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Capítulo IV

Ondas Elásticas Sagitales en arreglos multicapa tipo

Fibonacci

Utilizamos el método de balance de energía para estudiar los estados de polarización de las ondas

sagitales en estructuras cuasi - periódicas del tipo Fibonacci. Complementariamente a lo hecho en

el caso periódico en donde el estado de polarización se obtiene promediando las energías

longitudinal y transversal en una celda unitaria (para el caso periódico), y en una super- celda

(para el caso periódico con defecto), aquí evaluaremos la polarización de las ondas elásticas en

placas con arreglos de diferentes niveles u órdenes Fibonacci. Es decir, evaluaremos el promedio

de energía longitudinal/transversal en la placa Fibonacci. Los resultados se comparan con

espectros de transmisión. Efectos tales como la preservación de polarización y gaps en diferentes

niveles Fibonacci son observados. También algunos efectos no vistos en estructuras periódicas

como es el efecto espejo y el desdoblamiento de modos mixtos, son reportados

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IV.1 Introducción.

En este Capítulo extendemos el estudio de los estados de polarización de las ondas

sagitales a estructuras multicapas cuasi-periódicas. Lo haremos sólo para arreglos tipo Fibonacci.

Como sabemos este tipo de arreglos ha sido ampliamente estudiado para el caso fotónico.29-31

Nosotros detallaremos nuevos resultados para el caso fonónico que tienen que ver con la

polarización de las ondas con desplazamiento elástico en el plano sagital.

Un arreglo multicapa con secuencia tipo Fibonacci (MF) de componentes A y B está

basado en un esquema de la j-ésima generación Fibonacci 21 jjj SSS , con n 2 y las

definiciones de la secuencia cero, 0S B y la secuencia uno, 1S A. Entonces, por ejemplo, el

nivel Fibonacci n = 5 se ve de la forma 122121223345 SSSSSSSSSSSS

10101101 SSSSSSSS ABAABABA.

Estudios teóricos de polarización de ondas sagitales en superredes Fibonacci fueron

presentados por B. Djafari-Rouani et al32

en 1983, y Bria et al33

en 1999. La estructura de

bandas refleja la aparición de regiones con modos ya sean longitudinales o transversales. Otro

trabajo en esta dirección es el de El Hassouani et al34

En superredes finitas estudian los estados

confinados en la superficie. Tamura et al35

fueron de los primeros en reportar espectros de

transmisión y curvas de dispersión de fonones acústicos en MFs utilizando capas de GaAs y

AlAs. Para sus cálculos emplearon el método de Matriz de Transferencia. Concluyen que el

comportamiento fonónico en arreglos cuasi-cristalinos mantiene rasgos característicos de los

obtenidos en sistemas estrictamente periódicos. Inclusive hablan de reflexiones fonónicas tipo-

Bragg. Por otro lado Fernández et al36

empleando una extensión del método de Funciones de

Superficie de Green comparan las soluciones de una MF con fronteras libres con aquellas de una

superred infinita formada de la repetición periódica de la misma MF. Analizando el ancho de los

gaps encontrados en ambos sistemas concluyen que la MF aislada presenta gaps más anchos.

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Por otro lado, A-Li Chen et al37

Realizan un estudio mediante el método de la matriz de

transferencia y el factor de localización para caracterizar bandas de energía en arreglos

periódicos y cuasi-periódicos. Ellos obtienen la longitud de localización y comparan sus

resultados con los espectros de transmisión de energía.

El objetivo de estudio en este capítulo es la polarización (contribución

longitudinal/transversal) de ondas sagitales en MFs usando el método de balance de energía que

ya ha probado su validez en arreglos periódicos. Los resultados que aquí presentamos son

nuevos, es decir, en la literatura existente para multicapas que siguen una secuencia Fibonacci, no

hemos encontrado estudios o resultados similares. Los métodos de cálculo son esencialmente los

mismos descritos en los capítulos anteriores y por tanto no los volveremos a discutir aquí.

IV.2 Modos elásticos sagitales en una placa Fibonacci.

En esta Sección presentamos los modos elásticos de una placa multicapa en donde el

arreglo de las capas sigue alguna secuencia Fibonacci. La placa tiene una anchura Lj que por

supuesto depende del orden j. Los medios externos, que definiremos como de incidencia y

transmisión, son seleccionados de tal manera que numéricamente son fácil de simular.

Consideraremos las siguientes situaciones: a) fronteras de la placa fijas y b) fronteras de la placa

libres. Al hacer combinaciones de ellas podremos estudiar sistemas de fronteras fija-fija, fija-

libre, libre-fija y libre-libre. En general estas cuatro condiciones nos llevan a resultados distintos.

Físicamente una frontera fija indica que el medio externo es de impedancia elástica

mucho mayor que aquella de la última capa, la capa con que hace contacto. Por otro lado, una

frontera libre está asociada con medios externos de impedancia muy baja; el caso límite es el

vacío. Para los cálculos utilizamos una multicapa Al/Pb con espesores a / b = 0.04 cm / 0.06 cm.

Las respectivas impedancias longitudinal y transversal de esto dos materiales son ( 106): 1.6 /

2.8 y 0.8 / 1.5. Ahora, un medio externo de impedancia alta podría ser el tungsteno, por ejemplo,

cuyas impedancias longitudinal y transversal son ( 106) 10.0 y 5.5, respectivamente. Por otro

lado como medio de impedancia baja tomaremos al Epoxi. Sus impedancias longitudinal y

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transversal son ( 106) 0.3 y 0.14, respectivamente. Probaremos a continuación que la respuesta

elástica de una placa Fibonacci que involucra a estos cuatro materiales es consistente con los

modos de la misma placa en la aproximación de fronteras fijas y libres.

Utilizamos el método de la super - celda para calcular los modos elásticos de la placa. Ya

ha sido discutido en la literatura la forma de aproximar el “medio” vacío cuyas impedancias

longitudinal y transversal tienden a cero. Por otro lado, para obtener la condición de frontera fija

introducimos un material artificial cuyas impedancias tienden al infinito. En la práctica estas dos

condiciones se alcanzan llevando las impedancias tan abajo y tan arriba como numéricamente

podamos, hasta obtener soluciones convergidas.

Como ejemplo consideramos una placa Fibonacci en secuencia n = 6. El sistema entonces

se ve de la siguiente forma:

Medio de incidencia AABABAABABAAB Medio de Transmisión

Siguiendo el criterio de balance de energía, la energía promedio se toma sobre toda la placa

Fibonacci. Los resultados se muestran en la Fig. 4.1. Con los cuatro paneles de esta figura

barremos las cuatro posibilidades para las fronteras (ver el pie de Figura). En general las cuatro

situaciones llevan a modos de polarización prácticamente bien definida para vectores de onda

pequeños paralelos a las placas. Esto se entiende pues es la condición cercana a la propagación

perpendicular a las capas en las cual las ondas son estrictamente longitudinales o transversales,

no mixtas. Para el caso en que ambas fronteras son libres, panel (a) en la Figura 4.1, al

incrementar el vector de onda todas las curvas de dispersión tienden a hacerse fuertemente

mixtas. Esto significa que una placa Fibonacci de componentes sólidas delimitada por medios

sólidos de impedancias muy bajas e iguales soporta modos principalmente mixtos los cuales

pueden excitarse con ondas incidentes a ángulos relativamente grandes. El comportamiento es

diferente cuando las fronteras son fijas [panel (b) en la Fig. 4.1]. Al incrementar el vector de

onda la mayoría de las curvas de dispersión se hacen mixtas pero sólo en un corto tramo. Las de

frecuencias bajas en general tienden a ser cuasi-longitudinales. En frecuencias altas la

polarización tiende a ser estable sólo en dos o tres de las curvas. Finalmente cuando las fronteras

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son libre-fija y fija-libre las soluciones son relativamente similares. En frecuencias bajas las

curvas tienden a ser cuasi-longitudinales en ambos casos.

Nótese que en las tres situaciones en que fronteras fijas son consideradas, paneles (b), (c)

y (d) en la Fig. 4.1, existen dos curvas inferiores que son muy mixtas. Su comportamiento es un

tanto irregular. Es posible que se estén originando por el método de cálculo y por tanto son

curvas de modos espurios. Estamos realizando más trabajo para determinar su origen y la razón

de su comportamiento.

Fig. 4.1. Modos elásticos permitidos y polarización de ondas sagitales para un arreglo fibonacci n

= 6 y f = 0.5 con medios externos. La escala es rojo (transversal), azul (longitudinal): (a). Libre-

Libre, (b). Fijo-Fijo, (c). Fijo-Libre y (d). Libre-Fijo.

51

Podríamos pensar que las curvas de dispersión de la Fig. 4.1 tienden a agruparse en bandas. Esto

tiene más sentido para vectores de onda grandes. La posición de los gaps varía ligeramente

dependiendo del tipo de frontera. Para kxd = 1.5, el primer gap estaría centrado en promedio en la

frecuencia reducida =1.52. Por otro lado, el centro del segundo gap sería = 2.4.

IV.3 Espectros de transmisión de una Placa Fibonacci.

Las curvas de dispersión de las ondas elásticas sagitales en una placa multicapa con

arreglo Fibonacci tienen bastante estructura referente a las componentes longitudinal/transversal

que definen su polarización. En esta sección mostraremos que la respuesta elástica de una placa

Fibonacci delimitada por medios materiales realistas está en acuerdo con lo predicho en el

cálculo de los modos en la aproximación de fronteras libres y fijas.

Una onda elástica longitudinal incidente sobre la placa Fibonacci tiene asociado el

siguiente vector de onda paralelo a las capas: )()/( illx senck . Por tanto existe una relación

lineal entre el vector de onda y la frecuencia. Variando el ángulo tendremos diferentes líneas que

definen la condición de incidencia. Al superponer estas líneas con las relaciones de dispersión de

los modos elásticos se obtienen cruces que representan los modos que pueden ser excitados bajo

esa condición de incidencia.

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Fig. 4.2. Relación de dispersión de los modos elásticos y polarización de ondas sagitales (rojo:

transversal y azul: longitudinal) en una multicapa Fibonacci, n=6, con medios externos Libres

(Ep). Con las líneas de sonido a varios ángulos de incidencia para transmisión de energía.

La Fig. 4.2 presenta las líneas para diferentes ángulos de incidencia cuando los medios de

incidencia y transmisión son Epoxi. Dado que el Epoxi tiene impedancias longitudinal y

transversal muy bajas esperamos que la respuesta sea consistente con las curvas de dispersión de

la placa Fibonacci con fronteras libres. Claramente observamos las intersecciones a las que nos

estamos refiriendo. Con ángulos de incidencia menores que 20° se espera que los picos

longitudinales se exciten más intensamente (la onda incidente es longitudinal). El efecto de

preponderancia de la transmisión longitudinal se mantiene para angulos mayores aunque las

curvas de dispersión sean practicamente mixtas. La razón es que la onda incidente es

longitudinal. La Fig. 4.3 muestra la excitación de las componentes longitudinales de los modos

para ángulos de incidencia de 0° , 10° y 30°. En el primer caso, por supuesto, los modos

transversales no pueden excitarse. En el segundo caso se aprecia ya una mínima excitación de la

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componente transversal (el efecto de conversión permite este hecho). Para il = 30° observamos

que la excitación de ondas transversales es ya significativa, principalmente para frecuencias altas.

Fig. 4.3. Energía transmitida de las componentes longitudinal (línea negra) y transversal (línea

roja) de los modos en una multicapa para tres ángulos de incidencia, de la figura 4.2.

Otra forma de presentar los resultados se muestra en la Fig. 4.4. Variando el ángulo de

incidencia de 0° a 90° obtenemos la figura de niveles del panel (b). Observamos con claridad lo

dicho anteriormente: los modos cuasi-transversales no se excitan apreciablemente con una onda

incidente longitudinal. La figura también nos deja ver que no todos los modos fuertemente mixtos

se acoplan a la onda incidente longitudinal de la misma forma. Parecería que sólo los modos

mixtos que tienen un origen longitudinal son los más accesibles. De igual manera, con medio

exterior de impedancia alta encontramos consistencia entre los modos de la multicapa Fibonacci

y el espectro de transmisión.

La Fig. 4.5 muestra los resultados con tungsteno como medio exterior. El panel de onda

transmitida muestra sólo las soluciones a la izquierda de la línea de sonido longitudinal del

tungsteno que define las amplitudes oscilantes.

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Fig. 4.4. Coincidencia de los modos elásticos dentro de una multicapa Fibonacci Al/Pb n = 6, f =

0.5 con medios externos: (a). Polarización de ondas sagitales [oscilantes y evanescentes]: Libre-

Libre, (b). Amplitud de ondas longitudinales transmitidas: Ep-Ep.

Fig.4.5. Coincidencia de Modos elásticos en un Arreglo Fibonacci Al/Pb n = 6 y f = 0.5 que tiene

medios externos: (a). Polarización de ondas sagitales [oscilantes y evanescentes]; Fijo-Fijo, (b).

Amplitud de ondas longitudinales oscilantes; tungsteno-tungsteno.

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IV.4 Efectos particulares de la respuesta elástica de Multicapas

Fibonacci.

Al realizar el estudio de las propiedades elásticas de las multicapas Fibonacci se ha

encontrado varios resultados que pueden ser de importancia para posibles aplicaciones. Estos

efectos tienen que ver con la cuasi-periodicidad y no estamos enterados de que resultados

similares hayan sido obtenidos para estructuras periódicas. A continuación presentamos dos de

estos efectos.

IV.4.1 Espejo de ondas longitudinales.

Desde el punto de vista experimental, en ocasiones es conveniente que los medios de

incidencia y transmisión se formen al extender la primera y última capas de la multicapa

Fibonacci. Es decir, los medios de incidencia y transmisión se forman de los materiales que

definen la primera y última capa del arreglo cuasi-periódico. A estos sistemas les llamaremos

estructuras Fibonacci truncadas. Por ejemplo, la secuencia 4 de Fibonacci truncada estaría dada

por el sistema A-BAA-B en donde la primera A y la última B tienen extensión semi-infinita.

La figura 4.7 muestra la energía longitudinal reflejada en función de la frecuencia angular

normalizada y el ángulo de incidencia para un arreglo Fibonacci truncado Pt-ZnPtPt-Zn. La onda

incidente es longitudinal. La tonalidad roja está asociada a máximos de reflexión. Se ha

encontrado que la formación islas rojas depende del factor de llenado a/b.

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Figura 4.6. Grafica de Reflectancia de una multicapa Pt-Zn/Pt/Pt-Zn f = 0.4 con incidencia

Longitudinal. El color rojo indica máxima reflexión longitudinal [lR (~1)] decayendo hasta el

color azul (ausencia de lR).

Haciendo una búsqueda de los picos de reflexión nos encontramos con un espejo mono-angular

de frecuencia 2/ lPtcd . A esta frecuencia la reflectividad de desplazamiento longitudinal es

igual a 1, lo cual indica que las otras tres intensidades reflejadas y transmitidas toman el valor

cero. La figura 4.7 muestra en detalle las cuatro intensidades. Notamos que el pico de reflexión se

encuentra a la derecha del ángulo crítico (~51º) de la onda longitudinal transmitida (la amplitud

longitudinal transmitida es evanescente). O sea, el efecto se da a la derecha de la línea de sonido

longitudinal del Zn. Podemos pensar que justo en el ángulo 62.61il ° se cumple una condición

tipo Brewster para las dos ondas transversales.

El punto interesante es que este efecto se mantiene al aumentar el nivel Fibonacci pero el

ángulo del espejo se mueve a valores superiores. Para el nivel 5 el ángulo es 88.64il (ver la

Fig. 4.8).

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Figura 4.7. Espectros de Energía transmitida y reflejada del sistema Pt-Zn/Pt/Pt-Zn de la figura

4.6, que muestra la aparición del espejo, a una frecuencia normalizada de 2 y la caída de las 3

ondas restantes [tR,tT,lT], justo después de la caída de la transmisión longitudinal (línea negra).

Figura 4.8. Espectros de Energía transmitida y reflejada en el sistema Pt-Zn/Pt/Pt/Zn/Pt/Zn-Pt,

que muestra la aparición del espejo, a una frecuencia normalizada de 2 y la caída de las 3 ondas

restantes, justo después ángulo oc 2.51 .

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La explicación completa de la física involucrada en la formación del espejo no la

podemos dar todavía. El fenómeno aún lo mantenemos bajo estudio. Lo que es un hecho es que

cuando los medios de incidencia y transmisión son diferentes la primera condición para que el

espejo ocurra es que el ángulo de incidencia sea mayor al ángulo crítico de la onda longitudinal

transmitida. Esto asegura que una componente oscilatoria longitudinal existe sólo en la reflexión.

Lo que se torna un tanto difícil de explicar es el hecho de que las dos componentes transversales,

de transmisión y de reflexión, se anulen simultáneamente para el mismo ángulo de incidencia.

Además cuando los medios de incidencia y transmisión son iguales no hay ángulo crítico y

también la onda longitudinal transmitida se hace cero en el ángulo del espejo (ver Fig. 4.8). Por

un lado, si el origen de este comportamiento fuera estructural, podría cumplirse la condición de

onda estacionaria para ondas transversales kd = n , pero esto implicaría reflexión finita de onda

transversal. Por otro lado, si se satisface la condición de Brewster para cada interface de la

multicapa, entonces la transmisión de onda transversal debería ser finita. El fenómeno entonces

no admite una explicación sencilla y no hay duda de que el efecto de conversión de modos

participa en esto.

Además del efecto de espejo, al aumentar el nivel Fibonacci hemos encontrado estructura

adicional en el espectro de energías reflejada y transmitida. La Fig. 4.9 muestra la aparición de

una resonancia en la vecindad del pico de reflexión en el nivel 6.

Observamos no sólo la aparición de la resonancia sino también el surgimiento de un nuevo

máximo de reflexión de la onda longitudinal. Analizando la estructura multicapa Fibonacci nivel

6, nos damos cuenta de que aumentando el nivel Fibonacci en realidad vamos formando una

superestructura en bloques:

n = 4: ABAAB,

n = 5: ABAAB ABA,

n = 6: ABAAB ABA ABAAB,

n = 7: ABAAB ABA ABAAB ABAAB ABA,

n = 8: ABAAB ABA ABAAB ABAAB ABA ABAAB ABA ABAAB.

59

56 58 60 62 64 66 68 70

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

En

erg

ia

Angulo Incidente (grados)

lR

tR

tT

lT

Figura 4.9. Espectro de energía transmitida y reflejada en la multicapa, tipo Fibonacci Pt/Zn n =

6, donde se muestra la región de espejos. Así como la resonancia, promovida por la excitación de

modos transversales transmitidos.

Nuestros resultados indican que con n = 4 y n = 5 tenemos espejo. Luego con n = 6 se

mantiene el espejo pero también aparece un segundo pico de reflexión. Con n = 7 tenemos tres

máximos de reflexión y una resonancia. Finalmente con n = 8 encontramos 5 máximos de

reflexión y tres resonancias. La conclusión, obtenida en base al análisis de resultados numéricos,

es que el bloque ABAAB genera máximos de reflexión de onda longitudinal (el espejo) y el

sistema ABAAB ABA ABAAB da lugar a una resonancia. En base a este resultado podemos

diseñar un arreglo (no Fibonacci) de repetición de bloques sabiendo anticipadamente el perfil del

espectro de reflexión. Por ejemplo consideremos el sistema ABAAB ABA - ABAAB ABA -

ABAAB ABA. Esperamos entonces que la respuesta presente tres máximos, uno de ellos espejo,

y dos resonancias. La Fig. 4.10 indica que estamos en lo correcto.

60

63.1 63.2 63.3 63.40.0

0.1

0.2

0.3

56 58 60 62 64 66 68 70

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

En

erg

ia

Angulo Incidente (grados)

lR

tRtT

lT

Figura 4.10. Región del espectro de energía, de una multicapa no fibonacci, que muestra la

región de 3 espejos y dos resonancias, con incidencia oblicua de ondas Longitudinales oblicuas.

IV.4.2 Desdoblamiento de Ondas Sagitales.

Al calcular los espectros de reflexión o transmisión de ondas sagitales en multicapas

periódicas encontramos que, como regla general, los picos de intensidad de ambas componentes,

longitudinal y transversal, coinciden en frecuencia. Es decir, la respuesta elástica de la multicapa

periódica contiene máximos de intensidades longitudinal y transversal a la misma frecuencia.

También al calcular los picos de transmisión debidos a defectos encontramos que las

componentes longitudinal y transversal coinciden en frecuencia.

Al tratar la estructura cuasi-cristalina de Fibonacci hemos encontrado un efecto de

separación de picos de transmisión longitudinal y transversal. El efecto se aprecia mejor a bajas

frecuencias en niveles de Fibonacci altos. La Fig. 4.11para el sistema Fibonacci n = 6 de placas

61

de Pt y Zn muestra que la cuasi periodicidad separa los picos de transmisión dando lugar a un

doblete.

4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.40.0

0.2

0.4

lT

Tra

nsm

isio

n

d/cTPt

tT

i = 30

o

Figura 4.11. Desdoblamiento de los modos L y T de un arreglo Fibonacci n = 5 Pt/Zn f = 0.4 con

medio de incidencia Pt y transmitido Zn. Donde se observa frecuencias de salida ωT ≠ ωL.

La cuasi periodicidad introduce un efecto de retardo o adelanto en los picos de transmisión; una

fase temporal que es difícil de determinar cualitativamente y que desaparece en frecuencias altas.

El efecto entonces se resume de la siguiente manera: con una onda incidente longitudinal pueden

generarse dos picos de transmisión separados por un , como si las respuestas longitudinal y

transversal fuesen independientes.