13. Teora de Campos

13.3. Construcciones clasicas de Regla y Compas

Como una aplicacion simple de los resultados que hemos obtenido en

las extensiones algebraicas, y en particular en la multiplicatividad de grados

de extension, podemos responder (negativamente)los siguientes problemas

geometricos propuestos por los Griegos:

1. (Duplicar el Cubo) Es posible usando solo regla y compas construir

un cubo con precisamente el doble del volumen de un cubo dado?

2. (Trisecar un Angulo) Es posible usando solo regla y compas trisecar

un angulo dado ?

3. (Cuadratura del Crculo) Es posible usando solo regla y compas con-

struir un cuadrado cuya area es precisamente el area de un crculo

dado?

Para responder estas preguntas debemos trasladar la construccion de lon-

gitudes por compas y regla en terminos algebraicos. Denote 1 una unidad fija

de distancia dada. Entonces cualquier distancia es determinada por su longi-

tud a R, lo cual nos permite ver las distancias geometricas como elementosde numeros reales R. Usando la unidad de distancia dada 1 para definir laescala en los ejes, podemos entonces construir el plano Cartesiano usual R2

y ver todas nuestras construcciones ocurriendo en R2. Un punto (x, y) R2es entonces construible empezando con la distancia dada 1 si y solo si sus

coordenadas x e y son elementos construibles de R. Los problemas de arribaentonces consisten en determinar si unas longitudes particulares en R puedenser obtenidas por construcciones por regla y compas a partir de una distan-

cia unidad fija. La coleccion de tales numeros reales junto con sus negativos

seran llamados elementos construibles de R, y no haremos distincion entrelas longitudes que con construibles y los numeros reales que son construibles.

Cada construccion por regla y compas consiste de una serie de operaciones

1

de los siguientes cuatro tipos: (1) conectar dos puntos dados por una lnea

recta, (2) encontrar un punto de interseccion de dos lneas rectas, (3) dibu-

jar un crculo con un radio y centro dados, y (4) encontrar el punto(s) de

interseccion de un lneas recta y un crculo o la interseccion de dos crculos.

Es un hecho elemental de la geometra que si dos longitudes a y b son dadas,

una podra construir usando regla y compas las longitudes a b, ab y a/b(los primeros dos son claros y los ultimos dos son dados por construccion de

lneas paralelas (Figura 1)).

Figura 1:

Es tambien un construccion geometrica elemental el construira si a es

dado: construya el crculo con diametro 1 + a y trace la perpendicular al

diametro como se indica en la Figura 2. Entoncesa es la longitud de esta

perpendicular.

Figura 2:

Se sigue que las construcciones con regla y compas dan todas las op-

eraciones algebraicas de adicion, sustraccion, multiplicacion y division (entre

2

elementos no nulos) en lo reales as que la coleccion de elementos construibles

es un subcampo de R. Uno podra tambien tomar races cuadradas de ele-mentos construibles. Veremos ahora que estas son esencialmente las unicas

operaciones posibles. A partir de una longitud dada 1 es posible construir

por estas operaciones todos los numeros racionales Q. Entonces uno podraconstruir todos los puntos (x, y) R2 cuyas coordenadas son racionales.Podramos construir elementos adicionales de R al tomar races cuadradas,as que la coleccion de elementos construibles a partir de 1 de R formanun campo estrictamente mayor que Q. La formulas usual (forma de dospuntos) para la recta que conecta dos puntos cuyas coordenadas en algun

campo F dan una ecuacion para la recta de la forma ax + by c = 0 cona, b, c F . Resolviendo dos de tales ecuaciones simultaneamente para deter-minar el punto de interseccion de tales rectas da soluciones tambien en F .

Se sigue que si las coordenadas de dos puntos yacen en el campo F entonces

las construcciones rectas solas no produciran puntos adicionales cuyas coor-

denadas no estan tambien en F . Un construccion con compas (de tipo(3) o

(4) arriba) definen puntos obtenidos por la interseccioon de un crculo con

una lnea recta u otro crculo. Un crculo con centro (h, k) y radio r tiene

ecuacion

(x h)2 + (y k)2 = r2

As que cuando consideramos el efecto de construcciones de compas en ele-

mentos de un campo F estamos considerando soluciones simultaneas de tal

ecuacion con una ecuacion lineal ax + by c = 0 donde a, b, c, h, k, r F , olas soluciones simultaneas de dos ecuaciones cuadraticas. En el caso de una

ecuacion lineal y la ecuacion de un crculo, resolviendose digamos para y, en

la ecuacion lineal y sustituyendo da una ecuacion cuadratica para x (e y es

dado lnealmente en terminos de x). Entonces las coordenadas del punto de

interseccion son en el peor de los caso extensiones cuadraticas de F. En el

caso de la interseccion de dos crculos, digamos

(x h)2 + (y k)2 = r2

3

y(x h)2 + (y k)2 = (r)2

La sustraccion de la segunda ecuacion de la primera muestra que tenemos

la misma interseccion al considerar las dos ecuaciones

(x h)2 + (y k)2 = r2

y

2(h h)x+ 2(k k)y = r2 h2 k2 (r)2 + (h)2 + (k)2

la cual es la interseccion de un crculo con una lnea recta(la lnea recta que

conecta los dos puntos de interseccion, de hecho) del tipo que se acaba de

considerar. Se sigue que si una coleccion de elementos construibles es dado,

entonces uno puede construir todos los elementos en el subcampo F de Rgenerado por estos elementos y que cualquier operacion de recta y compas

en elementos de F produce elementos en el peor de los casos una extension

cuadratica de F. Dado que las extensiones cuadraticas tienen grado 2 y los

grados de extension son multiplicativos, se sigue que si R es obtenido apartir de elementos en un campo F por una serie (finita) de operaciones de

regla y compas entonces es un elemento de una extension K de F de grado

de un potencia de 2: [K : F ] = 2m para algun m. Dado que [F () : F ] divide

este grado de extension, tambien sebe ser una potencia de 2.

Proposicion 1. Si el elemento R es obtenido a partir de un campoF R por una serie de construcciones con relga y compas entonces [F () :F ] = 2k para algun entero k 0

Teorema 2. Ninguno de los problemas griegos clasicos: (I) Duplicar el cubo,

(II) Trisecar el angulo, y (III) La cuadratura del crculo, es posible

Demostracion. (I) Duplicar el cubo involucra construir 3

2 en los reales em-

pezando con la unidad 1. Dado que [Q( 3

2) : Q] = 3 no es una potenciade 2, esto es imposible, (II) Si un angulo puede ser construido, entonces

determinar el punto a una distancia 1 del origen y angulo a partir del eje x

4

positivo de R2 muestra que cos() (la coordenada x de este punto) purde serconstruida (as que sin() tambien puede ser construido). Recprocamente si

cos(), entonces sin(), puede ser construido, el punto con esas coordenadas

da el angulo . El problema de trisecar el angulo es entonces el equivalente

al problema: dado cos() construya cos()/3 Para ver que esto no es siempre

posible (es ciertamente posible ocasionalmente, por ejemplo para = 180),

considere = 60. Entonces cos() = 12. Por la formula del angulo triple para

cosenos:

cos() = 4 cos3(/3) 3 cos(/3)sustituyendo = 60, vemos que = cos(20) satisface la ecuacion

43 3 1/2 = 0

O 83 6 1 = 0. Esto puede ser escrito como (2)3 3(2) 1 = 0. Sea = 2. Entonces es el numero real entre 0 y 2 que satisface la ecuacion

3 3 1 = 0

Pero consideramos esta ecuacion en la ultima seccion y determinados que

[Q() : Q] = 3, y como antes vemos que no es construible. (III) Lacuadratura del crculo es equivalente a determinar si el numero real pi =

3,14159 . . . es construible. Como se menciono previamente, es un difcil prob-

lema incluso probar que este numero no es racional. Es de hecho transcen-

dente (lo cual asumiremos sin demostracion), as que [Q(pi) : Q] no es nisiquiera finito, y menos aun una potencia de 2, mostrando la imposibilidad

de la cuadratura del crculo por regla y compas.

Observacion: La demostracion de arriba muestra que si cos(20) y sin(20)

no puede ser construido. Surge la pregunta de cuales angulos enteror (me-

didos en grados) son construibles? Los angulos 1 y 2 no son construibles,

dado que de otra forma las formulas adicionales para senos y cosenos daran la

construibilidad de 20. Por el otro lado, construcciones elementales geometri-

cas (del pentagono regular para un angulo de 72 y del triangulo equilatero

5

para un angulo de 60) junto con la formula de adicion y angulo medio mues-

tran que cos(3) y sin(3) son construibles. Se sigue de esto que las funciones

trigonometricas de un angulo de grados enteros son precismaente construibles

cuando el angulo es un multiplo de 3. Explcitamente,

cos(3) =1

8(

3 + 1)

5 +

5 +1

16(

6

2)(

5 1)

cos(3) =1

16(

6 +

2)(

5 1) 18

(

3 1)

5 +

5

mostrando que estas son obtenidas a partir de Q por extraccion sucesiva deraces cuadradas y operaciones de campo.

Despues de discutir los campos ciclotomicos en la seccion 14.5 consider-

aremos otra pregunta geometrica clasica: Cuales de los polgonos regulares

pueden ser construidos con regla y compas? (ver Proposicion 14.29) Hemos

sido cuidados aqu hemos sido cuidadosos de considerar las construcciones

usando un regla sin graduar. Si uno usa una regla graduada, es posible con-

struir muchos elementos geometricos adicionales. Por ejemplo, suponga que

es un angulo dado y la distancia unidad 1 esta marcada en la regla. Dibuje

un crculo de radio 1 con angulo central como se muestra en la Figura 3

y luego deslice la regla hasta que la distancia entre los puntos A y B en el

crculo es 1. Entonces algo de geometra elemental muestra que el angulo

indicada es /3, es decir (debida a Arqumedes) triseca a . En particular, el

segundo problema clasico en el Teorema 24 (Trisecar un angulo) puede ser

resuelto con regla graduada y compas

Figura 3:

El primero de los problemas clasicos en el Teorema 2 (Duplicacion del

Cubo), el cual consiste en la construccion de 3

2, puede ser tambien resuelto

6

con regla graduada y compas. Lo que sigue da una construccion para k1/3

para cualquie real positivo dado k el cual es menor que 1. Esta construccion

nos fue mostrada por J.H. Conway. Dibujar un crculo de radio 1 y usando

el punto A = (k, 0) como centro, construya el punto B = (0,

1 k2).Dividiendo esta distancia por 3, construya el punto (0,1

3

1 k2) y dibuje

la lnea que conecta este punto con A. Deslice la regla con longitud unidad 1

marcada tal que pasa a traves del punto B y tal que la distancia a partir del

punto de interseccion C al punto de interseccion D con el eje x es de longitud

1, como se indica en la Figura 4. Entonces la distancia entre A y D es 2k1/3

y la distancia entre B y C es 2k2/3.

Figura 4:

13.4. Cuerpos de Descomposicion y Clausuras Alge-

braicas

Sea F un campo. Si f(x) es cualquier polinomio en F [x] entonces hemos

visto en la Seccion 2 que existe un campo K el cual puede (Identificando F

con una copia isomorfica de F ) ser considerado una extension de F en el cual

f(x) tiene una raz . Esto es equivalente a afirmar que f(x) tiene un factor

linear x en K[x] (Esta es la proposicion 9 del Captulo 9)

Definicion 1. El campo extension K de F es llamado un cuerpo de descom-

posicion para el polinomio f(x F [x]) si f(x) se factoriza completamenteen factores lineales (o se descompone completamente) en K[x] y f(x) no se

7

factoriza completamente en factores lineales sobre cualquier subcampo propio

de K que contiene a F.

Si f(x) es de grado n, entonces f(x) tiene como maximo n races en

F (Proposicion 17 del Captulo 9) y tiene precisamente n races (contando

multiplicidades) en F si y solo si f(x) se descompone completamente en F [x]

Teorema 3. Para cualquier campo F , si f(x) F [x] entonces existe unaextension K de F el cual es un cuerpo de descomposicion para f(x)

Demostracion. Primero mostramos que existe una extension E de F sobre

la cual f(x) se descompone completamente en factores lineales por induccion

en el grado n de f(x). Si n = 1, entonces tomamos E = F . Suponga ahora

que n > 1. Si los factores irreducibles de f(x) sobre F son todos de grado

1, entonces F es un cuerpo de descomposicion para f(x) y podramos tomar

E = F . De otra manera, al menos uno de los factores irreducibles, digamos

p(x) de f(x) en F [x] es de grado al menos 2. Por el Teorema 3 existe una

extension E1 de F que contiene una raz de p(x). Sobre E1 el polinomio

f(x) tiene el factor lineal x . El grado del factor restante f1(x) de f(x)es n 1, as que por induccion existe una extension E de E1 que contienetodas las races de f1(x). Dado que E, E es una extension de F quecontienen todas las races de f(x). Ahora sea K la interseccion de todos los

subcampos de E que contienen a F el cual tambien contiene todas las races

de f(x). Entonces K es un campo el cual es un cuerpo de descomposicion

para f(x).

Pronto veremo que cualquiera dos cuerpos de descomposicion para f(x)

son isomorfos (lo cual extiende el teorema 8), as (por abuso) frecuentemente

nos referiremos a el cuerpo de descomposicion de un polinomio.

Definicion 2. Si K es una extension algebraica de F el cual es un cuerpo

de descomposicion sobre F para una colecciond de polinomios f(x) F [x]entonces K es llamada una extension normal de F

8

Generalmente usaremos el termino cuerpo de descomposicion en lugar

de extension normal

Ejemplos

1. El cuerpo de descomposicion para x2 2 sobre Q es tan solo Q(2),dado que las dos races son 2 y 2 Q(2)

2. El cuerpo de descomposicion para (x22)(x23) es el campoQ(2,3)generado sobre Q por

2 y

3 dado que las races del polinomio son

2,3. Ya hemos visto que esta es una extension de grado 4 sobreQ y tenemos el siguiente diagrama de subcampos conocidos:

3. El cuerpo de descomposicion de x32 sobre Q no es tan solo Q( 32) da-do que, como se hizo notar previamente,las tres races de este polinomio

en C son3

2,3

2(1 + i3

2),

3

2(1 i3

2)

y estas dos ultimas races no son elementos de Q( 3

2), dado que los

elementos de este campo son de la forma a + b 3

2 + c 3

4 con a, b, c

racionales y todos estos numeros son reales. El cuerpo de descomposi-

cion K de este polinomio es obtenido al adjuntar todas estas tres races

a Q. Note que dado que K contiene a las primeras dos races de arriba,entonces contiene a su cociente 1+

32

por tanto K contiene al ele-

mento3. Por otro lado, cualquier campo que contiene a 32 y 3

contiene todas las tres races de arriba. Se sique que:

K = Q( 3

2,3)

9

es el cuerpo de descomposicion de x3 2 sobre Q. Dado que 3satisface la ecuacion x2+3 = 0, el grado de esta extension sobre Q( 3

2)

es como maximo 2, por tanto debe ser 2 dado que antes hemos visto

que Q( 3

2) no es un cuerpo de decomposicion. Se sigue que

[Q( 3

2,3) : Q] = 6

Note que podramos haber procedido de una manera ligeramente difer-

ente al final notando que Q(3) es un subcampo de K, as que el

ndice [Q(3) : Q] = 2 divide [K : Q]. Dado que este grado de ex-

tension es tambien divisible por 3 (dado que Q( 3

2) K), el gradoes divisible por 6, por tanto debe ser 6. Esto nos da el diagrama de

subcampos conocidos: donde

1 =3

2, 2 =3

2(1 + i3

2), 3 =

3

2(1 i3

2)

4. Uno debe ser cuidado en el calculo de cuerpos de descomposicion. El

cuerpo de descomposicion para el polinomio x4 + 4 sobre Q es maspequeno de lo que uno podra en principio sospechar. De hecho este

polinomio se factoriza sobre Q:

x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2 + 2)2 4x2

= (x2 + 2x+ 2)(x2 2x+ 2)

donde estos dos factores son irreducibles (Eisenstein de nuevo). Re-

solviendo para las races de los dos factores por la formula cuadratica,

encontramos las cuatro races

1 i

10

as que el cuerpo de descomposicion de este polinomio es tan solo el

campo Q(i), una extension del grado 2 de Q

En general, si f(x) F [x] es un polinomio de grado n, entonces adjun-tando una raz de f(x) a F genera una extension F1 de grado como maximo

n (e igual a n si y solo si f(x) es irreducible). Sobre F1 el polinomio f(x)

ahora tiene al menos un factor linea, as que cualquier otra raz de f(x) sat-

isface una ecuacion de grado a lo mas n 1 sobre F1. Adjuntado tal raz af1 obtenemos entonces una extension de grado a lo mas n 1 de F1, etc.USando la multiplicatividad de los grados de extension, esto prueba

Proposicion 4. Un cuerpo de descomposicion de un polinomio de grado n

sobre F es de grado a lo mas n! sobre F

Como muestran los ejemplos anteriores, el grado de un cuerpo de descom-

posicion podra ser menor a n!. Sera probado luego usado Teora de Galois

que un polinomio general de grado n (en un sentido bien definido) sonre Qtiene un cuerpo de descomposicion de grado n!, as que esto puede ser visto

como la situacion generica (Aunque la mayora de ejemplos interesantes

que consideraremos tiene cuerpos de descomposicion de grado menor)

Ejemplo:(Cuerpo de descomposicion de xn1: Campos ciclotomicos) Con-sidere el cuerpo de descomposicion del polinomio xn 1 sobre Q. Las racesde este polinomio son llamados las n-esimas raices de unidad Recuerde que

todo numero comple no cero a + bi C puede ser escrito de manera unicaen la forma

rei = r(cos() + i sin()) r > 0, 0 < 2pi

el cual es simplemente representar el punto a + bi en el plano complejo en

terminos de coordenadas polares: r es la distancia de (a, b) desde el origen

y es el angulo hecho con el eje real positivo. Sobre C existen n solucionesdistintas de la ecuacion xn = 1, a saber los elementos

e2piki/n = cos(2pik

n) + i sin(

2pik

n)

11

para k = 0, 1, . . . , n 1. Estos puntos son dados geometricamente por npuntos espaciados igualmente empezando con el punto (1,0) (correspondiente

a k = 0) en un crculo de radio 1 en el plano complejo (Vea la figura 6). El

hecho que estos son la n-esimas races de unidad es inmediato, dado que

(e2piki/n)n = e(2piki/n)n = e2piki = 1

Se sigue que C contiene al cuerpo de descomposicion para xn 1 y veremosfrecuentemente que el campo de descomposicion para xn 1 sobre Q comoel campo generado sobre Q en C por los numeros de arriba.

Figura 5:

En cualquier cuerpo de descomposicion K/Q para xn 1 la coleccion dela n-esimas races de unidad forman un grupo bajo la multiplicacion dado

que si n = 1 y n = 1 entonces ()n = 1, as que el subconjunto de

K es cerrado bajo la multiplicacion. Se sigue que este es un grupo cclico

(Proposicion 18 del captulo 9); veremos que existen n races distintas en K

as que tiene orden n.

Definicion 3. Un generador del grupo cclico de todas la n-esimas races de

unidad es llamado una raz n-esima primitiva de unidad

12

Denote an donde 1 a < n es un entero primo entre s con n, dado queestos son los otros generados para el grupo cclico de orden n. En particular

existen precisamente (n) races n-esimas primitivas de unidad, donde (n)

denota la funcion de Euler. Sobre C podemos ver todo esto directamenteal hacer

n = e2pii/n

(las primeras n-esimas races de unidad en sentido antihorario desde 1). En-

tonces todas las otras races de unidad son potencias de n:

e2piki/n = kn

as que n es un posible generador para el grupo multiplicativo de races

n-esimas de unidad. Cuando vemos las races de unidad en C usualmenteusaremos n para denotar la eleccion de un raz n-esima primitiva de unidad.

Las races primitivas de unidad en C para algunos valores pequenos de n son

1 = 1

2 = 13 =

1 + i32

4 = i

5 =

5 14

+ i(

10 + 2

5

4)

6 =1 + i

3

2

8 =

2

2+ i

2

2

(Esta formulas se siguen a partir de la geometra elementa de polgonos y en

cualquier caso pueden ser verificas directamente al elevarlas a las potencias

apropiadas). El cuerpo de descomposicion xn 1 sobre Q es el campo Q(n)y a este campo se le da un nombre:

Definicion 4. El campo Q(n) es llamado el campo ciclotomico de racesn-esimas de unidad.

13

Determinar el grado de esta extension requiere cierto analisis de poli-

nomios mnimos sobre n sobre Q y sera pospuesto para despues (Seccion6). Un caso especial importante el cual ya hemos en realidad considerado es

cuando n = p es un primo. En este caso, tenemos la factorizacion

xp 1 = (x 1)(xp1 + xp2 + . . .+ x+ 1)

y dado que p 6= 1 se sigue que p es una raz del polinomio

p(x) =xp 1x 1 = x

p1 + xp2 + . . .+ x+ 1

el cual mostramos que era irreducible en la seccion 9.4. Se sigue que p(x)

es el polinomio mnimo de p sobre Q, as que

[Q(p) : Q] = p 1

Veremos luego que en general [Q(n) : Q] = (n), donde (n) es ela funcionphi de Euler de n (as que (p) = p 1).

Ejemplo: Cuerpo de Descomposicion de xp 2, p un primo Sea pun primo y considere el cuerpo de descomposicion de xp 2. Si es una razde esta ecuacion, es decir, p = 2, entonces ()p = 2 donde es cualquier

p-esima raz de unidad. Dadp qie las soliciones de esta ecuacion son

p

2, una raiz p esima de unidad

donde como es usual el smbolo p

2 denota la p-esima raz real positiva de 2 si

deseamos ver estos elementos como numeros complejos, y denota a cualquiera

de las soluciones de xp = 2 si vemos estas races de manera abstracta. Dado

que el cociente de dos soluciones pp

2 y p

2 para una p-esima raz primitiva

de unidad p es tan solo p, el cuerpo de descomposicion de xp 2 sobre Q

contiene a Q( p

2, p). Por el contrario, todas las races de arriba yacen en

este campo, as que el cuerpos de descomposicion es precisamente

Q( p

2, p)

Este campo contiene campo ciclotomico de p-esimas races de unidad y es

generado sobre el por p

2, por tanto es una extension de grado a lo mas p. Se

14

sigue que el grado de esta extension sobre Q es p(p 1). Dado que tantoQ( p

2) y Q(p) son subcampos, el grado de la extension sobre Q es divisiblepor p y por p 1. Dado que estos dos numeros son primos entre s se sigueque el grado de extension es divisible por p(p 1) as que debemos tener

[Q( p

2, p) : Q] = p(p 1)

(Este es el corolario 22akdpadkspdas). Note en particular que themos proba-

do que xp2 permanece irreducible sobre Q(p), lo cual no es del todo obvio.Tenemos el siguiente diagrama de subcampos conocidos:

El caso especial p = 3 fue el ejemplo 3 anterior, donde simplemente

indicamos la races 3ras de unidad explcitamente.

Ahora regresamos al problema de robar que no exite diferencia en como

el cuerpo de descomposicion de un polinomio f(x) sobre un campo F es

construido. Como en el teorema 824432424234324 es conveniente enunciar el

resultado para un isomorfismo arbitrario : FF entre dos campos.

Teorema 5. Sea : FF un isomorfismo de campos. Sea f(x) F [x] unpolinomio y sea f (x) F [x] el polinomio obtenido al aplicar a los coefi-cientes de f(x). Sea E un cuerpo de descomposicion para f(x) sobre F y sea

E un cuerpo de descomposicion para f (x) sobre F . Entonces el isomorfismo

se extiende a un isomorfismo : EE , es decir, es restringido a F esel isomorfismo :

15

Demostracion. Procederemos por induccion en el grado n de f(x). Como en

la discusion antes del Teorema 82139102312093, recuerde que un isomorfismo

de un campo F a otro campo F induce un isomorfismo natural entre los

anillos polinomicos F [x] y F [x]. En particular, si f(x) y f (x) corresponden

el uno al otro bajo este isomorfismo entonces los factores irreducibles de f(x)

en F [x] corresponden a los factores irreducibles de f (x) en F [x]. Si f(x)

tiene todas sus races en F entonces f(x) se descompone completamente en

F[x] y f (x) se descompone completamente F [x] (con sus factores lineales

siendo las imagenes de los factores lineales para f(x)). Por tanto E = F y

E = F , y en este caso podramos tomar = . Esto muestra que el resultado

es verdadero para n = 1 y en el caso donde todos los factores irreducibles

de f(x) tienen grado 1. Asuma ahora por induccion que el teorema ha sido

probado para cualquier campo F , isomorfismo , y polinomio f(x) F [x]de grado < n. Sea p(x) un factore irreducible de f(x) en F[x] de grado al

menos 2 y sea p(x) el factor irreducible correspondiente de f (x) en F [x].

Si E es una raz de p(x) y E es una raz de p(x), entonces por elteorema 8123123 podemos extender a un isomorfismo : F ()F ():

Sea F1 = F (),F1 = F

(), tal que tenemos el isomorfismo : F1F 1.Tenemos f(x) = (x )f1(x) sobre F1 donde f1(x) tiene grado n 1 yf (x) = (x )f 1(x). El campo E es un cuerpo de descomposicion paraf1(x) sobre F1: todas las races de f1(x) estan en E y si estuviesen contenidos

en cualquier extension menor L que contiene a F1, entonces, dado que F1

contiene a , L tambien contendra todas las races de f(x), lo cual contradira

la minimalidad de E como un cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F.

Similarmente E es un cuerpo de descomposicion para f 1(x) sobre F1. Dado

que los grados de f1(x) y f1(x) son menores que n, por induccion existe

un mapeo : EE que extiende el isomorfismo : F1F 1. Esto da eldiagrama extendido:

16

Luego como el diagrama indica, restringido a F1 es el isomorfismo ,

asi que en particular restringido a F es restringido a F, el cual es ,

mostrando que es una extension , completando la prueba.

Corolario 6. Unicidad de los cuerpos de descomposicion Cualquiera dos

cuerpos de descomposicion para un polinomio f(x) F [x] sobre un campo Fson isomorficos.

Demostracion. Tome como el mapeo identidad de F en s mismo y E y E

como dos cuerpos de descomposicion para f(x)(= f (x))

Como mencionamos antes, este resultado justifica la terminologa de el

cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F, dado que cualquiera dos de ellos

son isomorficos. Los cuerpos de descomposicion juegan un rol natural en el

estudio de elementos algebraicos (Si usted esta adjuntando una raz de un

polinomio, Por que no adjuntar todas las races?) y por tanto toman un role

particularmente importante en la Teora de Galois. Terminamos esta seccion

con una discusion de campos de extension de F que contienen todas la races

de todos los polinomios sobre F.

Definicion. El campo F es llamada una cerradura algebraica de F si F es

algebraica sobre F y si todo polinomio f(x) F [x] se descompone completa-mente sobre F (As que se puede decir que F contiene todos los elementos

algebraicos sobre F)

Definicion. Se dice que un campo K es algebraicamente cerrado si todo poli-

nomio con coeficientes en K tiene una raz en K.

No es obvio que los campos cerrados algebraicamente existen ni que existe

una cerradura algebraica de un campo dado F (probaremos esto en pronto)

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Note que si K es algebraicamente cerrado, entonces de hecho todo f(x) K[x] tiene todas sus races en K, dado que por definicion f(x) tiene una

raz K, por tanto tiene un factor x en K[x]. El factor restantede f(x) entonces es un polinomio en K[x], por tanto tiene una raz, as que

tiene un factor lneal, etc., as que f(x) debe descomponerse completamente.

Por tanto si K es cerrado algebraicamente, entonces K en en s mismo una

cerradura algebraica de K y el recproco es tambien obvio, as que K = K si

y solo si K es cerrado algebraicamente. El siguiente resultado muestra que el

proceso de tomar la cerradura algebraica.en realidad para luego de un paso

- tomar la cerradura algebraica de una cerradura algebraica no da un campo

mator: el campo es ya algebraicamente cerrado (simbolicamente: F = F )

Proposicion 7. Sea F una cerradura algebraica de F. Entonces F es cerrado

algebraicamente.

Demostracion. Sea f(x) un polinomio den F [x] y sea una raz de f(x).

Entonces genera una extension algebraica F () de F , y F es algebraica

sobre F. Por el teorema 20!!!, F () es algebraica sobre F as que en particular

su elemento es algebraico sobre F. Pero entonces F , mostrando que Fes cerrado algebraicamente.

Dado un campo F ya hemos mostrado como construir extensiones (finitas)

de F que contengan todas las races de un polinomio dado f(x) F [x]. Intu-itivamente, una cerradura algebraica de F es dada por el campo generado

por todos estos subcampos. La dificultada con es generado donde?, dado

que no todos son subcampos de un campo dado. Para una coleccion finita de

polinomios f1(x), . . . , fk(x), podemos identificar sus cuerpos de descomposi-

cion como subampos de un cuerpo descomposicion del polinomio producto

f1(x) . . . fk(x), pero la misma idea usada para un numero infinito de poli-

nomios requiere numerosas identificaciones bookkeeping!!! 2una aplicacion

del Lema de Zorn. Construiremos en lugar de ello una cerradura algebraica

de F construyendo primero un campo cerrado algebraicamente que contiene

a F. La prueba usa un idea astuta de Artin el cual resuelve elegantemente

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el problema de bookkeepingde construir un campo que contiene las races

apropiadas de polinomios (el cual tambien se apoya finalmente en el Lema

de Zorn) al introducir una variable separada para todo polinomio.

Proposicion 8. Para cualquier campo F existe un campo K cerrado alge-

braicamente que contiene a F

Demostracion. Para todo polinomio monico no constante f = f(x) con co-

eficientes en F, denote xf una incognita y considere el anillo polinomico

F [. . . , xf , . . .] generado sobre F por las variables xf . En este anillo polinomi-

co considere el ideal I generado por los polinomios f(xf ). Si este ideal no es

propio, entonces 1 es un elemento del ideal, por tanto tenemos la relacion

g1f1(xf1) + g2f2(xf2) + . . .+ gnfn(xfn) = 1

donde los gi,i = 1, 2, . . . , n son polinomios en los xf . Para i = 1, 2, . . . , n

sea xfi = xi y sea xn+1, . . . , xm el resto de variables que aparecen en los

polinomios gj, j = 1, 2, . . . , n. Entonces la relacion de antes sera

g1(x1, x2, . . . , xm)f1(x1) + . . .+ gn(x1, x2, . . . , xm)fn(xn) = 1

Sea F una extension finita de F que contiene una raz i de fi(x) para i =

1, 2, . . . , n. Haciendo xi = i, i = 1, 2, . . . , n y haciendo xn+1 = . . . = xm = 0,

digamos, en la ecuacion polinomica de arriba implicara que 0 = 1 en F ,

claramente imposible. Dado que el ideal I es un ideal propio, esta contenido

en un ideal maximo M (aqu es donde el torema de Zorn es usado). Entonces

el cociente

K1 = F [. . . , xf , . . .]/M

es un campo que contiene a (una copia isomorfica de) F. Cada uno de los

polinomios f tiene una raz en K1 por construccion, a saber la imagen de

xf , dado que f(xf ) I M . Hemos construido un campo K1 en el cualtodo polinomio con coeficientes de F tiene una raz. Realizando la misma

construccion con K1 en lugar de F da un campo K2 que contiene a K1 en el

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cual todos los polinomios con coeficientes de K1 tiene una raz. Continuando

de este modo obtenemos una sucesion de campos

F = K0 K1 K2 . . . Kj Kj+1 . . .

donde todo polinomio con coeficientes en Kj tiene una raz en Kj+1, j =

0, 1, . . .. Sea

K = j0Kjla union de estos campos. Entonces K es claramente un campo que contiene

a F. Dado que K es la union de campos Kj, todos los coeficientes de todo

polinomio h(x) en K[x] yacen en algun campo KN para N suficientemente

grande. Pero entonces h(x) tiene una raz en KN+1, as que tiene una raz en

K. Se sigue que K es cerrado algebraicamente, completando la prueba.

Ahora usamos el campo cerrado algebraicamente que contiene a F para

construir una cerradura algebraica de F:

Proposicion 9. Sea K un campo cerrado algebraicamente y sea F un sub-

campo de K. Entonces la coleccion de elementos F de K que son algebraicos

sobre F es una cerradura algebraica de F. Una cerradura algebraica de F es

unica con respecto a isomorfismos.

Demostracion. Por definicion, F es una extension algebraica de F. Todo poli-

nomio f(x) F [x] se descompone completamente sobre K en factores linealesx (lo mismo es verdad para todo polinomio par en K[x]). Pero cada es una raz de f(x), as que es algebraica sobre F, por tanto es un elemento

de F . Se sigue que todos los factores lineales x tiene coeficientes en F ,es decir, f(x) se descompone completamente en F [x] y F es una cerradura

algebraica de F. La unicidad (con respecto a isomorfismos) de la cerradura

algebraica es natural en vista de la unicidad (respecto a isomorfismos) de

cuerpos de descomposicion, y es probado siguiendo los mismos lineamientos

junto con una aplicacion del Lema de Zorn y sera omitido

Probaremos mas adelante usando la teora de Galois el siguiente resultado

(las pruebas puramente anlticas usando analisis complejo tambien existen)

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Teorema 10. (Teorema Fundamental del Algebra) El campo C es algebraica-mente cerrado.

Por la proposicion 9, obtenemos inmediatamente:

Corolario 11. El campo C contiene una cerradura algebraica para cualquierde sus subcampos. En particular, Q, la coleccion de numeros complejos alge-braicos sobre Q, es una cerradura algebraica de Q.

El punto de estas consideraciones es que todos los calculos que involucran

elementos algebraicos sobre un campo F podrian ser vistos como tomando

lugar en un campo (amplio), a saber F . Similarmente, podemos hablar de

manera sensata de la composicion de cualquier coleccion de extensiones al-

gebraicas viendo todos los subcampos de una cerradura algebraica. En el caso

de Q o extensiones finitas de Q podriamos considerar todos nuestros calculoscomo realizados en C.

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