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Capítulo 6 Dinámica y estática

157

6 DINÁMICA Y ESTÁTICA 6.1. Introducción

En capítulos anteriores se ha descrito

cómo se caracteriza el movimiento en

términos de la posición, velocidad y la

aceleración. Ahora se responderá por qué los objetos se mueven en la forma

en que lo hacen. ¿Qué provoca que un

objeto en reposo comience a moverse?

¿Qué hace que un objeto acelere o desacelere? ¿Qué es lo que interviene cuando un objeto describe una trayectoria circular?

En todos los casos la respuesta será una fuerza. En este

capítulo se estudiará la relación entre fuerza y movimiento. A

continuación se describirá cualitativamente el concepto de fuerza.

6.1.1. Concepto de fuerza y fuerza neta

Resulta fácil dar ejemplos de fuerzas, pero ¿cómo se definirá

este concepto en general? Una definición operacional de fuerza se fundamenta en los efectos que ella produce sobre un cuerpo,

es decir, una fuerza se describe en función de lo que hace. Por

su propia experiencia, usted sabe que las fuerzas pueden

producir cambios en un cuerpo en reposo o en movimiento. Una

fuerza puede provocar el movimiento de un objeto que estaba en reposo. También puede aumentar o disminuir la rapidez de

un objeto en movimiento, o cambiar su sentido y dirección. En

otras palabras, una fuerza puede producir un cambio en la

velocidad; esto es, aceleración, por lo tanto, un cambio observado en el estado de movimiento de un cuerpo (en reposo

o movimiento) es evidencia de la existencia de una fuerza. Esto

lleva a una definición útil de fuerza: “una fuerza es aquello

capaz de cambiar el estado de reposo o de movimiento de un objeto“, además la fuerza es una magnitud vectorial.

El término “capaz“, es muy importante. Toma en cuenta el hecho de que una fuerza puede actuar

sobre un objeto, pero su capacidad para producir un cambio en el movimiento puede equilibrarse

con otra u otras fuerzas, de tal manera que el efecto neto sea nulo. En consecuencia, una fuerza

no produce necesariamente un cambio en el estado de movimiento de un objeto. En base a lo indicado anteriormente se puede deducir que una fuerza neta no nula puede producir una

aceleración que es una magnitud vectorial y en consecuencia la fuerza también debe ser una

magnitud vectorial.

Cuando varias fuerzas actúan sobre un objeto, lo que interesa es su efecto combinado, o sea, la

fuerza neta. La fuerza neta es el vector suma, ∑ �⃗�𝑖 𝑛𝑖=1 , o resultante, de todas las fuerzas que

actúan sobre un objeto. Como se ilustra en la figura 6.1, la fuerza neta es nula cuando fuerzas

de igual módulo actúan en direcciones opuestas. Se dice que tales fuerzas son fuerzas

equilibradas. Una fuerza neta no nula se refiere a una fuerza no equilibrada. En este caso, se puede analizar la situación como si sólo actuara esta fuerza. Una fuerza no equilibrada produce

una aceleración (figura 6.2).

6.1. Introducción 6.2. Primera Ley de Newton, Ley de

la inercia 6.3. Tercera ley de newton o

principio de acción y reacción 6.4. Segunda ley de Newton

6.5. Clases de fuerzas 6.6. Diagramas de cuerpo libre

(DCL) 6.7. Poleas

6.8. Dinámica circular 6.9. Estática

Objetivos

Reconocer los conceptos de inercia y fuerza.

Identificar las clases de fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

Formular las tres leyes de Newton y su aplicación.

Entender la diferencia entre las fuerzas netas que originan

aceleración y las fuerzas de acción y reacción.

Aplicar las leyes de Newton a cuerpos que tienen movimiento

rectilíneo o circular.

Entender el concepto de torque o momento de una fuerza.

Establecer cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio de

traslación y rotación. Ubicar el centro de masa de

objetos homogéneos. Aplicar las leyes de Newton a

partículas y sólidos rígidos que están en equilibrio.


158

Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y puede ejercerse por contacto real o a

distancia, como en el caso de las fuerzas gravitacionales y magnéticas.

Las fuerzas se pueden clasificar en dos tipos:

a) Las fuerzas de contacto, que surgen a causa del contacto

físico (interacción) entre dos objetos, por ejemplo, cuando se

levanta un libro o patea una pelota, se ejerce una fuerza de

contacto sobre el libro o sobre la pelota.

Cuando se habla de una fuerza, por lo general uno se imagina

un empuje o una tracción sobre algún objeto, estos son

ejemplos de fuerzas de contacto, así llamadas porque resultan

del contacto físico entre dos objetos.

b) Las fuerzas de acción a distancia se denominan fuerzas de campo, lo cual significa que los

cuerpos no están en contacto físico, ejemplos de estas fuerzas son la fuerza de atracción

gravitatoria, las fuerzas de atracción y repulsión entre dos cargas eléctricas y la fuerza

magnética entre dos imanes.

Las fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son todas fuerzas de campo, Michael Faraday introdujo el concepto de un campo, y las fuerzas asociadas a él se denominan

fuerzas de campo y son en orden decreciente:

Fuerzas atómicas fuertes entre las partículas subatómicas

Fuerzas eléctricas y magnéticas producidas por cargas eléctricas. Fuerzas nucleares débiles, que aparecen en ciertos procesos de desintegración

radiactiva.

Atracciones gravitacionales entre objetos.

Ahora, teniendo una mejor comprensión del concepto de fuerza se verá cómo se relacionan la fuerza y el movimiento a través de las leyes de Newton.

6.2. Primera ley de newton o principio de inercia

6.2.1. La inercia

La inercia es una propiedad de la materia que está relacionada con la resistencia que ofrece un cuerpo a cambiar su estado de reposo o de movimiento. En base a lo anterior se puede deducir

que a mayor masa mayor inercia.

6.2.2. La masa

La segunda ley de Newton, utiliza el concepto de masa. Newton utilizo el término masa como la

cantidad de materia que ocupa un lugar en el espacio. Esta noción intuitiva de la masa de un cuerpo no es muy precisa, porque la cantidad de materia, en sí, no está bien definida. Con más

precisión, se puede decir que, la masa es “una medida de la inercia de un cuerpo”.

0

F 0

F

Figura 6.1

Figura 6.2


159

Se sabe que cuando un automóvil frena, los pasajeros son impulsados

hacia delante, como si sus cuerpos tratarán de mantener su

movimiento. A veces, en algunos choques, hasta hay personas que salen despedidas fuera de los vehículos. Este ejemplo, muestra que:

“los cuerpos que están en movimiento tienden a seguir en

movimiento“. Esta propiedad de la materia se llama inercia. Pero

existen otros aspectos de la inercia. Cuando arranca un ómnibus, los pasajeros son empujados hacia atrás, como si tratarán de quedar en

el reposo en el que se hallaban. En los circos suele verse a artistas

muy hábiles que con un rápido movimiento, extraen el mantel de una

mesa sin que caigan ni abandonen su lugar los objetos colocados encima. Luego, se concluye que: “los cuerpos que están en reposo tienden a seguir en reposo“.

Además, todos sabemos que en las curvas, los pasajeros de un vehículo

son empujados hacia las puertas, pues sus cuerpos tienden a seguir en

la dirección y sentido que tenían inicialmente. El automóvil mismo se

inclina, y si se toma la curva a excesiva velocidad, se produce el vuelco, lo que muestra la tendencia del automóvil a seguir en línea recta.

Resumiendo las conclusiones obtenidas hasta ahora:

Todos los cuerpos en reposo tienden a seguir en reposo.

Todos los cuerpos en movimiento tienden a seguir moviéndose, pero con movimiento rectilíneo uniforme.

6.2.3. Las fuerzas y el movimiento

Mientras nada se oponga, un cuerpo no sólo tenderá a mantener su velocidad, sino que la

mantendrá. Existe un problema interesante, cuando una fuerza ha puesto en movimiento a un cuerpo, ¿es necesario que esa fuerza siga actuando para que el movimiento se mantenga?

La solución está, precisamente, en el concepto de inercia. Por una superficie horizontal, pero

accidentada, se hace rodar una piedra, se le ha aplicado una fuerza para ponerla en movimiento,

venciendo su inercia. La piedra da unos saltos, choca aquí, choca allá, y luego se detiene, parece que al dejar de actuar la fuerza, el movimiento cesa. Si se hace rodar una pelota por un terreno

menos accidentado, llegará más lejos, pero termina por detenerse. Otra vez parece que para

mantener el movimiento es necesaria la fuerza. Sin embargo, existe una clara diferencia con el

caso anterior, al ser menos accidentadas las superficies, el movimiento se mantiene más tiempo.

Si se repite la experiencia con una bola de cristal muy pulida, y se la hace rodar por una superficie muy pulida, un lago helado, por ejemplo, llegará muy lejos, manteniéndose en movimiento por

mucho tiempo. No es difícil advertir que lo que impide que el movimiento se mantenga

indefinidamente son las irregularidades de las superficies, imposibles de evitar. Entre ellas se

producen rozamientos, y aparecen así las fuerzas exteriores que van frenando al móvil. Si tanto éste como la superficie estuvieran idealmente pulidos, estas fuerzas desaparecerían, y el

movimiento seguiría eternamente rectilíneo y uniforme, mientras no apareciera otra fuerza

exterior. En la realidad, las superficies perfectamente pulidas no existen. La función del motor en

los trenes, automóviles, etc., es precisamente producir una fuerza capaz de compensar las fuerzas de frenado. Todas las anteriores ideas constituyen el principio de inercia, descubierto por

Leonardo de Vinci, quien lo mantuvo en secreto. Más tarde Galileo llego a las mismas

conclusiones, y finalmente Newton le dio la forma con la que hoy se conoce al “Principio de

inercia”, que se enuncia de la siguiente forma: “si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o actúan

varias que se anulan entre sí, entonces el cuerpo está en reposo o bien con movimiento rectilíneo uniforme”.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo

(si originalmente está en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea recta (si

originalmente estaba en movimiento).


160

El principio de inercia a primera ley de Newton se expresa como:

∑ �⃗�𝑖𝑛𝑖=1 = 0⃗⃗ (6.1)

6.3. Tercera ley de newton o principio de acción y reacción

Cuando se dispara un revolver, ésta retrocede (culatazo), si un patinador hace fuerza contra

una pared, retrocede como si la pared lo

hubiera empujado a él. Estos ejemplos

muestran qué: “A toda fuerza (acción), se le

opone otra fuerza (reacción) de módulo igual a la primera pero de sentido contrario. Esto se

verifica por que las fuerzas no se originan de la

nada, sino que siempre aparecen como

resultado de la interacción o acción mutua entre dos o más cuerpos.

Como resultado de esta interacción y en función

de las masas puede suceder que, se mueva uno

de los cuerpos o se muevan ambos. Así, cuando interactúan una persona (acción) y una almohadilla (reacción) sobre una mesa, la almohadilla es

la que se moverá y no así la persona. Pero si la persona empuja la pared del aula, la que se

moverá será la persona y la pared permanecerá en reposo. Ahora si dos personas de

aproximadamente la misma masa interactúan con las palmas de sus manos y se empujan ambas se moverán en sentidos contrarios.

Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto

tienen el mismo módulo, la misma línea de acción y sentidos

opuestos.

Si dos objetos interactúan, la Fuerza �⃗� 12 ejercida por el

objeto “1” sobre el “2” es igual en módulo, pero opuesta en

sentido a la fuerza �⃗� 21 ejercida por el objeto “2” sobre el “1”.

6.4. Segunda ley de newton

Cuando la fuerza resultante (vector) de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no es nula, el mismo adquirirá una

aceleración en el sentido de la fuerza resultante.

Experimentalmente se ha comprobado que la aceleración es

directamente proporcional a la fuerza resultante, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir,

𝑎 = 𝐾 𝐹𝑅

𝑚

Donde, K es la constante de proporcionalidad que determinado experimentalmente resulta ser

igual a la unidad, es decir, K = 1.

Luego, 𝐹 = 𝑚 𝑎 (6.2)

Donde F, a y m, representan, respectivamente el módulo de la fuerza resultante que actúa sobre

la partícula, el módulo de la aceleración adquirida y la masa de ésta.

Luego, expresando la ecuación anterior en forma vectorial se tiene,

∑ �⃗�𝑖𝑛𝑖 = 1 = 𝑚 �⃗� (6.3)

O en forma equivalente,

m F

a

Figura 6.4

...todo comenzó cuando

él me devolvió el golpe...

Ahora si entiendo

el principio

de acción - reacción

12F

21F

Figura 6.3


161

∑ 𝐹𝑥 𝑖𝑛𝑖 = 1 = 𝑚 𝑎𝑥 (6.4)

∑ 𝐹𝑦 𝑖𝑛𝑖 = 1 = 𝑚 𝑎𝑦 (6.5)

En este punto se debe mencionar que la primera ley de Newton es parte de la segunda ley, ya

que si la fuerza resultante es nula entonces, la aceleración es nula.

6.4.1. Unidades de masa y fuerza

Las unidades de masa en los principales sistemas se dan en el cuadro 6.1.

Sistema Unidad Símbolo

SI kilogramo kg

cgs gramo g

MKgfs (técnico) Unidad técnica de masa utm

Ingles absoluto libra lb

Ingles técnico slug slug

En el cuadro 6.2 se detallan las conversiones respectivas entre unidades de masa.

Unidad kg g utm lb slug

1 kg 1 1000 0,102 2,2046 6,85*10 - 2

1 g 0,001 1 1,02*10 - 3 2,20*10 - 3 6,85*10 - 5

1 utm 9,81 9810 1 21,63 0,673

1 lb 0,4536 453,6 4,62*10 - 2 1 3,11*10 - 2

1 slug 14,6 1,46*10 4 1,49 32,19 1

En el cuadro 6.3 se detallan las principales unidades de peso.

Sistema Unidad Símbolo Unidades

fundamentales

SI Newton N [𝑘𝑔][𝑚]

[𝑠]

cgs dina dina [𝑔][𝑐𝑚]

[𝑠]

MKgfs (técnico) Kilogramo fuerza

(kilopondio) kgf (kp) 9,81

[𝑘𝑔][𝑚]

[𝑠]

Ingles absoluto Poundal pdl [𝑙𝑏][𝑝𝑖𝑒]

[𝑠]

Ingles técnico Libra fuerza lbf 32,17 [𝑙𝑏][𝑝𝑖𝑒]

[𝑠]

En el cuadro 6.4 se detallan las conversiones respectivas entre unidades de fuerza.

Unidad N dina kgf pdl lbf

1 N 1 10 5 0,102 7,23 0,225

1 dina 10-5 1 1,02*10 - 6 7,23*10 - 5 2,25*10 - 6

1 kgf 9,8067 9,81*10 5 1 70,92 2,20

1 pdl 0,1383 1,383*10 4 1,41*10 - 2 1 3,11*10 - 2

1 lbf 4,448 4,448*10 5 0,454 32,17 1

Cuadro 6.1

Cuadro 6.3

Cuadro 6.4

Cuadro 6.2


162

6.5. Clases de fuerzas

6.5.1. Fuerza peso (�⃗⃗⃗⃗�)

Ley de gravitación universal

La ley de gravitación universal de Newton, establece que la fuerza de

atracción gravitacional entre dos masas puntuales “𝑚1” y “𝑚2”, está dada

por la siguiente expresión:

�⃗� = − 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟2 �̂�𝑟 (6.6)

El signo (–) indica que la fuerza entre las dos masas es atractiva, “r” es la

distancia entre ellas y �̂�𝑟 es el vector unitario que apunta desde el centro

de uno de los cuerpos hacia el otro. “G” es la constante de gravitación

universal.

La fuerza peso es la fuerza que la tierra ejerce para atraer una masa que tiene un cuerpo. Esta

fuerza siempre tiene dirección vertical y siempre está dirigida hacia abajo y se expresa como:

�⃗⃗⃗⃗� = − 𝑚 𝑔 𝑗̂ (6.7)

Donde “𝑚 𝑔” representa el módulo del vector peso. Cabe aclarar que el peso de un cuerpo varía

de acuerdo al lugar donde se encuentre el mismo, en cambio la masa permanece constante en

cualquier lugar del universo.

Como se indico anteriormente, toda fuerza tiene una contra fuerza, en este caso su contra fuerza se encuentra en la tierra (figura 6.5).

Nota.- Para levantar verticalmente un cuerpo a velocidad constante, se debe aplicar una fuerza

cuyo módulo sea igual al módulo del peso del cuerpo. Si el módulo de la fuerza es mayor

al módulo del peso, entonces el cuerpo se acelera.

6.5.2. Fuerza normal o reacción (�⃗⃗⃗�)

La fuerza normal (que también significa perpendicular) no es nada más

que la aplicación de la tercera ley de Newton a dos cuerpos en contacto,

dicha fuerza tiene la característica de que siempre es perpendicular a la superficie sobre la que se encuentra en reposo o sobre la que se mueve

un cuerpo (que no siempre en módulo es igual al peso). Además, cabe

indicar que, si un cuerpo está en contacto con dos cuerpos (o con dos

superficies), entonces existen dos fuerzas normales que actuan sobre el

cuerpo.

6.5.3. Fuerza de rozamiento (�⃗⃗�𝑹)

Es una fuerza tangencial que actúa en la superficie de contacto entre

dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con

respecto al otro. Estas fuerzas tangenciales siempre son paralelas a las superficies de contacto y se originan por las rugosidades de las

superficies en contacto y también debido al predominio de las fuerzas

eléctricas de atracción (ejemplo al tratar de separar dos láminas de

vidrio que se encuentran juntas). Además, la fuerza de fricción siempre tiene sentido contrario al sentido en que se mueve o moverá un cuerpo.

Experimentalmente se ha verificado que el módulo de la fuerza de fricción es directamente

proporcional al módulo de la normal, es decir:

𝑓𝑅 = 𝜇 𝑁 (6.8)

N

W

W

N

Figura 6.6

mF

Rf

S S

m

Figura 6.5

Figura 6.7


163

Donde se denomina coeficiente de fricción. Este adopta valores en el intervalo 0 1.

Si = 0, entonces se dice que la superficie es lisa y la fuerza de fricción es nula, y si 1,

entonces la superficie se denomina rugosa.

6.5.3.1 Rozamiento estático (�⃗⃗�𝐞 )

Es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando no existe movimiento relativo entre ellas. La

fuerza tangencial entre las dos superficies inmediatamente antes de que una de ellas comience a

deslizarse sobre la otra recibe el nombre de fuerza máxima de rozamiento estático.

(a) Reposo (b) No hay movimiento (c) Movimiento inminente

En (a), no hay movimiento posible ya que no se tiene ninguna

fuerza que la ocasione.

En (b) �⃗�1 no es suficiente para mover el bloque. La fuerza de

fricción 𝑓𝑒 sólo se encarga de equilibrar a la fuerza �⃗�1.

En (c), el módulo de �⃗�2 es mayor que el módulo de �⃗�1, de modo tal

que el bloque está por moverse (deslizamiento inminente);

entonces la fuerza de rozamiento 𝑓𝑒 , es máxima y su valor es

proporcional a la normal, es decir:

𝑓𝑒 𝑚á𝑥 = 𝜇𝑒 𝑁 (6.9)

Donde e recibe el nombre de coeficiente de rozamiento estático, el análisis realizado se muestra

en la figura 6.9.

Para valores mayores al módulo de �⃗�2, el bloque se mueve con aceleración.

6.5.3.2 Rozamiento cinetico (�⃗⃗�𝐂)

Es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando una de ellas se desplaza sobre la otra. Por lo

tanto, se presenta cuando el cuerpo está en movimiento; su valor será constante y directamente proporcional a la reacción normal de la superficie, es decir:

𝑓𝐶 = 𝜇𝐶 𝑁 (6.10)

Donde 𝜇𝐶 se denomina coeficiente de fricción cinético.

Nota.- Para mover horizontalmente un cuerpo a velocidad constante, se debe aplicar una fuerza

cuyo módulo sea igual al módulo de la fuerza rozamiento cinético. Si el módulo de la

fuerza es mayor al módulo de la fuerza rozamiento cinético, entonces el cuerpo se acelera. Si la superficie es lisa, el módulo de la fuerza para mover un cuerpo debe ser mayor a

cero (𝐹 > 0).

6.6. Diagramas de cuerpo libre (DCL)

Para la resolución de problemas que involucran la aplicación de la primera y la segunda Ley de

Newton, se debe reconocer y dibujar claramente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

Si se tienen dificultades para reconocer y representar las fuerzas actuantes, jamás se podrá lograr

la solución de la situación planteada.

N

N

N

W

W

W

0

ef ef

máxef

efF 1

máxefF 2

Figura 6.8

fr

F

máxef

efcf

Figura 6.9


164

Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las fuerzas

externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de cuerpo libre esté

correcto antes de aplicar las leyes de Newton.

En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se lo representa por un punto ubicado en el

origen de coordenadas, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas

representadas por vectores que representan sus respectivas direcciones y sentidos.

Una vez conocidas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo el siguiente paso es resolver problemas utilizando la primera y segunda ley de Newton. Para ello se siguen los siguientes pasos:

Identificar y dibujar todas las fuerzas que están actuando sobre un cuerpo.

Construir un sistema de ejes coordenados de tal modo que el eje “x” sea paralelo al sentido

de movimiento del cuerpo o paralelo a la superficie sobre la que se encuentra o mueve el cuerpo.

Trasladar todos los vectores fuerza al sistema de ejes construido con la condición de que

sus puntos iníciales coincidan con el origen de coordenadas.

Si algunos de los vectores no coinciden con alguno de los ejes, estos deben ser

descompuestos.

Dibujar el vector aceleración en un lugar adecuado, ya que ella, será una guía en la

segunda ley de Newton en el eje de movimiento.

Aplicar la segunda ley de Newton, tomando en cuenta que en el eje “x”, en los términos

de la sumatoria de fuerzas, a las fuerzas que tengan el mismo sentido que la aceleración se les asigna signo positivo y negativas en caso contrario.

Resolver el sistema de ecuaciones planteados.

Puede en algunos casos cuando se considere importante incluir alguna dimensión, pero lo

importante es no saturar el DCL con demasiada información que enrede la descripción del sistema.

En este punto, cabe mencionar que si se tienen dos o más cuerpos, se debe realizar el diagrama

de cuerpo libre para cada cuerpo.

6.7. Poleas y cuerdas

En principio, al resolver un problema siempre se debe considerar que las masas de las poleas y las cuerdas son

nulas.

Luego, tiene singular importancia el uso de las poleas

dentro de la mecánica, donde se consideran las poleas fijas

y las poleas móviles.

Las poleas fijas solo cambian el sentido de la fuerza

(tensión), mientras que las poleas móviles actúan

dividiendo la fuerza aplicada en uno de sus lados.

Como se puede observar en la figura 6.10, por un lado se tienen la misma cuerda que solo cambia de sentido y cada

extremo soporta la mitad de la fuerza ejercida por la otra

cuerda, por otro lado al bajar la polea una distancia “𝑥1”,

esta baja dos veces la distancia “𝑥2 + 𝑥3” en la cuerda que

pasa por la polea. Por consiguiente en una polea móvil se tienen las siguientes relaciones:

𝐹1 = 2 𝐹2

Figura 6.10

x1

x2

x3

1F

2F

2F

F

F

Polea fija

Polea móvil


165

F 1a

1N

1W

g

x

y

F

2N

2W

2a

2 𝑥1 = 𝑥2 + 𝑥3 → 2 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑣3 → 2 𝑎1 = 𝑎2 + 𝑎3

Cuando uno de los extremos de la cuerda que pasa por la polea móvil está sujeta a un punto fijo, entonces las anteriores relaciones se reducen a:

2 𝑥1 = 𝑥2 → 2 𝑣1 = 𝑣2 → 2 𝑎1 = 𝑎2

Ejemplo 6.1

Sobre un bloque, de 15 [kg] de masa, actúa una fuerza neta F⃗⃗, de módulo

igual a 30 [N]. Determine el valor de la aceleración.

Solución

Como en el enunciado y en el gráfico no se mencionan ni se muetran el

coeficiente o fuerza de fricción, entonces se consideran que las superficies son lisas. En general, si sola una de las superficies es lisa se considerara que

los coeficientes de rozamientos son nulos.

En el eje “y” no es necesario aplicar ninguna de las leyes de Newton.

En el eje “x”

𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑎 = 𝐹

𝑚→ 𝑎 =

30 [𝑁]

15 [𝑘𝑔] → 𝑎 = 2,0 [

𝑚

𝑠2]

Ejemplo 6.2

Sobre un bloque, de 15 [kg] de masa, actúa una fuerza F⃗⃗, de

módulo igual a 30 [N]. Determine la aceleración (No se

consideran los efectos de rozamiento)

Solución

Solo la componente horizontal de la fuerza produce el movimiento del bloque, por consiguiente:

𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎 → 𝑎 = 𝐹𝑥

𝑚 → 𝑎 =

𝐹 𝑐𝑜𝑠 37°

𝑚

𝑎 = 30 [𝑁] 𝑐𝑜𝑠 37°

15 [𝑘𝑔] → 𝑎 = 1,6 [

𝑚

𝑠2]

Ejemplo 6.3

En la figura 6.13, se observa dos bloques de masas “m”

y “m/2” respectivamente. Sobre los bloques se aplica

una misma fuerza neta de valor F⃗⃗, ¿cuál es la relación

de las aceleraciones de los bloques?

Solución

𝐹 = 𝑚 𝑎1

𝐹 = 𝑚

2 𝑎2

} → 𝑚 𝑎1 = 𝑚

2 𝑎2 → 𝑎2 = 2 𝑎1

F

F

37

Figura 6.12

Figura 6.11

DCL 6.1

F

a

N

W

g

x

y

F

a

N

W

g

x

y

37

XF

YFF

DCL 6.2

mF

m/2F

Figura 6.13

DCL 6.3


166

Ejemplo 6.4

De una cuerda inextensible y sin masa, que pasa por una polea cuelgan dos

masas como se observa en la figura 6.14. Sabiendo que m2 = (3/2) m1,

calcular la aceleración de las masas.

Solución

Considerar que los módulos de las aceleraciones son iguales: 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎

Del DCL para m1: ∑ 𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑇 − 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎 (1)

Del DCL para m2: ∑ 𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑚2 𝑔 − 𝑇 = 𝑚2 𝑎 (2)

Sumando (1) más (2):

𝑚2 𝑔 − 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎 + 𝑚2 𝑎

𝑎 = 𝑔 (𝑚2 −𝑚1)

𝑚1 + 𝑚2 =

𝑔 (3 𝑚1

2 −𝑚1)

𝑚1 + 3 𝑚1

2

𝑎 = 𝑔

2

5

2

= 𝑔

5 =

9,8 [𝑚

𝑠2]

5 → 𝑎 = 1,96 [

𝑚

𝑠2]

Ejemplo 6.5

Un bloque de 2 [kg] de masa se suelta del reposo desde la parte

superior de un plano inclinado un ángulo θ, respecto de la horizontal.

Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es = 0,25

y la aceleración que adquiere el bloque es 4,9 [m/s2], hallar el valor

del ángulo θ.

Solución

En el eje y por la primera ley de Newton:

∑ Fy = 0 → N = m g cos θ → fR = μ m g cos θ (1)

En el eje x por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎 → 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑓𝑅 = 𝑚 𝑎 (2)

𝑔 𝑚 (𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃) = 𝑚 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑎

𝑔

√1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 𝑎

𝑔 + 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃

√1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 9,8 [

𝑚

𝑠2]

4,9 [𝑚

𝑠2] + 0,25 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → √1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 0,5 + 0,25 𝑐𝑜𝑠 𝜃

1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 0,25 + 0,25 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 0,0 625 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

1, 0625 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 0,25 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 0,75 = 0

𝑐𝑜𝑠 𝜃 =−0,25 ± √(0,25)2 + 4∗1,0625∗0,75

2∗1,0625 →

𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0,73072 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −0,96601

}

Tomando en cuenta solo el valor positivo del coseno se obtiene: 𝜃 = 43°

m1m2

aa

θ

Figura 6.14

Figura 6.15

DCL 6.4

DCL 6.5

1a

gm

2gm

1

T

T

2a

21 aa

a

N

rf

cos

gm

sen

gm

gm


167

Ejemplo 6.6

La masa m1 del sistema de la figura 6.16 vale 40 [kg], y la masa m2 es variable.

Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre m1 y la mesa son iguales y valen μ = 0,2. Si el sistema está inicialmente en reposo.

a) Con qué aceleración se moverá el sistema si m2 = 10 [kg].

b) ¿Cuál es el valor máximo de m2 para el cual el sistema permanecerá en

reposo? c) Si m2 = 6 [kg], ¿cuál será la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la

mesa? y la tensión de la cuerda. R: 60 [N] y 60 [N]

Solución

a) Datos: 𝑚1 = 40 [𝑘𝑔]; 𝑚2 = 10 [𝑘𝑔]

Para m1: ∑ 𝐹𝑌 = 0: 𝑁 − 𝑚1 𝑔 = 0

𝑁 = 𝑚1 𝑔 → 𝑓𝑅 = 𝜇 𝑚1 𝑔 (1)

∑ 𝐹𝑋 = 𝑚 𝑎: 𝑇 − 𝑓𝑅 = 𝑚1 𝑎 → 𝑇 − 𝜇 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎 (2)

Para m2: ∑ 𝐹𝑌 = 𝑚2 𝑎: 𝑚2 𝑔 − 𝑇 = 𝑚2 𝑎 (3)

(2) más (3): : 𝑚2 𝑔 − 𝜇 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎 + 𝑚2 𝑎

𝑎 =𝑔 (𝑚2 −𝜇 𝑚1 )

𝑚1 + 𝑚2→ 𝑎 =

9,8 [𝑚

𝑠2] (10 [𝑘𝑔]−0,2∗40 [𝑘𝑔] )

40 [𝑘𝑔] + 10 [𝑘𝑔]→ 𝑎 = 3,92 [

𝑚

𝑠2]

b) Se debe cumplir que:

(𝑚2 − 𝜇 𝑚1 ) → 𝑚2 = 𝜇 𝑚1 → 𝑚2 = 0,2 ∗ 40 [𝑘𝑔] → 𝑚2 = 8 [𝑘𝑔]

c) Para m2: ∑ 𝐹𝑌 = 0: 𝑚2 𝑔 − 𝑇 = 0 → T = 𝑚2 𝑔 → T = 6 [kg] ∗ 9,8 [𝑚

𝑠2] → 𝑻 = 𝟓𝟖, 𝟖 [𝑵]

𝑓𝑅 = 𝑇 → 𝒇𝑹 = 𝟓𝟖, 𝟖 [𝑵]

Ejemplo 6.7

Si para el sistema de la figura 6.17, m1 = 6 [kg], m2 = m3 = 2

[kg] y = 0,2 (para las dos superficies), calcule la aceleración de

las masas y las tensiones en las cuerdas.

Solución

Para la masa 1, por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑚1 𝑔 − 2 𝑇 = 𝑚1 𝑎 (1)

Para la masa 2 (simétrica con la masa 3), por la primera ley

de Newton:

∑ 𝐹𝑦 = 0

→ 𝑁 − 𝑚2 𝑔 𝑐𝑜𝑠 60° = 0 → 𝑁 = 𝑚2 𝑔 𝑐𝑜𝑠 60°

𝑓𝑅 = 𝜇 𝑁 → 𝑓𝑅 = 𝜇 𝑚2 𝑔 𝑐𝑜𝑠 60° (2)

Para la masa 2, por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑇 − 𝑚2 𝑔 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝑓𝑅 = 𝑚2 𝑎 (3)

(2) en (3)

2

3

1

60° 60°

Figura 6.17

DCL 6.7

1m

2m

Figura 6.16

DCL 6.6

´a

2W

g

y

´T

T

a

1N

1W

g

x

y

1rf

m2g

sen 6

0º

60º

m2g cos 60º

´aT

N

2rf

gm

2

´T

gm

1

a


168

𝑇 − 𝑚2 𝑔 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝜇 𝑚2 𝑔 𝑐𝑜𝑠 60° = 𝑚2 𝑎

Multiplicando la ecuación anterior por 2 y operando:

2 𝑇 − 2 𝑚2 𝑔 (𝑠𝑒𝑛 60° + 𝜇 𝑐𝑜𝑠 60°) = 2 𝑚2 𝑎 (4)

Sumando (1) y (4):

𝑚1 𝑔 − 2 𝑚2 𝑔 (𝑠𝑒𝑛 60° + 𝜇 𝑐𝑜𝑠 60°) = 𝑚1 𝑎 + 2 𝑚2 𝑎

Operando y despejando “a”.

𝑎 = 𝑚1 𝑔 −2 𝑚2 𝑔 (𝑠𝑒𝑛 60° + 𝜇 𝑐𝑜𝑠 60°)

𝑚1 +2 𝑚2

Remplazando datos:

𝑎 = 6 [𝑘𝑔]∗9,8 [

𝑚

𝑠2] − 2∗2 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚

𝑠2] (𝑠𝑒𝑛 60° + 0,2 𝑐𝑜𝑠 60°)

6 [𝑘𝑔] + 2∗2 [𝑘𝑔] → 𝑎 = 2,1 [

𝑚

𝑠2]

De (1): 𝑇 = 𝑚1 (𝑔 − 𝑎)

2

Remplazando datos: 𝑇 = 6 [𝑘𝑔]∗(9,8 [

𝑚

𝑠2] −2,1 [𝑚

𝑠2])

2 → 𝑇 = 23,1 [𝑁]

Ejemplo 6.8

En la figura 6.18: m1 = 2 [kg], m2 = 4 [kg], = 0,2, θ = 30° y F = 26

[N]. Hallar la aceleración de las masas y las tensiones en las cuerdas.

Solución

Para la masa “1” en el eje “y”, por la primera ley de Newton:

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁 = 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 𝑓𝑅 = 𝜇 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (1)

Para la masa “1” en el eje “x”, por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐹 + 𝑚1 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑇1 − 𝑓𝑅 = 𝑚1 𝑎1 (2)

(1) en (2)

𝐹 + 𝑚1 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑇1 − 𝑓𝑅 = 𝑚1 𝑎1

𝐹 + 𝑚1 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑇1 − 𝜇 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚1 𝑎1 (3)

En la polea móvil se producen las siguientes relaciones:

2 𝑇1 = 𝑇2 (4)

𝑎1 = 2 𝑎2 (5)

Para la masa 2 en el eje “y”, por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑇2 − 𝑚2𝑔 = 𝑚2 𝑎2 (6)

Remplazando (4) en (6):

2 𝑇1 − 𝑚2𝑔 = 𝑚2 𝑎2 (7)

Remplazando (5) en (3)

𝐹 + 𝑚1 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑇1 − 𝜇 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 𝑚1 𝑎2

Multiplicando la ecuación por dos

2 𝐹 + 2 𝑚1 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 𝑇1 − 2 𝜇 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 4 𝑚1 𝑎2 (8)

Sumando (7) y (8)

30°

12

F

Figura 6.18

DCL 6.8

1aN

F1T

rf

gm

1

cos

1g

m

sen

gm

1

2a

1T

1T

2T

2T

gm

2


169

2 𝐹 + [2 𝑚1 (𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃) − 𝑚2]𝑔 = (4 𝑚1 + 𝑚2) 𝑎2

𝑎2 = 2 𝐹 + [2 𝑚1 (𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃) − 𝑚2]𝑔

4 𝑚1 + 𝑚2

𝑎2 = 2∗26[𝑁]+ [2∗2[𝑘𝑔](𝑠𝑒𝑛 30° − 0,2∗ 𝑐𝑜𝑠 30°) −4[𝑘𝑔]]∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2]

4∗2[𝑘𝑔] + 4[𝑘𝑔] = 2,13 [

𝑚

𝑠2]

En (5): 𝑎1 = = 4,27 [𝑚

𝑠2]

De (6): 𝑇2 = 𝑚2(𝑔 + 𝑎2) → 𝑇2 = 4[𝑘𝑔] ∗ (9,8 [𝑚

𝑠2] + 2,13 [𝑚

𝑠2]) = 47,7 [𝑁]

En (4): 𝑇1 = 𝑇2

2 =

47,7 [𝑁]

2 = 23,9 [𝑁]

Ejemplo 6.9

En la figura 6.19, se tienen tres bloques de masas mA = 5 [kg], mB = 10

[kg] y mC = 8 [kg]. Si los coeficientes de fricción entre los bloques A y

C y las superficies horizontales es 𝜇 = 0,2, determinar: a) la tensión en

la cuerda y, b) la aceleración de cada bloque.

Solución

Para el bloque A: 𝑇 − 𝜇 𝑚𝐴 𝑔 = 𝑚𝐴 𝑎𝐴 → 𝑎𝐴 = 𝑇 − 𝜇 𝑚𝐴 𝑔

𝑚𝐴 (1)

Para el bloque C: 𝑇 – 𝜇 𝑚𝐶 𝑔 = 𝑚𝐶 𝑎𝐶 → 𝑎𝐶 = 𝑇 − 𝜇 𝑚𝐶 𝑔

𝑚𝐶 (2)

Para el bloque B: 𝑚𝐵 𝑔 – 2 𝑇 = 𝑚𝐵 𝑎𝐵 → 𝑎𝐵 = 𝑚𝐵 𝑔−2 𝑇

𝑚𝐵 (3)

Además, 𝑎𝐵 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐶

2 (4)

Reemplazando (1), (2) y (3) en (4),

𝑚𝐵 𝑔−2 𝑇

𝑚𝐵=

𝑇 − 𝜇 𝑚𝐴 𝑔

𝑚𝐴 +

𝑇 − 𝜇 𝑚𝐶 𝑔

𝑚𝐶

2

2 𝑚𝐵 𝑔−2 𝑇

𝑚𝐵=

𝑇 − 𝜇 𝑚𝐴 𝑔

𝑚𝐴 +

𝑇 − 𝜇 𝑚𝐶 𝑔

𝑚𝐶

2 𝑔 − 4 𝑇

𝑚𝐵 =

𝑇

𝑚𝐴 – 𝜇 𝑔 +

𝑇

𝑚𝐶 − 𝜇 𝑔

2 𝑔 (1 + 𝜇) = 𝑇 ( 4

𝑚𝐵 +

1

𝑚𝐴 +

1

𝑚𝐶)

2 ∗ 9,8 [𝑚

𝑠2] ∗ (1 + 0,2) = 𝑇 ( 4

10 [𝑘𝑔] +

1

5 [𝑘𝑔] +

1

8 [𝑘𝑔]) → 23,52 = 0,725 𝑇

𝑇 = 32,4 [𝑁]

Reemplazando en (1), (2) y (4),

𝑎𝐴 = 32,4 [𝑁] – 0,2∗5 [𝑘𝑔]∗9,8 [

𝑚

𝑠2]

5 = 4,52 [

𝑚

𝑠2 ]

𝑎𝐶 = 32,4 – 0,2∗8 [𝑘𝑔]∗9,8 [

𝑚

𝑠2]

8 = 2,09 [

𝑚

𝑠2 ]

A C

B

DCL 6.9

Figura 6.19

Aa

Ca

AN

CN

gmA

Arf

Crf

Ba

gmC

T

T

T

2

gm B

Aa

Ca

AN

CN

gmA

Arf

Crf

Ba

gmC

T

T

T

2

gm B

Aa

Ca

AN

CN

gmA

Arf

Crf

Ba

gmC

T

T

T

2

gm B


170

𝑎𝐵 = 4,52 [

𝑚

𝑠2 ] + 2,09 [

𝑚

𝑠2 ]

2 = 3,31 [

𝑚

𝑠2 ]

6.8. Dinámica circular

Tomando en cuenta el movimiento circular. Por lo tanto, si un

cuerpo describe una trayectoria circular este estará sujeto a una aceleración centrípeta dada por:

𝑎𝐶 = 𝑣2

𝑅 = 𝑅 𝜔2 (6.11)

Dicha aceleración siempre estará dirigida hacia el centro o eje de

rotación.

Luego, si un cuerpo posee aceleración sobre éste debe existir una

fuerza neta (algunos autores la denominan fuerza centrípeta), en

consecuencia, se debe cumplir la segunda ley de Newton en

dirección y sentido del centro de rotación (eje “c”) en todo momento, es decir:

∑ 𝐹𝑐 𝑖 = 𝑛𝑖 = 1 𝑚 𝑎𝐶 = 𝑚

𝑣2

𝑅 = 𝑚 𝑅 𝜔2 (6.12)

Donde Fc i , son cada una de las componentes “i” de las fuerzas en el eje radial (hacia el centro

de rotación).

En este punto se debe aclarar que, al elegir el sistema de ejes coordenados, uno de ellos

(denominado eje radial) debe ser paralelo al radio del círculo que describe el cuerpo. Además, al asignar signos a las componentes radiales de las fuerzas, se consideran positivas a las fuerzas

que tienen el mismo sentido que la aceleración centrípeta y negativas en caso contrario.

Ejemplo 6.10

Calcula la velocidad máxima con que un vehículo puede tomar una curva de radio “r” si el ángulo de peralte “θ”.

Considera despreciable el rozamiento.

Solución

La suma de fuerzas en “y” por la primera ley de Newton es de:

𝑁 𝑦 = 𝑚 𝑔 (1)

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑁 𝑥

𝑁 𝑦 → 𝑁 𝑥 = 𝑁 𝑦 𝑡𝑔 𝜃 (2)

(1) en (2)

𝑁 𝑥 = 𝑚𝑔 𝑡𝑔 𝜃 (3)

Por la segunda ley de Newton en dirección al centro de giro:

∑ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑎𝑐 → 𝑁𝑥 = 𝑚 𝑣2

𝑅 → 𝑚 𝑔 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚

𝑣2

𝑅

𝑣 = √𝑅 𝑔 𝑡𝑔 𝜃

Nota.- Este mismo procedimiento se aplica a aves, aviones y ciclistas que giran en un plano

horizontal.

v

cR

Ca

Figura 6.20

DCL 6.10

Figura 6.21

Ca

N

gm

Centro

de giro

C


171

Ejemplo 6.11

Un cuerpo de masa m = 1 [kg] se encuentra sobre una superficie

cónica como indica la figura 6.22, y gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular = 5 [rad/s], sin despegarse de

la superficie. Si el radio de la trayectoria circular que describe el cuerpo es R = 0,5 [m] y la tensión en la cuerda es T = 10 [N],

halle la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie

cónica. Considere que, = 30°.

Solución

En el eje “y”, por la primera ley de Newton,

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁𝑦 + 𝑇𝑦 + 𝑓𝑟𝑐 = 𝑚 𝑔

𝑁 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑓𝑟 𝑠𝑒𝑛 30° = 𝑚 𝑔

𝑁 𝑐𝑜𝑠 30° = 𝑚 𝑔 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑓𝑟 𝑠𝑒𝑛 30° (1)

En el eje “c” (al centro de giro), por la segunda ley de Newton,

∑ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑎𝑐 → 𝑇𝑐 + 𝑓𝑟𝑐 − 𝑁𝐶 = 𝑚 𝑎𝑐

𝑇 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑓𝑟 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑁 𝑠𝑒𝑛 30° = 𝑚 𝑅 𝜔2

𝑁 𝑠𝑒𝑛 30° = 𝑇 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑓𝑟 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑚 𝑅 𝜔2 (2)

Dividiendo (2) entre (1),

𝑁 𝑠𝑒𝑛 30°

𝑁 𝑐𝑜𝑠 30° =

𝑇 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑓𝑟 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑚 𝑅 𝜔2

𝑚 𝑔 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑓𝑟 𝑠𝑒𝑛 30°

𝑡𝑔 30° = 𝑇 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑓𝑟 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑚 𝑅 𝜔2

𝑚 𝑔 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑓𝑟 𝑠𝑒𝑛 30°

(𝑚 𝑔 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30°)𝑡𝑔 30° − 𝑓𝑟 𝑠𝑒𝑛 30° × 𝑡𝑔 30° = 𝑇 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑓𝑟 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑚 𝑅 𝜔2

(𝑚 𝑔 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30°)𝑡𝑔 30° + 𝑚 𝑅 𝜔2 − 𝑇 𝑐𝑜𝑠 30° = 𝑓𝑟 (𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑠𝑒𝑛 30° × 𝑡𝑔 30°)

𝑓𝑟 =(𝑚 𝑔 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 30°)𝑡𝑔 30° + 𝑚 𝑅 𝜔2 − 𝑇 𝑐𝑜𝑠 30°

(𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑠𝑒𝑛 30°×𝑡𝑔 30°)

𝑓𝑟 ={[1[𝑘𝑔] 9,8 [

𝑚

𝑠2] − 10[𝑁] 𝑠𝑒𝑛 30°]𝑡𝑔 30° + 1[𝑘𝑔] 0,5 [𝑚] (5 [𝑟𝑎𝑑

𝑠])

2 − 10[𝑁] 𝑐𝑜𝑠 30°}

(𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑠𝑒𝑛 30°×𝑡𝑔 30°)

𝑓𝑟 = 5,73 [𝑁]

Ejemplo 6.12

La esfera “A” de 500 [g] de masa mostrada en la figura 6.23, está unida a una varilla vertical por medio de dos cuerdas y también está

unida a la esfera “B” de 300 [g] de masa, por medio de otra cuerda

de 50 [cm] de longitud. Cuando el sistema gira alrededor del eje, las

cuerdas quedan tensadas según muestra la figura 6.23. a) Si la tensión en la cuerda superior (unida a la varilla) es de 10,5 [N], ¿cuál

es el valor de la velocidad angular? b) ¿Qué valores tienen las

tensiones en las cuerdas inferior y horizontal?

Solución

Datos: mA = 0,5 [kg], L = 0,5 [m], T1 = 10,5 [N], mB = 0,3 [kg]

El radio de giro es de: 𝑅 = 𝐿 𝑐𝑜𝑠 30° = 1 [𝑚] 𝑐𝑜𝑠 30° = 0,866 [𝑚]

30°

m

A B

1 m

1 m

1 m

DCL 6.11

Figura 6.22

Figura 6.23

c

Ca30°

30°

N

gm

T

rf


172

Para la esfera B en el eje “c”, por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑎𝑐 → 𝑇3 = 𝑚 𝑎𝑐

𝑇3 = 𝑚𝐵 (𝑅 + 𝐿) 𝜔2 (1)

Para la esfera A en el eje “y”, por la primera ley de Newton:

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑇1 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑇2 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑚𝐴 𝑔 = 0

𝑇1 − 𝑇2 = 𝑚𝐴 𝑔

𝑠𝑒𝑛 30° (2)

Para la esfera “A” en el eje “c”, por la segunda ley de Newton:

∑ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑎𝑐 → 𝑇1 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑇2 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑇3 = 𝑚𝑎 𝑅 𝜔2 (3)

(1) en (3): ∑ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑎𝑐

(𝑇1 + 𝑇2) 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑚𝐵 (𝑅 + 𝐿) 𝜔2 = 𝑚𝑎 𝑅 𝜔2

𝑇1 + 𝑇2 = [𝑚𝑎 𝑅 + 𝑚𝐵 (𝑅 + 𝐿)] 𝜔2

𝑐𝑜𝑠 30° (4)

Sumando (2) y (4):

2 𝑇1 = [𝑚𝑎 𝑅 + 𝑚𝐵 (𝑅 + 𝐿)] 𝜔2

𝑐𝑜𝑠 30° +

𝑚𝐴 𝑔

𝑠𝑒𝑛 30° → 2 𝑇1 −

𝑚𝐴 𝑔

𝑠𝑒𝑛 30° =

[𝑚𝑎 𝑅 + 𝑚𝐵 (𝑅 + 𝐿)] 𝜔2

𝑐𝑜𝑠 30°

𝑤 = √{ 2 𝑇1 𝑐𝑜𝑠 30° − 𝑚𝐴 𝑔

𝑡𝑔 30° [𝑚𝑎 𝑅 + 𝑚𝐵 (𝑅 + 𝐿)]}

Remplazando datos,

𝑤 = √{ 2∗10,5 [𝑁]∗ 𝑐𝑜𝑠 30° − 0,5 [𝑘𝑔]∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2]

𝑡𝑔 30°∗[0,5 [𝑘𝑔]∗ 0,866 [𝑚] + 0,3 [𝑘𝑔]∗ (0,866 [𝑚] + 0,5 [𝑚])]} = 5,22 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

En (1): 𝑇3 = 0,3 [𝑘𝑔](0,866 [𝑚] + 0,5 [𝑚]) ∗ (5,22 [𝑟𝑎𝑑

𝑠])

2

= 11,19 [𝑁]

De (2): 𝑇2 = 𝑇1 − 𝑚𝐴 𝑔

𝑠𝑒𝑛 30° → 𝑇2 = 10,5 [𝑁] −

0,5 [𝑘𝑔]× 9,8 [𝑚

𝑠2]

𝑠𝑒𝑛 30° → 𝑇2 = 0,7 [𝑁]

Ejemplo 6.13

En el velódromo de Alto Irpavi de la ciudad de La Paz, los ciclistas pueden imprimir una velocidad

máxima de 90 [km/h] en las curvas. Calcular el ángulo de peralte, asumiendo que el radio de

curvatura es de 30 [m] y el coeficiente de rozamiento estático entre el neumático y el asfalto es

0,8.

Solución

Eje y: 𝑁 cos 𝜃 − 𝑓𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝑔 → 𝑁 cos 𝜃 − 𝜇 𝑁 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝑔

𝑁 (cos 𝜃 − 𝜇 𝑠𝑒𝑛 𝜃) = 𝑚 𝑔 (1)

Eje r: 𝑁 sen 𝜃 + 𝑓𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚 𝑣2

𝑅 → 𝑁 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝑁 cos 𝜃 = 𝑚

𝑣2

𝑅

𝑁 (𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 cos 𝜃) = 𝑚 𝑣2

𝑅 (2)

Dividiendo (1) entre (2): 𝑁 (cos 𝜃 – 𝜇 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

𝑁(𝑠𝑒𝑛 𝜃+ 𝜇 cos 𝜃) =

𝑚 𝑔 𝑅

𝑚 𝑣2 →

(cos 𝜃 – 𝜇 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

(𝑠𝑒𝑛 𝜃+ 𝜇 cos 𝜃) =

𝑔 𝑅

𝑣2

𝑣2 cos 𝜃 − 𝜇 𝑣2 = 𝑔 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑔 𝑅 𝜇 cos 𝜃

DCL 6.12

Rf

gm

N

Ca

c

DCL 6.13

A

gmA

c

Ca

B

gmB

c

Ca

1T

2T

3T

3T


173

(𝑣2 − 𝑔 𝑅 𝜇) cos 𝜃 = (𝑔 𝑅 + 𝜇 𝑣2)𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑣2− 𝑔 𝑅 𝜇

𝑔 𝑅+ 𝜇 𝑣2 → 𝑡𝑔 𝜃 =

(25 [𝑚

𝑠])

2 − 9,8 [

m

s2]×30 [𝑚]×0,8

9,8 [m

s2]×30 [𝑚]+ 0,8× (25 [𝑚

𝑠])

2

𝜃 = 26,1°

Ejemplo 6.14

Se tiene un dispositivo de giro como se muestra en la figura 6.24.

En el extremo de ésta existe una cuerda atada a una esfera.

Considerando que d = 20 [cm] y L = 30 [cm], hallar la velocidad

angular a la que debe girar el eje vertical para que la cuerda forme

un ángulo de 30° con la vertical.

Solución

En el eje y: 𝑇 cos 30° = 𝑚 𝑔 (1)

En el eje r: 𝑇 sen 30° = 𝑚 𝑅 𝜔2 (2)

Dividiendo (2) entre (1) 𝑇 𝑐𝑜𝑠 30°

𝑇 sen 30°=

𝑚 𝑔

𝑚 𝑅 𝜔2

𝑡𝑔 30° = 𝑅 𝜔2

𝑔 → 𝑔 𝑡𝑔 30° = 𝑅 𝜔2

𝜔 = √ 𝑔 𝑡𝑔 30°

𝑅 (3)

Además, 𝑅 = 𝑑 cos 45° + 𝐿 𝑠𝑒𝑛 30° (4)

Reemplazando (4) en (3) 𝜔 = √ 𝑔 𝑡𝑔 30°

𝑑 cos 45° +𝐿 𝑠𝑒𝑛 30°

Entonces, 𝜔 = √ 9,8 [

m

s2]∗𝑡𝑔 30°

0,20 [𝑚]∗cos 45° + 0,30 [𝑚]∗𝑠𝑒𝑛 30° = 4,4 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

Ejemplo 6.15

Un ascensor sube con una aceleración igual a 𝑔 2⁄ . Del techo del ascensor se

cuelga un hilo en cuyo extremo se tiene una esfera metálica de masa 𝑚 =0,5 [𝑘𝑔]. La esfera se hace girar en un círculo horizontal como se muestra en

la figura 6.25, con una velocidad angular 𝜔 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑

𝑠]. Determinar el ángulo

“θ” que forma la cuerda de longitud 𝐿 = 1,5 [𝑚] con la vertical.

Solución

En el eje “y”

𝑇 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑚 𝑔 = 𝑚 0,5 𝑔 → 𝑇 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1,5 𝑚 𝑔 (1)

Eje “c”, 𝑇 sen 𝜃 = 𝑚 𝑅 𝜔2 (2)

Dividiendo (2) entre (1), 𝑇 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑇 cos 𝜃=

𝑚 𝑅 𝜔2

1,5 𝑚 𝑔

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑅 𝜔2

1,5 𝑔 (3)

De la figura, 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑅

𝐿

𝑅 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (4)

dL

45 30

Figura 6.24

gm

T

Ca

c

30

m

DCL 6.14

g

5,0

DCL 6.15

Figura 6.25

gm

T

Ca

cm

g

5,0


174

Reemplazando (4) en (3), 𝑡𝑔 𝜃 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜔2

1,5 𝑔

Entonces, 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1,5 𝑔

𝐿 𝜔2 → 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

1,5∗9,8 [𝑚

𝑠2]

1,5∗ (2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑

𝑠])

2 = 75,6°

6.9. Estática

La estática es la parte de la mecánica que tiene como objetivo estudiar el equilibrio de los cuerpos considerándolos como una partícula en un caso y como un sólido rígido por otro lado.

Según las fuerzas que actúan sobre una partícula o sólido rígido, se consideran dos tipos de

equilibrio.

Equilibrio traslacional de la partícula. Equilibrio rotacional del sólido rígido.

Sólido rígido: Es aquel en el que se cumple, que las distancias entre sus partículas constituyentes

permanecen invariables con el tiempo, cualesquiera que sean las fuerzas exteriores que actúen

sobre el mismo.

Movimiento de Traslación: Se produce cuando todos y cada uno de los puntos del cuerpo realizan idénticos movimientos rectilíneos y paralelos.

Movimiento de Rotación: Se produce cuando sus puntos describen circunferencias y tienen su

centro sobre el eje de rotación.

También, es importante conocer las fuerzas que se producen en los

apoyos y las reacciones que

aparecen según las clases de

superficie de contacto o apoyo, en la figura 6.26, se tiene un resumen

de dichas fuerzas.

Figura 6.26

Rodillos Patines BalancínSuperficie

sin fricciónFuerza con línea

de acción conocida

Cable

corto

Eslabón

corto

Collarín sobre una

barra sin fricción

Perno sin fricción

en una ranura lisa

Fuerza con línea

de acción conocida

90°

Fuerza con línea

de acción conocida

Apoyo fijo Fuerza y par

Superficie

rugosa

Superficie

rugosa

Perno sin fricción

articulación o bisagra

Pared

rugosa Fuerza de dirección

desconocida


175

6.9.1. Centro de masa de cuerpos homogéneos

El centro de masa (CM), se define como el punto donde se considera que se concentra la masa

de un cuerpo, a partir del cual debe dibujarse las fuerzas aplicadas al cuerpo.

El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría,

por ejemplo, en la figura 6.27 se muestran los centros de masa de una barra y una esfera.

En la figura 6.28 se muestra el peso y las reacciones de las paredes sobre una esfera, las líneas

de acción de dichas fuerzas pasan por el CM, y al considerar su efecto sobre dicha línea de acción, han sido trasladadas al centro de masa.

6.9.2. Equilibrio de traslación de una partícula

La condición necesaria y suficiente para que una partícula esté en equilibrio de traslación, es que

la suma de vectorial de todas las fuerzas que actúen sobre él sea el vector nulo.

6.9.2.1. Método de las componentes

Una partícula se halla en equilibrio, si la resultante de todas las fuerzas componentes que actúan sobre él se anulan, es decir:

∑ �⃗�𝑖𝑛𝑖 = 1 = 0⃗⃗ (6.13)

Tomando en cuenta en los ejes coordenados,

∑ �⃗�𝑖𝑥𝑛𝑖 = 1 = 0⃗⃗ (6.14)

∑ �⃗�𝑖𝑦𝑛𝑖 = 1 = 0⃗⃗ (6.15)

Ejemplo 6.16

Un bloque de 20,0 [N] de peso está en equilibrio mediante una fuerza �⃗�1 que

se mantiene formando un ángulo de 30º respecto a la vertical, y mediante otra

fuerza horizontal �⃗�2 según muestra la figura 6.29. Determinar los módulos de

�⃗�1 y �⃗�2.

Solución

∑ 𝐹𝑦 = 0⃗⃗: 𝐹1𝑌 = 0 → 𝐹1𝑌 − 𝑚 𝑔 = 0 → 𝐹1𝑌 = 𝑚 𝑔 → 𝐹1𝑌 = 20 [𝑁]

𝐹1𝑌 = 𝐹 cos 30° → 𝐹 =𝐹1𝑌

cos 30° → 𝐹 =

20 [𝑁]

cos 30° → 𝐹 = 23,1 [𝑁]

∑ 𝐹𝑋 = 0⃗⃗: 𝐹1𝑋 − 𝐹2 = 0 → 𝐹2 = 𝐹1𝑋 → 𝐹2 = 𝐹 𝑠𝑒𝑛 30° → 𝐹2 = 23,1 𝑠𝑒𝑛 30°

𝐹2 = 11,5 [𝑁]

CM CM

CM CM

CMFigura 6.27

Figura 6.28

Figura 6.29

2F

gm

1F 30


176

Ejemplo 6.17

Una esfera de 10,0 [N] mostrada en la figura 6.30 descansa sobre una pared lisa

y sujeta por una cuerda de masa despreciable. Determinar el módulo de la

tensión en la cuerda y la reacción de la pared, si 𝜃 = 25°.

Solución

Descomponiendo la tensión en ambos ejes, se tiene:

En el eje “y”

∑ 𝐹𝑌 = 0; 𝑇 𝑐𝑜𝑠 25° − 𝑤 = 0 → 𝑇 𝑐𝑜𝑠 25° = 𝑤

𝑇 =𝑤

𝑐𝑜𝑠 25°→ 𝑇 =

10,0 [𝑁]

𝑐𝑜𝑠 25°→ 𝑇 = 11,0 [𝑁]

En el eje “x”

∑ 𝐹𝑋 = 0; 𝑅 − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 25° = 0 → 𝑅 = 𝑇 𝑠𝑒𝑛 25°

𝑅 = 11,0 [𝑛] ∗ 𝑠𝑒𝑛 25° → 𝑅 = 4,66 [𝑁]

Ejemplo 6.18

Encontrar la tensión en las cuerdas, siendo W = 80,0 [N], Despreciar

los pesos de las cuerdas.

Solución

Descomponiendo la tensión en ambos ejes, se tiene:

En el eje “x”

∑ 𝐹𝑋 = 0; 𝑇2 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝑇1 𝑐𝑜𝑠 75° = 0 → 𝑇2 𝑠𝑒𝑛 60° = 𝑇1 𝑐𝑜𝑠 75°

𝑇2 =𝑇1 𝑐𝑜𝑠 75°

𝑠𝑒𝑛 60° (1)

En el eje “y”

∑ 𝐹𝑌 = 0; 𝑇1 𝑠𝑒𝑛 75° − 𝑇2 𝑐𝑜𝑠 60° − 𝑊 = 0 (2)

(1) en (2)

𝑇1 𝑠𝑒𝑛 75° −𝑇1 𝑐𝑜𝑠 75°

𝑠𝑒𝑛 60°𝑐𝑜𝑠 60° − 𝑊 = 0

𝑇1 =𝑤

𝑠𝑒𝑛 75°−𝑐𝑜𝑠 75°

𝑠𝑒𝑛 60°𝑐𝑜𝑠 60°

→ 𝑇1 =80,0 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 75°−𝑐𝑜𝑠 75°

𝑠𝑒𝑛 60°𝑐𝑜𝑠 60°

𝑻𝟏 = 𝟗𝟖, 𝟎 [𝑵]

En (1)

𝑇2 =98,0 [𝑁] 𝑐𝑜𝑠 75°

𝑠𝑒𝑛 60°→ 𝑇2 = 29,3 [𝑁]

0

Figura 6.30

XT

W

R

T

YT

DCL 6.16

60

75

W

Figura 6.31

DCL 6.17

1T

W

60

75XT1

YT1

XT2

YT2

2T


177

6.9.2.2. Polígono de fuerzas

En un sistema en equilibrio de fuerzas

coplanares y concurrentes (figura 6.32), al componer un polígono con los vectores

ordenados en forma sucesiva se plantea un

polígono de fuerzas cerrado, es decir la suma

de fuerzas es el vector cero (resultante nula).

Ejemplo 6.19

Las esferas homogéneas y del mismo peso �⃗⃗⃗⃗� mostradas en la figura 6.33,

están apoyadas en superficies lisas. Dibujar los correspondientes DCL,

polígonos de fuerzas para cada esfera y el polígono de fuerza considerando

ambas esferas como un sistema.

Solución

Los DCL y polígonos se dibujan a escala, considerando los módulos

direcciones y sentidos de las fuerzas (magnitudes vectoriales).

La esfera “1”, está sometida a tres fuerzas, el peso de la esfera, la reacción de la pared izquierda

sobre la misma �⃗⃗⃗�1, la reacción con la esfera “2” �⃗⃗�21, esta última en la dirección que une los

centros de masa de ambas esferas y en sentido de la esfera “2” hacia la “1”.

La esfera “2”, está sometida a cuatro fuerzas, el peso de la esfera, la reacción de la pared

derecha sobre la misma �⃗⃗⃗�2, la reacción con la esfera “1” �⃗⃗�12, esta última en la dirección que

une los centros de masa de ambas esferas y en sentido de la esfera “1” hacia la “2” y la reacción

del piso �⃗⃗⃗�3.

En el DCL 6.18, se muestran las fuerzas que actúan sobre las dos

esferas, donde se han aplicado las fuerzas en el centro de masa de

cada esfera.

Para obtener un triángulo o polígono de fuerzas de la esfera “1”, se

comienza con la fuerza dato, en este caso el peso �⃗⃗⃗⃗� y luego se

dibujan las líneas de acción de las otras fuerzas, y luego se dibujan

las mismas como se muestra en el DCL 6.19.

Para la esfera “2”, en base a las fuerzas peso y la fuerza de reacción

entre la esfera “1” y “2” anteriormente dibujada cambiando su sentido

(3ra Ley de Newton), se adicionan las reacciones de la pared sobre la

esfera �⃗⃗⃗�2 y del piso �⃗⃗⃗�3 como se muestra en el DCL 6.20.

Combinando los DCL de ambas esferas, las fuerzas de acción y reacción entre ambas esferas se

anulan obteniéndose el DCL del sistema como se muestra en el DCL 6.21.

1

2

Figura 6.33

DCL 6.18

1N

21R

W

2N

12R

W

3N

1F

2F

3F

4F

5F

Figura 6.32

1F

2F

3F

4F5F

Polígono de fuerzas


178

Ejemplo 6.20

Las esferas homogéneas y del mismo peso �⃗⃗⃗⃗� mostradas en la figura 6.34,

están apoyadas en superficies lisas. Dibujar los correspondientes DCL,

polígonos de fuerza para cada esfera y el polígono de fuerza considerando las tres esferas como un sistema.

Solución

La esfera “1”, está sometida a tres fuerzas, el peso de la esfera, la reacción

de la pared izquierda sobre la misma �⃗⃗⃗�1, la reacción con la esfera “2” �⃗⃗�21,

esta última en la dirección que une los centros de masa de ambas esferas y en sentido de la esfera “2” hacia la “1”.

La esfera “2”, está sometida a cuatro fuerzas, el peso de la esfera, la reacción de la pared derecha

sobre la misma �⃗⃗⃗�2, la reacción con la esfera “1” �⃗⃗�12, y la reacción con la esfera “3” �⃗⃗�32, estas

últimas en el sentido que une los centros de masa de las esferas.

21R

1N

W

1

2N

12R

W

3N2

1N

21R

W

2N

12R

W

3N

12

1N

W

2N

W

3N

Sistema

W

21R

1N

W

2N

32R

12R

W

4N

23R

3N

2N

12R

32R

W

1N

21R

W

W

3N

4N

23R

2N

3N

4N

W

W

W

1N

12

3

Sistema

DCL 6.19

DCL 6.20

DCL 6.21

1

3

2

Figura 6.34

DCL 6.22

DCL 6.23


179

6.9.2.3. Teorema de Lamy – Triangulo de Fuerzas

Cuando se tienen tres fuerzas concurrentes en equilibrio, estas forman un triángulo de fuerzas

cuya resultante es el vector nulo (0⃗⃗), por lo que se puede utilizar la ley de senos para un triángulo

oblicuángulo, en el cual trasladando los ángulos internos del triángulo a un diagrama de cuerpo

libre da el denominado triángulo de fuerzas o teorema de Lamy.

Si un cuerpo en equilibrio se encuentra sometido a

la acción de tres fuerzas, sus líneas de acción deben

ser concurrentes.

En un sistema de tres fuerzas concurrentes y coplanares que están en equilibrio, se cumple que

cada fuerza es proporcional a la función seno del

ángulo opuesto a ella, es decir:

𝐹1

𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝛼) =

𝐹2

𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝛽) =

𝐹3

𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝛾)

𝐹1

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

𝐹2

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =

𝐹3

𝑠𝑒𝑛 𝛾 (6.16)

El teorema de Lamy, se aplica tanto a una partícula como al sólido rígido.

Ejemplo 6.21

Determinar en cada caso la tracción en la cuerda y la compresión en el puntal mediante la primera

ley de Newton y por el método de Lamy, siendo P = 100 [N]. Se desprecian los pesos de los

puntales y las cuerdas.

𝑅

𝑠𝑒𝑛 127°=

𝑇

𝑠𝑒𝑛 90°=

100 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 143°

𝑅 = 100[𝑁]

𝑠𝑒𝑛 143°∗ 𝑠𝑒𝑛 127° = 132,7 [𝑁]

𝑇 = 100 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 143°∗ 𝑠𝑒𝑛 90° = 166,2 [𝑁]

𝑅

𝑠𝑒𝑛 45°=

𝑇

𝑠𝑒𝑛 150°=

100 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 165°

𝑅 = 100 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 165°∗ 𝑠𝑒𝑛 45° = 273,2 [𝑁]

𝑇 = 100 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 165°∗ 𝑠𝑒𝑛 150° = 1932 [𝑁]

P

37

45 60

P

1F

2F

3F

1F

2F

3F

DCL 6.24

Figura 6.35

R

127 90

P

143T

R

165

PT

150

45

DCL 6.25

DCL 6.26


180

Ejemplo 6.22

La cuerda que sostiene la esfera de radio “r”, de la figura 6.36

tiene una longitud igual a 4 r; la esfera está apoyada en una superficie semiesférica de radio R = 2 r. Si el peso de la esfera es

100 [N], halle la reacción de la superficie semiesférica y la tensión

en la cuerda.

Solución

De la figura 6.42:

𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 𝑅

𝑅 + 𝑟 → 𝑠𝑒𝑛 𝜑 =

2 𝑟

2 𝑟 + 𝑟 → 𝑠𝑒𝑛 𝜑 =

2

3 → 𝜑 = 41,81°

También de la figura,

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑥

5 𝑟 (1)

(3 r)2 = (2 r)2 + x2 → x2 = 5 r2 → x = √5 r (2)

Reemplazando (2) en (1)

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = √5

5 → 𝜃 = 26,57°

Por el teorema de Lamy, se tiene:

𝑇

𝑠𝑒𝑛 131,18° =

𝑅

𝑠𝑒𝑛 153,43° =

100 [𝑁]

𝑠𝑒𝑛 74,76°

𝑇 = 100 [𝑁] 𝑠𝑒𝑛 131,18°

𝑠𝑒𝑛 74,76° = 78 [𝑁]

𝑅 = 100 [𝑁] 𝑠𝑒𝑛 153,43°

𝑠𝑒𝑛 74,76° = 46,4 [𝑁]

En resumen, para el equilibrio traslacional se emplean los tres métodos enunciados:

Método de las componentes.

Polígono de fuerzas.

Teorema de Lamy.

R r

R

x

w

R

T

Figura 6.36

DCL 6.27

w

R

T

w

R

T

81,131

76,74

43,153

Figura 6.37


181

6.9.3. Equilibrio rotacional - Momento de una fuerza (o torque)

La figura 6.38 muestra una fuerza F⃗⃗ cuyo punto inicial se localiza,

respecto del origen de coordenadas “O”, mediante el vector 𝑟. El

momento 𝜏 de la fuerza F⃗⃗, respecto del punto “O”, está definido por:

𝜏 = 𝑟 × �⃗� (6.17)

Vector que es perpendicular al plano determinado por 𝑟 y F⃗⃗. El brazo

de momento de la fuerza F⃗⃗ es la distancia perpendicular desde O a

la línea de acción de F⃗⃗.

El sentido de 𝜏 queda determinado por la regla de la mano derecha para el producto vectorial

de vectores y su módulo es:

𝜏 = 𝑟 𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (6.18)

Donde “” es el ángulo entre 𝑟 y F⃗⃗ y “ 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ” es el brazo de momento de �⃗�.

6.9.4. Equilibrio del sólido rígido

Un cuerpo está en equilibrio estático si no realiza ningún movimiento de traslación acelerado, ni

de rotación. Es decir, permanece en reposo aunque esté sometido a la acción de varias fuerzas.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio se requiere que:

∑ �⃗�𝑖 𝑛𝑖 = 1 = 0⃗⃗ (6.19)

∑ 𝜏𝑖 𝑛𝑖 = 1 = 0⃗⃗ (6.20)

Si las fuerzas se encuentran todas en un plano, las ecuaciones vectoriales anteriores se reducen a las tres ecuaciones algebraicas siguientes:

∑ 𝐹𝑥𝑖 𝑛𝑖 = 1 = 0 (6.21)

∑ 𝐹𝑦𝑖 𝑛𝑖 = 1 = 0 (6.22)

∑ 𝜏𝑖 𝑛𝑖 = 1 = 0 (6.23)

Se debe aclarar que cuando una fuerza aplicada a un sólido rígido trata de hacerla girar en el sentido horario, entonces el torque es negativo y si trata de hacerla girar en el sentido anti horario

el torque es positivo.

Ejemplo 6.23

La barra de la figura 6.39 tiene una longitud de 25 metros y un peso de 400 [N], reposa en

equilibrio sobre los puntos “A” y “B”, bajo la acción de las fuerzas que se indican en la figura. Encontrar las fuerzas ejercidas sobre la barra en los puntos “A” y “B”. También determinar el

módulo de la fuerza F⃗⃗4. Considerar: F1 = 2 000 [N]; F2 = 5 000 [N]; F3 = 1 000 [N]; F5 = 3 000

[N]; = 40°; β = 60°.

4F

1F

2F

3F

5F

m6

m4

m6

m3A B

F

r x

y

o

Línea de acción

Figura 6.39

Figura 6.38


182

Solución

Tomando en cuenta las reacciones en A y B, considerando que el peso de la barra está actuando

en el punto medio de la barra y descomponiendo las fuerzas F⃗⃗3 y F⃗⃗4, aplicando sumatoria de

fuerzas en el eje “x”:

𝐹4 𝑐𝑜𝑠 40° = 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 60° → 𝐹4 = 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 60°

𝑐𝑜𝑠 40°

Remplazando valores

𝐹4 𝑐𝑜𝑠 40° = 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 60° → 𝐹4 = 1 000 [𝑁] 𝑐𝑜𝑠 60°

𝑐𝑜𝑠 40° = 652,7 [𝑁]

Aplicando sumatoria de torques con respecto a un eje ubicado en el punto A,

4 [𝑚] 𝐹1 − 6 [𝑚] 𝐹2 − 8,5 [𝑚] 𝑤𝐵 − 15 [𝑚] 𝑅𝐵 − 18 [𝑚] 𝐹3 𝑠𝑒𝑛 60° − 21 [𝑚] 𝐹5 = 0

Despejando RB :

𝑅𝐵 =− 4 𝐹1 + 6 𝐹2 + 8,5 𝑤𝐵 + 18 𝐹3 𝑠𝑒𝑛 60° + 21 𝐹5

15

Remplazando datos:

𝑅𝐵 =− 4∗2 000 [𝑘𝑔𝑓]+6∗5 000 [𝑘𝑔𝑓]+8,5∗400 [𝑘𝑔𝑓]+18∗1 000 [𝑘𝑔𝑓]∗𝑠𝑒𝑛 60°+21∗3 000 [𝑘𝑔𝑓]

15 = 6 932,6 [𝑁]

Finalmente, aplicando sumatoria de fuerzas en el eje y:

− 𝐹1 − 𝐹4 𝑠𝑒𝑛 40° + 𝑅𝐴 − 𝐹2 − 𝑤𝐵 + 𝑅𝐵 − 𝐹3 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝐹5 = 0

𝑅𝐴 = 𝐹1 + 𝐹4 𝑠𝑒𝑛 40° + 𝐹2 + 𝑤𝐵 − 𝑅𝐵 + 𝐹3 𝑠𝑒𝑛 60° + 𝐹5

𝑅𝐴 = ( 2 000 + 652,7 ∗ 𝑠𝑒𝑛 40° + 5 000 + 400 − 6932,6 + 1 000 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60° + 3 000) [𝑁]

𝑅𝐴 = 4 753 [𝑁]

Ejemplo 6.24

Una escalera de 5,0 [m] de longitud descansa sobre un muro liso, en un punto a 4,0 [m] de altura sobre el piso, como muestra la

figura 6.44. La escalera es uniforme y tiene una masa de 12,0 [kg].

Si una pintora de 60,0 [kg] de masa sube por ella y la escalera

empieza a resbalar por la base cuando la persona ha recorrido el 70% de la altura, ¿cuál será el coeficiente de fricción estática entre

la escalera y el piso?

4F

1F

2F

3F

5F

m6

m4

m6

m3A B

AR

BR

Bw

Figura 6.40

Figura 6.41


183

Solución

De la figura 6.45, 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝐻

𝐿 =

4 [𝑚]

5 [𝑚 ] → 𝜃 = 53,1°

Además, 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0,7 𝐻

𝑥 → 𝑥 =

0,7 𝐻

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

0,7∗4 [𝑚]

𝑠𝑒𝑛 53,1° = 3,5 [𝑚]

Aplicando torques con respecto al punto A:

𝐿 𝑅1 𝑠𝑒𝑛 (180°− 𝜃) − 𝐿

2 𝑊𝑒 𝑠𝑒𝑛 (90°+ 𝜃) − 𝑥 𝑊𝑚 𝑠𝑒𝑛 (90° + 𝜃) = 0

𝐿 𝑅1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝐿

2 𝑚𝑒 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑥 𝑚𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0

𝐿 𝑅1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝐿

2 𝑚𝑒 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑥 𝑚𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃

5 𝑅1 𝑠𝑒𝑛 53,1° = 5

2 12 [𝑘𝑔] ∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 𝑐𝑜𝑠 53,1°+ 3,5[𝑚] ∗ 60[𝑘𝑔] ∗ 9,8 [𝑚

𝑠2] ∗ 𝑐𝑜𝑠 53,1°

4 𝑅1 = 176,5 + 1 235,7 → 𝑅1 = 353 [𝑁]

En el eje y, 𝑅2 = 𝑚𝑒 𝑔 + 𝑚𝑚 𝑔 = (𝑚𝑒 + 𝑚𝑚) 𝑔 → 𝑅2 = (12 [𝑘𝑔] + 60 [𝑘𝑔]) (9,8 [𝑚

𝑠2]) = 705,6 [𝑁]

Entonces, en el eje x, 𝑓𝑟 = 𝑅1 → μ 𝑅2 = 𝑅1 → μ = 𝑅1

𝑅2=

353 [𝑁]

705,6 [𝑁] → μ = 0,5

Ejemplo 6.25

Dos pintores cuyas masas son 𝑚𝐴 = 80 [𝑘𝑔] y 𝑚𝐵 = 65 [𝑘𝑔] pintan el muro de una casa, parados sobre una tabla larga

que descansa sobre un andamio, como se ilustra en la

figura. Si la tabla tiene una masa 𝑚 = 20 [𝑘𝑔] y si la

reacción en B es 1,2 veces la reacción en A, ¿a qué

distancia del punto P debe ubicarse el pintor A, de tal

manera que el pintor B llegue al extremo Q?

Solución

Datos adicionales: 𝑑 = 2,5 [𝑚] ; 𝑒 = 1,5 [𝑚]

Eje y: 𝑅𝑃 + 𝑅𝑆 − 𝑚 𝑔 − 𝑚𝐴 𝑔 − 𝑚𝐵 𝑔 = 0

Y como 𝑅𝐵 = 1,2 𝑅𝑃 entonces

𝑅𝑃 + 1,2 𝑅𝑃 − 𝑚 𝑔 − 𝑚𝐴 𝑔 − 𝑚𝐵 𝑔 = 0 → 2,2 𝑅𝑃 = (𝑚 + 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑔

𝑅𝑃 = (𝑚+ 𝑚𝐴+ 𝑚𝐵)𝑔

2,2 → 𝑅𝑃 =

(20 [𝑘𝑔]+ 80 [𝑘𝑔]+ 65 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚

𝑠2]

2,2= 735 [𝑁]

Entonces, 𝑅𝑆 = 1,2 𝑅𝑃 = 1,2 × 735 [𝑁] → 𝑅𝑆 = 882 [𝑁]

Luego, aplicando torques con el eje en el punto P,

gm

gmb

gma

PR

SR

+

--

+

P S Q

A B

Figura 6.42

1R

2R

Rf

gmm

gme

A

h

h7,0

-

-

+

][5,1 m ][5,1 m][5,2 m

QSP

A B

Figura 6.43

Figura 6.44


184

𝑥 𝑚𝐴 𝑔 − 𝑑

2𝑚 𝑔 + 𝑑 𝑅𝑆 − (𝑑 + 𝑒)𝑚𝐵 𝑔 = 0 //x (2)

2 𝑥 𝑚𝐴 𝑔 − 𝑑 𝑚 𝑔 + 2 𝑑 𝑅𝑆 − 2 (𝑑 + 𝑒)𝑚𝐵 𝑔 = 0

𝑥 = 𝑑 𝑚 𝑔 − 2 𝑑 𝑅𝑆 + 2 (𝑑+𝑒)𝑚𝐵 𝑔

2 𝑚𝐴 𝑔

𝑥 = 2,5 [𝑚]∗20[𝑘𝑔]∗9,8 [

𝑚

𝑠2] − 2∗2,5[𝑚]∗882[𝑁]+ (2,5 [𝑚] + 1,5 [𝑚])∗65[𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚

𝑠2])

2∗80 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚

𝑠2]= 0,75 [𝑚]


185

DINÁMICA Y ESTÁTICA

6.1. El principio de inercia establece que "todo cuerpo…

a) que se encuentra en reposo o con MRU tiende a seguir en ese estado.

b) que se encuentra con MRU al aplicarle una fuerza neta distinta de cero,

permanece en ese estado. c) que se encuentra con MRUV sigue en ese estado si no se le aplica ninguna fuerza

neta.

d) que se encuentra en reposo o en MRU sigue en ese mismo estado si la fuerza

neta es distinta de cero.

e) Nada de lo anterior es correcto.

6.2. En un cuerpo sobre el cual actúa una fuerza neta constante, se cumple que:

a) La diferencia de posición del móvil es directamente proporcional al tiempo

transcurrido.

b) La fuerza es directamente proporcional a la masa. c) Su velocidad aumenta con el cuadrado del tiempo.

d) La aceleración es directamente proporcional a la masa.

e) La aceleración aumenta linealmente con el tiempo.

6.3. Con respecto al peso y la masa es correcto afirmar que:

a) El peso es una magnitud vectorial y la masa escalar.

b) La constante que relaciona peso y masa es la aceleración de la gravedad �⃗�. c) En el vacío desparece el peso pero no la masa.

d) Todo lo anterior es correcto. e) Sólo a y b son correctas.

6.4. Dos masas m1 y m2 se encuentran separadas por una distancia "d" y se atraen con una

fuerza �⃗�1. Si las masas se triplican y la distancia se hace cuádruple, la relación entre el

módulo de la primera fuerza �⃗�1 y el módulo de la segunda fuerza �⃗�2 será:

a) F1 = 1,78 F2 b) F1 = 1,50 F2 c) F1 = 0,44 F2 d) F1 = 0,33 F2 e) F1 = 0,25 F2

6.5. Dada una fuerza de acción �⃗�1 y otra de reacción �⃗�2 no se cumple que:

a) �⃗�1 es colineal con �⃗�2 y tienen diferente sentido.

b) �⃗�1 y �⃗�2 se aplican a cuerpos diferentes.

c) �⃗�1 y �⃗�2 son simultáneas.

d) �⃗�1 precede en el tiempo a �⃗�2.

e) �⃗�1 y �⃗�2 tienen igual módulo.

6.6. Un objeto en reposo apoyado sobre una superficie horizontal, en el campo gravitatorio

terrestre, no se acelera porque:

a) Sobre él no actúa ninguna fuerza.

b) Sobre él actúan dos fuerzas de igual dirección y sentido.

c) Las dos fuerzas que actúan sobre él son de contacto.

d) La acción y reacción aplicadas al cuerpo son de igual sentido. e) La fuerza peso es de igual módulo y sentido opuesto a la reacción de la superficie

de apoyo.

6.7. Un hombre que se está pesando dentro de un ascensor observa que el peso que marca

la báscula es mayor que su peso real, entonces:

a) el ascensor se mueve hacia arriba con velocidad decreciente. b) el ascensor se mueve hacia abajo con velocidad decreciente.


186

c) el ascensor se mueve hacia arriba con velocidad creciente.

d) el ascensor se mueve hacia abajo con velocidad constante.

6.8. ¿Cuál de estas frases incluye los elementos esenciales de la Primera Ley de Newton?

a) Un cuerpo en reposo se mantiene siempre en estas condiciones a no ser que

actúe sobre él una fuerza no nula.

b) Por cada acción hay siempre una reacción igual y opuesta.

c) Un cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme en una línea recta mientras actúe sobre él una fuerza de valor constante.

d) Un cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme en una

línea recta siempre y cuando no actúe sobre él ninguna fuerza.

6.9. Una persona de 80 [kg] de masa está conduciendo un coche. Si en un determinado instante nota que el respaldo de su asiento la empuja adelante con una fuerza de unos

39,2 [N], ¿cuál de las siguientes situaciones no puede producir el mencionado efecto?

a) El coche circula hacia arriba por una carretera inclinada 0,05 [rad], con una

velocidad constante de 30 [m/s].

b) El coche circula hacia abajo, por la pendiente anterior, aumentando su velocidad a un ritmo de 1,0 [m/s2].

c) El coche está frenando, a razón de 0,5 [m/s2], con el objetivo de acabar una

maniobra (en terreno plano) de marcha atrás.

d) El coche acelera hacia atrás en terreno plano aumentando su rapidez a razón de 0,5 [m/s2].

6.10. Dos objetos están deslizando con la misma velocidad en una superficie de madera. El

coeficiente de rozamiento cinético entre el primer objeto y la superficie es doble que

entre el segundo objeto y la superficie. La distancia recorrida por el primer objeto antes de detenerse es “S”. La distancia recorrida por el segundo objeto es:

a) S/2.

b) 2 S.

c) 4 S. d) Imposible de determinar sin conocer las masas involucradas.

6.11. Una pelota de masa m es lanzada hacia arriba con cierta rapidez inicial. Si se desprecia

la resistencia del aire, el módulo de la fuerza que actúa sobre la pelota cuando llega a

su altura máxima es

a) mg y hacia arriba b) mg y hacia abajo c) cero d) ninguno de estos.

6.12. Para poder mover el bloque de la figura, que se encuentra

en reposo sobre el suelo, es necesario hacer una fuerza

paralela a la superficie como mínimo de 400 [N]. Un alumno

empuja dicho bloque con una fuerza constante de 500 [N], tal y como se muestra en la figura adjunta. Podemos

afirmar, entonces, que la fuerza que hará el bloque sobre

el alumno mientras este siga empujando será:

a) Menor de 500 [N]. b) Igual a 500 [N].

c) Mayor de 500 [N].

6.13. Si se sabe que sobre una partícula actúa una sola fuerza conocida, ¿puede decirse en

qué sentido se moverá el cuerpo, a partir de esta única información?

a) Sí, porque los cuerpos se mueven siempre en el mismo sentido de la fuerza resultante.

Figura 6.45


187

b) No, porque es necesario conocer además el vector velocidad inicial.

c) Sí, porque como �⃗� = 𝑚 �⃗�, con �⃗� conocida, se conoce el sentido en que se mueve

el cuerpo.

d) No, porque es necesario conocer además la posición inicial.

6.14. Cuándo sobre una partícula en movimiento actúa una fuerza resultante, entonces la partícula se mueve:

a) Con velocidad de módulo constante sobre una circunferencia.

b) En línea recta disminuyendo su velocidad.

c) Siguiendo cualquier trayectoria curva. d) En línea recta con velocidad constante.

6.15. Cuando un cuerpo desliza con rozamiento sobre otro:

a) El módulo de la fuerza de rozamiento es mayor que el producto del coeficiente

estático por la normal. b) El módulo de la fuerza de rozamiento es igual al producto del coeficiente cinético

por la normal.

c) El módulo de la fuerza de rozamiento es el mismo que el de la normal.

d) La fuerza de rozamiento es paralela a la normal.

6.16. Sobre el bloque de la figura 6.46, (situado sobre una superficie horizontal rugosa, cuyo coeficiente de rozamiento

con el bloque es “𝜇”) se aplica una fuerza �⃗� de modo que el

bloque se mueve con rapidez constante 𝑣. En el esquema

de la figura 6.46, se representan los vectores fuerza que

actúan sobre el bloque. Además de la fuerza �⃗�, las otras

fuerzas que actúan sobre el bloque son: su peso �⃗⃗⃗⃗�, la

fuerza de rozamiento con la superficie 𝑓𝑟 y la fuerza normal

�⃗⃗⃗�. Responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál de las siguientes relaciones entre los módulos de las fuerzas �⃗�, �⃗⃗⃗⃗�, 𝑓𝑟 y �⃗⃗⃗� es

la correcta?

i. F > fr y N = W

ii. F > fr y N < W

iii. F = fr y N > W

iv. F = fr y N = W

b) Si el módulo de �⃗� aumenta sin variar su dirección:

i. La fuerza de rozamiento deja de actuar.

ii. El módulo de �⃗⃗⃗� no varía.

iii. El bloque no se mueve.

iv. El bloque ya no se mueve con velocidad constante.

c) Si sobre el bloque se coloca una pequeña masa, sin variar el valor de �⃗�:

i. Cambia la dirección de �⃗⃗⃗� .

ii. El módulo de �⃗⃗⃗� aumenta.

iii. El módulo de �⃗⃗⃗� es el mismo de antes.

iv. El módulo de �⃗⃗⃗� disminuye.

Rf F

W

N

Figura 6.46


188

A

6.17. Un cuerpo se mueve describiendo una curva con velocidad de módulo constante. La

fuerza actúa sobre él es:

a) Perpendicular a la trayectoria. b) Nula, si la velocidad es pequeña.

c) Tangente a la trayectoria.

d) Nula, sea cual sea el valor de la velocidad.

6.18. Un motociclista está dando vueltas dentro de una “jaula de la muerte”, la cual es esférica de radio “r” como muestra la figura. La masa del conjunto moto-motociclista es “m”.

La fuerza resultante �⃗� ejercida sobre el conjunto moto-

motociclista en el punto “A” es la mostrada en:

6.19. El DCL, de la esfera lisa de 10 [kg], es:

6.20. Sea un objeto suspendido del techo por medio de un hilo. La tercera ley de Newton nos

permite afirmar que la reacción a la tensión �⃗⃗� en el punto A es:

a) La fuerza que hace el objeto sobre la tierra. b) La fuerza que hace el objeto sobre el hilo.

c) La fuerza que hace la tierra sobre el objeto.

d) La fuerza que hace el techo sobre el objeto.

6.21. Es sistema mostrado está en equilibrio. El peso del bloque “B” es mayor

que el de “C”. Indique cual es el Diagrama de Cuerpo Libre más adecuado para el bloque “C”.

A AAA

a) b) c) d)

F F

FF

g

a) b) c) d)

F

e)

C

AB

a) b) c)

d) e)

A

Figura 6.47

Figura 6.48

Figura 6.49

Figura 6.50


189

6.22. El módulo de la tensión en la cuerda “A”, en el sistema mostrado

en la figura 6.51 es:

a) 𝑊 𝑠𝑒𝑛

b) 𝑊 𝑐𝑜𝑠

c) 𝑊 𝑡𝑔

d) 𝑊/𝑠𝑒𝑛 e) 𝑊/𝑐𝑜𝑠

6.23. En relación a la tercera Ley de Newton en una pareja de fuerzas de acción y reacción,

es falso que:

a) Coexisten en el mismo instante de tiempo.

b) Actúan en cuerpos diferentes. c) Tienen el mismo módulo.

d) No se equilibran entre sí.

6.24. ¿Cuál es la gráfica que mejor representa el diagrama de cuerpo libre de la barra

homogénea en equilibrio, mostrada en la figura?

6.25. Un pequeño auto choca con un gran camión cargado. En esta interacción:

a) ¿la fuerza que el auto ejerce sobre el camión es mayor, menor o igual que la fuerza

que el camión ejerce sobre él?

b) Entonces, ¿por qué el automóvil pequeño normalmente queda más averiado que el

camión?

6.26. Indicar en qué consiste el diagrama de cuerpo libre.

6.27. Una pelota está sostenida por la mano de una persona.

a) Identifique todas las fuerzas externas que actúan sobre la pelota y la reacción de

cada una. b) Si la pelota se deja caer, ¿qué fuerza se ejerce sobre ella mientras cae? Identifique

la fuerza de reacción en este caso.(Desprecie la resistencia del aire)

6.28. a) Si un auto se desplaza hacia el oeste con una rapidez constante de 20 [m/s] ¿Cuál

es la fuerza resultante que actúa sobre él?

b) Si un auto se mueve con aceleración constante, ¿puede concluirse que no hay fuerzas que actúen sobre él?

6.29. Si el oro se vendiera por peso, ¿preferiría el lector comprarlo en la Tierra o en la Luna?,

si se vendiera por masa en, ¿en qué lugar lo compraría? ¿Por qué?

6.30. Es posible que la velocidad de un cuerpo esté dirigida hacia el este y la fuerza que actúa sobre él hacia el oeste. Razona la respuesta.

6.31. Se sitúa un cuerpo sobre un plano inclinado 60º respecto la horizontal. El coeficiente de

rozamiento estático entre el cuerpo y el plano es μe = 0,5. Indicar si el cuerpo quedará

en reposo o comenzará a bajar.

a) b) c) d) e)

W

BA

Figura 6.51

Figura 6.52


190

6.32. ¿Cuál es la fuerza que se manifiesta solamente cuando el cuerpo está en movimiento y

que se opone a él?

6.33. ¿De qué factores depende la fuerza de rozamiento? ¿Qué dirección y sentido tiene siempre la fuerza de rozamiento?

6.34. ¿Podría un esquiador estar subiendo por una pendiente y sin que nadie ni nada lo

empuje hacia arriba? ¿Cómo? ¿Cuánto valdría su aceleración?

6.35. Se dejan caer dos bolsas verticalmente una arriba de la otra unidas por una cuerda, hallar el valor de la tensión en la cuerda cuando:

i. La de arriba es de 4 [kg] y la de abajo de 9 [kg]:

a) 4 [kg] b) 5 [kg] c) cero d) un valor distinto a los anteriores.

ii. La de arriba es de 9 [kg] y la de abajo 4 [kg]:

a) 4 [kg] b) 5 [kg] c) cero d) un valor distinto a los anteriores.

6.36. Una roca de 2 [kg]. Tiene el doble de masa que una roca de 1 [kg]. ¿Tiene también

necesariamente doble de peso?

6.37. Si un elefante te persiguiera, su enorme masa sería un peligro para ti. Pero si corres en

zigzag, la masa del elefante sería una ventaja para ti ¿Por qué?

6.38. Un truco de magia muy popular consiste en colocar una moneda sobre una carta de

baraja y la carta sobre un vaso. Con el dedo índice se le da un golpe brusco al borde de

la carta haciendo que ésta salga despedida y la moneda caiga dentro del vaso. Explicar

el fenómeno.

6.39. ¿Un cuerpo puede acelerarse sin interactuar con otros cuerpos?

6.40. ¿Puede moverse un objeto en un sentido diferente a la de la fuerza neta aplicada sobre

él? ¿Puede acelerarse en, un sentido diferente a la de dicha fuerza? Explique.

6.41. ¿Se podría aceptar la siguiente idea: “cuánto más rápido es el movimiento de un cuerpo, mayor es la fuerza que debe estar actuando sobre él”?

6.42. Una caja de masa “m” debe arrastrarse sobre un suelo horizontal. El coeficiente de

rozamiento estático entre la caja y el suelo es “”. Un método de arrastre sería empujar

la caja con una fuerza que formase un ángulo “θ” hacia abajo con la horizontal. Otro

método sería tirar de la caja con una fuerza que formase un ángulo θ hacia arriba con

la horizontal.

a) Explicar por qué un método es mejor que el otro.

b) Calcular la fuerza necesaria para mover la caja si θ = 0°.

6.43. Si la fuerza de acción tiene el mismo módulo y la misma dirección que la fuerza de

reacción, pero sentidos opuestos, ¿por qué no se anulan?

6.44. Muchas veces, a pesar que el conductor está pisando el acelerador el automóvil se desplaza en línea recta con velocidad constante. ¿Qué se puede decir de la resultante

de las fuerzas que actúan sobre el automóvil?

6.45. En la interacción entre un martillo y el clavo al cual golpea, ¿se ejerce alguna fuerza

sobre el clavo? ¿Sobre el martillo? ¿Cuántas fuerzas participan en esta interacción?


191

6.46. El péndulo de la figura 6.53 está colgado del techo de

un vehículo que se mueve de izquierda a derecha.

Indicar si el vehículo está frenando, acelerando o se mueve con velocidad constante. ¿Cuál sería la

respuesta a la pregunta anterior si la posición

observada del péndulo fuese vertical con relación al

vehículo?

6.47. Verdadero o falso:

( ) El reposo, MRU o movimiento no acelerado, son estados equivalentes

(indistinguibles) de una partícula en equilibrio.

( ) Una partícula que se mueve con MCU se encuentra en equilibrio pues su rapidez permanece constante.

( ) Sólo las partículas que no se encuentran sometidas a la acción de fuerzas

(partículas libres) se encuentran en equilibrio.

( ) El movimiento que produce una fuerza sobre un cuerpo es independiente de la

masa de ese cuerpo ( ) Las fuerzas solamente se manifiestan cuando dos cuerpos están en contacto.

( ) El peso de los cuerpos se debe a la fuerza de atracción gravitatoria qué produce

la tierra sobre ellos

( ) La rapidez con que se mueve un cuerpo es independiente de la fuerza que se le aplica

( ) La acción de un conjunto de fuerzas actuando sobre un mismo objeto produce el

mismo efecto que si actuase una única fuerza que se suele llamar fuerza

resultante ( ) A un cuerpo de masa 1 [kg] se le aplica una fuerza de 1 [kgf] entonces adquiere

una aceleración de 1 [m/s²].

( ) Cuando una mariposa golpea contra el vidrio delantero de

un automóvil en movimiento la fuerza que hace la mariposa sobre el vidrio tiene el mismo módulo que la que

hace el vidrio sobre la mariposa.

( ) Según como proceda una persona, para subir a un estante una carga de 30 [kg]

podría llegar a hacerlo en algún instante una fuerza de módulo menor que 30

[kgf].

( ) La expresión de la segunda ley de Newton �⃗� = 𝑚 �⃗� vale solamente si �⃗� es la

resultante.

( ) Si un cuerpo tiene aplicada una fuerza hacia abajo, solo puede moverse hacia

abajo. ( ) En un cuerpo apoyado sobre un plano horizontal la fuerza peso y la fuerza que

el plano hace sobre el cuerpo son pares de acción y reacción.

( ) Cuando un colectivo frena una fuerza nos impulsa hacia adelante.

( ) En el punto más bajo de un cuerpo atado a una cuerda y que está girando en un círculo vertical de manera uniforme, la tensión es igual al peso.

( ) La fuerza peso y la fuerza de atracción gravitatoria tienen siempre el mismo

módulo.

( ) Si Ud. pesa 600 [N] ello indica que Ud. atrae a la Tierra con una fuerza de 600 [N].

( ) Si un cuerpo está en reposo, entonces está en equilibrio.

( ) Si un cuerpo está en equilibrio, entonces está en resposo.

( ) Si un cuerpo se mueve en linea recta con velocidad constante, entonces está en

equilibrio.

a

Figura 6.53


192

6.48. ¿Qué fuerzas actúan sobre un cuerpo atado a una cuerda y que está girando en un

círculo vertical de manera uniforme?

6.49. Indicar cuando un cuerpo está en equilibrio.

6.50. ¿Qué fuerza se debe hacer para levantar un cuerpo de 1 [kg] con movimiento rectilíneo

uniforme?, y ¿si lo quiere levantar con una aceleración de 2 [m/s2]?

6.51. Si desde una nave espacial disparas una bala de cañón hacia el espacio sin fricción,

¿cuánta fuerza hay que ejercer sobre la bala para que se mantenga en movimiento?

6.52. Considerar los sistemas de la figura 6.54, sin

roce, determinar en cada caso el módulo de la

fuerza �⃗� necesaria para sostener el peso �⃗⃗⃗⃗�.

6.53. Si sobre el bloque de 3 [kg] de masa, de la figura 6.55, actúan las fuerzas indicadas en

ella:

a) ¿Qué dirección y sentido tiene la fuerza resultante? b) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo?

6.54. Un cuerpo de masa M = 40 [kg] está sobre el suelo horizontal con el cual tiene una

fricción no nula (Figura 6.56), se aplica una fuerza de módulo F = 100 [N] que forma

un ángulo = 37º con la horizontal, y el cuerpo adquiere una aceleración horizontal de

1 [m/s2].

a) Construir un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Hay

entre estas fuerzas algún par de acción – reacción, ¿Por qué? b) ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total que actúa sobre el cuerpo? y ¿el de la

fuerza normal que el suelo hace sobre el cuerpo?

c) Determinar el valor del coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y el

suelo.

6.55. Un cuerpo de 10 [kg] que se mueve con una rapidez de 3 [m/s], recibe la acción de

una fuerza constante de 16 [N], con igual dirección y sentido que su movimiento. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo? Si la fuerza actúa durante 0,4 [s], ¿cuál es la velocidad

final adquirida por el cuerpo?

6.56. Una masa de 5 [kg] está colgada de un hilo vertical, inextensible y de masa

despreciable. Si la tensión del hilo tiene un valor de 60 [N], indicar cuál de las

propuestas siguientes es correcta:

a) La masa asciende con velocidad constante.

b) La masa tiene una aceleración hacia arriba.

c) La masa se encuentra en reposo.

8 [N] 20 [N]M

F

F

W

a)

W

b)

F

W

c)

F

Figura 6.54

Figura 6.55

Figura 6.56


193

6.57. Una motocicleta cuya masa es de 80 [kg] alcanza una velocidad de 120 [km/h] al cabo

de 8 [s] de haber partido. ¿Cuál es el módulo de la fuerza que ejerce el motor de la

motocicleta?

6.58. En el sistema de la figura la masa de la cabina “A” vale MA = 200

[kg] y la de la cabina “B” vale MB = 300 [kg]. Dentro de cada

una hay un masa M = 50 [kg]. Suponiendo despreciables las

masas del cable y de las poleas y los efectos del rozamiento, calcula:

a) La aceleración con que se mueve el sistema.

b) La tensión del cable.

c) La fuerza de contacto entre cada una de las masas “M” de 50 [kg] y la cabina respectiva.

6.59. Un balde con mezcla cuelga del cable de una grúa. Analizar las interacciones presentes

y hacer el diagrama de cuerpo libre del balde en cada caso. Comparar los módulos de

las fuerzas entre un caso y otro. Si la masa del balde es 40 [kg], determinar la fuerza

que ejerce el cable, cuando el balde:

a) Permanece en reposo.

b) Sube con velocidad constante de 2 [m/s].

c) Sube, aumentando su velocidad a razón de 2 [m/s] cada segundo.

d) Sube, disminuyendo su velocidad a razón de 2 [m/s] en cada segundo.

6.60. Una masa de 3 [kg] se somete a una aceleración dada por �⃗� = (2 𝑖̂ + 5 �̂� ) [m/s2].

Determine la fuerza resultante �⃗�.

6.61. Tres fuerza dadas por �⃗�1 = −2 𝑖̂ + 2 𝑗̂ [N], �⃗�2 = 5 𝑖̂ − 3 𝑗̂ [N], y �⃗�3 = 4,5 𝑖̂ [N] actúan

sobre un objeto para producir una aceleración de módulo 3,75 [m/s2]

a) ¿Cuál es el sentido de la aceleración?

b) ¿Cuál es la masa del objeto? c) ¿Si el objeto parte del reposo? ¿Cuál es su rapidez después de 10 [s]?

d) ¿Cuáles son las componentes de velocidad del objeto después de 10 [s]?

6.62. Hallar la aceleración de un esquiador que se desliza por la

ladera de una colina inclinada 30° con la horizontal, con rozamiento despreciable. ¿Cuál será la inclinación de la pista,

cuando su aceleración sea 8 [m/s²]?

6.63. El sistema de la figura 6.59, asciende por el plano liso

inclinado 30°. Las masas de los cuerpos son m1= 60 [kg], m2= 40 [kg]. Realizar los diagramas de cuerpo libre para

cada carro, y determinar:

a) El módulo de la fuerza �⃗� necesaria, para que se

mueva con velocidad constante.

b) La fuerza que ejerce la cuerda, en ese caso.

c) El módulo de la �⃗� necesaria para que se aceleren

hacia arriba a razón de 2 [m/s²], y la fuerza que

soporta la cuerda en ese caso.

M

MBMA

M

(a) (b)

30°

F

v 1m

2m

Figura 6.57

Figura 6.58

Figura 6.59


194

d) La fuerza que soporta la cuerda, la aceleración y el sentido del movimiento, un

instante después de suprimir �⃗�.

6.64. Una masa de 10 [kg] se levanta mediante un cable ligero. ¿Cuál es la tensión en el

cable si la aceleración es:

a) Cero. B) 6 [m/s2] hacia arriba. c) 6 [m/s2] hacia abajo.

6.65. Una joven está parada en el piso de un ascensor. Su peso es de 480,2 [N]. ¿Qué fuerza

hace sobre el piso del ascensor?:

a) Cuando éste está detenido.

b) Cuando el ascensor sube con una aceleración de 1,96 [m/s2]. c) Cuando desciende con dicha aceleración.

6.66. Ingenieros especialistas en seguridad calculan que un ascensor puede sostener 5

personas con una masa media de 80 [kg]. Por su parte, el ascensor tiene una masa de

800 [kg]. Pruebas de tensión muestran que el cable que sostiene al ascensor soporta una tensión máxima de 13 560 [N]. ¿Cuál es la máxima aceleración que el motor del

ascensor puede producir sin que se rompa el cable?

6.67. Dos bloques de masas m1 y m2, conectados por una

cuerda que pasa por una polea sin rozamiento, se

deslizan por planos inclinados sin rozamiento como indica la figura adjunta.

a) Determinar la aceleración de los bloques y la

tensión de la cuerda.

b) Determinar la relación entre las masas m1 y m2, para la cual no se produce aceleración en el

sistema.

6.68. Dos bloques A y B de masa mA = 14 [kg] y mB = 10 [kg], están unidos

por una cuerda cuya masa total es m = 8 [kg] como se indica en la figura.

Si se aplica al bloque superior A una fuerza vertical �⃗� de módulo 480 [N],

se pide calcular:

a) La aceleración del sistema. b) La tensión en los extremos superior e inferior de la cuerda.

6.69. Un bloque “A” de 5 [kg] situado sobre una mesa horizontal, está unido a un hilo que

pasa a través de una polea ideal fija colocada en el borde de la mesa. El coeficiente de

rozamiento del bloque con la mesa es de 0,2. Calcular la aceleración del bloque “A” si:

a) Del extremo del hilo cuelga un bloque “B” de igual masa que “A”.

b) Se tira del extremo del hilo con una fuerza constante de 50 [N].

6.70. Dos bloques de masas “m” y “M” están unidos por una

cuerda ideal. El bloque de masa “m” desliza sobre un plano con coeficiente de roce cinético “μ”. Mientras que

el bloque de masa M cuelga verticalmente del extremo

de una cuerda que pasa por una polea. Calcule la tensión

de la cuerda y la aceleración de los bloques. Si inicialmente el bloque de masa “M” se encuentra a “L”

metros sobre el suelo y en reposo, determine el tiempo

que demora en chocar con el suelo y la velocidad que

tiene al chocar.

A

B

F

m

M

Figura 6.60

Figura 6.61

Figura 6.62

2m1m


195

6.71. Para el sistema de la figura 6.63, hallar la aceleración

de los bloques y las tensiones en las cuerdas.

Considere que el coeficiente de fricción entre la superficie y el bloque “B” es μ1= 0,3 y el coeficiente

de fricción entre ambos bloques es μ2 = 0,2. Las

masas de los bloques son MA = 2 [kg] y MB = 3 [kg].

El sistema se libera a partir del reposo.

6.72. Un bloque de 5 [kg] es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30º con una

rapidez v0 = 9,8 [m/s]. Se observa que recorre una distancia de 6 [m] sobre la superficie

inclinada del plano y después desliza hacia abajo hasta el punto de partida.

a) Calcular la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. b) Hallar la rapidez del cuerpo cuando vuelve a la posición inicial.

6.73. Un cuerpo de 10 [g] se deja caer (caída libre). Cuando su velocidad es de 20 [m/s] se

le aplica una fuerza en sentido opuesto al del movimiento y tarda 4 [s] en detenerlo.

Calcular el valor de la fuerza y el camino total recorrido por el cuerpo desde que se

soltó.

6.74. En el sistema de la figura 6.64 las masas de “1” y “2” son iguales

a “m”, el coeficiente de rozamiento entre los bloques y “B” es

“μ”, y la masa de la polea es despreciable. ¿Cuál es la

aceleración mínima a la que debe desplazarse “B” en dirección horizontal para que los cuerpos “1” y “2” permanezcan en

equilibrio respecto de “B”? En las mismas condiciones que

antes, calcular la aceleración máxima para que se siga

manteniendo el equilibrio.

6.75. Un hombre y un niño, se están pesando junto al lavamanos

en el cuarto de baño, practicando el principio de acción y

reacción:

a) ¿Por qué es menor la indicación de la balanza cuando se empuja el lavamanos hacia abajo?

b) ¿Por qué será mayor la indicación cuando se jala

hacia arriba por la parte inferior del lavamanos?

c) Identificar en el gráfico los pares de acción-reacción.

6.76. En los siguientes ejemplos de interacciones, dibuja las fuerzas que se ejercen “A” y “B”, e indica, en cada caso, quién realiza mayor fuerza sobre el otro:

a) Una persona muy corpulenta “A” da un empujón a otra mucho más pequeña

“B”.

b) Un coche a gran velocidad “A” golpea con el parabrisas a un insecto “B”. c) Un avión en vuelo “A” golpea a un ave “B”.

6.77. Un auto impacta a un camión frontalmente. Usted observa que el auto queda destrozado

y el camión está levemente dañado. ¿Cuál de los dos, durante el instante que duró el

choque, fue golpeado con mayor fuerza, el auto o el camión? ¿Cuál tuvo mayor aceleración (en módulo)?

10 [kg]

A

B

Figura 6.63

Figura 6.64

1

2B

Ba

Figura 6.65


196

6.78. Se empuja un armario de 200 [kg]. con una fuerza de 300 [N], horizontalmente

respecto al suelo, y no se consigue moverlo. Calcular la fuerza de rozamiento que actúa

sobre él.

6.79. Un paracaidista en caída tiene en conjunto una masa de 150 [kg]. En cierto instante su

aceleración es de 2,45 [m/s2]. ¿Qué fuerza de rozamiento actúa sobre el en ese

instante?

6.80. Un bloque de 10 [kg] permanece en reposo sobre una superficie horizontal. ¿Qué fuerza horizontal constante se requiere para comunicarle una velocidad de 4 [m/s] en 2 [s],

partiendo del reposo, si la fuerza de rozamiento entre el bloque y la superficie es

constante e igual a 5 [N]?

6.81. A un cuerpo de 50 [kg] que está sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza, también horizontal, de 100 [N]. Si la fuerza de rozamiento es de 40 [N]:

a) Calcula la aceleración que adquiere el cuerpo.

b) La velocidad que lleva al cabo de 8 segundos si parte del reposo.

c) Su posición al final de éstos 8 segundos.

6.82. Calcular el peso de una caja sabiendo que para arrastrarla por el suelo hay que aplicarle una fuerza de 800 [N] si el coeficiente estático de rozamiento es 0,8.

Calcular también qué aceleración adquiere al aplicarle una fuerza de 1 000 [N] si el

coeficiente cinético de rozamiento es 0,7.

6.83. Se lanza un bloque de hielo de 2 [kg] sobre una superficie helada con una velocidad de 15 [m/s] y recorre 97,8 [m] antes de detenerse.

a) ¿Cuál es la aceleración del bloque?

b) Calcular el coeficiente cinético de rozamiento entre el hielo y el bloque.

6.84. Se sitúa un objeto de 2 [kg] en un plano inclinado 30°. Calcular la aceleración con la que baja si el coeficiente cinético de rozamiento es 0,2.

6.85. Un cuerpo tiene 0,3 y 0,2 de coeficientes de rozamiento. Cuando se aplica sobre él una

fuerza que va aumentando paulatinamente hasta que comienza a moverse y en este

momento se mantiene invariable. Calcula la aceleración del movimiento de este objeto.

6.86. Un cuerpo de 10 [kg] de masa se mueve con una rapidez constante de 5 [m/s] sobre

una superficie horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el cuerpo y la

superficie es de 0,2. Determinar:

a) ¿Qué fuerza horizontal se necesita para mantener el movimiento?

b) Si se suprime la fuerza, ¿en qué tiempo se detendrá el cuerpo?

6.87. Dos bloques conectados por una barra rígida de masa despreciable deslizan sobre una

superficie inclinada 20°. El bloque inferior tiene una masa m1 = 1,2 [kg] y el bloque

superior m2 = 0,75 [Kg].

a) Si los coeficientes de rozamiento cinético son μC = 0,3 para el bloque inferior y μC = 0,2 para el bloque superior, ¿cuál es la aceleración de los bloques?

b) Determinar la fuerza transmitida por la barra.

6.88. Un bloque de 2 [Kg] está situado sobre otro de 4 [kg], que a

su vez se apoya sobre una mesa sin rozamiento. Los coeficientes de rozamiento entre los dos bloques son μE = 0,3

y μC = 0,2.

a) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede aplicarse al bloque

de 4 [kg] de tal modo que el bloque de 2 [kg] no deslice?

F

4 [kg]

2 [kg]

Figura 6.66


197

b) Si F es la mitad de este valor máximo, determinar la aceleración de cada bloque

y las fuerzas de rozamiento que actúan sobre cada uno de ellos.

c) Si F es el doble de este valor determinado en (a), calcular la aceleración de cada bloque.

6.89. Un cuerpo de masa 16 [kg], se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal

áspera, de coeficiente de fricción estático y cinético μE = 0,3 y μC = 0,25,

respectivamente. Si sobre el cuerpo se aplica una fuerza horizontal �⃗� , determine:

a) La fuerza resultante sobre el bloque si F = 45 [N].

b) El módulo mínimo de �⃗� para poner en movimiento al cuerpo.

c) La distancia horizontal que recorre el cuerpo, hasta llegar a detenerse, si

F = 80 [N] y actúa sólo durante 4 [s].

6.90. Un bloque en reposo sobre una superficie horizontal pesa 425 [N]. Una fuerza aplicada

al bloque tiene un módulo de 142 [N], estando dirigida hacia arriba. El bloque empieza

a moverse cuando el ángulo que forma la fuerza con respecto a la horizontal es de 60º.

Determinar el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie.

6.91. Identificar las fuerzas que actúan sobre los objetos en las diferentes situaciones:

a) Un objeto ha sido lanzado verticalmente hacia arriba y está subiendo.

b) Ídem en el momento de llegar al punto más alto.

c) Ídem y está bajando.

d) Un objeto que se ha lanzado oblicuamente y está en el aire e) Un objeto rodando con rapidez constante por un plano horizontal.

f) Un objeto rodando con movimiento ascendente por un plano inclinado.

g) Un satélite, en órbita alrededor de la Tierra.

6.92. Dibuja DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, del cuerpo mostrado en la figura 6.67.

6.93. Dibuja el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, para el cuerpo mostrado en la

figura 6.68.

6.94. Dibuja el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, del cuerpo mostrado en la

figura 6.69 en el punto “O”.

6.95. Realizar el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, de la esfera mostrada en la figura 6.70.

6.96. Dibujar el DCL para el hombre, y la barra mostrados en la figura 6.71.

6.97. Dibujar el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, de la esfera mostrada en la

figura 6.72. La superficie vertical es lisa.

2

1 2

o

Figura 6.68

Figura 6.67

Figura 6.69


198

6.98. Dibujar el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, de la esfera mostrada en la

figura 6.73, todas las superficies son lisas.

6.99. Dibujar el DCL y sus correspondientes polígonos de fuerzas, de cada una de las esferas

mostradas en la figura 6.74.

6.100. Dibujar el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, de la esfera de radio “r”

mostrada en la figura 6.75.

6.101. Dibujar el DCL y su correspondiente polígono de fuerzas, de la esfera homogénea


6.102. Dibujar el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, de la barra mostrada en la

figura 6.77. La superficie de la pared es lisa.

6.103. Dibuja el DCL y su correspondiente triángulo de fuerzas, de la barra homogénea


6.104. Dibuja el DCL del bloque y del punto de unión de las cuerdas de mostradas en la figura

6.79, además dibuja el triángulo de fuerzas para el punto de unión.

R

rA

B

37

60

F

R

R r

RR

F

74°

37°

Figura 6.70

Figura 6.71

Figura 6.72

Figura 6.73

Figura 6.74

Figura 6.75

Figura 6.76

Figura 6.77

Figura 6.78

Figura 6.79


199

6.105. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada bloque.

6.106. Dibuja el DCL y sus correspondientes polígonos de fuerzas, de las esferas mostradas en

la figura 6.81.

6.107. En el sistema de la figura 6.82, la soga y la polea se suponen sin masa y las pérdidas

por rozamiento dinámico son insignificantes. Calcular la tensión de la soga.

6.108. La masa m1 del sistema de la figura 6.83 vale 40 [kg], y la masa m2 es variable. Los

coeficientes de rozamiento estático y cinético entre m1 y la mesa son iguales y valen μ = 0,2. Si el sistema está inicialmente en reposo:

a) Con qué aceleración se moverá el sistema si m2 = 10 [kg].

b) ¿Cuál es el valor máximo de m2 para el cual el sistema permanecerá en reposo?

c) Si m2 = 6 [kg], ¿cuál será la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la mesa? y la tensión de la cuerda.

6.109. En el sistema de la figura 6.84, los bloques “A” de 60

[kg] y “B” de 40 [kg] se mueven en el sentido indicado,

vinculados por una cuerda flexible e inextensible de masa despreciable. Puede despreciarse también el

rozamiento sobre el plano y en la polea, y la masa de

esta última.

a) En las condiciones dadas, hallar el módulo y sentido de la aceleración de los bloques, y la

fuerza que soporta la cuerda.

b) Se corta la cuerda en la situación planteada en la

figura. Calcular la nueva aceleración de cada bloque.

c) Hallar una expresión para el valor de la tensión de la cuerda. Hallar qué condición

debe cumplirse para que la aceleración valga cero.

mm2

1m

2m

F

1m2m

Figura 6.80

Figura 6.81

Figura 6.82

Figura 6.83

Figura 6.84

AmBm

30


200

6.110. Un hombre se eleva en una plataforma como la que se muestra en la

figura 6.85, con una aceleración constante hacia arriba de 0,5 [m/s²].

Sabiendo que la plataforma pesa 40 [kg], y el hombre 80 [kgf] y despreciando las masas de la cuerda , de la polea y el rozamiento en

esta última:

a) Realizar los diagramas de fuerzas para el hombre, la plataforma

y la polea. b) Determinar los módulos de las fuerzas en los puntos “A” y “B” .

c) Hallar la fuerza que los zapatos del hombre realizan sobre la

plataforma.

6.111. Dos objetos de masas M1 = 1,0 [kg] y M2 = 2,1 [kg] se cuelgan como se muestra en la figura 6.86. Las poleas son de masa despreciable, sin fricción y la cuerda es inextensible

y de masa despreciable. Calcular la aceleración del cuerpo de masa M2.

6.112. Para el sistema de la figura 6.87, calcular las aceleraciones de los cuerpos y la tensión

de las cuerdas. Las cuerdas y las poleas son ideales sin masa.

6.113. En el sistema de la figura 6.88 se suponen nulos los rozamientos y las masas de las poleas y de las cuerdas. Si m1 = 5 [kg], m2 = 15 [kg], m3 = 10 [kg], h1 = 0,45 m,

h2 = 0,30 [m], h3 = 0,45 [m], determinar la aceleración de cada uno de los bloques.

¿Cuál de ellos llegará primero al suelo?

6.114. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento de

ambas superficies con los cuerpos apoyados

sobre ellas es de 0,1 (figura 6.89). Determinar

las aceleraciones de cada cuerpo si las masas de son: mA = 3 [kg], mB = 20 [kg] y mC = 10 [kg].

6.115. Para el sistema de la figura 6.90 (las poleas son de masa

despreciable y las cuerdas de longitud cte.) determinar:

a) La aceleración de los cuerpos, b) La tensión de las cuerdas,

c) La velocidad del cuerpo A después de haber

recorrido 1 [m] sobre el plano inclinado. Suponer

que el sistema parte del reposo donde mA=1,5 [kg],

mB=1 [kg] y μ = 0,1.

2m

1m

2m1m

2m

1m3m

AB

A

B

C

30°

A

B30°

Figura 6.85

Figura 6.86

Figura 6.87

Figura 6.88

Figura 6.89

Figura 6.90


201

6.116. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque

“C” y la superficie es de 0,1, determinar la aceleración de

cada bloque de la figura 6.91 y las tensiones en las cuerdas si: mA = 5 [kg], mB = 20 [kg] y mC = 15 [kg]

(Considerar la masa de las poleas despreciable).

6.117. Los dos bloques mostrados en la figura 6.92 están

inicialmente en reposo, despreciando el rozamiento de las poleas (idealmente sin masa) y sabiendo que

el coeficiente de rozamiento dinámico entre los

bloques y el plano es de 0,25, determinar la

aceleración de cada bloque y la tensión de la cuerda. Considerar que: mA = 90 [kg] y mB = 136 [kg].

6.118. En el sistema de la figura 6.93 pueden despreciarse las masas de

la cuerda y la polea, así como el rozamiento en la misma. Se lo

deja libre, partiendo del reposo, con el bloque “1” a nivel del piso,

y el “2” a 4 [m] de altura. El bloque “2”, cuya masa es 6 [kg], tarda 2 [s] en llegar al piso. Con esa información:

a) Hallar la masa del bloque “1”.

b) Hallar con qué velocidad llegó al piso el bloque “2”.

c) Hallar qué altura máxima sobre el piso alcanzará la base del bloque “1”.

6.119. Se deja caer un cuerpo de 500 [g] de masa desde 10 [m] de altura. Suponiendo que la

fuerza de rozamiento con el aire es aproximadamente constante, y de valor: 2 [N],

calcular la aceleración de caída, el tiempo que tardará en llegar al suelo y la velocidad que alcanzará en ese punto.

6.120. Un automóvil de masa 1 640 [kg] toma una curva de 25 [m] de radio a la velocidad de

15 [m/s]. ¿Cuál es la fuerza neta hacia el centro que ejerce el automóvil mientras se

mueve en la curva?

6.121. Por una semiesfera hueca de radio R = 120 [cm], se desliza sin

fricción una esfera de masa “M”, ¿A que altura “h” se

encontrara el cuerpo si la semiesfera gira uniformemente con

velocidad angular constante ω = 5 [rad/s]?

6.122. La máxima velocidad a la que puede girar un coche en una curva dada no peraltada sin resbalar es de 50 [km/h]. Si el conductor aumenta la masa del automóvil cargando dos

sacos de arena de 100 [kg] cada uno, ¿a qué velocidad máxima puede tomar ahora la

curva sin patinar?

6.123. Un colectivo que va a 36 [km/h] toma una curva de radio 30 [m]. un señor de 60 [kg], que va sentado se siente tirado hacia la pared. Calcular qué fuerza ejerce la pared sobre

el señor. suponer que no hay rozamiento entre la persona y el asiento.

6.124. Un ciclista marcha por una carretera horizontal a una velocidad “v”, tomando una curva

cuyo radio es “r”. ¿Con qué ángulo se debe inclinar para no caerse?

B

A

C

A20°

B

90°

1m

2m

][

4m

R

h

Figura 6.91

Figura 6.92

Figura 6.93

Figura 6.94


202

6.125. Una piedra de 3 [kg] de masa gira uniformemente en un plano horizontal gracias a una

cuerda de longitud L = 2 [m]. y con un periodo T= 7 [s]. ¿Cuál es el módulo de la

fuerza neta que experimenta la piedra?.

6.126. Se ata una piedra a una cuerda de 1 [m] de longitud y se hace que describa un círculo

vertical con velocidad constante. Se mide la tensión de la cuerda en el punto más alto y en el más bajo de la trayectoria y se obtiene los siguientes valores: 14,7 [N] y 58,8

[N]. Calcular la masa de la piedra.

6.127. Las dos esferas de la figura 6.95 tienen masas M1 y M2

respectivamente. Están unidas por una cuerda sin masa que pasa por el agujero “O”, de tamaño despreciable. No

hay roce en el sistema, la partícula de masa M1 tiene un

movimiento circular de radio R mientras que la otra

partícula cuelga en reposo. Dadas estas condiciones, Encuentre el tiempo que tarda la partícula M1 en completar

una vuelta.

6.128. Un péndulo cónico, formado por una masa “M” suspendida de

un hilo (inextensible y con masa despreciable) de longitud “L”,

gira con velocidad V describiendo una circunferencia de radio “R”. Hallar la tensión del hilo.

6.129. Un bloque de 8 [kg] está sujeto a una barra vertical mediante

dos cuerdas. Cuando el sistema gira alrededor del eje de la

barra las cuerdas están tensadas, según se muestra en la figura 6.97.

a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda inferior para que la

tensión de la cuerda superior sea de 250 [N]?

b) ¿Cuántas revoluciones por minuto ha de dar el sistema?

6.130. Un juego de un parque de atracciones consta de una

plataforma circular de 8 [m] de diámetro que gira. De la

plataforma cuelgan “sillas voladoras” suspendidas de unas cadenas de 2,5 [m] de longitud. Cuando la

plataforma gira, las cadenas que sostienen los asientos

forman un ángulo de 28º con la vertical.

a) ¿Cuál es la velocidad angular de rotación?

b) Si la masa del asiento y del niño es de 50 [kg]. ¿Cuál es la tensión de la cadena?

v

L

R

M

R

2M

1M

][

4,2

m

][6,2m

][8 kg

][

5,2

m

][50 kg ][8 m

28

Figura 6.97

Figura 6.96

Figura 6.95

Figura 6.98


203

6.131. Una partícula de masa m se encuentra en el polo de

una semiesfera de radio “R”, la cual está apoyada

sobre una superficie horizontal. Desplazada ligeramente de su posición de equilibrio, la partícula

desliza sobre la superficie, la cual se supone lisa.

Determinar:

a) La velocidad v de la partícula en función del ángulo “θ” que forma su radio posición con el

radio inicial.

b) El valor de la normal “N” en función de “θ”.

c) El valor de “θ”, en el instante en que la partícula se despega de la superficie.

6.132. Un pendulo se sostiene de un collarin tal como se muestra en

la figura 6.100. Cuando el sistema gira en torno a su eje con

una rapidez angular “ω” el collarin se mantiene en reposo con

respecto a su brazo horizontal que lo sostiene debido a la fuerza de fricción fR = 15 [N], y el hilo del pendulo forma un

ángulo de 45° con la vertical. Hallar la masa del collarín si se

sabe que esta es igual a la masa de la esfera.

6.133. Una cabina cilíndrica gira respecto a su eje con una velocidad de 5 [rad/s]. En contacto con la pared interior hay un cuerpo

que gira solidariamente con la cabina. El coeficiente de

rozamiento entre la pared y el cuerpo es 0,2. Cuál es el radio

de la cabina?

6.134. Un piloto acrobático sigue una trayectoria circular (looping) de 2 000 [m] de radio en

un plano vertical con una velocidad constante de 540 [km/h]. El piloto tiene una masa

de 70 [kg] y lleva una balanza en el asiento de pilotaje.

a) Cuanto marcará la balanza en el punto más alto y en el punto más bajo del looping?

b) ¿Qué velocidad tendría que llevar el avión para que la balanza marque cero en

el punto más alto?

6.135. Un bloque de 2 [kg] de masa que está atado al

extremo de un hilo de 30 [cm] realiza un movimiento circular con 10 revoluciones por

minuto sobre una mesa horizontal sin rozamiento.

El otro extremo del hilo está fijado a la mesa.

a) Cuanto vale la tensión del hilo?

b) Mediante un hilo de 15 [cm] se ata a este bloque un segundo bloque de 5 [kg]

de masa y se hace girar el conjunto a 20 revoluciones por minuto. Cuanto valdrán

las tensiones de los hilos?

gm

N

v

Ro

m

L

L2

m

45

Figura 6.99

Figura 6.100

Figura 6.101

Figura 6.102


204

6.136. Un esquiador de 80 [kg] se deja caer por una

pendiente que sigue una trayectoria circular de 15

[m] de radio de curvatura y en la parte baja hay un puente de nieve que tapa una grieta. Si este

puente de nieve puede aguantar como máximo una

fuerza de 1 000 [N].

a) El esquiador tendrá que pasar muy rápido o muy despacio para evitar que la nieve se

hunda y que caiga dentro de la grieta?.

b) Cuál será la velocidad límite con el que

puede pasar antes de que no se rompa?

6.137. Un cuerpo de 5 [kg] de masa se encuentra sobre una superficie

cónica lisa ABC, y está girando alrededor del eje “DE” con una

frecuencia angular de 10 [rpm]. Calcular:

a) La reacción de la superficie cónica.

b) La tensión de la cuerda. c) La velocidad angular a la que ha de girar el cuerpo para

anular la reacción de la superficie cónica.

6.138. Un bloque de masa “m” descansa sobre una superficie cónica

lisa (sin rozamiento) que gira en torno a un eje vertical con velocidad angular constante desconocida. El bloque está unido

al eje giratorio mediante un cable, el cual soporta una tensión

conocida de valor 𝑇 = 2 𝑚 𝑔. Determinar:

a) La fuerza normal que la superficie cónica

ejerce sobre el bloque.

b) La velocidad angular “𝜔” con la que gira el

conjunto.

6.139. Una bola de masa 4 [kg] se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa lisa, y

está atada a una cuerda de longitud L = 3 [m] Si experimenta la acción de una fuerza

tangencial constante de 2 [N], que actua desde el principio de manera perpendicular a la cuerda, calcular al cabo de qué tiempo la fuerza dirigida hacia el centro será de 12

[N].

6.140. Una bolita de 6 [kg] de masa se encuentra atada a una

cuerda de 2 [m] de longitud, y gira en un plano vertical Si en el instante mostrado su velocidad tangencial es v = 5 [m/s],

¿Cuál es la tensión en la cuerda? = 53°.

6.141. ¿Cuál es la relación entre las fuerzas con las que un coche hara presión en el centro de

un puente convexo y de un puente cóncavo?. El radio de curvatura de los puentes en

ambos casos es 9 [m], y la velocidad del coche es 6 [m/s]

ω

30ºb

cable

R

30°

][

5,4

m

][5 kg

D

C

BA

E

g

m

v

Figura 6.103

Figura 6.104

Figura 6.105

Figura 6.106


205

6.142. Dos bolas de masas m1 = 18 [kg] y m2 = 4 [kg], se encuentran

unidas por una cuerda inponderable (pasando por un cilindro

hueco), de modo que la porción de cuerda de longitud L = 5 [cm] que sostiene a m1 siempre forma con la vertical un ángulo “”

¿Cuál es la velocidad angular de rotación del péndulo conico formado?.

6.143. Un péndulo cónico doble gira alrededor de un eje vertical

de manera que los dos hilos se encuentran siempre en un

mismo plano, y forman con la vertical ángulos constantes = 30° y β = 37°. Las longitudes de los hilos son las

mismas e iguales a L = 33 [m]. Calcular la velocidad angular de rotación del péndulo.

6.144. Un motociclista marcha por un plano horizontal describiendo un arco de radio 30 [m].

Si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la pista es μ = 0,75,

calcular:

a) La velocidad mínima “v” con la que puede marchar el motociclista.

b) ¿Qué ángulo de inclinación formará respecto de la vertical?

6.145. Un automóvil arranca, y aumentando la velocidad

unifomemente avanza por un tramo de carretera hor¡zontal en

forma de arco de circunferencia con ángulo = √3 /6 [rad]. El

radio del círculo es r = 180 [m] ¿Con qué velocidad maxima

puede salir el automóvil a la parte recta de la carretera? El

coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento es μ = 0,25

6.146. Un ciclista va a realizar un giro llamado el “rizo de la muerte” en el que realiza un giro

por una carretera colocada perpendicularmente. Si el radio del rizo es de 2,7 [m], ¿cuál

es la mínima velocidad que puede tener el ciclista para que pueda permanecer en

contacto con el rizo?

6.147. Un coche de masa 1 600 [kg] viaja a una velocidad constante de 20 [m/s] por una

carretera circular llana de radio 190 [m]. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente μs

estático entre los neumáticos del coche y la carretera para evitar que el coche se salga

de la carretera?

6.148. En una carretera en la que no hay fricción, por ejemplo, sobre hielo, un coche se mueve

con una velocidad constante de 20 [m/s] alrededor de una curva con peralte. Si el radio

es de 190 [m] ¿cuál es el ángulo que deberá tener el peralte si no hay rozamiento?

6.149. Una caja de huevos se localiza en la parte media de la plataforma plana de una camioneta en el momento en que ésta circula por una curva no peraltada. La curva

puede considerarse como un arco de un círculo de 35,0 [m] de radio. Si el coeficiente

de fricción estática entre la caja y la camioneta es 0,600, ¿cuál debe ser la rapidez

máxima del vehículo sin que la caja se deslice?

Lθ

1m2m

v

O

Figura 6.108

Figura 6.107

Figura 6.109


206

6.150. Tarzán (m = 85,0 [kg]) trata de cruzar un río balanceándose en una liana. La liana tiene

10,0 [m] de largo y su rapidez en la parte baja del movimiento (cuando Tarzán apenas

libra el agua) es de 8,00 [m/s]. Tarzán no sabe que la resistencia de la liana a la ruptura es de 1 000 [N] ¿Cruzará con seguridad el río?

6.151. Encontrar en cada caso la tensión en las cuerdas, siendo P = 100 [N], Se desprecian los

pesos de las cuerdas

6.152. Determinar en cada caso la tracción en la cuerda y la compresión en el puntal, siendo P = 800 [N]. Se desprecian los pesos propios de los puntales y las cuerdas.

6.153. Una viga horizontal de 8 [dm] y peso despreciable

de largo y peso despreciable, tiene un extremo

sujetado en una pared y el otro extremo esta sostenido por un cable oblicuo empotrado en la

misma pared. En el extremo sostenido por el cable,

hay un masa suspendida P = 500 [kg].

a) Si la tensión en el cable no puede superar

T = 9 800 [N] ¿Cuál es la altura mínima

por encima de la viga donde debe

sujetarse el cable? b) ¿En cuántos Newton aumentaría la tensión si el cable se sujetase 1 [dm] por

debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal?

6.154. Encontrar la tensión en la cuerda “A”. Se desprecia el

peso del puntal.

6.155. Si el sistema mostrado en la figura 6.114 se encuentra en equilibrio estático en la forma

que se indica, y el bloque “P” pesa 21 [N], determinar el peso del bloque “Q”.

45 30 606060

1T

3T

2T

4T

5T

6T

P P P

P

75

60

P

30

Figura 6.110

Figura 6.111

Figura 6.112

3035

1000 [kgf]

A

B C

Figura 6.113

P8 [dm]

h

1 [dm]


207

6.156. La figura 6,115 muestra dos bloques de pesos W = 6 [N] y P = 8 [N] en equilibrio.

Calcular la tensión en la cuerda “BC”.

6.157. Si en el sistema en equilibrio mostrado en la figura 6.116 la longitud de la cuerda AB es de 74 [cm] y el bloque “P” pesa 80 [N], determinar los valores de las tensiones de las

cuerdas horizontales T1 y T2.

6.158. Realizar el DCL de cada una de las esferas mostradas en la figura 6.117 cuyas masas

son: mA = 5 [kg]; mB = 3 [kg], superficies lisas. También trazar los polígonos de fuerzas

respectivos.

6.159. La esfera “B” de la figura 6.118 tiene una masa de 8 [kg] y se encuentra en reposo

sobre el piso liso. Si el peso del bloque es de 60 [N] y la fuerza horizontal “F” es de 24

[N]. ¿Cuál es el módulo de la tensión de la cuerda sujeta a la esfera?

6.160. Una esfera de 10 [N] mostrada en la figura 6.119 descansa sobre el plano inclinado mostrado en la figura. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda (Desprecie

rozamientos).

6.161. El sistema mostrado en la figura 6.120 está en equilibrio. Hallar el módulo de la fuerza

de contacto entre los bloques, si todas las superficies son lisas, y los bloques “A” y “B”

tienen un peso de 200 [N] y 100 [N].

6.162. El sistema mostrado en la figura 6.121 La esfera grande tiene una masa de 5 [kg] y un radio R = 4 a, la esfera pequeña tiene una masa de 2 [kg] y un radio r = a. Si el sistema

se encuentra en equilibrio, determinar el módulo de la reacción de la pared en el punto

“A”.

A

B

P

53 53

37

Q

A B

P

W

C

1T

2T

A

B

P

56 [c

m]

30

A

B

A

B

F

30

60

Figura 6.114

Figura 6.115

Figura 6.116

Figura 6.117

Figura 6.119

Figura 6.118


208

6.163. En la figura 6.122, el cable ACB es de longitud 3L, en él se mueve libremente una polea

(de peso despreciable) que soporta un peso 𝑊 = 10 √3 [N], hasta llegar a la posición de

equilibrio mostrada en la figura. Hallar el módulo de la tensión del cable, si el ángulo

BAC es de 90°.

6.164. Dos esferas idénticas de 12 [N] y 40 [cm] de radio están ubicadas en el interior de un

depósito como se muestra en la figura 6.123. Asumiendo que no existe rozamiento.

Hallar las fuerzas que se ejercen sobre la esfera A. (en los puntos “P” y “Q”).

6.165. La esfera mostrada en la figura 6.124, pesa 100 [N] y se encuentra en equilibrio. Hallar

la tensión en la cuerda. ( = 37°)

6.166. El sistema mostrado en la figura 6.125 se encuentra en equilibrio. Calcular la tensión

de la cuerda horizontal si las esferas tienen los siguientes pesos. WA = 120 [N] y WB = 80 [N]. (No hay rozamiento).

6.167. En el sistema mostrado en la figura 6.126 en equilibrio sin rozamiento, determine la

masa del bloque “Q”. Las tres esferas son iguales y de 2 [kg] cada una.

6.168. Una barra homogénea mostrada en la figura 6.127 de 400 [N] se encuentra descansando sobre dos superficies rugosas como se muestra. Determine el módulo de

la máxima fuerza �⃗� de forma que la barra no se mueva.

37

AB

A

B

0

A

B

L

2 L

C

W

144 [cm]

Q

PA

B

0

A

B

A

53

QF

1/4

2 [m] 6 [m]

1/5

Figura 6.120

Figura 6.121

Figura 6.122

Figura 6.123

Figura 6.124

Figura 6.125

Figura 6.126

Figura 6.127


209

6.169. Dos cuerpos de masas respectivas m1 = 200 [kg] y

m2 = 300 [kg] se unen mediante una cuerda y se apoyan

en la superficie de una esfera lisa como se muestra en la figura 6.128. Determine las reacciones sobre la

superficie, la tensión en la cuerda y el ángulo en la

posición de equilibrio.

6.170. Un cilindro homogéneo de radio “R” y masa “M” descansa

sobre otros dos cilindros homogéneos iguales entre sí de radio

“r” y masa “m” como se muestra en la figura 6.129. Los centros de los de los dos cilindros inferiores se hallan unidos

mediante una cuerda inextensible de longitud “2r”.

Despreciando los rozamientos entre todas las superficies,

calcular:

a) Fuerza de reacción del plano.

b) Fuerza de reacción entre cada cilindro. c) La tensión del hilo.

6.171. Dos cilindros de masas mA y mB y radios RA y RB

reposan sobre dos planos inclinados perfectamente lisos como se indica en la figura 6.130. Encontrar el

ángulo que formará con la horizontal la recta que

pasa por los centros de los cilindros en la posición de

equilibrio. Considerar: mA =1[kg], mB =2[kg],

=15°, =30°

6.172. En la figura 6.131 se muestra un cilindro homogéneo

de masa m = 6 [kg] a punto de deslizar sobre la

superficie horizontal cuando se le aplica la fuerza �⃗�.

Hallar el coeficiente de rozamiento estático y el

módulo de la tensión en la cuerda “AB”.

6.173. Un cilindro de peso “W” de la figura 6.132, se encuentra entre dos paredes de inclinación

y . Calcular las reacciones que ejercen dichos planos sobre el cilindro.

6.174. Un cilindro de masa “M” y radio “r” descansa sobre un plano inclinado sujetado por una cuerda tangente al cilindro y paralela a la superficie del plano. El plano está inclinado

en un ángulo α con la horizontal, como se muestra en la figura 6.133. Calcular:

a) El valor mínimo del coeficiente de fricción estático, en términos de 𝛼, para que

el cilindro no resbale hacia abajo del plano inclinado.

b) La tensión en la cuerda en términos de “M”, “g” y “𝛼”.

6.175. Los cilindros lisos “A” y “B” mostrados en la figura 6.134, tienen masas de 100 [kg] y

30 [kg] respectivamente.

90 -

1m

2m

R

r r

A

B

BA

37

][50 NF

Figura 6.128

Figura 6.129

Figura 6.130

Figura 6.131


210

a) Determinar todas las fuerzas que actúan sobre “A” cuando el módulo de la fuerza

es P = 2 000 [N].

b) Calcular el valor máximo del módulo de la fuerza “P” que no separa al cuerpo “A” del suelo.

6.176. Tres cilindros homogéneos lisos “A”, “B” y “C” están apilados dentro de una caja como se ve en la figura

6.135. Cada cilindro tiene un diámetro de 250 [mm]

y una masa de 245 [kg]. Determinar:

a) La fuerza que el cilindro “B” ejerce sobre el cilindro “A”.

b) Las fuerzas que sobre el cilindro “B”

ejercen, en “D” y “E”, las superficies

horizontal y vertical.

6.177. Para la posición mostrada en la figura 6.136 determinar el momento de F1 = 20 [N],

F2= 10 [N] y F3 = 30 [N], respecto del punto “O”.

6.178. Si la barra de 2 [kg] se encuentra sometido a las fuerzas que se indica en la figura

6.137. Determinar el momento resultante respecto al punto “O”.

6.179. La barra homogénea de 2 [kg] mostrada en la figura 6.138 está suspendido de la cuerda y apoyado en la articulación “O”. ¿Qué módulo tiene la tensión en la cuerda?

6.180. Considerando la barra de masa muy pequeña mostrada en la figura 6.139. ¿Qué módulo

presenta la tensión en la cuerda?

6.181. La barra homogénea de 4 [kg] está en reposo como se indica en la figura 6.140.

Determinar el módulo de la máxima fuerza “F” que se debe aplicar en “A” para mantener

el equilibrio.

A

P

B0,

1 [m

]

0,2

[m]

3 [m

]2 [m

]

o

37°

1F

2F

3F

o

3 [m]

2 [m]

37°

2F

1F

o

3 [m]

2 [m]

37°

40 40

A

BC

E

D

F

G

Figura 6.133

Figura 6.132

Figura 6.134

Figura 6.135

Figura 6.137

Figura 6.136

Figura 6.138


211

6.182. La barra de 2 [kg] está en reposo como se indica en la figura 6.141, determinar el

módulo de la tensión en la cuerda 1 (CM = centro de masa).

6.183. La barra homogénea de la figura 6.142, de 5 [kg] está en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda.

6.184. La barra homogénea de 8 [kg], se encuentra en equilibrio como

se indica en la figura 6.143.

a) Explique si las tensiones en las cuerdas “1” y “2” son iguales o diferentes.

b) En el caso de que las poleas sean lisas, ¿qué módulo

tiene la tensión en las cuerdas “1” y “2”?

c) ¿Si la barra fuese no homogénea y las poleas lisas para la posición mostrada existiría equilibrio mecánico?

6.185. Determinar para cada caso la o las fuerzas que mantienen el equilibrio de las barras de

masa despreciables

a) F = 50 [N] b) F = 100 [N]

c) F = 100 [N]

3 [m]

2 [

m]

3 [m]

80 [kg] 4 a 2 a

A

F

(1)

CM

5 a

5 a

a

37°

Clavo

liso

1 [kg]

l3lR

][50 NF

l2l

R

2lF

F

R F

l2l

l

Figura 6.139

Figura 6.140

Figura 6.141

4 a

a

53

Figura 6.142

(1) (2)

A

B

Figura 6.143

Figura 6.145

Figura 6.144

Figura 6.146


212

6.186. La barra de la figura 6.147 pesa P = 500 [kgf] y actúan sobre ella F1 = F2 = F3 = 200

[kgf]. Determinar las reacciones en los puntos de apoyo “A” y “B”.

6.187. La viga de madera pesa “W” y su longitud es

L = 8 [m], si el centro de masa está a 3 [m] de

un extremo y uno de los dos obreros encargados de transportarla se ubica en el extremo más

cercano al centro de gravedad, ¿A qué distancia

del otro extremo debe ubicarse el otro obrero si

quiere cargar lo mismo que el primero?

6.188. Dos escaleras “CA” y “BA” de 40 [kg] y 30 [kg],

respectivamente, se apoyan sobre un suelo liso y se

articulan en el vértice “A”, están sujetas por una cuerda

paralela al suelo situada a 0,9 [m] del mismo. Las escaleras forman entre sí un ángulo recto. Calcular:

a) Las reacciones en los apoyos “C” y “B”.

b) La tensión de la cuerda.

c) Las componentes horizontal y vertical de la

fuerza que una escalera ejerce sobre la otra a través de la articulación “A”.

6.189. Una escalera de mano se arma como se muestra en la figura

6.150, un pintor de 70 [kg], de masa está parado a 3 [m] de

la base. Suponiendo que el piso no tiene fricción. El tramo “AC” de la escalera tiene una masa de 2,5 [kg] y el tramo

“BC” 2,0 [kg]. Determinar:

a) Las reacciones en los apoyos “A” y “B”.

b) La tensión de la cuerda que conecta las mitades de la escalera.

c) Las componentes de la fuerza de reacción en la

unión “C” que el lado izquierdo de la escalera ejerce

sobre el lado derecho.

6.190. Un hombre de 70 [kg] sube por una escalera de 2 [m] de longitud y 10 [kg], apoyada tal como se indica en la figura. El coeficiente de

rozamiento entre el extremo inferior de la escalera y el suelo es 0,4.

Calcular:

a) Hallar las reacciones en los apoyos, cuando el hombre ha ascendido x = 0,5 [m] a lo largo de la escalera

b) La máxima altura “x” a la que puede subir el hombre por la

escalera antes de que esta comience a deslizar.

1F

2F

3F

][3 m ][4 m ][2 m ][3 m][4 m

BA

P

3 [m] 8 [m]

X

A

B C

0,9 [m]

6,0 [m] 4,5 [m

]

60°

1 [

m]

Figura 6.147

Figura 6.148

Figura 6.149

Figura 6.150

Figura 6.151

A B

C3,0

[m

]

2,0

[m]

2,0

[m]

2,5 [m]


213

6.191. Una escalera de 4 [m] largo se apoya sobre una pared vertical sin roce (figura 6.152),

estando su extremo inferior apoyado sobre el piso a una distancia de 1 [m] de la pared.

Si la escalera pesa 80 [kg] y su centro de gravedad está a la mitad de su longitud. ¿Cuál es la magnitud y la fuerza ejercida sobre el piso? Entre el piso y la escalera existe

fricción.

6.192. Si la masa de la barra homogénea mostrada en la figura 6.153 es de 3 [kg], determinar

el módulo de la tensión de la cuerda horizontal y de la reacción en el pasador.

6.193. Si la barra de masa despreciable mostrada en la figura 6.154 se encuentra en equilibrio.

Determinar el módulo de la tensión en la cuerda.

6.194. Un hombre levanta una vigueta de 10 [kg] y 4 [m] de

longitud, tirando de una cuerda. Determinar:

a) La tensión en la cuerda.

b) La fuerza de reacción en “A”.

6.195. Parado en una tabla larga que descansa sobre un andamio, un hombre de 70,0 [kg]

pinta un muro, como se observa en la figura 6.156. Si la masa de la tabla es de 15,0

[kg], ¿qué tan cerca de un extremo puede pararse el pintor sin que la tabla se incline?

6.196. La barra homogénea de 10 [kg] se encuentra en equilibrio como se indica en la figura

6.157. Si las reacciones totales en los puntos “A” y “B” son iguales, ¿qué módulo tiene

la fuerza de rozamiento estático en “B”?

6.197. En el bloque es de 40 [kg] mostrado en la figura 6.158, determine el módulo de la tensión en “A”. El bloque es de 40 [kg]. (poleas ideales).

6.198. En el bloque de 80 [kg] mostrado en la figura 6.159, si las poleas son ideales, determine

el módulo de la tensión en “P”.

4 [

m]

1 [m]

3 [

m]

8 [m]

3 [m]5 [m]

4,5 [kg]

37°

1,5 [m] 1,5 [m] 2 ,5 [m]

A

45

25

4 [m

]

A

B

Figura 6.152

Figura 6.153

Figura 6.154

Figura 6.155

Figura 6.156


214

6.199. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque “B” en la figura 6.160?

6.200. Una barra de masa “M” y de largo “L” se equilibra como se indica en la figura 6.161. Despreciar todo tipo de rozamiento. Determinar el ángulo que hace la barra con la

horizontal cuando hay equilibrio.

6.201. El bloque de la figura 6.162 tiene masa “m” y el coeficiente de

fricción estático con el suelo es μE = 0,5, las longitudes

indicadas son 2 a = 1 [m], H = 2 [m], h = 1,5 [m]. Determinar

la fuerza �⃗� máxima para que el bloque no vuelque.

6.202. Dos barras de masa “M” y largo 2a están articuladas en

puntos fijos “O” y “Q” separados una distancia “2b” a la vez que están articuladas en “P”. Determinar las

reacciones en las articulaciones “O”, “P” y “Q”.

6.203. Dos barras de masa “M” y largo “2 a” están articuladas en

puntos fijos “O” y “Q” a la vez que están articuladas entre sí

en “P”, como se indica en la figura 6.164. Determinar las reacciones en “O” y en “Q”.

53°

B

A liso

rugoso

A

80 [kg]

P

10 [kg]

20 [kg]

A

B

d

gm

R

N

H

F

h

a2

Figura 6.158 58

Figura 6.157

Figura 6.159

Figura 6.160

58

Figura 6.161 58

2 a 2 a

2 bO

P

Q

Figura 6.162

58

Figura 6.163

58

2 a

Ob

P

Q

2 a

Figura 6.164 58


215

6.204. La barra de la figura 6.165, de masa “M” y largo 2 [m] a está en

equilibrio apoyada sobre una pared vertical lisa y sostenida por

un extremo mediante un hilo de largo “b”. Determinar los posibles ángulos “θ” de equilibrio.

6.205. La figura 6.166, muestra una barra homogénea de largo L = 1 [m]

y masa M = 12 [kg], pivoteada en “O” y en el otro extremo ligada a

una cuerda. En el extremo de la barra cuelga un peso W = 60 [N]. Determinar:

a) La tensión en la cuerda.

b) La reacción “�⃗⃗� ” en el extremo “O” de la barra

6.206. El sistema de la figura 6.167 está en equilibrio. Si la barra es

de longitud “L”, de masa M = 8 [kg], la masa m = 10 [kg] y

AB = L / 3 determinar:

a) La tensión “T”.

b) La reacción en el pivote “A”.

6.207. Para el sistema de palancas horizontales de

peso despreciable en equilibrio mostradas en la figura, calcular el modulo del peso de la

resistencia “R” si el peso P = 10 [N].

6.208. Una persona de 800 [N] de peso se encuentra sobre una

plataforma de 300 [N] de peso. Si cada polea pesa 100 [N] y

existe equilibrio, hallar la fuerza (en [N]) que ejerce el sujeto sobre la plataforma.

6.209. Los bloques “A” y “B” son de 400 [N] y 200 [N]

respectivamente, descansan sobre superficies lisas según se

muestra en la figura. Determinar el módulo de la fuerza “�⃗�”

para el equilibrio.

2 a

b

Figura 6.165

58

60°

60°

W

Figura 6.166 58

37°WA

B

Figura 6.167

58

P

R

3 [m] 2 [m]

2 [m] 3 [m]

Figura 6.168 58

Figura 6.169 58

Figura 6.170 58

F

30°

2 L

LL

A

B


216

6.210. En la figura 6.171, determinar la reacción en el punto de

apoyo “B”, sabiendo que existe equilibrio, el bloque que

cuelga es homogéneo y tiene un peso de 2 700 [N] y todas las superficies son lisas.

6.211. Se muestran dos esferas homogéneas del mismo

material, unidas mediante una barra de masa

despreciable. Si el sistema se encuentra en equilibrio. Calcular: “x”. R = 6 [cm] y r = 3 [cm]

6.212. Una viga horizontal uniforme de 8 [m] y 20 [kg] está unida

a un muro por medio de un pasador. Su extremo está

sostenido por un cable que forma un ángulo de 53°. Si una persona de 60 [kg] está parada a 2 [m] del muro,

determinar la tensión en el cable y la fuerza ejercida por

el muro sobre la viga.

6.213. Una barra homogénea peso “P” y longitud “L” está en

equilibrio en una cavidad semiesférica lisa de radio “R” tal como se muestra en la figura 6.174. Determinar el valor

del ángulo de equilibrio “” si L = 3 R.

6.214. Si las barras son de igual longitud y perpendiculares con masa

despreciable, determinar el ángulo “θ” que define la posición de

equilibrio.

6.215. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda horizontal, si la barra doblada tiene un peso de 10 [N] por

cada “L” metros de longitud. No existe rozamiento en las

superficies de contacto.

Figura 6.171

58

Figura 6.172

58

63 [cm]

xRr

2 [m]

8 [m]

53°

Figura 6.173

58

R

3 m

m

Figura 6.174

58

Figura 6.175

58

5 L

10 L

53°

Figura 6.176 58

2 L

3 L

53°


217

6.216. Hallar el peso de la barra “CD”, sí la

barra “AB” pesa 10 [N] y además:

W1 = 28 [N] y W2 = 5 [N], las barras son homogéneas de diferente material

y carecen de fricción. El sistema está

en equilibrio.

6.217. Un oso hambriento que pesa 700 [N] camina sobre una viga con la intención de llegar a una canasta de comida que cuelga

en el extremo de la viga. Ésta es uniforme, pesa 200 [N] y

su largo es igual a 6 [m]; la canasta pesa 80 [N]. Si el

alambre puede soportar una tensión máxima de 900 [N], ¿cuál es la distancia máxima que el oso puede caminar antes

de que se rompa el alambre?

6.218. Una empresa dedicada a la fabricación de campanas

con sus correspondientes badajos idea una forma de

almacenar estos últimos colgándolos del techo. La figura 6.179, muestra un esquema de la forma de los

badajos: una esfera maciza de radio “R” y un cilindro,

también macizo de longitud “8 R” y radio de la sección

“R/8”.

Ambos cuerpos son de materiales de distinta densidad (ρe ≠ ρc). Encontrar la relación

entre dichas densidades para que, al suspender la pieza, ésta quede en posición

horizontal tal y como se indica en la figura.

6.219. Cuál será el mínimo valor del módulo de la fuerza �⃗� para

volcar el cilindro de peso igual a 80 [N] mostrado en la figura

6.180.

6.220. Se desea levantar un tanque cilíndrico de 50 [kg] y 2

[m] de diámetro, por encima de un obstáculo de 0,5

[m] de altura. Se arrolla un cable alrededor del tanque

y se tira horizontalmente, según se indica. El borde

del obstáculo “A” es rugoso. Calcular la tensión necesaria en el cable y la reacción en “A”.

6.221. Dos cuerpos “A” y “B” que pesan 800 [N] y 200 [N] respectivamente, se mantienen en

equilibrio sobre superficies perpendiculares mediante un cable que los une y que forma

un ángulo “θ” con la horizontal, según se indica en la figura. Determinar las reacciones de las superficies sobre los cuerpos, la tensión del cable y el ángulo “θ”. Suponer

ausencia de rozamiento en todas las superficies.

1W 2W

L L2

L

37

CA B

D

Figura 6.177

58

X

6 [m]

60°

Figura 6.178

58

8 RR

Figura 6.179 58

F

4 [m]

3 [m]

53°

Figura 6.180

58

2,0

[m

]

0,5 [m]

c

A

Figura 6.181

58


218

6.222. Si se sabe que el sistema de collarines mostrado en la figura 6.183, parte del reposo

encontrar la rapidez para t = 1,2 [s] de ambos collarines. Despreciar los rozamientos

en poleas y collarines. Datos: m1 = 15 [kg], m2 = 10 [kg], F = 20 [N].

60°30°

AP

BP

F

1m

2m

Figura 6.182

58

Figura 6.183

58

capítulo 6 dinámica y estática - honigsblum.milaulas.com

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