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Captulo 2
Anlisis espectral de seales
Objetivos
1. Se pretende que el alumno repase las herramientas necesarias para el anlisis espectral de seales.
2. Que el alumno comprenda el concepto de espectro desde una perspectiva matemtica.
Contenido
1. Energa ypotencia
2. Seal energa y seal potencia
3. Ejemplo de seal energa
4. Ejemplo de seal potencia
5. Valor eficaz de una seal potencia peridica
6. La serie trigonomtrica de Fourier
7. Teorema de Parseval para seales potencia peridicas
8. Ejemplo de aplicacin del teorema de Parseval para seales potencia
9. Transformada de Fourier
10. Teorema de Parseval para seales energa
11. Ejemplo: clculo de la curva funcin densidad espectral de energa
12. Ejemplo de aplicacin del teorema de Parseval
13. Propiedades de la convolucin
14. Propiedades de la correlacin

Sistemas de Comunicaciones
Cap. 2 Anlisis espectral de seales
2
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Ao 2011

3
El presente apunte no es un sustituto para la informacin ms completa que proporcionan autores como
B.P. Lathi o H. P. Hsu. El objetivo de este texto es agregar la terminologa que requieren los alumnos para el
curso de Sistemas de Comunicaciones.
Energa y potencia
A continuacin se desarrollan frmulas para el clculo de la energa requerida por una seal y de la potencia
o rapidez de consumo d energa. Adicionalmente, se realiza una anlisis dimensional o de unidades con lo
que se verifica la validez de las ecuaciones. Para nuestro caso particular, trabajamos con seales temporales
cuyas magnitudes se miden en volts, es decir Energa Media
El promedio de energa consumida por una seal durante un intervalo de tiempo se calcula como
(2.1)
Potencia Media
La rapidez promedio con la que se consume energa se define como la energa consumida, dividida por el
intervalo de consumo, es decir:
(2.2)
Sustituyendo la ecuacin 2.1 en la ecuacin 2.2 resulta:
(2.3)
=
=
= 1

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Energa Media Total
La energa consumida por una seal cualquiera , durante un periodo infinito se calcula como:
(2.4)
Potencia Media Total
La rapidez de consumo de energa de una seal, durante un tiempo infinito se calcula como:
(2.5)
Sustituyendo la ecuacin 2.4 en la ecuacin 2.5 se logra
(2.6)
Seal energa y seal potencia
Seal energa
Se trata de una seal con las siguientes caractersticas
Energa media total finita, es decir requiere de un consumo finito de energa
(2.7)
Potencia media total cero
(2.8)
Son seales de duracin finita
Son seales de duracin infinita pero que concentran su energa en un pequeo intervalo.
=
=
< =
= 0
=

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Seal potencia
Se trata de una seal con las siguientes caractersticas
Energa media total infinita, es decir, requiere de un consumo infinito de energa
(2.9)
Potencia media total finita
(2.10)
Las seales peridicas, las cuales son de duracin infinita
Las seales aleatorias, las cuales son de duracin infinita.
Ejemplo de seal energa
Sea la funcin exponencial unilateral
(2.11)
Energa media total
La energa promedio total de esta funcin se calcula sustituyendo la ecuacin 2.11 en la integral de la
ecuacin 2.4
!; > 1 = ! El intervalo de integracin va de 0 a infinito debido al escaln unitario.
= =
<
= ! > 0

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!; > 1 = !&= 12) * !&= 12) + 12) &= 12)
As que el consumo total de energa de la seal exponencial unilateral es una cantidad medible dada por:
(2.12)
Potencia promedio total
La rapidez promedio del consumo de energa, durante un intervalo infinito de tiempo se calcula
sustituyendo la ecuacin 2.12 en la ecuacin 2.5:
! ; > 1 = 1 2) Entonces resulta que
(2.13)
Ejemplo de seal potencia
Sea la siguiente seal peridica
(2.14)
Teorema de potencia para seales peridicas
La potencia media total de una seal peridica es igual a la potencia de la misma seal en un periodo, es
decir
(2.15)
! ; > 0 = 12)
! ; > 1 = 0
= -./&
= =

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Potencia media total
La potencia en un periodo de la seal senoidal se calcula sustituyendo la ecuacin 2.14 en la ecuacin 2.3
-./& = 1 -./& Entonces tendremos el siguiente desarrollo
./& = - 012 12 122/&3 = -2 12 122/&= -2 & 12 12/& .2/&&= -2 -24 12/& .2/& .0
/& = 24= -2 -24 12/& 0. 52 24 6 .03= -2 -24 12/& 0 0= -2
Por lo tanto, la potencia media total de una seal senoidal est dada por:
(2.16)
Energa media total
Vamos a trabajar un poco con la ecuacin 2.4 para definir una forma de calcular el promedio de energa
consumida en funcin de la potencia de la seal. As entonces se despeja la energa de la ecuacin 2.4
(2.17)
-./& = -2
=

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Sustituyendo la ecuacin 2.14 en la ecuacin 2.15 tenemos
Entonces la energa media total es
(2.18)
Valor eficaz de una seal potencia peridica
Siendo una seal potencia peridica, el valor eficaz se calcula como
(2.19)
Sustituyendo la ecuacin 2.6 en la ecuacin 2.19 se logra
(2.20)
A continuacin se enlistan los valores eficaces para las seales tpicas de amplitud pico -:
Senoidal - sin/& - 2 Cuadrada - 1 Triangular - 3
-./& = -./&= 12
-./& =
=>? = @
=>? = A

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La serie trigonomtrica de Fourier
Teorema de descomposicin espectral para seales potencia peridicas
Cualquier seal peridica puede expresarse como una combinacin lineal de senos y cosenos. Es decir,
siendo una seal potencia peridica en , sta se puede expresar como:
(2.20)
En donde
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Cada trmino de esta serie tiene un nombre que se asocial con el manejo de seales. As
B& Es la componente de directa de la seal CD = B12/& + E./& = @B + E sin F/& + BG HIJIK Es la componente espectral
fundamental.
CD = B122/& + E.2/& = @B + E sin F2/& + BG HLJLK Es la componente espectral conocida como segunda armnica.
CDM = BM123/& + EM.3/& = @BM + EM sin F3/& + BG HNJNK Es la componente espectral conocida como tercera armnica.
y as sucesivamente.
= B& + O BC12./&CD + O EC../&
CD
B& = 1
BC = 2 12./&
EC = 2 ../&

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A continuacin se anexan algunas series de inters que pueden servir en sesiones de laboratorio.
Diente de sierra sin componente de directa (figura 1)
(2.24)
Seal cuadrada de simetra impar y sin componente de directa (figura 2)
(2.25)
= 2P4 5sin /& 12 sin 2/& + 13 sin 3/& 6
Figura 1
= 4P4 5sin /& + 13 sin 3/& + 15 sin 5/& 6
Figura 2.

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Seal triangular de simetra par y sin componente de directa (figura 3)
(2.26)
Teorema de Parseval para seales potencia peridicas
Deduccin matemtica
Considere que la potencia media total para una seal potencia peridica se calcula, segn la ecuacin 2.15
como:
(2.24)
Sustituyendo una de las por su equivalente serie trigonomtrica, ecuacin 2.20, se tiene el siguiente desarrollo
(2.25)
= 1
&
= 1 TB& + O BC12./&CD + O EC../&
CD U
&
Figura 3.
= 8P4 5cos /& + 13 cos 3/& + 15 cos5 /& + 6

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Resolviendo la integral se llega a la expresin siguiente
(2.26)
En donde
B&: es la potencia de la componente de directa YBC 2 Z: Es la potencia de las componentes cosenoidales YEC 2 Z: es la potencia de las componentes senoidales
Enunciado del

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