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CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN ÓPTICA CON ORIENTACI
“ESTUDIO Y DISEÑO DE DOS INTERFERÓMETROS DE POLARIZACIÓN
PARA LA OBSERVACIÓN DE OBJETOS POR
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
Ensenada, Baja California, México,
CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR
DE ENSENADA
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
PTICA CON ORIENTACIÓN EN OPTOELECTR
ESTUDIO Y DISEÑO DE DOS INTERFERÓMETROS DE POLARIZACIÓN
PARA LA OBSERVACIÓN DE OBJETOS POR REFLEXIÓN
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS
Presenta:
ALEX GUILLEN BONILLA
Ensenada, Baja California, México, noviembre del
CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
N EN OPTOELECTRÓNICA
ESTUDIO Y DISEÑO DE DOS INTERFERÓMETROS DE POLARIZACIÓN
REFLEXIÓN”
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
del 2008.
RESUMEN de la tesis de obtención del grado de OPTOELECTRONICA
“ ESTUDIO Y DISEÑO DE PARA LA OBSERVACIÓN DE OBJETOS POR REFLEXIÓN
Resumen aprobado por:
En este trabajo se presenta el estudio y diseño Estos interferómetros son del tipo de trayectoria común lo cual los hace muy estables a variaciones ambientales tales como vibraciones mecánicas y cambios de temperatura. Por otra parte, los IP nos permiten ver objetos de fase proporcionánimagen cuya intensidad luminosa se manifiesta como cambios de color sin la necesidad de utilizar colorantes o tintes en el objeto bajo estudio. Particularmente si se utiliza la técnica de interferencia por contraste diferencialdel frente de onda del objeto lo cual es extremadamente útil cuando lo que se busca son características distintivas del objetoSe presenta información sobre los fundamentos de IP es de gran apertura y puede ser utilizado para ver objetos hasta de 100 cmla aplicación práctica de este interferómetro para estudiar vidrio. Con esta técnica se pueden detectar variaciones de fase que inducen una diferencia de camino óptico (DCO)Se presenta el diseño de un segundo interferómetro para la observación de irregularidades en placas metálicas. Las irregularidades de interés (tales como picaduras) tienen tamaños que van desde 500 µm hasta 3 mm. Los resultados obtenidos pueden ser significativos para el diseño del prototipo de un instrumento que pueda ser trasladado al campo de trabajohacer observaciones in situSe describen y utilizan dos técnitécnica fotométrica. También medición que denominamos interferencial es de utilidad para medir grandes variaciones de la DCO (del orden de mientras que la técnica fotométrica aunque es más precisa, está limitada para la medición de variaciones en la DCO del orden de 500nm paracompensado. La técnica CC tiene una precisión teórica de 0.25 nm y puede ser utilizada en principio para medir cualquier magnitud de la DCO, sin embargo el tamaño máximo de DCO es del orden de 2 µm
Palabras Clave: Interferometría
de la tesis de Alex Guillén Bonilla, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de MAESTRO EN CIENCIAS en ÓPTICAOPTOELECTRONICA . Ensenada, Baja California, noviembre del
ESTUDIO Y DISEÑO DE DOS INTERFERÓMETROS DE POLARIZACIÓN PARA LA OBSERVACIÓN DE OBJETOS POR REFLEXIÓN
________________________________ Dr. Alfonso García Weidner
Director de Tesis
presenta el estudio y diseño de dos interferómetros de poEstos interferómetros son del tipo de trayectoria común lo cual los hace muy estables a variaciones ambientales tales como vibraciones mecánicas y cambios de temperatura. Por
los IP nos permiten ver objetos de fase proporcionánimagen cuya intensidad luminosa se manifiesta como cambios de color sin la necesidad de utilizar colorantes o tintes en el objeto bajo estudio. Particularmente si se utiliza la técnica de interferencia por contraste diferencial (DIC) se obtiene información sobre el gradiente del frente de onda del objeto lo cual es extremadamente útil cuando lo que se busca son características distintivas del objeto, tales como picaduras y ralladurasSe presenta información sobre los fundamentos de diseño para dos tipos de IP. El primer IP es de gran apertura y puede ser utilizado para ver objetos hasta de 100 cmla aplicación práctica de este interferómetro para estudiar heterogeneidades en placas de vidrio. Con esta técnica se pueden detectar variaciones de fase que inducen una diferencia
) entre λ/10 y 30λ. Se presenta el diseño de un segundo interferómetro para la observación de irregularidades
metálicas. Las irregularidades de interés (tales como picaduras) tienen tamaños que van desde 500 µm hasta 3 mm. Los resultados obtenidos pueden ser significativos para
prototipo de un instrumento que pueda ser trasladado al campo de trabajoin situ.
Se describen y utilizan dos técnicas de medición convencionales: técnica intertécnica fotométrica. También se plantean los fundamentos para una nueva técnica de
que denominamos coordenadas de color (CC). Se muestra que la técnica interferencial es de utilidad para medir grandes variaciones de la DCO (del orden de mientras que la técnica fotométrica aunque es más precisa, está limitada para la medición de variaciones en la DCO del orden de 500nm para un IP normal y 1µm para un IP compensado. La técnica CC tiene una precisión teórica de 0.25 nm y puede ser utilizada en principio para medir cualquier magnitud de la DCO, sin embargo el tamaño máximo de DCO es del orden de 2 µm, ya que está limitada por el grado de coherencia de la luz.
Interferometría Óptica, Polarización Óptica, Óptica de cristales.
presentada como requisito parcial para la ÓPTICA con orientación en
2008.
DE POLARIZACIÓN PARA LA OBSERVACIÓN DE OBJETOS POR REFLEXIÓN ”
________________________________ Dr. Alfonso García Weidner
Director de Tesis
interferómetros de polarización (IP). Estos interferómetros son del tipo de trayectoria común lo cual los hace muy estables a variaciones ambientales tales como vibraciones mecánicas y cambios de temperatura. Por
donos a la salida una imagen cuya intensidad luminosa se manifiesta como cambios de color sin la necesidad de utilizar colorantes o tintes en el objeto bajo estudio. Particularmente si se utiliza la técnica
se obtiene información sobre el gradiente del frente de onda del objeto lo cual es extremadamente útil cuando lo que se busca son
, tales como picaduras y ralladuras. diseño para dos tipos de IP. El primer
IP es de gran apertura y puede ser utilizado para ver objetos hasta de 100 cm2. Se muestra geneidades en placas de
vidrio. Con esta técnica se pueden detectar variaciones de fase que inducen una diferencia
Se presenta el diseño de un segundo interferómetro para la observación de irregularidades metálicas. Las irregularidades de interés (tales como picaduras) tienen tamaños
que van desde 500 µm hasta 3 mm. Los resultados obtenidos pueden ser significativos para prototipo de un instrumento que pueda ser trasladado al campo de trabajo para
técnica interferencial y se plantean los fundamentos para una nueva técnica de
. Se muestra que la técnica interferencial es de utilidad para medir grandes variaciones de la DCO (del orden de λ) mientras que la técnica fotométrica aunque es más precisa, está limitada para la medición
un IP normal y 1µm para un IP compensado. La técnica CC tiene una precisión teórica de 0.25 nm y puede ser utilizada en principio para medir cualquier magnitud de la DCO, sin embargo el tamaño máximo de ésta
por el grado de coherencia de la luz.
Polarización Óptica, Óptica de cristales.
ii
ABSTRACT of the thesis presented by Alex Guillén Bonilla as a partial requirement to obtain the MASTER OF SCIENCE degree in OPTICS whit orientation in OPTOELECTRONICS . Ensenada, Baja California, México november of 2008.
“ STUDY AND DESIGN OF TWO POLARIZATION INTERFEROMETER S FOR THE OBSERVATION OF OBJECTS BY REFLECTION ”
In this work we present the study and design of two polarization interferometers (PI). These interferometers belong to the type of common path, which makes them very stable to environmental variations such as mechanical vibrations and temperature changes. On the other hand, the PIs allow us to see transparent objects at the image plane giving us an image whose light intensity is expressed as color changes without the need to use dyes in the object under study. Particularly if we use the differential interference contrast (DIC) technique we obtain information on the gradient of the wavefront of the object, which is extremely useful if we are looking for distinguishing characteristics in the object, such as pits and scratches. We provide information on the fundamentals for the design of two types of PI. The first PI has a wide aperture and can be used to view objects up to 100 cm2. We demonstrate the practical application of this interferometer for the study of heterogeneities in glass plates. With this technique we can detect changes that induce an optical path difference (OPD) between λ/10 and 30λ. We present the design of a second interferometer for the observation of irregularities in metal plates. The irregularities of interest (such as pits) have sizes ranging from 500 µm to 3 mm. The results can be significant for the design of a prototype for an instrument that can be moved to the realm of work to do in situ observations. We describe and use two conventional measuring techniques: the interference technique and the photometric technique. Also we provide the fundamentals for a new measurement technique that we named color coordinates (CC). We show that the interference technique is useful for measuring large variations of the OPD (in the order of λ) while though the photometric technique is more accurate, is limited to measuring variations in the OPD in the range of 500nm for a normal PI and 1µm for a compensated PI. The theoretical accuracy of the CC technique is approximately 0.25 nm and can be used to measure any magnitude of the OPD. However the maximum size of the OPD is about 2 µm since it is limited by the coherence of light. Keywords: Optical Interferometry, Polarization of Light, Crystal Optics.
iii
DEDICADA
A
DIOS PADRE Y DIOS HIJO
A
A MIS PADRES
JOSÉ TRINIDAD GUILLÉN TINTA Y TERESA DE JESÚS BONILLA MONTAÑO
A
MIS HERMANOS
CUYO SISTEMA ÓPTICO EN FUNCIONAMIENTO ES PERFECTO
iv
AGRADECIMIENTOS
A dios por ayudarme a lograr los propósitos de mi vida, cuidarme y bendecirme a mí y mis hermanos. Gracias por esta vida tan feliz que me has dado.
A MIS PADRES
José trinidad Guillén Tinta y Teresa de Jesús Bonilla Montaño, por su gran comprensión, y sacrificios que hicieron y siguen haciendo para que yo logre mis metas en esta vida.
A MIS HERMANOS
Daniel Guillén Bonilla, Silvia Guillén Bonilla, Angélica Guillén Bonilla, Moisés Guillén Bonilla, José Trinidad Guillén Bonilla, Roció Guillén Bonilla, Iván Guillén Bonilla, por su apoyo y comprensión inmensos durante mis estudios. Realmente muchas gracias hermanos.
A MI NOVIA CITLALI AGUILAR CORTEZ
Muy especialmente a la mujer que amo Citlali Aguilar Cortez por su apoyo infinito e incondicional y todo el tiempo agradable e inolvidable que me brinda cuando está a mi lado. Gracias te amo.
AL DR. ALFONSO GARCÍA WEIDNER
Especialmente a mi asesor de tesis Dr. Alfonso García Weidner, por su enorme apoyo, confianza, comprensión y paciencia que me tuvo durante este proyecto de tesis, así como por permitirme ser parte de uno de sus grandes proyectos. A la compañía Opto Crystal y al Dr. Enrique Rivera por su apoyo para la realización de esta tesis, así como su ayuda en la construcción de los filtros birrefringentes necesarios para la elaboración de mi tesis. A Marcos García y Marcia Padilla por prestarme todo el material necesario que tenían disponible en laboratorio.
v
A LOS MIEMBROS DE MI COMITÉ DE TESIS
Dra. Diana Tentori Santacruz, Dr. David Salazar Miranda, Dr. Anatolii Khomenko Filatova y Dr. Arturo Martín Barajas gracias por su apoyo constante y correcciones que me hicieron para poder tener un buen escrito en mi tesis.
Especialmente a mi tía Consuelo Guillén Tinta. Así como a José Luís Vargas B, José Luís García y Mónica Arellano, por su apoyo.
A MIS AMIGOS DE LA CANCHA DE VOLLEY BALL
Francisco Venegas Guillén, Pedro, Mari, Hans, Cesar, Carlos, Luís, Omar, Patricia, Enrique y todos los que van a jugar.
A MIS AMIGOS
Claudia Villalobos del Ángel, Rosalba Mota Juárez a quienes considero unas amigas muy especiales. Uzzias Hernández, Braulio Gutiérrez, a quienes considero muy buenos amigos.
A MIS MAESTROS
Que me dieron clases en la maestría dándome las herramientas necesarias para comprender muchos aspectos que necesité para la elaboración de mi tesis, así mismo al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE), por la formación académica que tuve en la institución.
A MIS COMPAÑEROS DE GENERACIÓN
Que me dieron su apoyo incondicional en los momentos más difíciles del posgrado. Muy especialmente a Rodolfo Martínez estudiante de doctorado que me explicaba cuando no entendía.
vi
CONTENIDO
Página Resumen español…………………………………………………………….. i Resumen inglés………………………………………………………………. ii Dedicatorias………………………………………………………………….. iii Agradecimientos……………………………………………………………... iv Contenido…………………………………………………………………….. vi Lista de Figuras……………………………………………………………… vii Lista de Tablas………………………………………………………………. ix Capítulos. CAPÍTULO I.- INTRODUCCIÓN. I.1.- Antecedentes……………………………………………………….... 1 I.2.- Objetivos…………………………………………………………….. 4 I.3.- Organización de la tesis……………………………………………... 5 CAPÍTULO II.- PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LOS
INTERFERÓMETROS DE POLARIZACIÓN. II.1.- Objetos de fase……………………………………………................. 6 II.2.- Funcionamiento de los procesadores ópticos coherentes……………. 8 II.3.- Prisma de Wollaston (Filtro Birrefringente)… …………………...... 15 II.4.- Modos de operación de un IP........………………………………….. 22 II.4.1.- Interferómetro de desdoblamiento total (TD)…………….. 25 II.4.2.- Interferómetro de contraste diferencial (DIC)…………..... 27 II.4.3.- Técnica de compensación………………………………… 31
vii
CONTENIDO ( Continuación) Página
CAPÍTULO III.- DISEÑO DE UN PRISMA DE WOLLASTON. III.1.- Introducción………………………………………………..………… 35 III.2.- Trazado de rayos en un prisma de Wollaston………………………... 39 III.3.- Fabricación del prisma……………………………………………….. 51 III.4.- Pruebas del prisma…………………………………………………… 60
CAPÍTULO IV.- INTERFERÓMETRO DE GRAN APERTURA. IV.1.- Características generales……………………………………………... 64 IV.2.- Sistema de iluminación………………………………………………. 67 IV.3.- Sistema formador de imagen……………………………………….... 71 IV.4.- Análisis de heterogeneidades en placas de vidrio………………….... 74 IV.4.1.- Técnicas de medición……………………………………... 75 IV.4.2.- Método interferométrico………………………………….. 77 IV.4.3.- Método de la inspección visual………………………….... 80 IV.4.4.- Método CC de las coordenadas de color………………..... 83 IV.4.4.1 Justificación del método……………………… 84 IV.4.4.1.1 Selección de los espacios de
color…………………………... 84 IV.4.4.1.2 Selección del formato
electrónico para imágenes…….. 90 IV.4.4.1.3 Coordenadas cromáticas de la
tabla de Michel-Levy…………. 91 IV.4.4.2 Calibración y ajuste del proceso……………… 97 IV.4.4.2.1 Tabla de colores de
interferencia TCI……………… 97 IV.4.4.2.2 Ajuste fino en la calibración…. 101 IV.4.4.2.3 Balance de blancos y ajuste de
Gamma………………………... 101 IV.4.4.2.4 Método CC simplificado. 103 IV.5.- Comentarios finales……………………...…………………………... 108 CAPÍTULO V.- INTERFEROMETRO PARA LA OBSERVACIÓN DE
OBJETOS PEQUEÑOS POR REFLEXIÓN. V.1.- Características generales……………………………………............... 111 V.2.- Sistema de iluminación……………………………………................. 114 V.3.- Sistema formador de imagen……………………………………….... 115 V.4.- Pruebas del interferómetro ...……………………………….......…… 116
viii
V.5.- Observación de irregularidades en una superficie metálica…………. 119 V.5.1 Método fotométrico……………………………….....……... 121 CAPÍTULO VI.- RESULTADOS Y CONCLUSIONES………………… 126 Literatura citada…………………….....……...…………………….....…….... 132
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura
Página 1 Representación de un frente de onda que atraviesa a una placa de
vidrio. 8 2 Parámetros de una lente delgada. 9 3 Transformada de Fourier en el plano focal de una lente
convergente. 10 4 Sistema de doble transformada de Fourier. 12 5 Amplitud compleja para un objeto colocado a una distancia d2 de
la lente. 12 6 Transformada de Fourier de un objeto bidimensional colocado en
el plano focal de la lente. 13 7 Procesador óptico coherente. 14 8 Prisma de Wollaston. 15 9 Trayectoria de un rayo al atravesar un prisma de Wollaston. 16
10 Localización de las franjas de interferencia dentro del prisma de Wollaston. 18
11 Espaciamiento Λ de las franjas de interferencia. 20
12 Diferencia de camino óptico DCO introducido por el prisma de Wollaston. 21
13 Funcionamiento de un interferómetro de polarización IP. 22
14 Desdoblamiento total de una imagen sencilla. 25
15 Desdoblamiento parcial (diferencial) de una imagen. 27
16 Sistema con un prisma de Wollaston. 32
17 Sistema compensado con dos prismas de Wollaston. 36
x
LISTA DE FIGURAS (continuación)
Figura
Página
18 Generación de franjas de interferencia. 36
19 Trayectoria de rayos en una placa cristalina. 40
20 Esquema utilizado para calcular la DCO. 41
21 Cálculo del ángulo θ que forma con el EO. 43
22 Diagrama para analizar el patrón de franjas. 49
23 Forma del patrón de franjas bajo iluminación conoscópica. 51
24 Placa de calcita. 51
25 Orientación del eje óptico en la calcita. 51
26 Placa de cristal con iluminación conoscópica. 52
27 Conos con diferentes valores de DCO. 54
28 Vibraciones Vo y VE. 55
29 Diagrama completo para las vibraciones Vo y VE. 55
30 Diagrama para ilustrar las isogiras. 56
31 Esquema del montaje para la orientación del eje óptico en el cristal de calcita. 57
32 Fotografía del montaje para la orientación del eje óptico
cristalino. 57
33 Cristales con sus ejes ópticos marcados. 58
34 Fotografía de la cortadora. 58
35 Cristales de calcita cortados. 58
xi
LISTA DE FIGURAS (continuación)
Figura
Página
36 Fotografía de la pulidora. 58
37 Orientación de la cara ABCD. 59
38 Fotografía de la navaja en el plano de salida. 59
39 Puntas de la navaja en el centro del campo. 60
40 Imagen de salida para un cristal orientado. 60
41 Prisma de Wollaston terminado. 60
42 Montura mecánica del prisma. 60
43 Fotografía del arreglo experimental. 61
44 Orientación de los campos ε y ω. 62
45 Arreglo experimental para medir el ángulo θw. 62
46 Interferencia con luz monocromática para una placa de calcita. 63
47 Interferencia con luz blanca para una placa de calcita. 63
48 Interferencia con luz monocromática para el prisma de Wollaston. 63
49 Interferencia con luz blanca para el prisma de Wollaston. 63
50 Esquema de un interferómetro de gran apertura. 64
51 Arreglo experimental del interferómetro de polarización. 65
52 Fotografía del montaje experimental a lo largo del eje Z2. 66
53 Fotografía del montaje experimental mostrando la dirección del eje Z1. 66
xii
LISTA DE FIGURAS (continuación)
Figura
Página
54 Flujo luminoso Φ [watts] recibido por una lente. 67
55 Sistema formador de imagen del arreglo experimental (línea punteada). 71
56 Sistema óptico calculado con el programa Linux. 72
57 Parámetros de una lente delgada. 72
58 Desplazamiento del patrón de franjas rectilíneo. 78
59 Placa de vidrio bajo prueba. 79
60 Patrón de franjas rectilíneo dentro del prisma de Wollaston. 79
61 Imagen de salida del patrón de interferencia 79
62 Imagen digitalizada del patrón de interferencia. 79
63 Proyección tridimensional de la figura 62. 79
64 Efecto del desplazamiento del prisma de Wollaston. 81
65 Tabla comercial de Michel-Levy. 81
66 Funciones de acoplamiento de color. 86
67 Gamut completo del ojo humano. 86
68 Proyección del espacio XYZ en xy. 86
69 Plano de cromaticidad xy. 86
70 Gamut de colores para una cámara fotográfica. 88
xiii
LISTA DE FIGURAS (continuación)
Figura
Página
71 Espacio de color RGB. 88
72 Gráfica de PI vs λ (ecuación 169) para diferentes DCO. 92
73 Trayectoria de los valores de color para la tabla de Michel-Levy. 93
74 Elipses de MacAdam. 96
75 Gradientes RGB de una tabla comercial de Michel-Levy. 96
76 Espectro de la fuente de luz PR (λ) aproximado por la ecuación 172. 98
77 Gráfica de PS vs λ (ecuación 175) para diferentes DCOs. 98
78 Gradientes RGB para nuestra TCI. 100
79 Paleta de calibración. 100
80 Objeto bajo estudio. 104
81 Patrón de interferencia producido por la placa de vidrio y sus gradientes RGB. 104
82 Comportamiento de la DCO en la placa de vidrio. 107
83 Calor generado por la palma de una mano. 110
84 Esquema general del interferómetro. 111
85 Diagrama del interferómetro de polarización. 112
86 Fotografía del arreglo experimental. 113
87 Sistema formador de imagen. 115
88 Fotografía de la zona de una placa metálica con una picadura. 117
89 Sección de una placa metálica dañada. 117
xiv
LISTA DE FIGURAS (continuación)
Figura
Página
90 Superficie de un vidrio con una pequeña ranura. 118
91 Imagen de una superficie reflectora sumamente irregular. 118
92 Fotografía de una zona en una placa metálica con varias picaduras 123
93 Fotografía de una picadura aislada. 123
94 Valores de δOB (x,y) correspondientes a la figura 93. 123
95 Gráfica de los valores de δOB para una hendidura. 124
96 Hendidura doble en una superficie reflectora. 124
97 Gráfica de los valores de δOB para una hendidura al borde de una ranura. 125
xv
LISTA DE TABLAS
Tabla Página I Convención de signos y posición de imagen. 73 II Valores de los parámetros del arreglo óptico experimental. 73 III Matrices TCI [DCO, RGB] y O [X, rgb]. 106 IV Correspondencia de las DCOs con las posiciones X. 106 V Valores de los parámetros del segundo arreglo óptico. 115
Capítulo I
Introducción
I.1 Antecedentes
Durante las últimas décadas se han desarrollado Interferómetros de Polarización (IP) de
configuración muy variada debido a sus múltiples aplicaciones (Pluta M. 1994a). En los
interferómetros convencionales por división de amplitud, tales como el Michelson y el
Mach-Zehnder, la división del haz óptico es realizada por una placa semi-reflectora. En los
IP ésta división de amplitud se realiza utilizando un dispositivo birrefringente el cual
además de desdoblar el frente de onda, lo polariza. Estos IP tienen una ventaja adicional: se
pueden utilizar los filtros birrefringentes del interferómetro para seleccionar y manipular la
información. Los IP actúan como procesadores ópticos coherentes (Goodman J.W.1968).
De este modo, el elemento fundamental en estos tipos de interferómetros es el filtro
birrefringente que se encarga de separar los frentes de onda y el cual se debe colocar en un
plano conjugado al de la fuente luminosa. Dependiendo del tipo de desplazamiento que es
introducido por el filtro birrefringente en los frentes de onda, estos caen en dos categorías:
filtros con desplazamiento lateral (i.e. un polariscopio de Savart) y filtros con
desplazamiento angular (i.e. un prisma de Wollaston).
El primer interferómetro de polarización fue creado por Jamin en 1868 (Jamin M.J. 1868),
sin embargo, tuvo pocas aplicaciones durante las siguientes décadas. El IP fue aplicado por
primera vez en microscopía por Lebedeff en 1930 (Lebedeff M.A. 1930), pero su verdadero
potencial tardaría más de una década en llegar gracias a los estudios del polaco Georges J.
Nomarski y el francés Maurice Francon de l'Ecole Supérieure d'Optique en Paris. En 1945,
después de ser liberado como prisionero de la segunda guerra mundial, Nomarski viaja a
2
Paris y en 1950 establece el Laboratoire de Microscopie Optique. Ahí desarrolla la técnica
de contraste interferencial NIC (Nomarski Interference Contrast), misma que
posteriormente patenta (Nomarski G. 1953). Actualmente se le conoce como interferencia
de contraste diferencial o DIC (differential interference contrast) por sus siglas en ingles.
Los estudios de Nomarski (Nomarski G. 1955, Nomarski G. and Weill A. R. 1955,
Nomarski G. 1956) marcan un hito en la historia de los IP. Nomarski introdujo también
una pequeña modificación a la orientación del eje óptico de un prisma de Wollaston para su
aplicación en microscopía, y es actualmente conocido como prisma de Nomarski. Como se
explicará más adelante, existen dos modos fundamentales para operar a un IP: DIC y
desdoblamiento total (TD), sin embargo fue tal el impacto que tuvieron sus estudios, que en
general se hace referencia a los IP como técnica DIC o sistemas Nomarski, independiente
de si se utiliza la técnica DIC o la técnica TD. Durante esos mismos años y en la década
de los 60’s, Francon introdujo importantes aplicaciones (Francon M. 1952a; Francon M.
1952b, Francon M. 1957; Francon M. 1964) y sobre todo una amplia difusión de los IP.
Actualmente el libro de texto más popular en el tema es debido a él (Francon M. and S.
Mallick. 1971) así como los trabajos del polaco Maximillian Pluta (Pluta M. and Mariusz
Szyjer. 1994; Pluta M. 1988; Pluta M. 1989; Pluta M. 1993).
Un filtro birrefringente produce un patrón de franjas sinusoidales con una frecuencia
espacial constante. Pluta introdujo un ingenioso sistema utilizando filtros
birrefringentes de dos en dos, de tal manera que el desplazamiento angular entre cada
par de filtros genera sistemas de franjas con un espaciamiento variable (Pluta M. 1972a;
Pluta M. 1972b; Pluta M. 1994b; Pluta M. 1973). Una de las últimas aportaciones
importantes en la estructura de los IP, fue la introducción (por la compañía Zeiss) del uso
de luz con polarización circular en una técnica denominada C-DIC, de tal manera que el
IP es insensible a la dirección del desplazamiento (shear) de la imagen desdoblada (Danz
R. and Gretscher P. 2004; Danz R., Vogelgsang A. and Kathner R. 2004).
Los IP se han aplicado en campos tan variados como los modernos MEMS – micro
electro-mechanical systems – (Amiot F. and Roger J. P. 2006), estudio de semiconductores
(Ballingall R. A. and Shersby-Harovic R. B. 1974; Dennis C., Stanley R. and Cui S. 2007),
3
en biología (Gundlach H. 1993), en mineralogía y petrología (Freere R. H. 1964; Kerr F.
P. 1977), en medicina (Wojtas H. D., Wu B., Ahnelt K. P., Bones J. P. and Millane R. P.
2008), en la tecnología de los discos ópticos (Yeh W. , Carriere J., Mansuripur M. 1999),
en la industria metalúrgica (Bertocci U. and Noggle T. S. 1966), incluso en el análisis de
fibras ópticas (Dragomir M. N., Rollinson C., Wade S. A., Stevenson A. J., Collins S. F.
and Baxter G. W. 2003; Liu Z., Dong X., Chen Q., Yin Ch., Xu Y. and Zheng Y. 2004).
Normalmente los IP utilizan una fuente de luz blanca, sin embargo se ha explorado el uso
de LEDs (Christoph K. Hitzenberger and Adolf F. Fercher. 1999), así como el uso de
láseres (Ooki H., Iwasaki Y. and Iwasaki J. 1996; Desse J-M. 1997).
Debido a que la función de coherencia temporal está dada por la transformada de Fourier
del espectro de la fuente luminosa, los IP han sido ampliamente utilizados también como
espectrómetros sin partes móviles (Montarou C.C.and Gaylord T.K. 2000; Prunet S. and
Journet B. 1998; Jiang Q.X., Kemp J., Ning N.Y,. Palmer W. A. and Grattan V. T. K.
1997; Komisarek D., Reichard K., Merdes D., Lysak D., Lam P., Wu S. and Yin S. 2004;
Komisarek D., Reichard K. and Yin S 2004; Padgett J. M. and Harvey R. A. 1995).
La intensidad luminosa de un IP depende de la diferencia de camino óptico (DCO) que
existe entre los dos haces (polarizados) que van a interferir. Esto es, si analizamos la
distribución de intensidad luminosa a la salida podemos obtener información sobre la DCO
del objeto que estamos observando: esta es la principal utilidad de los IP. Entonces
podemos separar el estudio de un IP en dos grandes áreas: el sistema óptico
interferométrico y la técnica de procesado numérico que se va a utilizar. Esto nos lleva a
distinguir entre dos maneras en las que se han venido utilizando los IP: análisis
cuantitativos y análisis cualitativos. Curiosamente en la práctica una de las mayores
aplicaciones de los IP se realiza mediante análisis “cualitativos”. Esto se debe a que
variando la posición del filtro birrefringente (por ejemplo un desplazamiento lateral) se
obtiene un corrimiento en la escala de colores en la imagen de salida para la cual el ojo
humano es muy sensible. En realidad se trata de una técnica cuantitativa-cualitativa. Por
ejemplo, si se desea realizar un estudio tribológico o de deterioro de metales (Hutchings I.
M. 1992) primero se toman muestras de metales dañados con picaduras o ralladuras y son
4
caracterizados por cualquier método incluyendo el DIC (Habib K. J.1998). Una vez que
estas muestras están bien caracterizadas, se estudian o catalogan las imágenes producidas
cuando son puestas en un IP. De esta manera una persona que estudia nuevas muestras
metálicas puede identificar con relativa rapidez el tipo o nivel de daño de la muestra. Es
muy común, por ejemplo, que si se están estudiando diferentes tipos de proteínas o
compuestos biológicos, mediante el desplazamiento del filtro birrefringente y la
observación visual se pueda identificar el tipo de compuesto químico. El propósito de esta
tesis es el estudio y comprensión de los principios de operación de los IP y diseñar un IP
que pueda servir para la inspección visual de placas metálicas. Aunque se llevará a cabo un
análisis cuantitativo de las imágenes obtenidas, es de mayor importancia el conocer los
aspectos que delimitan las pérdidas de luz (condiciones radiométricas), las condiciones de
diseño del filtro birrefringente, y el obtener un arreglo óptico sencillo que en un momento
dado sirva como prototipo para un dispositivo portátil que se pueda utilizar para realizar
mediciones de campo.
I.2 Objetivos
• El objetivo general de la presente tesis es construir un interferómetro de
polarización IP para la observación de objetos por reflexión, estudiar el principio de
operación de los IP y determinar cuáles son sus principales parámetros de
funcionamiento así como la relación que existe entre ellos.
Para cumplir el objetivo general se consideran los siguientes objetivos específicos:
• Determinar las características del mejor sistema formador de imagen con las lentes
disponibles que se tienen en laboratorio.
• Calcular los parámetros del sistema de iluminación.
• Diseño, fabricación y pruebas de un filtro birrefringente para verificar los cálculos
teóricos de dicho filtro.
5
• Diseñar y construir un IP para verificar experimentalmente los cálculos del modelo
teórico.
I.3 Organización de la tesis
En el capítulo 1 se presenta una introducción general del trabajo de tesis. Se
establecen los objetivos de la misma y finalmente se hace una descripción muy breve del
contenido de cada capítulo.
En el capítulo 2 se describe el funcionamiento de los IP como procesadores ópticos
coherentes, así como el funcionamiento básico del tipo de filtro birrefringente que se
diseñará en esta tesis.
En el capítulo 3 se presentan los cálculos teóricos de los parámetros del filtro
birrefringente (prisma de Wollaston), así como su fabricación en la compañía Opto
Crystal. Finalmente se presentan las pruebas que se hicieron en el laboratorio con el prisma
de Wollaston para verificar los cálculos hechos.
En el capítulo 4 se muestran las características generales de un interferómetro de
apertura amplia. Se calculan los parámetros del sistema de iluminación de nuestro arreglo
experimental y los del sistema formador de imagen. Se presentan los resultados
experimentales obtenidos y se presentan los fundamentos de una nueva técnica de
procesado denominada Coordenadas de Color (CC).
En el capítulo 5 se presenta un interferómetro tipo Nomarski-Weill, se muestran sus
características generales y se describen las ecuaciones que gobiernan los parámetros del
sistema de iluminación y del sistema formador de imagen. Por último se muestran los
resultados experimentales que se obtuvieron en el laboratorio con este interferómetro.
En el capítulo 6 se mencionan las conclusiones más relevantes del trabajo.
Capítulo II
Principio de funcionamiento de los interferómetros de polarización
II.1 Objetos de fase
Muchos objetos de interés son en gran parte transparentes, por lo tanto absorben poca luz.
Cuando la luz pasa a través de dicho objeto tiene como efecto predominante el cambio de
fase; este efecto no se puede ver con un sistema óptico convencional. Se han elaborado
distintas técnicas para la visualización de esos objetos. Las mejores técnicas para la
observación de objetos de fase son las interferométricas. En 1935, Zernike propuso una
nueva técnica de contraste de fase que tiene la ventaja de que la intensidad está linealmente
relacionada con el cambio de fase introducido por el objeto. Supongamos un objeto con una
transmitancia en amplitud
, , . (1)
Considerando que la parte variable del objeto introduce un cambio de fase ∆φ más pequeño
que 2π radianes, entonces la transmitancia en amplitud puede ser escrita como
, , . (2)
Cuando el objeto es iluminado con un sistema óptico de amplificación unitaria, produce
una imagen con una intensidad luminosa que está dada por
|1 ∆, | , (3)
7
esto es, se pierde la información de la fase. La técnica de Zernike propone colocar una
placa retardadora de λ/4 obstruyendo el orden cero en el plano de Fourier, de tal manera
que la intensidad de la imagen en este caso está dada por
∆ |1 ∆| 1 2∆ , (4)
por lo tanto, la intensidad de la imagen está relacionada linealmente con las variaciones del
cambio de fase ∆φ.
En un interferómetro de polarización (IP) la intensidad luminosa es proporcional al
desfasamiento entre dos frentes de onda que interfieren. Esta técnica tiene una ventaja
adicional: se pueden utilizar los filtros birrefringentes del interferómetro para seleccionar y
manipular la información en diferentes zonas del objeto. Actualmente las técnicas DIC
(interferencia de contraste diferencial) y TD (desdoblamiento total) son consideradas las
más eficientes para la observación de objetos de fase (Cogswell, C., Smith N., Larkin, K.
and Hariharan. 1997) y además ofrecen varias ventajas sobre las técnicas de campo
claro o de contraste de fase utilizadas en microscopía. Además de presentar la opción de
revelarnos los gradientes del objeto de fase, también describen adecuadamente las
variaciones de amplitud en objetos que poseen tanto regiones de absorción (debido a
pigmentos u opacidades) como regiones transparentes. También pueden utilizarse con
aperturas numéricas muy grandes con el beneficio de que las frecuencias espaciales
muy altas tienden a estar confinadas en el plano focal del microscopio. En los sistemas
DIC convencionales, el contraste, la distribución de la iluminación, la escala de colores,
el efecto de sombreado, la linealidad de la respuesta, y otros atributos de la imagen final
dependen fundamentalmente de un retardamiento de fase constante controlado por el
desplazamiento del filtro birrefringente, lo cual lo convierte en un dispositivo óptico
muy versátil en sus aplicaciones prácticas. Además esta técnica es muy útil también
para observar objetos opacos reflectores, tales como superficies metálicas.
8
II.2 Funcionamiento de los procesadores ópticos coherentes
Un IP funciona como un procesador óptico coherente, los detalles de su funcionamiento
como tal han sido descritos ampliamente en la literatura (Axelrond N. L., Radko A.L.,
Lewis and Ben-Yosef N. 2004., Cogswell C. J. and Sheppard C. J. R. 1992; Holmes T. J.
and Levy W. J. 1987; Holmes T. J. 1988; Preza C. 2000; Preza C., Snyder D. L.,
Rosenberger F. U., Markham J. and Conchello J. A. 1997; Preza C., van Munster E. B.,
Aten A. A., Snyder D. L. and Rosenberger F. U. 1998; Galbraith W. and David G. B.
1976; Galbraith W. 1982; Van Munster E. B., Winter E. K. and Aten J. A. 1998). A
continuación se expone una breve descripción de sus principios básicos. En la figura 1
se muestra un frente de onda plano Σ que incide sobre un vidrio que tiene en su segunda
superficie una forma de escalón. Debido a que la parte de abajo del vidrio es más
gruesa, la luz que atraviesa por esta zona recorre una trayectoria más larga dentro del
material denso, y como la velocidad de la luz c es menor dentro del vidrio que en el
aire, el frente de onda que sale ΣS está adelantado en su parte superior con respecto a la
parte inferior.
Figura 1. Representación de un frente de onda que atraviesa a una placa de vidrio.
Si consideramos que el material transparente afecta sólo la fase, que es la que contiene la
forma del frente de onda y no la amplitud, entonces podemos considerar que una lente actúa
como una transformación de fase, es decir, se puede representar como una función que
modifica la fase de la luz incidente.
En la figura 2 llamamos aL a la amplitud compleja sobre un plano tangencial al vértice de la
primera superficie de una lente y a´L a la amplitud compleja sobre un plano tangencial a la
Σ vidrio ΣS
9
segunda superficie de la lente. ∆0 es el grueso de la lente en el eje y ∆(x,y) el grueso de la
lente en un punto (x,y) a una distancia del eje de la lente. El retardamiento total
de fase que sufre la luz al pasar por una lente en el punto (x,y) puede ser expresado como
, !"#∆, "$∆ ∆, %& , (5)
donde n es el índice de refracción del material de la lente, nk∆(x,y) es el retardamiento de
fase introducido por la lente y k[∆0- ∆(x,y)] es el retardamiento de fase introducido por la
región de espacio libre que queda entre los dos planos. De la ecuación 5 vemos que la lente
puede representarse por la función de transmitancia
'(, )*∆+ ,-./0/1 , (6)
donde 2, ∆ 3 4 356 35/7 , r1 es el radio de la primera superficie de la
lente, r2 es el radio de la segunda superficie y se utilizó la formula 3- # 1 4 356 35/7. Si
ignoramos el factor constante 8,*∆+ y utilizando " 9 (numero de onda), obtenemos
'(, -9./0/1 . (7)
Figura 2. Parámetros de una lente delgada.
∆(x,y)
∆0
a( a(,
10
Entonces de la figura 2, observamos la amplitud compleja transmitida a´L en el plano
inmediato después de la lente está relacionada con la amplitud compleja aL en el plano
inmediato anterior a la lente por
a´(, '(, a;, . (8)
Por otro lado, una lente delgada puede formar en su plano focal la transformada de Fourier
de la amplitud compleja transmitida por un objeto bidimensional. La figura 3 muestra un
objeto bidimensional colocado junto a una lente convergente de distancia focal f y con
transmitancia de amplitud compleja T(x1,y1).
Figura 3. Transformada de Fourier en el plano focal de una lente convergente.
Este objeto es iluminado con una onda plana Σ viajando a lo largo del eje z y la lente está
localizada en el plano z = 0. Entonces de la ecuación 8, la amplitud compleja sobre un
plano inmediatamente después de la lente es
a´(3, 3 '(3, 3a( , (9)
y de la ecuación 7
a´(3, 3 a( 9-.6/06/1 . (10)
Σ
y2 y1
z = f
z = 0
T(x1,y1)
z
f
11
Por otro lado la amplitud compleja transmitida aT por el objeto bidimensional está
relacionada con la amplitud compleja ai incidente sobre el objeto por
a<3, 3 '3, 3a , (11)
pero ai = a L(x1,y1), por lo tanto
a<3, 3 a´(3, 3 '3, 3 a( '3, 3 9-.6/06/1 . (12)
Entonces para calcular la amplitud compleja producida por la propagación de la luz del
plano z = 0 al plano z = d, debemos aplicar la integral de difracción. Para este caso la
amplitud compleja transmitida por el objeto bidimensional está dada por
=<, , > ?> @ aA3, 3 9-B/C6/0/C6/DE3E3 , (13)
por lo que la amplitud compleja en el plano z = d puede ser expresada como
=<, a;?> C9-.//0//1 @ '3, 3 F60 G6E3E3 , (14)
donde H /9- I /9- son las frecuencias espaciales. Si la función T(x1,y1) = 0 fuera del
área subtendida por la lente, podemos extender los limites desde –∞ hasta +∞ y entonces,
la integral en la ecuación 14 representa una transformada de Fourier. Para eliminar el
factor cuadrático que está antes de la integral, se coloca en el plano focal de la lente de
transformación otra lente convergente de distancia focal f como se muestra en la figura 4.
12
Figura 4. Sistema de doble transformada de Fourier.
Esto equivale a multiplicar la ecuación 14 por una función de transmitancia
'(, 9-./
/ 0 //1
,
(15)
lo que provoca que se cancelen los términos de fase, quedando la transformada de Fourier
exacta J (ξ,η) de T(x1,y1). Supongamos el caso de un objeto bidimensional colocado antes
de una lente convergente como se muestra en la figura 5.
Figura 5. Amplitud compleja para un objeto colocado a una distancia d2 de la lente.
Se tiene una onda plana Σ de amplitud a1 a incidencia normal, que ilumina un objeto
bidimensional con transmitancia de amplitud compleja T(x1,y1) colocado en el plano P1 en
z = 0. A una distancia d2 del objeto se tiene una lente convergente de distancia focal f
K ( ξ, η ) Σ T(x1,y1)
f
z
a3
P2
ai
P2 P1
T(x1,y1)
aT a1
Σ d2
a( a(,
d3
z
13
colocada en un plano P2. Además d3 = f, es decir el plano P3 coincide con el plano focal de
la lente, por lo tanto su amplitud compleja está dada por
a<LL, L a3?> C9 MN3- C O/-/P.Q/ 0 Q/1RJ!1, 1& . (16)
La ecuación 16 expresa a la amplitud compleja aT3 (x3,y3) en el plano P3 (d3 = f ) como la
transformada de Fourier de la función de transmitancia T(x1,y1) del objeto, multiplicada por
un factor exponencial que depende de la distancia d2 del objeto a la lente. Si el objeto está a
una distancia d2 de la lente y si d2 = f, entonces el factor exponencial que está antes de la
integral se hace igual a 1, por lo que la ecuación 16 se puede reescribir como
a<LL, L a3?> J!ξ , η& a3?> J!3, 3& ,
a3?> U U 3, 3 F60 G6E3E3V
CVV
CV . (17)
Por lo tanto, si el objeto es colocado en el plano focal de la lente se obtiene la transformada
de Fourier exacta J(ξ,η) de T(x1,y1), excepto por la constante frente a la integral. Esto se
muestra en la figura 6.
Figura 6. Transformada de Fourier de un objeto bidimensional colocado en el plano focal de la lente.
y3 y2 y1
K ( ξ, η ) T(x1,y1)
f f Σ
z
14
Por otro lado si se utiliza un sistema de doble trasformada de Fourier como se muestra en
la figura 7, es posible obtener la imagen T(x1,y1) en el plano de salida, ya que la
transformada de J(ξ,η) reproduce de nuevo la función original, es decir la segunda lente
trabaja de tal manera como si se aplicara la trasformada inversa de Fourier. Cuando en el
plano de Fourier se coloca algún tipo de filtro para manipular el espectro del objeto,
tenemos lo que se llama un sistema de filtraje espacial. Esto permite obtener una versión
modificada de T(x1,y1) donde se pueden suprimir detalles indeseables o resaltar aspectos de
interés. Ya que el sistema óptico de la figura 7 es iluminado con iluminación coherente, a
este tipo de sistemas se les conoce como procesadores ópticos coherentes y en particular a
esté arreglo se le denomina arquitectura de filtrado 4f, esto es debido a que hay cuatro
distancias de longitud f que separan al plano de entrada con el de salida.
Figura 7. Procesador óptico coherente.
Entonces un IP es considerado un procesador óptico coherente. Tiene un polarizador de
entrada y un polarizador de salida (llamado analizador). Consta de un plano objeto P1 que
tiene una transmitancia T(x1,y1) y que es colocado a una distancia focal f de la segunda
lente L2 . A una distancia f de L2 (plano P2) se tiene la transformada de Fourier del plano
objeto, el cual es llamado plano de Fourier o plano de frecuencias y es donde se coloca el
filtro birrefringente cuya transmitancia es una función senoidal (i.e. las franjas del
Wollaston). También, a una longitud focal f del plano de Fourier se coloca una tercera lente
Plano de salida (Espacio de
coordenadas)
Plano de Fourier (Espacio de frecuencias)
Plano de entrada (Espacio de
coordenadas)
P1 P3
x3 y3
P2
x2
y2
x1
y1
z
f f f f f
Plano de la fuente
Fuente
x0
y0
15
L3, produciendo un plano final de salida P3 a una distancia f de L3. Aunque no quedó
establecido de una manera formal, dos características fundamentales se observan en un
interferómetro de polarización (Goodman J.W. 1968):
• El plano de la fuente y el plano del filtrado (plano de Fourier) son conjugados.
• El plano objeto de entrada y el plano imagen de salida son conjugados.
II.3 Prisma de wollaston (Filtro Birrefringente)
Básicamente podemos dividir los filtros birrefringentes en dos categorías: a) aquellos como
el polariscopio de Savart que producen un desplazamiento lateral del frente de onda
(Francon M. and S. Mallick. 1971) y consecuentemente un sistema de franjas de
interferencia al infinito; b) los que producen un desplazamiento angular como un prisma de
Wollaston y produce un sistema de franjas localizadas. Nos interesa diseñar un IP que
funcione por reflexión y que el objeto sea iluminado por un haz de luz cuasi-colimado que
provenga de una fuente de luz extendida, esto es un sistema de iluminación Kholer (Preza
C., Snyder D. L. and Conchello J. A. 1999). Estas dos condiciones indican que resulta
conveniente utilizar un prisma de Wollaston. El prisma de Wollaston está hecho por dos
segmentos (cuñas) similares de un cristal birrefringente (calcita o cuarzo) pegados de tal
manera que forman una placa plano-paralela, como se muestra en la figura 8.
Figura 8. Prisma de Wollaston EO es el eje óptico cristalino.
θw
EO
θw
Luz Incidente
EO
16
El eje óptico de ambos segmentos forma un ángulo recto el uno con el otro y se encuentran
en planos paralelos a la cara de entrada. Un haz óptico que atraviesa una placa cristalina de
longitud LP y con una birrefringencia ∆n sufrirá una diferencia de camino óptico DCO dada
por WXY ∆#Z[ . (18)
En la aproximación paraxial cuando en el prisma de Wollaston se hace incidir un rayo a
incidencia normal, éste es dividido en 2 rayos en el primer segmento \XW\]]]]]]]] del prisma: un
ordinario (representado por el vector de onda _`` a) y otro extraordinario (representado por el
vector de onda b` ` a), los cuales viajan a lo largo de la misma trayectoria hasta que entran al
segundo segmento \Wc\]]]]]]]]. Cuando llegan a la parte de la unión de los segmentos, el rayo
que era ordinario viaja como extraordinario _b` ` ` a y el rayo que era extraordinario viaja como
ordinario b_` ` ` a . Finalmente emergen del segundo segmento \Wc\]]]]]]]] haciendo un ángulo αw
llamado desplazamiento angular del Wollaston (Figura 9).
Figura 9. Trayectoria de un rayo al atravesar un prisma de Wollaston.
X
Z Y
αW
θr2
θr2
θr1
def` ` ` `a
dfe` ` ` `a
θEO
θOE
θW
θW
EO
EO
de` ` a , df` ` a
θW
D
C
B
A
θr1
17
Para calcular αw, así como la localización de las franjas, se considera que todos los ángulos
involucrados son pequeños, de tal forma que también se puede aplicar la ley de Snell al
rayo extraordinario en forma directa. Entonces, para la trayectoria del rayo _b` ` ` a en la cara \W]]]] se tiene que
# g8# hi #j g8#hi h53 . (19)
donde θw es el ángulo de la cuña, ne es el índice de refracción extraordinario y no es el
índice de refracción ordinario. Aplicando la identidad trigonométrica g8#= k l g8# = mng l k mng = g8# l y considerando mng h53 1 se obtiene
#j g8# h53 #j #o=# hi . (20)
En la cara cW]]]] se tiene que la refracción de _b` ` ` a está dado por
#j g8# h53 g8# h_b . (21)
Sustituyendo ecuación 20 en la ecuación 21 y considerando g8# h_b h_b se obtiene
h_b #j # o=# hp . (22)
Para la trayectoria del rayo b_` ` ` a, en las caras \W]]]] y cW]]]] las refracciones están dadas por las
ecuaciones 23 y 24 respectivamente
#j g8# hi # g8#hi h5 , #_ g8# h5 g8# hb_ .
(23)
(24)
Aplicando las mismas condiciones de ^_b` ` ` a para el rayo b_` ` ` a , es posible demostrar que hb_
está dado por
18
hb_ #j # o=# hp . (25)
Observando la figura 9b, se puede ver que el ángulo αw producido por el prisma es qi h_b hb_ . (26)
Entonces sustituyendo las ecuaciones 22 y 25 en 26 se obtiene qi 2#j # tan hi , (27)
El prisma de Wollaston nos permite obtener franjas de interferencia. Esto ocurre cuando es
puesto entre dos polarizadores lineales cruzados o paralelos. Con ayuda de la figura 10
podemos observar que las franjas de interferencia se encuentran localizadas dentro del
Wollaston a un ángulo θF.
Figura 10. Localización de las franjas de interferencia dentro del prisma de Wollason.
θF
ZO
θEO
X
Z Y
αW
θr2
def` ` ` `a
dfe` ` ` `a
θO
θW
EO
dα
D
B A
θr1
X1
19
Como se mencionó anteriormente, se consideran ángulos pequeños, entonces de las
ecuaciones 19 y 23 se tiene que
Despejando θr1 y θr2 para obtener el ángulo de los rayos b_` ` ` a y _b` ` ` a cuando ellos viajan
en el segmento \Wc\]]]]]]]], se puede demostrar que
h53 h5 #j ##j# hi . (30)
Observando la figura 10, tenemos que
o=# qi2 qi2 EV2t , Eu qit ,
o=# h53 h52 h53 h52 EV2 · 13 o=# hi .
(31)
(32)
(33)
Sustituyendo la ecuación 32 en 33
h53 h5 qi o=# hi · t3 . (34)
Utilizando la ecuación 27 y sustituyendo la ecuación 30 se obtiene
w #j #2#j# · 3 · hi . (35)
#hi #jhi h53 , #jhi #hi h5 .
(28)
(29)
20
Esta es la ecuación de una línea recta que pasa por el punto D y está inclinada con respecto
a la cara cW]]]] por un ángulo θF que está dado por
hx w3 #j #2#j# hi . (36)
En la figura 11 se muestra un esquema de los vectores de los frentes de onda b_` ` ` a y ^_b` ` ` a, así
como también el vector de las franjas x` ` a. Esta figura nos ayudará a encontrar el período
espacial Λ entre las franjas.
Figura 11. Espaciamiento Λ de las franjas de interferencia.
Entonces de la geometría de la figura 11 se tiene que
| x| 2yz 2| _b| g8# c 2 2y? g8# c , (37)
pero 2c qi y g8# c c, entonces es posible demostrar que
z ?qi ?2#j # o=# hi . (38)
B
Λw
d`` a
def` ` ` `a
dfe` ` ` `a
21
Figura12. Diferencia de Camino Óptico DCO introducido por el prisma de Wollaston.
Para determinar la diferencia de camino óptico DCO = ∆w, haremos uso de la figura 12 en
la cual introducimos un nuevo sistema de ejes coordenados (X´, ´Y, Z). Debido que αw es
muy pequeño, se puede considerar que los frentes de onda siguen una trayectoria |~]]]]]] casi
rectilínea. Entonces para un rayo que incide a una distancia XO se puede estimar la DCO
introducida por el prisma de Wollaston de la siguiente manera:
∆i #|]]]] #j~]]]] #j|]]]] #~]]]] ~]]]] |]]]]#j # .
(39)
Observando la figura 12 se tiene que
o=# hi |]]]]E ´ ~]]]]E ´ , (40)
R P
X
Z Y
θW
θW
EO
EO
de` ` a , df` ` a
D C
B A
dO
XO
dO
Q
X´
Z´
Y´
22
entonces $~]]]] |]]]]% o=# hi$E ´ E ´% 2´ o=# hi . (41)
Sustituyendo esta última expresión y la ecuación 27 en 39, se obtiene
∆i 2´ #j #o=# hi qi ,
(42)
donde X´= X+X0.
Esta ecuación indica que la DCO = 0 cuando el rayo incide en la parte central del prisma de
Wollaston (X = 0), pero si se tiene un desplazamiento en el eje X la DCO ≠ 0.
II.4 Modos de operación de un IP
El principio de funcionamiento de un IP para la observación de objetos de fase se muestra
en la figura 13. L1 y L2 son dos lentes y OC representa un ocular.
Figura 13. Funcionamiento de un interferómetro de polarización IP.
L1
Σ2
Σ1
F
A
OC
L2
B
P
Σ
∆d
C
Z
Y
X
S
23
El objeto que es plano excepto en su parte central (no aparece en la figura) es iluminado
con un haz colimado que proviene de una fuente luminosa F. El objeto genera un frente de
onda Σ, el cual pasa por un polarizador P cuyo eje de transmisión ΨP está a 45º respecto al
eje X (en el plano X-Y). Posteriormente pasa por una placa birrefringente B cuyo eje óptico
cristalino C está contenido en un plano paralelo a Y-Z y está inclinado respecto al eje del
sistema óptico (eje Z). La placa B divide al frente de onda en dos frentes de onda idénticos
Σ1 y Σ2 con amplitudes iguales y polarizaciones ortogonales entre sí, los cuales
experimentan un desplazamiento lateral S (shear) y tienen un defasamiento ∆d (o
retardamiento si es expresado en longitudes de onda). El analizador A tiene su eje de
transmisión ΨA paralelo o perpendicular al polarizador P, y toma las proyecciones de los
campos eléctricos de Σ1 y Σ2 para producir un patrón de interferencia a la salida. La
diferencia de camino óptico DCO entre ellos varía de una región a otra, y
consecuentemente, cuando se les hace interferir, estas diferencias se manifiestan como
variaciones de intensidad. Utilizando el cálculo de Jones, podemos obtener la ecuación de
transferencia en intensidad del arreglo óptico. La matriz de Jones equivalente para un
polarizador lineal P, un analizador A (polarizador lineal) y una placa B son,
[ M mng[ g8#[ mng[g8#[ mng[ g8#[ R , (43)
M mng g8# mngg8# mng g8# R , (44)
mng 47 g8# 47 mng2x g8# 47 g8#2x g8# 47 g8#2x mng 47 g8# 47 mng2x , (45)
donde ΨF es la orientación del eje rápido de la placa B (la cual actúa como una placa
retardadora), y Γ es su retardamiento lineal o defasamiento dado por
24
2y? WXY , (46)
donde λ es la longitud de onda y DCO es la diferencia de camino óptico. Consideramos
ahora que la intensidad luminosa de entrada (que emerge de P) es unitaria. Sin perder
generalidad en el resultado, podemos tomar como referencia la orientación del polarizador
ΨP = 0o. Entonces para una orientación arbitraria ΨA del analizador y ΨF de la placa B, el
vector de Jones ES de salida es
$%$% 10 . (47)
Por lo tanto la intensidad luminosa de salida es
· mng mng N2P g8# N2P mng 2x . (48)
De la ecuación 48 se puede demostrar que la intensidad de salida con máximo contraste se
obtiene cuando ΨA = 0o o 90o y ΨF = 45o, y su valor está dado por
g8# 47 para ΨA = 90o ,
mng 47 para ΨA = 0o .
(49) (50)
En lo sucesivo sólo se utilizará la ecuación 49, ya que en esta tesis se trabajó con
polarizadores cruzados. Cuando el desplazamiento lateral S es muy grande, se dice que el
interferómetro es de desdoblamiento total (TD), y cuando el valor de S es pequeño, se le
denomina interferencia de contraste diferencial o DIC (differential interference contrast)
por sus siglas en ingles.
25
II.4.1 Interferómetro de desdoblamiento total (TD)
Este tipo de interferómetros separa totalmente la imagen del objeto, es decir, S es más
grande que las dimensiones lineales del objeto de fase, por esta razón la imagen del objeto
es separada completamente como se muestra en la figura 14. Dos imágenes completamente
separadas O´1 y O 2 del objeto O son observadas en el plano imagen.
Figura 14. Desdoblamiento total de una imagen sencilla.
En las regiones A, B y C de las imágenes O´1 y O 2, la diferencia de camino óptico DCO
depende sólo de la placa birrefringente. Entonces de la ecuación 49, se tiene que las
intensidades de salida en estas regiones están dadas por
g8# 4y? ∆O7 . (51)
En las regiones D y E la DCO es (∆d + δ0) y (∆d - δ0) respectivamente, para las cuales las
intensidades de salida son
n b g8# y∆O k ? , (52)
donde δ0 es la máxima DCO del objeto.
S
Σ1
Σ2
D
E
δO
O´2
O´1
A B C
∆d
26
Cuando se utiliza un prisma de Wollaston, tenemos que ∆d = ∆w . Si ∆d = 0, el campo de
observación en el plano imagen aparecerá oscuro excepto para las regiones E y D. En este
caso si δ0 es pequeña, la ecuación 52 puede reescribirse como
n b g8# y? mo8 , (53)
donde cte representa un factor constante. Esto es, la intensidad de salida es directamente
proporcional al cuadrado de las variaciones de fase del objeto.
Por otra parte podemos analizar el caso en que ∆d = λ/4. Las intensidades en las regiones A,
B y C están dadas por
12 , (54)
y para las regiones D y E se tiene que
n b 12 k y? , (55)
esto es, las variaciones de intensidad luminosa son directamente proporcionales a las
variaciones de fase del objeto. Entonces, si la fuente luminosa es de luz blanca, el objeto
aparece con un color diferente al del fondo del campo. El color de la región D es diferente
al de la región E. Los dos colores son simétricos con respecto a la escala de colores de
Newton. La ∆d puede ser ajustada desplazando el filtro birrefringente (prisma de
Wollaston), con lo cual se tiene un corrimiento de colores en la imagen de salida. Cuando
la DCO es muy grande, las variaciones de fase del objeto podrán ser medidas de acuerdo a
los desplazamientos producidos en un sistema de franjas rectilíneas en el interferómetro,
con lo cual se puede lograr una precisión hasta de λ/40 (Pluta M. 1989).
27
II.4.2 Interferómetro de contraste diferencial (DIC)
En este caso en lugar de separar completamente las imágenes O1 y O 2 del objeto, se desea
que las imágenes se traslapen. Esto es, cuando se tiene un objeto extendido donde las
dimensiones del objeto son más grandes que el desplazamiento S, las imágenes O´1 y O 2
son capaces de traslaparse y el interferómetro revela aproximadamente el gradiente de la
fase en cada punto, como se ilustra en la figura 15.
Figura 15. Desdoblamiento parcial (diferencial) de una imagen.
x1
Σ
n
O
t
x
∆x
∆t
n
σ
x1
ΣO
O´
t´
∆x
∆t´
x σ´
A
L R
σ´ DCO
s B
DCO
∆d
Σ2
Σ1
S
a)
b)
c)
28
El objeto O es iluminado con un frente de onda plano Σ (figura 15a), el frente de onda O´
toma la forma de la superficie del objeto (figura 15b), que después de pasar por el prisma
(no está en la figura) es dividido en dos frentes de onda Σ 1 y Σ 2 (figura 15c). Se asume que
el desplazamiento S (Shear) es muy pequeño en relación con el tamaño lateral del objeto.
Los ejes coordenados x,t y x,t´ se asocian con la misma sección axial del objeto O y del
frente de onda Σo. La coordenada horizontal x es paralela a la dirección de S y expresa el
tamaño lateral del objeto, mientras que las coordenadas verticales t y t´ pasan a través del
vértice del objeto y expresan el grosor del objeto y la diferencia de camino óptico DCO
respectivamente. Estos no son constantes sino que son una función de x. Entonces una
variación de x por una cantidad infinitesimal causa un cambio de t´ por
∆o´ #´ #∆o , (56)
donde n es el índice de refracción del objeto, n es el índice de refracción del medio y ∆t es
la variación (gradiente) del espesor en el objeto que corresponde a ∆x. De la geometría de la
figura 15a, se deduce que
∆o∆ EoE o=# . (57)
Aquí σ es la pendiente de la superficie del objeto en el punto x1. Combinando las
ecuaciones 56 y 57, se obtiene
∆o´∆ #´ # o=# . (58)
Por otro lado, de la figura 15b y 15c se tiene que ∆o´∆ Eo´E o=# ´ , y
o=# ´ WXY ,
(59) (60)
29
donde σ´ es la pendiente de los frentes de onda ΣO, Σ1 y Σ2 en la región que concierne a x1,
y DCO es la diferencia de camino óptico entre los frentes de onda Σ 1 y Σ 2 interfiriendo en
la región x1. Si asumimos que ∆d = 0 y combinando las ecuaciones 59 y 60 se obtiene
WXY ∆o´∆ . (61)
Esta expresión muestra que la diferencia de camino óptico DCO entre dos frentes de onda
es directamente proporcional al gradiente ∆´∆ en dirección de S. Si el retardamiento ∆d ≠ 0,
entonces la ecuación 61 se puede reescribir como
WXY ∆O ∆o´∆ . (62)
En las ecuaciones 61 y 62 hay una diferencia de camino óptico DCO igual a ∆´∆ O´O , de
aquí el nombre de interferencia de contraste diferencial (DIC), ya que el gradiente se puede
aproximar como un diferencial ∆´∆ O´O . Hay que notar que
∆´∆ puede ser tanto positivo
como negativo. En el lado derecho R de la figura 15c es positivo, pero en el izquierdo L es
negativo.
Para una diferencia de fase ∆d = 0 entre los frentes de onda Σ1 y Σ2, las regiones A y B
(fondo) y el medio de la imagen del objeto O´ son oscuros, pero las pendientes de O´
tienen una variación continua en la DCO definida por la ecuación 60, por lo que ambos
lados R y L son visibles como regiones brillantes. La intensidad en las regiones A y B está
dada por ( g8# 4y? ∆O7 , (63)
y para ambos lados R y L se tiene que
( g8# 4y? WXY7 g8# Ny? ∆o´∆P . (64)
30
Esta situación ocurre cuando el sistema de interferencia se ajusta de modo que la imagen F'
(imagen de la fuente) coincida con el centro de la franja de interferencia de orden cero del
prisma Wollaston. Con luz blanca y los polarizadores cruzados esta franja es negra. La
imagen F´ debe ser paralela a las franjas de interferencia del prisma.
Desplazando el prisma de Wollaston una distancia Xo (para el lado izquierdo), la
diferencia de fase ∆d cambia (ver ecuación 42). Esto provoca que la región derecha R de la
imagen del objeto se haga más brillante, mientras que la región izquierda L aparece más
oscura que en la regiones A y B; entonces la ecuación 64 se puede reescribir como
( g8# y? N∆O k ∆o´∆P . (65)
Aquí los signos “+” y “-” se refieren a las regiones R y L respectivamente. Si ∆d = 0 (fondo
oscuro) y ∆´∆ es pequeño, tenemos que la intensidad es
y para ∆d = λ/4 se tiene
( 12 k y? ∆o´∆ 12 mo8 ∆o´∆ . (67)
La ecuación 67 indica que la intensidad luminosa de salida varía linealmente con el
gradiente ∆´∆ . Como ya se mencionó la intensidad en el centro (en medio) de la imagen es
la misma que en las regiones A y B. En general, estas partes de la imagen del objeto donde
no se tiene ningún gradiente óptico, siempre tendrán la misma intensidad que en las
regiones A y B.
( g8# y? N ∆o´∆P mo8 N∆o´∆P , (66)
31
Por otro lado si el desplazamiento del prisma de Wollaston se hace hacia la derecha,
entonces la región izquierda se hace más brillante; mientras que la región derecha (R) se
hace más oscura.
En la práctica, sobre todo al realizar estudios cualitativos y descriptivos, el método DIC se
utiliza con luz blanca debido a que todos los gradientes ópticos ∆´∆ aparecen como
imágenes de color. En este caso si ∆d ≠ 0, el fondo (regiones A y B) y el centro de la
imagen aparecen del mismo color, mientras que las pendientes de las regiones R y L
aparecen con colores diferentes, pero que son simétricos (en la escala de colores de
Newton) con respecto al fondo. Esta diferenciación en color significa que las formas del
frente de onda y los gradientes ópticos ∆´∆ pueden ser estimados de una manera rápida,
aunque sacrificando la precisión. Una forma cómoda (para el ojo humano) de evaluar los
gradientes es cambiar el fondo al color púrpura, lo cual se logra con un retardamiento ∆d ≈
555nm. En este caso, una variación pequeña en el gradiente óptico causa un cambio rápido
de interferencia de colores para el púrpura, cuyas tonalidades varían entre el rojo y el azul.
Es importante notar que la relación entre ∆d y el movimiento transversal (Xo) del prisma de
Wollaston es lineal. Este hecho permite que la DCO o el gradiente ∆´∆ producido por el
objeto O que se está estudiando, sea medido con la ayuda de un tornillo micrométrico
incorporado a la montura mecánica del prisma de Wollaston.
II.4.3 Técnicas de compensación
En las discusiones anteriores se ha considerado que el frente de onda (de iluminación)
incidente sobre el objeto es plano, esto es, la fuente luminosa empleada es puntual. Esto
produce que el fenómeno de interferencia sea de alto contraste. En la práctica se trabaja con
una fuente de luz extendida. En este caso cada punto del plano de observación recibe dos
rayos coherentes con una diferencia de camino óptico DCO1 entre ellos, para cada punto de
la fuente incoherente. Si los valores de la DCO1 correspondiente a los diferentes puntos de
32
la fuente muestran una variación grande (digamos DCO1 > λ/4), el contraste del fenómeno
de interferencia se degrada notablemente.
Figura 16. Sistema con un prisma de Wollaston
Figura 17. Sistema compensado con dos prismas de Wollaston.
Debido a que se tiene una fuente de luz extendida el contraste de las franjas se verá
influenciado por el grado de coherencia espacial γ y en este caso, la ecuación 49 se debe
reescribir como (Pluta M. 1988).
( 12 12 || mng , (68)
donde por definición 0 || 1. Supongamos que se tiene un prisma de Wollaston W
en el plano focal de una lente L como se muestra en la figura 16. Consideremos que la
fuente luminosa es una rendija rectangular que actúa como diafragma de apertura (DA) y
cuya imagen aparece dentro del prisma con un tamaño lateral DA (ver figura 51). Si el
ángulo αw es pequeño, podemos aproximar el desplazamiento lateral S por
Luz
P
W1
W2
A
L1
L2
L
αw
W
S
f
a)
b)
33
qi> ?z > , (69)
donde f es la distancia focal de L. Entonces el grado complejo de coherencia, que está
determinado por la transformada de Fourier del diafragma de apertura (Goodman J.W.
1968) está dado por
|| g#m yW\?> . (70)
Entonces sin tomar en cuenta la DCO introducida por el objeto, para cumplir con la
condición de que DCO1 máxima = αw DA < λ/4, es necesario que
W\> ?4 , (71)
lo cual es equivalente a tener DA < Λ.
Para reducir esta restricción se puede utilizar la técnica de compensación, la cual se ilustra
en la figura 17 con un arreglo de dos prismas de Wollaston W1 y W2. En este caso un
segundo prisma W2 que produce una diferencia de camino óptico DCO2 es introducido en el
arreglo interferométrico, y las variaciones de la diferencia de camino óptico de éste
componente compensan las variaciones de camino óptico del primer componente W1. Las
orientaciones de los ejes ópticos de los prismas es tal, que el desplazamiento producido por
uno es cancelado por el otro. Esta es una modificación del interferómetro que nos permite
utilizar una fuente de luz extendida y se dice que se tiene un interferómetro compensado.
Para el caso de la figura 17 esto se cumple si
qi3>3 qi> . (72) Si los prismas son del mismo material, esta última expresión la podemos reescribir como
(ver ecuación 28)
hi3>3 hi > . (73)
34
Existen tres condiciones para que se pueda lograr la compensación:
El objeto bajo estudio debe ser colocado entre los dos filtros birrefringentes.
W1 y W2 están en planos conjugados, así los sistemas de franjas de los filtros se
superponen.
La orientación de los ejes ópticos en W1 y W2 debe ser tal que desplazamiento
(shear) producido por el primero se cancele con el segundo o dicho de otro modo, la
división que produce el primero debe de ser cancelada por el segundo.
Capítulo III
Diseño de un prisma de Wollaston
III.1 Introducción
El prisma de Wollaston está hecho de un material birrefringente. Un haz de luz que incide
en este tipo de materiales, se descompone en dos haces. El rayo ordinario cuya componente
de polarización es perpendicular al eje óptico del cristal y que observa un índice de
refracción no. Un segundo rayo denominado extraordinario, cuya componente del campo
eléctrico es paralela al eje óptico y que observa un índice de refracción n(θ), donde θ es el
ángulo que hace la propagación óptica respecto al eje óptico cristalino. Cuando θ = 0o se
tiene que n(θ) = ne . Por otro lado la birrefringencia del cristal está definida por
∆ . (74)
Como ya se explicó anteriormente, cuando en un prisma de Wollaston se hace incidir un
haz de luz a incidencia normal i = 0, se forma un patrón de franjas paralelas. Con la ayuda
de la figura 18a se explicará como ocurre este suceso en nuestro prisma. Cuando una fuente
de luz extendida es colimada, genera el frente de onda plano Σ que después de pasar por un
polarizador lineal P, atraviesa el prisma de Wollaston y es dividido en dos frentes de onda
Σo y Σe que viajan divergiendo entre sí. Se traza una línea LC donde los frentes de onda se
intercectan y la DCO = 0. Si en el lado izquierdo de la línea central LC la DCO es positiva
(DCO>0), entonces en el otro lado es negativa (DCO<0). Cuando uno observa a través del
analizador A, se ve un patrón de interferencia de franjas oscuras y brillantes en el interior
del prisma. Debido a que se tienen polarizadores cruzados, las franjas oscuras aparecen
cuando DCO = 0, ± λ, ± 2λ …, y las brillantes aparecen cuando DCO = , ,
…;
36
en caso de tener polarizadores paralelos, donde se tenía una franja oscura ahora se tendrá
una franja brillante.
Debido a que se introducen diferentes DCO en diferentes secciones del prisma, se tendrán
también diferentes estados de polarización emergentes. En la parte inferior de la figura 18b
se ilustra como son estos estados de polarización que emergen del prisma de Wollaston y
en la parte superior se simula la variación en intensidad luminosa obtenida después de que
la luz atraviesa al analizador y se proyecta en una pantalla (Sólo se muestran las franjas
centrales). Los diferentes estados de polarización se enmarcan en un rectángulo al que se le
ha dibujado una diagonal paralela al eje de transmisión del analizador.
Figura 18. a) Generación de las franjas de interferecia, b)Variación del estado de polarización y la intensidad transmitida.
1 2 LC
αw
DCO < 0
DCO >0
DCO =0
θF
θw
EO
Σ
P
αw
αw
ΣE
ΣO
A
LC
Franja oscura Franja brillante Franja brillante
37
Se observa que para DCO = 0, la luz transmitida por el prisma de Wollaston está
linealmente polarizada en una dirección perpendicular al eje de transmisión del analizador,
y por lo tanto se observa una franja oscura.
Para una DCO = el estado de polarización resultante es una elipse con el eje
mayor orientado en una dirección perpendicular al eje de transmisión del analizador, y la
intensidad de salida (proporcional a la línea gruesa dibujada) será un poco mayor que el
caso anterior.
Para una DCO = el estado de polarización resultante es circular, y la intensidad
luminosa transmitida tiene un nivel del 50% en la intensidad total transmitida.
Para una DCO = el estado de polarización resultante es una elipse con el eje
mayor orientado en una dirección paralela al eje de transmisión del analizador; y
finalmente, para una DCO = π , la luz transmitida por el prisma de Wollaston está
linealmente polarizada en una dirección paralela al eje de transmisión del analizador, y por
lo tanto se observa una franja brillante con un nivel del 100% en la intensidad transmitida.
Si hacemos el mismo análisis para el lado derecho del prisma de Wollaston, obtendremos
un resultado similar.
La distribución espacial de estas franjas paralelas es muy importante ya que el prisma de
Wollaston se coloca en el plano P2 de filtrado (ver figura 7) y después, con la ayuda de un
micrómetro, el prisma se desplaza ligeramente en la dirección Z, para tratar de que la franja
central se ensanche y trate de cubrir todo el campo visible. Como se verá en la siguiente
sección, en la medida que el ángulo de incidencia se empiece a incrementar (iluminación
conoscópica), el patrón de franjas se torna hiperbólico. Suponiendo la aproximación
paraxial y omitiendo algunas constantes multiplicativas y factores de fase irrelevantes,
podemos analizar el comportamiento del filtro birrefringente (prisma de Wollaston) de la
siguiente manera. Un frente de onda plano de amplitud unitaria que incide en el prisma es
separado en dos frentes de onda que emergen con amplitudes U1 y U2 (ver figura 16)
38
12 2 ,
12 2 , (75)
(76)
El analizador toma estas amplitudes y las suma a la salida. La proyección de este campo
resultante en el plano P2 se expresa como un campo W(X2) = U1(X2)±U2(X2), donde el signo
(+) se aplica para el caso de polarizadores paralelos y el signo (-) para polarizadores
cruzados. Para nuestro caso (polarizadores cruzados) tenemos entonces que la función de
transmitancia en amplitud del filtro birrefringente es (salvo un factor multiplicativo) una
función senoidal,
! " 2π #$ 12 % 2 2 & , (77)
donde fo = αw /(2λ). Suponiendo que O(X1) es la distribución de amplitud de un objeto
colocado en el plano P1 de la Fig. (7), y O(X2) = '() !* es su transformada de Fourier
en el plano de filtrado P2 , entonces tenemos que la distribución de amplitud A(X2) en el
plano P2 es,
+ ! '() !* ! ) ,-./01 ! (78)
donde hemos expresado a O(X2) en términos de su frecuencia espacial ν = X2/(λf) siendo f
la distancia focal. La distribución de amplitud A(X3) en el plano P3 de salida está dada por
+ ! '() ! !* ) ! 2 ! ) ! 2 ! , (79)
donde W(X3) = '( !* y el símbolo * representa la operación de convolución, además
se tiene O(X1) = O(X3) = '() !* debido a que la imagen de salida tiene una
amplificación unitaria. Podemos expresar A(X3) como
39
+ ! ) ! 2 2 %3 , 4 2 #1 3 , 2 #1&
2 %) , 4 2 #1 ) , 2 #1& , (80)
donde δ es una delta de Dirac. Debido a que la intensidad de salida es el producto de la
amplitud A(X3) por su complejo conjugado, el factor imaginario i desaparece, y tenemos a
la salida la imagen del objeto O(X3) desplazada lateralmente una distancia S (ecuación 69),
tal como se ilustró en la figura 16.
III.2 Trazado de rayos en un prisma de wollaston
En general cuando se ilumina a una placa de un cristal uniaxial con un ángulo de incidencia
oblicuo (i ≠ 0) y se observa entre polarizadores cruzados, el patrón de interferencia no
corresponde a un sistema de franjas paralelas (Hartshorne H. N. and Stuart A. 1964; Gao
Ch. Y., Xia H. R., Xu J. Q., Si Sh. Ch., Zhang H. J., Wang J. Y. and Song H. L. 2007). Es
necesario entonces conocer el patrón de franjas para el caso de un prisma de Wollaston bajo
iluminación conoscópica. Existen estudios reportados que proporcionan técnicas y
algoritmos para realizar un trazado de rayos tridimensional en un medio cristalino con su
eje óptico orientado en cualquier dirección (Beyerle G. and Stuart M. I. 1998; Liang Q-T.
1990; Zhang W-Q. 1992; Avendaño-Alejo M. and Stavroudis O.N. 2002). Sin embargo
debido a la simetría del prisma de Wollaston y aproximaciones de ángulo pequeño,
podemos realizar el trazado de rayos con relativa facilidad y obtener una expresión analítica
que describa el patrón de interferencia. Debido a que el prisma de Wollaston se piensa
utilizar en un sistema óptico de baja amplificación (menor a10X), se estima que los ángulos
de incidencia sobre el prisma serán menores a 10o. El prisma se construirá con cristal de
calcita y es necesario determinar el valor θw de la cuña, el cual no puede ser menor a 0.5º
debido a los problemas asociados con la orientación y corte del material durante el proceso
de fabricación.
40
La figura 19 muestra el caso general de la trayectoria de rayos para una placa cristalina
(Bloss F. D. 1961; Bloss F. D. 1971).
Figura 19. Trayectoria de rayos en una placa cristalina.
Un par de rayos paralelos que inciden en la placa, son descompuestos cada uno en sus
componentes de propagación ordinaria y extraordinaria. Las componentes KO1 y KE1
emergen desplazados lateralmente el uno del otro, y lo mismo ocurre para las componentes
KO2 y KE2. Las componentes KE1 y KO2 se superponen a la salida, y si la placa es colocada
entre polarizadores estos dos haces interfieren entre sí. Es importante notar de esta figura
que la DCO entre las componentes KE1 y KO2 que interfieren, es la misma que la DCO entre
las componentes KE1 y KO1 (Wahlstrom E. E. 1979).
De acuerdo al párrafo anterior y considerando que el prisma de Wollaston tiene un ángulo
pequeño θw, en la figura 20 se propone un esquema para calcular la DCO cuando se ilumina
al prisma con un ángulo de incidencia oblicuo (i ≠ 0).
EJE ÓPTICO (EO)
567888888889
5:;88888889
∑E
∑O
56;888888889
5:788888889
H
DCO
5:;88888889 +567888888889
41
Figura 20. Esquema utilizado para calcular la DCO.
Si la primera cuña del prisma tiene un ángulo θw < 5º y un espesor H, lo podemos
aproximar por la placa plano-paralela de la figura 20. Entonces los rayos KE y KO emergen
con una DCO1 igual a
<=) >!+=???? +@???? 4 @<????! , donde
+=???? ABC" >D ; +@???? ABC" > ; @<???? @=???? " A" FG >D FG >! . (81)
(82)
Sustituyendo las ecuaciones 82 en la ecuación 81 obtenemos
<=) >! ABC" >D H ABC" > 4 A " FG >D FG >!I ,
>! ABC" >D ABC" > A " FG >D FG >! .
(83)
Aplicando la ley de Snell para los rayos JD88889 y J888889 se tiene que
i
56888889
5:888889
D
C
B
A
θE
θo
H
42
>! " " >D ,
" " > ,
(84) (85)
y sustituyendo estos valores en la ecuación 83 se obtiene
<=) " " >DABC" >D " " >
ABC" > A" FG >D FG >! ,
A " H 1BC" >D " >D FG >D 1BC" > " > 4 FG >I ,
A " H1 BC" >D " >D FG >DBC" >D " >D K1 BC" > " >$ FG >BC" > " > LI .
(86)
Aplicando la identidad trigonométrica FG > MN OP$M O y BC" >! 1 " >! se llega a
<=) A " Q 1 ">DBC" >D " >D R 1 ">BC" > " >ST ,
A " HBC" >D" >D BC" >" >I .
(87)
Utilizando otras identidades trigonométricas P$M OUMN OU VWN O y BCF > VWN O, se obtiene
<=) A " XBCF >D BCF >Y AX" BCF >D " BCF >Y . (88)
La expresión anterior fue determinada para el caso general donde el eje óptico hace un
ángulo arbitrario con la normal a la superficie del cristal y donde el plano de incidencia no
coincide con la sección principal. Esta situación se representa en la figura 21, donde OM es
la normal a la cara del cristal, OFGM es el plano de incidencia en el cual está contenido el
frente de onda extraordinario JD88889 . ONQM es la sección principal la cual contiene al eje
43
óptico EO. ,Z [\, ] _, ` \ son vectores unitarios, θE es el ángulo entre OM y JD88889, ψ es el
ángulo entre EO y OM, θ es el ángulo entre EO y JD88889 y ω es el ángulo entre el plano de
incidencia y la sección principal.
Figura 21. Cálculo del ángulo θ que forma JD88889 con el EO.
La cotangente del rayo extraordinario se puede determinar con la ayuda de la ecuación 84,
la cual se puede reescribir como
">D " >! . (89)
Para evaluar θ! se tiene la ecuación del elipsoide de índices (Wahlstrom E. E. 1979;
Bloss F. D. 1961)
1 >! ">D 4 BC"> . (90)
5:888889
b
c
dZ
θ
ω
ψ
eZ
fZ
EO
O
N
F
Q
G
M
Plano de incidencia Sección Principal
θE
44
Utilizando la identidad trigonométrica " >! 1 BC" >! en esta última expresión,
1 >! a a h!BC"> , (91)
donde a Ni y h Nj . Sustituyendo la ecuación 91 en la ecuación 89
">D "Xa a h!BC">Y . (92)
Ahora con ayuda de la figura 21 podemos determinar el cos θ. De la geometría de la figura
tenemos que
Z • [\ oZoo[\o BC" > p]" >D 4 JZ BC" >Dq • prs" t 4 JZ BC" tq . (93)
Realizando la operación del producto punto se obtiene
BC" > " >D " t BC" u 4 BC" >D BC" t , (94)
donde se utilizó KZ • KZ 1, ı • x cos ω y oUZooVZo 1 . Sustituyendo la ecuación 94 en la
ecuación 92
">D "(a X a h! " >D " t BC" u 4 BC" >D BC" t!Y* . (95)
Dividiendo entre ">D y desarrollando el cuadrado se obtiene
" |a a h! Q"t"u 4 2 BC" >D" >D " t BC" t BC" u 44 BC">D">D BC"tT 1 .
(96)
Aplicando la identidad trigonométrica BCF > VWN O P$M OUMN OU obtenemos
45
"( a a h! XBC"t BCF>D 4
42 cot θ " ψ cos ψ cos ω 4 "ψ"ω Y* 1 . (97)
Utilizando BC"t 1 "t y desarrollando términos tenemos que
a"t 4 hBC"t!" BCF>D 2 a h! " t BC" t BC" u " BCF>D 4
4" Xa a h!"tBC"uY 1 0 . (98)
Esta última ecuación es una ecuación cuadrática en BCF>D y para resolverla se utiliza la
formula h/2G √h 4GB/2G. Resolviendo la primera parte correspondiente a
se tiene que
X2 a h! " t BC" t BC" u "Y2= " a h! " t BC" t BC" u = , (99)
donde
= a"ψ 4 hBC"t . (100)
Para la segunda parte correspondiente a 77
X2 a h! " t BC" t BC" u "Y 4=(" Xa a h!"tBC"uY 1*= " .
(101)
Elevando al cuadrado el primer término de la raíz, factorizando 4 " y posteriormente
sacándolo de la raíz, se obtiene
46
a h! " t BC" t BC" u " a=" 4 4 a h!= "tBC"u 4 = = " .
(102)
Desarrollando el cuadrado y sustituyendo = en el tercer término de la raíz y eliminando
términos semejantes, se tiene que
a ah! " t BC" t BC" u " a=" 44 a ah!"t"tBC"u" 4 = = " .
(103)
Utilizando de nuevo la identidad trigonométrica "t 1 BC"t en el tercer término
de la raíz y nuevamente eliminando términos semejantes, obtenemos
a ah! " t BC" u " a=" 4 == " . (104)
Juntando las dos partes de la solución cuadrática y sustituyendo el valor de = en el
segundo término de la raíz, se tiene
BCF >D a h! " t BC" t BC" u = 4
4 a a h! " t BC" u " a a"t 4 hBC"t!" 4 == " .
(105)
Después de algunas simplificaciones la ecuación 105 se puede rescribir como
BCF >D a h! " t BC" t BC" u= 4
4 1= " |1 " Qa"u 4 ahBC"u= T .
(106)
Multiplicando por sen y expandiendo el radical, es posible demostrar que
47
" BCF >D a h! " t BC" t BC" u " = 4
4 1= Q1 "2 Ra"u 4 ahBC"u= S T .
(107)
Para evaluar la cotangente del rayo ordinario se puede utilizar la ecuación 85. Siguiendo un
análisis similar al del rayo extraordinario es posible demostrar que
" BCF>D 1h 1 h " ! . (108)
Expandiendo el radical se tiene que
" BCF>D 1h h2 " . (109)
Finalmente la diferencia de camino óptico DCO1 de la primera cuña birrefringente se
obtiene sustituyendo las ecuaciones 107 y 109 en la ecuación 88. Después de algunas
simplificaciones se puede demostrar que
<=) A |1= 1h 4 a h! " t BC" t BC" u " =4 "2 QRh a
= S "u 4 Rh ha= S BC"uT 4 .
(110)
Para una placa cortada paralela al eje óptico se tiene que ψ = π/2. Utilizando este valor en la
ecuación 100 y sustituyéndolo en la ecuación 110 se obtiene
<=) A |1a 1h 4 "2 QRh aa S "u 4 Rh ha
a S BC"uT
A |h aah 4 h a!a Q"2 a"u hBC"u!T .
(111)
48
Multiplicando todo por y simplificando se llega a
<=) A | h a!ha Q1 4 h"2 a"u hBC"u!T . (112)
Esta última expresión nos proporciona el valor de la DCO1 para la primera cuña del prisma
de Wollaston. Para calcular la diferencia de camino óptico DCO2 correspondiente a la
segunda cuña del prisma, podemos realizar un análisis similar al utilizado para el cálculo de
la DCO1. Sin embargo, observando la simetría en la construcción del prisma de Wollaston,
es posible demostrar que haciendo el cambio de variable u u 4 en los cálculos
realizados para obtener DCO1, se obtiene en forma directa el valor de la DCO2
<=) A | h a!ha Q1 4 h"2 aBC"u h"u!T . (113)
Entonces la diferencia de camino óptico total DCOW introducida por el prisma de
Wollaston bajo iluminación conoscópica es
<=) <=) <=) . (114)
Sustituyendo las ecuaciones 112 y 113 en esta última expresión se obtiene
<=) A | h a!ha Q1 4 h"2 a"u hBC"u!T
A | h a!ha Q1 4 h"2 aBC"u h"u!T
A | h a!ha h"2 X a"u hBC"u! aBC"u h"u!Y .
(115)
Después de algunas simplificaciones se puede escribir
49
<=) A Q a h!2a BC"u "u!"T . (116)
Pero como a y h N , la ecuación 116 se transforma en
<=) A Q !2 BC"u "u!"T . (117)
Cuando un prisma de Wollaston es colocado entre polarizadores cruzados y se ilumina con
un cono de luz, la intensidad luminosa transmitida se obtiene al sustituir el valor de la
DCOW (ecuación 117) en la ecuación 49
MW " , <=)1 " A Q !2 BC"u "u!"T . (118)
En la figura 22 se muestra a un prisma de Wollaston colocado entre polarizadores cruzados
(no se muestran en la figura) al que le incide un rayo con un angulo i . A una distancia L se
ha colocado una pantalla para observar el patrón de interferencia.
Figura 22. Diagrama para analizar el patrón de franjas.
EO EO
L
Y
X
i
Wollaston
i
ω
50
De la geometría de la figura se puede escribir
0 BC" u " , 0 " u " ,
(119) (120)
y de estas expresiones se tiene que
BC"u 0 · " ,
"u 0 · " .
(121) (122)
Sustituyendo las ecuaciones 121 y 122 en la ecuación 118 se obtiene
MW "BFp0 0q ,
donde
BF A $ !2$ .
(123) (124)
La ecuación 123 nos indica que el patrón de interferencia que se obtiene es
aproximadamente hiperbólico, como el que se muestra en la figura 23. El círculo punteado
en la figura representa el área útil del prisma cuando se utiliza en un interferómetro de
polarización.
Nuestro prisma será fabricado de calcita óptica. La calcita es un cristal uniaxial negativo (ne
< no) y en la región central del espectro visible (λc ≈ 0.5 µm), tenemos que ne ≈ 1.49 y no ≈
1.66. Para obtener una área útil de aproximadamente la mitad del campo visible, para un
ángulo de incidencia i de aproximadamente 15°, se determinó que el ángulo θw de la cuña
debe ser menor a 1.5°. Para la observación de objetos diminutos (menores a 2 mm), el
ángulo θw debe ser pequeño, de ser posible su construcción idealmente debería tener un
ángulo aproximado a la mitad del valor anterior, esto es θw ≈ 0.75°.
51
Figura 23. Forma del patrón de franjas bajo iluminación conoscópica.
III.3 Fabricación del prisma.
Después de determinar las características del prisma de Wollaston, se solicitó a la
compañía de Opto Crystal su construcción y se nos permitió supervisar (observar) el
proceso de fabricación del mismo. Uno de los aspectos más importantes en la fabricación
de dispositivos ópticos cristalinos, es la orientación del cristal. En la figura 24 se muestra
una piedra de calcita en bruto. En la figura 25 se muestra la orientación del eje óptico
respecto a los ángulos de clivaje natural del cristal.
Figura 24. Placa de calcita. Figura 25. Orientación del eje óptico en la calcita.
102°
78° 78°
78° 78°
102°
102°
102° 102°
102° 78°
78°
Eje óptico (EO)
Área útil θW
EO
52
Para determinar la orientación del eje óptico en una muestra de calcita, ésta es colocada
entre polarizadores cruzados bajo iluminación conoscópica como se muestra en la figura 26
(los polarizadores no están en el diagrama).
Figura 26. Placa de cristal con iluminación conoscópica.
Vamos a analizar que ocurre cuando el eje óptico EO es perpendicular a la cara de entrada
como se muestra en la figura 26. Lo primero que hay que notar es que la iluminación
conoscópica tiene dos importantes consecuencias: (1) La trayectoria de los rayos
experimentan DCOs diferentes para diferentes ángulos de incidencia dando origen a las
líneas denominadas isocromas; y (2) las direcciones de vibración (polarización) de las
ondas son en general diferentes para cada rayo dando lugar a las líneas denominadas
isogiras (Bloss F. D. 1961;Hartshorne H. N. and Stuart A. 1964; Wahlstrom E. E. 1979).
Veamos primero el efecto de las diferentes DCOs y la generación de líneas isocromáticas.
En la figura 26 se han dibujado la trayectoria de seis rayos incidentes. Consideremos los
rayos de los extremos (orillas) 1,2 y 5,6. Estos rayos representan trayectorias simétricas,
esto es, inciden a la misma distancia de la línea EO pero en lados opuestos (izquierdo y
derecho) y además, inciden con la misma inclinación pero con signo opuesto en sus
ángulos.
EO
5E 5O
6
5
4
3
2
1
6O 6E
2O
1E 2E
1O
Lente Condensador
53
Los rayos 5 y 6 al entrar al cristal son divididos en un rayo ordinario y extraordinario cada
uno. El rayo extraordinario 5E interfiere con el rayo ordinario 6O de acuerdo a su diferencia
de camino óptico DCO56, de una forma similar a lo explicado en la figura 19.
Los rayos 1 y 2 que inciden respectivamente en los mismos puntos que el 5 y 6 pero del
lado contrario, son también divididos. En este caso los rayos 1O y 2E son los que interfieren
a la salida de acuerdo a su diferencia de camino óptico DCO12 . Los rayos 3 y 4 inciden en
puntos más cercanos a la línea EO y con un ángulo de incidencia distinto al de los rayos 5 y
6 por lo tanto la DCO34 ≠ DCO56 .
Para calcular la DCOC de cualquiera de estas trayectorias conoscópicas, podemos utilizar
los resultados de la sección anterior. De acuerdo a la figura 20, cuando se tiene una placa
cristalina cortada perpendicularmente al eje óptico ψ = 0. Al sustituir este valor en la
ecuación 100 se obtiene que C = b, y entonces de la ecuación 110 se obtiene
<=)¡ A |1h 1h 4 "2 QRh ah S "u 4 Rh ha
h S BC"uT
A |"2 Rh ah S X"u 4 BC"uY .
(125)
Utilizando la identidad trigonométrica "u 4 BC"u 1 y sustituyendo los valores de
a y b se tiene que
<=)¡ A R $2$ S " . (126)
Al sustituir DCOC en la ecuación 49, la intensidad de salida está dada por
MW " , <=)¡1 " A Q $!2$ "T " BF "! , (127)
54
donde cte representa a una constante. Esta ecuación nos indica que el patrón de
interferencia estará dado por una serie de líneas aproximadamente circulares. Esto se puede
predecir de la figura 26 ya que debido a la simetría de las trayectorias respecto al eje óptico
EO se puede observar por ejemplo que DCO12 = DCO56 . Si lo viéramos en tres
dimensiones se formarían conos con el mismo retardamiento o DCO. Estos conos se
pueden ver en la figura 27, la cual muestra conos con diferentes DCO.
Cuando el cristal es iluminado con luz blanca, cada cono de rayos presentará el mismo
color de interferencia, el cual será distinto al de los otros conos de luz. De esta manera en la
figura de interferencia resultante aparecerán una serie de curvas concéntricas con diferentes
colores de interferencia, las cuales se conocen como isocromas o líneas isocromáticas. Las
líneas isocromáticas se definen como el lugar geométrico de todos los puntos de igual
DCO. Cuanto más birrefringente sea un material, más líneas isocromáticas presentará,
mientras que uno con muy poca birrefringencia podría no mostrar ninguna isocroma. En el
caso de iluminación con luz monocromática se tendrá el mismo resultado, pero las
isocromas serán del color de la longitud de onda que se utilizó.
Figura 27. Conos con diferentes valores de DCO.
Eje óptico (EO)
DCO = 0
DCO = 550 nm
DCO = 1100 nm
DCO = 1650 nm DCO = 2200 nm
55
Veamos ahora el efecto de las direcciones de vibración de los campos eléctricos de las
componentes ordinarias y extraordinarias (polarización). Este efecto produce la aparición
de las isogiras, las cuales son áreas negras o grises las cuales parecen estar superpuestas a
las isocromas. A las isogiras también se les conoce como curvas de igual dirección de
vibración (Wahlstrom E. E. 1979). En la figura 28 se muestra una sección de los conos de
la figura 27 en la cual se muestran las direcciones de vibración de las componentes
ordinaria (Vo) y extraordinaria (VE) en dos puntos distintos. En cada caso se tiene que tanto
las magnitudes como las orientaciones de los vectores son distintas. En el caso de los rayos
ordinarios las componentes vibran perpendicularmente al eje óptico y tangencialmente a
los círculos isocromáticos, es decir son vectores radiales (dan vueltas). Los rayos
extraordinarios vibran paralelos al eje óptico, en forma perpendicular a las componentes de
vibración ordinarias y vibran a lo largo de líneas radiales del centro (melatope) hacia fuera.
En la figura 29 se muestra el diagrama completo de las vibraciones Vo y VE proyectadas en
un plano paralelo a la cara de salida de la placa cristalina. Este diagrama se obtiene a partir
de la proyección ortográfica de una semi-esfera que representa al frente de onda y es
conocido como skydrome. Las direcciones P-P y A-A corresponden a las orientaciones de
los ejes de transmisión del polarizador y el analizador respectivamente.
Figura 28. Vibraciones Vo y VE . Figura 29. Diagrama completo para las vibraciones Vo y VE
λ
O
VE
VE
VO VO
56
La distribución de las componentes de vibración Vo y VE es a lo largo de las isocromas
(círculos concéntricos). Si se realiza la suma vectorial de las componentes Vo y VE se
obtiene la orientación del campo eléctrico resultante, tal como se muestra en la figura 30.
Las isogiras son las regiones obscuras en forma de cruz que aparecen en las figuras 29 y 30,
y representan el lugar geométrico de todas las ondas cuyas direcciones de vibración
coinciden con las del polarizador y analizador. En estas zonas, las componentes de campo
eléctrico son paralelas (o cuasiparalelas) a las direcciones P-P y A-A, es decir, su intensidad
luminosa es cancelada debido a que el cristal está colocado entre polarizadores cruzados. A
la parte central (punto O en la figura 30) de la cruz se le conoce con el nombre de melatope.
Figura 30. Diagrama para ilustrar las isogiras.
En la figura 31 se tiene el esquema del montaje de iluminación conoscópica que se utilizó
en la compañía Opto Crystal para la orientación (alineación) del eje óptico y su fotografía
aparece en la figura 32. El arreglo comprende una lámpara F1, una lente L, un difusor DF,
un par de polarizadores cruzados P y A, el cristal bajo prueba Cr con una montura mecánica
57
giratoria, un objetivo OB, un ocular OC, una lámpara de tungsteno F2, una lente
condensadora CON, un divisor de haz BS y un diafragma de campo que incluye una navaja
K con un perfil triangular.
La luz emitida por la lámpara F1 pasa por un difusor DF que trasmite los rayos con una
inclinación aleatoria al cristal de calcita CR. El difusor ayuda a tener una iluminación
uniforme en todo el campo. Estos rayos interfieren generando un patrón de franjas que son
proyectado por el objetivo OB y el ocular OC hacia el ojo del observador.
Figura 31. Esquema del montaje para la orientación del eje óptico en el cristal de calcita.
Figura 32. Fotografía del montaje para la orientación del eje óptico cristalino.
BS
F2
L K
OB OC
A
CON DC
PDc
CR
P F1
DF
Z EO
58
El cristal es girado en tres dimensiones hasta que el centro del patrón de interferencia
(melatope) aparece en el centro de campo de visión, con lo cual se sabe que el eje óptico
cristalino está alineado con el eje del sistema óptico (eje z en la figura 31). En este
momento con un plumón se dibuja una flecha en la muestra de calcita para indicar la
dirección de su eje óptico, como se ilustra en la figura 33. Posteriormente el cristal es
cortado en un cubo (o paralelepípedo) y sus caras son pulidas. En la figura 34 se muestra la
cortadora, en la figura 35 se muestran los cristales cortados montados (pegados) en los
discos utilizados para pulir, y en la figura 36 se muestra la máquina pulidora.
Figura 33. Cristales con sus ejes ópticos marcados. Figura 34. Fotografía de la cortadora.
Figura 35. Cristales de calcita cortados . Figura 36. Fotografía de la pulidora.
59
Después de este proceso se tiene un paralelepípedo cortado con las dimensiones deseadas y
semi-orientado como el que se muestra en la figura 37. En ésta muestra cristalina el eje
óptico EO no es completamente paralelo al eje Z, y la normal N la cara ABCD hace un
ángulo θ respecto a Z. Para corregir la orientación de la cara se vuelve a colocar el cristal
en el montaje de la figura 31. La luz proveniente de la lámpara F2 se proyecta sobre la cara
ABCD del cristal Cr, misma que es reflejada y capturada por el ocular OC. Esta parte del
sistema óptico actúa como un autocolimador, de tal manera que el observador puede ver
simultáneamente la imagen de la navaja K , así como la imagen (invertida) de la misma
después de que se refleja en la cara ABCD, como se ilustra en la fotografía de la figura 38.
En esta figura se observa que la intensidad de la imagen reflejada es mucho más tenue y
además está desalineada respecto a su contraparte. Girando la muestra cristalina Cr se
puede lograr que ambas puntas de la navaja coincidan en el centro del campo (ver figura
39) , lo cual implica que el ángulo θ = 0 y la cara ABCD es perpendicular a Z. En caso de
ser necesario, se repite el proceso de corte y pulido hasta que la muestra esté perfectamente
orientada. En la figura 40 se muestra el patrón de interferencia de un cristal alineado, en
ella se aprecian las isocromas y las isogiras descritas por la ecuación 127. En el laboratorio
del CICESE también se construyó un sistema de iluminación conoscópica y en las figuras
46 y 47 (al final de este capítulo) se muestran fotografías a color de los patrones de
interferencia cuando el cristal es iluminado con luz laser (monocromática) y con luz blanca
respectivamente.
Figura 37. Orientación de la cara ABCD . Figura 38. Fotografía de la navaja en el plano de salida.
D
C
A
N Z
θ
O
B
EO
60
Figura 39. Puntas de la navaja en el centro del campo. Figura 40. Imagen de salida para un cristal orientado.
Una vez que se tiene un paralelepípedo orientado se corta en diagonal para formar las dos
cuñas del prisma, mismas que posteriormente son pegadas con cemento óptico. En la figura
41 se muestra el prisma de Wollaston terminado y en la figura 42 se muestra al prisma
colocado en su montura mecánica.
Figura 41. Prisma de Wollaston terminado. Figura 42. Montura mecánica del prisma.
III.4 Pruebas del prisma.
Utilizando el montaje experimental de la figura 43 se observó el patrón de interferencia
producido por el prisma bajo iluminación conoscópica. Está compuesto de un láser de
longitud de onda λ = 532nm, un objetivo de microscopio OB, un polarizador P, una lente L,
un prisma de Wollaston W, un analizador A y una pantalla de observación.
61
a) b)
Figura 43. a) Fotografía del arreglo experimental, b) Esquema del arreglo experimental
Se iluminó al prisma con un cono de luz muy grande (mayor a 20º) y se obtuvieron los
patrones de interferencia que se muestran en las figuras 48 para luz monocromática y 49
para luz blanca (fotografías a color al final del capítulo). Es interesante notar que en este
caso no se tienen isogiras. Esto se debe a que la mayoría de los haces que atraviesan al
prisma lo hacen en una dirección cuasi-perpendicular a los ejes ópticos de cada una de las
cuñas del prisma (ver figura 9). Por lo tanto las direcciones de vibración de las
componentes de los campos EO y OE serán paralelas a alguno de estos ejes ópticos
cristalinos. Si designamos a estas orientaciones con las letras ε y ω sus direcciones serían
todas iguales en el campo de salida (skydrome), con una distribución similar a la que se
muestra en la figura 44. Aunque no es muy claro en esta figura, debido a que el prisma de
Wollaston es colocado entre polarizadores cruzados, con sus eje ópticos cristalinos
bisecando las direcciones de los ejes de transmisión de los polarizadores, se tiene que las
magnitudes de εεεε y ω son iguales y sus sumas vectoriales apuntan siempre en la misma
dirección.
Por otra parte, para medir el ángulo θw de la cuña del prisma de Wollaston se utilizó un
montaje experimental muy sencillo, el cual se muestra en la figura 45.
W
Pantalla
Laser
L
OB
A
P
62
Figura 44. Orientación de los campos ε y ω.
Figura 45. Arreglo experimental para medir el ángulo θw.
Se iluminó al prisma con luz láser y a varios metros de una distancia R se midió la
separación d de los haces proyectados en una pantalla. Se realizaron varias mediciones para
diferentes distancias R y se calculó el valor promedio de d. Por simple construcción
geométrica se calculó el valor de αw. Utilizando este valor de αw en la ecuación 27 se
obtiene un valor de θw ≈ 0.8°.
pantalla
αw
W
R
Laser
d
ω
ε
ε
ω
ω ε
ε
ε
ω
ω
ε
ω
ε ω
63
Figura 46. Interferencia con luz monocromática Figura 47. Interferencia con luz blanca para para una placa de calcita. una placa de calcita.
Figura 48. Interferencia con luz monocromática Figura 49. Interferencia con luz blanca para para el prisma de Wollaston. el prisma de Wollaston.
Capítulo IV
Interferómetro de gran apertura
IV.1 Características generales
En este capítulo se mostrará el arreglo experimental de un interferómetro de gran apertura
que se construyó en laboratorio. Se explicará el funcionamiento y las principales
características de este tipo de arreglo, así como también se mostrarán los resultados
obtenidos. En la figura 50 se muestra el esquema del arreglo general de nuestro
interferómetro de apertura amplia. Consta de una fuente luminosa F, una lente L1, un espejo
plano MP, un prisma de Wollaston W, un espejo cóncavo MC y finalmente una lente L2.
Figura 50. Esquema de un interferómetro de gran apertura.
La lente L1 (o sistema de lentes) forma la imagen de la fuente F dentro del prisma W, el
cual está colocado en el centro de curvatura del espejo Mc, entonces este espejo vuelve a
formar la imagen de F dentro del prisma W. Estas dos imágenes de la fuente F están
ligeramente desplazadas dentro del prisma W. El objeto O bajo estudio se coloca justo
O
MC
W MP
L2
L1
F
65
enfrente del espejo MC. Debido a que el interferómetro está compensado, el espaciamiento
Λ2 de las franjas será el doble que el descrito por la ecuación 38, esto es Λ2 = 2Λ.
Figura 51. Arreglo experimental del interferómetro de polarización. Sistema de iluminación: Línea continua.
Sistema formador de imagen: Línea punteada.
Z2
Z1
A
d3 fOB
d2 d4
FBL
CON
P
COL
R (DA)
fCOLL
O’
DA’
W
MP
O’’
DC’’DA’’´
Ocular
OC
CA
OB
MC
DC’
O
d1
MC1
F
66
En la figura 51 se muestra el arreglo experimental completo. Con línea punteada se tiene el
sistema formador de imagen y con línea continua se tiene el sistema de iluminación. Se
trabajó con una fuente de luz blanca BL cuya montura mecánica está delimitada por la línea
punteada de la figura, un diafragma de apertura DA, tres lentes COL, CON y OB, un espejo
plano MP, un prisma de Wollaston W, un espejo cóncavo MC con diámetro de 15 cm y
radio de curvatura de 1 m, dos polarizadores lineales en posición cruzada (polarizador P y
analizador A), un ocular con amplificación de 10X y un diafragma de campo DC. El ocular
está compuesto por una lente de campo CA y una lente OC. Los ejes ópticos del prisma de
Wollaston están a 45° respecto a los ejes de transmisión del polarizador y el analizador. En
la figura 52 se muestra una fotografía del arreglo a lo largo del eje óptico del sistema Z2 y
en la figura 53 una fotografía mostrando la dirección del eje Z1 y el plano de salida. Para
analizar el funcionamiento de nuestro arreglo experimental se dividió en dos partes, el
sistema de iluminación y el sistema formador de imagen.
Figura 52. Fotografía del montaje experimental Figura 53. Fotografía del montaje experimental a lo largo del eje Z2. mostrando la dirección del eje Z1.
67
IV.2 Sistema de iluminación (Cálculo Radiométrico)
La fuente de luz blanca BL consiste de un filamento de tungsteno F y un espejo cóncavo
MC (figura 51); éste forma la imagen F’ del filamento sobre una rendija rectangular R de
espaciamiento variable que actúa como diafragma de apertura (DA). Un par de lentes
(colectora COL y condensadora CON) forman la imagen de F dentro del prisma W.
Después de reflejarse en el espejo MC el cono de iluminación es retomado por el sistema de
lentes OB-Ocular para iluminar todo el plano de salida (diafragma de campo DC’’ ). Las
distancias focales de COL, CON y OB son fCOL, fCON = d1+d2 y fOB respectivamente.
En la figura 54 se muestra la irradiancia E [watt/mt2] recibida por una lente L al ser
iluminada por una fuente F’ , la cual emite una radiancia igual a L0 [watt/sr mt2].
Figura 54. Flujo luminoso Φ [watts] recibido por una lente.
Si denominamos con las letras Φ [watt] al flujo o potencia radiante y Ω [sr] al ángulo
sólido, entonces podemos escribir (Smith W. J. 2000) ,
, (128)
donde θA es el ángulo que forma el cono de luz (respecto a Z), ∂AF es una diferencial de
área (normal a Z) y ∂Ω es una diferencial del ángulo sólido, que está dado por
, (129)
donde φ es el ángulo que barre toda la superficie (medido de x hacia y).
F’
L D
θA
f
φ
z
x
y
68
Entonces sustituyendo la ecuación 129 en la 128 e integrando se tiene que
,
,
(130)
(131)
despejando ∂Φ e integrando se llega a
. (132)
Finalmente la irradiancia E [watt/mt2] recibida por la lente L está dada por
. (133)
Es común que estas cantidades radiométricas se expresen en función del f-número efectivo
(f#) o la apertura numérica (NA) los cuales están definidos por,
# 12 ! " 12 , # " ,
(134)
(135)
donde las aproximaciones ( ≈ ) son válidas para ángulos pequeños θA < $ (< 30°) y
representan un error menor al 2.5 %. Denominamos por TOC, TCA, TOB, TCON, TCOL, a las
transmitancias en intensidad de las lentes OC, CA, OB, CON, COL. Estas transmitancias
normalmente son superiores al 90%. De la figura 51 tenemos que la irradiancia ECOL
recibida por COL está dada por
%&' %&' , (136)
69
y la exitancia emitida (transmitida) MCOL [watt/mt2] por el COL está dada por
(%&' )%&'%&' . (137)
Para la lente CON se tiene que
%&* (%&' , %&* )%&* )%&' .
(138)
(139)
Para la lente OB, se considera que la imagen de la fuente F’ que se forma en el prisma de
Wollaston con una radiancia LCON incide toda en el espejo cóncavo MC. De este modo, toda
la luz es refleja al mismo punto formando una nueva imagen de la fuente con la misma
radiancia, esto es, se considera un coeficiente de reflexión de intensidad unitaria para MC.
Entonces la irradiancia EOB y radiancia LOB están dadas por
&+ %&* &+ , (&+ )&+&+ ,
(140)
(141)
y en forma similar para ECA, LCA, EOC, LOC tenemos,
% (&+ , (% )%% , &% (% ,
&% )&%&% &% .
(142)
(143)
(144)
(145)
Finalmente para la irradiancia recibida EPI en el plano imagen se tiene que
,- &% . &% . (146)
70
Sustituyendo de la ecuación 136 a la 145 en 146 se llega a que el plano imagen de nuestro
arreglo experimental tiene una EPI igual a
,- )&%)%)&+)%&*)%&' . &% . (147)
Si llamamos TT a todas las transmitancia individuales, incluyendo la transmitancia del
prisma de Wollaston TB y la transmitancia TP de los polarizadores P y A, entonces la
ecuación anterior se puede reescribir como
,- )/ . &% . (148)
Utilizando las ecuaciones 134 y 135 podemos expresar esta última ecuación como
,- )/4#&% ,
,- )/ #&% .
(149)
(150)
La ecuación anterior nos indica que debido al comportamiento del sistema óptico las
condiciones radiométricas de diseño más importantes son los conos de luz que inciden en
COL y OB, los cuales deben de ser lo más amplios posible, mientras que el cono de luz que
emerge de CON tiene que ser lo más alargado posible; por ejemplo, se puede seleccionar
una distancia focal fCOL pequeña y una distancia focal fCON muy grande. Esto plantea un
problema muy serio, ya que precisamente estas son las mismas condiciones que se tienen
para cuando se quiere tener una amplificación (mayor que uno) de la fuente F’ . La ecuación
70 que nos determina el grado de coherencia, se aplica en el plano W del prisma de
Wollaston, y esa ecuación nos dice que entre más grande sean las dimensiones de la fuente
(o su imagen en W), menor será el grado de coherencia espacial. Existe pues un
compromiso en el diseño entre obtener pocas pérdidas de luz y un buen grado de
coherencia. El sistema de iluminación diseñado para este interferómetro, servirá como base
para el diseño del interferómetro del siguiente capítulo.
71
IV.3 Sistema formador de imagen
En nuestro arreglo el sistema formador de imagen lo definen las componentes OB, CA y
OC tal como se muestra en la figura 55. Con ayuda del objetivo OB el objeto O después de
ser iluminado, forma su imagen O en un plano que es conjugado al plano del diafragma de
campo DC’. CA actúa como una lente de campo, esto es, prácticamente no interfiere en la
amplificación del objeto pero proporciona una mayor uniformidad en la imagen final O´ .
Figura 55. Sistema formador de imagen del arreglo experimental (línea punteada).
El arreglo experimental que se diseñó, estuvo limitado al material que se tenía en el
laboratorio. Se midieron los diámetros y distancias focales de aproximadamente 25 lentes
disponibles. Se consideró tener un ocular comercial a la salida. Se utilizó el programa de
computadora Linux, que sirve para analizar sistemas formadores de imagen y de
iluminación. En la figura 56 se muestra un arreglo hecho con el programa y los resultados
que proporciona.
Z2
fOB
SO1 Si1
O’
W OC
Ocular
DA’’
O
DC’’
O’’
CA
OB
DA’
DC’
72
Figura 56. Sistema óptico calculado con el programa Linux.
Aunque este programa es capaz de hacer un análisis de aberraciones, se desconocían los
parámetros necesarios de nuestras lentes (índices de refracción, radios de curvatura, planos
principales o espesores, etc.) y se procedió a hacer un análisis con la aproximación de las
ecuaciones de la óptica gaussiana, las cuales están definidas por (Levi L. 1969)
(151)
(152)
(153)
donde MT es la amplificación (transversal) y los demás parámetros se ilustran en la figura
57. La convención de signos utilizada se muestra en la tabla 1. Adicionalmente, en nuestro
programa definimos las distancias focales f = fo = fi .
Figura 57. Parámetros de una lente delgada.
fo Xo
So
fi Xi
Si
B
A
O
73
CONVENCION DE SIGNOS SO y fO + A la izquierda del vértice V Si y fi + A la derecha del vértice V
YO y Yi + Encima del eje óptico Xo + A la izquierda de fO Xi + A la derecha de fi
OBJETO IMAGEN Posición Clase Posición Orientación Tamaño Relativo So < 2f Real f < Si< 2f Invertida Disminuida So = 2f Real Si = 2f Invertida Mismo Tamaño f < So< 2f Real 2f < Si< ∞ Invertida Aumentada So = f ± ∞ (infinito) So< 2f Virtual Derecha Aumentada
Tabla 1. Convención de signos y posición de imagen.
Sistema óptico Diámetro (mm) D. Focal (mm) f-numero (f#) Distancias (mm) COL 50 77 1.54 d1 = 90 CON 50 150 3 d2 = 60 OB 50 127 2.54 d3 = 1000 MC1 150 500 d4 = 135
Ocular 20 (10x)
Tabla 2. Valores de los parámetros del arreglo óptico experimental.
Finalmente, una vez exploradas varias posibilidades se escogió un sistema óptico cuyos
parámetros se resumen en la tabla 2.
Un parámetro importante en los sistemas ópticos es el límite de resolución 1, el cual
expresa la capacidad de un sistema óptico para distinguir los detalles pequeños de un
objeto, y está dada por (Welford W. T. 1962)
1 0.61 4# . (154)
Considerando una λ ≈ 0.5 µm, y estimando del arreglo experimental que θOB ≈ 1.3°,
obtenemos que 1 " 15µm. Este sería en realidad el límite inferior, ya que no se han
tomado en cuenta los efectos de las aberraciones que distorsionan la imagen.
Experimentalmente verificamos que al menos podíamos obtener un valor de 1 " 200µm
lo cual es suficiente para los propósitos del trabajo.
74
Aunque se pensó en el diseño del interferómetro para que un observador pudiera ver
directamente la imagen de salida a través del ocular, también se colocó una pantalla de
observación a la salida donde se tomaron algunas fotografías. La amplificación óptica total
MOT1 de este primer interferómetro se puede calcular a partir de
(&/8 (&+ (&9:;<= , (155)
donde la amplificación MOB está dada por la ecuación 153 y MOcular es de 10X. Variando un
poco las posiciones de OB, el ocular y la pantalla de salida, se pueden obtener
amplificaciones del objeto del orden de 1X a 1.5X.
IV.4 Análisis de heterogeneidades en placas de vidrio
Una de las aplicaciones que se le puede dar a este interferómetro, es la visualización de
variaciones de fase en muestras de vidrio; los resultados de este trabajo fueron
presentados en una sección plenaria de la XXI Reunión Anual de Optica (García-Weidner
A., Guillen-Bonilla A., Rivera-Garibaldi E.,García-Zárate M. A. 2008a). En la
fabricación de algunos componentes ópticos, la compañía Opto Crystal requiere del uso de
ventanas de vidrio con calidad óptica. En nuestro arreglo experimental se analizaron placas
de vidrio de aproximadamente 3mm de espesor con una apertura que va desde 1cm2 a
16cm2 para verificar sus heteromogeneidades. La causa principal que introduce estas
heterogeneidades de fase en el vidrio, se debe a la presencia de esfuerzos residuales
acumulados en éste, los cuales debido al efecto foto-elástico se manifiestan como
variaciones ∆nv en el índice de refracción. El efecto foto-elástico puede ser descrito como el
cambio en los valores del índice de refracción causado por la existencia de un estado de
esfuerzos en un material (Yariv A., Yeh P. 2002),
∆?@A B@AC;DC; B@A E ? ,
? 1 , (156)
(157)
75
donde Bij es el tensor de impermeabilidad dieléctrica (relativa), B0 son los coeficientes de
este tensor antes de aplicar el esfuerzo, qijkl es el tensor piezo-óptico, σkl es el tensor de
esfuerzo. Para el caso particular donde un haz óptico con una longitud de onda λ se propaga
una distancia L, se tiene que el material actúa como un cristal uniaxial, con una
birrefringencia dada por
∆F GH BDI , (158)
donde q es el coeficiente piezo-óptico efectivo y σm es el esfuerzo mecánico. Esta
birrefringencia introduce un retardamiento lineal Γ
J 24 ∆F 24 KF . (159)
En nuestro caso debido a que el objeto (vidrio) será observado por reflexión, el
retardamiento total ΓT es ΓT = 2 Γ. Para las placas de vidrio comerciales, se tiene que q ≈
0.34×10-12 m2/N y n ≈ 1.5. Los valores esperados de ∆nv son del orden de 10-4 o menores.
De la ecuación 146 vemos que una placa de vidrio de 3mm de espesor y con ∆nv = 10-4
puede introducir un retardamiento de media onda (π). Por otra parte, si la placa presenta
una pequeña cuña (menor a 1o) su contribución a las heterogeneidades debido a la presencia
de esfuerzos no es notable, ya que se presenta como una pequeña variación de iluminación
uniforme en toda la imagen de salida.
IV.4.1 Técnicas de medición
Se han reportado una amplia variedad de técnicas de medición (Arnison M. R., Larkin K.
G., Sheppard C. J. R., Smith N. I and Cogswell C. J. 2003; Barty A., Nugent K. A., Paganin
D. and Roberts A. 1998; Barone-Nugent E. D., Barty A. and Nugent K. A. 2001; Cogswell,
C., Smith N., Larkin, K. and Hariharan 1997; Dowell M. B., Hultman C. A. and
Rosenblat G. M. 1977; Ooki H., Iwasaki Y. and Iwasaki J. 1996; Shribak M. and Inoué
76
S. 2006; Van Munster E. B., Vliet J. V. and Aten J. A. 1997). La mayoría de ellas están
diseñadas para aplicaciones específicas, dependiendo del tipo y tamaño de los objetos que
se están analizando (células biológicas, superficies metálicas, etc.). Algunas de ellas
incluyen detalles específicos como lo es el análisis de los parámetros de Stokes de objetos
microscópicos (Theodoly O., Sylvain G. and Valignat M-P. 2008) ó la de tomar en cuenta
el efecto de los substratos (porta-objetivos) en el procesamiento de datos (Resnick A.
2002). En relación a nuestro trabajo, la característica más importante que notamos en
estas técnicas, es que requieren de montajes experimentales más elaborados que el
nuestro. Típicamente a la salida tienen una cámara CCD en sincronía con una
computadora y algún otro equipo como motores de paso que giran al analizador o que
giran a una placa retardadora adicional colocada después del objeto. La idea es capturar
varias imágenes en una computadora para diferentes posiciones de los motores de paso y
establecer algoritmos que proporcionan gran precisión en las mediciones finales. Algunos
otros esquemas incluyen un divisor de polarización a la salida (analizador) de tal manera
que se obtienen simultáneamente dos imágenes (con polarizaciones ortogonales) que son
capturadas por dos dispositivos CCD. Algunos otros esquemas incluyen el uso de una
(Holzwarth G., Weeb S. C., Kubinski D. J. and N. S. 1997; Holzwarth G., Hill D. B. and
McLaughlin E. B. 2000) o dos (Hariharan P. 1997) compuertas de cristales líquidos que
actúan como placas retardadoras controladas por voltaje y que están en sincronía con las
imágenes capturadas. En otros casos se han utilizado moduladores fotoelásticos como
placas retardadoras variables (Gleyzes P. and Boccara A. C. 1997; Biss M. M., Settles G.
S., Staymates M. E. and Sanderson S. R. 2008).
El objetivo del presente trabajo es el diseño de interferómetros sencillos que
eventualmente puedan ser transportados con facilidad y se pretenden utilizar sólo para
hacer mediciones cualitativas. Sin embargo existen dos técnicas convencionales de
medición denominadas interferométrica y fotométrica.
77
IV.4.2 Método interferométrico
Comúnmente este método se utiliza cuando la diferencia de camino óptico DCO producido
por las heterogeneidades del objeto es DCO > λ/10. Este método consiste en generar un
patrón de franjas de interferencia rectilíneas antes de colocar al objeto bajo estudio (placa
de vidrio) en el interferómetro. Este patrón se logra al desplazar ligeramente al prisma de
Wollaston a lo largo del eje óptico Z2 (ver figura 51), es decir, el prisma ya no se encuentra
a la distancia d3 correspondiente al centro de curvatura del espejo Mc. La montura
mecánica del prisma de Wollaston cuenta con un micrómetro que permite este
desplazamiento. El desplazamiento puede ser en cualquier sentido: acercándolo al espejo
Mc o alejándolo de él. En la medida que el prisma se aleja de su posición original d3 el
sistema de franjas se vuelve más fino (delgado) en forma asintótica, esto es, después de una
distancia corta no se nota mayor cambio hasta que las franjas finalmente se desvanecen.
Este sistema de franjas rectilíneas se puede ver alterado debido a la diferencia de camino
óptico δV introducida por la placa de vidrio. Si la placa tiene un espesor LO con una
birrefringencia ∆nv el camino óptico total introducido es δVT = 2 LO ∆nv, debido a que el haz
de luz atraviesa en dos ocasiones al objeto. Es importante recordar que en un interferómetro
que trabaja por reflexión la DCOT total es el doble que la DCO para el caso de un IP que
funciona por transmisión: En la figura 17 (capítulo 3) podemos distinguir la trayectoria 2 al
lado derecho de la figura. Vemos que la propagación OE atraviesa una sección delgada en
la primera cuña del prisma y después una sección gruesa en la segunda cuña del prisma
introduciendo una DCO. Después de reflejarse en el espejo Mc (ver figura 51) la
propagación OE incide de nuevo sobre el prisma con la misma polarización (indicada en la
figura 17) y vuelve a experimentar la misma DCO, esto es DCOT = 2 DCO; más adelante
veremos que esto implica que las franjas se ensanchan en el patrón de interferencia. La
desviación del patrón de franjas verticales nos da una medida de la variación de camino
óptico, la cual podemos estimar con la ayuda de la figura 58, mediante la muy conocida
relación (Pluta M. 1989)
L KF/4 , (160)
78
c
b
En la figura 59 se muestra una placa de vidrio bajo prueba antes de ser colocada en nuestro
arreglo experimental. En la figura 60 se presenta una imagen del patrón de franjas de
interferencia fotografiado directamente sobre el prisma del Wollaston. En la figura 61 se
muestra el patrón de franjas de salida producido por la placa de vidrio; las pequeñas
manchas en esta última figura (“granos’’) se debe a la pantalla que se utilizó en el plano de
salida. En la figura 62 se muestra una imagen digitalizada del patrón de interferencia y en la
figura 63 su proyección tridimensional, donde la intensidad luminosa I(x,y) está dada en
unidades arbitrarias.
Figura 58. Desplazamiento del patrón de franjas rectilíneo.
En estas últimas figuras se puede observar que en la zona central las franjas negras (para las
cuales DCO = 0) se producen desplazamientos en zigzag hasta de c ≈ 2b (ver figura 58).
De acuerdo a la ecuación 160 este retardamiento corresponde a δVT ≈ 2λ ≈ 1µm.
79
Figura 59. Placa de vidrio bajo prueba. Figura 60. Patrón de franjas rectilíneo dentro
del prisma de Wollaston. Figura 61. Imagen de salida del patrón de Figura 62. Imagen digitalizada del patrón de interferencia. interferencia.
Figura 63. Proyección tridimensional de la figura 62.
I [u a]
X
Y
[4x102 mm]
[4x102 mm]
80
IV.4.3 Método de la inspección visual
En esta sección se describen los aspectos fundamentales de la técnica de medición
utilizando el método de inspección visual. Esto nos servirá de base para describir la técnica
por el método de las coordenadas cromáticas y por otro lado nos ayudará a comprender el
por qué esta técnica sigue siendo la de mayor aplicación, tal vez en un 90% de los casos en
los que se utilizan interferómetros comerciales para aplicaciones prácticas. Básicamente
consiste en observar los colores en la imagen de salida, los cuales nos dan directamente el
valor aproximado de la DCO del objeto bajo observación, sin la necesidad de cálculos
numéricos.
En la sección anterior se colocó al prisma de Wollaston de tal manera que se obtenía un
patrón de franjas rectilíneas lo cual es la excepción a la regla. En general, el prisma se
coloca cerca de la distancia d3 (ver figura 51) y con ayuda del micrómetro se ajusta su
posición a lo largo del eje Z2 de tal forma que la franja central se ensancha hasta cubrir
aproximadamente todo el campo visual. En este momento el interferómetro funciona como
un IP por desplazamiento lateral de imagen (frente de onda) tanto en el modo DIC como en
el TD. En analogía al planteamiento de la ecuación 69 el desplazamiento lateral S se puede
estimar por simple construcción geométrica y está dado por
M NOPQ% , (161)
donde RMC es el radio de curvatura del espejo. En la figura 64a se muestra la fotografía de
una placa de vidrio que a simple vista parece no tener mayores imperfecciones, sin
embargo contiene serios daños e irregularidades en su superficie. En la figura 64b se
muestra la imagen de salida del interferómetro después de colocar la placa de vidrio en el
arreglo experimental. En esta figura (64b) sólo se muestra una parte de la placa de vidrio y
se aprecian una serie de zonas y contornos de diferentes colores. Esto se debe a que las
irregularidades en el vidrio introducen variaciones en la DCO, mismas que se convierten en
variaciones de intensidad luminosa de acuerdo a las ecuaciones 52 ó 65.
a) c)
figura 64
a) b)
c) d)
figura 64.- Efecto del desplazamiento del prisma de Wollaston.
Figura 65. Tabla comercial de Michel-Levy (TCI).
81
b)
d)
prisma de Wollaston.
82
Tomando en cuenta que αw ≈ 10-3 y que el desplazamiento lateral S resultante es del orden
de 1 mm, entonces podemos decir que el interferómetro opera en el modo DIC, ya que el
tamaño del objeto (vidrio) es del orden de 6 cm. La montura del prisma de Wollaston
cuenta con un segundo micrómetro (perpendicular al primero) que permite un
desplazamiento en la dirección X (perpendicular a la dirección Z2). Este micrómetro tiene
una escala graduada donde cada división corresponde a 10 µm de desplazamiento. De
acuerdo a la ecuación 42, al desplazar al prisma de Wollaston una distancia Xo, estamos
introduciendo una DCO adicional ∆d. Las figuras 64b a 64d son fotografías tomadas a las
imágenes de salida del IP para diferentes valores de Xo. En ellas se ilustra lo que ocurre al
desplazar lateralmente al prisma de Wollaston y observamos tres cosas: a) el fondo del
campo (donde no está la placa de vidrio) cambia su tonalidad de color. Intencionalmente se
dejó la imagen del fondo del campo, la cual se observa del lado izquierdo de las fotografías;
b) las imágenes de salida muestran un corrimiento en su escala de colores; c) algunos
detalles nuevos aparecen/desaparecen en la imagen de salida. Este último efecto (c) es muy
utilizado en los IP comerciales sobre todo cuando se usa la técnica de inspección visual y
una tabla de colores de interferencia.
Los fabricantes de IP proporcionan al usuario una tabla de colores de interferencia (TCI)
también denominada Tabla de Michel-Levy impresa en material de alta calidad, en la cual
se asocia a cada tonalidad de color su correspondiente valor de DCO. En la figura 65 se
muestra una tabla de Michel –Levy proporcionada por la compañía Carl Zeiss. El aspecto
más importante a resaltar, es que en la parte inferior de la tabla (eje x debajo de los colores)
se muestran los valores de las DCO en una escala que va desde 0 nm hasta 2400 nm así
como los correspondientes órdenes de interferencia que van del primero al cuarto. Algunas
tablas comerciales abarcan hasta el sexto orden de interferencia sin embargo esta zona sólo
es útil cuando se utiliza la técnica fotométrica (ver el siguiente capítulo 5). Normalmente a
partir del final del cuarto orden de interferencia hasta el sexto, sólo se observan variaciones
pálidas (debido al bajo grado de coherencia) de los colores amarillo y violeta.
83
Existen algunas otras graduaciones en las tablas de Michel-Levy para aplicaciones
específicas (apenas perceptibles en la figura 65); por ejemplo para mineralogía, contienen
escalas graduadas en diferentes direcciones que indican espesores y birrefringencias así
como los nombres de los minerales más comunes asociados a estos valores, lo cual la
convierte en una regla de cálculo muy útil.
En la técnica de medición visual, normalmente se trabaja sólo dentro de los tres primeros
órdenes de interferencia, lo cual implica que cada “color” sólo se repite un máximo de tres
veces. La percepción de estos colores en el laboratorio es muy diferente a la que se obtiene
al ver la TCI (Michel-Levy) impresa en alguna cartulina o papel. En el laboratorio es
mucho más fácil distinguir entre un azul fuerte, un azul medio y un azul pálido. Cuando
tratamos de distinguir estos colores en una paleta de arco iris nos resulta muy difícil porque
están uno al lado del otro, pero en el laboratorio estas tonalidades normalmente no están
juntas. Aún cuando se tengan saltos (un escalón) en las variaciones de la DCO del frente de
onda, para pasar de un azul fuerte a uno claro aparecen colores intermedios que los
separan. Debido a que el ojo humano es muy sensible al color, percibe la frontera entre
estos dos colores.
La secuencia de colores en la tabla se repite (aproximadamente) en cada orden de
interferencia, lo cual ocurre para cada intervalo de DCO ≈ 550 nm. Dependiendo del
espectro de la fuente de luz blanca utilizada, algunos colores (normalmente azules) tienden
a desaparecer en los órdenes superiores. El ancho de cada franja de color (para los primeros
órdenes) corresponde aproximadamente a un intervalo de la DCO de 100 nm. Si un
observador no experimentado es capaz de distinguir el ancho de cada franja y se miden
objetos que sufren una DCO de 2000 nm, esto significa que tendrá un error del 5% .
IV.4.4 Método de las Coordenadas de Color (CC)
Para proponer una técnica CC debemos escoger un espacio de color y analizar el
comportamiento de todo el proceso para investigar si se puede correlacionar la información
cromática obtenida en el laboratorio con algún criterio numérico capaz de interpretar esta
información de manera precisa.
84
IV.4.4.1 Justificacion del método
IV.4.4.1.1 Selección de los espacios de color
Para poder proponer un método por coordenadas color, es importante entender cómo se
generó la tabla de Michel-Levy y para ello debemos analizar los espacios de color y la
ecuación de interferencia.
El color resulta de un proceso fisiológico en el cual se estima que el ojo humano es capaz
de percibir alrededor de diez millones de colores diferentes dentro del espectro visible que
va de 380 a 740 nm. Un modelo de color es un modelo matemático abstracto que describe
la forma en que los colores pueden ser representados por un conjunto de números,
típicamente una tripleta de valores o componentes de color. Cuando este modelo es
asociado con una descripción muy precisa de cómo se deben interpretar estos componentes,
entonces al conjunto resultante de colores se le llama espacio de color. Se han definido
muchos espacios de color y las ecuaciones matemáticas (típicamente una simple
transformación lineal) que permiten pasar de las coordenadas de un espacio al otro.
Algunos espacios de color incluyen el sistema Munsell, RGB, Adobe RGB, Adobe Wide
Gamut RGB, RGBA, CIELUV, CIELAB, CIEUVW, CMYK, CcMmYK, HSL, HSV,
RYB, TSL, LMS, YCbCr, YDbDr, YIQ, YPbPr, YUV, y otros más. Sin embargo el primer
modelo de color importante y al cual casi todos los modelos están referenciados es el XYZ-
CIE (Schanda J. D. 1996), establecido por la Comisión Internacional de Iluminación CIE
(Commission Internationale de L'éclairage) considerada la autoridad internacional en color
e iluminación.
El ojo humano tiene unas células llamadas conos receptores S, M y L por ser sensibles a
longitudes de ondas corta, media y larga (short, middle, long) del espectro visible. En
forma muy simplificada podemos decir que después de algunas pruebas de laboratorio, la
CIE determinó un conjunto de valores triestímulo (denominados X,Y,Z) de acuerdo a la
sensibilidad de los receptores S, M y L y a partir de ellos generó tres funciones de
85
acoplamiento de color RS T4U, VW T4U y YS T4U. Se le denomina función de acoplamiento de
color a la descripción numérica de la respuesta cromática de un observador. En la figura 66
se muestran las funciones propuestas por la CIE. Estas pueden ser entendidas como factores
de peso: si se tiene un color con una distribución de potencia espectral P(λ) sus valores
triestímulo se calculan a partir de
Z [T4U\
RST4U]4 ,
^ [T4U\
VWT4U]4 ,
_ [T4U\
YST4U]4 .
(162)
(163)
(164)
La gráfica que representa todos los posibles colores (de coordenadas XYZ) que pueda ver
el ojo humano es un cilindro irregular como el que se muestra en la figura 67. Se le llama
gamut de colores (o simplemente gamut) al conjunto total de colores que representa un
espacio de color o al conjunto de colores que puede operar un dispositivo, por ejemplo una
cámara fotográfica se definen los valores de cromaticidad xyz a partir de los valores XYZ
normalizados,
R ZZ ` ^ ` _ ,
V ^Z ` ^ ` _ ,
Y _Z ` ^ ` _ , evidentemente se tiene que R ` V ` Y 1 .
(165) (166) (167) (168)
Figura 66. Funciones de acoplamiento
Figura 68. Proyección del espacio XYZ en
. Funciones de acoplamiento de color. Figura67. Gamut completo del ojo humano.
Proyección del espacio XYZ en xy. Figura 69. Plano de cromaticidad
86
completo del ojo humano.
de cromaticidad xy.
87
Si dibujamos XYZ y xyz en un mismo diagrama, tenemos entonces que los puntos de ésta
última ecuación están contenidos dentro de un triángulo plano como se muestra en la figura
68. Este triángulo intersecta al cono XYZ en un plano en forma de herradura (área
cuadriculada en la figura 67). La CIE establece dos funciones de luminosidad: fotópica y
escotópica. La función de luminosidad describe la sensibilidad promedio del ojo a los
colores, que puede variar para condiciones de baja iluminación (visión escotópica) hasta un
nivel de iluminación con luz de día (visión fotópica). Deliberadamente la CIE define al
parámetro Y(λ) como la función de luminosidad fotópica que (salvo un factor
multiplicativo) determina la luminancia o brillo de un color. Con esto el concepto de color
se divide en dos partes: su brillo y su cromaticidad. La cromaticidad se obtiene proyectando
el plano con forma de herradura de la figura 67 en el plano xy como se ilustra en la figura
68 (Brainard D. H. 1995).
El plano de cromaticidad xy se ilustra en la figura 69, donde la coordenada x = y ≈ 1/3
representa a un punto brillante. Se le llama iluminante a una fuente de luz (real o ficticia)
cuyo perfil espectral esta numéricamente caracterizado. Por ejemplo, el iluminante D65 o
CIE_D65 representa la iluminación natural del dia. El contorno curvo de la herradura
representa a los colores puros, también llamados saturados o monocromáticos y sus
longitudes de onda se ilustran en la figura. Los extremos de la herradura se unen
artificialmente mediante una línea recta denominada la línea de los púrpuras. Se dice que se
une artificialmente porque no existe en el universo ninguna fuente de luz monocromática
que genere estos puntos en la gráfica. Al plano de cromaticidad se le conoce como el
espacio de color CIE xy. En la figura 69 hemos dibujado intencionalmente una línea negra
que corresponde a los colores de la ley de radiación de Planck para un cuerpo negro, es
decir los diferentes colores que emite un cuerpo (como un filamento de tungsteno) al
calentarse desde una temperatura de 3000 Ko hasta unos 10 000Ko. Para nosotros lo
interesante de ésta curva es que nos indica que determinada fuente de color (i.e. una
lámpara) solo puede proporcionar una parte del gamut total del diagrama de cromaticidad.
En la figura 70 se muestra el posible gamut de alguna cámara fotográfica; para un
instrumento, su gamut se define a partir de los vértices R,G y B (red, green, blue)
correspondientes a los colores rojo, verde y azul (puros o primarios) que reproduce o sensa
el dispositivo.
Figura 70. Gamut de colores para una cámara fotográfica.
Aunque el espacio CIE XYZ nos proporciona un excelente marco para analizar las
características de nuestro experimento, haremos referencia también al espacio de colores
RGB. En forma simplificada podemos decir que el modelo
aditivo en donde luz roja, verde y azul (denominados colores primarios) se mezclan de
diferentes maneras para producir una amplia gama de colores. Al igual que el modelo CIE
YZ existen diferentes variantes del modelo
1999). Nuestro interés en e
orrespondientes a los colores rojo, verde y azul (puros o primarios) que reproduce o sensa
Figura 70. Gamut de colores para una cámara fotográfica.
Figura 71. Espacio de color RGB.
Aunque el espacio CIE XYZ nos proporciona un excelente marco para analizar las
características de nuestro experimento, haremos referencia también al espacio de colores
RGB. En forma simplificada podemos decir que el modelo RGB es un modelo de colores
aditivo en donde luz roja, verde y azul (denominados colores primarios) se mezclan de
diferentes maneras para producir una amplia gama de colores. Al igual que el modelo CIE
YZ existen diferentes variantes del modelo RGB (Susstrunk S., Buckley R., Swen S.,
. Nuestro interés en este modelo se debe a la facilidad que ofrece para
88
orrespondientes a los colores rojo, verde y azul (puros o primarios) que reproduce o sensa
Figura 70. Gamut de colores para una cámara fotográfica.
Aunque el espacio CIE XYZ nos proporciona un excelente marco para analizar las
características de nuestro experimento, haremos referencia también al espacio de colores
es un modelo de colores
aditivo en donde luz roja, verde y azul (denominados colores primarios) se mezclan de
diferentes maneras para producir una amplia gama de colores. Al igual que el modelo CIE
(Susstrunk S., Buckley R., Swen S.,
a la facilidad que ofrece para
89
operaciones de cómputo digital, actualmente es el estándar utilizado por dispositivos de
televisión, escáner, pantallas LCD, computadoras y cámaras digitales (Westland S.,
Ripamonti C. 2004). Además es un modelo intuitivamente útil para imágenes digitales
(gráficas computacionales) ya que el sistema visual humano trabaja de una manera
relativamente similar a este espacio de color. Las impresoras no son dispositivos RGB sino
que pertenecen al grupo de dispositivos de color substractivo y trabajan comúnmente con el
modelo de color CMYK. La definición completa del espacio de color RGB debe incluir un
punto blanco (W) y una función de transferencia (curva gamma); en la figura 71 se muestra
el espacio de color RGB el cual es un cubo. Los valores de R, G y B son cuantificados por
números enteros en el rango de 0 a 255 debido a que es el rango que puede ofrecer un byte
de 8-bits. Así una imagen totalmente negra se representa por el punto (0,0,0) y una imagen
blanca por el punto W (255,255,255).
Los espacios RGB y CIE XYZ son ambos aditivos y los más parecidos entre sí al
compararlos con otros espacios de color (de hecho existe un modelo llamado CIE RGB).
Una gran diferencia es que se dice que el modelo RGB es dependiente (device-dependent)
ya que los valores de R, G y B obtenidos para un color determinado dependen de los
colores primarios del dispositivo utilizado (cámara, tv, etc); mientras que el CIE XYZ es un
sistema independiente (device-independent) del aparato o instrumento. Es decir distintos
dispositivos detectan o reproducen el mismo valor RGB de diferente manera, debido a que
tanto las componentes físicas de detección/reproducción (fósforos, colorantes, partes
electrónicas, etc) así como sus respuestas, son distintas de un fabricante a otro. Así el
mismo valor RGB no define el mismo color para diferentes dispositivos y es necesario
realizar diferentes operaciones conocidas en colorimetría como manejo de color (Color
Management), las cuales incluyen una corrección a un parámetro denominado gamma
(Homann J.P. 2008). Nosotros utilizaremos el modelo RGBs (estándar) el cual normaliza
los valores de RGB para cuantizarlos en una escala del cero al uno (Ohno Y. 2000).
90
IV.4.4.1.2 Selección del formato electrónico para imágenes (JPG)
El formato JPG es un método de compresión de imágenes digitales desarrollado por Joint
Photographic Experts Group (Wallace G.K. 1992). Seleccionamos este formato por dos
razones: es el estándar en la mayoría de las cámaras fotográficas semi-profesionales y tiene
una baja pérdida en el contenido de color al almacenar (codificar) las imágenes. Existen
algunas variantes dentro del formato JPG, tales como el JIF, Exif, JFIF, etc. Pero en
general su codificación consiste en seccionar la imagen en grupos de 8x8 bloques los cuales
son procesados juntos. Se calcula la Transformada de Fourier (espacial) Rápida de cada
bloque y se almacenan los valores de sus coeficientes, empezando por el bloque de la
esquina superior izquierda y continuando un recorrido en zigzag alrededor de una diagonal
(no avanza por renglones y columnas) hasta terminar en la esquina inferior derecha. En
promedio esto permite que las componentes de alta frecuencia queden más juntas, y muchas
de ellas se van a redondear a cero.
El factor de calidad de compresión de imagen que el usuario elige, implica cuantas
componentes de alta frecuencia (cuyos valores numéricos son pequeños) se hacen igual a
cero; esto reduce el tamaño del archivo, pero también la calidad de la imagen final. Sin
embargo la relación entre las componentes cromáticas (registradas como escala de grises)
no se ven seriamente afectadas. Este formato sacrifica primero el contenido en detalle de la
imagen, y después el contenido en intensidad (niveles de grises) y color. La decodificación
de la imagen (lectura del archivo electrónico) se lleva a cabo mediante el proceso inverso
utilizando la transformada inversa de Fourier. Otros formatos como el GIF dañan
rápidamente el contenido en color al ser comprimidas sus imágenes. Uno de los
inconvenientes para nuestro trabajo es que utiliza el espacio de color YCbCr . Las
componentes RGB son calculadas mediante una conversión lineal del espacio YCbCr y por
lo tanto no están corregidas en gamma (considera gamma = 1). Aunque la cámara
fotográfica que nosotros utilizamos puede almacenar las imágenes electrónicas en otros
formatos (además del JPG) tales como el RAW, el cual es muy superior al JPG, decidimos
desarrollar la técnica bajo este último formato para poder utilizar cámaras más sencillas en
el futuro.
91
IV.4.4.1.3 Coordenadas cromáticas de la tabla de Michel-Levy
Haremos un análisis muy sencillo, en el cual consideramos que tenemos una fuente ideal de
luz blanca (unitaria) cuya potencia espectral es II (λ) = 1 , y que el grado de coherencia
entre los haces que interfieren es muy alto |γ| ≈ 1. Entonces de la ecuación 68 tenemos que
la distribución de potencia espectral PI (λ) a la salida del interferómetro está dada por
[-TλU . bπ4 def , (169)
En la figura 72 se muestran las gráficas de esta ecuación para diferentes valores de la DCO.
Para valores pequeños de λ se tiene una onda de muy alta frecuencia. La zona con barras
bajo la curva corresponde a la parte del espectro visible. Utilizando el espectro obtenido en
cada gráfica de la figura 72, con las ecuaciones 162 a 166 podemos encontrar sus
componentes cromáticas XYZ y xyz. En la figura 72a tenemos DCO = 2nm ≈ 0 y el perfil
de PI (λ) muestra una distribución casi constante en todo el espectro pero debido a que su
nivel de intensidad es muy bajo (PI_MAX ≈ 3 x 10-4), se manifiesta como una franja
obscura. En la parte superior de cada figura se muestra la paleta de color correspondiente a
sus coordenadas cromáticas. Así a cada color y DCO de la tabla de Michel -Levy (figura
65) le corresponde una distribución espectral PI (λ) distinta. Es interesante notar en las
figuras 72b y 72c que la distribuciones espectrales PI (λ) en la región visible para DCO ≈
220 nm y DCO ≈ 350 nm son sumamente similares a la curva espectral de un cuerpo negro
a 7000Ko y 4000Ko (ver ecuación 170 más adelante).
Por otro lado si graficamos en el plano de cromaticidad xy a cada uno de los colores que se
generan al ir aumentando la DCO podremos encontrar el comportamiento de los colores de
interferencia en la tabla de Michel-Levy. Este comportamiento tiende a dibujar una línea en
espiral como la que se ilustra en la figura 73 . En la tabla de Michel-Levy vemos que desde
una DCO = 0 hasta una DCO ≈ 350 nm se aprecia una variación de una franja negra a una
blanca (crema): esto es más parecido a una variación en los niveles de grises que a una
variación en el color.
92
a) PM ≈ 3x10-4, DCO= 2nm b) DCO= 220nm
c) DCO = 350 nm d) DCO =575 nm
PM
1° Orden 1° Orden
1° Orden 2° Orden
93
e) DCO = 850 nm f) DCO =1600 nm
Figura 72. Gráfica de PI vs λ (ecuación 169) para diferentes DCO.
Figura 73. Trayectoria de los valores de color para la tabla de Michel-Levy.
2° Orden 3° Orden
94
En realidad estos puntos cromáticos corresponden en forma aproximada a las tonalidades
de radiación de un cuerpo negro que van desde un blanco-azul (7000Ko) hasta un blanco-
anaranjado (4000Ko), pero con diferentes niveles de brillo. Por lo tanto los puntos
correspondientes a este intervalo los dibujamos con una línea punteada, ya que el diagrama
xy de cromaticidad no maneja niveles de brillo. De manera figurativa podemos decir que
los puntos que definen la trayectoria se mueven a distinta velocidad en la medida que
variamos la DCO; esta trayectoria pasa por los puntos 1,2,3 que representan los órdenes de
interferencia. Es interesante observar que podemos utilizar al prisma de Wollaston como un
filtro de color con perfil de transmitancia variable PI (λ) definido por la ecuación 168,
donde el color transmitido (la forma del perfil) se puede seleccionar o sintonizar mediante
desplazamientos Xo (ecuación 42) realizados con el micrómetro de la montura mecánica.
Del análisis anterior podemos obtener dos conclusiones muy importantes: a) el gamut de
colores que representa el IP como instrumento es muy pobre (una línea aislada) comparada
prácticamente con la de cualquier instrumento, haciendo más fácil la localización de sus
puntos. La mayoría de los dispositivos de color tienen un gamut definido por los puntos en
el área de un triángulo como el que se mostró en la figura 70 y b) el gamunt de colores no
sólo es muy pobre sino que define una correspondencia unívoca entre cada coordenada
cromática y la DCO que la produce; esto es, la línea que define el gamut nunca se cruza con
si misma evitando la confusión de que una coordenada en xy pudiera representar a dos o
más DCOs.
Existe otra observación que será la base de nuestro algoritmo numérico en la técnica de
procesado y además nos permite entender por que el método de inspección visual es tan
popular. La CIE se propuso la tarea de cuantificar numéricamente la capacidad de un
observador para diferir entre dos colores muy parecidos. Para esto utilizó una unidad
llamada JND (just noticeable difference) para cuantificar diferencias apenas perceptibles en
los colores. Básicamente consiste en estimar el error o diferencia entre las coordenadas de
(X1,Y1,Z1) y (X2,Y2,Z2) de dos puntos cromáticos. En su forma más simple se escribe como
∆ g TZ E 8U ` TZ E 8U ` T_ E _8U , (170)
95
donde la letra E proviene del alemán Empfindung y significa sensación. Esta expresión
puede ser distinta en otros espacios de color, pero en todo caso, cuando JND< 1 se dice que
la sensación es menor a un JND y el color es indistinguible a menos que las muestras se
pongan una al lado de la otra. Esta ecuación trasladada al diagrama de cromaticidad, queda
representada por diferentes elipses llamadas elipses de MacAdam como se ilustra en la
figura 74 (no está a escala). Las elipses cambian de orientación y tamaño en diferentes
zonas del diagrama. El observador no puede distinguir entre los puntos que están dentro de
una misma elipse ya que el valor de su diferencia cromática es menor a un JND; sólo puede
distinguir entre los puntos de una elipse y los puntos de cualquier otra elipse. Cuando se
describió el método por inspección visual, se estableció un margen de error para un
observador que distingue colores entre dos “franjas” (con un ancho de DCO = 100 nm) en
la tabla Michel-Levy, sin embargo las elipses de MacAdam nos muestran que un
observador experimentado es capaz de distinguir más colores en este mismo intervalo,
sobre todo porque el gamut del IP es tan sólo una línea en el diagrama xy.
Por último, es importante mencionar que las coordenadas XYZ que se pueden obtener con
las ecuaciones 162 a 164 se pueden convertir en componentes RGB mediante la relación
hXYZl 10.17697 h 0.49 0.31 0.200.17697 0.81240 0.010630.00 0.01 0.99 l hRGBl . (171)
En la figura 75 se muestran los valores RGB vs DCO que corresponden a una tabla de
Michel -Levy; a esta representación se le conoce como la gráfica de los gradientes RGB.
Los valores de las funciones de color RS T4U, VW T4U V YS T4U utilizadas en nuestro trabajo, así
como una gran cantidad de tablas de valores y fórmulas de conversión utilizadas en
colorimetría son de muy fácil acceso en internet; incluso programas de computación
comercial tales como el Matlab incluyen estos valores así como subrutinas numéricas de
apoyo (Westland S., Ripamonti C. 2004).
96
Figura 74. Elipses de MacAdam.
Figura 75. Gradientes RGB de una tabla comercial de Michel-Levy.
97
IV.4.4.2 Calibración y ajuste del proceso
IV.4.4.2.1 Tabla de colores de interferencia (TCI)
En la sección anterior utilizamos la ecuación 169 para obtener los espectros PI (λ) en
condiciones ideales. En un sistema real de laboratorio, las características espectrales de
cada elemento deben considerarse si se desea establecer una comparación de colores (Luo
W., Luo M. R. ,Westland S., Tarrant A., and Robertson A., 2005; Lee S.M., Xin J.H. &
Westland S., 2005). El más importante en nuestro caso es el espectro de potencia PR (λ) de
la fuente de luz real. Nuestra fuente de luz corresponde a un bulbo OSHIO modelo
EVC/FGX-JC24V-250W el cual de acuerdo al fabricante tiene una temperatura de color de
3400Ko. Su perfil espectral lo podemos determinar con un buen grado de aproximación
utilizando la ley de Plank y T = 3400Ko
[tTλU 2u4v 1
x9yC/ E 1 , (172)
donde h es la constante de Plank, c es la velocidad de la luz, κ es la constante de Bolztmann
y T la temperatura; su gráfica se muestra en la figura 76, donde la región del espectro
visible está representado por una serie de barras bajo la curva.
Una segunda característica que podemos considerar es la coherencia temporal, la cual la
podemos estimar a partir de la ecuación 172. Sustituimos λ = c/ν y obtenemos PR (ν) en
función de la frecuencia temporal ν. Posteriormente calculamos numéricamente su
transformada de Fourier normalizada
zTτU | [tTU\~\ ~@ ],| [tTU\~\
[tTU t , donde
τ de/ ,
(173)
(174)
98
Figura 76. Espectro de la fuente de luz PR (λ) aproximado por la ecuación 172.
a) DCO = 1700 nm. b) DCO = 2230 nm . c) DCO = 3200nm. d) DCO = 4600 nm.
Figura 77. Gráfica de PS vs λ (ecuación 175) para diferentes DCOs.
T = 3400 °K
99
con lo que obtenemos γ (DCOT). Entonces de la ecuación 69 tenemos que la distribución
espectral de potencia PS (λ) a la salida de nuestro interferómetro es
[T4U [tT4U 12 E 12 |z Tde/U| cos 2πλ de/ . (175)
En la figura 77 se muestran las gráficas de esta ecuación para diferentes valores de la
DCOT, donde sólo incluimos la porción correspondiente al espectro visible. Hay que notar
que las DCOs de las ecuaciones 169 y 175 son diferentes ya que ahora estamos analizando
un IP que trabaja por reflexión y entonces DCOT = 2 DCO. Entonces las figuras 77a y 72e
así como las figuras 77c y 72f se corresponden entre sí, sin embargo vemos que los perfiles
de la figura 72 están más atenuados y tienen menor contraste (sus valores no llegan a 1 y 0).
Debido a que los perfiles de [tT4U son distintos para diferentes fuentes de luz, nuestra tabla
de colores TCI es diferente (aunque similar) a la tabla de Michel -Levy de un instrumento
comercial. Aunque con la ecuación (175) podemos generar una TCI que represente
adecuadamente a nuestro instrumento, lo mejor es utilizar el espectro de salida [tT4U
fotografiado en el laboratorio para calibrar al dispositivo. En la figura 78 se muestra una
fotografía de las franjas [T4U en el prisma de Wollaston. La ecuación 42 nos dice que la
DCO varía linealmente con la posición X de las franjas, entonces con una escala graduada
(una regla) superpuesta a las franjas podemos caracterizar nuestra TCI ya que
de/ 2 TZ ` ZUNO " T2U 10~ TZ ` ZU .
(176)
Hay que notar que la expresión anterior considera que X es medida en el plano de las
franjas. Evidentemente conviene colocar a la franja negra en el centro (Xo = 0).
100
Figura 78. Gradientes RGB para nuestra TCI.
Figura 79. Paleta de calibración. a) Muestra rosa (R,G,B) = (0.9986±0.0028, 0.5230± 0.0035, 0.8361±0.0032), b) Muestra amarilla (R,G,B) = (0.9974± 0.0016, 0.9966± 0.0026, 0.5319± 0.0047).
a) b)
101
IV.4.4.2.2 Ajuste fino en la calibración
Un segundo procedimiento de calibración para nuestra TCI es utilizar el micrómetro de
desplazamiento lateral que tiene el prisma de Wollaston. Como se mencionó anteriormente
el tornillo micrómetro tiene una resolución de 10 µm para el desplazamiento Xo, que son
equivalentes 20 nm de de/. Entonces se procede a iluminar el campo visual con una sola
franja desplazando al prisma en la dirección Z2 como se explicó en la sección IV.4.3. Así,
para cada valor de desplazamiento Xo se tendrán diferentes tonalidades de color en el
campo. En cada caso se va tomando una fotografía al centro del campo visual (para
minimizar el error) y así generaramos una paleta de colores graduada respecto a la DCO. La
imagen digitalizada de cada color contiene la información de los valores RGB (Connah D.,
Westland S. & Thomson M.G.A., 2001; T.L.V. Cheung and S. Westland, 2003), los cuales
se pueden obtener utilizando un programa de computadora escrito en Matlab. En la figura
79 se muestran solo dos imágenes de la paleta así como los valores de sus componentes
RGB. Observamos que estos valores se mantienen constantes a lo ancho de la muestra con
un escaso margen de error (<1%). Es interesante notar que si no se requiere de mucha
precisión, solo se necesitan caracterizar a dos colores para calibrar a la TCI, ya que la DCO
varía linealmente respecto a X. Sin embargo tomar 4 o 5 puntos (colores) disminuye los
errores de calibración.
IV.4.4.2.3 Balance de blancos y ajuste de Gamma
Dentro de las técnicas de Manejo de Colores o Color Management, el balance de colores
(más conocido como balance de blancos) es un ajuste global que se le hace a los valores
RGB de una imagen. En fotografía cuando una parte de la imagen se supone que
corresponde a un carro blanco, pero aparece con una tonalidad rojiza, se hace necesario
modificar los valores RGB del objeto para que se vea blanco. Esto se debe entre otras cosas
al tipo de iluminante con el que se tomó la foto. Dicho en otras palabras, dependiendo de la
distribución espectral de potencia P (λ) del iluminante, el sensor CCD (Charge-C0upled
Device) de una cámara digital registrará diferentes valores en las componentes RGB de la
102
imagen. El ojo humano tiene un comportamiento que tiende a compensar el efecto de P (λ)
mediante un proceso fisiológico conocido como constancia de color: cuando el iluminante
contiene un ancho espectral relativamente amplio, neuronas especializadas llamadas doble-
oponente, localizadas en el lóbulo occipital del cerebro (en la fisura calcarine) tienden a
compensar la información recibida por las células cónicas del ojo, de tal manera que el
color de un objeto se mantiene aún cuando se cambia al iluminante.
Para una imagen capturada por un CCD se hace necesario multiplicar cada coordenada
RGB por una matriz de 3x3 para obtener nuevos valores R’G’B’ que reproduzcan
adecuadamente el color blanco de un objeto. No sólo la porción blanca de la fotografía se
ve alterada, sino que en general todos los colores de la imagen sufren un corrimiento
cromático: un azul puede lucir violáceo, etc. Las cámaras digitales semi-profesionales ya
cuentan con un ajuste de blancos, en el cual el usuario elige el iluminante (etiquetado con
términos tales como “luz de casa”, “luz solar”, etc.) y además en el manual del usuario se
especifica el color de temperatura al que corresponde cada iluminante etiquetado. Nosotros
usamos una cámara digital Canon EOS 10D, a la que pudimos ajustar el balance de blancos
escogiendo el valor de la temperatura (3400 oK). Es importante aclarar que el balance de
blancos no sólo es útil para mejorar la estética de la imagen, sino que es un parámetro que
se puede manipular de diferentes maneras en las técnicas de comparación de colores
(Connah D.R., Westland S. and Thomson M.G.A., 2001; Cheung V.,Westland S., 2006).
En nuestro caso podemos hacer una comparación de colores aún cuando no se haya
realizado un balance de blancos, sin embargo el gamut de colores obtenido se verá
reducido.
El concepto de ajuste de gamma tiene sus raíces hace casi cien años con los estudios de F.
Hurter y V. Ch. Driffield sobre las propiedades de materiales fotosensibles. Particularmente
propusieron una gráfica logarítmica (denominada curva HD) de Densidad vs Exposición
para caracterizar la respuesta de una película fotográfica. La región central de esta curva es
lineal con una pendiente gamma. Posteriormente el concepto se adoptó para TVs (con
CRT) y actualmente el término se aplica a la relación entre el valor VS de la señal de
103
entrada de un dispositivo y el valor Vr de respuesta que produce: = ; cuando γ = 1 la
respuesta es lineal y corresponde a la exposición óptima que se puede usar al tomar una
fotografía. Si por alguna razón la fotografía no se tomó con la exposición adecuada,
existen algoritmos que permiten ajustar el valor de gamma si ésta no es muy grande
(normalmente para γ < 2.4). Cuando se tiene γ ≠ 1, no sólo se ve afectado el contraste de la
imagen, sino que también puede haber un cambio en los valores de color (Cheung T.L.V. &
Westland S., 2003).
IV.4.4.2.4 Método CC simplificado
En forma simplificada para utilizar el método CC hay que seguir los siguientes 5 pasos:
PASO 1: Se generan las franjas rectilíneas dentro del prisma de Wollaston sin el objeto
bajo prueba. Se ajusta la exposición y balance de blancos de la cámara fotográfica y se
toma una fotografía (TCI.jpg) de estas franjas para obtener nuestra TCI. Estos ajustes
sirven para disponer de un mayor gamut de colores y además para que estos colores
aparezcan en las fotografías lo más parecido posible a los colores de las franjas originales
(prisma de Wollaston) fotografiadas. En la parte superior de la figura 78 se muestra la
fotografía de estas franjas. Se recomienda utilizar alta resolución en las fotografías; en
nuestro caso las fotografías tomadas en los experimentos tienen un tamaño aproximado de
2 Mb. Sin embargo las fotografías utilizadas para la impresión de este trabajo fueron
reducidas a un tamaño entre 25Kb y 40 Kb con la consecuente degradación de la imagen.
No es recomendable utilizar fotografías reducidas durante el proceso de calibración.
PASO 2: Se calibra o asignan los valores numéricos de la DCO a la TCI. Esto se puede
hacer con una regla o bien, de una manera más exacta generando una paleta de colores
calibrada (ver figura 79). Esto es, iluminar al campo con una sola franja de color para
diferentes posiciones Xo del prisma de Wollaston. El “eje X” en la figura 78 representa los
valores de la DCO en nm asignados a la TCI después de la calibración.
104
a) b)
Figura 80 . Objeto bajo estudio. a) Antes de colocarlo en el IP, b) colocado dentro del IP.
Figura 81 . Patrón de interferencia producido por la placa de vidrio y sus gradientes RGB.
1 2
3
105
PASO 3: Poner al objeto bajo estudio en el IP, y sin mover los ajustes de la cámara
(balance de color, etc) tomar una fotografía (objeto.jpg) del patrón de interferencia
generado por el objeto, como se muestra en la figura 80b. En nuestro caso el objeto bajo
estudio es un portaobjetos de microscopio de 2.5 cm de ancho. El circulo punteado se
explica en la sección IV.5
PASO 4 : Descargar las fotografías (TCI.jpg y Objeto.jpg) en una computadora utilizando
los formatos JPG para generar los gradientes RGB. Utilizando un programa de
computadora (Matlab) se hace un barrido a las imágenes digitales, y se extraen los valores
RGB que están almacenados en el formato JPG. En la parte inferior de la figura 78 se
muestran los gradientes RGB para la TCI. En la parte superior de la figura 80b se muestra
una sección del patrón de interferencia del objeto (rectángulo punteado,) y en la parte
superior e la figura 81 con una línea punteada (horizontal) se indica la sección de interés
que fue leída por el programa de computadora. En la parte inferior de la misma figura 81 se
muestran los gradientes de RGB que corresponden a ésta sección. Los valores en el “eje X”
representan el ancho real del objeto en mm.
PASO 5: Este paso se realiza con un programa de computadora. Con los resultados de los
gradientes RGB del paso anterior, generamos dos matrices de datos como se ilustra en la
Tabla 3 (sólo se muestran los primeros tres renglones). En la matriz TCI [DCO, RGB]
colocamos los valores de las coordenadas RGB y de las DCOs de la TCI. En la matriz O [X,
rgb] colocamos los valores de las posiciones X del objeto junto con sus respectivos valores
RGB, los cuales para simplificar la notación los designamos como rgb. Hay que notar que
estas dos matrices tienen 4 columnas, pero en general tienen un número distinto de
renglones m y n. Utilizando el criterio de la ecuación 171, encontramos las diferencias entre
las componentes RGB y las componentes rgb.
Procedemos de la siguiente manera: tomamos los valores (r1,g1,b1) del primer primer
renglón de O que corresponden a una posición X1 del objeto. Comparamos los valores de
(r1,g1,b1) con los valores (R,G,B) de cada uno de los m renglones de la matriz TCI. Esta
comparación la realizamos utilizando la fórmula
106
DCO TCI DCO1 (R1,G1,B1) DCO2 (R2,G2,B2) DCO3 (R3,G3,B3) ….. ……….. DCOm (Rm,Gm,Bm)
X O X1 (r1,g1,b1) X2 (r2,g2,b2) X3 (r3,g3,b3)
….. ……….. Xn (rn,gn,bn)
Tabla 3. Matrices TCI [DCO, RGB] y O [X, rgb].
∆IG g TPI E GU ` TI E GU ` T?I E LGU ,
∆I8 g TPI E 8U ` TI E 8U ` T?I E L8U , (177)
donde m es el número de renglón en la matriz TCI. Una vez realizada esta comparación,
buscamos cual fue la menor de todas las ∆Em1 calculadas. En el ejemplo de la Tabla 3
suponemos que corresponde al segundo renglón de la matriz TCI (∆E21); entonces
asignamos a la coordenada X1 un valor de DCO = DCO2 y guardamos esta información.
Posteriormente continuamos con el siguiente renglón de la matriz de O y lo comparamos
con todos los renglones de la matriz TCI. En este caso debemos escribir (r2,g2,b2) en la
ecuación 177 en lugar de las letras (r1,g1,b1) para calcular ∆Em2. Una vez realizada ésta
comparación, nuevamente buscamos cual fue la menor de todas las ∆Em2 calculadas y
guardamos la información. El proceso continua en forma similar hasta que hayamos
comparado todos los renglones n de la matriz O y hayamos asignado valores de DCO a
cada uno de los puntos X de la matriz O. Entonces generamos una tercera matriz DCOX
[DCO,X] de 2xn que me relaciona las posiciones X con las DCOs como se ilustra en la
Tabla 4.
Tabla 4. Matriz DCOX.
DCO2 X1
DCO7 X2
DCO4 X3
DCO11 X4 ….
DCOn Xn
107
Figura 82. Comportamiento de la DCO en la placa de vidrio.
En la figura 82 se muestra la gráfica DCO vs X para la imagen de la figura 81 que nos
sirvió de ejemplo. Hay que notar que estos valores de DCO corresponden a los gradientes
del frente de onda, como se explica en más detalle en el siguiente capítulo (ecuación 184 ).
Para este interferómetro el valor del desplazamiento lateral S está dado por M NO PQ% donde RMC = 1 m es el radio de curvatura del espejo MC (ver figura 51). Debido a
que nuestra métrica ∆Emn de la ecuación 177 la estamos aplicando en el espacio RGB, el
error máximo que se puede obtener ocurre cuando tenemos dos puntos en las esquinas
diametralmente opuestas en el cubo del espacio RGB (ver figura 71); esto es ∆EMAX = √3 .
El valor de nuestra JND corresponde a ∆E ≈ 0.25. La figura 71 nos da una idea de este
valor: un observador apenas puede distinguir dos colores separados por ejemplo a una
distancia de 1/4 en el eje B. Cuando seleccionamos los valores que generaron nuestra
matriz DCOX (tabla4) correspondiente a la figura 82, encontramos una ∆EMAX = 0.1, un
valor promedio de ∆EPROM = 0.0.65, y un valor mínimo de ∆EMIN = 0.0.3. La incertidumbre
∆K en la asignación de las coordenadas RGB para nuestras matrices TCI [DCO, RGB] y
[X, rgb] es la que se muestra en la figura 79 (∆K ≤ 1%).
108
Una de las ventajas del método CC propuesto es que no requiere de instrumentación
sofisticada, simplemente hay que disponer de una cámara fotográfica digital y una
computadora (que puede ser portátil). Ninguno de estos dos elementos forman parte del
montaje experimental; esto es muy útil para cuando se requiera trasladar al interferómetro
en aplicaciones de campo.
Otra de las ventajas es que el método funciona aún sin hacer un adecuado ajuste de blancos
o de gamma en el momento de tomar las fotografías. Aunque las fotografías de las franjas
dentro del prisma de Wollaston (figura 78) no representen a los colores reales que el ojo ve
en el laboratorio, el modelo RGB es tal que una vez asignada la tabla de valores a éstas
franjas, la correspondencia de estos valores RGB será la misma al compararlas con las
fotografías de las franjas de interferencia producidas por el objeto bajo estudio (figura 81).
Simplemente hay que tener cuidado que ambas fotografías sean tomadas en la misma
sesión experimental, o bien, bajo las mismas condiciones de fotografía (balance de
blancos, exposición, etc).
IV.5 Comentarios finales
La figura 80b nos puede ayudar a ilustrar gráficamente la comparación entre la
interferencia del frente de onda (modo TD) y los gradientes del frente de onda del objeto
(modo DIC). En la parte derecha de esta figura se encuentra dibujado un círculo con tres
divisiones (1,2,3). La zona 3 corresponde al fondo del campo. La zona 2 corresponde a uno
de los frentes de onda aislado ya que el segundo frente de onda está desplazado
lateralmente (modo TD). Podemos decir que la zona 2 de esta figura corresponde a la zona
B de la figura 15c. Su color es distinto al del fondo del campo pero casi no muestra
variaciones. La zona 1 (modo DIC) corresponde a la zona R de la figura 15c: se puede
apreciar que los gradientes del frente de onda son mucho más sensibles para describir los
cambios en la superficie (o en la fase) del objeto.
109
Finalmente, para ilustrar gráficamente la alta sensibilidad de nuestro interferómetro, en la
figura 83 tenemos la imagen de una mano puesta en el interferómetro. Las deformaciones
en las franjas rectilíneas o en el fondo de color uniforme se deben a los cambios del índice
de refracción del aire por el calor que genera la palma de la mano. Aunque no es claro en
estas fotografías, el interferómetro muestra menores variaciones cuando se tiene el sistema
de franjas rectilíneas (método interferométrico), y es mucho más sensible en el modo DIC
cuando se tiene como fondo un campo uniforme.
110
Figura 83. Calor generado por la palma de una mano.
Capítulo V
Interferómetro para la observación de objetos pequeños por
reflexión
V.1 Características generales
El propósito del presente capítulo, es mostrar un segundo arreglo experimental que se
construyó en laboratorio, dicho arreglo es un interferómetro tipo Nomarski-Weill (Francon
M. and S. Mallick 1971). El uso de este arreglo experimental nos permitió observar objetos
metálicos que presentaban algunos daños tales como picaduras y/o ralladuras en su
superficie. En la figura 84 se muestra un esquema general del interferómetro. Consta de
una fuente luminosa F, un par de lentes L1 y L2, un espejo plano MP, un prisma de
Wollaston W y un objeto (reflector) O que está bajo estudio.
Figura 84. Esquema general del interferómetro.
F
O
L2
W
MP
L1
112
Figura 85. Diagrama del interferómetro de polarización. Sistema de iluminación: Línea continua.
Sistema formador de imagen: Línea punteada.
fCON
d1
d2
fOB2 SO1
Si2
fOB1
DC’’
Ocular DC’
A
W
BS
O’
O’’
O
DA’’’
OC
CA
OB2
OB1
DA’’
MP
BL
F’’
F’
DA’
OB
CON
P
COL
DA(R)
F
Mc
F’’’
En la figura 85 se muestra el arreglo experimental completo. Con línea punteada se tiene el
sistema formador de imagen y c
Nuevamente se tiene el esquema de un interferómetro compensado. Se trabajó con una
fuente de luz blanca BL
figura, un diafragma de apert
haz BS, un prisma de
(polarizador P y analizador
campo DC’ . Los ejes ópticos del p
transmisión del polarizador y el analizador. El objeto
figura por un espejo plano
En la figura 86 se muestra una fotografía del arreglo óptico. Nuevamente para analizar el
funcionamiento de nuestro arreglo experimental se dividió en dos partes, el sistema de
iluminación y el sistema formador de imagen.
se muestra el arreglo experimental completo. Con línea punteada se tiene el
sistema formador de imagen y con línea continua se tiene el sis
se tiene el esquema de un interferómetro compensado. Se trabajó con una
cuya montura mecánica está delimitada por la línea punteada de la
figura, un diafragma de apertura DA, cuatro lentes COL, COL, OB1
haz BS, un prisma de Wollaston W, dos polarizadores lineales en posición cruzada
nalizador A), un ocular con amplificación de 10X y un diafragma de
. Los ejes ópticos del prisma de Wollaston están a 45° respecto
transmisión del polarizador y el analizador. El objeto O bajo estudio está representado en la
figura por un espejo plano MP.
se muestra una fotografía del arreglo óptico. Nuevamente para analizar el
funcionamiento de nuestro arreglo experimental se dividió en dos partes, el sistema de
iluminación y el sistema formador de imagen.
Figura 86. Fotografía del arreglo experimental.
113
se muestra el arreglo experimental completo. Con línea punteada se tiene el
on línea continua se tiene el sistema de iluminación.
se tiene el esquema de un interferómetro compensado. Se trabajó con una
cuya montura mecánica está delimitada por la línea punteada de la
1 y OB2, un divisor de
lineales en posición cruzada
cular con amplificación de 10X y un diafragma de
están a 45° respecto a los ejes de
bajo estudio está representado en la
se muestra una fotografía del arreglo óptico. Nuevamente para analizar el
funcionamiento de nuestro arreglo experimental se dividió en dos partes, el sistema de
114
V.2 Sistema de iluminación (cálculo radiométrico)
Debido a que en el capítulo anterior se realizó un análisis matemático de la irradiancia que
llega al plano imagen, en este capítulo solo se procederá a describir el sistema y escribir la
expresión que gobierna las condiciones radiométricas.
La fuente de luz blanca BL consiste de un filamento de tungsteno F y un espejo cóncavo
MC; éste forma la imagen F’ del filamento sobre una rendija rectangular R de espaciamiento
variable que actúa como diafragma de apertura (DA). Una lente colectora COL forma una
imagen intermedia F’’ de la fuente. El sistema de lentes CON y OB forman nuevamente la
imagen F’’’ de la fuente dentro del prisma W. A diferencia del diseño anterior, se requieren
de mayor cantidad de lentes para formar la imagen F’’’ ya que los tamaños de los objetos a
observar son pequeños (500 µm - 2500 µ m) y se desean bajas pérdidas de luz. Después de
reflejarse en el objeto O (espejo Mp el haz de iluminación es retomado por el sistema de
lentes OB1-OB2-Ocular para iluminar a todo el plano de salida (diafragma de campo DC’’ ).
Las distancias focales de COL, CON, OB, OB1 y OB2 son fCOL, fCON, fOB,fOB1 y fOB2
respectivamente.
Siguiendo un procedimiento similar al del capítulo anterior, encontramos que la irradiancia
EPI que llega al plano imagen es
,
4#
,
.
(178)
(179)
(180)
De manera similar al caso anterior, las condiciones radiométricas de diseño más
importantes quedan en función de los conos de luz de CON y OB; y se debe tomar en
cuenta que el tamaño de la imagen F’’’ de la fuente debe ser lo más chica posible.
115
V.3 Sistema formador de imagen
El sistema formador de imagen lo definen las componentes OB1, OB2 y Ocular, tal como se
muestra en la figura 87. Con ayuda de los objetivos OB1 y OB2 se forma la imagen
intermedia O del objeto en un plano DC’ que es conjugado al plano del diafragma de
campo DC’’ . El Ocular de amplificación 10X forma la imagen final O’’ en el plano imagen
de salida.
Figura 87. Sistema formador de imagen.
Utilizando el programa Linux se analizaron varias combinaciones de elementos ópticos y
finalmente se escogió un sistema óptico cuyos parámetros se resumen en la tabla 5.
Sistema óptico
Diámetro (mm)
D.Focal (mm)
f-número (f#)
Distancias (mm)
COL 50 50 1 d1 = 100 CON 50 77 1.54 d2 = 75 OB 50 100 2 OB1 40 200 5 OB2 50 90 1.8
Ocular 20 (10x)
Tabla 5. Valores de los parámetros del segundo arreglo óptico.
W
O’
O’’
O
DC’’
DA’’
Ocular
OC
CA
DC’
OB2
OB1
DA’’
MP
SO1 SO2 Si2
fOB1
Si1
116
La amplificación óptica del sistema es el resultado de la amplificación de las tres
componentes: OB1, OB2 y Ocular. Utilizando las ecuaciones 151 a 153 y la notación
indicada en la figura 87, se encuentra que Si2 y SO1 están relacionadas por
1
! " "# ,
(181)
y por otra parte, también se encuentra que el valor de la amplificación MO entre el objeto O
y su imagen intermedia O’ está dada por,
$
! " "
, (182)
de esta manera se tiene que la amplificación óptica total MOT2 de este segundo
interferómetro se puede calcular a partir de
$ $ $%&'() , (183)
donde el valor de MOcular es de 10X. Variando un poco las posiciones de los objetivos y el
Ocular se pudieron obtener amplificaciones del objeto del orden de 4X a 8X. Para éste
arreglo experimental tenemos que OB1 nos determina nuestro límite de resolución, el cual
de acuerdo a la ecuación 154 es * + 15µm. Experimentalmente verificamos que al menos
podíamos obtener un valor de * + 100µm lo cual es suficiente para los propósitos de este
trabajo.
V.4 Pruebas del interferómetro
Se realizaron pruebas del interferómetro con diferentes muestras de superficies y en las
siguientes figuras se muestran algunas de sus características. Por ejemplo en la figura 88 se
muestran las imágenes de una picadura con diferentes campos de fondo, los cuales
podemos variar introduciendo un retardamiento constante adicional ∆w (desplazando
lateralmente en X al prisma de Wollaston).
117
Figura 88. fotografía de la zona de una placa metálica con una picaduras.
a) b)
c) d)
Figura 89. Sección de una placa metálica dañada.
a)
Figura 90 a) b)
c) d)
Figura 91.
b) c)
igura 90. Superficie de un vidrio con una pequeña ranura.
a) b)
c) d)
Figura 91. Imagen de una superficie reflectora sumamente irregular.
118
d)
. Superficie de un vidrio con una pequeña ranura.
a) b)
Imagen de una superficie reflectora sumamente irregular.
119
En este caso el IP está trabajando en el modo TD, por ello vemos las imágenes simétricas y
los colores de sus anillos siguen una secuencia complementaria. La inspección visual de
una picadura podría ser pasada por alto para un observador que utiliza un microscopio
convencional, pero en un IP las variaciones en la pendiente de la superficie del objeto
observado se manifiestan como franjas de colores para las cuales el ojo humano es muy
sensible y llaman la atención rápidamente. En la figura 89 vemos una placa metálica
dañada (rayones, incrustaciones, etc.). En la figura 89a se muestra la imagen normal del
objeto, y en las figuras 89b a la 89d se muestran las fotografías del mismo objeto cuando es
observado en el IP con diferentes valores de ∆w. Las variaciones en la superficie no solo se
hacen más evidentes debido a que son coloreadas por el IP sino que muestran un efecto de
tridimensionalidad. Tal vez esto es más claro en la figura 90. Una de las características de
estos interferómetros es que dan un efecto de sombreado o tridimensionalidad en las
imágenes que producen. En la figura 90a se muestra una superficie de vidrio que tiene una
pequeña ranura en forma de cuña. En las figuras 90b hasta la 90d se alcanza a apreciar un
poco más el efecto de sombreado; estas fotografías fueron tomadas para diferentes valores
de ∆w. Finalmente en la figura 91 se muestra la imagen de una superficie reflectora
sumamente irregular. Básicamente podemos observar que las regiones planas siempre se
ven como manchas de colores, mientras que en los lugares donde hay ranuras u hoyos
siempre aparecen franjas concéntricas que nos indican la dirección del sumidero; por ello
los IP resultan particularmente útiles para la localización de picaduras.
V.5 Observación de irregularidades en una superficie metálica
Los IP han sido ampliamente utilizados en el estudio de irregularidades, rugosidad y
perfilometría de superficies reflectoras (Franz G. and Kross J. 2001; Gleyzes P. and A. C.
Boccara. 1994; Gleyzes P., Guernet F. and Boccara A. C. 1995; Hartman J. S., Gordon R.
L. and Lessor D. L. 1979; Hartman J. S., R. L. Gordon and Lessor D. L. 1980; Hartman
J. S., R. S. Gordon and Lessor D. L. 1981; Lessor D. L., Hartman J. S. and Gordon R.
L. 1979; Sochacka M. and Franck Le Provost. 1994; Sochacka M. and Leszek R. S.
1994). Algunos trabajos reportan precisiones que van desde los 200 nm de resolución
120
vertical (Lesso J. P., Duncan A. J., Sibbett W. and Padgett M. J. 1998) hasta valores
inferiores a 1 nm utilizando tanto luz blanca (Jabr S. N. 1985; Qingxiang Li., Hong
Gao., Shifu Xue. and Yuhe Li Tsinghua. 2001), como utilizando luz laser (Zhou W.,
Zhou Z. and Chi G. 1997). También se han reportado técnicas similares para el estudio
de propiedades de nanopartículas metálicas (Stoller P., Jacobsen V. and Sandoghdar V.
2006).
Una de las aplicaciones que se le puede dar al interferómetro descrito en este capítulo, es la
visualización de picaduras en placas metálicas del orden de 500 µm a 2500 µm. Se pretende
utilizar este sistema como un aparato de campo que permita visualizar los efectos de
corrosión (en sus primeras etapas) en tuberías de aluminio que se encuentran cerca del mar.
El proceso de corrosión es muy complejo y muy específico en cada caso. Se han reportado
en la literatura una variedad de métodos ópticos para el estudio de la corrosión, siendo los
más comunes aquellos que utilizan arreglos interferométricos y holográficos (Habib K.
J.1998).
El interferómetro propuesto en este trabajo no proporcionaría la información completa del
proceso corrosivo, sino que sería parte de un estudio más amplio y funciona como una
herramienta auxiliar. Algunas muestras de placas metálicas podrán ser colocadas en una
celda de corrosión durante diferentes períodos de tiempo, donde se podrán variar los
parámetros de salinidad, temperatura, etc. Posteriormente pueden ser analizadas utilizando
un microscopio electrónico. Lo que se puede obtener es una base de datos que nos permita
relacionar el tipo de imagen que produce la picadura, la cual puede servir como patrón para
evaluar el daño o etapa en la que se encuentra el proceso corrosivo. Un dispositivo muy
sensible a estas imágenes lo es un interferómetro de contraste diferencial DIC, que al ser
utilizado con luz blanca nos proporciona imágenes en color, lo cual es muy favorable para
su observación con el ojo humano. Los resultados de este trabajo fueron presentados en la
XXI Reunión Anual de Óptica (García-Weidner A., Guillen-Bonilla A., Rivera-Garibaldi
E., García-Zárate M. A. 2008b).
121
V.5.1 Método fotométrico
El método fotométrico es particularmente útil cuando se observan objetos pequeños que
introducen una DCO del orden de 450 nm o menor. Para un interferómetro compensado
debemos recordar que DCOT = 2 DCO. En términos cromáticos de la TCI esto significa
que estamos en los límites de trabajar dentro de una franja aproximadamente del mismo
color, sobre todo para el primer orden de interferencia. Esto es similar a trabajar en una
escala de grises en los niveles de intensidad luminosa a la salida, y utilizando la ecuación
67 se puede determinar el valor del gradiente δOB del frente de onda del objeto en la
dirección X. Aunque normalmente es difícil, si las condiciones de coherencia lo permiten
también se puede trabajar alrededor del cuarto orden de interferencia donde se tiene una
respuesta cromática muy lineal para la DIC.
En la figura 92 se muestra la fotografía de la zona de una placa metálica con varias
picaduras. Desplazando lateralmente al prisma de Wollaston podemos introducir diferentes
valores de ∆w con lo que cambiamos el color del fondo del campo, como se muestra en las
figuras 92a y 92b. Para un valor de ∆w igual a ∆Q ≈ λo/4 ≈140 nm nos colocamos en una
región donde la imagen se vuelve más monotónica en su cromaticidad, como se muestra en
la figura 92c. De las ecuaciones 69 y 62 tenemos que el desplazamiento S y la DCO están
dadas por,
01 ,
234 ∆6 ! δ89 λ:
;! 01 δ89 ,
(184)
y de la ecuación 67 se obtiene la intensidad de salida
< =, >" +1
2!
π
AB 01 δ89 =, >" ,
(185)
esto es, la intensidad de salida nos muestra directamente (salvo un factor de escala) las
variaciones del gradiente δOB del frente de onda del objeto bajo estudio.
122
Entonces una vez que colocamos el fondo del campo en la posición de la figura 92c,
podemos escoger un objeto asilado como se muestra en la figura 93. En la figura 94 se
muestra la gráfica (normalizada) de los valores de δOB (x,y) de esta picadura de acuerdo a la
ecuación 185.
Siguiendo el mismo procedimiento, en las figuras 95 a 97 se muestran otros ejemplos. En la
figuras 95 y 96 se muestran la gráficas de unas hendiduras en el objeto mientras que la
figura 97 nos muestra una hendidura que está al margen de una ranura. En esta última se
aprecia claramente el escalón o cambio abrupto en la pendiente de δOB (x,y).
a) b ) c)
Figura 92. F
Figura 94
X [x 5 µ]
δOB (x,y)
[x 5 nm]
a) b ) c)
. Fotografía de una zona en una placa metálica con varias picaduras.
Figura 93. Fotografía de una picadura aislada.
Figura 94. Valores de δOB (x,y) correspondientes a la figura
Y [x 5 µ]
123
a) b ) c)
una placa metálica con varias picaduras.
) correspondientes a la figura 93.
Y
X
[x 5 µ]
figura 95.
Figura 96. Hendidura doble en una superficie reflectora.
Y
X
Y
X
Y [5 x 10
figura 95. Gráfica de los valores de δOB para una hendidura.
Figura 96. Hendidura doble en una superficie reflectora.
[10-2 mm]
Y
δOB (x,y)
[x 6.5 nm]
[5 x 10-3 mm]
δOB (x,y)
[ x 10 nm ]
124
para una hendidura.
Figura 96. Hendidura doble en una superficie reflectora.
X
X
[10-2 mm]
[5 x 10-3 mm]
Figura 97. Gráfica de los valores de
Y
X
X
Y
δOB (x,y) [x 750
[x
δOB [x 750 nm]
ráfica de los valores de δOB para una hendidura al borde de una ranura.
X
[x 10-2 mm]
x 10-2 mm]
(x,y) nm]
125
para una hendidura al borde de una ranura.
Y [x 10-2 mm]
[x 10-2 mm]
Capítulo VI
Resultados y Conclusiones
Los IP son un tema de investigación constante y actual, como se puede verificar en las
constantes publicaciones que aparecen cada año en revistas científicas que abarcan campos
tan variados como la medicina, metalurgia, mineralogía, estado sólido y óptica entre otros.
En este trabajo se presentaron los principios de operación de los IP, sus principales
parámetros de funcionamiento así como la relación que existe entre ellos; también se
presentaron las características de diseño de dos interferómetros distintos y se verificaron
experimentalmente los modelos teórico-matemáticos planteados.
En cuanto al fortalecimiento del conocimiento académico, la presente tesis me dio la
oportunidad de conocer los principios de la Óptica de Fourier y de la Colorimetría; ninguno
de estos campos de estudio formaron parte de las materias cursadas en la maestría. Aprendí
a utilizar el programa Linux que es de gran utilidad para el diseño de sistemas ópticos en
general. Tuve la oportunidad de conocer en las instalaciones de la compañía Opto Crystal y
aprender sobre las técnicas de fabricación de dispositivos cristalinos. Por otra parte algunos
de los resultados de esta tesis fueron presentados en dos ponencias en la XXI Reunión
Anual de Óptica (2008), uno de ellos en una sesión plenaria.
Se presentaron las principales ventajas de los IP las cuales son: 1) Son muy estables ya que
son interferómetros de trayectoria común donde los dos frentes de onda que interfieren
siguen la misma trayectoria. Por lo tanto las variaciones ambientales tales como vibraciones
y cambios de temperatura casi no influyen en la operación del interferómetro. 2) Los
127
objetos de fase son convertidos a la salida en variaciones de intensidad luminosa sin la
necesidad de colorear o agregar tintes al objeto bajo estudio. Por ejemplo se pueden
observar células biológicas transparentes sin la necesidad de agregar químicos al objeto, lo
cual podría alterar su comportamiento.
En particular se mostró que la técnica DIC proporciona información sobre el gradiente del
frente de onda del objeto, más no muestra la imagen del objeto en sí. Esto es
extremadamente útil cuando lo que se buscan son características distintivas del objeto (tales
como picaduras y ralladuras), ya que comparado con la imagen del objeto en sí mismo, un
gradiente es mucho más sensible para describir cambios en la superficie del objeto que se
observa; a esto hay que sumarle el hecho de que la imagen de salida aparece como
variaciones de color a las cuales el ojo humano es muy sensible. Si por alguna razón se
desea obtener el perfil del objeto esto se puede lograr mediante integración numérica de la
imagen de salida; sin embargo este no es el propósito de los IP. En todo caso, se pueden
remover los polarizadores y el filtro birrefringente del IP y convertirlo en un sistema óptico
convencional donde la salida nos muestra directamente la imagen del objeto que se está
observando.
Se diseñó y construyó un prisma de Wollaston. Se hicieron pruebas experimentales del
mismo y se obtuvieron los resultados esperados de los cálculos teóricos. Se ganó cierta
experiencia en cuanto a lo que constituye su proceso de fabricación. Cabe mencionar que
de acuerdo a lo pactado verbalmente con la compañía Opto Crystal, muchos detalles
técnicos quedaron fuera del reporte de esta tesis tales como los procesos de alineación,
cementado, materiales, tiempos de trabajo en las diferentes etapas, etc. Sin embargo esto no
afecta el contenido académico de la misma.
Se presentó el diseño de un interferómetro de gran apertura y se mostró que puede ser útil
para detectar irregularidades de fase en materiales transparentes tales como placas de
vidrio. En particular para el IP desarrollado en este trabajo, el rango de estas irregularidades
pueden ser desde una décima de λ hasta varias decenas de λ (utilizando la técnica
128
interferométrica). También se mostró gráficamente que debido a su alta sensibilidad este IP
podría servir como un sensor de calor en un ambiente cerrado.
Se presentó el diseño de un interferómetro tipo Nomarski-Weill para la observación de
placas metálicas. Los objetos de interés (tales como picaduras) tienen tamaños que van
desde 500 µm hasta 3 mm, aunque experimentalmente pudimos verificar una resolución de
al menos 100 µm. La profundidad de campo no se estudió ya que siempre es posible
desplazar a la muestra (el objeto) para analizar la profundidad de alguna hendidura. Con la
ayuda del programa Linux, se obtuvo el diseño del interferómetro con un número mínimo
de lentes. Esto nos permitió obtener imágenes muy claras y visibles donde se podía
observar que las irregularidades de los objetos que se utilizaron de prueba mostraban un
tinte diferente al lugar donde no se tenía ningún defecto en el objeto. En otras palabras el
fondo de la imagen era diferente al de la irregularidad que contenía el objeto de prueba.
Con la experiencia ganada en el diseño radiométrico del primer interferómetro (de gran
apertura) se decidió mejorar el sistema de iluminación. Debido a que existe el interés de
que los resultados de este trabajo puedan ser significativos para el diseño de un prototipo
para un instrumento que pueda ser trasladado al campo, el ahorro de energía es un aspecto
vital. En este sentido el principal problema de diseño consiste en formar la imagen de la
fuente luminosa dentro del prisma de Wollaston con el menor tamaño posible para reducir
los efectos de la coherencia espacial; y simultáneamente se deben tener las menores
pérdidas posibles de radiación. Estos dos aspectos se contradicen en sus ecuaciones y se
debe encontrar un punto de equilibrio. Se encontró una solución óptima agregando una
lente más al sistema de iluminación. Optimizar los recursos energéticos es importante
también por si se desea incorporar una cámara digital a la salida. Una cámara fotográfica
demanda mayor energía en la imagen de salida que el ojo humano, y como ya se mencionó
en el capítulo IV una baja exposición en una cámara fotográfica introduce una mayor no-
linealidad en su gamma. Se debe tener la suficiente energía luminosa ya que a falta de ésta
solo existen dos soluciones de mala calidad: 1) aumentar el tiempo de exposición no es
recomendable en un instrumento de campo debido a las vibraciones mecánicas; 2) se puede
129
intentar aumentar la sensibilidad (ISO) de la cámara. El término ISO es el equivalente al
término ASA (también conocido como tamaño de grano) de una película fotográfica. Al
aumentar el valor de ISO cuando se tiene baja exposición también aumenta el ruido
introducido por el sensor CCD de la cámara digital y consecuentemente el de la fotografía
resultante.
Por otra parte se pudo lograr el diseño sin la necesidad de utilizar objetivos de microscopio
(comerciales). Para aclarar esto, hay que mencionar que el diseño se pensó utilizando un
sistema de iluminación Kohler ya que entre otras cosas proporciona una iluminación
uniforme del objeto. Si se utilizaba un filtro birrefringente de desplazamiento lateral (como
un polariscopio de Savart) habría que colocar al filtro entre el objetivo y el objeto a
observar. Esto tiende a introducir ciertas deformaciones en la imagen, sobre todo la
presencia de astigmatismo. Se decide utilizar entonces un filtro birrefringente de
desplazamiento angular el cual debe ser colocado de tal manera que el patrón de franjas que
produce aparezca en el punto focal del objetivo. La montura mecánica de los objetivos de
microscopios comerciales impide que esto sea físicamente realizable para un prisma de
Wollaston. Los IP comerciales utilizan un prisma de Nomarski hecho de cuarzo para
resolver este problema, ya que las franjas aparecen fuera del prisma. Debido a que la calcita
es un material muy blando, actualmente no nos es posible construir este prisma. La
infraestructura de la compañía Opto Crystal nos garantiza hasta medio grado en la
precisión tanto en el ángulo θw de una cuña de calcita así como en la inclinación del eje
óptico cristalino respecto a la cara de entrada del prisma: bajo estas condiciones no se
puede garantizar la construcción de un prisma de Nomarski hecho de calcita, habría que
introducir modificaciones en su línea de producción. Hay que notar que debido a que la
calcita es altamente birrefringente los ángulos involucrados en el diseño de estos prismas
(Wollaston y Nomarski) son mucho menores que cuando se diseñan para el cuarzo.
Se describieron tres técnicas de medición y se plantearon los fundamentos para una nueva
técnica denominada CC. Al comparar estas técnicas, podemos decir que la técnica de
inspección visual es la más práctica de todas y la menos precisa; es difícil establecer su
130
nivel de incertidumbre pero podemos decir que un observador puede tener una precisión
aproximada de 100nm al medir la DCO. La técnica interferométrica es útil para identificar
grandes variaciones de la DCO (del orden de varias λ). Su precisión depende de la fineza
que se obtenga en las franjas de interferencia una vez que aparecen distorsionadas debido a
la presencia de un objeto en el IP. La ecuación 160 está definida para un haz óptico
monocromático y es el tipo de luz que utiliza este método. En nuestro caso (con luz
policromática) solo podemos aplicar esta técnica utilizando la franja central negra, ya que
en este caso la DCO = 0 para todas las longitudes de onda y DCO = λ corresponde a la
separación entre la franja negra y las primeras franjas de color. Utilizando una fuente de luz
monocromática algunos autores reportan precisiones hasta de λ/40 (Pluta M. 1989). La
técnica fotométrica puede lograr mayor precisión y está limitada por el rango dinámico del
sensor (normalmente un CCD), el ruido que introduce y el número de pixeles por franja;
algunos autores reportan precisiones de 1nm en la DCO (Pluta M. 1993). Sin embargo está
limitada para trabajar con objetos que introducen una DCO máxima dentro del primer
orden de interferencia: aproximadamente 500nm para un IP normal y 1µm para un IP
compensado. La técnica CC es una variante de la técnica fotométrica pero su resolución es
un poco menor ya que se acarrea un pequeño error adicional al calibrar la medición y al
realizar las transformaciones de espacio de color. En otras palabras hay una pequeña
incertidumbre al asignar las coordenadas RGB de la TCI (ver figura 79) y además es bien
conocido que cualquier transformación de espacios de color (como la ecuación 171) tiene
un error de redondeo. Sin tomar en cuenta estos dos últimos factores, la resolución teórica
entre dos colores está dada por el valor de la JND utilizada; en nuestro trabajo utilizamos
∆E ≈ 0.25 lo cual nos da directamente una precisión de 0.25 nm, esto es el valor
equivalente a un corrimiento en el eje “x” (DCO) de la figura 78.
Hablando en términos cronológicos la técnica CC fue desarrollada al final del trabajo de
tesis y solo se plantearon sus fundamentos: aún no ha sido optimizada. Se utilizó el espacio
de color RGB pero no se han explorado otras posibilidades. Se han estudiado las
características de los espacios de color en cuanto a su capacidad para utilizar
131
cuantificaciones numéricas en las diferencias de color ∆E (Hill B., Roger Th. and Vorhagen
F. W. 1997). La misma CIE ha introducido nuevos espacios de color y mejorado
(modificado) varias veces su fórmula para ∆E (Sharma G., Wu W., Dalal E. N. 2005). Por
ejemplo el espacio de color CIE_LAB (influenciado fuertemente por el espacio de color de
Munsell) es uno de los espacios de color que tiene una mayor percepción lineal respecto a
otros espacios de color, y consecuentemente se considera un mejor espacio de color para la
cuantificación de ∆E. El término percepción lineal significa que un cambio en la misma
cantidad en algún valor de color debe producir un cambio de aproximadamente la misma
importancia visual para el ojo humano. Actualmente se siguen proponiendo nuevos
esquemas de espacios de color (Davis W. and Ohno Y, 2006) así como modelos para
cuantificar las diferencias de colores. Es un tema en desarrollo constante liderado por la
SID (Society for Information Display) y la IS&T (Society for Imaging Science and
Technology) debido a un gran interés por sus aplicaciones para la industria.
Finalmente es interesante comentar que de acuerdo a lo expuesto en el capítulo IV se puede
construir un arreglo óptico que funcione como un filtro variable de color, tal vez con
aplicaciones de estética. Se requiere de una fuente de luz, al menos una lente, y un prisma
de Wollaston colocado entre dos polarizadores. La luz de salida no es monocromática y su
gamut es el que está definido en la figura 68.
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