, por tanto, únicamente se tiene que dejar seleccionada la casilla de Run the Configure Licensing tool now.

Apéndice E

131

Figura E.4. Configuración de licencia.

10. Con el paso anterior ejecutado, aparecerá la pantalla de registro de la licencia (Figura

E.5), en la cual se deben dejar seleccionadas las dos casillas que esta contiene para poder registrar la licencia.

Figura E.5. Registro de la licencia.

11. Posteriormente parecerá un navegador para buscar la localización de la licencia en

introducirla, al abrir la licencia esta quedara configurada.

Figura E.6. Final de la configuración de la licencia.


132

12. Finamente aparecerá la pantalla que indica que la instalación se ha completado, únicamente se tiene que pulsar el botón Close para finalizar todo el proceso de instalación y, por tanto, la tarjeta habrá quedado configurada.

Una vez que la tarjeta y el software han sido instalados, en Simulink se añadirá la

librería correspondiente a los productos de Quanser, esta librería se llama QuaRC Targets. Uno de los pasos importante para poder realizar modelo en Simulink para aplicación en tiempo real es la inicialización de la tarjeta, el cual se encuentra en la sublibrería Data Acquisition, ésta contiene otra sublibrería llamada Generic, la cual contiene la sublibrería de configuración, de donde se seleccionará el bloque HIL Initialize, como se observa en la Figura E.7, el cual reconocerá automáticamente la tarjeta si en la computadora no se tiene instaladas más tarjetas de este tipo.

Figura E.7. Bloque de inicialización de la tarjeta Q8 en Simulink.

En la última sublibrería mencionada en el párrafo anterior, es decir, la sublibrería

Generic, contiene la sublibrería de bloque de entrada salida, como se observa en la Figura E.8, lo cuales son necesarios para las aplicaciones en tiempo real, estos quedarán automáticamente configurados y relacionados con la tarjeta que se esté utilizando. Posteriormente el usuario realizará los ajustes necesarios dependiendo de la aplicación que tenga que realizar.

Apéndice E

133

Figura E.8. Bloques de entrada salida de la tarjeta Q8 en Simulink.


134

135

12. Apéndice F

A continuación se muestra la tabla de parámetros del motor de CD y de los brazos flexible.

Tabla F.1. Parámetros del sistema de brazos flexibles. Símbolo Descripción Valor

mR Resistencia de armadura 2.9

mK Constante de fuerza contra electromotriz 0.00712 Vs rad

TK Constante de torque del motor 0.00712 Nm A

mJ Momento de inercia del motor 7 21.9 10 Kgm

eqJ Momento de inercia equivalente en la carga 3 21.4 10 Kgm

armJ Momento de inercia del brazo con eslabon flexible 3 25 10 Kgm

armJ Momento de inercia del brazo con articulación flexible 3 24.502 10 Kgm

cf Frecuencia natural del brazo con eslabon flexible 3.2 Hz

eqB Coeficiente de amortiguamiento bicoso equivalente 34 10 .Nms rad

gK Rango del engranaje del sistema 85

g Eficiencia de la caja de engranaje 75

m Eficiencia del motor 69

rF Fuerza de reestablecimiento del resorte 1.33 N

rL Longitud del resorte sin comprimir 0.0318 m

rK Rigidez del resorte 368 N m

r Distancia fija 0.0318 m R Distancia de la articulación al anclaje del brazo 0.089 m d Distancia de la articulación al anclaje del cuerpo 0.0254 m


136

137

13. Apéndice G.

A continuación se muestra el artículo publicado en el congreso de la Asociación de México de Control Automático.

Control de un brazo robot de eslabón flexible mediante PID Generalizado y Control Sin Modelo.

F-J. Sorcia-Vázquez1, C-D. García-Beltrán1, J. Reyes-Reyes2, A. Rodríguez-Palacios1. 1Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos.

2Instituto Tecnológico de Zacatepec, Zacatepec, Morelos. [email protected]

Resumen—Se presenta: a) el modelado de un brazo robot de eslabón flexible de un grado de libertad; b) el análisis, diseño, simulación e implementación en tiempo real de dos esquemas de control: 1) el control PID Generalizado basado en el modelo lineal del sistema; 2) Control Sin Modelo para seguimiento de trayectoria. Se realizó un análisis comparativo de estas metodologías de diseño, así como del desempeño de ambos esquemas. Tanto en simulación como la aplicación en tiempo real se obtuvieron resultados satisfactorios en el desempeño de los controladores propuestos. Palabras clave: Brazo robot de eslabón flexible, control PID generalizado (GPID), Control Sin Modelo. I.- INTRODUCCIÓN.

Entre de los dispositivos electromecánicos se encuentran los robots accionados mediante motores eléctricos, que son de uso muy frecuente en la industria manufacturera. El principal objetivo de control para estos sistemas, es llevar

al efector final del robot a una posición deseada para que éste cumpla con la tarea asignada. En la actualidad, se busca que las estructuras de los robots sean más ligeras. Esto, se obtiene modificando su geometría o utilizando materiales más livianos, lo que origina un fenómeno de oscilación del efector del brazo al acercarse a la posición final. Dichas oscilaciones se presentan por la flexibilidad de las articulaciones ó la flexibilidad en el eslabón (Feliu, 2006). Para resolver el problema de control de brazos flexibles, se abordaron distintas técnicas de control. Entre éstas se encuentran: Control Robusto (Etxebarria et ál. 2005), Control (Yeon et ál. 2008) y (Hiessien y Lohmann, 2001), Control Adaptable (Yang et ál. 1997), (de Queiroz et ál. 1999) y (Yim, 2001), Control por Redes Neuronales (Gutiérrez et ál. 1998), Control Óptimo (Carusone et ál. 1993) y Control por Platitud Diferencial (Sira y Agrawal 2004).


138

En este artículo se propone la aplicación del control GPID robusto para perturbaciones constantes para el seguimiento de trayectoria del eslabón flexible. Esta técnica de control, que se usa en (Chávez et ál. 2005) y (Sira et ál. 2001), integra la estimación de estados no medibles con un controlador retroalimentado. Se basa en la estimación estructural de las variables sin tener que utilizar estimadores asintóticos. Tales variables se estiman usando las entradas y salidas del sistema y las integrales iteradas de éstas mismas. Estos “reconstructores integrales” presentan un “off-set” o desviación del valor verdadero del estado. Una de las ventajas de este controlador (GPID) es que se implementa únicamente con la medición de la variable de salida del sistema. También se propone el uso de una técnica de control sin modelo a la cual los autores le dieron el nombre de control PID inteligente (Flies y Join, 2008) y (Flies y Join, 2009), y a la cual nos referiremos en lo subsecuente como Control Sin Modelo (CSM). Este control toma en cuenta partes desconocidas de la planta que se desean controlar sin tener que modelarlas. Estas partes desconocidas pueden ser no linealidades ó parámetros variantes en el tiempo. El objetivo final de este trabajo es comparar dos esquemas que se derivan del control PID clásico: el control GPID, que se basa en el conocimiento parcial ó total de modelo del sistema, mientras que el esquema de CSM, no requiere del modelo del sistema. Ambos esquemas se aplican para seguimiento de trayectoria en un prototipo didáctico de la marca Quanser, que consiste en un brazo de eslabón flexible de un grado de libertad. Este artículo se encuentra estructurado de la forma siguiente: en la Sección II se expone el modelado del brazo de eslabón flexible. En la Sección III se muestra el análisis de los esquemas de GPID y CSM. En la Sección IV se realiza el diseño, simulación e implementación de los controladores propuestos. Finalmente, en la Sección V se presentan las conclusiones del trabajo. II.- MODELADO DEL SISTEMA.

El sistema de brazo flexible consiste en un motor de CD de alto par, acoplado a un eslabón de material flexible mediante dos sistemas de engranajes, uno incorporado en la carcasa del motor y otro montado en la estructura. La Figura 1 muestra el sistema de eslabón flexible

Figura 1. Brazo de eslabón flexible.

Para obtener el modelo del sistema, se parte del modelo matemático del motor de CD. En la Figura 2 se muestra el circuito de armadura del motor:

Figura 2. Circuito de armadura y subsistema mecánico de

un motor de CD de imanes permanentes.

De la Figura 2 se obtienen las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento del motor. El subsistema eléctrico del motor se representa por

0mm m m m emf

dIV R I L E

dt (1)

donde mV e mI son el voltaje y la corriente de armadura,

respectivamente; mR y mL son la resistencia e inductancia

de armadura, respectivamente; emfE es la fuerza contra electromotriz generada por el motor.

Considerando que la resistencia del devanado es mucho mayor que la inductancia de éste, es decir, m mR L , el

termino m mL dI dt en (1) se puede despreciar. Dado que

emf m mE K , con m la velocidad angular del eje del

motor y mK una constante propia del motor, se puede obtener la ecuación de la corriente de armadura como

m m mm

m

V KI

R

(2)

El motor se encuentra acoplado al brazo mediante un sistema de reducción de engranes, con factor de reducción

gK y eficiencia g . Así, el par aplicado a la carga es

L g g eT K T (3)

donde eT es el par generado por el motor que está dado por

e m T mT K I (4)

donde TK es la constante de par y m la eficiencia del motor. Sustituyendo (2) en (4), y el resultado en (3), y dado que

m g loadK , con load la posición de la carga,

se tiene que el par aplicado a la carga es

m m g load

L g m g T

m

V K KT K K

R (5)

Para el modelado del sistema mecánico, se parte de

hub load L eq loadJ T B (6)

mLmR

mV mI

efmE

mJm mBeT

LT

Apéndice G

139

donde hubJ es la inercia del sistema de engranaje y eqB es el coeficiente de fricción viscosa total del sistema. Después de sustituir (5) en (6) y de realizar el álgebra correspondiente, se obtiene la ecuación diferencial del motor de CD de imanes permanentes:

2 eq m load eq m g m m T g load g m g T mJ R B R K K K K K V

(7) dónde 2

eq hub g g mJ J K J .

Ahora, se procede a modelar el eslabón flexible que se obtiene mediante la formulación de Euler-Lagrange.

, ,q q q q qd

udt q q q

(8)

donde ,q q es el Lagrangiano, que se define como la

diferencia de la energía cinética T y potencial V . q es la función de disipación de Rayleigh, u es la entrada de control, q y q son las coordenadas generalizadas de posición y velocidad. Para el eslabón flexible se definen como variables generalizadas a y

load que son la

deflexión del brazo y la posición angular del eje del motor, respectivamente.

Esta deflexión origina un desplazamiento D del punto final del eslabón con respecto a su posición inicial. La deflexión se supone pequeña. Se define el ángulo de deflexión del eslabón de longitud L como

D L (9) D se mide en longitud de arco y en radianes.

La Figura 3 presenta la deflexión del eslabón flexible con

1m la masa en la punta del eslabón.

Figura 3. Diagrama esquemático del brazo flexible.

En la Figura 4 se representa al eslabón flexible como un

resorte rotario. Los vectores iX y i

Y se toman como ejes de referencia, y el origen de coordenadas es la intersección de éstos y el eje del sistema de engranaje.

Figura 4. Modelo simplificado del brazo flexible.

El desplazamiento del sistema de engranaje se

representa con el vector hX y la deflexión del eslabón con

el vector lX . Este sistema rotatorio se describe por

arm stiffJ K (10)

donde stiffK y arm

J representan la rigidez y la inercia del eslabón, respectivamente.

Suponiendo una condición inicial dada y conociendo la frecuencia natural de amortiguamiento del eslabón c , se puede representar cualquier oscilación del eslabón mediante

2

c (11) La constante de rigidez del eslabón se obtiene de

sustituir (11) en (10) 2c armstiffK J (12)

La energía potencial del sistema proviene únicamente del resorte

21

2 resorte stiffV V K (13)

La energía cinética del sistema se debe al movimiento del eje del motor y del eslabón

221 1

2 2

brazo eq load load loadejeT T T J J (14)

donde 2

1load armJ J m L representa la inercia total

debida a las inercias del eslabón y de la masa de la punta. Así, para este sistema el Lagrangiano está dado por

22 21 1 1, ,

2 2 2

load eq load loadload stiffT V J J K

(15) La función de disipación de Rayleigh se obtiene a partir del coeficiente de fricción viscosa total del sistema, esto es:

21

2

load loadeqB (16)

Sustituyendo (15) y (16) en (8) y realizando las operaciones se obtiene:

eq load load load L eq loadJ J J T B (17)

0 load load load stiffJ J K (18)

DY i

X i

h u bJ

L

D1m

1m

lo ad

armJ

X i

Y i Y i

P a r

X i

X lX h

h u bJV ista la tera l s tiffPa r resor te K

X i

Yi X lX h

V is ta su p erio r.

lo a d lo ad


140

Despejando y de (17) y (18), respectivamente, y usando (5), que describe el par de entrada, se obtiene

2

g m m T g eq m g m g T

load load m

eq m eq m eq

stiffK K K K B R K KV

J R J R J

(19)

2

eq load g m m T g eq m g m g T

load m

eq load m m eq

stiffK J J K K K B R K KV

J J R R J

(20) A partir de las ecuaciones (19) y (20) se puede obtener

una representación en espacio de estado:

2

2

0 0 1 00 0 0 1

0 0

0 0

loadload

loadload

g m m T g eq m

eq m eq

eq load g m m T g eq m

eq load m eq

stiff

stiff

K K K K B RJ R J

K J J K K K B RJ J R J

0

0

g m g T

mm eq

g m g T

m eq

K KV

R J

K K

R J

, 1 1 0 0

load

load

y (21)

III.- CONTROL GPID Y CSM.

En esta sección se analiza el diseño de un controlador tipo GPID robusto para perturbaciones constantes, desde el enfoque de platitud diferencial y el esquema de Control Sin Modelo. A. CONTROL GPID ROBUSTO PARA PERTURBACIONES CONSTANTES.

Considere el siguiente sistema de n -ésimo orden perturbado, el cual está en función de la n -ésima derivada temporal de la salida plana y

ny u (22) donde es una perturbación constante.

Para este sistema se puede definir un controlador nominal *u basado en la trayectoria de salida deseada y sus n derivadas sucesivas, sin tomar en cuenta la perturbación

* * nu y (23) Se define la siguiente ecuación de error

n

y ue e (24)

donde * ye y y y ue u u

De (24) se puede obtener un conjunto de reconstructores integrales de la dinámica del error de la salida basadas en el error de entrada mediante integrales iteradas†

1 1

1

1 1

2

1 1

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1

1 1

2 2

2 1 2 1

n

y u

n

y u

y u

n n

t t

t t

n n

e e d d

e e d d d d

e e d d d d d d

Con los reconstructores integrales del estado se propone

la siguiente ley de control u , basada en la retroalimentación del estado, con una compensación integral de los errores de reconstrucción; y que considera la presencia de una perturbación constante y la señal de control nominal *u :

( )* 1

2 1 1 1 0

nn

n y n y n y n y yu u k e k e k e k e k e (25)

Sustituyendo la ecuación de error de entrada y

derivando n veces (25) se obtiene la ecuación dinámica del error de salida en lazo cerrado:

2 2 1 1 1

2 1 1 1 0 0

n n n n n

y n y n y n y n y ye k e k e k e k e k e (26)

Aplicando la transformada de Laplace a (26), obtenemos el polinomio de lazo cerrado del sistema:

2 2 1 1 1

2 1 1 1 0 ( ) 0

n n n n n

n n n ns k s k s k s k s k E s (27)

el cual se requiere que sea Hurwitz.

De la (25) se puede llegar a la siguiente estructura, llamada controlador GPID robusto para perturbaciones constantes:

1 2*1 2 0

1 2 2

2 1 2 2 1

n n n

n n n

n n n

n n n

k s k s k s ku u y y

s s k s k s k

(28)

B. CONTROL SIN MODELO.

En (Flies y Join, 2008) y (Flies y Join, 2009), se describe el esquema de Control Sin Modelo como un esquema que toma en cuenta partes de la planta que se desean controlar sin tener que modelarlas. Tales partes desconocidas pueden corresponder a la dinámica no lineal ó a parámetros variantes en el tiempo. Consideremos al sistema SISO no lineal descrito localmente por:

ny F u (29) donde δ es una constante dada. La función 퐹 = 푦( ) − 훼푢

nF y u se obtiene mediante la estimación de la n-ésima derivada de la salida del sistema. En dicha función

Apéndice G

141

está concentrada toda la información del sistema que se desea controlar. Para poder obtener el comportamiento deseado del sistema, se propone la siguiente estructura de CSM (Flies y Join, 2008) y (Flies y Join, 2009), la cual involucra un control PID clásico:

*

n

p i d

F yu K e K e K e (30)

donde y es la trayectoria de referencia, ny es la n-ésima

derivada de la trayectoria de referencia, y e y y es el error de seguimiento푒 = 푦 − 푦∗. El diseño del controlador se basa, entonces, en la identificación de F y en la selección de , pK , iK y dK .

Configuración libre de modelo. Considere el sistema SISO de dimensión finita

, , , , , , , , 0l kE t y y y u u u (31)

Este sistema puede ser lineal o no lineal. E es una función suficientemente suave de sus argumentos. Se asume que para un entero n, 0 , 0nn l E y (Flies y Join, 2008). Por lo tanto, se puede determinar la n-ésima derivada de la salida del sistema a partir de (31). Entonces se tiene que:

1 1, , , , , , , , , , , n n n l ky t y y y y y u u uE (32)

Al aproximar F uE , se obtiene la ecuación (29) definida por ny F u , donde

es un parámetro constante no físico, el cual lo elige el diseñador de tal manera que F 퐹 y u sean de la misma magnitud.

F se determina mediante el conocimiento de u y , y de la estimación de ny

Modelado local.

Se asume que el sistema es invertible por la izquierda, es decir, que se pueden calcular las variables de salida a través de ecuaciones diferenciales (Flies y Join, 2009). Si hay más variables de salida que variables de entrada, por ejemplo, p>m, se toman estas m variables de entrada, para conseguir un sistema cuadrado invertible. La ecuación (29) se extiende a partir de

1

1 1 1,1 1 1,

,1 1 ,

...

...

p

n

m m

n

p m m p m m

y F u u

y F u u (33)

donde 1jn , 1, ,j p Para eliminar cualquier lazo algebraico, debido a que la

estimación de F se realiza con la señal de control, se calcula un valor numérico de

,1 1 ,... jn

j j j j m mF y u u (34) en cada instante de muestreo mediante (Flies y Join, 2009):

,1

( ) [ ( )] , ( 1)

j

mn

j j e j i ii

F k y k u k (35)

donde [ ( )]jn

j ey k corresponde a la estimación de la derivada

en el instante de tiempo k . IV. DISEÑO Y SIMULACIÓN DE LOS ESQUEMAS GPID Y CSM

PARA EL ESLABÓN FLEXIBLE.

En esta sección se muestran los resultados en simulación y tiempo real de la aplicación del los esquemas GPID y CSM al sistema de brazo flexible.

A. DISEÑO DEL CONTROLADOR GPID PARA EL BRAZO FLEXIBLE.

Considérese el modelo lineal del eslabón flexible descrito por (21). En (Sira y Agrawal, 2004) se demuestra que un sistema es diferencialmente plano si, y sólo si, es controlable, y se reporta el procedimiento para obtener la salida plana de un sistema lineal. La salida plana para el sistema de brazo flexible es la suma de los ángulos load y

, es decir, loady . Se tiene que las derivadas de la salida plana son:

( 4)

1 1 1, , , loady y y y

donde 1

eq eq load

stiff stiffK K

J J J

Una vez que la salida plana y sus derivadas sucesivas se han obtenido, se puede determinar el controlador nominal del sistema basado en la salida plana y sus n derivadas sucesivas, que está definido por:

* * * * *( 4 )

1 2 3 4 mV y y y y (36)

donde

2 2 11 2 3 4

3 1 3 1 3 1 3

1, , ,

2

1 2,stiff eq load g m m T g eq m

eq load m eq

K J J K K K B R

J J R J

3

g m g T

m eq

K K

R J

De acuerdo con (25), el controlador tipo GPID para el

eslabón flexible tiene la forma 4*

7 6 5 4 3 0m m y y y y y yV V k e k e k e k e k e k e (37)

Se define la ecuación de error de entrada como * (4)

1 2 3 4mV m m y y y ye V V e e e e (38) Al sustituir (38) en (37), así como los reconstructores

integrales de las derivadas del error de salida, se obtiene la


142

siguiente ecuación dinámica del error (8 ) ( 7 ) (6 ) (5) (4 )

7 6 5 4

3 2 1 0 0y y y y y

y y y y

e e e e e

e e e e

(39)

donde

3 7 4 2 7 3 6 47 6

4 4

, ,k k k

1 7 2 6 3 5 4 7 1 6 2 5 3 45 4

4 4

, ,k k k k k k k

6 1 5 2 3 5 1 2 013 2 1 0

4 4 4 4

, , ,

k k k k k kk

Al aplicar la transformada de Laplace a la ecuación (39) se obtiene el polinomio característico

8 7 6 5 4

7 6 5 4

3 2

3 2 1 0 0

s s s s s

s s s

(40)

El polinomio característico representado por (40) debe

ser Hurwitz. Para obtener la ganancias del controlador (37) usando (40), se propone el siguiente polinomio

característico Hurwitz de lazo cerrado 42 22 n ns s

con 25 n y 1 . La trayectoria de referencia deseada se construyó a partir de polinomios de Bezier de diferentes amplitudes, éstas son: 2 5 , 4 y 3 . Se introdujo a la simulación ruido de sensor con desviación estándar

31 10 . Los resultados de la simulación del controlador tipo

GPID se muestran en la Figura 5. La figura muestra el seguimiento de trayectoria del eslabón flexible, el voltaje de control aplicado el motor de CD así como el resultado de los criterios de desempeño evaluados. Las simulaciones corrieron durante 20 segundos. La masa de la punta del brazo

1m se propuso de 0.025 Kg así como para la parte

experimental.

Figura 5. Resultados de la simulación del control GPID.

B. DISEÑO DEL ESQUEMA DE CSM PARA EL BRAZO FLEXIBLE.

Se considera ahora la ecuación del esquema de CSM descrita por (30). Como ya se mencionó, esta configuración de control está libre de modelo; es decir, el modelo se desconoce completamente. Se utilizó un controlador tipo PI, las ganancias proporcional e integral propuestas son 3.069pK y 0.192iK . El parámetro para la estimación de F es δ = 70, y se utiliza sólo la primera derivada de la señal de salida, es decir, y . Por lo tanto, el esquema de CSM tiene la forma

*

m p i

F yV K e K e (41)

Los resultados de la simulación del esquema de CSM se muestran en la Figura 6. Se tomaron las mismas condiciones de simulación que con el controlador GPID. La figura muestra el seguimiento de trayectoria del eslabón flexible, el voltaje de control aplicado el motor de CD así como el resultado de los criterios de desempeño evaluados.

Figura 6. Resultados de la simulación del esquema de

CSM.

C. RESULTADOS EXPERIMENTALES.

En esta sección se exhiben los resultados experimentales obtenidos de la aplicación de los controladores propuestos al sistema de brazo de eslabón flexible de la Figura 1. En la Figura 7, se muestra la validación experimental del modelo propuesto en la Sección II. Se observa que el modelo es una representación apropiada del sistema real. Pero, en lo que respecta a la posición del brazo, el modelo no pudo reproducir totalmente las oscilaciones que conciernen a la flexibilidad del brazo, como se observa en la Figura 7.b). Pero este hecho no afecta en la aplicación en tiempo real ya que los esquemas propuestos son robustos en presencia de incertidumbre de modelado e incertidumbre paramétrica.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2a) Posición Deseada vs Posición Final

Pos

ició

n (ra

d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2b) Señal de control

Vol

ts (V

)

Tiempo (seg)

ReferenciaSalida

Criterios de desempeño:ITAE=0.7087,IAE=0.0758,ISE=0.0004

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1


Pos

ició

n (ra

d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1


Vol

ts (V

)

Tiempo (seg)

ReferenciaSalida

Criterios de desempeño:ITAE=3.515,IAE=0.378,ISE=0.013

Apéndice G

143

Figura 7. Validación del modelo del eslabón con el

sistema físico.

A continuación se muestran las gráficas de los resultados experimentales obtenidos en la aplicación de los controladores. En la Figura 8 se muestran los resultados del controlador GPID. Esta figura exhibe la señal de salida contra la señal de referencia (Fig. 8.a), así como la señal de control aplicada al sistema (Fig. 8.b). Ahí mismo se incluyen los valores de los criterios de desempeño para el controlador GPID.

Figura 8. Resultados experimentales del control GPID.

La Figura 9 exhibe los resultados obtenidos con el

esquema de CSM. Así como en el caso anterior, se muestra la señal de salida contra la referencia (Fig. 9.a) y la señal de control aplicada al sistema (Fig. 9.b). Ahí mismo se incluyen los valores de los criterios de desempeño para el controlador.

Figura 9. Resultados experimentales del esquema de CSM.

V.- CONCLUSIONES.

Para las dos técnicas de control analizadas, se pudo constatar que ambos esquemas: GPID y CSM, resuelven el problema de seguimiento de trayectoria aplicado a un brazo robot con eslabón flexible de un grado de libertad.

En lo que respecta al controlador GPID, éste requiere del conocimiento del modelo sistema, al menos parcialmente. Porque se requiere determinar el controlador nominal basado en la platitud deferencial del sistema. Éste se obtiene determinando la salida plana del sistema y una parametrización de la entrada de control en función de dicha salida y de sus n derivadas temporales sucesivas. Como se pudo constatar, el modelo obtenido en la Sección II representa parcialmente al sistema real, ya que no pudo reproducir completamente las oscilaciones del sistema real.

Respecto al esquema de CSM, éste se basa en realizar una identificación local del sistema a partir de las derivadas de la salida y de la señal de control. Esto da origen a la función F. Este esquema de control no requiere conocimiento del sistema y, por ende, resulta menos complicada su aplicación, a diferencia del controlador GPID que presenta un diseño más complejo.

Ambos esquemas se implementaron en tiempo real con éxito, obteniendo resultados aproximados a los que las simulaciones arrojaron. Para determinar el desempeño de los controladores, tanto en simulación como en tiempo real, se evaluaron tres criterios de error, estos son: ISE, IAE e ITAE (por sus siglas en inglés). Como se puede observar, el control GPID tiene un mejor desempeño que el esquema de CSM en los tres criterios evaluados, tanto en simulación como en la aplicación en tiempo real. Basándose en los valores del criterio de desempeño ITAE, se puede observar de las Figuras 8 y 9, que el desempeño del controlador GPID es mejor que el del esquema de CSM. Sin embargo, el controlador GPID requiere del modelo del sistema y el esquema de CSM no. El diseño del esquema CSM es menos complejo y aún se obtiene un desempeño aceptable.

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2a)Posición eje motor (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7-0.05

0

0.05b) Posición Brazo (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2c) Posición final (rad)

Tiempo (seg)

Sistema realModelo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1


Pos

ició

n (ra

d)

ReferenciaSalida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1


Vol

ts (V

)

Tiempo (seg)Criterios de desempeño:ITAE=0.7786, IAE=0.0818, ISE=0.0004

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1


Pos

ició

n (ra

d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1


Vol

ts (V

)

Tiempo (seg)

ReferenciaSalida

Criterios de desempeño:ITAE=3.685, IAE=0.513, ISE=0.012


144

VI.- AGRADECIMIENTOS.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por haber financiado este proyecto.

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centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico · 2020. 7. 7. · dedicatoria a dios....

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