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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

William Mauricio López Villavicencio

Quinto Nivel


CAPITULO 3

1.46 Calcule la salida de un sistema con respuesta impulsional nu5.0nh

n

ante una entrada

3nununx . Repita el procedimiento para

nu5.0nhn

.

2nu5.01nu5.0nu5.0ny

nu5.02nnu5.01nnu5.0nny

nu5.02n1nnny

2n1nnnx

nhnxny

2n1nn

nnn

n

2nu5.01nu5.0nu5.0ny

nu5.02nnu5.01nnu5.0nny

nu5.02n1nnny

2n1nnnx

nhnxny

2n1nn

nnn

n

1.47 Dadas las secuencias siguientes:

,1,2,3,5nw;2.0,5,3,1ny;6,4,2,0,1,2,3nx

Calcule y represente las siguientes secuencias:


1.48 Calcule la autocorrelación de la respuesta del sistema L.I.T., causal definido por el diagrama

de bloques de la Figura 1.31. ¿Para qué desplazamiento (‘lag’) será máxima la auto

correlación?


++

-b1-a1

z-1

-ba y(n)x(n)

( ) ( )

( ) ( ) ( )k

f n y n

y n y n n k

1

2

1

2

1

2

( 3) ( ) ( 3) (1)(0) 3(0) 5(0) ( 0.2)0 04

( 2) ( ) ( 2) (1)(1) 3(0) 5(0) ( 0.2)(0) 1

( 1) ( ) ( 1) (1)(2) 3(1) 5(0) ( 0.2)(0) 5

(0) ( ) ( ) (1)3 3(2) 5(1) ( 0.2)0 14

n

n

n

n

y y n n

y y n n

y y n n

y y n n

1

2

1

2

(1) ( ) ( 1) (1)( 5) 3(3) 5(2) ( 0.2)(1) 13.8

( ) 0,1,5,14,13.8

n

y y n n

f n

GRÁFICOS:

0 1-1

-2-3 n

4

1.82

-1

2 3

5

6

a(n)

0 1-1-2-3 2 3

b(n)

-0.4

-3

-2

0 1-1-2-3 2 3

c(n)6

-3

-2

22

4

1.8

4

0 1

-1-2-3

2 3

d(n)4.32

-0.72

-1.44

1.44

2.88

-2.16


0 -0.2

-1-2-3

e(n)

n

12.4

23

-14

4.6

1

1.49 Determine para que valores , de la señal njenx

es periódica. ¿Cuál es el periodo para

6

?

( )

( )

2

2

0

j n

j n j n NO j n j n

j n

x n e

e e e e

NO

NO

e o

2

2 2 12

6

12

oT

To

T

Como la función seno y coseno son periódicos cada múltiplo de 2π, entonces la señal x(n) es periódica

para cualquier valor de θ.

12T

1.50 Calcule la correlación de las secuencias y.


1.51 Un sistema de procesado digital tiene un diagrama de bloques mostrado en la Figura 1.32.

Suponiendo que los convertidores A/D y D/A son ideales y que la frecuencia de muestreo es de

300 Hz., determinar la salida y(t) si la entrada al sistema viene dada por la siguiente expresión:

t150sent500sen2t1100cos3ty

Hz550F1100 11

Hz250F500 22

Hz75F150 33

Hz150ftenemosHz300f Nyquists

Por lo tanto el primero y el segundo término no cumplen con el Teorema de muestreo, produciendo

aliasing.

n2

senn3

sen2n6

7cos3ny

n2

senn3

5sen2n

3

11cos3ny

n300

150senn

300

500sen2n

300

1100cos3ny

4

1fy

6

1f,

12

7f 321

t150sent100sen2t175cos3tyr


Si como etapa previa al conversor A/D se hubiese colocado con un filtro antialiasing que eliminase todas

las frecuencias por encima de 100 Hz. ¿Qué se tendría a la salida? ¿Y si el filtro antialiasing se coloca

después de A/D? Justifique su respuesta.

1.52 Considere el esquema de la Figura 1.33. Calcule la ecuación en diferencias del sistema y

determine si el sistema es causal. ¿Se trata de un sistema L.I.T.?

Para y(0) depende de x(1) no es casual.

1.53 La seña analógica se muestrea con un periodo de muestreo de 2ms. Su salida se hace

pasar por un conversor D/A ideal. Determine la señal obtenida.

t950cos2t50cost1050sentx

El primero y el tercer término no cumplen con el Teorema de muestreo, produciendo aliasing.

1.54 Evaluando directamente la suma de convolución, determinar la respuesta al escalón de un

sistema L.I.T., cuya respuesta al impulso es nuanh n

con 1a

.


k

knukhny

nunhny

Como la función escalón u(n – k) será distinto de cero para n k y, por tanto,

n

k

k

n

k

kuany

khny

1.55 Determine cual es la salida y(n) de un sistema L.I.T., ante una entrada del tipo jwnAenx

con n .Comente la importancia de este resultado.

1.56 Un sistema causal, con condiciones iniciales nulas viene definido por la siguiente ecuación en

diferencias nx1nnyny

.

a) Calcule la respuesta impulsional del sistema y proporcione una expresión general para la

misma.

b) ¿Es invariante temporal?


1.57 Un periodo de la señal analógica t52cos2tx

(t en segundos) se muestrea con una frecuencia

de 250 Hz.

a) Determine los valores de x(n) obtenidos si se emplea un conversor A/D bipolar de 8 bits

de cuantización por redondeo cuyo rango de entrada es el doble de la amplitud pico a pico

de x(t).

b) ¿Cuál es el rango de entrada mínimo que debe tener el conversor para que no se produzca

ruido de sobrecarga con esta señal de entrada?

a)

b)

Re=8

R=

R=31.25*10^-3

1.59 Comente cada uno de los siguientes párrafos indicando si son ciertos o falsos:

“Una de las principales aplicaciones de los filtros digitales es su utilización en las etapas de

conversión A/D y D/A. estos se utilizan para evitar que se produzca solapamiento

frecuencial cuando no se verifica el Teorema de muestreo, y también para eliminar las

imágenes del espectro de conversión D/A como consecuencia de no utilizar un

reconstructor ideal”.


La conversión D/A se realiza normalmente combinando un conversor D/A con un circuito de muestreo

seguido de un filtro pasa bajo ya que el reconstructor ideal es no causal y de duración infinita

“Para un sistema lineal invariante temporal causal, podemos calcular su salida en régimen

permanente ante una entrada tipo nuwncosAnx

, a partir de su respuesta de

frecuencia, y ésta coincidirá con la salida del sistema sólo si el sistema es estable”.

Un sistema es causal si Ɏ , el valor de y( )es función únicamente de valores de la secuencia de entrada

y salida para n≤ , a diferencia de un sistema no causal que también depende de las muestras futuras.

“Para un sistema lineal invariante temporal, podemos calcular su salida en régimen permanente

ante una entrada tipo nuwncosAnx

, a partir de su respuesta en frecuencia, y ésta

coincidirá con la salida del sistema, independientemente de que el sistema sea estable o no. La

única condición necesaria es que el sistema sea L.I.T.”.

Se puede definir el sistema en tiempo discreto como toda transformación que realiza un mapeado entre la

secuencia de entrada x(n) en otra de salida y(n): y(n)=T{x(n)}

1.61 Calcule la expresión general de la auto correlación de la señal nu2nx n

. A partir de ella

determine el valor de la energía de dicha señal.


CAPITULO 2

2.25.- Dadas las siguientes ecuaciones en diferencia determine la correspondiente respuesta en

frecuencia en magnitud de:

a) Y(n)=X(n)-X(n-2)-0.81Y(n-2)

b) Y(n)=X(n)-X(n-N) con N par

a) Y(n)=X(n)-X(n-2)-0.81Y(n-2)

b) Y(n)=X(n)-X(n-N) con N par

N=2

2.28. Determine la salida del sistema, en estado estacionario, definido por h(n) cuando la entrada es

x(n):


:


:

:

2.29. Dada la secuencia x(n) definida como {

, 2, 1, 0, 0, 0,0} determinar:

a) La respuesta de frecuencia x ( ).

b) Su transformada discreta de Fourier de orden N, ¿Qué tienen en común los resultados

de a) y b)?

Son los mismos resultados determinados uno por términos y otro por sumatoria

2.30. Calcule las DFT de N puntos (N par) de las siguientes señales:

a) x(n) = δ(n)

1 0

b) x(n) =

-1 en otro caso


a)

b)

0

+

2.32 una señal de tiempo continuo x(t)cuya frecuencia máxima es de 4kHz se muestrea a 10kHz.

Seguidamente, con la señal muestreada se determina su DFT de 1000 puntos. ¿a que frecuencia

corresponden los términos 150 y 180 de esta DFT?.

2.34 Determinar la DTF del siguiente sistema lineal

a)


El sistema al ser periódica en N=6 cumple en todos los puntos excepto en los valores menores a estos por

lo tanto

Aplicando la DTF

b)

El sistema al ser periódica en N=12 cumple en todos los puntos excepto en los valores menores a estos

por lo tanto

Aplicando la DTF

2.35. Dada la secuencia x(n) diferente de 0 en el intervalo 0≤n≤N-1 cuya DFT de orden N es X(k).

A partir de dicha secuencia se obtiene y(n) de la siguiente forma

Determine y(k) relacionándola con la obtenida usando x(n).

DFT =N esto es igual x(k);

Y(k)=?

X( )=


CAPITULO 3

3.28. Dado un sistema discreto con la siguiente función de transferencia:

a) Determine la ecuación en diferencias que define el sistema.

b) Estudie su estabilidad.

c) Obtenga el módulo de la respuesta en frecuencia del sistema de forma aproximada.

a) Determine la ecuación en diferencias que define el sistema.

b) Estudie su estabilidad.

Los polos están dentro del circulo de radio 1 el sistema es estable.

c) Obtenga el módulo de la respuesta en frecuencia del sistema de forma aproximada.

3.30. Determine, usando la transformada Z, la convolución de las siguientes secuencias:

a)

b)


Primer caso:

Segundo caso:

3.31 Determine la transformada z y la ROC de las siguientes señales:

a)

ROC:

b)


ROC:

c)

3.32. Se tiene un sistema LIT causal que, cuando la entrada es el escalón unitario, proporciona la

siguiente salida

. Determine la respuesta impulsional de dicho sistema.

¿Qué entrada se debe tener para obtener a la salida un escalón unitario?

Sistemas causales estos sistemas empiezan en cero y se extienden hasta el infinito.


¿Qué entrada se debe tener para obtener a la salida un escalón unitario?

3.33. Se tiene un sistema cuya respuesta impulsional es . Implemente

dicho sistema con el menor número de retardos. ¿Qué se puede comentar sobre la estabilidad de

dicho sistema y la posición de los polos de su transformada z?

El sistema a implementar esta representado por H(z)

3.34. Se tiene un sistema que, cuando la entrada es el escalón unitario se obtiene como salida

.

Determine la respuesta impulsional del sistema aplicando transformadas Z inversas.


3.35 Determine la secuencia temporal (causales en los dos primeros casos), que da lugar a las

siguientes transformadas z:

3.36. Determine la secuencia temporal que da lugar a la siguiente transformada Z


3.37. Dado el sistema LIT definido por:

Y sabiendo que la entrada a dicho sistema es el escalón unitario, determine la salida aplicando:

a) Convolución de .

b) Transformadas Z inversas.


3.38. Dado el sistema continuo definido por su función de transferencia en el dominio de Laplace

como

Se desea determinar la función de transferencia discreta correspondiente a dicho sistema al aplicar la

técnica de invariancia al impulso.

3.39 Dada la secuencia causal x(n) con transformada z, x(z), determine la transformada de las

siguientes secuencias:

La respuesta impulsional de este sistema vendría determinada por:


Los polos del sistema están claros: . En cuanto a los ceros:

k=0, se compensa con el polo z=1.

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