capítulo 3: descripción y representación de los sistemas
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Descripción y representación de los sistemas continuos
Sistema: división en subsistemas o bloques
FDT & diagrama a bloques
Objetivos del capítulo
Linealización del sistema
FDT
Diagramas a bloques
Sistemas realimentados
Álgebra de bloques
0.6 0.65 0.7 0.750
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1Curva de transferencia del transistor bipolar
uBE [V]
iE[A
]
Modelo lineal
Linealización
Monovariable
Ejemplo
...!
1...
!2
10
0
2
0
0
2
2
0
0
0
n
n
n
xxdx
xdf
nxx
dx
xdfxx
dx
xdfxfxf
0
0
0xx
dx
xdfxfxf
x
dx
xdfy
0
T
BE
V
u
SEBEEE eIiuii
BEmE ugi
BEBE
T
EEEBEBE
Vu
T
V
u
S
Vu
V
u
SE VuV
IIiVu
V
eIeIi
BEBE
T
BE
BEBE
T
BE
Linealización de sistemas dinámicos
Modelo basado en ecuaciones diferenciales:
0,...,,,...,,,,...,,, 111 nnn xxxxxxyyyF
0...
......
000
1
01
1
01
1
01000
n
n
n
n
n
n
xx
Fx
x
Fx
x
F
xx
Fx
x
Fx
x
Fy
y
Fy
y
Fy
y
F
Ejemplo 3.2
Linealizar la expresión:
entorno al punto de reposo
243 2 xsenxxxy
.2
0
x
xxy 23
Ejercicio 3.3
Obtener el modelo dinámico del nivel del agua y linealizarlo en torno a un punto de reposo. Considere que el caudal de entrada, Qe, en equilibrio es de 1 m3/s y la sección de salida, A, es de 1 m2, mientras la base de depósito, B, es de 1 m2. Analizar las discrepancias entre el modelo no lineal y lineal en el régimen permanente, si el caudal de entrada, en primer lugar, evoluciona a 1.1
m3/s y luego pasa a 2 m3/s.
B
02
2
hBAghctQ
AghcAvctQ
dt
dhBtQtQ
e
ss
se
10
1
10
e
e
Q t h t h t
h s
Q s s
02
12
0
hBhA
hgctQe
Ejercicio 3.3
,2
2 2 0 2
12
,0
0 2
0.110
0.15
0.052
e
e
Qh h h h
h mQ
h mA g
La validez depende del tamaño del incremento alrededor del punto de reposo
B
23,0
,0 0 2
23,1
,1 1 2
23,2
,2 2 2
1 0.052
1.1 0.06052
2 0.22
e
e
e
e
e
e
QmQ h m
s A g
QmQ h m
s A g
QmQ h m
s A g
mh
mgA
Qh
hhhQ
h
e
e
06.0
05.02
01.010
1
2
0,2
0
101
1,
1
Si el incremento es de 0.1 ó 1 m3/s, los resultados del modelos incremental son:
Modelo no lineal estacionario:
Final de enero 2017
Final de enero 2017
Función de transferencia (LTI-SISO)
Lineal & No Lineal (proceso de linealización)
Aplicando transformadas de Laplace
n
j
jm
j
ji
i
n
j
jm
j
ji
i
txdt
dbty
dt
d
txdt
dbty
dt
d
0i 0
i
0i 0
i
a :lincrementa Modelo
a :lineal Modelo
ni
m
j
j
i
nj
m
j
j
i
sXsbsYs
sXsbsYs
0i 0
i
0i 0
i
a :lincrementa Modelo
a :lineal Modelo
n
0
i
0
n
0
i
0
a
:lincrementa Modelo
a
:lineal Modelo
i
i
jm
j
j
i
i
jm
j
j
s
sb
sX
sY
s
sb
sX
sY
Diagramas de bloques
Serie
Paralelo
Realimentado
X(s)G1(s) G2(s)
Y(s) Z(s)
X(s)G1(s)G2(s)
Z(s)
sXsGsGsZsYsGsZsXsGsY 2121
X(s)
G1(s)
G2(s)
X(s)G1(s)+G2(s)
Y(s)
Y(s)+
+
X(s)G(s)
H(s)
Y(s)+
-
E(s)
sXsGsGsY
sXsGsXsGsY
21
21
sHsG
sG
sX
sYsM
sYsHsXsE
sGsEsY
1
Sistemas realimentados lineales
Z(s)
G 1 (s) G 2 (s) + X(s)
H(s)
Y(s)
-
+ -
sZsMsXsMsY 21
sHsGsG
sGsM
sHsGsG
sGsGsM
21
22
21
211
11
(por teorema de superposición)
• Condición de diseño: 121 sHsGsG
sHsG
sMsH
sM
1
21
11
Problema 2
El esquema de la figura representa un sistema de control continuo sobre un depósito de agua. La altura es medida por un transductor resistivo, de forma que la tarjeta de acondicionamiento de la señal, da una tensión proporcional a la altura:
siendo k1 la ganancia, de valor 10 [V/m]. Esta señal es comparada con la señal de mando, um(t), generando la señal de error, la cual ataca al regulador PI analógico, cuya ganancia de tensión está dada por la siguiente ecuación diferencial:
El compensador ataca a la electroválvula de sección variable. La sección de paso, W, es proporcional a la tensión de salida del regulador con una ganancia k2, de valor 0.01 [m2/V]. Se pide:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que determinen la dinámica del sistema.
2. Linealizar el modelo respecto al punto de equilibrio, um0 = 6V y h0= 0.5m. ¿ Cuánto vale el caudal de salida ?, ¿ y el de entrada ?.
3. Diagrama de bloques entre los incrementos de la señal de mando y de la altura del depósito.
thktuAC 1
dt
tdutu
dt
tdutu err
errelec
elec 23
Problema depósito
El conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definen la dinámica del
sistemas:
ghWQ
hAQQ
tutukW
tutututu
tututu
ththktu
s
se
elecelec
errerrelecelec
ACmerr
AC
2
01.0.
23
10
.
2
..
1
Problema depósito
El modelo es no lineal; linealizando a partir de la señal de mando y el nivel del depósito se tendrá
un modelo en incrementos alrededor del punto de equilibrio:
s
mQQ
mW
VVuVuVu
mh
Vu
se
elecerrAC
m
3
00
2
0
0
0
0
062.05.0.8.9.2.02.0
02.0
21.215655.0.10
5.0
6
00
hWhhh
gWWhgQ
hAQQ
tuW
tutututu
uuu
thtu
s
SE
elec
errerreleelec
ACmerr
AC
062.013.313.32
2
01.0
23
10
0
0
.
..
Problema depósito
El diagrama a bloques quedará como:
+-
10
0.01 3.13
0.062
S
1+
+
+-
3
1 /
1
3
2
S
S
sum suelec sW sh sQs
sQe
suerr
+-
10
0.01 3.13
0.062
S
1+
+
+-
3
1 /
1
3
2
S
S
sum suelec sW sh sQs
sQe
suerr
Problema depósito
La simulación:
Ejemplo 3.5
Para calentar el agua de un termo eléctrico se
emplea el efecto Joule. Para su regulación se
emplea una estructura de realimentación negativa.
La temperatura interior del termo, Ti, es adquirida
por un transductor de tipo termopar. La salida del
sensor es acondicionada y es convertida en una
señal de tensión analógica, uTi:
TiTii auuA
T 1
Ti
K
VCC Ta
Acondicionamiento
señal
RTH
+-
um
La temperatura deseada en el termo o señal de mando, es convertida a
través de un potenciómetro en una señal de referencia, um. Ésta es
comparada con la salida de la tarjeta de acondicionamiento y amplificada
por un valor k. Esta señal ataca a la etapa de potencia. Por otro lado, hay
que añadir las pérdidas de calor por transmisión de calor, desde el
tanque al exterior. Obtener el diagrama a bloques del sistema de control
del termo eléctrico y su equivalente reducido.
Ejemplo 3.5
Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales:
Diagrama a bloques
or) transductamientoacondicion de (Etapa /17
)energético (Balance 6
calor) delisión por transm (Pérdidas R5
)calorífica energía de iento(Almacenam 4
potencia) de (Etapa /3
error) señalción (Amplifica 2
r)(Comparado 1
TH
2
TiTii
pTi
Pai
iTi
FT
errFT
errTim
auuAT
qqp
qTT
Tmcq
Rup
Kuu
uuu
sTsMsusMsT ami 21
Ejemplo 3.4
FDT respecto a la señal de mando
FDT respecto a la perturbación
THTHTHa
i
CsRRKGHsT
sTsM
11
21
1
THTHTH
TH
m
i
CsRRKGH
RKG
su
sTsM
11
11
1
Ejemplo 3.4
Reducción de bloques(1/2)
Transposición del sumador
+
-
G(s)X(s)
Y(s)
Z(s)+
-Y(s)
G(s)
G(s)
X(s) Z(s)
+
-Y(s)
G(s)X(s) Z(s) +
-
G(s)
Y(s)
Z(s)X(s)
1/G(s)
1/Z s G s X s Y s Z s G s X s Y s G s
Z s G s X s Y s Z s G s X s G s Y s
Reducción de bloques(2/2)
Movimiento de los puntos de bifurcación de las señales
G(s)X(s)
Y(s)
Z(s)
Y(s)
G(s)
1/G(s)
X(s) Z(s)
Y(s)
G(s)X(s) Z(s)
G(s)
Y(s)
Z(s)X(s)
G(s)
1; ;Z s G s X s Y s X s Z s G s X s Y s X s G s
G s
;Z s G s X s Y s Z s G s X s Y s X s G s
Ejemplo 3.6
G 1
+
-
H 2
G 2
G 3
H 1
G 4
H 3
+
+
+ +
-
-
Ejemplo 3.6
G 1
+
-
H 2
G 2 + G 3
H 1
H 3
+
-
-
3 4
4
1 H G
G
+
H 3 +
-
3 4
4
1 H G
G
3 4
4
1 H G
G
Ejemplo 3.6
G 1
+
-
H 2
G 2 + G 3
+
-
3 4
4 3 1 1
1 H G
G H H
3 4
4
1 H G
G
+
-
H 2
3 4
4
1 H G
G
G 1
3 2
3 4
3 4 1
3 2
1 1 1 G G
H G
H G H
G G
Ejemplo 3.6
34
4
1 HG
G
34321232134
34321
11
1
HGGGGHGGHHG
HGGGG
34321232134
4321
11 HGGGGHGGHHG
GGGGsM
Problema 5
El diagrama de la figura representa un esquema simplificado de levitación magnética. La fuerza magnética producida por el electroimán intenta compensar la fuerza de gravitación sobre el cuerpo que levita. Sabiendo que la fuerza magnética es proporcional al cuadrado de la corriente de la bobina e inversamente a la posición del cuerpo, determinar:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del levitador.
2. Linealización de la planta alrededor del punto de reposo.
3. Diagrama de bloques del sistema.
4. ¿Es estable? i(t)LR
tx
tiktf pm
2
x(t)
u(t)
i(t)LR
tx
tiktf pm
2
x(t)
u(t)
Datos:
M = 0.1 kg kp= 2510-3 [Nm/A2] R = 0.1
L = 5.4 mH
Punto de reposo: x0 = 25 mm
Problema 5
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del levitador:
2. Linealización de la planta alrededor del punto de reposo.
3. Diagrama de bloques del sistema.
i(t)LR
tx
tiktf pm
2
x(t)
u(t)
i(t)LR
tx
tiktf pm
2
x(t)
u(t)
Datos: M = 0.1 kg kp= 2510-3 [Nm/A2] R = 0.1 L = 5.4 mH Punto de reposo: x0 = 25 mm
Aik
xgMi
p
1002
0
tx
tikgMxM
dt
tdiLtiRtu
p
2
txx
ikti
x
ikxM
tiLtiRtu
pp
02
02
0
02
Problema 6
Una masa se desliza por un plano inclinado a una
determinada velocidad, se pide:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele
la dinámica y velocidad del régimen permanente de la
masa cuando la pendiente es /6.
2. Determinar el modelo incremental entre el ángulo del
plano inclinado y su velocidad, con las condiciones
iniciales dadas.
3. Variación temporal de la velocidad del objeto si hay un
cambio de pendiente de /6 a /3. Utilícese el modelo
lineal del apartado anterior.
4. Determinar la velocidad en el régimen permanente,
cuando la masa se desliza sobre el plano de /3. ¿Existe
discrepancia con el resultado del apartado anterior? ¿Por
qué?.
Datos: M = 10 kg, B = 5 Ns/m, g ~ 10 m/s2.
06
13
v t
Problema 6
1. Modelo dinámico:
2. Modelo de incrementos alrededor de una velocidad
nominal:
3. Velocidad en el cambio de pendiente:
4. Existe discrepancia por la aproximación del sistema no
lineal a través de la pendiente. En el modelo linealizado
da 19 m/s y en el modelo no lineal es de 17.32 m/s.
r rMx t Mgsen f t f t Bx t
1 10 3
6 1 2v s
s s
10 /rp
Mg senv m s
B
0
cos 10 3
1 2
Mgv sG s
s Ms B s
Examen julio 2014 La figura muestra un accionamiento hidráulico utilizado para el control del ángulo del alerón de una aeronave. El
accionamiento consiste básicamente en un amplificador y un acondicionador de potencia hidráulico controlado por una
válvula piloto sobra la que se actúa exteriormente modificando su desplazamiento x(t). La válvula piloto es una
válvula equilibrada, en el sentido de que la presión de todas las fuerzas que actúan sobre ella está equilibrada. Se
consideran condiciones de funcionamiento ideales. Se define:
Q(t) = caudal de aceite al cilindro de potencia
P(t) = diferencia de presiones en el cilindro (P1 – P2 )
x (t) = desplazamiento de la válvula piloto
La diferencia de presiones P(t) es una función del
desplazamiento x(t) y del caudal Q(t).
La relación entre las variables P(t), Q(t) y está dada por
la ecuación no lineal: P(t) = f (x(t), Q(t)).
La variación del caudal depende de la aceleración del vástago a(t):
donde A es el área del pistón y es la densidad del aceite
El balance de fuerzas en el pistón da:
donde m es la masa del pistón y del vástago y F(t) es la fuerza aplicada por el vástago del pistón al punto de fijación de
la superficie de control. El balance de momento de la superficie de control da:
donde I es el momento de inercia de la superficie de control y fijación alrededor de la articulación, Fa(t) es la carga
aerodinámica aplicada (se considera una perturbación), l es la longitud del brazo de palanca, y (t) es la aceleración
angular del eje ( ).
Si el ángulo girado es pequeño, puede deducirse que: a (t) = l (t)
Se define un punto de funcionamiento en equilibrio (nada se mueve) por F0 = 0, Q=0.
(t)(t) ρA Qa
(t) m(t)(t)A aFP
d (t) (t)l(t) I aFF
(t) (t)
0 K0K0
2
0
1
Q
f
x
f
Examen julio 2014
1. Expresión en laplace de las ecuaciones linealizadas del
sistema físico.
Datos: En el punto de equilibrio:
0 K0K0
2
0
1
Q
f
x
f
Solo hay una ecuación no lineal, en un punto de equilibrio con todas las variables a cero:
El resto son lineales y por tanto el paso a laplace es inmediato:
Examen julio 2014
Diagrama de bloques y FDT
Para obtener la FDT, se reduce el diagrama de bloques considerando la perturbación nula.
Resultan entonces dos realimentaciones negativas anidadas, que conllevan a:
Δ Δ Δ Δ
Δ Δ
Δ
Δ
2
Problema 4
La figura representa el esquema simplificado de la calefacción de una habitación por medio de
un radiador eléctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios y situada
en un baño de aceite de masa calorífica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de
coeficiente global de transmisión Uc hacia el aire.
El aire de la habitación se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorífica Mh. La
temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de
transmisión UP.
La temperatura de la habitación se mide con un termómetro situado cerca del radiador, por
lo que su indicación Tm viene afectada ligeramente por él. Dicha medida se compara con una
referencia Tr y la diferencia, amplificada con un ganancia K se lleva a la resistencia del radiador.
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
c
c c c c h
h
h c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dTM q U S T T
dt
dTM U S T T U S T T
dt
CcalMCcalM
CscalSUCscalSUCVkR
hc
ppcc
/º3000/º1000
º/33º/5.12/º5020
Control de temperatura de la habitación
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
c
c c c c h
h
h c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dTM q U S T T
dt
dTM U S T T U S T T
dt
Descartes: “El discurso del método” (1637)
Dudar de forma metódica y provisional de todo lo que le rodea:
1. «El primero, no admitir jamás cosa alguna como verdadera
sin haber conocido con evidencia que así era».
2. «El segundo, en dividir cada una de las dificultades que
examinare, en tantas partes fuere posible y en cuantas
requiriese su mejor solución».
3. «El tercero, en conducir con orden mis pensamientos,
empezando por los objetos más simples y más fáciles de
conocer, para ascender poco a poco, gradualmente, hasta el
conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo
un orden entre los que no se preceden naturalmente».
4. «Y el último, en hacer en todo recuentos tan integrales y
unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de
no omitir nada».