capÍtulo iii: tÉcnicas de anÁlisis de circuitos

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Fundamentos de Ingeniería Eléctrica

CAPÍTULO III:TÉCNICAS DE ANÁLISIS

DE CIRCUITOS

Juan B. García GonzálezRafael Molina Maldonado

Francisco J. Muñoz GutiérrezAntonio Rodríguez Treitero

PORTADA

DE CIRCUITOS

André-Marie Ampère (Poleymieux-au-Mont-d'Or, 20 deenero de 1775 - Marsella, 10 de junio de 1836), fue unmatemático y físico francés, generalmente consideradocomo uno de los grandes descubridores delelectromagnetismo. Es conocido por sus importantesaportes al estudio de la corriente eléctrica y elmagnetismo

FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

•Asociación serie o divisor de tensión.•Asociación paralelo o divisor de intensidad.•Configuración estrella triángulo

•Teorema de superposición.Regla de sustitución, Teorema de Miller.

TEMA 7: TEOREMAS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS I

CAPÍTULO

III:

TÉCNICAS DE ANÁLISIS

DE CIRCUITOS

TEMA 6: ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS PASIVO

•Regla de sustitución, Teorema de Miller.•Teorema de compensación.•Teorema de Helmholtz-Thévenin.•Teorema de Helmholtz-Norton.

•Teorema de Tellegen.•Teorema de reciprocidad.•Teorema de Millman.•Teorema de Rosen

1

CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

TEMA 8: TEOREMAS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS II



Teorema de SuperposiciónEl principio de superposición constituye una herramienta d e cálculo y conceptual muyútil que encuentra múltiples aplicaciones en el análisis de circuitos lineales con variasentradas. Las relaciones entradas-salidas de los circuito s lineales tienen la propiedadde aditividad de las funciones lineales

Eso significa que siempre podremos escribir cualqui er salida ‘y’ de la forma

⋯+⋅+⋅+⋅= 332211 xkxkxky

CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

2

332211donde K 1, K2, K3.... son constantes que dependen del circuito, y x 1, x2, x3.... son lasentradas del circuito. Es decir , en un circuito lineal, la sa lida es una combinación linealde las diversas entradas

Si estudiamos un circuito con resistencia ‘R’ al que se aplic an una intensidad ‘i 1(t)’podemos decir que:

)()( tiRtv ⋅=Si aplicamos ahora una nueva intensidad ‘i 2’, podemos decir entonces que

))()(()( 21 titiRtv +⋅= )()()( 21 tiRtiRtv ⋅+⋅=

Demostrando la propiedad de aditividad, y así pudiendo enun ciar el Teorema deSuperposición como que la respuesta en una determinada rama de un circuito es lasuma de las respuestas individuales de cada una de las fuente s de excitación

CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS


TEMA 7: TEOREMAS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS I PROBLEMA 1

CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

En el circuito eléctrico de la figura, determinar l a tensión V 0 de salida aplicando el teorema de superposición

1Ω

- +

2A

3V

2Ω

V0

-

+

6Ω

3

CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

FIGURA 6.6 Respuesta

Calculemos el valor de V 0 producido por cada una de las fuentes de excitaciónindividualmente, de forma que tendremos tantos circuitos i ndividuales, como numerode fuentes de excitación existan, tal como muestra la figura



CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

En el circuito eléctrico de la figura, determinar l a intensidad i 1 aplicando el teorema de superposición.

e - +

ig Rg R1 i1

6

CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

eg - β⋅i1

ig R2



CAPÍTULO

III:


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Regla de sustitución (Teorema de Miller)

Si se conoce la relación u = Z(D) ⋅⋅⋅⋅i ó i = Y(D) ⋅⋅⋅⋅ u, entre los terminales de un circuito,estos elementos pueden sustituirse por una fuente de tensió n cuyo valor sea Z(D) ⋅⋅⋅⋅i, opor una fuente de intensidad dada por Y(D) ⋅⋅⋅⋅u, de forma que no se alteran las ecuacionesque se deducen a partir de las Leyes de Kirchhoff

A

+ R

+ R +

A

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DE CIRCUITOS

Esta regla puede trasladarse a un par de terminales abiertos de un circuito dondeexista una tensión diferencial ‘U AB ’. Si entre esos terminales, colocamos una fuentede tensión E G, de valor E G=UAB , no se altera en nada el estado del circuito. Suconfiguración cambia aparentemente porque aparece una nue va malla, pero ha detenerse en cuente que por esta malla no circulará intensidad .

Análogamente, por un conductor de resistencia 0 por el que ci rcule una intensidad I 0,puede intercalarse una fuente ideal de intensidad del mismo valor y sentido, sin que seproduzca ninguna alteración

FIGURA 6.10

V - + R

L

B

V - + R

- +

u=L⋅Di

B



CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

Teorema de Miller

Si en un circuito eléctrico con tres terminales accesibles c omo se representa en lafigura a, con uno de ellos tomados como referencia. Si una imp edancia ‘Z’ está situadaentre los dos terminales restantes, ésta se puede sustituir por una impedancia de valor

k

Z

−1conectada entre el terminal ‘1’ y referencia , y otra impedancia de valor

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DE CIRCUITOS

1−k

Zk

conectada entre el terminal ‘2’ y referencia , como muestra la figura b. Donde ‘k’ es la relación U 2 / U1, entre las tensiones de los nudos 2 y uno respecto a referencia

FIGURA 6.13a FIGURA 6.13b

k

Z

−1

2 1

0

Z

2 1

0

1−k

Zk

a b

Referencia



CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

Pongamos entre los terminales ‘1’ y ‘2’, una fuente de intensidad ideal, tal como muestra la figura, y aplicando la regla de sustitu ción, podemos escribir que

2 1

i

Z

VVi 21 −=

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DE CIRCUITOS

FIGURA 6.14

0

Z

Realizando la modificación geométrica que transform a al circuito, y aplicando la regla de sustitución

2 1

0

i i



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DE CIRCUITOS

k

ZZ

VV

V

i

VZ

−=⋅

−==

121

111

Es decir, aplicando el teorema de Miller al circuito de la fig ura, y aplicando lasecuaciones, podemos convertir dicho circuito en otro equiv alente, representado en lafigura

2 1

i

1 3

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DE CIRCUITOS

121

222 −

⋅=⋅−

−=−=k

kZZ

VV

V

i

VZ

FIGURA 6.14

2 1

0

2 1

0

i

VZ 1

1 =i

VZ 2

2 −=



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III:


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Regla de sustitución (Teorema de Compensación)

Este teorema resulta de aplicar la regla de sustitución al pr oblema de determinar laalteración que se produce en el régimen de intensidades de un circuito lineal cuando seda un incremento a un parámetro que define uno de sus elemento s pasivos

Sea un circuito como el de la figura a, por cuyos e lementos pasivos de impedancia operacional Z(D), circula una intensidad ‘i 1’, e i 2 una intensidad circulante por otra rama cualquiera del circuito

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DE CIRCUITOS

FIGURA 6.23a

C.A. i2

i1

Z(D) C.A.

i2+∆i2 i1+∆i1

Z(D)

∆Z(D)

FIGURA 6.23b

Representamos en el circuito b, el circuito resulta nte de cambiar la impedancia Z(D) por Z(D) + ∆∆∆∆Z(D). Las intensidades i 1, e i2 habrán experimentado en consecuencia unos cambios que vamos a determinar



CAPÍTULO

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DE CIRCUITOS

Aplicando la regla de sustitución al circuito b, po demos sustituir ∆∆∆∆Z(D) por la fuente de tensión equivalente, sin modificar la respuesta del circuito.

FIGURA 6.24

C.A.

i2+∆i2

i1+∆i1

Z(D)

∆Z(D)⋅( i1+∆i1) - +

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DE CIRCUITOS

Aplicamos ahora el teorema de superposición al circ uito de la figura y obtenemos los circuitos a y b

FIGURA 6.25a

C.P.

∆i2

∆i1

Z(D)

∆Z(D)⋅( i1+∆i1) - +

FIGURA 6.25b

C.A. i2

i1

Z(D)



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III:


DE CIRCUITOS

Del circuito b, podemos comprobar que ∆∆∆∆i1 e ∆∆∆∆i2 son intensidades que resultan en lascorrespondientes ramas, cuando solo actúa la fuente de tens ión compensadora, esdecir podemos calcular esos incrementos mediante el circui to de la figura b, donde sehan pasivado todas las fuentes ideales del circuito

El circuito de la figura b, lo podemos simplificar de forma qu e la fuente de tensiónesté solamente en función de la intensidad primitiva, y no en función de la incógnita‘∆∆∆∆i’, según el circuito

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C.P.

∆i2

∆i1

Z(D)+∆Z(D)

∆Z(D)⋅i1 - +

FIGURA 6.26



Teorema de Thévenin y Norton

Así pues, siempre que el estudio de un circuito eléctrico se c entre en un par determinales, los circuitos equivalentes de Thévenin y Norto n serán las herramientasútiles para este tipo de análisis, donde dichos circuitos eq uivalentes pueden emplearsepara representar cualquier circuito compuesto por element os lineales

C.A.

a a

- + RTH A B

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C.A.

b b -

VTH

Imaginemos un circuito lineal, con fuentes dependientes e i ndependientes, con dosterminales accesibles como muestra la fig. A, este puede sus tituirse por un circuitoequivalente Thévenin de la forma de la fig.B, de forma que si c onectamos unacualquier carga entre los terminales, obtenemos la misma re spuesta en tensión eintensidad en cada uno de los circuitos

Para poder sustituir el circuito original por su equivalent e Thévenin es necesario poderdeterminar el voltaje Thévenin y la resistencia Thévenin

CAPÍTULO

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Voltaje Thévenin

Como la respuesta a una carga debe ser igual en tensión en ambo s circuitos,imaginemos una resistencia de valor infinito situada entre los terminales, es decir,existe una condición de circuito abierto . Para el circuito B, la tensión en terminales U ab= VTH, que por hipótesis, tiene que ser igual a la tensión entre ter minales a circuitoabierto del circuito original. Por lo tanto para calcular el voltaje V TH, basta calcular latensión entre terminales a circuito abierto del circuito or iginal

CATH UV =

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CATH UV =Resistencia Thévenin

La reducción a cero de la resistencia de carga, es equivalente a la condición decortocircuito. Si colocamos un corto en los terminales del circuito equival ente b, lacorriente en corto dirigida de ‘a’ a ‘b’ es

TH

THcc

R

Vi =

Por hipótesis, esta intensidad debe ser igual a la circulante de cortocircuitar los terminales ‘a’ ‘b’ del circuito original, por lo ta nto de la ecuación

cc

THTH i

VR =

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Pasos para calcular un Thévenin1. Desconectamos la carga, y calculamos el voltaje c on el circuito abierto2. Convertimos el circuito en pasivo, fuentes a cero , es decir la de tensión en

cortocircuitos y las de corriente en c. abiertos.3. Calculamos la resistencia Thévenin.4. Dibujamos un circuito formado por una fuente “ la Thévenin” en serie con la

resistencia denominada Thévenin.

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FIGURA 6.31

25V - +

20Ω4Ω 5Ω

b 3A

a

Encontrar el circuito equivalente Thévenin de la fig. entre los terminales ‘a’ y ‘b’

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Circuito equivalente de Norton

El circuito equivalente de Norton, consiste en una fuente in dependiente de corriente enparalelo con la resistencia equivalente de Norton. El circu ito equivalente de Norton sepude obtener fácilmente a partir del circuito equivalente d e Thévenin realizandotransformaciones de fuente, fig. De esta forma la corriente de Norton es igual a lacorriente en corto circuito en los terminales de interés. Y l a resistencia de Norton esidéntica al la Resistencia de Thévenin

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a

b INo

RTH

CAPÍTULO

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Teorema de Máxima Transferencia de Potencia

Supongamos que a un circuito cualquiera con dos terminales a ccesibles se le deseaconectar una carga resistiva R L, la cual absorba máxima potencia, es decir que dichocircuito transfiera a dicha carga la máxima potencia posibl e

Para simplificar el cálculo de la R L que absorbe máxima potencia, partiremos de elcircuito equivalente Thévenin de forma que reducimos a tres los parámetros delcircuito, V TH, RTH, RL

24

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a

b - +

VTH

RTH RL

iL

LLTH

THLRL R

RR

VRiP ⋅

+=⋅=

22

RL que maximice la potencia empleamos el cálculo eleme ntal, es decir, calculamos el valor de R L donde

0=LdR

dP



CAPÍTULO

III:


DE CIRCUITOS

( ) ( )( )

( )( )

+⋅−+⋅=

+⋅⋅+−+⋅=

42

4

222 22

LTH

LLTHTH

LTH

LTHLTHLTHTH

L RR

RRRV

RR

RVRRRRV

dR

dP

Igualando a cero para determinar el valor de R L que hace máxima la Potencia absorbida

( ) ( )LLTH RRRRRRRR

V −=⋅−+=

⋅−+⋅= 20;

20 2

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( )( )

( ) LTHLLTHLTH

LLTHTH RRRRR

RR

RRRV −=⋅−+=

+⋅−+⋅= 20;

20

42

podemos decir; Que la resistencia que absorbe máxima potenc ia conectada entre dosterminales accesibles de un circuito, es aquella que coinci de con el valor de R TH delcircuito entre los terminales en cuestión

LTH RR =

L

TH

L

LTHMAX R

V

R

RVP

4)2(

2

2

2

=⋅=



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DE CIRCUITOS

En el circuito de la figura, determinar:•Valor de R L que origina la máxima transferencia de potencia a R L.•Calcular la máxima potencia que se puede suministra r a RL.

a

b - +

360V

30Ω

RL 150Ω

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b -

360V



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Determinar el circuito equivalente Thévenin de la fi gura, entre los terminales ‘a’ ‘b’.

5V - +

3⋅VX

25Ω 2kΩ

b

VX

a

- +

20⋅iX

iX -

+

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FIGURA 6.38

5V 3⋅VX b iX -

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