CARRERA

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

 

MATERIA

GRAFICACIÓN

  

PROFESOR

MÉNDEZ LÓPEZ GENARO

 

ALUMNOS

LUNA ARIAS ABRIL

LÓPEZ ESPINOZA MIGUEL

DÍAZ BURGOS RICARDO

 

• ¿QUÉ ES UN FRACTAL?

INTRODUCCIÓN

• GEOMETRÍA FRACTAL

En la naturaleza no es trivial describir aquellas formas, dado que no es suficiente aplicar las propiedades euclidianas por lo que es necesario buscar una nueva manera de poder describirlas, para todo esto usamos la Geometría Fractal pero, ¿Qué es la Geometría Fractal?

Son objetos:• Bastante artísticos• Impresionantes • Representaciones matemáticas de la naturaleza

• ¿QUÉ ES UN FRACTAL?

• Real Academia Española.

Una figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos.

• Por Definición.

Un conjunto cuya dimensión es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

La Geometría Fractal es la disciplina que tiene como objetivo abstraer las formas de la naturaleza. También se le conoce

como Geometría de la naturaleza.

• GEOMETRÍA FRACTAL

Es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son

reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.

Ejemplos de la Geometría Fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Curva de Hilbert

Se conectan los centros de los cuadrados, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en

el cuadrado inferior derecho.

Copo de nieve de Koch

Triángulo de Sierpinski

TEORÍAS MATEMÁTICAS APLICADAS.

El concepto de fractal no dispone de una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:

B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente general.

D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su definición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Dimensión fractal.

Puede definirse en términos del mínimo número de bolas de radio necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

O en función del recuento del número de cajas de una cuadrícula de anchura que intersecan al conjunto:

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.[

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número , también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal es la siguiente:

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

Dimensión de fractales producidos por un IFS

Un sistema iterativo de funciones (IFS) es un conjunto de funciones contractivas definidas sobre un subconjunto de   . Cuando no hay solapamiento entre las imágenes de cada función, se demuestra que   y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

Tipos de fractales

Para distinguir los distintos tipos de fractales nos basamos en varias de las características que poseen. De este modo podemos clasificarlos según las siguientes características:

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas. Esto implica que los fractales lineales son idénticos en sus escalas hasta el infinito. Podemos hacernos una idea viendo las siguientes imágenes:

Tipos de Fractales

Sin embargo, no es este el caso de los fractales no lineales. Estos se generan creando distorsiones no lineales o complejas. A continuación unos ejemplos:

• Los fractales pueden ser generados a partir de elementos de la matemática tradicional (fractales lineales) o a partir de números complejos. De hecho, el fractal de Mandelbrot está generado a partir de la iteración de la siguiente expresión compleja:

Donde Z y W son números complejos.

• Las iteraciones consisten en repetir y volver sobre si mismo una cierta cantidad de veces. En el caso de los fractales iteramos fórmulas matemáticas como acabamos de ver en el anterior apartado. Esta iteración la realizamos mediante el uso de algoritmos. Es por ello que la aparición del campo de investigación de los fractales es relativamente reciente, pues realizar cálculos complejos para construirlos hubiese sido una ardua tarea para llevarla a cabo sin la ayuda de una computadora.

Como vimos anteriormente, todos los fractales deben poseer una dimensión fractal pero no todos tienen por qué ser autosimilares. A estos fractales que no poseen una autosimilitud los denominamos fractales plasmáticos. El siguiente es un ejemplo de un fractal plasmático:

Algoritmos de escape

La Imagen es un fractal de Mandelbrot, y se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda de la computadora

Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines) es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación en la fórmula del Mandelbrot.

Mandelbrot

Funciones iteradas

El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho (imagen) es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la figura completa.

Helecho de Barnsley

Lindenmayer y Sierpinski

La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente. Quizá se pueda explicar de otra forma, pero lo mejor es verlo en la animación siguiente.

El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones anteriores. En área fractal, el artículo Koch y Sierpinski detalla más aspectos de este tipo de curvas.

Triangulo de Sierpinski

Órbitas caóticas

Cuando estudiamos en el colegio el sistema solar nos dijeron que los planetas describían órbitas elípticas. Como en todo, eso es cierto sólo hasta cierto nivel. El atractor de Lorenz se consigue llevando esa incertidumbre hasta el extremo. La imagen es una representación bidimensional y coloreada de esa figura. Básicamente está formada por un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acercándose y alejándose de dos puntos de atracción.

Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por E. Lorenz en 1963.

Atractor de Lorenz

Los autómatas celulares están en el otro extremo. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes. Pese a que en principio pueda parecer que las imágenes conseguidas con este método vayan a ser sencillas y simétricas, no tiene por qué ser así, como se demuestra en la imagen.

Celular

Imágenes Fractales mas conocidas

STAR WARS: EL RETORNO DEL JEDISuperficie de la Luna de Endor

Sierpinski Gasket

Koch Snowflake

El desarrollo de ambos se inicia con un triángulo y luego tomando puntos intermedios se van insertando triángulos más pequeños.