características de las secciones
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Características de las Secciones
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• Introducción
• Características Geométricas
– Momento de primer orden (o estático)
– Baricentro
– Momento de segundo orden (o de inercia)
• Traslación de ejes (Steiner)
• Rotación de ejes
– Círculo de Mohr
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Perfiles Normalizados
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Perfiles de hormigón
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Características Geométricas
• Momento de primer orden o Estático
Área de la sección.=A
dAA
dAyA
x = Momento de Primer orden de la
sección con respecto a x.
=A
y xdA Momento de Primer orden de la
sección con respecto a y.
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Baricentro
==AA
xG dAydAAy
==AA
yG dAxdAAx
La posición del baricentro (XG,YG) es independiente de los ejes que se elijan.Por el baricentro pasan los ejes de simetría.
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Ejemplo
20 mm
25 mm
5 mm
5 mm
5 mm
20 mm
20 mm
5 mm
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Momento de Inercia o de segundo orden
dAyIA
x =2
dAxIA
y =2
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Ejemploy
x
x’
3
. 3
0
2
2/
2/
2
'
hbdAydAyI
hb
bA
x === −
12
.
3
88.
3
33
2/
2/
2
2/
2/
2 hb
hhb
dyydxdAyI
h
h
b
bA
x =
+
=== −−
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Teorema de Steiner
• Teorema de ejes paralelos, uno de los ejestiene que ser un eje baricéntrico.
2.yxx
dAIIG
+=
y
xG
x
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Ejemplo
• Momento de Inercia de un área compuesta
2,1,
222
21
xx
AAA
x IIdAydAydAyI +=+==
=i
ixxII
,
Hallar el momento de inercia con respecto a un ejecentroidal y horizontal.
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Bi-momento de Inercia
dAxyIA
xy =
El producto de inercia (o bi-momento de inercia) se define respecto a un par de ejes ortogonales x e y como:
A diferencia del momento de inercia, que es un valor siempre positivo, el producto de inercia puede ser positivo, negativo, o nulo. Esto depende de la posición del área respecto a los ejes.
yxyxxyddAII
GG
..+=
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Resumen
==AA
yG dAxdAAx
==AA
xG dAydAAy
2.yxx
dAIIG
+=
dAxyIA
xy =
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Giro de EjesHallaremos las expresiones de las inercias (Ix1, Iy1, Ix1y1) para unos ejes (x1, y1) con el mismo origen, pero girados un ángulo θ.
( ))2cos(12
1)(cos2 +=( ))2cos(1
2
1)(2 −=sen)2()cos()(2 sensen =
)2()2cos(221
senIIIII
Ixy
yxyx
x−
−+
+=
)2()2cos(221
senIIIII
Ixy
yxyx
y+
−−
+=
)2cos()2(211
xy
yx
yxIsen
III +
−=
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Círculo de Mohr
)2()2cos(221
senIIIII
Ixy
yxyx
x−
−+
+=
)2()2cos(221
senIIIII
Ixy
yxyx
y+
−−
+=
)2cos()2(211
xy
yx
yxIsen
III +
−=
yxyx IIII +=+11
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Círculo de Mohr
2
2
2
2xy
yxI
IIR +
−=
)2()2cos(221
senIIIII
Ixy
yxyx
x−
−+
+=
)2()2cos(221
senIIIII
Ixy
yxyx
y+
−−
+=
)2cos()2(211
xy
yx
yxIsen
III +
−=
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Momentos de Inercia principales
Definición: Los momentos de inercia principales serán los máximos y mínimos que se obtengan al variar el ángulo de rotación θ, siendo los ejes a los que se refieren, los ejes principales.
Ejes principales-centroidales: son ejes ppales que se encuentran en el baricentro
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Baricentro
=A
dAA
dAyA
x = =A
y xdA
==AA
xG dAydAAy
==AA
yG dAxdAAx
=
i
i
i
iGi
GA
Ay
y
=
i
i
i
iGi
GA
Ax
x
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Inercia
dAyIA
x =2 dAxI
A
y =2
IX=bh3/12 IX’ =bh3/3
Iy=hb3/12 Iy’ =bh3/3
AdII yxGx *2
+= AdII xyGy *2
+=
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Inercia de secciones
IX=bh3/12
IX=a4/12
IX=πD4/64
IX=bh3/36
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Módulo Resistente