apuntes circuitos iii

7/26/2019 Apuntes Circuitos III

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12Circuitos Polifsicos*

Introduccin

La mayor parte de la potencia es entregada a los consumidores en la forma de voltajes y corrientes sinusoidales,tpicamente conocidas como corriente alterna o simplemente CA. Aunque hay excepciones, por ejemplo, algunostipos de motores de trenes, la mayora de los equipos estn diseados para trabajar en ya sea 50 o 60 Hz. Lamayora de los sistemas de 60 Hz estn ahora estandarizados para trabajar con 120 V, en tanto que los sistemasde 50 Hz trabajan tpicamente con 240 V (ambos voltajes mencionados estn en valores eficaces o rms). El voltajereal suministrado a un artefacto puede variar un poco con respecto a estos valores, y los sistemas de distribucinemplean voltajes significativamente ms altos para minimizar la corriente y por tanto el tamao de los cables.Originalmente Thomas Edison abog por una red de distribucin de CD nicamente, supuestamente debido a

su preferencia por el lgebra ms sencilla que se requera para analizar esos circuitos. Nikola Tesla y GeorgeWestinghouse, otros dos pioneros en el campo de la electricidad, propusieron sistemas de distribucin de CA yaque las prdidas que se presentaban eran significativamente ms bajas. Finalmente fueron ms persuasivos, apesar de algunas demostraciones ms bien teatrales por parte de Edison.

Cuando se determina la demanda pico de la potencia, interesa la respuesta transitoria de los sistemas depotencia de CA, ya que la mayora de los equipos requiere ms corriente durante el arranque que cuando trabajacontinuamente. Sin embargo, a menudo es la operacin en estado estacionario (o rgimen permanente) la que esde mayor inters, de modo que nuestra experiencia con el anlisis fasorial demostrar su utilidad. En estecaptulo se introduce un nuevo tipo de fuente de voltaje, la fuente trifsica, la cual puede conectarse bien sea enuna configuracin en Y de tres o cuatro alambres o en una configuracin en . Las cargas tamben estnconectadas en Y o en , dependiendo de la aplicacin. Tambin se introducen circuitos diseados para manejargrandes cantidades de potencia elctrica. stos son los circuitos que se utilizan para transportar la potencia

elctrica desde las plantas generadoras hasta los consumidores tanto industriales como residenciales.

12.1

Sistemas Polifsicos

Hasta ahora, siempre que se ha utilizado el trmino fuente sinusoidal, se piensa en un solo voltaje o corrientesinusoidal con una amplitud, frecuencia y fase particulares. En este captulo, se introduce el concepto de fuentespolifsicas, con atencin particular en los sistemas trifsicos. Hay dos ventajas especficas al usar maquinariarotativa para generar potencia trifsica en vez potencia monofsica, y hay ventajas econmicas que favorecen latransmisin de potencia en un sistema trifsico. Aunque la mayora del equipo elctrico que hemos encontradohasta este punto es de una sola fase, los equipos trifsicos no son poco comunes, especialmente en ambientesmanufactureros. En particular, los motores usados en grandes sistemas de refrigeracin y en instalaciones demaquinado a menudo estn diseado para trabajar con potencia trifsica. Para el resto de las aplicaciones, una

vez que nos hayamos familiarizado con las propiedades bsicas de los sistemas polifsicos, encontraremos quees sencillo obtener potencia monofsica con slo conectar un brazo de un sistema polifsico.

*Estas notas fueron preparadas tomando como base los textos siguientes:Circuitos Elctricos:Jess Fraile Mora, (2012)Engineering Circuit Analysis:Hayt, W.H.; Kemmerly, J.E.; Durbin, S. M., 8va. Ed. (2012)Electric Circuits:Nilsson, J. W., Riedel, S. A., 10ma. Ed.(2015)Introduction to Electric Circuits:Svoboda, J.; Dorf, R., 9na. Ed. (2013)Fundamentals of Electric Circuits:Alexander, C., Sadiku, M.,4ta. Ed. (2009)


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Estudiemos brevemente el sistema polifsico ms comn, un sistema trifsico equilibrado. La fuente tiene tresterminales, a, by c (sin contar una conexin neutrao tierra) y mediciones con un voltmetro mostrarn que setienen voltajes sinusoidales de igual amplitud entre dos terminales cualesquiera. Sin embargo, estos voltajes noestn en fase; cada uno de los tres voltajes est desfasado 120 con respecto a los otros dos, el signo del ngulo defase depende del sentido de los voltajes. Un conjunto posible de voltajes se muestra en la Fig. 12.1. Lasexpresiones matemticas de estos tres voltajes son

( )

( ) ( )

( ) 2 cos , ( ) 2 cos 120

( ) 2 cos 240 2 cos 120an bn

cn

v t V t v t V t

v t V t V t

= =

= = +

Este conjunto de tensiones y su representacin fasorial constituyen un sistema simtrico ya que est formadopor tres tensiones sinusoidales con el mismo valor eficaz V, la misma frecuencia y con el mismo desfase.

Una carga equilibrada extrae la misma potencia de todas las tres fases. En ningn momento la potenciainstantnea tomada por la carga total se hace cero; de hecho, la potencia instantnea total es constante.Esto es una ventajaen maquinaria rotativa, ya que mantiene el par sobre el motor mucho ms constante que lo que sera si se usaseuna fuente monofsica. Como un resultado, hay menos vibraciones.

van vbn vcn van

v(t)

2mV V=

Figura 12.1 Un ejemplo de un conjunto de tres voltajes, cada uno de los cualesest desfasado 120 con respecto a los otros dos. Como puede verse, slo uno de

los voltajes es cero en cualquier instante en particular.

El uso de un mayor nmero de fases, tales como sistemas de 6 y 12 fases, est limitado casi completamente alsuministro de potencia para grandes rectificadores. Los rectificadores convierten corriente alterna en corrientedirecta permitiendo que la corriente fluya hacia la carga en una direccin, de modo que el signo del voltaje atravs de la carga permanece sin cambios. La salida del rectificador es una corriente directa ms unacomponente pulsante ms pequea, o rizo, el cual disminuye conforme aumente el nmero de fase.

Casi sin excepcin, los sistemas polifsicos prcticos contienen fuentes que pueden aproximarse bastante bienmediante fuentes ideales de voltajes o mediante fuentes ideales de voltaje en serie con pequeas impedanciasinternas. Las fuentes de corriente trifsica son raras en extremo.

Notacin de Doble Subndice

Es conveniente describir voltajes y corrientes polifsicos usando notacin de doble subndice. Con esta notacin,un voltaje o corriente, como por ejemplo Vabo IaA, tiene ms significado que se indicase simplemente como V3oIx. Por definicin, el voltaje del punto acon respecto al punto bes Vab. As, el signo ms est ubicado en a, comoindica la Fig. 12.2a. Por tanto, los subndices dobles se consideran como equivalentes a un par de signos ms-menos: el uso de ambos sera redundante. Con referencia a la Fig. 12.2b, por ejemplo, vemos que ad ab cd= +V V V .La ventaja de la notacin de doble subndice est en el hecho de que la ley de voltajes de Kirchhoff requiere queel voltaje entre dos puntos sea el mismo, indiferente de la trayectoria escogida entre los puntos, as

ad ab bd ac cd ab bc cd= + = + = + +V V V V V V V V , y as sucesivamente. El beneficio de esto es que la LVK debesatisfacerse sin referencia al diagrama del circuito: se pueden escribir ecuaciones correctas aunque se incluya un


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punto, o letra de subndice que no est marcado en el diagrama. Por ejemplo, se podra haber escrito

ad ax xd= +V V V , donde xidentifica la posicin de cualquier punto de inters de nuestra seleccin.

Figura 12.2 (a) La definicin del voltaje Vab. (b) ad ab bc cd ab cd= + + = +V V V V V V .

Una representacin posible de un sistema de voltajes1trifsicos se muestra en la Fig. 12.3.

Supngase que se conocen los voltajes Van,, Vbny Vcn:

100 0 V, 100 120 V, 100 240 Van bn cn= = = V V V

El voltaje Vabpuede hallarse, tomando en cuenta los subndices, como

( ) 100 0 100 120 100 50 86.6

173.2 30 V

ab an nb an bn

j

= + =

= =

=

V V V V V

Figura 12.3 Una red usada como ejemplo numrico de lanotacin de doble subndice para el voltaje.

Los tres voltajes dados y la construccin del fasor Vabse muestran en el diagrama fasorial de la Fig. 12.4.

Figura 12.4 Este diagrama fasorial ilustra el uso grfica de la convencin de doblesubndice para el voltaje para obtener Vabpara la red en la Fig. 12.3.

1 Para cumplir con la convencin de la industria elctrica, se usarn implcitamentevalores eficaces (rms) para corrientes yvoltajes a travs de este captulo.


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peligro alambres de dimetro menor en los aparatos, en el sistema de distribucin residencial y en el sistema dedistribucin de la compaa de electricidad, ya que se debe usar alambre de mayor dimetro con corrientes msaltas para reducir el calor producido por la resistencia de los alambres.

El nombre monofsicose origina debido a que los voltajes Vany Vnb, como son iguales, deben tener el mismongulo de fase. Sin embargo, desde otro punto de vista, los voltajes entre los alambres externos y el alambrecentral, al que usualmente se le refiere como el neutro, estn desfasados exactamente 180. Esto es, an bn= V V y

0an bn

+ =V V . Ms adelante se ver que los sistemas polifsicos equilibrados se caracterizan mediante unconjunto de voltajes de igual amplitud cuya suma (fasorial) es cero. Desde este punto de vista, entonces, elsistema monofsico de tres hilos es realmente un sistema bifsico equilibrado. Sin embargo, bifsico es untrmino que tradicionalmente se reserva para un sistema desequilibrado relativamente sin importancia queutiliza dos fuentes de voltajes que estn 90 fuera de fase.

Fuente

monofsica

de 3 alambres

Figura 12.7 (a) Fuente monofsica de tres hilos. (b) La representacin de unafuente monofsica de tres hilos mediante dos fuentes de voltaje idnticas.

Considrese ahora un sistema monofsico de tres hilos que contiene cargas idnticas Zp entre cada alambreexterno y el neutro (Fig. 12.8). Primero se supone que los alambres que conectan la fuente a la carga sonconductores perfectos. Puesto que

=an nb V V entonces,

= = =an nb aA Bb p p

V VI I

Z Z

y por tanto0nN Bb Aa Bb aA= + = =I I I I I

As pues, no hay corriente en el alambre neutro y podra removerse sin cambiar ninguna corriente o voltaje en elsistema. Este resultado se consigue debido a la igualdad de las dos cargas y de las dos fuentes.

Figura 12.8 Un sistema monofsico sencillo de tres hilos. Las doscargas son idnticas y la corriente en el neutro es cero.

Efecto de una Impedancia Finita del Alambre

A continuacin se considera el efecto de una impedancia finita en cada uno de los alambres. Si las lneas aAy bBtienen la misma impedancia, esta impedancia puede aadirse a Zp, lo que resulta de nuevo en dos cargas iguales,


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En la Fig. 12.10 se ilustra un diagrama fasorial que muestra los dos voltajes de la fuente, las corrientes en laslneas exteriores y la corriente en el neutro. En el diagrama se indicia el hecho de que 0aA bB nN + + =I I I .

Figura 12.10 Los voltajes de la fuente y tres de las corrientes de la Fig. 12.9 se muestran enuna diagrama fasorial. Observe que IaA+ IbB+ InN= 0.

Problema de Prctica

12.3 Modifique la Fig. 12.9 aadiendo una resistencia de 1.5 a cada una de las dos lneas exteriores y una

resistencia de 2.5 al conductor neutro. Encuentre la potencia promedio entregada a cada una de las tres cargas.Resp: 153.1 W; 95.8 W; 1374 W.

12.3 Conexin Trifsica Y-Y

Las fuentes trifsicas tienen tres terminales, denominados terminales de lnea y pueden tener o no un cuartoterminal, la conexin neutra. Comenzaremos con el anlisis de una fuente trifsica que s tiene una conexinneutra. Se puede representar mediante tres fuentes de voltaje ideales conectadas en una Y, como muestra la Fig.12.11; los terminales a, b, cy nestn disponibles. Solamente se considerarn fuentes trifsicas equilibradas, lascuales se definen de la manera siguiente:

an bn cn= =V V V

y0an bn cn+ + =V V V

Como la suma de los voltajes fasoriales es cero, la suma de los voltajes instantneos tambin es cero; esto es,

0an bn cnv v v+ + =

Estos tres voltajes, cada uno tomado entre una de las lneas y el neutro, se denominan voltajes otensiones defase. Si arbitrariamente se escoge Vancomo la referencia o se define

0an pV= V

donde se usar Vpen forma consistente para representar la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de fase,entonces la definicin de la fuente trifsica indica que

120 y 240bn p cn pV V= = V V

o120 y 240bn p cn pV V= = V V


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Figura 12.11 Una fuente trifsica conectada en Y de cuatro hilos.

La primera secuencia se denomina secuencia de fase positivao secuencia de fase abcy se ilustra en la Fig. 12.12a;la segunda secuencia se llama secuencia de fase negativa o secuencia de fase cba y se indica mediante eldiagrama fasorial de la Fig. 12.12b. La secuencia de fases es muy importante en los sistemas de distribucinelctrica, ya que ella determina el sentido de rotacin de los motores trifsicos.

Secuencia ()Secuencia (+)

Figura 12.12 (a) Secuencia positiva o abc. (b) Secuencia negativa o cba.

La secuencia de fase real de una fuente trifsica fsica depende de la seleccin arbitraria de los tres terminales

que se identificarn como a, by c. Siempre pueden escogerse para proporcionar una secuencia de fases positiva yse supondr que esto se ha hecho en la mayora de los sistemas que se considerarn.

Antes de continuar, se debe hace la siguiente aclaratoria. Como los sistemas trifsicos estn diseados paramanejar grandes bloques de potencia elctrica, todas las especificaciones de voltajes y corrientes se dan envalores eficaces (valores rms). En este captulo, todos los voltajes y corrientes se expresan en valores rms.

Voltajes de Lnea a Lnea

A continuacin se determinarn los voltajes de lnea a lnea (denominados con frecuencia voltajes de lnea) quese presentan cuando los voltajes de fase son los de la Fig. 12.12a. Esto es ms de hacer con la ayuda de undiagrama fasorial, ya que los ngulos son todos mltiplos de 30. La construccin necesaria se muestra en la Fig.12.13; los resultados son

3 30 , 3 90 , 3 210ab p bc p ca pV V V= = = V V V

La ley de voltajes de Kirchhoff requiere que la suma de estos tres voltajes sea cero; Se sugiere al lector queverifique esta afirmacin como un ejercicio.

Si se denota por VLla amplitud rms de cualquiera de los voltajes de lnea, entonces una de las caractersticasimportantes de la fuente trifsica conectada en Y puede expresarse como

3L pV V=


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De manera que el neutro no conduce corriente si la fuente y la carga estn equilibradas, es decir, no haycorriente de retorno, y los cuatro hilos tienen impedancia cero. Cmo cambiar esto si se coloca una impedanciaZLen serie con cada una de las tres lneas y se inserta una impedancia ZLen el neutro? Las impedancias de lneapueden combinarse con las tres impedancias de carga; esta carga efectiva todava est equilibrada y se podraeliminar un hilo neutro perfectamente conductor. De manera que no se producen cambios en el sistema con uncortocircuito o un circuito abierto entre n y N; se puede introducir cualquier impedancia en el neutro y lacorriente en el neutro permanecer igual a cero. Si las impedancias de carga son diferentes en magnitud y (o)

fase, las tres corrientes en la ecuacin anterior sern desiguales; en este caso se dice que el receptor representa unsistema desequilibrado.

La red de la Fig. 12.14 se denomina sistema trifsico a cuatro hilos. En estos sistemas, la seccin del neutroacostumbra a ser la mitad (a veces igual) de la de los otros conductores. El sistema es muy empleado en las redesde distribucin de baja tensin para suministro de energa a locales comerciales, pequeas industrias einstalaciones domsticas.

Se concluye que si tenemos fuentes equilibradas, cargas equilibradas e impedancias de lnea equilibradas, nohay una diferencia en potencial entre el neutro de la fuente y el neutro de la carga; por tanto, un alambre neutrode cualquier impedancia puede ser reemplazado por cualquier otra impedancia, incluyendo un cortocircuito oun circuito abierto; el reemplazo no afectar los voltajes o corrientes del sistema. Con frecuencia es de utilidadvisualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que est presente o no un alambre neutro; elproblema se reduce entonces a tres problemas monofsicos, todos idnticos excepto por la diferencia presente enel ngulo de fase. Se dice entonces que el problema se resuelve en por fase o con un circuito monofsicoequivalente. Si cada lnea tiene una impedancia ZL, entonces la corriente de lnea en la fase a, tomada comoreferencia, es

anaA

L p

=+

VI

Z Z

y esta ecuacin describe el circuito sencillo mostrado en la Fig. 12.15, en el cual el conductor neutro se hareemplazado por un cortocircuito perfecto. El circuito en la Fig. 12.15 se conoce como el circuito monofsicoequivalentede un circuito trifsico equilibrado.

Figura 12.15 Circuito monofsico equivalente.

Aqu se debe tener cuidado. La corriente en el conductor neutro en la Fig. 12.15, no es la misma que la corrienteen el conductor neutro del circuito trifsico equilibrado. Por tanto, el circuito en la Fig. 12.15 da el valor correctode la corriente de lnea pero slo una componente de la corriente en el neutro.

Ejemplo 12.2

Calcular las corrientes de lnea en el sistema Y-Y de tres hilos en la Fig. 12.16.

Solucin:El circuito trifsico en la Fig. 12.16 est equilibrado; por tanto, podemos reemplazarlo con su circuitomonofsico equivalente como en la Fig. 12.15 con Zp= ZY. Del anlisis obtenemos Iacomo

ana

Y

=V

IZ

ZLa A

Nn

IaA

Van Zp+


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Equilibrada

secuencia (+)

Figura 12.17 Un sistema trifsico equilibrado conectado en Y-Y de tres hilos.

As pues, la potencia promedio total extrada por la carga trifsica es 600 W.

El diagrama fasorial para este circuito se muestra en la Fig. 12.18. Una vez que se conoce cualquiera de lasmagnitudes de los voltajes de lnea y cualquiera de las magnitudes de las corrientes de lnea, los ngulos paralos tres voltajes y las tres corrientes se podran haber obtenido a partir de una simple lectura del diagrama.

Figura 12.18 Diagrama fasorial que aplica al circuito de la Fig. 12.18.

Ejemplo 12.4

En una red trifsica de conexin Y-Y (Fig. 12.19), la tensin de lnea a lnea en el extremo de la carga es de 380 V.

La carga es equilibrada y tiene una impedancia por fase de ( )38 3 45 . La impedancia de cada fase la lnea,incluyendo el neutro es de 1 2j+ . La secuencia de fases es abc. Tomando la tensin VAN como referencia,calcular: (a) las corrientes IaA, IbBe IcC; (b) El voltaje de fase (lnea a neutro) en el extremo generador.

Solucin:

(a)

La magnitud de la tensin de lnea a lnea es de 380 V, lo que corresponde a una magnitud de la tensinde fase de 380 3 V, Si se selecciona el voltaje VANcomo referencia y puesto que la secuencia de fasesdada es abc, entonces las expresiones fasoriales para los voltajes de fase son

380 380 3800 , 120 , 120

3 3 3AN BN CN= = = + V V V


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( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )

( ) 800 cos 120 cos 120 60

400 cos 60 cos 240 60

200 400 cos 240 60 W

A AN ANp t v i t t

t

t

= =

= +

= +

En forma similar se obtiene que

( )( ) 200 400 cos 240 300 WBp t t= +

y

( )( ) 200 400 cos 240 180 WCp t t= +

Por tanto, la potencia instantnea absorbida por la carga totales

( ) ( ) ( ) ( ) 600 WA B Cp y p t p t p t= + + =

independiente del tiempo y es el mismo valor que la potencia promedio calculada en el Ejemplo 12.2.

Ejemplo 12.5

Un sistema trifsico equilibrado con un voltaje de lnea de 300 V alimenta una carga equilibrada conectada en Ycon 1200 W y un FP adelantado de 0.8. Determinar la corriente de lnea y la impedancia de carga por fase.

El voltaje de fase es 300 3 V y la potencia por fase es 1200 3 400= W. De modo que la corriente de lnea sepuede hallar a partir de la relacin para la potencia:

( )( )300

400 0.83

LI=

y la corriente de lnea es entonces 2.89 A. La magnitud de la impedancia de fase es dada por

300 360

2.89p

pL

V

I= = = Z

Puesto que el FP es igual a 0.8 adelantado, el ngulo de fase de la impedancia es 36.9; de manera que60 36.9

P= Z .

Problema de Prctica

12.5 Un sistema trifsico equilibrado de tres hilos tiene un voltaje de lnea de 500 V. Estn presentes dos cargasequilibradas conectadas en Y. Una es una carga capacitiva con 7 2j por fase y la otra es una carga inductivacon + 4 2j por fase. Hallar (a) el voltaje de fase; (b) la corriente de lnea; (c) el potencia total extrada por lacarga; (d) el factor de potencia con el cual opera la fuente.

Resp: 289 V; 97.5 A; 83.0 kW; 0.983 atrasado.

Ejemplo 12.5 Se aade (en paralelo) una carga de iluminacin de 600 W al sistema del Ejemplo 12.5. Determinela nueva corriente de lnea.

Primero se dibuja un circuito equivalente por fase adecuado, como se muestra en la Fig. 12.20. Se supone quela carga de 600 W se distribuye uniformemente entre las tres fases, lo que resulta en 200 W adicionalesconsumidos por cada fase.

La amplitud de la corriente de iluminacin (marcada I1) est determinada por

1300

200 cos03

= I

y, por tanto,

1 1.155 A=I


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adelantado

Figura 12.20 El circuito por fase que se usa para analizar un ejemplotrifsico equilibrado.

En una forma similar, se determina que la amplitud de la corriente de la carga capacitiva (identificada I2)permanece invariable de su valor previo, ya que su voltaje ha permanecido igual:

2 2.89 A=I

Si se supone que la fase con la cual estamos trabajando tiene un voltaje de fase con un ngulo de 0, entonces,

como ( )1cos 0.8 36.9 = , se tiene que

1 21.155 0 A 2.89 36.9 A= = + I I y la corriente de lnea es

1 2 3.87 26.6 AL= + = + I I I

Estos resultados se pueden verificar si se calcula la potencia generada por esta fase de la fuente:

( ) ( )300

3.87 cos 26.6 600 W3

pP = + =

lo cual concuerda con el hecho de que se sabe que la fase individual est suministrando 200 W a la nueva cargade iluminacin, y tambin 400 W a la carga original.

Problema de Prctica

12.6 Tres cargas equilibradas conectadas en Y se instalan en un sistema trifsico equilibrado de cuatro hilos. La

carga 1 extrae una potencia total de 6 kW con un FP unitario, la carga 2 extrae 10 kVA con FP 0.96= atrasado yla carga 3 demanda 7 kW con un FP de 0.85 atrasado. Si el voltaje de fase en las cargas es 135 V, si cada lneatiene una resistencia de 0.1 y si el neutro tiene una resistencia de 1 , hallar (a) la potencia total consumida porlas cargas; (b) el FP combinado de las cargas; (c) la potencia total perdida en las cuatro lneas; (e) el factor depotencia con que opera la fuente.

Resp: 22.6 kW; 0.954 atrasado; 1027 W; 140.6 V; 0.957 atrasado.

Si una carga desequilibradaconectada en Y est presente en un sistema trifsico que est equilibrado en todassus otras partes, el circuito todava puede analizarse en un esquema por fase siest presente el alambre neutro ysi tiene impedancia cero. Si no se cumple alguna de estas condiciones, se deben usar otros mtodos, como elanlisis de mallas o el nodal. Sin embargo, los ingenieros que dedican la mayor parte de su tiempo a sistemastrifsicos desequilibrados encontrarn que el uso de componentes simtricasahorra mucho tiempo.

12.4

Anlisis Alterno de la Conexin Estrella

Otra forma de analizar la conexin YY es la siguiente. La Fig. 12.21 muestra un circuito YY general, en el cualse ha incluido un cuarto conductor que conecta el neutro de la fuente con el neutro de la carga. Un cuartoconductor slo es posible en el arreglo YY. En la figura, Zga, Zgb y Zgc, representan la impedancia internaasociada con el devanado de cada fase del generador de voltaje; Z1a, Z1by Z1crepresentan la impedancia de laslneas que conectan una fase de la fuente a una fase de la carga; Z0es la impedancia del conductor neutro queconecta el neutro de la fuente con el neutro de la caga; y ZA, ZBy ZCrepresentan la impedancia de cada fase dela carga.


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Figura 12.21 Un sistema YY trifsico.

Este circuito se puede describir con una sola ecuacin nodal. Usando el neutro de la fuente como el nodo dereferencia y denotando por VNel voltaje de nodo entre los nodos Ny n, encontramos que la ecuacin de voltajenodal es

0 1 1 1

0N N a n N b n N c nA a ga B b gb C c gc

+ + + =+ + + + + +

V V V V V V VZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z (12.1)

Podemos simplificar la Ec. (12.1) significativamente si ahora consideramos la definicin formal de un circuitotrifsico equilibrado. Un circuito as satisface los siguientes criterios:

1.

Las fuentes de voltaje forman un conjunto de voltajes trifsicos equilibrados. En la Fig. 12.21, esto significaque a nV , b nV y c nV forman un conjunto de voltajes trifsicos equilibrados.

2. La impedancia de cada fase de la fuente de voltaje es la misma. En la Fig. 12.21, esto significa que

ga gb gc= =Z Z Z .

3. La impedancia de cada conductor de lnea (o de fase) es la misma. En la Fig. 12.21, esto significa que

1 1 1a b c= =Z Z Z .4.

La impedancia de cada fase de la carga es la misma. En la Fig. 12.21, esto significa que A B C= =Z Z Z .

No hay ninguna restriccin sobre la impedancia de un conductor neutro; su valor no tiene efecto sobre si elsistema est equilibrado.

Si el circuito de la Fig. 12.21 est equilibrado, podemos escribir la Ec. (12.1) como

0

1 3 a n b n c nN

+ + + =

V V VV

Z Z Z (12.2)

donde

1 1 1A a ga B b gb C c gc= + + = + + = + +Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

El lado derecho de la Ec. (12.2) es cero, porque por hiptesis el numerador es un conjunto de voltajes trifsicosequilibrados y Zno es cero. El nico valor de VNque satisface la Ec. (12.2) es cero. Por tanto, para un circuitotrifsico equilibrado

0N=V (12.3)

La Ec. (12.3) es muy importante. Si VNes cero, no hay diferencia en potencial entre el neutro de la fuente ny elneutro de la carga N; en consecuencia, la corriente en el conductor neutro es cero. Por tanto, podemos remover elconductor neutro en una configuracin YY equilibrada ( )0 0=I o reemplazarlo con un cortocircuito perfecto


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entre los nodos n y N ( )0N=V . El uso de ambos equivalentes es conveniente cuando se modelan circuitos

trifsicos equilibrados.

Ahora estudiamos el efecto que las condiciones equilibradas tienen sobre las tres corrientes de lneas. Conreferencia a la Fig. 12.21, cuando el sistema est equilibrado, las tres corrientes de lneas son

1

a n N a naA

A a ga

= =

+ +

V V VI

Z Z Z Z (12.4)

1

b n N b nbB

B b gb

= =

+ +

V V VI

Z Z Z Z (12.5)

1

c n N c ncC

C c gc

= =

+ +

V V VI

Z Z Z Z (12.6)

Vemos que las tres corrientes de lneas forman un conjunto equilibrado de tres corrientes de fases; es decir, lacorriente en cada lnea es igual en amplitud y frecuencia y tiene un desfase de 120 con respecto a las otras doscorrientes de lnea. Por tanto, si calculamos la corriente IaAy conocemos la secuencia de fase, tenemos un caminoms corto para calcular IbBe IcC.

La Ec. (12.4) puede usarse para construir un circuito equivalente para la fase adel circuito YY equilibrado.ste es el mismo equivalente obtenido en la Sec. 12.3 y, de aqu en adelante, los dos procedimientos sonprcticamente iguales.

12.5

La Conexin de la Carga en Delta ()

Una alternativa a la carga conectada en Y es la configuracin conectada en (tringulo), en la cual se conectantres impedancias de carga directamente entre los conductores de una lnea trifsica sin conductor neutro, comose muestra en la Fig. 12.22. Este tipo de configuracin es muy comn y no posee una conexin neutra.

Figura 12.22 Una carga equilibrada conectada en en un sistema trifsicode tres hilos. La fuente est conectada en Y.

Considrese una carga equilibrada conectada en , la cual consiste de una impedancia ZPinsertada entre cadapar de lneas. Con referencia a la Fig. 12.22, supngase tambin que los voltajes de lnea son conocidos:

L ab bc caV = = =V V V o que los voltajes de fase son conocidos:

p an bn cnV = = =V V V

como se calcul previamente. Debido a que se conoce el voltaje en cada rama de la , las corrientes de fase seencuentran fcilmente:

ab bc caAB BC CA

p p p

= = =V V V

I I IZ Z Z


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19

y sus diferencias proporcionan las corrientes de lnea, como por ejemplo

aA AB CA= I I I

Puesto que estamos trabajando con un sistema equilibrado, las tres corrientes de fase tienen la misma amplitud:

p AB BC CAI = = =I I I

Las corrientes de lnea tambin son iguales en amplitud; la simetra es obvia al observar el diagrama de la Fig.12.23. Tenemos entonces que

L aA bB cCI = = =I I I

e3L pI I=

Por el momento se descartar la fuente y se considerar solamente la carga equilibrada. Si la carga estconectada en , entonces el voltaje de fase y el voltaje de lnea resultan indistinguibles, pero la corriente de lneaes mayor que la de fase por un factor de 3 ; sin embargo, con una carga conectada en Y, la corriente de fase y lacorriente de lnea se refieren a la misma corriente, y el voltaje de lnea es mayor que el voltaje de fase por un

factor de 3 .

Figura 12.23 Un diagrama fasorial que podra aplicarse al circuitode la Fig. 12.22 si Zpfuese una impedancia inductiva.

Ejemplo 12.7

Determinar la amplitud de la corriente de lnea en un sistema trifsico con un voltaje de lnea de 300 V queentrega 1200 W a una carga conectada en con FP de 0.8 atrasado; halle despus la impedancia de fase.

Solucin: Considrese de nuevo una sola fase. Esta fase demanda 400 W con un FP de 0.8 atrasado y un voltaje delnea de 300 V. Entonces

( )( )400 300 0.8pI= e

1.667 ApI =

y la relacin entre las corrientes de fase y las corrientes de lnea produce

( )3 1.667 2.89 ALI = =

Tambin, el ngulo de fase de la carga es ( )1cos 0.8 36.9 = , y por tanto la impedancia en cada fase debe ser


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20

30036.9 180 36.9

1.667p= = Z

Problema de Prctica

12.7 Cada fase de una carga trifsica equilibrada conectada en consiste de un inductor de 200 mH en serie conla combinacin en paralelo de un capacitor de 5 F y una resistencia de 200 . Suponga una resistencia de lnea

igual a cero y un voltaje de fase de 200 V con = 400 rad/s. Hallar (a) la corriente de fase; (b) la corriente delnea; (c) la potencia total absorbida por la carga.

Ejemplo 12.7

Determinar la amplitud de la corriente de lnea en un sistema trifsico con un voltaje de lnea de 300 V quesuministra 1200 W a una carga conectada en Y con un FP (factor de potencia) de 0.8 atrasado. ste es el mismocircuito que en el Ejemplo 12.6, pero con una carga conectada en Y.

En el esquema por fase, ahora tenemos un voltaje de fase de 300 3 V, una potencia de 400 W y un FP de 0.8atrasado. En consecuencia,

( ) ( ) ( )300

400 0.8 2.89 por lo que 2.89 A3

p p LI I I= = =

El ngulo de fase de la carga es una vez ms 36.9, por lo que la impedancia en cada fase de la Y es

300 336.9 60 36.9

2.89p= = Z

Si la carga en un circuito trifsico esta conecta en una delta, se puede transformar en una carga en estrellautilizando una transformacin Y. Cuando la carga est equilibrada, la impedancia de cada rama de la Y es untercio de la impedancia de cada rama de la delta, o

Y 3Z

Z =

Luego de que una ha sido reemplazada por Y equivalente, la fase a puede modelarse mediante un circuitomonofsico equivalente. Este circuito equivalente puede usarse entonces para hallar las corrientes en cada ramade la carga en original.

Ejemplo 12.8 Una fuente trifsica equilibrada, conectada en Y, con secuencia positiva, tiene una impedancia de0.2 +j0.5 /fase y un voltaje interno de 120 V/fase, alimenta una carga conectada en a travs de una lnea dedistribucin que tiene una impedancia de 0.3 + j0.9 /fase. La impedancia de la carga es 118.5 + j85.8 /fase.Use el voltaje interno de la fase adel generador como la referencia.

a) Construya un circuito monofsico equivalente del sistema trifsico.

b) Calcule las corrientes de lnea IaA, IbBe IcC.

c) Calcule los voltajes de fase en los terminales de carga.

d)

Calcule las corrientes de fase de la carga.

e)

Calcule los voltajes de lnea en los terminales de la fuente.

Solucin

a) La Fig. 12.24 muestra el circuito monofsico equivalente. La impedancia de carga de la Y equivalente es

118.5 85.839.5 28.6 /fase

3j

j+

= +


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21

Figura 12.24 El circuito monofsico equivalente para el Ejemplo 12.7.

b) La corriente de lnea de la fase aes

( ) ( )

120 00.2 0.3 39.5 0.5 0.9 28.6

120 0 2.4 36.87 A

40 30

aA j

j

=

+ + + + +

= =

+

I

Por tanto,

2.4 156.87 A, 2.4 83.13 AbB cC= = I I c) Puesto que la carga est conectada en , los voltajes de fase son los mismos que los voltajes de lnea. Para

calcular stos, primero calculamos VAN:

( )( )39.5 28.6 2.4 36.87

117.04 0.96 VAN j= +

=

V

Como la secuencia de fases es positiva, entonces el voltaje de lnea VABes

( )3 30 202.72 29.04 VAB AN= = V V Por tanto

202.72 90.96 V, 202.72 149.04 VBC CA= = V V

d)

Las corrientes de fase de la carga pueden calcularse directamente a partir de las corrientes de lnea:

130 1.39 6.87 A

3AB aA

= =

I I

Una vez conocida IAB, tambin se conocen las otras corrientes de fase de la carga:

1.39 126.87 A, 1.39 113.13 ABC CA= = I I

Observe que el clculo de IAB se puede verificar utilizando el voltaje VAB calculado previamente y laimpedancia de la carga conectada en ; es decir,

202.72 29.041.39 6.87 A

118.5 85.8

ABAB

p j

= = =

+

VI

Z

e)

Para calcular el voltaje de lnea en los terminales de la fuente, calculamos primero el voltaje Van. La Fig.12.24 muestra que Vanes la cada de voltaje en la impedancia de la lnea ms la de la impedancia de carga;esto es,

( )( )39.8 29.5 2.4 36.87

118.90 0.32 Van j= +

=

V

El voltaje de lnea Vabes

( )3 30ab an= V V


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22

o205.94 29.68 Vab= V

Por tanto,205.94 90.32 V

205.94 149.68 Vbc

bca

=

=

V

V

Ejemplo 12.9 La Fig. 12.25 muestra una carga equilibrada conectada en tringulo alimentada por una redsimtrica de secuencia positiva a travs de una lnea de impedancia 1 + j2 por conductor. (1) Si el voltaje delnea en el receptor es de 380 V, calcular: a= la magnitud de las corrientes de lnea; b) la magnitud del voltaje delnea al principio de la lnea. 2) Si el voltaje de lnea al principio de la lnea es de 380 V, determinar a) lamagnitud de las corrientes de lnea; b) el voltaje de lnea en el receptor en conectado en .

a

b

c

Ia

Ib

Ic

A

B

C

A

BC

1 2j+

38 3 30 /fase= Z

Figura 12.25 Carga trifsica equilibrada conecta en con impedancia de lnea.

Solucin

1. a) La impedancia en estrella equivalente a la carga ser:

38 3 30 3830

3 3 3Y

= = = Z

Z

y el circuito monofsico equivalente es el mostrado en la Fig. 12.26. Obsrvese que se ha incluido un neutro queno est presente en el circuito original. Es indiferente que se tengan o no neutros reales. Lo importante es que lared est equilibrada; as siempre se podr dibujar un equivalente monofsico.

Si en el circuito de la Fig. 12.26 se toma el voltaje VANen la carga como el voltaje de referencia para las fases, sepuede escribir

3800

3AN= V

de donde se obtiene la corriente Ia:

a

n N

A

Y38

30 /fase3

= Z

1 2j+

Van VAN

Ia

Figura 12.26 Circuito monofsico equivalente.


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24/150

24

( )( ) ( )1200 3 300 0.8LI=

Por tanto,5

2.89 A3

LI = =

En la Tabla 12.1 se presenta una breve comparacin de los voltajes de fase y de lnea y de las corrientes de lnea

tanto para carga conectadas en Y como en alimentadas por una fuente trifsica conectada en Y.TABLA 12.1 Comparacin de Cargas Trifsicas Conectadas en Y en . Vp es la Magnitud del Voltaje de Cada Fase de la

Fuente Conectada en Y.

Carga Voltaje de Fase Voltaje de LneaCorriente de

FaseCorriente de Lnea Potencia por Fase

Y

0

120240

AN p

BN p

CN p

V

VV

=

=

=

V

VV

( )

( )

( )

3 30

3 30

3 30 3 90

3 30

3 210

AB ab

AN

p

BC bc

BN

p

CA ca

CN

p

V

V

V

=

=

=

=

= =

=

=

=

V V

V

V V

V

V V

V

ANaA AN

p

BN

bB BN p

CNcC CN

p

= =

= =

= =

VI I

Z

VI I

Z

VI I

Z

ANaA AN

p

BN

bB BN p

CNcC CN

p

= =

= =

= =

VI I

Z

VI I

Z

VI I

Z

3 cosL LV I

donde cos =

factor depotencia de la

carga

3 30

3 90

3 210

AB ab

p

BC bc

p

CA ca

p

V

V

V

=

=

=

=

=

=

V V

V V

V V

3 30

3 90

3 210

AB ab

p

BC bc

p

CA ca

p

V

V

V

=

=

=

=

=

=

V V

V V

V V

ABA

p

BCB

p

CACp

=

=

=

VI

Z

VI

Z

VIZ

( )

( )

( )

3 30

3 30

3 30

ABaA

p

BCbB

p

CAcCp

=

=

=

VI

Z

VI

Z

VIZ

3 cosL LV I

donde cos = factorde potencia de la

carga

Problema de Prctica

12.8 Un sistema trifsico equilibrado de tres hilos se termina con dos cargas en paralelo conectada en . La carga1 extrae 40 kVA con un FP de 0.8 atrasado, en tanto que la carga 2 absorbe 24 kW con un FP de 0.9 adelantado.Suponga que la lnea no tiene resistencia y sea 440 30 Vab= V . Hallar (a) la potencia total entregada a las

cargas; (b) la corriente de fase IAB1para la carga atrasada; (c) 2ABI ; (c) aAI .

Resp: 56.0 kW; 30.3-6.87 A; 20.255.8 A; 75.312.46 A.

Fuentes Conectadas en

La fuente tambin puede estar conectada en una configuracin . Sin embargo, esto no es tpico, pues un ligerodesbalance en las fases de la fuente puede producir una circulacin de corrientes elevadas en el lazo . Porejemplo, denomine las tres fuentes monofsicas como Vab, Vbcy Vcd. Antes de cerrar la mediante la conexin ded con a, determinemos la suma Vab+ Vbc+ Vcd. Suponga que la amplitud del resultado es slo 1 por ciento delvoltaje de lnea. La corriente circulante es entonces aproximadamente 1

3por ciento del voltaje de lnea divido

por la impedancia interna de cualquier fuente. Qu magnitud tendra esta impedancia? De la corriente dependeque la fuente entregue con una cada despreciable del voltaje en sus terminales. Si suponemos que esta corrientemxima produce una cada de 1 por ciento en el voltaje terminal, entonces la corriente circulante es un tercio de la


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26

p p pS V I= (12.13)

La potencia compleja por fase es

p p p p pS P jQ = + = V I (12.14)

donde Vpe Iprepresentan el voltaje de fase y la corriente de fase con magnitudes Vpe Ip, respectivamente. Lapotencia promedio total es la suma de las potencias promedio en las fases:

3 3 cos 3 cosa b c p p p L LP P P P P V I V I = + + = = = (12.15)

Para una carga conectada en Y, IL= Ippero 3L pV V= , en tanto que para una carga conectada en , 3L pI I=

pero VL = Vp. Por tanto, la Ec. (12.15) aplica para los dos tipos de conexiones. En forma similar, la potenciareactiva es

3 sen 3 3 senp p p L LQ V I Q V I = = = (12.16)

y la potencia compleja total es

22 33 3 3

pp p p p p

p

VI

= = = =S S V I Z

Z (12.17)

donde p pZ= Z es la impedancia de carga por fase. (Zppodra ser ZYo Z.) Alternativamente, la Ec. (12.17) se

puede escribir como

3 L LP jQ V I = + = S (12.18)

Recuerde que Vp, Ip, VLe ILson valores rms y que es el ngulo de la impedancia de carga o el ngulo entre elvoltaje de fase y la corriente de fase.

Una segunda ventaja importante de los sistemas trifsicos para la distribucin de potencia es que el sistematrifsica utiliza una menor cantidad de alambre que el sistema monofsico para el mismo voltaje de lnea VLy lamisma potencia absorbida PL. Se compararn estos dos casos y se supondr en ellos que los alambres son delmismo material (por ejemplo, cobre con resistividad ) y tienen la misma longitud y que las cargas son

resistivas (esto es, con factor de potencia unitario). Para el sistema monofsico de dos alambres en la Fig.12.27(a), L L LI P V= , de modo que la prdida de potencia en los dos alambres es

22

prdida 22 2 LL

L

PP I R R

V= = (12.19)

Fuentemono-fsica

Fuenteequili-bradatrifsica

Cargaequili-bradatrifsica

Carga

Lneas de transmisin Lneas de transmisin

Figura 12.27 Comparacin de la prdida de potencia en (a) un sistema monofsico y (b) un sistema trifsico.

Para el sistema trifsico en la Fig. 12.27(b), de la Ec. (12.15), 3L a b c L LI P V = = = ==I I I . La prdida de

potencia en los tres alambres es


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28

Ejemplo 12.11. Dos cargas equilibradas estn conectadas a una lnea de 240 V rms y 60 Hz, como se muestra enla Fig. 12.28(a). La carga 1 extrae 30 kW con un factor de potencia de 0.6 atrasado, en tanto que la carga 2 extrae45 KVAR con un factor de potencia de 0.8 atrasado. Suponiendo una secuencia abc, determinar: (a) las potenciascompleja, real y reactiva absorbidas por la carga combinada, (b) las corrientes de lnea y (c) los kVAR nominalesde los tres capacitores conectados en en paralelo con la carga que aumentarn el factor de potencia a 0.9 enatraso y la capacitancia de cada capacitor.

Cargaequilibrada 1

Cargaequilibrada 1

Cargacombinada

Figura 12.28 (a) Las cargas equilibradas originales, (b) la carga combinada con el factor de potencia mejorado.

Solucin:

(a)

Para la carga 1, dado que P1= 30 kW y 1cos 0.6 = , entonces 1sen 0.8 = y por tanto

11

1

30 kW50 kVA

cos 0.6P

S = = =

y ( )1 1 1sen 50 0.8 40Q S= = = kVAR. De manera que la potencia compleja en la carga 1 es

1 1 1 30 40 kVAP jQ j= + = +S (12.24)

Para la carga 2, si Q2= 45 kVAR y 2cos 0.8 = , entonces 2sen 0.6 = y se determina que2

22

45 kVA75 kVA

sen 0.6Q

S = = =

y ( )2 2 2cos 75 0.8 60P S= = = kW. Por tanto, la potencia compleja en la carga 2 es

2 2 2 60 45 kVAP jQ j= + = +S (12.25)

De las Ecs. (12.24) y (12.25), la potencia compleja total absorbida por la carga es

1 2 90 85 kVA 123.8 43.36 kVAj= + = + = S S S (12.26)

la cual tiene un factor de potencia de cos 43.36 0.727 = atrasado. La potencia real es entonces 90 kW, n tanto

que la potencia reactiva es 85 kVAR.(b)

Puesto que 3 L LS V I= , la corriente de lnea es

3L

L

SI

V= (12.27)

Aplicamos sta a cada carga, teniendo en mente que para ambas cargas 240LV = kV. Para la carga 1,

150000

120.28 mA3 240 000

LI = =


29/150


30/150


31/150


32/150


33/150


34/150

34

( ) ( )100

19.32 cos 150 165 788.7 W3

BP = =

( ) ( )100

10 cos 270 90 577.4 W3

CP = + =

o una potencia total de 1 kW. Como por la carga resistiva fluye una corriente de 10 A rms, la potencia totalconsumida por la carga es

( )210 10 1 kWP= =

y vemos que los dos mtodos coinciden.

El Mtodo de los Dos Vatmetros

Hemos demostrado que el punto x, la conexin comn de las tres bobinas de potencial, puede ubicarse encualquier lugar que se desee sin afectar la suma algebraica de las lecturas de los tres vatmetros. Consideremosahora el efecto de colocar el punto x, esta conexin comn de los tres vatmetros, directamente en una de laslneas. Si, por ejemplo, un extremo de cada bobina de potencial se regresa a B, entonce no hay voltaje en labobina de potencial del vatmetro By este medidor debe leer cero. Por tanto, se puede eliminar y la suma algebraicade las lecturas de los dos vatmetros restantes todava indica la potencia consumida por la carga. Cuando la

ubicacin de xse selecciona de esta forma, el mtodo de medicin de la potencia se describe como el mtodo delos dos vatmetros. La suma de las lecturas indica la potencia total, independientemente de (1) el desequilibriode cargas, (2) el desequilibrio de la fuente, (3) las diferencias en los dos vatmetros y (4) la forma de onda de lafuente peridica. La nica suposicin que se ha hecho es que las correcciones de los vatmetros son losuficientemente pequeas y se pueden ignorar. En la Fig. 12.33, por ejemplo, por la bobina de corriente de cadamedidor pasa la corriente de lnea consumida por la carga ms la corriente que absorbe la bobina de potencial.Como esta ltima corriente es normalmente bastante pequea, su efecto debe estimarse a partir delconocimiento de la resistencia de la bobina de potencial y del voltaje en sus extremos. Estas dos cantidadespermiten realizar un estimado preciso de la potencia disipada en la bobina de potencial.

En el ejemplo numrico descrito previamente, supngase ahora que se usan dos vatmetros, uno con la bobinade corriente en la lneaAy la bobina de potencial entre las lnea Ay B, el otro la bobina de corriente en la lnea Cy la bobina de potencial entre las lneas Cy B. El primer medidor lee

( )

( ) ( )

1 cos ng ng

100 19.32 cos 0 15

1866 W

AB aA AB aAP V I V I =

=

=

y el segundo

( )

( ) ( )

2 cos ng ng

100 10 cos 60 90

866 W

CB cC CB cCP V I V I =

= +

=

y, por tanto,

1 21866 1000 1000 WP P P= + = =

como se esperaba a partir de la experiencia reciente con el circuito.

En el caso de una carga equilibrada, el mtodo de los dos vatmetros permite determinar el ngulo del FP ytambin la potencia total consumida por la carga. Supngase que una impedancia de carga con un ngulo defase ; se puede usar una conexin Y o una y se supondr la conexin mostrada en la Fig. 12.32. Laconstruccin de un diagrama fasorial estndar, como el de la Fig. 12.22, nos permite determinar el ngulo de faseapropiado entre los diferentes voltajes y corrientes de lnea. Por tanto, se determinan las lecturas


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36

Figura 12.34Un sistema trifsico equilibrado conectado a una carga trifsica equilibrada,cuya potencia se mide usando la tcnica de los dos vatmetros.

La bobina de potencial del vatmetro #1 se conecta para medir el voltaje Vacy su bobina de corriente mide lacorriente de fase IaA. Puesto que sabemos usar la secuencia de fases positiva, los voltajes de lnea son

230 0 V

230 120 V

230 120 V

ab

bc

ca

=

=

=

V

V

V

Observe que 230 60 Vac ca= = V V .

La corriente de fase IaAest dada por el voltaje de fase Vandividido por la impedancia de fase 4 15j+ :

( )230 3 304 15 4 15

8.554 105.1 A

anaA j j

= =

+ +

=

VI

Ahora se puede calcular la potencia medida por el vatmetro #1 como

( )( )( ) ( )

1 cos ng ng

230 8.554 cos 60 105.1

1389 W

ac aA ac aAP =

= +

=

V I V I

En forma similar, se determina que

( )

( )( ) ( )

1 cos ng ng

230 8.554 cos 120 134.9

512.5 W

bc bB bc bBP =

= +

=

V I V I

As pues, la potencia promedio total absorbida por la carga es

1 2

876.5 WP P P= + =

Problema de Prctica

12.10 Para el circuito de la Fig. 12.27, suponga que las cargas son 25 60A= Z , 60 60B= Z y

50 60C= Z , que 600 0 V rmsAB= V con secuencia de fases (+) y ubique el punto xen C. Determinar (a)PA; (b) PB; (c)PC.

Resp: 0; 7200 W: 0.


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37

12.6.

Cargas Desequilibradas

Para cargas desequilibradas, no aplica ninguna de las relaciones para circuitos equilibrados porque se hanperdido las condiciones de simetra. Por tanto, cada problema debe tratarse como un problema trifsico.Examinaremos algunos ejemplos que pueden ser manejados mediante tcnicas fundamentales tales como lasleyes de Kirchhoff y el anlisis de mallas. Slo se considerarn ejemplos con voltajes de alimentacinprovenientes de fuentes equilibradas.

Cargas Desequilibradas Conectadas en Y

Sistemas en Y de cuatro alambres desequilibrados sin impedancias de lnea pueden manejarse fcilmenteusando la ley de Ohm. Sin embargo, para sistemas de tres o cuatro hilos con impedancias de lnea y de neutro,generalmente se tienen que usar ecuaciones de mallas o mtodos asistidos por computadora. Uno de losproblemas con sistemas en estrella de tres alambres desequilibrados es que se obtienen diferentes voltajes encada fase de la carga y un voltaje entre los puntos neutros. Esto se ilustra a continuacin.

Ejemplo 12.13 Para la Fig. 12.35, el generador est equilibrado con un voltaje de lnea a lnea de 208 V.Seleccione EABcomo referencia y determine las corrientes de lnea y los voltajes en la carga.

Figura 12.35

SolucinDibuje de nuevo el circuito en la forma mostrada por la Fig. 12.36 y luego use anlisis de mallas con208 0 VAB= E y 208 120 VBC= E .

Figura 12.36

Las ecuaciones de mallas correspondientes son:

Malla 1: ( ) ( )1 28 4 3 4 208 0j j+ + = I I

Malla 2: ( ) ( )1 23 4 9 4 208 120j j + + = I I


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40/150


41/150


42/150

42

(a)

(b)

Fuente Lnea Carga

Figura 12.42

La corriente de entrada al terminal con punto del secundario del transformador de lado izquierdo es IaA, demodo que la corriente hacia el terminal con punto del primario de este transformador es

( )10 2.334 20.6 Aa aA= = I I

La corriente al terminal con punto del primario del transformador en el lado derecho es IaA, de modo que lacorriente hacia el terminal con punto del secundario es

( )10 2.334 20.6 AA aA= = I I

El voltaje de fase en la carga es

( )( )( )40 377 0.04 99.77 0 VAN Aj= + = V I

La potencia entregada por la fuente se calcula a partir de 2.334 20.6 Aa= I y 100 0an= V V como

( )( )( )

100 2.334cos 20.6 109.2 W

2aP = =

y la potencia entregada a la carga se calcula a partir de 2.334 20.6 AA= I y 40AR = , esto es,

( )

( )

22.334

40 108.95 W2AP = =

La prdida de potencia en la lnea se calcula a partir de 0.2334 20.6 AaA= I y 10aAR = , esto es,

( )( )

20.233410 0.27 W

2aAP = =

Ahora se entrega a la carga 98 por ciento de la potencia suministrada por la fuente. Slo se pierde 2 por ciento enla lnea.


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44

Figura 12.4511.

Para el sistema representado en la Fig. 12.46, las prdidas hmicas en el hilo neutro son tan pequeas quepueden despreciarse y puede ser modelado adecuadamente como un cortocircuito. (a) Calcula la potenciaperdida en las dos lneas como un resultado de su resistencia no cero. (b) Calcule la potencia promedioentregada a la carga. (c) Determine el factor de potencia de la carga total.

12.

Con referencia a la carga equilibrada representada en la Fig. 12.47, si se conecta a una fuente equilibrada detres hilos operando a 50 Hz de modo que VAN= 115 V, (a) determine el factor de potencia de la carga si seomite el capacitor; (b) determine el valor de la capacitancia Ccon que se alcanzara un factor de potenciaunitario para la carga total.

Figura 12.46 Figura 12.47

13. En el sistema de tres hilos de la Fig. 12.46, (a) reemplace el resistor de 50 por una de 200 y calcule la

corriente que circula por el alambre neutro. (b) Determine un nuevo valor para el resistor de 50 de modo

que la magnitud de la corriente en el neutro sea 25% de la corriente de lnea IaA.

12.3 Conexin Trifsica Y-Y

14.

(a) Demuestre que si 400 33 Van= V , 400 87 Vbn= V y 400 207 Vcn= V , entonces

0an bn cn+ + =V V V . (b) Los voltajes en la parte (a) representan una secuencia de fase positiva o unanegativa? Explique.

15. Considere un sistema trifsico de tres hilos, sencillo con una secuencia de fase positiva que opera a 50 Hz ycon una carga equilibrada. Cada voltaje de fase de 240 V est conectada a una carga compuesta de unacombinacin den serie de 50 y 500 mH. Calcular (a) las corrientes de lnea; (b) el factor de potencia de lacarga; (c) la potencia total entregada por la fuente trifsica.

16.

Suponga que el sistema mostrado en la Fig. 12.48 est equilibrado, Rw = 0, 208 0 Van= V y aplica unasecuencia de fase positiva. Calcular todas las corrientes de fase y de lnea y todos los voltajes de fase y delnea si ZPes igual a (a) 1 k; (b) 100 48j+ ; (c) 100 48j .

17.

Cada impedancia Zpen el sistema trifsico equilibrado de la Fig. 12.48 se construye usando la combinacinen paralelo de una capacitancia de 1 mF, una inductancia de 100 mH y una resistencia de 10 . Las fuentestienen secuencia de fase positiva y operan a 50 Hz. Si 208 0ab= V y 0wR = , calcular (a) todos los voltajesde fase; (b) todos los voltajes de lnea; (c) todas las tres corrientes de lnea; (d) la potencia total consumidapor la carga.


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45

Figura 12.48

18. Con la suposicin de que el sistema trifsico ilustrado en la Fig. 12.48 est equilibrado y tiene un voltaje de

lnea de 100 V, calcule la corriente de lnea y la impedancia de carga por fase si 0wR = y la carga consume(a) 1 kW con un FP de 0.85 atrasado; (b) 300 W por fase con un FP de 0.92 adelantado.

19. El sistema trifsico equilibrado de la Fig. 12.48 est caracterizado por una secuencia de fase positiva y un

voltaje de lnea de 300 V, y ZPes dada por la combinacin en paralelo de una carga capacitiva de 5 3j y

una carga inductiva de 9 2j+ . Si 0wR = , calcule (a) el factor de potencia de la fuente; (b) la potencia totalentregada por la fuente. (c) Repita las partes (a) y (b) si 1wR = .

20. Una carga equilibrada conectada en Y de 100 50j+ se conecta a una fuente trifsica equilibrada. Si lacorriente de lnea es 42 A y la fuente entrega 12 kW, determine ( a) el voltaje de lnea; (b) el voltaje de fase.

21.

Un sistema trifsico se construye a partir de una fuente equilibrada conectada en Y que opera a 50 Hz ytiene un voltaje de lnea de 210 V, y cada fase la carga equilibrada consume 130 W con un factor de potenciaadelantado de 0.75. (a) Calcule la corriente de lnea y la potencia total entregada a la carga. ( b) Si se conectauna carga puramente resistiva de 1 en paralelo con cada carga existente, calcule la nueva corriente delnea y la potencia total entregada a la carga. (c) Verifique sus respuestas usando simulaciones apropiadasen PSpice.

22.

Regresando al sistema trifsico equilibrado descrito en el Ejercicio 21, determine la potencia complejaentregada a la carga para Rw= 0 y Rw= 1 .

23. Cada carga en el circuito de la Fig. 12.48 est compuesta por una inductor de 1.5 h en paralelo con uncapacitor de 100 F y un resistor de 1 k. La resistencia est marcada 0wR = . Usando secuencia de fase

positiva con 115 0 Vab= V y f= 60 Hz, determine la corriente rms de lnea y la potencia total entregada ala carga. Verifique su respuesta usando una simulacin apropiada en PSpice.

12.4 La Conexin Delta ()

24.

Un sistema trifsico equilibrado est alimentando una carga conectada en con 10 kW y una factor depotencia de 0.7 adelantado. Si el voltaje de fase es 208 V y la fuente opera a 50 Hz, ( a) calcule la corriente delnea; (b) determine la impedancia de fase; (c) calcule el nuevo factor de potencia y la nueva potencia totalentregada a la carga si se conecta un inductor de 2.5 H en paralelo con cada fase de la carga.

25.

Si cada una de las tres fases en una carga conectada en est compuesta de un capacitor de 10 mF enparalelo con una combinacin conectada en serie de un resistor de 470 y un inductor de 4 mH. (a) Calculela corriente de fase; (b) la corriente de lnea; (c) el voltaje de lnea; (d) el factor de potencia con el que operalafuente; (e) la potencia total entregada a la carga.

26. Una carga trifsica debe ser alimentado por una fuente trifsica conectada en Y de tres hilos con un voltajede fase de 400 V y operando a 50 Hz. Cada fase de la carga consiste de una combinacin en paralelo de unresistor de 500 , un inductor de 10 H y un capacitor de 1 mF. (a) Calcule la corriente de lnea, el voltaje de


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46

lnea, la corriente de fase y el factor de potencia de la carga si la carga tambin est conectada en Y. ( b)Reconecte la carga de manera que est conectada en y halle las mismas cantidades pedidas en la parte (a).

27. Para las dos situaciones descritas en el Ejercicio 26, calcule la potencia total entregada a cada una de las

cargas.

28. Dos cargas conectadas en se conectan en paralelo y son alimentadas por un sistema equilibrado conectado

en Y. La menor de las dos cargas demanda 10 kVA con un FP de 0.75 atrasado y la ms grande demanda 25

kVA con FP adelantado de 0.80. El voltaje de lnea es 400 V. Calcule ( a) el factor de potencia con el cual estoperando la fuente; (b) la potencia total consumida por las dos cargas; (c) la corriente de fase de cada carga.

29. Para el sistema trifsico equilibrado de la Fig. 12.49, se determin que se pierden 100 W en cada hilo. Si elvoltaje de fase de la fuente es 400 V y la carga demanda 12 kW con una FP de 0.83 atrasado, determine laresistencia Rwdel alambre.

Figura 12.49

30. La carga equilibrada conectada en de la Fig. 12.49 demanda 10 kVA con un FP de 0.91 atrasado. Si las

prdidas en las lneas son despreciables, calcular IbBy Vansi 160 30 Vca= V y los voltajes de la fuente sedescriben usando secuencia de fase positiva.

31. Repita el Ejercicio 30 si Rw= 1 . Verifique su solucin usando una simulacin apropiada en PSpice.

32.

Calcule , yaA AB anI I V si la carga conectada en de la Fig. 12.49 demanda una potencia compleja total de1800 700 Wj+ , Rw= 1.2 y la fuente genera una potencia compleja de 1850 700 Wj+ .

33. Un sistema trifsico equilibrado con un voltaje de lnea de 240 V rms contiene una carga conectada en de

12 kj por fase y tambin una carga conectada en Y de 5 3 kj+ por fase. Halle la corriente de lnea, lapotencia consumida por la carga combinada y el factor de potencia de la carga.

12.5 Medicin de Potencia en Sistemas Trifsicos

34. Determine la lectura del vatmetro (estableciendo si los terminales tienen que ser invertidos o no para

obtenerla) en el circuito de la Fig. 12.50 si los terminalesAy B, respectivamente, se conectan a (a) xyy; (b) xy z; (c)yy z.

Figura 12.50


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47

35. En el circuito de la Fig. 12.51 se conecta un vatmetro de modo que I1entra por el terminal (+) de la bobinade corriente, en tanto que V2es el voltaje en la bobina de potencia. Halle la lectura del vatmetro y verifiquesu solucin con una simulacin apropiada en PSpice.

Figura 12.51

36. Halle la lectura del vatmetro conectado en el circuito de la Fig. 12.52.

Figura 12.52

37.

(a) Halle las lecturas de los vatmetros en la Fig. 12.53 si 100 0 V rmsA= V , 50 90A= V V rms,10 10A j= Z , 8 6B j= + Z y 30 10C j= + Z . (b) Es la suma de estas lecturas la potencia total

consumida por las tres cargas? Verifique su respuesta con una simulacin apropiada en PSpice.

Figura 12.53

38. Los valores del circuito en la Fig. 12.54 son 200 0ab= V , 200 120bc= V , 200 240ca= V V rms,

4 5 6 25 30= = = Z Z Z , 1 2 3 50 60= = = Z Z Z . Halle la lectura de cada vatmetro.


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48

Figura 12.54

39. La carga trifsica equilibrada mostrada en la Fig. 12.55 es alimentada por una fuente trifsica conectada en

Y, equilibrada y de secuencia positiva. La impedancia de la lnea que conecta la fuente a la carga esdespreciable. El voltaje entre lnea y neutro de la fuente es 7200 V.

a)

Halle la lectura del vatmetro en vatios.

b) Explique cmo conectara un segundo vatmetro en el circuito de modo que los dos vatmetros midan lapotencia total.

c) Calcule la lectura del segundo vatmetro.

d) Verifique que la suma de las lecturas de los dos vatmetros es igual a la potencia promedio totalentregada a la carga.

Fuentefp = 0.96

adelantado

Figura 12.55

40.

a) Calcule la lectura de cada vatmetro en el circuito mostrado en la Fig. 12.56 cuando 13.44 46.98j= + Z .

b)

Verifique que la suma de las lecturas de los dos vatmetros es igual a la potencia total entregada a lacarga.

c)

Verifique que ( )1 23 W W es igual a los vares magnetizadores entregados a la carga.

Figura 12.56


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49

41. Para la Fig. 12.57, Rab= 60 , 80 60bc j= + Z . Calcule (a)Las corrientes de fase y de lnea; (b) la potencia en

cada fase y la potencia total.

42.

Repita el Problema 39 si Pab= 2400 W y 50 40bc= Z .

43. Para la Fig. 12.57, Rab= 60 , calcule lo siguiente

a.

Las corrientes de fase y de lnea.

b.

La corriente del neutro.c. La potencia en cada fase.

d. La potencia total en la carga.

44. Remueva el conductor neutro de la Fig. 12.58 y calcule las corrientes de lnea. Sugerencia: Use ecuaciones demallas.

45. A partir del Problema 42, 1.94 0.737 Aa= I , 4.0 117.7 Ab= I e 3.57 91.4 Ac= I . Calcule losiguiente:

a. Los voltajes en cada fase de la carga.

b. El voltaje entre el neutro de la carga y el neutro del generador.

Figura 12.57 Figura 12.58

46. Una fuente trifsica con un voltaje de lnea de 45 kV rms est conectado a dos cargas balanceadas. La cargaconectada en Y tiene 10 20j= +Z , y la carga en tiene una impedancia ramal de 50 . Las lneas de

conexin tienen una impedancia de 2 . Determine la potencia entregada a las cargas y la potencia perdidaen los conductores. Qu porcentaje de la potencia se pierde en los conductores?

Ejercicios Integradores del Captulo

47. Explique bajo qu circunstancias se podra preferir una carga conectada en sobre una conectada en Y quedemanda iguales potencias promedio y compleja.

48.

Una fuente trifsica de 208 V y 60 Hz est conectada en un configuracin en Y y exhibe una secuencia defase positiva. Cada fase de la carga equilibrada consiste de una bobina modelada mejor como unaresistencia de 0.2 en serie con una inductancia de 580 mH. (a) Determine los voltajes de lnea y lascorrientes de fase si la carga est conectada en . (b) Repita la parte (a) si la carga est conectada en Y.

49.

(a) Se considera la carga representada en la Fig. 12.59 una carga trifsica? Explique. (b) Si 1 7AN j= Z ,

3 22BN= Z y 2AB j= + Z , calcule todas las corrientes y voltajes de fase (y de lnea) suponiendo unvoltaje de fase a neutro de 120 VAC (las dos fases estn desfasadas 180). (c) Bajo qu circunstancias fluyecorriente por el alambre neutro?


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50

Figura 12.59

50. El equipo de computacin en una pequea fbrica funciona completamente con 120 VCA estndar, pero

slo se tiene disponible 208 V CA trifsico. Explique cmo se puede conectar el equipo de computacin a lacanalizacin elctrica existente.


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1

Clculo de Fallas No Simtricas

Mehta, V.K., Mehta, R.: Principles of Power Systems

IntroduccinEn el captulo anterior, la atencin se confin al anlisis de fallas simtricas, esto es, todas las tres lneas encortocircuito (L L L) otodas las tres lneas en cortocircuito con una conexin a tierra en la falla (L L L G). Cuando ocurre una falla as, ella da origen a corrientes de falla simtricas, es decir, las corrientes de fallaen las tres lneas son iguales en magnitud y desplazadas 120 elctricos entre s. Aunque las fallas simtricasson las ms severas e imponen cargas pesadas en los interruptores, su anlisis todava puede hacerse con uncierto grado de facilidad. La naturaleza equilibrada de la falla es lo que permite considere slo anafase en losclculos; las condiciones en las otras dos fase son similares.

La gran mayora de las fallas en los sistemas de potencia son de naturaleza no simtrica; el tipo ms comnes el de un cortocircuito entre una lnea y tierra. Cuando ocurre una falla as, aparecen corrientes nosimtricas, esto es, la magnitud de las corrientes de falla en las tres lneas son diferentes y tienen desfasedesiguales. Se usa el procedimiento de clculo conocido como mtodo de componentes simtricas paradetermina las corrientes y voltajes cuando ocurre una falla no simtrica. En este captulo no concentraremosen el anlisis de fallas no simtricas.

1. Fallas No Simtricas en un Sistemas Trifsico

Aquellas fallas en el sistema de potencia que dan lugar a corrientes de falla no simtricas (i. e. corrientes de falladesiguales en las lneas con desfases desiguales) se conocen como fallas no simtricas.

Cuando ocurre una falla no simtrica, las corrientes en las tres lneas se vuelven desiguales y tambin lohace el desfase entre ellas. Se debe sealar que el trmino no simtrica aplica slo a la falla misma y a lasresultantes corrientes de lnea. Sin embargo, las impedancias del sistema y los voltajes de la fuente sonsiempre simtricos* a travs de sus elementos principales generadores, lneas de transmisin, reactoressincrnicos, etc. Hay tres formas en las cuales pueden ocurrir fallas no simtricas en un sistema de potencia

(vase la Fig. 1).(i) Falla de una lnea a tierra (L G)

(ii) Falla de lnea a lnea (L L)

(iii) Falla de lnea doble a tierra (L L G)

La solucin de problemas de fallas no simtricas puede obtenerse bien sea por (a) las leyes de Kirchhoff o (b)el mtodo de componentes simtricas. Se prefiere este ltimo mtodo debido a las razones siguientes:

(i) Es un mtodo sencillo y da ms generalidad a los estudios de desempeo de fallas.

(ii) Proporciona una herramienta til para los ingenieros de proteccin, particularmente en conexin conel recorrido de las corrientes de falla.

Figura 1

*En otras palabras, ninguna parte del equipo en ningn momento tiene una impedancia de fase roja que difiera de unaimpedancia de fase amarilla.


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52

2. Mtodo de Componentes Simtricas

En 1918, Dr. C. L. Fortescue, un cientfico norteamericano, demostr que cualquier sistema trifsicodesequilibrado de corrientes (o voltajes) poda considerarse compuesto* de tres conjuntos de vectoresequilibrados:

(i) Un sistema equilibrado**de tres corrientes de fase que tienen secuencia de fase positiva (o normal).stas se denominan componentes de secuencia de fase positiva.

(ii)

Un sistema equilibrado de tres corrientes de fase que tiene la secuencia de fase opuesta o negativa.stas se denominan componentes de secuencia de fase negativa.

(iii) Un sistema de tres corrientes de igual magnitud que tiene desfase igual a cero. stas se denominancomponentes de secuencia cero.

Las componentes de secuencia de fase positiva, negativa y cero se denominan componentes simtricas delsistema desequilibrado original. El trmino simtricas es apropiado porque el sistema trifsicodesequilibrado ha sido resuelto en tres conjuntos de componentes equilibradas (o simtricas). Generalmentese usan los subndices 1, 2 y 0 para indicar las componentes de secuencia positiva, negativa y cero,respectivamente. Por ejemplo, 0RI

indica la componente de secuencia cero de la corriente en la fase roja. En

forma similar, 1YI

implica la componente de secuencia positiva en la fase amarilla.

Ilustracin. Apliquemos ahora la teora de componentes simtricas a un sistema trifsico desequilibrado.Suponga una falla no simtrica en un sistema trifsico que tiene una secuencia RYB. De acuerdo con la teorade componentes simtricas, las corrientes desequilibradas resultantes RI

, YI

e BI

(vase la Fig. 2) puedenresolverse en:

Figura 2

(i) un sistema equilibrado de tres corrientes de fase, 1RI

, 1YI

e 1BI

, las cuales tienen secuencia de fasepositiva (esto es, RYB) como muestra la Fig. 3(i). stas son las componentes de secuencia positiva.

(ii) un sistema equilibrado de 3 corrientes de fase 2RI

, 2YI

e 2BI

, las cuales tienen secuencia de fasenegativa (esto es, RBY) como muestra la Fig. 3(ii). stas son las componentes de secuencia negativa.

(iii) un sistema de tres corrientes 0RI

, 0YI

e 0BI

iguales en magnitud con cero desfase entre ellas, comomuestra la Fig. 3(iii). stas son las componentes de secuencia cero.

La corriente en cualquier fase es igual a la suma vectorial de las corrientes de las secuencias positiva,negativa y cero en esa fase, como muestra la Fig. 4.

1 2 0

1 2 0

1 2 0

R R R R

Y Y Y Y

B B B B

I I I I

I I I I

I I I I

= + +

= + +

= + +

*Esto ha llegado a conocerse como la teora de componentes simtricas. sta es una teora general y es aplicable a cualquiersistema de tres vectores cuya resultante sea cero.

**Un sistema equilibrado de 3 corrientes de fase implica que tres corrientes son iguales en magnitud y estn desfasadas 120entre s.

Una secuencia de fase positiva significa que la secuencia de fase es la misma que la del sistema trifsico original.


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53

Figura 3

La corriente en cualquier fase es igual a la suma vectorial de las corrientes de las secuencias positiva,negativa y cero en esa fase, como muestra la Fig. 4.

1 2 0

1 2 0

1 2 0

R R R R

Y Y Y Y

B B B B

I I I I

I I I I

I I I I

= + +

= + +

= + +

Figura 4

Se deben sealar los puntos siguientes:

(i) Las corrientes de la secuencia de fase positiva ( )1 1 1, eR Y BI I I

, las de la secuencia negativa

( )2 2 2, eR Y BI I I

y las de la secuencia cero ( )0 0 0, eR Y BI I I

forman, por separado, sistemas

equilibrados de corrientes. Por esa razn, se denominan componentes simtricas del sistemadesequilibrado.

(ii) La teora de las componentes simtricas aplica igualmente a valores de fase y de lnea de corrientes yvoltajes trifsicos.

(iii) Las componentes simtricas no tienen existencias separadas. Slo son componentes matemticas decorrientes (o voltajes) no equilibradas que circulan libremente en el sistema.

(iv) En un sistema trifsico equilibrado, las corrientes de las secuencias negativa y cero son iguales a cero.Esto se demuestra en el Ejemplo 7.

3. El Operador a

Como la teora de las componentes simtricas involucra el concepto de desplazamiento de 120 en elconjunto de la secuencia positiva y en el de la secuencia negativa, es deseable desarrollar algn operador queproduzca una rotacin de 120. Con es propsito, se usa el operador a. ste se define as:

El operador a es uno que, al multiplicarlo por un vector, hace girar al vector 120 en la direccin contraria a lasagujas del reloj.

Considere un vector Irepresentado por OAen la Fig. 5. Si este vector es multiplicado por el operador a, elvector es rotado a travs de 120 en la direccin contraria a las agujas del reloj y toma la posicin OB:


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54

Figura 5

( )

( )

120

cos 120 sen 120

0.5 0.866

a I I

I j

I j

=

= +

= +

y, por tanto,0.5 0.866a j= + (i)

Si el vector que toma la posicin OBes multiplicado por el operador a, el vector es rotado 120 adicionalesen la direccin contraria a las agujas del reloj y toma la posicin OC:

( )

( )

2 240

cos 240 sen 240

0.5 0.866

a I I

I j

I j

=

= +

=

y, por tanto,2 0.5 0.866a j= (ii)

De modo que el operador a2 girar 240 al vector en la direccin contraria a las agujas del reloj. Esto es lomismo que girar el vector 240 en la direccin de las agujas del reloj; es decir,

2 120a I I=

En forma similar,

( )

3 360

cos 360 sen 360

a I I

I j

=

= +

o3 1a = (iii)

Propiedades del Operador a

(i) Si se suman las expresiones (i) y (ii), se obtiene

o21 0a a+ + =

(ii) Restando las expresin (i) de la expresin (ii), se obtiene

( ) ( )2 0.5 0.866 0.5 0.866 1.732a a j j j = + =

o2 3a a j =

( ) ( )2

0.5 0.866 0.5 0.866 1a a j j+ = + + =


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55

4. Componentes Simtricas en Trminos de las Corrientes de Fase

Las corrientes de fase desequilibradas en un sistema trifsico pueden expresarse en trminos decomponentes simtricas en la forma siguiente:

1 2 0

1 2 0

1 2 0

R R R R

Y Y Y Y

B B B B

I I I I

I I I I

I I I I

= + +

= + +

= + +

La Fig. 6 muestra la representacin fasorial de las componentes simtricas.

Figura 6

Usualmente tiene ventajas en los clculos si se expresan las componentes simtricas en trminos de lascorrientes de fase desequilibradas. Expresemos las componentes simtricas de la fase R en trminos de lascorrientes de fase , eR Y BI I I

. Con este propsito, exprese todas las componentes simtricas de Y y B entrminos de las componentes simtricas de la fase Rmediante el operador a, como se muestra en la Fig. 6.

Observe que el conjunto de la secuencia positiva mostrado en la Fig. 6( i) puede expresarse en trminos de

1RI

por medio del operador a. As, la corriente de secuencia positiva 1BI

en la fase Badelanta a 1RI

por

120 y, por tanto, 1 1B RI aI=

. En forma similar, la corriente de secuencia positiva en la fase Yadelanta a 1RI

por 240, de modo que 21 1Y RI a I=

. En exactamente la misma forma, el conjunto de secuencia negativa puede

expresarse en trminos de 2RI

por medio del operador a, como muestra la Fig. 6(ii). De la Fig. 6 est claroque

1 2 0R R R RI I I I = + +

(i)

1 2 02

1 2 0Y Y Y Y

R R R

I I I I

a I aI I

= + +

= + +

(ii)

1 2 0

21 2 0

B B B B

R R R

I I I I

aI a I I

= + +

= + +

(iii)

(i)

Corriente de secuencia cero. Sumando las expresiones (i), (ii) y (iii), obtenemos

( ) ( )2 21 2 0

1 2 0

1 1 3

(0) (0) 3R Y B R R R

R R R

I I I I a a I a a I

I I I

+ + = + + + + + +

= + +

de donde

( )013R R Y B

I I I I = + +

Como la fase roja se toma siempre como la fase de referencia, entonces usualmente se omite elsubndice Re


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56

( )01

3 R Y BI I I I = + +

(ii) Corriente de secuencia positiva. Multiplica la expresin (ii) por a y la (iii) por a2 y luego sume estasexpresiones a la expresin (i) para obtener

( ) ( ) ( )2 3 3 2 4 21 2 0

1 2 0 1

1 1 1

3 (0) (0) 3R Y B R R R

R R R R

I aI a I I a a I a a I a a

I I I I

+ + = + + + + + + + +

= + + =

de donde

( )2113R R Y B

I I aI a I = + +

Omitiendo el subndice R, se obtiene

( )2113 R Y B

I I aI a I = + +

(iii) Corriente de secuencia negativa. Multiplique la expresin (ii) por a2 y la expresin (iii) por a y

luego aada estas expresiones a (i), y se obtiene

( ) ( ) ( )2 4 2 3 3 21 2 0

1 2 0 3

1 1 1

(0) (3) (0) 3R Y B R R R

R R R R

I a I aI I a a I a a I a a

I I I I

+ + = + + + + + + + +

= + + =

de donde( )22

13R R Y B

I I a I aI = + +

o

( )2213 R Y B

I I a I aI = + +

Se deben observar los puntos siguientes con mucha atencin:

(i) Las corrientes 1 2 0, eI I I

son las componentes simtricas de la fase R. Debido a la simetra de cadaconjunto, las componentes simtricas de la fase amarilla y la fase azul se pueden determinarfcilmente.

(ii) Aunque el tratamiento se hizo considerando corrientes, el mtodo se aplica igualmente a voltajes. As

pues, las componentes simtricas del voltaje en la fase Ren trminos de los voltajes de fase sern

( )

( )

( )

0

21

20

131313

R Y B

R Y B

R Y B

E E E E

E E aE a E

E E a E aE

= + +

= + +

= + +

5. Algunos Hechos sobre las Corrientes de las Secuencias

Ahora es deseable que se conozcan los siguientes hechos sobre las corrientes de las secuencias de fasepositiva, negativa y cero:

(i) Un sistema trifsico equilibrado consiste solamente de componentes de secuencia positiva; lascomponentes de las secuencias negativa y cero son iguales a cero.

(ii) La presencia de las corrientes de las secuencias negativa o cero en un sistema trifsico introduceantisimetra e indica una condicin anormal del circuito en el cual se encuentran estas componentes.

(iii) La suma fasorial de las corrientes de las secuencias positiva y negativa de un sistema trifsicoequilibrado es cero. La resultante consiste nicamente de las tres componentes de secuencia cero, esdecir,

0 0 0Suma fasorial de todas las corrientes en sistema trifsico desequilibrado R Y BI I I= + +


57/150

57

(iv) En un sistema trifsico de 4 alambres, la magnitud de las componentes de secuencia cero es un terciode la corriente en el alambre neutro, es decir,

( )1

Corriente de secuencia cero corriente en alambre neutro3

=

En la ausencia de una trayectoria a travs del neutro de un sistema trifsico, la corriente neutra escero y las corrientes de lnea no contienen componentes de secuencia cero. Una carga conectada en deltano proporciona una trayectoria al neutro y las corrientes de lnea que fluyen hacia la carga conectada en delta no

contienen componentes de secuencia cero.

(v) En un sistema trifsico desequilibrado, la magnitud de las componentes de secuencia negativa nopuede exceder la de las componentes de secuencia positiva. Si las componentes de secuencia negativafuesen las mayores, la secuencia de fase del sistema resultante se invertira.

(vi) La corriente de una carga monofsica extrada desde un sistema trifsico comprende igualescomponentes de las secuencias positiva, negativa y cero.

Ejemplo 1.1. Demostrar que

(i)2

2

1 aa

a a

=

(ii)

22

2

11

1a

aa

=

+

Solucin.

(i)( )( )

( )( )

2 22

2

1 1 1 1 1 0

1a a a a a

a a aa a a aa a

+ += = = = + + =

(ii)( )( )

( )( )

2 2 2 32

2 32

1 1 11

1

a a a a a aa

aa aa a

+= = = =

+

Ejemplo 1.2. En un sistema trifsico de 4 hilos, las corrientes en las lneas R, Y y B bajo condiciones de cargaanormales son las siguientes:

100 30 A; 50 300 A; 30 180 AR Y BI I I= = =

Calcule las corrientes de las secuencias positiva, negativa y cero en la lnea R y la corriente de retorno en el alambreneutro.

Solucin. Sean 0 1 2, eI I I

las corrientes de las secuencias cero, positiva y negativa, respectivamente de la

corriente de lnea en la lnea roja. Entonces

[ ]

( ) ( ) ( )

( )

( )

0131

100 30 50 300 30 18031

86.60 50 25 43.3 30 031

81.6 6.73

27.2 2.23 27.29 4.68 A

R Y BI I I I

j j j

j

j

= + +

= + +

= + + + +

= +

= + =

[ ]

[ ]

21

131

100 30 1 120 50 300 1 120 30 18031

100 30 50 60 30 603

R Y BI I aI a I = + +

= + +

= + +


58/150

58

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 86.6 50 25 43.3 15 25.98

31

126.6 119.283

42.2 39.76 57.98 43.3 A

j j j

j

j

= + + + + +

= +

= + =

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( )

( )

22

131 100 30 1 120 50 300 1 120 30 18031

100 30 50 180 30 30031

86.6 50 50 0 15 25.9831

51.6 24.023

17.2 8 18.96 24.9 A

R Y BI I a I aI

j j j

j

j

= + +

= + +

= + +

= + + + +

= +

= + =

y la corriente en el alambre neutro es

81.6 6.7 81.87 4.7 AR Y BI I I j+ + = + =

Ejemplo 1.3. Las corrientes en un sistema trifsico desequilibrado son

( ) ( ) ( )12 6 A; 12 12 A; 15 10 AR Y BI j I j I j= + = =

La secuencia de fases es RYB. Calcular las componentes de secuencia cero, positiva y negativa de las corrientes.

Solucin.

Fase roja

La componente de secuencia cero es

( ) ( ) ( )

( ) ( )

013

1 12 6 12 12 15 1031

9 4 3 1.33 A3

R R Y BI I I I

j j j

j j

= + +

= + + + +

= + = +

La componente de secuencia positiva es

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

21

13

1 12 6 0.5 0.866 12 12 0.5 0.866 15 10

31

32.55 10.39 10.85 10.13 A3

R R Y BI I aI a I

j j j j j

j j

= + +

= + + + + +

= + = +

y la componente de secuencia negativa es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

21

13

1 12 6 0.5 0.866 12 12 0.5 0.866 15 10

31

5.55 16.41 1.85 5.47 A3

R R Y BI I a I aI

j j j j j

j j

= + +

= + + + + +

= =

Fase amarilla

La componente de secuencia cero es


59/150


60/150

60

Solucin.

0 1 2R R R RE E E E= + +

o

( ) 20 0.5 0.866 2 Rj E= + +

Por tanto, la componente de secuencia negativa en la fase Res2 0.5 0.866 1 60 VRE j= + =

En forma polar,

0 0.5 0.866 1 60 VRE j= =

Ahora,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

20 1 2

1 60 1 240 2 0 1 120 1 60

1 60 2 240 1 180

0.5 0.866 1 1.732 1 0

1.5 2.598

3 120 V

Y R R RE E a E aE

j j j

j

= + +

= + +

= + +

= + + +

=

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

20 1 2

1 60 1 120 2 0 1 240 1 60

1 60 2 120 1 300

0.5 0.866 1 1.732 0.5 0.866

0 V

B R R RE E aE a E

j j j

= + +

= + +

= + +

= + + +

=

Ejemplo 1.6 La corriente de la conexin del neutro a tierra es 12 A. Calcule las componentes de fase cero en las fases.

Solucin.Sabemos que las componentes de secuencia cero en todas las fases tienen el mismo valor y quecada componente es igual a un tercio de la corriente en el hilo neutro. Por tanto, la corriente de secuencia

cero en cada fase es igual a13

3 12 4 A = .

Ejemplo 1.7. Una carga equilibrada conectada en estrella demanda 90 Ade una fuente trifsica equilibrada de 4 hilos.Si se remueven los fusibles en las fases Y y B, determine las componentes simtricas de las corrientes de lnea (i) antesde remover los fusibles; (b) despus de remover los fusibles.

Solucin. La Fig. 7 muestra el sistema conectado en estrella con fusibles en las fases By Y.

Figura 7

(i) Antes de remover los fusibles. Antes de que los fusibles sean removidos de las lneas Yy B, el sistemaest equilibrado y la corriente en cada lnea es 90 A. Por tanto,


61/150

61

90 0 A; 90 240 A; 90 1

apuntes circuitos iii

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