apuntes de circuitos 1(v). cap 3. circuitos con c.a 86066

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Profersor: Jorge Gavilán León

1

CAPÍTULO 3

REDES CON

CORRIENTES

ALTERNAS

SINUSOIDALES




2

SEÑALES VARIABLES EN EL TIEMPO

Hasta aquí hemos tratado con circuitos sometidos a señales constantes en el

tiempo.

Bajo estas circunstancias el único elemento de circuito que tuvimos que

considerar fue la resistencia, puesto que las inductancias eran cortocircuitos

y las capacidades circuitos abiertos.

Veremos ahora que sucede cuando una red que contiene resistencias

inductancias y capacidades es sometida a señales variables en el tiempo

Recordemos las relaciones tensión-corriente de los elementos R, L, M y

C, para cualquier tipo de señal.

RESISTENCIA Ley de Ohm

INDUCTANCIA

)t(vGR

)t(v)t(i

)t(iR)t(v

dt

)t(diL)t(v

t

0

0Idt)t(vL

1)t(i

INDUCTANCIAS ACOPLADAS

dt

)t(diM

dt

)t(diL)t(v 21

11

dt

)t(diM

dt

)t(diL)t(v 12

22

CAPACIDAD

dt

)t(dvC)t(i

t

0

0Vdt)t(iC

1)t(v




3

)t(vdt

)t(diL)t(vidt

C

1iR 0C

t

t0

Se hace conveniente, entonces, encontrar

notaciones y métodos que nos simplifiquen la

tarea de solucionar estas ecuaciones.

Luego, cualquiera sea el método que usemos para solucionar un circuito,

deberemos plantear y resolver sistemas de ecuaciones integro-

diferenciales (Ecuaciones de Equilibrio).

Por ejemplo

La ecuación integro-diferencíal

fundamental del circuito serie es:

Hemos establecido que en cada elemento pasivo existe una relación

tensión-corriente.

Por lo tanto, si una de estas señales (v(t) o i(t) es aplicada a un elemento, la

otra variable se puede considerar como RESPUESTA y su forma de onda

dependerá del tipo particular de señal aplicada y la relación v(t), i(t)

específica del elemento de que se trate.

Por esto, se hace necesario conocer las características y propiedades de las

señales de interés en teoría de redes eléctricas.




4

SEÑALES Y FORMAS DE ONDA SEÑAL:

“Expresión analítica de una variable función del tiempo”

En teoría de redes:

f(t) puede ser una tensión v(t) o una corriente i(t)

FORMA DE ONDA:

“Representación gráfica de una señal”

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES

En forma simplificada, las señales se pueden clasificar como se indica a

continuación:

A.- CONSTANTES: Amplitud independiente del tiempo

Periódicas

Semiperiódicas

B) VARIABLES

Pseudoperiódicas

Aperiódicas

D) DISCRETAS: Su amplitud está definida sólo para algunos instantes de

tiempo




5

EJEMPLOS DE TIPOS DE SEÑALES

CONSTANTE PERIÓDICA PSEUDOPERIÓDICA

APERIÓDICA DISCRETA

SEÑALES APERIÓDICAS BÁSICA (Funciones singulares)

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: μ(t)

Definimos la función escalón unitario como una función del tiempo que es

nula para todos los valores de su argumentos que son menores que cero y

que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento.

La definición matemática concisa de la función forzada de escalón unitario

es:

0t1

0t0)t(u




6

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO DESPLAZADA : μ(t-t0)

La función escalón desplazada será:

Otros casos de la función desplazada:

La función escalón unitario es en sí misma adimensional. Si deseamos

representar una tensión, se requiere multiplicar u(t – t0) por alguna tensión

constante, como 5 V.

De tal modo, v(t) = 5u(t - 0.2) V constituye una fuente de tensión ideal que

es cero antes de t = 0.2 seg. y una constante de 5V después de t = 0.2 seg.

0

0

0tt1

tt0)tt(u




7

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

Modificar una señal

Ejemplo

La función pulso rectangular (Función Puerta)

Algunas funciones forzadas muy útiles se obtienen manipulando la función

forzada de escalón unitario.

Se define un pulso de tensión rectangular como:

Analicemos la diferencia de los dos escalones unitarios, u(t – t0) - u(t – t1).

1

100

0

0

tt0

tttV

tt0

)tt(v




8

Las dos funciones escalón se muestran en la figura a, su diferencia es un

pulso rectangular.

La fuente V0·u(t – t0) – V0·u(t – t1) que nos suministra la tensión deseada se

indica en la figura b

Ejemplo de aplicación

Si tenemos una fuente de tensión senoidal Vm sen ωt que se conecta de

manera repentina a una red en t = t0 , entonces una función forzada de

tensión apropiada sería v(t) = Vm · u(t – to) · sen ωt.

Si deseamos representar un estallido de energía del transmisor de un

automóvil controlado por radio que opera a 47 MHz (295 Mrad/s), se

podría desactivar la fuente senoidal de 1/10 μs después mediante una

segunda función forzada de escalón unitario.

El pulso de tensión es por tanto:

v(t) = Vm[u(t – t0) - u(t – t0 - 10-7

)] sen (295 x 1O6 t)

Esta función forzada se dibuja en la figura




9

Función Rampa Unitaria

Su expresión analítica se puede escribir empleando la función escalón:

r(t) = t∙u(t)

Una función rampa desplazada será:

r(t – t0) = (t – to)∙u(t – t0)

Una función rampa de pendiente A, será

f(t) = A∙r(t) = A∙t∙u(t)

Función Rampa Unitaria

Una función rampa modificada, es

0tt

0t0)t(r 0




10

LA FUNCIÓN IMPULSO: δ(t)

Consideremos una función rampa modificada, su derivada y el límite de

ésta cuando a → 0:

La función impulso unitario se define como una función δ(t), tal que:

A partir de esta definición se establecen las siguientes propiedades:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

En 5, 6 y 7: f(t) es función continua en el intervalo (0-, 0+); (a-, a+)

0tpara;)t(

0tpara;0)t(

1dt)t(

0

01dt)t(dt)t(

0

00dt)t(dt)t(

)t()t(

0)t(t

0

0dt)t()t(f)0(fdt)t()t(f

a

adt)at()t(f)a(fdt)at()t(f

)at()a(f)at()t(f




11

Relación entre u(t) y δ(t)

En esta figura se observa que cuando a → 0; fr(t) → u(t);

por lo tanto:

Además, si f(t) = u(t - a), entonces

La derivada de δ(t) se denomina “DOBLETE” y se denota por:

También se definen derivadas de orden superior, tales como: δ’’(t), δ

’’’(t) ,

etc.

)t(dt

)t(du)t(f

'

r

0alim

)at(dt

)at(du)t(f

'

dt

)t(d)t(

'




12

INTEGRAL Y DERIVADA DE UNA SEÑAL QUE PRESENTA

DISCONTINUIDADES

………………………………………………………………………………………………

La expresión analítica de la señal discontinua se puede expresar en la forma:

f(t) = 1[u(t+1) – u(t – 1)] +2,5[u(t

– 1) – u(t – 3)] + -1[u(t –

3) – u(t – 5)]

La expresión analítica de la

integral es:

Ejercicío: Demostrar

Señal discontinua

Su integral

Su derivada

)5t(u2)3t(u5)1t(u(2

)]5t(u)3t(u)[3t(

)]3t(u)1t(u)[1t(5,2)]1t(u)1t(u)[1t()t(ft




13

La expresión analítica de la derivada de la señal es:

f’(t) = δ(t + 1) +1,5δ(t – 1) – 3,5δ(t – 3) + δ(t – 5)

Ejercicío: Demostrar

NOTACIÓN OPERACIONAL DE LAS

ECUACIONES DE EQUILIBRIO Ya vimos que cualquiera sea el método que usemos para solucionar un

circuito, deberemos plantear y resolver sistemas de ecuaciones integro-

diferenciales (Ecuaciones de Equilibrio).

Se hace conveniente, entonces, encontrar notaciones y métodos que nos

simplifiquen la tarea de solucionar estas ecuaciones.

Uno de tales métodos, que nos permite plantear las ecuaciones de equilibrio

y transformarlas en ecuaciones algebraicas es el uso del los operadores

operacionales.

OPERADOR DERIVACIÓN (D) Sea f(t) una variable función del tiempo. Entonces:

………. etc. ……..

OPERADOR INTEGRACIÓN (1/D = D-1

)

dt

)t(fd)t(fD

dt

)t(fd)t(fD

22

t

0

1dt)t(f)t(fD)t(f

D

1




14

Relaciones tensión-corriente en forma operacional

Parámetros Operacionales

PARÁMETRO

Impedancia

Operacional

Admitancia

Operacional

vGi

iRv

)0(ivLD

1i

LDiv

2212

2111

DiLMDiv

MDiDiLv

CDvi

)0(viCD

1v

CD G

MD LD R

M C L R

CD

1

LD

1

D




15

IMPEDANCIA OPERACIONAL

EJEMPLO

Suponiendo condiciones iniciales

nulas, la ecuación integro-

diferencial de este circuito serie es:

Considerando parámetros operacionales

o bien

Donde Impedancia operacional

(1) La principal ventaja del empleo de los operadores D y D-1

, reside en

la simplicidad de escritura de las ecuaciones de equilibrio.

(2) Dentro de ciertas restricciones, los operadores D y D-1

pueden ser

tratados como entidades algebraicas. En la suma se cumplen las

propiedades conmutativa y asociativa. Lo mismo ocurre en la

multiplicación, en cuyo caso se agrega la propiedad distributiva.

Sin embargo, el operador D no es conmutativo respecto de una

función del tiempo:

5Dt = 5 ; tD5=0

(3) Empleando los conceptos de impedancia y admitancia operacional,

diversas redes pueden analizarse en forma simple, aplicando

conceptos similares a los empleados en las redes resistivas.

)t(vdt

diLidt

C

1iR

)t(vLDiiCD

1Ri

)t(viLDCD

1R

)t(vi)D(Z

LD

CD

1R)D(Z




16

EJEMPLO

En la red de la figura se desea

establecer la ecuación diferencial

que permita calcular la corriente

i(t).

Sean :

Considerando Z1(D) y Z2(D) en paralelo, la impedancia equivalente que ve

la fuente es:

Por lo tanto, simbólicamente

de donde la ecuación diferencial, en forma operacional es:

Desarrollando esta ecuación

Multiplicando ambos miembros por D y ordenando, se obtiene la ecuación

diferencial para i(t):

OTRO EJEMPLO

Determinar la ecuación

diferencial para la corriente i2

CD

1R)D(Z;LDR)D(Z 2211

)D(Z)D(Z

)D(Z)D(Z)D(Z

21

21

)t(v)D(Z)D(Z

)D(Z)D(Z

)D(Z

)t(v)t(i

21

21

)t(v)D(Z)D(Z)t(i)D(Z)D(Z 2121

)t(vCD

1LDRR)t(i

CD

1RLDR 2121

)t(vC

1DRRLD)t(i

C

RD

C

LRRLDR 21

2121

2

2




17

Convirtiendo al dominio D

Aplicando la LKV

1∙D

Despejando i2

Reordenando

Luego, la ecuación diferencial para i2 es

………………………………………………………………………………………………..

UN ÚLTIMO EJEMPLO

Determinar la ecuación

diferencial para el voltaje v

Resultado:

……………………………………………………………………………………………….

1∙D

f211 v)ii(Di2

0)ii(DDii3 1222

6D7D

Dvi

2

f

2

f2

2Dvi)6D7D(

dt

dvi6

dt

di7

dt

id f

22

2

2

2

TAREA. Desarrolle el problema

f

32v)1000D(v)101001D1001D(




18

SEÑALES ALTERNAS SINUSOIDALES

Una tensión alterna es aquella cuyo valor varía con el tiempo de forma

periódica y cuya polaridad cambia continuamente a una frecuencia

específica.

Frecuentemente, la variación es sinusoidal, aunque también se encuentran

otras formas de ondas.

TENSIONES Y CORRIENTES SINUSOIDALES

Frecuencia:

Número de ciclos por

segundo

Período:

Tiempo de duración de un

ciclo

Un ciclo completo comprende 2π radianes eléctricos o 360 grados

eléctricos.

ω es la velocidad angular y se expresa en radianes eléctricos por segundo

Entonces

En general, el origen puede elegirse arbitrariamente en cualquier punto de

la onda y se selecciona, para mayor conveniencia, según el problema

específico de que se trate.

.segf

1T

tsenImi

f2T

2

tT

2senImft2senImtsenImi




19

En muchos circuitos, las ondas de corriente y de tensión no pasan por cero

al mismo tiempo, sino que se encuentran desplazadas una de otra por un

ángulo o diferencia de fase.

e = Em sen (ωt + α)

i = Im sen (ωt + β)

Desfase:

Podemos decir que i atrasa a v en el ángulo Φ; i = Im sen (ωt + α – Φ)

Radianes o grados:

e = 155 sen (377t + 30°)

FASOR DE UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL

Sea v(t) = Vm cos(ωt + α) (1)

Empleando la ecuación de Euler

Vm e j(ωt + α)

= Vm cos(ωt + α) + j Vm sen(ωt + α)

la ecuación (1) se puede escribir

6t377sen155e




20

v(t) = Re { Vm e j(ωt + α)

}

v(t) = Re { Vm e jα

e jωt

}

v(t) = Re { Vm e jωt

}

Donde Vm= Vm e jα

= Es el FASOR de v(t)

El Fasor es una cantidad compleja, siendo su magnitud y ángulo de

fase los de la función sinusoidal (no contiene a ω).

El Fasor es un vector que rota a una velocidad angular ω

Vm




21

Por otra parte, a través del elemento que se

muestra circulará una corriente

i(t) = Im cos(ωt - φ)

y su fasor será Im = Im e-jφ = Im -φ

Para que las posiciones relativas de los fasores mostrados en el

plano complejo (Diagrama Fasorial), sean coherentes, todas las

variables (tensiones y corrientes) se deben expresar como

funciones coseno o todas como funciones seno y, además, deben

tener la misma frecuencia angular.

Un teorema básico sobre funciones sinusoidales establece que:

“La suma algebraica de cualquier número de funciones

sinusoidales de la misma frecuencia angular ω y cualquier

número de sus derivadas e integrales, es también una función

sinusoidal de la misma frecuencia angular”.

Por lo tanto

El Fasor de una suma de funciones sinusoidales, será la suma (fasorial) de

los fasores de cada componente




22

OPERACIONES CON FASORES

LA MULTIPLICACIÓN

LA DIVISIÓN

Para sumar (restar) fasores, deben convertirse a su notación compleja,

sumarse (restarse) como números complejos y el resultado convertirlo

a su notación polar.

Conversión de número complejo a polar

Conversión de número polar a complejo

A la inversa

Por lo tanto

BABA BABABA

BA

B

A

B

A

B

A

B

A

AajaA 21

2

2

.2

1 aaA

A

aarccos

A

aarcsen

a

agarctan 12

1

2

senAa

cosAa

2

1

SenjCosAAajaA 21




23

)t(vVm

Vm)t(v

Operaciones con Números Complejos

MULTIPLICACION

(a1 + ja2)(b1 +j b2) = (a1 b1 - a2 b2 ) + j (a1b2 + a2b1)

DIVISION

Por racionalización: multiplicando numerador y denominador por el

conjugado del denominador.

LA TRANSFORMADA FASOR

El proceso

Se puede considerar como un par de transformadas

Observación: Cuando la variable ( v(t), i(t) ) se expresan como función

Seno

2

2

2

1

1221

2

2

2

1

2211

21

21

21

21

21

21

bb

babaj

bb

baba

bjb

bjb

bjb

aja

bjb

aja

InversadaTransforma)t(vVm

DirectadaTransformaVmv(t)

1-Fa

Fa

tjeVm)t(vVm

Im1-Fa




24

Transformada Fasor de una Derivada

Sea v(t) = Vm cos(ωt + α)

Luego

En forma similar se puede establecer que:

Transformada Fasor de una Integral

Sea v(t) = Vm cos(ωt + α)

Luego

)t(senVmdt

)t(dv)t('v

)90tcos(Vm)t('v

90jj)90(jeeVmeVm(t)v'

Fa

Vmj(t)v' Fa

Vm)j((t)vnn Fa

)t(senVm

dt)tcos(Vm

)90tcos(Vm

90jj)90(j

eeVm

eVm

v(t)dt

Fa

j

Vmdtv(t)

Fa




25

CIRCUITO RESISTIVO PURO

Por la ley de Ohm e(t)= R i(t) = R Im

cos(ωt + α)

Fasorialmente

En los circuitos resistivos, la tensión y la

corriente se hallan, evidentemente, en fase.

Corrientes y Tensiones Eficaces o R. C. M.

Con una corriente continua de I amperios, la energía disipada como calor en

una resistencia es constante, independiente del tiempo, e igual a I2R.

Para una corriente i que varía periódicamente con el tiempo, la pérdida de

energía es i2R, siendo tal pérdida función del tiempo.

Si se comparan los efectos de calentamiento de una corriente periódica y

una corriente continua, deberá considerarse la energía media de

calentamiento de la corriente periódica.

La energía consumida en un ciclo de corriente es

ImRImRVm

TRIdtRiT

0

22




26

La corriente periódica que producirá los mismos efectos que la corriente

continua I, debe ser, evidentemente,

Una expresión similar, con las corrientes reemplazadas por tensiones, es el

valor eficaz de una tensión periódica.

Los valores eficaces se conocen también como valores r.c.m. (abreviatura

de raíz-cuadrada-media).

El valor eficaz de una corriente sinusoidal es

A causa dcl gran uso que se hace de los valores eficaces, generalmente se

omite el subíndice ef

VR = RI

donde VR e I son los valores eficaces de la tensión y de la corriente.

Los valores eficaces o r.c.m., son también apropiados para tensiones y

corrientes periódicas no sinusoidales.

CIRCUITO INDUCTIVO PURO

La tensión en L es:

Fasorialmente

ampsdtiT

1I

T

0

2

ef

2

Imdt

T

t2senIm

T

1I

T

0

22

ef

)t(LDidt

diL)t(v

ImLjImLjVm

A XL = ωL se le conoce como Reactancia

Inductiva medida en ohms

ImXjVm L




27

En una inductancia, la tensión adelanta a la corriente en 90°

La figura muestra la curva de reactancia en función de la frecuencia, para

una inductancia constante, así como la curva de respuesta de corriente de

una inductancia constante a una tensión constante de frecuencia variable.




28

CIRCUITO CAPACITIVO PURO

La tensión en C es:

Fasorialmente

En una capacidad, la tensión atrasa a la corriente en 90°

En la figura se muestran la curva de reactancia en función de la frecuencia

para una capacidad constante, y la respuesta de corriente de una capacidad

constante a una tensión constante de frecuencia variable.

)t(iCD

1dt)t(i

C

1)t(v

ImC

1jIm

Cj

1Vm

A XC = 1/ωC se le conoce como Reactancia

Capacitiva y se mide en ohms

ImXjVm C




29

MÉTODO FASOR - APLICACIONES

El empleo del concepto Fasor de variables sinusoidales en el análisis de

redes en régimen permanente sinusoidal, constituye lo que se denomina

“Método Fasor”.

Para aplicarlo se puede optar, en principio, por una de las siguientes

alternativas:

a) Aplicar la transformada fasor directamente a la ecuación diferencial de la

variable de interés.

b) Transformar la red, del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia

compleja (jω ), en adelante, “Dominio Fasor”.

(Desde un punto de vista práctico, esta alternativa es la más

conveniente)

Para introducir algunos conceptos básicos, inicialmente emplearemos la

alternatica (a).

Consideremos el circuito R-L-C, en

serie excitado por una tensión

sinusoidal

Aplicando la LKT

Puesto que la tensión aplicada es sinusoidal, la corriente de régimen

permanente también lo será.

i(t) = Im cos(ωt +φ )

Sean

tcosVm)t(v)t(LDi)t(iCD

1)t(Ri

Im)t(i

0VmVmv(t)

Fa

Fa




30

Aplicando la transformada Fasor a la ecuación de equilibrio:

o bien

Impedancia compleja

luego

Diagramas Fasoriales

……………………………………………………………………………………………..

En el ejemplo anterior hemos visto que:

que es la ley de Ohm, en redes en régimen permanente sinusoidal.

Donde es la Impedancia medida en ohms

De (1)

VmImLjImCj

1ImR

VmImLj

C

1jR

ZLjC

1jRZ

ImZVm

)1(ImZVm

Z

Z

Vm

Z

0Vm

Z

VmIm




31

El valor instantáneo de la corriente es:

Por otra parte, de

Donde Admitancia Compleja

Con G: Conductancia

B: Suceptancia

Finalmente:

El valor efectivo del fasor corriente es:

TRANSFORMACIÓN DE UNA RED AL DOMINIO FASOR

Este método es el más conveniente, desde un punto de vista práctico.

RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE EN EL DOMINIO FASOR

Teniendo presente las relaciones básicas en el dominio del tiempo y el

concepto de transformada fasor, resultan inmediatas las siguientes

relaciones:

)tcos(Z

Vm)tcos(Imti

eImeImtitj

R1-Fa

ImZVm

VmY

Z

VmIm

jBG

Z

1Y

I2

Im

2

ImI




32

IRV

VGI

ILjV

VLj

1I

ICj

1V

VCjI

RESISTOR

INDUCTOR

CAPACITOR

PAR DE INDUCTORES ACOPLADOS

2111 IMjILjV

2212 ILjIMjV

o bien

222

112

2

212

111

1

Vj

Vj

I

Vj

Vj

I

PARÁMETROS EN EL DOMINIO FASOR

G

Admitancia

R

Impedancia

M

C

L

R

Parámetro Parám

Dominio Fasor

LjCj

1

Mj

Lj

1

Cj

j

MutuaciatanacReXM

CapacitivaciatanacReXC

1

InductivaciatanacReXL

M

C

L

MutuaciatanSuscepBM

1

CapacitivaciatanSuscepBC

InductivaciatanSuscepBL

1

M

C

L




33

LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FASOR

LKT

LKC

COMBINACIONES DE IMPEDANCIAS

IMPEDANCIAS EN SERIE

Luego, la impedancia equivalente que ve la fuente es:

IMPEDANCIAS EN PARALELO

Aplicando LKC

Luego, la admitancia equivalente que ve la fuente es:

Además

lazounen0Vn

1K

K

nudounen0Im

1q

q

Aplicando LKT

IZZZV

VVVV

N21

N21

N21eq ZZZZ

V)YYY(I

V

Z

1

Z

1

Z

1I

IIII

N21

N21

N21

N21eq YYYY

N21eq Z

1

Z

1

Z

1

Z

1




34

EJEMPLO (Método de las mallas)

Con v(t) = 80 sen 100t. Calcular las corrientes eficaces en cada una de las

ramas

Solución:

Primero transformamos la red al dominio fasor, definimos las corrientes de

malla y planteamos las ecuaciones de equilibrio.

Resolviendo este sistema de ecuaciones se llega a:

Rama (5-1)

Rama (1-6)

Rama (1-4-6)

A3,72,57I0

0Im5j10Im2j4

080Im2j4Im2j6

21

21

A7,5063,5Im

A4,207,14Im

2

1

A7,5098,32

ImI

A2,2520,82

ImImI

A4,295,92

ImI

2146

2116

151




35

Ejemplo

Un feeder de distribución de corriente alterna a 50 c.p.s., alimenta a un

motor de inducción, a un motor síncrono y a una carga de calefacción,

todos en paralelo. El motor de inducción toma una corriente I1 de 30,0

amps, con un retardo de fase de 35º con respecto a la tensión aplicada; el

motor síncrono toma una corriente I2 de 20,0 amps adelantando a la tensión

en 30º; y la carga de calefacción toma una corriente I3 de 15,0 amps en fase

con la tensión. Determinar la corriente I0 en el alimentador.

Además

………………………………………………………………………………………………

3,17j6,24º35sen30jº35cos303530I1

0,10j3,17º30sen20jº30cos203020I2

0j0,15º0sen15jº0cos15015I3

A3,7j9,56IIII 3210

amps2,573,79,56I22

0

º3,79,56

3,7tgarc

º3,7t502sen22,57)t(i0 A3,72,57I0




36

REDUCCION DE LA RED

Ejemplo

En la Figura R3 y X3 constituyen el circuito equivalente de un alimentador

de distribución, mientras que las dos ramas en paralelo representan dos

cargas, respectivamente.

Para una tensión aplicada de 230 volts a 50 c.p.s., calcular la corriente I a la

entrada del alimentador, la tensión sobre la carga y la corriente en cada

carga

Solución

Las impedancias de carga son:

Luego la impedancia

equivalente es

El circuito serie equivalente es

Con la tensión aplicada como

referencia, la corriente es

1,53j10Z

7,37j20Z

2

1

3,11j8,67Zeq

amps2,1218,3

3,114j8,673

0j230I




37

La tensión sobre la carga es:

De otra forma, multiplicando I por Zeq se tiene

Las corrientes de las cargas 1 y 2 son

………………………………………………………………………………………………...

“En general, cualquier número de impedancias puede conectarse

indistintamente con combinaciones en serie o en paralelo”

“Se pueden reducir a circuitos sencillos en serie, sustituyendo las

impedancias en paralelo por sus impedancias equivalentes”

“Si se considera necesario, podría utilizarse la transformación Estrella-

Triángulo”

En este caso, se puede demostrar que las ecuaciones para resistencias (Cap.

1) son válidas para C.A. reemplazando las resistencias por impedancias

REDES DE FUENTES MULTIPLES Ejemplo

Encontrar la tensión EL usando el TEOREMA DE THEVENIN

4j3*2,1218,30230EL

volts7,2218EL

3,11j8,67*2,1218,3EL

volts7,2218EL

amps8,6411,57,37j20

7,2218

Z

EI

1

L

1

amps7,7603,41,53j10

7,2218I 2




38

1° Desconectar carga en estudio

Calcular E0 = ETH

0

0 1,0454E

2° Cortocircuitar las fuentes para cálcular ZTH

0

TH 4,508,0Z

3° Circuito Equivalente de

Thévenin

En general, se puede demostrar que todos los métodos aprendidos para

solucionar circuitos con corriente continua, son también aplicables a la

resolución de circuitos con corriente alterna.

Para ello debemos considerar la impedancia como elemento de circuito

Particularmente podemos usar:

- Transformación de fuentes

- División de tensión y de corriente

- Reducción de redes con combinaciones serie-paralelo y

transformación estrella-triángulo.




39

- Principio de superposición

- Teoremas de Thévenin y Norton

- Métodos de los Nudos y de las Mallas

ARMONICOS. SERIE DE FOURIER

Una onda periódica no sinusoidal puede descomponerse en sinusoides

usando la serie de Fourier

Por ejemplo

Onda rectangular

Onda triangular

33m22m11m0 t3senEt2senEtsenEEe

t5sen

5

Et3sen

3

EtsenE

4e mm

m

t5sen

5

Et3sen

3

EtsenE

8e

2

m

2

mm2




40




41

REDES CON CORRIENTE

ALTERNA

RESPUESTA EN POTENCIA

POTENCIA ACTIVA Y POTENCIA REACTIVA

Consideremos

La corriente resultante es

La potencia instantánea suministrada a la red por la fuente es

Las ondas son...

tsenE2e

tsenI2i

tsenI2tsenE2)t(i)t(e)t(p




42

La utilidad práctica de las corrientes y tensiones alternas como

conductoras de energía se basa en el hecho de que el valor medio de su

potencia no es cero.

Mediante transformaciones, la ecuación de la potencia instantánea queda

La potencia media es

El valor medio de cos 2ωt y de sen 2ωt en un período es cero, luego, la

potencia media P suministrada al circuito es

De los tres elementos presentes en el circuito general RLC, únicamente la

resistencia absorbe una cantidad de energía neta, o sea, una potencia

media definida.

La potencia instantánea tomada por la resistencia es

Al tomar la potencia media

La inductancia y la capacidad afectan a la potencia instantánea, pero no

contribuyen a la potencia media.

En efecto:

Para una Inductancia

t2sensenIEt2cos1cosIE)t(p

dt}t2sensenIEt2cos1cosIE{T

1P

T

0

cosIEP

wattst2cos1RI

tsenRI2tsenI2

Riieip

2

RR

RIP2

R

dt}t2cos1RI{T

1P

2T

0R

t2senXI

tcosIL2tsenI2

dt

diLieip

L

2

LX




43

La potencia media tomada por la inductancia será

Para una capacidad

La potencia media tomada por la capacidad será

La potencia instantánea pX para un circuito inductivo se muestra por la

curva de puntos y rayas de la figura

La suma de la curva de pR y de pX nos da la potencia instantánea total p.

t2senXI

tcosIC

12tsenI2

dtiC

1ieip

C

2

CX

0dt}t2senXI{T

1P L

2T

0X

0dt}t2senXI{T

1P C

2T

0X




44

La oscilación de energía indicada por la curva pX representa un efecto poco

deseable para lograr una transferencia neta de energía, ya que, sin contribuir

en absoluto a dicha transferencia, representa en el equipo una carga igual

que si lo hiciese.

La magnitud de la oscilación de la potencia es

y es llamada Potencia Reactiva.

Proporciona una medida adecuada de dicho efecto poco deseable y se mide

en Voltamperes Reactivos.

FACTOR DE POTENCIA Y VOLTAMPERES

Cos = Factor de Potencia

Sen = Factor Reactivo

P = (EI) Cos Potencia Activa (Watts)

Q = (EI) Sen Potencia Reactiva (VAR)

S = (EI) Potencia Aparente (VA)

Un circuito en el que la corriente retrasa a la tensión (inductivo), se dice

que el factor de potencia es de retardo.

POTENCIA COMPLEJA

Es posible calcular las potencias activa, reactiva y aparente, en forma

simple, efectuando el producto del fasor tensión por el conjugado del fasor

corriente.

Si e

senIEXIQ2

EIcossenEIQPS22222

IdeConjugadoIdondeIVS

II

0VV




45

entonces

o bien

TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DE LA POTENCIA

COMPLEJA

Este teorema se deduce a partir de un teorema más general, denominado

“TEOREMA DE TELLENGEN”

Todas las fuentes: independientes y de igual frecuencia

El teorema establece:

“La suma de la potencia compleja suministrada por cada fuente

independiente a la red, es igual a la suma de las potencias complejas

recibidas por todas las ramas pasivas”

Sean: potencia compleja suministrada por la fuente K

potencia compleja recibida por una rama R

Entonces se cumple que:

o bien

senjVIcosVIVIS

jQPS

KS

RS

M

1R

R

N

1K

K SS

M

1R

RR

N

1K

KK jQPjQP




46

de donde:

EJEMPLO DE APLICACIÓN

PARTE 1 (Carga especificada como impedancia)

a) Potencia absorbida por la carga

a.1)

M

1R

R

N

1K

K

M

1R

R

N

1K

K

QQ

PP

2167,5

0220

Z

VI

C

b

A21801,38I

kW97,7P

21cos801,38220P

cosIVP

C

C

bC

kVAR059,3Q

21sen801,38220Q

senIVQ

C

C

bC




47

a.2) Usando Potencia Compleja

b) Potencia “perdida” en la línea

donde RLI2 = PRL Potencia efectiva disipada en la resistencia de la línea

XLI2 = QR Potencia reactiva absorbida por la reactancia de la línea

Evaluando

La fuente deberá suministrar una potencia compleja igual a:

Finalmente:

La tensión en los terminales de la fuente, debe ser:

2

LLLL IZIIZIVS

2

L

2

L

2

LLL IjXIRIjXRS

VAR331,90801,3806,0Q

W655,451801,383,0P

2

RL

2

RL

)331,90j655,451()108,3059j248,7969(SSS LCFUENTE

KVA149,3j421,8S FUENTE

21801,3806,0j3,00220IZVV Lba

V9,126,229Va

kVA059,3j969,7S

2122,8536S

21801,380220IVS

C

C

bC




48

PARTE 2 (Carga especificada como Potencia)

Se tiene el mismo sistema anterior

Para calcular la corriente:

De los datos φ = 21,57°

Entonces

( El resto de los cálculos se realiza como en la PARTE 1 )

CORRECCION DEL FACTOR DE POTENCIA

La carga industrial ordinaria en un sistema de distribución de energía

funciona con un factor de potencia de retardo, que en muchos casos, es lo

suficientemente bajo para que su aumento resulte justificable

económicamente.

b

bC

V

SIIVS

57,21536,8SC

57,21801,380220

57,21536,8I




49

Dicho aumento o corrección del factor de potencia se efectúa conectando

una batería de condensadores en paralelo con la carga, determinándose el

tamaño de forma que el factor de potencia de la combinación paralelo

alcance el valor deseado.

Para este efecto los condensadores se especifican en kilovoltamperes

reactivos.

Recordemos que P = VI cos φ

cos φ = Factor de potencia (FP)

Si I atrasa a V entonce FP se denomina INDUCTIVO

Si I adelanta a V entonce FP se denomina CAPACITIVO

Por otra parte, en el triángulo de potencias:

P = VI cos φ

Q = VI sen φ

tg φ = Q/P

EJEMPLO BÁSICO

Consideremos nuevamente el ejemplo anterior

Para cos φ = 0,93 se tenía :

La potencia efectiva perdida en la línea :

P

Qarctg

A57,21800,38I

W655,451RIP2

L




50

La potencia aparente que debía suministrar la fuente

Si el factor de potencia de la carga es menor, por ejemplo 0,8, manteniendo

la misma potencia efectiva PC = 7,969 kw, se tiene

Para cos φ = 0,93 φ = 21,57°

Para cos φ = 0,8 φ = 36,87°

En la carga

En la línea

La nueva potencia aparente que debe ser suministrada por la fuente, será:

RESUMEN .- Para una misma potencia efectiva en la carga

Disminuye 26,5%

Disminuye 19,8%

kva9991,8149,3j421,8SF

A57,21800,38I

W655,451RIP2

L

kva9991,8149,3j421,8SF

A87,36278,458,0220

10965,7IcosIVP

3

bC

kw615,0RIP2

L

vark230,1IXQ2

LL

kva208,11SF

vark977,5senVIQC

8,991 kva 11,208 kva SF

0,452 kw

0,615 kw RI2 = PL

38,800 A 42,278 A I

cos φ = 0,93 cos φ = 0,8




51

CONCLUSIÓN

Por lo tanto, si la carga tenía, originalmente, un cos φ = 0,8 y por algún

medio se mejora al valor cos φ = 0,93, se obtienen los beneficios señalados

en la tabla anterior; es decir: disminuye la potencia perdida en la línea y la

potencia aparente que debe suministrar la fuente

La forma básica de “mejorar” el factor de potencia consiste en conectar un

condensador en paralelo con la carga

El efecto del condensador se

El efecto del condensador se puede visualizar analizando las corrientes o las

potencias asociadas al conjunto “condensador-carga”.

Del triángulo de potencias se obtiene

de donde

Por otra parte

luego

P

Qtg

P

Q

P

Q

P

QQtg CCC

n

nC tgtgPQ

2

C

22

C

C

2

CCC CVX

V

X

VXIXQ

2

n

2

C

V

tgtgP

V

QC




52

REDES TRIFÁSICAS




53

REDES TRIFÁSICAS

Es un tipo particular de redes denominadas “POLIFÁSICAS”

En una red polifásica las fuentes producen tensiones de igual ω y con

diferentes ángulos de fases: α = 2π/n (donde n es N° de fases)

En la práctica se emplean redes:

- Monofásicas

- Bifásicas

- Trifásicas

- Hexafásicas

Para la generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica, las

redes más empleadas son las Redes Trifásicas..

Una red trifásica es una red excitada por fuentes de tensión trifásicas y

presenta una estructura simétrica, en general, que permite analizarla

descomponiéndola en tres partes separadas, cada una llamada “una fase”.

Las redes trifásicas presentan ventajas técnicas y económicas, para la

generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica.

Las fuentes trifásicas son, en la práctica, máquinas eléctricas rotatorias,

denominadas GENERADORES o ALTERNADORES, cuyo principio de

funcionamiento, análisis teórico y características constructivas, se

estudiarán posteriormente en otras asignaturas.

Generación de Tensiones Trifásicas




54

Hay tres bobinas, aa’, bb’ y cc’, llamadas fases. Sus ejes se hallan

desplazados mutuamente en 120º

Las tres ondas se encuentran desplazadas en 120º eléctricos en el tiempo,

como resultado del desplazamiento espacial entre fases.

Existen dos posibilidades para la

utilización de las tensiones generadas

1.- Las tres fases pueden conectarse a

tres sistemas monofásicos

independientes, o bien

2.- Las tres fases pueden interconectarse

y utilizarse para alimentar un

sistema trifásico. (Este es el

utilizado casi exclusivamente)

Las fases están equilibradas




55

PARA CONEXIÓN EN Y

Las tensiones trifásicas son:

Eoa Eob y Eoc , llamadas tensiones

de fase, o, entre fase y neutro

Eab Ebc y Eca , llamadas tensiones

de linea, o, entre fase y fase

Según la ley de tensiones de

Kirchhoff, la tensión de linea Eab es

Eab = Eao + Eob = - Eoa + Eob

Análogamente

Evidentemente para conexión en Y, las

corrientes de línea son iguales a las

corrientes de fase.

º30E3 ob

º30E3E

º30E3E

oaca

ocbc




56

PARA CONEXIÓN EN Δ

Evidentemente las tensiones de línea

son iguales a las tensiones de fase

Según la ley de corrientes de Kirchhoff

la corriente de linea IaA es

IaA = Iba + Ica = -Iab + Ica

Análogamente

POTENCIAS EN REDES TRIFÁSICAS

POTENCIA EN REDES EQUILIBRADAS

Sobre la base de las consideraciones de tipo monofásico, la potencia media por

fase Pp, tanto para el sistema en Y o en Δ es:

Pp = Ep Ip cos =Ip2 Rp

º30I3 ca

º30I3I

º30I3I

bccC

abbB




57

donde, Ep, Ip y Rp son la tensión, la corriente y la resistencia, respectivamente,

todas ellas por fase y es el ángulo entre la tensión de fase y la corriente de fase.

La potencia trifásica total es P = 3 Pp

Análogamente, para la potencia reactiva por fase Qp y la potencia reactiva

trifásica total Q:

Qp = Ep Ip sen =Ip2 Xp

Q = 3 Qp

Los Voltamperes por fase (VA)p y los voltamperes trifásico totales VA son:

(VA)p = Ep Ip = Ip2 Zp

y VA = 3 (VA)p

Al igual que en el caso monofásico viene dado por:

El factor de potencia del sistema trifásico equilibrado es igual, por lo tanto, al de

cualquier fase y el triángulo de impedancias se construye con las constantes de

fase.

Por otra parte, el triángulo de voltamperes puede construirse para una fase o para

las tres fases.

p

p

p

p

p

p

Z

XarcSen

Z

RarcCos

R

Xarctg




58

MEDICIÓN DE LA POTENCIA EFECTIVA

Se emplea un instrumento denominado Wáttmetro

El wáttmetro consta de dos circuitos:

- Uno, denominado “CIRCUITO DE POTENCIAL”, de alta

impedancia, que se conecta a la tensión aplicada a la carga que se

va a medir.

- El otro denominado “CIRCUITO DE CORRIENTE”, de muy

baja impedancia, que es recorrido por la corriente que circula por

la carga.

* En términos de valores instantáneos, el instrumento está diseñado de

modo que efectúa el producto de la tensión v(t), aplicada al circuito de

potencial, por la corriente que circula por su circuito de corriente i(t) e

indica el valor medio de este producto en un período completo.

* En términos de valores efectivos, su lectura corresponde al producto de la

tensión V aplicada a su circuito de potencial, por la corriente que circula

por su circuito de corriente y por el coseno del ángulo entre dicha tensión

y la corriente: (V I cos φ).




59

MEDICIÓN DE LA POTENCIA TRIFÁSICA

El método más empleado es el denominado “MÉTODO DE LOS DOS

WATTMETROS”

BASE TEÓRICA

Consideremos el siguiente esquema:

La potencia efectiva absorbida por la carga, supuesta en general

DESEQUILIBRADA, está definida por:

La lectura indicada por los tres wáttmetros: Wa + Wb + Wc, será

Pero:

Reemplazando en Pw3Φ y ordenando:

dt)iviviv(T

1P cncnbnbn

T

0anan3

T

0ccobboaao3 dt)iviviv(

T

1Pw

cncoc

bnbob

anaoa

iii

iii

iii

nocnco

nobnbo

noanao

vvv

vvv

vvv




60

0

La segunda integral representa la potencia absorbida en los tres circuitos de

potencia de los wáttmetros, la que, de acuerdo a sus características

constructivas, se puede considerar igual a cero.

Por lo tanto

MÉTODO DE LOS DOS WÁTTMETROS

Esta conclusión; es decir, que la lectura de los wáttmetros, es igual a la

potencia absorbida por la carga, es independiente del potencial del del nudo

o. por lo tanto, nada impide que este nudo se conecte a cualquiera de las

fases; por ejemplo, a la fase (b)

En este caso, la lectura Wb = 0, debido a que

vbo = 0.

En estas condiciones el wáttmetro Wb puede

ser omitido y la lectura Wa + Wb indicará la

potencia total de la carga.

T

0cnbnanno

T

0cocnbobnaoan

T

0cncnbnbnanan3

dt)iii(vT

1

dt)iviviv(T

1

dt)iviviv(T

1Pw

33 PPw

ca3 PwPwP




61

Es importante destacar que la lectura de los wáttmetros corresponderá a la

potencia de la carga, sea esta EQUILIBRADA o DESEQUILIBRADA.

Esté conectada en ESTRELLA o EN TRIÁNGULO.

En el caso particular de una carga trifásica equilibrada, es posible visualizar

la influencia del factor de potencia (cos φ), en la lectura de cada wáttmetro

en particular.

Para este efecto, resulta conveniente establecer el diagrama fasorial,

correspondiente a la conexión indicada en el diagrama

Las potencias medidas por los

Wáttmetros serán:

Haciendo:

Entonces

Si φ = 60° : Carga Inductiva (corriente en atraso). Pwa = 0

Si φ = - 60° : Carga Capacitiva (corriente en adelanto). Pwc = 0

Cuando la carga es equilibrada, la lectura de los dos wáttmetros permite,

adicionalmente:

* Determinar la potencia reactiva

* Determinar el factor de potencia de la carga

Recordemos que:

Considérese la diferencia de estas ecuaciones

)30cos(IVPw

)30cos(IVPw

ccbc

aaba

IIII

VVV

cba

Lcbab

)30cos(IVPw

)30cos(IVPw

Lc

La

)30cos(IVPw

)30cos(IVPw

Lc

La




62

Por otra parte

Luego, reemplazando:

FIN

CAPÍTULO

)30cos()30cos(IVPwPw Lac

ac3

3

L

PwPw3Qdonde

3

QsenIV

3

3

P

Qtg

ac

ac

PwPw

)PwPw(3tg

apuntes de circuitos 1(v). cap 3. circuitos con c.a 86066

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