Caṕıtulo 2

Modelo Matemático,Aplicación y Análisis.

Nos introducimos en la resolución numérica de ecuaciones en derivadasparciales, este es uno de los campos de más actividad en la matemáticaaplicada actual ya que se refiere a dicretizar gran variedad de problemas queaparecen en ciencias e ingeniera. Veremos problemas de evolución donde t́ıpi-camente tenemos una variable ”espacial”, sobre la cual se da condiciones decontorno y una variable ”temporal”sobre la que se dan condiciones iniciales.

2.1. Problemas de convección difusión tran-

sitorios

Consideramos el dominio Ω ⊂ 0 es el coeficiente de difusividad, σ(c) es el coeficiente dereacción, f(x, t) es el término fuente, ∇ el operador nabla habitual y T el

19

20 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

tiempo final de análisis. En la ecuación transitoria el término ∂c∂t

modela lavariación de la concentración con respecto al tiempo; v.∇c es la conveccióndebido al movimiento del fluido ambiental, ∇.(ν∇c) la difusión (dispersiónde mayor a menor concentración de moléculas de contaminantes),σ(c)c lareacción no lineal y f la fuente externa. Además consideraremos que tanto ladifusividad ν como la velocidad convectiva v(x) son constantes.En los pro-blemas de dispersión de contaminantes se realizan diferentes simplificacionesen las reacciones qúımicas con el fin de obtener una EDP lineal

2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

El proposito de esta sección es ilustrar sobre la aplicación de los méto-dos numéricos para resolver problemas de la vida real en particular comopodemos usar la ecuación de convección difusión resuelta via diferencias fi-nitas para la resolución de problems de advección y difusión como el flujode nutrientes ; contaminación en los rios o de contaminantes en la atmósferaa la dinamica de poblaciones, a la economı́a,o al fisioloǵıa respiratoria, etc.Diremos que un contaminante del aire es aquella componente que está pre-sente en la atmósfera, a niveles perjudiciales a la vida de los seres humanos,plantas y animales.

Calcular la distribución de una sustancia qúımica dependiendo del tiempoa lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular.

Otro ejemplo es el problema donde P (t, x) sea la densidad de poblaciónde una especie de peces en la posicion x y el tiempo t, donde la especie depeces vive sobre una recta, y el movimiento de los individuos sigue un movi-miento aleatorio.

La ecuación de Black-Scholes-Merton que es un modelo de valoraciónde derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy demayo/junio de 1973, conocido en el ámbito financiero como el modelo deBlack-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelosmatemáticos más influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mun-dial.

2.2.1. Modelación del transporte de Solutos en ŕıos

La descripción precisa de transporte de solutos en ŕıos es una componenteescencial en todos los modelos de estudio de la calidad del agua y de predic-

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 21

ción de incidentes de contaminación, los modelos unidimensionales, puedendescribir adecuadamenete los procesos de transporte de solutos en ŕıos, pe-ro en general los parámetros de los modelos de transporte de solutos debenestimarse para cada ŕıo en particular. Veremos el problema de:

Flujo de nutrientes en un estuario

Las entradas de los nutrientes a un estuario pueden provenir del aportefluvial, del realizado por las aguas subterrneas, a través la atmósfera o porla entrada de agua de mar.

Aporte fluvial:

los ros transportan una carga de materia soluble y particulada que pro-vienen de los lixiviados y escorrentas de la cuenca que drenan. Existe unafuerte correlacin entre las cargas de nitrgeno y fsforo total en los ŕıos con eluso de la tierra, y especialmente con las prácticas agŕıcolas (Moreau et al.,1998). Históricamente la carga de nutrientes en los ros ha ido aumentando deforma paralela al incremento de poblaciones humanas en sus cuencas, comoresultado tanto de las aguas residuales provenientes de los aportes humanoscomo de la de animales y al aumento de la aplicacin de fertilizantes en lastierras de cultivo.

Aporte de aguas subterraneas:

La entrada proveniente de las aguas subterrneas es generalmente desco-nocida y variabley por consiguiente no se la suele tener en cuenta.

Aporte atmosférico:

La entrada atmosférica es importante principalmente para el nitrógenoya que para el fósforo y el silicio, las formas gaseosas de estos compuestostienen un papel casi insignificante debido a que no han sido encontradas encantidades significativas en el medio natural.

Aporte del mar:

La entrada de nutrientes que aporta el mar al estuario es generalmentemuy baja y suele ser como mnimo, de un orden de magnitud inferior a la del

22 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

ŕıo.

Modelos de nutrientes.

El modelado biogeoqúımico involucra la simulación matemática de variosconstituyentes biológicos y geoqúımicos en un intento de comprender losciclos de estos constituyentes y los procesos que afectan sus distribuciones.Sin embargo, los modelos biogeoqúımicos dependen intŕınsecamente de losdatos, ya que sin ellos, poca aplicabilidad tendrán en la resolución de losproblemas (Gregg, 1997).

Los tipos de modelos biogeoqúımicos actualmente en uso son diversos, yvan desde planteamientos simples hasta complejas investigaciones multidisci-plinarias con muchoscomponentes. No obstante, generalmente todos contie-nen un componente biológico de nivel bajo en la cadena trófica (usualmentefitoplancton representado por la clorofila), al menos un nutriente que es re-querido para el crecimiento y consumo de nutrientes, y un segundo niveltrófico (zooplancton o bacterias) para regenerar los nutrientes y consumir labiomasa fitoplanctónica (Gregg, 1997).

Los estuarios son la mayor fuente de materiales de desecho en el mar. Enmuchos casos los estuarios reciben descargas importantes tanto urbanas comoindustriales. La mayora de los modelos biológicos desarrollados se encuentranenfocados con los procesos marinos ordinarios (James, 1978).

Los constituyentes básicos del análisis son los nutrientes, el fitoplancton yel zooplancton, desarrollándose una ecuación de balance de masas para cadauno de ellos. La ecuación de balance de masa es de fundamental importan-cia para explicar los cambios de concentraciones en el ambiente marino. Elconcepto se basa (Runker y Bencala 1975) en la suposición de que la acu-mulación de masa en una unidad de volumen de agua es igual a la diferenciaentre la masa que entra y la que sale de ese volumen de agua, vea la figura.

Acumulacion =masa(entra )-masa( sale ) (2.2)

donde cada término de la ecuación esta expresado en unidades de masapor tiempo [M/T ]

La ecuación de balance de masa descrita anteriormente se desarrolla con-siderando los flujos de entrada y salida en un volumen de control. Para sim-plificarlo se asume que el flujo es espacialmente uniforme, de tal manera quela velocidad y el volumen no cambian con el tiempo. Finalmente se consideraúnicamente que el flujo viaja en dirección x, despreciando los flujos en y y

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 23

Figura 2.1: Volumen de control usado para desarrollar la ecuacion de balancede masa, considerando únicamente los fujos en la dirección x

en z. Haciendo esto se asume también que la concentración vaŕıa solamenteen sentido del flujo (x) y que la masa del soluto esta uniformemente distri-buida en la sección transversal del flujo (Fischer 1979). La primera ecuacióndescribe el cambio de masa con respecto al tiempo, y viene dada por:

Acumulacion =∆m

∆t=∂m

∂t(2.3)

donde m es la masa y t es el tiempo. Si la masa es igual a la concentraciónpor el volumen y asumiendo el volumen constante:

Acumulacion =V∂C

∂t(2.4)

donde V es el volumen [L3] y C es el la concentración del soluto [M/L3].El lado derecho de la ecuación (2,1) esta desarrollado considerando el flujodel soluto a través de las superficies 1 y 2 en la figura El flujo esta definidocomo la masa de soluto que atraviesa una unidad de área por unidad detiempo. El flujo que entra en el volumen de control es q1 y el que sale es q2.Cabe notar que q2 es igual al flujo que entra en el volumen de control (q1)más el cambio del flujo dentro del volumen de control:

q2 = q1 +∂q

∂t∆x (2.5)

donde ∆x es la longitud del volumen de control [L] .Si ahora se consideran los flujos individuales debido a la advección y la

dispersión, el flujo advectivo en el volumen de control (a través de la superficie1) es igual al producto de la velocidad advectiva, U(L/T ), y la concentracióndel soluto en la superficie 1, C1:

24 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

flujo entradaadv = q1adv = UC1 (2.6)

Empleando la ecuacin 2,5, el flujo advectivo que sale del volumen decontrol (a través de la superficie 2 ) es:

flujo saleadv = q2adv = UC2 = UC1 + U∂C

∂x∆x (2.7)

donde C2 es la concentración del soluto en la superficie 2.Los flujos debido a la dispersión se desarrollan considerando la ley de

dispersión de Fick, que establece que el flujo de masa debido a difusión mo-lecular es proporcional al gradiente de concentración, dC/dx .Esta ley puedeser usada para describir el flujo de masa dispersiva,y esta dada por:

qdisp = −D∂C

∂x∆x (2.8)

donde D es una constante proporcional conocida como coeficiente de di-fusión [L2/T ]. El flujo dispersivo que entra y sale del volumen de controles:

flujo entradisp = q1disp = −D∂C

∂x|1 (2.9)

flujo entradisp = q2disp = −D∂C

∂x|2 = −D

[∂C

∂x|1 +

∂2C

∂x2∆x

](2.10)

Una ecuación diferencial correspondiente a la ecuacin 2,2 puede ensam-blarse usando los términos de acumulación y flujo descritos anteriormente,las ecuaciones 2,4, 2,6, 2,7, 2,9, y 2,10 se combinan para dar:

V∂C

∂t=

[AUC1 − AD

∂C

∂x|1]

︸ ︷︷ ︸entra

−[AUC1 + AU

∂C

∂x∆x− AD∂C

∂x|1 − AD

∂2C

∂x2∆x

]︸ ︷︷ ︸

sale

(2.11)donde Aes la sección transversal del flujo [L2]. Puesto que cada flujo esta

especificado en base a una unidad de área, los flujos se multiplican por Apara obtener las unidades usadas en la ecuación 2,2 [M/T ]. Empleando larelación V = A∆x, la ecuación 2,11 queda simplificada de esta manera:

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 25

∂c

∂t= D

∂2c

∂x2− U ∂c

∂x(2.12)

Esta es la Ecuación de Advección - Difusión unidimensional con coeficien-tes constantes ( D es constante en el tiempo y en el espacio ) y describe lavariación espacial y temporal de un soluto con concentracin C en un mediocon velocidad U(Runkel y Bencala, 1995).Las ecuaciones anteriores describenel proceso de difusin molecular.

Estudio de la dinámica de la calidad del agua en un tramo de unŕıo

Modelo matemático

Un modelo de calidad del agua adecuado requiere la especificación deuna formulación apropiada de los procesos para tomar en cuenta aspectosdel transporte longitudinal, lateral y vertical. La predicción de la calidaddel agua depende del procedimiento en el cual los procesos fsico-qumicos ehidrodinmicos sean simulados (Maskell 1991, Calow 1994). Es importante quelos métodos utilizados para representar los diversos procesos, sean apropiadosa la aplicación del modelo. La finalidad de desarrollar un modelo de calidaddel agua es disponer de una herramienta capaz de simular el comportamientode los componentes hidrológicos y de calidad del agua de un sistema decorrientes y realizar con ello estudios de diagnóstico y pronóstico del estadodel sistema en condiciones.

En flujos superficiales con turbulencia homogénea y estacionaria la ecua-ción unidimensional de dispersión longitudinal se representa por la siguienteexpresión (Taylor, 1954 y Fischer 1979)

∂C

∂t+ u

∂C

∂x= K

∂2C

∂x2

donde C es la concentración,u la velocidad media de la corriente, K el coe-ficiente de dispersión longitudinal,x la distancia, y t el tiempo.La deducción de la ecuación anterior puede ser hecha como el caso presen-tado anteriormente. Cuya solución anaĺıtica puede escribirse como (Crank1956 Fischer,1967,Fetter 1992):

C(x, t) =Co2

[erfc

(x− ut2√Kt

)+ exp

(uxK

)erfc

(x+ ut

2√Kt

)]

26 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

Donde Co es la concentracion inicial, L es la longitud del cause. Utilizandoun esquema de diferencias finitas expĺıcito en el tiempo y centrado simétri-camente en el espacio, se puede calcular la concentración para el siguientenivel en el tiempo como:

Cm+1j = Cmj − α

∆t

∆x

(Cmj+1 − Cmj−1

)+ β

∆t

∆x2(Cmj+1 − 2Cmj + Cmj−1

)Donde j es el ı́ndice de secciónm ı́ndice de tiempo, y delta denota incremento.De la ecuación y sustituyendo los números de Courant y Péclet

Cr = α∆t

∆xnúemero de Courant 0 < Cr ≤ Pe

2< 1

Pe = α∆x

βnúmero de Péclet

λ =Cr

Pe= β

∆t

∆x21

4≤ λ < 1

2El esquema es expĺıcito, y por tanto suceptible de presentar problemas deestabilidad en la solución. Criterios de estabilidad en funcin de Cr y Pe.

Cm+1j =

(λ+

Cr

2

)Cmj−1 + (1− 2λ)Cmj +

(λ− Cr

2

)Cmj+1

El valor de K se obtiene mediante la expresin (González y Martinez, 1990)

K

Ru∗= 131,35 +

[0,1022f−0,527

] 1s

Donde R es el radio hidráulico, u∗ la velociadad al cortante, s la pendientedel cause y f el factor de fricción de Darcy dado por la relación.

f = 8

[u∗

u

]2.

2.2.2. Balance de Masa Unidimensional en un Reactor

Los ingenieros qúımicos utilizan mucho los reactores idealizados en sutrabajo de diseño, pues las experiencias de dichos procesos involucran unalto costo económico.

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 27

Figura 2.2: Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida

En la figura se muestra un reactor alargado de una sola entrada y unasalida: Este reactor puede caracterizarse como un sistema de parámetrosdistribuidos. Si se supone que la sustancia qúımica que se va a modelarestá sujeta a un decaimiento ( es decir que la sustancia qúımica decae a unavelocidad que es linealmente proporcional a la cantidad de sustancia qúımicapresente ) de primer orden, y que el tanque esta bien mezclado vetical ylateralmente, se realiza un valance de masa en un segmento finito de longitud∆x, como sigue:

v∆c

∆t= Qc(x)︸ ︷︷ ︸

flujo de entrada

−Q[c(x) +

∂c(x)

∂x∆x

]︸ ︷︷ ︸

flujo de salida

− DAc∂c(x)

∂x︸ ︷︷ ︸dispersión a la entrada

+DAc

[∂c(x)

∂x+

∂

∂x

∂c(x)

∂x∆x

]︸ ︷︷ ︸

dispersión a la salida

− Kvc︸︷︷︸reacción de decaimiento

donde v = volumen (m3). Q = flujo volumétrico ( m3/h), c = con-centracioń ( moles/ m3 ), D es un coeficiente de dispersión (m2/h). Ac es elárea de la sección transversal del reactor (m2) y K es el coeficiente de de-caimiento de primer orden (h−1) . Observese que los términos de dispersiónestán basados en la primera ley de Fick.

flujo = −D∂c∂x

Que es análoga a la ley de Fourier para la conduccion del calor. Esta ecuaciónespecifica que la turbulencia de mezclado tiende a mover la masa desde regio-

28 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

nes de alta hasta las de baja concentración. EL parámetro D , por lo tantodetermina la magnitud de la turbulencia de mezclado. Si ∆x y ∆t tienden acero . La ecuación será

∂c

∂t= D

∂2c

∂x2− U ∂c

∂x− kc

Donde U = QAc

es la velocidad del agua que fluye a travéz del reactor.El balance de masa de la figura por lo tanto, se expresa ahora como unaecuación diferencial parcial parabólica .

2.2.3. Densidad de Población

Pondremos por ejemplo el problema donde P (t, x) sea la densidad depoblación de una especie de peces en la posicion x y el tiempo t. Supoga-mos que la especie de peces vive sobre una recta, y el movimiento de losindividuos sigue un movimiento aleatorio. Suponiendo que en el movimientoaleatorio existe una preferencia de movimiento hacia la izquierda, es decir, laprobabilidad de movimiento hacia la izquierda es a > 0, 5 y la probabilidadde movimiento a la derecha es b < 0, 5 pero que a− b es muy pequeño.Tenemos que el camino aleatorio que presenta una población, en la cual losindividuos se movilizan en linea recta, despues de un tiempo ∆ty dando unpaso de igual longitud ∆x. Los peces (los individuos ) deben tomar una delas dos posibilidades.I. Ir a la derecha xo + ∆xII. Ir a la izquierda xo −∆x

Considerando que xo es la posición inicial.Si consideramos esta dinamica en términos de la concentracion de la pobla-ción en un tiempo y posicion dada en la misma probabilidad de desición

p+ = b < 0, 5 y p− = a > 0, 5

TenemosP (t+ ∆x, xo) = p+P (t, xo + ∆x) + p−P (t, xo −∆x) . . . . . . . . . . . . (∗)

Aplicamos el teorema de Taylor en t, x

P (t+ ∆x, xo) = P (t, xo) +{

∂∂tP (t, xo)

}∆t+ 1

2

{∂2

∂t2P (t, xo)

}∆t2 − . . .

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 29

Tambien con a > b a+ b = 1

aP (t, xo −∆x) = aP (t, xo)− a ∂∂xP (t, xo)∆x+a2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x

2 − . . . . . .

bP (t, xo + ∆x) = bP (t, xo) + b∂∂xP (t, xo)∆x+

b2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x

2 − . . . . . .

Reemplazando en (∗) tenemos:

P (t, xo) +∂∂tP (t, xo)∆t+ . . . =

= (a+ b)P (t, xo) + (b− a) ∂∂xP (t, xo)∆x+(a+b)

2∂2

∂x2P (t, xo)∆x

2 + . . . . . .

Es decir tenemos

∂∂tP (t, xo)∆t = (b− a) ∂∂xP (t, xo)∆x+

(a+b)2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x

2

Nos queda

∂∂tP (t, xo) = (b− a)∆x∆t

∂∂xP (t, xo) +

(a+b)2

∆x2

∆t∂2

∂x2P (t, xo)

∂∂tP (t, xo) + (a− b)∆x∆t

∂∂xP (t, xo) =

(a+b)2

∆x2

∆t∂2

∂x2P (t, xo)

Ahora tomamos

U = (a− b)∆x∆t

D = (a+b)2

∆x2

∆t

De donde tenemos la ecuación de Convección Difusión

∂∂tP + U ∂

∂xP = D ∂

2

∂x2P

2.2.4. Economı́a. La ecuación de Fisher Black, MyronScholes,Robert Merton

En 1973 Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton lograron uno delos mayores avances en la valuación de opciones hasta ese momento, que esconocido como el modelo de Black-Scholes, que ha tenido una gran influenciaen la manera en que los agentes valúan y cubren opciones. Ha sido tambien unpunto de referencia para el desarrollo y exito de la ingeniera financiera desdeentonces. La importancia del modelo fue reconocida cuando Robert Mertony Myron Scholes fueron reconocidos con el Premio Nobel de Economı́a; desa-fortunadamente Fisher Black fallecio en 1995, quien indudablemente tambien

30 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

hubiera recibido el premio. En este sección presentamos el modelo de Black-Scholes para la valuación de una opción call Europea sin pago de dividendos.En primer lugar se mencionan algunas nociones de finanzas y probabilidad,necesarias para una mejor comprensión de esta sección; posteriormente sepresenta un modelo para el precio de un activo, el cual seŕıa necesario parapoder formular el modelo; en la siguiente sección se presentan los supuestos ylas ideas generales de su deducción y solución en este caso, transformandoloen el problema clásico de la ecuación del advección difusion; por último seanaliza brevemente la fórmula en algunos casos de interés.

Nociones básicas

Activo. Llamaremos activo a cualquier posesión que pueda producirbenefcios económicos.

Subyacente el tipo de activo que puede ser comprado o vendido. Suprecio de mercado en un instante t se denotará por St

El precio de ejercicio (K) : el precio al que el subyacente debeser comprado si la opción se ejerce

Portafolio Un portafolio es un conjunto de activos, que pueden seracciones, derivados, bonos, etc.

En la realidad existen costos para realizar operaciones financieras. Estoscostos de transacción pueden depender de si se trata de una transacción deun activo subyacente o un derivado, de si se trata de una compra o de unaventa, etc.Tambien se usará la llamada tasa de interés libre de riesgo que esaquella de una inversión ”segura”, libre de riesgo.

Esto en la práctica no es del todo errado, ya que si se analizan activosy derivados en cortos peŕıodos de tiempo (por ejemplo trimestres), entoncesun bono del estado a veinte años resulta una inversión segura, y hasta esrazonable suponer constante la tasa de ese bono en el corto plazo.

Rentabilidad Se llama aśı a la ganancia relativa de una inversión, esdecir, si llamamos So a la inversión inicial, y ST a lo que se obtiene a untiempo T , la rentabilidad R es:

R =St − SoSo

Arbitraje es el proceso de comprar un bien en un mercado a un preciobajo y venderlo en otro a un precio más alto, con el fin de beneficiarse conla diferencia de precios. En el caso que nos ocupa, utilizaremos el principio

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 31

de no arbitraje, es decir, no existe la posibilidad de realizar una inversiónsin riesgo y ganar dinero (o por lo menos no más que invirtiendo con la tasalibre de riesgo). De no ser aśı, existiŕıa claramente una forma de hacer dineroinfinito.

Los hedgers. Los hedgers, replicadores o cobertores son aquellosagentes que intentan reducir el riesgo al mı́nimo y tratan de no exponer-se a los cambios adversos de los valores de los activos. En general conformanportafolios con activos en una posición (compra o venta) y algún derivadosobre éstos en la otra. Aśı, si el precio del activo se mueve de manera muydesfavorable, está la opción, por ejemplo, que amortigua la pérdida.

Un mercado eficiente se puede describir mediante dos conceptos: Toda lainformación del activo está reflejada en el precio actual. Los mercados res-ponden inmediatamente a cualquier información nueva acerca de un activo.

Derivado financiero. Un derivado financiero o producto derivado,o simplemente derivado es un instrumento financiero cuyo valor dependede otros activos, como por ejemplo una acción, una opción o hasta de otroderivado. Se llama payoff de un derivado, activo o portafolio al resultado finalde la inversión.

Opciones; call, europea ,americana,put. Opción es un contratoque le da al dueño el derecho, pero no la obligación, de negociar un activopredeterminado,llamado también el activo subyacente por un precio deter-minado K llamado el strike price o precio de ejercicio en un tiempo en elfuturo T , llamada fecha de expiración.Opción Call Da al dueño el derecho a comprar y una Put el derecho avender.La opción se llama Europea si sólo puede ser ejercida a tiempo T.Opción se llama americana si puede ser ejercida a cualquier tiempo hastala fecha de expiración.EL playoff de una call es máx{ST − K, 0} ya que si ST > K se ejerce aK y se vende a ST , lo que da una ganancia de {ST −K}. En el otro caso laopción no se ejerce y el payoff es 0.EL playoff de una put, análogamente es máx{K −ST , 0} .El hecho de queuno tenga el derecho y no la obligación es lo que hace dif́ıcil la valuación deuna opción.

32 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

Probabilidad.

Se conoce como proceso estocástico a un conjunto de variables aleatoriasque dependen de un parámetro, por ejemplo el tiempo, es decir, {X(t)|t > 0}.Un proceso estocástico Z(.) se llama movimiento browniano o proceso deWiener si:1. Z(0) = 02. ∀t > 0;∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t) ∼ N(0; a).3. ∀t > 0;∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t)sonindependientesde{Z(s)/0 ≤ s ≤ t}

Un proceso de Wiener describe la evolución de una variable con distri-bución normal. La deriva del proceso es 0 y la varianza es 1 por unidad detiempo. Esto significa que, si el valor de la variable es xo al tiempo 0, entoncesal tiempo t es normalmente distribuida con media xo y varianza t .

Un proceso generalizado de Wiener describe la evolución de una variablenormalmente distribuida con una deriva de a y varianza b2 por unidad detiempo, donde a y b son constantes. Esto significa que si, como antes, el valorde la variable es xo al tiempo 0 entonces es normalmente distribuida conmedia x0 + at y varianza bt al tiempo t. Puede ser definido para una variableX en términos de un proceso de Wiener Z como

dX = adx+ bdZ

Un teorema del cálculo estocástico, que será fundamental para la deduc-ción de la Ecuación de Black-Scholes es el siguiente:

Teorema 5 Lema de ItoSupongamos que S cumple la siguiente ecuación diferencial estocástica:

dS = Sµdt+ SσdZ

donde Z(t) es un movimiento browniano. Sea V : R2 → R una funciónde clase C2 en su dominio, dada por V = V (S; t), entonces se satisface losiguiente:

dV =

(σS

∂V

∂Sdz

)+

(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2

∂2V

∂S2

)dt (2.13)

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 33

Modelo para el Precio de un Activo

Para el precio de un activo, es necesario modelar la llegada de una nuevainformación que afecte al precio, bajo el supuesto de que trabajamos en unmercado efciente, considerando a dicho precio como un proceso estocástico.

El cambio absoluto en el precio del activo no es significativo, sin embargo,si lo es el retorno, que como ya se ha definido,es el cambio sobre el preciooriginal:

R =ST − SS

Supongamos ahora que en un tiempo t el precio de un activo es S, considere-mos un tiempo posterior t+ dt, en el cual S cambia a S + dS. El retorno deun activo es entonces dS

S. El modelo más común para modelar este retorno

se descompone en dos partes. Una parte es el retorno determinista similar alretorno libre de riesgo. Esta contribución la podemos plantear como

µdt

donde µ es una medida del crecimiento promedio del precio del activo. Laotra parte modela la aleatoriedad en el cambio del precio de S, en respuestaa los cambios externos, como noticias inesperadas. Se representa como unmuestreo aleatorio obtenido de una distribución normal con media 0 y agregaal retorno el término

σdX

donde σ es la volatilidad, que mide la desviación estándar de los retornos ydX es un movimiento browniano. Juntando los dos términos, obtenemos laecuación diferencial estocástica:

dS

s= µdt+ σdX

Hay que notar que de no existir el segundo término, cuando σ = 0, tendŕıamosla ecuación

dS

s= µdt

que da como solución el crecimiento exponencial en el valor del activo

S(t) = Soeµ(t−to)

donde So es el precio inicial y to es el tiempo inicial. Ahora usaremos el Lemade Ito para deducir el proceso seguido por lnS cuando satisface la ecuación

34 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

dSs

= µdt+ σdX .Definamos

V (S; t) = lnS

con lo que se obtienen las derivadas:

∂V

∂S=

1

S;∂2V

∂s2= − 1

S2,∂V

∂t= 0

Como suponemos que V satisface el lema de Ito, entonces

dV = Sσ1

SdZ +

(µS

1

S− 1

2σ2S2

1

S2

)dt = σdZ +

(µ− σ2

)con µ y σ constantes, por lo que esta ecuación indica que V = lnS sigueun proceso de Wiener genealizado con tasa de deriva µ − σ2

2y varianza σ2,

ambas constantes. El cambio en lnS entre el tiempo cero y el tiempo T es,por lo tanto, una distribución normal con media(

µ− σ2

2

)T

y varianzaσ2T

esto significa que

LnST ∼ N(LnSo +

(µ− σ

2

2

)T, σ2T

)donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y So es el precioinicial del activo. Esta ecuación nos muestra que lnST tiene distribuciónnormal. Una variable tiene distribución lognormal si el logaritmo natural deesta variable está normalmente distribuido.

Deducción de la ecuación de Black-Scholes-Merton

Recordemos un contrato de opciones financieras es un acuerdo que con-fiere al poseedor el derecho, pero no la obligación, de comprar (call) o vender(put) un activo financiero en una fecha futura a un precio pactado en el mo-mento del contrato. El activo objeto del contrato es el activo subyacente, elprecio pactado es el precio de ejercicio (strike) y la fecha ĺımite para ejercer el

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 35

derecho es la fecha de expiración (expiry) o fecha de ejercicio o vencimientode la opción. Las opciones son uno de los productos financieros habitualespara cubrir riesgos de carteras de valores.

Ahora veremos la ecuación que modela cualquier derivado financiero enla forma continua. Enunciaremos los supuestos que vamos a requerir en elmodelo:1. El precio de un activo sigue un proceso de Wiener log-normal: dS =Sµdt+ SσdZ2. La tasa de interés libre de riesgo r y la volatilidad σ del activo se suponenconstantes durante el tiempo que dura la opción.3. No hay costos de transacción asociados a la cobertura del portafolio.4. El activo subyacente no paga dividendos durante la vida de la opción.5. No hay posibilidad de arbitraje. La ausencia de arbitraje significa quetodos los portafolios libres de riesgo deben tener el mismo retorno.6. La compra y venta del activo puede tomar lugar continuamente.7. La venta y los activos son divisibles. Asumimos que podemos comprar yvender cualquier número (no necesariamente entero) del activo subyacente yque está permitido vender aunque no tengamos posesión, es decir, se tratade un mercado completo.Sea V (S; t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando elprecio del activo subyacente es S > 0 Construiremos un portafolio P libre deriesgo de la siguiente manera

P =

{∆ Unidades del activo (Compra)1 Derivado (Venta )

(2.14)

Cuyo valor es Πu = ∆Su−Vu cuando el valor del activo sube y Πd = ∆Sd−Vdcuando el valor del activo baja. La estrategia es igual Πu a Πd, es decir,encontramos un ∆ tal que el portafolio tenga riesgo 0. Entonces , al igualarnos queda

∆Su − Vu = ∆Sd − Vd

Es decir

∆ =Vu − VdSu − Sd

=δV

δS

Tomando limite cuando δS → 0 resulta

∆ =∂V

∂S

36 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

que es la variación del valor del derivado con respecto a S y es una medidade correlación entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.En general, el valor del portafolio es Π = ∆S − V , con lo cual

dΠ = ∆dS − sV = ∆(Sµdt+ SσdZ)− dV

Suponemos que V también cumple los supuestos enunciados anteriormen-te, por lo que satisface las hipótesis del Lema de Ito, aśı que tenemos unaexpresión para dV de la ecuación:

dV =

(σS

∂V

∂SdZ

)+

(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2

∂2V

∂S2

)dt

de donde obtenemos la ecuación

dΠ = ∆Sµdt+ ∆SσdZ −(σS

∂V

∂SdZ

)−(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2

∂2V

∂S2

)dt

Separando la parte determińıstica de la estocástica resulta

dΠ =

(∆σS − σS∂V

∂S

)dZ +

(∆µS − ∂V

∂t− µS∂V

∂S− 1

2σ2S2

∂2V

∂S2

)dt

y sustituyendo ∆ = ∂V∂S

obtenido anteriormente, la ecuación queda única-mente determińıstica

dΠ = −(∂V

∂t+

1

2σ2S2

∂2V

∂S2

)dt

Además, por la hipótesis de no arbitraje, como P es un portafolio libre deriesgo tenemos que su retorno es igual al de un bono de tasa r

dΠ

Π= rdt =⇒ dΠ = Πrdt

igualando las dos ultima ecuaciones, llegamos a :

Πrdt−(∂V

∂t+

1

2σ2S2

∂2V

∂S2

)dt

Simplificando dt y sustiruyendo Π = ∆S − V = ∂V∂SS − V , nos queda

∂V

∂SSr − Vr = −

∂V

∂t− 1

2σ2S2

∂2V

∂S2

Finalmente despejando rV , llegamos a la ecuación de Black-Scholes-Fisher.

∂V

∂t+

1

2σ2S2

∂2V

∂S2+ rS

∂V

∂S= rV

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 37

Resolución de la ecuación de Black-Scholes -Merton

Obtenemos la solución de la ecuación de Black-Scholes -Merton, para elcaso de una opción Call europea sobre un activo de precio S con precio deejercicio K y tiempo de expiración T, Hacemos V=C tenemos:

∂C

∂t+

1

2σ2S2

∂2C

∂S2+ rS

∂C

∂S− rC = 0

con las condiciones de frotera C(0, t) = 0, C(S, T ) ≈ S si S −→ ∞ ya quecuando el precio del activo es nulo, también debe serlo el de la opción (esclaro que no se va a ejercer). Y cuando el precio tiende a innito S −K se vaa aproximar a S . También recordemos la condición final, es decir, el payoffde la opción C(S, T ) = max{S −K, 0}

∂C∂t

+ 12σ2S2 ∂

2C∂S2

+ rS ∂C∂S− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,

C(S, T ) = max{S −K, 0} S ∈ (0,∞)C(0, t) = 0 t ∈ [0, T 〉C(S, T ) ≈ S t ∈ [0, T 〉;S −→∞

es una ecuación diferencial parabólica con derivada primera respecto altiempo y segunda derivada respecto a la variable S. Es una ecuación diferen-cial backwards: dada una condición final para la ecuación, esta se resuelvede forma recursiva desde T final hasta to inicial. La unicidad de la soluciónse asegura al imponer las condiciones de contorno. Estas son de dos tipos,condiciones de frontera y condiciones iniciales o finales. Las condiciones defrontera determinan la solución en los extremos de los valores de S, mientrasque la condición final determina el valor del activo en el instante final. En elcaso de que el activo pueda tomar cualquier valor entre [0,∞) no es necesarioimponer condiciones de contorno. Se consideran los cambios de variables: Nosconcentraremos en las dos primeras ecuaciones de , pues las últimas dos, quedescriben el comportamiento de C en los bordes, también se van a satisfacer.Entonces nuestro modelo queda como sigue:{

∂C∂t

+ 12σ2S2 ∂

2C∂S2

+ rS ∂C∂S− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,

C(S, T ) = max{S −K, 0} S ∈ (0,∞) (2.15)

Para resolver esta ecuación, hagamos primero los cambios de variables

x = ln

(S

K

)τ(t) =

σ2(T − t)2

C(S, t) = Kv(x, τ)

38 2.2. Motivación, Aplicaciones tecnológicas

∂C

∂t= −σ

2K

2

∂v

∂τ

∂C

∂S=K

S

∂v

∂x

∂2C

∂S2= −K

S2∂v

∂x+K

S2∂2v

∂x2

Como τ(T ) = 0, tambien tenemos una condición iniciaal para v a partir dela condición final deC

C(S, T ) = Kv(x, 0)entonces v(x, 0) = max{ex − 1, 0}

Sustituyendo estas relaciones en la ecuación de Black-Scholes se obtiene:

{σ2

2∂v∂τ

= −σ22

∂v∂x

+ σ2

2∂2v∂x2

+ r ∂v∂x− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

v(x,=) = max{ex − 1, 0} x ∈ R

Y si hacemos k = 2rσ2

el modelo queda

{∂v∂τ

= σ2

2∂2v∂x2

+ (k − 1) ∂v∂x− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

v(x, 0) = max{ex − 1, 0} x ∈ R

Hacemos otro cambio de variables

v(x, τ) = eαx+βτu(x, τ)

. Eligiendo adecuadamente las funciones α y β, la ecuación se transformaen la ecuación de advección difusión. Las derivadas parciales respecto a lasvariables x y τ son:

∂v

∂x= eαx+βτ

[αu+

∂u

∂x

]∂2v

∂x2= eαx+βτ

[α2u+ 2α

∂u

∂x+∂2u

∂x2

]∂v

∂τ= eαx+βz

[βu+

∂u

∂τ

]

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 39

Sustituyendo en la ecuación anterior y dividiendo entre el término eαx+βτ yordenando se obtiene:

∂u

∂τ= (2α+ k − 1)∂u

∂x+∂2u

∂x2+ [(k − 1)α− k − β]u

Ahora elijamos α y β para que se anule u, tenemos

(k − 1)α− k − β = 0 y − 1 = 2α+ (k − 1)

α =−k2

β = −k2 + k

2

y aśı la ecuación queda{∂u∂τ

+ ∂u∂x

= ∂2u

∂x2x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

u(x, 0) = max{e 2−k2 x − e−k2 x, 0} x ∈ R(2.16)

40 2.3. Existencia y unicidad

2.3. Existencia y unicidad

En esta sección veremos la prueba de la existencia y unicidad de la so-lución en de la ecuación asociada al problema escalar de advección difusióntransitorio.

∂u

∂t−∇.(β∇u) + α.∇u = f

Donde

β =

β1,1 0··· 0

β2,2··· 0...

. . ....

0 0··· βn,n

; βi,i > 0; α = (α1 · · ·αn)Pero en nuestro caso α y β son constantes y Ω ∈ Rn , entonces la ecuaciónde advección difusión transitoria se puede escribir aśı

∂u∂t− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ],

u(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ],u(x, t) = u0(x) en Ω,

(2.17)

2.3.1. Existencia y unicidad de la solución de la Ecua-ción Parabólica

Problema

Conocidas las funciones f : Q→ R y uo : Ω → R encontraremos u : Q→R tal que

∂u∂t− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ],

u(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ],u(x, t) = u0(x) en Ω,

(2.18)

La función u : Q→ R es solución debil del problema cuando:

i) u ∈ L2(0, T,H1o (Ω))

ii) ∂∂t

(u′(t), v)− (β∆u(t), v) + (α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1o (Ω)

en el sentido de D′(0, T )

iii) u(0) = uo c.s. en Ω

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 41

Teorema 6 Existencia y UnicidadDados uo ∈ H1o (Ω) y f ∈ L2(0, T, L2(Ω)) existe una única solución u : Q→ Rtal que

i) u ∈ L2(0, T,H1o (Ω))

ii) ∂∂t

(u′(t), v)−(β∆u(t), v)+(α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1o (Ω) en D′(0, T )

iii) u(0) = uo c.s. en Ω

Existencia de la solución

Observación

Podemos observar que de (i) u ∈ Co([0, T ], L2(Ω)) tiene sentido u(0)

Problema aproximado

Multiplicando la ecuación por ϕ y luego integrando tenemos:∫Ω

∂u

∂tϕ−

∫Ω

β∆uϕ+

∫Ω

α.∇uϕ =∫

Ω

fϕ

Además usando el teorema de Grenn tenemos

−∫

Ω

β∆uϕ =

∫Ω

β∇u∇ϕ−∫

Γ

β∂u(s)

∂nϕ(s)ds︸ ︷︷ ︸

0

tenemos:(u′, ϕ) + (β∇u,∇ϕ) + (α.∇u, ϕ) = (f, ϕ)

Sea {wk}una base ortonormal deVm ⊂ H10 ⊂ L2 ∪Vmdenso en H10 (Ω)yL2(Ω)

(∇wi,∇wj) = 0 si i 6= j (wi, wj) ={

1 para i = j0 para i 6= j

Tenemos

um(t) =m∑

i=1

gi,m(t)wi

42 2.3. Existencia y unicidad

Se tiene el sistema aproximado.{(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)um(0) = u0m → u0 en H10 (Ω)

Se tiene

(m∑

i=1

g′i,m(t)wi, wj

)+

(m∑

i=1

gi,m(t)β∇wi,∇wj

)+

(m∑

i=1

gi,m(t)α.∇wi, wj

)= (f, wj)

m∑i=1

g′i,m(t) (wi, wj)+βm∑

i=1

gi,m(t) (∇wi,∇wj)+m∑

i=1

gi,m(t) (α.∇wi, wj) = (f, wj)

(∇wi,∇wj) ={ai,i para i = j0 para i 6= j (α.∇wi, wj) = bi,j

tenemos lo siguiente

g′i,m(t) + βgi,m(t)ai,m + (b1,j, · · · , bm,j) . (g1,m, · · · , gm,m) = (f, wj) = Fjg′1,m

g′2,m...

g′m,m

+β

a1,1 0··· 0a2,2··· 0

.... . .

...0 0··· am,m

g1,m

g2,m

...gm,m

+

b1,1 b1,2··· b1,mb2,1 b2,2··· b2,m...

. . ....

bm,1 bm,2··· bm,m

g1,m

g2,m

...gm,m

=

F1

F2

...Fm

Denotando

−−−→gm(t)=

g1,m

g2,m

...gm,m

−−−→Fm(t)=

F1(t)

F2(t)

...Fm(t)

Am=β

a1,1 0··· 0

a2,2··· 0...

. . ....

0 0··· am,m

Bm=

b1,1 b1,2··· b1,mb2,1 b2,2··· b2,m...

. . ....

bm,1 bm,2··· bm,m

Tenemos que nuestra ecuación se escribe aśı:

−−−→g′m(t) + (Am +Bm)

−−−→gm(t) =

−−−→Fm(t)

−−−→g′m(t) + Cm

−−−→gm(t) =

−−−→Fm(t)

−−−→gm(0) =

−−→g0,m

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 43

por el teorema de carateodory existe solución−−−→gm(t) t ∈ [0, tm〉

Por lo tanto existe solución um(t) t ∈ [0, tm〉

Estimativas

Tambien tenemos

(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)

De aqui se tiene que:

(u′m(t), u′m(t)) + (β∇um(t),∇u′m(t)) + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12∂∂t|β∇um(t)|2 + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12∂∂t|β∇um(t)|2 = (f, u′m(t))− (α.∇um(t), u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |(f, u′m(t))|+ |(α.∇um(t), u′m(t))|

|u′m(t)|2 + 12∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |f ||u′m(t)|+ |α.∇um(t)||u′m(t)|

|u′m(t)|2 + 12∂∂t|β∇um(t)|2 ≤

√2|f | |u

′m(t)|√

2+√

2|α.∇um(t)| |u′m(t)|√

2

|u′m(t)|2+ 12∂∂t|β∇um(t)|2 ≤

(√

2|f |)2

2+

(|u′m(t)|√

2

)22

+(√

2|α.∇um(t)|)2

2+

(|u′m(t)|√

2

)22

|u′m(t)|2 + 12∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |u

′m(t)|2

4+ |α.∇um(t)|2 + |u

′m(t)|2

4

12|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |α||∇um(t)|2

integramos de 0 a t ; 0 ≤ t ≤ tm ≤ T

∫ t0

12|u′m(t)|2 +

∫ t0

12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤

∫ t0|f |2 + |α|

∫ t0|∇um(t)|2

44 2.3. Existencia y unicidad

∫ t0

12|u′m(t)|2 + 12 |β∇um(t)|

2 − 12|β∇um(0)|2 ≤

∫ t0|f |2 + |α|

∫ t0|∇um(t)|2∫ t

012|u′m(t)|2 + 12 |β∇um(t)|

2 ≤ 12|β∇um(0)|2 +

∫ t0

|f |2︸ ︷︷ ︸constante

+ |α|∫ t

0|∇um(t)|2

∫ t0

12|u′m(t)|2 + 12 |β∇um(t)|

2 ≤ C + |α|∫ t

0|∇um(t)|2

Por el lema de Gromwall, tenemos :

∫ t0

1

2|u′m(t)|2 +

1

2|β∇um(t)|2 ≤ C

usando la desigualdad de Poncare

|um(t)| ≤ co|∇um(t)| ≤ C

Aśı tenemos que

(um) es acotado en L2(0, T,H10 (Ω))

(u′m) es acotado en L2(0, T, L2(Ω))

Por lo tanto existen subsucesiones de (um) y (u′m) en L

2(0, T,H10 (Ω)) y en L2(0, T, L2(Ω))

respectivamente, que denotaremos de la misma manera.

um → u debil en L2(0, T,H10 (Ω))

u′m → χ debil en L2(0, T, L2(Ω))

Debemos probar que:χ = u′

tenemos queum → u debil en L2(0, T,H10 (Ω)) = W es decir∫ t

0

∫Ωum(x, t)v(x, t)dxdt→

∫ t0

∫Ωu(x, t)v(x, t)dxdt

tomamos v(x, t) = w(x)θ(t) donde θ ∈ D(0, T ) w ∈ L2(Ω)

Entonces se tiene que:∫ t0

(um(t), w(x)) θ′(t)dt→

∫ t0

(u(t), w(x)) θ′(t)dt

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 45

Tambien se tiene:∫ t0

(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→∫ t

0(χ,w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . (∗)

Pero de lo anterior∫ t0

∂∂t

(um(t), w(x)) θ(t)dt = −∫ t

0(um(t), w(x)) θ

′(t)dt→ −∫ t

0(u(t), w(x)) θ′(t)dt

∫ t0

∂∂t

(um(t), w(x)) θ(t)dt→∫ t

0∂∂t

(u(t), w(x)) θ(t)dt

∫ t0

∂

∂t(um(t), w(x)) θ(t)dt︸ ︷︷ ︸→

∫ t0

(u′(t), w(x)) θ(t)dt

∫ t0

(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→∫ t

0(u′(t), w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . (∗∗)

Por unicidad del ĺımite de (*) y (**) se tiene∫ t0

(u′m(t), w(x)) θ(t)dt =∫ t

0(χ,w(x)) θ(t)dt∀w ∈ L2(Ω),∀θ ∈ L2(Ω)

Se tiene que χ = u′

Además tenemos que∫ t0

(β∇um(t),∇v(x)) dt→∫ t

0(β∇u(t),∇v(x)) dt∫ t

0(α.∇um(t), v(x)) dt→

∫ t0

(α.∇u(t), v(x)) dt∫ t0

(um(t), v(x)) dt→∫ t

0(u(t), v(x)) dt

Además las soluciones aproximadas um satisfacen:

(u′m(t), w) + (α.∇um(t), w) + (β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1,∀w ∈ Vm

Luego

(u′m(t), w)+(α.∇um(t), w)+(β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

Integrando∫ t0

(u′m(t), w) z(t)dt+∫ t

0(α.∇um(t), w) z(t)dt+

∫ t0

(β∇um(t),∇w) z(t)dt =∫ t

0(f, w)z(t)dt

donde z ∈ L2(0, T ) w ∈ ∪∞m=1Vm z, w ∈ L2(0, T,H10 (Ω))

46 2.3. Existencia y unicidad

Pasando al ĺımite tenemos:∫ t0

(u′(t), w) z(t)dt+∫ t

0(α.∇u(t), w) z(t)dt+

∫ t0

(β∇u(t),∇w) z(t)dt =∫ t

0(f, w)z(t)dt∫ t

0[(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w)z(t)] z(t)dt = 0 ∀ ∈ L2(0, T )

tenemos:

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w) = 0 ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

tenemos

(u′(t), w)+(α.∇u(t), w)−(β4u(t), w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm . . . . . . . . . . . . (α)

(u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t), w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t) = f(t)

Nos falta ver que u(0) = u0

Para esto tenemos que:

(u′m(t), w)ψ(t) + (α.∇um(t), w)ψ(t) + (β∇um(t),∇w)ψ(t) = (f, w)ψ(t)∫ t0

(u′m(t), w)ψ(t)+∫ t

0(β∇um(t), w)ψ(t)+

∫ t0

(β.∇um(t),∇w)ψ(t) =∫ t

0(f, w)ψ(t)

Integrando por partes

−∫ t

0

(um(t), w)ψ′(t) + (um(t), w)ψ(t)|t0 +

∫ t0

(β∇um(t),∇w)ψ(t) +∫ t

0

(α.∇um(t), w)ψ(t) =

=

∫ t0

(f, w)ψ(t)

−∫ t

0

(um(t), w)ψ′(t)− (um(0), w)ψ(0) +

∫ t0

(β∇um(t),∇w)ψ(t) +∫ t

0

(α.∇um(t), w)ψ(t) =

=

∫ t0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗ ∗ ∗)

Pero

ψ ∈ C ′([0, T ]);ψ(T ) = 0

2. Modelo Matemático, Aplicación y Análisis. 47

um(0) = u0m → u0 en H10 (Ω) ⊂ L2(Ω)

tambien u0m → u0 en H10 (Ω)

entonces u0m → u0 en L2(Ω)

tenemos que (u0m, w) → (u0, w) ∀w ∈ L2(Ω) pues

|(u0m, w)− (u0, w)| = |(u0m − u0, w)| ≤ |u0m − u0| |w| < ε

Pasando al ĺımite (***)

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) +∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) =

=

∫ t0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗′)

Además de (α)

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w)integrando∫ t

0(u′(t), w)ψ(t)+

∫ t0

(α.∇u(t), w)ψ(t)+∫ t

0(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

∫ t0(f, w)ψ(t)

integrando por partes

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t) + (u(t), w)ψ(t)|t0 +∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) +∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

=

∫ t0

(f, w)ψ(t)

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) +∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

=

∫ t0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗∗′)

Comparando de (∗′) y (∗∗′) tenemos u(0) = u0

48 2.3. Existencia y unicidad

Unicidad de la solución

∂u∂t− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ]

u(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ]u(x, t) = u0(x) en Ω

Sean v; z soluciones de la ecuación anterior, tenemos que w = v − z Será so-lución de la sgte ecuación:

∂w∂t− β∆w + α.∇w = 0 en Ω× (0, T ]

w(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ]w(x, t) = 0 en Ω

Tenemos que(w′, w(t))− (∆w,w(t)) + (∇w,w(t)) = 012

∂∂t|w(t)|2 + (β∇w,∇w(t)) + (α.∇w,w(t)) = 0

∂∂t|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) = −2(α.∇w,w(t))

∂∂t|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) ≤ 2|α.∇w||w(t)|

∂∂t|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤

√|β||∇w(t)| 2|α|√

|β||w(t)|

∂∂t|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤ |β| |∇w(t)|2 + |α|

2|∇w(t)|2|β|∫ t

0∂∂t|w(s)|2 + 2 |β|

∫ t0|∇w(s)|2 ≤

∫ t0|β| |∇w(s)|2 +

∫ t0|α|2|∇w(s)|2

|β|

|w(t)|2+|β|∫ t

0|∇w(t)|2 ≤ 0+

∫ t0|α|2|∇w(s)|2

|β| y por el lema de Gronwel tenemos

0 ≤ |w(t)|2 + |β|∫ t

0|∇w(t)|2 ≤ 0et

De aqui se tiene que w = 0

entonces v = z es decir la solución es única