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Capítulo 4.
Resultados de la implementación piloto del proceso de
estudio.
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En este Capítulo se presentan los resultados del pilotaje del proceso de estudio de la
secuencia didáctica, la intención no es presentar resultados de investigación, sino de
manifestar aciertos y dificultades encontradas en su diseño, con la finalidad de establecer
oportunidades de mejorarla. Los resultados se describen de manera general en términos del
marco teórico que se encuentra en el Capítulo 1 de este documento, en el cual se refieren
los elementos de la TAD y del enfoque pedagógico por competencias utilizados en el
diseño de la secuencia. Además, se presenta la forma en que las técnicas utilizadas en las
actividades se articulan y cómo éstas sufren transformaciones.
4.1 Resultados del proceso de estudio de la Fase 1
Al finalizar la materia de Geometría en tercer semestre de bachillerato, se realizó como
proyecto final la construcción de la maqueta de la Institución, con el objetivo de poner en
juego los conocimientos adquiridos de algunos de los conceptos matemáticos revisados
durante el curso, como son: ángulos, razones, semejanza, semejanza en triángulos
rectángulos, entre otros. Se diseñó el proyecto sin tomar en cuenta, en ese momento, las
particularidades praxeológicas que pudieron estar involucradas. Posteriormente, cuando se
constató de manera general el éxito de la construcción, se contempló en la posibilidad de
estructurar de nuevo, a través de la TAD, las praxeologías u OM involucradas.
La elaboración del MER, permitió organizar, modelar y articular praxeologías u OM de los
conceptos citados anteriormente y se estructuró en tres Fases: La primera, como ya se
mencionó, se realizó en un momento posterior a la construcción de la maqueta, por esta
razón, no se presentan resultados de su evaluación, sin embargo, se describen momentos
didácticos y competencias matemáticas que surgen en su proceso de estudio. Además, se
presentan dificultades a tomar en cuenta para futuras implementaciones. Por último, en el
Anexo IV, se muestran los resultados del pilotaje a través de las Hojas de Trabajo de las
Fases 2 y 3, acompañados de algunas evidencias del proceso.
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Momentos didácticos y competencias matemáticas en el proceso de estudio de la Fase
1:
En la Tabla 9 se describe el proceso de estudio, primero en términos de momentos
didácticos, segundo en términos de competencias matemáticas, por último, la
representación de la articulación de las técnicas y las transformaciones que éstas presentan
a medida que se vinculan en la OD. Es importante enfatizar que el hecho de construir el
MER que permitiera hacer el análisis del proceso de estudio llevado a cabo, fue el
detonador para elaborar, primero las OM, y luego las OD correspondientes a las Fases 2 y
3.
Tabla 9: Descripción del Proceso de estudio de la Fase 1, a través de momentos
didácticos y del enfoque por competencias.
Momentos didácticos y competencias al determinar las medidas directas.
Mom
ento
s
El profesor comunicó a sus alumnos la consigna de construir una maqueta de la
institución, les planteó el objetivo del proyecto y los organizó en equipos. Por su
parte, los alumnos se enfrentaron ante una situación inesperada en la que tuvieron
que poner en juego conocimientos previos no especificados: el momento del
primer encuentro con el problema.
Com
pet
enci
as
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes
del espacio que lo rodea.
Cuando el estudiante utilizó la cinta métrica para realizar el levantamiento de
medidas directas, y fue capaz de hacer las conversiones de unidades de medición,
para contrastar adecuadamente las magnitudes obtenidas con las reales,
contribuyó a desarrollar la competencia citada anteriormente.
67
Mom
ento
s
El segundo momento es el de la exploración, en donde los estudiantes requirieron
determinar la escala de reducción adecuada, propusieron y exploraron diferentes
escalas de reducción hasta encontrar la que mejor responda a sus necesidades.
Una vez encontrada, el estudiante explicó la razón de que ésta funcione, por
medio del discurso tecnológico-teórico, surgiendo el tercer momento.
Com
pet
enci
as
Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos
buscando diferentes enfoques.
Al realizar el dibujo del croquis con las medidas a escala de reducción, el
estudiante contribuyó al desarrollo de la competencia matemática.
Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas o aleatorios mediante
la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.
Mom
ento
s
El profesor reunió a los equipos en el aula y promovió una discusión grupal, los
alumnos expusieron los resultados obtenidos y los contrastaron con los de sus
compañeros. Si los resultados expuestos no satisfacen los requerimientos
esperados por parte del equipo, fue necesario que los equipos mejoraran la técnica
y volver a determinar la escala de reducción. En esta etapa se retomó el tercer
momento al explorar cuál de las escalas resulta la más conveniente.
Com
pet
enci
as
Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Interpreta Tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Ambas competencias emergen del momento descrito.
68
Mom
ento
s
El sexto momento, el de la evaluación, se presentó cuando los estudiantes
contrastaron las medidas a escala de reducción con las medidas de las piezas
originales y justificaron cómo la proporcionalidad está presente a través de la
semejanza en figuras rectangulares. Sin embargo, la importancia de este momento
se propició cuando los estudiantes reconocieron la utilidad de los conceptos
involucrados e hicieron conciencia de lo aprendido.
Com
pet
enci
as
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático.
La competencia emerge del momento descrito.
Momentos didácticos y Competencias al determinar las medidas indirectas.
Mom
ento
s
Para determinar las medidas indirectas, los estudiantes volvieron a tener un
primer momento con el problema, en esta ocasión, se encontraron imposibilitados
para determinar las alturas de ciertos elementos que componen la maqueta.
Com
pet
enci
as
Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas o aleatorios mediante
la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.
En esta tarea el visualizar triángulos rectángulos permitió esquematizarlos y a
través de la proporcionalidad se establecieron las razones entre sus lados
correspondientes.
Mom
ento
s
Se presenta el cuarto momento del manejo de la técnica, cuando el estudiante
selecciona a una técnica ya conocida en otro contexto y la aplica en otro contexto
diferente.
69
Com
pet
enci
as
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes
del espacio que lo rodea.
La tarea solicitada fue justamente cuantificar y representar magnitudes indirectas.
Cuando el estudiante estableció razones, las representó a través de esquemas y
realizó operaciones con ellas. Contribuyendo al desarrollo de la competencia
citada.
Mom
ento
s
El cuarto momento (trabajo de la técnica) se volvió a presentar cuando los
estudiantes contrastaron las medidas indirectas en una discusión grupal y
analizaron si la técnica utilizada estuvo correcta, de lo contrario, reconocieron que
los errores se debieron al mal manejo del herramental.
Com
pet
enci
as
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático.
La competencia emerge del momento descrito.
Mom
ento
s
El sexto momento, el de la evaluación, se vuelve a presentar cuando los
estudiantes manifestaron la importancia del estudio de la semejanza en la
sociedad, al facilitar el cálculo de medidas inaccesibles, cuando analizaron si la
construcción de la maqueta estuvo bien hecha al realizar contrastes entre las
medidas reales y las reducidas, y por último, cuando se analizó la integración de
los conceptos involucrados en su construcción.
Com
pet
enci
as
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático.
La competencia emerge del momento descrito.
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En la Figura 2, se representan las técnicas involucradas en el levantamiento de medidas
directas donde la τ1: Uso de escala de reducción, se vincula con la τ2: Cuarta proporcional.
En la Figura 3, se representan las técnicas involucradas en el levantamiento de medidas
indirectas y se inicia con la τ1: escala de reducción, como una técnica fuerte por sí misma; al
evolucionar a la τ2, la primera pasa a ser una especie de herramienta, y la τ2 adquiere la
fuerza y la importancia esperada.
Figura 2. Articulación de técnicas de
la Fase 1 (medidas directas)
Figura 3. Articulación de técnicas de
la Fase 1. (medidas indirectas)
Al realizar una evaluación de lo presentado en esta primera Fase, podemos concluir que los
elementos de la TAD a través de la praxeología local, permitieron modelar y articular en la
OM1, los conceptos de razones, semejanza en figuras rectangulares y en triángulos
rectángulos. A través de los dos Tipos de tareas que la formaron, las técnicas se integraron
y evolucionaron al pasar en este caso de la τ1: Uso de escala de reducción a la τ2: Obtención
de la cuarta proporcional, dónde a través de cuestionamientos, los estudiantes exploraron y
comunicaron el funcionamiento de las mismas (discurso tecnológico).
Por otra parte, la planeación de la OD a través del MER, permitió visualizar los momentos
didácticos que se pueden manifestar en el proceso de estudio, los cuales aportan
información importante de las posibles acciones del estudiante y permiten al profesor
organizar de manera eficiente el proceso de estudio y su actuación.
La puesta en marcha de este tipo de proyecto, permitió poner en juego los conocimientos
previos de los estudiantes, promovió la integración de conceptos y su evaluación, pero
sobre todo, permitió que éstos se estudien con sentido. Además, coadyuvó al desarrollo de
competencias, por ejemplo: cuando el alumno modeló y visualizó ángulos, figuras
τ2
τ1
τ2 τ1
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rectangulares y triangulares en situaciones de la vida real, cuando pudo determinar medidas
y convertir las unidades, cuando comunicó por qué funciona la escala de reducción
seleccionada, entre otros. Así de esta forma, las competencias matemáticas establecidas en
el Capítulo 3, para esta Fase cumplen las expectativas planeadas.
Es importante mencionar que los estudiantes se mostraron entusiastas, participativos y
colaborativos durante el proceso de estudio. Manifestaron en repetidas ocasiones cómo
este tipo de trabajos favorecía el aprendizaje y el trabajo en equipo.
Recomendaciones y observaciones generales a tomar en cuenta para una construcción
posterior de la maqueta:
El terreno donde se realicen las mediciones directas de la longitud de la sombra
debe estar plano, de lo contario puede afectar los resultados.
No todos los estudiantes reconocen la importancia de medir, de manera simultánea
las sombras de los objetos, debido a la variación de los rayos de incidencia del sol
sobre la tierra.
Algunos estudiantes miden las longitudes y no realizan conversión de unidades.
El redondeo de datos de la calculadora puede afectar a los resultados obtenidos.
Algunos estudiantes miden la longitud de la estaca sin restar la parte que queda
enterrada.
Se recomienda tener disponibles los siguientes materiales: cinta métrica, cúter,
juego de escuadras, cartón batería y pegamento adecuado para las mediciones
directas como para la construcción de la maqueta.
El material de las estacas se recomienda sea de material sólido y pesado, para que se
mantenga en equilibrio y se realicen las medidas de manera eficiente.
4.2 Resultados del pilotaje de la Fase 2.
El proyecto de construcción de la maqueta, se llevó a cabo al terminar el curso de
Geometría, al final del III semestre. Luego, a esos mismos alumnos, al estar cursando el V
semestre, se les extendió la invitación de participar extra clase en el pilotaje de las
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siguientes Fases, y de manera voluntaria aceptaron algunos estudiantes, sin embargo con el
fin de poder analizar su desempeño, se seleccionaron a cuatro personas, formándose dos
equipos de dos integrantes: el equipo AJA y el equipo 1.
En el proceso de estudio, se pudo manifestar cómo surgen los momentos didácticos y cómo
éstos no son secuenciales. En la primera actividad (Hoja de Trabajo 2.1, ver Anexo III de
esta Fase), aparece el primer momento didáctico, cuando los estudiantes aceptaron la tarea
y se organizaron para realizarla. Enseguida, apareció el tercer momento, cuando los
estudiantes utilizaron de manera natural la técnica de la cuarta proporcional para determinar
la altura del edificio.
En las siguientes actividades se promovió el manejo de la τ3, cuando los equipos analizaron
diversas tareas relacionadas con la razón tangente en grupos de triángulos rectángulos
semejantes. En éstas, el momento de la experimentación se presentó, cuando los estudiantes
analizaron, el por qué de la igualdad de las razones en los grupos de triángulos
mencionados anteriormente, seguido del tercer momento, el del discurso tecnológico
teórico, cuando los estudiantes conjeturaron el papel que juega la igualdad de las razones
en los grupos de triángulos rectángulos semejantes.
El equipo AJA, integrado por Alejandra y Javier, servirá de base para narrar de manera
resumida, el desempeño de ambos equipos. Se decidió de esta forma al analizar las
respuestas de ambos y constatar que las respuestas son muy similares.
La primera actividad estableció un puente entre la Fase 1 y la Fase 2. Se vinculó la τ2
(cuarta proporcional) con la τ3 (razón tangente). Los estudiantes, para determinar la altura
del edificio, de manera natural iniciaron el proceso de modelización, establecieron la τ2,
aplicaron las propiedades de las razones al realizar productos cruzados, y finalmente
determinaron la razón
como se observa en el cuadro siguiente en el trabajo del
equipo AJA.
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Los comentarios del equipo son:
La siguiente actividad es manipulable y se utilizan triángulos rectángulos elaborados en
material foami, se presenta en la Hoja de Trabajo 2.2. Los estudiantes determinaron los
valores de las razones por grupos de triángulos rectángulos semejantes y no semejantes. Al
cuestionarles acerca de la relación existente entre las razones obtenidas por grupos y el
ángulo α, el equipo AJA, comentó lo siguiente:
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La misma actividad anterior pero ahora en software GeoGebra, ayudó considerablemente a
minimizar errores de medición, para así obtener los mismos valores de las razones como se
muestra en la siguiente Hoja de Trabajo2.3.
Con esta actividad, el equipo AJA muestra mejor justificación que en actividades
anteriores, al responder lo siguiente:
El equipo AJA reconoció que la razón
son las mismas.
. ¿Por qué? Explica.
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La siguiente tarea (Hoja de Trabajo2.4), es una actividad fuera del aula, donde los alumnos
determinaron las razones de tres objetos a la misma hora (la altura de los objetos se obtiene
de manera directa), y pasados quince minutos, volvieron a medir y a determinarlas de
nuevo, después hicieron contrastes con los resultados obtenidos.
El equipo AJA logró concretar con seguridad que la igualdad de las razones radica a que
éstas forman el mismo ángulo.
La última tarea (Hoja de Trabajo2.5) de esta Fase fue en GeoGebra, y simuló el
comportamiento de los rayos de incidencia del sol sombre dos objetos. Los estudiantes
pudieron manipular los objetos, el rayo de incidencia del sol y analizaron el efecto que
produce este último en la sombra de los objetos y respondieron a las preguntas de la
siguiente forma:
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El equipo AJA visualizó que la sombra del objeto es mayor en la mañana y se va
reduciendo a medida que van pasando las horas.
Lo que se pretendía en esta tarea se cumplió, cuando el equipo AJA argumentó que la
sombra disminuye a medida que transitan las horas, y visualizó que la relación entre el
ángulo formado por el piso y los rayos de incidencia del sol, con la sombra de un objeto,
son los mismos.
Al finalizar las Hojas de Trabajo de esta Fase, después de varias actividades relativas al
trabajo de la técnica y de cuestionar porque funciona, se presentó el momento de
institucionalizar por parte del profesor, a la razón tangente. Ambos equipos a través de una
discusión grupal, guiados por el profesor, reflexionaron acerca de los conceptos que han
sido trabajados, y cómo ahora éstos, de manera integrada, dan vida a un nuevo concepto
que es la razón tangente. Se promovió la atención de la discusión, hacia la justificación de
la igualdad de las razones de un grupo de triángulos rectángulos semejantes, poniendo
atención al ángulo agudo. Así de esta manera, con esta recapitulación de lo analizado en la
OD de esta Fase, se presentó el sexto momento, el de la evaluación.
Para el análisis de esta Fase a través de competencias, se concreta que los estudiantes de
ambos equipos fueron capaces de identificar triángulos rectángulos en situaciones de la
vida real y de concluir que la igualdad de las razones en los triángulos rectángulos
semejantes, se debe, a que corresponden al mismo ángulo agudo.
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Es importante mencionar que los integrantes de los equipos, están familiarizados con el uso
del software GeoGebra. Esto les permitió realizar las actividades propuestas en el tiempo
previsto, de lo contrario, se requiere de mayor tiempo para llevarlas a cabo.
Por otra parte, el uso del software de geometría dinámica en algunas de las actividades de
esta Fase, permitió visualizar y contribuir ampliamente en la construcción del concepto de
razón tangente. La forma en que los triángulos rectángulos pudieron ser manipulados
dinámicamente y la exactitud en la medida de las longitudes de los catetos, contribuyó a
que el estudiante logrará conjeturar que la igualdad de razones se debe a que pertenecen al
mismo ángulo.
Los estudiantes manifestaron que el uso del software, les permitió visualizar el
comportamiento de los rayos de incidencia del sol sobre objetos a lo largo del día, y el
efecto que produce éste en la longitud de las sombras de los mismos. Algunos descubrieron
con asombro, cómo a las doce del mediodía la longitud de la sombra de los objetos se
reduce considerablemente al grado de ser casi imperceptible —ellos comentaron que se
desaparece.
Se recomienda que el material manipulable en foami, sea cortado con una herramienta de
corte exacto para eficientar el proceso de estudio. El haberlo hecho con tijera provocó
inexactitud en el corte, lo cual no favoreció en algunos casos, a realizar medidas precisas.
Se recomienda de preferencia utilizar material rígido como plástico o acrílico.
En la siguiente figura se presenta cómo se articulan las técnicas en esta Fase, se inicia con
la τ2 de la cuarta proporcional, seguida por la τ3, la razón tangente, se continúa con la τ4
semejanza en triángulos rectángulos y para finalizar, se recurre a la τ3 como una técnica
fuerte, que se sustenta en conceptos matemáticos importantes inmersos en τ2 y τ4.
τ3τ2τ4 τ3
Figura 4: Articulación de técnicas de la Fase 2
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4.3 Resultados del pilotaje de la Fase 3.
Se describe de manera general el desempeño del equipo AJA, en representación de ambos
equipos como se explícito en la Fase 2. Una vez construido el concepto de razón tangente
en la Fase anterior, ahora en esta Fase, se estableció la relación biunívoca en el primer
cuadrante entre un ángulo agudo α y su correspondiente tangente.
La primera actividad (Hoja de Trabajo 6.1) estableció la tangente para los ángulos de 45º.
Apareció el momento del primer encuentro con el problema, y de manera inmediata
apareció el momento de la exploración de la técnica, cuando los estudiantes determinaron,
el ángulo agudo formado al doblar la hoja cuadrada por la mitad, a través de la diagonal, y
establecieron tan 45º. Hicieron lo mismo con el otro cuadrado de longitud diferente al
primero y obtuvieron tan 45º.
.
El tercer momento del discurso tecnológico apareció, cuando se les cuestionó acerca del
valor de tan 45º, si se tuviera un tercer triángulo con medidas diferentes a las analizadas, y
ellos argumentaron que tan 45º siempre será 1.
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Siguió el momento de trabajo de la técnica al obtener las tangentes de 30º y 60º en la Hoja
de Trabajo6.2
El conocimiento previo de construcción de un triángulo equilátero, emergió de manera
natural en los estudiantes, sin embargo, el concepto de altura del triángulo fue necesario
recordarlo por el profesor. Se pretendía que determinaran la altura a través del Teorema de
Pitágoras, sin embargo utilizaron la regla graduada, midieron y establecieron los valores de
tan 30º, 45º y 60º como se muestra en el inciso c.
El resto de las actividades en esta Fase continuaron promoviendo que a cada ángulo agudo
le corresponde un único valor de tangente.
La actividad siguiente (Hoja de Trabajo7.1) fue en software GeoGebra y simuló tres
triángulos rectángulos semejantes. El alumno manipuló las dimensiones de los catetos y
determinó tan α para los tres triángulos y encontró el valor del ángulo correspondiente de
manera aproximada teniendo de sustento los resultados de actividades anteriores. En la
siguiente imagen se muestra la actividad y los resultados del equipo AJA.
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El equipo manifestó que la tangente encontrada corresponde al ángulo de 46º, y comentó
cómo a través de los valores de tan 45º ya establecidos, determinaron de manera
aproximada tan 46º.
Dentro de la misma actividad, los estudiantes cambian las medidas de las longitudes de los
triángulos y vuelven a determinar la razón tangente y el ángulo correspondiente. Además,
al cuestionarles cómo se afecta la tangente, si se aumenta el valor del ángulo, ellos
comentan lo siguiente:
En la siguiente actividad (Hoja de Trabajo7.2), se solicitó que determinen usando la
calculadora a qué ángulo θ le corresponde la razón tangente = 0.20. Los equipos
manifestaron que a 11.5º y esquematizaron el triángulo rectángulo utilizando transportador.
Los integrantes de los equipos modelaron el triángulo con diferentes longitudes de los
catetos.
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En la actividad siguiente (Hoja de Trabajo7.3), los equipos utilizando la calculadora,
determinaron el valor del ángulo θ que corresponde a la razón tangente
y lo
modelaron a través de una figura adecuada.
Otros integrantes modelaron de la siguiente manera:
Los equipos contrastaron la información e intercambiaron argumentos.
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La actividad siguiente (Hoja de Trabajo7.4), fue en software GeoGebra. El estudiante
manipuló el valor del ángulo agudo, a través del deslizador, y determinó el valor
correspondiente de tan α en una Tabla, como se muestra en la imagen siguiente:
La última actividad (Hoja de Trabajo8.1) de la secuencia, es una actividad fuera del aula,
donde los estudiantes determinaron la altura del edificio, para esto, obtuvieron el ángulo
correspondiente formado por los rayos de incidencia del sol con la tierra, a la hora exacta
en que se llevó a cabo la actividad, y por medición directa, obtuvieron la longitud de la
sombra del edificio. Con esta tarea, se puso a prueba si la técnica de tan α esta fuerte por sí
misma, de tal manera que los estudiantes la seleccionen, en lugar de la técnica de la cuarta
proporcional, como se realizó en la primera actividad de la Fase 2. En la siguiente imagen
se presenta esta actividad:
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Como se aprecia, el equipo AJA utilizó tan α y determinó la altura del edificio, sin requerir
establecer razones entre los lados correspondientes de triángulos rectángulos semejantes.
Esta técnica fue utilizada al obtener la altura del edificio en la primera actividad de esta
Fase.
De esta manera, se ha contribuido a la conceptualización del concepto tan α y se encuentra
listo para ser aplicado en situaciones donde se requiera.
El profesor reunido con los equipos promovió un diálogo acerca de los conceptos
estudiados, apareciendo el sexto momento, donde algunas de las conclusiones del grupo
fueron:
Que existe un valor tangente para cada uno de los valores de los ángulos agudos,
Que al aumentar el ángulo, el cateto opuesto crece y el cateto adyacente disminuye,
Que tan α se puede modelar con diferentes magnitudes de los catetos debido a la
Semejanza en triángulos rectángulos, ya que éstos están representando al mismo
ángulo agudo.
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Que el valor de tan 90º se indetermina, debido a que el cateto adyacente se reduce a
cero.
Las técnicas utilizadas en esta Fase, ver Figura 5, son la técnica de calcular en forma de
cociente la razón tangente (τ3), la técnica de comparar los valores de tangente ya conocidos
y su relación con los ángulos correspondientes (τ5), y para finalizar, el uso de tan α (τ6)
como una técnica fuerte para aplicarse en situaciones que se involucren triángulos
rectángulos.
Consideramos que coadyuvamos al logro de las competencias establecidas para esta Fase,
debido a que las actividades diseñadas promovieron que los equipos conjeturaran el valor
de tan 30º, 45º, 60º, entre otros ángulos agudos. Además, éstos estimaron el valor del
ángulo agudo de la tangente a través de transformaciones en forma de cociente y decimal
—utilizando la calculadora científica—.
Las praxeologías organizadas en esta OM, permitieron al estudiante conjeturar que existe
un valor de tangente para cada ángulo agudo. El desarrollo de la técnica usada para
establecer tan 45º permitió establecer y desarrollar la técnica para calcular tan 30º, 60º y se
progresó hasta llegar a establecer que existe una tangente para cada ángulo agudo.
Realizando una evaluación de los resultados obtenidos del pilotaje, concluimos que los
objetivos planteados en el Capítulo 1 para el diseño de la secuencia didáctica, se cumplen,
ya que se logra articular la semejanza con las razones trigonométricas y se coadyuva al
logro de las competencias matemáticas establecidas en el Capítulo 3.
τ5τ3
Figura 5: Articulación de técnicas de Fase 3