XVI CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA GRÁFICA

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS MICROCURVAS APOLONIO-SODDY

RODRÍGUEZ GORDILLO, Manuel de la Cruz

Universidad de EXTREMADURA, España Departamento de EXPRESIÓN GRÁFICA

mdlcruz@unex.es

RESUMEN

En 1936, en la revista Nature, Frederick Soddy publicaba el poema The kiss precise, relacionando los radios de tres circunferencias tangentes entre si, con el radio de unas cuarta y quinta tangentes simultaneamente a las tres iniciales. Desde entonces son conocidas como las circunferencias de Soddy. Geométricamente, hablamos de un caso particular del clásico problema de Apolonio, en su variante de tres circunferencias.

Si situamos tres circunferencias, con centros no alineados y de distintos tamaños, en posición inicial de tangencias simultaneas y procediendo a su expansión radial, los centros de las sucesivas circunferencias Soddy, forman curvas características para esta expansión.

La investigación geométrica de este grupo de micro-curvas, es posible gracias a los sistemas CAD, que habilitan precisiones en distancias humbrales, imposibles anteriormente con la resolución Gergonne. Se presentan gráficos y coordenadas de las huellas del movimiento en entornos bien definidos de dichas micro-curvas. A estas huellas les hemos llamado bandas de Apollonius-Soddy.

Palabras clave: Problema de Apollonius, Geometría CAD 2D y Tangencias.

ABSTRACT

In 1936, in the magazine Nature, Frederick Soddy published The kiss precise poem, relating the radio of three tangent circumferences between if, with the radius of fourth and fifth tangents simultaneously to the three initials. Since then they are known like the circumferences of Soddy. Geometrically, we spoke of a particular case of the classic problem of Apolonio, in its variant of three circumferences.

If we located three circumferences, with not aligned centers and of different sizes, On guard initial of tangencias synchronize and coming to their radial expansion, the centers of the

successive Soddy circumferences, form characteristic curves for this expansion. The geometric investigation of this micro-curved group, is possible thanks to the

systems CAD, that qualify precisions in minimun distances, impossible previously with the Gergonne resolution.

Graphs and coordinates of the tracks of the affluent movement in defined surroundings of micro-curved happiness appear. To these tracks we have called them bands of Apollonius-Soddy Key words: Problem of Apollonius, Geometry CAD 2D, Tangencias.

1. Introducción

Los problemas de tangencias entre elementos, un clásico en geometría, han dado lugar a muchos estudios que salpicaron tres milenios, pero desde hace tiempo se consideran agotados, por considerarse todo lo referente ya demostrado exhaustivamente.

Consideramos que disponemos de herramientas, perfeccionadas en la última década, que permiten plantear nuevos retos, mirar con ojos nuevos.

Para realizar este comunicado, hemos dirigido nuestra mirada a un caso de tangencia, la de una circunferencia tangente a tres previas no alineadas, bajo la óptica de los potentes sistemas CAD. Pero permítasenos repasar la historia, a modo de introducción.

El primer geómetra que estudia este caso de tangencia, es el “El gran geómetra”, Apolonio de Pérgamo, 262 al 190 a.C. en su libro sobre tangentes, peri epaphón, en el que se piensa, planteaba y resolvía el llamado después problema de Apolonio,. Pero hablamos de un libro perdido en la noche de los tiempos y las primeras ciertas noticias que tenemos sobre intentos de rehacerlo son de Vieta, 1540 a 1630. “Apolonius Gallus”, donde además encontramos la primera solución matemática[Boyer 1968]. Hay ocho soluciones totales, la solución simple es obtenida solucionando las tres ecuaciones cuadráticas simultáneas

(x-x1)2 + (y-y1)

2 – (r+-r1)2 = 0 (1)

(x-x2)2 + (y-y2)

2 – (r+-r2)2 = 0 (2)

(x-x3)2 + (y-y3)

2 – (r+-r3)2 = 0 (3)

en los tres desconocidos x, y, r, para los ocho tríos de muestras [Courant y Robbins 1996].

También tenemos en Apollonii redivivus de Ghetaldi 1607 y Apollonii de Tactionibus, de Camerer 1795. intentos loables de rehacer peri epaphón.

En cuanto a las soluciones geométricas, son considerablemente bellas, la debida a Gergonne, 1816 [02] y la más reciente de Alberto Calderón [01].

Pero estas ocho soluciones simultaneas, se reducen a dos en el caso de que los tres círculos no alineados de inicio del problema, sean situados tangentes entre sí. De estas soluciones y de como hallar estos radios tangentes, trataron René Descartes en 1643 en una carta a la princesa Elizabet de Bohemia, Philip Beecroft 1842, independientemente también llego a idénticas conclusiones y Frederick Soddy, Nóbel de física, cuyos resultados publico en forma de poema “El beso exacto” en la revista científica Nature 1936, quedando estas soluciones ligadas a su nombre, las circunferencias de Soddy.

Si cuatro circunferencias son tangentes simultaneas, se cumple...

Ra2 + Rb2 + Rc2 +Rd2 = ½ (Ra +Rb + Rb + Rd)2 (4)

Nuestro planteamiento parte de la posición de tangencia que da lugar a las circunferencias de Soddy, para después producir una expansión radial de las tres circunferencias de inicio del problema, no cambian de tamaño, tan solo se expanden en el plano, dando lugar esta expansión al general problema de Apolonio, pero del cual solamente nos interesa el seguimiento de esas dos primeras soluciones.

Es decir, analizar las circunferencias Soddy, al expandirse el planteamiento del problema que las genera.

2. Entorno de trabajo

Al estudiar el caso de las circunferencias inscrita y circunscrita a tres circunferencias iniciales tangentes dadas, geométricamente por el método de Gergonne, se hizo evidente que el centro de estas aparentaba un cambio en su posición al expandirse las tres circunferencias iniciales.

Figura 1. Tres tangentes simultaneas en radio conocido (sombreado) y las dos soluciones “inscrita y circunscrita”

Pero también se deducía que esos cambios eran de proporciones mínimas y muy difíciles de estudiar con los elementos clásicos en geometría. No sucedía esto en los sistemas CAD, que nos permitían expansiones radiales de más de 1000 unidades y poder observar desplazamientos en los centros de micras de unidades.

El entorno de trabajo, se plantea con un centro en un sistema cartesiano de coordenadas en el plano (0,0) y de donde parten las expansiones radiales, situando círculos concéntricos de diámetros 1,2,3,4, ... , 1000 unidades. En la posición, que se considera inicial [Figura 1], de diámetro la unidad, se situan tres circunferencias tangentes entre si y como solución al problema de tangencias sus dos soluciones, la circunferencia que las inscribe y la que las circunscribe “las circunferencias Soddy”.

Las posiciones de los centros, son numeradas con el correspondiente al diámetro generador “un 1”. En la segunda fase las circunferencias iniciales del problema, pasan a ocupar una distancia radial expandida de diámetro dos unidades, notese que pierden la disposición de tangentes entre si, y en esta posición se hallar de nuevo la circunferencia tangente a las tres que las inscribe y la que las circunscribe. En esta posición tendríamos ocho soluciones, pero se desprecian las seis que no existen cuando las tres iniciales son tangentes entre si.

Si transformamos el proceso de expansión desde la unidad al infinito, en un movimiento, los centros de las infinitas circunferencias que cumplen la condición de ser tangentes a estas tres, inscribiéndolas o circunscribiéndolas, determinan sendas curvas, que por su generación y tamaño llamamos micro curvas Apolonio-Soddy.

Figura 2. Expansión radial de circunferencias iniciales o generadoras.

3. Micro curvas Apolonio-Soddy

Hay que determinar las posibles posiciones iniciales, para que la curva resultante tengan unos parámetros clasificables.

3.1 Primera reflexión

Si las circunferencias iniciadoras del problema, tienen el mismo tamaño, no hallaremos curva en su expansión, sino un punto único.

Si las circunferencias iniciadoras del problema, tienen dos el mismo tamaño y la tercera desigual, la curva analizada es una recta.

Solo en el caso de tres circunferencias iniciales de diferentes tamaños, obtendremos curvas. [Figura 3]

3.2 Segunda reflexión [Figura 3]

Si llamamos a las tres circunferencias iniciales A, B y C, y las distribuimos sobre el circulo unidad, siendo a su vez tangentes entre si, observamos:

La circunferencia A, permanece quieta en el cero angular y es la más pequeña de las tres.

La circunferencia B, se desplaza en el intervalo angular desde 270 a 360, sin llegar a tomar ninguna de estas dos cantidades extremas y es la mediana en tamaño.

La circunferencia C, se desplaza en un intervalo angular,condicionado por la posición angular de B, entre cero + ángulo C y 180 – ángulo C / 2, sin llegar a tomar ninguna de estas dos cantidades extrema, pues produce dos circunferencias de igual tamaño y es la mayor de tamaño de las tres consideradas.

Los cambios en la situación inicial, fuera de las posiciones angulares descritas no aportan sino soluciones iguales en simetría o giradas un determinado grado.

3.3 Tercera reflexión [Figura 4]

Dentro de los entornos anteriormente descritos, se encuentran casos en los que no existe la solución a la circunferencia tangente que circunscribe a las tres generadoras A, B y C, por ser estas tres tangentes simultaneas a una recta o encontrase una concavidad producida por su desigualdad de tamaño. “ recorrido no válido [Figura 3]”

3.4 Cuarta reflexión

Como consecuencia de las tres reflexiones anteriores, la característica de cada curva esta directamente unida a la posición de la circunferencia B.[Figura 3]

Tabla 1. Datos numericos de intervalos generadores

Tabla 2. Datos numericos de intervalos generadores

Tabla 3. Datos numericos de intervalos generales

Figura 3. Intervalos generadores de Micro curvas Apolonio-Soddy.

Figura 4. Posición inicial, que no genera la circunferencia tangente que circunscribe.

. 4. Función de la micro curva Apolonio-Soddy de posición característica A=0º, B=123º y C=156.23º Se adjuntan, las coordenadas para las distancias de expansión, con diámetro igual a 1, 2, 3, 4, 9, 27 y 81. Así como su gráfica. Nos situamos en su forma canónica, el centro de expansión es el (0,0) y hay que anotar, que si bien las gráficas parecen iguales, no guardan simetría. Esto se detecta mejor en otras posiciones características.

Figura 5. Micro curva de Apolonio-Soddy “inscrita”

de características 0.1062616.3140194

Tabla 4. Coordenadas funcion [figura 5]

Figura 6. Micro curva de Apolonio-Soddy “circunscrita” de características 0.1062616.3140194

Tabla 5. Coordenadas funcion [figura6]

5. Banda de Apolonio-Soddy Si fijamos la posición de la circunferencia iniciadora B y desplazamos la circunferencia C, por todo su recorrido util [Figura 3] “generador de curvas Apolonio-Soddy” obtenemos una huella característica para ese grupo de curvas de posición C fija. Se adjunta la gráfica y coordenadas de la banda caracteristica 270. “ se han incluido los extremos del intervalo util ] 90 a 135 [ que no generan curvas sino rectas con direcciones opuestas y que dan idea de la geometría de las sucesivas curvas a lo largo de la banda y de su cambio de signo.

Figura 7. Banda de la micro curva de Apolonio-Soddy “inscrita” de características 270.

Tabla 6. Coordenadas de algunas curvas de la banda [figura7]

5. Conclusión. El estudio, tanto de las curvas como de las bandas asociadas, se encuentra aún en una fase preliminar, donde más bien hemos tratado de delimitar su geometría en el plano. No obstante apreciamos un extenso campo geométrico donde investigar, el estudio analítico de las funciones, características y más curvas asociadas al problema general. Incluso en una tercera fase posterior al conocimiento de sus propiedades, algunas aplicaciones técnicas y estudio 3D. No nos desalentamos al estar en este estadío inicial, porque si tenemos una gran conclusión que madurábamos desde hace largo tiempo, y se trata de la confirmación en la utilidad del software CAD hacia el campo de la investigación geométrica y tal como se anunciara hace pocos años con el software de geometría dinámica “CABRI” de Texas Instrumens, un renacer de la investigación geométrica gráfica, con una óptica distinta a todo lo anterior que nos permitira entrever, nuevos puntos y rectas caracteristicos, que siempre estuvieron ahí.

6. Bibliografía

[01]http://torina.fe.uni-1j.si/$zlobec/mywork/colomia-seminar.pdf

[02]http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/mathematicians/Gergonne.html

Boyer,C.B. Una historia de las matemáticas. Nueva York 1968, pag 159

Corant y Robbins Problema de Apolonio. Prensa Universidad de Oxford 1996

Hoscheck J., Lasser D., Fundamentals of Computer Aided Geometric Design, A K Peters, Wellesley Massachussets, 1989.