,I

CARGA ELÉCTRICAy CAMPOELÉCTRICO

Casi todas las fuerzas que actúan sobre es­te esquiador son eléctricas. Las interaccio­nes eh~ctricas enlre moléculas adyacentesdan origen a la fuerza del agua sobre el es­qui, a la tensión de la cuerda de remolqueya la resistencia del aire sobre el cucrpodel esquiador. ¡Las interaIXioDe5 eléctricastambién conservan la integridad del cuerpodel esquiador! Sólo una fuerza enteramen­te DO eléctrica actúa sobre el esquiador: lafuerza de gravedad.

? El agua hace posible la vida: las

células de nuestro cuerpo no podrían

funcionar sin las moléculas disueltas en

el agua del interior de las células. ¿Qué

propiedades eléctricas del agua hacen de

ella un disolvente tan bueno?

792

En el capítulo 5 del volumen 1 mencionamos brevemente los cuatro tipos defuerzas fundamentales. Hasta aquí la única de estas fuerzas que hemos exa·

minado con algún detenimiento es la fuerza de gravedad. Ahora que conocemosmejor los conceptos básicos de la fisica, enlTe ellos el comportamiento de las on­das y las reglas de transferencia de energia, estamos en condiciones de investigarlas propiedades de otras fuerzas. Con mucho, la más común de estas _fuerzas ennuestra vida diaria es el electromagnetismo que abarca tanto la fuerza eléctrica co­mo la fuerza magnética. Nuestra exploracion de los fenómenos electromagnéticosocupará nuestra atención durante la mayor parte de lo que resta de este libro.

En las interacciones electromagnéticas intervienen partículas que tienen unapropiedad conocida como carga eléctrica, un atributo tan fundamental como lamasa. Así como los objetos con masa son acelerados por las fuerzas gravitatorias,los objetos con carga eléctrica son acelerados por las fuerzas eléctricas. La moles­ta chispa eléctrica que semimos cuando frotamos los zapatos sobre una alfombray luego tomamos la perilla metálica de una puerta se debe a que saltan panículascon carga entre los dedos y la perilla de la puerta. (Un raYo-es un fenómeno simi­lar en una escala muchísimo mayor). Las corrientes eléctricas, como las que hayen una linterna de mano, un reproductor portátil de CO o un televisor, son simple­mente torrentes de partículas con carga que fluyen dentro de alambres en respues­ta a fuerzas eléctricas. Incluso las fuerzas que mantienen unidos los átomos paraformar materia sólida, y que impiden que los átomos de los objetos sólidos pasenunos a través de otros, se deben fundamentalmente a interacciones eléctricas entrelas partículas con carga del interior de los átomos.

-----

21.1 1 Carga eléctrica 793

Iniciaremos el estudio del electromagnetismo en este capitulo examinando lanaturaleza de la carga eléctrica. Descubriremos que la carga eléctrica está cuanti­zada y que obedece un principio de conservación. Despues analizaremos las inter­acciones de las cargas electricas que se hallan en reposo en nuestro marco de re­ferencia, conocidas como interacciones electrostáticas. Estas interacciones tienenuna importancia considerable en química y en biología, así como numerosas apli­caciones tecnológicas. Las inleracciones electrostáticas están gobernadas por unasencilla rel~ción que se conoce como la ley de Coulomb, y se describen del modomás conveniente mediante cl concepto de campo eléctrico. Exploraremos todosestos conceptos en este capitulo, y abundaremos en ellos en los tres capítulos si­guientes. En los capítulos subsiguientes ampliaremos nuestro estudio a fin de in­cluir las cargas eléctricas en movimiento. Con esto podremos comprender elmagnetismo y, sorprendentemente, la naturaleza de la luz.

Si bien las ideas fundamentales del electromagnetismo son conceptualmentesimples, su aplicación a problemas prácticos exige recurrir a muchas de nuestrasdestrezas matemáticas, en especial a nuestros conocimientos de geometría y decalculo íntegral. Por esta razón, es probable que este capítulo, así como los quc si­guen, resulten para usted más dif¡ciles en términos matemáticos que los anterio­res. La recompensa por el esfuerzo adicional será una comprensión más profundade los principios que yacen en el corazón de la fisica y la tecnologia modernas.

21.1 I Carga eléctricaLos antiguos griegos descubrieron, ya en 600 A.C., que cuando frotaban ámbarcon lana, el ámbar atmía otros objetos. Hoy en dia decimos que el ámbar ha adqui­rido una carga eléctrica neta, esto es, que se ha cargado. La palabra "eléctrica"se deriva de la palabra griega elelctron, que significa ambar. Cuando frotamos loszapatos sobre una alfombra de nylon, adquirimos una'carga electrica, y tambienpodemos "cargar" un peine haciendolo pasar a traves de cabello seco.

Las barras de plástico y la piel (real o sintética) resullan particularmente eficacespara demostrar algunos fenómenos relacionados con la electrostática, esto es, lasinteracciones entre cargas eléctricas que están en reposo (o casi). La figura 21.1a

21.1 Experimentos de electrostli.!ica. (a. b)Las barras de plástico frotadas con piel ad­quieren carga negativa y se repelen mutua­mente. (e, d) Las barras de vidrio frotadascon seda adquieren carga positiva y se re­pelen mutuamente. (e, f) Los objetos concarga positiva y los objetos con carga ne­gativa se atraen mutuamente.

ld)

lo'

dbInicialmente. lasbarras no se atraen

" ni se repelen

~~I'T'~

Seda Vidrio

\ \ :::::euae

c:±::::ill:::±n vidrio de (d)

----~++++~

La pIel alrae~"la barra depliislico de (b) (f) ....lo)

(b)

~1L

Dos barras de plásticofrotadas con piel serepelen mutuamenle

6Inicialmente. lasbarras no se atraenni se repelen

19Y~ptilsúco I'id

794 e APíT UL o 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

muestra dos barras de plástico y un trozo de piel. Después de cargar cada barra fro­tándola contra el trozo de piel, encontramos que las barras se repelen mutuamente(Fig. 21.1 b). Al frotar barras de vidrio (Fig. 21.1 e) con seda, las barras de vidriotambién adquieren carga eléctrica y se repelen mutuamente (Fig. 21.1d). Pero unabarra de plástico con carga atrae a una barra de vidrio con carga (Fig. 21.\ e). Másaún, la barra de plástico y la piel se atraen mutuamente, al igual que la barra de vi­drio y la seda (Fig. 21.1 f).

Estos experimentos, y muchos otros parecidos a éstos, han mostrado que hayexactamente dos tipos de carga eléctrica: la que tiene la barra dc plástico que se fro­tó contra la piel y la que hay en la barra de vidrio que se frotó contra la seda. Ben­jamín Franklin (1706-1790) sugirió llamar a estas dos clases de carga negativa ypositiva, respectivamente, y estos nombres se siguen empleando hoy en día. La ba­rra de plástico y la seda tienen carga negativa; la barra de vidrio y la piellienen car­ga positiva. Dos cargas positivas o dos cargas negativas se repelen muhtamente.Una carga positiva y una carga negativa se atraen una a la otra.

...... ...a arracrión y la repulsión de dos objetos con carga se resume enocasiones como -las cargas del mismo tipo se repelen, y las cargas opuestas seatraen". Pero no debemos olvidar que la frase "cargas del mismo tipo" no sig­nifica que las dos cargas son exactamente identicas, sino sólo que ambas tienenel mismo signo algebraico (ambas positivo o ambas negativo). "Cargas opues­tas" significa que los dos objetos tienen carga eléctrica, y que sus cargas tienensignos diferentes (uno Positiv~ro negativo).

~..-------Una aplicación tecnológica de las fuerzas entre cuerpos con carga eléctrica se

da en la impresora láser (Fig. 21.2). Inicialmente, se proporciona carga positiva altambor formador de imágenes y sensible a la luz de la impresora. Conforme girael tambor, un rayo láser ilumina ciertas áreas del tambor y las deja con carga ne-

2. El rayo láser "escribe" sobre el tambory deja áreas con carga negativa

~l. El alambre roda iones sobre el tambor

y asf le proporciona una carga positiva

~O

4. El tóner se adhiere sóloa las áreas con carganegativa del tambor"escritas" por el láser

S. Se alimema papel dederecha a izquierda

3. El rodillo aplica tóner concarga positiva al tambor

\0Tambor rotatorio

formador de imágene.

g~~O6. Los alambres rocían una carga

negativa más intensa sobre elpapel para que el tóner seadhiera a él

proceso

87. Lo, rodillos de fusión calientan

el papel para que el toner seadhiera pennanentememe

21.2 Diagrama esquemático delfuncionamiento de una impresoraláser,

21.1 I Carga eléctrica

gariva. Las partículas con carga positiva d.el tóner se adhieren sólo a las áreas deltambor "escritas" por el láser. Cuando se pone una hoja de papel en contacto conel tambor, las partículas de tóner se adhieren al papel y forman una imagen.

Ca~ga eléctrica y estructura de la materia -Cuando se carga una barra frotándola con piel o con seda, como en la figura 21.1, nohay cambio visible alguno en la apariencia de la barra. ¿En consecuencia, qué es loque en realidad le ocurre a la barra cuando se carga? Para responder a esta pregLUlta,antes es necesario examinar con detenimiento la estructura y las propiedades eléctri­cas de los átomos, los componentes básicos de la materia ordinaria de toda clase.

La estructura de los átomos se puede describir en términos de tres partículas: elelectrón, con carga negativa (Fig. 21.3), el protón, con carga positiva, y el neutrónque no tiene carga. El protón y el neutrón son combinaciones de otras entidades lla­madas quarks, que tienen cargas equivalentes a :!:~ y :!:i de la carga del electrón.No se han observado quarks aislados, y existen razones teóricas para pensar que,en principio, es imposible observar un quark solo.

Los protones y neutrones de un átomo constituyen un centro pequeño y muy den­so llamado núcleo, con dimensiones del orden de lO-IS m. Alrededor del núcleo es­tán los electrones, que se despliegan hasta distancias del orden de 10-10 m conrespecto al núcleo. Sí un átomo tuviera un diámetro de unos pocos kilómetros, su nú­cleo seria del tamaño de una pelara de tenis. Los electrones con carga negativa son re­tenidos dcntro del átomo por las fuerzas eléctricas de atracción que ejerce sobre ellosel núcleo con carga positiva. (Lo que mantiene a los protones y neutrones dentro delos núcleos atómicos estables es una interacción de atracción, denominadafuerza nu­clearfuerte, que vence la repulsión eléctrica de los protones. El alcance de la fuerzanuclear fuerte es corto y sus efectos no se extienden mucho más allá del núcleo).

Las masas respectivas de las partículas individuales, con la exactitud con la quese conocen hoy en día, son

Masa del electrón = me = 9.10938188(72) X 10-31 kg

Masa del protón = mp = 1.67262158(13) X 10-27 kg

Masa del neutrón = mn = 1.67492716(13) X 10-27 kg

Los números entre paréntesis son las incertidumbres de los últimos dos dígitos.Adviértase que las masas del protón y del neutrón son casi iguales y equivalentesa alrededor de 2000 veces la masa del electrón. Más del 99.9% de la masa de cual­quier átomo se concentra en su núcleo.

795

21.3 El elcelrón, el primer componentedel átomo que se aisló, fue descubierto en1897 por el físico inglés 1. 1. Thomson. Es­te descubrimiento revolucionó nuestracomprensión de la estructura de la materia,y dio origen a los descubrimientos ulterio­res del protón y del neutrón. Thomson sehizo acreedor al Premio Nobel de Física de1906 y fue nombrado caballero en 1908.

21.4 (a) Un átomo neutro tiene el mismonúmero de electrones que de protones. (b)Un ion positivo tiene un déficit de electro­nes. (e) Un ion negativo tiene un exceso deelectrones. (Las "órbitas" de los electronessOn una representación esquemática de ladistribución electrónica real, una nube di­fusa muchas veces más grande que elnúcleo).

(a) Átomo de litio neulro (Li): elnúcleo tiene lres prolones (rojos)y cuatro neUlrones (púrpura): lreseleelrones (azul) describen órbitasalrededor del núcleo

(h) Ion litio positivo (U'): seforma quitando un electrón aun átomo de lilio neutro

(e) Ion litio negati"o (U-): seforma agregando Un deetróna un átomo de lilio neutro

796 CAPfTULO 21 I Cargael~ctricaycampoeléclrico

La carga negativa del electrón tiene (dentro de los límites de error experimen­tal) exactamente la misma magnitud que la carga positiva del prOlón. En un átomoneutro el número de electrones es igual al nÍlmero de protones del núcleo, y la car­ga eléctrica neta (la suma algebraica de todas las cargas) es exactamente cero (Fig.21.4a). El número de prOlones o de electrones de un álomo neutro es el númeroatómico del elemento. Si se separa uno o más electrones, la estructura restantecon carga positiva es un ion positivo (Fig. 21.4b). Un ion negativo es un átomoque ha ganado uno o más electrones (Fig. 21.4c). Esta ganancia o pérdida de elec­trones se conoce como ionización.

Cuando el número lolal de protones de un cuerpo macroscópico es igual al ml­mero 100al de electrones, la carga total es cero y el cuel'JXl, en conjunto, es eléctri­camente neutro. Para proporcionar a un cuel'JXl una carga negativa en exceso, sepuede ya sea agregar cargas negarivas a un cuerpo neutro o quitar cargas positi­vas a ese cuerpo. De manera análoga, se obtiene una carga positiva en exceso yasea agregando carga positivo o quitando carga negariva. En la mayor parte de loscasos se agregan o se retiran electrones con carga negativa (y de gran movilidad),y un "cuerpo con carga positiva" es aquel que ha perdido parte de su complemen­to normal de electrones. Cuando se habla de la carga de un cuerpo, siempre se tra­ta de su carga nela. La carga neta es en todos los casos una fracción muy pequeña(típicamente no mayor que 10-12) de la carga positiva o negativa total del cuerpo.

En lo antes expuesto están implícÍlos dos principios muy importantes. El pri­mero es el principio de conservación de la carga: La suma algebraica de todaslas cargas eléctricas de cualquier sistema cerrado es constante. Si se frotanuna barra de pláslico y un pedazo de piel, ambos ínic-ialmente sin carga, la barraadquiere una carga negativa (puesto que toma electrones de la piel) y ésta adquie­re una carga positiva de la misma magnitud (puesto que ha perdido tanlos electro­nes como ha ganado la barra). Por consiguiente, no cambia la carga eléctrica totalde los dos cuerpos jumas. En todo proceso de carga. ésta no se crea ni se destru­ye; simplemente se rransfiere de un cuerpo a otro.

Se considera que la conservación de la carga es una ley de conservación uni­versal. Jamás se ha observado indicio experimental alguno de una violación a es­te principio.lncluso en las interacciones de alta energia en las que se producen yse destruyen paJ'ticulas, como la aparición de pares electrón-positrón, por ejem­plo, la carga total de cualquier sistema cerrado es exactamente constante.

El segundo principio importante es que la magnitud de la carga del electróno dei protón es una unidad natural de carga. Toda cantidad observable de car­ga eléctrica es siempre un múltiplo entero de esta unidad básica y se dice que lacarga está cuan/izada. Un ejemplo conocido de cuantización es el dinero. Cuandose paga en efectivo por un artículo en una tienda, es necesario hacerlo en incre­mentos de un cenlavo. El efectivo no se puede dividir en cantidades de menos deun centavo, y la carga eléctrica no es divisible en cantidades menores que la cargade un electrón o de un protón. (Las cargas de los quarks, :ti y ±~ de la carga delelectrón. probablemente no sean observables como cargas aisladas.) Por tanto, lacarga de cualquier cuerpo macroscópico es siempre cero o un múltiplo entero (po­siti\'o o negativo) de la carga del electrón.

La comprensión de la naturaleza eléctrica de la materia nos pennite discernir mu­chos aspectos del mundo fisico. Los enlaces químicos que mantienen unidos los áto­mos para fonnar moléculas se deben a interacciones eléctricas entre los átomos.Entre ellos se cuentan los fuertes enlaces iónicos que conservan unidos átomos de so­dio y de cloro para formar la sal de mesa, y los enlaces relativamente débiles entre lastrenzas de AD que contienen el código genérico de nuestro organismo. La fuerzanonnal que ejerce en nosotros la silla en la que nos sentamos tiene su origen en las

21.2 I Conductores, aisladores y cargas inducidas 797

fuerzas eléctricas entre las partículas con carga de los átomos de nuestras asentaderasy los átomos de la silla. La fuerza de tensión de UQhilo estirado y la fuerza adhesivadel pegamento se deben igualmente a las interacciones eléctricas de los átomos.

En términos estrictos, ¿pesa más, menos o lo mismo la barra de plástico de la fi­gura 21.1 después de frotarla con piel? ¿Y la barra de vidrio después de frotarlacon seda? ¿Y qué hay de la piel y la seda?

21.2 I Conductores, aisladores y cargas inducidas

Soponede vidrio

Barra deplástico concar a

(,'

Alamhrede cobre

(b)

«)

Esferametálica

Barra

~o¡¡::¡¡;¡¡¡¡¡

21.5 El cobre es buen conductor de laelectricidad; el vidrio y el nylon son bue­nos aisladores. (a) El alambre conduce car­ga entre la esfera metálica y la barra deplástico con carga para cargar negalh-a­mente la esfera. (b) Despues:. la es:fer.t Dr­

tálica es repelida por una barra de pLJmcocon carga negativa y (c) auaida iDriI._barra de vidrio con carga po:Wi1::I..

Ciertos materiales permiten que la carga eléctrica se desplace con facilidad de unaregión del material a otra, pero otros no. Por ejemplo, la figura 21.5a muestra unalambre de cobre sostenido por una barra de vidrio. Suponga que toca un extremodel alambre con una barra de plástico con carga eléctrica y sujeta el otro extremo auna esfera metálica inicialmente sin carga, y luego retira la barra con carga y elalambre. Al acercar otro cuerpo con carga a la esfera (Figs. 21.5b y 2l.5c), la esfe­ra es atraida o repelida, lo que indica que la esfera ha adquirido carga eléctrica. Lacarga eléctrica se ha transferido por medio del alambre de cobre entre la superficiede la barra de plástico y la esfera.

El alambre se describe como un conductor de electricidad. Si se repite el experi­mento con un elástico o un hilo de nylon en vez del alambre, se observa que 110 setransfiere carga eléctrica alguna a la esfera. Estos materiales se llaman aisladores.Los conductores permiten que la carga eléctrica se desplace fácilmente a través de.!ill9.s.~no así los aisladores. Como ejemplo, las fibras de una alfombra en un dia secoson buenos aislantes. Al caminar sobre una alfombra, el roce de los zapatos contra lasfibras produce una acumulación de carga ertiÍuestro cuerpo, y esta carga permaneceen él porque no puede fluir a través de las fibras aislantes. Si a continuación tocamosun objeto conductor, como la perilla de una puerta, ocurre una rápida transferencia decarga entre el dedo y la perilla, y sentimos una descarga. Una foona de evitar esto esenrollar algunas fibras de la alfombra en tomo a centros conductores para que cual­quier carga que se acumule en nuestro cuerpo se transfiera sin causar daño a la alfom­bra. Otra solución consiste en recubrir las fibras de la alfombra con una capaantieslática que no transfiere electrones hacia o desde los zapatos con facilidad; enprimer lugar, esto impide que se acumule carga en el cuerpo.

Casi todos los metales son buenos conductores; en cambio, la mayor partc dc losno metales son aisladores. Dentro de un metal sólido, como el cobre, por ejemplo,uno o más electrones externos de cada átomo se desprenden y pueden moverse li­bremente por todo el material, del mismo modo que las moléculas de un gas semueven a través de los espacios entre los granos de un cubo de arena. El movimien­to de estos electrones con carga negativa transporta carga a través del metal. Losdemás electrones permanecen ligados a los núcleos con carga positiva, los que, asu vez, están sujetos en posiciones prácticamente fijas dentro del material. En unaislador hay pocos electrones libres (o ninguno), y la carga eléctrica no se puededesplazar libremente por todo el material. Ciertos materiales llamados semicon­ductores tienen propiedades que son intermedias entre las de los buenos conducto­res y las de los buenos aisladores.

Se puede cargar una esfera metálica tocándola con una barra de plástico con car­ga eléctrica, como en la figura 21.5a. En este proceso, algunos de los electrones enexceso de la barra se transfieren de ésla a la esfera, lo que deja a la barra con unacarga negativa más pequeña. Existe aira técnica mediante la cual la barra de plásti­co puede orientar en otro cuerpo una carga de signo opuesto, sin perder algo de supropia carga. Este procedimiento se conoce como carga por inducción.

798

"""~aislante

{al Inicialmente, la esferamelálica no (jene carga

CAPíTULO 21 I Carga eléctrica y campoeléc!rico

Deficiencia de clcetI'ODeS aqu!

Barra con '"

'Y(b) Se llCemll unabam. con car¡a

Deficiencia de electrones aqui

/ltM=b~Tierra

(e) El alambre permite que loselectrones acumulados fluyan a tierra

21.6 CaJga de una esfera metálicapor inducción.

(d) Se desoooecta el alambrede lamen

Los electrones de la--- egen iie redimibuycn:

la esfera en conjuntotiene una defiCienciad<,,,",,,,,,,,

(e) Se retira la barn ton carga

La figura 21.6a muestra un ejemplo de carga por inducción. Se tiene una esfe­ra metálica apoyada en un soporte aislante. Cuando se le acerca una barra con car­ga negativa, sin llegar a tocarla (Fig. 21.6b). el exceso de electrones de la barrarepele los electrones libres de la esfera meuilica, los cuales se desplazan hacia laderecha, alejándose de la barra. Estos electrones no pueden escapar de la esferaporque el soporte y el aire que la rodea son aisladores. Por consiguiente, se tieneun exceso de carga negativa en la supeñicie derecha de la esfera y una deficien­cia de carga negativa (es decir, una carga positiva neta) en la superficie izquierda.Estas cargas en exceso se conocen como cargas inducidas.

No todos los electrones libres se desplazan ha~ia la superficie derecha de la es­fera. Tan pronto como se crea una carga inducida, ésta ejerce fuerzas hacia la iz­quierda sobre los demás electrones libres. Estos electrones son repelidos por lacarga negativa inducida de la derecha y atraídos hacia la carga positiva inducida dela izquierda. El sistema alcanza un estado de equilibrio en el que la fuerza hacia laderecha que se ejerce sobre un electrón, debida a la barra con carga, está b¡I1ancea­da exactamente por la fuerza hacia la izquierda debida a la carga inducida. Si se re­tira la barra con carga, los electrones libres se desplazan de nuevo a la izquierda, yse recupera la condición neutra original.

¿Qué ocurre si, mientras la barra de plástico está cerca, se pone en contacto unextremo de un alambre conductor con la superficie derecha de la esfera, y el otro ex­tremo en contacto con la tierra (Fig. 21.6c)? La tierra es conductora, y es tan gran­de que actúa como una fuente prácticamente infinita de electrones adicionales o unsumidero de electrones no deseados. Parte de la carga negativa fluye por el alambrea la tierra. Supóngase ahora que se desconecta el alambre (Fig. 21.6d) Yluego se re­tira la barra (Fig. 21.6e); queda entonces una carga negativa neta en la esfera. La car­ga de la barra con carga negativa no ha cambiado durante este proceso. La tierraadquiere una carga negativa de igual magnirud que la carga positiva inducida quepermanece en la esfera.

La carga por inducción funcionaria de igual manera si las cargas móviles de lasesferas fueran cargas positivas en vez de electrones con carga negativa., o inclusosi esruviesen presentes cargas móviles tanto positivas como negativas. En un con­ductor metálico las cargas móviles son siempre electrones negativos, pero sueleser conveniente describir UD proceso como si las cargas en movimiento fuesen po­sitivas. En las soluciones iónicas y en los gases ionizados, tanto las cargas positi­vas como las negativas son móviles.

l'

21.2 I Conductores, aisladores y cargas inducidas 799

(b) Las cargas negativas de las moléculasestán más cerca del peinc positivo qne tascargas positivas: la fuer.la neta es de atracción

(a) Las cargas positivas de tas mol~culas

están más cerca del peine negativo que lascargas negativas: ta fuerza neta es de atracción

Aistador neutro: loselectrones del inleriOrde las molécutas sedesplazan alejándosedel peine

Aistador neutro: loselectrones del interiorde las moléculas sedesplazan hacia elpeine

'''''positiva

Peine con

'''''negativa

21.7 Las cargas que están dentro de lasmoléculas de un material aislante se pue­den desplazar un poco. En consecuencia,un peine con carga de cualquier signo atraea un aislador neutro. Por la tercera ley deNewtoll, el aislador neutro ejerce una fuer­za de atracción de igual magnitud sobre elpeine.

A partir de la situación que se muestra en la figura 21.6a, describa cómo utiliza­ría una barra con carga para dar una carga positiva a la esfera metálica.

Por ultimo, advertimos que un cuerpo con carga eléctrica ejerce fuerzas inclusosobre objetos que no tienen carga en sí. Si se frota un globo sobre el tapete y luegose sostiene el globo contra el techo de la habitación, permanece adherido, pese a queeltccho no tiene una carga eléctrica neta. Después de electrificar un peine pasándo­lo por el cabello, podemos recoger con él pedacitos de papel sin carga. ¿Cómo es po­sible que esto ocurra?

Esta interacción es un efecto de carga inducida. En la figura 21.6b la barra deplástico ~jerce una fuerza neta de atracción sobre la esfera conductora no obstanteque la carga IOta1 de la esfera es cero, porque las cargas positivas están más próxi­mas a la barra que las cargas negativas. Incluso en un aislador, las cargas eléctricaspueden desplazarse un poco en un sentido u otro cuando hay una carga cerca. Estose muestra en la figura 21.7a; el peine de plástico con carga negativa provoca un pe­queño desplazamiento de carga dentro de las moléculas del aislador neutro, efectoque se conoce como polarización. Las cargas positivas y negativas del material es­tán presentes en cantidades equivalentes, pero las cargas positivas están más próxi­mas al peine de plástico y, por tanto, experimentan una atracción más intensa que larepulsión experimentada por las cargas negativas, lo que da por resultado una fuer­za de atracción neta. (En la sección 21.3 estudiaremos cómo dependen las fuerzaseléctricas de la distancia.) Observe que un aislador ncutro también es atraído haciaun peine con carga positiva (Fig. 2] .7b). En este caso las cargas del aislador se des­plazan en sentido opuesto; las cargas negativas del aislador están más próximas alpeine y experimentan una fuerza de atracción más intensa que la repulsión que secjerce sobre las cargas positivas del aislador. Así pues, un objeto con carga de U/lO U

otro signo ejerce una fuerza de atracción sobre un aislador sin carga.La atracción entre un objeto con carga y uno sin carga tiene numerosas aplíca­

ciones prácticas importantes, entre ellas el proceso electrostático de pintado que seutiliza en la industria automovilistica (Fig. 21.8). El objeto metálico por pintarse conecta a la tierra, y se proporciona una carga eléctrica a las gotitas de pintura amedida que éstas salen de la boquilla de la pistola rociadora. Cuando las gotitas seaproximan, en el objeto a~ecen cargas inducidas del signo opuesto, comose muestra en la figura 21.6b, las cuales atraen las gotitas hacia la superficie. Esteprocedimiento reduce al máximo el rociado en exceso debido a nubes de partículasdispersas de pintura, proporcionando un acabado particularmente liso.

Objeto metálico

!--+ {_)----'po~rpintarRocío de gotitas +de pintura con ~ +carga negativa \:::::7.y=:.-'\:+ \

----'j ++ Se induce cargapositiva en la superficie

+ del metal-~--'+

-= TierraPulverizador de pimura

21.8 Proceso electrosuitico de pintado (compare las figuras 21.6b y 21.6c)

(21.1)

800

Fibra de --+1torsión

Esfen\s ~~i~E:~r'" m",'.con carga

-" -(.)

F~~

ql ""~~+q,

(b)

q,

(o,

21.9 B¡¡lanza de torsión del tipo que em­pleó Coulomb para medir la fuerza eléctri­ca. (h) Las cargas c1&:tricas del mismosigno se ~kn unas a otraS. (e) Las carogas eléctricas de signos opuestos se atraenmutuamente. En ambos casos las fuerzasobedecen la tercera ley de NcWlon:F1JAbo2 = -F2 1<>1Ju1'

CAPrTULO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

21.3 I Ley de Coulomb

Charles Auguslin de Coulomb (1736-1806) estudió en detalle, en 1784, las fuer­zas de interacción de las partículas con carga eléctrica. Utilizó una balanza de lor­sión (Fig. 21.9a) similar a la que utilizara Cavendish 13 años después paraestudiar la ¡ntemeción gravitatoria, mucho más débil, como se explicó en la sec·ción 12.1. En el caso de las cargas puntuales, esto es, de cuerpos con carga queson muy pequeños en comparación con la distancia r que los separa, Coulomb en­contró que la fuerza eléctrica es proporcional a 1/,J. Es decir, cuando se duplica ladistancia r, la fuerza disminuye a f de su valor inicial; cuando la distancia se redu­ce a la mitad, la fuerza aumenta a cuatro veces su valor inicial.

La fuerza eléctrica sobre una carga, debida a la interacción entre dos cargas pun­tuales también depende de la cantidad de carga de cada cuerpo, la cual denotaremoscomo q o Q. Para estudiar esta dependencia, Coulomb dividió una carga en dos par­tes iguales poniendo un conductor esférico pequeño con carga en contacto con unaesfera idéntica, perosin~: por simctria, la carga se distribuye equitativamente en·tre las dos esferas. (Dése cuenta del papel fundamental del principio de conservaciónde la carga en este procedimiento.) De este modo. Coulomb podía obtener un medio,un cuarto, y asi sucesivamente, de cualquier carga inicial. Descubrió que las fuerzasque dos cargas puntuales q\ y q2 ejercen una sobre la otra son proporcionales a cadacarga y, en consecuencia, proporcionales al producto qjql de las dos cargas.

Fue así que Coulomb estableció lo que ahora conocemos como la ley de Coulomb:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan doscargas puntuales es directamente proporeional al producto de las cargas c

. il1\'c.-samente proporeíonaJ al cuadrado de la distancia que las separa.

En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargaspuntuales ql y ql ejerce sobre la otra separadas por una distancia,. se expresa como

F = k 1q,q,1"

donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende delsistema de unidades que se utilice. Se usan barras de valor absoluto en la ecuaci6n(21.1) porque las cargas ql y q2 pueden ser positivas o negativas, en tanto que lamagnitud de la fuerza F siempre es positiva.

La dirección de las fuerzas que las dos cargas ejercen una sobre la otra siguensiempre la línea que las une. Cuando las cargas ql y qz tienen ambas el mismo sig­no, ya sea positivo o negativo, las fuerzas son de repulsión (Fig. 21.9 b) cuando lascargas poseen signos opueslos las fuerzas son de atracción (Fig.21.9c). Las dosfuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre son de igual magnitud y condirecciones opuestas, incluso cuando las cargas no son del mismo tipo.

La proporcionalidad de la fuerza eléctrica con respecto a 1/,J se ha comprobadocon gmn precisión. No hay razón alguna para sospecharque el exponente no sea exac­Ial1let1te 2. Por tanto, la ecuación (21.1) es de la misma forma que la de la ley de gra­vitación. Pero las imeracciones eléctricas y las gravilatorias son fenómenos de dosclases distintas. Las interacciones eléctricas dependen de las cargas eléctricas, y pue­den ser ya sea de atracción o de repulsión, en tanto que las interacciones gravitatoriasdependen de la masa y son siempre de atracción (porque no existe la masa negativa).

El valor de la constante de proporcionalidad k de la ley de Coulomb depende delsistema de unidades que se utilice. En nuestro estudio de la electricidad y el magne­tismo usaremos exclusivamente unidades SI. Las unidades eléctricas SI incluyen ensu mayor parte las unidades que conocemos, como el volt, el ampere, el ohm y el

21.3 I Ley de Coulomb

\Vatt. (No hay un sistema británico de unidades eléctricas.) La unidad SI de cargaeléctrica es un coulomb (1 C). En unidades SI, la constantc kde la ecuación (21.1) es

k = 8.987551787 X 109 N· m2/C23: 8.988 X 109 N· mllC2

El valor de k se conoce con un numero tan grande de dígitos significativos porqueeste ''alor está estrechamente relacionado con la rapidez de la luz en el vacio. (De­mostraremos esto en el capítulo 32, cuando estudiemos la radiación electromag­netica.) Como se explicó en la sección 1.3, esta rapidez ha sido definida comoexactamente e = 2.99792458 x 108 mis. El valor numerico de k se define pre­cisamente en terminas de e

k =- (10-1 N' s2/C 1)C

2

Le recomendamos revisar esta expresión para confinnar que k tiene las unidadescorrectas.

En principio, se puede medir la fuerza eléctrica F entre dos cargas iguales q a unadistancia medida r y aplicar la ley de Coulomb para calcular la carga. Por tanto, sepodría considerar el valor de k como una definición práctica del coulomb. En cam­bio, por razones de precisión experimental, es mejor definir el coulomb desde elpunto de vista de una unidad de cOI·rienre eléctrica (carga en cada unidad de tiem­po), el ompere, que es igual a un coulomb en cada segundo. Retomaremos a estadefinición en el capítulo 28.

En unidades SI, la constante k de la ecuación (21.1) se escribe por lo general co­mo 1/4"iT~ donde Eo ("'épsilon cero") es otra constante. Esto parece complicar lascosas, pero en realidad simplifica muchas fórmulas que enoonlrnremos en capitulasposteriores. De aquí en adelante, usualmente escribiremos la ley de Coulomb como

>

801

AdO¡VPhyscs

11.1 Fuerza eléctrica: ley de Coulomb

11.2 Fuerza eléctrica: principio desuperposición

11.3 Fuerza eléctrica: superposición(cuantitativa)

F ~ _'_lq,q,141JlOo ,.2

(Ley de Coulomb: fuerza entre dos cargas puntuales)

(21.2)

Las constantes de la ecuación (21.2) son a~ximadame~e,lOO = 8.854 x 1O- 11 C2/N·m2 y f::::::.......- = k = 8.988 x 109 N·m 2/C2

47n<ü

En los ejemplos y problemas usaremos con frecuencia el valor aproximado

I 9 ~,-- = 9.0 x 10 N' m·lc-'41Ffo

que difiere en no más de 0.1 % aproximadamente del valor correcto.Como mencionamos en la sección 21.1, la unidad de carga más fundamental es

la magnitud de la carga de un electrón o de un protón, que se denota como e. Elvalor más exacto disponible al momento de redactar este libro es

e = 1.602176462(63) X 10- 19 C

Lo coulomb representa el negativo de la carga total de aproximadamente 6 X 1013

elecuones. En comparación, un cubo de cobre de 1 cm por lado contiene de ma­nera apm'<imada 2.4 X 1(Yt electrones. Por el filamento incandescente de una Iin­tema de mano pasan aproximadamente 1019 electrones cada segundo.

En los problemas de electrostática, esto es, aquellos en los que intervienen cargasen rqJOSO, es muy poco frecuente encontrar cargas tan grandes como de un coulomb.~cugas de 1 C separadas por 1 m ejercerían una sobre otra fuerzas con una mag­

de9 x 109N (icerca de I millón de toneladas!). La carga total de todos los elec-

-"

802

'Ejemplo211

CAPíTULO 21 1 Carga el&uica y campo d6:uico

trones de una moneda pequeña de cobre es aún mayor, de aproximadameme 1.4 XlOS C, lo cual demuestra que 00 podemos aherar mucho la neutralidad eléctrica sinutilizar fuerzas enormes. Los valores más representativos de carga fluctúan desdeaproximadamente ¡(y"9 hasta 1()"'6 C. Con frecuencia se utiliza el microcoulomb (1¡.tC = 1~ C) y el nanocoulomb (1 nC = lo-' C) como unidades prácticas de carga.

Fuerza eléctrica contra fuerza gravitatoria

Una partícula a ("alfa") es el núcleo de un átomo de helio. Tielleuna masa m = 6.64 X 10-27 kg Yuna carga q = +le = 3.2 X 10-"C. Compare la fuena de repulsión elécuica entre dos paniculas acon la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas.

lE:!!rmllIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La magnitud Fe de la fuerza eléctricaestá dada por la ecuación (21.2),

1 q'F ~--­

• 411"l!"o r 2

La magnitud F1

de la fuerza gravitatoria está dada por la ecua-ción (12.1), m:

F =G-. "Se comparan estas dos magnitudes calculando su proporción.

EJECUTAR: La proporción de la fuerza elécuica con respecto a [afuerza gravitatoria es

Fe q2 9.0 X uf N' m2/e! (3.2 X 10-19 CpF1 "" 47i"t"oG m2 = 6.67 X 10- 11 N 'm21l::g2 (6.64 X 10-2'1 kg)2

= 3.1 X ¡(ji

EVALUAR: Este número sorprendenlemcnte grande muestra que,en esta situación, la fuerza gravitaloria es por completo insignifi­cante en comparación con la fuerza eléctrica. Esto siempre se cum­ple en las interacciones de partículas alómicas y subatómicas. (Désecuenta que este resultado no depende de la distancia r que separalas das particulas a). En cambio, dentro de objetos del tamaño deuna persona o un planeta, las cargas positivas y negativas tienen ca­si la misma magnitud y la fuerza eléctrica neta es por lo regular mu­cho menor que la fuerza gravitatoria.

Superposición de fuerzas

La ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe sólo la interacción dedos cargas puntuales. Los experimentos muestran que, cuando dos cargas ejercenfuerzas sUnuhaneamente sobre una tercera carga, la fuerza tOlal que aetüa sobre esacarga es la suma veclon'al de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individual­mente. Esta imponante propiedad, llamada principio de superposición de fuerzas,es válida para cualquier número de cargas. Con base en este principio, podemosaplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas. Varios de los ejemplos alfinal de esta sección muestran aplicaciones del principio de superposición.

En términos estrictos, la ley de Coulomb como la hemos expresado sólo debeaplicarse a cargas puntuales en un vacío. Si hay materia en el espacio que separalas 6rgas, la fuerza neta que actúa sobre cada carga se altera porque se inducencargas en las moléculas del material interpuesto. Más adelante describiremos esteefecto. Desde un punto de vista práctico, no obstante, podemos utilizar la ley deCoulomb sin cambios en el caso de cargas puntuales en el aire. A la presión at­mosférica normal, la presencia de aire altera la fuerza eléclrica con respecto a suvalor en el vacío en sólo aproximadamente una parte en 2000.

Estrategta pararesolver problemas Ley de Coulomb

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: La ley de Coulombentra en juego siempre que se necesita conoter la fuena elec-bi­ca que actúa entre partículas con carga.

PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes:

l. Haga un dibujo que muestre la ubicación de las partículascon carga y rotule cada partícula con su carga. Esta etapaes especialmente importanle si están presentes más de dospanículas con carga.

2 L3 I Ley de Coulomb S03

!.. SI están presentes rres o más cargas y no todas se encuen­ttan sobre la misma recta, construya un sistema de coor­denadas .Q'.

3. Con frecuencia será necesario hallar la fuerza eléctricaque se ejerce sobre una sola partícula. En tal caso, identi­fique esa partícula.

EJECUTAR la solución como sigile:l. Con respecto a cada partícula que ejerza una fuerza sobre

la panícula de imerés, calcule la magnitud de esa fuerzamediante la ecuación (21.2).

2. Trace los vectores de fuerza eléctrica que actúan sobreIa(s) panicula(s) de interés debidos a cada una de las Otraspanículas: (es decir, haga una diagrama de cuerpo libre).Recuerde que la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre lapanícula 2 apunta de la partícula 2 hacia la partícula I silas dos cargas tienen signos opuestos, pero apunta desdela panícula 2 directamente alejándose de la partícula I silas cargas tienen el mismo signo.

3. Calcule la fucrza eléctrica tOlal sobre la(s) partícula(s) deintereso Recuerde que la fuerza eléctrica, como todas lasfuerzas, se representa por un vector. Cuando las fuerzas queactúan sobre una carga se deben a otras dos cargas o más, lafuerza total sobre la carga es la suma I'ectorial de [as fuer­zas índividuales. Puede ser conveníente repasar el álgebravectorial en las secciones de la 1.7 a la 1.9 del vol. 1. Sueleser útil emplear componentes en un sistema de coordenadasx)'. Asegürese de utilizar la notaci6p vectorial correcta; siun símbolo representa llDa cantidad vectorial, ponga unaflecha encima de él. S1.no es cujdadoso con su nOlación,tambi61 será descuidado en sus razonamientos.

4. Como siempre, es indispensable usar unidades congruen­tes. Con el valor de k = 1I41TEo ya citado, las distanciasdeben estar en metros, la carga en coulomb y la fuerza enneWlons. Si se le dan distancias en centímetros, pulgadaso estadios, ¡no olvide hacer conversiones! Cuando unacarga eslé dada en microcoulomb (~C) o nanocoulomb(nC), recuerde quc I ~C = J0-6 e y I nC = 10-9 C.

5. Algunos ejemplos de éste y de capítulos posteriores tienenque ver con una distribución continua de carga a lo largode una línea recta o sobre una superficie. En estos casos lasuma ~'CCtorial descrita en el paso 3 se convierte en una in­tegral vectorial, que por 10 regular se efectúa utilizandocomponentes. Se divide la distribución de carga total enfragmentos infinitesimales, se aplica la ley de Coulomb acada fragmento y luego se integra para hallar la suma \'ec­torial. A veces se puede llevar a cabo este proceso sin eluso explícito de la Integración.

6. En muchas situaciones la distribución de carga es simetri·ca. Por ejemplo, se le podria pedir que encuentre la fuerzasobre una carga Q en presencia de otras dos cargas idénti·cas q, una arriba y a la izquierda de Q y la otra abajo y a laizquierda de Q. Si las distancias de Qa cada una de lasotras cargas son iguales, la fuerza que cada carga ejercesobre Q liene la misma magnitud; si cada vector de fuerzaforma el mismo ángulo con el eje horizontal, sumar estosvectores para hallar la fuerza neta resulta panicularmentefaci!. Siempre que sea posible, aproveche las simetrias pa­ra simplificar el proceso de resolución del problema.

EVALUAR la respuesta: Compruebe que StlS resultados numéri­cos sean razonables, y confirme que la dirección de la fuerzaeléctrica neta concuerda con el principio de que las cargas delmismo tipo se repelen y las cargas opuestas se atraen.

Ejemplo21.2 Fuerza entre dos cargas puntuales

Dos cargas puntuales, ql = +25 nC y q2 = -75 nC, están separadaspor una distancia de 3.0 cm (Fig. 21.1 Oa). Encuentrc la magnitud y

la dirección de a) la fuerza eléctrica que q¡ ejerce sobre q2; b) lafuerza eléctrica que ql ejerce sobre qJ.

/l'1lIl!m'illIIDENTifICAR Y PLANTEAR: Se aplica la ley de Coulomb, ecuación(21.1), para calcular la magnitud de la fuerza que cada partí<:ula ejer­ce SIXtt la otra. El problema nos pide la fuerza sobre cada paniculadebida a la otra partícula; por tanto, se aplica la tercera ley de Newton.

EJECUTAR: a) Conviniendo la carga a coulomb y la distancia a me·IrOS, la magnitud de la fuerza que q¡ ejerce sobre qz es

F1

_2

= _1_ Iq¡qll

4r.~o ?_ ( 9 2 2 1(+25 X 1O-9 C)(-75 X 1O-9 C)1- 9.0XION·m/C) ( )'

O.OJOm -

= 0.019 N

Puesto que las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es deatracción; es decir, la fuerza que aclúa sobre q2 está dirigida haciaql a lo largo de la recta que une las dos cargas, co'mo se muestra enla figura 21.1 Ob.

(.,

ql ¡1~1--lo'

21.10 ¿Qué fuerza ejerce ql sobre ql' y qué fuerza ejerce q2 sobreql? las fuerzas gravitatorias son insignificantes. (a) Las dos car­gas. (b) Diagrama de cuerpo libre de la carga qz.

804 CA'píTULO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

11, ,

i,

b) Recuerde que la tercera 1c:y de Ncwton es aplicable a la fuerzaeléctrica. No obstante que las cargas tienen magnitudes diferentes,la ma¡"'Tlitud de la fuerza que q2 ejerce sobre ql es igual a la magni.tud de la fuerza que ql ejerce sobre q2:

F2wbr<1 = O.019N

La tercera ley de Newton también establece que el sentido de lafuerza que ql ejerce sobre q¡ es exactamente opuesto al sentido dela fuerza que ql ejerce sobre q,; esto se muestra en la figura 21.1 Oc.

/'EVALUAR: Dése cuenta que la fuerza sobre q¡ está dirigida haciaql' como debe ser, puesto que las cargas de signo opuesto se atraenmutuamente.

Ejemplo "21.3 Suma vectorial de fuerzas eléctricas sobre una línea

Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje positivo de lasx de unsistema de coordenadas (Fig. 21.11 a). La carga 1/1 = 1.0 nC está a 2.0cm del origen, y la carga q2 = -3.0 nC está a 4.0 cm del origen.¿Cuál es la fuerza total que ejercen estas dos cargas sobre una car­ga qJ = 5.0 nC situada en el origen? Las fueras gravitatorias soninsignificantes.

ll!l!!m:DIDENTIFICAR: En este caso se tienen dos fuerzas eléctricas que ac­túan sobre la carga q], y es necesario sumar estas fuerzas para ha­llar la fuerta total.

PLANTEAR: La figura 21.11a muestra el sistema de coordenadas.La variable que se busca es la fuerza ;Iéctrica neta qu~ ejercen lasotras dos cargas sobre la carga ql' y es la suma vectorial de las fuer­zas debidas a ql y q, individualmente.

F __1_ll/lq]11""".3 - 47Tto r2

(" ,)(1.0 x 1O-9 C)(5.0 X lO-

qC)

9.0 X 10 N-m IC· ( )'0.020 m

1.12 X 10-4 N = I 12/--1--N

Esta fuerza tiene una componente x negativa porque qJ es repelida(esto es, empujada en la dirección x negativa) por Ql'

La magnitud F2 -IOb<"< J de la fuerza de q2 sobre 1/] es

F __I_lq2qJI¡ wbf<] - 47TEO ?

(" ') (3.0 X 10-

9 C)(5.0 X 10-9 C)

9.0 X 10 N'm-IC ( )'0.040 m -

= 8.4 X IO-~N = 84¡.lN

21.11 ¿Cuál es la fuerza total que ejercen sobre la carga puntualq3 las otras dos cargas? a) Las treS cargas. b) Diagrama de cuerpolibre para la carga q,_

EJECUTAR: La figura 21.11b es un diagrama de cuerpo libre de lacarga ql' D,é~!tl.;.~tr,_q,es repelida por I/¡ (que tiene el mismosigno) ::t_~~\h~d~~-oc~neel signo opuesto). Convirtiendola ?/_~li'toulomby la'~~~ a metros, se aplica la ecuación(2.1 :2fpara hallar 11'1 magnitud F 1 ,5"..< J de la fuerza de ql sobre qJ:

~- < '-"), ..;.. '*q¡ q2

i'--.j~'~~~' i.;ll--x (cm)

(.)

F1wbrd F 2 so1m:J• • ••q,

(b)

Esta fuerza tiene una componente x positiva porque q2 atrde a q3(esto es, jala de ella en la direcciónx positiva). La suma de las com­ponentes x es

Fx = -112p.N + 84p.N = -28p.N

No hay componentes y ni z. Por tanto, la fuerza lotal sobre q¡ cstá diri­gida hacia la izquierda y tiene una magnitud de 28 ¡.;N = 2.8 X 10-1 N.

EVALUAR': Para comprobar la magnitud de las fuerzas individuales,

adviértase que q2 tiene tres veces más carga (en términos de magni­

tud) que ql, pero está dos veces mas lejos de 1/3' Con base en laecuación (21.2), esto significa que F1""""J debe ser 3122

= ¡ veces

F¡ ><>b<,]' En efecto, nuestros resultados ~ueslran que esta propor­ción es (84 p.N)/( 112 ¡.tN) = 0.75. El sentido de la fuerza neta tam­

bién es razonable: F¡ ><>b<d es opuesta a F1<.otJ"'¡, y tiene unamagnitud mayor, por lo que la fuerza neta tiene el sentido de

F1wbreJ.

Ejemplo21 4 Suma vectorial de fuerzas eléctricas en un plano

En la figura 21.12, dos cargas puntuales posilivas iguales, ql = q2 =

2.0 ¡.lC interactúan con una tercera carga puntual Q = 4.0 p.C. En­

cuentre la magnitud y la dirección de la fuerza total (neta) sobre Q.IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Como en el ejemplo 21.3, debemoscalcular la fuerza que cada carga ejerce sobre Qy enseguida hallar

21.4 I Campo eléctrico 'J fuenas eléctricas 805

21.12 F] oobt&(l es la fuerza sobre Qdebida a la carga superior q•.

EVALUAR: La fuerza total sobre Q está en una dirección quc DO

apunta ni directamente alejándose de ql ni directamente alejándosede ql, sino que esta dirección es UD témino medio que apunta ale·jándose del sistema de cargas ql y Ql' ¿Ve usted que la fuerza totalno cstaria en la dirección +x si q¡ y Q2 no fuesen iguales o si la dis­posición geométrica de las cargas no fuera tan simétrica?

a

"O.SOm

""

0.40 m ./

-'.­0.50 m,,,,

)'

ql - 2.0 #oiC

o

T0.30 m

0.30 m

1== 0.29 N

la suma veclorial de las fuerzas. La manera más fácil de hacerlo esusar componentes.

,( ':::.0:.::'-.:1:.0-.,-·.::C,-)("',,.O,,'.:...::IO:.-_·C::.-)F1t<XnQ"" (9.0 x 109N'm2/C1)-

(0.50 m)l

EJECUTAR: La figura 21.12 muestra la fuerza sobre Qdebida a la--..-.carga superior ql' Por la ley de Coulomb, la magnitud F de estafuerza es

El ángulo a está abajo del eje de las x; por tanto, las componentesde esta fuerza están dadas por

0.40 m(FI_Q)~ "" (F1-.Q ) cosa = (0.29 N)-- = 0.23 N

O.sOm

0..30 m(FI _ Q).. - -(F'-'Q) sen a - -(0.29 N)-- - -0.17 N

0.50 m

La carga inferior q2 ejerce una fuerza de la misma magnitud peroa un ángulo a arriba del eje de las x. Por simetría, vemos que sucomponente.f es equivalente a la debida a la carga superior, perosu componente y tiene signo opuesto. Por tanto, las componentes dela fuerza total ¡ sobre Qson

F~ "" 0.23 N + 0.23 N = 0.46 N

F, == -0.17 N + 0.17 N"" O

La fuerza lotal sobre Qestá en la d~cción +x y su magnitud es de0.46 N.

,

Suponga que la carga ql del ejemplo 21.4 es igual a -2.0 p.C. Demuestre que en este casola fuerza electrica total sobre Q lendria la dirección y negativa y una magnitud de 0.34 N.

21.4 I Campo eléctrico y fuerzas eléctricas

A

- PoE== -

'"­Cargade prueba

'"(e) El cuerpo A crea un campoeléctrico Een el plinto P:i e5 la fuerza en cada unidad de carga que Aejerce sobre una carga de prueba siluada en P

21.13 Un cuerpo COD carga produce uncampo el6ctrico en el espacio que lo rodea.

•pA

(b) Se rc:tira el cuerpo B '1 se marcala posición que ocupaba como P

A

a ..Cómoqc:l'OCeI~rpoconcar¡aA_ t-::z:a sobre el cuerpo con car¡a B'!

Cuando dos partículas con carga eléctrica en el espacio vacio interactúan, ¿cómosabe cada una que la otra está ahí? ¿Qué QCurre en el espacio entre ellas que co­munica el efecto de cada una a la oua? Podemos comenzar a responder estas pre­guntas, y al mismo tiempo formular de nuevo la ley de Coulomb de un modo muyútil, empleando el concepto de campo eJectrico.

A fin de presentar este concepto, examinemos la repulsión mutua de dos cuerpgscon carga positiva A y B (Fig. 21.13a). Supóngase que B tiene una carga qr" y sea Pola fuerza eléctrica que A ejerce sobre B. Una manera de concebir esta fuerza es CQ-

806

,•

•

e A P f T t: LO 21 I Carga eléctrica )" campo déctrico

IDO una fuerza de "acción a distaneia-: esdecir. como una fuerza que aenia a travésdel espacio vacío sin necesiw materia alguna (como una varilla que la empuje o deuna cuerda) que la transmita a través de él. (Tambien se puede pensar en la fuerzade gravedad como en una fuerza de "acción a distancia",) Pero una manera másfructífera de visualizar la repulsión entre A y B es como un proceso de dos etapas.Primero imaginamos que el cuerpo A, como resultado de la carga que tiene, de al·gún modo modifica las propiedades del espacio que lo rodea. Por tanto, el cuerpoE, en virtud de su propia carga, percibe cómo se ha modificado el espacio d_onde élse encuentra. La respuesta del cuerpo 8 consiste en experimentar la fuerza Fo.

Para explicar con más detalle cómo se lleva a cabo este proceso, consideremosprimero el cuerpo A solo: quitamos el cuerpo B y marcamos la posición que ocu­paba como el punto P (Fig. 21.13b). Decimos que-el cuerpo con carga A produceo causa un campo eléctrico en el punto P (yen todos los demás puntos de las cer­canías). Este campo eléctrico está presente en P incluso cuando no hay otra cargaen P: es una consecuencia de la carga del cuerpo A, exclusivamente. Si a continua­ción se coloca una carga punmal qo en el punto P. la carga experimenta la fuerzaF(}- Adoptamos el punto de vista de que el campo en P ejerce esta fuerza sobre qo(Hg. 2l.13c). Asi pues, el campo elecrrico es el intermediario a través del cual Acomunica su presencia a 90. Puesto que la carga puntual 90 experimentaría unafuerza en cualquier punto de las cercanías de A, el campo eléctrico que A produceen todos los puntos de la región alrededor de A.

De manera análoga, se puede afirmar que la carga puntual qo produce un cam­po eléctrico en el espacio circundante, y que este campo eléctrico ejerce la fuerza- Fo sobre el cuerpo A. Con respecto a cada fuerza (la fuerza de A sobre qo y lafuerza de qo sobre A), una carga establece un campo eléctrico que ejerce una fuer­za sobre la segunda carga. Conviene insistir en que ésta es una interacción entredos cuerpos con carga. Un cuerpo solo produce un campo eléctrico en el espaciocircundante, pero este campo elécrrico no puede ejercer una fuerza neta sobre lacarga que lo creó; éste es un ejemplo del principio general de que un cuerpo nopuede ejercer una fuerza neta sobre sí mismo, como se explicó en la sección 4.3.(Si este principio no fuera válido, ¡podríamos alzamos hasta el cielo raso tirandode nuestro cinturón!) La fuerza eléctrica sobre un cuerpo con carga es ejerci­da por el campo eléctrico creado por otros cuerpos con carga.

Para averiguar de forma experimental si existe un campo eléctrico en un punto enparticular, se coloca un cuerpo pequeño con carga, llamado carga de prueba, en esepunto (Fig. 21.13c). Si la carga de prueba experimenta una fuerza eléctrica, entonoces existe un campo eléctrico en ese punto. Este campo es producido por cargas dis­tintas de ql}-

La fuerza es una magnitud vectorial; por tanto, el campo elécrrico también esuna magnitud vectorial. (Dese cuenta del uso de signos de vector, así como de le­tras en negritas y signos de más, menos e igual en la exposición que sigue). Se de­fine la iDl~nsidaddel campo elécrrico Een un punto como el cociente de la fuerzaeléctrica Foque experimenta una carga de prueba 90 en ese punto entre la carga q(}­Es decir. el campo eléctrico en un punto determinado es igual a lafilerza eléctri­ca en cada unidad de carga que experimenta una carga en ese punto:

- FoE = - (21.3)qo

(definición del campo eléctrico como fuerza eléctrica en cada unidad de carga)

En unidades SI, en las que la unidad de fuerza es I N, y la unidad de carga, I e, launidad de la magnitud de campo eléctrico es 1 newton por coulomb (1 N/C).

;

21.4 I Campo eléctrico y fuerzas eléctricas

Si se conoce el campo Een un punto 'detenninado, reorganizando la ecuaci6n(21.3) se obtiene la fuerza I:(J' que experimenta una carga puntual qo colocada enese punto. Esta fuerza es precisamente igual al campo eléctrico Eproducido en esepunto por cargas distintas a qo. multiplicado por la carga qo~

Fo = croE (fuerza ejercida sobre una carga puntual qo por un campo eléctrico E)(21.4)

La carga 110 puede ser positiva o negativa. Si qo es pm;itiva, la fuerza 1:0 que la car-_ga expcrimenta tiene el mismo sentido que E; si qo es negativa, Foy Etienen sen­tidos opuestos (Fig. 21.14).

Si bien el concepto de campo eléctrico puede resultar novedoso, la idea básica---de que un cuerpo establece un campo en el espacio que lo rodea, y un segundocuerpo responde a ese campo-- ya la hemos utilizado. Compárese la ecuación(21.4) con la conocida expresión de la fuerza gravitatoria 1:. que la Tierra ejercesobre una masa n/o:

1:. = n/oC (21.5)

En esta expresión, g es la aceleraci6n debida a la gravedad. Si se dividen amboslados de la ecuación (21.5) entre la masa n/o. se obtiene

_ F,g=-

mo

Por tanto, podemos considerar a g como la fuerza gravitatoria en cada unidad demasa. Por analogía con la ecuación (21.3), podemos interpretar gcomo el campogravitatorio. De cste modo, tratamos la interacci6n gravitatoria entre la Tierra y lamasa mo como un proceso de dos etapas: la Tierra establece un campo gravitato­rio gen el espacio que [a rodea, y este campo gravitatorio ejerce una fuerza, dadapor la ecuación (21.5), sobre la masa n/o (la cual podemos considerar como unamasa de prueba). En este sentido, hemos hecho uso del concepto de campo cadavez que utilizamos la ecuación (21.5) de la fuerza de gravedad. El campo gravita­torio g. o fuerza gravitatoria en cada unidad de masa, es un concepto útil porqueno depende de la masa del cue~ sobre [a que se ejerce la fuerza gravitatoria; aná­logamente, el campo eléctrico E, o fuerza eléctrica por unidad de carga, es útil por­que no depende de la carga del cuerpo sobre la que se ejerce la fuerza eléctrica.

la 'fuerza eléctrica que experimenta una carga de prueba t10 puedevariar de un punto a otro, por lo que el campo eléctrico también puede ser dife­rente en puntos distintos. Por esta razón,la ecuación (21.4) se usa sólo para hallarla fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Si un cuerpo con carga tiene un tama­no suficientemente grande, el campo eléctrico Epuede ser notoriamente dife­rente en términos de magnitud y dire<ción en distintos puntos del cuerpo, y elcákulo de la fuerza eléctrica sobre el cuerpo puede llegar a ser muy corrlplicado.

Hasta ahora hemos pasado por alto una sulil pero importante dificultad queplantea nuestra definición de campo eléctrico: en la figura 21.13 la fuerza ejerci­da por la carga de prueba qo sobre la distribución de carga en el cuerpo A puedeprovocar desplazamientos de esta distribución. Esto ocurre especialmente cuandoel cuerpo A es un conductor, en el que la carga tiene Libertad de movimiento. Porconsiguiente, el campo eléctrico alrededor de A cuando qo está presente puede noser el mismo que cuando qo está ausentc. No obstante, si qo es muy pequeña la re­distribución de la carga del cuerpo A también es muy pequeña. De modo que, pa-

807

i+ Fo• •'0

(.1) Carga positi\'ll rw colocada eo \ID

campo electrico: la fueru sobre fl1Itiene el mismo sentido que E

iFo• •

"(b) Carga negativa qo colocada en uncampo el«trioo: la fuerza sobre lIo tieneel sentido contrario de E

21.14 Fuerza f:o = qoE que ejen:e sobreuna carga puntual qo un campo eléctrico E.

Actj'VPhyscs11.4 Campo eléctrico: carga puntual

11.9 Movimiento de una carga en uncampo eléctrico: introducción

11.10 Movimiento en un campoeléctrico: problemas

808 e" PfT ULO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

(21.6)

ra tener una definición totalmente correcta del campo eléctrico, tomamos ellimi­te de la ecuación (21.3) conforme la carga qo se aproxima a cero y conforme elefecto penurbador de qo sobre la distribución de carga se lOma insignificante:

- FoE = Iim-q.-O qo

En los cálculos prácticos del campo eléctrico Eproducido por una distribución decarga consideraremos esta distribución cama fija; en consecuencia, no será nece­sario este procedimiento de tomar limites.

Si la distribución de la fuente es una carga puntual q, es fácil hallar el campoeléctrico que produce. Llamaremos punto de origen a la ubicación de la carga, ypunto de campo al pumo Pdonde estamos detenninando el campo. También es útilintroducir un vector unitario ¡. que apunta a lo largo de la recta que va del punto defuente al punto de campa (Fig. 21.15a). Este vector unitario es igual al cociente delvector de desplazamiento r del punto de fuente al punto de campo entre la distanciar = 1;:1 que separa estos dos puntos; es decir: r= ;Ir. Si se coloca una carga pe­queña de prueba qo en el punto de campo P, a una distancia r del punto de origen,la magnitud Fode la fuerza está dada por la ley de Coulomb [ecuación (21.2)]:

r __'_lqq,1" - 477"Eo r 2

De la ecuación (21.3), la magnitud E del campo eléctrico en P es

E ~ -'-M (magnitud del campo eléctrico de una carga puntual)477"Eo ?

q,

q~F

(o) El vectOr unitario rapuma de lafuente puntual F al PUniD del campo P

ji

-~p

F

(b) En cada punto P, el campo eléctricoestablecido por una carSa puntual positi"(¡aislada q apunta directamente alejándosede la carga. en la misma dirttción que;

F

(e) En cada punto P, el campo eléctricoestablecido por ulIa carga puntual n~aI;Wlaislada q apunta dirtttamente hiuia la car¡a.en dim:ción t:JpWstu a la de ;

\•

.,

Con base en el vector unitario r, podemos escribir una ecuación vectorial que pro­porciona tanto la magnitud como la dirección del campo eléctrico E:

Por definición, el campo eléctrico de una Carga puntual siempre apunta alejándose dela carga positiva (es decir, en el mismo sentido que r; véase la Fig. 21.l5b) pero ha­cia una carga negativa (es decir, en sentido opuesto a r; véas~ [a Fig. 21.15c).

Hemos hecho hincapié en el cálculo del campo eléctrico E en un punto determi­nado. Sin embargo, puesto que Epuede variar de un punto a otro, no es una solacantidad vectorial, sino más bien un conjunto infinito de cantidades vectoriales, unaasociada con cada punto del espacio. Este es un ejemplo de campo ,·ettorial. La fi­gura 21.16 muestra un cieno numero de los vectores de campo que produce una caroga puntual. Si utilizamos un sistema de coordenadas rectangulares (xyz), cadacomponente de Een cualquier punto es, en general, una función de las coordenadas(x,y, z) del pumo. Podemos representar las funciones como El..x.y, z), E,{x,y, z) yEÁx, y, z). Los campos vectoriales son pane imponante del lenguaje de la fisica, nosólo en la electricidad y el magnetismo. Un ejemplo ordinario de campo veclorial esla velocidad ij de las corrientes eólicas; la magnitud y dirección de ij y. por tanto, suscomponentes vectoriales, varian de un punto a otro en la atmósfera.

En cienas situaciones la magnitud y dirección del campo (Y, por tanto, sus com­ponentes vectoriales) tienen los mismos valores en todos los pumas de llna región de­terminada; en tales casos se dice que el campo es l/niforme en esta región. Unejemplo imponante es el campo eléctrico en el interior de un collductor. Si hay uncampo eléctrico dentro de un conductor. el campo ejerce una fuerza sobre cada unade las cargas del conductor, e impane a las cargas libres un movimiento neto. Por de-

(21.7)

- I q A

E = -- - r (campo eléctrico de una carga puntual)417"Eo?

21. tS El campo eléctrico Eque produceen el punto P una carga puntual aisladaq en F. Dese cuenta que, tanto en (b) comoen (e), Ees producido por q [véase laecuación 21.7)] pero actúa sobre la cargaqo en el punto P [véase la ecuación (21.4)).

~

21.16 Una cargaywltual q establece uncampo elécuico E en todos Jos puntos delespacio. La intensidad del campo disminu­ye al aumentar la distancia. La distribuciónde campo que aquí se muestro correspondea una carga positiva; en la distribución co­rrespondiente a una carga negativa, losvectores de campo apunlan hacia la carga(véase la Fig. 21.15c).

21.4 I Campo eléctrico y fuerzas eléctricas 809

finición, una situación electrostática es aquella en la que las cargas no tienen un mo­vimiento neto. Se concluye que en electrostatica el campo eléctrico en todos los PIIIl­

tOS den/m del material de IIn conductor debe ser cero. (Dése cuenta que esto nosignifica que el campo sea necesariamente cero en un hueco dentro de un conductor).

Con el concepto de campo eléctrico, nuestra descripción de las interaccioneseléclricas conSla de dos panes. Primero, una dislribución de carga determinadaacrua como fuente de campo eléctrico. Segundo, el campo eléctrico ejerce unafuerza sobre toda carga que esté presente en el campo. Nueslro análisis suele te·ner dos etapas correspondienlcs: la primera consiste en calcular el campo creadopor una distribución de carga de fuente; la segunda, en examinar el efecto delcampo en términos de fuerza y movimiento. En la segunda etapa suelen inlervenirlas leyes de Newton, asi como los principios de las interacciones eléctricas. En lasección que sigue moStraremos cómo calcular campos creados por diversas distri­buciones de carga, pero antes presentaremos algunos ejemplos de cómo calcularel campo eléctrico debido a una carga l?untual y cómo hallar la fuerza sobre la caroga debida a un campo eléctrico dado E.

Ejemplo21.5 Magnitud del campo eléctrico de una carga puntual

¿Cual es la magnitud del campo eieclrico en un punlO del campo si­tuado a 2.0 m de una carga puntual q = 4.0 nC? (La carga puntualpodria representar cualquier objeto pequeño con carga con este \"a·lor dc q. siempre y cuando las dimensiones del objeto sean muchomenores que la distancia del objeto al puntO de campo).

llill!millIIDENTIFICAR YPLANTEAR: Se da la magnitud de la carga y la dis­tancia del objeto al punto del-campo; por tanlo, se usa la ecuación12 1.6) para calcular la magnitud del campo E.

EJECUTAR: De la ecuación (21.6),

E~_'_I~I = (9.0 x 109N'ml/~)4.0X IO-:C47Tl':o r . (2.0 m)

= 9.0N/C

EVALUAR: Para comprobar el resultado. se emplea la definición decampo eléctrico como la fucrza eléctrica en cada unidad de carga. Pri­mero se aplica la ley de Coulomb [ecuación (21.2)J para hallar la mag­nitud Fode la fuerza sobre una carga de prueba colocada a 2.0 mde q:

111 40XIO-'CIIFo =__ q~o = (9.0 x i09 N'm2/C2 ) . 1 qo

41Tt"O r (2.0m)

~ (9,oN/C)I••1

Entonces, por la ecuación (21.3). la magnitud de EesF,

E = Iqol '" 9.0 ~/C

Ya que q es positiva, fa dirección de Een este punto sigue la lineaque va de q hacia qo. como sc muestra en la figura 21.15b. No obs­tanle, la magnitud y dirección de Eno dependen del signo de qo.¿Ve usted por qué no?

Ejemplo21 6 Vector de campo elédrico de una carga puntual

Una carga puntual q = -8.0 nC esta silUada en el origen. Encuentreel vector de campo eléctrico en el punlO de campo x = 1.2 m. y =-1.6 m (Fig. 21.17).

y

q- -s.one_~O~,F.'liIr----~, ,

llill!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: El campo eléctrico eslá dado en fonnavectorial por la ecuación (21.11). Para emplear esta ecuación, se utili­za el siSlema de coordenadas de la figura 21.17 para hallar la distan­cia del punto de origen F (la posición de la carga q) al punto de campoP, asi como el vector unitario; que apunta en la dirección de Fa P.

El vector unitario;' está orientado del punto de origen al punlo decampo. Esto equivale al cociente del vector de desplazamiento ¡ delpunto de origen al punto de campo (que se muestra desplazado ha-

EJECUTAR: La distancia di: la carga al punto de origen F (que eneste ejemplo está en el origen O) al punto de campo P es

r'" Yx l + )"1 = Y(1.2m)1 + ( 1.6m)1 = 2.0 m

,,,, ,r'= 2.0m I"- _:, '

1'6 m

; El, ',.1.2 m-=-~¡p

21.17 Vectores ¡, ;, y Ede una carga puntual.

810 CAPíTULO 21 I Carga eléclrica y campo eléctrico

tia UD lado en la figura 21.17 para 00 ocultar los otros vectores) en·tre su magnitud r:

, r xi +yjr=-=---, ,

2.0m

Por tanto, el vector de campo elecrrieo es

_ 1 q.E:---,

41TEO?(-8.0 X 10-9e)

(9.0 x IO'N'ml¡Cl ) (Q.60i - O.SOj)(2.0 m)l

= (-11 N/e)i + (14N/C)j

EVALUAR: Dad6'que q es negaliva, Ese dirige del punto de campoa la carga (el punto de origen), en el sentido opuestO a r(compáre­se con la Fig. 21.15c). Se deja el calcula de la magnitud y direcciónde Ecomo ejercicio.

Ejemplo21.7 Electrón en un campo uniforme

Cuando se conectan los bornes de una batería a dos placas conducto­ras grandes paralelas. las cargas resultantes en las placas originan, enla región comprendida entre las placas, un campo eléctrico Eque escasi unifonne. (Veremos la razón de esta unifonnidad en la seeeión si­guiente. Las placas con carga de este tipo se usan en ciertos dispositi­vos eléctricos comunes llamados capacitóres, los cuales se estudiaránen el capitulo 24). Si las placas son horizontales y están separadas 1.0cm y conectadas a una baleria de 100 mil, la magnitud del campo esE:: 1.00 X Ht NIC. Supóngase que la dinttión de Ees \'Crtical as­cendente" como lo rnuestraJllos vectores de la figura 21. 18. a) Si se li­bera un electrón en reposo en la placa superior, ¿cuál es suacelerncióo? b)¿~ rapidez Yqué energía cinética adquiere al reco­rrer 1.0 cm hacia la placa inferior? c) ¿CuánIO tiempo se requiere pa­ra que el electrón recorra esta distancia? Un electrón tiene una carga-e:: -1.60 X 10-19 eyuna masa m = 9.11 X 10 31 kg.

ll!Il!m:JlIIDENTIFICAR: En este ejemplo intervienen varios conceptos: la re·lación entre campo eléctrico y fuerza eléctrica. la relación enlrefuerza y aceleración. la definición de energía cinética y las relacio­nes cinematicas enlTe aceleración. distancia, velocidad y tiempo.

y

ilOOV~~~-.:~..._ .......,¡_............ "

21.18 Campo elCctrico uniforme entre dos placas conductoras pa·ralelas conectadas a una baleria de 100 volt. (En esta figura se haexagerado la separación de las placas en comparación con las di­mensiones de éstas).

PLANTEAR: La figura 21.18 muestra un sistema de coordenadas. Seda el campo eléctrico; por tanlo, se aplica la ecuación (21.4) para ha­llar la fuerza sobre el electrón y la segunda ley de Newton para en­contrar su aceleración. Puesto que el campo es unifonne entre lasplacas, la fuerza y la aceleración son constantes y se pueden aplicarlas fónnulas de aceleración constante del capítulo 3 para hallar lavelocidad y el tiempo de recorrido del electron. La energía cineticase encuenlfa por medio de la deflDición K = ~mu2,

EJECUTAR: a) Adviénase que Ees ascendente (en la dirección +y)pero Fes descendente porque la carga del electron es negativa. Portanto, F~ es negativa.

Puesto que F~es constaDte, el electrón se mueve con aceleraciónconstante Qr dada por

Fr -eE (-1.60 X 10-19 eH 1.00 X Hr' N/e)Q =-=--:, m m 9.11 X IO- J1 kg

= ~ 1.76 X 1015 m1s2

¡Se trata de una acclcración enorme! Pam imprimirle esta acelera­ción a un automóvil de 1000 kg, se necesitaria una fuerza de alre­dedor de 2 X 101H N (aproximadameDte 2 X 101• tons.). La fuerzagravitatoria sobre el eleclr6D es por completo insignificante encomparación con la fuerza eléctrica.b) El electrón está inicialmente eD reposo, por lo que su movimien­lO es sólo en la dirección y (la dirección de la aceleración). Pode·mos hallar la rapidez del electrón en cualquier posición mediante lafórmula de aceleración constante v/ = uo/ + 2a,,(Y -)'0). TenemosVOy = OY)'o = O; por tanlO, la rapidez lu,! cuando y = -1.0 cm =-1.0 X 10-2 m es

Iv,1 = \!?..ll,y= V2( 1.76 X 1015 m1s2)( I.Ox 10 ~m)

:: 5.9 X 1(lÓ mis

La velocidad es descendente; por tanto, su componente y es uy =-5.9 x lif mis. La cnergía cinética del electrón cs

1 1K = '2mt? :: '2(9.11 X lO-JI kg)(5.9 X Hr mls)~

= 1.6 X 10-17 J

I

21.5 I Cálculos de campos eléctricos 811

t:) Con base en la fórmula de aceleración constante u~ = UOy + a7 t,resulta que el tiempo necesario es muy breve:

1= u, - Uo, = (,---,S".',--:X-:I"o'-:m=;/':ó),--é-(o~m-,/c:''-)ti, 1.76 X IOl'm/s2

= 3.4 X 10-9 s

(También se podría haber hallado el tiempo despejando t de la ecua­ción y = Yo. + Uo.yl + !a,¡2).

EVALUAR: Este ejemplo muestra que, cuando se resuelven problemasacerca de partículas subatónúcas como los electrones, muchas magni­tudes, como la aceleración, la rapidez, la energía cinética y el tiempo,tienen valores muy diferentes de los que hemos observado en objetosordinarios como pelotas y automóviles.

Ejemplo21.8 Trayectoria de un electrón

Si se lanza un electrón dentro del campo eléctrico del ejemplo 21.7con una velocidad horizontal inicial Uo (Fig. 21.19), ¿cuál es laecuación de su trayectoria?

mmillIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La fuerza y la acelernción son coos­tatues e iguales a las del ejemplo 21.7. Yno hay aceleración en la di­rección x. Por consiguiente, se pueden utilizar las ecuacioneseinemáticas del capírulo 3 que describen el movimiento bidimcn­sional con aceleración constante.

EJECUTAR: Se tiene (Ix = OYa~ = (-e)Elm. En t = O,xo = Yo = O,UIh = UD Yvl!r = O; por tanto, en el tiempo 1,

I 1 cE >x=uot y y=-a¡2=---r

_2 .. 2 m

Eliminando t enlre estas ecuaciones se obtieneI ,E

y=----x'2 muoz

EVALUAR: Ésta es la ecuación de una panibola, como la de la tra­yectoria de un proycctillanzado horizontalmente en el campo gravi-

y

21.19 Trayectoria parabólica de un electron en un campo eléctri­co uniforme.

tatorio de la Tiem¡ (estudiada en la sección 3.3). Con una velocidadinicial dada del electron, la curvatura de la trayectoria depende de lamagnitud del campo E. Si se invierten los signos de las caT$asde las dos placas de la figura 21.19, se invierte la dirección de E, Yla trayectoria del electrón se curvara hacia arriba, no hacia abajo. Decste modo se puedc ~dirigir" el electron modificando las cargasde las placas. El campo eléctrico entre placas conductoras con cargase utiliza en esta forma para gobernar la trayectoria de los haces deelectrones en los osciloscopios.

En el ejemplo 21.4 (sección 21.3), ¿cuál es el campo eléctrico debido a las cargas

ql YQ2en el punto x = 0.40m,y = 01

21.5 I Cálculos de campos eléctricos

La ecuación (21.7) proporciona el campo eléctrico originado por una sola carga pun­nml. Pero en casi todas las situaciones reales en las que intervienen campos eléc­tricos y fuerzas encontramos carga distribuida en el espacio. Las barras deplástico y de vidrio con carga de la figura 21.1 tienen carga eléctrica distribuidaen su superficie, como también la tiene el tambor fonnador de imágenes de una

impresora láser (Fig. 21.2). En esta sección aprenderemos a calcular campos eléc­tricos creados por diversas distribuciones de carga eléctrica. Los cálculos de estaclase tieneo una importancia enonne en las aplicaciones tecnológicas de fuerzaseléctricas. Para delenninar trayectorias de electrones en un cinescopio, de núcleos

atómicos en un acelerador parn radioterapia de cáncer o de partículas con carga en

t

••

812

Act'!vPhyscs11.5 Campo eléctrico debido a un

dipolo

11.6 Campo eléctrico: problemas

CA PfT ULo 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

un disposilivo electrónico semiconductor, es necesario conocer la naturaleza por­menorizada del campo eléclrico que actúa sobre las cargas.

Para hallar el campo creado por una distribución de cargas, conviene considerarla distribución como compuesta de muchas cargas puntuales ql' Q2, q],.... (Ésta es enefecto una descripción bastanle realista, pues hemos visto que la carga se encuentraen electrones y protones tan pequeños que son casi como puntos). EE c~lqu.ier punoto dado P, cada carga poomal produce su propio campo eléctrico E l' El, E], ... ,de modo que una carga de prueba qo colocada en P experimenta una fuerza11 = qoE I ejercida por la carga gl' una fuerza F2 = QOE2 ejercida por la carga Q2'

y asi sucesivamente. Por el erincipio de superposición de fuerzas analizado en lasección 21.3, la fuerza toral Foque la distribución de carga ejerce sobre qo es la su­ma vectorial de estas fut;.rzas individuales:

Fo = f\ + F2 + F3 + ... = qoE 1 + QOE2 + QOE3 + ...El efecto combinado C!.e todas las cargas de la distribución queda descrito por elcampo eléctrico total E en el punto P. Con base en la definición de campo eléc­trico [ecuación (21.3)], esto es

- Fo - - -E = - = El + E 2 + E, + ...q,

El campo eléctrico total en P es la suma vectorial de los campos en P debidos acada carga puntual de la distribución de carga. Éste es el principio de superposi­ción de campos el~ctricos.

Cuando la carga está distribuida a lo largo de una linea, sobre una superficie o enun volumen, algunos otros ténninos resultan útiles. En el caso de una distribución decarga lineal (como una barra de plástico larga y delgada con carga), se represenla co­mo Á ("lambda'') la densidad lineal de carga (carga en cada unidad de longitud, me­dida en C/m). Cuando la carga está distribuida sobre una superficie (como lasuperficie del tambor fonnador de imágenes de una impresora láser), se represenla co­mo q ("sigma") la densidad superficial de carga (carga en cada unidad de área, me­dida en CJrrh Y cuando la carga está distribuida en un volumen, se representa comop\,ro") la densidad volumétrica de carga (carga en cada unidad de volumen, CJm').

Algunos de los cálculos de los ejemplos que siguen pueden parecer muy intrin­cados; en los cálculos de campos electricos es parte integral de su naturaleza uncierto grado de complejidad matemática. Después de haber resueito por cuentapropia los ejemplos paso a paso, el procedimiento parecerá menos Il:mible. En elcapitulo 28 haremos uso de muchas de las técnicas de cómputo de estos ejemplospara calcular los campos magnericos creados por cargas en movimiento.

Estrategia pararesolver problemas Cálculo del campo eléctrico

IDENTIFICAR los conceptos pertinenles: Aplique el principiode superposición siempre que necesite calcular el campo eléc­trico debido a una distribucion de carga (dos o más cargas pun­tuales, una distribución en una línea, superficie o volumen o unacombinación de estos).

PLANTEAR el problema siguiendo eslos pasos:l. Haga un dibujo que muestre con claridad la ubicación de

las cargas y de los ejes de coordenadas elegidos.2. En su dibujo, indique la posición del pumo del compo (el

punto en el que se desea calcular el campo eléctrico É). A

veces el punto del campo estani en alguna posición arbi­traria a lo largo de una línea. Por ejemplo, se nos podriapedir hallar Een cualquier punto sobre el eje de las x.

EJECUTAR la solución como sigue:1. Asegúrese de emplear un conjunto congruente de unida­

des. Las distancias deben estar en meu"os, y la carga, encoulomb. Si los datos eslán en centimeU"Os o en nanocou­10mb, no olvide hacer las conversiones.

2. Al adicionar los campos eléctricos creados por diferentespanes de la distribución de carga, recuerde que el campo

21.5 I Cálculos de campos eléctricos 813

c1éctrico es una magnitud vectorial, por lo que esJonosocalcular la suma vectorial. No adicionc de manera simple lasmagnitudes de los campos individuales; también las direc­ciones son importantes.

3. Aproveche toda simetría de la distribución de carga. Porejemplo, si una carga positiva y una carga negaliva deigual magnitud se encuentran situadas simélricamente conres~to al puntO del campo. producen campos e1ectricosde igual magnitud pero con direcciones que son comoimágenes en el espejo. El aprovechamiento dc estas sime­trias simplificará los cálculos.

4. La mayoria de las veces utilizará componentes para calcu­lar sumas vectoriales. Aplique los metodos que aprendió

en el capitulo 1; repáselos, si es necesario. Utilice la nota­ción \'ectorial correcta; distinga minuciosamente entre es­calares, vectores y componentes dc vectores. Cercióresede que las componentes sean congruentes con los ejes decoordenadas elegidos.

5. Al calcular las direcciones de los "ectores E, tenga cuida­

do de distinguir entre el punto de origen y el punto delcampo. El campo producido por una carga puntual siem-

pre apunta del punto de origen hacia el punto del campo sila carga es positiva, y apunta en el sentido opuesto si la'­carga es negativa.

6. En ciertas situaciones se tiene una disttibución continua de

carga a lo 1aJgo de una línea, sobre una superficie o en un YO­

lumen. En tales casos se debe definir un elemento pequeñode carga que se pueda considerar como un punto, hallar sucampo eléctrico en el punto P, y eDCOlltrar una forma de adi­cionar los campos de todos los elementos de carga. Por lo re­gular es más faci! hacer esto con respecto a cada componentede Epor separado, 'f en muchos casos será necesario evaluaruna o más integrales. Cerciórese de que los límites de sus in­

tegrales sean COlTCCtos; en especial cuando la situación pre­senle simetría, asegúrese de no contar la earga dos veces.

EVALUAR la respuesla: Compruebe que la dirección de Esearazonable. Si su resultado de la magnitud del campo eléctrico Ees función de la posición (por ejemplo. la coordenada x), com­pruebe su resultado dentro de los Iimiles entre los que sepa que

la magnitud dc:be estar. Si es posible, compruebe su respuestacalculándola de airo modo.

Ejemplo21.9 . Campo de un dipolo eléctrico

Las cargas puntuales ql y ql de +12 nC y -12 nC, res~livamente,se encuentran separadas por una dislancia de 0.10 m (Fig. 21.20).Esta combinación de: dos cargas de igual magnitud y signo opuestose llama dipolol'lectrico. (Las combinaciones de este tipo se presen­tan con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, en la figura 21.7cada molécula del aislador neutro es un dipolo elCctrico. Estudiare­

mos los dipolos con más detenimicnto en la sección 21.7.) Calcule

el campo electríco producido por q" el campo originado por q" y elcampo total a) en el punto a; b) en el punto b; y c) en el punto c.

lE!!m:DIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 21.20 muestra el sistema de

coordenadas y la ubicación de los lres puntos del campo a, b y c.

El =_'_lq~1 = (9.0 X IO'N'ml/C') 12 X 10-';4..t:o ,- (0.060 m)

= 3.0 X lit N/e

El = -'- Iq~1 = (9.0 x lO' N -ml/C') 12 x 10-9

;41TlEo r (0.040 m)

= 6.8 x tet N/C

Las componentes de EI Y E, son

(EQ }" = EI~ + Eh = (3.0 + 6.8) X let N/C

(EQ ),. = El,. +~ = O

EJECUTAR: a) En el punto a el campo El creado por la carga positi­

va ql y el campo El creado por la carga negativa ql están ambos di­

rigidos hacia la derecha. Las magnitudes respectivas de E1 YEl son

Eh = 3.0 x let N/C

E,. - 6.8 X HtN/C

~r ta'!,.to, en_el punto a las componentes del campo eléctrico total

E. = El + E,son

.,,,,,,,,,"a E.

I

)1< 4.0 ----iIlcm

a

,E~::a E,, a, -

/ E~\, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,. ,13.0cm 13.0 cm,,,,,,,,

y

" '~4.0_*__'O_->+<-_

cm an

21.20 Campo eléctrico en tres puntos, a, b y c, generado por lascargas ql y q,. que forman un dipolo eléctrico.

814 e A P fTUL o 21 I Carga eléctrica y campo el&uico

En el piJnto a el campo tolal tiene una magnitud de 9.8 x uf N/ey está dirigido hacia la derecha; por tanto

E. = (9.8 X lO· N/e);

b) En el punto b el campo E1debido a ql está dirigido hacia la iz­quierda, en tanto que el campo E, debido a q. está dirigido hacia laderecha. Las magnitudes respectivas de El y El son

E, = _1_liJ. = (9.0 X 10' N' m1/<:2) 12 X IO-'C4'lTt"o r 2 (O.04Om)l

= 6.8 x HfN/C

El=-l-~= (9.0 X 109 N'm'/C1) 12 X 1O-

9C

411'"(0 ,1 (O.140m)'

= 0.55 X lct N/e

Las componentes de Eh El y el campo total E~ en el punto b son

fu :;z: -6.8 x Ht N/e El, = o

E::. = 0.55 x uf N/e ~ = o

(E')4 = Eu + Ea = (-6.8 +0.55) x J(fN/C

(E.), = El, + ~ = oEs decir, el campo eléctrico en b tiene una magnitud de 6.2 x 1ctN/e y está dirigido hacia la izquierda; por tanto

Eb = (-6.2 X 104 N/e);

e) En el punto e, tanto El y El lienen la misma magnitud, porqueeste punto equidista de ambas cargas y la magnilUd de las cargas esla misma:

I Iql 12 X IO-'CEl = E. = ----, = (9.0 X lo'N'ml/~)':";'~"'--""

- 41TlO " (0.13 m)l= 6.39 X Icf N/e

Las direcciones dc i: 1YEl se muestran en la figura 21.20. Lascomponentes x de ambos vectores son iguales:

Elz = 4 = El cosa = (6.39 X l/Y N/C)V3)

= 2.46 X Icf N/C

Por simetría, las componentesy El, Y~ son iguales y opuestas y, portanto, su suma es cero. Por consiguienre, las componentes del campototal E~son

(EJz = Elz + 4 = 2(2.46 X Icf N/C) = 4.9 X Icf N/C(Ee), = El, + E¡, = O

Así pues, en el punlo e el campo elécrrico totalliene una magnitudde 4.9 X Icf N/C y está dirigido hacia la derecha; por tanto

Be = (4.9 X IOJN/C)i

¿Le resulta sorprendente que el campo en el puntO e sea paralelo a[a recta que une las dos cargas?

EVALUAR: Otra forma de hallar el campo elécrrico en e consiste enemplear la expresión vectorial del campo de una carga puntual[ecuación 21.7)]. El vector de desplazamiento r l de ql al punto c. auna distancia de r = 13.0 cm, es

. . .rl=rcosat+rsenaJ

~or tanto, el vector unitario que apunta de ql a e es

~ r¡ ~ •rl =-= cosat+senaJ,

yel campo debido a ql en el PUnlO c es

- 1 ql _ 1 ql(. .)El =-- 171 =-- 1 cosat+senaJ

41flo r 41TlO r

Por simelria, el vector unilario ;'1 que apunta de q2 al punto e tienela componente x opuesta pero la misma componente y; por lanlo, elcampo en e debido a q2 es

Puesto que q2 = -q¡, el campo lotal en e es

Be = El + E2

1 q,( • .)= --"2 cosal + senaJ

4'lTlo 7

1 (-q,)( • .)+ ----,- -casal + senaJ41TlO r

1 q, ( .)= --2" 2cosat41fto r

= (9.0 X 109 N 'ro2/el) 12 X 10-9C(2(-'-));

(0.13 mp 13

= (4.9 X lcfN/C)i

como antes.

Ejemplo11 10 Campo de un anillo con carga

Un conduelor de forma anular y cuyo radio es Q tiene una carga to­tal Q disDibuida uniformemente en toda su circunferencia (Fig.21.21). Encuentre el campo electrico en un punto P situado sobre eleje del anillo a una distancia x de su cenD"O.

lE!!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: El punlo del campo es un punto arbi­ttario sobre el eje;r en la figura 21.21. La variable que se busca esel campo elécrrico en ese punto en función de [a coordenada;r.

21.5 t Cálculos de campos eléctricos 815

y

21.21 Cálculo del campo eléctrico sobre cl eje de un anillo concarga. En esta figura se supone que la carga es positiva.

EJECUTAR: Como se muestra en la figura 21.21, imaginamos elanmo dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cadasegmento tiene una carta dQ y acJúa como una fuente puntual decampo electrico. Sea de el campo electrico de uno de estos seg­mentos; el campo eleclfico nelo en P es entonces la suma de todaslas contribuciones iE de todos los segmentos que constituyen elanillo. (Esta misma técnica da buen resullado en cualquier situa­ción en que la ca'ja está distribuida a lo largo de una recta o curva).

El cálculo de E se simPlifica considerablemente porque el puntodel campo P está sobre el eje de simetria del anillo. Considérensedos segmentos situados uno en la pane superior y en la inferior delanillo: las conttibuciones di al campo en P de eslOS segmentos tie­nen la misma componente x pero componentesy opuestas. Por con­siguiente, la componente y total de campo debida a este par desegmentos es cero. Al sumar llis contribuciones de todos los paresde segmentos de este tipo, el campo total Etendrá sólo una compo­nente a lo largo del eje de simetria del anillo (el eje de las x), sinninguna componente perpendicular a ese eje (esto es, ni componen­ley ni componente :). Por lanto. el campo en Pqueda descrito en sutotalidad por su componente x EX"

Para calcular EJ , adviértase que el cuadrado de la dislancia r de unsegmento de anillo al punto Pes? "'" ~ + al. Por tanto, la magnitudde la contribución de este segmento, dE, al campo eléctrico en P es

I dQdE=-----

4'7TfO x~ + a~

Dado que cos a = xJr "" xJ(~ + cl)II2,la componenlex dEJ de es­te campo es

1 dQ xdE =dEcosa""------~~=

~ 4'7Tfox2 +a2 Yx 2 +a2

1 xdQ411"fo (x2 + a2)Jn

Para hallar la componente x tola/ EJ del campo en P. se integra cs­la expresión con respecto a todos los segmentos del anillo;

f I xdQEz = 4'7TfO (x2 + a2)lI2

Pueslo que x no varia al pasar de un punto a otro alrededor del ani­llo, lodos los factores de1lado derecho, salvo dQ, son constantes yse pueden sacar de la integral. la integral de dQ es simplemente lacarga total Q, y finalmente se obliene

(21.8)

EVALUAR: Nuestro resultado de Emuestra que en el centro del ani·110 (x. O) el campo es cero. Esto es de esperar; las cargas simadas enlados opuestos del anillo empujarian en direcciones opuestas una car­ga de prueba situada en el centro, y la suma de las fuerzas sería cero.Cuando el punlo de campo P está muy alejado del anillo en compa­ración con el tamano de ésle (es decir, x» o), el denominador dela ecuación (21.8) se hace aproximadamente igual a;el y la expre­sión aproximada es enlonces

_ 1 Q.E=---,

411"1'0 x 2

En olras palabras, cuando eslamos tan lejos del anillo que su radioa es insignificante en comparación con la distancia x, su campo esigual al de una carga punmal. Para un observador alejado del anillo.éste pareceria un PUDIO, y el campo eléctrico refleja este hecho":--....

En esle ejemplo empleamos un orgllmenlO de simetrío para con­cluir que E tenia sólo una componenle.t en un punto del eje desimetría del anillo. En muchos casos emplearemos argumentosde simetria en éste y en subsiguientes capítulos. No obstante, con­viene tener en menle que los argumenlOS de eSle tipo se empleansólo en casos especiales. En un punto del plano.ty que no está so­bre el eje de lasxen la figura 21.21, el argumertlOde simelria no esaplicable, y d eampo tiene en general componenles tanto x comoy.

EjE'mplo21 11 Campo de una linea con carga

lfna carga eléctrica positiva Q está disttibuida uniformemenle a lolargo de una linea de longirud lo, que yace sobre el eje .'y" entre y"'" -o y y = +a. (Esto podría representar una de las barras con car­ga de la fisura 21.1). Halle el eampo eléctrico en el punto P situa­do sobre cl eje de las x a una distancia x del origen.-IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 21.22 muestta la distribu-ción de carga y el eje de coordenadas. Al igual que en el ejemplo

21.10, la variable que se busca es el campo eléctrico en P en fun­ción de la coordenada x.

EJECUTAR: Se divide la carga lineal en segmentos infinitesimales,cada uno de los cU31es actúa como una carga punrnal; sea dy la lon­gitud de un segmento representativo a la alturay. Si la carga estádistribuida de modo uniforme, la densidad lineal de carga). encualquier punto de la recta es igual a QI2a (la carga total divididaentre la longitud total). Por tanto, la carga dQ en un segmento delongitud dy es

816 e Al' Í TUL o 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

-,

21.22 I:!eterminación del'campo eléctrito en el punto P sobre labisectriz perpendicular de una recta con carga de longitud la ycarga total Q, En esta figura se supone que la carga es positiva.

QdydQ=Ady=­

2,

EVALUAR: Empleando un argumento de simetria como en el ejem­plo 21 10, podríamos haber adivinado que Ey seria cero; si se colo­ca una carga positiva de prueba en P, la mitad superior de la rectade carga empuja hacia abajo sobre ella, y la mitad inferior empujahacia arriba con igual magnitud.

Para analizar nuestro resultado, veamos primero qué ocurre enel limite donde x es mucho mayor que a. Después, podremos des­preciar a en el denominador de la ecuación (21.9), y el resultado se­rá entonces

Esto significa que si el punto P está muy lejos de la carga lineal encomparación con la longitud de la- recta, el campo en P es equiva­lente al de una carga puntual. Encontrdrnos un resultado semejanteen el caso del anillo con carga del ejemplo 21.10.

Obtendremos un dividendo adicional de nuestro rcsultado exac­to de E, [ecuación (21.9)] si lo expresamos en términos de la de.v~si dad lineal de carga)" = Q12a. Sustituyendo Q = 2a)" enlaecuación (21.9) y simplificando, se obtienc

_ 1 A ,E=- 1 (21.10)

277€oxv'(x2ta2) + 1

La distancia r de este segmento a P es (x! +'y2YI1; por tanto, lamagnirnd del campo dE en P debido a este segmento es

Q tiydE = -- 7--'-Tc---'~

4..0:0 2a(x2 + y2)

Representemos este campo en ténninos de'sus componentes x y y:

dE~ = dE cos a dE.. =" -dE sen a

Se advierte que sen o: = yl(~ + y)lll y COS el = xl(x2 + ),2)112; com­binando éstas con la expresión de dE resulta que

Q xd)'dE~ = -- (' ')W41rEo 2a -1- + r -

Q ydydE}' = 47Teo 2a(x2 + y2jll:

Para hallar las componentes f, y E, del campo total, se integran es­tas expresiones teniendo en cuenta que, para incluir Qen su totali­dad, es preciso integrar de y = -a hasta y = +a. Lo invitamos aresolver los detalles de la integmción; una tabla de integrales le se­rá de utilidad. Los resultados finales son

(linea infinita con carga)

1 QXf" d)' Q 1E, = 477<':0 l;;- _a(x l + )'2)312 = 477<':OX~

__ -'-Rf" ydy -E" - (' ,),n - O. 477<':0 2a _" x + Y·'·

o, en forma vectorial,- 1 Q AE=-- ,

471"<':0 xv'x2 + a 2(21.9)

Ahora bien, ¿qué ocurre si alargamos más y más la recta con carga,agregando carga en proporción a la longitud total delmodo que)", la car­ga en cada unidad de longitud, permanezca constante? ¿Y qué es Eauna distancia x desde una línea muy larga de carga? Para responder es­ta pregunta, tomamos ellímire dc la ecuación (21.10) conforme a se ha­ce muy grande. En este limite, el término :?-Ial del denominador sehace mucho menor quc la unidad y se puede desechar. Lo que queda es

- A_E=--,21T<':OX

La magnitud del campo depende sólo de la distancia del punto Prespecto a la línea de carga. Por tanto, en cualquier punto P a unadistanciaperpendicular r de la linea en cualquier dirección, la mag­nitud de E es

AE=--

277€0I"

Así pues, el campo eléctrico debido a una línea con carga infinita·mente larga cs proporcional a l/r, no a 1/1.2 como en el caso de unacarga puntual. La dirección de Ees radial hacia afuera con respectoa la recta si )" es positiva, y radial hacía dentro si )" es negativa.

Desde luego que en la naturaleza no existen lineas de carga in­finitas. Pero cuando el punto de campo está suficientemente próxi­mo a la línea, hay muy poca diferencia entre el resultado de unalinea recta infinita y el dcl caso finito de la vida real. Por ejemplo,si la distancia r del punto del campo al centro de la recta es el 1%de la longitud de la recta, el valor de E difiere del valor correspon­diente a una longitud infinita en menos del 0.02%.

Ejemplo21.12 Campo de un disco con carga uniforme

Halle el campo e1ectrico que produce un disco de radio R con unadensidad superficial de carga (carga en cada unidad de área) positi-

va a, en un punto a lo largo del eje del disco situado a una distanciax respecto a su centro. Suponga que x es positiva.

21.5 I Cálculos de campos eléctricos 817

Campo de dos láminas infinitas con carga opuesta

,

Umm'2-U~ El. tE2 E==E 1 +E2 ==O,

d El• • El ticE. +E2

Umina 1+(1" ¡E\t .E2 i::::E1+Ez==O

Recuérdese que x es una constanle duranle la integración, y que lavariable de integración es r. La integral se puede evaluar emplean.do la sustitución z = xl + ,J. Le dejamos a usted los delalles delprocedimiento; el resultado es

E == íTx[ _ 1 +!]~ lEO Vxl + R2 x

= 2:J1- V(RJ/:2) + 1] (21.11)

EVALUAR: Vimos en e[ ejemplo 21.10 que, en un punto sobre el ejede simetría de un anillo con carga unifonne, el campo eléctrico de­bido al anillo no tiene componentes perpendiculares al eje. Por tan­to-, en el punto Pde la figura 21.2], dE, == dE, == Opara cada anilloy el campo total tiene E, == El == O.

Una vez más, conviene P{CgUtltar qué ocurre si la disuibución dec:arga se hace muy grande. Supóngase que continuamos aumentandoel radio Rdel disco Yagregando carga al mismo tiempo de modo quela densidad superficial-de carga íT (carga por unidad de área) seaconstante. En cllimite donde Res mucho mayor que la distancia x delpuntodecampoaldisco,elténnino IN(R 21x2 ) + I en la ecuación(21.11) se hace tan pequeño que resulta insignificante, y se obliene

E =..!!.... (21.12)2.,El resultado fmal no contiene la distancia x respecto al plano. Estosignifica que el campo eléctrico producido por una lámina plana in­finita de carga es independieme de la distancia respecto a la lami­na. La dirección del campo es en todas panes perpendicular a lalamina, alejándose de ella. Tampoco existen las láminas infinitas decarga, pero si las dimensiones de la lámina son mucho mayores quela distancia x del punto del campo P respecto a la lámina, el campoestá dado con gran aproximación por la ecuación (21.11).

Si P esta a la izquierda del plano (x < O) en vez ~e a la derecha,el resultado es el mismo, salvo que la dirección de E es hacia la iz­quierda en vez de hacia la derecba. Asimismo, si la densidad super­ficial de carga es negatr.'3, las direcciones de los campos a amboslados del plano son hacia éste, en lugar de alejarse de él.

21.24 Detenninac;6n del campo eléctrico debido a dos láminasinfmitas con carga opuesta. Las láminas se muestran vistas desdeel borde; isólo se puede mostrar una pane de las láminas infinitas!

P dE~

Ejemplo21.13

lE!!l3mlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La siruación y el sistema de coorde­nadas se muestran en la figura 21.23. Este ejemplo se asemeja a losejemplos 21.10 y 21.11 en cuanto a que la \"ariable que se busca esel campo eléctrico en función de la coordenada x a lo largo del ejede las x.Yodemos representar la distribución de carga como un con­junio de anillos concentricos de carga dQ, como se muestra en la fi­gura 21.23. El ejemplo 21.10 nos ha mostrado el campo de un soloanillo sobre su eje de simetría, de modo que 10 lloico que falta porhacer es reunir las contribuciones de los anillos.

21.23 DetCrminac:ión del campo eléctrico sobre el eje de un discocon carga uniforme. En esta figura se supone que la carga es positnlI.

EJECUTAR: Un anillo representativo lieoe una carga dQ, un radiointerno r y un radio externo r + dr (Fig. 21.23). Su área dA es apro­ximadamenle igual al producto de su anchura dr por su circunferen­cia 2".r, o dA '" 2"ITr dr. La carga en cada unidad de área es íT ==dQ/dA; por tanto, la ~arga del anillo es dQ = íTdA = u (2'To"rdr), o

dQ == 2-rrur dr

Usemos esto en vez de Q en la expresión del campo debido a unanillo obtenida cn el ejemplo 21.10 [ecuación (21.8)J, y sustituya­mos también el radio a del anillo por r. La componente del campodE~ en el punto P debida a la carga dQ es

1 {2r.urdr)xdE =

~ 4r.Eo (Xl + r 2)312

Para hallar el campo total debido a lodos [os anillos, se integra dE~

conrespectoarder == Dar = R(node-Ra R):

Se colocan dos laminas planas inímitas parnlelas una a la otra, sepa­radas por una distancia d (Fig. 21.24). La lámina inferior tiene unadensidad superficial de carga positiva uniforme íT, y la lámina supe­rior tiene una densidad superficial de carga negativa uniforme -udela misma magnitud. Halle el campo el«uico entre las dos láminas,amba de la lámina superior y abajo de la lámina inferior.

lE!!l3mlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: En el ejemplo 21.12 hallamos el cam­po eléctrico debido a una sola lámina plana infinita de carga. Esle re­sultado,junto con el principio de superposición, DOS permitiri hallarel campo total debido a los dos planos infinitos de la figura 21.24.

818 CAPfTULO 21 I Cargael~nicaycarnpoeléctrico

En los puntos entre las láminas, El y E2 se refuerzan mutua­menle; en los puntos situados arriba de la lámina superior o abajode la lámina inferior. EJ YE2 se cancelan uno al olro. Por tanto. elcampo total es

Puesto que hemos considerado las láminas como infinitas. el resul­tado no depende de la separación d.

EVALUAR: Désc cuenta que el campo entre las láminas con cargaopuesta es unifonne. Esto se aplicó en los ejemplos 21.7 y 21.8, enlos que dos placas conductoras grandes paralelas estaban conecta­das a los bornes de una batería. Ésta proporciona cargas opuestas alas dos láminas, lo cual origina un campo entre las placas que espráclicamente uniforme si la separación de las placas es mucho me­nor que las dimensiones dc estas. En el capítulo 23 examinaremoscómo produce una bateria esta separación de carga positiva y nega­tiva. Un arreglo de dos placas conductoras con cargas opuestas re·cibe el nombre de capaci/Or; estos dispositivos son de enonneutilidad práctica. y constituyen el tema principal del capítulo 24.

EJECUTAR: Sea la lamina ¡la 1ámina inferior con carga positiva. y la

lámina 2 la lámina superior con carga negativa: los campos debidos acada lámina son EI YEz• respectivamente. De la «uación (21.12) delejemplo 21.12 se dedU<:e que tanlo El y E~ li~ la misma magni­tud en lodos los puntos. sin importar la distancia a una u otra lamina:

UE,=E,=-

• 2~o

En lodos los puntos;la dirección de E1 es alejándose de la carga po­sitiva de la lámina 1, Yla dirección de E~ es hacia la carga negativade la lámina 2. Estos campos, así como los ejes de las.T y de las y,se muestron en la figura 21.24.

IZlilIiDiJlJ: Quizá le sorprenda que la presencia de la lámina 2

no influya en El y que la pre~enda de la lámina 1 no influya en El'De hecho, es posible que haya pensado que el campo de una lámi­

na es incapaz de ~penetrar~ la otra lámina. Se podría concluir estosi se piensa que el campo eléctrico es algún tipo de sustancia fisicaque -fluye" hada adentro de las cargas o desde ellas. Pero en reali~

dad no existe tal sustancia. y los campos eléctricos El yE2 dependensólo de las distribuciones individuales de carga que los prodlKen. Elcampo total es simplemente la suma veaOfial de El y4

{

O- - - u.E = El + E 2 = ~J

"O

arriba de la lámina superior

entre las láminas

abajo de la lámina inferior

Suponga que la línea con carga de la figura 21.22 (Ej. 21.11) liene una carga +Qdistribuida uniformemente entre y = OYY = +a y una carga --Q distribuida unifor­memente entre y = OYY = -o. ¿Cuál sería la dirección del campo eléctrico en P?

21.6 I Lineas de campo eléctrico

Campo en i Campo ~n

01 pw>.~'o>.;."'''-~ ~l punto R

P R i.

21.25 La dirección del campo eléctrico enun punto cualquiera es tangente a la líneade campo que pasa por ese punto.

El concepto de campo eléctrico puede ser un poco dificil de aprehender porque nopodemos ver un campo eléctrico directamente. Las líneas de campo eléctrico pue­den ser de gran ayuda para visualizar los campos eléctricos y hacer que parezcanmás reales. Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazadaa través de una región del espacio, de modo tal que su langente en cualquier pun­tO lenga la dirección del veClOr de campo eléctrico en ese punto. En la figura21.25 se muestra la idea básica. (Hemos empleado un concepto análogo al anali·zarel flujo de fluidos en la sección 14.5. Una línea decorriellte es una recta o cur­va cuya tangente en cualquier punlo tiene la dirección de la velocidad del fluidoen ese punto. Sin embargo, la semejanza entre las líneas de campo electrico y laslineas de corriente de los fluidos es sólo de carácter matematico; nada "fluye" enun campo electrico). El cientifico inglés Michael Faraday (1791-1867) fue el pri­mero en introducir el concepto de líneas de campo. Las llamó "líneas de fuerza",pero es preferible el término "lineas de campo".

Las líneas de campo eléctrico muestran la dire:ción de Een cada pun~o, y suseparación da una idea general de la magnitud de E en cada punto. Donde E es in·tenso, se dibujan líneas estrechamente agrupadas; donde Ees más débil, las líneasestán más separadas. En cualquier punto en particular, el campo eléctrico tieneuna dirección única, por lo que sólo una línea de campo puede pasar por cada pun­to del campo. En otras palabras, las líneas de campo nlll/ca se crnzan.

<a) Carga positiva individual<com~con la figura 21.16)

21.6 I Líneasdecampoel&:trico

(b) Una carga positiva y UIIil DCptiVa.am~de igual. rmgniloo (dipolotl~)

819

(e) Dos cargas p:lsitivas iguaJes

21.26 Lineas de campo eléctrico de tres disUlbuciones de carga difc~ntes. En general. lamagnitud de Ees diferente en puntos distintos a lo largo de una línea de campo dada.

La figura 21.26 muestra algunas de las lineas de campo de un plano que contie­ne (a) una sola carga positiva; (b) dos cargas de igual magnitud, una positiva y unanegativa (un dipolo); y (e) dos cargas positivas iguales. A los diagramas como es­tos se les llama a veces mapas o espectros de campo; son cortes transversales de lasdistribuciones tridimensionales reales. La dirección del campo eléctrico tolal en ca­da punto de cada diagrama sigue la tangente de la línea de campo eléctrico que pa­sa por el punto. Las puntas de las flechas indican la dirección del vector del campoEa lo largo de cada linea de campo. Se han dibujado los vectores de campo realesen varios puntos de cada distribución. Dese cuenta que, en general, la magnitud delcampo eléctrico es diferente en los distintos puntos de una línea de campo dada;iuna linea de campo no es un.a curva de magnitud de campo eléctrico constante!

la figura 21.26 muestra que las líneas de campo se dirigen alejandose de las carogas positivas (puesto que, cerca de una carga puntual positiva, Eapunta alejándOse dela carga) y hacia las cargas negativas (puesto que, cerca de una carga puntual negati­va, É apunta hacia la carga). En las regiones donde la magnitud del campo es gran­de, como, por ejemplo, entre las cargas positiva y negativa de la figura 21.26b, laslineas de campo se dibujan aproximandose entre si. En las regiones donde la magni·tud del campo es pequeña, como, por ejemplo, entre las dos cargas positivas de la fi·gura 21.26c, las líneas están muy separadas. En un campo unifOlme, las líneas decampo son rectas, paralelas y con una separación uniforme, como en la figura 21.18.

La figura 21.27a es una visla desde arriba de un montaje demostrativo para vi­sualizar las líneas de campo eléctrico. En el arreglo que aqui se muestra, las pun­tas de dos alambres con carga positiva se insenan en un recipiente de liquidoaislante y se ponen a flotar las semillas de pasto sobre el líquido. Las semillas depasto son aisladores eléctricamente neutros, pero el campo eléctrico de los dosalambres con carga provoca una polarización de la semilla; hay un leve desplaza­miento de las cargas positivas y negativas dentro de las moléculas de cada semi­lla, como en la que se muestra en la figura 21.7. El extremo con carga positiva decada semilla es atraído en la dirección de E, y el extremo con carga negativa es atraí­do en dirección opuesta a E. En consecuencia, el eje longitudinal de cada semilla depasto tiende a orientarse paralelamente al campo elécrnco, en la dirección de la lí­nea de campo que pasa por la posición que ocupa la semilla (Fig. 21.27b).

Es un error muy difundido pensar que, si una partícula con unacarga q está en movímíento donde hay un campo eléctrico, la partícula debedesplazarse a lo largo de una Ifnea de campo eléctrico. Puesto que en cualquíerpunto Ees tangente a la línea de campo que pasa por ese punto, es en efecto

(.)

LiDCI de campo

(b)

21.27 (a) Lineas de campo electrico pro­ducidas por dos cargas puntuales iguales.La distribución que se obser....a ha sido for­mada por semillas de pasto que flotan so­bre un líquido arriba de dos alambres concarga. Compárese esta distribución con lafigura 21.26c. (b) El campo eléctrico pola­riza las semillas, lo que, a su vez, provocaque las semillas se alineen con el campo.

\

820 CAPÍTULO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

cierto que la fuerza F= qE sobre la partícula y, por tanto, la aceleración de lapartícula. son tangentes a la línea de campo. Pero en el capítulo 3 aprendimosque, cuando una partícula se desplaza siguiendo una trayectoria curva, su ace­leración no puede ser tangente a la trayectoria. Así pues, en general, la trayec­toria de una partícula con carga no es lo mismo que una línea de campo.

Suponga que las líneas de campo eléctrico en una región del espacio son lineasrectas. Si se libera en esa región una partícula con carga inicialmente en reposo, latrayectoria de la partícula será una línea recta. Explique por qué.

21.7 I Dipolos eléctricos

(.,

<b,

21.28 (a) Una molécula de agua es unejemplo de dipolo eléctrico. Véase en eltexto la definición del vector de momentodipolar eléctrico p. (b) Cada tubo de ensa­ye contiene una solución de una sustanciadiferente en agua. El momento dipolareléctrico del agua hace de ésta un excelen­te disolvente.

Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opues­tos (una carga positiva q y una carga negativa -q) sepamdas por una distancia d. Pre·sentamos los dipolos eléctricos en el ejemplo 21.9 (sección 21.5); vale la penaexaminar con más detenimiento el concepto porque muchos sistemas fisicos, desdelas moléculas hasta las antenas de televisión, se pueden describir como dipolos eléc­tricos. También haremos extenso uso de este concepto al estudiar los dieléctricos enel capitulo 24.

La figura 21.28a muestra una molécula de agua (H20), que en muchos sentidosse comporta como un dipolo eléctrico. La molécula de agua en conjunto es eléctri­camente neutra, pero los enlaces quimicos presentes en su interior provocan un des­plazamiento de la carga; el resultado es una carga negativa neta en el extremo deoxígeno de la molécula y una carga positiva neta en el extremo de hidrógeno, lascuales forman un dipolo eléctrico. Este efecto es equivalente a desplazar un electróntan sólo alrededor de aproximadamente 4 X 1O~ll m (aproximadamente casi el radiode un átomo de hidrógeno), pero las consecuencias de este desplazamiento son muyprofundas. El agua es un excelente disolvente de sustancias iónicas como la sal co­mún (cloruro de sodio, NaCl), precisamente porque la molécula de agua es un dipo­lo eléctrico (Fig. 21.28b). Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ionsodio positivo (Na+) y un ion cloro negativo (Cn, que tienden a ser atraídos hacialos extremos negativo y positivo, respectivamente, de las moléculas de agua; estomantiene los iones en solución. Si las moléculas de agua no fueran dipolos eléctri­cos, el agua seria un mal disolvente, y casi toda la química que tiene lugar en solu­ciones acuosas sería imposible. Esto incluye todas las reacciones bioquímicas quese llevan a cabo en todos los seres vivos de la tierra. En un sentido muy real, ¡nues­tra existencia como seres vivos depende de los dipolos eléctricos!

Examinaremos dos preguntas acerca de los dipolos eléctricos. Primero, ¿qué~fuerzas y momentos de torsión o torques experimenta un dipolo eléctrico cuando sele coloca en un campo eléctrico externo (esto es, un campo establecido por cargasfuera del dipolo)? Segundo, ¿qué campo eléctrico produce un dipolo eléctrico en si?

Fuerza y momento de torsión en un dipolo eléctricoPara comenzar con la primera pregunta, coloquemos un dipolo eléctrico en uncampo eléctrico externo uniforme E, como se muestra en la figura 21.29. Lasfuerzas ¡ + Y¡_sobre las dos cargas tienen ambas la magnitud qE, pero sus di­recciones son opuestas y suman cero. La fuerza eléctrica neta sobre un dipoloeléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero.

Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma recta; por tanto, sus//lamentos de torsión no suman cero. Los momentos de torsión se calculan con res­pecto al centro del dipolo. Sea ~ el ángulo entre el campo eléctrico Ey el eje del di-

21.7 I Oipolosel&tricos

Puesto que el ángulo <jJ de la figura 21.29 es el iangulo entre las direcciones de losvectores py E, esto nos recuerda la expresión de la magnitud del producto vecto­rial analizado en la sección 1.10. (Conviene repasar ese amilisis.) Por consiguien·le, se puede escribir el momento de torsión sobre el dipolo en forma vectorial como

;¡ = ¡; x E (momento de torsión sobre un dipolo ell5ctrico, en fonoa vectorial )(21.16)

821

-qf = -qE

21.29 La fuerza neta sobre este dipoloeléctrico es cero, pero hay un momento detorsión dirigido hacia la parte intema dc lapágina, el cualliende a haccr girar el dipo­lo en el sentido de las manecillas del reloj.

(21.14)p = qd (magnitud del momento dipolar eléctrico)

- -polo; entonces, el brazo de palanca tanto de F + como de F _ es (dn) sen tP. El mo-mento de torsión de F+ Yel momento de torsión de F_tienen ambos la misma mag­nitud de (qE)(d/2) sen 1J, y ambos tienden a hacer girar el dipolo en el sentido de lasmanecillas del reloj (es decir, T se dirigc hacia la pane interna de la página en la fi­gura 21.29). Por tanto, la magnitud del momento de torsión neto es simplememe eldoble de la magnitud de cualquiera de los momentos de torsión individuales:

7 ~ (qE)(d",nq,) (21.13)

donde d sen tP es la distancia perpendicular entre las lineas de acción de las dosfuerzas.

El producto de la carga q por la separación d es la magnitud de una cantidad co­nocida como momento dipolar eléctrico, que se denota mediante p:

Las unidades de p son de carga por distancia (C .m). Por ejemplo, la magnitud delmomento dipolar eléctrico de una molécula de agua es p = 6.13 x 10-1] C •m.

Tenga cuidado de no confundir el momento dipolar con la cantidadde movimiento momentum o la presión. No hay tantas letras en el alfabeto comocantidades fisicas; pe>( esta razón, ciertas letras se usan varias Ve<:es. Por lo regular,

el contexto ambiente deja en claro de que se trata, pero es ne<:esario estar alerta.

Definimos, asimismo, el momento dipolar eléctrico como una cantidad vectorialp. La magnitud de p está dada por la ecuación (21.14), y su dirección sigue el ejedel dipolo, de la carga negativa a la positiva, como se muestra en la figura 21.29.

En términos de p, la ecuación (21.13) que expresa la magnitud Tdel momentode torsión que ejerce el campo se convierte en

T = pE sen tP (magnitud del momento de torsión sobre un dipolo eléctrico) (21.15)

Se puede aplicar la regla de la mano derecha para el prodUCIO vectorial con el fm deverificar que, en la situación que se muestra en la figura 21.29, T se dirig: hacia laparte interna de la página. El momento de torsión es máximo cuando py E son per­pendiculares, y es cero cuando son paralelos o antiparale1os. El momento de torsiónsiempre tiende a hacer girar pa modo de alinearlo con E. La posición <jJ = O, coneparalelo a E, es una posición de equilibrio estable, y la posición tP = "iT, con py Eantiparalelos, es una posición de equilibrio inestable. La polarización de una semi·lla de pasto en el aparato de la figura 21.27a le proporciona un momento dipolareléctrico; el momento de torsión ejercido por Eprovoca entonces que la semilla sealinee con Ey, por tanto, con las líneas de campo.

Cuando un dipolo cambia de dirección en un campo eléctrico, el momentode torsión del campo eléctrico realiza trabajo sobre él, con un cambio correspon·diente de energía potencial. El trabajo dW realizado por un momento de torsiónT durante un desplazamiento infinitesimal d<jJ está dado por la ecuación (10.22):dlV = ,d<jJ. Dado que el momento de torsión es en la dirección en que tP disminu­ye, es preciso escribir el momento de lorsión como, = -pE sen tP, y

dW = ,d4> = -pE sen <jJ d<jJ

822 CAPíTULO 21 I Carga elécuica y campo eléctrico

En un desplazamiento finito de q,J a eh, el trabajo lotal realizado sobre el dipolo es

IV =: f:( -pEsen 4» d<jl

= pE cos eP2 - pE cos q"

El trabajo es el negativo del cambio de energía potencial, precisamcmc como enel capítulo 7: W = VI - U2- Así pues, vemos que una definición idónea de la ener­gía potencial U de este sistema es

U(4)) ~ -pEcos4> (21.17)

En esta expresión reconocemos el producto escalar ji. E =: pE cos <p, por tanto,podemos escribir también

U = -ji. E (energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico )(21 18)

La energía potencial tiene su valor mínimo U =: -pE (es decir, su valor más nega·tivo) en la posición de equilibrio estable, donde f/J =: O YPes puralelo a E. Laenergía potencial es máxima cuando et> = 7T Y¡; es antiparalelo a E; en estas con·diciones U = +pE. En q, = 7t/2, donde ji es perpendicular a E. U es cero. Desdeluego, podríamos definir U de otra manera, de modo que sea cero en alguna otraorientación de ji, pero nuestra definición es la más simple.

La ecuación (21.18) proporciona o~ fonna de ver el efecto que se muestra enla figura 21.27a. El campo eléctrico E confiere a cada semilla de pasto un mo-­mento dipolar eléctrico, y la semilla se alínea entonces con Epara reducir al ma­ximo la energ1a potencial.

Ejemplo21 14 Fuerza y momento de torsión sobre un dipolo el.éctrico

-q

21.30 (a) Dipolo electrico. (b) Direcciones del momento dipolarelecuico, el campo eléctrico y el momento de torsión.

(b)C·)

+q

e) La magnitud del momento de torsión es

r =' pE sen tP = (2.0 X 10-19 C)(5.0 X loJ N/C)(sen 145°)

= 5.7 X 1O~2olN·m

]5'

~ acuerdo con la regla de la mano derecha para prodUCIOS vecto­riales (sección 1.10), la dirección del momento de torsión:¡ =p x Ees hacia afuera de la página. Esto corresponde a un mo­mento de torsión en senlido contrario a las manecillas del reloj quetiende a alinear pcon i.d) La eoergia potencial es

U=-pEcoscP= -(2.0 X 1O-29 (·m)(5.0 X loJN/C)(cos 145°)

= 8.2 x 10-24 1

La figura 21JOa muestra un dipolo eléctrico cn un campo elecmcounifonne cuya magnitud es de 5.0 x 10l N/C orientado de maneraparalela al plano de la figura. Las cargas son de ± 1.6 x 10-19 c;ambas se localizan en el plano y separadas por una distancia de0.125 nm :: 0.125 x 10--9 m. (Tanto la magnitud de la carga comola distancia son representativas de cantidades moleculares). En­cuentre a) la fucrza neta que ejerce el campo sobre el dipolo; b) lamagnitud y la dirección dcl momentO dipolar electrico; c) la mag·nitud y dirección del momento de torsión; d) la energia potencialdel sistema en la posición que se muestra.

l'liI!!m!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se emplea la relación F = qE co­rrespondiente a cada carga puntual para hallar la fuerza sobre el di­polo en conjunto. La ecuación (21.14) indica el momento dipolar.la ecuación (21.16). el momento de torsión sobre el dipolo, y laecuación (21.18), la energia potencial del sistema.

EJECUTAR: a) Dado quc el campo es unifonne, las fuerzas sobrelas dos cargas son iguales y opuestas, y la fuerza total es cero.b) La magnitudp del momento dipolar pes

p:: qd = (1.6 X 10-19 C)(O.I25 X 10-9 m)= 2.0 X 1O-?tC'm

La dirección de pva de la carga negativa a la positiva, a 145° en elsentido de las manccillas del reloj respecto a la dirección del cam·po eléctrico (Fig. 21.30b).

I

21.7 I Dipolos eléclrieos 823

EVALUAR: El momento dipolar, el momento de torsión y la energíapotencial son todos extraordinariamente pequeños. Este resultado

no es sorprendente: recuerde que estamos examinando una solamolécula, ¡que es un objeto muy pequeño en verdad!

En este análisis hemos supuesto que ji es unifonne así que no hay fuerza netasobre el dipolo. Si Eno es uniforme, es posible que las fuerzas en los extremos nose cancelen totalmente, y la fuerza neta puede no ser cero. Por tanto, un cuerpo sincarga neta pero con un momento dipolar eléctrico puede experimentar una fuerzaneta en un campo eléctrico no uniforme. Como se mencionó en la sección 21.1, uncampo eléctrico puede polarizar un cucrpo sin carga, lo que da origen a una sepa­ración de cargas y a un momento dipolar eléctrico. Es así como 10$ cuerpos sincarga experimentan fuerzas electrostáticas (véase la Fig. 21.7).

Campo de un dipolo eléctricoPensemos ahora en un dipolo e1&trico como unafuente de campo e1ectrico. ¿Quéaspecto tiene el campo? El espectro del campo de la figura 21.26b muestra la formageneral de este. En cada punto de la distribución el campo Etotal es la suma vecto­rial de los campos debidos a las dos cargas individuales, como en el ejemplo 21.9(sección 21.5). Intente dibujar diagramas que muestren esta suma vectorial con res­pecto a varios puntos.

Para obtener información cuantitativa acerca del campo de un dipolo eléctricoes preciso hacer algunos cálculos, como se ilustra en el ejemplo 21.15. Adviérta­se el uso del principio de superposición de campos eléctricos para agregar las con­tribuciones de las cargas individuales al campo. También dése cuenta que esnecesario emplear técnicas de aproximación incluso en el caso relativamente sim­ple de un campo debido a dos cargas. Los cálculos de campos suelen llegar a sermuy complicados, y tipicamente se utiliza el amllisis por computadora pum esta­blecer el campo debido a una distribución arbitraria de carga.

Ejemplo21.15 Otro vistazo al campo de un dipolo eléctrico ,

En la figura 21.31 un dipolo eléclrico esllÍ cenlTado en el origen. con¡; en la dirección del eje de las +y. Deduzca una expresión aproxi­mada del campo eléctrico en un punto sobre el eje de las y en el quey sea mucho más grande que d. Utilice el desarrollo binomial de(1 + x)", esto cs. (1 + xy == 1 + ID: + n(n - 1}~12 + .... para el ca­so Ir! < 1. (Este problema iluslTa una técnica de cómputo util).

llI1l:!!m:I:IIDENTIFICAR: Se aplica el principio de superposición: el campoeléctrico total es la suma vectorial del campo producido por la car­ga positiva y el campo producido por la carga negativa. y+dn

y-d/2

PLANTEAR: En el punto del campo que se muestra en la figura21.31. el campo de la carga positiva tiene una componente y positi­va (ascendente). y el campo de la carga negativa liene una compo­nente y Degativa (descendente). Se unen cstas componentes parahallar el campo total y se aplica la aproximación de que y es muchomás grande que d.

21.31 Determinación del campo eléctrico de un dipolo eléctricoen un punto situado sobre su eje.

+q

'f----,

'!L_-"-_I~_q

824 e A Pf TUL o 21 I Carga eléctrica y campo elécuioo

.",'l

EJECUTAR: La componente y total E, de campo eléctrico debida alas dos cargas es

~ = 4:EO[ (y _ldl2)l - (y +Id12 )l J

q [( d)-' ( d)-']=4r.EQ)'1 1- 2y - 1+ 2y

Se utilizó este método en el ejemplo 21.9 (sección 21.5). Ahora vea­mos la aproximación. Cuando y es mucho más grande que d, es de­cir, cuando estamos muy lejos del dipolo en comparación con sutamaño, la cantidad d!2y es mucho menor que l. Con n = -2 Ydl2ydesempeñando el papc1 de x en el desarrollo binomial, conservamoss610 los dos primeros términos. Los términos que se desechan sonmucho más pcquciios que Jos que se conservan y se tiene

(d )-' d ( d )-' d1-- iiil+- y 1+- ¡¡¡!--2y y 2y Y

Por consiguiente, E, está dada aproximadamente por

Ea-q [1 +~- (I-~)l

411"Ea),2), Y

qd

2r.Ell)'J

p

2r.En)'J

EVALUAR: Otro camino para llegar a esta expresión consiste en po­ner las fracciones de la expresión de Ey sobre un común denomina­dor Ycombinar, para luego hacer una aproximaciÓD del denominador(y - d/2i(y + d/2r comoy4. Le dejamos los detalles como problema.

Con respet:to a los puntos P situados fuera de los ejes de coor­denadas, las expresiones son más complicadas, pero en rodos lospunlos muy alejados dd dipolo (en cualquier dirttción), el campodecae con 1/,J. Se puede comparar eslo con el decaimiento con II?de una carga punmal, el decaimienlO con Ilr de una carga lineal lar­ga, y la independencia con respecto a , de una lámina de cargagrande. Existen distribuciones de carga con respeclo a las cuales elcampo decae con rapidez aún mayor. Un cuadrnpolo eléctrico con­siste en dos dipolos iguales con onenlación opuesta, separados poruna distnncia pcqueiin. El campo de un cuadrupolo a distanciasgrandes dccac con 1/,4.

Con base en la información que se da en esta sección, calcule el momento dipolareléctrico de una molécula de agua. Si una molécula de agua está orientada con sumomento dipolar formando un ángulo de 90" con respecto a un campo eléctricocuya magnitud es de 2.5 X 104 N/C, ¿cuál es el momento de torsión sobre la mo­lécula?

Resumen

RESUMEN

825

La magnitud fundamental en electrostutica es la carga eléctrica. Hay dosclases de carga: positiva y negativa. Las cargas del mismo signo se repe­len mutuamente; las cargas de signo opuesto se atraen, La carga se con­serva; la carga total de un sistema aislado es constante.

Toda la materia ordinaria se compone de protones, neutrones y electro-nes. La fuena nuclear mantiene unidos los protones positivos y los neu­trones eléctricamente neutros del núcleo de UD atomo; los electronesnegativos rodean el núcleo a distancias mucho mayores que el tamañonuclear. La eslructura de los átomos, moliculas y sólidos se debe princi­palmente a interacciones elictricas.

Los conductores son materiales que penniten que la carga se desplace libremente en su interior. Losaisladores penniten que la carga se desplace con dificultad mucho mayor. Casi todos los metalesson buenos conductores; la mayor parte de los no metales son aisladores.

La ley de Coulomb es la ley básica que rige la interacciónde cargas puntuales. En el caso de dos cargas ql y q2 scpa­radas por una distancia r, la magnitud de la fuerza sobrecualquiera de las cargas es proporcional al producto qlq2 einversamente proporcional a r. La fuerza sobre cada cargaactúa a lo largo de la recta que une las dos cargas: es de re­pulsión si ql y q2 tienen ll'1 mismo signo, y de atracción sitienen signos opuestos. Las fuerzas forman un par de ac­ción/reacción y obedeccn la tercera ley de Newton. Enunidades SI la unidad de carga eléctrica es el coulomb.que se abrevia C. (Véanse los ejemplos 21.1 y 21.2).

F=_'_QIQ2 (21.2)411"11'0 r 2

= 8.988 X 109 N' m2/C2

417"11'0

El principio de superposición de fuerzas establece que. cuando dos o más cargasejercen cada cual una fuerza sobre una carga, la fuerza total sobre esa carga es lasuma vectorial de las fuerzas que ejercen las cargas individuales. (Veanse losejemplos 21.3 y 21.4).

ql q¡ q¡

-"'i)--<'i)---G~~ (cm)O .Ocmiol 1

4.0cm~

El campo eléctrico E. es una magnitud vectorial, es la fuerza encada unidad de carga que se ejerce sobre una carga de pruebaen cualquier punto, siempre y cuando la carga de prueba sea losuficientemente pequeña para no perturbar las cargas que crean elcampo. El campo elictrico producido por una carga punrual tieneuna dirección radial hacia la carga o en sentido contrario a ésta.(Véanse los ejemplos del 21.5 al 21.8).

_ F,E=­

q,

- 1 q A

E=---,411"11'0 r 2

(21.3)

(21.7)

El principio de superposición de campos eléctricos establecc que el campo eléctrico Ede cualquiercombinación dc cargas es la suma vectorial de los campos producidos por las cargas individuales. Paracalcular el campo eléctrico producido por una distribución continua de carga, se divide la distribuciónen elementos pequeiios, se calcula el campo originado por cada elemento, y luego se lleva a cabo lasuma vectorial o la suma de cada componente, por lo regular integrando. Las distribuciones de cargase describen mediante la densidad lineal de carga A, la densidad superficial de carga u y la densidadvolumélrica de cargap. (Véanse los ejemplos del 21.9 aI21.13).

Q

826 CA PfTULO 21 I Carga eléclrica y campo el~ctrico

Las líneas de campo ofrecen una representación gráfica de los campos eléctricos. En cualquier pun­to de una linea de campo. la langente a la línea tiene la dirección de Een ese pumo. El número delíneas en la unidad de área (perpendicular a su dirección) es proporcional a la magnitud de Een elpunto.

Un dipolo eléctrico es un par de cargas eléctricas de igual magnirudq pero de signo opuesto, separadas por una distancia d. La magni­tud del momenlo dipolar eléctrico pse define como p = qd. La di­rección de pes de la carga negativa hacia la positiva. Un dipoloelb:trico en un campo eléctrico Eexperimenta un momento de tor­sicn T igual al producto veclorial de ¡; por E. La magnitud del mo­mento de torsión depende dd ángulo q, enrre py E. La energíapotencial U de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico dependeasimismo de la orientación relativa de py i:. (Véanse los ejemplos21.14Y 21.15).

Términos clave

7=pEsen¡fJ

i=pxE

u = -p.i:

(21.15)

(21.16)

(21.18)

aisl.ador.797c3mpo elkfrico, 806c.ampo \'ectori.al, 808carga de prueba, 806carga eléctrica, 793carga inducida, 798

carga puntual, 800conductor, 797coulomb, 801densidad lineal de carga, 812densidad superficial de carga, 812

Notas

dt'nsldad "olumétrica de carga, 812dipolo elktrico. 820ele<:trón,795electrostática, 793inducción, 797ion negati\'o, 796ion positivo, 796ionización, 796le)' de Coulomb, 800línea de umpo eléctrico, 818momento dipolar eléctrico, 821

neutrón, 795núcleo, 795número atómico, 7%principio de conservación de la carga, 796principio de superposición de campos

eléctricos, 812principio de superposición de fuerl.3i, 802protón, 795punto del campo, 808punto de origen, o fuente puntual, 808

Preguntas para análisis 827

Respuesta a la pregunta inicialdel capítulo

Las mol6:ulas de agua tienen un momento dipolar eléctrico perma­nente: un extremo de la molécula tiene carga positiva y el Olm ClCtremotiene carga negativa. Estos ClCtremos atr.l.en kxJes negativos Ypositivos,respcctiwmente, y mantienen separndos los iooesen solución. El aguaes menos eficaz como disolvente de materiales cuyas moléculas no seionizan (llamadas susrancias no jónicas). como los aceites.

Respuestas a las preguntas deEvalúe su comprensión

Sección 21.1 La barra de plástico adquiere carga negativa tomandoelectrones de la piel; por tanto, la barra pesa un poco más y la piel unpoco menos después de frotar. En cambio, la barra de vidrio adquie­

re carga positiva cediendo electrones a la seda. Por consiguiente, des­pués de frotarlas, la barra dc vidrio pesa un poco menos, y la seda, unpoco más. El cambio de peso es mu)' pequeño: el número de electro­nes que se transfiere es una pequeña fracción de mol, y un mol deelectrones tiene una masa de sólo (6.02 x Ion electrones)(9.11 x10-31 kgle1ectrón) = 5.48 x 10-1 kg = ¡0.548 miligramos!Sección 21.2 Seguirla la misma serie de pasos que se muestra en lafigura 21.6, pero acercaria una barTa oon carga positn'a a la esfera (porejemplo, una barIa de vidrio frotada con seda; véase la Fig. 21.1).Sección 21.3 La fuerza que q, ejerce sobre Q sigue siendo comoen el ejemplo 21.4. la magnitud de la fuerza que q2 ejerce sobre Qsigue siendo igual a F'-"Q- pero la dirección de la fuerza es aho­ra hacia q2 a un ángulo a por debajo del eje de las.x. Por lanto, lasdos componentes de esta fuerza ~n negativas:

(F~ ... ,,). = -{F¡_Q) COS a = ..{l.23 N(Fh _ Q)7 = -{Fl ... ,,) sen a = ..{l.17 N

En este caso las componentes.x de las dos fuerzas se cancelan. entanto que las componentes y se suman; por tanto, las componentesde la fucrza lotal sobre Qson

FJ

= 0.23 N + (-0.23 N) = O

F~ = (-G.17N) + (-0.17 N) = -0.34 N

La fuerza total está en la dirección -y y su magnitud cs de 0.34 N.Sección 21.4 En el ejemplo 21.4 encontramos que la fuerza eléc­trica sobrc una tercera carga Q = 4.0 ~C en este punto es¡ = (0.46 N Ji. Con base en la ecuación (21.3), en este punto elcampo eléctrico debido a las dos primeras cargas es el cociente dela fuerza sobre Q entre Q misma. o E = FlQ = [(0.46 N)!(4.0 X 10-6C)]i = (1.2 x lOS N/C);.

Sección 21.5 En este caso Eapuntarla en la dirección y negativa.Suponga un par de segmentos de longitud dy, uno en la coordenada)' > Oy el otro en la coordenada -y < O. El~to superior tienecaIga positiva y produce un campo eléctrico dE en P que apunta ale­jandose del segmento, por lo que este dE tiene una componente.xpositi\"3 y una componente y negativa. como el vector di. de la figu­

ra 21.22. El segmento inferior tiene la misma cantidad de carga ne­gativa. Produce un dE que tiene la misma magniwd pero apuntahacia el segmento inferior, por lo que tiene una componente.x nega­tiva y una componente y positiva. Por simetria. las dos componentesx son iguales pero opuestas, de modo que se cancelan. Por tanto, elcampo eléctrico total tiene sólo una componente y negativa.

Sección 21.6 Si las líneas de campo son rectas, Edebe apuntaren lamisma dirección en toda la región. Por tanto, la fuerza ¡ = qE sobreuna particula de carga q tiene siempre la misma dim::ción. Una par­tícula liberada desde una posición de reposo se acelera en linea rectaen la dirección de F. por lo que su trayectoria es una línea recta.Sección 21.7 En una molécula de agua. se desplaza una cantidad decarga q igual a e = 1.60 x JO-l~ e (la magniwd de la carga de un

electrón) una distancia d = 4 x 1(J" m Por tanto. la magnitud delmomento dipolar eléctrico es p = qd = (4 x JO-ll mX1.60 x 10-19

e) = 6.4 X IO-JO c· m. La dirección es la que se muestra en la figu­ra 21.2Sa. El ángulo entre ¡; y Ees 9{)0; por tanlo, la magnitud delmomento de torsión es T=pEsen 90°: pE: (6.4 X 10-JO C·m)(2.5X 10~ N/e) = 1.6 x I 0-26 N :m. La dirección del momento de torsióncs tal que ¡; se alínea con E.Preguntas para análisis

P21.1 Dos esferas metálicas cuelgan de hilos de nylon. Cuando secolocan próximas entre si tienden a atraerse. Con base sólo en estainformación, analice los modos posibles en que podrían estar car­gadas las esferas. ¿Es posible que, luego de tocarse, las esferas per­manezcan adheridas una a la otra? Explique su respuesta.P21.2 La fuerza eléctrica entre dos panículas con carga se debilitaal awncntar la distancia. Ahora suponga que la fuerza c1éctrica fue­ra independiente de la distancia. En este caso. ¿un peine con cargacausaria que un aislador neutro se polarizara como en la figura21.7? ¿Por qué? ¿El aislador neutro seria atraído hacia el peine?Nuevamente. ¿por qué?P21.3 Las pITndas de ropa tienden a adherirse unas a ooas despuésde pasar por la secadora. ¿Por qué? ¿Esperarla usted más (o menos)adhesión si toda la ropa fuese del mismo material (algodón, porejem­plo) que si se secara ropa de diferentes tipos? Nuevamente, ¿por qué?(Si lo desea. e;<.perimente con su próxima carga dc lavadora.)P21.4 Una esfera metálica sin carga cuelga de un hilo de nylon.Cuando se acerca a la esfera metálica una barra de vidrio con cargapositiva, la esfera es atrnida hacia la barra. Pero si la esfera toca la ba­rra, de pronto se aleja violcntamente de ella. Explique por qué la es­fera es atraida primero y luego repelida.P21.S Los electrones libres de un metal experimclltan atraccióngravitatoria hacia la Tierra. ¿Por qué, entonccs, no se depositan to­dos en el fondo del conductor, como un sedimento que se asienta enel fondo de un rio?P21,6 Algunos de los electrones libres de un buen cooduetor (como untrozo de cobre, por ejemplo) se desplazan coo una rapidez de l(f mis omás. ¿Por que estos electrones no escapan \'OlanOO del conductor?P21.7 los buenos conductores elettficos, como los metales, sontipieamente buenos conductores del calor; los aisladores eléctricos,como la madera, son tipicamente malos conductores del calor. Ex­plique por qué tendría que haber una relación entre la conduccióneléctrica y la conducción térmica en estos materiales.P21.8 Defienda la aseveración siguiente: "Si hubiese una sola par­titula con carga eléctrica en todo el universo, el concepto de cargaeléctrica carecería de significado".P21,9 Dos objetos metalicos idénticos estan montados en soponesaislantes. Describa cómo podria depositar cargas de signo opuestopero de magnitud exactamente igual en los dos objetos.P21.10 Se puede cubrir un recipiente con película de plástico paraalimentos estirando el material sobre la parle superior y presionar

828 CAPíTULO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

•figura21.32 PreguntaP21.21.

•

el material colgante contra los costados. ¿Qué es lo que hace que seadhiera? (SugUl'1lcia: La respuesta tiene que ver con la fuerza eléc­trica.) ¿Se adhiere la pelicula de plástico a si misma con la misma te·nacidad? ¿Por qué? ¿Se obliene el mismo resultado con recipientesmetálicos? Nuevamente, ¿por qué?P21.11 Si uno camina sobre un tapete de nylon y luego toca un obje­to metálico grande, como la perilla de una puena, puede m:ibir unachispa y una sacudida ¿Porqué tiende esto a ocurrir con mas frecuen­cia en los dias secos que en los hiunedos? (Pista: Véase la Fig. 21.28.)¿Por que es menos probable recibir una sacudida si se loca un objetometálico pequeño, como un sujetador de papeles, por ejemplo?P21.12 Usted tiene un objeto con carga negativa. ¿Cómo puededepositar una carga negativa nela en una esfera metálica aislada pormedio del objeto? i,Y una carga positiva neta?P21.13 Si se toca con una barra con carga positiva una esfera me·tálica aislada inicialmente sin carga, la esfera adquiere una cargapositiva neta y la barra pierde parte de su carga. ¿Significa esto quese transfirieron prolOnes de la barra a la esfera?P21.14 Dos cargas puntuales iguales ejercen fuerzas iguales unasobre la olra. Pero si una carga es el doble de la otra, ¿siguen ejer­ciendo fuerzas iguales una sobre la otra, o una ejerce dos veces másfuerza que la otra?P21.15 Se coloca un protón en un campo electrico uniforme y luegose libera. Después se coloca un electrón en el mismo punto y se libe­ra. ¿Experimentan estas dos parriculas la misma fuena? ¿Y la mismaaceleración? ¿Se desplazan en la misma dirección al ser liberadas?P21.16 La fuerza eléctrica entre un electrón y un protón, entre doselectrones o entre dos protones es mucho más intensa que la fuerzagravitatoria entre cualquiera de estos pares de particulas. Sin em­bargo, pese a que el Sol y los planetas contienen electrones y proto·nei, es la fuerza gravitatoria lo que mantiene a los planetas en susórbitas alrededor del Sol. Explique esta aparente contradicción.P21.17 ¿Qué semejanzas presentan las fuerzas eléctricas con lasfuerzas gravitatorias? ¿Cuáles son las diferencias más significativas?P21.18 Los núcleos atómicos se componen de protones y neutro­ncs. Esto demuestra quc dcbe cxistir olro tipo de interacción ade­más dc las fucrzas gravitatorias y eléctricas. Explique este hecho.P21.19 Los campos eléctricos suficientementc intensos pueden pro­vocar que los átomos se ionicen positivamente, csto es, que pierdanuno o más electrones. Explique cómo ocurre esto. ¿Qué es lo que dc­termina la intensidad que el campo debe tener para que esto ocurra?P21.20 Cuando uno saca cinta de plástico transparente de un rolloe intenta colocarla con precisiónen una hoja de papel, la cintasuele saltar y adherirse donde nose desea. ¿Por qué?P21.21 Se mantiene fija en elongen una partícula con cargapositin Q. Se dispara una se·gunda panicula con carga positi­va q hacia la primera panicula. ysigue la n-<tyKtOria que se mues-trn en la figura 2132. ¿.Es constante la cantidad de movimiento an­gular de la segunda partícula? ¿Por que? (Sugerencia: ¿Cuántomomento de tomán ejerce la primera panícula sobre la segunda?)P21.22 La temperarura y la \"elocidad del aire tienen valores dife­rentes en distintos lugares de la attnósfera terrestre. ¿Es la veloci-

dad del aire un campo vectorial? ¿Por que? ¿Es la temperatura delaire un campo vectorial? Nuevamente. ¿por qué?P21.23 Suponga que la carga que se muestra en la figura 21.261 estáen una posición fija. Se coloca entoDCes una panicula pequeña concarga positiva en algún punto de la figura y~se deja libre. ¿Seguirá latrayeCtoria de la panícula una linea de campo eléctrico? ¿Porqué? Su­ponga ahora que se coloca la particula en algUn punto de la figura21.26b y se deja en libertad (las cargas positiva y negativa que semuestTan en la figura ocupan posíciones fijas). ¿Seguirá su,u:ayecto­ria una línea de campo eléctrico? Nuevamente, ¿porqué? Explique lasdiferencias entre sus respuestas con respecto a las dos situaciones.P21.24 La molécula de agua (H 20) tiene un momento dipolargrande; en cambio, la molécula de benceno (C6H.) no tiene mo­mentO dipolar. Con base en estos hechos, explique por qué la sal co­mún (NaCI, cloruro de sodio) se disuelve con gran facilidad enagua, pero muy poco en benceno.

Ejercicios

Sección 21.3 Ley de Coulomb21.1 Se deposita un exceso de electrones sobre una esfera pequeña deplomo con una masa de 8.00 g, de modo que su carga neta es de-320X 1(J'l C. a) Halle el número de electrones en exceso en la esfera. b)¿Cuántos electrones en exceso hay en cada átomo de plomo? El nú­mero atómico del plomo es 82 y su masa atómica es de 207 g/mol.21.2 Se produce un rayo cuando hay un flujo de carga eléctrica (prin­cipalmente electrones) entre el suelo y un nubarrón. La propon:iónmáxima de flujo de carga al caer un rayo es de alrededor de 20 000Cls; esto dura lOO p.s o menos. ¿Cuanta carga fluye entre el suelo y lanube en este tiempo? ¿Cuántos electrones fluyen dwanteeste tiempo?21.3 Estime cuántos electrones hay en su cuerpo. Haga las suposi­ciones que considere necesarias, pero indique claramente cuálesson. (Sugerencia: Casi todos los átomos de su cuerpo tienen mime­ros iguales de electrones, protones y neutrones.) ¿Cuál es la cargacombinada de todos estos electrones?21.4 Partículas en un anillo de oro. Se tiene un anillo de oro pu­ro (de 24 kilates) con una masa de 17.7 g. El oro tiene una masa ató­míca de 197 g/mol y un número atómico de 79. a) ¿Cuántosprotones hay en el anillo, y cuál es su carga positiva IOtal? b) Sí elanillo no tiene una carga neta, ¿cuántos electrones hay en él?21.5 ¿Cuál es la carga total, en coulomb, de todos los electrones de1.80 mol de átomos de hidrógeno?21.6 Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de 20.0 cmtienen cargas iguales. ¿Cuántos electrones en exceso hay en cadaesfera si la magnirud de la fuena de repulsión entre ellas es de 4.57X JO-u ?21.7 A dos esferas pequeñas de plástico se les proporciona una car­ga elecuica positiva. Cuando eslán a 15.0 cm de distancia una de laotra, la fuerza de repulsión entre ellas tiene una magnitud de 0.220N. ¿Que carga [iene cada esfera a) si las dos cargas son iguales? b)si una esfera tiene cuatro veces más carga que la otra?21.8 Dos esferas pequeñas de aluminio, cada una con una masa de0.0250 kg, están separadas por una distancia de 80.0 cm. a) ¿Cuán­tos electrones contiene cada esfera? (La masa atómica del aluminioes de 26.982 glmol. y su nlimero atómico es 13). b) ¿Cuántos elec­trones habría que qUitar a una esfcra y agregar a la otra para crearuna fuerza de atracción cntre las esferas con una magnitud de 1.00

Ejercicios 829

x lO" N (aproximadamente ll)? Suponga que las esferas se puedentratar como cargas puntuales. c) ¿Qué fracción de cada esferJ. repre-sentan estos electrones? •21.9 ¿A qué distancia es necesario alejar del núcleo el electrón deun atomo de hidrógeno para que la fuerza de atracción sea igual alpeso del eleClron en la superficie terrestre?21.10 a) A! frotarcon seda una barra de vidrio. ésta adquiere una caroga cuya magnitud es de 7.50 nC. ¿Cuál es el cambio de masa de la ba~

era? b)AI frotar con piel una barra de plasoco, esta adquiere una cargacuya magnitud es de 7.50 ne. ¿Cuál es el cambio de masa de la barra?21.11 Tres cargas puntuales están dispuestas en línea. La carga q]= +5.00 nC está en el origen. La carga q2 :::: - 3.00 nC esta enx::::+4.00 cm. La carga ql estlÍ en x = +2.00 cm. ¿Cual es la magnitudy el signo de q, si la fuerza neta sobre ql es cero?21.12 Una carga negativa de -0.550 ¡LC ejerce una fuerza haciaarriba dc 0.200 N sobre una carga desconocida que está a 0.300 mdirectamcnte abajo de ella. a) ¿Cuales son la magni~d y el signo dela carga desconocida? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de lafuerza que la carga desconocida ejeree sobre la carga de -0.550 jJ.C!21.13 Sc coloca una carga puntual de +3.50 jJ.CO.800mala izquier­da de una segunda carga puntual idéntica. ¿Cuáles son las magnitudesy direcciones de las fuerzas que cada carga ejerce sobre la otra?21.14 Suponga que en el ejemplo 21.4 (sección 21J) la carga pun­tual que está sobre el eje de las y cny = -0.30 m tiene una carga ne­gativa de -2.0 p,C, y que las otras cargas no han cambiado. Halle lamagnitud y dirección de la fuerza neta sobre Q. ¿Cuál es la diferen­cia entre su respuesta y la del ejemplo 21.3? Explique las diferencias.21.15 En el cjemplo 21.3 (sección 21.3), caleulc la fuerza neta so­bre la carga q l.

21.16 En el ejemplo 21.4 (secciOñ 21.3), ¿cuál es la fuerza neta(magnitud y dirección) que ejercen las orras cargas sobre la carga ql? .21.17 Tres cargas puntuales están ordenadas a lo largo del eje de lasx. La carga ql = + 3.00 J1C está en el origen. y la carga q~ = -5.00jJ.C está en x = 0.200 m. La carga ql = -8.00 jJ.e. ¿Dónde eSlá si­tuada qJ si la fuerza neta sobre ql es 7.00 N en la dirección -x?21.18 Repita el ejercicio 21.17 con ql = +8.00 p,C.21.19 Dos cargas puntuales estan situadas sobre el eje de las y co­mo sigue: la carga ql = -1.50 nC en y = -0.600 m, y la carga q2 =+ 3.20 nC en el origen (y = O). ¿Cual es la fuerza tola! (magnitud ydirección) que estas dos cargas ejercen sobre una tercera carga q) ==+ 5.00 nC que se encuentra en y = -0.400 m?21.20 Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje de las x ro­roo sigue: la carga q, = +4.00 nC está en x =0.200 m, Y la carga q!= +5.00 nC está en x == -QJOOm. ¿Cuáles son la magnitud ,¡direc­ción de la fuerza total que estas dos cargas ejercen sobre una cargapuntual negativa qJ = -6.00 nC que se encuentra en el origen?21.21 Se coloca una carga puntual positiva q sobre el eje de las +yen y = a, y una carga puntual negativa -q sobre el eje de las -yeny = -o. Una carga negativa puntual-Q se encuentra en algun puntosobre el eje de las +x. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestrelas fuerzas que acnian sobre la carga -Q. b) Halle las componentesx y y de la fuerza nela que las dos cargas q y -q ejercen sobre -Q.(En su respuesta sólo deben intervenir k, q, Q, D Y la coordenada ..de la lereera carga). c) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga-Qcuando esta se encuentra en el origen (x = O)? d) Grafique la com­ponenle y de la fuerza neta sobre la carga -Q en función de x con va­lores de x entre --4a y +4D.

21.22 Dos cargas puntuales positivas q se encucntran sobre el ejede las y en y = a y y = -D. Una carga puntual negativa -Q seencuentra en algún punto sobre el eje de las + x. a) En un diagramade cuerpo libre, muestre las fuerzas que aenian sobrc la carga -Q.b) Halle las componentes x y y de la fuerza nela que las dos cargasposilivas ejercen sobre -Q. (En su respuesta sólo deben intervenirk, q, Q, DY la coordenada x de la tercera carga). e) ¿Cuál es la fuer­za nela sobrc la carga -Q euando esta se encuentra en el origen (x= O)? d) Grafique la componente x de la fuerza neta sobre la carg:a-Q en función de x con valores de x entre --4a y +4a.21.23 Se colocan cuatro cargas idénticas q cn los vénices de tln cua­drado de lado L. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas lasfuerzas que actúan sobre una ae las cargas. b)'Halle la magnitud y di­rección de la fuerza total que ejercen sobre una carga las otras tres.

Sección 21.4 Campo eléctrico y fuerzas eléctricas21.24 Ctena ¡>articula tiene una carga de -3.00 ne. a) Halle la mag­nitud y dirección del campo eléctrico debido a esta partícula en unpunto situado 0.250 m direclal11ente arriba de ella. b) ¿A que distaociade esta partícula tiene su campo eléctrico una magnitud de 12.0 NfC?21.25 Una panícula alfa (carga +2e y masa 6.64 x 1¡rJ' kg) via­ja hacia la derecha a 1.50 km/s. ¿Qué campo eléctrico uniforme(magnitud y dirección) se necesita para hacer que viaje hacia la iz­quierda con la misma TlIpidez al cabo d~ 2.65 ¡JS?21.26 Un clectrón inicialmente en reposo se deja libre en un cam­po eléctrico uniforme. El electrón se acelera verticalmente haciaarriba. recorriendo 4.50 m en los primeros 3.00 p,s después de ~er

liberado. a) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctri­co? b) ¿Se justifica no tencr en cuenta los efectos de la gravedad?Justifique su respuesta cuantitalÍvamenle.21.27 a) ¿Cuál debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícu­la de 1.45 g para que ésta pennanezca inmóvil al colocarla en uncampo eléctrico dirigido hacia abajo y cuya magnitud es 650 N/e?b) ¿Cual es la magnitud de un campo eléctrico en el que la fuerzaeléctrica sob~ un protón tienc la misma magnitud que su peso?21.28 ¿Cual es el campo e:léttrico de un nucleo de hierro a una dís­tancia de 6.00 x 10-10 m del nucleo? El número atómico del hierroes 26. Suponga que se puede tratar el núcleo como una carga pun­tual. b) ¿Cuál es el campo eléctrico de un protón a una distancia de5.29 x 10-11 del protón? (Éste es el radio de: la órbita del electrón enel modelo de Bahr del estado fundamental del átomo de hidrógeno).21.29 Un objeto pequeño que tiene una carga de -55.0 jJ.C experi­menta una fuerza hacia abajo de 6.20 X 10-9 'cuando se coloca encierto punto de un campo eléctrico. a) ¿Cuáles son la magnitud ydirección del campo eléctrico en este punlo? b) ¿Cuáles serian lamagnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre un nucleo de co­bre (numero atómico = 29), masa atómica = 63.5 gfmol) situadoen este: mismo punto del campo eléctrico?21.30 Canlpo eléctrIco de la Tierra, La Tierra tiene llna cargaeléctrica neta que crea en los puntos cercanos a su superficie uncampo igual a 150 NfC y dirigido hacia su centro. a) ¿De qué mag­nitud y signo debe ser la carga que un ser humano de 60 kg tendríaque adquirir para compensar su peso con la fuerza que ejerce: el cam­po eléctrico terreslfe'? b) ¿Cual seria la fuerza de repulsión entre dospel'5(lnas que tuviesen cada una la carga calculada en el incíso (a) yestuviesen separadas por una distancia de: 100m? ¿Es el uso delcampo eléctrico terrestre un medio viable paTll volar? ¿Por qui?

830 e .... PfT U LO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

Sección 21.5 Calculos de campos eléctricos21.40 Dos particulascon cargasql ::: 0.500 nC y ql::: 8.00 nC es·tán separadas por una distancia de 1.20 m. ¿En qué punto a lo largode la recta que une las dos cargas es igual a cero el campo eléctricolotal debido a ambas cargas?21.41 Se colocan dos cargas puntuales positivas sobre el eje de las.x, una en.x ::: a y la otra en.x ::: --(l. a) Hallc: la magnitud y direc~ióndel campo electrico en x ::: O. b) Deduzca una expresión del campoeléctrico en puntos sobre el eje de las x. Con base en su resultado,grafique la componente x del campo eléctrico en función de x conrespecto a valores de.x entre -40 y 4a.21.42 Repita el ejercicio 21.40, pero ahora con ql ::: -4.00 nC.21.43 Una carga punmal de +2.00 nC está en el origen, y una segun­da carga punmal de~5.00 oC está sobre el eje de lasx en.x = 0.800 ma) Halle el campo electrico (magnitud y dirección) en cada uno de lospuntos siguienlCS sobre el eje de las.x: i).x = 0.200 m; ii).x = 1.20 m;iii).x = -0.200 m. b) Halle la fuerza eléctrica neta que las dos cargasejercerlan sobre un electrón colocado en cada punto del inciso (a).21.44 Se coloca una carga positiva puntual q en.x ::: a, y una carganegativa puntual-q en x::: -a. a) Halle la magnitud y dirección delcampo cléctrico en x = O. b) Deduzca una expresión para el campoeléctrico en los puntos sobre el eje de las x. Con base en su resulta­do, grafique la componente x del campo eléclrico en función de.xcon respecto a valores de.x entre -40 y 4a.21.45 En un sistema de coordenadas rectangulares se coloca unacarga positiva puntual q = 6.00 X 10-'C en el punto.x::: +0.150m,y ::: O, y una carga puntual idertlica en.x o; -0.150 m, y = O. Hallelas componentes x yy, así como la magnitud y la dirección del cam­po eléctrico en los puntos síguientes: a) el origen; b)x = 0.300 m,y::: O; c).x::: 0.150 m,y::: -0.400 m; d)x = O,y::: 0.200 m.21.46 Una carga puntual q¡ ::: -4.00 nC está en el punto x = 0.600 m,y ::: 0.800 m, y una segunda carga puntual q2 = +6.00 nC está en elpunto x ::: 0.600 m,y = o. Calcule la magnitud y dirección del cam·po elécuioo neto debido a estas dos cargas puntuales en el origen.21.47 Repita el ejercicio 21.45 aplicado al caso en el que la cargapuntual que esta en.x "" +0.150 m,y = Oes positiva y la Otra es neogativa, cada una con una magnilud de 6.00 X 10.9 C.21.48 Un alambre recto muy largo liene una carga en cada.unidadde 10ngilUd de 1.50 X 10--10 Clm. ¿A qué distancia del alambre es lamagnitud del campo eléctrico igual a 2.50 N/e?

seres humanos deben evitar la exposición prolongada a campos e1éc·tricos de magnitudes mayores que 614 N/e. a) En un punto donde E::: 614 N/C. ¿cuál es la magnirud de la fuerza eléctrica sobre un elec­trón individual? b) Las dimensiones atómicas y moleculares son delordcn de 10-10 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerul eléctrica sobre unelectrón que está a 1.0 x 10 10 m de un protón? c) ¿Cómo son las res·puestas de los incisos (a) y (b) en comparación una con la otrn? ¿Quépiensa usted que le ocurriria a una per.>ooa situada en un campo eléc­trico que produjese una fuerza igual a la calculada en el inciso (b)?21.39 a) Un electrón se desplaza hacia el este en un campo eléctricounifonne de 1.50 VIm dirigido hacia e! oeste. En el punto A, la "el~

cidad del.elCCIrÓn es de 4.50 X lOS mis hacia el este. ¿Cuál es la ra·pidez del electrón cuando alcanza·el punto B, 0.375 m al este delpunto A? b) Un protón se desplaza en el campo eléctrico uniformedel inciso (a). En el puntoA, la velocidad del protón es de 1.90 X lO'mis hacia el este. ¿Cuál es la rapidez del protón en el punto B?

=

~ "" V.E

1<-200

Figura 21.33 Ejercicio 21.31.

21.31 Se proyecta un electróncon una rapidez inicial U(l = 1.60X 106 mis hacia el interior de uncampo eléctrico uniforme cntrelas placas paralelas de la figura21.33. Suponga que el campo en­tre las placas es unifonne y su di·rección es vertical desttndente, y que el campo afuera de las placas escero. El dectrón entra en el campo en un punto equidistante de las dosplacas. a) Si el electrón pasa casi rozando la placa superior al salir delcampo, halle la magninxl del campo electrico. b) Suponga que el elec­trón de la figura 21.33 se sustituye por un protón con la misma rapi.dez inicial Uo- ¿Golpearía el prolón en una de las placas? Si el protónno golpeara una de las placas, ¿cuál sería la magnitud y dirección desu desplazamiento vertical al salir de la región comprendida entre lasplacas? e) Compare las trayectorias recorridas por el electrón y el pro­Ión y~plique las diferencias. d) Comente si es razonable pasar por al­to los efeclos de la gravedad en cada panícula.21.32 La carga puntual ql = -5.00 nC esta en el origen y la carga pun­tual q¡ = +3.00 nC esta sobre el eje de las.x etl.x '" 3.00 cm. El puntoPcstá sobre el eje de Iasyeny::: 4.00 cm. a) Calcule los campos eléc·lricosE I y E2 en el punto Pdebidos a las cargas ql y ql· Ex¡Rse susresultados en lénninos de vectores unitarios (véaseel ejemp1021.6). b)Con base en los resultados del inciso (a), obl:enga el campo eléctricoresultante cn P, expresado en fonna de vectores unitarios.21.33 En el ejercicio 21.31, ¿cuál es la rapidez del electrón al salirdel campo electrico?21.34 a) Calcule la magnirud y dirección (respecto al eje de las x)del campo eléctrico del ejemplo 21.6 (sección 21.4). b) Se colocauna carga punrual de -25 nC en el puntoP de la figura 21.17. Ha­lle la magnirud y dirección de i) la fuerza que la carga de -8.0 oCsiruada en el origen ejerce sobre esta carga y ii) la fuerza que estacarga ejerce sobre la carga de -8.0 DC situada en el origen.21.35 alCen respecto al electrón de los ejemplos 21.7 y 21.8 (sección21.4), compare el peso del electrón con la magnitud de la fuerza eléc­trica sobre el electrón. ¿Es correcto pasar por alto la fuerza gravitato­ria sobre el electrón en estos ejemplos? Explique su respuesta. b) Secoloca una partícula con carga +e en reposo entre las placas con caroga de la figura 21.18. ¿Cuál debe ser la masa de este objcto para quepermanezca en reposo? Exprese su respuesta en kilogramos y en múl·tiplos de la masa del electrón. c) ¿Depende la respuesta del inciso (b)de la posición donde se coloque el objeto entre las placas? ¿Por que?21.36 Hay un campo eléctrico uniforme en la región comprendidaentre dos placas planas paralelas con carga opuesta. Se deja libre unprolón inicialmente en reposo en la superficie de la placa con cargaposiliva, el cual golpea la superficie de la placa opuesta, distanle1.60 cm de la primera, al cabo de un intervalo de tiempo de 1.50 X

10-6 s. a) Halle la magnitud del campo eléctrico. b) Halle la rapidezdel protón cuando incide en la placa con carga negativa.21.37 Una carga puntual se eocuentrn en el origen. Con esta cargapunmal como punto de origen, ¿cuál es el vector unitario; en la direc­ción de ll) el punto del campo siruadoen.x = O,y::: -1.35 m; b) el punoto del campo situado en.x ::: 12.0 cm,y ::: 12.0 cm; e) el punto delcampo situado en.x "'" ~I.IO m,y::: 2.60 ro? (Exprese sus resultadosen términos de los ~UIOreS unitarios; y j).21.38 De acuerdo con las oonnas de seguridad dellnstitulo de Inge­nieros Elecuicistas y Electrónicos (lEEE, por sus siglas en inglés), los

•

Ejercicios 831

21.49 Se tiene carga posith-a distribuida a lo largo del eje de las ycon una carga en cada unidad de longi~d A. a) Considere el caso enel que la carga está distribuida sólo entre los puntos y = (l y y ::: -a.Con respecto a puntos sobre el eje de las +x, grafique la compo­ncnte x del eampo e1ectrieo en función de x para valores de x entre.T = aI2 Yx::: 40. b) Considere ahora el caso en el quc la carga es­lli distribuida a lo largo de la totalidad del eje de las y con la mismacarga en cada unidad de 10rlgilUd Á. Con base en la misma graficadd inciso (a), grafique la compo~nte x del campo eléctrico en fun­ción de.r con respecto a \-alores de x entre x = af2 Yx = 40. Indi­que cuál grafica se refiere a cuál situación.21.50 Un conductor de fonna anular con radio a "'" 2.50 cm tieneuna carga posiliva total Q::: +0.125 nC distribuida uniformementeen toda su circunferencia, como sc muestra en la figura 21.21. Elccntro del anillo cstá en el origen de coordenadas O. a) ¿Cuál cs elcampo eléctrico (magnitud y dirección) en el punto P. que está sobreel ejc de las x en x = 40.0 cm? b) Se coloca una c3JE3 puntual q =-2.50 p.C en el pUIlto P descrito en el inciso (a). ¿Cuáles son la mag­nitud y dirección de la fuerza que ejerce la carga q sobre el anillo?21.51 Un disco con carga uniforme y de radio R tiene una carga po­sitiva en cada unidad de área u, como en la figura 21.23. Con respec­to a puntos sobre el eje de las +x, grafique la componentex del campoeléctrico con respecto a x para valores de x entre x =Oy x =4R.21.52 Cerea de la superficie te~stre, el campo eléctrico al aire li­bre tiene una magnitud de 150 N/C y está dirigido hacia abajo, ha­cia el suelo. Si se considera que esto se debe a una lámina grandedc carga que yace sobre la superficie terrestre, calcule la carga cncada unidad de área de la lámina. ¿Cuál cs el signo de la carga?21.53 Cada centímelro cuadrndo de la superficie de una hoja pla­mi infinila de papel tiene 2.50 X Il.f'electrones en exceso. Halle lamagnilUd y dirección del campo eléctrico en un punto situado a5.00 cm de la superficie de la boja. si la hoja es lo suficientementegrande para considerarla como un plano infinito.21.54 Dos láminas planas horizonlales e infinitas dc carga esmn se­paradas por una distancia d. La lámina inferior liene carga negativa,con UIla densidad superficial uniforme de carga -q < O. La láminasuperior tiene carga positiva, con una densidad superficial uniformede carga u> O. ¿Cuál es el campo eléctrico (magnitud, y dirección siel campo eS diferente de cero) a) arriba de la lámina superior? b) aba­jo de la lámina inferior? e) entre las láminas?

Sección 21.6 Lineas de campo elea:rico21.55 Dos láminas grandes paralelas de carga están separadas poruna dislancia d. Una de ellas tiene una densidad superficial de cargapositiva u> O, y la otra tiene una densidad superficial de carga ne­gativa -q < O. Dibuje las lineas de campo eléctrico en puntos cerca­nos al centro de las láminas y. por tanto, muy alejados de los bordes.21.56 Dibuje las líneas de campo eléctrico de un disco de radio Rcon una densidad superficial uniforme de carga positiva u. Apliquelo que sabe: acerca del campo eléctrico muy cerca dcl disco y muylejos de él para hacer su dibujo.21.57 a) Dibuje las lineas de campo eléctrico de una recta infinilacon carga. Puede ser útil mostrar las lineas de campo en un planoque: contenga la recta con carga en un dibujo. y las lineas de campoen un plano perpendicular a la recia con carga en un segundo dibu­jo. b) Explique dc qué modo sus dibujos muestran i) que la magni·md E del campo eléctrico depende sólo de la diSlancia r respecto ab~ con carga y ii) que E disminuye con l/r.

21.58 La figura 21.34 muestraalgunas de las lineas de campoeléctrico debidas a tres cargaspuntuales dispuestas a lo largodel eje vertical. Las tres cargastienen la misma magnitud.a) ¿Cuáles son los signos de cadauna de las tres cargas? Expliquesu razonamiento. b) ¿.En qué pun- ~---

to o puntos es minima la magni- I\ """"'"tud del campo eléctrico? Expl iquesu razonamiento. Explique cómo Figura 21.34 Ejercicio 21.58.se combinan [os campos produci-dos por cada carga puntual indillidual para dar un pequeño camponeto en este punto o puntos.

Sección 21.7 Dipolos eléctricos21.S9 Hay una dislancia de 3.1 mm entre las cargas puntuales ql =-4.5 nC y q~ = +4.5 oC. que fonnan un dipolo eléctrico. a) Halleel momento dipolar eléctrico (magnitud y direcci6n). b) Las cargasestán en UD campo eléctrico uniforme cuya dirección fonna un án­gulo de 36.~ con la recta que une a las cargas. ¿Cuál es la magni­IUd de este campo si el momento de torsión que se ejerce sobre eldipolo tiene una magnitud de 7.2 x 10-9 N ·m?21.60 La molécula de cloruro de potasio (KCI) tiene UIl momento di­polar de 8.9 X 1Q--.l(I C •m. a) Suponiendo que este momento dipolarse debe a dos cargas de ::!: 1.6 X 10-19 C separadas por una distancia d,calcule d. b) ¿Cuál es la magnilUd máxima del momento de torsiónque un campo eléctrico uniforme de magnitud igual a 6.0 X ](f N/Cpuede ejercer sobre una molécula de KCI? Dibuje las orientaCionesrelativas del momento dipolar eléctrico py del campo eléctrico Ecuando el momento de tmión es máximo.21.61 La molecula de amoniaco (NH.J tiene un momento dipolarde 5.0 X 10-JOc ·m. Se inlroducen moléculas de amoniaco en fasegaseosa en un campo eléctrico i: con una magnilUd de 1.6 X IcfN/e. a) ¿Cuál es el cambio de cnergía potencial elécfrica cuando elmomento dipolar de una molécula cambia de orientación con res­pecto a E, dc paralela a pcrpendicular? b) ¿A qué temperatura ab­soluta T es la energia cinética media de traslación fkT de unamolécula igual al cambio de energia potencial ca!culado en el inci­so (a)? (Por encima de esta temperatura, la agitación tennica impi­de que los dipolos se alineen con el campo eléctrico.)21.62 El momentodipolarde la molécula de agua (H20) es de6.17x Io-JO C °m. Considere una molécula de agua situada en el origen.cuyo momento dipolar papunta en la dirección +.1". Un ion cloruro(Cr), de carga-I.60 X 10-19 C, está situado en x = 3.00 X lo-' m.Halle la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica que la molécu­la dc agua ejerce sobre el ion cloruro. ¿Es esta fuerza de atraccióno de repulsión? Suponga que x es mucho mayor quc la separación dentre las cargas del dipolo. por lo que se puede emplear la aproxi.mación del campo eléclrico a 10 largo del eje del dipolo deducida enel ejemplo 21.15 (sección 21.7).21.63 En el ejemplo 21.15 (sección 21.7), se dedujo el resultadoaproximado E ~ pI2r.f.o)·l del campo eléctrico de un dipolo enpuntos silUados sobre el eje del dipolo. a) Deduzca de nuevo esteresullado poniendo las fracciones de la expresión de E, sobre un de­nominador común, como se describe en el ejemplo 21.15. b) Expli-

832 e A P rTUl. o 21 I Carga déclrica y campo elécuico

Figura 21.36 Problema 21.67.

figura 21.35 Ejercicio 21.65.

,

,....,figura 21.37 Problemas21.70,21.71 y 21.72.

21.69 Dos cargas punrnales positivas Q se mantienen fijas sobre eleje de las x en x = a y x = -o. Se coloca una tercera carga punrnalpositiva de carga q y masa m sobre el eje de las x (fuera) del origen,en una coordenada x tal que Ix! «a. En seguida se deja libre la car­ga q, que puede moverse libremente a lo largo del eje de las x.a) Halle la frecuencia de oscilación de la carga q. (Sugerencia: Re­

'pase la definición de! movimiento annónico simple en la sección13.2. Utilice el desarrollo binomial (1 + zt = 1 +nz + n(n- 1p2n.+ ...• válido para e! caso 1=1 < l.) b) Suponga ahora que la carga q secoloca sobre el eje de las y en una coordenada y tal que lJ.1 « a, yluego se deja libre. Si esta carga puede moverse libremente a cual­quier punto del plano :ry, ¿qué le ocurrirá? Explique su respuesta.21.70 Dos esferas idénticas de masa m se cuelgan de hilos de seda delongitud L, como se muestra en la figura 21.37. Cada esfera tiene lamisma carga; por tanto, ql = q2 = q. El radio de cada esfera es muy pe­queño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que és­tas se pueden tratar como cargas puntuales. Demuestre que, si el ángulo(Jes pequeño, la separación de equilibrio d entre las esferas es d = (¡L­I2TrEdllg)ll'J. (Sugerencia: Si (J es pequeño, entonces tan (J~ sen 9).2;.71 Doscsferas pequei\as de masa m = 15.0 gcuelgan de hilos deseda de longitud L = 1.20 ro de un puntO comun (Fig. 21.3 7). Cuan­do se les proporciona a las esferas cantidades iguales de carga nega­tiva, de modo que ql = q~ = q. cada hilo cuelga a O= 25.00respecto

a la vertical. a) Dibuje un diagra­ma que muestre las fuerzas sobrecada esfera. Trate las esferas co­mo cargas punrnales. b) Halle lamagnitud de q. e) Ahora se acor·tan los dos hilos a una longitud L= 0.600 m. en tanto que las carogas q, Y q2 pennaneeen sin cam­bio. ¿Cuál es el nuevo ángulo quecada hilo forma con la venical?(Sugerencia: Esta pane del pro­blema se puede resolver numéri­camente empleando valores deprueba de Oy ajustando estos va-lores haSta oblener una respuesta congruente consigo misma).21.72 Dos esferas idénticas se sujetan a hilos de seda de longitudL = 0.500 m y se cuelgan de un punto común (Fig. 21.37). La ma­sa de cada esfe~ es ni = 8.00 g. El radio de las esferas es muy pe­queño en comparación con la distancia entre ellas. por lo que se lespuede tralar como cargas puntuales. A una esfera se le proporcionauna carga positiva qh y a la otra una carga positiva diferente qb es­to pTO\'oca que las esferas se separen de tal modo que, cuando estánen equilibrio, cada hilo forma un angula O= 20.00 con la vertical.a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada esfera en equilibrio,e idenlifique todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera. b) Ha­lle la magnitud de la fuerza elcclrostálica que actiJa sobre cada esfe·ra. asi como la Icnsióll en cada hilo. e) Con base en la infonnacióndada. ¿qué se puede aímnar acerca de las magnitudes respectivas deql y q2? Explique sus respuestas. d) Ahora se conectan las esferasmediante un alambre pequeño, lo que pennile que se transfiera car­ga de una esfera a la otra hasta que ambas lienen la misma carga;después se retira el alambrc. Cada hilo forma ahora un ángulo de30.00 con la ~·cnical. Halle las cargas originales. (Sugerencia: Lacarga total del par de esferas se conserva).

qU,e por qué el resultado aproximado también da la expresión apro­ximada correcta de E~ para Y < O.21.64 Considere el dipolo e1ectrico del ejemplo 21.15 (sección21.7). a) Deduzca una expresión de la magnilud del campo electri­co producido por el dipolo en un punto sobre el eje de las,l" de la fi­gura 21.31. ¿Cual es la dirección de este campo eléclrioo? ¿Cómodepende de .r el campo eléctrico en puntos sobre el eje de las xcuando x es muy grande?21.65 Tensión superficial. La superficie de un liquido polar, co­mo el agua. por ejemplo. se puede ver como una serie de dipolosencadenados en un arreglo eslable en el que los vectores de mo­mento dipolar son paralelos a la superficie y todos apuntan en lamisma dirección. Suponga ahora que algo presiona la superficiehacia dentro, deformando los dipolos como se muestra en la figura21.35. a) Muestre que los dos dipolos inclinados cjercen una fuerzaneta hacia arriba sobre el dipolo qu~ está entre cllos y, por tanto, seoponen a la fuerza externa hacia abajo. Muestre además que los di­polos se atraen mutuamente y, por consiguiente, oponen resistenciaa ser separados. La fuerza entre los dipolos se opone a la penetra.­ción de la superficie del líquido. y es un modelo sencillo de la ten­sión superficial (sección. 14.3 y Fig. 14.15).

21.66 Momento de torsión sobre un dipolo. Un dipolo eléctricocon un momento dipolar pesta en un campo eléctrico uniforme E. a)Halle las orientaciones del dipolo en las que el momento de torsióndel dipolo es cero. b) ¿Cuál de las orientaciones del ~iso (a) es esta­ble, y cuál es inestable? (Sugerencia: Considere un desplazamientopequeño respecto a la posición de equilibrio y vea lo que ocurrc.)e) Muestre que, en el caso de la orientación estable de (b), el propiocampo eléctrico del dipolo tiende a oponerse al campo CJl,terno.21.67 Hay tres cargas en los ver­tices de un triángulo isósceles, co­mo se muestra en la figura 21.36.Las cargas de ±5.00 p.C formanun dipolo. a) Halle la fuerza(magnitud y dirección) quc la car­ga de -10.00 p.C ejerce sobre eldipolo. b) Con respecto a un ejeperpendicular a la recta que unelas cargas de :!:5.00 p.C ene! pun­to medio de esla recta. baile elmomento de torsión (magnitud ydirn:'tión) que ejerce sobre el dipolo la carga de -10.00 p.e.

Problemas

21.68 Se coloca una carga q. = .... 5.00 nC en el origen de un siste­ma de coordenadas .1)'. Yuna carga q2 = -2.00 nC sobre el eje x po­silri""O en x = -J.OO cm. a) Si abara se coloca una tercera carga qJ =-6.00 nC en el punto.\" = -tOO cm.y = 3.00 cm, baile las compo­nentesx y)" de la fuerza total que ejercen sobre esta carga las otrasdos. b) Halle la magnitud y dirección de esta fuerza.

•

Problemas 833

21.73 El cloruro dc sodio (NaCI. sal común) se componc de ionessodio positi\'OS (Na"") y iones cloruro negalivos (el). a) Si una cargapuntual con la misma aug:a y masa que lodos los iones Na· de 0.100mol de NaCI está a 2.00 cm de una carga punlUal con la misma cargay masa que lodos los iones Cr-. ¿cuál es la magnitud de la fuerza deatracción entre cstas dos cargas puntuales? b) Si se manliene fija lacarga positiva puntual del inciso (a) y se dcja libre la carga puntual nc·gativa, inicialmente en reposo, ¿cuál cs su aceleración inicial? (Véan.se las masas atómicas en el apéndice D). c) ¿Parece razonable laposibilidad de separar los iones del NaCl de este modo? ¿Porque? (DehedlO, cuando d cloruro de sodio se disueh'e en agua se separa en io­nes Na- y CI . Sin embargo, en esta situación existen fuerzas eléctri·cas adicionales ejcrcidas por las moléculas de agua sobre los iones).21.74 Se ordenan tres cargas puntuales a lo largo del eje de las x.La carga q¡ = -4.50 nC está en x = 0.200 lll, Yla carga qz = +2.50nC, en x = -Q.300 m. Hay una carga puntual positiva q) en el ori­gen. a) ¿Cuál debe ser el valor de qJ para que la fuerza neta sobreesta earga pUDtualtcnga una magnitud de 4.00 X 10-6 N? b) ¿Cuáles la dirección de la fuerza neta sobre ql? c) ¿En qué punto del ejede las x se puede colocar qJ de modo que la fuerl.a nela sobre ellasea cero, que no sean [as respueslas triviales de x = :!:oo?21.75 Sc colocan tres cargas puntuales idénticas q en tres vérticesde (Jn cuadrado de lado L. Halle la magnitud y dirección de la fuer·za neta sobre u~ carga puntual-3q siruada a) en el centro del cua­drado; b) en el v61ice vacio del cuadrado. En cada caso, dibuje undiagrnma de cuerpo libre que muestre las fuerzas que ejercen sobrela carga -3q las OIrns lres cargas.21.76 Se colocan tres cargas puntuales sobre el eje de las y: unacarga q eny = a, una carga-2q en el origen, y una carga q eny =-o, Los arreglos de este tipo reciben el nombre de clladrupoloseléctricos. a) HJlle la magnitud y dirección del campo eléctrico enlos puntos sobre el eje de las)' en los que)' > a. b) Ulilice un desa­rrollo binomial para mostrar que. a una distancia muy grllJlde delcuadrupolo, la1 quey::l> a, el campo elécuico es proporcional ay.....Contraste estc comportamientO con el del campo el¿ctrico de unacarga puntual y el del campo eléctrico de un dipolo.21.77 a) Con respecto a la disposición de cargas que se dcscribe en elproblema 21.76, hallc la magnirud y dirección dcl campo eléctrico enlos pumas siruados sobre el eje positivo de lasx. b) Con ayuda del de­sarrollo binomial. halle la expresión apro.>dmada del campo eltttricoválida parn x » a. ContnlSle este componamiento con el del campoel&trico de ana carga puntual yel del carñpo electrico de un dipolo.21.78 a) Suponga que todos los electroncs de 20.0 g de átomos decarbono estiln en el polo norte de la Tierra y todos los protones enel polo sur. ¿Cuál seria la fucrza total dc atracción que cada grupode cargas ejerce sobre el mro'! El número afómico del carbono es 6,y su masa a,tómica es de 12.0 g/mol. b) ¿Cuál seria la magnitud yd1rección de la fuerza que ejercen las cargas del inciso (a) sobre una1=carga igual a la dd polo sur. situada en un punto de la super­ficie terrestre en el ecuador? Dibuje un diagrnma que muestre laubicación de las cargas y las fucrzas sobre la carga del ccuador.21.79 Si los átomos no fueran neutros... Dcbido a que las cargasdel eleclrÓn y del protón tienen el mismo valor absoluto, los átomosson decmcamente neutros. Suponga que esto no fuera exactamen­1t cierto. Yque el valor absoluto de la carga del electron fuese me­oocque la caJP del protón en un 0.00100%. a) Estime cuál seria laC3f!a neta de este libro en esas circunstancias. Haga las suposicio-

Des que considcre justificadas, pero indique claramente cuáles son.(Sugel't'l/cia: Casi todos los álamos de este libro tienen el mismo DÚ'

mero de electrones que de protones y de neutrones). b) ¿Cuál seriala magnitud de la fuerza electrica enm: dos libros separados por unadistancia de 5.0 m? ¿Seria esla fuerza de atrncción, o de repulsión?Estime cuál sería la aceleración de cada libro si estuviesen a 5.0 mde distancia uno del otro y no hubiese fuerzas eléctricas fbre ellos.e) Comente de qué modo el hecho de que la materia ordinaria es es·lablc demueslrn que los valores absolutos de las cargas del electróny del protón deben ser ict¿nticas con un nivel muy allo de exactitud.21.80 Vibraciones en cristales. Como un modelo simplificado deun cristal, considere treS átomos que yacen sobre una recta, con unadistancia b entre álamos adyacenles. Cada átomo tieDe una carga netaq y una masa m. Suponga que se desplaza la carga de en medio unadi~tancia x muy pequeña respecto a su posición de equilibrio y luegosc deja libre. Demuestre que la fuerza eléctrica ncta sobre la carga des­plazada está dada aproximadamente por F = (tlllhr~, donde x <:b. ¿Cuál es la dirección de esta fuerza? b) Hallc la frecuencia de vibra­ción de la carga desplazada después de quedar líbre, en términos delos parámetlUS del cristal (q, b Ym). c) Si los átomos son de carbonomonoionizado y están separados por una distancia de equilibrio de 4.0X lO-le m, ¿cuál es el vulor numérico de su frecuencia de vibración'!21.81 Dos esferas pequefias de cobre tienen cada una un radio de1.00 mm. a) ¿Cuántos átomos contiene cada esfera? b) Suponga quecada atOmO de cobre contiene 29 protones y 29 electrones. Sabemosque las cargas del electron y del protÓD son exactamente de la mis­ma magnitud; no obstante. examinemos el efecto de diferencias pe­queñas (véase también el problema 21.79). Si la carga de un protóncs +e y la magnilud de la carga de un electrón es 0.100% menor,¿cuál es la carga neta dc cada esfera, y qué fuerLa ejerccría una esfe­rn sobre la otra si estuviesen sepaT'dc1as por una distancia de 1.00 m?21.82 Funcionamil.'nto de una impresora de inyección de tiDta.En una impresora de inyección de tinta, se fonoan lelras rociandogotas de tinta en el papel desde una boquilla que se desplaza con ra­pidez. El dibujo en el papel está gobernado por una válvula elec·trostática que detefl'!lina en cada posición de la boquilla si se rocíatinta sobre el papelona. Las gotas de tinta, de !5 ,um de radio, sa­len de la boquilla y viajan hacia el papel a 20 mIs. Las gotas pasana través de una unidad de carga que proporciona a cada gota unacarga positiva q cuando la gola pierde algunos electrones. Las gotaspasan luego entre placas deflectoras paralelas de 2.0 cm de longi­rud, donde hay un campo eléctrico vertical uniforme con UDa magonitud de B.O x lit N/e. Si una gOla se debe haber desviado 0.30mm al momento de alcanzar el extremo de l"placa deflectora, ¿cuáldebe ser la magnitud de la carga impanida a la gota? (Suponga quela densidad de la gota de tinta es igual a la del agua: 1000 kglml

).

21.83 Se proyecla un protón cn un campo eléctrico unifonne queapunla verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La \'eloci­dad inicial del protón tiene una magnitud Ve Yestá. dirigida formandoun angulo a abajo deja horizontal:. a) Halle la distancia máxima h_que el protón desciende venicalmente por debajo de su ele"ación ini­cial. Se pueden pasar por alto las fucrzas gravitatorias. b) ¿Después dequé distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c)Dibuje la lrayectoria del protón. d) Hallc los valores numéricosde~y osi E = 500 N/C, Ve = 4.00 X lOS mis ya=- 30.00.21.84 Una carga puntual negativa ql = -4.00 DC está sobrr d CJCde las x en x = 0.60 m. Una segunda carga puntual q~ esa~ el

834 e A pfT ULO 21 I Carga eléctrica y campo eléctrico

,

<i/---lJ-.

Figura 21.4D Problema 21.94.

21.90 Un disco con carga uniforTne como el de la figura 21.23 tieneun radio de 2.50 cm y una carga total de 4.0 x 10-12 C. a) Halle elcampo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x en x =0.20 cm. b) ¿Es la magnirud del campo eléctrico calculada en el inci·so (a) mayor o menor que el campo eléctrico a 0.20 cm de una laminainfinita de carga con la misma carga por unidad de arca que el disco?En términos de la aproximación empleada para deducir la ecuación(21.12) a partir de la ecuación (21.11), explique por qué esto es así.e) ¿Cuál es la diferencia porcentual entre los campos eléctricos produ­cidos por el disco finito y por una lámina infinita con la misma cargaen cada unidad de área en i)x = 0.20 cm?, ¿ ii)x:; 0.40 cm?21.91 Un disco con carga uniforme como el de la figura 21.23 tie­ne un radio de 2.50 cm y una carga total de 4.0 X 10-12 C. a) Halleel campo eléctrico (magnirnd y dirección) sobre el eje de las x en x= 0.20 cm. b) Demuestre que. cuando x ::1> R, la ecuación (21.11)se conviene en E· Q/4r.~,donde Qes la carga lotal del disco.e) ¿Es la magnirnd del campo eléctrico calculada en el inciso (a)mayor o menor que el campo eléctrico a 0.20 cm de una carga pun­tual que tienc la misma carga lotal que este disco? En ténninos dela aproximación empleada en el inciso (b) para deducir E­Ql4m,oX' de una carga puntual a partir de la ecuación (21.11). cx­plique por qué esto es as!. d) ¿Cuál es la diferencia porcenrnal entrelos campos eléctricos producidos por el disco finito con carga y poruna carga puntual con la misma carga en x. 20.0 cm y x = 10.0 cm?21.92 a) Seafi.x) una función par de x tal quefi.x) = A-x). Demues­tre que f"-.f(.r)dx., 2fóf(x)dx. (Sugerencia: escriba la integralde -a a a como la suma de la integral de -o a Oy la integral de Oa a.En la primera integral. realice el cambio de variable:x' = -.r). b) Seag(x) una función impar de x tal queg(.r) = -g(-x). Aplique el méto­do señalado en la pista del inciso (a) para demostrar quef-.g(.r)dx :; O. c) Con base en el resultado del inciso (b), muestrepor que Ey del ejemplo 21.11 (sección 21.5) es cero.21.93 La carga positiva +Q esta distribuida uniformemente a lo lar­go del eje de las +x de.t :; Oa x = a. La carga negativa -Q esui dis­tribuida uniformemente a lo largo del eje de las-x dC.T :; Oax =-0.

Hay una carga puntual positiva q sobre el eje positivo de las y, a unadistancia y del origen. a) Halle la fuerza (magnitud y dirección) quelas distribuciones dc carga positiva y negativa ejercen en conjunto so­bre q. Muestre que esta fuerza es proporcional a y-J cuando y » a.b) Suponga ahora que la carga puntual positiva q está sobre el ejepositivo de las.r, a una distancia x> a del origen. Halle la fuerza(magnitud y dirección) que la distribución de carga ejerce sobre q.Muestre que esta fuer:zB es proporcional a x-J cuando x » a.21.94 La carga positiva Qesladistribuida unifonnemente alre­dedor de un semicirculo de radioa (Fig. 21.40). Halle el campoeléctrico (magnirnd y dirección)en el centro de curvarnra P.21.95 La carga negativa -Q estádistribuida uniformemente alre­dedor de un cuarto de circulo de radio a que se encuentra en el pri­mer cuadrante, con el centro de curvarnra en el origen. Halle lascomponentes x y)' del campo eléctrico neto en el origen.21.96 Una esfera pequeña de masa m tiene una carga positiva q yesti sujeta a un extremo de una fibra de seda de longitud L. El otroextremo de la fibra esta sujeto a una gran lámina aislante venical

Q

o

Figura 21.38 Problema 21.86.

Figura21.39 Problema 21.87.

eje de las.r en.r =: -1.20 m. ¿Cual debe ser el signo y la magnitudde ql para que el campo clectfico nclo en el origen sea de a) 50.0N/e cilla dirección +:c? b) 50.0 N/e en la dirección-x?21.85 Una carga de 12.0 oC está en el origen; una segunda carga,desconocida, está en.r = 3.00 m, y = O; Y una tercera carga de-16.0 oC esta cnI = 5.00 m,y = O. ¿Cuáles son el signo y la mag­nitud de la carga desconocida si el campo neto en x = 8.00 111, Y =Otiene una magnitud de 12.0 N/e y la dirección +.1"121.86 La carga positiva Q estádisuibuida unifonncmcnte a lo lar­godcl eje dc ¡asxde:r = Oax = a.Hay una carga punlual q situadasobre el eje de las x en x :: a + r,W'Ia distancia r a la derecha del ex­tremo de Q (Fig. 21.38). a) Calculelas componentes x y y del campoeléctrico producido por la distribución de carga Qen puntos sobre el ejepositivo de las x donde x > a. b) Cak:ule la fuerza (magnitud y direc­ción) que la distribución de carga Qejerce sobre q. c) Ocmuestre que sir::l> a, la magnitud de la fuerza del inciso (b) es aproximadamenteQqI47rlf. Explique por qué se obtiene este resultado.

'21.87 La carga positiva Q estádistribuida uniformemente a lolargo del eje positivo de las y entrey '" OYY = a. Hay una carga pun­tual negativa -q sobre el eje posi­tivo de las x, a una distancia x delorigen (Fig. 21.39). a) Calcule lascomponentes x y y del campoeléctrico producido por la distri­bución de carga Q en puntos sobre el eje positivo de las.r. b) Calculelas oomponentcsx yyde la fuerza que la distribución de carga Q ejer­ce sobre q. e) Demuestre que si x::> a. Fx ;;¡ -Qq14r.~ y F,:: +Qqal87r~. Explique por qué se obtiene este resultado.21.88 Una línea eon carga como la que sc muestra en la figura21.22 se extiende de y '" 2.50 em a y = -2.50 cm. La carga totaldistribuida uniformemente ala largo de la linea es -9.00 nC, a) Ha­lle el campo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x enx '" 0.25 cm. b) ¿Es la magnitud del campo eléctrico calculadaen el inciso (a) mayor o menor que el campo eléctrico a 0.25 cm deuna linea infinita con carga con la misma carga en cada unidadde longitud que esta línea finita con carga? En términos de la apro­ximación empleada para deducir E = JJ27To/ de una línea infinitaa partir de la ecuación (21.9), explique por qué esto es así. c) ¿Aqué distancia x difiere en 1.0-" el resultado correspondiente a la lí­nea infinita con carga del correspondiente a la linea fmita?21.89 Una linea con carga como la que se muestra en la figura 21.22se extiende de y :; 2.50 cm a y = -2.50 cm. La carga total dismbuidauniformemente a lo largo de la linea es de-9.00 nC. a) Halle el campoeléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x en x = 10.0 cm.b) ¿Es la magnirnd del campo eléctrico calculada en el inciso (a) ma­yero menor que el campo eléctrico a 10.0 cm de una carga punrnal quetiene la misma carga total que esta línea finita con carga? En términosde la aproximación empleada para deducir E :; QI4r.V de una cargapWlIual a partir de la ecuación (21.9), explique por qué esto es así. c)¿A qué distaneiax difiere en 1.0% el resultado correspondiente a la lí­nea infinita con carga del correspondiente a la carga pwmtal?

Problema.~ de desafío 835

O,15Om O.I~m O.I~m O.lj(lm

,,.~

ql 1).Ocm q¡

FIgura 21.45 Problema dedesafio 21.104.

carga total dc la corona circular. b) La corona circular yace en el pla.no yz, con su centro en el origen. Con respecto a un punlo arbitrariosobre el eje de las x (el eje de la corona circular). halle la magnitud ydirección del campo eltorico E. Considere puntoS situados tanlO arri­ba como abajo de la corona circular de la figura 21.42. c) Muestreque, en los puntos sobre el eje de las.T que están suficientemente pró­ximos al origen, la magnitud del campo eléctrico es aproximadamen­te proporcional a la distancia entre el centro de la corona circular y !!lIpunto. ¿Cuánto es "suficienlemente proximos"'? d) Una partícula pun­IUlII de masa m y carga negaliva --q puede ffiO\= líbremente a lo lar­go del eje de las x (pero no puede apartarse del eje). La particula estáoriginalmente en reposo en-l" "" O.OIR. Yluego se deja en Libertad. Ha·lle la frecuencia de oscilación de la partícula. (Sugerencia_' Repase lasección 13.2. La corona circular se mantiene inmóvil).

Problemas de desafío ~ q,

~=q, ,.ooc:m q¡

Figura 21.44 Problema dedesafio 21.103.

21.103 Se colocan lres cargascomo se muestra en la figura21.44. La magnitud de ql es de2.00 p.C, pero su signo y el valorde la carga q2 se desconocen. Lacarga qJ es de +4JlO jJ.C, y la fuer­za neta Fsobre qJ está enteramente en la dirección x negativa. a) Con­siderando los diferentes signos posibles de ql y Q2' hay cuatro posiblesdiagramas de fuerzas que representan las fucrzas F,y F1que ql y q~ejercen sobre q). Dibuje estas cuatro configuraciones posibles de fuer·zas. b) Con base en los dibujos del inciso (a) y la direcciÓll de F. de­duzca los signos de las cargas ql y q~. c) Calcule la magnitud de q1' d)Halle F, la magnitud de la fuerza neta sobre q).21.104 Se colocan dos cargas como se muestra en la figura 21.45.La magnitud de ql es de 3.00 ¡LC, pero se desconocen su signo y elvalor de la carga q2' La dirección del campo elecmco neto l en elpunlO P es enteramente en la di­rección y negativa. a) Conside­rando los diferentes signosposibles de Q¡ Yq2' hay cuatrodiagramas que podrían reereseE­tar los campos electricos E I YE2

producidos por q¡ Y q•. Dibujelas cualro configuraciones posi­bles de los campos eleclricos. b)Con base en los dibujos del inciso (a) y la dirección de l, deduzcalos signos de q¡ y Q2' c) Halle la magnitud de E.21.105 Dos barras delgadas de longitud L yacen a lo largo del ejede las x, una entre x = a/2 y -l" "" a/2 + L y la otra entre -l" "" -a12 y-l" "" -a12 - L. Cada barra tiene una carga positiva Qdistribuida uni­formemente en toda su longitud. a) Calcule el campo e1ecmco pro­ducido por la segunda blUT1l en puntos situ.ados a lo largo del ejepositivo de las x. b) Demuestre que la magnitud de la fueru queuna barra ejerce sobre la otra es

Q' [(a+L)']F~--I"

41Tt¡¡Ll a(a + 2L)

e) Muestre que, si a » L, la magnitud de esta fuerza se reduce a F= (f/4Tr~. (Sugerencia: Use el desarrollo In(l + z) = z-z112 +~/3 - "', valida con 1zI <c l. Lleve todos los desarrollos hasta almenos el orden L21al). Interprete esle resultado.

,,

,

,

," W

...Q.OlOOClJnl

'0

-o '0

-o

,"~g'9-,

,

Figura 21.42 Problemas21.99 y 21.100.

Figura 21.41 Problema 21.98.

Figura21.43 Problema21.102.

con una densidad superficial de carga positiva (T. Muestre que,cuando la esfera eslá en equilibrio, la fibra fonna un ángulo igual aangun (qul2m~)con la lámina venical.21.97 El tambor formatb de imágenes de UlIa máquina fOlOcopia­dora tiene carga posilÍ\'3 a fm de atraer panículas de tóner con carganegativa. Cerca de la superficie del tambor, su campo eléctrico tieneuna magnitud de 1.40 x 10l N/C. Una particula de tóner debe seratraida al tambor con una fuerza equivalente a diez veces el peso dela panicula. a) ¿Cuál debe ser la relación de la masa de una partículade temer respecto a la magnitud de su carga neta? b) Si las panícu­las de tóner son de clUbono (nfunero atómico 6, masa atómica 12.0glmol), ¿cuántos atamos de clUbono hay por cada eleclrÓll en c:<cesode una partícula de tóner?21.98 Se tiene carga eléctricadistribuida uniformemente a 10largo de los lados de un cuadrado.Dos lados adyacentes tienen car­ga positiva con una carga tOlal+Q en cada uno. a) Si los otrosdos lados lienen carga negativacon una carga total -Q en cadauno (Fig. 21.41), ¿cuáles son lascomponentes-l" yydel campo eléctrico neto en el centro del cuadrado?La longitud de cada lado del cuadrado es a. b) Repita el cálculo del in­ciso (a) suponieDdo ahora que los cuatro lados tienen cada uno unacarga positiva +Q.21.99 Tres laminas aislanlesgrandes paralelas lienen densi­dades supcrficiales de carga_de+0.0200 C/m2

, +0.0100 Clm2 y-0.0200 C1m2, respectivamente(Fig. 21.42). Las láminas adya­centes están a una distancia de0.300 ro una de la alTa. Calculeel campo eléctrico neto (magni­tud y dirección) debido a las tresláminas en a) el punto P (0.150 m a la izquierda de la lámina 1); b)el punto R (equidistante de las láminas 1y 11); c) el punto S (equidis·umte de las láminas 11 y m); d) el punto T (0.150 m a la derecha dela limina In).21.100 Con respectO a la situación descrita en el problema 21.99 (Fig.21.42), halle la fuerza en cada tuúdaddeirea (magnitud y dirección) queqercen sobre cada una de las láminas l, Il Y11I las otraS dos laminas.21.101 Una lámina infinita con carga positiva en cada unidad de áreauyace en el plano .\)'. Una segunda lámina infmita con carga negativapor unidad de área -<Tyace en el planoyZ. Halle el campo eléctrico ne­to en todos los punlOS que no se encuenlJ'an en alguno de estos planos.Exprese su respuesta en términosde los \'ect~ unilltrios 1, j y k.21.102 Un disco delgado con unorificio circular en su centro, co­nocido como corona circular,tiene un radio interno R1 y un ra­dio externo R1 (Fig. 21.43). Eldisco tiene una densidad superfi·cial uniforme de carga positiva(Ten su superficie. a) Halle la