capÍtulo - open course ware moodle 2.5³n de otra n; p or ejemplo: an = n+1 n,n ≥1 esta...

Capítulo 3Fun iones reales de variable real

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44 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 453.1. Planteamiento del problemaFigura 3.1: Modeliza ión del problemaTendremos un modelo que nos di e ómo se expresa una variable mediante otra, es de ir,tendremos una fun ión: x = f(y), y = g(x), x = h(t), t = s(x)

f, g, h, s: indi an qué rela ión existe entre el par de variables.En el tema anterior (su esiones), ya estudiamos ómo se omportaba una variable a en fun- ión de otra n; por ejemplo: an = n+1n , n ≥ 1Esta expresión también podemos es ribirla así:

a(n) = n+1n , n = 1, 2, 3, . . . (n es una variable natural)La diferen ia es que ahora nos interesan las rela iones del tipo y = f(x) donde x ∈ R. Elproblema que nos planteamos es el mismo que para las su esiones: desarrollar un instru-mental matemáti o on el que seamos apa es de analizar las propiedades de una fun ión ualquiera y = f(x).3.2. Propiedades a estudiar de las fun ionesLas propiedades que estudiamos para las su esiones también son interesantes ahora.Bási amente eran:

Figura 3.2: Estudio del re imientoE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

46 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALCre imientoPara una su esión an y para una fun ión y = f(x). (ver la �gura 3.2)A ota iónPara una su esión an y para una fun ión y = f(x). (ver la �gura 3.3)

Figura 3.3: A ota iónComportamiento uando la variable independiente tiende a ∞Para una su esión an y para una fun ión y = f(x). (ver la �gura 3.4)Figura 3.4: Estudio de la asíntotaPero resulta que ahora hay propiedades nuevas que también nos interesan, por ejemplo:Zona donde está de�nida ada variablePara las su esiones xn, la variable n siempre re orre N. En ambio, para y = f(x) lavariable x no siempre puede ser ualquier valor de R: f(x) = 1

x , h(x) = 1(x−1)(x+2) ,

g(x) =√

(x− 1)(x + 2) tiene omo dominio:f(x) : x ∈ R | x 6= 0

h(x) : ∀x ∈ R | x 6= 1,−2

g(x) : (x−1)(x+2) ≥ 0⇔{

x− 1 ≥ 0 ∧ x + 2 ≥ 0x− 1 ≤ 0 ∧ x + 2 ≤ 0

⇔

{

x ≥ 1

x ≥ −2⇒ x ∈ [1,∞)

{

x ≤ 1

x ≤ −2⇒ x ∈ (−∞,−2]Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.2. PROPIEDADES A ESTUDIAR DE LAS FUNCIONES 47Luego el dominio es: (−∞,−2] ∪ [1,∞)De�ni ión 3.1 El dominio de y = f(x) es el sub onjunto de R donde la variable xde la fun ión toma valores.De�ni ión 3.2 El rango de y = f(x) es el sub onjunto de R donde se en uentranesos valores de y.Por ejemplo:y = x2

D = (−∞,∞)⇒ R = [0,∞)

Figura 3.5: Dominio y rangoD = (−1, 3]⇒ R = (1, 9]

Figura 3.6: Dominio y rangoE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

48 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALComportamiento de y uando x se a er a a un ierto valor x0 ( on las su esiones, sólopuede estudiarse ómo se omporta xn uando n −→ ∞)Veamos otro ejemplo (ver la �gura 3.8: A medida que que la x se aproxima a x0 porFigura 3.7: Estudio del límitela dere ha (x > x0) la variable y se ha e arbitrariamente grande.A medida que que la x se aproxima a x0 por la dere ha (x > x0) la variable y se

Figura 3.8: Saltoa er a a c. Si x se a er a a x0 por la izquierda (x < x0), y se a er a a d.En el ejemplo de la �gura 3.9, uando la variable x pasa por x0, se produ e un ambioFigura 3.9: Cambio de tenden iaen el modo en que la variable y varía (de parabóli o a lineal).Otros parámetros de�nidos por una fun ión y = f(x):Área de una región plana: (ver la �gura 3.10 (a))Longitud de una urva. Centro de gravedad: (ver la �gura 3.10 (b))Volumen de revolu ión. Área de revolu ión: (ver la �gura 3.10 ( ))Valor medio de y: (ver la �gura 3.10 (d))Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.3. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN: DIFERENTES REPRESENTACIONES 49

Figura 3.10: (a): Área; (b): Longitud de una urva; ( ): Volumen de revolu ión; (d): Valormedio de y3.3. El on epto de fun ión: diferentes representa iones

Figura 3.11: Representa ión de fun ionesEjer i io 3.1 Resolvamos el ejer i io 1 de la rela ión de problemas:a) Analíti a (ver la �gura 3.12):A(α) =

H2 sen α cos α

2=

H2

4sen 2αE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

50 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.12: Ejer i io 1-a

α ∈[

0,π

2

]

, A ∈[

0,H2

4

]Grá� a (ver la �gura 3.13):Figura 3.13: Ejer i io 1-aTabla:

α A

0 0π/8 0. 18 H2

π/4 0. 25 H2

3π/8 0. 18 H2

π/2 0Conjunto de R2: {(α, H2

4 sen 2α)

| α ∈[

0, π2

]

}b) Analíti a (ver la �gura 3.14):H(L) =

√

L2 + 4

L ∈ [0,∞), H ∈ [2,∞)Grá� a (ver la �gura 3.15):Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.3. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN: DIFERENTES REPRESENTACIONES 51Figura 3.14: Ejer i o 1-bFigura 3.15: Ejer i io 1-bTabla:

L H

0 20. 3 2. 020. 7 2. 126 6. 3215 15. 1330 30. 07Curioso, a medida que L re e, H se a er a a L. ¾Es lógi o?. Viendo la grá� a, H = Les asíntota, la grá� a nos indi a que H > L siempre.Conjunto de R

2: {(L,√

L2 + 4 | L ∈ [0,∞)} ) Analíti a (ver la �gura 3.16):L(H) =

√

H2 − 25

H ∈ [5,∞), L ∈ [0,∞)Grá� a (ver la �gura 3.17):E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

52 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.16: Ejer i io 1- Figura 3.17: Ejer i io 1- Tabla:

H L

5 07. 3 5. 3212. 1 11. 0236. 8 36. 46150 149. 9Conjunto de R

2: {(H,√

H2 − 25) | H ≥ 5}También observamos que uando H tiende a ∞, L(H) tiende a H pero ahora L(H) <H (L = H es asíntota).d) Datos disponibles:- lineal: F = mC + n- tabla

C F

0 32100 210Luego:

32 = n

210 = 100m + 32 ⇒ m = 1. 8Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.3. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN: DIFERENTES REPRESENTACIONES 53De donde, F = 1. 8 C + 32

C ∈ (−273,∞), F ∈ (−459. 4,∞)

−273 es la temperatura del 0 absoluto, los gases o uparían un volumen 0, no al anzablefísi amente. En 1995, dos ientí� os ameri anos llegaron a enfriar un gas a 10−9grados Kelvin (el 0 absoluto son 0 grados).Grá� a (ver la �gura 3.18)

Figura 3.18: Ejer i io 1-dConjunto de R2: {(C, 1. 8C + 32) | C ∈ (−273,∞)}e) y = max{x, 1 − x}Tabla:

x y

0 max{0, 1} = 10. 2 max{0. 2, 0. 8} = 0. 80. 4 max{0. 4, 0. 6} = 0. 60. 5 max{0. 5, 0. 5} = 0. 50. 7 max{0. 7, 0. 3} = 0. 7Analíti a (ver la �gura 3.19):

y =

{

x si x ≥ 1− x1− x si x < 1− x

⇔{

x si x ≥ 1/21− x si x < 1/2Grá� a (ver la �gura 3.20):Conjunto de R

2: {(x, y) | y = x ∀x ≥ 1/2, y = 1− x ∀x < 1/2}f) Analíti a (ver la �gura 3.21):A(α) = α

R2

2, L(α) = αR donde α ∈ [0, 2π]E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

54 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.19: Ejer i io 1-eFigura 3.20: Ejer i io 1-e

A ∈ [0, πR2], L ∈ [0, 2πR]

Figura 3.21: Ejer i io 1-fTabla:α A L

0 0 0π/2 πR2/4 πR/2π πR2/2 πR2π πR2 2πRGrá� a (ver la �gura 3.22):Dis usión:

A(α) > L(α) ⇔ αR2

2> αR ⇔ R > 2Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.4. FUNCIÓN INVERSA 55

Figura 3.22: Ejer i io 1-fA(α) = L(α) ⇔ R = 2, ó α = 0 ∀R

A(α) < L(α) ⇔ R < 2¾Cuál es la distan ia entre A(α) y L(α)? (ver la �gura 3.23)D(R) = |A(R)−L(R)| =

∣

∣

∣

∣

αR2

2− αR

∣

∣

∣

∣

= αR

∣

∣

∣

∣

R

2− 1

∣

∣

∣

∣

=

αR(

R2 − 1

) si R > 20 si R = 2

αR(

1− R2

) si R < 2

α ∈ (0, 2π], D(R) ∈ (0,∞)

Figura 3.23: Ejer i io 1-f3.4. Fun ión inversaDada una fun ión y = f(x), a ve es interesa obtener x = h(y); en este aso x pasa avariable dependiente e y a variable independiente.Ejemplo 3.1 En el lanzamiento de una pelota ha ia arribah(t) = −g t2

2 + v0t t ∈[

0, 2gv0

], h ∈ [0,H], H =v20

2g (ver la �gura 3.24)Ahora, puede interesarnos obtener, para ada h, el instante t en el que se al anza laaltura hE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

56 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.24: Lanzamiento de la pelota

t =v0 ±

√

v20 − 2gh

g=

{

t1

t2En este aso, t sólo es úni o si h es la altura máxima H, y en este aso t = v0/g. Pero engeneral, existen dos valores posibles de t (ver la �gura 3.25).Figura 3.25: Dominio det y rango de hEl enun iado general de esta situa ión es:

y = f(x), x ∈ D, y ∈ R∀x ∈ D ∃! y ∈ R | f(x) = y luego f(x) es fun ión, pero:∃ y ∈ R | ∃ x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 | f(x1) = f(x2) = ypor lo que no existe fun ión inversa (para ser fun ión, a ada valor de la variable indepen-diente debe orresponder un úni o valor de la variable dependiente).Una analogía:Varios aminos para elegir. Cada uno de ellos lleva de forma úni a a un destino. Pero si labola está en un destino (valor de la variable independiente) no sé ual fué el amino elegidopara llegar (valor de la variable dependiente).Suelto la bola en 1, 2, 3 ó 4 (ver la �gura 3.26):Cada ele ión de punto ini ial 1, 2, 3, 4 nos lleva de forma úni a a A o B. Es una fun ión:- Dominio: 1, 2, 3, 4- Rango: A,BPero si sólo onoz o el valor en el rango, no siempre puedo de ir ual fué el punto de partida(ver la �gura 3.27):Este problema (estudiar la pro eden ia de las bolas, sabiendo que que se en uentra enA) se puede abordar mediante la teoría matemáti a que estudia el azar (Teoría de la proba-Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.4. FUNCIÓN INVERSA 57Figura 3.26: Caminos de la bola

Figura 3.27: Camino determinado e indeterminadobilidad). En la teoría que estamos estudiando (Cál ulo in�nitesimal) se estudian situa ionesen las que a ada valor de una variable independiente x le orresponde un úni o valor deuna variable dependiente y. En el aso de que a ada y le orresponda un úni o x, diremosque existe fun ión inversa, y se denota f−1(y) (ver la �gura 3.28).Figura 3.28: Fun ión biye tivaEjer i io 3.2 ¾Existirán ondi iones su� ientes para garantizar la existen ia de fun ióninversa? (ver la �gura 3.29)Dis usión: Dada una fun ión re iente/de re iente a tramos (por ejemplo la de la pelotalanzada ha ia arriba), ¾ ómo onstruir una fun ión que sí admita inversa?Solu ión: restringir el dominio de x (ver la �gura 3.30).- Dominio D = [a, b]- Rango R = [d, e]E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

58 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.29: Cre imiento y de re imiento

Figura 3.30: Fun ión originalEjer i io 3.3 Construir diversas fun iones a partir de la anterior, tal que exista inversa(ver la �gura 3.31).

Figura 3.31: Fun iones extraídas que tienen inversaInversas de algunas fun iones elementales:1. y = ex → x = ln y, x ∈ (−∞,+∞) y ∈ (0,∞) (ver la �gura 3.32)2. y = sen x no existe inversa en D= R, pero sí tomando, por ejemplo, x ∈ [−π/2, π/2](ver la �gura 3.33)∀y ∈ [−π/2, π/2] ∃! x ∈ [−1, 1] tal que sen x = y ⇔ x = arc sen y3. y = cos x, 6 ∃ inversa en D = R, pero sí en [0, π]

∀y ∈ [−1, 1] ∃! x ∈ [0, π] tal que cos x = y ⇔ x = arc cos y (ver la �gura 3.34)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.4. FUNCIÓN INVERSA 59

Figura 3.32: y = ex ←→ y = ln(x)

Figura 3.33: y = sen x ←→ y = arc sen x

Figura 3.34: y = cos x ←→ y = arc cos x4. y = tg x, 6 ∃ inversa en D = R, pero sí en (−π2 , π

2 )

∀y ∈ (−∞,∞) ∃! x ∈ (−π2 , π

2 ) tal que tg x = y ⇔ x = arc tg y (ver la �gura 3.35)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada


Figura 3.35: y = tg x ←→ y = arc tg x3.5. Composi ión de fun ionesEjemplo 3.2 Supongamos que dejamos aer una piedra en medio de un estanque en alma.Se forman ondas ir ulares on éntri as. Si el radio de una onda es r ¾ uánto vale su área?A(r) = πr2Ahora bien, el valor del radio r varía on el tiempo, es de ir apare e otra fun ión (ver la�gura 3.36)r = r(t)

Figura 3.36: Ondas¾Cómo podemos es ribir el valor del área A en fun ión de t?. Supongamos que r(t) =0. 6t, enton es

A(r) = πr2 ∧ r(t) = 0. 6t⇒ A(t) = π(0. 6t)2 = 0. 36πt2(ver la �gura 3.37)Por tanto, la fun ión A(t) está de�nida en dos �pasos�:Primeramente tomo un valor de la variable independiente t. Se obtiene un valor de lavariable dependiente r: r(t) = 0. 6t. Luego, tomo ese valor de r omo variable independiente,Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 61

Figura 3.37: Composi ión

Figura 3.38: Dos pasosy al ulo el valor de la variable dependiente A(r) = πr2 (ver la �gura 3.38).Esta de�ni ión de fun ión A en dos pasos se llama � omposi ión� .r(t) = 0. 6t y A(r) = πr2 ⇒ A(r(t)) = π(0. 6t)2Ejemplo 3.3 Giro de la rueda de un automóvil (ver la �gura 3.39).x = αR, α ∈

[

0,3π

2

]

, siendo: x ∈[

0,3πR

2

]Supongamos que el motor propor iona una revolu ión por segundo: α(t) = 2πt, t segun-dos.Luego x(t) = α(t)R = 2πtR metros (ver la �gura 3.40)x(α(t)) = x(t) : omposi ión (ver la �gura 3.41)0 ≤ α ≤ 3π

2 ⇔ 0 ≤ 2πt ≤ 3π2 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3

4 = 0. 75 segundos (ver la �gura 3.42)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

62 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.39: Rueda

Figura 3.40: Fun ión

Figura 3.41: Composi iónEl motor podría propor ionar diferentes velo idades de giro:α(t) = 2πt2, α(t) = 2π · et por ejemplo.Ejer i io 3.4 Representar en estos asos x(t), determinando el dominio de la variable t.Ejemplo 3.4 A ve es una omposi ión de fun iones puede simpli� ar la expresión de unafun ión.y =√

x + 3√

x, siendo x ∈ [1. 3, 2. 6] el dominio de la fun ión.y(1. 3) = 2. 23 e y(2. 6) = 2. 99⇒ Rango= [2. 23, 2. 99]Si tomamos x = z6 (ver la �gura 3.43), z3 = ±x1/2 y tomando la raíz positiva:Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.6. LÍMITES DE FUNCIONES 63

Figura 3.42: Composi ión

Figura 3.43: Ejemplo 3.4y(z) = z3 + z2 = z2(z + 1)

6√

1. 3 = 1. 04 y 6√

2. 6 = 1. 17⇒ z ∈ [1. 04, 1. 17]Ejer i io 3.5 Ha er el ejer i io pero tomando x1/2 = −z3. Obtener y(z) y x(z)3.6. Comportamiento de una fun ión y(x) en las proximidadesde x = a (límites)En el aso de las su esiones, no tiene sentido el estudio del omportamiento de an uandon se en uentra próximo a n0:para n ∈ N no existen valores naturales en (n − 1, n) ni en (n, n + 1).En ambio, si la variable es real, siempre existen valores en R arbitrariamente próximosa x = a.De he ho, existen TANTOS números reales en (a, b) omo ½ en todo R !E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

64 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.44: N es un onjunto dis reto

Figura 3.45: Entorno del punto aEjemplo 3.5 y = x2 + 1, D = R, R = [1,∞) (ver la �gura 3.46)Veamos omo se omporta y uando x toma valores próximos a x = 2.

Figura 3.46: y = x2 + 1

x y

±1. 9 4. 61±1. 99 4. 9601±1. 999 4. 9960A medida que x se a er a a 2, y se a er a a 5; pero ojo, este es el omportamiento de ysegún la x se a er a a 2 on ese modo determinado que hemos estable ido. ¾Cómo podemosdemostrar que independientemente de la forma en que x se a erque a 2, la y siempre sea er a a 5?Idea: �modo arbitrario de a er amiento a 2� ⇔ �su esión onvergente a x = 2�Por ejemplo, xn = 2 + 1

n ⇒ y(xn) =(

2 + 1n

)2+ 1 = 5 + 4

n + 1n2luego,

lımn→∞

(

5 +4

n+

1

n2

)

= 5Pero lo hemos omprobado en UN aso parti ular (xn = 2 + 1n

)Pero ¾ ómo ha erlo en general?Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.6. LÍMITES DE FUNCIONES 65Sea {xn} tal quelım

n→∞xn = 2¾Se umplirá la igualdad

lımn→∞

y(xn) = 5?

y(xn) = (xn)2 + 1⇒ lımn→∞

[

(xn)2 + 1]

=(

lımn→∞

xn

)(

lımn→∞

xn

)

+ lımn→∞

1(∗)= 2 · 2 + 1 = 5

(∗) El límite de la suma y del produ to de un número �nito de su esiones onvergentes es,respe tivamente, la suma y el produ to de los límites. El límite de una su esión onstantees la propia onstante.Ejemplo 3.6y =

x2 − 1

x− 1, D = R− {1}Tomemos la su esión {xn} que tiende a 1. ¾Cuál es el lımn→∞ y(xn) ?

lımn→∞

y(xn)(∗)= lım

n→∞

x2n − 1

xn − 1= lım

n→∞

(xn + 1)(xn − 1)

xn − 1= lım

n→∞xn + 1 = 2

(∗) Ojo, la su esión {xn} NO puede al anzar el valor 1.Este ejemplo nos muestra que NO toda su esión puede utilizarse. No basta on quelımn→∞ xn = a también xn debe estar en el dominio de la fun ión, para que tenga sentidoy(xn). En el ejemplo, a /∈ D por lo que no existe f(a).Por otra parte:

y =x2 − 1

x− 1=

(x + 1)(x− 1)

x− 1= x + 1¾Qué diferen ia hay entre y = x2−1

x−1 e y = x + 1? (ver la �gura 3.47)Sólo podemos simpli� ar si x 6= 1:

y =x2 − 1

x− 1, D = R− {1}

y = x + 1ambas fun iones son idénti as para x 6= 1.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada


Figura 3.47: y = x + 1 e y = x2−1x−1De�ni ión 3.3 Independientemente del modo en que la variable x se aproxima al punto a(evidentemente, estando dentro del dominio), la variable y SIEMPRE se aproxima al mismovalor, al que llamaremos límite.De manera formal:

∀xn | lımn→∞

xn = a ∧ xn ∈ D, lımn→∞

y(xn) = lResumimos este on epto denotando:lımx→a

f(x) = lDis usión: ¾Cómo podemos demostrar que, para ierta fun ión y(x), no existe lımx→a f(x)?6 ∃ lım

n→→∞y(xn)⇔ ∃xn, zn (xn, zn ∈ D) | lım

n→∞xn = lım

n→∞zn = a ∧ lım

n→∞y(xn) 6= lım

n→∞y(zn)Ejemplo 3.7 y(x) =

{

x2 + 1 x < 02− x x > 0

D = R− {0}¾∃ lımx→0 y(x) ?Por ejemplo, xn = 1n , zn = n+1

n2+1

lımn→∞

xn = lımn→∞

zn = 0

xn 6= 0 6= zn ⇒ xn, zn ∈ D

lımn→∞

y(xn) = lımn→∞

(

2− 1

n

)

= 2

lımn→∞

y(zn) = lımn→∞

(

2− n + 1

n2 + 1

)

= 2Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.7. CÁLCULO DEL LÍMITE DE R(H) 67Ésto NO demuestra ni que existe límite ni que no existe.Si tomamos la su esión: wn = − 1n < 0

lımn→∞

y(wn) = lımn→∞

(

(

− 1

n

)2

+ 1

)

= lımn→∞

(

1

n2+ 1

)

= 1Así pues, el valor al que tiende y depende del amino que usemos para a er arnos a x = 0(ver la �gura 3.48) luego NO existe lımx→0 y.Figura 3.48: Límite dependiente del aminoSi xn

n→∞→ 0, xn > 0 ⇒ lımn→∞ y(xn) = 2denotamos, lımx→0+ y(xn) = 2Si xnn→∞→ 0, xn < 0 ⇒ lımn→∞ y(xn) = 1denotamos lımx→0− y(xn) = 1Ejer i io 3.6 De�nir formalmente:

lımx→a+

y, lımx→a−

y3.7. Cál ulo del límite de R(h)El he ho de que una variable y admita (lımx→x0y) nos propor iona mu ha informa ióna er a del omportamiento de y en las proximidades de x0. Enseguida lo veremos. Pero eneste apartado vamos a ver ómo un simple ál ulo de

lımh→0

R(h) = Tresulta que es la BASE DE TODA la Teoría de Cál ulo In�nitesimal que sigue. Toda lateoría se sustenta en el ál ulo del valor ha ia el que se a er a ierta magnitud R uando lavariable independiente h se aproxima a 0.La té ni a onsiste en lo siguiente:1. Identi� amos la magnitud T que queremos al ular (área de una región plana, longitudde una urva, pendiente de una re ta tangente a una urva, un volumen, ...)T = A,L,m, V valores a al ular.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

68 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.49: Magnitudes2. Construimos una fun ión R(h) de modo que, uanto más pequeño sea h, más próximoestá R(h) de T .3. R(h) no estará de�nida en h = 0 (es de ir 6 ∃R(0)) PERO R(h) se a er a a T a medidaque h se a er a a 0, es de ir:

T = lımh→0

R(h)

Figura 3.50: Límite por aproxima iónVeremos más adelante ómo apli ar esta té ni a en los diferentes asos. Ahora sólo adelan-taremos un pequeño esquema de algunos:3.7.1. Cál ulo de la pendiente en un punto1. Valor que queremos al ular:m: pendiente de la re ta tangente a una urva en un punto x = a (ver la �gura 3.51).2. Es fá il al ular la pendiente de la re ta se ante: f(a+h)−f(a)

h (ver la �gura 3.52)Por tanto, R(h) = f(a+h)−f(a)h nos da una aproxima ión a m. Cuanto más pequeñasea h, mejor es la aproxima ión; R no está de�nida en h = 0:

R(0) =f(a)− f(a)

0=

0

0¾?Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.7. CÁLCULO DEL LÍMITE DE R(H) 69

Figura 3.51: Tangente en un puntoFigura 3.52: Pendiente de la se antePero quizá si exista (ver la �gura 3.53):

lımh→0

R(h) = valor ha ia el que tienden las pendientes de las se antesy en ese aso, el valor bus ado:Figura 3.53: Límite de la se ante

m = lımh→0

R(h) = lımh→0

f(a + h)− f(a)

h(

f(a + h)− f(a)

h≈ m pero lım

h→0

f(a + h)− f(a)

h= m

)3.7.2. Cál ulo del área de un re into plano1. Valor que queremos al ular = A = área limitada por la urva y = f(x), el eje OXsiendo x ∈ [a, b] (ver la �gura 3.54).E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

70 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.54: Área2. Construimos la fun ión de aproxima ión R(h):Dividimos [a, b] en 4 intervalos iguales (ver la �gura 3.55): h = b−a

4

Figura 3.55: Aproxima ión al áreaR(h) = hf(a)+hf(a+h)+hf(a+2h)+hf(a+3h) = h(f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h))Si tomo más intervalos:

h =b− a

nR(h) = h(f(a) + f(a + h) + . . . + f(a + (n− 1)h))

R(h) no está de�nida en h = 0 (6 ∃h(0), porque h = 0⇔ b = a). Pero si f(x) reúne las ondi iones su� ientes, uanto más próximo esté h de 0, mejor será la aproxima iónA ≈ R(h), esto es:

A = lımh→0

R(h)3.7.3. Cál ulo de la longitud de una urva1. L = longitud del ar o de urva y = f(x) en x ∈ [a, b] (ver la �gura 3.56).2. Divido la urva en trozos; la longitud de ada trozo la aproximo mediante la longituddel segmento se ante a la urva (ver las �guras 3.57 y 3.58).De donde:R(h) =

n∑

k=1

√

h2 + [f(a + kh)− f(a + (k − 1)h)]2 n =b− a

hDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.7. CÁLCULO DEL LÍMITE DE R(H) 71Figura 3.56: Longitud de una urva

Figura 3.57: Aproxima ión de la longitudFigura 3.58: Elemento diferen ial de longitud3. R(h) no está de�nido en h = 0, pero si se dan las ondi iones su� ientes, a medidaque h→ 0 la aproxima ión R(h) ≈ L es mejor. Finalmente:

L = lımh→0

R(h)Estos ejemplos de apli a ión nos sugieren algunos problemas. T = valor exa to; R(h)=aproxima ión de T :Hemos hablado de que �si f(x) reune las ondi iones su� ientes, lımh→0 R(h) = T �.¾Cuáles son esas ondi iones?La expresión de R(h) es ompli ada en mu hos asos.* 3.7.1: Si f(x) =

√x + 1

x cos x⇒ R(h) =

√a+h+1

(a+h) cos(a+h) −√

a+1a cos a

h⇒ lım

h→0R(h) = ??* 3.7.2 y 3.7.3:Observa que el número de sumandos tiende a ∞ uando h→ 0: h = b−a

nE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

72 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALLa respuesta a estos problemas la en ontraremos en la teoría del Cál ulo In�nitesimal:En ada aso (A,L,B,m et .) existe un teorema que espe i� a las ondi iones quedebe reunir f(x) para que lımh→0 R(h) = T .Por ejemplo, en el aso 3.7.2 (Área), podemos asegurar quelımh→0

R(h) = Asi f(x) umple lo siguiente:- f(x) está de�nida en [a, b].- f(x) es ontinua en [a, b].En uanto a la gran omplejidad del ál ulo dire to de lımh→0 R(h), también tenemosel orrespondiente teorema que propor iona un �atajo� de modo que no haya que seguirtodo ese ompli ado pro eso de obten ión de R(h) y el ál ulo dire to de lımh→0 R(h).Rara vez tendremos que al ular R(h) y lımh→0 R(h), todos los parámetros importan-tes (pendiente, longitud, área, momento de iner ia, ...) pueden obtenerse empleandoel �atajo� orrespondiente.Para el problema 3.7.1, el �atajo� es la fun ión derivada f ′(x). Para los problemas 3.7.2y 3.7.3 el �atajo� es la integra ión. Iremos estudiando los pro edimientos de ál ulo

Figura 3.59: Esquemadire to más importantes. Veamos ahora un ejemplo que nos indi a la omplejidad quepuede tener el obtener R(h) y al ular lımh→0 R(h) = T :Ejemplo: Área de un triángulo (ver la �gura 3.60)h =

b− 0

n=

b

n, h 6= 0Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.8. CARACTERIZACIÓN ǫ− δ DE LA EXISTENCIA DE LÍMITE 73Figura 3.60: Área del triángulo

R(h) = h(y(0) + y(h) + y(2h) + · · · + y((n− 1)h)) =

= h

(

a + a

(

1− h

b

)

+ a

(

1− 2h

b

)

+ · · ·+ a

(

1− (n− 1)h

b

))

=

= ah

(

1 +

(

1− h

b

)

+

(

1− 2h

b

)

+ · · · +(

1− (n− 1)h

b

))

=

= ah

(

n− h

b(1 + 2 + · · ·+ (n− 1))

)

= ah

(

n− h

b

n(n− 1)

2

)

=

= ah

(

b

h− h

b

bh

(

bh − 1

)

2

)

=ab

2+

a

2h

A = lımh→0

(

ab

2+

a

2h

)

=ab

2(ver la �gura 3.61)

Figura 3.61: Límite del área aproximadaNota:1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) = n(n−1)

2 ¾por qué?,1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1)

(n− 1) + (n− 2) + (n− 3) + · · ·+ 1

n + n + n + · · ·+ n

⇒ 1 + 2 + 3 + · · · + (n− 1) =n(n− 1)

23.8. Cara teriza ión ǫ− δ de la existen ia de límiteEjemplo 3.1 Supongamos que tenemos una máquina alimentada por una tensión V , a tra-vés de la ual ir ula ierta intensidad I. Regulando el valor de V tendremos diferentesvalores de I, es de ir I = I(V ).E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

74 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALLa tensión de trabajo es V = 350 voltios; sin embargo, V tiene pequeñas �u tua iones,de modo que en realidad, V ∈ (350 − δ, 350 + δ) donde δ > 0 es un número pequeño ydes ono ido (ver la �gura 3.62).Figura 3.62: Grá� o I-VNuestro problema es que una �u tua ión de V onlleva una �u tua ión de I, y eso esperjudi ial para nuestro equipo. Por ejemplo, supongamos que I(350) = 12A es la intensi-dad ideal. Pero, en realidad I ∈ (12 − ǫ, 12 + ǫ) donde ǫ > 0 es un valor que depende de δ.Supongamos que nuestra máquina sólo puede fun ionar bien si I se en uentra en el intervalo:

12± 10% = (12 − 1. 2, 12 + 1. 2) = (10. 8, 13. 2) (ǫ = 1. 2)Enton es, ¾qué os ila ión de V podemos admitir de modo que I esté en (10. 8, 13. 2)?Es de ir, da una os ila ión ǫ alrededor de I = 12 ¾podemos en ontrar una os ila ión δalrededor de V = 350 tal que si V ∈ (350 − δ, 350 + δ) enton es I ∈ (12 − ǫ, 12 + ǫ)?. Paraun ǫ > 0 dado, ¾existirá el δ?, ¾siempre?, ¾ uándo podemos estar seguros?En la grá� a del ejemplo (ver la �gura 3.63), pare e que sí es posible:Figura 3.63: Toleran ia 10%Si la máquina admite una os ila ión en I de ǫ = 1. 2 (I ∈ (12− 1. 2, 12 + 1. 2)), enton espuedo determinar grá� amente, midiendo on pre isión, un valor δ tal que si V ∈ (350 −

δ, 350 + δ) enton es I ∈ (12 − 1. 2, 12 + 1. 2). Nos vale ese δ ó CUALQUIERA MENOR,evidentemente.¾Y qué o urre si la toleran ia es menor, por ejemplo del 5%? (ver la �gura 3.64)12± 5% = (12− 0. 6, 12 + 0. 6) = (11. 4, 12. 6) (ǫ = 0. 6)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.8. CARACTERIZACIÓN ǫ− δ DE LA EXISTENCIA DE LÍMITE 75Figura 3.64: Toleran ia 5%El valor anterior de δ posiblemente es demasiado grande, pero existe un nuevo δ′ que sínos vale:

∃v ∈ (350 − δ, 350 + δ) | I /∈ (11. 4, 12. 6)pero en uentro un nuevo δ′ apropiado:∃δ′ > 0 | v ∈ (350 − δ′, 350 + δ′)⇒ I ∈ (11. 4, 12. 6)Podemos pensar en otras situa iones prá ti as on el mismo problema (ver la �gura3.65):- T = temperatura en una aldera, regulable.- P = presión, fun ión de T , P = P (T ).- Presión de trabajo = 40 kg/cm2, T = 150◦ C.

Figura 3.65: Grá� a P-TSi P puede variar dentro de un intervalo (40−ǫ, 40+ǫ), ¾podemos en ontrar un intervalode T (150 − δ, 150 + δ) tal que∀T ∈ (150 − δ, 150 + δ)⇒ P ∈ (40− ǫ, 40 + ǫ)?Ejer i io 3.7 En ontrar otras situa iones similares en las que se dé este mismo problema.Ejer i io 3.8 Analizar esta otra situa ión (ver la �gura 3.66), es de ir, dado ǫ > 0 estudiarsi es posible en ontrar el δ:lım

x→a+y = l1E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

76 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALlım

x→a−y = l2 (l1 6= l2)

Figura 3.66: Límite laterales distintosEn este aso no existe esa orresponden ia entre ǫ y δ: Somos apa es de en ontrar unvalor pequeño de ǫ > 0 tal que todo intervalo (a − δ, a + δ) tiene puntos x uya imagen:f(x) /∈ (l1 − ǫ, l1 + ǫ) ó f(x) /∈ (l2 − ǫ, l2 + ǫ). De manera formal:

∃ǫ > 0 | ∀δ > 0 ∃x ∈ (a− δ, a + δ) | f(x) /∈ (l1 − ǫ, l1 + ǫ) ó f(x) /∈ (l2 − ǫ, l2 + ǫ)Una onjetura: pare e que existe una rela ión entre la existen ia de límite y la existen ia deδ > 0 para ada ǫ > 0.Teorema 3.1 Ambas propiedades son exa tamente lo mismo. Es de ir:

∀ǫ > 0 ∃δ > 0 | x ∈ (a− δ, a + δ), x 6= a⇒ f(x) ∈ (l − ǫ, l + ǫ)es equivalente a:lımx→a

f(x) = lNo hay ninguna diferen ia entre ambas propiedades. Si existe esa orresponden ia ǫ− δ,enton es estamos seguros de que f(x) admite el límite. Y vi eversa, si existe límite, se puedeasegurar que existe la orresponden ia ǫ− δ.Volviendo a los dos ejemplos anteriores, vemos que (ver la �gura 3.67) en los dos estágarantizado que para un ǫ > 0 ualquiera ∃δ > 0 | x ∈ (a− δ, a+ δ) ⇒ f(x) ∈ (l− ǫ, l + ǫ).Figura 3.67: Límite en I-V y en P-TDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.8. CARACTERIZACIÓN ǫ− δ DE LA EXISTENCIA DE LÍMITE 77Demostra ión del teorema 3.1Hay que entender que:1. La demostra ión debe ha erse para una fun ión ualquiera. Si tomamos asos par-ti ulares omo y = x2 o y = ex, no estaremos demostrando nada, sólo estaremos�ilustrando on ejemplos�.2. Como se trata de una equivalen ia, hay que demostrar dos impli a iones::lımx→a

f(x) = lequivalen ia⇔ ondi ión ǫ− δSigni� a que debo demostrar:

⇒) lımx→a

f(x) = l⇒ ondi ión ǫ− δ

⇐) ondi ión ǫ− δ ⇒ lımx→a

f(x) = lDemostra ión de ⇒ por redu ión al absurdo:Supongamos que lımx→a f(x) = l pero que no se umple la ondi ión ǫ− δ:∃ǫ > 0 | ∀δ > 0,∃x ∈ (a− δ, a + δ) | f(x) /∈ (l − ǫ, l + ǫ)La estrategia onsiste en �fabri ar� una su esión xn tal que:lım

n→∞xn = a pero lım

n→∞f(xn) 6= llo ual es un absurdo ya que existe límite.Tomo δ = 1 ⇒ ∃x1 ∈ (a− δ, a + δ) | f(x1) /∈ (l − ǫ, l + ǫ)Tomo δ = 1/2 ⇒ ∃x2 ∈ (a− δ, a + δ) | f(x2) /∈ (l − ǫ, l + ǫ)En general:

δ =1

n⇒ ∃xn ∈ (a− 1

n, a +

1

n) | f(xn) /∈ (l − ǫ, l + ǫ)Por tanto: lım

n→∞xn = a

Figura 3.68: La su esión {xn} tiene límiteY sin embargo (ver la �gura 3.69): f(xn) /∈ (l − ǫ, l + ǫ) ∀n ∈ NE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

78 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.69: Su esión {f(xn)}por tanto lım

n→∞xn 6= l. AbsurdoDemostra ión de ⇐ por redu ión al absurdo:Supongamos que:

∀ǫ > 0, ∃δ > 0 | x ∈ (a− δ, a + δ) x 6= a, f(x) ∈ (l − ǫ, l + ǫ)pero que lımx→a f(x) 6= l. Esta ondi ión impli a que:∃{xn} | lım

n→∞xn = a pero lım

n→∞f(xn) 6= l (3.1)Si lımn→∞ f(xn) 6= l signi� a que:

∃ǫ > 0 | ∀k ∈ N ∃n > k | f(xn) /∈ (l − ǫ, l + ǫ)Por la ondi ión ǫ− δ, para ESE ǫ > 0:∃δ > 0 | ∀x ∈ (a− δ, a + δ), x 6= a, f(x) ∈ (l − ǫ, l + ǫ) (3.2)Como lımn→∞ xn = a, para ESE δ

∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0, xn ∈ (a− δ, a + δ)(3.2)⇒ f(xn) ∈ (l − ǫ, l + ǫ)lo ual ontradi e la ondi ión (3.1). Absurdo3.9. Uni idad del límiteEjer i io 3.9 Demostrar que el límite de una fun ión en un punto, si existe, es úni o(emplear un pro edimiento similar al que empleamos para demostrar la uni idad del límitede su esiones).3.10. Propiedades del límiteEjer i io 3.10 Enun iar las propiedades de existen ia del límite de una suma/produ to/ o ientede fun iones (análogas al aso de su esiones).Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.11. LÍMITE INFINITO 793.11. Límite in�nitoSi una fun ión admite límite en x = a, eso nos indi a un omportamiento a otado, esde ir, puedo en ontrar un pequeño intervalo (a− δ, a+ δ) de tal modo que f(x) siempre aedentro de otro intervalo (l − ǫ, l + ǫ).Ya hemos visto algunas situa iones en las que a otar f(x) era importante porque si f(x)tomaba valores demasiado grandes, resultaba un perjui io.Aunque no exista el límite en x = a, a ve es la fun ión f(x) está a otada. Por ejemplo (verla �gura 3.70):lım

x→axy 6= lım

x→a−y ⇒6 ∃ lım

x→ayPero:

∃δ > 0 | ∀x ∈ (a− δ, a + δ)⇒ f(x) ∈ [m,M ]⇒ f(x) a otada en (a− δ, a + δ)

Figura 3.70: Fun ión a otadaSin embargo, si no existe lımx→a y, no siempre podemos a otar y. Observemos el siguienteejemplo (ver la �gura 3.71):Figura 3.71: Fun ión no a otada por la izquierdaEn este aso, lım

x→a+y = l.Podemos en ontrar un intervalo (a, a + δ) donde y está a otado a DERECHA. Sin embargoel omportamiento de y por la izquierda de a es muy diferente. El valor de y supera ualquier�te ho� M que pongamos, basta a er arse su� ientemente al punto x = a por la izquierda.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

80 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALEjer i io 3.11 Es ribir de manera formal esa situa iónSolu ión:∀M ∈ R ∃δ > 0 | ∀x ∈ (a, a + δ)⇒ f(x) > MAbreviadamente:lım

x→a+f(x) =∞Del mismo modo se pueden de�nir los otros asos. Por ejemplo:lım

x→a−y = −∞ :

∀M ∈ R ∃δ > 0 | x ∈ (a− δ, a)⇒ f(x) < MPor muy bajo que oloque el �suelo� M , el valor de y queda aún más bajo que M , sin másFigura 3.72: Asíntota verti alque a er arnos lo bastante al punto x = a por la izquierda (ver la �gura 3.72).En ambos asos, diremos que y presenta una asíntota verti al x = a.Por ejemplo, y =

1

1− xen a = 1

lımx→1+

y = −∞ ( para 1− x < 0)

lımx→1−

y = +∞ ( para 1− x > 0)Además, lımx→±∞ y = 0⇒ asíntota horizontal y = 0 (ver la �gura 3.73).¾Cuánto debemos a er arnos al punto x = 1 para que y > M = 1000?1

1− x> 1000 ⇔ 1− x <

1

1000= 10−3 ⇔ x > 1− 10−3Enton es:

x ∈ (1− 10−3, 1)⇒ y > 1000 = MDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 81¾Cuánto debemos a er arnos por la dere ha de a = 1 para que y < M ′, siendo M ′ < 0 una ota �ja ualquiera?1

1− x< M ′ ⇔ 1− x >

1

M ′ ⇒ x < 1− 1

M ′Por ejemplo:M ′ = −5000⇒ x ∈

(

1, 1 +1

5000

)

= (1, 1 + 2 · 10−4)⇒ y < −5000 = M ′3.12. Continuidad3.12.1. Con epto de fun ión ontinuaEn Cál ulo, el término ontinuo tiene un signi� ado idénti o al del lenguaje otidiano.De ir que una magnitud y varía de forma ontinua respe to a otra magnitud x en iertopunto x = a, es de ir que:La grá� a de y(x) no tiene �hue os� ni �saltos� ni interrup iones en las er anías dex = a.Mu hos pro esos naturales están gobernados por fun iones ontinuas. Por ejemplo lafun ión de la �gura 3.74Puede representar:

x = tiempoy = velo idad de un sólido al que se apli a una fuerza.Observando la grá� a, en el instante x0 hemos dejado de apli ar la fuerza y por esosu velo idad va disminuyendo (supongamos que existe rozamiento). Sin embargo lavaria ión de y es � ontinua�, la grá� a no tiene saltos.x = tiempo

Figura 3.73: Asíntotas horizontal y verti alE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

82 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALx_0 x x

f(x_0)

Figura 3.74: ¾Velo idad?, ¾presión?, ¾tú que opinas?y = presión en el interior de una alderaObservando la grá� a, en el instante x0 hemos abierto una válvula y la presión ydisminuye, pero también de forma ontinua.Sin embargo, también hay situa iones en las que la variable y sufre un �salto� ó �ruptura� uando la variable x pasa por un punto x = a.Como su ede en dos urvas típi as (diente de sierra y uadrada) (ver la �gura 3.75) quepueden ser tensión (en mV) que apli amos a un ir uito en ada instante t.

1 2 t (m s)

1 2 t (m s)

Figura 3.75: Diente de sierra y onda uadradaO en este otro de la �gura 3.76: lo que su edía en el oste de una llamada telefóni a:El primer minuto uesta 0. 5 euros (si se estable e la omuni a ión). Después del primerDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 83minuto, el oste y de la llamada se in rementa de forma lineal on x. Existe un salto desdex = 1− hasta x = 1+.

1 2 x(min)

y(e)

0

0,5

1

3

Figura 3.76: Fun ión on saltoCasos de dis ontinuidadHay tres ir unstan ias en las que una variable y no es ontinua en un punto x = c:No existe f(c). La variable f(x) no está de�nida uando x = c, aunque sí existelımx→c f(x) = l (ver la �gura 3.77).

c

l

Figura 3.77: No existe f(c)Existe f(c) pero no existe lımx→c f(x) (ver la �gura 3.78).Existe f(c). Existe lımx→c f(x) = l pero l 6= f(c) (ver la �gura 3.79).Así pues,E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

84 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALc

y(c)

Figura 3.78: No existe límitec

y(c)

l

Figura 3.79: El límite no oin ide on f(c)De�ni ión 3.4 Una fun ión f(x) es ontinua en el punto x = c si se umplen las ondi- iones siguientes:1. Existe f(c),2. Existe lımx→c f(x) = l,3. lımx→c f(x) = l = f(c).Ejemplo 3.8 Sea la fun ión f(x) = x2−1x−1 de�nida en D = R−{1}. Es ontinua en D. (Verla �gura 3.80).

f(x) =(x− 1)(x + 1)

x− 1= x + 1Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 85se umple para todo x ∈ D. f(1) no está de�nido, pero lımx→1 f(x) = 2. Podríamos �evitar�esta dis ontinuidad, (ver la �gura 3.81) rede�niendo la fun ión y del siguiente modo:f(x) =

{

x + 1 si x 6= 12 si x = 1

1

2

Figura 3.80: Dis ontinuidad evitable

1

2

Figura 3.81: Dis ontinuidad evitada¾Por qué rees que una dis ontinuidad así suele llamarse de tipo �evitable�?.Ejemplo 3.9 Estudiar la ontinuidad de la fun ión f(x) en el punto x = 2.f(x) =

{

x2 − 1 si x < 2ax + b si x ≥ 2

donde a, b ∈ RE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada


2

3

2a+b

Figura 3.82: 2a + b 6= 3

lımx→2+ f(x) = 2a + b; lımx→2− f(x) = 3; f(2) = 3 (ver la �gura 3.82).La fun ión es ontinua en el punto x = 2 ⇐⇒ 2a + b = 3.No existen valores úni os de a y b; ualquier par de valores que umplan 2a + b = 3ha en ontinua a y(x).Esta familia de fun iones ontinuas puede expresarse así (ver la �gura 3.83):f(x) =

{

x2 − 1 si x < 2ax + 3− 2a si x ≥ 2

∀a ∈ R

3

2

Figura 3.83: 2a + b = 3Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 873.12.2. De�ni ión de ontinuidadTodo lo que hemos estudiado para límites es válido para la ontinuidad. La ontinuidadsólo impone una exigen ia adi ional:lımx→c

f(x) = f(c)De este modo, mediante su esiones es ribiremos así la ondi ión de ontinuidad:De�ni ión 3.5 f(x) es ontinua en el punto x = c (ver la �gura 3.84) si:∀{xn} | xn ∈ D y lım

n→∞xn = c =⇒ lım

xn→∞f(xn) = f(c)

c xn

f(c)

f(xn)

Figura 3.84: Si {xn} → c ⇒ {f(xn)} → f(c)y mediante la ondi ión ǫ− δ:De�ni ión 3.6 f(x) es ontinua en x = c (ver la �gura 3.85) si:∀ǫ > 0 ∃δ > 0 | x ∈ (c− δ, c + δ) =⇒ f(x) ∈ (f(c)− ǫ, f(c) + ǫ)3.12.3. Continuidad en intervalos erradosSupongamos que f(x) es una fun ión de�nida en el dominio D = [a, b]. Si c es un puntointerior a D, es de ir, si c ∈ (a, b) (ver la �gura 3.86), enton es f(x) está de�nida a la dere hay a la izquierda de c, y por tanto tiene sentido hablar de límite en x = c:Ahora bien, ¾y si c = a ó c = b?. No tiene sentido hablar de lımx→a− f(x) ni de

lımx→b+ f(x) (ver la �gura 3.87).Enton es, ¾ uándo diremos que f(x) es ontinua en [a, b]?De�ni ión 3.7 f(x) es ontinua en [a, b] si lo es en (a, b) y además se umple quelımx→a+ f(x) = f(a) y lımx→b− f(x) = f(b)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

88 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALc- c-

f(c)-

f(c)+

f(c)

c

Figura 3.85: Dado ǫ > 0, en ontramos δ > 0

a c

b Figura 3.86: Punto c interior a [a,b℄a

b

f(a)

f(b)

f(b+) no existe

f(a-) no existe

Figura 3.87: Intervalo erradoPero, ¾por qué habría de interesarnos estudiar la ontinuidad en un dominio de la formaD = [a, b]?. Hay otros tipos de dominio omo D = (a, b); D = (a,∞); D = (a, b]. ¾Porqué un dominio de la forma [a, b] resulta tan interesante?. Pues porque uando una fun ión ontinua se aso ia a un intervalo errado y a otado [a, b], ½½ apare en nuevas propiedadesDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 89interesantes !!Ejemplo 3.10 Vamos a ver si somos apa es de intuir algunas de esas nuevas propiedades(ver el uadro 3.1). Mira las fun iones ontinuas de la dere ha y ompáralas on las de laizquierda. ¾En qué se diferen ian?. ¾Qué propiedades tienen las primeras que no tienen lassegundas?1.a La fun ión es ontinua, pero su dominio es de la forma (a, b). No está a otada. Se anulaen un punto de (a, b).1.b La fun ión es ontinua en [a, b], a otada en [a, b]. Al anza el máximo y el mínimo valoren [a, b].2.a De�nida en [a, b] pero no ontinua. A otada. f(a) y f(b) son de signos opuestos. No seanula en [a, b].2.b Continua y a otada en [a, b]. f(a) y f(b) toman signos diferentes. Se anula en [a, b].3.a No es ontinua. Está a otada. De�nida en [a, b].6 ∃z ∈ [a, b] | f(z) = R3.b Continua y a otada [a, b]. ∃z ∈ [a, b] | f(z) = R ∀R ∈ [m,M ], siendo m el mínimovalor de f(x) y M el máximo valor.Las propiedades que hemos en ontrado son:P1 f(x) está a otada en D:∃m,M ∈ R | m ≤ f(x) ≤M ∀x ∈ DP2 f(x) se anula en un punto de D:∃z ∈ D | f(z) = 0P3 f(x) toma todos los valores intermedios:m = mın

x∈Df(x),M = max

x∈Df(x) y m ≤ R ≤M =⇒ ∃z ∈ D | f(z) = RAhora las preguntas son:Para que una fun ión f(x) tenga esas tres propiedades, ¾deba ser ne esariamente f(x) ontinua y en un dominio D = [a, b]?Para que una fun ión f(x) tenga esas tres propiedades, ¾deba ser su� iente on que

f(x) sea ontinua y de�nida en D = [a, b]?. ¾Es su� iente on sólo una de las ondi- iones?E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

90 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL1.a

a b ( )

1.ba b

[ ]

f(a)

f(b)

2.af(a)

f(b)

a b

[ ]

2.ba b

[ ]

f(a)

f(b)

3.af(a)

f(b)

a b

[ ]

R _

3.ba b

[ ]

f(a)

f(b)

M

m

R

Cuadro 3.1: Compara ión de fun ionesDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 91m

M

a b

( ) Figura 3.88: Fun ión a otada, pero no ontinuaObservando la �gura 3.88, ∀x ∈ (a, b),m ≤ f(x) ≤M pero no es ontinua y su dominioes D = (a, b) no de la forma [a, b]. Por tanto para que P1 se umpla, no es ne esaria ningunade las dos ondi iones.Ejer i io 3.12 Demostrar (usando ontraejemplos) que ninguna de las dos ondi iones esne esaria para que se umpla P2 o P3.Ya que ninguna de las dos ondi iones es ne esaria, quizá alguna ó las dos sean su� ientespara garantizar P1, P2, y P3.En la �gura 3.89 tenemos una fun ión de�nida en D = [a, b]. No es ontinua en [a, b] yno está a otada:a b

[ ]

m

M

Figura 3.89: Dominio errado y fun ión no a otadalım

x→a+=∞, lım

x→b−= −∞E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

92 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL∀M > 0, ∃x ∈ [a, b] | f(x) > My∀m < 0, ∃x ∈ [a, b] | f(x) < mPor tanto: la ondi ión �D = [a, b]� NO garantiza que se umple la propiedad P1.En la �gura 3.90 se representa una fun ión de�nida en D = (a, b) y que es ontinua en

D. Pero tampo o está a otada en D.a b

( )

m

M

Figura 3.90: Continua en D y no a otadaPor tanto, la ondi ión � ontinua en D� tampo o es su� iente para garantizar el umpli-miento de P1.Ejer i io 3.13 Demostrar (usando ontraejemplos) que ninguna de las dos ondi iones ga-rantiza por sí sola ninguna de las propiedades P2 y P3.ResumiendoPara que una fun ión f(x) de�nida en D ⊂ R umpla P1, P2 ó P3, ni tiene que estarde�nida en [a, b] ni tiene que ser ne esariamente ontinua. Además, una sola ondi ión( ontinua ó D = [a, b]) no garantiza que se umplan P1, P2 ó P3.Ahora bien, uando f(x) reúne las dos hipótesis ( ontinua y D = [a, b]) enton es SIEM-PRE se umplen P1 y P3.Teorema 3.2 (Teorema de Weierstrass) Sea f(x) una fun ión ontinua en el dominioD = [a, b]. Enton es, f(x) al anza su máximo y su mínimo valor en [a, b].Es de ir, si M es el máximo de f(x) en [a, b], y m es el mínimo enton es existenx1, x2 ∈ [a, b] tales que f(x1) = m y f(x2) = M .Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 93a b

[ ]

f(a)

f(b) M

m Figura 3.91: Máximo en x = bObservemos tres asos en los siguientes grá� osEn la �gura 3.91, tenemos f(x1) = m, x2 = b f(x2) = M siendo x1, x2 ∈ [a, b].En la �gura 3.92, x1 = a f(x1) = m, x2 = b f(x2) = M siendo x1, x2 ∈ [a, b]

a b

m

M

Figura 3.92: Mínimo y máximo en los extremosEn la �gura 3.93, f(x1) = m, f(x2) = M siendo x1, x2 ∈ (a, b) ⊂ [a, b].Teorema 3.3 (Teorema de Bolzano) Sea f(x) una fun ión ontinua en [a, b] on f(a)y f(b) de distinto signo. Enton es, f(x) se anula al menos una vez en (a, b).De un modo más formal, este teorema podemos enun iarlo así:Hipótesis: Condi iones Tesis : Propiedad que se umple,que satisfa e la fun ión siempre que sean iertas las hipótesisH1 f(x) de�nida en [a, b],H2 f(x) ontinua en [a, b], =⇒ ∃z ∈ (a, b) | f(z) = 0H3 siendo f(a) · f(b) < 0.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

94 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALa b

[ ]

f(a)

f(b)

m

M

x_1

x_2

Figura 3.93: Mínimo y máximo en el interiorEjer i io 3.14 Demostrar que la tesis no tiene por qué umplirse si alguna de las treshipótesis no se umple. Es de ir: tomar una de las hipótesis, por ejemplo H1; en ontrar unprimer ejemplo de fun ión que no umpla H1 y sí umpla H2 y H3 y la tesis. Luego, unsegundo ejemplo que no umpla H1, sí umpla H2 y H3 y no umpla la tesis.Ha er lo mismo para las tres hipótesis.Ejer i io 3.15 Supongamos que una fun ión f(x) umple las hipótesis del teorema de Bol-zano. Por tanto, ∃z ∈ (a, b) | f(z) = 0. Este punto z ¾es úni o?. ¾Qué hipótesis adi ionalesdebe umplir f(x) para asegurar que sólo existe un punto z ∈ (a, b) | f(z) = 0?Algunas apli a iones del teorema de BolzanoA ve es es ne esario en ontrar los eros de una fun ión y = f(x), es de ir, en ontrar losvalores de x tales que f(x) = 0. Por ejemplo, y = f(x) puede representar la intensidad de orriente que ir ula por un ierto ir uito ó la velo idad de un móvil (ver la �gura 3.94).En ambos asos puede interesarnos en ontrar el instante en el que la fun ión se anula.t

i

Figura 3.94: I(t) y V(t)Otras ve es nos interesará en ontrar los valores de x tales que dos fun iones f(x) y g(x)toman valores iguales. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos fun iones f(x) y g(x) querepresentan el rendimiento de sendas máquinas bajo una ondi ión de trabajo x. La variablex podría ser: Tensión de alimenta ión, revolu iones por minuto, tiempo que la máquina llevaen fun ionamiento, arga, . . . (ver la �gura 3.95).Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 95Puede interesarnos estudiar bajo qué ondi ión x el rendimiento es el mismo, el rendi-miento de una de ellas dupli a al de la otra, . . . .Se trata del mismo problema: bus ar las raí es de una fun ión.f(x) = g(x)⇔ f(x)− g(x) = 0.

x x1 2

f(x) g(x)

E

xFigura 3.95: ¾∃x | f(x) = g(x)?En ontrar las solu iones de una e ua ión f(x) = 0 no siempre es tan sen illo omoresolver una e ua ión lineal ó de segundo grado. Sin embargo, podemos utilizar el teoremade Bolzano para en ontrar un intervaloe [a, b] donde existe una raíz, luego dividirlo en dossubintervalos mediante el punto z = a+b2 y quedarnos on el subintervalo que ontiene laraíz, y así su esivamente (ver la �gura 3.96). Cada paso se llama itera ión. Las su esivasitera iones de�nen una su esión z1, z2, z2 . . . que onvergen ha ia la raíz z.

x

a

bzFigura 3.96: Itera ionesEjer i io 3.16 Utilizar este pro edimiento para en ontrar una solu ión aproximada al si-guiente problema:El par T produ ido por un motor de un automóvil viene aproximado por el siguientemodelo:T = 0. 808 x3 − 17. 974 x2 + 71. 248 x + 110. 843donde x ∈ [1, 5], x es la velo idad del motor en rpm. Se desea en ontrar el valor de x demodo que T = 150.3.12.4. Teorema de DarbouxVeamos un último teorema rela ionado on las fun iones ontinuas de�nidas en intervalos errados y a otados.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

96 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALTeorema 3.4 (Teorema de Darboux) (Teorema de los valores intermedios)Sea f(x) una fun ión ontinua de�nida en un intervalo [a, b]. Seam = mın{f(x) | x ∈ [a, b]} y M = max{f(x) | x ∈ [a, b]}. Enton es, f toma todo valor omprendido entre m y M al menos una vez, uando x re orre [a, b]. Esto es (ver la �gura3.97):

∀R ∈ [m,M ] ∃x ∈ [a, b] | f(x) = REjemplo 3.11 Apagamos el horno uando se en uentra a 250◦, y se enfría hasta los 20◦.¾En algún momento al anzará la temperatura de 170◦?250

20

170

t b

T

t0Figura 3.97: Temperatura del horno¾∃t0 ∈ [0, b] | T (t0) = 170◦?. Si la temperatura no variara de forma ontinua, omo en la�gura 3.98, no podría asegurarse la a�rma ión.

250

20

170

t b

T

t0Figura 3.98: Enfriamiento imposibleEjemplo 3.12 El sábado a las 8 h omenzamos a subir la ladera de una montaña. Llegamosa la ima 2 h más tarde. El domingo a las 8 h emprendemos la bajada y tardamos en bajar1. 5 h. Demuestra que a ierta hora nos en ontramos en el mismo punto del amino en lasubida y en la bajada (ver las �guras 3.99 y 3.100).Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.12. CONTINUIDAD 97

�SÁBADO DOMINGO8 h

10 h9:30 h

8 h

�

Figura 3.99: Ejemplo 3.12G

P

1.5 21

i(t)

j(t)

Figura 3.100: Grá� a del ejemplo 3.12Si S(t) el punto en el que nos en ontramos en el instante t durante la subida y B(t) lomismo, pero en la bajada.Si de�nimos h(t) = S(t)−B(t) y c omo la ima (ver la �gura 3.100); h(0) = 0− c < 0 yh(2) = c−0 < 0; omo 0 ∈ [−c, c], por el teorema de los valores intermedios, existe t0 ∈ [0, 2]tal que h(t0) = 0 por lo que S(t0) = B(t0) = P .Ejer i io 3.17 Dibujar las grá� as en la siguiente situa ión: Durante la bajada, nos damos uenta de que se nos ha olvidado apagar el fuego. Subimos de nuevo, lo apagamos, nosaseguramos durante un rato de que está apagado y emprendemos la bajada. Tardamos entotal 2. 25 h. ¾Sigue existiendo un instante en el que nos en ontramos en el mismo lugar enambos traye tos?.Ejer i io 3.18 Con el mismo planteamiento que en ejemplo anterior, pero después de apa-gar el fuego des ubrimos un amino para ontinuar as endiendo. Lo seguimos un rato y luegoemprendemos la bajada. Tardamos 3 h en total. ¾Existe todavía ese instante de oin iden iasubida/bajada?Todo el razonamiento está basado en la hipótesis de ontinuidad de ambas fun iones.Si pudiéramos ha er desplazamientos de lugar instantáneos, es de ir, mediante fun ionesdis ontinuas, enton es quizá no existiera esa oin iden ia en las traye torias. Pero, mientrasE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

98 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALestemos atados al mundo físi o, tendremos que ver el mismo suelo a ierta hora, en ambos aminos.Demostra ión del teorema de DarbouxSea f(x) una fun ión ontinua en un intervalo [a, b]. Según el Teorema de Weierstrass,f(x) al anza su máximo M y su mínimo m, en el intervalo [a, b], es de ir:Existen z1, z2 tales que m = f(z1), z1 ∈ [a, b] y M = f(z2), z2 ∈ [a, b]. Supongamos quez1 < z2. Sea R ualquier valor m < R < M . Construimos la fun ión:

g(x) = f(x) − R, ∀x ∈ [z1, z2] . g es una fun ión ontinua en [z1, z2] porque f lo es.Además umple las otras hipótesis del teorema de Bolzano:g(z1) = f(z1)−R = m−R < 0g(z2) = f(z2)−R = M −R > 0

Bolzano=⇒ ∃z ∈ (z1, z2) tal que g(z) = 0luego

=⇒ g(z) = f(z)−R = 0 =⇒ f(z) = R

m

R

x xa b

M

x1 3 2Figura 3.101: Demostra ión del teorema de Darboux

∀R ∈ [m,M ] ∃x ∈ [a, b] | f(x) = R, en el aso de la �gura 3.101 tenemos tres valores,f(x1) = f(x2) = f(x3) = RNotaObserva la grá� a de la fun ión g que hemos onstruido para demostrar el teorema: noes mas que f trasladada R unidades.Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 99R

M

m

zz1

z 2grá� a de la fun ión f(x)∃z ∈ (z1, z2) | f(z) = R

R

M

m

m−R

M−R

zz1z

2

grá� a de la fun ión g(x)∃z ∈ (z1, z2) | g(z) = 0Ejer i io 3.19 Haz un resumen de lo que hemos visto hasta ahora en este tema a er a delanálisis de fun iones:Problema que estamos resolviendo.Signi� ado del límite.Límites / su esiones/ on epto ǫ - δ.Continuidad, signi� ado.Continuidad en en intervalos [a, b].3.13. Derivabilidad.3.13.1. Introdu ión.Re uerda que nos hemos propuesto desarrollar un instrumental on el que analizar ómose omporta una fun ión y(x). Ya hemos avanzado un buen tramo, y somos apa es deidenti� ar diversos tipos de omportamiento, omo los siguientes (ver la �gura 3.102):Sin embargo el instrumental que hemos desarrollado hasta el momento, no al anza parainterpretar otros aspe tos del omportamiento de y(x). Observa (ver la �gura 3.103):Desde el punto de vista de la ontinuidad, no hay diferen ia entre f(x) g(x). ¾Qué signi-� an ambas grá� as?. ¾Cómo distinguirlas?. Si ambas representan, por ejemplo, las presta- iones de un motor, la evolu ión de las ventas, la intensidad que ir ula por un ir uito, unpro eso quími o ontrolado, et . ¾En qué se diferen ian ambos modos de omportamiento?(ver la �gura 3.104):De nuevo estos dos ejemplos son indistinguibles desde la ópti a de la ontinuidad. Sinembargo, y = f(x) tiene un omportamiento espe ial en las er anías de z. Se da un ambiomuy repentino de y al pasar por z. Y, sólo on la ontinuidad, no somos apa es de medireste ambio, ni siquiera de identi� ar los puntos donde o urre un omportamiento así. Comoves, hay que seguir avanzando en la elabora ión de nuestro instrumental de análisis.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada


Figura 3.102: Varias fun iones

Figura 3.103: Cre imiento y on avidadFigura 3.104: Cambio de dire ión3.13.2. Velo idad de varia ión de y respe to a x.La idea que vamos a explorar es la siguiente: Tengo una fun ión y(x), la evalúo en elpunto x = a, obtengo el valor y(a). Si ahora muevo la variable x hasta (a+h), ¾qué varia iónexperimenta la y(x)?Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 101Ejemplo 3.13 Sea y = x + 1 x ≥ 0 (ver la �gura 3.105):Figura 3.105: Varia ión de la fun iónVaria ión que experimenta la y:

∆y = y(1 + h)− y(1) = 2 + h− 2 = hSi lo medimos en un punto arbitrario x = a:∆y = y(a + h)− y(a) = a + h + 1− a− 1 = hAsí pues, hemos des ubierto una propiedad de esta fun ión: �Si la variable independiente

x se mueve desde x = a hasta x = (a+ h), la variable y experimenta una varia ión de h, sinimportar el punto x = a donde hagamos el ál ulo.�Curioso omportamiento. ¾O urre lo mismo on todas las fun iones?.Ejemplo 3.14 Sea y = x2. Hagamos el mismo ál ulo (ver la �gura 3.106):

Figura 3.106: Ejemplo 3.14

y(a) = a2

y(a + h) = (a + h)2 = a2 + h2 + 2ah∆y = y(a + h)− y(a) = h2 + 2ahYa hemos en ontrado una diferen ia entre el omportamiento de esta fun ión y el dela del ejemplo anterior: �La varia ión que experimenta y uando x pasa de x = a hasta

x = (a + h), depende NO sólo de h, sino TAMBIEN del punto a�.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

102 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALEjer i io 3.20 Cal ular algunos in rementos de y, ompletando una tabla omo la siguien-te: a a+h y(a) y(a+h) ∆yTomar un valor de h ualquiera, por ejemplo h = 2. 5. ¾ ómo resulta afe tado el valorde ∆y según el punto x = a que tomemos?. Ha er el mismo estudio para la fun ión y = x3.Expli ar la diferen ia de omportamiento de las tres fun iones y = x; y = x2 e y = x3.Generalizar el estudio para la fun ión y = xn, n ∈ N.En general, es po o útil saber el valor de ∆y si no ono emos también el in remento de x,

∆x = h. Por ejemplo:Sea y = x donde a = 1. Enton es:∆y = 8⇔ y(1 + h)− y(1) = 8⇔ 1 + h− 1 = 8⇔ h = 8Es de ir, para que la variable y experimente un in remento ∆y = 8, es ne esario que sea

h = 8. En ambio, si y = x2

∆y = 8⇔ (1 + h)2 − 1 = 8⇔ h2 + 2h− 8 = 0⇔ h = 2,−4Por tanto, esta segunda fun ión ne esita un in remento de x mu ho menor para onseguir∆y = 8 (ver la �gura 3.107):

Figura 3.107: Diversos in rementosDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 103Por ello, el ál ulo de ∆y se es ribe en rela ión al in remento de la variable x:∆y

∆x=

y(a + h)− y(a)

hValor medio de y en el intervalo x ∈ [a, a + h] ó x ∈ [a + h, a] si h < 0Ejemplo 3.15 Supongamos que t representa el tiempo y la variable y la posi ión de unmóvil (ver la �gura 3.108):Figura 3.108: Ejemplo 3.15La velo idad media entre t = 1 y t = 4 es la siguiente:

∆y

∆x=

y(1 + 3)− y(1)

3=

6 + 1

3=

7

3m/sVeamos grá� amente el signi� ado geométri o de ∆y

∆x (ver la �gura 3.109):Figura 3.109: Pendiente en el ejemplo 3.15Así pues,∆y

∆x tiene dos signi� ados:1. Valor medio de y en el intervalo x ∈ [a, a + h].2. Pendiente de la re ta se ante a la urva por los puntos (a, y(a)) y (a + h, y(a + h)).E ua ión de la re ta se ante:y − y(a) = m(x− a)⇔ y − y(1) =

7

3(x− 1)⇔ y =

7

3x− 10

3¾En qué intervalos la velo idad es negativa?. ¾Y positiva?.v < 0⇔ posi ión de re iente ⇔ t < 1, t ∈ (2, 3)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

104 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALv > 0⇔ posi ión re iente ⇔ t > 3, t ∈ (1, 2)Veamos otro ejemplo:Ejemplo 3.16 Viendo la �gura 3.110:

Figura 3.110: Ejemplo 3.16Observa que la velo idad media de las variables z e y en el intervalo [a, a+h] es idénti a.Sin embargo, ambas fun iones tienen un omportamiento muy diferente en [a, a + h].Así pues,el modo en que varía y en el intervalo [a, a + h] no queda demasiado bien des ritopor su velo idad media∆y∆x .Podemos pensar en redu ir el tamaño del in remento x, ∆x (ver la �gura 3.111):

Figura 3.111: Fun ión de igual velo idad mediaNo es buena solu ión. Siempre podemos en ontrar una segunda fun ión y(x) que tengala misma velo idad media que z(x) en [a, a + h] pero siendo y(x) y z(x) muy diferentes.Ejer i io 3.21 Supongamos que y(x) no es lineal, es de ir, y no es de la forma y = mx+n.Supongamos que ono emos y(a), y(a + h), h y a.En ontrar otra fun ión z(x) tal que ∆z

∆y=

∆y

∆x.La velo idad media de y en [a, a + h] no des ribe el omportamiento de y. La di� ultadpare e estar en que estamos midiendo una ara terísti a de y en un INTERVALO. ¾Qué talsi en vez de hablar de �velo idad media en [a, a + h]� medimos �velo idad instantánea en

x = a�?. Tenemos el instrumental ne esario: el límite uando h = 0. Re uerda lo que vimosen el apartado 7:Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 1051. Identi� o la magnitud T a al ular. En este aso T = velo idad instantánea de y(x)en x = a.2. Construyo una fun ión R(h) tal que uanto más próximo esté h de 0, más er ano estéR(h) de T . En este aso (ver la �gura 3.112):

Figura 3.112: Co iente in rementalR(h) =

∆y

∆x=

y(a + h)− y(a)

h3. R(0) = 00 ⇒ R(h) no está de�nida en h = 0, pero quizá si exista:

lımh→0

R(h) = lımh→0

y(a + h)− y(a)

hPara una ierta fun ión y(x), en un punto x = a determinado, el límite anterior quizáexista ó quizá no. Pero en el aso de que exista, el valor representa la �velo idadinstantánea� de y(x) en x = a. Ya no se trata de una ara terísti a de y(x) en unintervalo, sino una ara terísti a de y(x) en el punto x = a.Ejemplo 3.17 Sean y(x) = x2 y a = 2. Cal ulemos R(h)

R(h) =y(2 + h)− y(2)

h=

(2 + h)2 − 22

h=

h2 + 4h

h= h + 4⇒ lım

h→0(h + 4) = 4En este aso, existe lımh→0

∆y∆x = 4 en el punto x = 2.�La velo idad instantánea de y(x) en x = 2 es igual a 4�. Además, podemos interpretargrá� amente lımh→0

∆y∆x (ver la �gura 3.113):

tan α = ∆y∆x es la pendiente de la re ta se ante por (a, f(a) y (a, f(a + h)). Por tanto:

lımh→0∆y∆x = tan β es la pendiente de la re ta tangente por el punto x = a. Si este límiteexiste, lo llamamos derivada de y en x = a, y lo denotamos y′(a). Además, podemos en on-trar el valor de y′(x) para un x ualquiera. Supongamos que y = x2

y′(x) = lımh→0

y(x + h)− y(x)

h= lım

h→0

(x + h)2 − x2

h= lım

h→0

x2 + h2 + 2xh− x2

h= lım

h→0(h+2x) = 2xE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

106 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.113: PendientePor tanto, y′ = 2x. La expresión y′(x) es una fun ión llamada �fun ión derivada�. Las reglasde deriva ión nos permiten obtener las fun iones derivadas de las fun iones elementales:

d

dx(sen x) = cos x,

d

dx(xn) = nxn−1, et .Ejer i io 3.22 Si y = ex, demostrar que y′ = ex. Ayuda: emplear el desarrollo de ex:

ex =

∞∑

k=0

xk

k!= 1 + x +

x2

2+

x3

3!+ · · ·3.13.3. ¾Qué o urre si y′ = z′?Cuando hablábamos de velo idad media de y en el intervalo [a, a + h], nos dimos uentade que el valor ∆y

∆x no era un buen �indi ador� del omportamiento de y en el intervalo[a, a + h]. Dos fun iones y(x) y z(x) podían tener un omportamiento muy diferente en elintervalo [a, a + h] pero tener la misma velo idad media (ver la �gura 3.114):

Figura 3.114: Misma velo idad mediaSi y(a) = z(a) enton es y(a + h) = z(a + h), por tanto,∆y

∆x=

∆z

∆xEn ambio, ahora tenemos el valor de y′(x) omo una propiedad de y en ada punto x, noen un intervalo. Si tenemos dos fun iones y(x) y z(x) tales que y′(x) = z′(x) ∀x, ¾puedenser y(x) y z(x) �muy diferentes�? (ver la �gura 3.115):Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 107Figura 3.115: ¾y′(x) = z′(x)?¾Es posible que y′(x) = z′(x) ∀x x ∈ (a, b)?. No. Re uerda que y′(x) representatambién la pendiente de la re ta tangente a la urva en ada punto x. Así pues, si y′(x) =

z′(x) ∀x, signi� a que las re tas tangentes en ada x deben ser paralelas (ver la �gura3.116):Figura 3.116: y′(x0) 6= z′(x0)En el punto x0, las re tas tangentes no son paralelas. Enton es, ¾ ómo son dos fun iones

y(x) y z(x) tales que y′(x) = z′(x)? (ver la �gura 3.117):Figura 3.117: Las re tas tangentes son paralelasTres fun iones y(x), v(x) y z(x) tales que y′(x) = v′(x) = z′(x) ∀x ualquiera de ellasse obtiene trasladando verti almente otra de ellas:

∃ k1 | y = k1 + v∃ k2 | y = k2 + z∃ k3 | v = k3 + zNo son muy diferentes. Se diferen ian en una simple onstante.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

108 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALEjemplo 3.18 Supongamos que y′(x) = 3x2 − 1. En ontrar la familia de fun iones y que umplen esa ondi ión. ¾Cuántas de esas fun iones pasan por el punto (0, 7)? (ver la �gura3.118).

Figura 3.118: Familia de fun ionesy′ = 3x2 − 1y = x3 − x + c c ∈ R

y = x(x + 1)(x− 1) + cSi y(0) = 7⇒ c = 7Por tanto, sólo existe una fun ión que pase por (0, 7); es y′(x) = x3 − x + 7.Ejer i io 3.23 Dada una ierta fun ión y(x), la familia I = z(x) = y(x) + k | k ∈ R re-presenta todas las fun iones uya derivada es igual a y′(x). Se pide:1. Representar grá� amente la familia I .2. Demostrar que existe sólo una fun ión en I que pasa por un punto dado (x0, y0).3.13.4. ¾Y si no existe y′(a)?Vamos a estudiar la siguiente fun ión:y(x) =

{

x2 x ≤ 1x3 x > 1Enton es:

{ Si x < 1⇒ y′ = 2x ya que y = x2Si x > 1⇒ y′ = 3x2 ya que y = x3Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 109Pero, ¾qué o urre en x = 1?. Es un punto en el que ambia la expresión algebrai a de y(x),y por eso no podemos utilizar las reglas usuales de deriva ión para al ular y′(1). Hay queapli ar la de�ni ión:y′(1) = lım

h→0

y(h + 1)− y(1)

hHay que al ular ambos límites laterales porque:Si h > 0⇒ y(h + 1) = (1 + h)3Si h < 0⇒ y(h + 1) = (1 + h)2

y′(1+) = lımh→0+

(1 + h)3 − 1

h= lım

h→0(3h + 3 + h2) = 3

y′(1−) = lımh→0−

(1 + h)2 − 1

h= lım

h→0(2 + h) = 2Los límites laterales son diferentes, por tanto no existe límite. La fun ión NO es derivableen el punto x = 1. Su fun ión derivada será (ver la �gura 3.119):

Figura 3.119: Grá� a de y′(x)

y′(x) =

2x si x < 16 ∃ si x = 13x2 si x > 1

y′(x) no está de�nida en x = 1. ¾Y ómo será la grá� a de y(x)? (ver la �gura 3.120):Existe ontinuidad en x = 1 pero se produ e un ambio muy abrupto al pasar por elpunto x = 1.y′(1+) = 3: las pendientes de las tangentes por la dere ha tienden a 3. y′(1−) = 2: laspendientes de las tangentes por la izquierda de x = 1 tienden a 2. No es derivable.Otras situa iones en las que puede no existir derivada en x = a:E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada


Figura 3.120: Grá� a de y(x)

t: tiempo t: tiempo t: tiempo : arga de un ondensador v: velo idad de un vehí ulo B: Bene� io de la ventade un produ toEn t = t0: ortamos la En t = t0: apli amos una En t = t0: la ompeten ia orriente a elera ión mayor lanza un artí ulo similara mitad de pre io3.13.5. La derivada omo aproxima ión: diferen ialPor su propia de�ni ión la re ta tangente a una urva y(x) está er a de las proximidadesdel punto. Enton es, ¾por qué no utilizar esta re ta para evaluar de forma aproximada lafun ión? (ver la �gura 3.121):y: variable a aproximar.z: variable, ordenada de la re ta tangente a y por el punto x = a.

z(x) = y(a) + y′(a)(x − a) =⇒ z(a + h) = y(a) + y′(a)hSi h es pequeño, z(a + h) ≈ y(a + h). Es de ir:y(a + h) ≈ y(a) + hy′(a) (ver la �gura 3.122):Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 111Figura 3.121: In rementosFigura 3.122: Diferen ialEl valor de hy′(a) se llama diferen ial de y(x) en el punto x = a, y de denota:

dy(a) = h · y′(a)Ejemplo 3.2 Cal ular de forma aproximada e0.2 empleando la diferen ial de y(x) = ex enel punto a = 0 (ver la �gura 3.123):

Figura 3.123: Ejemplo 3.2y′(x) = ex ⇒ y′(0) = 1Expresión de la aproxima ión:e(0+h) ≈ e0 + h⇔ eh ≈ 1 + hE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

112 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALTomando h = 0. 2:e0.2 ≈ 1 + 0. 2 = 1. 2Ejer i io 3.24 Tomar diversos valores de h, ada vez menores 0. 1, 0. 01 et . Evalúa onla al uladora eh. Comprobar que la aproxima ión mediante la diferen ial es mejor uantomás próxima esté h a 0.En de�nitiva, estamos aproximando la fun ión y = ex mediante la fun ión z = 1 + x.¾Re uerdas el desarrollo en serie de ex?ex =

∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2+

x3

3!+ · · ·¾Qué te pare e?. La aproxima ión por la diferen ial onsiste en tomar los dos primerossumandos en el desarrollo de ex.Ejer i io 3.25 Es ribir la aproxima ión mediante la diferen ial para las fun iones

y = cos x e y = sen x tomando a = 0. Rela ionar estas aproxima iones on los orrespon-dientes desarrollos en serie. Cal ular aproximadamente sen 0. 3 y cos 0. 1.La derivada es nuestra primera �piedra pre iosa matemáti a�. Si la observamos desde dife-rentes ópti as, en ontramos signi� ados que pare en no tener rela ión entre sí (ver la �gura3.124):

Figura 3.124: Deriva iónDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 1133.13.6. Derivada de la fun ión ompuesta: regla de la adenaSupongamos que deseamos subir a la azotea de un edi� io una es alera de mano. Laapoyamos en el suelo, atamos una uerda al extremo superior y tiramos. Ver la �gura 3.125).Si tiramos de la uerda on velo idad 0. 2 m/s, ¾a qué velo idad se a er a p a la pared?.Figura 3.125: Es alera

l: longitud de la es alera.Rela ión entre p, q y l: p2 + q2 = l2 (1).Velo idad de desplazamiento de q: 0. 2 m/s.De (1) podemos despejar p(q):p(q) =

√

l2 − q2 q ∈ [0, l]Ahora si al ulamos p′(q), tendremos la velo idad de p respe to a q (ver la �gura 3.126):Figura 3.126: Fun ión de fun ión

dp

dq= p′(q) =

−q√

l2 − q2Para que no nos aparez an ompli adas raí es, podemos derivar (1) de forma implí ita res-pe to a q:d

dq(p2 + q2) =

d

dq(l2) = 0Observa que p no es onstante, es fun ión de q:

d

dq(p2 + q2) = 0⇔ 2p

dp

dq+ 2q

dq

dq= 0⇔ p

dp

dq+ q

dq

dq= 0⇔ dp

dq=−q

pE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

114 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALPor ejemplo, si q ha as endido la mitad de l es de ir, q = l2 enton es:

p =

√

l2 −(

l

2

)2

= l

√3

2⇒ dp

dq=

−l2

l√

32

=−1√

3Observa:1. Esta velo idad es negativa porque p de re e.2. Esta velo idad se mide en �metros de desplazamiento de p por ada metro de despla-zamiento de q�.Sin embargo, el dato del enun iado a er a de la velo idad de q es respe to al tiempo.Como dq

dt= 0. 2m/s; ya tenemos dp

dqpero ¾ ómo al ulamos dp

dt?.

p y q son ambas fun iones de t. Enton es la e ua ión (1) queda (p(t))2 + (q(t))2 = l2.Derivamos respe to a t:d

dt

(

p2 + q2)

=d

dt

(

l2)

= 0⇔ d

dt

(

p2)

+d

dt

(

q2)

= 0

⇔ 2pdp

dt+ 2q

dq

dt= 0⇔ dp

dt=−q dq

dt

p⇔ dp

dt

dq

dt=2

=−2q

pSi por ejemplo:q =

l

2⇒ dp

dt=−2√

3m/sObserva que hemos ne esitado omponer fun iones:1. Sin emplear t.

q −→ p(q)2. Empleando t:.Composi ión: t −→ q(t) −→ p(q(t))Y la derivada es:dp

dt=

dp

dq· dq

dtEn nuestro aso:dp

dq=−q

p;

dq

dt= 0. 2Enton es:

dp

dt= −0. 2

q

pDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 115Figura 3.127: Regla de la adenaVamos a es ribir de modo general esta regla para derivar fun iones ompuestas (ver la �gura3.127):

u −→ v −→ w

dw

du=

dw

dv

dv

duEsta es la llamada �Regla de la adena�. Veamos algunos ejemplos más:Ejemplo 3.19d

dx(x3) = 3x2.Enton es:

d

dt

(

x3)

=d

dx

(

x3) dx

dt= 3x2 dx

dtEjemplo 3.20p(y) = ey

y = x3

}

⇒ dp

dy= eyEnton es:

dp

dx=

dp

dy· dy

dx= ey · 3x2Ejemplo 3.21

p(y) = cos yy(x) = ex

x(t) = t3

⇒ dp

dt=

dp

dy· dy

dt=

dp

dy· dy

dx· dx

dt= − sen y · ex · 3t2 = − sen

(

et3)

· et3 · 3t2O bien:p = cos(y) = cos (ex) = cos

(

et3)

dp

dt= − sen

(

et3)

· et3 · 3t2E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

116 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALEjemplo 3.22u (v (w(t)))⇒ du

dt=

du

dv· dv

dt=

du

dv· dv

dw· dw

dtEjer i io 3.26 Resolver el problema de la es alera, pero ahora empleando un torno que giraa velo idad 2 rad/s, es de ir, si θ es el ángulo de giro, θ(t) = 2πRt. ¾A qué velo idadesse desplazan p y q en el instante en que q = l2?.¾En qué instante t o urre?. Representagrá� amente p(t). Cal ular dp

dθy dq

dθ.3.13.7. Derivada de la fun ión inversaObserva la tubería de se ión uadrada de la �gura 3.128. Podría tratarse, por ejemplo,de una a equia de riego. En todo momento es posible medir la altura h que al anza ellíquido, y también podemos ono er el volumen de agua V que vertemos a la a equia. Asípues, ono emos V (t) y también h(t) donde t es el tiempo. Por tanto, podemos medir lasvelo idades de V y h respe to de t: dV

dty dh

dt.

Figura 3.128: TuberíaSupongamos que ambas velo idades son onstantes:dV

dt= 35 l/s y dh

dt= 0. 25 m/minAhora nos interesa al ular la velo idad de V pero on respe to a h, es de ir, la velo idad on que ambia V en rela ión a la altura que al anza el nivel: bus amos el valor de dV

dh .Apli amos la regla de la adena:dV

dh=

dV

dt

dt

dh= 35 · dt

dh¾Cuánto vale dtdh?. Cono emos dh

dt = 0. 25, pero no dtdh . Del mismo modo puede interesarnos al ular dh

dV

dh

dV=

dh

dt· dt

dV= 0. 25 · dt

dV

dt

dVes des ono ido. Vamos a formular de manera general el problema:Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 117�Tenemos una fun ión derivable y(x) y dydx . Cal ulamos la inversa x(y). Se trata ahorade al ular dx

dy �.Así pues, se trata de en ontrar la derivada de la fun ión inversa x(y). Posiblemente deberásrepasar lo que vimos en el apartado 4.Vamos a resolver el problema de la es alera del apartado 3.13.6Vimos que p2 + q2 = l2 (l= te.) (ver la �gura 3.129).Figura 3.129: Es aleraDerivamos respe to a p

2p + 2qdq

dp= 0⇒ dq

dp=−p

qDerivamos respe to a q

2pdp

dq+ 2q = 0⇒ dp

dq=−q

pHemos obtenido algo urioso:dp

dq=

1dqdp

ó dq

dp=

1dpdqPues bien, este resultado no sólo es ierto en este aso. En general, dada una fun ión y(x)derivable tal que dy

dx 6= 0, si existe inversa x(y), enton es también esta inversa es derivable ydxdy se obtiene muy fá ilmente a partir de dy

dx .dx

dy=

1dydx¾Entiendes ahora por qué se ne esita dy

dx 6= 0?Ahora, el problema de la a equia tiene fá il solu ión:

dhdt = 0. 25 m/min⇒ dt

dh = 10.25 min/m

dVdt = 35 l/s⇒ dt

dV = 135 s/lPor tanto:

dVdh = 35 · 1

0.25 = 140 l/m (

dhdt 6= 0

)

dhdV = 1

dVdh

= 1140 m/l (

dVdh 6= 0

)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

118 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALEjemplo 3.23 Cal ular la inversa de y = x2 y su derivada.y = x2 no admite inversa si su dominio es D = R.Dado y > 0, existen dos posibles valores de x tales que x2 = y: x = ±√y (ver la �gura3.130).

Figura 3.130: Ejemplo 3.23Sin embargo, sí admite inversa si tomamos omo dominio R+ por ejemplo (ver la �gura3.131).

Figura 3.131: x = +√

y

∀y ≥ 0 ∃! x ≥ 0 | x2 = y (x = +√

y)Por tanto, la fun ión inversa es:x(y) =

√yAhora se trata de al ular dx

dy . Tenemos dos aminos:Camino 1:dx

dy=

d

dy(√

y) =1

2√

yApli a ión dire ta de las reglas de deriva ión; ojo, no existe derivada si y = 0(

x = 0, dxdy = 0

).Camino 2:dx

dy=

1dydx

=1

2x=

1

2√

yApli ando lo que hemos aprendido de la derivada de la fun ión inversa.Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 119

Figura 3.132: Ejemplo 3.24Ejemplo 3.24 Misma tarea, a la fun ión y = tan x (ver la �gura 3.132).y(x) admite inversa si x ∈ (−π

2 , π2 ). Enton es: dy

dx= 1 + tan2 x

∀y ∈ R ∃! x ∈ (−π

2,π

2) | tan x = y (x = arctan y)Ahora:

dx

dy=

1dydx

=1

1 + tan2 x=

1

1 + y2Es de ir:d

dy(arctan y) =

1

1 + y2El nombre de la variable independiente puede ser ualquiera:d

du(arctan u) =

1

1 + u2;

d

dx(arctan x) =

1

1 + x2Ejer i io 3.27 Cal ular las derivadas de las fun iones inversas de:y = sen x; y = cos x; y = ex3.13.8. Deriva ión de urvas en oordenadas paramétri asEn el apartado anterior hemos hablado de una fun ión dada en forma implí ita. Se tratade una fun ión y(x) donde no apare e despejada la variable y en fun ión de x; por ejemplo:Forma implí ita Forma explí ita

xy2 + y + x = 0 y =−1±

√1− 4x2

2x

ey + x = 1 y = ln (1− x)

uv = 2 u =2

v

yexy + sen(x + y) = 0 No existeE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

120 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALDada una fun ión implí ita de�nida por una e ua ión en x e y quizá podamos despejarx(y) o y(x) o quizá no sea posible ninguna de las dos. Pues bien, todavía es posible expresaruna urva de una ter era forma: en oordenadas paramétri as.Ejemplo 3.25 Dada la ir unferen ia (x− a)2 + (y − b)2 = R2, podemos tomar:

x = a + R cos ty = b + R sen t

t ∈ [0, 2π] (1)Observa que si sustituimos en la e ua ión de la ir unferen ia(x− a)2 + (y − b)2 = R2

(

cos2 t + sen2 t)

= R2Las expresiones de x(t) e y(t) de (1) son una expresión de la ir unferen ia en paramétri as.Ejer i io 3.28 Dada una urva en forma explí ita, probar que SIEMPRE puede es ribirseen forma paramétri a.Si nos dan x(t) e y(t), para en ontrar dydx :

dy

dx=

dy

dt· dt

dx=

dydtdxdt

=y′(t)

x′(t)Ejer i io 3.29 Dada la e ua ión de una elipse (x− a)2

A2+

(y − b)2

B2= 1:1. Obtener y′(x) de forma implí ita.2. En ontrar una parametriza ión x(t), y(t).3. En ontrar dy

dx de forma paramétri a.4. ¾ uándo no existe dydx?. ¾Qué o urre en esos puntos?3.13.9. Derivadas de orden superiorYa sabes que la posi ión s de un objeto en aída libre puede modelizarse mediante lafun ión:

s(t) =1

2gt2 + v0 · t + s0 (1)donde:

g = 9. 8 m/s2 : a elera ión de la gravedadt: tiempo en segundosv0: velo idad en t = 0, en m/s

s0: Espa io que lleva re orrido en t = 0, en metros.Por ierto, re uerda que (1) es un modelo, una aproxima ión al fenómeno real en el que noDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 121hemos tenido en uenta fa tores omo el rozamiento o el viento. Sabemos ómo al ular lavelo idad del objeto:v(t) =

ds

dt=

d

dt

(

1

2gt2 + v0 · t + s0

)

= gt + v0 (2)¾Y uál será la a elera ión del objeto?. Como sólo está sometido a la a ión de la gravedad,será igual a g. Pero la a elera ión es �la velo idad de la velo idad�, de modo que tambiénpodrá obtenerse derivando la derivada (2).a =

d

dt

(

d

dt(s(t))

)

=d

dt(gt + v0) = gAsí pues, hemos en ontrado signi� ado para la �derivada de la derivada� de una fun ión y(x):

d

dx

(

dy

dx

)

=d2y

dx2= y′′(x): a elera ión de y respe to a xEjemplo 3.26 Comparar las a elera iones de y = x2 y z = x3.

y′ = 2x; y′′ = 2 a elera ión onstantez′ = 3x2; z′′ = 6xAmbas a elera iones oin iden en x = 1

3 (ver la �gura 3.133).

Figura 3.133: Ejemplo 3.26z′′ > y′′ en (

13 ,∞

)

z′′ < y′′ en (

∞, 13

)Del mismo modo podemos pensar en la derivada ter era, uarta, et .y′′′(x) = d

dx

(

d2ydx2

) : velo idad de la a elera ión de y

y�v(x) = ddx

(

d3ydx3

) : a elera ión de la a elera ión de yE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

122 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.134: Diversas propiedades¾Tendrán utilidad estas derivadas de orden superior?. La tienen. En el próximo tema veremosque nos servirán para distinguir y entender qué signi� an estos omportamientos (ver la�gura 3.134):Ejer i io 3.30 Sabemos que dx

dy=

1

dy

dx

. Enton es, ¾también d2x

dy2=

1

d2y

dx2

?Veamos ómo apli ar la regla de la adena para al ular derivadas segundas en una ompo-si ión de fun iones:Dada z(y(t)), el esquema de la fun ión ompuesta es (ver la �gura 3.135).Figura 3.135: Composi ión

t −→ y(t) −→ z(y(t))Re ordando la regla de la adena:dz

dt=

dz

dy

dy

dt;

d2z

dt2=

d

dt

(

dz

dy· dy

dt

)

∗=

d

dt

(

dz

dy

)

dy

dt+

dz

dy

d

dt

(

dy

dt

)

=d

dy

(

dz

dy

)

dy

dt

dy

dt+

dz

dy

d2y

dt2=

d2z

dy2

(

dy

dt

)2

+dz

dy

d2y

dt2(*)derivada de un produ toEjer i io 3.31 La poten ia P de salida de una batería es P (I) = V I − RI2, donde latensión V y la resisten ia R son onstantes. Supongamos que la intensidad I es senoidal, de50 ciclos/seg, es de ir, I(t) = A sen(100πt). Cal ular:A elera ión de P on respe to a I.A elera ión de P on respe to a t, de dos formas: al ulando primero P (t) y empleandola regla de la adena.Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.13. DERIVABILIDAD. 1233.13.10. Aspe tos omputa ionalesDeriva ión numéri aEn o asiones es ne esario evaluar y′(a) pero no se dispone de la fun ión derivada y′(x).A ve es sólo disponemos de una tabla de valores de y(x), obtenidos de forma experimental.Otras ve es sí se dispone de la fun ión y(x) pero es ompli ado obtener y′(x). En estos asos,puede ser útil el ál ulo aproximado de y′(a) o deriva ión numéri a.x y1 0.8411.1 0.8911.2 0.9931.3 1.000Ya quey′(a) = lım

h→0

y(a + h)− y(a)

hSi h es un valor próximo a 0, se tendráy′(a) ≈ y(a + h)− y(a)

hTres esquemas de aproxima ión son los siguientes:1. Fórmula de diferen ia progresiva.Para h > 0, y′(a) ≈ y(a + h)− y(a)

h2. Fórmula de diferen ia regresiva.Para h > 0, y′(a) ≈ y(a− h)− y(a)

−h=

y(a)− y(a− h)

h3. Fórmula de diferen ia entral.y′(a) ≈ y(a + h)− y(a− h)

2h(Se obtiene sumando las anteriores).¾Cuándo emplear ada uno de los tres esquemas?. En general, la diferen ia entral propor- iona la mejor aproxima ión. En todo aso, usaremos una u otra según la informa ión quetengamos de y(x).E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

124 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFigura 3.136: Datos ono idos posiblesDependiendo de los datos ono idos de y(x), (y(a), y(a + h), y(a− h)) emplearemos unou otro esquema numéri o (ver la �gura 3.136).Esta ideas pueden usarse para evaluar numéri amente y′′(a), y′′′(a), et .:

y′′(a) ≈ y′(a + h)− y′(a)

h≈

y(a+2h)−y(a+h)h − y(a+h)−y(a)

h

h=

y(a + 2h) − 2y(a + h) + y(a)

h2(diferen ias progresivas)Ejer i io 3.32 Obtener las expresiones de y′′(a) empleando las diferen ias regresivas y en-tral. Obtener y′′′(a) empleando los tres esquemas.Ejer i io 3.33 Comparar las aproxima iones obtenidas empleando los tres métodos paraevaluar y′(a), y′′(a) e y′′′(a), siendo y(x) = xex. (Cal ular y′(x), y′′(x) y y′′′(x) para en on-trar los valores exa tos, y emplear varios valores de h para evaluar las aproxima iones).El método de NewtonEn el apartado 12.2 hablamos del problema de la búsqueda de raí es de e ua iones deltipo f(x) = 0. En ontramos un método, el método de la bise ión, basado en el Teorema deBolzano, para en ontrar de forma aproximada las raí es de fun iones ontinuas en intervalos[a, b]. Pues bien, el método de Newton es un método alternativo de búsqueda de raí es,basado en la derivada. Consiste en lo siguiente (ver la �gura 3.137):

Figura 3.137: Método de NewtonPartimos de un punto x1 próximo a la raíz z. Trazamos la re ta tangente por x1 y lainterse amos on el eje OX:y − y1 = y′(x1)(x− x1); si y = 0⇒ x = x1 −

y(x1)

y′(x1)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

3.14. LA REGLA DE L'HÔPITAL 125Esta es nuestra nueva aproxima ión:x2 = x1 −

y(x1)

y′(x1)Repitiendo el pro eso se obtiene la su esión {xn}:xn+1 = xn −

y(xn)

y′(xn)n = 1, 2, 3 . . .Ejer i io 3.34 Empleando el método de Newton, aproximar la raíz positiva de x2 − 2 = 0, on tres itera iones y tomando x1 = 1.¾Qué ventajas tiene este método frente al de la bise ión?.Ventajas:Cuando la su esión generada {xn} es onvergente, lo ha e más rápidamente que el métodode la bise ión. Eso signi� a que on un menor número de itera iones onseguimos una mejoraproxima ión.Desventajas:1.-y(x) debe ser derivable en un intervalo (a, b) que ontenga a la raíz z, por tanto es másexigente.2.-El metodo falla si para algún n y′(xn) = 0.3.-Y lo peor: la su esión xn quizá no sea onvergente, in luso aunque tomemos omo puntode partida x1 un valor próximo a la raíz z.Ejer i io 3.35 Apli ar el método de Newton para en ontrar una raíz de la e ua ión

3x + sen x− ex = 0 próxima a 0. Redondear los ál ulos a in o ifras signi� ativas e iterarhasta que |xn − xn+1| ≤ 0. 001.3.14. La regla de L'H�pitalSe trata de un teorema que, en algunas o asiones, nos sirve para resolver indetermina- iones del tipo 00 y ∞

∞ .Ejer i io 3.36 Demuestra que 00 y ∞

∞ son indetermina iones.La regla de L'H�pital di e lo siguiente:Supongamos que:lımx→c

f(x) = lımx→c

g(x) = 0 ⇒ lımx→c

f(x)

g(x)=

0

0INDETERMINACIONSupongamos que f(x) y g(x) son derivables en un intervalo (a, b) tal que c ∈ (a, b), aunqueen el punto x = c pueden no ser derivables. Supongamos que g′(x) 6= 0 en (a, b), aunque sípuede su eder que g′(c) = 0. Enton es:Si l = lım

x→c

f ′(x)

g′(x)⇒ ∃ lım

x→c

f(x)

g(x)y lım

x→c

f(x)

g(x)= lAdemás, el resultado también es válido si la indetermina ión es del tipo ±∞

±∞ .E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

126 CAPÍTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALEjer i io 3.37 Supongamos que f(x) y g(x) tienden a ∞ on el mismo orden, es de ir:lım

x→∞

f(x)

g(x)=±∞±∞ = l 0 < l <∞Cal ular

lımx→∞

ln f(x)

g(x)empleando la regla de L'H�pital, pero estable iendo antes TODAS las hipótesis que deben umplir f(x) y g(x) para poderse apli ar. Como on lusión, expli ar qué efe to tiene apli arln(f(x)) a una fun ión f(x) que tiende a ∞. En ontrar un ejemplo y representar grá� a-mente f(x), g(x) y ln(f(x)).

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capÍtulo - open course ware moodle 2.5³n de otra n; p or ejemplo: an = n+1 n,n ≥1 esta...

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