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Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

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CCaappiittuulloo NNºº 1111::

EEQQUUIILLIIBBRRIIOO YY EELLAASSTTIICCIIDDAADD

Condiciones de Equilibrio:

Primera condición de equilibrio:

Una partícula está en equilibrio -es decir, no tiene aceleración- en un marco de referencia inercial si la

suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero. La expresión equivalente para un

cuerpo extendido es que el centro de masa del cuerpo tiene aceleración cero cuando la resultante de

todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero, en términos de vectores y

componentes:

Segunda condición de equilibrio:

Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener tendencia a comenzar a girar alrededor de ningún punto,

por lo tanto la suma de los momentos debidos a todas las fuerzas externas que actúan sobre el

cuerpo debe ser cero.

En este capítulo, aplicaremos las dos condiciones de equilibrio a situaciones en las que un cuerpo

rígido está en reposo (sin traslación ni rotación). Se dice que tal cuerpo está en equilibrio estático.

Sin embargo, las mismas condiciones son válidas para un cuerpo rígido en movimiento traslacional

uniforme (sin rotación), como un avión que vuela con rapidez, dirección y altura constantes. Un

cuerpo así está en equilibrio pero no estático.

Para estar en equilibrio estático, un cuerpo en reposo debe satisfacer ambas condiciones del

equilibrio: no tener la tendencia a acelerar ni empezar a girar.

Ejemplos:

a)

Condiciones de equilibrio:

Se cumple la Primera Condición:

Fuerza total = 0, así que un cuerpo en reposo no tiene la

tendencia a empezar a moverse.

Se cumple la Segunda Condición:

El Momento total alrededor del eje = 0, así que un cuerpo en

reposo no tiene la tendencia a empezar a moverse.

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL

FFaaccuullttaadd RReeggiioonnaall RRoossaarriioo

UUDDBB FFííssiiccaa

CCáátteeddrraa FFÍÍSSIICCAA II

∑F=0

∑Fx=0 ∑Fy=0

∑=0


2

Este cuerpo está en equilibrio Estático

b)


NO se cumple la Primera Condición:

Hay una fuerza neta hacia arriba, así que un cuerpo en reposo

empezara a moverse hacia arriba.

Se cumple la Segunda Condición:

El Momento total alrededor del eje = 0, así que un cuerpo en

reposo no tiene la tendencia a empezar a moverse.

Este cuerpo tiene la tendencia a acelerar, pero no tiene una tendencia a empezar a girar.

c)


Se cumple la Primera Condición:

Fuerza total = 0, así que un cuerpo en reposo no tiene la

tendencia a empezar a moverse como un todo.

No se cumple la Segunda Condición:

Hay un Momento total en sentido horario alrededor del eje, así

que un cuerpo en reposo no tiene la tendencia a empezar a

girar en sentido horario.

Este cuerpo no tiene la tendencia a acelerar, pero tiene tendencia a empezar a girar.

Ejemplo Nº 1:

Un tablero de 80 N que tiene una longitud de 12 m

está apoyado en dos soportes, cada uno de los

cuales dista 1,0 m del extremo del tablero. Se

coloca un bloque de 300 N sobre el tablero a 3,0 m

de un extremo, como se indica en la Figura 1.

Hallar la fuerza ejercida por cada soporte sobre el

tablero.

A = 0

80 N . 5,0 m + 300 N . 8,0 m - RB . 10 m = 0

400 Nm + 2400 Nm = RB . 10 m

RB = 280N

B = 0

- 80 N . 5,0 m - 300 N . 2,0 m + RA . 10 m = 0

RA . 10 m = 400 Nm + 600 Nm

RA = 100 N

Verificación

FY = 0

RA + RB - P - PC = 0

100 N + 280 N - 80 N - 300 N = 0

r

2F

Fr/2

PC = 300 N P = 80 N

1,0 m 10 m 1,0 m

3,0 m

Figura 1


3

Ejemplo Nº 2:

Una tabla uniforme de longitud L = 6,0 m y masa M =90 kg

descansa sobre dos caballetes separados entre sí por una

distancia d = 2,0 m y equidistantes del centro (Figura 2). Un

albañil trata de pararse a 0,80 m del extremo derecho de la

tabla. ¿Qué masa máxima puede tener el albañil para que la

tabla no gire?

El caso límite para que la tabla no gire es que la Reacción en el

caballete de la izquierda sea nula.

B = 0

mal . g . 1,2 m - M . g . 1,0 m = 0

mal . 1,2 m = M . 1,0 m

mal = 90 kg . 1,0 m / 1,2 m

mbail = 75 kg

Ejemplo Nº 3:

Un bloque de 500 g, suspendido de una varilla uniforme de 1,0 N

de peso y 1,0 m de longitud. La varilla se cuelga del techo con

una cuerda vertical en cada extremo como muestra la Figura 3,

quedando horizontal. Calcula la tensión en las cuerdas A y B.

Siendo = 36,87o y =53,13

o

PV = 1,00 N

PB = m . g = 4,9 N

Fx = 0

TD . cos - TC cos = 0

TD . 0,800 - TC . 0,600 = 0

TD = TC . 0,600/ 0,800

TD = 0,750 .TC

Fy = 0

TD . sen° + TC . sen- P = 0

0,750 .TC . 0,600 + TC . 0,800= P

0,750 .TC . 0,600 + TC . 0,800= P

1,25 .TC = 4,9 N

TC = 3,92 N TCy = TC . sen = 3,92 N . 0,600 = 2,352 N

TD = 2,94 N TDy = TD . sen = 2,94 N . 0,800 = 2,352 N

A = 0

TCy . 0,20 m + TDy . 0,80 m + 1,0 N . 0,50 m - FB . 1,0 m = 0

2,352 N . 0,20 m + 2,352 N . 0,80 m + 1,0 N . 0,50 m = FB . 1,0 m

2,852 N . m = FB . 1,0 m

FB = 2,852 N

FA = FB = 2,9 N

Figura 2

6,0 m

2,0 m

0,80 m

Pal

2,0 m 2,0 m 0,80 m 1,2 m

P RA RB

m= 50 g

0,20 0,60 m 0,20

A B

Figura 3

C D

PB

C D


4

Elasticidad

El salto BUNGEE utiliza una larga cuerda elástica que se estira hasta

que llega a una longitud máxima que es proporcional al peso del

saltador. La elasticidad de la cuerda determina la amplitud de las

vibraciones resultantes. Si se excede el límite elástico de la cuerda,

ésta se romperá.

Un cuerpo elástico es aquel que regresa a su forma original

después de una deformación.

Un cuerpo inelástico es aquel que no regresa a su forma original

después de una deformación.

Una colisión elástica no pierde energía. La deformación en la

colisión se restaura por completo.

En una colisión inelástica se pierde energía. La deformación puede

ser permanente.

Un resorte elástico

Un resorte es un ejemplo de un cuerpo elástico que se puede deformar al estirarse.

Una fuerza restauradora, F, actúa en la dirección opuesta al

desplazamiento del cuerpo en oscilación.

F = -k . x

Ley de Hooke

Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento.

La constante de resorte k es una propiedad del resorte dada por:

K = F

x

La constante de resorte k es una medida de la elasticidad del resorte.

Esfuerzo y deformación Esfuerzo: se refiere a la causa de una deformación.

Deformación: se refiere al efecto.

La fuerza descendente F causa el desplazamiento x.

Por tanto:

El esfuerzo es la fuerza.

La deformación es la elongación.

F = -k . x


5

Tipos de esfuerzos

Esfuerzo y deformación longitudinales

Para alambres, varillas y barras, existe un esfuerzo longitudinal

F/A que produce un cambio en longitud por unidad de

longitud.

En tales casos:

Ejemplo Nº 4:

Un alambre de acero de 10,0 m de largo y 2,00 mm de diámetro se une al

techo de un extremo y del otro se fija un de 200 N como puede

observarse en la Figura 4. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado?

El área del alambre:

A = .d2/4 = 3,14 .10

-6 m

2

Esfuerzo = F = 200 N = 6,37 . 107 Pa

A 3,14 .10-6

m2

Figura 4

Un esfuerzo de tracción ocurre

cuando fuerzas iguales y opuestas se

dirigen alejándose mutuamente.

Un esfuerzo de compresión ocurre

cuando fuerzas iguales y opuestas se

dirigen una hacia la otra.

Esfuerzo = F

A

Deformación = L .

L


6

Ejemplo Nº 5:

Un alambre de acero de 10 m se estira 3,08 mm debido a la carga de 200 N (Ver Figura 4)

¿Cuál es la deformación longitudinal?

Dado: L = 10 m; DL = 3,08 mm

Deformación = L . = 0,00308 m

L 10 m

Deformación longitudinal = 3,1 .10

-4

El límite elástico El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar deformado

permanentemente.

Si el esfuerzo supera el límite elástico, la longitud final será mayor que los 2,0 m iniciales.

Resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin romperse.

Si el esfuerzo supera la resistencia a la rotura, ¿la cuerda se rompe?

Ejemplo Nº 6:

El límite elástico del acero de la barra de la figuras es 2,48 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que

puede soportar sin superar el límite elástico? (Ver Figura 4)

Recuerde: A = 3,14 . 10-6

m2

Esfuerzo = F = 2,48 . 108 Pa

A

F = (2,48 . 108 Pa) A

F = (2,48 . 108

Pa)(3,14 . 10-6

m2)

F = 0,78 KN

Ejemplo Nº 7:

La resistencia a la rotura para el acero es 4089 . 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar

sin romper el alambre? (Ver Figura 4)

A = 3,14 x 10-6

m2

Esfuerzo = F = 4,89 . 108 Pa

A

F = (4,89 . 108 Pa) . A

F = (4,89 . 108

Pa) . (3,14 . 10-6

m2)

F = 1,54 KN


7

El módulo de elasticidad Siempre que el límite elástico no se supere, una deformación elástica (deformación) es directamente

proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo).

Ejemplo Nº 8:

En el Ejemplo 4, el esfuerzo aplicado al alambre de acero fue 6,37 x 107 Pa y la deformación fue 3,08 x

10-4

. Calcular el módulo de elasticidad para el acero (Ver Figura 4)

Modulo de elasticidad = Esfuerzo = 6,37 x 10

7 Pa

Deformación 3,08 x 10-4

Módulo = 2,07 x 10

11 Pa

Este módulo de elasticidad longitudinal se llama Módulo de Young (Y)

Módulo de Young Para materiales cuya longitud es mucho mayor que el ancho o espesor, se tiene preocupación por el

módulo longitudinal de elasticidad, o módulo de Young (Y).

Ejemplo Nº 9:

El módulo de Young para el latón es 8,96 x 1011

Pa. Un peso de 120 N se une a un alambre de latón de

8,0 m de largo; encuentre el aumento en longitud. El diámetro es 1,50 mm. (Ver Figura 5)

Primero calcular el área del alambre:

A = p . d2/4 = p . (1,50 . 10

-4 m)

2/4

A = 1,77 x 10-6

m2

Y = F/A . = F . L .

L/L A . L

L = F . L

A . Y

L = 120 N . 8,0 m .

1,77 x 10-6

m2 A . 8,96 x 10

11 Pa

ΔL=0,61 mm

Figura 5

Modulo de elasticidad = Esfuerzo .

Deformación

Unidad: Pa

Modulo de Young = Esfuerzo .

Deformación

Y = F/A . = F . L .

L/L A . L


8

Elasticidad volumétrica No todas las deformaciones son lineales. A veces un

esfuerzo aplicado F/A resulta en una disminución del

volumen. En tales casos, existe un módulo volumétrico B

de elasticidad.

Las unidades siguen siendo pascales (Pa) pues la

deformación es adimensional.

El límite elástico:

El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar

permanentemente deformado

La resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el mayor estrés que un cuerpo puede experimentar sin romperse.

Problemas Propuestos:

1) El bloque de la Figura 6 de 30 kg es arrastrada sobre una superficie

horizontal con rapidez constante por una fuerza F. El coeficiente de

fricción cinética es de 0,35.

a) Calcule la magnitud de F.

b) Determine el valor de h con el cual el boque apenas

comenzará a volcarse.

2) Dos vigas uniformes idénticas que pesan 260 N cada una están

unidas por un extremo con una bisagra sin fricción. Una barra

horizontal ligera unida a los puntos medios de las barras mantiene

un ángulo de 53° entre las vigas, las cuales cuelgan del techo

mediante alambres verticales, formando una "V", como muestra la

Figura 7.

a) ¿Qué fuerza ejerce la barra horizontal sobre cada viga?

b) ¿La barra está sometida a tensión o a compresión?

c) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) ejerce la bisagra A sobre

cada viga?

3) Dos amigos suben un tramo de escalera cargando una caja de 200

kg. La caja mide 1,20 m de longitud y 0,50 m de altura, y el centro de

gravedad está en su centro. Las escaleras forman un ángulo de 45°

respecto al piso. La caja también se carga inclinada 45°, de modo que

su base está paralela a la pendiente de las escaleras (como muestra la

Figura 8). Si la fuerza que cada persona aplica es vertical,

a) ¿Qué magnitud tiene cada fuerza?

b) ¿Es mejor ser la persona de: arriba o la de abajo?

B = Esfuerzo volumétrico = - F /A

Deformación volumétrica V/V

Figura 8

45o

200 kg

A = 53

o

Figura 7

F

h

0, 25 m

0,

50

m

CM

Figura 6


9

4) Una viga uniforme de 250 kg se sostiene con un cable unido al

techo, como muestra la Figura 9. El extremo inferior de la viga

descansa en el piso.

a) Calcule la tensión en el cable.

b) ¿Qué coeficiente de fricción estática mínimo debe

haber entre la viga y el piso para que la viga permanezca

en esta posición?

5) Un pequeño dado de 12 Kg, sujeta al extremo de un alambre

de aluminio con longitud no estirada de 0,50 m, se gira en un

círculo vertical con rapidez angular constante de 120 rpm. El área

transversal del alambre es de 0,014 cm2. Calcula el alargamiento

del alambre cuando el dado está:

a) En el punto más bajo del círculo;

b) En el punto más alto de su trayectoria.

Obs.: Módulo de Young del Aluminio: 0,70 x 1011

N/m2

6) La ley de Hooke para esfuerzos de tensión puede escribirse como Fx = K . x, donde x es el cambio de

longitud del objeto respecto de su longitud de equilibrio y k es la constante elástica. ¿Cuánto vale la

constante elástica de una varilla de longitud lo, área transversal A y módulo de Young Y?

7) Un alambre metálico de 3,50 m de longitud y 0,70 mm de diámetro se sometió a esta prueba: se

colgó de él un cuerpo de 20,0 N de peso para tensarlo, y se leyó en una escala la posición del extremo

inferior del alambre después de agregar una carga de peso variable, obteniéndose los resultados de la

tabla siguiente:

Carga agregada

(N)

Lectura en la escala

(cm)

0 3,02

10,0 3,07

20,0 3,12

30,0 3,17

40,0 3,22

50,0 3,27

60,0 3,32

70,0 4,27

a) Calcular el valor del módulo de Young

b) El límite proporcional se observó cuando la escala marcaba 3,34 cm. Determinar el esfuerzo en

ese punto.

8) Del problema anterior grafique el aumento de longitud en

función de la carga agregada.

9) Una varilla de 1,05 m de longitud con peso despreciable Figura

10 está sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual

longitud. El área transversal de A es de 2,0 mm2, y la de B, 4,0 mm

2.

El módulo de Young del alambre A es de 1,80 x 1011

N/m2; el de B es

de 1,20 x 1011

N/m2 ¿En qué punto de la varilla debe colgarse una

carga P a fin de producir:

a) Esfuerzos iguales en A y B

b) Deformaciones iguales en A y B

160o

40o

Figura 9

A B

Figura 10

1,05 m

P


10

10) Una barra de longitud L, sección A y módulo de Young Y se halla sometida a una tensión F.

Siendo E el esfuerzo y D la deformación, deduce la expresión de la energía potencial elástica por

unidad de volumen de la barra en función de E y D.

11) El juego de la Figura 11 consiste en pequeños aviones unidos a

varillas de acero de 15,0 m de longitud y área transversal de 8,00 cm2,

a) ¿Cuánto se estira la varilla cuando el juego está en reposo?

(Suponga que cada avión con dos personas en él, pesa 1900 N en

total).

b) En movimiento, el juego tiene una rapidez angular máxima de

7,50 rpm. ¿Cuánto se estira la varilla entonces?

Obs.: Módulo de Young del Acero: 2,00 x 1011

N/m2

12) La resistencia a la compresión de nuestros huesos es importante en

la vida diaria. El módulo de Young de los huesos es cerca de 1,4 x 1010

N/m2. Los huesos sólo pueden sufrir un cambio de longitud del 1% antes

de romperse, ¿Qué fuerza máxima puede aplicarse a un hueso con área transversal mínima de 3 cm2?

(Esto corresponde aproximadamente a la tibia, en su punto más angosto.)

13) Una varilla de latón de 1,40 m de longitud y área transversal de 2,00 cm2 se sujeta por un extremo

al extremo de una varilla de níquel de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a

fuerzas iguales y opuestas de 4 x 104 N en sus extremos.

a) Calcula la longitud L de la varilla de níquel si el alargamiento de ambas varillas es el mismo,

b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?

Obs.: Módulo de Young del Latón: 9,00 x 1010

N/m2

Módulo de Young del Níquel: 2,10 x 1011

N/m2

14) En el problema anterior verifica que la deformación que sufre la varilla de latón es de 0,22 % y la

de níquel 0,19 %

15) Se cuelga una lámpara del extremo de un alambre vertical de aluminio. La lámpara estira el

alambre 0,180 mm, y el esfuerzo es proporcional a la deformación. Determina cuánto se habría estirado

el alambre

a) ¿Si tuviera el doble de longitud?

b) ¿Si tuviera la misma longitud pero el doble de diámetro?

16) Una barra con área transversal A se somete a fuerzas de

tensión F iguales y opuestas en sus extremos. Considere un

plano que atraviesa la barra formando un ángulo con el

plano perpendicular a la barra, como puede apreciarse en la

Figura 12. Verifica que:

a) El esfuerzo de tensión (normal) hay en este plano es

igual a F . cos2/A

b) El esfuerzo de corte (tangencial) hay en el plano es igual a F . cossen/A

c) Para elesfuerzo de tensión es máximo.

17) Un contrabandista produce etanol (alcohol etílico) puro durante la noche y lo almacena en un

tanque de acero inoxidable cilíndrico de 0,30 m de diámetro con un pistón hermético en la parte

superior. El volumen total del tanque es de 250 litros .En un intento por meter un poco más en el

tanque, el contrabandista apila 1420 kg de lingotes de plomo sobre el pistón. ¿Qué volumen adicional

de etanol puede meter el contrabandista en el tanque? (Suponga que la pared del tanque es

perfectamente rígida)

Figura 11

F F

A

Figura 12

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