capítulo 3 cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen...

Estudio numérico de los fenómenos transitorios aplicados a una central hidráulica de bombeo puro

Capítulo 3: Cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen estacionario y transitorio

67

Capítulo 3: Cálculo de Instalaciones Hidráulicas en Régimen Estacionario y Transitorio



68

Índice 3 Cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen estacionario y transitorio 69

3.1 Ecuación del movimiento incompresible en conductos ........................... 69 3.2 Resolución general de redes en régimen casiestacionario ....................... 70 3.3 Cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen transitorio .................... 72 3.4 Aplicación a la central Tajo de la Encantada ........................................... 73

3.4.1 Estudio del estacionario en régimen de bobeo ...................................... 73 3.4.2 Determinación de las curvas H(Q,A) de la turbina ................................. 88 3.4.3 Estudio del transitorio ............................................................................ 92



69

3 Cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen estacionario y transitorio

3.1 Ecuación del movimiento incompresible en conductos Consideremos un conducto en el que no hay variaciones bruscas ni de sección ni

de dirección, o sea, dD/dx ≪ 1 y D ≪ R, donde D es el diámetro del conducto, x es

la dirección del movimiento y R es el radio de curvatura del conducto. En estas

condiciones el movimiento turbulento medio a través de conductos es en primera

aproximación casi-unidireccional y la ecuación que determina la velocidad de un

fluido incompresible en un conducto de sección circular es

�� + � ��

�� + �

�(�� )�� = − ��|�|

�� (3.1)

donde v es la velocidad, � la densidad, p la presión, g la aceleración de la

gravedad, z la coordenada vertical o cota y � el coeficiente de fricción del

conducto (que por simplicidad se va a considerar constante e independiente del

número de Reynolds y de la rugosidad relativa). Los términos a la izquierda de esta

igualdad son, de izquierda a derecha, inercia temporal, inercia convectiva y

término de presión (reducida). En el término de fricción, situado a la derecha de la

igualdad, se ha tenido en cuenta la posibilidad de que el flujo medio vaya en

ambos sentidos. La condición de incompresibilidad se traduce en que el caudal que

atraviesa el conducto, Q, es constante de forma que Q = vA, donde el área del

conducto A = (�/4) ∙D2. Si el conducto no es circular esta formulación también

sería válida sin más que sustituir en el término de fricción el diámetro del conducto

por el diámetro hidráulico Dh = 4 Área / perímetro mojado.

Dado que la velocidad es independiente de x si lo es el área, tenemos que v = v(t), por lo que la ecuación (3.1) puede ser integrada entre dos puntos (x = 0 y x = L)

para dar

!�!" + #�$

� + %& + '()* − #�$

� + %& + '()+ = − − �*

��|�|

� (3.2)

Si se define la altura total

, = �$�- + %.&

&- + ( (3.3)

se obtiene

/-

01!" = ,+ − ,* − 234 (3.4)

donde 2fr son las pérdidas por fricción



70

234 = 5/�

1$�- = 65/7$

8$9:- (3.5)

y se ha supuesto que el sentido de la corriente es el que se ha tomado como

referencia (v > 0 en el sentido x > 0), lo cual afecta al signo de las pérdidas por

fricción. La simplicidad de la ecuación (3.4) hace que en el campo de las

instalaciones hidráulicas sea mucho más habitual trabajar con la variable H que con

la presión. Además, nótese que en la definición de H (que tiene dimensiones de

longitud) se ha introducido la presión atmosférica pa para poder trabajar con

presiones manométricas (p - pa) y al mismo tiempo conseguir que, por

fluidoestática, el valor de H en un depósito abierto a la atmósfera sea igual a la

cota a la que está situada la superficie líquido-aire. La altura total es, por otra

parte, una forma útil de expresar la presión de remanso del fluido, p0, ya que H =

p0/�g.

Estimando órdenes de magnitud en (3.4) se comprueba que la importancia relativa

de la inercia temporal frente a la convectiva viene dada por el número de Strouhal, S = tr/tc, donde tc es el tiempo característico de variación de las condiciones de

contorno y tr es el tiempo de residencia, que se puede estimar como el cociente

entre la longitud y la velocidad características del problema. Por lo tanto, si tr ≪ tc

el movimiento puede considerarse casiestacionario y

,+ = ,* − 234 (3.6)

lo que significa que la energía útil en el movimiento estacionario en conductos se

mantiene constante salvo por disipación a consecuencia de la fricción. Por otra

parte, las pérdidas de carga localizadas entre dos puntos, i e i + 1, son

proporcionales a la energía cinética, ,B�� − ,B = CB�B� 2'⁄ , por lo que se puede

completar la expresión (3.6) para considerar también este tipo de pérdidas en

varios tramos de conducto de sección constante

,+ = ,* + ∑ #�*G� + CB) �G$�-B (3.7)

Esta ecuación, junto con las condiciones de contorno de entrada y salida de cada

tramo de conducto, las ecuaciones de conservación de masa en cada nodo y las

curvas altura-caudal de las turbomáquinas y otros equipos instalados permite, en el

régimen estacionario, el cálculo de los caudales y las alturas totales en cada punto

de la instalación.

3.2 Resolución general de redes en régimen casiestacionario Para el cálculo de una instalación compleja es necesario plantear un sistema de

ecuaciones cerrado que permita obtener los valores de las alturas totales en los

nodos y de los caudales que circulan por cada tramo. Para un tramo i-j genérico la

ecuación que relaciona la altura Hi a la entrada con la de la salida Hj es



71

,B + ,BHIJBHK = ,H + 2BH (3.8)

donde Hij(Qij) es la suma de las alturas netas comunicadas al fluido por alguna

turbomáquina (si hubiera) y 2ij es la suma de las pérdidas de carga (tanto por

fricción como localizadas) en el tramo i-j. Por otra parte, la ecuación de

conservación de la masa en un nodo i genérico se puede expresar como

∑ JLBMN"4OL = ∑ JBLPOQML (3.9)

donde JLBMN"4O son los caudales que entran en el nodo i y JBLPOQM los que salen del

nodo i. Dado que se puede aplicar una ecuación de la forma (3.8) por cada tramo

y una de la forma (3.9) por cada nodo, para NT tramos y NN nodos se tendrá un

sistema (no lineal para los caudales) de NT +NN ecuaciones, el mismo número que

de incógnitas: una incógnita Hi por cada nodo y una incógnita Qij por cada tramo.

De esa forma se pueden calcular los caudales y las alturas en los nodos conocidos

los siguientes datos:

• las cotas de los depósitos y sumideros de entrada o salida de la red.

• las constantes de pérdida de carga de cada tramo, distinguiendo sus valores en función del sentido del flujo.

• las curvas características H - Q de las turbomáquinas instaladas en la red.

Obsérvese que no es necesario conocer las cotas a las que están situados los

puntos intermedios de la instalación.

El sistema de ecuaciones resultante, por ser no lineal, no tiene una fácil resolución.

Existen varios métodos numéricos para obtener soluciones de sistemas no lineales

de forma eficiente, como son el método de Newton y el método de Broyden

(método de la secante generalizado para sistemas de dimensión mayor que 1).

Sin embargo, estos métodos de resolución de las ecuaciones que determinan los

caudales que circulan por cada rama de una instalación en régimen estacionario

tienen dos importantes limitaciones:

• Son iterativos y para que encuentren una solución hay que proporcionar de forma externa un punto de partida de las iteraciones que asegure la convergencia, lo cual no siempre es fácil. Esto en la práctica significa que el punto de partida debe estar relativamente cerca de la solución buscada.

• Sólo encuentran una solución. En el cálculo de las instalaciones hidráulicas hay situaciones en las que el sistema de ecuaciones tiene más de una solución y estos métodos no son capaces de calcular todas las soluciones, ni tan siquiera es posible saber a priori cuántas soluciones hay.

Por lo tanto es necesario tener además alguna información adicional o realizar un

barrido buscando soluciones con multitud de puntos de partida. Es interesante si



72

se usa esta última opción tener un criterio que permita descartar la existencia de

soluciones en pequeños intervalos.

En el caso en el que las condiciones de contorno varíen lentamente al sistema de

ecuaciones anterior habría que añadirles las ecuaciones de evolución de estas

condiciones de contorno. Por ejemplo, en el llenado de depósitos, habría que

imponer la conservación de la masa en cada depósito, lo que significa que

JB = RB !SG!" (3.10)

donde zi es la cota de la superficie del depósito i, Qi el caudal que entra en el

depósito i y Ai su superficie libre, que a su vez puede ser función de zi. Esta

ecuación diferencial habría que integrarla conjuntamente con el sistema de

ecuaciones algebraicas que permiten obtener las alturas totales y los caudales de la

instalación.

3.3 Cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen transitorio Cuando el tiempo característico de variación de las condiciones de contorno, tc, es

del orden del tiempo de residencia, tr, la ecuación que determina los caudales que

circulan por el tramo que une los nodos i y j como función del tiempo es

!TGU!" = -VGU

*GU W,B + ,BHIJBH, YK − ,H − 2BH(JBH)Z (3.11)

donde Hij(Qij, ω) es la curva altura caudal de la bomba situada en el tramo i–j cuando gira a una velocidad ω (que puede depender del tiempo si la bomba está

acelerándose o frenándose) y 2ij(Qij) es la suma de las pérdidas de carga, tanto por

fricción como localizadas, del tramo i–j. Para integrar esta ecuación diferencial no

lineal hay que imponer una condición inicial para Qij y conocer las alturas en los

nodos en función del tiempo.

Cuando existen depósitos, la altura total en los mismos, Hi se determina a partir de

la expresión Hi = (Pi − Pa)/�g + zi, donde la presión del gas en un depósito cerrado,

Pi, debe ser expresada, utilizando las ecuaciones de estado del gas, en función del

nivel de la superficie libre, Pi = Pi(zi). La cota de la superficie libre del depósito i se

obtiene del balance de masa

!SG!" = TG

V[G (3.12)

donde Adi es el área de la superficie libre y Qi el caudal que entra en el depósito.

Por lo tanto, para conocer la altura total Hi hay que imponer una condición inicial

para la superficie libre de los depósitos e integrar la ecuación (3.12).

Para cerrar el problema es necesario conocer las alturas totales en los nodos

interiores de la instalación. Para ello debe imponerse que en la integración de



73

(3.11) estas alturas deben ser tales que se verifique la ecuación de continuidad en

los nodos (3.9). Numéricamente esto puede conseguirse resolviendo el sistema de

ecuaciones lineales que resulta al sustituir las ecuaciones (3.11) en

∑ T\G]^_`a!"L = ∑ TG\bac]

!"L (3.13)

ecuación que asegura la conservación de la masa si inicialmente ésta se verifica.

Por lo tanto, en el cálculo de transitorios deben integrarse las ecuaciones (3.11) y

(3.12) junto con las ecuaciones algebraicas que permiten obtener las alturas en los

depósitos y nodos interiores en función de los caudales y los niveles de los

depósitos.

En el caso en que una bomba o turbina estén variando su velocidad angular debe

añadirse la ecuación de balance en el eje

dO%QBe. = d3QgB!h − d%é4!.jMe. + kl !m!" (3.14)

donde Caplic. es el par aplicado en el eje (potencia dividida por velocidad angular),

Cfluido es el par absorbido por el fluido, Cpérd.mec. es el par de frenado de las pérdidas

mecánicas e Ib es el momento de inercia del conjunto de partes móviles. Cfluido, al

igual que la altura útil comunicada al fluido, es función del caudal que circula por

la bomba y de ω, por lo que normalmente se utiliza la semejanza física para

obtener Hij(Q, ω) y Cfluido(Q, ω))

3.4 Aplicación a la central Tajo de la Encantada Aunque este proyecto se centra en el funcionamiento de la instalación como turbina, en primer lugar, se realiza un pequeño análisis del funcionamiento en régimen estacionario y transitorio como bomba.

3.4.1 Estudio del estacionario en régimen de bobeo

3.4.1.1 Esquema de la instalación

5

6

1 2

3 4

Depósito Chimenea de

Equilibrio

7

8 9

10

11

12

13

14

15

16

Bombas

A

B

C



74

3.4.1.2 Planteamiento del estacionario

En primer lugar, se definen los nodos A, B y C intersección de las tuberías 8, 9 y 10,

11, 13 y 14, 12, 15 y 16, respectivamente (tal como se ha representado en el

esquema). Además se denominará caudal 1, 2, 3 y 4 a los caudales que pasan por

las tuberías 13, 14, 15 y 16 respectivamente.

Señalar también que se va a modelar la instalación como si estuviera funcionando

en régimen de bombeo con dos bombas funcionando, en concreto, las bombas

situadas en los tramos 13 y 14 denominadas bombas 1 y 2, respectivamente.

Dicho se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:

BB zH −+= 10 ξ

(3.15)

donde z0 es la cota del depósito.

Por otro lado

1313 1 ξ−+= HBzHB (3.16)

1414 2 ξ−+= HBzH B (3.17)

Por último se aplican las ecuaciones de continuidad en los nodos

21 QQQB += (3.18)

Se obtiene así un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas donde se han definido

las curvas de funcionamiento de las bombas HB1 y HB2 como se explica más

adelante en el estudio del transitorio.

La simulación se ha realizado a través de Matlab. Todos los códigos empleados en

este proyecto pueden consultarse en el Anexo.

En particular, este apartado hace referencia al programa principal denominado

tdleest2b (por tajo de la encantada estacionario en funcionamiento en régimen de

bombeo con dos bombas funcionando), que a su vez llama a la subrutina

ecs_tdleest2b (por ecuaciones tajo de la encantada estacionario en funcionamiento

en régimen de bombeo con dos bombas funcionando).

Los resultados obtenidos son: Q1 = Q2 = 20.9895 m3/s, QB = 41.9790 m3/s y HB = 605.7941 m.

3.4.1.3 Estudio del transitorio El objetivo de este estudio es analizar la variación de las condiciones de

funcionamiento de la instalación, en régimen de bombeo, cuando se pasa de una

situación en que sólo la bomba situada en el tramo 13 está funcionando (en

adelante bomba 1), a una situación de arranque de una segunda bomba (bomba

2) situada en el tramo 14.



75

A continuación se plantean las ecuaciones que modelan la instalación:

[ ]BHHBQCzL

Ag

dt

dQ−+⋅−

⋅= 12

1131313

131 (3.19)

[ ]BHHBQCzL

Ag

dt

dQ−+⋅−

⋅= 22

2141414

142 (3.20)

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQTF 21 += (3.21)

donde

[ ]2TFBMMB

TF

TFTF QCHHL

Ag

dt

dQ⋅−−

⋅= (3.22)

Sustituyendo las ecuaciones (3.19), (3.20) y (3.21) en (3.22), queda

nno J"3 = n

no J� + nno J� →

-V_q*_q r,s − ,t − dst ∙ Jvw� x = -Vyz

*yz r(�{ − d�{ ∙ J�� + ,|1 − ,sx + -Vy}*y} r(�~ − d�~ ∙ J�� + ,|2 − ,sx (3.23)

despejando HB, queda

[ ] [ ] [ ]21 221414

14

14211313

13

132

14

14

13

13 HBQCzL

AgHBQCz

L

AgQCH

L

AgH

L

AgH

L

AgH

L

AgTFBMM

TF

TFBBB

TF

TF +⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−−⋅−=⋅+⋅+⋅

[ ] [ ] [ ]

14

14

13

13

221414

14

14211313

13

132 21

L

A

L

A

L

A

HBQCzL

AHBQCz

L

AQCH

L

A

H

TF

TF

TFBMMTF

TF

B

++

+⋅−++⋅−+⋅+=

[ ] [ ] [ ]

14

14

13

13

214

141

13

133

L

A

L

A

L

A

RL

AR

L

AR

L

A

H

TF

TF

TF

TF

B

++

++=

(3.24)

donde

23 TFBMM QCHR ⋅+=

(3.25)

12113131 HBQCzR +⋅−=

(3.26)

22214142 HBQCzR +⋅−=

(3.27)



76

Dado que el tramo que va desde M a la chimenea suele ser muy corto, el tiempo de residencia en la rama de la chimenea es muy pequeño en comparación con el tiempo característico del transitorio. Por lo tanto la ecuación de la chimenea corresponde al estado casiestacionario.

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ GPTFSGPSTF −=→+= (3.28)

s

GPTFS

s

SS

A

QQ

dt

dz

A

Q

dt

dz −=→=

(3.29)

con todo, queda

( ) GPTFGPTFSSMZZS

SM QQQQCzHdt

dz

dt

dz

g

kzH −−+=→+=

2 (3.30)

donde

s

SS Ag

kC

1

2=

(3.31)

Solo falta definir el tramo de la galería de presión

[ ]02

1 zQCHL

Ag

dt

dQGPMM

GP

GPGP −⋅−⋅

=

(3.32)

Como se trata de modelar el arranque de una bomba (estando otra en

funcionamiento), ésta estará variando su velocidad angular y por tanto tendremos

que añadir la ecuación de balance en el eje

dt

dICCC mecpérdfluidomotor

ω+−= .. (3.33)

donde

2

2

1MRI =

(3.34)

hfluido

gHBQC

ωηρ 22=

(3.35)

Para definir las expresiones de HB2 , ηh y Cmotor hemos ajustado las curvas que

obtenemos de imponer algunos puntos en el programa EES

Para HB2



77

Figura 1.- Tabla para obtener la curva H-Q de la bomba.

Figura 2.- Curva H-Q de la bomba

Para ηh

Figura 3.- Tabla para obtener la curva de rendimiento.

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

600

700

Q [m3/s]

H [

m]

H=636,96 - 5,85441·Q - 0,107618·Q2H=636,96 - 5,85441·Q - 0,107618·Q2



78

Figura 4.- Curva eta-Q Bomba

Superponiendo las dos curvas

Figura 5.- Curvas bomba

0 10 20 30 40 50 600

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Q [m3/s]

ηη ηη [%

]

eta=-5,42101E-20 + 0,0588235·Q - 0,00108131·Q2eta=-5,42101E-20 + 0,0588235·Q - 0,00108131·Q2

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

600

700

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Q [m3/s]

H [

m]

H=637 - 5,85662·Q - 0,107591·Q2H=637 - 5,85662·Q - 0,107591·Q2

ηη ηη [%

]eta=-5,42101E-20 + 0,0588235·Q - 0,00108131·Q2eta=-5,42101E-20 + 0,0588235·Q - 0,00108131·Q2



79

Para Cmotor

Figura 6.-Tabla para obtener la curva Cmotor-ω

Figura 7.- C_fluido-omega_4_puntos

Para simular está situación se ha definido un programa principal denominado

tdletranbomb (por tajo de la encantada transitorio en funcionamiento en régimen

de bombeo) y un programa secundario ecs_tdletranbombecs (por ecuaciones tajo

de la encantada transitorio en funcionamiento en régimen de bombeo).

Se modelan las pérdidas producidas por la válvula antirretorno resultando:

0 100 200 300 400 500 6000

200000

400000

600000

800000

1000000

1,200x106

1,400x106

ωωωω [r.p.m.]

Cm

oto

r

Cmotor=1,36100E+06 - 2155,44·omega + 11,4579·omega2 - 0,0234098·omega3Cmotor=1,36100E+06 - 2155,44·omega + 11,4579·omega2 - 0,0234098·omega3



80

Figura 8.- Representación de kv frente al tiempo.

0 100 200 300 400 500 600 700-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

kv



81

3.4.1.4 Análisis de los resultados

Figura 9.- zs frente al tiempo

Se observa como la altura de la chimenea aumenta un poco desde su valor inicial

de 586,5 m (siendo esta altura la cota del embalse superior), lo cual tiene sentido

puesto que la bomba 1 está funcionando y hace que zs aumente. Tras un periodo

transitorio se estabiliza para un valor en torno a 587 m en un tiempo de 370 s

(aproximadamente). Después cómo la bomba 2 ha arrancado y casi está girando a

su velocidad nominal, abrimos la válvula antirretorno y se produce un segundo

transitorio en el que la suma del caudal Q2 a la corriente que circula por la tubería

forzada y la galería de presión se traduce en un nuevo aumento de la altura de la

chimenea; alcanzando esta vez valores en torno a 588,25 m.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600586

586.5

587

587.5

588

588.5

589

589.5

590

t (s)

zs (

m)



82

Figura 10.- Q1 frente al tiempo

En esta gráfica se aprecia cómo el caudal inicial fijado para Q1 (27,2 m3/s)

disminuye debido a las pérdidas en los conductos. Tras un transitorio relativamente

suave se estabiliza para un valor ligeramente superior a 22 m3/s. Como antes, tras arrancar la segunda bomba y abrir la válvula se produce otro

transitorio en cual podemos apreciar una ligera disminución del caudal debida al

aumento de caudal que se produce en los tramos comunes y que implica un

aumento de las pérdidas de fricción que afectan cómo es lógico a este parámetro,

puesto que ahora la bomba 1 tiene que trabajar contra estas nuevas pérdidas.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 60021

22

23

24

25

26

27

28

t (s)

Q1 (

m3 /s

)



83

Figura 11.- Q2 frente al tiempo

Aquí se puede ver cómo aumenta caudal Q2 pasando de un valor nulo, tras lo cual

se produce una ligera caída al arrancar la bomba 2 para después ir aumentando

hasta un valor idéntico a Q1 tras superar de nuevo un suave periodo transitorio.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600-5

0

5

10

15

20

25

t (s)

Q2 (

m3 /s

)



84

Figura 12.- ω frente al tiempo

Esta gráfica pretende mostrar simplemente la evolución de la velocidad de giro de

la bomba 2.

A continuación se representa la evolución frente al tiempo de otros parámetros.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 6000

100

200

300

400

500

600

t (s)

omeg

a (r

.p.m

.)



85

Figura 13.- HM frente al tiempo

Es fácil apreciar que es muy parecida a la curva zs frente al tiempo debido a que el

resto de términos que aparecen en la ecuación de HM son muy pequeños al estar

multiplicado por Cs; de hecho, si superponemos estas dos curvas resulta

0 100 200 300 400 500 600586

586.5

587

587.5

588

588.5

589

589.5

590

Tiempo (s)

HM

(m

)



86

Figura 14.- HM y zs frente al tiempo

A continuación se muestra

0 100 200 300 400 500 600586

586.5

587

587.5

588

588.5

589

589.5

590

Tiempo (s)

HM

y z

s (

l/s)

HB1

zs



87

Figura 15.- HB1 y HB2 frente al tiempo

donde se observa un pequeño aumento de HB1 al disminuir levemente Q1,

mientras que HB2 pasa de ser nula a valer lo mismo que HB1 tras estabilizarse.

También se puede representar la siguiente gráfica

0 100 200 300 400 500 600-100

0

100

200

300

400

500

600

Tiempo (s)

HB

1 y

HB

2 (l/

s)

HB1

HB2



88

Figura 16.- HB frente al tiempo

donde se aprecia el aumento de HB al entrar en funcionamiento la bomba 2 (240 s) y el transitorio que sufre al abrir la válvula antirretorno en (500 s).

3.4.2 Determinación de las curvas H(Q,A) de la turbina En primer lugar se tratará de determinar las curvas

, = ,(J, R), (3.36)

donde:

H= altura de la turbina

Q= caudal turbinado

A= apertura de los álabes del distribuidor

Para ello se definen los vectores H(i) ∈ [365, 400], A(j) ∈ [17.5, 45] de la siguiente manera:

,(�) = 360 + 5�, (3.37)

R(�) = 15 + 2,5�, (3.38)

Con i ∈ [1, 8] y j ∈ [1, 12]. Ahora se calcula la velocidad unitaria N11(k) = N11(H(k)):

0 100 200 300 400 500 600350

400

450

500

550

600

650

Tiempo (s)

HB

(l/s

)

HB



89

��(C) = ��(L), (3.39)

Con i ∈ [1, 8]. Obteniéndose así el vector N11(k):

�� = r86.8884, 86.2993, 85.7220, 85.1562, 84.6014, 84.0574, 83.5237, 83.0000x A continuación, entramos en la curva de explotación Q11, N11 y se determinan los valores de Q11 para cada valor de N11 y de A. Es decir:

Figura 17.- Ejemplo de determinación de los valores de Q11 para un N11 dado. (Lara Rosales, 1986)

Es así como a partir de las curvas de explotación se define una matriz Q11(i, j) = Q11(N11, A).

Finalmente es posible definir la matriz Q(i, j) a partir de Q11(i, j):

J(�, �) = J��(�, �)��,(�), (3.40)

de nuevo con i ∈ [1, 8] y j ∈ [1, 12], obteniendo así la serie de curvas que muestra la Figura 18:



90

Figura 18.- Curvas H = H(Q, A), donde A aumenta de izquierda a derecha.

De ahora en adelante, al menos por un tiempo, se tomará una apertura de los álabes determinada para tratar de definir una ecuación H = H(Q), con la que se trabajará a partir de ahora. Así, para una apertura A= 30mm tenemos la siguiente relación de valores a partir de los cuales es posible definir H exclusivamente en función de Q.

12 14 16 18 20 22 24 26 28 30365

370

375

380

385

390

395

400

Q (l/s)

H (

m)



91

H = H(Q,A=30mm)

Q

[m3/s]

H

[m]

22,95 365

23,32 370

23,48 375

23,85 380

24,01 385

24,38 390

24,54 395

24,91 400

Tabla 1.- Tabla de valores H y Q, para A= 30mm.

Introduciendo esta tabla en el programa Engineer Equation Solver (EES) es posible obtener la siguiente gráfica:

Figura 19.- Curva H = H(Q, A = 30 mm).

22,5 23 23,5 24 24,5 25360

365

370

375

380

385

390

395

400

Q [m3/s]

H [

m]

H=-103,499 + 22,19·Q - 0,0785307·Q2H=-103,499 + 22,19·Q - 0,0785307·Q2



92

A partir de esta curva se puede definir la ecuación H = H(Q, A = 30 mm), como:

, = |+ + |�J + |�J�, (3.41)

Donde:

|+ = −103,499, (3.42)

|� = 22,19, (3.43)

|� = −0,0785307, (3.44)

3.4.3 Estudio del transitorio El objetivo de este estudio es analizar la variación de las condiciones de funcionamiento de la instalación, operando como turbina, ante un arranque y parada del sistema.

3.4.3.1 Esquema de la instalación

Figura 20.- Esquema de la instalación.

3.4.3.2 Planteamiento simplificado En primer lugar se va a modelar el sistema de forma simplificada a través de las siguientes ecuaciones:

!T��

!" = -V��*�� W(� − ,e� − d-%J-%� Z, (3.45)

!T��

!" = -V��*�� r(e� − ,e� − de�Je�� x, (3.46)

!T_q

!" = -V_q*_q W,e� − ,�v − d"3J"3� Z, (3.47)

,v = ,�v − ,�v, (3.48)

Es posible reescribir la ecuación de la turbina (3.20) de la siguiente forma

,v = |+ + |�J"3 + |�J"3� , (3.49)

Además, como



93

!T_q

!" = !T_[Gq!" , (3.50)

es posible escribir la siguiente ecuación

!T_q

!" = -V_[Gq*_[Gq W,�v − d"!B3J"3� Z, (3.51)

!S��

!" = − T��V��, (3.52)

A continuación se realizarán algunas simplificaciones más. Aplicando la ecuación de continuidad

!T��

!" = !T��!" + !T_q

!" , (3.53)

es posible reescribir la ecuación (3.31)

!S��

!" = T��.T_qV�� , (3.54)

Es posible sustituir en las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26) de manera que se elimine la incógnita HST, obteniendo una única ecuación en la que se defina HET como una función de Qtf y Hch. Para ello igualamos (3.26) y (3.30)

-V_q*_q W,e� − ,�v − d"3J"3� Z = -V_[Gq

*_[Gq W,�v − ,v − d"!B3J"3� Z, (3.55)

Donde se ha sustituido HST, de la ecuación (3.27), como

,�v = ,�v − ,v, (3.56)

Finalmente resulta la ecuación

,�v = ��_q�_q #��.�_qT_q$ )��_[Gq

�_[Gq #��_[GqT_q$ )��_q

�_q ��_[Gq�_[Gq �

, (3.57)

Se hará ahora la suposición de que el punto de equilibrio del sistema, corresponde a la solución del régimen casiestacionario.

,e� = (e� − de�IJ-% − J"3K�, (3.58)

Con todo lo anterior, resulta un sistema de tres ecuaciones diferenciales

!T��

!" = -V��*�� W(� − ,e� − d-%J-%� Z, (3.59)

!S��

!" = T��.T_qV�� , (3.60)

!T_q

!" = -V_q*_q W,e� − ,�v − d"3J"3� Z, (3.61)

con tres incógnitas Qgp, zch y Qtf. Dentro del cual se han definido las incógnitas HET y Hch como función de las tres anteriores en función de las ecuaciones (3.57) y (3.58).



94

Implementando este sistema de ecuaciones en Matlab es posible obtener los resultados que se muestran a continuación. Para ello se han escrito las ecuaciones anteriores en un programa principal y una subrutina que trabaja de manera iterativa. Dicha subrutina parte de una solución inicial integrada en el programa principal de manera que a partir de ésta la subrutina establece una nueva solución que devuelve al programa principal hasta alcanzar un error relativo de consigna.

Finalmente se ilustran los resultados obtenidos y se indican algunas de las ecuaciones que se han incluido para modelar ciertos aspectos de la instalación. Los códigos de los programas principales empleados así como de sus subrutinas asociadas se incluyen en el Anexo de códigos de Matlab.

En primer lugar se ilustra la evolución de la constante de pérdida de carga de la válvula expresada como:

C� = 2 − o��ℎIIo − oO%M4"K o�⁄ K + o��ℎ ((o − oeBM44M) o�⁄ ))

en función del tiempo para tapertura = 50, tcierre = 600 y ta = 10.

Figura 21.- Evolución de la constante de pérdida de carga de la válvula.

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

kv



95

Figura 22.- Altura de la turbina HT frente al tiempo.

Figura 23.- Caudal que circula por la tubería forzada en función del tiempo.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200

-100

0

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

Altu

ra (

m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

Cau

dal Q

tf (m

3 /s)



96

Dado que el tiempo característico de variación de las magnitudes fluidas del sistema oe es oe~100¢, se puede apreciar que es mucho mayor que el tiempo de ida y vuelta de las ondas oe = £ ≈ 732 1000⁄⁄ ~0,5¢. Por todo ello se confirma que la hipótesis tomada anteriormente era válida.

Figura 24.- Caudal que circula por la chimenea en función del tiempo.

Finalmente se muestra una comparativa entre Hch y zch donde se aprecia como

prácticamente se solapan los valores que toman estas dos variables del problema.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

Qch

(m

)



97

Figura 25.- Solape de los valores que toman con respecto al tiempo Hch y zch.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000396

397

398

399

400

401

402

403

404

Tiempo (s)

Hch

y z

ch

(m)

Hch

zch



98

3.4.3.3 Planteamiento sin aproximaciones Para terminar con este primer capítulo se procederá a modelar la instalación sin

aproximaciones, planteando un nuevo sistema de cinco ecuaciones diferenciales

!T��

!" = -V��*�� W(� − ,e� − d-%J-%� Z, (3.62)

!T��

!" = -V��*�� r(e� − ,e� − de�Je�� x, (3.63)

!T_q

!" = -V_q*_q W,e� − ,�v − d"3J"3� Z, (3.64)

!S��

!" = − T��V��, (3.65)

!T_[Gq

!" = -V_[Gq*_[Gq W,�v − d"!B3J"!B3� Z, (3.66)

y cinco incógnitas: Qgp, Qch , Qtf, zch y Qtdif.

Para resolver el sistema se va definir al mismo tiempo un sistema de ecuaciones del tipo Ax = b, a partir de las ecuaciones

!!" WJ-% + Je� = J"3Z, (3.67)

!!" WJ"3 = J"!B3Z, (3.68)

,v = ,�v − ,�v, (3.69)

en el que el vector ¥ representa las incógnitas Hch = x(1), HET = x(2) y HST = x(3).

De modo que para definir la matriz A, se sustituyen las ecuaciones (3.62) a la (3.65) en las ecuaciones (3.67) a la (3.69), resultando

¦V��*�� + V��

*�� + V_q*_q§ ,e� − ¦V_q

*_q§ ,�v + 0,�v = V��*�� I(� − d-%J-%� K + V��

*�� ((e� −d£ℎJ£ℎ2+Ro¨ o¨do¨Jo¨2,

¦V_q*_q§ ,e� − ¦V_q

*_q§ ,�v − ¦V_[Gq*_[Gq§ ,�v = V_q

*_q d"3J"3� − V_[Gq*_[Gq d"!B3J"!B3� ,

0,e� + 1,�v − 1,�v = ,v,

Implementando este sistema de ecuaciones en Matlab es posible comprobar cómo los resultados obtenidos de esta forma son muy similares a los que se obtenían en el apartado anterior.



99

Figura 26.- Evolución de la constante de pérdida de carga de la válvula.

Figura 27.- Altura de la turbina HT frente al tiempo.

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

kv

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200

-100

0

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

Altu

ra H

T (

m)



100

Figura 28.- Evolución del caudal circulante por la galería de presión con respecto al tiempo.

Figura 29.- Evolución del caudal circulante por la chimenea de equilibrio con respecto al tiempo.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-20

-10

0

10

20

30

40

Tiempo (s)

Cau

dal Q

gp (

m3 /s

)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

Cau

dal Q

ch (

m3 /s

)



101

Figura 30.- Sobreimpresión de la evolución de los caudales circulantes por la tubería forzada y el tubo difusor con respecto al tiempo donde es posible observar cómo se solapan.

Figura 31.- Comprobación de la ecuación de continuidad.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

Cau

dal Q

tf y C

auda

l Qtd

if (m

3 /s)

Qtf

Qtdif

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0x 10

-9

Tiempo (s)

Dife

renc

ia d

e C

auda

les

(m

3 /s)



102

Figura 32.- Solape de los valores que toman con respecto al tiempo Hch (rojo) y zch (azul).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000396

397

398

399

400

401

402

403

404

Tiempo (s)

Hch

y z

ch

(m)

capítulo 3 cálculo de instalaciones hidráulicas en régimen...

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