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Capítulo 4

Elementos de Contorno Esquina

4.1. Introducción

La mejor manera de resolver un problema de fractura es obtener su solución

analítica. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que la solución analítica es

demasiado difícil de obtener o ni siquiera existe. En estos casos es necesario aproximar

la solución del problema numéricamente.

El MEC es eficiente, preciso y numéricamente estable resolviendo problemas con

geometrías y condiciones de contorno simples. Sin embargo, su aplicabilidad en

Mecánica de la Fractura ha sido limitada en parte a la dificultad de encontrar el

procedimiento de modelado que satisfaga la singularidad que presenta el campo de

tensiones en el entorno del fondo de la grieta. La funciones polinómicas de las

funciones de forma usadas por los convencionales elementos no pueden representar

los campos de tensiones y desplazamientos predichos por la teoría.

Extensas investigaciones han sido llevadas a cabo en el desarrollo de nuevos

métodos numéricos para determinar los valores del Factor de Intensidad de Tensiones

(FIT). La evaluación del FIT puede tener una aplicación práctica en la determinación del

factor de seguridad de las estructuras elásticas en el diseño en ingeniería.

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Un avance significativo en el modelado de problemas de fractura fue la

introducción de elementos con nodos a un cuarto. Se puede demostrar que los campos

de desplazamiento, tensiones y deformaciones pueden ser representados

adecuadamente por elementos isoparamétricos con funciones de forma cuadráticas

estándar en los que sólo se han desplazado los nodos de la posición media a la

posición ¼ de forma que estos queden más cerca del fondo de la grieta. Esto introduce

una singularidad en la transformación entre los espacios de coordenadas paramétrico

y cartesiano del elemento.

4.2. Elementos de contorno a un cuarto

El efecto de mover el nodo central de un elemento cuadrático a la posición ¼

puede ser mejor ilustrado en una dimensión. Aunque los elementos unidimensionales

no son muy útiles en la práctica, el álgebra es mucho más simple que en dos y tres

dimensiones y el principio es el mismo que para dimensiones superiores.

El desplazamiento en cualquier punto del elemento se determina por

interpolación con los desplazamientos nodales usando las funciones de forma de

segundo orden de Lagrange:

(4.1.)

(4.2.)

Usando una formulación isoparamétrica, las mismas funciones de forma son

usadas para interpolar la geometría del elemento. Definiendo como variable que da

la distancia al fondo de la grieta y teniendo a como coordenada paramétrica se tiene:

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Figura 4.1. Espacio de coordenadas paramétrico del elemento

(4.3.)

(4.4.)

donde es un parámetro que toma valores entre 0 y 1 y determina la posición del

nodo central del elemento.

Consideremos en primer lugar el caso en el que el nodo 2 se coloca en el punto

medio del elemento, esto es

, tenemos que:

(4.5.)

(4.6.)

y por tanto la expresión para el desplazamiento queda:

(4.7.)

que es incapaz de reproducir los campos de desplazamientos (y por tanto tensiones y

deformaciones) que predice la teoría en el entorno del fondo de la grieta.

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Consideremos ahora el caso en el que colocamos el nodo central a la posición ¼,

esto es

, entonces:

(4.8.)

y la expresión de los desplazamientos es:

(4.9.)

Claramente se puede ver que esta expresión consta de tres términos: una

constante, una variación lineal con y una variación con la raíz cuadrada de . Esto

corresponde a los principales términos de la expresión de la Mecánica de la Fractura

Elástica Lineal para los desplazamientos en el entorno del fondo de la grieta. La

expresión para las deformaciones y las tensiones constarán de una constante y un

término singular que varía con la inversa de la raíz de que está en concordancia con

las expresiones que predice la MFEL.

El razonamiento llevado a cabo para una grieta 1D puede extenderse a grietas con

una dimensión adicional. En el caso de grietas definidas geométricamente por

superficies nos encontramos con elementos superficiales de la forma que se muestran

en la Figura 4.2.

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Figura 4.2. Elemento 2D en coordenadas cartesianas

Estos elementos se colocaran de forma que la suma de todos ellos constituya la

superficie de la grieta y para que los campos de desplazamientos y tensiones puedan

cumplir con los requisitos de la teoría de la MFEL se hace necesario definir un

elemento a ¼ bidimensional que debe ser capaz de reproducir la variación con la raíz

de de los desplazamientos en el entorno del fondo de la grieta. Esto se consigue

colocando elementos como el que se describe en la Figura 4.3. en la curva que define

geométricamente el fondo de la grieta.

Figura 4.3. Elemento a ¼ 2D

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Este elemento tiene sus nodos 1, 2 y 3 coincidentes con el fondo de la grieta y los

nodos 8, 9 y 4 a una distancia ¼ L para que en la dirección perpendicular a 1-2-3 se dé

la variación con la raíz de requerida. Haciendo uso de funciones de forma cuadráticas

bidimensionales, esto implica que la relación entre la variable y que se define en la

Figura 4.4. es la misma que la establecida en el caso 1D entre y , esto es:

(4.10.)

donde se define como la distancia a la línea 1-2-3.

Figura 4.4. Espacio de coordenadas paramétrico del elemento a ¼ 2D

El elemento a ¼ tiene que cumplir las siguientes restricciones geométricas:

- Debe ser plano.

- Las longitudes de las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 deber ser iguales entre ellas e iguales a L

- Las distancias 1-8, 2-9 y 3-4 deber ser todas iguales a L/4 .

- Las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 deber ser normales a la línea 1-2-3 en los

puntos 1, 2 y 3 respectivamente.

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Con este elemento podemos modelar cualquier grieta cuyo fondo sea descrito por

una curva suave cerrada. En la Figura 4.5. se observan dos ejemplos de este tipo de

grietas y cómo se incorpora el nuevo elemento a ¼ en el modelado. Los elementos

sombreados representan los elementos a ¼ que se colocan en fondo de la grieta y el

resto de elementos que se colocan en el interior son elementos quadráticos de nueve

nodos estándar.

Figura 4.5. Discretización de grietas definidas por curvas suaves

El proceso de integración sobre un elemento a ¼ es el mismo que sobre un

elemento cuadrático de 9 nodos ya que las funciones de forma utilizadas en los dos

casos son las mismas y la transformación entre los espacios de coordenadas cartesiano

y paramétrico hace que se llegue a elementos idénticos en coordenadas paramétricas.

Para un estudio más detallado de la formulación ,implementación y características

geométricas del elemento de contorno cuadrático con sus nodos a ¼ véase la

referencia [2].

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4.3. Elemento de contorno esquina

El hecho de discretizar el fondo de la grieta con elementos a ¼ hace posible que la

representación del comportamiento de los campos de desplazamientos y tensiones

sea adecuada en las proximidades del vértice de la grieta pero estos elementos no

pueden ser utilizados para discretizar grietas cuyo fondo esté definido

geométricamente por una curva que no sea suave, como es el caso de formas

poligonales. Para este tipo de grietas se hace necesaria la introducción de otro tipo de

elemento a ¼ que llamaremos elemento esquina y que es la principal aportación de

este proyecto.

Figura 4.6. Elemento a ¼ esquina

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Figura 4.7. Espacio de coordenadas paramétrico del elemento a ¼ esquina

El elemento esquina tiene dos de sus lados coincidentes con el fondo de la grieta:

el lado 1-2-3 y el lado 3-4-5, en este elemento cinco nodos son desplazados a la

posición ¼ para permitir la representación adecuadas de los campos de

desplazamientos y tensiones ya no sólo en una dirección como teníamos en el

elemento a ¼ si no en dos direcciones: las perpendiculares a 1-2-3 y 3-4-5. Esto implica

que la relación entre las variables - y - son iguales a la relación establecida en

el caso 1D entre y , es decir:

(4.11.)

(4.12.)

donde se define como la distancia a 3-4-5 y como la distancia a 1-2-3.

El elemento esquina cumple con las siguientes restricciones geométricas:

- Es plano

- Las longitudes de las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 son iguales entre ellas e iguales a L2.

- Las longitudes de las tres líneas 1-2-3, 8-9-4 y 7-6-5 son iguales entre ellas e iguales a L1.

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- Las distancias 1-8, 2-9 y 3-4 son todas iguales a L2/4 .

- Las distancias 3-2, 4-9 y 5-6 son todas iguales a L1/4.

- Las tres líneas 1-8-7, 2-9-6 y 3-4-5 son normales a la línea 1-2-3 en los puntos

1, 2 y 3 respectivamente.

- Las tres líneas 1-2-3, 8-9-4 y 7-6-5 son normales a la línea 3-4-5 en los puntos

3, 4 y 5 respectivamente

La discretización de grietas con esquinas se realiza colocando los elementos

esquina en los vértices de la curva que describe el fondo de la grieta y los elementos a

¼ en los tramos suaves de la curva. El interior de la grieta se discretiza con elementos

cuadráticos de 9 nodos estándar. En Figura 4.8. se ilustra el proceso de discretización

de grietas con esquinas haciendo uso de los tres tipos de elementos: elementos

esquina sombreados en color oscuro, elementos a ¼ sombreados en color más claro y

elementos cuadráticos de 9 nodos sin sombrear.

Figura 4.8. Discretización de grietas con esquinas

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4.4. Cálculo del Factor de Intensidad de Tensiones y discretización de

problemas de fractura

Una vez obtenido el valor de los desplazamientos y tracciones nodales en el borde

de la grieta es posible estimar el valor de los FIT para los tres modos de fractura.

Como ya se ha comentado, la formulación hipersingular de elementos de contorno

es muy adecuada para resolver problemas de fractura. Se puede así estudiar

problemas con falta de simetría prescindiendo de técnicas de división en subregiones y

posterior acoplamiento de las mismas. Sin embargo, ya que no es necesario hacer

pasar una sección a lo largo de la grieta, cuando se resuelva el sistema de ecuaciones

no se va a disponer directamente de los valores nodales correspondientes a puntos

cercanos al borde de la grieta y en el interior del material. Se van a utilizar entonces

como variables básicas para el cálculo de los FIT los Desplazamientos de Apertura de

Grieta (DAG).

Dependiendo del tipo de dominio en estudio y de la posición de la grieta, la

discretización del contorno y las ecuaciones integrales mínimas que hay que describir

van a ser diferentes.

Si el dominio es infinito sólo se discretiza una superficie de la grieta y se plantea

sobre estos únicamente la EIC en tracciones. La variable nodal que se emplea para

resolver el sistema de ecuaciones es el DAG. En cambio, si el dominio es finito se

discretizan el contorno exterior y una o dos caras de la grieta, dependiendo si ésta es

interior o de borde respectivamente. De modo que si se discretizan las dos caras, en

una se planteará la EIC en tracciones y en la otra la EIC en desplazamientos.

Entonces, una vez resuelto el problema de contorno, conocidos los

desplazamientos y tracciones nodales, los valores numéricos de los FIT se obtienen a

partir de ellos.

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De modo que para , a partir de las tracciones en el sistema tenemos:

(4.13.)

(4.15.)

(4.16.)

Igualmente para , a partir de los desplazamientos en el sistema tenemos:

(4.17.)

(4.18.)

(4.19.)

donde μ es el módulo de elasticidad transversal, ν el módulo de Poisson, el

desplazamiento del nodo a un cuarto del borde y el sistema de coordenadas en un

punto de la grieta es el de la Figura 4.9.

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Figura 4.9. Sistema de coordenadas en un punto de la grieta

De modo que particularizando las expresiones para r=L/4, donde L es la longitud

del elemento a un cuarto pegado al frente de la grieta, es posible obtener el valor de

los FIT para cada caso analizado.