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Actividades Matemáticaspara el desarrollo de procesos lógicos
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Carlos Julio Luque AriasLyda Constanza Mora Mendieta
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Este libro es la segunda edición de uno publicado en 2005, producto del proyecto de investigación “Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:El proceso de medir”, desarrollado entre 2002 y 2004, con el apoyo del Centro deInvestigaciones de la Universidad Pedagógica Nacional (CIUP). Esta segunda edición recoge las re�¬exiones del Grupo de Álgebra sobre la enseñanza de los números racionales y reales, que surgen del trabajo con los estudiantes del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional.
Las actividades didácticas propuestas van dirigidas especialmente a la formación inicial de profesores de matemáticas, en relación con tres procesos: clasi�car, medir e invertir; y con ellos, la formación de los conceptos de relación de equivalencia, números racionales no negativos, números irracionales positivos, números reales no negativos y números reales; también se tiene en cuenta el proceso histórico que generó la construcción de estas estructuras numéricas.
Desde un acercamiento intuitivo, fundamentado en preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulación de respuestas a problemas que surgen de manera natural en la discusión; los estudiantes cuestionan, argumentan, ejempli�can, proponen contraejemplos, establecen acuerdos y generalizan, simulando un ambiente cientí�co en el aula, donde prima la actividad matemática sobre la repetición y la memoria.
Cuando es necesario se recurre a la geometría euclidiana en busca de objetos y procedimientos que permitan realizar tareas en las que el álgebra tiene limitaciones, mostrando la permanente relación entre estas dos vertientes del conocimiento matemático. Se hace énfasis en las propiedades algebraicas de los números reales, primero en una construcción a partir de los números naturales y luego desde una perspectiva axiomática, sin profundizar en sus propiedades topológicas.
Como epílogo se presentan varias formas de resolver ecuaciones algebraicas, algunas históricas, otras inventadas en clase, otras donde se aplican ideas simples y geniales de algunos matemáticos clásicos; con procedimientos aritméticos, algebraicos, de la geometría euclidiana, de la geometría analítica y hasta de la geometría proyectiva.
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JOHANA ANDREA TORRES DÍAZ
Licenciada en Matemáticas y magíster en Docencia de las Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha trabajado como docente en la educación básica, media y superior en programas de formación de profesores de matemáticas. Ha publicado cinco libros sobre actividades matemáticas y artículos en memorias de eventos nacionales e internacionales en tópicos de álgebra, geometría, historia y didáctica de las matemáticas. Es integrante del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional, en el cual ha participado como coinvestigadora. Desde 2007 ha estado vinculada al Ministerio de Educación Nacional y, actualmente, desde el programa de Formación Profesional de Docentes y Directivos Docentes, ha acompañado el desarrollo de proyectos encaminados a cuali�car los programas de formación inicial de docentes.
CARLOS JULIO LUQUE ARIAS
Licenciado en Matemáticas y Física, magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional, Magister Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia, realizó estudios de promoción en Física de Altas Energías de la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado siete libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos.
LYDA CONSTANZA MORA MENDIETA
Normalista del Colegio Nuestra Señora de Nazareth, licenciada en Matemáticas, magíster en Docencia de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia) y experta en Diagnóstico y Educación de los Alumnos con Alta Capacidad de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (España). Desde el año 2001 labora en la Universidad Pedagógica Nacional. Ese mismo año trabajó también con la Asociación Nacional de Escuelas Normales Superiores y el Ministerio de Educación Nacional y en el año 2012, participó en el programa Todos a Aprender del MEN, en convenio con la UPN.Fue galardonada con el VII Premio Nacional de Educación Francisca Radke, versión 2004-2005, en la categoría Tesis de Maestría. Ha sido coautora de seis libros sobre actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos, como coinvestigadora del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional, y ha publicado escritos en memorias de eventos nacionales e internacionales sobre temas de didáctica de aritmética y álgebra. Desde 2011 inició trabajos de investigación alrededor de la educación del profesor de matemáticas, centrada en el componente Didáctico. Actualmente pertenece a dos grupos de investigación: Álgebra y Research on Mathematics Teacher Education (REMATE).
Mate 20150310 ActClasificar.pdf 1 10/03/15 3:18 p.m.
Actividades matematicaspara el desarrollo de procesos logicos
Clasificar, medir e invertir
Actividades Matemáticas
para el desarrollo de procesos lógicos
Clasificar, medir e invertir
© Universidad Pedagógica Nacional
ISBN: 978958 865041
Pr imera edición, 20 05
Segunda edición, 2014
Autores © Car los Julio Luque Ar ias
Lyda Cons tanza Mora Mendieta
Johana A ndrea Torres Díaz
Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito
Juan Car los Orozco Cruz
Rector
Edgar Alb erto Mendoza Parada
Vicerrector Académico
Víctor Manuel Ro dr íguez Sar miento
Vicerrector de Gestión Universitaria
Universidad Pedagógica Nacional
Fondo EditorialCalle 72 Nº 11 - 86
Tel: 347 1190 y 594 1894
editor ial.p edagogica.edu.co
Víctor Eligio Espinosa Galán
Coordinador Fondo Editorial
Haydee Jiménez Tafur
Diagramación en
Maur icio Es teban Suárez Barrera
Diseño de carátula
Impresión Javegraf
Bogotá, Colombia, 2014
LATEX
Actividades matematicaspara el desarrollo de procesos logicos
Clasificar, medir e invertir
Carlos Julio Luque AriasLyda Constanza Mora MendietaJohana Andrea Torres Dıaz
Catalogación en la fuente - Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional.
Luque Arias, Carlos Julio
Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos. Clasificar, medir e invertir. / Carlos Julio Luque Arias, Lyda Constanza Mora Mendieta, Johana Andrea Torres Díaz .-- 2ª. ed. – Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional, 2014 509 p.
Incluye bibliografía 501 – 509 p.
ISBN 978958865041
1. Algebra. 2. Lógica Simbólica. I. Mora Mendieta, Lyda Constanza II.Torres Díaz, Johana Andrea III. Tít.
512.1 cd. 21 ed.
A mi maestra Laura Adela de Flechas,quien me indico el camino.Carlos Julio Luque Arias
A mis chiquis, mi amado y mi mami, su apoyo ycompanıa han sido fundamentales para mı.
Lyda Constanza Mora Mendieta
A mi angel David Esteban quien me hadado nuevos motivos para sonreır.
Johana Andrea Torres Dıaz
Tabla de contenido
Prologo 15
1. El concepto de igualdad 23
1.1. La igualdad en el mundo fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2. La igualdad en filosofıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. La igualdad en la geometrıa de Euclides . . . . . . . . . . . . 27
1.4. La igualdad en la geometrıa de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 38
1.5. La igualdad en la aritmetica de Peano . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1. Teoremas de la aritmetica de Peano . . . . . . . . . . . 44
1.5.2. Orden en los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . 47
1.6. La igualdad en algebra clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2. La igualdad en logica y en teorıa de conjuntos 53
2.1. La igualdad en logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1. Razonamientos validos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.2. Leyes basicas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.3. La equivalencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.4. Los conectivos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7
8 Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos
2.1.5. Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2. La igualdad en teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1. Subconjuntos y el conjunto de partes . . . . . . . . . . 76
2.2.2. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.3. Operaciones en ℘(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.4. Generalizacion de la nocion de contenenciaentre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.5. Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2.6. Relaciones de un conjunto A en un conjunto B . . . . . 87
2.2.7. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3. Relaciones de equivalencia y particiones 93
3.1. Propiedad reflexiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Propiedad simetrica y similares . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.1. Propiedad asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.2. Relacion antisimetrica estricta . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3. Propiedad transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4. Propiedad euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.1. Otra definicion de relacion de equivalencia . . . . . . . 103
3.5.2. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.6. Relaciones que no son de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . 118
3.7. Conceptos y definiciones en matematicas . . . . . . . . . . . . 119
3.8. Clasificaciones en conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.9. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.9.1. Particiones y relaciones de equivalencia . . . . . . . . . 124
4. El proceso de medir 127
4.1. El proceso fısico de medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2. El proceso matematico de medir . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.1. Biseccion de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Tabla de contenido 9
4.2.2. Division de un segmento en k partes iguales . . . . . . 132
4.2.3. Medida de la longitud de un segmento usandootro cualquiera como patron . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.4. Medida de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3. Representacion de medidas: expresiones bimales,trimales, . . ., decimales, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.1. Operaciones entre numeros utilizando representacionn-mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.2. Expresiones n-males como divisiones entre numerosnaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.3.3. Operaciones con numeros cuya expresion n-males periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3.4. Cambio de base entre n-males . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.5. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.6. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.3.7. Logaritmacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4. Orden entre n-males . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5. Las fracciones 165
5.1. Representaciones de numeros a traves de fracciones . . . . . . 166
5.2. Equivalencia entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3. Operaciones entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.1. Adicion y sustraccion entre fracciones . . . . . . . . . . 173
5.3.2. Multiplicacion entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3.3. Division entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.4. Potenciacion y radicacion entre fracciones . . . . . . . 187
5.3.5. Logaritmacion entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4. Otra representacion de las fracciones . . . . . . . . . . . . . . 191
5.5. Orden entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6. El conjunto de los numeros racionales 195
6.1. Operaciones entre numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . 198
10 Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos
6.1.1. Adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.1.2. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.1.3. Potenciacion de numeros racionales . . . . . . . . . . . 206
6.2. Orden entre numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7. Fracciones continuas finitas 211
7.1. De las fracciones a las fracciones continuas simples finitas . . . 212
7.2. De las fracciones continuas simples finitas a las fracciones . . . 220
8. Fracciones continuas periodicas 223
8.1. El numero de oro de las matematicas . . . . . . . . . . . . . . 224
8.1.1. Reductas de una fraccion continua . . . . . . . . . . . 224
8.2. El numero√
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2.1. Una hermosa y extrana relacion . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.2. La demostracion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3. El numero√
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4. Los numeros√
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.5. Operaciones entre numeros irracionales cuadraticos . . . . . . 249
8.5.1. Adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.5.2. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.6. Extensiones cuadraticas de los numeros racionales . . . . . . . 255
9. Numeros construibles 259
9.1. Numeros construibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.1.1. Multiplicacion y division de numeros construibles . . . 261
9.1.2. Raız cuadrada de numeros construibles . . . . . . . . . 263
9.2. Extensiones cuadraticas y numeros construibles . . . . . . . . 269
10.Numeros algebraicos y trascendentes 271
10.1. Numeros reales algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.1.1. Es imposible duplicar un cubo . . . . . . . . . . . . . . 279
Tabla de contenido 11
10.1.2. Es imposible trisecar un angulo cualquiera conregla y compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.1.3. Es imposible construir un heptagono regular conregla y compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.2. Numeros trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10.2.1. El numero π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.2.2. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.2.3. Logaritmos irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11.Una construccion de los numeros reales 299
11.1. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.1.1. Una respuesta que no es solucion . . . . . . . . . . . . 300
11.2. Los numeros reales: cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . 303
11.2.1. Definicion de cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.2.2. Igualdad entre cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.2.3. Operaciones entre numeros reales . . . . . . . . . . . . 310
11.2.4. El orden en la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.2.5. El orden entre cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.Del proceso de invertir a los numeros negativos 321
12.1. Procesos irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.2. Procesos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
12.3. Entes opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
12.4. Numeros opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.4.1. Operaciones entre numeros opuestos . . . . . . . . . . 326
12.5. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
12.5.1. Propiedades del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
13.Numeros irracionales negativos 343
13.1. Numeros construibles opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13.2. Operaciones entre numeros construibles opuestos . . . . . . . . 345
12 Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos
13.2.1. Adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
13.2.2. Sustraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.2.3. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.2.4. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.2.5. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14.Numeros reales: una construccion oficial 357
14.1. Relacion de equivalencia entre parejas de numerosreales no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
14.2. Operaciones entre numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . 363
14.2.1. La adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
14.2.2. La multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
14.2.3. Definicion de division entre numeros reales . . . . . . . 371
14.3. Orden en los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
15.Axiomatizacion de los numeros reales 377
15.1. Axiomas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
15.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
15.1.2. Propiedades de las operaciones con respecto a laigualdad entre numeros reales . . . . . . . . . . . . . . 381
15.1.3. Otros teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
15.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
15.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
15.2.2. Teoremas sobre el orden de los numeros reales . . . . . 393
15.2.3. Propiedades de monotonıa de la adicion ymultiplicacion entre numeros reales . . . . . . . . . . . 394
15.3. Axioma de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
15.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
15.3.2. El axioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.3.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
15.4. Potenciacion entre numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13
16.Solucion de ecuaciones entre numeros reales 413
16.1. Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
16.1.1. Con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
16.1.2. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . 419
16.2. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
16.2.1. Ecuaciones de tipo (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
16.2.2. Ecuaciones de tipo (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
16.2.3. Ecuaciones de tipo (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
16.2.4. Ecuaciones de tipo (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.2.5. Ecuaciones de tipo (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
16.2.6. Ecuaciones de segundo grado que incluyen numerosnegativos como coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . 458
16.3. Ecuaciones de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
16.3.1. El metodo babilonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
16.3.2. El metodo de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano . . 472
16.3.3. El metodo de Viete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
16.3.4. Solucion moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
16.3.5. Propiedades de las raıces de la ecuacion cubica . . . . . 483
16.4. Ecuaciones de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
16.4.1. El metodo babilonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
16.4.2. El metodo de Ferrari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
16.4.3. La solucion moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
16.5. Ecuaciones de quinto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
16.6. Numero de raıces de una ecuacion de grado n . . . . . . . . . 498
16.6.1. Relaciones entre las raıces de una ecuacion degrado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
16.6.2. El teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . 500
Bibliografıa 501
Tabla de contenido
Prologo
Prologo a la segunda edicion
S iguiendo los planteamientos y desarrollos del Grupo de Algebra sobrela actividad matematica en la formacion de docentes de matematicas,
esta segunda edicion se diferencia de la anterior, en una ampliacion y reor-ganizacion de los tres primeros capıtulos, con lo cual se pretende mejorarla percepcion del concepto de igualdad y su formulacion matematica comorelacion de equivalencia.
Adicionalmente, en todo el texto se incluyeron nuevas notas historicasalrededor de los objetos matematicos que se mencionan, algunas basadas enotros trabajos de investigacion en los que han participado los autores y otrasfruto del interes genuino por continuar descubriendo la belleza que hay enla historia de las matematicas, ası como del convencimiento de los valiososaportes que hay allı y que vale la pena comunicar y continuar explorando enpro de la formacion de profesores de matematicas.
Los cambios son consecuencia de ocho anos de trabajo continuo en elespacio academico Sistemas Numericos, del segundo semestre de la Licen-ciatura en Matematicas de la Universidad Pedagogica Nacional, con el apoyode otros integrantes del Grupo de Algebra, los profesores Juan Carlos Avila,Haydee Jimenez y Yeison Sanchez, y algunos estudiantes de dicho progra-ma que hicieron sus trabajos de grado en relacion con algunos de los temastratados en este libro.
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Ası como en otras publicaciones del Grupo de Algebra, esperamos mostraren esta el espıritu caracterıstico del grupo, la importancia de la actividadmatematica en el hacer matematico y la importancia del aprendizaje de lasmatematicas, la mirada a la historia de las matematicas como un organizadorcurricular y, principalmente, invitar a los lectores a que profundicen, estudieny hagan sus propias producciones.
En el primer capıtulo se presenta un panorama del significado que se leda a la igualdad, en el mundo fısico, en la vision de algunos filosofos, laque esta presente en los Elementos de Euclides, y en los Fundamentos deHilbert, donde la propiedad euclidiana prima sobre la transitiva (las cualesusualmente se tratan como equivalentes) y la caracterizacion de la igualdaden la Aritmetica de Peano, como una relacion reflexiva, simetrica y transitiva.Se finaliza con el uso que se le da en el algebra clasica, donde no importanlas propiedades de la igualdad sino su comportamiento con las operaciones.
El capıtulo segundo se dedica a formular un lenguaje matematico precisoque incluye la logica simbolica y la teorıa de conjuntos; en la primera partese muestran algunos razonamientos deductivos basicos, herramientas funda-mentales en la construccion de teorıas matematicas, hasta llegar al conceptode equivalencia logica; en la segunda, se construyen los conceptos basicosde inclusion, igualdad, operaciones entre conjuntos, productos cartesianos,relaciones, funciones y operaciones, pues todo esto sera fundamental en loscapıtulos siguientes.
El tercer capıtulo estudia propiedades de las relaciones como reflexivi-dad, simetrıa, transitividad, propiedad euclidiana y otras afines, ası comosus vınculos logicos para caracterizar las relaciones de equivalencia y su pa-pel en la formulacion de definiciones matematicas; finaliza con el conceptode particion y su relacion con el proceso de clasificar.
Los capıtulos siguientes fueron revisados y ampliados, pero manteniendola lınea logica de la primera edicion. Se incluyeron nuevas notas historicas yotras actividades, en particular, en el capıtulo 7 se incluyo una representaciongeometrica para las fracciones continuas; en el capıtulo 8, la construccion deuna fraccion continua periodica simple para
√7 y los numeros metalicos.
En el capıtulo 11 se modifico la definicion de las operaciones entre cor-taduras y se reformularon las demostraciones de la mayorıa de los teoremas,y en el 12 se cambio la lınea logica de la presentacion eliminando algunosteoremas e incluyendo otros, buscando sencillez y elegancia. En el capıtulo16, se amplio la aplicacion de la regla falsa para resolver algunas ecuacionesde primer grado.
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Manifestamos nuestro agradecimiento a Haydee Jimenez Tafur por suesfuerzo, dedicacion, seriedad con su trabajo, detalle, crıtica, rigurosidad yaporte no solo a la diagramacion en Latex, de esta nueva edicion, sino enmuchas de las actividades e ideas matematicas aquı expuestas.
Extracto de la introduccion de la primeraedicion
Este libro es producto del proyecto de investigacion “Actividades mate-maticas para el desarrollo de procesos logicos: el proceso de medir”, desa-rrollado entre agosto de 2002 y agosto de 2004, con el apoyo del Centro deInvestigaciones de la Universidad Pedagogica Nacional (CIUP).
Este proyecto es continuacion de otro, que se desarrollo en la UniversidadPedagogica Nacional durante los anos 1999 y 2000 con el auspicio del CIUP,titulado “Actividades matematicas para el desarrollo del pensamiento logi-co: el proceso de contar”, donde se propusieron actividades matematicas1,que se han aceptado como base curricular para el espacio academico Arit-metica, ubicado en el primer semestre del Proyecto Curricular Licenciaturaen Matematicas de la Universidad Pedagogica Nacional. En consecuencia, elespıritu del trabajo desarrollado, en este proyecto se mantiene; especıfica-mente, en los roles del profesor y el estudiante y en la intencionalidad de lasactividades didacticas propuestas para la formacion inicial de profesores dematematicas.
El proyecto base de este texto tuvo su origen al percibir que los estudiantesen el segundo semestre de la Licenciatura en Matematicas de la UniversidadPedagogica Nacional tienen serias dificultades con el significado y utilizacionde los numeros reales; concepto necesario para un desarrollo adecuado deotros espacios academicos, como los relacionados con el Calculo, el Analisisy la Geometrıa analıtica, y para un adecuado desempeno de los estudiantescomo futuros profesores, pues este es uno de los conceptos centrales en loscurrıculos de la ensenanza basica y media.
Inicialmente, planteamos un conjunto de procesos logicos necesarios parael conocimiento y manejo de los numeros racionales no negativos, a partir delos cuales disenamos actividades que les permitieran a los estudiantes cons-truir conocimientos matematicos, desde lo que conocen, y mostrar la necesi-dad de crear, descubrir y chocar con algunas ideas preconcebidas. Pretende-
1Descritas en Luque, Mora y Paez (2013).
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mos desarrollar una discusion agradable pero rigurosa y profunda, en la quese avance en el nivel de abstraccion hasta formalizar conceptos matematicos.
Aunque la actividad que se desarrolla en el aula de clase esta fundamenta-da en preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulacion de respuestasen una construccion colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestio-nan, argumentan, ejemplifican, proponen contraejemplos, establecen acuer-dos, generalizan, abstraen y, en general, se simula un ambiente cientıfico. Lapresentacion que se hace de cada actividad, en este libro, esta organizada enuna forma secuencial que no necesariamente corresponde con la de la clase;sin embargo, el espıritu y los resultados son productos de esta interaccion.
El segundo proceso de este estudio es el de medir, donde diferenciamosentre el proceso fısico y el proceso matematico de medir, y su papel en laconstruccion de los numeros racionales no negativos.
Se inicia la discusion con el proceso fısico de medir, pero muy prontodebemos abandonar la realidad, ante la imposibilidad de dividir algun ob-jeto fısico en partes iguales. Recurrimos, como en ocasiones anteriores, a laGeometrıa euclidiana en busca de objetos y procedimientos que permitanrealizar tal tarea y con la ayuda de la regla y el compas incursionamos en ladivision de un segmento en n partes iguales.
Se miden unos segmentos con otros y para expresar el resultado de lasmedidas, se usan representaciones analogas a los decimales, a las cuales lla-mamos representaciones n-males, por ser similar a la notacion decimal peroescrita en base n. Seguidamente, como en el caso de los numeros naturales,se procura encontrar algoritmos para operar utilizando tales expresiones–las n-males–, sin mayor dificultad en la suma y la multiplicacion, pero conla subita aparicion de otros objetos extranos a nuestra construccion, los n-males periodicos que resultan de la division entre algunos numeros naturales;con la grata sorpresa de que ahora todas las divisiones (salvo la division por0) se pueden efectuar, y que en todos los casos existe una base (de hecho,infinitas) en la cual la expresion n-mal tiene un numero finito de cifras. Estees el contenido del cuarto capıtulo cuyos resultados son fruto de la discusioncon los estudiantes, pero que se plasman, de nuevo con algunos ajustes deredaccion.
En la siguiente actividad, descrita en el capıtulo 5, se tratan las fraccionescomo resultantes de la division de numeros naturales, que se interpretancomo representaciones alternativas de las expresiones n-males; se proponenalgoritmos para sus operaciones procurando ofrecer interpretaciones graficasen los casos en que ello es posible.
Prologo 19
El capıtulo 6 presenta una construccion de los numeros racionales no ne-gativos como clases de equivalencia de pares de numeros naturales, y a partirde las propiedades de los numeros naturales, se demuestran las propiedadesde las operaciones basicas y del orden entre numeros racionales.
En el capıtulo 7 aplicamos la construccion anterior a los mismos numerosracionales positivos para obtener numeros racionales cuyo numerador y de-nominador son numeros racionales y elegimos entre ellos las fracciones con-tinuas simples como una representacion que permite ofrecer otra caracteri-zacion de los numeros racionales como fracciones continuas simples finitas,y de paso abren el camino hacia una presentacion de algunos numeros irra-cionales.
Los numeros irracionales son nuestro siguiente tema de discusion; comoellos son absolutamente desconocidos por casi todos los estudiantes de secun-daria y de primeros semestres de universidad, salvo algunas referencias entreπ y la expresion decimal 3, 1416, o entre el numero irracional
√2 y el racional
1, 4142, no se hace necesario trabajar en bases diferentes de 10, como en loscasos anteriores.
Iniciamos nuestra octava actividad, descrita en el capıtulo 8, retoman-do las fracciones continuas finitas como una manera de representar numerosracionales positivos y desde allı considerar la posibilidad de tratar con frac-ciones continuas infinitas que, como es natural, no representan numeros racio-nales. De esta consideracion surgen nuestros primeros ejemplos de numerosirracionales: los numeros irracionales cuadraticos ; procuramos operar conellos, y salvo algunos casos particulares, nos tropezamos con dificultades queno podemos superar; y sin embargo, estudiamos las extensiones cuadraticasde los numeros racionales positivos para construir conjuntos de numeros conraıces cuadradas de numeros que no fueran cuadrados perfectos y defini-mos las operaciones usuales entre ellos mostrando que cumplen las mismaspropiedades de las operaciones con numeros racionales positivos.
En el capıtulo 9 recurrimos de nuevo a la Geometrıa de Euclides y ala interpretacion de Descartes para ampliar nuestro conjunto de numeroshaciendo construcciones con regla y compas, con lo cual logramos construirnumeros naturales, racionales e irracionales cuadraticos; no negativos; pero,a manera de ganancia, aparecen nuevos numeros irracionales no considera-dos hasta el momento y, por anadidura, vienen con una manera natural deoperarlos; terminamos esta actividad haciendo extensiones cuadraticas de losnumeros construibles y de paso, encontrando que existen numeros no cons-truibles.
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Seguidamente nos dedicamos a presentar algunos numeros no construi-bles, iniciando con los cuatro problemas clasicos: la duplicacion del cubo, lacuadratura del cırculo, la triseccion de cualquier angulo y la construccion delheptagono regular con regla y compas euclidianos, por ser estas situacioneslas inspiradoras de la aparicion de numeros trascendentes; luego estudiamosel caracter de las soluciones de una ecuacion algebraica para llegar al con-cepto de numero algebraico y finalmente presentamos, solo de vista, algunosnumeros trascendentes; esto constituye el contenido del capıtulo 10.
En el capıtulo 11 se describe la actividad relacionada con la construccionde un conjunto de numeros que incluya a todos los numeros que conocemos:algebraicos y trascendentes, en el cual podamos definir operaciones entreellos y demostrar sus propiedades, partiendo de los numeros racionales nonegativos, ya construidos en el capıtulo 6. Para ello hacemos una adaptacionde la presentacion de Dedekind para los numeros reales no negativos. Noestudiamos las propiedades topologicas, ni de convergencia, de los numerosreales, sino que hacemos enfasis en sus propiedades algebraicas.
Hasta este punto nos comprometimos inicialmente en el proyecto de in-vestigacion, pero teniendo en cuenta que los numeros reales tienen una es-tructura algebraica muy rica, y que nuestra presentacion no da suficienteimportancia a ella, continuamos con el estudio de los numeros negativos apartir del proceso de invertir, usando un juego como recurso didactico (elcual, valga la pena indicarlo, ha sido inspirador de algunas unidades didacti-cas para la ensenanza y el aprendizaje de los numeros negativos): conjetu-ramos y proponemos algoritmos para operar con numeros negativos opuestosa los naturales y a los racionales positivos. Para evitar confusiones entre losnumeros negativos y el signo − que utilizamos para efectuar sustracciones,introducimos dos tipos de sımbolos, unos en negrilla y otros normales, paradenotar los dos tipos de numeros. Este es el tema del capıtulo 12.
Como, de nuevo, nos quedamos cortos para introducir de manera signi-ficativa a los numeros irracionales negativos, en nuestra siguiente actividad,descrita en el capıtulo 13, otra vez con ayuda de la Geometrıa, usando reglay compas, encontramos numeros construibles opuestos a los descritos en elcapıtulo 9.
Concluimos con una presentacion constructiva de los numeros reales dondese aplica el mismo procedimiento descrito en el capıtulo 6, definiendo unarelacion de equivalencia entre numeros reales no negativos y, a partir desus propiedades, demostramos las propiedades algebraicas y de orden de losnumeros reales. Esta actividad la presentamos en el capıtulo 14.
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El capıtulo 15 lo dedicamos a estudiar una presentacion alternativa de losnumeros reales, desde nuestro punto de vista, con menos recursos pedagogi-cos que la anterior donde los numeros reales son objetos abstractos, cuyanaturaleza y significado no es de interes, lo importante es que satisfacen unalista de propiedades que se toman como axiomas; esta presentacion es unavariacion de la propuesta por Hilbert (1953) a comienzos del siglo XX, y esuna de las formas mas usuales de estudiar los numeros reales en los primeroscursos universitarios2. A partir de una lista de axiomas demostramos laspropiedades algebraicas y de orden de los numeros reales.
El ultimo capıtulo describe varias formas de resolver ecuaciones, algunashistoricas, otras inventadas en clase, otras donde se aplican ideas simplesy geniales de algunos matematicos clasicos con procedimientos aritmeticos,algebraicos, sinteticos, analıticos y hasta de la geometrıa proyectiva. En to-dos los casos hacemos una presentacion donde se utilizan los axiomas delos numeros reales. Estudiamos las relaciones entre las soluciones de unaecuacion y sus coeficientes, y enunciamos el teorema fundamental del alge-bra, como abrebocas para iniciar el estudio del Algebra Abstracta, asuntoque, naturalmente, no abordamos en este libro.
Este, como otros libros, tiene varias maneras de estudiarse, puede hacerseuna lectura ligera para observar panoramas, profundizar en alguno de susejercicios o tomarse como motivo de re efl xion sobre los temas que aborda;aunque nuestro proposito fundamental es que sea usado con la perspectivadel famoso fısico danes Niels Bohr, quien decıa a sus estudiantes “todas misafirmaciones, no las tomen como tales, sino como preguntas”.
2Un ejemplo de esto es la presentacion que aparece en uno de los textos clasicos de lascarreras de Matematicas como (Apostol, 1998).
Actividades Matemáticaspara el desarrollo de procesos lógicos
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Este libro es la segunda edición de uno publicado en 2005, producto del proyecto de investigación “Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:El proceso de medir”, desarrollado entre 2002 y 2004, con el apoyo del Centro deInvestigaciones de la Universidad Pedagógica Nacional (CIUP). Esta segunda edición recoge las re�¬exiones del Grupo de Álgebra sobre la enseñanza de los números racionales y reales, que surgen del trabajo con los estudiantes del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional.
Las actividades didácticas propuestas van dirigidas especialmente a la formación inicial de profesores de matemáticas, en relación con tres procesos: clasi�car, medir e invertir; y con ellos, la formación de los conceptos de relación de equivalencia, números racionales no negativos, números irracionales positivos, números reales no negativos y números reales; también se tiene en cuenta el proceso histórico que generó la construcción de estas estructuras numéricas.
Desde un acercamiento intuitivo, fundamentado en preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulación de respuestas a problemas que surgen de manera natural en la discusión; los estudiantes cuestionan, argumentan, ejempli�can, proponen contraejemplos, establecen acuerdos y generalizan, simulando un ambiente cientí�co en el aula, donde prima la actividad matemática sobre la repetición y la memoria.
Cuando es necesario se recurre a la geometría euclidiana en busca de objetos y procedimientos que permitan realizar tareas en las que el álgebra tiene limitaciones, mostrando la permanente relación entre estas dos vertientes del conocimiento matemático. Se hace énfasis en las propiedades algebraicas de los números reales, primero en una construcción a partir de los números naturales y luego desde una perspectiva axiomática, sin profundizar en sus propiedades topológicas.
Como epílogo se presentan varias formas de resolver ecuaciones algebraicas, algunas históricas, otras inventadas en clase, otras donde se aplican ideas simples y geniales de algunos matemáticos clásicos; con procedimientos aritméticos, algebraicos, de la geometría euclidiana, de la geometría analítica y hasta de la geometría proyectiva.
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JOHANA ANDREA TORRES DÍAZ
Licenciada en Matemáticas y magíster en Docencia de las Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha trabajado como docente en la educación básica, media y superior en programas de formación de profesores de matemáticas. Ha publicado cinco libros sobre actividades matemáticas y artículos en memorias de eventos nacionales e internacionales en tópicos de álgebra, geometría, historia y didáctica de las matemáticas. Es integrante del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional, en el cual ha participado como coinvestigadora. Desde 2007 ha estado vinculada al Ministerio de Educación Nacional y, actualmente, desde el programa de Formación Profesional de Docentes y Directivos Docentes, ha acompañado el desarrollo de proyectos encaminados a cuali�car los programas de formación inicial de docentes.
CARLOS JULIO LUQUE ARIAS
Licenciado en Matemáticas y Física, magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional, Magister Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia, realizó estudios de promoción en Física de Altas Energías de la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado siete libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos.
LYDA CONSTANZA MORA MENDIETA
Normalista del Colegio Nuestra Señora de Nazareth, licenciada en Matemáticas, magíster en Docencia de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia) y experta en Diagnóstico y Educación de los Alumnos con Alta Capacidad de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (España). Desde el año 2001 labora en la Universidad Pedagógica Nacional. Ese mismo año trabajó también con la Asociación Nacional de Escuelas Normales Superiores y el Ministerio de Educación Nacional y en el año 2012, participó en el programa Todos a Aprender del MEN, en convenio con la UPN.Fue galardonada con el VII Premio Nacional de Educación Francisca Radke, versión 2004-2005, en la categoría Tesis de Maestría. Ha sido coautora de seis libros sobre actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos, como coinvestigadora del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional, y ha publicado escritos en memorias de eventos nacionales e internacionales sobre temas de didáctica de aritmética y álgebra. Desde 2011 inició trabajos de investigación alrededor de la educación del profesor de matemáticas, centrada en el componente Didáctico. Actualmente pertenece a dos grupos de investigación: Álgebra y Research on Mathematics Teacher Education (REMATE).
Mate 20150310 ActClasificar.pdf 1 10/03/15 3:18 p.m.