caso de estudio diseÑo de ejes -...

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIAELEMENTOS DE MÁQUINAS 1

CASO DE ESTUDIO DISEÑO DE EJES

DATOS Pot 5hp ω 740rpm

Rpol 68.70mm

Reng 42.30mm

Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 27


RESOLUCION

Como primer paso se tendra encontrar las fuerzas solicitantes y reacciones existentes en el eje,por cuanto encontramos:

El momento torsor solicitante será: MtPotω

Mt 48.11 N m

En la polea

La fuerza generada sobre la polea será:

donde: α es el angulo que abraza la correaexpresado en radianes.

f el coeficiente de friccion poleacorrea

S1 se toma como la fuerza mas grande de tensión del lado de la correa cargada, y S2 del ladode la correa floja.

sea f 0.4 α 153deg

entonces k ef α 2.91

S1 2.91 S2=

Por otro lado se tiene:

Por sumatoria de fuerzas estáticas se tendrá que la suma delas dos fuerzas da dos veces la fuerza media.

Por sumatoria de momentos, se tiene que la fuerza que ejerceel movimiento resulta de la resta de la mayor menos la menor.

reemplazando 3.91S2 2 S0=

1.91 S2 F=

Finalmentedespejando sepuede obtener lasrelacionesmostradas.

Para el presente caso la fuerza tangencial de la polea seria F.

Mt S1 S2 r2=

FMt

Rpol F 700.35 N

S2 2F

1.91 S2 733.35 N

F 1.91 S2 F 1400.71 N

S1 S2 F S1 2134.06 N



Descomposición de las fuerzas de acuerdo a ejes cartesianos

Ya se ha encontrado la fuerza F1, tangencial a lapolea, mas la dirección de esta tiene una desviacióndel ángulo de abrazamiento de la pole, por cuantoproyectamos esta fuerza en las direcciones "X"(tangencial) e "Y" (radial), así:

α180 153

2

deg α 13.5 º

La fuerza tangencial máxima que solicita a la polea y el eje será:

Ftp S1 cos α( ) Ftp 2075.1 N para el grafico F1tx Ftp

La fuerza radial:

Frp S1 sin α( ) Frp 498.19 N F1ry Frp

En el engranajeAsumiendo el ángulo de engrane 20º, y como es la unica salida de torque del sistema,tomaremos como que consume todo el momento de entrada, por cuanto su fuerza tangencial sedefine como:

F2txMt

Reng F2tx 1137.45 N

La fuerza radial

F2ry F2tx tan 20deg( ) F2ry 414 N

Cálculo de las reacciones en los apoyosCon estos datos se puede obtener las reacciones en el eje cual si fuese una viga estaticasimplemente apoyada, de acuerdo al diagrama mostrado a continuación:



Sumatoria de momentos en el eje "X", en el punto de la polea.

Ray 50 F2ry 93.5 Rby 137 0=

sumatoria de fuerzas en "Y"

Ray Rby F2ry F1ry 0=

de donde resolviendo:

Ray

Rby

577.5

493.31

N

Realizando el mismo precedimeinto en el eje "Y"

Sumatoria de momentos en el eje "Y", en el punto de la polea.

Rax 50 F2tx 93.5 Rbx 137 0=

sumatoria de fuerzas en "Y"

Rax Rbx F2tx F1tx 0=

Rax

Rbx

3836.41

623.86

N

La ecuación de momentos de todo el eje será:

Mx z( ) F1ry z Ray z 50mm( ) μ z 50mm( ) F2ry z 93.5mm( ) μ z 93.5mm( ) μ 137mm z( )

0 0.05 0.1 0.15 0.2

10

10

20

30

Mx z( )

z



My z( ) F1tx z Rax z 50mm( ) μ z 50mm( ) F2tx z 93.5mm( ) μ z 93.5mm( ) μ 137mm z( )

0 0.05 0.1

100

50My z( )

z

0 0.05 0.1

150

100

50

50

traza 1traza 2

GRAFICA DE MOMENTOS EN EL EJE

LONGITUD [m]

MO

MEN

TOS

[N*m

]

Mx z( )

My z( )

z

A manera de estudio se va a calcular primero la sección del diámetro 3, el apoyo del rodamientointermedio.

CALCULO DEL EJE SEGÚN NORMA DIN 44713



EN LA SECCION 3

En la sección 3 se tiene dos situaciones:La primera antes de considerar la reacción Ra (a 42,5mm), cuyos factores de entalladura1.serán para un apoyo de hombros. Y la otra considerando la reacción Ra (a 57,5mm), en la cual el factor de entalladura es la de2.una endidura para anillo de sujeción.

Diámetro del eje en el apoyo de hombros z3 42.50mm

Estimación del diametro del eje:

Trabajando con material st60

σust60 60kgf

mm2 σust60 588.399 MPa Esfuerzo último

σyst60 37kgf

mm2 σyst60 362.846 MPa Esfuerzo admisible

asumiendo una tensión al corte de 0.57 σbadm

τadm σyst60 0.57τadm 206.82

N

mm2

además el ESFUERZO ADMISIBLE EXPERIMENTAL, que sugiere Decker (E.M.pag. 233, tabla72) es:



σbadm 80N

mm2 a flexión

τadm 50N

mm2 a torsión

El momento máximo a flexión en ese punto será:

M3x Mx z3( ) 2117.29 N cm

M3y My z3( ) 8819.16 N cm

Mmax3 M3x( )2 M3y( )2 Mmax3 90.7 N m

Estimación a flexión del eje en el punto 3

df3Mmax3

0.1 σbadm

1

3

df3 22.465 mm

Estimación a cortante por torsión

dt3Mt

0.2 τadm

1

3

dt3 16.882 mm

Se asume un diámetro mínimo de 25 mm con st60 de3 25mm

el modulo de sección para ese diámetro será:

wb3 0.1 de33

wb3 1.56 cm3 a flexión σb

Mmax1wb1

=

w3 0.2 de33

w3 3.13 cm3 a torsión



Recalculo de la tensión de flexión

σbMmax3

wb3 σb 58.05 MPa

Tensión a la torsión

τMtw3

τ 15.4 MPa

No se tiene fuerzas axiales solicitando al eje.Tensión a tracción σ 0

N

m2

Cálculo de la tensión equivalente

Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, así:

σv2 σ02 3 α0

2 τ

2=

σ0 σ σb σ0 58.05 MPa

Luego debemos seleccionar el valor de 0 que es el factor de fatiga, en el cual si el eje tieneflexión alternativa y torsión permanente 0=0.4, si la torsión fuese pulsatoria 0=0.7, y el casomás crítico es cuando la torsión y la flexión son alternativos, entonces 0=1.0.

Para el presente caso de estudio, se considerará TORSION PULSATORIA.

α00.48

3a 1=if

1.473

a 2=if

33

a 3=if

α0 0.4

σv3 σ02 3 α0

2 τ

2 σv3 59.02 MPa

NOTA.-

Cuando el eje gira a menos de 1000 rpm, no se considera que este entre en fatiga, porconsiguiente se puede utilizar la tensión equivalente para obtener el diámetro definitivo del eje enesta sección.

dff3Mmax30.1 σv3

1

3

dff = 24.862 mm > df3 22.46 mm



Mismo criterio de evaluación se tendria si se hace la comparación siguiente:

la tensión equivalente (tensión solicitante) =< la resistencia admisible del material

σv3 59.02 MPa σbadm 80 MPa

CALCULO DE LA RESISTENCIA A LA FATIGA

La ecuación que verifica que el dimensionado del eje resiste a cargas cíclicas, se expresa de laforma:

σGσw b0

βkb 1 R( )k σw=

σG Esfuerzo a la fatiga (esfuerzo solicitante)

σw Resistencia a la fatiga del material

b0 Coeficiente de acabado superficial

βkb Coeficiente de entalladura

R Grado de reposo del eje

k Factor para el límite de resistencia a la fatiga del material

Esta ecuación se puede interpretar como:

El esfuerzo a fatiga solicitante debe ser menor o igual a la resistencia a fatiga delmaterial multiplicado por su factor.

σG k σw

Se hace notar que el factor de limite de fatiga es proximo a 2, y el valor de resistencia ala fatiga del material es proximo a la mitad del esfuerzo último del material, con lo quese comprueba que todo diseño a fatiga se calcula a resistencia última del material y noasi respecto de su esfuerzo de fluencia como en los estudios de carga estática.



Coeficiente de acabado superficial

Se puede obtener del grafico 189 (E.M. Decker, pag 236)

En el gráfico entramoscon el valor de la tensiónúltima del material (ejede las abscisas), y eltipo de acabadosuperficial (eje de lasordenadas de laderecha). Tomamos lacurva que corresponda yvamos horizontalmentehasta los valores de laizquierda que son loscoeficientes de acabadosuperficial, en estecaso:

b0 0.95

Cálculo del coeficiente de entalladura

El coeficiente de entalladura esta determinado por el coeficiente de forma de entalladura, elcual se extrae de gráficas de coeficientes de entalladura, por ejemplo para apoyo de hombros,de las gráficas del texto de Decker:

βkbαkb

1 ρ χ=

Como se tenia el valor del diámetro deleje igual a 25mm, entonces el apoyode hombro podemos suponer tenga30mm.De la misma definición salta el valor dela altura t=2.5mm.Por fabricación y para evitarconcentraciones de esfuerzoselevadas, se debe dar en fabricaciónun radio de curvatura en las esquinas,en este caso definimos este con r=1mm.



t 2.5mm r1 1mm d 25mm D 30mm

dD

0.83r1t

0.4

De forma análoga a la gráfica del acabado superficial, tomamos los valores de las abscisas ylas ordenadas de la derecha como ingreso.

αkb 2.4

Luego encontramos el valor de ρ "Ro" es el radio de entalladura más crítico para elmaterial.

de la tabla para ST60, con σu σB= 600N

mm2=

el radio de entalladura ρ 0.06mm

La caida de tensión por la entalladura: χ2

de3

2ρ

χ 33.411

mm

βkbαkb

1 ρ χ0.99

El valor de la resistencia a la fatiga del material se toma de la misma tabla 73.

σw 270MPa por que: σust60 588.4 MPa

El grado de reposo "R"

El grado de reposo indica el tipo de movimiento al que esta sometido el eje, así:

R 0= Si el eje tiene flexión y torsión alternativas

R 0.5= Si el eje tiene flexión alternativa y torsión pulsatoria

R 0.25= Si el eje tiene flexión alternativa y torsión permanente

Para el presente caso: R 0.25

Factor límite de fatiga

Este valor modifica el valor limite de resistencia contra el cual se compara el esfuerzo a lafatiga obtenido (el esfuerzo solicitante).

k 2.1= si el eje tiene torsión y flexión.

k 1.6= si el eje solo tiene torsión

En el presente tramo: k 2.1



Reemplazando

σGσw b0

βkb 1 R( )344.27 MPa k σw 567 MPa

el dimensionado es CORRECTO !!!

La seguridad contra rotura:

El valor de la seguridad contra rotura por fatiga nos da un valor que expresa cuantas veces latensión a la fatiga es superior a la tensión equivalente, o para entender mejor esta relación,ordenamos las expresiones:

σG k σw= además k σw ≈σu

entonces SD

σuσv

=

Ahora si, podemos analizar cuantas veces superior es la Resistencia ultima del materialrespecto de la tensión solicitente máxima que esta representada por el esfuerzo equivalente.

SD 2 cuando el grado de reposo R=0...0.25

SD 1.7 cuando el grado de reposo R=0.25...0.75

SD 1.4 cuando el grado de reposo R=0.75...1.0

SDσGσv3

SD 5.83 1.7 esto cumple

Ahora se va a revisar el método de dimensionado según la normaASME

ESTIMACIÓN DE LA RESISTENCIA A FATIGA DEL MATERIAL DEL EJE

Se calcula la resistencia a la fatiga del material..

Se σust60 0.5 σust60 σust60 200ksiif

100ksi σust60 200ksiif

Se Se σust60 Se 294.2 MPa

PRESUNCIÓN DE LOS FACTORES DE CARGA QUE AFECTAN AL EJE

Para la obtención del diametro inicial todos los factores se consideran como 1,ya para el reclaculo se debe obtener los valores de cada uno de ellos.



7.1 Factor de Carga

C1 1 flexiónif

0.7 axialif

=

C1 1

7.2 Factor de Tamaño

d 15mm

cc2 d1

1mm

0.097

C2 d( ) 1 d 8mmif

1.189 cc2 8mm d 254mmif

0.6 d 254mmif

C2 C2 d( )

C2 0.91

7.3 Factor de Superficie

C3 A Sutb

=

Que tipo de acabado superficial tiene el material

1.- Maquinado 2.- Rectificado 3.- Rolado en caliente 4.- Forjado

Escriba la respuesta (1,2,3 o 4)

resp 2

A 1.58 resp 1=if

4.51 resp 2=if

57.7 resp 3=if

272 resp 4=if

b 0.085 resp 1=if

0.265 resp 2=if

0.718 resp 3=if

0.995 resp 4=if

C3 A σust601

106Pa

b

C3 0.83

7.4 Factor deTemperatura

Temp 20cc4 1 0.0058

11 Temp 450( )

C4 1 Temp 450if

cc4 450 Temp 550if

C4 1



7.5 Factor de Confiabilidad

Escriba la confiabilidad que desea a su diseño (valores únicos a elegir)

50%, 90%, 99%, 99.9%, 99.99% y 99.999%

confia 99.00%

C5 1 confia 50%=if

0.897 confia 90%=if

0.814 confia 99%=if

0.753 confia 99.9%=if

0.702 confia 99.99%=if

0.659 confia 99.999%=if

C5 0.81

8. OBTENCIÓN DE LA TENSIÓN A LA FATIGA CORREGIDA

Sf C1 C2 C3 C4 C5 Se Sf 182.21 MPa

9. CÁLCULO DE LA SENSIBILIDAD A LAS MUESCAS Y LOS FACTORES DECONCENTRACIÓN

El factor de concentración de esfuerzos a la fatiga es:

Kf 1 q Kt 1 =

para ello encontramos el factor de concentración de esfuerzos

Kt Aktrktd

bkt

=

donde:

Akt 0.96689 rkt 1 d 15 bkt 0.15417

Kt Aktrktd

bkt

Kt 1.47

además el valor de la sensibilidad a las muescas

q1

1Neuber

rkt

= σust60 85.34 ksi

Neuber 0.08

q1

1Neuber

rkt

q 0.93



Kf 1 q Kt 1 Kf 1.43

Se puede utilizar los siguientes factores referenciales para diseñar:

Parachaveteros:

de perfil Ktch1 2.0

de corredera Ktch2 1.6

Chaflanes de hombros:

bordes cortantes Ktbc 2.5

bordes redondeados Ktbr 1.5

Agujeros Pasantes:

Ktap 3

10. SELECCIÓN DEL FACTOR DE SEGURIDAD

El factor de seguridad para diseño se puede elegir según el número correspondiente a loscriterios siguientes:

Materiales conocidos y cargas conocidas.1.Materiales y fuerzas medianamente conocidas.2.Materiales medianamente conocidos con fuerzas fluctuantes.3.Materiales mediananmente conocidos con fuerzas de impacto.4.

Factor 2

Ns 2 Factor 1=if

2.5 Factor 2=if

3 Factor 3=if

5 Factor 4=if

Ns 2.5

11. CÁLCULO DE LOS DIÁMETROS ESTIMADOS

Momentos flectores alternantes y medios

Mmax Mmax3

Mmin Mmax3



MaMmax Mmin

2

MmMmax Mmin

2

Momentos torsores

Mtmax Mt

Mtmin Mt

MtaMtmax Mtmin

2

MtmMtmax Mtmin

2

Los diámetros saldrán según la ecuación:

d332 Ns

π

Kf Ma

Sf

2

0.75Mtmaxσyst60

2

1

3

d3 26.4 mm

Redondeando:

d31 30mm d31 30 mm

CALCULO DE LOS COJINETES DE DESLIZAMIENTO Y DE ELEMENTOSRODANTES

Obtención de las reacciones resultantes:

Ra Ray2 Rax

2 Ra 3879.63 N

Rb Rby2 Rbx

2 Rb 795.33 N

CARGA SOBRE EL COJINETE

P Rb P 795.33 N

COJINETES DE DESLIZAMIENTOHolgura por diseño

hol d31 d3 3.6 mm



Por normalización en fabricación y recomendación de la norma, para un AJUSTE conholgura, pues debe circular el aceite, se toma el ajuste C11/h9, cuyos rangos se muestran acontinuación:

Para el eje único 52 μm 0.05 mm

Para el agujero 60μm 0.06 mm

El rango de holgura entre estos es: 52 60( ) μm 0.112 mm

La velocidad del eje:

ω 77.491s

La velocidad tangencial:Vt π d31 ω Vt 7.3

ms

La tolerancia diametral:cr

1mm2

0.5 mm

La longitud del cojinete:

Debe ir desde long/d=1 hasta long/d=0.25 Long 0.5 d31 15 mm

Selección del número de Ocvick

Se recomienda para moteres de funcionamiento liviano y alta velocidad valores inferiores a 30

ON 15 nº Ocvick

La excentricidad por olgura:

ε 0.21394 0.38517 log ON 0.0008 ON 60

ε 0.7

La constante adimensional Ke:

Kεε π

2 1 ε2

16 ε2

1

2

4 1 ε2

2

Kε 2.47

Obtención de la viscosidad absoluta del aceite para la carga solicitada:



νaP cr

2

Kε Vt Long3

νa 3.27 Pa s

la holgura minima que requiere

hmin cr 1 ε( ) hmin 0.15 mm

por cuanto para fabricación cambia el ajuste, pudiendo darnos un A11/h11

eje 130 μm

agujero 300μm

La tolerancia diametral:cr

430μm2

0.22 mm

νaP cr

2

Kε Vt Long3

νa 0.6 Pa s

la holgura minima que requiere

hmin cr 1 ε( ) hmin 0.06 mm

SELECCION DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES



Se determina el diámetro del eje, además de la carga estática a soportar, con esos valores seingresa a las tablas de rodamientos.

d31 30 mm F P 795.33 N

En la primera fila encontramos el rodamiento necesario: C 10.9kN



La vida del rodamiento

L10CF

31000000 rpm L10 2.57 109

rpm

con trabajo de 8 horas dia a 740rpm, estos deberan durar

tdiasL10

8 601

day740 rpm

tdias 7246.99 day

El eje tendra un ajuste de agujero unico H7/r6

el agujero 8μm

el eje 12μm


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