Método de la Carga Unitaria El Método de la Carga Unitaria puede generalizarse para calcular desplazamientos lineales y rotacionales ocasionados por momentos flectores.

mdxEIM

ΘmdxEIM

ΔLL∫∫ ==

Donde M es el momento flector en cualquier sección del elemento estudiado, ocasionado por el sistema real de cargas y m es el correspondiente momento flector ocasionado por una carga unitaria (actuando en el punto de interés y en la dirección del desplazamiento buscado). EJEMPLOS 1) En la viga representada calcular CCA Δyθ,θ . Considerar constante la rigidez

flexional EI.

Determinamos los momentos flectores (reales) en ambos tramos de la viga propuesta. Tramo AC: M = Pbx/L (x se mide desde el punto A). Tramo CB: M = Pax/L (x se mide desde el punto B). Momentos Flectores por Carga Unitaria

Para calcular el giro del punto A, debemos obtener los momentos flectores por carga unitaria. Luego aplicamos en el punto A un momento unitario y encontramos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos AC y CB.

Tramo AC Lx

1m −= . Tramo CB Lx

m =

(La variable x se mide a partir del mismo origen y en el mismo sentido que el empleado para determinar el momento flector real).

Luego, el giro del punto A será ∫∫ +=b

0

a

0A mdx

EIM

mdxEIM

θ . Reemplazando M y m

obtenemos: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= ∫∫ L

b2La2

a3EIL6

Pabdx)

Lx

(L

Paxdx)

Lx

1(L

PbxEI1

θ22b

0

a

0A

Para calcular el giro del punto C, debemos obtener los momentos flectores por carga unitaria. Luego aplicamos en el punto C un momento unitario y encontramos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos AC y CB.

Tramo AC Lx

m −= . Tramo CB Lx

m −= .

b a

A BC

P

DC

2C

2A

1 1

C C C B B B A A A

1

(La variable x se mide a partir del mismo origen y en el mismo sentido que el empleado para determinar el momento flector real).

Luego, el giro del punto C será ∫∫ +=b

0

a

0C mdx

EIM

mdxEIM

θ . Reemplazando M y m

obtenemos: ( )abEIL3

Pabdx)

Lx

(L

Paxdx)

Lx

(L

PbxEI1

θb

0

a

0C −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= ∫∫

Para calcular la flecha del punto C, debemos obtener los momentos flectores por carga unitaria. Luego aplicamos en el punto C una carga vertical unitaria y encontramos las ecuaciones de momento flector para los dos tramos AC y CB.

Tramo AC Lbx

m = . Tramo CB Lax

m =

(La variable x se mide a partir del mismo origen y en el mismo sentido que el empleado para determinar el momento flector real).

Luego, la flecha del punto C será ∫∫ +=b

0

a

0C mdx

EIM

mdxEIM

θ . Reemplazando M y m

obtenemos: EIL3

bPadx)

Lax

(L

Paxdx)

Lbx

(L

PbxEI1

θ22b

0

a

0C =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∫∫

2) En la viga representada, cuya rigidez flexional EIz es constante, determinar la

pendiente y la deflexión vertical en el punto A. El momento flector provocado por la carga real es M=-wx3/6. El momento flector provocado por la carga unitaria vertical es m1=-x, y el momento flector provocado por la carga unitaria rotacional es m2=1. Luego, para cada caso usamos las ecuaciones (*).

( )↓=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

Z

4L

0

3

Z

AV EI30

wLdx)x(

L6wx

EI1

Δ .

Z

41

0

3

ZA EI24

wLdx)1(

L6wx

EI1

Θ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ (El signo menos indica que la rotación del

extremo A, es en sentido antihorario, contrario a lo supuesto para la carga rotacional unitaria). 3) Determinar las componentes horizontal, vertical y rotacional del desplazamiento del

punto A en el sistema representado. Considerar constante la rigidez axial EI de todas las barras.

10 pies

10 pies C B

W=1.2 Klb/pie Determinamos los momentos flectores (reales) en las barras del sistema. Tramo AB: M = 0 (x medida desde A . Tramo BC: M = -0.6x2 (x medida desde B Tramo CD: M = 60 (x medida desde C

A

L; EIz

wUsando el método de la carga unitaria, los desplazamientos buscados son:

M

wx/L

x

1

x m11 m2x

Cálculo del A

HΔ : En el sistema descargado, hacemos que actúe una carga unitaria horizontal aplicada en el punto A.

Luego, (*)EIM

mdxEIM

mdxEIM

ΔAB BC CD

AH ∫ ∫ ∫++=

Reemplazando las expresiones de M y m en la expresión (*), obtenemos:

EI5000

dx)10x)(60(dx)10)(x6.0(dx)x)(0(EI1

Δ10

0

10

0

210

0

AH =

⎥⎥⎦

⎤−−+−−+

⎢⎢⎣

⎡−= ∫∫∫

Cálculo del A

VΔ : En el sistema descargado, hacemos que actúe una carga unitaria vertical aplicada en el punto A.

Luego ⎢⎢⎣

⎡−=−+−+= ∫ ∫∫ EI

7500dx)10)(60(dx)x)(x6.0(dx)0(

EI1

Δ10

0

10

0

10

0

2AV

Cálculo del giro Aθ : En el sistema descargado, hacemos que actúe una carga rotacional unitaria (momento) aplicada en el punto A.

1 D

C B

A

Determinamos los momentos flectores debidos a la carga unitaria. Tramo AB: m = -x (x medida desde A . Tramo BC: m = -10 (x medida desde B Tramo CD: m = x-10 (x medida desde C

Determinamos los momentos flectores debidos a la carga unitaria. Tramo AB: m = 0 (x medida desde A . Tramo BC: m = x (x medida desde B Tramo CD: m = 10 (x medida desde C

1 D

C B

A

C B Determinamos los momentos flectores debidos al momento unitario. Tramo AB: m = 1 (x medida desde A . Tramo BC: m = 1 (x medida desde B Tramo CD: m = 1 (x medida desde C

Luego ⎢⎢⎣

⎡−=−+−+= ∫ ∫∫ EI

800dx)1)(60(dx)1)(x6.0(dx)1)(0(

EI1

θ10

0

10

0

10

0

2A

En base a los desplazamientos del punto A puede tenerse una buena aproximación a la deformada del pórtico. 4) El momento de inercia I en cualquier sección transversal del arco parabólico

representado en el esquema, varía con la relación ,φsecII O= siendo φ el ángulo entre la dirección horizontal y la dirección tangente. Calcular el desplazamiento del rodillo por efectos del momento flector que genera la carga repartida uniforme w.

La ecuación de la parábola respecto a los ejes x, y indicados, es 10

)xx20(y

2−= . El

desplazamiento horizontal del rodillo estará dado por ∫=)S(

dsEI

MmΔ (*), siendo M el

momento flector generado por la carga repartida w; m el momento flector ocasionado por la carga unitaria horizontal aplicada en el rodillo y ds el elemento de arco medido en la parábola.

1 D A

w (Ton/m)

10 m

10 m 10 m

P ν

y

x 1