capitulo 7-columna aislada flexocomprimida

5/11/2018 Capitulo 7-Columna Aislada Flexocomprimida - slidepdf.com

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DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO

Columnas Aisladas

Flexocomprimidas

Oscar de Buen López de Heredia



DISEÑO

DE ESTRUCTURAS DE ACERO

COLUMNAS AISLADAS

FLEXOCOMPRIMIDAS

Oscar de Buen López de Heredia



© Derechos Reservados 2003Fundación ICA, A. C.

Av. del Parque No. 91

Colonia NápolesC.P. 03810 México, D.F.Tel. 52 72 99 91Ext. 2721-2722Fax.2753e-mail: [email protected]: [email protected]

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Derechos exclusivos de edición reservados para todos los países de habla hispana.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorizaciónescrita de los editores.

ISBN 968-5520-06-2

Impreso en México.

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Columnas aisladas flexocomprimidas

CAPITULO 7

INDICE

7.1 Introducción.......................................................................................................................................7

7.2 Columnas cortas...............................................................................................................................11

7.2.1 Resistencia de columnas cortas...............................................................................................12

7.2.1.1 Flexión en un plano....................................................................…............................12

7.2.1.1a Ecuaciones de interacción ..........................................................................12

7.2.1.2 Flexión biaxial..................................................................................….......................16

7.2.1.2a Ecuaciones de interacción.............................................................…............18

7.3 Columnas largas.......................................................................................................................….....26

7.3.1 Flexión en un plano. Comportamiento elástico............................................................…........29

7.3.1.1 Factor de amplificación (efecto Pδ)............................................................…............29

7.3.1.1.1 Flexión alrededor de los ejes de mayor

momento de inercia (x) ..............................................................…............32

7.3.2 Determinación de la resistencia máxima.........................................................................…...36

7.3.2.1 El pandeo lateral está impedido.........................................................................…....36

7.3.2.2 El pandeo lateral no está impedido....................................................................…....42

7.3.3 Ecuaciones generales de interacción.................................................................................…...42

7.3.4 Flexión alrededor de los ejes de menor momento de inercia (y) ...........................…...........43

7.3.5 Flexión biaxial................................................................................................................….....44

7.3.5.1 Resistencia máxima de columnas en flexocompresión biaxial.....................…..........44

7.3.6 Diseño de columnas en flexocompresión biaxial................................................................….46




7.3.6.1 Resistencia de columnas largas...............................................................................46

7.3.6.1.1 Ecuaciones de interacción lineales.......................................................46

7.3.6.1.2 Ecuaciones de interacción no lineales...............................................…49

7.4 Especificaciones de diseño .............................................................................................................53

7.4.1 Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de

estructuras metálicas, Reglamento de Construcciones para el D.F.......................................53

7.4.1.1 Estados límite.............................................................................................................53

7.4.1.2 Determinación de los momentos de diseño Muox, Muoy, M*uox, M*uoy,...........….54

7.4.1.3 Dimensionamiento de las columnas que forman parte de estructuras

regulares....................................................................................................................54

7.4.1.3.1 Revisión de las secciones extremas........................................................54

7.4.1.3.2 Revisión de la columna completa............................................................56

7.4.2. Especificaciones AISC.........................................................................................................57

7.4.2.1 Especificación para diseño de edificios de acero

estructural. Diseño por esfuerzos permisibles y diseño plástico..........................57

7.4.2.1.a Diseño por esfuerzos permisibles...........................................................58

7.4.2.1b Diseño plástico........................................................................................60

7.4.2.2 Especificación para diseño de edificios de acero estructural por factores de carga y resistencia ..........................................................................62

7.4.2.2.1 Factores de amplificación ......................................................................62

7.4.2.2.2 Ecuaciones de interacción alternas .......................................................66

7.4.2.3 Comparación de las ecuaciones propuestas en las dos

especificaciones AISC........................................................................68

7.4.3 Normas canadienses ..................................................................................................................................70




7.4.3.1 Resistencia y estabilidad del miembro. Secciones de todas las clases,

excepto secciones H clase 1............................................................................…70

7.4.3.2 Resistencia y estabilidad del miembro. Secciones H clase1.................................…71

7.4.3.3 Valores de U1................................................................................................….....…71

7.4.3.3.1 Valores de ω1...................................................................…....................71

7.4.3.3.2 Efectos de segundo orden...............................…..................................72

7.5 Referencias.................................................................................................…..................................116



Columnas aisladas flexocomprimidas 7

CAPITULO 7. COLUMNAS AISLADAS FLEXOCOMPRIMIDAS

7.1 INTRODUCCIÓN

En las barras flexocomprimidas obran, al mismo tiempo, fuerzas normales de compresión ymomentos flexionantes, aplicados alrededor de uno o de los dos ejes centroidales yprincipales de las secciones transversales. En los libros de habla inglesa suelen designarse“vigas-columnas”; aquí se llaman columnas flexocomprimidas o, simplemente, columnas.

Casi todos los miembros de las estructuras están en esas condiciones, pues no suele haber en ellas ni columnas en compresión pura, ni vigas en flexión únicamente; sin embargo,cuando predomina la flexión y los efectos de la fuerza normal son pequeños o nulos, setratan como vigas (Capítulos 4 y 5), y cuando la flexión es despreciable y la barra trabajaprincipal o únicamente en compresión, como columnas comprimidas axialmente (Capítulo 2).

Entre los dos extremos hay toda una gama de posibles combinaciones.

Podrían estudiarse las barras flexocomprimidas y obtener de ellas, como casos particulares,vigas y columnas. Sin embargo, como tienen las características combinadas de ambas,complicadas por los diversos efectos secundarios originados por su interacción, el estudioteórico de su comportamiento es muy complejo, por lo que se ha seguido el camino contrario:una barra flexocomprimida se obtiene combinando una columna comprimida axialmente yuna viga en flexión pura, tomando en cuenta, además, de una manera generalmentesimplificada, la interacción de esas dos formas de trabajo.

En este capítulo se estudian sólo las barras flexocomprimidas de eje recto y sección

transversal constante, que constituyen la mayor parte de las columnas de los edificios y lascuerdas comprimidas de las armaduras, cuando actúan en ellas fuerzas aplicadas fuera delos nudos.

La flexión puede tener varios orígenes diferentes, lo que modifica la respuesta del elementoque la recibe, e introduce cambios en los procedimientos de diseño. En las columnas de losedificios no suele haber cargas transversales intermedias; la flexión se debe a momentosaplicados en sus extremos, a través de las uniones que las conectan con el resto de laestructura, producidos por las cargas verticales que soportan las vigas, o por accioneshorizontales, viento o sismo, que suelen considerarse concentradas en los pisos. En cambiola flexión en la cuerda de una armadura es originada, sobre todo, por fuerzas normales a sueje, aplicadas entre los extremos.

Se debe también, en casos poco frecuentes, a cargas paralelas al eje de la columna, que nocoinciden con él, como en columnas de edificios industriales que soportan trabes carril paragrúas móviles.




Cuando el eje de la barra se deforma, por efecto de las cargas transversales o de los paresen los extremos, la fuerza normal, que era axial en un principio, deja de serlo, y producemomentos flexionantes secundarios, proporcionales a su intensidad y a la magnitud de losdesplazamientos laterales del eje, por lo que la respuesta de las piezas flexocomprimidas noes nunca lineal, ni siquiera cuando el material que las compone cumple, todavía, la ley deHooke. La importancia de este fenómeno depende de la esbeltez de las piezas, de la

intensidad de la fuerza normal, del valor y signo de los momentos, y de las condiciones enlos extremos, pues todo ello hace que la columna se flexione en curvatura simple o doble,que haya, o no, desplazamientos transversales relativos entre sus extremos, y que lasrotaciones de éstos se aceleren o restrinjan.

Con la sola excepción de las piezas muy cortas, el comportamiento de las barrasflexocomprimidas constituye un problema de inestabilidad, pues la interacción de fuerza axialy flexión ocasiona, eventualmente, deformaciones laterales que crecen con más rapidez quelas cargas, y que siguen aumentando aunque éstas disminuyan, lo que caracteriza elcolapso. Este fenómeno se presenta aunque la columna esté flexionada alrededor de un soloeje y, ya sea por sus características geométricas o porque haya elementos exteriores que le

impidan salirse de él, se conserve en el plano de flexión original durante todo el proceso,pero su resistencia puede reducirse todavía más por pandeo lateral o local.

Han de considerarse varios estados límite; los principales son el pandeo local, cuando lascolumnas tienen paredes delgadas, la plastificación de la sección, o secciones, en las que lassolicitaciones son máximas, y la inestabilidad global de la barra. El pandeo local sueleevitarse limitando las relaciones ancho/grueso de los elementos planos por lo que, engeneral, después de comprobar esas relaciones, se revisan sólo la resistencia de la seccióna la plastificación, y la estabilidad de conjunto. Sin embargo, tiene que considerarse cuando,por algún motivo, se utilizan columnas de paredes delgadas.

La falla por inestabilidad puede adoptar diversas formas, que dependen de las acciones, lascondiciones de soporte lateral y el tipo de sección transversal. Uno de los aspectos másimportantes es la presencia (o ausencia) de un sistema de contraventeo que evite latraslación relativa de los extremos de la barra; cuando se presenta esa traslación, elproblema se estudia, más adecuadamente, en el contexto del comportamiento de conjuntode la estructura completa (Capítulo 9).

En columnas con extremos fijos lateralmente se identifican los casos siguientes (Fig. 7.1):

1. La flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia (o del de mayor inercia, perohay restricciones exteriores que impiden que la columna se salga del plano de flexión); elcolapso se produce por deformación excesiva en ese plano (casos a y c ).

2. La flexión actúa alrededor del eje de mayor momento de inercia; el elemento fallaflexionándose alrededor del eje de menor inercia y retorciéndose (caso b). Es similar alpandeo por flexotorsión de las vigas.

3. La flexión es biaxial; el colapso se presenta por flexotorsión (caso d ).

El último caso es el más general.




Fig.7.1 Modos de falla por inestabilidad

En la actualidad, las columnas se diseñan separándolas del resto de la estructura de la que

forman parte, y considerándolas sujetas a las fuerzas normales y momentos en los extremosque provienen del trabajo de conjunto. De esta manera, se tratan como elementos aislados,biarticulados, bajo las acciones determinadas con un análisis de la estructura completa.

Se cuenta con tres enfoques para incluir, en el diseño de las columnas, su interacción con elresto de la estructura. En el primero se modifica el diseño de la columna biarticuladaindividual, con fórmulas que incluyen términos que las ajustan por inestabilidad de conjunto.El segundo se basa en que si bien las resistencias máximas de los marcos y de loselementos que los componen son interdependientes (pero no se alcanzan, necesariamente,al mismo tiempo), no es práctico en muchos casos considerar esa interdependencia demanera rigurosa; además, en estructuras complejas resulta difícil tener en cuenta lainestabilidad de conjunto por medio de las fórmulas para diseño de columnas aisladas,ajustando, por ejemplo, sus longitudes efectivas. Por lo anterior, se recomienda que los dosaspectos, estabilidad de los elementos individuales y estabilidad de la estructura en conjunto,se traten por separado (ref. 7.1).

La separación de los dos fenómenos conduce a fórmulas más sencillas para el diseño de lascolumnas, pero obliga al diseñador a resolver el problema adicional de evaluar la estabilidadde la estructura completa (ref. 7.2).




El tercer enfoque, que se ha desarrollado en los últimos años, consiste en aplicar en laestructura fuerzas laterales ficticias, además de las reales, y en diseñar las columnas por separado, con un factor de longitud efectiva K = 1.0, pero sometidas a las acciones obtenidasen un análisis en el que se incluyen las fuerzas ficticias mencionadas (refs. 7.3 y 7.4).




7.2 COLUMNAS CORTAS

Las ecuaciones de interacción que se emplean para determinar la resistencia de columnascortas provienen de fórmulas deducidas considerando comportamiento elástico, modificadascuando el diseño se basa en la resistencia última.

El esfuerzo máximo en régimen elástico en una sección (o una columna muy corta) sometidaa compresión y flexión alrededor de sus dos ejes centroidales y principales se calcula con laecuación

σmá x

x

x má x

y

y má x

x

x

y

y

=P

A+

M

I y +

M

I x =

P

A+

M

S +

M

S (7.1)

P es la fuerza normal en la sección, M x y M y los momentos alrededor de sus ejes centroidalesy principales, todos producidos por solicitaciones de servicio, y A, S x y S y son el área y los

módulos de sección.

La ec. 7.1 es válida hasta que el esfuerzo máximo alcanza el límite de fluencia del material loque, si se ignoran los esfuerzos residuales, sucede cuando

y

y

y

x

xmáx =

S

M +

S

M +

A

P = σσ

Dividiendo los dos miembros entre σy, y teniendo en cuenta que P/A = σa, M x /S x = σfx , M y /S y =

σfy , Aσy = P y , S x σy = M yx y S y σy = M yy , se obtienen dos formas de la ecuación:

P A M S M S

y

x x

y

y y

y

a

y

fx

y

fy

y

/ +

/ +

/ = . , + + = .

σ σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ1 0 1 0 (7.2)

P

A

M

S

M

S

P

P

M

M

M

M y

x

x y

y

y y y

x

yx

y

yy σ σ σ+ + = . , + + = .1 0 1 0 (7.3)

σa es el esfuerzo de compresión axial producido por P , σfx y σfy los esfuerzos máximos decompresión originados por M x y M y , P y la fuerza de compresión que ocasionaría, por sí sola,la plastificación completa de la sección, y M yx y M yy los momentos que producirían laaparición del esfuerzo de fluencia, si cada uno actuase aislado.

Igualando el esfuerzo máximo dado por la ec. 7.1 a un esfuerzo permisible σ p, y procediendode la misma manera que arriba, se obtiene la ec. 7.4, con la que pueden dimensionarsecolumnas flexocomprimidas cortas, si se considera como estado límite la aparición delesfuerzo permisible en algún punto de la sección:




σ

σ

σ

σ

σ

σa

p

fx

p

fy

p

+ + = 1.0 (7.4)

σ p es un porcentaje del esfuerzo de fluencia ( σ p = σy /CS , y CS = coeficiente de seguridad).

Una sección es aceptable si la suma de términos del primer miembro no excede de 1.0, conlo que se comprueba que el esfuerzo máximo no es mayor que el permisible.

7.2.1 Resistencia de columnas cortas

Si los elementos planos que componen la sección transversal tienen relaciones ancho/gruesoque impidan el pandeo local, la resistencia queda regida por la plastificación completa de lasección.

7.2.1.1 Flexión en un plano

En este caso es fácil determinar la posición del eje neutro de la sección completamenteplastificada, y pueden obtenerse expresiones exactas o aproximadas para encontrar pares devalores de P y M que producen la plastificación, o para determinar el momento M pc (momentoplástico reducido por fuerza axial) que, junto con la fuerza axial P , ocasiona la formación deuna articulación plástica (refs. 7.5, 7.6). Si la flexión es biaxial el problema se complica, puesla posición del eje neutro para cada tercia de valores de P , M x y M y debe determinarse por iteraciones; sin embargo, se han desarrollado métodos numéricos que permiten resolverlo(ref. 7.7).

7.2.1.1a Ecuaciones de interacción

En las Fig. 7.2 y 7.3 se han trazado los diagramas de interacción de secciones H flexocomprimidas, con momentos alrededor de los ejes x y y , respectivamente, para doscocientes A p /Aa = área de un patín/área del alma, 1.0 y 1.5, que abarcan a la mayoría de losperfiles H laminados; también se muestran en ellas relaciones simplificadas entre fuerza ymomento y las ecuaciones de interacción correspondientes. (En las refs. 7.5 y 7.40 se danfórmulas “exactas” para calcular M pc en secciones H flexionadas alrededor de uno u otro desus ejes centroidales y principales; son bastante complejas y su empleo no se justifica enproblemas de diseño, pues las expresiones que se proponen aquí proporcionan una buenaaproximación).




Fig.7.2 Curvas y ecuaciones de interacción aproximadas paracolumnas cortas, de sección H, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia

Fig.7.3 Curvas y ecuaciones de interacción aproximadas paracolumnas cortas, de sección H, flexionadas alrededor del eje de menor momento de inercia




Las ecuaciones simplificadas son (refs. 7.5, 7.6):

Flexión alrededor del eje de mayor momento de inercia

Si 0 ≤ P ≤ 0.15 P y ,

M = M pc x px (7.5a)

Si 0.15 P y < P ≤ P y ,

px

y

x pc M P

P -1 18 .1=M

(7.5b)

Estas dos condiciones pueden escribirse en la forma

P

P

M

M y

x

px + . .0 85 1 0 ≤ (7.5c)

M X ≤ M px (7.5d)

Flexión alrededor del eje de menor momento de inercia

Si 0 ≤ P ≤ 0.40 P y ,

M pcy = M py (7.6a)

Si 0.40 P y < P ≤ P y ,

M pcy = 1.19 - M 1

2 P

P y py

(7.6b)

O, también,

P

P

M

M y

y

py

≤

2

0 84 1 0 + . . (7.6c)

M y ≤ M py (7.6d)

Se obtienen buenos resultados si la expresión no lineal 7.6c se sustituye por la forma, mássencilla (refs. 7.4 y 7.7),

P

P

M

M y

y

py

+ . .0 6 1 0 ≤ (7.6e)

que se ha representado en la Fig. 7.3, en la forma




M

M

P

P

pcy

py y

= . . -1 67 1 0

(7.6f)

M pcx y M pcy son los momentos plásticos reducidos, por fuerza axial, para flexión alrededor delos ejes x y y , respectivamente, es decir, los momentos que al obrar sobre la sección al

mismo tiempo que la fuerza axial P ocasionan la formación de una articulación plástica. M x yM y son los momentos exteriores de diseño, que incluyen el factor de carga correspondiente.

En el Apéndice F de la ref. 7.8 se proponen las expresiones siguientes para evaluar M pcx yM pcy :

M pcx = 1.18 M px px

y

M P

P 1 ≤

−

M pcy = 1.19 M py 1

2

M −

≤P

P y

py

Son las ecs. 7.5b y 7.6b; al imponerles la condición de que M pc no exceda de M p, se aplican a

todos los valores de P (0 ≤ P ≤ P y ).

En el Apéndice H de la ref. 7.9 se emplean las mismas ecuaciones, redondeando a 1.2 losfactores 1.18 y 1.19.

En ese mismo Apéndice se proporcionan también expresiones para secciones rectangulareshuecas (en cajón):

M pcx = 1.20 M px 1 M −

≤

P

P u

y px

M pcy = 1.20 M py 1 M −

≤

P

P u

y py

Todas las ecuaciones anteriores son válidas para secciones I , H o en cajon, tipo 1 o 2(capítulo 3, tabla 7.6,).

Para las secciones en I o H , tipo 3 o 4, y para las secciones restantes, de cualquier tipo, seconsidera la ecuación de interacción (refs. 7.11 y 7.12)

M uc = M u 1 −

P

P u

M u y P u son las resistencias últimas en flexión y compresión para los tipos considerados.

La ecuación anterior es válida para flexión alrededor de cualquiera de los dos ejescentroidales y principales.




Si la sección es tipo 1 o 2, M u = Z F y = M p, y P u = AF y = P y ; si es tipo 3, M u = SF y = M y (Z y S son los módulos de sección plástico y elástico); cuando es tipo 4 debe considerarse elposible pandeo local.

Con las expresiones 7.5b o 7.5c, y 7.5d, se determina si un par de valores de P y M x

ocasiona la plastificación íntegra de la sección, cuando la flexión es alrededor de x , y lasexpresiones 7.6b o 7.6c, y 7.6 d, proporcionan la misma información cuando el eje de interéses el y .

En la Tabla 1 se proporcionan fórmulas aproximadas para secciones H y circulares yrectangulares huecas, en flexión uniaxial; se han deducido suponiendo que el grueso de lasparedes es muy pequeño comparado con las dimensiones exteriores de la sección.

7.2.1.2 Flexión biaxial

La ec. 7.3, que describe la terminación del comportamiento elástico de una sección enflexocompresión biaxial, define un plano inclinado en un sistema de ejes P - M x - M y , o, enforma adimensional, P/P y - M x /M yx - M y /M yy (Fig. 7.4); las coordenadas de los puntos delplano representan tercias de valores de los elementos mecánicos P , M x y M y , que ocasionanel comienzo de la plastificación, y las de los puntos situados dentro del espacio limitado por elplano inclinado y los tres planos coordenados corresponden a una condición de carga para laque toda la sección se conserva en el dominio elástico. Los puntos entre el plano y la

Ap

Ap

Aa

+σ

p

apy

A4

A1DA

Sección transversal

D




superficie curva (de la que se habla más adelante) representan combinaciones de accionesque producen la plastificación parcial de la sección, y los que están fuera de la superficiecorresponden a acciones que no pueden ser resistidas por ella.

En la Fig. 7.4 se han escrito las ecuaciones de las rectas definidas por las intersecciones delplano inclinado con los coordenados; describen las condiciones para las que se inicia la

plastificación cuando sólo hay dos elementos mecánicos, la fuerza axial y uno de losmomentos, o los dos momentos, sin fuerza axial.

Fig. 7.4 Superficies de interacción correspondientes a la terminacióndel comportamiento elástico y a la resistencia máxima.Secciones H en flexocompresión biaxial

Lo mismo que en flexión pura o en flexocompresión con momentos alrededor de un solo eje,

el comienzo de la plastificación de una sección flexocomprimida biaxialmente no representael agotamiento de su resistencia; puede soportar incrementos adicionales de carga, hastaplastificarse por completo.

El lugar geométrico de los puntos representativos de los conjuntos de elementos mecánicosque plastifican íntegramente a la sección es una superficie curva (Fig. 7.4); susintersecciones con los planos de referencia representan las condiciones de falla, por plastificación total, de la sección en flexocompresión con momentos alrededor de un solo ejeo en flexión biaxial, sin fuerza normal.




En la figura se indican las ecuaciones aproximadas de las curvas definidas por lasintersecciones con los planos de referencia; el caso de flexión biaxial con P = 0 se ve másadelante.

La superficie que representa la iniciación del flujo plástico queda dentro de la que describe la

plastificación completa; sólo coinciden en el punto B, en el que P = P y , M x = M y = 0 , pues bajocarga axial todos los puntos de la sección se plastifican al mismo tiempo. En cambio, si P =M y = 0 , la sección se plastifica cuando M x = M px = f x M yx , o sea cuando M x /M yx = f x ; el valor def x, factor de forma de la sección para flexión alrededor del eje x , está comprendido entre 1.10y 1.14, aproximadamente. De manera análoga, si P = M x = 0 , la sección se plastifica cuando

M y = M py = f y M yy ; M y /M yy = f y ≈ 1.5 .

Las expresiones 7.5c y 7.6e se combinan para cubrir, de manera sencilla y aproximada, laflexocompresión biaxial (ref. 7.10):

P

P

M

M

M

M y

x

px

y

py

+ . + . .0 85 0 6 1 0 ≤ (7.7)

Al mismo tiempo, y para todo valor de P/P y , debe satisfacerse la condición

M

M

M

M x

px

y

py

+ .≤ 1 0 (7.8)

que suele regir cuando la fuerza axial P es pequeña (refs. 7.8 y 7.11).

7.2.1.2a Ecuaciones de interacción

Como la superficie de interacción de la Fig. 7.4 no es apropiada para diseño, se han obtenidofamilias de curvas que proporcionan la combinación de momentos M x y M y que ocasionan laplastificación completa de la sección, cuando actúan al mismo tiempo que una fuerza P demagnitud conocida (refs. 7.13 y 7.14). Las curvas son las intersecciones de la superficie conplanos horizontales situados a diversas alturas, cada uno para un valor determinado de P .Los mismos resultados se han publicado también en forma numérica (refs. 7.6, 7.7, 7.15),calculados para la sección W8” x 31 lb/ft ; se ha demostrado que las curvas de interaccióndeducidas para ese perfil representan con buena aproximación las de otras secciones H ,para las que son conservadoras en la relación de su factor de forma a 1.10. (El factor deforma de la sección W8 x 31, 1.10, es menor que el de la mayoría de las secciones H ).

En la Fig. 7.5 (ref. 7.7) se muestra una familia de curvas de interacción obtenida para unasección H ligera; es semejante a las de todas las secciones H laminadas (refs. 7.7, 7.15).




Fig. 7.5 Curvas de interacción de una columna corta, de sección Hligera, sometida a flexocompresión biaxial

Las curvas y los resultados numéricos proporcionan relaciones adimensionales entre losmomentos M x y M y que producen la plastificación completa de las secciones transversales decolumnas H de esbeltez nula, para fuerzas axiales de magnitud constante.

Las relaciones de interacción no son líneas rectas; más bien, sobre todo para valoresreducidos de la fuerza axial, se aproximan a cuadrantes de círculo (Fig. 7.5). Además, si unasección está completamente plastificada por compresión y flexión alrededor de un eje, no lequeda resistencia adicional para soportar flexión alrededor del otro, pero una pequeñadisminución en las solicitaciones hace que crezca rápidamente la resistencia en flexióncorrespondiente al segundo eje.

Utilizando un sistema de ejes M x /M pcx - M y /M pcy , se obtienen las curvas de la Fig. 7.6, que sehan trazado para cuatro cocientes P/P y , 0, 0.3, 0.6 y 0.9. Su forma general puedeaproximarse con la ecuación de interacción adimensional




Fig. 7.6 Comparación de curvas de interacción para columnas cortasen flexocompresión biaxial

M

M

M

M

x

pcx

y

pcy

α α

+ = .1 0 (7.9)

M pcx y M pcy se evalúan con las ecs. 7.5b y 7.6b, deducidas para columnas cortas de seccióntransversal H , comprimidas y flexionadas alrededor de un solo eje, que se reproducen aquí:

M pcx = 1.18 M px px

y

M P

P -1 ≤

(7.5b)

M pcy = 1.19 M py 1

2

- M P

P y

py

≤ (7.6b)

α es un exponente numérico que depende de la forma de la sección transversal y de lamagnitud de la fuerza normal; para secciones H se calcula con buena precisión con lasexpresiones:

Para b p /d < 0.5 , α = 1.0




Para 0.5 ≤ b p /d ≤ 1.0 , α = 1.60 - p

L pn2 (7.10)

b p y d son el ancho del patín y el peralte de la sección, p = P/P y , y Ln indica logaritmo natural.

Tomando α = 1, sustituyendo M pcx y M pcy por sus valores dados por las ecs. 7.5b y 7.6b, y

haciendo algunas manipulaciones algebraicas, la ec. 7.9 se reduce a la ecuación deinteracción lineal 7.7.

Con fines comparativos, en la Fig. 7.6 se ha trazado la ecuación de interacción lineal M x /M pcx

+ M y /M pcy = 1.0 ; es muy conservadora, y se va haciendo cada vez más al crear la fuerza axialP .

Con la ec. 7.9 se pueden generar curvas de interacción para todos los valores de p. En lasFigs. 7.6 y 7.7 se comparan esas curvas con los resultados numéricos obtenidos parasecciones H ; la concordancia es buena. En la Fig. 7.7 se han representado también lasecuaciones de interacción lineal 7.7 y 7.8.

Fig. 7.7 Comparación de curvas de interacción para columnas cortasen flexocompresión biaxial

De la discusión anterior se concluye que con la ec. 7.9 (o las curvas o tablas de las queproviene) se obtiene la resistencia de columnas cortas de sección transversal H enflexocompresión axial con una precisión mucho mayor que utilizando ecuaciones lineales;además cuando se emplea en problemas de diseño se obtienen estructuras máseconómicas, pues tiene en cuenta la resistencia máxima, en el intervalo inelástico, de lasección.




Secciones en cajón

La ec. 7.9 es aplicable también a secciones rectangulares huecas; en ese caso, el exponente

α toma la forma

α= 1.7 - p/Ln p (7.11)

y los momentos M pcx y M pcy se calculan con las expresiones

M pcx = 1.2 M px 1 −

P

P

u

y

≤ M px (7.12)

M pcy = 1.2 M py 1 −

P

P

u

y

≤ M py (7.13)

EJEMPLO 7.1 Calcule los momentos plásticos reducidos por carga axial de una sección

W14” x 132 lb/ft (ref. 7.41), para flexión alrededor del eje x y del y , y fuerzas axiales de 110 y550 Ton. Utilice las ecuaciones aproximadas 7.5 y 7.6, y las “exactas” de la ref. 7.40, ycompare los resultados entre sí y con los momentos plásticos Mpx y Mpy. El acero es A992,Gr. 50 (Fy = 3515 Kg/cm2). La sección y sus propiedades geométricas se muestran en la Fig.E7.1.1.

Fig. E7.1.1 Sección W14” x 132 lb/ft

P y = AF y = 878.8 Ton

M px = Z x F y = 135.0 Tm; M py = Z y F y = 65.4 Tm

De la ref. 7.40:

Flexión alrededor del eje x.

Si P/P y ≤ Aa /A (eje neutro en el alma ),

ta




M

M = 1 -

P

P

A

4t Z

pcx

px y

2 2

a x

(a)

Si P/P y > Aa /A (eje neutro en un patín),

M

M = A 1 -

P

P d -

A

2b1 -

P

P

1

2 Z

pcx

px y y x

(b)

A es el área total de la sección transversal, y Aa el área del alma.

Flexión alrededor del eje y.

Si P

P

t d

Ay

a≤ (eje neutro en el alma),M

M = 1 -

P

P

A

4 d Z

pcy

py y

2 2

y

(c)

Si P

P >

t d

Ay

a (eje neutro en un patín),M

M =

4bt - 1

P

P

P

P

A

8 t Z

pcy

py

p

y y

2

p y A−

−

1 (d)

1er

caso. P = 110.0 Ton, P/P y = 110.0/878.8 = 0.125

Flexión alrededor de x.

M px = Z x F y = 135.0 Tm

Ref. 7.40

P/P y = 0.125 < Aa /A = 31.96 x 1.64/250.0 = 52.4/250.0 = 0.210 ∴ Se utiliza la ec. a.

Ec. a.M

M = - 0.125

250.0

4 x 1.64 x 3840 = 0.961 ,

pcx

px

2 2

1 M pcx = 0.961 x 135 = 129.7 Tm

Ecuaciones aproximadas 7.5

P/P y = 0.125 < 0.15 ∴ M pcx = M px = 135.0 Tm

De acuerdo con la ecuación “exacta”, el momento plástico resistente disminuye en 4%,aproximadamente, por efecto de la fuerza axial de 80 Ton; las ecs. 7.5 no tienen en cuentaesta reducción.

Flexión alrededor de y.

M py = Z y F y = 65.4 Tm




P

P = 0.125 <

t d

A=

1.64 x 37.2

250.0 = 0.244

y

a

Ref. 7.40

Ec. c.M

M = 1 - 0.125

250.0

4 x 37.2 x 1860 = 0.996,

pcy

py

2 2

M pcy = 0.996 x 65.4 = 65.2 Tm


P/P y = 0.125 < 0.40 ∴ M pcy = M py = 65.4 Tm

Las ecuaciones aproximadas no reducen tampoco la resistencia en flexión; la reducción quese obtiene con la “exacta” es mínima, 0.1%.

2º caso. P = 550 Ton; P/P y = 550.0/878.8 = 0.626

Flexión alrededor de x.

Ref. 7.40

P/P y = 0.626 > Aa /A = 0.210 ∴ Se utiliza la ec. b.

Ec. b. ( ) ( )M

M = 250.0 1 - 0.626 37.2 -

250.0

2 x 37.41 - 0.626

1

2 x 3840 = 0.438

pcx

px

M pcx = 0.438 x 135.0 = 59.1 Tm


P/P y = 0.626 > 0.15 ∴ Se emplea la ec . 7.5b.

Ec. 7.5b. M pcx = 1.18 1P

P y

−

M px = 1.18 (1 - 0.626) 135.0 = 0.441 x 135.0 = 59.6 Tm

La disminución en resistencia es importante; las dos ecuaciones dan resultados

prácticamente iguales (la aproximada sobrestima el momento resistente en 0.8%).

Flexión alrededor de y.

Referencia 7.40

P/P y = 0.626 > t ad/A = 0.244 ∴ Se utiliza la ec. d.




Ec. d. ( ) ( ) 0.716 =1860 x 2.62 x 8

250.0 0.626 -10.626 -1-

250.0

2.62 x 37.4 x 4=

M

M 2

py

pcy

M pcy = 0.716 x 65.4 = 46.8 Tm


P/P y = 0.626 > 0.4 ∴ Se emplea la ec. 7.6b.

Ec. 7.6b M pcy = 1.19 1P

P y

2

−

M py = 1.19 (1 - 0.626 2 ) 65.4 = 0.724 x 65.4 = 47.3 Tm

Otra vez las dos ecuaciones dan resultados casi iguales; la aproximada vuelve a sobrestimar la resistencia, ahora en 1.2%.

La reducción de resistencia en flexión es casi nula cuando la fuerza axial es de 110.0 Ton;aumenta considerablemente para P = 550 Ton. En ambos casos, las ecuacionesaproximadas proporcionan buenos resultados.

Es interesante observar que la influencia de la fuerza axial es mayor cuando la flexión esalrededor del eje x que cuando el eje de flexión es el y. Esto se advierte claramentecomparando las curvas de las Figs. 7.2 y 7.3.




7.3 COLUMNAS LARGAS

La ec. 7.4 es la base de las ecuaciones de interacción modernas; esto se comprueba en lasrecomendaciones para diseño de barras flexocomprimidas de las especificaciones AISC de1949 (ref. 7.16), que se reproducen aquí.

“Los miembros sujetos a esfuerzos axiales de compresión y de flexión combinados sedimensionarán de manera que la cantidad

f

F

f

F

a

a

b

b

+

no exceda la unidad.

F a = esfuerzo axial máximo que se permitiría si la barra estuviese sometida únicamente acompresión axial; es función de la esbeltez L/r de la columna (L es la longitud real, lo que

equivale a tomar, siempre, un factor de longitud efectiva K = 1.0).

F b = esfuerzo máximo ocasionado por flexión que se permitiría si la barra estuviese sometidaúnicamente a flexión.

f a = esfuerzo producido por la fuerza axial de compresión que actúa sobre la barra (cocientede la fuerza axial entre el área de la sección transversal de la columna).

f b = esfuerzo máximo producido por flexión (cociente del momento flexionante máximo entreel módulo de sección de la columna)”.

Los esfuerzos f a

y f b

son producidos por solicitaciones nominales o de trabajo.

En la época en que se utilizaban las normas anteriores los análisis se hacían con métodoselásticos de primer orden, generalmente aproximados.

De acuerdo con la ref. 7.16, la condición de diseño es

f

F

f

F a

a

b

b

+ .≤ 1 0 (7.14)

Cuando las columnas trabajan en flexión biaxial, se convierte en

f

F

f

F

f

F

a

a

bx

bx

by

by

+ + .≤ 1 0 (7.15)

Esta es la ec. 7.4 en la que se ha sustituido, de manera arbitraria, el esfuerzo permisible

único, σ p = σy /CS , por tres valores diferentes, correspondientes a la columna sujeta, por separado, a cada solicitación. Se obtiene así una ecuación de interacción semiempírica,correcta en los casos extremos en que la barra trabaja sólo en compresión o en flexiónalrededor de uno de sus ejes centroidales y principales (si M x = M y = 0, f bx = f by = 0, y la




ecuación se reduce a f a /F a ≤ 1.0 , f a ≤ F a; si P = M y = 0, f a = f by = 0, y se obtiene f bx /F bx ≤ 1.0 ,

f bx ≤ F bx , lo mismo que si la única solicitación es M y ), y que proporciona una seguridadadecuada, pero desconocida, cuando está sometida a compresión y flexión alrededor de unoo de los dos ejes x y y .

En las columnas esbeltas hay dos efectos geométricos de segundo orden que incrementan

los momentos, al interactuar las fuerzas de compresión con las deflexiones laterales de susejes; no se manifiestan en las acciones internas determinadas con un análisis elásticoconvencional, de primer orden y no se toman en cuenta en las ecs. 7.14 y 7.15.

Cuando la columna forma parte de una estructura de rigidez lateral suficiente para que nosean significativos los efectos de esbeltez debidos a desplazamientos lineales de susextremos, puede considerarse que éstos están fijos linealmente; el incremento en losmomentos flexionantes se debe sólo al producto de la fuerza axial P por los desplazamientos

laterales respecto al eje recto original: éste es el llamado efecto P δ (Fig. 7.8). Si, en cambio,los desplazamientos lineales de los extremos son significativos, los momentos flexionantes

se incrementan por el efecto P ∆, debido a esos desplazamientos, y el P δ, producido por la

deformación del eje de la columna respecto a la recta que une sus extremos desplazados(Figs. 7.9 y 7.10; en la Fig. 7.10 se ha dibujado el caso particular en que los dos extremos dela columna giran ángulos iguales, como sucede, aproximadamente, en entrepisosintermedios de marcos rígidos regulares de varios niveles bajo cargas verticales yhorizontales combinadas).

Fig. 7.8 Efectos geométricos de segundo orden en columnas

con extremos fijos linealmente (efecto pδ)




Fig. 7.9 Desplazamientos globales ∆ y locales δ

Fig.7.10 Efectos geométricos de segundo orden en columnas cuyos extremos

se desplazan linealmente ( efectos P∆ y Pδ )




La rigidez lateral necesaria para que los efectos P ∆ no sean significativos se obtiene, muchasveces, con muros de rigidez o contraventeos, pero hay casos en que la proporcionan losmarcos rígidos solos.

Cuando el efecto P ∆ es importante, conviene basar el diseño en un análisis de segundoorden, exacto o aproximado (Capítulo 9).

7.3.1 Flexión en un plano. Comportamiento elástico

En la Fig. 7.11 se muestra una barra larga aislada, de sección transversal constante, con unafuerza axial de compresión P y pares en los extremos, flexionada en uno de sus planos desimetría; se supone, por ahora, que se deforma conservándose en el plano de flexión, sinpandeo lateral, y que su respuesta es elástica. Los apoyos permiten que el extremo derechose desplace linealmente a lo largo del eje original y que los dos extremos giren libremente,

pero impiden sus movimientos transversales, por lo que no hay efecto P ∆.

Fig. 7.11 Barra larga flexocomprimida;pares aplicados en los extremos

En el estudio de columnas con pares en los extremos suele tomarse como referencia elmomento numéricamente mayor, y el otro se expresa como el producto del primero por unfactor menor que la unidad; en la Fig. 7.11 se ha supuesto que M 2 es el mayor de los dosmomentos y q el factor de proporcionalidad, comprendido entre -1.0 y + 1.0.

7.3.1.1 Factor de amplificación (Efecto Pδ)

Para dimensionar la columna debe conocerse el momento máximo, que puede ser M 2 opresentarse en alguna sección transversal intermedia; se obtiene multiplicando el mayor de

los dos pares exteriores por un factor de amplificación, φ (que puede ser igual a 1.0), quetiene en cuenta la interacción carga axial-desplazamiento debido a la deformación de la

columna entre sus extremos (efecto P δ); es función de P , de la relación entre los momentosen los extremos y de las características geométricas y mecánicas de la barra; se determinaestudiando la geometría del eje deformado y la variación de momentos, primarios y

secundarios, a lo largo de él. En el intervalo elástico, φ se calcula con la expresión (refs. 7.6,7.17)




φ = 1 2 2 q - F + q L

F L

v

v

cos

sen(7.16)

F v = P

EI L

P

P

EI

L x E E

x = , P =

π πdonde

2

2 es la carga crítica de Euler de pandeo en el plano de

la flexión de la columna biarticulada.

El momento máximo puede presentarse en un extremo o en una sección intermedia de labarra (Fig. 7.12).

Fig. 7.12 Diagramas de momentos de barras largas flexocomprimidas

Los valores de φ que proporciona la ec. 7.16 son siempre iguales o mayores que 1.0, pero notienen significado físico cuando q < cos F v L, pues en ese caso el momento máximo teórico

está fuera de la columna, el máximo real en uno de sus extremos, y no hay amplificación; φes igual a 1.0 (ref. 7.6).

Si los momentos son iguales y producen curvatura simple (q = +1.0), la ec. 7.16 se reduce a

φq = 1.0 = 2 1( - F cos )

sen

v

v

L

F L(7.17)

La expresión

φq = 1.0 = 1

1 - P / P E

(7.18)

en la que P es la fuerza de compresión en la columna y P E se ha definido arriba, proporciona,con buena precisión, el factor de amplificación de las deflexiones de barras rectasflexocomprimidas libremente apoyadas, con cargas transversales o momentos aplicados enlos extremos que producen deformaciones máximas en el centro de la barra (refs. 7.6, 7.18);

la deflexión total es la que se tendría si la fuerza axial fuese nula, multiplicada por el factor φ(ec. 7.18), que depende de la relación P/P E de la fuerza en la columna y su carga crítica de




Euler en el plano de los momentos. Con este factor se toma en cuenta el efecto de la

interacción fuerza normal-desplazamiento sobre las deflexiones de la barra (efecto P δ ).

Si el momento primario es constante, producido por pares aplicados en los extremos de lacolumna iguales en magnitud y que la flexionan en curvatura simple, o variable, pero máximoen la sección media, el momento en ésta, amplificado por efectos de segundo orden, es (Fig.

7.12)

M máx = M o + P δmáx = M o + P δo

E 1 - P / P

M o y δo son el momento primario y la deflexión correspondiente, en la sección media.

Efectuando manipulaciones algebraicas, la ecuación anterior toma la forma

M máx = M o 1 P / P

1 - P / P E

E

+ ψ

donde ψ = P

M - 1 =

EI

M L- 1

E

o

2 o

o2

δ π δo

En las refs. 7.20 y 7.25, entre otras, se proporcionan valores de ψ para columnas condiferentes condiciones de apoyo y cargas transversales, uniformes o concentradas en elpunto medio.

Cuando actúan sobre la barra pares exteriores de magnitudes iguales y sentidos contrarios δo

vale M oL2 /8EI , Ψ es igual a (π2

/8) - 1 = 0.234, y el momento máximo es

M máx = M o 1 + 0.234 P / P 1 - P / P

E

E

El factor de amplificación de los momentos es

φq = 1.0 =1 + 0.234 P / P

1 - P / P E

E

El numerador es poco mayor que 1.0, sobre todo cuando la fuerza axial P es pequeña

comparada con P E , de manera que una forma aún más sencilla de φq = 1 es

φq = 1.0 = 11 - P / P E

De acuerdo con esta expresión, el factor de amplificación de los momentos es igual al de laflecha (ec. 7.18); proporciona resultados un poco menores que los que se obtienen con la ec.7.17, pero suficientemente precisos, en general, para diseño.




7.3.1.1.1 Flexión alrededor de los ejes de mayor momento de inercia (x)

La ec. 7.3, que corresponde a la terminación del comportamiento elástico de elementoscortos, puede adaptarse a columnas largas flexionadas en un plano, alrededor de los ejes de

mayor momento de inercia, suprimiendo el momento M y y sustituyendo M x por M máx , pues elesfuerzo de fluencia aparece por primera vez en la sección en que el momento total,

incrementado por efecto P δ, adquiere el valor máximo. Se obtiene así la ecuación

P

P +

M

M =

P

P +

M

M = 1.0

y

má x

y y

2

y

φ (7.19)

P y se sustituye por P E , carga crítica de pandeo elástico por flexión en el plano de mayor

momento de inercia, si es menor que P y .

M y es el momento aplicado alrededor del eje x que ocasionaría la aparición del esfuerzo defluencia en la sección, si la fuerza normal fuese nula; se le ha quitado el subíndice x en vistade que ahora sólo hay flexión en un plano.

M 2 es el mayor, en valor absoluto, de los momentos en los extremos de la columna.

En el caso particular en que los momentos en los extremos son de magnitudes iguales, M o, yproducen curvatura simple, se tiene

P P

+ M M

= 1.0 y

q = 1

o

y

φ (7.20)

El factor de amplificación φq = 1 puede calcularse con la expresión exacta (ec. 7.17), o con laaproximada (ec. 7.18). Si se usa ésta,

P

P +

1

1 - P / P M

M = 1.0

y E

o

y

(7.21)

Los límites se satisfacen: si M o = 0, P/P y = 1.0, P = P y ≤ P E ; ésta es la fuerza que, por sí sola,ocasionaría la plastificación completa de la columna o su falla por pandeo elástico por flexión

alrededor de x . Si P = 0 no se amplifican los momentos, M o /M y = 1.0, M o = M y .

Con las ecuaciones de interacción 7.20 y 7.21 se obtienen pares de valores de P y M o paralos que termina el comportamiento elástico de una barra flexocomprimida, en curvatura

simple con momentos iguales en los extremos (q = +1.0); son aplicables para 0 ≤ P ≤ P y (oP E , cuando es menor que P y ).




En la Fig. 7.13 se comparan las soluciones “exacta” y aproximada (ecs. 7.20 y 7.21) paracolumnas de acero A36 de dos relaciones de esbeltez, 80 y 120; la ec. 7.21 sobreestimaligeramente la resistencia en ambos casos, pero proporciona resultados muy cercanos a losexactos. Se ilustra también la influencia de la esbeltez, comparando las curvas con laresistencia de una sección (L/r x = 0 ).

Fig. 7.13 Comparación de las ecuaciones de interacción “exacta” yAproximada para dos relaciones de esbeltez diferentes.q =+1.0. Acero A36. comportamiento elástico

Todas las curvas convergen en M o = M y cuando P = 0: el miembro es una viga, y como elpandeo lateral está impedido, por hipótesis, el comportamiento elástico termina cuando elmomento, constante, alcanza el valor M y . En el otro extremo, para M o = 0, se tiene unacolumna en compresión axial, y la fuerza P es la menor de P y y P E . Cuando aumenta la

esbeltez disminuye la resistencia pues las columnas más esbeltas se deforman más, crece elefecto P δ, y los momentos ocasionados por él representan una parte mayor de los totales. Lacolumna de esbeltez L/r x = 80, en compresión axial, resiste la fuerza P y , sin pandeoprematuro, pero la más esbelta (L/r x = 120) falla cuando P = P E = 0.522 P y .

La ec. 7.18 sólo es válida cuando q = + 1.0, y la amplificación de momentos es máxima; si seaplica a otras condiciones de carga produce resultados que pueden ser demasiadoconservadores.




Cuando los momentos de primer orden varían a lo largo del eje de la columna, puedenconvertirse en momentos uniformes “equivalentes”, que se obtienen multiplicando el másgrande, en valor absoluto, de los pares aplicados en los extremos, por un factor menor que launidad, tal que la columna queda sometida a una flexión primaria uniforme que, alamplificarse, produce un momento máximo aproximadamente igual al momento máximo

amplificado de la columna con la flexión no uniforme real (Fig. 7.14). Utilizando el conceptode momento uniforme equivalente, el diseño de una columna sujeta a una combinacióncualquiera de momentos en los extremos se convierte en el de una barra con pares iguales yde sentidos contrarios, a la que se le aplica el factor de amplificación dado por la ec. 7.18.

El momento máximo en una columna con flexión variable es igual al mayor de los momentos

en los extremos multiplicado por el factor de amplificación φ, ec. 7.16; cuando la flexión es

uniforme, se utiliza φq = 1 (ec. 7.17). Para determinar la magnitud del momento equivalente,M eq, se igualan los dos máximos, haciendo que el momento uniforme primario sea el M eq,buscado.

M 1 + q - 2q cos F L

senF L= M

2 (1 - cos F L)

senF L2

2

v

v

eq

v

v

De aquí,

M =

1 + q - 2q cos F L

2 (1 - cosF L) M = C M eq

2 v

v 2 2

(7.22)

El factor C , por el que se multiplica el mayor de los momentos en los extremos para obtener el uniforme equivalente, es

C = 1 + q - 2q cos F L

2 (1 - cosF L)

2 v

v

(7.23)




La ec. 7.23 puede utilizarse directamente en el diseño; sin embargo, se han recomendadovarias expresiones simplificadas (refs. 7.17, 7.6); la más común es la adoptada por el AISC (refs. 7.9 y 7.23):

C = 0.6 + 0.4 q (7.24)

q es positivo cuando la columna se flexiona en curvatura simple y negativo cuando lacurvatura es doble.1

En la ec.7.24 se ignora la influencia de la fuerza axial en el valor de C ; sin embargo, cuandoesa influencia es importante, y la columna se flexiona en curvatura doble, como sucede casisiempre en los marcos rígidos, se obtienen resultados conservadores.

El coeficiente C se introduce en la ec. 7.21 para extenderla al caso en que los momentos enlos extremos son diferentes:

P

P +

C

1 - P / P M

M = 1.0

y E

2

y

(7.25)

M 2 es el mayor de los momentos en los extremos de la columna, CM 2 es un momentouniforme ficticio, equivalente al variable real, y 1/(1 - P/P E ) es el factor de amplificación en labarra con la flexión primaria uniforme ficticia; cuando q = M 1 /M 2 = + 1, C vale también 1.0 y laec. 7.25 se reduce a la 7.21.

La ec. 7.25 proporciona resultados muy cercanos a los “exactos” (ref. 7.19).

Cuando no hay amplificación de los momentos φ vale 1.0, y el diseño queda regido por la

resistencia del extremo en que el momento es máximo; cuando hay amplificación, φ es mayor que 1.0; nunca puede ser menor que la unidad. En cambio, el cociente C/(1 - P/P

E ), que

sustituye a φ en la ecuación aproximada 7.25, resulta con frecuencia menor que 1.0, sobretodo en columnas en curvatura doble con fuerzas P reducidas; en esos casos los efectos desegundo orden son de poca importancia, no hay amplificación del momento máximo, que esel mayor de los aplicados en los extremos, y la ec. 7.25 sobrestima la resistencia de lacolumna. La terminación del comportamiento elástico queda descrita por la ecuación

P/P y + M 2 /M y = 1.0 (7.26)

Por consiguiente, para revisar elásticamente una barra flexocomprimida, con pares en los

extremos, ha de utilizarse la ec. 7.18, con valores “exactos” de φ (ec. 7.16), o emplearse,

simultáneamente, las ecs. 7.25 y 7.26. Debe comprobarse, además, que P es menor queP EX , pues en caso contrario la pieza fallaría por compresión, por pandeo en el plano de losmomentos, y no resistiría ninguna flexión adicional. (Esto sólo sucede en columnas muyesbeltas, pues en general P EX es mayor que P y , y la condición extrema, con momentos nulos,es P/P y = 1.0, o sea P = P y < P EX ).

1

Cuando el coeficiente C se incluyó, por primera vez, en las especificaciones AISC (en ellas se llama C m) se le puso unlímite inferior de 0.4, que corresponde a q = -0.5 (ver, por ejemplo, la ref. 7.24); sin embargo, posteriormente se hareconocido que ese límite introduce errores en los resultados, por lo que se ha suprimido (refs. 7.9, 7.20, 7.23 y 7.25).




7.3.2 Determinación de la resistencia máxima

7.3.2.1 El pandeo lateral está impedido

La resistencia máxima de columnas de acero aisladas flexocomprimidas que fallan por exceso de flexión en el plano de los momentos2 se determina teniendo en cuenta que se trata

de un fenómeno de inestabilidad, generalmente inelástica, y no de un problema de cálculo deesfuerzos.

En la ref. 7.26 se presenta un método para resolver el problema, que se basa en las hipótesissiguientes (ver, también, la ref. 7.5):

a) La columna es un perfil H laminado, con esfuerzos residuales idealizados, semejantes alos medidos en perfiles reales.

b) La falla se produce por exceso de flexión en el plano de los momentos, que es el delalma de las secciones transversales (flexión alrededor de los ejes de mayor momento

de inercia).

c) El pandeo lateral por flexotorsión está impedido.

d) No hay pandeo local prematuro.

e) El comportamiento del acero es elastoplástico perfecto; se ignora el endurecimiento por deformación.

f) Se desprecia el efecto de la fuerza cortante sobre el proceso de plastificación.

g) Las columnas son de sección transversal constante y originalmente rectas.

h) Las secciones transversales planas antes de la deformación se conservan planasdespués de ella.

i) Las rotaciones en los extremos del eje deformado son pequeñas.

j) No hay desplazamientos lineales relativos entre los extremos.

k) Las deflexiones del eje de la barra dependen sólo de las solicitaciones finales, y no dela historia del proceso de carga.

Cuando la falla se inicia en el intervalo inelástico, la resistencia última no puede calcularsecon ningún procedimiento matemático explícito, por lo que se recurre a la integraciónnumérica de relaciones elastoplásticas entre momentos y curvaturas (ref. 7.6).

2

Lo que sucede cuando hay elementos exteriores que les impiden salirse de ese plano, y cuando la flexión es alrededor delos ejes principales de menor momento de inercia.




La solución del problema se ha obtenido en forma de curvas de interacción fuerza axial-momento, que proporcionan la resistencia máxima de las columnas, determinadas paradiversas relaciones q de los momentos en los extremos y para esbelteces comprendidasentre cero y 120.

La validez de las teorías que llevan a la obtención de las curvas ha sido verificada

experimentalmente de manera muy extensa; se obtiene una excelente concordancia entre losresultados teóricos y experimentales.

Las Figs. 7.15 y 7.16 contienen las curvas de interacción para q = +1.0 y q = 0. Sedeterminaron para un acero con esfuerzo de fluencia de 2320 Kg/cm2 (el acero A7 , que seempleaba cuando se obtuvieron las curvas), pero pueden utilizarse para columnas desección H de otros aceros usando una relación de esbeltez equivalente, igual a la real

multiplicada por /2320yσ , donde σy es el esfuerzo de fluencia del acero particular, en

Kg/cm2. (Si el acero es A36 pueden emplearse las curvas directamente, con un error muypequeño, pues 2530 / 2320 = 1.044; sin embargo, en la actualidad se usan resistencias

mayores, la más común es σy = 3515 Kg/cm2

(50 Ksi); en ese caso, 3515 / 2320 = 1.231).

Fig. 7.15 Curvas de interacción para secciones H flexionadasalrededor del eje de mayor momento de inercia (q=+1.0)

σy = 2320 Kg/cm2




Fig. 7.16 Curvas de interacción para secciones H flexionadasalrededor del eje de mayor momento de inercia (q=0)

σy = 2320 Kg/cm2

Se han publicado tablas, obtenidas de las curvas, que enlistan los momentos máximos,aplicados en los extremos, que resisten columnas de esbeltez dada, sometidas a

compresiones de magnitud conocida, para diferentes valores de q (ref. 7.27); con ellaspueden obtenerse resultados más precisos que con las curvas. Se cuenta también confórmulas aproximadas, deducidas de las curvas para tres condiciones extremas de carga,que constituyeron el primer método recomendado por el AISC para dimensionar columnas enestructuras diseñadas plásticamente (ref. 7.28).

Las líneas llenas de la Fig. 7.17 representan la resistencia última de columnas conesbelteces de 40 y 120, y las rectas interrumpidas corresponden a la ecuación de interacciónlineal.




Fig. 7.17 Comparación de la ecuación de interacción lineal7.26 flexión alrededor del eje x y la solución

analítica σy = 2320 Kg/cm2

P

P +

M

M = 1.0

o p

(7.26)

P o es la fuerza axial que ocasionaría la falla de la columna si no hubiese flexión, es decir, esla carga crítica de pandeo alrededor del eje de mayor momento de inercia, sin exceder de P y .

Las curvas se han trazado para un acero con σy = 2320 Kg/cm2; en ambos casos el pandeose inicia en el intervalo inelástico.

La ec. 7.26 coincide con los resultados analíticos en los dos extremos, y proporciona muybuena aproximación para L/r x = 40; sin embargo, sobrestima considerablemente la resistenciacuando L/r x = 120, debido a que la esbeltez elevada hace que sean importantes los efectos

de segundo orden (efecto P δ), que no se tienen en cuenta en ella. Para esbelteces menoresde 40 la ecuación de interacción lineal es conservadora.

La ec. 7.26 puede modificarse multiplicando su segundo término por el factor deamplificación de los momentos (ec. 7.18):

P

P +

1

1 - P / P

M

M = 1.0

o E p

(7.27)

El factor φ = 1/(1 - P/P E ), que se dedujo para comportamiento elástico, se utiliza también paradeterminar la amplificación de momentos en columnas que fallan en el intervalo inelástico.

En la Fig. 7.18 se compara la solución analítica con la ecuación de interacción no lineal 7.27;ésta proporciona resultados muy parecidos a los analíticos, ligeramente conservadores.




Fig. 7.18 Comparación de la ecuación de interacción lineal

7.26 y la solución analítica. σy = 2330 kg/cm2.Flexión alrededor del eje x

Con el factor de amplificación se incluye en la ecuación el efecto P δ, único efecto geométricode segundo orden en columnas con extremos fijos linealmente; para esbelteces L/r x

pequeñas P E es grande, el factor de amplificación es cercano a uno, y la ec. 7.27 seaproxima a la 7.26; cuando la esbeltez crece, P E disminuye, 1/(1 - P/P E ) aumenta, y losefectos de segundo orden se hacen más importantes (Fig. 7.17, curva para L/r x = 120). Elfactor de amplificación crece de manera ilimitada cuando la fuerza de compresión P seacerca a P E .

Si los momentos en los extremos de la columna son desiguales, se modifica la ec. 7.27,introduciendo el coeficiente C (ec. 7.24):

P

P +

C

1 - P / P M

M 1.0

o E

2

p

≤ (7.28)

M 2 , CM 2 y 1/(1 - P/P E ) tienen los mismos significados que en la ec. 7.25.

Lo mismo que el término 1/(1 - P/P E ), el coeficiente C se extrapola al intervalo inelástico. (Enla ref. 7.29 se demuestra que al hacerlo se obtienen resultados conservadores).

La ec. 7.27 (la ec. 7.28 con C = 1.0), que proporciona resultados muy cercanos a losanalíticos cuando q = + 1 (Fig. 7.18), es demasiado conservadora para otros valores de q




(Fig. 7.19). Al introducir el factor C , con lo que se obtiene la ec. 7.28, mejora la correlaciónentre la solución “exacta” y la fórmula semiempírica de interacción, que proporciona siempreresultados conservadores. Además, las dos soluciones se acercan cuando se aplican acolumnas de esbeltez menor que 120, como son la mayoría de las que se utilizan enestructuras.

La ec. 7.29, que se ha trazado también en la Fig. 7.19, corresponde a la plastificacióncompleta de una sección H comprimida y flexionada alrededor del eje de mayor momento deinercia (es la ec. 7.5a, con la limitación de que M no puede ser mayor que M p):

Fig. 7.19 Comparación de la ecuación de interacción lineal 7.28(momentos desiguales en los extremos) y la solución

analítica. σy = 2320 kg/cm2. Flexión alrededor del eje x.

M

M = 1.18 1 -

P

P 1.0

p y

≤ (7.29)

M es el momento exterior que actúa alrededor del eje x y M p el momento plástico resistentecorrespondiente.

En todos los casos en que q y C son menores que 1.0, las curvas cortan a las rectas querepresentan la ecuación 7.29 antes de llegar al eje de las abscisas. A partir del punto deintersección la resistencia queda regida por la ec. 7.29: la falla no es por inestabilidad, sinopor agotamiento de la resistencia de la sección extrema en la que el momento es máximo.

Con las ecuaciones de interacción 7.28 y 7.29 se determina, con precisión razonable, laresistencia máxima de columnas aisladas flexocomprimidas de sección transversal H , conextremos articulados pero fijos lateralmente, con pares aplicados en los extremos alrededor de los ejes de mayor momento de inercia, cuando la falla se produce por exceso de flexión




en el plano de los momentos. Con ellas se revisan los estados límite de falla por inestabilidadde la barra y por agotamiento de la resistencia de alguno de sus extremos.

7.3.2.2 El pandeo lateral no está impedido

En este caso, su influencia puede tenerse en cuenta sustituyendo el momento plástico M p por

M cr , momento flexionante máximo que resistiría el miembro si no hubiera fuerza axial,disminuido por pandeo lateral cuando éste es crítico, y la fuerza P o por P cr , que es la máspequeña de las cargas críticas de pandeo en compresión axial, correspondiente al ejeprincipal para el que la relación de esbeltez es más grande, sin importar que el pandeo sepresente en el plano de la flexión o fuera de él (en el límite, cuando M 2 = 0, debe llegarse a la

condición P ≤ (P cr )mín).

7.3.3 Ecuaciones generales de interacción

El conjunto completo de ecuaciones de interacción que describen la resistencia máxima delas columnas de sección H , flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia, es

(ref. 7.39)

P

P +

C

1 - P / P

M

M = 1.0

cr E

2

cr

(7.30)

P

P + 0.85

M

M = 1.0

y

2

p

(7.31)

M 2 ≤ M p (7.32)

La ec. 7.31 es la 7.5b, que describe la resistencia de las secciones extremas. Cuando una de

éstas es crítica, y P < 0.15 P y , ha de comprobarse que el momento que actúa en ella no esmayor que M p (Ec. 7.32).

En las refs. 7.8 y 7.12 se introduce un factor igual a 0.85 en el numerador del segundotérmino de la ec. 7.30, cuando se aplica a secciones tipo 1, para que se convierta en la 7.31

cuando (KL/r) x = 0. En este caso, P cr = P y , M cr = M p, P E = ∞, luego 1/(1 - P/ PE) = 1.0, y C =1.0, puesto que sólo se considera el momento en la sección.

Siempre deben utilizarse las tres ecuaciones; con la primera se revisa la posible falla por inestabilidad de conjunto del miembro, y las otras dos indican si se forma una articulaciónplástica en el extremo en que el momento es más grande.

Con fines de diseño, el signo = que aparece en cada ecuación se sustituye por ≤, pues sebusca que los valores combinados de P y M x no ocasionen ninguno de los dos tipos de falla.

Para que el perfil escogido sea económico se ha de lograr que el primer miembro de algunade las ecs. 7.30 y 7.31 sea muy cercano a 1.0; salvo en casos excepcionales, no se puedesatisfacer esa condición en las dos ecuaciones simultáneamente, pues en general sólo escrítica una de las dos formas de falla posibles.




Las ecuaciones de interacción anteriores han sido verificadas experimentalmente parasecciones transversales de varios tipos y diferentes condiciones de carga, y se haencontrado que concuerdan razonablemente con los resultados experimentales (ref. 7.30).

Si se trabaja con cargas nominales y esfuerzos permisibles, las ecs. 7.30 y 7.31 toman la

forma

f

F +

Cf

(1 - f / F' )F 1.0

a

a

b

a e b

≤ (7.33)

f

0.6F +

f

F 1.0

a

y

b

b

≤ (7.34)

La primera expresión equivale exactamente a la 7.30, teniendo en cuenta que F a = P cr /A(CS),F b = M cr /S(CS), F’ e = P E /A(CS), f a = P trab /A y f b = M trab /S (el subíndice “trab” se refiere aacciones de trabajo (nominales), y CS es el coeficiente de seguridad), y la segunda a la 7.31,

con el término 0.85 sustituido por 1.0, lo que es conservador.

7.3.4 Flexión alrededor de los ejes de menor momento de inercia (y )

Como los perfiles I y H flexionados alrededor de sus ejes de menor inercia no se pandeanlateralmente, se conservan en el plano de la flexión hasta la falla, excepto en los casos, pococomunes, en que la esbeltez para pandeo por flexión alrededor del eje y es menor quealrededor del eje x (K y LY /r Y < K x L x /r x ), y la fuerza normal es predominante. Por este motivo,no es necesaria una ecuación para pandeo fuera del plano de carga.

Resistencia en el plano de carga

Siguiendo un camino similar al utilizado para estudiar la resistencia de las piezas flexionadasalrededor de x , se obtiene la ecuación de interacción 7.35, adecuada para determinar laresistencia de secciones I o H flexionadas alrededor de y :

P

P +

0.60C

1 - P / P

M

M 1.0

cry

y

Ey

2y

py

≤ (7.35)

Con la constante 0.60 la ecuación se convierte en la 7.6c, que proporciona la resistencia dela sección, cuando (KL/r)y = 0.

Con esta ecuación se revisa la posible falla por inestabilidad en el plano de carga.

Resistencia de las secciones extremas

Se revisa con la ec. 7.6c.

P

P + 0.6

M

M 1.0

y

y

py

≤ (7.6c)




Además, debe comprobarse que el mayor de los momentos en los extremos no sobrepase aM py , cuando P < 0.4 P y :

M

M 1.0

y

py

≤

7.3.5 Flexión biaxial

Cuando las vigas que se apoyan en las columnas producen flexión alrededor de los dos ejescentroidales y principales de sus secciones transversales, lo que es frecuente en estructurasreales, las ecuaciones 7.33 y 7.34 se generalizan introduciendo un tercer término para laflexión alrededor de y :

f

F +

C f

(1 - (f / F' ))F +

C f

(1 - (f / F' ))F 1.0

a

a

x bx

a ex bx

y by

a ey by

≤ (7.36)

f

0.6 F +

f

F +

f

F 1.0

a

y

bx

by

by

by

≤ (7.37)

Estas expresiones son las propuestas en el capítulo H , “Esfuerzos combinados”, de lasespecificaciones AISC de 1989 (ref. 7.23), para diseño por esfuerzos permisibles.

En el capítulo N , “Diseño plástico”, de las mismas especificaciones, se recomienda el uso delas ecs. 7.30 a 7.32.

También la ec. 7.30 se amplía para cubrir la flexión biaxial:

P

P +

C M

(1 P / P )M +

C M

(1 P / P )M 1.0

cr

x x

ex ux

y y

ey uy − − ≤ (7.38)

La revisión de las secciones extremas de columnas en flexocompresión biaxial se hace conla ec. 7.9.

Los esfuerzos f bx y f by de la ec. 7.36 se calculan con los momentos M x y M y más grandes,aunque no coincidan en el mismo extremo, pues el momento uniforme equivalente paraflexión alrededor de cada eje se obtiene multiplicando el mayor de los momentos en losextremos, correspondientes a ese eje, por el coeficiente C x o C y . Por la misma razón, losmomentos M x y M y de la ec. 7.38 son también los mayores.

En cambio, las ecs. 7.37 y 7.9 se aplican dos veces, una a cada extremo, con los momentosM x y M y que hay en él, puesto que sirven para revisar la posibilidad de que se agote laresistencia de alguno de ellos.

7.3.5.1 Resistencia máxima de columnas en flexocompresión biaxial

El comportamiento fuera del intervalo elástico de las barras flexocomprimidas no es lineal,debido a los efectos geométricos de segundo orden introducidos por la interacción de fuerza




axial, momentos y deformaciones y, además, a que el material que las constituye deja decumplir la ley de Hooke.

El análisis convencional de columnas en flexocompresión biaxial requiere resolver unconjunto de ecuaciones simultáneas no lineales y no homogéneas; la solución analítica esdifícil en problemas elásticos, y en el intervalo inelástico sólo puede obtenerse recurriendo a

métodos numéricos e introduciendo simplificaciones que conducen a soluciones aproximadasde las ecuaciones diferenciales de equilibrio.

En las refs. 7.7, 7.15 y 7.31 se presentan resultados numéricos basados en la obtenciónanalítica de la relación lineal entre pequeños incrementos de las cargas y losdesplazamientos generalizados correspondientes, suponiendo que la columna tieneimperfecciones geométricas iniciales.

Si las cargas exteriores se aplican en una secuencia de incrementos suficientementepequeños, la respuesta durante cada uno de ellos es esencialmente lineal; la no linealidadreal se tiene en cuenta resolviendo una sucesión de ecuaciones linealizadas

{δ∆} = [K ]-1 {δF }

{δ∆} y {δF } son los vectores de incrementos de las deformaciones y fuerzas exteriores y [K ]es la matriz de rigideces tangente, en la que se consideran el flujo plástico parcial de lassecciones transversales y el efecto geométrico de inestabilidad; esta matriz se actualiza alaplicar cada incremento de carga, pues depende de la penetración del flujo plástico, de lamagnitud de las fuerzas exteriores y de los desplazamientos del eje.

La resistencia máxima se determina estableciendo la relación carga-desplazamientocompleta (refs. 7.15 y 7.31).

Se han obtenido soluciones numéricas para columnas aisladas formadas por perfiles H laminados con imperfecciones geométricas iniciales, libremente apoyadas y con alabeo libre,que satisfacen las hipótesis (exceptuando la b, la c y la segunda parte de la g) que sirven debase para evaluar la resistencia de las columnas flexionadas alrededor de los ejes de mayor inercia.

Además se supone que los momentos aplicados en los extremos de la columna son igualesen magnitud y producen curvatura simple, en cada plano de flexión.

Los resultados finales son familias de curvas de interacción, tablas (refs. 7.6, 7.7 y 7.15), y

fórmulas aproximadas. Curvas, tablas y fórmulas se han obtenido para σy = 2530 Kg/cm

2

,pero pueden emplearse para otros aceros utilizando la relación de esbeltez equivalente(L/r)eq = (L/r) σy / 2530) .

En la Fig. 7.20 se muestra una familia típica de curvas de interacción (refs. 7.6 y 7.31),obtenidas para P/P y = cte = 0.3.




Fig. 7.20 Curvas de interacción que proporcionan la resistenciamáxima de columnas en flexocompresión biaxial

7.3.6 Diseño de columnas en flexocompresión biaxial

La resistencia de una columna comprimida y flexionada por pares aplicados alrededor de losdos ejes de simetría de sus secciones extremas queda regida por alguno de los fenómenossiguientes:

a) Resistencia de la sección transversal en un extremo o en una sección intermediaprovista de contraventeo adecuado.

b) Inestabilidad del miembro completo, ocasionada por la amplificación de los momentosprimarios producida por la fuerza axial que actúa sobre la columna deformada.

Si se evita el pandeo local, la resistencia máxima de una sección (que es, también, la de unacolumna muy corta) corresponde a la plastificación completa del material que la compone.

7.3.6.1 Resistencia de columnas largas

7.3.6.1.1 Ecuaciones de interacción lineales

a) En sus especificaciones de 1989 (ref. 7.23) el AISC recomienda las ecs. 7.36 y 7.38para diseñar columnas largas en flexocompresión biaxial, cuando el estado límite es elde inestabilidad del miembro.




Si los momentos en los extremos producen, por sí solos, flexión uniforme en cada uno de losplanos, C x y C y valen 1.0, y las ecuaciones toman la forma:

Diseño por esfuerzos permisibles:

f F

+ f

1 -f

F' F

+f

1 -f

F' F

1.0 a

a

bx

a

ex bx

by

a

ey by

≤ (7.39)

Diseño por resistencia última:

P

P +

M

1 -P

P M

+M

1 -P

P M

1.0 cr

x

ex ux

y

ey uy

≤ (7.40)

La segunda ecuación es una extensión, para flexión biaxial, de la que propone el AISC .

f a = P/A es el esfuerzo de compresión axial producido por las acciones nominales (detrabajo), f bx = (M x )máx /S x y f by = (M y )máx /S y los esfuerzos máximos de flexión, correspondientestambién a solicitaciones nominales, F a el esfuerzo que se permitiría si la columna trabajaseen compresión axial (para pandeo en el plano más crítico), F bx y F by los esfuerzos decompresión que se permitirían si el miembro estuviese sometido sólo a flexión en cada unode sus planos principales (al determinarlos se tienen en cuenta todos los modos de fallaposibles, incluyendo flujo plástico, pandeo lateral por flexotorsión y pandeo local) y F’ ex , F’ ey

son las cargas críticas de Euler para pandeo en cada plano, multiplicadas por 12/23 (o, loque es igual, divididas entre 1.92).

P , M x y M y son la fuerza axial y los momentos en los extremos de la columna, producidos por las acciones de diseño (debidas a cargas factorizadas), P cr la resistencia máxima de lacolumna en compresión axial (no es necesariamente la carga crítica, aunque ésta se toma enmuchos casos como una medida de la resistencia máxima), M ux y M uy los momentosresistentes máximos de la barra flexionada alrededor de cada uno de los ejes, reducidos,cuando sea necesario, por pandeo lateral por flexotorsión (se evalúan suponiendo que losmomentos en el otro plano y la fuerza axial son nulos), y P ex y P ey las cargas críticas deEuler.

Cuando la columna es de sección H compacta y su longitud no sobrepasa ciertos límites, demanera que el pandeo lateral por flexocompresión no es crítico en ningún plano, lo que esfrecuente en estructuras urbanas, los esfuerzos permisibles F bx y F by son, respectivamente,0.66 F y y 0.75 F y , diez y 25 por ciento mayores que el esfuerzo permisible básico en flexión,0.60 F y (ref. 7.23); se reconoce así que el momento máximo que resisten las seccionescompactas (el momento plástico) es mayor que el de iniciación del flujo plástico, en unacantidad igual al factor de forma; sin embargo, la relación entre esfuerzos permisibles, F by /F bx

= 0.75 F y /0.66 F y = 1.14, es bastante menor que el cociente de los factores de forma, f y /f x ≈1.55/1.12 = 1.38, por lo que cuando el momento alrededor de y es significativo la ec. 7.39 (ola 7.36) lleva a diseños más conservadores que la 7.40 (o la 7.38), en la que M ux es el




momento plástico M px , reducido, cuando sea necesario, por pandeo lateral, y M uy es igual aM py .

Para valores dados de f a /F a (o P/P y ), cada una de las ecuaciones anteriores quedarepresentada, en un sistema de ejes coordenados f bx -f by (o M x - M y ), por una línea recta; sonecuaciones de interacción lineales.

Trasponiendo P/P cr al segundo miembro de la ec.7.40, y dividiendo todos los términos entre1-P/P cr , toma la forma

1.0

M P

P -1

P

P 1

M +

M P

P -1

P

P 1

M

uy

ex cr

y

ux

ex cr

x ≤

−

−

(7.41)

que puede escribirse

1.0 M

M

+M

M

ucy

y

ucx

x

≤3

(7.42)

Tomando el signo “igual” se obtiene una ecuación que relaciona los momentos M x y M y que,al obrar al mismo tiempo que una compresión P , ocasionan la falla. Para que la ecuación seacorrecta cuando las solicitaciones son compresión y flexión alrededor de un solo eje, losdenominadores deben ser los momentos que resiste la columna en esas condiciones; si, por ejemplo, M y = 0, la ecuación se reduce a

M

M = 1.0,

x

ucx

M x = M ucx

La barra falla cuando M x alcanza el valor M ucx que es, por consiguiente, la resistencia de lacolumna sometida a compresión y a flexión alrededor del eje x , disminuida por pandeo si éstees crítico.

Sustituyendo M p por M crx , la ec. 7.27 describe, en forma aproximada pero bastante precisa, lafalla de columnas en la condición de carga mencionada; de ella puede obtenerse el momentomáximo que resiste la barra en combinación con la fuerza de compresión P :

M x = 1 P

P 1 -

P

P M

o E cr x

−

El segundo miembro es el denominador del primer término de la ec. 7.41; el denominador delsegundo término tiene el mismo significado, cuando sólo hay flexión alrededor del eje y . (Eneste caso el momento que multiplica a los dos paréntesis es M py , pues no hay pandeo lateralpor flexotorsión).

3 El primer miembro de esta ecuación tiene el mismo valor numérico que el de la ec. 7.40 sólo cuando es 1.0. En caso

contrario, las dos expresiones proporcionan valores ligeramente diferentes, pero ambas describen de manera correcta lacondición que rige el diseño.




Por consiguiente, M ucx y M ucy se pueden calcular, con precisión suficiente para diseño, conlas expresiones

M ucx = 1 −

P

P 1 -

P

P M

u ex mx (7.43)

M ucy = 1 −

P

P 1 -

P

P M

u ey

py (7.44)

P u es la resistencia última de la columna en compresión axial (como se mencionó arriba,puede ser, pero no es necesariamente, la carga crítica), y M mx el momento máximo queresistiría si estuviese sometida sólo a flexión alrededor de x ; se determina con la teoría de laflexión de vigas de sección I (capítulo 5), o se calcula con la expresión aproximada (refs. 7.23y 7.25)

M mx = 1.07 - (L / r ) F

26500 M M

y y

px px

≤ (7.45)

Esta ecuación se obtuvo empíricamente, tomando como base los resultados de ensayes delaboratorio; proporciona un valor aproximado del momento crítico de pandeo lateral cuandono hay fuerza axial, para el caso en que M 1 /M 2 = 1 (flexión en curvatura simple); para otrosvalores de M 1 /M 2 , la ecuación se ajusta con el factor C adecuado.

Con F y en kg/cm2, M mx se obtiene en las unidades de M px .

En la obtención de la ec. 7.45 no parecen haberse considerado esbelteces L/r y mayores que

2 E / F ,2

y π por lo que si se sobrepasa este límite el momento M mx debe evaluarse de manera

más precisa (ref. 7.7 y capítulo 5); sin embargo, en columnas de edificios urbanos no suele

excederse esa esbeltez. (Para acero A36 , 2 E / F 2

y π = 126.1; para grado 50, 2 E / 3515 2 π =

107.0; ambas esbelteces son elevadas, aún para el eje de menor radio de giro).

M ucx y M ucy son los momentos máximos que resiste la barra en cada plano principal,incluyendo la fuerza axial y teniendo en cuenta la posibilidad de falla por pandeo por flexotorsión (que no se presenta nunca cuando el eje de flexión es el y ), pero excluyendo el

otro momento.

7.3.6.1.2 Ecuaciones de interacción no lineales

La línea recta de la Fig. 7.21 es la representación gráfica de la ec. 7.42, en la forma M X /M ucx

+ M y /M ucy = 1.0; las coordenadas de sus puntos son pares de valores de M x y M y queocasionan la falla de la columna en combinación con una fuerza axial determinada, con laque se evalúan M ucx y M ucy .




Fig. 7.21 Representación gráfica de la ecuación 7.46

Se ha demostrado (refs. 7.7, 7.15, 7.31; Fig. 7.20) que la interacción de momentos, para

fuerzas axiales determinadas, no es lineal; en un sistema de ejes como el de la Fig. 7.21 lacurva de interacción se parece mucho más a un cuadrante de círculo que a una línea recta;la ec. 7.42 es, casi siempre, muy conservadora.

Para acercarse a los resultados teóricos más precisos, se ha propuesto (refs. 7.7 y 7.15)sustituirla por

M

M +

M

M 1.0

x

ucx

y

ucy

≤

β β

(7.46)

con lo que se tiene, para columnas largas, una expresión de interacción semejante a la 7.9,que se dedujo para columnas cortas.4

M ucx y M ucy se calculan con las ecs. 7.43 y 7.44.

Cuando la columna es de sección transversal H , el exponente β se determina como sigue(Apéndice H, ref. 7.9):

4

Si β = 1.0, la ec. 7.46 se reduce a la 7.42, que ya se ha demostrado que es igual a la 7.40.




Si B/D < 0.3, β = 1.0 (7.47a)

Si 0.3 ≤ B/D ≤ 1.0, β = 0.4 + p + B/D ≥ 1.0 (7.47b)

B y D son el ancho del patín y el peralte de la sección, y p = P u /P y .

La ec. 7.46 es aplicable, también, a secciones rectangulares huecas; en ese caso,

β = 1.7 - p

L p- aλ p > 1.1

n

x

b (7.48)

Si p ≤ 0.4, a = 0.06, b = 1.0 Si p > 0.4, a = 0.15, b = 2.0

λ x = KL/r x

En la Fig. 7.21 se han trazado las curvas correspondientes a la ec. 7.46, para varios valores

de β; la recta para β = 1.0, que representa la condición de diseño de los códigostradicionales, es un límite inferior de los resultados proporcionados por la ec. 7.46.

Momentos exteriores de cualquier magnitud y sentido

Los métodos para determinar la resistencia máxima de miembros en flexocompresión biaxialcon momentos desiguales en los extremos son demasiado complicados para aplicacionesprácticas, pero las curvas de interacción obtenidas para flexión simétrica pueden utilizarse enel caso general, extrapolando al intervalo inelástico al factor C (ec. 7.24), que se dedujo paracomportamiento elástico (refs. 7.6, 7.7, 7.15, 7.29 y 7.35). De esta manera pueden utilizarselas curvas y tablas, o la ecuación 7.46, para cualquier valor de los momentos exteriores,

sustituyéndolos por momentos ficticios equivalentes:

(M x )eq = C x M 2x (M y )eq = C y M 2y (7.49)

M 2x y M 2y son los momentos más grandes aplicados alrededor de cada uno de los ejes x y y ,y C x y C y se calculan con la ecuación 7.24, que se reproduce aquí:

C = 0.6 ± 0.4 M 1 /M 2 (7.24)

M 1 y M 2 son el menor y el mayor de los momentos en los extremos de la columna, tomadosen valor absoluto; el signo positivo corresponde a curvatura simple y el negativo a curvatura

doble.

Las ecuaciones de interacción 7.9 y 7.46 tienen la ventaja de que los dos estados límite defalla de interés, resistencia de las secciones extremas y de la columna completa, regida por estabilidad de conjunto del miembro, se revisan con ecuaciones semejantes que, además,

son de aplicación general, pues si no se conoce el coeficiente α o β de alguna secciónparticular se puede considerar, conservadoramente, igual a 1.0.




Para utilizar la ec. 7.46 se recomienda que la resistencia en compresión axial no se considereigual a la carga crítica de pandeo de la barra perfecta, sino se determine con las curvasmúltiples para diseño de columnas, que se han obtenido con métodos compatibles con losempleados para el análisis de las barras flexocomprimidas, basados ambos en la

determinación de la curva carga-deflexión de columnas con imperfecciones geométricasiniciales.




7.4 ESPECIFICACIONES DE DISEÑO

En los artículos siguientes se reproducen, con comentarios, las especificaciones de diseñoincluidas en varios códigos y reglamentos, poniendo énfasis en las columnas que forman

parte de estructuras de rigidez lateral suficiente para que los efectos P ∆ (art. 7.3) no seansignificativos. El estudio de los casos en que esos efectos son importantes se hace en el

Capítulo 9.

Las ecuaciones tienen el número que les corresponde en este capítulo y, junto a él, entreparéntesis rectangulares, el del reglamento correspondiente.

Se presentan también algunos ejemplos numéricos resueltos con las diversasespecificaciones, y se comparan los resultados.

7.4.1Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructurasmetálicas, Reglamento de Construcciones para el D. F.

Las normas que están en vigor actualmente (mayo de 2003) son las de la ref. 7.33, que seexplican en detalle en la ref. 7.27; en un futuro cercano serán sustituidas por las de la ref.7.34, a las que se refiere este artículo.

Cabe señalar que entre las refs. 7.33 y 7.34 no hay diferencias básicas, pero sí haymodificaciones de alguna importancia.

En las normas se trata el diseño de miembros de eje recto y sección transversal constante,con dos ejes de simetría, sujetos a compresión y a flexión producida por momentos queobran alrededor de uno o de los dos ejes de simetría.

Las estructuras de las que forman parte esos miembros se clasifican en regulares eirregulares. En la ref. 7.34 se describen las características que debe satisfacer una estructurapara ser considerada en uno u otro de los dos grupos, y en sus secciones 3.4.3 y 3.4.4 seindica cómo dimensionar columnas que forman parte, respectivamente, de estructurasregulares y de estructuras irregulares.

También se incluye el diseño de miembros flexocomprimidos del tipo de las cuerdas encompresión de armaduras sobre las que obran cargas transversales aplicadas entre losnudos.

7.4.1.1 Estados límite

En el diseño de miembros flexocomprimidos se consideran los estados límite de fallasiguientes:

• Pandeo de conjunto de un entrepiso, bajo carga vertical

• Pandeo individual de una o varias columnas, bajo carga vertical

• Inestabilidad de conjunto de un entrepiso, bajo acciones verticales y horizontalescombinadas




• Falla individual de una o varias columnas, bajo acciones verticales y horizontalescombinadas, por inestabilidad o porque se agote la resistencia de alguna de sus seccionesextremas

• Pandeo local

Debe considerarse también un estado límite de servicio, de deformaciones laterales de

entrepiso, que dependen, en buena parte, de las características de las columnas.

En lo que sigue se dan recomendaciones para evitar que se alcancen los estados límite defalla anteriores, excluyendo el pandeo local. Este se trata en la sección 2.3 de las normas, yse ha estudiado en el Capítulo 3.

7.4.1.2 Determinación de los momentos de diseño Muox, Muoy, M*uox, M*uoy

En todos los casos que se describen a continuación (excepto en el análisis de primer ordende estructuras irregulares), ya sea que el diseño quede regido por cargas verticales, o por sucombinación con acciones horizontales, producidas por viento o sismo, las estructuras, sean

regulares o irregulares, deben analizarse bajo la acción combinada de las fuerzas reales queactúan sobre ellas y de fuerzas ficticias horizontales que se aplican en la misma dirección ysentido que las fuerzas de viento o sismo, o, en estructuras asimétricas bajo carga vertical,en el sentido en que sus efectos se sumen con los debidos a la asimetría, de manera que losmomentos de diseño M uo y M* uo incluyen contribuciones de los dos tipos de cargas, reales yficticias.

Las fuerzas ficticias horizontales, que se aplican en cada uno de los niveles de la estructura yen todas las combinaciones de cargas, se toman igual a 0.005 veces la carga vertical dediseño (factorizada) que actúa en el nivel, correspondiente a la combinación de cargas enestudio.

La justificación del uso de las cargas laterales ficticias está en el Capítulo 9.

7.4.1.3 Dimensionamiento de columnas que forman parte de estructuras regulares

En la ref. 7.34 se dan también algunas recomendaciones para estructuras irregulares, que nose reproducen aquí.

Se revisa la resistencia de las dos secciones extremas y de la columna completa, incluyendoefectos de segundo orden. Para la revisión de las secciones extremas se utilizan lasecuaciones 7.47 o 7.48 y 7.49, 7.50 o 7.51, según el tipo de sección de que se trate, y para la

columna completa la ecuación 7.52 o 7.54. Las dimensiones de las columnas se obtienen demanera que se cumplan, simultáneamente, las condiciones de resistencia de las seccionesextremas y de la columna completa.

7.4.1.3.1 Revisión de las secciones extremas

a) Secciones tipo 1 y 2

En cada uno de los extremos de la columna debe satisfacerse la condición:




Secciones H o I P

F P +

0.85M

F M +

0.60M

F M 1.0 u

R y

uox

R px

uoy

R py

≤ (7.47) [3.51]

Esta ecuación es la 7.7, aplicable a secciones que pueden plastificase por completo sin quehaya ninguna falla prematura por pandeo local, en la que se han introducido los factores de

resistencia.

Secciones en cajón, cuadradasP

F P +

0.80M

F M +

0.80M

F M 1.0 u

R y

uox

R px

uoy

R py ≤ (7.48) [3.52]

En las expresiones anteriores,

F R = 0.90

P u , M uox y M uoy son la fuerza axial de diseño en la columna y los momentos de diseño en elextremo considerado, calculados como se indica en el Capítulo 9.

M uox y M uoy se determinan con un análisis elástico de segundo orden, “exacto” o aproximado,

que incluye los efectos P ∆ (art. 7.3 y Capítulo 9). Cuando la columna forma parte de unaestructura que tiene rigidez lateral suficiente, propia o proporcionada por su interacción concontraventeos o muros de cortante, para que puedan despreciarse los efectos de esbeltezdebidos a desplazamientos laterales de entrepiso, el único efecto de segundo orden que se

considera es el P δ, ocasionado por la deformación del eje del miembro entre sus extremos.En ese caso, los momentos en las secciones extremas no se amplifican, pues la resultantede la fuerza axial sigue pasando por sus centros de gravedad.

M px = Z x F y y M py = Z y F y son los momentos plásticos resistentes nominales de la sección,

para flexión alrededor de los ejes x y y , respectivamente.

P y = At F y es la fuerza axial nominal que, obrando por sí sola, ocasionaría la plastificación deuna columna corta con secciones transversales de área At .

Cuando se emplea alguna de las ecs. 7.47 o 7.48 para revisar columnas de seccióntransversal H , I o en cajón, cuadrada, ha de comprobarse que se cumple, además, lacondición

1.0MF

M +

MF

M

pyR

uoy

pxR

uox ≤ (7.49) [3.53]

Si la sección transversal de la columna no es ninguna de las mencionadas arriba, lasecuaciones 7.47 y 7.48 se sustituyen por

P

F P +

M

F M +

M

F M 1.0 u

R y

uox

R px

uoy

R py

≤ (7.50) [3.54]

b) Secciones tipo 3 y 4




En cada uno de los extremos de la columna debe satisfacerse la condición

P

F P +

M

M +

M

M 1.0 u

R y

uox

Rx

uoy

Ry ≤ (7.51) [3.55]

Si la sección es tipo 3, M Rx = F R S x F y , M Ry = F R Sy F y ; si es tipo 4, debe tenerse en cuenta laposible falla por inestabilidad local; las otras cantidades que aparecen en la ecuación se handefinido arriba.

7.4.1.3.2 Revisión de la columna completa

a) Secciones tipo 1 y 2

Debe satisfacerse la condición:

P

R

+M *

M

+M *

F M

1.0 u

c

uox

m

uoy

R py

≤ (7.52) [3.56]

F R = 0.90

P u , M* uox y M* uoy son la fuerza axial de diseño que obra sobre la columna y los momentos dediseño, calculados como se indica en el Capítulo 9. En la ec. 7.52, lo mismo que en las ecs.3.58 y 3.59, se utilizan siempre los momentos de diseño máximos, alrededor de los ejes x yy , aunque los dos no se presenten en el mismo extremo de la columna.

M m es el momento resistente de diseño, para flexión alrededor del eje x ; se calcula como seindica en la sección 3.2.2 de las Normas (Capítulos 4 y 5) o, en forma aproximada, con la

ecuación (válida para secciones I o H ):

M m = F R 1.07 -(L / r ) F

26500

y y

M px ≤ F R M px (7.53) [3.57]

En las ecuaciones de la sección 3.3.2 (Capítulos 4 y 5) se hace C = 1.0.

M m puede tomarse igual a F R M px cuando la columna está soportada lateralmente en formacontinua, o cuando está provista de soportes laterales con separación L no mayor que Lu ,

dada por la ec. 5.34 [3.25] si no se requiere capacidad de rotación, o no mayor que L p, ecs.

5.45 [3.33] o 5.47, cuando sí se requiera.

R C , resistencia de diseño en compresión, se determina de acuerdo con la sección 3.2.2 delas normas.5 Se calcula con K = 1.0.

b) Secciones tipo 3 y 4

5 La sección 3.2.2 de la ref. 7.34 es muy semejante al art. 2.6.7 del Capítulo 3, pero se han incluido en ella aceros de mayor

resistencia. La diferencia se debe a que las normas que se reproducen en el art. 2.6.7.1a corresponden a la ref. 7.33.




Debe cumplirse la condición:

P

R +

M *

M +

M *

M 1.0 u

c

uox

Rx

uoy

Ry

≤ (7.54) [3.58]

M Rx y M Ry , momentos resistentes de diseño alrededor del eje x y del y , se calculan deacuerdo con la sección 3.3.2 de las Normas (sec. 5.6, Cap. 5), haciendo C = 1.0. R c secalcula con K = 1.0.

En lugar de las ecs. 7.47, 7.48 y 7.52 pueden usarse expresiones más refinadas, queaparecen en la literatura técnica, aplicables a columnas de sección transversal H o en cajón(Ecs. 7.9 y 7.46, y Apéndice H, ref. 7.9, reproducido en el art. 7.4.2.2.2).

Cuando sólo es significativo el efecto P δ, los momentos de diseño M* uo se determinanmultiplicando por el factor de amplificación B1 los momentos correspondientes, obtenidos conun análisis de primer orden.

B =C

1 - P / F P 1

u R E1

(7.55) [1.3]

donde P EI = At π2 E/(KL/r)2 es la carga crítica de pandeo elástico de la columna, en el plano en

consideración, calculada con K ≤ 1.0.

B1 es el factor de amplificación del art. 7.3.1.1.1 (ver, por ejemplo, la ec. 7.25).

7.4.2 Especificaciones AISC

El AISC cuenta en la actualidad con dos especificaciones diferentes: la “Especificación paraedificios de acero estructural, diseño por esfuerzos permisibles y diseño plástico”, de junio de1989 (ref. 7.23), y la “Especificación para diseño de edificios de acero estructural utilizandofactores de carga y resistencia”, de diciembre de 1999 (ref. 7.9). En la primera se conservan,con modificaciones mínimas, los métodos de diseño utilizados desde hace bastantesdécadas (la ref. 7.23 es casi igual a la 7.24, que representa el estado que había alcanzado,en 1978, el diseño por esfuerzos permisibles y, aunque con menor detalle, el diseñoplástico); la segunda se basa en la revisión de estados límite de servicio y resistencia.66

7.4.2.1 Especificación para edificios de acero estructural. Diseño por esfuerzospermisibles y diseño plástico (ref. 7.23)

Se utiliza la nomenclatura que emplea el AISC.

6

En el AISC se tiene la intención de incorporar, en un solo documento (que aparecerá en el año 2005 o 2006), las dosformas de diseño que hoy son objeto de dos normas diferentes, por esfuerzos permisibles y por factores de carga yresistencia.




7.4.2.1a Diseño por esfuerzos permisibles

Las recomendaciones que siguen se refieren a columnas de sección transversal con uno odos ejes de simetría.

Los miembros sujetos a la acción combinada de esfuerzos de compresión axial y de flexióndeben dimensionarse de manera que se cumplan las condiciones siguientes:

f

F +

C f

1f

F' F

+C f

1f

F' F

1.0 a

a

mx bx

a

ex bx

my by

a

ey by

−

−

≤ (7.55) [H1-1]

f

0.60F +

f

F +

f

F 1.0

a

y

bx

bx

by

by

≤ (7.56) [H1-2]

La ec. 7.45 es la 7.36; aunque está escrita en términos de esfuerzos producidos por accionesde trabajo y de esfuerzos permisibles, no describe la terminación del comportamientoelástico, sino el colapso de la columna, al que se aplican coeficientes de seguridadadecuados. Proviene de la ecuación de interacción correspondiente a la falla por inestabilidad de la columna completa (ec. 7.30, con un término adicional, necesario cuando laflexión es biaxial); se obtiene dividiendo las fuerzas axiales P , P cr , P Ex y P Ey , entre el área Ade la sección transversal, y los momentos M 2x , M 2y , M crx y M cry

7 entre el módulo de sección S x

o Sy , con lo que se obtienen esfuerzos normales, y dividiendo después los numeradores ydenominadores de todas las fracciones, incluyendo las de los factores de amplificación, entrelos coeficientes de seguridad usuales para compresión axial y para flexión. Los esfuerzos

permisibles F a, F bx y F by no corresponden, en general, a pandeo elástico, sino a la forma depandeo, elástico o inelástico, que sea crítica en cada caso particular.

La ec.7.56 proviene de la 7.31, que se transforma en la 7.34 cuando se trabaja con accionesnominales y esfuerzos permisibles, y en la 7.37 al añadir el término para flexión alrededor dey . Con ella se revisan las secciones extremas, en las que no interviene la inestabilidad deconjunto; sin embargo, F bx y F by pueden ser menores que 0.60 F y si la sección es de paredesdelgadas y el pandeo local crítico, o mayores en secciones con factor de forma alto, pues sepermiten esfuerzos más elevados para tener en cuenta, en parte, su resistencia adicional enel intervalo inelástico; por ejemplo, en secciones H compactas, flexionadas alrededor del ejede menor momento de inercia, que tienen un factor de forma mayor que 1.5, se especifica un

esfuerzo permisible F by = 0.75 F y . El denominador del primer término no puede exceder de0.60 F y , pero sí podría ser más pequeño si la ecuación se utilizase para revisar una columnade paredes delgadas.

En todos los casos deben satisfacerse, simultáneamente, las dos condiciones expresadas

por las ecs. 7.55 y 7.568, pero si f a /F a ≤ 0.15 pueden sustituirse por una sola:

7En el denominador del término correspondiente a flexión alrededor del eje y no aparece en realidad un momento crítico,sino M y o M p, ya que las barras flexionadas alrededor de su eje de menor momento de inercia no se pandean lateralmente.




f

F +

f

F +

f

F 1.0

a

a

bx

bx

by

by

≤ (7.57) [H1-3]

Cuando el esfuerzo normal producido por la fuerza axial no excede de 15 por ciento delpermisible la influencia de los factores C m /(1 - f a /F’ e ) es pequeña, y puede despreciarse (ref.

7.25); al hacerlo, la ec. 7.55 se reduce a la 7.57, que es conservadora con respecto a la 7.56,puesto que F a es siempre menor que 0.60 F y .

Esta simplificación es útil cuando la revisión de una columna se hace manualmente, perodeja de tener sentido si se utilizan hojas de cálculo o programas de computadora.

En las expresiones anteriores, los subíndices x y y , combinados con b, m o e, indican el ejede flexión al que corresponde un esfuerzo o propiedad particular, y

F a = esfuerzo de compresión axial que se permitiría si la barra trabajase exclusivamente encompresión

F b = esfuerzo de compresión producido por flexión que se permitiría si hubiese sólo flexiónalrededor de uno de los ejes x o y

F b se calcula con las ecuaciones que se recomiendan en las especificaciones AISC 89 (ecs.F1-6 a F1-8, ref. 7.23). Cuando se emplea en la ec. 7.55 se consideran dos casos: si lacolumna pertenece a un marco en el que los desplazamientos laterales de entrepiso noinfluyen significativamente en las acciones de diseño, en el cálculo de F b se toma C b = 1.0,con lo que se obtiene el esfuerzo permisible en la pieza en flexión pura, puesto que el efectode la flexión no uniforme se tiene en cuenta en la ec. 7.55, al sustituir los esfuerzos máximosf bx y f by por los uniformes equivalentes C mx f bx y C m f by ; en cambio, si los desplazamientos

laterales de entrepiso producen efectos significativos, C b = 1.75 + 1.05 (M 1 /M 2 ) + 0.3 (M 1 /M 2 )2

≤ 2.3, porque ahora los coeficientes C m son parte del factor de amplificación , y no tienen por objeto convertir los momentos variables en uniformes equivalentes (ref. 7.6).

F b es mayor que 0.60 F y en miembros de sección compacta provistos de contraventeo lateraladecuado.

F’ e = 12 π2 E/23 (KLb /r b )2 . Lb es la longitud real entre secciones soportadas lateralmente en el

plano en que se está considerando la flexión, y r b y K son el radio de giro y el factor delongitud efectiva correspondientes. F’ e se obtiene dividiendo el esfuerzo crítico de Euler encada plano de flexión entre 23/12 = 1.92, que es el coeficiente de seguridad máximo para

compresión axial, de acuerdo con esta especificación.

Igual que F a, F b y 0.60 F y , F’ e puede incrementarse cuando en el diseño intervienen accionesaccidentales.

8Obsérvese que, en general, no puede lograrse que los primeros miembros de las dos ecuaciones valgan 1.0, puesto que

corresponden a dos posibles formas de falla diferentes.




f a = esfuerzo de compresión producido por la fuerza axial.

f b = esfuerzo máximo de compresión producido por uno de los momentos en el punto enconsideración. Cuando no hay cargas transversales entre los extremos de las columnasf bx y f by se calculan, para la ec. 7.55, con los momentos M x y M y máximos, aunque actúenen extremos diferentes, porque con ellos se obtienen los momentos uniformes

equivalentes C mx M 2x y C my M 2y , o los esfuerzos correspondientes; en cambio, en la ec.7.56, que debe aplicarse, en general, a los dos extremos de la columna, por separado, f bx

y f by se evalúan con los dos momentos que hay en cada uno de ellos; si los dosmomentos máximos actúan en el mismo extremo, no hace falta revisar el otro.

C m (en la ref. 7.34 se llama C ) es un coeficiente que vale:

1. En miembros flexocomprimidos que forman parte de marcos cuyos nudos puedendesplazarse lateralmente, C m = 0.85.

2. En miembros flexocomprimidos que forman parte de marcos en los que los

desplazamientos laterales de entrepiso no son significativos se tienen dos casos:

2a. Cuando no hay cargas transversales entre los extremos, en el plano de la flexión, C m =0.6 - 0.4 M 1 /M 2 , donde M 1 y M 2 son el menor y el mayor de los momentos en losextremos del tramo del miembro no soportado lateralmente en el plano de flexión que seesté considerando; el cociente M 1 /M 2 es positivo cuando el miembro se flexiona encurvatura doble y negativo cuando la curvatura es simple.

2b. Cuando hay cargas transversales aplicadas entre los extremos, C m se puede determinar por medio de un análisis, o se emplean los valores siguientes:

a. Para miembros con extremos restringidos contra la rotación en el plano de la flexión, C m= 0.85.

b. Para miembros con extremos no restringidos contra la rotación en el plano de la flexión,C m = 1.0.

Estos valores pueden utilizarse para el diseño de otros miembros flexocomprimidos concondiciones de apoyo y carga semejantes, como las cuerdas comprimidas de armaduras concargas fuera de los nudos.

En la ref. 7.25 se recomienda un procedimiento aproximado para evaluar los coeficientes C mdel caso 2b; ver también la ref. 7.6.

7.4.2.1b Diseño plástico

Los miembros sometidos a la acción combinada de compresión axial y flexión en un planohan de dimensionarse de manera que se satisfagan simultáneamente las fórmulas deinteracción siguientes (que son las ecs. 7.30 a 7.32):




P

P +

C M

1P

P M

1.0 cr

m

em−

≤ (7.58) [N4-2]

P

P +

M

1.1.8 M 1.0; M M

y p p≤ ≤ (7.59) [N4-3]


M = momento máximo de diseño (factorizado).P = fuerza axial de diseño (factorizada).

M y P incluyen el factor de carga; en la ref. 7.23 se recomienda que en diseño plástico setome 1.7 para cargas permanentes, muertas y vivas, y 1.3 para combinaciones que incluyanviento o sismo. La resistencia nominal de los miembros estructurales debe ser mayor o igualque la acción (o combinación de acciones) factorizada correspondiente.

P cr = 1.7 A F a; A es el área de la sección transversal del miembro y F a el esfuerzo permisibleen compresión axial de la columna, que falla por pandeo inelástico.

La relación de esbeltez L/r x en el plano de flexión de columnas en las que se formará unaarticulación plástica, bajo carga última, se limita a valores para los que el pandeo en ese

plano no se inicia en el intervalo elástico (L/r x ≤ (L/r )c ); además, las columnas deben estar soportadas lateralmente de manera adecuada para evitar pérdidas de resistencia por pandeolateral por flexotorsión en las zonas donde se formen articulaciones plásticas asociadas conel mecanismo de colapso. F a se calcula con la relación de esbeltez más grande, en el planode la flexión o fuera de él.

P e = carga crítica de Euler en el plano de la flexión = π2 EA/(KLb /r b )2 ≈ (23/12) AF’ e ; F’ e está

tabulado en la ref. 7.23.C m = coeficiente definido en 7.4.2.1a.M m = momento máximo que puede resistir el miembro cuando la fuerza axial es nula.M p = momento plástico = F y Z. Z = módulo de sección plástico.

Para columnas soportadas lateralmente, M m = M p.Para columnas no soportadas lateralmente, Mm se calcula con la ec. 7.45.

Las especificaciones AISC de 1989 para diseño plástico no cubren las columnas enflexocompresión biaxial, pero se recomienda (refs. 7.2, 7.5, 7.21) que en ese caso se revisela condición de inestabilidad introduciendo en la ec. 7.58 un tercer término, para flexiónalrededor del segundo eje centroidal y principal, con lo que se obtiene la ec. 7.38. Laresistencia de las secciones extremas se revisa con las ecs. 7.7 y 7.8, o con la 7.9.




7.4.2.2 Especificación para diseño de edificios de acero estructural por factores decarga y resistencia (ref. 7.9)

El diseño de barras de sección transversal con uno o dos ejes de simetría, enflexocompresión biaxial, hecho con métodos basados en el uso de factores de carga y

resistencia, se efectúa de manera que se cumplan las ecuaciones de interacción siguientes:

a) SiP

P 0.2

u

c nφ≤

P

P +

8

9

M

M +

M

M 1.0

u

c n

ux

b nx

uy

b ny φ φ φ

≤ (7.60) [H1-1a]

b) SiP

P 0.2 u

c nφ<

P

P +

M

M +

M

M 1.0 u

c n

ux

b nx

uy

b ny 2 φ φ φ

≤ (7.61) [H1-1b]

en las que

φc = 0.85, φb = 0.90, factores de reducción de la resistencia en compresión y flexión,respectivamente.

P n = resistencia nominal de la columna en compresión axial.M nx , M ny = resistencia nominal de la barra en flexión alrededor del eje x , y .

P u = resistencia requerida en compresión (fuerza de compresión de diseño).M ux , M uy = resistencias requeridas en flexión (momentos de diseño).

Para revisar un perfil propuesto se utiliza una sola ecuación, que se escoge según el valor

del cociente P u / φc P n, pues la manera como se definen los factores de amplificaciónrequeridos para calcular M ux y M uy hace innecesaria la revisión, por separado, de lassecciones extremas.

P n se determina con la longitud efectiva crítica de la columna, y M ux y M uy se obtienen por medio de un análisis elástico de segundo orden de la estructura con cargas factorizadas, oamplificando, como se indica a continuación, los momentos obtenidos con un análisis elástico

de primer orden.

7.4.2.2.1 Factores de amplificación9

Si el diseño se basa en un análisis elástico de primer orden, los momentos de diseño M ux yM uy se calculan con la ecuación

9 En el Capítulo 9 se estudian los diversos métodos de análisis y diseño de estructuras constituidas principalmente por

marcos rígidos, y se deduce la ec. 7.62.




M u = Bl M nt + B2 M lt (7.62) [C1-1]

donde

M nt = momento de diseño producido por cargas que no ocasionan desplazamientos lateralesapreciables de los extremos de la columna.

M lt = momento de diseño originado por fuerzas que sí producen desplazamientossignificativos (desplazamientos laterales de entrepiso).

B1 =C

1 P / P 1.0 m

u e−≥ (7.63) [C1-2]

C m = coeficiente C de la ec. 7.24 (ver también el art. 7.4.2.1a).

P e1 = carga crítica de pandeo elástico de la columna en el plano en que se esté calculando

B1, obtenida con K ≤ 1.0 (P e1 = π2 EI/(KL)2 , donde I es el momento de inercia de la

sección en el plano de la flexión y K el factor de longitud efectiva en ese mismo plano,determinado como se indica en el Capítulo 9, para el marco contraventeado).

B2 se determina con cualquiera de las expresiones

B =1

1 -P

H.L

2 u oh∑

∑

∆ (7.64) [C1-4]

B =1

1 -P

P

2 u

e2

∑

∑

(7.65) [C1-5]

En ellas,

∑P u = suma de fuerzas axiales de diseño que obran en todas las columnas del entrepiso(carga vertical total de diseño en el entrepiso).

∆oh = desplazamiento lateral relativo de los dos niveles que limitan el entrepiso.

∑H = suma de todas las fuerzas horizontales de diseño que producen el desplazamiento ∆oh.

L = altura del entrepiso.

∑P e2 = suma de cargas críticas elásticas, en el plano en el que se está calculando B2 , detodas las columnas del entrepiso, calculadas suponiendo que pueden presentarse

desplazamientos laterales, con K > 1.0 (P e2 = π2 EI/(KL)2 , donde I es el momento de inercia enel plano de la flexión y K el factor de longitud efectiva en ese mismo plano, determinadocomo se indica en el Capítulo 9, para el marco sin contraventeo).




Aunque no se menciona en la ref. 7.9, donde aparecen con carácter general, las ecs. 7.64 y7.65 proporcionan resultados de precisión suficiente para diseño sólo cuando se aplican acolumnas de marcos rígidos regulares.

Con las ecs. 7.62 a 7.65 se evalúan los factores de amplificación y los momentos de diseñocorrespondientes a los dos ejes de flexión, x y y ; se han omitido los índices en ellas.

B1 (ec. 7.64) tiene en cuenta el efecto P δ; el origen de ese factor ya se ha tratado en estecapítulo.

Con el coeficiente B2 , en cualquiera de sus formas, se incluye, de manera aproximada, el

incremento de momentos producido por el efecto P ∆.

En el capítulo 9 se estudia cómo se obtiene.

La obtención de las ecuaciones 7.60 y 7.61 se basó en las consideraciones siguientes (ref.7.36):

1. Las ecuaciones de diseño deben ser generales, aplicables a una gran variedad deproblemas: flexión alrededor de cualquiera de los ejes, de mayor o menor inercia,columnas imperfectas en geometría y con esfuerzos residuales, desplazamientoslaterales de entrepiso impedidos o permitidos, cargas laterales intermedias,comportamiento inelástico, diversos valores de la relación de esbeltez y de lasrestricciones en los extremos, efectos de segundo orden,

2. El diseño debe hacerse con los resultados de un análisis elástico de segundo orden, envista de que no se cuenta todavía con métodos prácticos de análisis inelástico para usoen oficinas.

3. Las ecuaciones deben distinguir claramente los efectos de las cargas y las resistencias,de manera que el análisis elástico de segundo orden pueda efectuarse con facilidad.

4. Los resultados de las ecuaciones de interacción, que utilizan los elementos mecánicos deun análisis elástico de segundo orden, no deben diferir en más del 5 por ciento, del ladode la inseguridad, de las soluciones “exactas” obtenidas por medio de análisis inelásticosde segundo orden en los que se considere la amplitud creciente de las zonasplastificadas.

5. No debe ser necesario considerar, por separado, resistencia y estabilidad, porque, en

general, todas las columnas de longitud finita fallan por una combinación de flexióninelástica y efectos de estabilidad.

6. Debe permitirse ajustar la longitud efectiva de las columnas, teniendo en cuenta quecuando se inicia el pandeo suelen estar parcialmente plastificadas.

Las ecs. 7.60 y 7.61 son empíricas, determinadas, en parte, para que sus resultadoscoincidan con los de un gran número de soluciones elastoplásticas de segundo orden deestructuras planas sencillas.




Los estudios se concentraron en columnas de marcos planos sin contraventeo, en las que elefecto del desplazamiento lateral es significativo, ya que hay una literatura muy abundanterelativa al comportamiento de columnas con extremos fijos linealmente. Se investigaronmarcos de un piso con diversas condiciones de apoyo, algunos con columnas biarticuladas,que no contribuyen a la rigidez y resistencia laterales, utilizando un método inelástico desegundo orden teóricamente exacto, en el que se considera la amplitud creciente de las

zonas plastificadas.

Se investigó la posibilidad de utilizar valores de P n calculados con la longitud real de lacolumna (K = 1.0), en combinación con momentos M u elásticos de segundo orden, pero seencontró que cuando la fuerza axial es elevada, y los desplazamientos laterales de losextremos de la columna significativos, es difícil formular una ecuación de interacción generalpara barras flexocomprimidas, que sea suficientemente precisa para todos los valores deinterés de fuerzas axiales y momentos, sin incluir en ella la longitud efectiva, sea directa oindirectamente, en este caso por medio de una segunda ecuación. Por este motivo, si losdesplazamientos laterales de entrepiso no están impedidos, la resistencia nominal encompresión, P n, se calcula con la relación de esbeltez KL/r máxima, con K > 1.0 (ref. 7.20).

El momento máximo en el miembro, M u , está amplificado por interacción fuerza axial-desplazamiento lateral. En el caso general, los momentos de primer orden que no estánasociados con movimientos laterales de los extremos se multiplican por B1, y los que sí están

asociados con ellos, por B2 . B1 y B2 toman en cuenta, respectivamente, los efectos P δ y P ∆.

Las especificaciones AISC para diseño por esfuerzos permisibles (ref. 7.23) requieren quelos momentos máximos totales de las columnas de marcos carentes de contraventeoadecuado se multipliquen por el factor de amplificación 0.85/(1 - f a /F’ e), por lo que, en muchoscasos, los momentos producidos por carga vertical se incrementan excesivamente. Esto seha corregido utilizando dos factores de amplificación, B1, que afecta sólo a los momentos

correspondientes a solicitaciones que no ocasionan desplazamientos lineales significativosde los extremos de las columnas, y B2 , que multiplica a los debidos a acciones que síproducen esos desplazamientos. B1 se determina para cada columna aislada y B2 para todoel entrepiso, reconociendo que los desplazamientos laterales son un fenómeno de conjunto.

En edificios diseñados de manera que los cocientes ∆oh /L no sobrepasen límites prefijados, elfactor B2 puede calcularse antes de dimensionar los miembros individuales. Además, puedenestablecerse límites superiores de los desplazamientos laterales de entrepiso tales que la

flexión secundaria asociada con B2 (es decir, el efecto P ∆), sea insignificante.

En general, los momentos M nt de la ec. 7.62 son producidos por cargas gravitacionales, y los

M lt por acciones horizontales, viento o sismo, pero en estructuras muy asimétricas engeometría, en cargas, o en ambos aspectos, las acciones verticales pueden ocasionar momentos M lt significativos.

En edificios irregulares en los que los desplazamientos laterales incluyen un componenteimportante producido por torsión, el factor B2 subestima la amplificación de los momentos,sobre todo en las columnas alejadas del centro de rotación.




En marcos contraventeados adecuadamente el cálculo de P n y P e2 se basa siempre enfactores de longitud efectiva K menores que 1.0; en el análisis de la estructura se utilizan laslongitudes reales de los miembros. P n corresponde a la relación de esbeltez máxima; P e2 , encambio, se calcula siempre con el valor de KL/r asociado con el plano en que se evalúa elfactor de amplificación.

7.4.2.2.2 Ecuaciones de interacción alternas (ref. 7.9, Apéndice H)Cuando las columnas son de sección transversal H , con b p /d ≤ 1.0 , o en cajón, y se utilizanen marcos contraventeados, pueden utilizarse las ecs. 7.66 y 7.67, en lugar de las ecs. 7.60y 7.61. Las dos ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente.10

M

M' +

M

M' 1.0 ux

b px

uy

b py φ φ

ζ ζ

≤ (7.66) [A-H3-1]

C M

M' +

C M

M' 1.0 mx ux

b nx

my uy

b ny φ φ

η η

≤ (7.67) [A-H3-2]

Los términos de estas ecuaciones se determinan como sigue:

a) Miembros de sección transversal H :

Si b p /d < 0.5, ζ = 1.0

Si 0.5 ≤ b p /d ≤ 1.0, ζ = 1.6 - ( )[ ]

P / P

2 In P / P

u y

u y

(7.68) [A-H3-3]

Si b p /d < 0.3, η = 1.0

Si 0.3 ≤ b p /d ≤ 1.0 η = 0.4 +P

P +

b

d u

y

p≥ 1.0 (7.69) [A-H3-4]

b p y d son el ancho del patín y el peralte total de la sección, C m es un coeficiente aplicado altérmino correspondiente a la flexión en la ecuación de interacción, que depende de lacurvatura de la columna (art. 7.4.2.1a), y

M’ px = 1.2 M px [1 - (P u /P y )] ≤ M px (7.70) [A-H3-5]

M’ py = 1.2 M py [1 - (P u /P y )2 ] ≤ M py (7.71) [A-H3-6]

10

En la ref. 7.9 el uso de estas ecuaciones se limita al diseño de columnas que forman parte de marcos adecuadamentecontraventeados, pero en las refs. 7.32 y 7.33 se permite utilizarlas también para dimensionar columnas de marcos sin

contraventeo, si en los momentos de diseño se incluye el efecto P ∆. Estas ecuaciones no aparecen en la ref. 7.34, pero sepermite su empleo como un método alterno al que se propone en ella.




M’ nx = M nx 1 1 P

P

P

P u

c n

u

ex

−

−

φ

(7.72) [A-H3-7]

M’ ny = M ny 1 1 P

P

P

P u

c n

u

ey

−

−

φ

(7.73) [A-H3-8]

b) Miembros de sección transversal rectangular hueca (en cajón):

ζ = 1.7 -P / P

In(P / P )

u y

u y

(7.74) [A-H3-9]

η = 1.7 -P / P

In(P / P )

u y

u y

- aλ x P

P > 1.1u

y

b

(7.75) [A-H3-10]

Si P u /P y ≤ 0.4, a = 0.06 y b = 1.0

Si P u /P y > 0.4, a = 0.15 y b = 2.0

M’ px = 1.2 M px [1 - P u /P y ] ≤ M px (7.76) [A-H3-11a]

M’ py = 1.2 M py [1 - P u /P y ] ≤ M py (7.77) [A-H3-11b]

M’ nx = M nx 1 1 P

P

P

P

1.25

(B / H)u

c n

u

ex 1/ 3−

−

φ

(7.78) [A-H3-12]

M’ ny = M ny 1 1 P

P

P

P

1.25

(B / H)

u

c n

u

ey 1/ 2 −

−

φ

(7.79) [A-H3-13]


P e = carga crítica de pandeo de Euler = AF y / λc 2 , donde λc es el parámetro de esbeltez de la

columna, definido en el art. 2.6.7.2 (Capítulo 2). (P e = At π2 E/(KL/r)2 ).

M p = momento plástico ≤ 1.5 F y S.B = ancho exterior de la sección en cajón, paralelo al eje centroidal y principal de mayor

momento de inercia, x . H = peralte exterior de la sección en cajón, perpendicular al eje centroidal y principal de

mayor momento de inercia, x .λ x = KL/r y

Las literales restantes se han definido con anterioridad.

En el Comentario de la ref. 7.9 (ref. 7.20) se indica que las ecs. 7.70 y 7.71 (A-H3-5 y A-H3-6) pueden usarse como una alternativa para determinar la resistencia en flexión, cuando éstaes alrededor de un solo eje y el miembro no está sujeto a pandeo lateral.




Las ecuaciones de este artículo, relativas a secciones I o H , son las de los artículos7.2.1.1.2a (ecs. 7.9, 7.5b y 7.6b) y 7.3.5.1.2 (ecs. 7.96 a 7.98) con algunos coeficientes

redondeados y con los factores de resistencia, φc y φb, incorporados en ellas. Las ecuacionespara secciones cajón se han obtenido siguiendo un camino semejante.

7.4.2.3 Comparación de las ecuaciones propuestas en las dos especificaciones AISC

Introduciendo en la expresión para calcular el momento de diseño M u (ec. 7.62) los valoresde B1 y B2 dados por las ecs. 7.63 y 7.65, llevando M u a las ecs. 7.60 y 7.61 y ordenando sustérminos, estas ecuaciones toman la forma

SiP

P

n

u ≥ 0.2

P

P + 0.89

C

1 - P / P M

M 0.89

1

1 - P P M

M 1.0 u

n

m

u e1

nt

n u e2

lt

n

+∑ ∑

≤ /

(7.80)

Si P P

u

n

≤ 0.2

P

2P +

C

1 - P / P M

M

1

1 - P P M

M 1.0 u

n

m

u e1

nt

n u e2

lt

n

+∑ ∑

≤ /

(7.81)

Las ecuaciones se han escrito para flexión en un solo plano (desaparece uno de los términosdel paréntesis de las ecs. 7.60 y 7.61), y sin los factores de reducción de la resistencia.

La ecuación que recomienda el AISC en sus especificaciones de 1989 para diseño plástico(ref. 7.23) para revisar el estado límite de inestabilidad del miembro es la 7.58, que sereproduce aquí como ec.7.82, con pequeños cambios de nomenclatura, para que coincidacon la de las ecs. 7.80 y 7.81.

P

P +

C

1 - P / P M

M 1.0 u

n

m

u e

2

n

≤ (7.82)

Si la columna forma parte de un marco en el que el efecto P ∆ es significativo, C m es igual a0.85.

Sustituyendo C mM 2 /(1 - P u /P e ) por M u , la ecuación toma la forma

P

P +

M

M 1.0 u

n

u

n

≤ (7.83)

Descomponiendo ahora M u en las dos partes que lo forman (ec. 7.62), y conservando loscoeficientes B1 y B2 recomendados en la ref. 7.9, se llega a:

1.0 M

M

P / P -1

0.85

M

M

/P P -1

C +

P

P

n

lt

eu n

nt

eu

m

n

u ≤+ (7.84)




La ec. 7.80 se obtiene multiplicando por 0.89 el factor de amplificación del segundo término

de la ec. 7.84, que corresponde al efecto P δ, con lo que se tiene en cuenta que losmomentos M nt y M lt máximos no se presentan en la misma sección de la columna, y

sustituyendo P e por P e1 y P u /P e por ∑P u / ∑P e2 en el tercer término, reconociendo que el efecto

P ∆ es un fenómeno de conjunto de todo el entrepiso, no de cada columna por separado. Las

ecs. 7.84 y 7.81 difieren en el 2 del denominador del primer término de la ec. 7.81 y en lamodificación del factor de amplificación del tercer término en el que, además de sustituir P u yP e por las sumas respectivas, se cambia el factor 0.85 por 1.0. En 7.81, aplicable a columnascon fuerzas axiales reducidas, se le quita importancia al término P u /P n, y se aumenta la delos momentos originados por fuerzas que producen desplazamientos laterales de entrepisosignificativos.

En la Fig. 7.22 se comparan las ecuaciones 7.60, 7.61 y 7.83.

Fig. 7.22 Comparación de las ecuaciones para diseño de columnasflexocomprimidas de las refs. 7.9 y 7.23

La ec. 7.83 es ligeramente conservadora, en comparación con las otras dos; sin embargo, lasrecomendaciones de la ref. 7.23 no lo son necesariamente, cuando se aplican a columnas demarcos con desplazamientos laterales de entrepiso significativos, porque de acuerdo con

ellas se multiplica por 0.85

1 P / P u e−el momento total, producido por cargas verticales y

horizontales combinadas, a diferencia de lo que se hace al utilizar las ecs. 7.60 y 7.61 (ref.7.9).




Si el diseño se hiciese con la ec. 7.60 para todos los valores de P u /P n, añadiendo la condición

M u /M n ≤ 1.0, se obtendrían resultados casi iguales que con las dos ecuaciones, aunqueligeramente del lado de la inseguridad para valores de P u /P n < 0.2 (zona sombreada de laFig. 7.22).

7.4.3. Normas Canadienses (ref. 7.8)

En lo que sigue se utiliza la simbología de la ref. 7.8.

7.4.3.1 Resistencia y estabilidad del miembro - Secciones de todas las clases, exceptosecciones H clase 1

Los miembros que deben resistir, simultáneamente, compresión axial y momentos en los dosplanos principales, se dimensionan de manera que se cumpla la condición

C

C +

U M

M +

U M

M 1.0 f

r

1x fx

rx

1y fy

ry

≤ (7.85)

donde M f es el momento flexionante máximo, incluyendo los efectos de estabilidad, calculadocomo se indica en el art. 7.4.3.3.

Debe revisarse la resistencia del miembro para los casos siguientes:

(a) Resistencia de la sección transversal

En este caso, C r tiene el valor indicado en la cláusula 13.3, calculado con λ = 0 (la parte deinterés de esa cláusula se ha reproducido en el art. 2.6.7.4, del Capítulo 2), M p es igual a

φZF y = φM p si la sección es clase 1 o 2, e igual a φ SF y = φ M y si es clase 3, y U 1x y U 1y se

toman iguales a 1.0.

(b) Resistencia de conjunto del miembro

C r se determina según la cláusula 13.3 (art. 2.6.7.4), con K = 1.0, y está basada, cuando laflexión es biaxial, en la esbeltez máxima, y cuando sólo hay flexión alrededor del eje demayor momento de inercia, C r = C rx . La longitud efectiva se toma igual a la real (K = 1.0) enelementos que fallan por flexión en el plano, siempre que los efectos geométricos desegundo orden se incluyan en el análisis de la estructura, cuando sean significativos.

M r tiene los mismos valores que en (a).

U 1x y U 1y se calculan de acuerdo con el art. 7.4.3.2.1.

(c) Resistencia al pandeo lateral por flexocompresión, cuando sea aplicable

Ahora C r se calcula con la cláusula 13.3 (art. 2.6.7.4), para pandeo alrededor del eje demenor momento de inercia (en columnas que fallan por pandeo lateral por flexotorsión, lalongitud efectiva se basa en las restricciones rotacionales y translacionales existentes en losextremos de la longitud sin contraventear), M rx tiene el valor indicado en la cláusula 13.6




(ecs. 5.48 a 5.50), M ry es igual a φ M py o φ M yy , U 1x se calcula de acuerdo con el art. 7.4.3.3,pero no debe ser menor que 1.0, y U 1y se calcula según el art. 7.4.3.3.

7.4.3.2 Resistencia y estabilidad del miembro - Secciones H clase 1

Los miembros que deben resistir, simultáneamente, compresión axial y momentos en los dos

planos principales, se dimensionan de manera que se cumpla la condición

C

C +

0.85U M

M +

0.60U M

M 1.0 f

r

1x fx

rx

1y fy

ry

≤ (7.86)

Todos los símbolos de esta expresión se definen en el art. 7.4.3.1.1.

La capacidad del miembro se revisa para

(a) Resistencia de la sección transversal,(b) Resistencia de conjunto del miembro, y

(c) Resistencia al pandeo lateral por flexocompresión.

Además, debe satisfacerse la condición

M

M +

M

M 1.0 fx

rx

fy

ry

≤ (7.87)

M rx y M ry se calculan como se indica en 7.4.3.1 (c).

7.4.3.3 Valor de U1

En lugar de hacer un análisis más detallado, el valor de U 1 correspondiente al eje que se estéconsiderando, con el que se incluyen los efectos de segundo orden debidos a la deformacióndel miembro entre sus extremos, puede tomarse igual a

U =1 -

C

C

11

f

e

ω

ω1, para el eje en consideración, se define en el art. 7.4.3.3.1, y C e = π2 EI/L2 , para el mismoeje.

7.4.3.3.1 Valores de ω1

Exceptuando los casos en que se determinen con un análisis, se usarán los valores de ω1

siguientes:

(a) En miembros que no tienen cargas transversales entre los extremos,

ω1 = 0.6 - 0.4 M 1 /M 2 ≥ 0.4




(b) En miembros que tienen cargas distribuidas, o una serie de cargas puntuales entre losextremos,

ω1 = 1.0

(c) En miembros sujetos a una carga o momento concentrado, aplicado entre los extremos

ω1 = 0.85

Con fines de diseño, los miembros sujetos a una carga o momento concentrado, aplicadoentre los extremos (por ejemplo, las columnas provistas de ménsulas para soportar trabescarril para grúas móviles), pueden considerarse divididos en dos segmentos, en el puntodonde está aplicada la carga (o el momento). Cada segmento se trata como un miembro quedepende de su propia rigidez en flexión para evitar los desplazamientos laterales relativos en

el plano de la flexión, y ω1 se toma igual a 0.85. En el cálculo de la relación de esbeltez quedebe usarse en el art. 7.4.3.1, se utiliza la longitud total del miembro.

7.4.3.3.2 Efectos de segundo orden

M f es el momento máximo, alrededor de x o de y . Incluye los efectos de esbeltez producidospor las cargas verticales que obran sobre la estructura deformada lateralmente; debedeterminarse, de preferencia, con un análisis de segundo orden. Como una alternativa,puede evaluarse multiplicando los efectos de las cargas que ocasionan desplazamientoslaterales por el factor de amplificación

U =1

1 -C

V h

2

f f

f

∑

∑

∆

Así, M f = M fg + U 2 M ft , T f = T fg + U 2 T ft , etc.

Cuando los efectos elásticos de segundo orden (P ∆) exceden del 40% de los de primer orden

(es decir, cuando U 2 > 1.4), debe aumentarse la rigidez de la estructura para reducir ∆f , oefectuar un análisis elastoplástico de segundo orden, a menos que pueda demostrarseque los esfuerzos en la sección crítica, incluyendo esfuerzos residuales, no son mayores queF y .

EJEMPLO 7.2. En la Fig. E7.2.1 se muestra un tramo de la cuerda superior de unaarmadura, hecha con secciones transversales rectangulares huecas, y las acciones que

actúan sobre él. Se desea determinar las dimensiones de la sección, teniendo en cuenta quetodos los nudos están soportados lateralmente. El acero es ASTM A500 Grado B, con Fy =3230 Kg/cm2 (46 Ksi) (ref. 7.38). Las acciones indicadas en la figura son nominales (detrabajo), producidas por carga muerta. La armadura es parte de la cubierta de una sala deespectáculos. Utilice las normas de las refs. 7.9, 7.23 y 7.34 empleando, en los tres casos,los factores de carga de la ref. 7.44.




Fig. E7.2.1 Cuerda superior de la armadura del ejemplo 7.2

Fig. E7.2.2 Sección transversal de la cuerda superior de la armadura de la fig. E7.2.1

Acciones de diseño

La estructura es del grupo 1.Factor de carga F c = 1.5 (ref. 7.37).

P u = 1.5 x 32.0 = 48.0 Ton.

Como el tramo considerado es intermedio, puede suponerse que se comporta,aproximadamente, como una viga empotrada en los dos extremos.

(M máx )u = 1.5 x 0.1 x 4.5 2 /12 = 0.25 Tm




Los momentos máximos aparecen en los extremos, por lo que no se amplifican por efecto P δ;tampoco por efecto P ∆, pues los desplazamientos lineales de los nudos, normales al eje, son

prácticamente nulos.

a) NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL RCDF (ref. 7.34)

Clasificación de la sección (Tabla 2.1, ref. 7.34 y Tabla 3.6, Capítulo 3)

Se ensaya una sección H55 6”x6”x3/16” (Fig.E7.2.2) tomada de la ref.7.38,Las cuatro caras están en condiciones iguales (suponiendo que la sección trabaja encompresión axial, lo que es conservador; en flexocompresión es crítica la cara en que sesuma la compresión directa y la debida a flexión).

b/t = 13.92/0.44 = 31.6

Secciones tipo 1 o 2. b/t ≤ 1.12 E / F = 28.1y

Secciones tipo 3. 28.1 < b/t ≤ 1.47 E / F = 36.9y

La sección de la Fig . E7.2.2 es tipo 3.

Resistencia de diseño en compresión

Ec. 2.29 [3.3] R c =F

(1 0.15 A F F A F

y

2n 2n t R y t R + −

≤λ ) / 1 n

F R = 0.9; λ π π π=

KL

r

F

E =

0.9 x 450

6.02

F

E = 67.28

F

E = 0.852 y

2

y

2

y

2

Como la sección es en cajón, laminada, con F y < 4220 Kg/cm2 , n = 1.4

R c = 1/1.42.82.8 )0.150.852(1

3230

−+x 25.68 x 0.9 x 10 -3 = 52.6 Ton < 3230 x 25.68 x 0.9 x 10 -3 = 74.7 Ton

∴ R c = 52.6 Ton

Resistencia de diseño en flexión

Las secciones cuadradas no se pandean lateralmente; para las tipo 3,

Ec. 5.42 [3.20 ] M R = F R SF y = F R M y = 0.9 x 121.6 x 3230 x 10 -5 = 3.54 Tm

Revisión en flexocompresión

Secciones extremas.

P y = A F y = 82.9 Ton




Ec. 7.51 [3.55 ] 3.54

0.25 +

82.9x0.9

48.0 =

M

M +

PF

P

Ry

uox

yR

u = 0.643 + 0.055 = 0.698 < 1.00

Columna completa.

Ec. 7.54 [3.58 ] P R

+ M * M

= 48.0 52.6

+ 0.25 3.54

u

c

uox

Rx

= 0.913 + 0.071 = 0.984 < 1.00

El perfil es adecuado; es crítica la estabilidad de la columna completa.

b) NORMAS AISC PARA DISEÑO POR FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (ref. 7.9)

El AISC ha publicado unas normas especificas para el diseño de secciones estructuraleshuecas, de sección transversal circular o rectangular (ref. 7.39). Aunque son muy semejantesa la ref. 7.9, hay algunas diferencias, que se tienen en cuenta en este ejemplo.

Se revisa la sección de la parte a) de este ejemplo.

Clasificación de la sección

El parámetro de esbeltez es λ = b/t, donde b es la distancia libre entre los puntos en que seinician las curvas que unen la placa que forma el patín con las placas de alma (o cada una delas placas de alma con los patines) y t es el grueso de la pared. Cuando no se conoce el radio de las esquinas, b puede tomarse igual al ancho total (B o H) menos tres veces el grueso de la pared (ref. 7.39).

Se supone que la sección trabaja en compresión pura (ésto, que es casi cierto, en este

ejemplo, resulta conservador cuando el trabajo es en flexocompresión).

De la Tabla 2.2.1, ref. 7.38 (ver, también, la Tabla 3.6 , Capítulo 3 ),

λ p = 1.12 E / F y = 28.1 ; λr = 1.40 E / F y = 35.2

b = 15.24 - 3 x 0.44 = 13.92 cm ; b/t = 13.92/0.44 = 31.6

λ = b/t = 31.6 está comprendida entre λ p y λr ; la sección es no compacta (ref . 7.39 ).


Como λ < λr , no hay pandeo local prematuro.

En la ref. 7.39 se indica que en cuerdas continuas de armaduras hechas con seccionestubulares puede tomarse un factor K, que modifica la longitud de pandeo entre nudos, igual a0.90. En esas condiciones,

λπ π

c y

=KL

r

F

E =

0.9 x 450

6.02

3230

E = 0.852 < 1.5




∴ F cr = ( 0.658 F = (0.658 3230 = 2384 Kg / cmy 0.852 2 2 λc

2

) )

φc P n = 0.85 A F cr = 0.85 x 25.68 x 2384 x 10 -3 = 52.0 Ton


Una barra de sección transversal cuadrada hueca no puede pandearse lateralmente; por tanto, sólo debe revisarse la posible falla por pandeo local (ref. 7.39 y Apéndice F, ref. 7.9).

Como λ p < λ < λr , M n = M p - (M p - M r )λ λ

λ λ

p

r p

−

M p = F y Z = 3230 x 1414 x 10 -5 = 4.57 Tm; M r = F y S = 3230 x 121.6 x 10 -5 = 3.93 Tm

M n = 4.57 - (4.57 - 3.93)31.6 28.1

35.2 28.1

−

−= 4.25 Tm


P u / φc P n = 48.0/52.0 = 0.923 > 0.2

Ec. 7.60 [H1-1a]P

P +

8

9

M

M = 0.923 +

8

9

0.25

0.9 x 4.25 u

n

ux

b nx φ φc

= 0.923 + 0.058 = 0.981 < 1.00

Se acepta la sección de la Fig. E7.2.2.

c) NORMAS AISC PARA DISEÑO POR ESFUERZOS PERMISIBLES (ref. 7.23)

Acciones de diseño

Se utilizan acciones nominales: P = 32.0 Ton, M máx = 0.17 Tm

Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 7.23 ).

Secciones compactas. b/t ≤ 1593 / F y = 28.0

Secciones no compactas. b/t ≤ 1996 / F y = 35.1

Estos límites son iguales a λ p

y λr , calculadas arriba. La sección es no compacta.

Resistencia en compresión

C c = 2 E / F y π 2 = 111.6 ; KL/r = 0.9 x 450/6.02 = 67.3 < 111.6 ∴ El esfuerzo permisible se calcula

con la Ec. E2-1.

C.S. =3

3

3

C

3

C 111.6x8

67.3 -

111.6X8

67.3x3 +

3

5 =

8C

(KL/r) -

8C

3(KL/r) +

3

5 = 1.87




Ec. E2.1. F a =

( )1

KL / r

2C F

C.S.=

167.3

2 x 111.6 3230

1.87

2

c 2 Y

2

2 −

−

= 1413 Kg/cm2

Resistencia en flexión

El esfuerzo permisible en flexión para secciones tubulares cuadradas no compactas es F b =0.60 F y ; en este caso,

F b = 0.60 F y = 0.60 x 3230 = 1938 Kg/cm2

En secciones en cajón, cuadradas, el pandeo lateral no es posible.


f a = P/A = 32 x 10 3 /25.68 = 1246 Kg/cm2 ; f a /F a = 1246/1413 = 0.882 > 0.15 ; f bx = M máx /S x = 0.17 x 10 5 /121.6 = 140 Kg/cm2 .

Se revisan las dos ecuaciones 7.55 [H1-1] y 7.56 [H1-2 ].

F’ e =12 12 2 2 π πE

23(KL / r)=

E

23 x 67.3=2 2 2318 Kg/cm2

En el comentario de la ref. 7.23 se proporciona el valor de C m, en una barra empotrada en losextremos, comprimida y con una carga uniformemente repartida:

C m = 1 - 0.4 f a /f’ e = 1 - 0.4 x 1246/2318 = 0.78

Ec. 7.55 [H1-1] f

F +

C f

1f

F' F

= 0.882 +0.78

1 -1246

2318

x 140

1938 =a

a

mx bx

a

ex bx −

= 0.882 + 1.69 x 0.072 = 1.004 1.0 ≈

Ec. 7.56 [H1-2 ] f

0.60F +

f

F =

1246

1938 +

140

1938 a

y

bx

bx

= 0.643 + 0.072 = 0.715 < 1.00

Es crítica la estabilidad de conjunto del miembro; el perfil escogido es adecuado.

Con las tres normas se obtienen resultados muy semejantes.

EJEMPLO 7.3. La columna biarticulada de la Fig. E7.3.1 está sometida a dos condiciones decarga diferentes (la flexión es alrededor del eje x, en los dos casos). Las acciones de lafigura, debidas a cargas permanentes, son de diseño (factorizadas). El perfil es una W 10” x54 lb/ft, de acero A36, que tiene las propiedades geométricas siguientes (ref. 7.41):




Fig. E7.3.1 Longitud de la columna y acciones de diseño

A = 102.0 cm2 ; Ix = 12600 cm4 ; Sx = 984 cm3 ; Zx = 1090 cm3 ; r x = 11.1 cm

Iy = 4310 cm4 ; Sy = 338 cm3 ; Zy = 513 cm3 ; r y = 6.5 cm

La sección es compacta.

Revise si el perfil propuesto es adecuado, utilizando:

a) Las normas técnicas complementarias del RCDF 2003 (ref. 7.34).b) Las normas AISC 89 para diseño por esfuerzos permisibles (ref. 7.23).c) Las normas AISC 89 para diseño plástico (ref. 7.23).


P y = AF y = 258.3 Ton ; M px = Z z F y = 27.6 Tm

Caso I


(KL/r) x = 1 x 600/11.1 = 54.1; (KL/r)y = 1 x 600/6.5 = 92.3

Es crítico el pandeo alrededor de y (es evidente, sin necesidad de calcular KL/r x ).

λπ π

=KL

r

F

E =

92.3

F

E = 1.035 ; n = 1.4

y y (Art. 2.6.7.1, Cap. 2).




Ec. 2.29 [3.3] R c =F

1 0.15 A F =

2530

(1 + 1.035 0.15 )

y 2n 2n R 2.8 2.8 1/1.4( ) / + − −λ 1 n = 102.0 x 0.9 x 10 -3 =

137.1 Ton < F y A F R = 0.9 x 102.0 x 2530 x 10 -3 = 232.3 Ton ∴ R c = 137.1 Ton

(De la Tabla 2.3, Cap. 2, para KL/r = 92.3, R c /At = 1342Kg/cm2 , R c = 1342 x 102.0 x 10 -3 = 136.9 Ton)


Ec. 5.50b [3.24] M u =π πE

CLI

J

2.6 +

LC y a

2

M 1 /M 2 = 8.1/10.2 = 0.79 ; C = 0.60 + 0.40 M 1 /M 2 = 0.60 + 0.40 x 0.79 = 0.92

De la ref. 7.42, J = 75.8 cm4, C a = 623 000 cm6

M u =π πE

600 x 0.92 4310 75.8

2.6 + 600 623 000 x 10 = 51.8 Tm.-5

2

M u = 51.8 Tm >2

3M px = 18.4 Tm ∴ El momento de diseño se determina con la ec. 5.48 [3.22 ]

Ec. 5.48 [3.22 ] M R = 1.15 F R M p 1 -0.28 M

M

p

u

= 1.15 x 0.9 x 27.6 1 -

0.28 x 27.6

51.8

= 24.3 Tm < F R

M p = 0.9 x 27.6 = 24.8 Tm ∴ M n = 24.3 Tm

Aunque no es necesario hacerlo, a continuación se calcula M n siguiendo el camino largo, que

requiere determinar longitudes características.

Ec. [3.28 ] X r =4

3C

ZF

GJ

C

I =

4

3x 0.92 x

1090 x 2530

784000 x 75.8

623 000

4310

y a

y

= 0.684

Ec. [3.27 ] X u = 3.220 X r = 2.204

Ec. 5.54 [3.25 ] Lu =2

X

EC

GJ 1 + 1 + X =

2

2.204

623 000 E

784000 x 75.8 1 + 1 + 2.204

u

au 2 2 π π

=

= 545.1 cm < L = 6.0 m.

Ec. 5.55 [3.26 ] Lr =2

X

EC

GJ 1 + 1 + X =

2

0.684

EC

GJ 1 + 1 + 0.684

r

ar 2 a 2 π π

=

= 1412.2 cm > L = 6.0 m.

Como L = 6.0 m < Lr = 14.12 m, el momento resistente se calcula con la ec. 5.48 [3.22 ], como sehizo arriba.





Secciones extremas

Deben satisfacerse las condiciones 7.47 [3.51] y 7.49 [3.53], en los dos extremos

En este caso es claro que el extremo crítico es el superior, por lo que es el único que serevisa.

Ec. 7.47 [3.51] P

F P +

0.85 M

F M u

R y

uox

R px

≤ 1.0

Ec. [1.1] M uox = M tix = 10.2 Tm

Los momentos en los extremos de las columnas no se amplifican cuando no se desplazanlateralmente.

120.0

0.9 x 258.3+

0.85 x 10.2

0.9 x 27.6 = 0.516 + 0.349 = 0.865 < 1.0

Ec. 7.49 [3.53] M

F M =

10.2

0.9 x 27.6 0.411 < 1.00 uox

R px

=

Columna completa

Ec. 7.52 [3.56 ] P

R +

M *

M 1.0 u

c

uox

m

≤

Ec. [1.2 ] M* uox = B1 M uox ; B1 = C 1 P F P

;u R EI −

P EA

(KL / r)=

E x 102.0

54.1x 10 = 701.3 TonEI

2

x 2

2

2 -3=

π π

B1 =0.92

1 120.0 / (0.9 x 701.3)= 1.14 , M * = 1.14 x 10.2 = 11.6 Tmuox

−

P

R +

M *

M =

120.0

137.1+

11.6

24.3=u

c

uox

m

0.875 + 0.477 = 1.352 > 1.0

El perfil propuesto está escaso; es crítica la estabilidad de conjunto de la columna.

Caso II


R c = 137.1 Ton. Se determinó en el caso I.





No es igual que en el caso I, porque al cambiar la forma del diagrama de momentos semodifica el coeficiente C. Todos los términos restantes de la ec. 5.50b. [3.24] se conservansin cambio.

M 1 /M 2 = 16.0/19.8 = 0.81 ; C = 0.6 - 0.4 M 1 /M 2 = 0.6 - 0.4 x 0.81 = 0.28 M u = 51.8 x 0.92/0.28 = 170.2 Tm > (2/3) M px

M R = 1.15 x 0.9 x 27.6 10.28 x 27.6

170.2 = 27.3 Tm >−

F R M p = 24.8 Tm ∴ M R = 24.8 Tm


Secciones extremas

Se revisa solo el extremo superior.

80.0

0.9 x 258.3+

0.85 x 19.8

0.9 x 77.6 = 0.344 + 0.678 = 1.022 ≈ 1.00

19.8

0.9 x 27.6 = 0.797 < 1.00

Columna completa

B1 =0.28

1 80.0 / (0.9 x 701.3)−= 0.321 ; M* uox = 19.8 x 0.321 = 6.35 Tm

80.0

137.1+

6.35

24.8 = 0.584 + 0.256 = 0.840 < 1.00

Ahora es crítica la resistencia del extremo superior de la columna, el perfil propuesto esadecuado.

b) NORMAS AISC 89 POR ESFUERZOS PERMISIBLES (ref. 7.23)

La columna se revisa con las acciones nominales. Si se supone que al obtener las de la Fig.E7.3.1 se empleó un factor de carga de 1.4, y teniendo en cuenta que el factor de resistencia

es 0.9, las acciones nominales se obtienen dividiendo las de la figura entre 1.4/0.9 = 1.56.

En la Fig. E7.3.2 se muestran las acciones nominales.




Fig. E7.3.2 Acciones nominales

Caso I

Esfuerzo permisible en compresión

Las relaciones de esbeltez están en la pág. 7 8.

C =2 E

F = 126.1 >

KL

r c

2

y y

π

= 92.3 ∴ Se utiliza la ec. 2.37 [E2-1].

5

3+

3(KL / r)

8C -

(KL / r)

8C = 1.89

c

3

c 3

Ec. 2.37 [E2-1)] F a = 2

2

2

y2c

3

Kg/cm980=1.89

2530126.1x2

92.3 - 1

=1.89

F2C

(KL/r) 1

−

Esfuerzo permisible en flexión

Ec. [F1-2 ] Lc =687b

F =

637 x 25.5

F =

y y

323 cm < L = 6.0 m

La sección es compacta, pero la longitud libre de pandeo es mayor que L c .




Ec. [F1-8 ] F b =843.72 x 10 C

Ld / A

3b

p

M 1 /M 2 = 5.2/6.5 = 0.80; C b = 1.75 + 1.05 (-0.80) + 0.3 (-0.80 2 ) = 1.10; Ld/A p = 600 x 25.6/(25.5 x 1.56)= 386.1

F b = 843.72 x 10 x 1.10 386.1

3

= 2404 Kg/cm2 > 0.6 F y = 1518 Kg/cm2 ∴ F b = 1518 Kg/cm2

Como F b no puede ser mayor que 0.6 F y , no es necesario revisar las otras ecuaciones.

Las dimensiones de la sección transversal están tomadas de la ref. 7.41.


f a = P/A = 76.9 x 10 3 /102.0 = 754 Kg/cm2 ; (f bx )máx = M máx /S x = 6.5 x 10 5 /984 = 661 Kg/cm2

f a /F a = 754/980 = 0.769 > 0.15 ∴ Deben satisfacerse las ecs. 7.55 [H1-1] y 7.56 [H1-2 ].

Secciones extremas

Sólo se revisa la superior.

Ec. 7.56 [H1-2)f

0.60F +

f

F =

754

1518 +

661

1518 a

y

bx

bx

= 0.497 + 0.435 = 0.932 < 1.00

Columna completa

C m = 0.6 - 0.4 (M 1 /M 2 ) = 0.6 - 0.4 (-0.80) = 0.92

F' =12 E

23(KL / r)=

12 E

23x54.1= 3587 Kg / cme

2

x 2

2

2 2 π π

Ec. 7.55 [H1-1] f

F

f

F F

a

a

bx

ex bx

+C

- f = 0.769 +

0.92 x 661

- 754 / 3587) 1518 =mx

a( / ' ) ( 1 1

= 0.769 + 1.165 x 0.435 = 1.276 > 1.0

La sección propuesta está escasa; es crítica la inestabilidad de la columna.

Los resultados son bastante parecidos a los que se obtienen con la ref. 7.34.

Caso II

Esfuerzo permisible en compresión

Se determinó en el caso I.




Esfuerzo permisible en flexión

Lo único que puede cambiar, respecto al caso I, es el coeficiente C b de la ec. [F1-8 ].

M 1 /M 2 = 10.3/12.7 = 0.81 ≈ 0.80. (Se conserva la relación entre los momentos en los extremos).

∴ F b = 0.60 F y = 1518 Kg/cm

2

.


f a = P/A = 51.3 x 10 3 /102.0 = 503 Kg/cm2 ; (f b )máx = M máx /S x = 12.7 x 10 5 /984 = 1291 Kg/cm2

f a /F a = 503/380 = 0.513 > 0.15 ∴ Se revisan las ecs. 7.55 [H1-1] y 7.56 [H1-2 ].

Secciones extremas

Sólo se revisa la superior.

Ec. 7.56 [H1-2 ] 503

1518 + 1291

1518 = 0.331 + 0.850 = 1.182 > 1.0

Columna completa

C m = 0.6 - 0.4 x 0.81 = 0.276

Ec. 7.55 [H1-1] 1518

1291

503/3587)-(1

0.276 +0.513 = 0.513 + 0.321 x 0.850 = 0.513 + 0.273 = 0.786 < 1.0

También ahora está escaso el perfil, pero es crítico el extremo superior; en cambio, según la

ref. 7.34, era adecuado. La diferencia se debe a que en esa referencia la falla de lassecciones extremas corresponde a su plastificación completa. En la revisión por inestabilidad se obtienen resultados parecidos.

En este caso, el término C m /(1 - f a /F’ ex ), con el que se “amplifica”, de manera aproximada, el momento uniforme equivalente, es menor que 1.0, lo que indica que es crítica una secciónextrema; en el caso I sucede lo contrario.

c) NORMAS AISC 89 PARA DISEÑO PLÁSTICO (ref. 7.23)

Las acciones de diseño son las de la Fig. E7.3.1.

Caso I


Ec. [N4-1] P cr = 1.7 F a A = 1.7 x 980 x 102.0 x 10 -3 = 169.9 Ton

F a se determinó en la pág. 8 3.





Ec. 7.45 [N4-5 ] M n = 1.07 (L / r ) F

26500 M = 1.07

(600 / 6.5) F

26500

y y

px

y −

−

27.6 = 24.7 Tm < M p = 27.6

Tm


Secciones extremas

Ec. 7.59 [N4-3] P

P +

M

1.18 M =

120.0

258.3+

10.2

1.18 x 27.6 =

y p

0.465 + 0.313 = 0.778 < 1.00

M = 10.2 Tm < M p = 27.6 Tm

Columna completa

P e = carga crítica de Euler = 701.3 Ton (pág. 80 ). C m = 0.92 (pág. 83 )

Ec. 7.58 [N4-2 ] .P

P +

C M

(1 - P / P )M =

120.0

169.9+

0.92

(1 - 120.0 / 701.3)x

10.2

24.7 cr

m

e m

=

0.706 + 1.110 x 0.413 = 1.165 > 1.00

El perfil está escaso.

Comparando estos resultados con los de la parte a) del ejemplo se ve que las resistencias enflexión son casi iguales, pero las resistencias en compresión difieren considerablemente; esto

se debe, seguramente, a que en la ref. 7.23 se utiliza una sola curva para diseñar todas lascolumnas.

Caso II


Secciones extremas

Ec. 7.59 [N4-3] 80.0

258.3+

19.8

1.18 x 27.6 = 0.310 + 0.608 = 0.918 < 1.0; M = 19.8 Tm < M p = 24.7 Tm

Columna completa

Cm = 0.276 (pág. 84).

Ec. 7.58 [N4-2 ] 80.0

169.9+

0.276

(1 - 80.0 / 701.3)x

19.8

24.7 = 0.471 + 0.312 x 0.802 = 0.721 < 1.00

El perfil es correcto (de acuerdo con la ref. 7.34 resulta escaso).




EJEMPLO 7.4. Determine el valor máximo de los momentos de diseño que puede resistir lacolumna de la Fig. E7.4.1, para las dos condiciones de carga que se muestran en ella. Lafuerza axial es de diseño (multiplicada por el factor de carga). La columna, una W10” x 54lb/ft de acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2), es igual a la del ejemplo 7.3 (en él se indican suspropiedades geométricas). La flexión es alrededor del eje x. Utilice:

Fig. E7.4.1 Condiciones de carga

a) Las normas técnicas complementarias del RCDF 2003 (ref. 7.34).b) Las normas AISC 89 para diseño plástico (ref. 7.23).c) El cuerpo principal de las normas AISC 99 (ref. 7.9).d) El apéndice H de las normas AISC 99 (ref. 7.9).


El momento M u es el menor de los proporcionados por las ecuaciones siguientes:


M uox =F

0.85 1 -

P

F P M F M R u

R y px R px

≤ (I)

La expresión anterior se ha obtenido de la ec. 7.47 [3.51] para flexión alrededor de x únicamente; al limitar el valor de M uox a F R M px se cumple también la condición 7.49 [3.53].

Resistencia de la columna completa

M* uox = 1.0 P

R

u

c

−

M m , M* uox = B1 M u =

C

1 P / F P u R E1−M U , M U = 1.0

P

R u

c

−

1

P

F P M

C

u

R E1

m−

(II)




Esta ecuación proviene de la 7.52 [3.56 ], también para flexión alrededor del eje x. Los parámetros que intervienen en I y II se han calculado en el ejemplo 7.3.

Caso I

Ec. I M uox =0.9

0.85 1 -

120.0

0.9 x 258.327.6 = 14.1 Tm < 0.9 x 27.6 = 24.8 Tm

Ec. II M* uox = 1 -120.0

137.1

1 -

120.0

0.9 x 701.3 24.3

0.92

= 2.7 Tm

La columna resiste un momento máximo de 2.7 Tm; es crítica la estabilidad de conjunto.

Caso II

Ec. I M uox =0.9

0.85

1 -80.0

0.9 x 258.3

27.6 = 19.2 Tm < 0.9 M px

Ec. II M* uox = 1 -80.0

137.1

1 -

80.0

0.9 x 701.3 24.3

0.28

= 31.6 Tm > M p = 27.6 Tm

Un valor de la ec. II mayor que M px no es real; en ese caso rige la resistencia de una secciónextrema.

b) NORMAS AISC 89 PARA DISEÑO PLÁSTICO (ref. 7.23)

De las ecs. 7.58 [N4-2 ] y 7.59 [N4-3] se obtiene, respectivamente,


M ux = 1.18 1P

P y

−

M px < M px (III)

M ux =M

C 1 -

P

P 1 -

P

P

n

m x

u

cr

u

EX

(IV)

La ec. IV proporciona el valor de M u en función de la estabilidad de la columna, y la III serefiere a las secciones extremas; esta ecuación es la 7.5b.

Caso I

Ec. III M ux = 1.18 1 -120.0

258.327.6 = 17.4 Tm < M = 27.6 p

Tm




Ec. IV M ux =24.7

0.92 1 -

120.0

169.9

1 -

120.0

701.3

= 6.5 Tm

La columna resiste un momento máximo de 6.5 Tm; es crítica la flexión de conjunto.

Caso II

Ec. III M ux = 1.18 1 -80.0

258.327.6 = 22.5 Tm < M p

Ec. IV M ux =24.7

0.276 1 -

80.0

169.9

1 -

80.0

701.3

= 42.0 Tm

El diseño queda regido por el extremo superior; la columna resiste 22.5 Tm.

c) CUERPO PRINCIPAL DE LAS NORMAS AISC 99 (ref. 7.9)

Las barras flexocomprimidas se revisan con una sola ecuación.

El momento resistente se obtiene con la ec. 7.60 [H1-1a] o 7.61 [H1-1b], de las que sedespeja M u .

Si P

P 0.2, M =

9

8

M

B1.0 -

P

P u

c nux b

nx

1

u

c nφφ

φ≥

(V)

Si P

P 0.2, M =

M

B1.0 -

P

P u

c nux b

nx

1

u

c nφφ

φ<

(VI)

En las dos ecuaciones, B1 =C

1 P / P 1.0 m

u EI −≥


De la pág. 7 8, λc = 1.035 < 1.5

Ec. 2.41 [E2.2 ] F cr = (0.658 1.035 2 ) F y = 1616 Kg/cm2

φc P n = φc AF cr = 0.85 x 102.0 x 1616 x 10 -3 = 140.1 Ton


L p = 326 cm; Lr = 1338 cm

Los valores de L p y Lr se han tomado de la ref . 7.42.




Como L = 6.00 m está comprendido entre L p y Lr , la resistencia en flexión M n se determinacon la ec. 5.97 [F1-2 ]; lo único que difiere en los casos I y II es el coeficiente C b.

Caso I

Ec. 5.103 [F1-3] C b =12.5 x 1.0

2.5 3 x 0.843 4 x 0.895 3 x 0.948

= 1.089

+ + +

Los valores de los momentos necesarios para calcular C b, en los dos casos, están en la Fig.E7.4.2.

Fig. E7.4.2 Diagramas de momentos y valoresPara calcular Cb

F L = F y - F r = 2350 - 700 = 1830 Kg/cm2

Ec. 5.100 [F1-7 ] M r = F LS x = 1830 x 984 x 10 -5 = 18.0 Tm

Ec. 5.97 [F1-2] ( )M = C M - M - M L - L

L - L=n b p p r

p

r p

( ) =3261338

326-600 18.0-27.6-27.61.089

−

= 27.2 Tm < M p = 27.6 Tm

φb M n = 0.9 x 27.2 = 24.5 Tm

C m = 0.6 - 0.4 (-0.79) = 0.92

B1 =0.92

1 120 / 701.3= 1.11

−




P u / φc P n = 120.0/140.1 = 0.857 > 0.2

Ec. V M ux = ( )9

8 x

24.5

1.111 - 0.857 = 3.6 Tm

La columna resiste un momento de 3.6 Tm; no se distinguen los dos estados límite deresistencia de los extremos y de la columna completa.

Caso II

C b =12.5 x 1.0

2.5 x 1.0 + 3.0 x 0.357 + 4 x 0.095 3 x 0.548 = 2.234

+

M n =27.2

1.089x 2.234 = 55.8 Tm > M M = M = 27.6 Tm , p n p∴ φb M n = 24.8 Tm

C m = 0.6 - 0.4 (0.81) = 0.28; B1 =

0.28

1 80.0 / 701.3 = 0.31 < 1.00 B 1.00 1− ∴ =

P u / φc P n = 80.0/140.1 = 0.571 > 0.2

Ec. V M u = ( )9

8 x

24.5

1.0 1 - 0.571 = 11.8 Tm

El momento M u máximo es de 11.8 Tm.

d) APÉNDICE H DE AISC 99 (ref. 7.9)

Despejando M ux de las ecs. 7.66 [ A-H3-1] y 7.67 [ A-H3-2 ] se obtiene

Revisión de los extremos

De la ec. 7.66 [ A-H3-1], M ux = φb M’ px 1M

M'

uy

b py

−

φ

ξ ξ1/

Revisión de la columna completa

De la ec. 7.67 [ A-H3-2 ], M ux =φ

φ

η η

b nx

mx

my uy

b ny

M'

C

1C M

M'

−

1/

Si sólo hay flexión alrededor de x, estas ecuaciones se reducen a

Extremos M ux = φb M’ px = φb 1.2 M 1 -P

P M px

u

y b px

≤ φ (VII)




Columna completa M ux =φ φ

φb nx

mx

b

mx nx

u

c

u

ex

M'

C =

C M 1 -

P

P 1 -

P

P n

(VIII)

Exceptuando los factores de reducción φb, estas ecuaciones son iguales que las que propone AISC 89 para diseño plástico (ecs. III y IV), y la ec. VIII es idéntica a la del cuerpo principal de AISC 99, para P u / φc P n < 0.2 (ec. VI).

Caso I

Ec VII M ux = 0.9 x 1.2 x 27.6 1120.0

258.3−

= 16.0 Tm < 0.9 x 27.6 = 24.8 Tm

Ec. VIII M ux =0.9

0.92 x 27.2 1

120.0

140.0 −

1

120.0

701.3−

= 3.2 Tm

M nx y φc P n se han determinado en c).

Controla la estabilidad de conjunto; (M u )máx = 3.2 Tm

Caso II

Ec VII M ux = 0.9 x 1.2 x 27.6 180.0

258.3−

= 20.6 Tm < 0.9 M p

Ec. VIII M ux =0.9

0.28 x 27.2 1

80.0

140.0 −

1

80.0

701.3−

= 33.2 Tm

Ahora rige la resistencia del extremo superior; (M u )máx =20.6 Tm

Resumen de resultados

Ref. 7.34 Ref. 7.23 Ref. 7.9 Ref. 7.9, Ap. H Caso I Caso II Caso I Caso II Caso I Caso II Caso I Caso II

Sec. extremas 14.1 19.2 17.4 22.5 24.8 20.6 3.6 11.8

Col. completa 2.7 31.6 6.5 42.0 3.2 33.2 Los valores subrayados son los críticos en cada caso.

Con excepción del cuerpo principal de AISC 99 (ref. 7.9), en todas las normas se revisan, por separado, las secciones extremas y la estabilidad de conjunto de la estructura; las trescoinciden en el estado límite crítico.

La concordancia entre los resultados finales no es demasiado buena; sobre todo, el cuerpode la norma AISC 99 proporciona en el caso II, un momento resistente muy pequeño.




EJEMPLO 7.5 Las acciones nominales en los miembros que componen una estructuratridimensional se han determinado con un análisis elástico de segundo orden.

11Debe

revisarse el perfil propuesto para una de las columnas, para saber si es adecuado. En la Fig.E7.5.1 se muestran las acciones nominales, y se indican las dimensiones y propiedadesgeométricas de la sección. El acero es A992 (Fy = 3515 Kg/cm2).

Fig. E7.5.1 Acciones nominales, perfil propuesto y propiedades geométricas

Después de hacer la revisión con las normas que se indican, se compararán los resultados.

a) Normas técnicas complementarias del RCDF 2003 (ref. 7.34).b) Normas AISC 89 para diseño plástico (ref. 7.23).c) Cuerpo principal de las normas AISC 99 (ref. 7.9).d) Apéndice H de las normas AISC 99 (ref. 7.9).e) Normas Canadienses CAN/CSA-SI6.1-94 (ref. 7.8).

Las propiedades geométricas están tomadas de la ref. 7.41, excepto J y Ca, que provienende la 7.42.

11 Como las acciones de la Fig. E7.5.1 provienen de un análisis de segundo orden, ya están amplificadas por efecto P ∆; sólo

falta incluir el efecto P δ (ver el Capítulo 9).

L = 6 . 0 m




a) NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL RCDF 2003 (ref. 7.34)

Combinaciones de carga

De acuerdo con la ref. 7.44, deben satisfacerse las combinaciones de carga siguientes:

1. 1.4 (CM + CV)2. 1.1 (CM + CV + S)

La combinación 2 comprende

2a 1.1 (CM + CV + 1.0 S x + 0.3 Sy )2b 1.1 (CM + CV + 0.3 S x + 1.0 Sy )

CM, CV, S x y Sy indican, respectivamente, carga muerta, carga viva, y sismo en lasdirecciones x y y.

Clasificación de la sección. (Tabla 2.1, ref. 7.34)

Patines. b/2t p = 42.4/(2 x 7.71) = 2.7 < 0.32 E / F y = 7.7

Alma. h/t a = 28.6/4.76 = 6.0 < 1.47 E / F y = 35.4

h es la distancia libre entre patines menos los radios de las curvas de unión entre alma y patines, leída en la ref. 7.41.

El alma se ha revisado como si estuviese comprimida uniformemente, condición más críticaque la que se presenta en flexocompresión.

Los patines y el alma y, por consiguiente, la sección completa, son tipo 1.

Resistencia en compresión axial

Depende sólo de las características de la columna y de las restricciones en sus extremos, por lo que no varía en las diversas condiciones de carga.

En la ref. 7.34 se indica que en el análisis se incluyan fuerzas laterales ficticias, y que el diseño de las columnas se haga con K = 1.0. Sin embargo, para comparar los resultados conlos del AISC, que sí considera factores de longitud efectiva mayores que 1.0, se tomará

K x = 1.6, K y = 1.3,

suponiendo que en la determinación de las acciones de diseño no se han incluido fuerzasficticias.

(KL/r) x = 1.6 x 600/18.4 = 52.2 ; (KL/r)y = 1.3 x 600/11.0 = 70.9

Es crítico el pandeo alrededor del eje y.




Ec. [3.4] λπ

=KL

r

F

E = 0.937 ;

y

2 n = 1.4 (sección H laminada, tipo 1).

Ec. 2.29[3.3] R c =( ) ( )

F

1 0.15 A F

0.9 x 808 x F

1 0.937 0.15

y

2n 2n t R y

2.8 2.8 1/1.4-

=-+ +λ

1/ n x 10 -3 = 1661 Ton < F y At

F R

= 2556 Ton

(De la tabla 2.4, Cap. 2, para KL/r = 70.9, R c /A = 2056 Kg/cm2 , R c = 1661 Ton).


M px = Z x F y = 14200 F y x 10 -5 = 499.1 Tm ; M py = Z y F y = 7120 F y x 10 -5 = 250.3 Tm

Ec. 5.45 [3.33] L p = 0.12 0.076 M

M

E

F r 1x

2x y y +

El valor de L p depende del cociente de los momentos en los extremos de la columna, que esdiferente para cada condición de carga; L p debe evaluarse para cada una de ellas.


1. 1.4 (CM + CV)

Acciones de diseño

P u = 1.4 (245.0 + 305.0) = 770.0 Ton

Para determinar los momentos de diseño se requiere sólo el factor de amplificación B1x (ver nota al pie de la pág. 92 ).

Momentos nominales

(M x )sup = 20.0 + 25.0 = 45.0 Tm ; (M x )inf = 9.8 + 12.2 = 22.0 Tm ; (M 1 /M 2 ) x = 22.0/45.0 = 0.49

(M y )sup = 16.0 + 20.0 = 36.0 Tm ; (M y )inf = -22.2 + 27.8 = 5.6 Tm ; (M 1 /M 2 )y = 5.6/36.0 = 0.16

C x = 0.6 - 0.4 x 0.49 = 0.40 ; C y = 0.6 - 0.4 x 0.16 = 0.54

P E1x = Aπ2 E/(KL/r) x 2 = (808.0 π2 E/52.2 2 ) 10 -3 = 5967 Ton

P E1y = Aπ2 E/(KL/r)y 2 = (808.0 π2 E/70.92 ) 10 -3 = 3235 Ton

Ec. 7.63 [C1-2 ] B =C

1 - P / (F P =

0.40

1 -770.0 / (0.9 X 5967)= 0.467 1x

u R E1 )

B =0.54

1 -770

0.9 x 3235

= 0.7341y




Momentos de diseño

(M uox )sup = M = 1.4 (20.0 + 25.0) = 63.0 Tm ; (M uox )inf = 1.4 (9.8 + 12.2) = 30.8 Tm

-(M uoy )sup = 1.4 (16.0 + 20.0) = 50.4 Tm ; (M uoy )inf = 1.4 (-22.2 + 27.8) = 7.8 Tm

Ec. 7.62 [C1-3] M* uox =B1 (M x )máx = 0.467 x 63.0 =29.4 Tm ;M* upy = B1 (M y )máx = 0.734 x 50.4 = 37.0

Tm


Ec.5.50b [3.24] M ux =E

C LI

J

2.6 +

LC =

E

0.4 x 600 98300

13777

2.6 600 38669200

x y a +

π π π π

2 2

10 5 =

= 20964 Tm

M ux = 20964 Tm > (2/3) M px = 332.7 Tm ∴ Se aplica la ec. 5.48 [3.22 ]

M RX =1.15 F R M px 1.028M

M

p x

u x

−

=1.15 x 0.9 x 499.1 1 -

0.28 x 499.1

20964

= 513.1 Tm > F R M px = 449.2

Tm

∴ M RX = 449.2 Tm

Como no hay pandeo cuando la columna se flexiona alrededor del eje y,

M Ry = 0.9 M py = 225.3 Tm


Basta revisar al superior, en el que actúan los momentos más grandes alrededor de x y y.

Ec.7.47 [3.51] P

F P +

0.85 M

F M +

0.60 M

F M =

770.0

0.9 x 2840.1+

0.85 x 63.0

0.9x499.1u

R y

uox

R px

uoy

R py

+0.60 x 50.4

0.9x250.3=

770.0

2556.1+

53.55

449.2 +

30.2

225.3= 0.301 + 0.119 + 0.134 = 0.554 < 1.0

Ec. 7.49 [3.53] M

F M +

M

F M =

63.0

499.2

uox

R px

uoy

R py

+50.4

225.3= 0.140 + 0.224 = 0.364 < 1.0


Ec.7.52 3.56 ] P

R +

M *

M +

M *

F M =

770.0

1661.0 +

29.4

499.2

u

c

uox

m

uoy

R py

+37.0

225.3=0.464+0.065+0.164 = 0.693 < 1.0

El perfil es adecuado; es crítica la estabilidad de la columna completa.




M m se ha tomado igual a M Rx , calculado en la pág. 95 . Puede determinarse también con laecuación aproximada 7.53 [3.57 ], que aquí se ha escrito en forma adimensional:

M m = F R 1.07 -(L / r ) F / E

18.55

y y

M px = 425.8 Tm < F R M p = 449.2 Tm

Este valor es conservador respecto al utilizado arriba, que es más exacto.

2a 1.1 (CM + CV + 1.0 S x + 0.3 Sy )

Acciones de diseño

P u = 1.1 (245.0 + 305.0 + 260.0 + 0.3 x 120.0) = 930.6 Ton

Momentos nominales

(M x )sup = 20.0 + 25.0 + 20.0 + 0.3 x 32.0 = 74.6 Tm; (M x )inf = 9.8 + 12.2 + 18.0 + 0.3 x 38.0 = 51.4 Tm

(M y )sup =16.0 + 20.0 + 65.0 + 0.3 x 20.0 =107.0 Tm; (M y )inf = -22.2 + 27.8 + 55.0 + 0.3 x 22.0 = 67.2 Tm

(M 1 /M 2 ) x = 51.4/74.6 = 0.69, C x = 0.6 - 0.4 x 0.69 = 0.32

(M 1 /M 2 )y = 67.2/107.0 = 0.63, C y = 0.6 - 0.4 x 0.63 = 0.35

B1x =0.32

1 930.6 / (0.9 x 5967)= 0.387 ; B

0.35

1 930.6 / (0.9 x 3235)1y

−=

−= 0.514

Momentos de diseño

(M uox )sup = 1.1 (M x )sup = 1.1 x 74.6 = 82.1 Tm ; (M uox )inf = 1.1 x 51.4 = 56.5 Tm

(M uoy )sup = 1.1 x 107.0 = 117.7 Tm (M uoy )inf = 1.1 x 67.2 = 73.9 Tm

Ec.7.63 [C1-2 ] M* uox =B1x (M uox )máx =0.387 x 82.1=31.8 Tm ; M* uoy =B1y (M uoy )máx =0.515 x 117.7=60.6 Tm


Basta revisar el superior.

P

F P

0.85M

F M

0.60M

F M

930.6

2556.1

0.85x82.1

449.2

0.6x117.7

225.3

u

R y

uox

R px

uoy

R py

+ + = + + = 0.364 + 0.155 + 0.313 = 0.832 < 1.0

M

F M +

M

F M =

82.1

449.2 +

117.7

225.3

uox

R px

uoy

R py

= 0.183 + 0.522 = 0.705 < 1.0





225.3

60.6 +

449.2

31.8 +

1661.0

930.6 =

MF

*M +

M

*M +

R

P

pyR

uoy

m

uox

c

u = 0.560 + 0.071 + 0.269 = 0.900 < 1.0

El perfil es adecuado; es crítica la estabilidad de la columna completa.2b 1.1 (CM + CV + 0.3S x +1.0Sy )

Procediendo de la misma manera que en la combinación 2a, al aplicar las ecuaciones deinteracción se llega a los resultados siguientes:

Extremo superior 0.716, 0.572 Columna completa 0.753

El perfil ensayado es adecuado también para esta condición de carga; vuelve a ser crítica la

estabilidad de la columna.En resumen, de acuerdo con las Normas Técnicas Complementarias del RDF, el perfil

propuesto es adecuado para soportar las acciones que actúan sobre él.

La combinación crítica de carga es la 2a; el diseño queda regido por la estabilidad de lacolumna completa. Para este caso, la ecuación de interacción proporciona un valor de 0.900 < 1.00, lo que indica que la columna está sobrada un 10%, aproximadamente.

b) NORMAS AISC 89 PARA DISEÑO PLÁSTICO (ref. 7.23)

Ecuaciones de interacción

Las especificaciones AISC de 1989 para diseño plástico no cubren las columnas enflexocompresión biaxial, pero se recomienda (art. 7.4.2.2b) que en ese caso se introduzca untercer término en la ec. 7.58 [N4.2 ], con lo que se obtiene la ecuación

P

P +

C M

(1 - P / P )M +

C M

(1 - P / P )M 1.0

cr

mx x

ex m

my y

ey uy

≤ (a)

La resistencia de las secciones extremas se revisa con las ecuaciones

P P

+ 0.85 M M

+ 0.6 M M

1.0 , M M

+ M M

1.0 y

x

px

y

py

x

px

y

py

≤ ≤ , (b) y (c)

que deben satisfacerse simultáneamente, o con la ecuación

M

M +

M

M 1.0 x

pcx

y

pcy

≤

ζ ζ

(d)




La expresiones (b) y (c) son las ecs. 7.47 y 7.48 (3.51 y 3.53 de la ref. 7.34), y la (d) es la7.66 (A-H3-1 del Apéndice H de la ref. 7.9). Las ecs. b y c no incluyen los factores deresistencia, porque en las normas que se están utilizando la seguridad se obtiene con unfactor de carga, exclusivamente.


Deben satisfacerse las siguientes:

1. 1.7 (CM + CV)2. 1.3 (CM + CV + S)

La combinación 2 comprende:

2a. 1.3 (CM + CV + 1.0 S x + 0.3 Sy )

2b. 1.3 (CM + CV + 0.3 S x + 1.0 Sy )


Es crítico el pandeo alrededor de y:

(KL/r)y = 70.9 < C c = 2 E / F 2 y π = 107.0

Ec. [2.4.1] P cr = 1.7 A F a

F a se calcula con la ec. [1.5.1].

Coeficiente de seguridad =5

3 +3(KL / r)

8C -(KL / r)

8C = 1.88 y

c

3y

c 3

F a = 1(KL / r)

2C

F

CS= 1 -

70.9

2X107.0

y 2

c 2

y 2

3−

F

1.88 Y = 1459 Kg/cm2

En la Tabla 3-50 de la ref. 7.23, para KL/r = 70.9, se lee F a = 20.77 Ksi = 1460 Kg/cm2 .

P cr = 1.7 x 808.0 x 1459 x 10 -3 = 2004.1 Tm

En el diseño plástico de la ref. 7.23 se utilizan factores de carga, pero no de resistencia; es

decir, se comparan las acciones de diseño, factorizadas, con las resistencias nominales.Resistencias en flexión

Ec. 7.53 [2.4-4] M m =( ) ( )

1.07 -L / r F

26500 M = 1.07

600 / 11.0 F

26500

y y

px

y

−

499.1 = 473.1 Tm

M uy = M py = 250.9 Tm




COMBINACIONES DE CARGA

1. 1.7 (CM + CV)

P u = 1.7 (245.0 + 305.0) = 935.0 Ton

(M x )sup = 1.7 (20.0 + 25.0) = 76.5 Tm; (M x )inf = 1.7 (9.8 + 12.2) = 37.4 Tm ; C mx = 0.6 - 0.4 x 37.4/76.5 = 0.40

(M y )sup = 1.7 (160.0 + 20.0) = 61.2 Tm; (M y )inf = 1.7 (-22.2 + 27.8) = 9.5 Tm ; C my = 0.6 - 0.4 x 9.5/61.2 = 0.54

Relaciones ancho/grueso (sec. 2.7, ref. 7.23)

Patines. b/2t p = 2.7 < 7.0

Alma. P/P y = 935.0/2840.1 = 0.33 > 0.27. d/t a = 47.4/4.76 = 9.96 < 2155/ F y = 36.3



Ec. b.P

P 0.85

(M )

M 0.60

(M )

M 0.329 + 0.85 x

76.5

499.1+ 0.60 x

61.2

250.3y

x sup

px

y sup

py

+ + = = 0.329 + 0.130 +

0.147 = 0.606 < 1.00

Ec. c. (M )

M +

(M )

M =

76.5

499.1+

61.2

250.3

x sup

px

y sup

py

= 0.153 + 0.245 = 0.398 < 1.00


Ec. a.473.1

76.9x

)935.0/5967-(1

0.40 +

2004.1

935.0 =

M

)(M

)P/P-(1

C

M

)(M

)P/P-(1

C +

P

P

py

máxy

ey

my

m

máxx

ex

mx

cr

+ +

0.54

(1 935.0 / 3235)

37.4

250.3 x

−=0.467+0.474 x 0.163 + 0.760 x 0.149 =0.467 + 0.077 + 0.113 =0.657 < 1.0

En esta condición de carga, el perfil está sobrado; es crítica la estabilidad de la columnacompleta.

2a. 1.3 (CM + CV + 1.0 S x + 0.3 Sy )

P u = 1.3 (245.0 + 305.0 + 260.0 + 0.3 x 120) = 1099.8 Ton

(M x )sup = 1.3 x 74.6 = 97.0 Tm ; (M x )inf = 1.3 x 51.4 = 66.8 Tm C mx = 0.32 < 0.4 ∴ C mx = 0.4

(M y )sup = 1.3 x 107.0 = 139.1 Tm ; (M y )inf = 1.3 x 67.2 = 87.4 Tm C my = 0.35 < 0.4 ∴ C my = 0.4




Los momentos son los nominales, calculados en la pág. 96, multiplicados por el factor decarga 1.3; los coeficientes C m son los C de esa misma página, con el límite que se fija en laref. 7.23 (no deben ser menores de 0.4).

Relaciones ancho/grueso

Patines. Es independiente de la carga; por tanto, se satisface (pág. 93

). Alma. P/P y = 1099.8/2840.1 = 0.39 < 1.27 . El límite de h/t a es el mismo que en la

condición de carga 1.

Revisión del extremo superior

1099.8

2840.1+ 0.85 x

97.0

499.1+ 0.60 x

139.1

250.3= 0.387 + 0.165 + 0.333 = 0.885 < 1.0

97.0

499.1 +

139.1

250.3 = 0.194 + 0.555 = 0.749 < 1.0

Columna completa

1099.8

2004.1+

0.4

(1 -1099.8 / 5967)x

97.0

473.1+

0.4

(1-1099.8 / 3235)x

139.1

250.3= 0.549 + 0.101 + 0.337 =

= 0.987 1.0 ≈

El perfil es adecuado; es crítica la inestabilidad de conjunto.

2b. 1.3 (CM + CV + 0.3 S x + Sy )

Procediendo como en el caso anterior, se llega a

Extrema superior .- 0.769, 0.611

Columna completa.- 0.818

El perfil es adecuado; la condición de carga crítica es la 2a. El perfil está justo, pues seobtiene, en el caso más desfavorable, 0.987 ≈ 1.0.

c) CUERPO PRINCIPAL DE LAS NORMAS AISC 99 (ref. 7.9)


En la ref. 7.9 se indica que las estructuras deben diseñarse de manera que satisfagan lascombinaciones de carga estipuladas en la ref.7.43. Las de interés, en este ejemplo, son

1. 1.4 CM 2. 1.2 CM + 1.6 CV




3. 1.2 CM + 0.5 CV + 1.0 S

Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 7.9).

Patines. b/2t p = 42.4/(2 x 7.71) = 2.7 < 0.38 E / F y = 9.2

Alma. h/t a = 28.6/4.76 = 6.0 < 1.49 E / F y

= 35.9

h es la distancia entre los puntos en que se inician las curvas de unión del alma con los patines (ref. 7.41).

La sección, supuesta en compresión axial, es compacta; como esta condición es más críticaque la flexocompresión, se concluye que es compacta para cualquier condición de carga (loson casi todas las secciones H que se emplean como columnas).


Es una propiedad de la columna y de las restricciones en sus extremos, por lo que es válida para todas las condiciones de carga.

K x = 1.6, K y = 1.3

Estos valores se determinan considerando la columna parte de la estructura completa; eneste ejemplo se han supuesto,

(KL/r) x = 1.6 x 600/18.4 = 52.2 ; (KL/r)y = 1.3 x 600/11.0 = 70.9

Es crítico el pandeo alrededor del eje y.

Ec. [E2-4] λπ π

c =KL

r

F

E =

70.9

F

E

y y = 0.937 < 1.5

Ec. 2.33 [E2.2 ] F cr = (0.658 λc

2

) F y = (0.658 0 937

2.

) F y = 2434 Kg/cm2

Ec. 2.32 [E2.1] P n = A F cr = 808.0 x 2434 x 10 -3 = 1966 Ton

φc P n = 0.85 x 1966.7 = 1671.7 Ton

(De la Tabla 2.7, Cap. 2, para KL/r =70.9, se obtiene R c /A = 2069 Kg/cm2 , R c =φc P n =2069x808x10 -3 =

1671.8 Ton).

Resistencias en flexión

L = 600 cm = Lb

M px = 499.1 Tm ; M py = 250.3 Tm Estos valores se obtuvieron en la parte a) del ejemplo.




Ec. 5.98 [F1-4] L p = 1.76 r y E / F y = 1.76 x 11.0 E / F y = 466.3 cm < Lb = 600 cm

F L = F y - 700 = 2815 Kg/cm2

Ec. 5.100 [F1-7 ] M r = F L S x = 2815 x 11600 x 10 -5 = 326.5 Tm

Ec. 5.101 [F1-8 ] X =S

EG JA2

=11600

13 777 x 808.0 E 2 x 2.6

x

2

1 π π = 807 961 Kg/cm2

Ec. 5.102 [F1-9] X 2 = 4C

I

S

GJ = 4 x

38669200

98300

2.6 x 11600

13777E = 1.81 x 10 a

y

x 2 2

-9

cm4 /Kg 2

En las expresiones anteriores se ha tomado G = E/2.6.

Ec. 5.99 [F1- 6 ] Lr =r X

F 1 1 X F

11.0 x 807 961

2815 1 1 1.81 x 10 2815

y 1

12 L

2 -9 2+ + = + + x = 4473 cm

L p y Lr están tabulados en la ref. 7.42; sus valores son 4.66 m y 44.81 m, prácticamenteiguales a los calculados aquí.

Como L p = 466.3 cm < Lb = 600 cm < Lr = 4473 cm, la resistencia nominal en flexión secalcula con la ec. 5.97 [F1-2 ]; el único término que cambia con la condición de carga es C b,

por lo que aquí se determina M n /C b, que es constante.

Ec. 5.97 [F1-2 ] M

C = M - (M - M )

L - L

L - L= 499.1 - (499.1 - 326.5)

600 - 466

447.3 466 = 493.3 Tmnx

bx px px r

b p

r p −

En cada combinación de carga debe revisarse la condición M nx = 493.3 C bx ≤ M px

Resistencia de diseño: φb M nx = 0.9 M nx

Como las secciones H flexionadas alrededor de y no se pandean, y ésta se compacta,

M ny = M py = 250.3 Tm

Resistencia de diseño φb M n0y = 0.9 x 250.3 = 225.3 Tm


1. 1.4 CARGA MUERTA


Coeficiente C bx

Sólo interesa este coeficiente, porque para flexión alrededor de y no hay pandeo.




(M 1 /M 2 ) x = 9.8/20.0 = 0.490 El cociente es positivo, porque la columna se flexiona en curvaturadoble.

Aunque en la ref.7.9 se recomienda el uso de la ec. 5.103 [F1-3] para calcular C b, en el comentario se indica que cuando el diagrama de momentos es una línea recta puede seguir empleándose la ecuación de ediciones anteriores de las normas.

Ec. 5.32 [C-F1-1] C bx = 1.75 + 1.05 (M 1 /M 2 ) + 0.3 (M 1 /M 2 )2 = 1.75 + 1.05 x 0.490 + 0.3 x 0.490 2 = 2.34 > 2.3

∴ C bx = 2.3

M nx = 493.3 C bx = 493.3 x 2.3 = 1134.6 Tm > M px = 499.1 Tm ∴ M nx = 499.1 Tm

Factores de amplificación B1

P e1x =π π2

x

x 2

2

2 -3EI

(K L)=

274000 E

(1.6x600)x 10 = 5983 Ton

Ec. 7.24 [C1-3] C mx = 0.6 - 0.4 (M 1 /M 2 ) x = 0.6 - 0.4 x 0.490 = 0.404

Ec. 7.63 [C1-2 ] B1x =)/PP(1

C

e1xu

mx

−=

0.404

(1 1.4 x 245.0 / 5983)−= 0.429 < 1.0 ∴ B1x = 1.0

P e1y =π π

2 y

y 2

2

2 -3

EI

(K L)=

98300 E

(1.3x600)x 10 = 3251 Ton

P e1x y P e1y son iguales en todas las combinaciones de carga.

(M 1 /M 2 )y = -16.0/22.2 = -0.721 ; C my = 0.6 - 0.4 (-0.721) = 0.888

B1y = 0.888 (1 1.4 x 245.0 / 3251)−

= 0.993 < 1.00 ∴ B1y = 1.0

Acciones de diseño

P u = 1.4 x 245.0 = 343.0 Ton; (M ux )máx = 1.4 B1x (M x )máx = 1.4 x 1.0 x 20.0 = 28.0 Tm

(M uy )máx = 1.4 B2x (M y )máx = 1.4 x 1.0 x 22.2 = 31.1 Tm

Ecuación de interacción

P P u

c nφ= 343.0

1671.7 = 0.205 > 0.2

Ec. 7.60 [H1-1a] P

P +

8

9

M

M +

M

M = 0.205 +

8

9

28.0

0.9 x 499.1+

31.1

0.9 x 250.3=u

c n

ux

b nx

uy

b ny φ φ φ

= 0.205 +8

9(0.062 +`0.138) = 0.383 < 1.0




El perfil supuesto está muy sobrado para esta condición de carga.

2. 1.2 CARGA MUERTA + 1.6 CARGA VIVA


(M x )sup = 1.2 x 20.0 + 1.6 x 25.0 = 64.0 Tm (M x )inf = 1.2 x 9.8 + 1.6 x 12.2 = 31.3 Tm

La flexión es en curvatura doble.

(M 1 /M 2 ) x = 31.3/64.0 = 0.489 C bx = 1.75 + 1.05 x 0.489 + 0.3 x 0.4892 = 2.34 > 2.3 ∴ C bx = 2.3

M nx = M px = 499.1 Tm. Igual que en la combinación de carga 1.

Factores de amplificación B1

P u = 1.2 x 245.0 + 1.6 x 305.0 = 782.0 Ton

C mx = 0.6 - 0.4 x 0.489 = 0.404 , B1x =0.404

(1 782.0 / 5983)−= 0.465 < 1.0 ∴ B1x = 1.00

(M y )sup = 1.2 x 16.0 + 1.6 x 20.0 = 51.2 Tm (M x )inf = -1.2 x 22.2 + 1.6 x 27.8 = 17.8 Tm

También ahora se flexiona la columna en curvatura doble.

(M 1 /M 2 )y = 17.8/51.2 = 0.348. C my = 0.6 - 0.4 x 0.348 = 0.461

B1y =0.461

(1 782.0 / 3251)−

= 0.607 < 1.0 ∴ B1y = 1.00

Acciones de diseño

P u = 782.0 Tm. Está calculada arriba.

(M x )sup = B1x ( ) ( )1.2 M + 1.6 M xy CM xs CV

= 1.0 (1.2 x 20.0 + 1.6 x 25.0) = 64.0 Tm

(M x )inf = 1.0 (1.2 x 9.8 + 1.6 x 12.2) = 31.3 Tm

(M y )sup = B1y

( ) ( )1.2 M + 1.6 M

ys CM ys CV

= 1.0 (1.2 x 16.0 + 1.6 x 20.0) = 51.2 Tm

(M y )inf = 1.0 [1.2 (-22.2) + 1.6 x 27.8 ] = 17.8 Tm

Como los factores de amplificación B1x y B1y valen 1.0, estos valores son iguales a los que sedeterminaron arriba.

Para la revisión con la ecuación de interacción se utilizan los valores máximos de losmomentos alrededor de cada eje de flexión:




M ux = 64.0 Tm, M uy = 51.2 Tm


P u / φc P n = 782.0/1671.7 = 0.468 > 0.2

Ec. 7.60 [H1-1a] 0.468 +8

9

64.0

0.9 x 499.1

51.2

0.9 x 250.3+

= 0.468 + ( )

8

90.142 + 0.227 = 0.796

El perfil está sobrado, también en esta condición de carga.

3. 1.2 CM + 0.5 CV + 1.0S

Esta combinación de carga se subdivide en dos, pues debe considerarse que actúan, al mismo tiempo, el sismo completo en una dirección y el 30% del sismo perpendicular a ella.

3a. 1.2 CM + 0.5 CV + 1.0 S x + 0.30 Sy

B1x = B1y = 1.0 , M nx = M px = 499.1 Tm. Los cálculos no se presentan aquí.

Los factores B1 suelen ser iguales a 1.0 en columnas que se flexionan en curvatura doble.

Acciones de diseño

P u = 1.2 x 245.0 + 0.5 x 305.0 + 1.0 x 260.0 + 0.3 x 120.0 = 742.5 Ton

(M x )sup = 1.2 x 20.0 + 0.5 x 25.0 + 1.0 x 20.0 + 0.3 x 32.0 = 66.1 Tm

(M x )inf = 1.2 x 9.8 + 0.5 x 12.2 + 1.0 x 18.0 + 0.3 x 38.0 = 47.3 Tm

(M y )sup = 1.2 x 16.0 + 0.5 x 20.0 + 1.0 x 65.0 + 0.3 x 20.0 = 100.2 Tm

(M y )inf = 1.2 (-22.2) + 0.5 x 27.8 + 1.0 x 55.0 + 0.3 x 22.0 = 48.9 Tm

Los momentos máximos son

M ux = 66.1 Tm, M uy = 100.2 Tm


P u / φc P n = 742.5/1671.7 = 0.444 > 0.2

Ec. 7.60 [H1-1a] 0.444 +8

9

66.1

0.9 x 499.1

100.2

0.9 x 250.3+

= 0.970 < 1.00

El perfil ensayado es correcto.

3b. 1.2CM + 0.5CV + 0.3 S x + 1.0 Sy




Resultado: 0.804 < 1.00

De acuerdo con el cuerpo principal de las normas AISC-99, el perfil propuesto es adecuado;es crítica la combinación de carga 3a.

d) APÉNDICE H DE LAS NORMAS AISC 99 (ref. 7.9)12


Son las mismas que en el caso c).

Clasificación de la sección

Ya se ha demostrado que es compacta.

1. 1.4 CARGA MUERTA


P y = A F y = 808.0 x 3515 x 10 -3 = 2840.1 Ton

Ec. 7.70 [ A-H3-5 ] M’ px = 1.2 M px 1P

P 1.2 499.1 1

343.0

2840.1

u

y

= x -−

= 526.6 Tm > M px ∴ M’ px = M px = 499.1

Tm

Ec. 7.71 [ A-H3-6 ] M’ py = 1.2 M py 1P

P = 1.2x250.3 1 -

343.0

2840.1

u

y

2 2

−

= 296.0 Tm > M py

∴ M’ py = M py = 250.3 Tm

Ec. 7.72 [ A-H3-7 ] M’ nx = M nx 1P

P

P

P = 499.1 1 -

343.0

1671.7 1 -

343.0

5983

u

c n

u

ex

−

φ= 374.0 Tm

Ec. 7.73 [ A-H3-8 ] M’ ny = M ny 1P

P

P

P = 250.3 1 -

343.0

1671.7 1 -

343.0

3251

u

c n

u

ey

−

φ= 178.0 Tm

M px , M py , P u , φc P n, P ex y P ey se obtuvieron en la parte c) del ejemplo.

Acciones de diseño

Las mismas que en el caso c.

12 En las normas AISC 99 se indica que el Apéndice H es aplicable sólo a columnas de marcos contraventeados; sinembargo, pueden aplicarse también en marcos sin contraventeo si en las acciones de diseño se incluye el efecto P ∆, comose reconoce en las refs. 7.8 y 7.3.4.




Revisión de las secciones extremas

P u /P y = 343.0/2840.1 = 0.121

b/d = 42.4/47.4 = 0.89

Como 0.5 < b/d = 0.89 < 1.0 , ζ se calcula con la ecuación

Ec. 7.68 [ A-H3-3] ζ = 1.6 -( )[ ]

P / P

2 Ln P / P = 1.6 -

0.121

2L 0.121

U y

u y n

= 1.629

Extremo superior

Ec. 7.66 [ A-H3-1] ( ) ( )M

M' +

M

M' =

1.4 x 20.0

0.9x499.1+

1.4 x 16.0

0.9x250.3

ux sup

b px

uy sup

b py φ φ

ζ ζ

1 629 1 629. .

= 0.034 << 1.0

Extremo inferior

( ) ( )M

M' +

M

M' =

1.4 x 9.8

0.9x499.1+

1.4 x 22.2

0.9x250.3

ux inf

b px

uy inf

b py φ φ

ζ ζ

1 629 1 629. .

= 0.043 << 1.0


Como 0.3 < b/d < 1.0 , el exponente η se calcula con la ecuación

Ec. 7.69 [ A-H3-4] η = 0.4 + P u /P y + b/d = 0.4 + 0.121 + 0.89 = 1.411

Ec. 7.67 [ A-H3-2 ] C M

M' +

C M

M'

mx ux

b nx

my uy

b ny φ φ

η η

=

0.404 x 28.0

0.9 x 374.0 +

0.888 x 31.1

0.9 x 178.0

1.411 1.411

=

0.008 + 0.084 = 0.092 << 1.0

Es crítica la resistencia de la columna completa.

Comparando estos resultados con el que se obtuvo en el caso c, se ve que el cuerpo de las

normas AISC 99 lleva a resultados mucho más conservadores que el Apéndice H. Sinembargo, la diferencia no es tan grande como parece a simple vista, porque las ecuacionesdel Apéndice no son lineales.

2. 1.2 CARGA MUERTA + 1.6 CARGA VIVA





P u = 782.0 Ton (pág. 101); P u /P y = 0.279

Ec. 7.70 [ A-H3-5 ] M’ px = 1.2 x 499.1 (1 - 0.275) = 434.2 Tm < M px

Ec. 7.71 [ A-H3-6 ] M’ py = 1.2 x 250.3 (1 - 0.275 2 ) = 277.6 Tm > M py ∴ M’ py = M py = 250.3 Tm

Ec. 7.72 [ A-H3-7 ] M’ nx = 499.1 1

782.0

1671.7 1

782.0

5983−

−

= 230.9 Tm

Ec.7.73 [ A-H3-8 ] M’ ny = 250.3 1782.0

1671.7 1

782.0

3251−

−

= 101.2 Tm

Acciones de diseño

Las mismas que en el caso c.

Revisión de las secciones extremas

Ec. 7.68 [ A-H3-3] ζ = 1.6 0.275 2L 0.275 n

= 1.707

Extremo superior

0.112 << 1.00

Extremo inferior

0.024 << 1.00


Ec. 7.69 [ A-H3-4] ζ = 0.4 + P u /P y + b/d = 0.4 + 0.275 + 0.89 = 1.565

Ec. 7.67 [ A-H3-2 ] 0.404 x 64.0

0.9 x 230.9+

0.461 x 51.2

0.9 x 101.2

1.565 1.565

= 0.038 + 0.121 = 0.159 << 1.0

C mx y C my se determinaron en el caso c.

3a. 1.2CM + 0.5CV + 1.0 S x + 0.30 Sy

P u /P y = 742.5/2840.1 = 0.261

M’ px = 1.2 x 499.1 (1 - 0.261) = 442.3 Tm < M px ; M’ py = 1.2 x 250.3 (1 - 0.2612 ) = 279.9 Tm > M py

∴ M’ py = M py = 250.3 Tm




M’ nx = 499.1 1742.5

1671.7 1

742.5

5983−

−

= 243.0 Tm ; M' ny = 250.3 1

742.5

1671.7 1

742.5

3251−

−

=

107.4 Tm


ζ = 1.6 -0.261

2L 0.261n= 1.697

Basta revisar el extremo superior, porque en él actúan momentos, M x y M y , mayores que enel inferior.

66.1

0.9 x 442.3+

100.2

0.9 x 250.3

1.697 1.697

= 0.048 + 0.253 = 0.301 < 1.00

Columna completa

ζ = 0.4 + 0.261 + 0.89 = 1.551

(M 1 /M 2 ) x = 47.3/66.1 = 0.72 ; C mx = 0.6 - 0.4 x 0.72 = 0.312

(M 1 /M 2 )y = 48.9/100.2 = 0.49 ; C my = 0.6 - 0.4 x 0.49 = 0.405

0.312 x 66.1

0.9 x 243.0 +

0.405 x 100.2

0.9 x 107.4

1.551 1.551

= 0.026 + 0.260 = 0.286 << 1.0

Las acciones de diseño son las mismas que en el caso c.

3b. 1.2CM + 0.5CV + 0.3 S x + 1.0 Sy

Se llega a los resultados siguientes:



0.192 << 1.00

Columna completa

0.166 << 1.00

Como en el caso c, el perfil propuesto resiste las acciones de diseño, y es crítica la condiciónde carga 3a; en el caso c (normas AISC-LRFD 93) estaba justo, y ahora (Apéndice H) estámuy sobrado.

El valor mayor de las ecuaciones de interacción es 0.301, en el extremo superior de lacolumna, condición de carga 3a, lo que no significa, sin embargo, que según el Apéndice H la




columna esté trabajando al 30% de su capacidad, lo que se debe a la relación no lineal entrelos parámetros que intervienen en las ecuaciones de interacción.

Si se multiplican todas las acciones por 1/0.301 = 3.32, suponiendo que la relación entre ellasse mantiene constante, se encuentra que M’ nx y M’ ny resultan negativos, lo que indica que lacolumna no puede resistir esas acciones. En efecto, con las acciones incrementadas de la

condición 3a, se obtieneP u = 742.5 x 3.32 = 2465 Ton, P u /P y = 2465/2840 = 0.868

M’ nx = 449.1 12465

1671.7 1

2465

5983−

−

= -125.3 Tm

También M’ nx es negativo, pues el primer paréntesis se conserva igual.

Procediendo por tanteos (lo que es fácil si se cuenta con una hoja de cálculo que resuelva el problema) se encuentra que la columna falla, por inestabilidad, cuando las accionesexteriores se multiplican por 1.38; en ese caso, para la condición de carga 3a, se tiene

P u = 742.5 x 1.38 = 1024.65 Ton

(M x )sup = 66.1 x 1.38 = 91.2 Tm; (M x )inf = 47.3 x 1.38 = 65.3 Tm

(M y )sup = 100.2 x 1.38 = 138.3 Tm; (M y )inf = 48.9 x 1.38 = 67.5 Tm

Los momentos máximos son M ux = 91.2 Tm, M uy = 138.3 Tm

P u /P y = 1024.65/2840.1 = 0.361

M’ px = 1.2 x 499.1 (1 - 0.361) = 382.7 Tm < M px , M’ py = 1.2 x 250.3 (1 - 0.361

2

) = 260.9 Tm > M py

∴ M’ py = M py = 250.3 Tm

M’ nx = 499.1 11025.65

1671.7 1

1025.65

5983−

−

= 159.8 Tm; M’ ny = 250.3 1

1025.65

1671.7 1

1025.65

3251−

−

= 66.2 Tm

Extremo superior

ζ = 1.6 -0.361

2L 0.361n

= 1.777

91.2

0.9x382.7

138.3

0.9 x 250.3

1.777 1.777

+

= 0.094 + 0.420 = 0.514 < 1.0

Columna completa

η = 0.4 + 0.361 + 0.89 = 1.651

Como se conservan los valores relativos de los momentos, se conservan también C mx y C my




0.312 x 91.2

0.9 x 159.8

0.405 x 138.3

0.9 x 66.2

1.651 1.651

+

= 0.069 + 0.903 = 0.972 ≈ 1.0

Es interesante señalar que con las cargas originales era crítico el extremo superior de lacolumna; ahora, al aumentar la fuerza axial crecen los efectos de segundo orden (P δ ), y sevuelve crítica la estabilidad de la barra completa.

De acuerdo con el cuerpo principal de las normas AISC 99, con las acciones originales sealcanza la resistencia de la columna (el resultado de aplicar la ecuación de interacción con lacombinación de carga 3a es 0.970), y ahora se llega al mismo resultado con las accionesincrementadas en 38%; esto indica que utilizando el Apéndice H pueden obtenerseeconomías importantes.

Si la fuerza axial se mantuviese constante, y sólo creciesen los momentos (como sucederíaen una columna intermedia de un marco si aumentasen las acciones sísmicas), seobtendrían, seguramente, mayores economías.

Conviene indicar, sin embargo, que esas economías no podrían utilizarse en diseños regidos por los desplazamientos de entrepiso, o por la condición de que las columnas deben ser másresistentes que las vigas, como sucede, con frecuencia, en marcos de edificios que seconstruirán en zonas de sismicidad elevada, por lo que el empleo del Apéndice H produceeconomías, principalmente, cuando se aplica a estructuras provistas de muros de rigidez ocontraventeos.

e) NORMAS CANADIENSES CAN/CSA-S16.1-94 (ref. 7.8)

Combinaciones de carga de diseño

1. 1.25 CM + 1.50 CV 2. 1.0 CM + 1.0 S3. 1.0 CM + 0.5 CV + 1.0 S

Es evidente que la combinación 2 no es crítica, y que basta revisar la 1 y la 3. Esta sesubdivide en dos:

3a. 1.0 CM + 0.5 CV + 1.0 S x + 0.3 Sy

3b. 1.0 CM + 0.5 CV + 0.3 S x + 1.0 Sy

Clasificación de la sección (Tabla 1, ref. 7.8)

Patines. d/2t p = 2.7 < 463/ Fy = 7.81. Los patines son clase 1.

Alma. h/t a = (47.4-2 x 7.71)/4.76 = 6.7 < 3513

F y

1 0.39P

P u

y

−

Suponiendo que P u /P y = 1.0, valor que no puede alcanzarse nunca, se tiene (3513/ Fy ) (1 -

0.39) = 36.1 > 6.7, de manera que el alma es también tipo 1, para cualquier valor de la fuerzaaxial.





Lo mismo que en el caso a, se supondrá K x = 1.6, K y = 1.3, aunque en la ref. 7.8 se indicaque se tome K = 1.0 cuando las acciones de diseño provienen de un análisis elástico desegundo orden, y sólo se pide que se incluyan fuerzas laterales ficticias en combinaciones de

cargas verticales (en la próxima versión de esa referencia se van a incluir las fuerzas ficticiasen todas las combinaciones).

λπ

=KL

r

F

E

y 2

y

= 0.937 , n = 1.34

C r = φ P n = φ Af y (1 + λ2n )-1/n = 0.9 x 808.0 F y (1 + 0.937 2.68 )-1/1.34 x 10 -3 = 1621.7 Ton

Esta resistencia es igual para todas las condiciones de carga.


1. 1.25CM + 1.50CV

P u = 1.25 x 245.0 + 1.50 x 305.0 = 763.8 Ton

(M ux )sup = 1.25 x 20.0 + 1.50 x 25.0 = 62.5 Tm ; (M ux )inf = 1.25 x 9.8 + 1.5 x 12.2 = 30.6 Tm

(M uy )sup = 50.0 Tm; (M uy )inf = 14.0 Tm


M = L EI GJ E

L I C =E

L I J

2.6 + L C ux 2

y

2

y a2

y

2

a

ω π π ω π π+

= 8386 ω2 Ton

M 1 /M 2 = 30.6/62.5 = 0.49

ω2 = 1.75 + 1.05 x 0.49 + 0.3 x 0.492 = 2.34

M ux = 8386 x 2.34 = 19 594 Tm

M ry = φ M py = 0.9 x 250.3 = 225.3 Tm

M ux = 19594 Tm > 0.67 M p

M rx = 1.15 φ M px 10.28M

M

p

u

−

= 1.15 x 0.9 x 493.1 1

0.28 x 499.1

19594−

= 512.9 Tm > φM px = 449.2 Tm

∴ M rx = 449.2 Tm


Debe satisfacerse la condición




C

C +

0.85 U M

M +

0.60 U M

M 1.0 f

r

ix fx

rx

ix fy

ry

≤

en los tres casos siguientes:

(a) Resistencia de la sección transversal

Basta revisar el extremo superior de la columna.

C r = φ A F y = 0.9 x 808.0 F y x 10 -3 = 2256 Ton

M rx = φ M px = 449.2 Tm; M ry = φM py = 225.3 Tm

U 1x = U 1y = 1.0

C f = P u = 763.8 Tm ; M fx = (M ux )sup = 62.5 Tm ; M fy = (M uy )sup = 50.0 Tm

1.0<0.590=0.133+0.118+0.339=225.3

50.0x1.0x0.60+

449.2

62.5x1.0x0.85+

2256

763.8

(b) Resistencia del miembro completo

C r = 1621.7 Ton; M rx = 449.2 Tm; M ry = 225.3 Tm

U 1 =ω

ω1

f 1x

1 C / Ce; = 0.6

−- 0.4 (M 1 /M 2 ) x = 0.6 - 0.4 x 0.49 = 0.404; ω1y = 0.6 - 0.4 (14.0/50.0) =

0.488

C ex = P e1x = 5967 Ton; C ey = P e1y = 3235 Kg/cm2

U 1x = .0.404

1 763.8 / 5967 = 0.463 ;

−U 1y =

0.488

1 763.8 / 3235 = 0.639

−

763.8

1621.7 + 0.85 x

0.463 x 62.5

449.2 + 0.60 x

0.639 x 50.0

225.3= 0.471 + 0.059 + 0.085 = 0.611 < 1.0

(c) Resistencia al pandeo lateral por flexotorsión

C r = 1621.7 Ton; M rx = 449.2 Tm; M ry = 225.3 Tm

U 1x = 1.00; U 1y = 0.639

763.8

1621.7 + 0.85 x

1.0 x 62.5

449.2 + 0.60 x

0.639 x 50.0

225.3= 0.471 + 0.118 + 0.085 = 0.674 < 1.00

M

M +

M

M =

62.5

449.2 +

50.0

225.3fx

rx

fy

ry

= 0.139 + 0.222 = 0.361 < 1.00




El perfil es adecuado; es crítica la resistencia de la columna completa al pandeo lateral por flexotorsión.

3a. 1.0 CM + 0.5 CV + 1.0 S x + 0.3 Sy

P u = 693.5 Ton

(M ux )sup = 62.1 Tm, (M ux )inf = 45.3 Tm

(M uy )sup = 97.0 Tm, (M uy )inf = 53.3 Tm

(M 1 /M 2 ) x = 0.73, (M 1 /M 2 )y = 0.55

ω2 = 2.68 > 2.5 ∴ ω2 = 2.5

M rx = 449.2 Tm; M ry = 225.3 Tm

(a) Resistencia de la sección transversal superior

0.683 < 1.0

(b) Resistencia del miembro completo

ω1x = 0.31 < 0.4 ∴ ω1x = 0.40, ω1y = 0.38 < 0.4 ∴ ω1y = 0.40

U 1x = 0.453 ; U 1y = 0.509

693.5

1621.7 +

0.85 x 0.453 x 62.1

449.2 +

0.60 x 0.509 x 97.0

225.3= 0.428 + 0.053 + 0.131 = 0.612 < 1.0

(c) Resistencia al pandeo lateral por flexotorsiónU 1x = 1.00; U 1y = 0.509

693.5

1621.7 +

0.85 x 1.0 x 62.1

449.2 +

0.60 x 0.509 x 97.0

225.3= 0.428 + 0.118 + 0.131 = 0.677 < 1.0

62.1

449.2 +

97.0

225.3= 0.138 + 0.431 = 0.569 < 1.0

El perfil es también adecuado para esta condición de carga; rige la resistencia del extremo

superior.

3b. 1.0CM + 0.5CV + 0.3 S x + 1.0 Sy

Para esta condición se obtiene:

a) Resistencia de la sección transversal superior 0.572

b) Resistencia del miembro completo 0.516




c) Resistencia al pandeo lateral por flexotorsión 0.590, 0.448

El perfil está bastante sobrado; la condición de carga crítica es la 3a.

Resumen y comparación de resultados

NTC-RDF(ref. 7.34)

Dis. plásticoAISC-89 (ref.

7.23)

AISC 99, cuerpoprincipal(1)

(ref. 7.9)Comb. de cargas 1 2a 2b 1 2a 2b 1

(3)2 3a 3b

Extremos 0.554 0.832 0.716 0.606 0.885 0.769

0.383 0.796 0.970 0.804

Col. completa 0.693 0.900 0.753 0.666 0.987 0.818

AISC 99, Apéndice H(2)

(ref. 7.9)Normas

canadienses

(ref. 7.8)Comb. de cargas 1

(3)2 3a 3b 1 3a 3b

Extremos 0.043 0.112 0.301 0.192 0.590 0.683 0.574

Col. completa 0.092 0.159 0.286 0.166 0.674 0.677 0.590

(1) En todas las normas estudiadas, excepto en ésta, se revisan por separado las resistencias de los extremosy de la columna completa.

(2) La columna no está tan sobrada como parece, de acuerdo con estas recomendaciones; sin embargo, alaplicarlas se demostró que resiste un incremento de 38% en las acciones que actúan sobre ella.

(3) Estas dos condiciones de carga no son comparables con las de las otras normas, pues en ellas se incluyesólo carga muerta.

Los resultados que se obtienen con las refs. 7.34, 7.23, y el cuerpo principal de la 7.9, sonparecidos, aunque difieren en hasta un 10%; las tres indican que la columna propuesta esaceptable, pero de acuerdo con 7.23 y 7.9 está casi justa, mientras que 7.34 indica que estásobrada en 11%, aproximadamente; en cambio, la ref. 7.8 indica que está 46% sobrada.

En todos los casos la condición crítica es la que incluye CM, CV, 100% del sismo según x y30% del sismo y.

Debe tenerse en cuenta que en este ejemplo, y en esta tabla, no se comparan rigurosamentelas ecuaciones para diseño de columnas flexocomprimidas, ya que en cada caso se hanutilizado las combinaciones de carga de las normas correspondientes, que varían de unas aotras.




7.5 Referencias

7.1 Structural Stability Research Council, Technical Memorandum Nº 5: “General Principlesfor the Stability Design of Metal Structures”, Civil Engineering, ASCE, Nueva York,

febrero de 1981.

7.2 “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, T.V. Galambos, editor, 4a. Ed,John Wiley and Sons, 1988.

7.3 “Effective Length and Notional Load Approaches for Assessing Frame Stability:Implications for American Steel Design”, Task Committee on Effective Length, AmericanSociety of Civil Engineers, Reston, VA, U.S.A., 1997.

7.4 “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, T.V. Galambos, editor, 5ª Ed.,John Wiley and Sons, 1998.

7.5 “Plastic Design in Steel, a Guide and Commentary”, 2a. Ed., ASCE, Nueva York, 1971.

7.6 De Buen, O., “Estructuras de acero. Comportamiento y diseño”, Editorial Limusa, México,D. F., 1980.

7.7 Chen, W.F., y T. Atsuta, “Theory of Beam-Columns, Vol. 2, Space behavior and design”,McGraw-Hill Book Co., 1977.

7.8 “Limit States Design of Steel Structures”, CAN/CSA-S16.94, Canadian StandardsAssociation, Rexdale Ontario, Canadá, diciembre de 1994.

7.9 “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, AISC,Chicago, Ill., diciembre de 1999 (con erratas corregidas el 4 de septiembre de 2001).

7.10 “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, B.G. Johnston, editor, 3ª Ed.,John Wiley and Sons, 1976.

7.11 “CISC Commentary on CAN/CSA-S16.1-94”, Handbook of Steel Construction, 7ª Ed.,parte 2, Canadian Institute of Steel Construction, Rexdale, Ontario, Canadá,noviembre de 1997.

7.12 Picard, A., y D. Beaulieu, “Calcul des charpentes d’acier”, Institut Canadien de laConstruction en Acier, Rexdale, Ontario, Canadá, abril de 1991.

7.13 Santathadaporn, S., y W.F. Chen, “Interaction Curves for Sections under CombinedBiaxial Bending and Axial Forces”, Welding Research Council, Boletín No. 148, NuevaYork, febrero de 1970.

7.14 Chen, W.F., y T. Atsuta, “Interaction Equations for Biaxially Loaded Sections”, Proc.ASCE, Vol. 98, Nº ST5, mayo de 1972.




7.15 Tebedge, N., y W.F. Chen, “Design criteria for H-Columns under Biaxial Loading”,Proc. ASCE, Vol. 100, Nº. ST3, marzo de 1974.

7.16 “Specification for the Design, Fabrication and Erection of Structural Steel for Buildings”,AISC, Nueva York, 1949.

7.17 Galambos, T.V., “Structural Members and Frames”, Prentice-Hall, Inc, EnglewoodCliffs, N.J., USA, 1968.

7.18 Timoshenko, S.P., y J.M. Gere, “Theory of Elastic Stability”, McGraw-Hill Book Co.,Nueva York, 1961.

7.19 De Buen, O., “Comentario, ayudas de diseño y ejemplos de las Normas TécnicasComplementarias para diseño y Construcción de estructuras metálicas del Reglamentodel D. F”., Instituto de Ingeniería, UNAM, México, D. F., julio de 1993.

7.20 “Commentary on the Load and Resistance Factor Design Specification for Structural

Steel Buildings”, AISC, Chicago, Ill., diciembre de 1999.

7.21 “Guide to Design Criteria for Metal Compression Members”, B.G. Johnston, editor., 2ªEd., Column Research Council, John Wiley and Sons, Nueva York, 1966.

7.22 Chen, W.F., y E.M. Lui, “Stability Design of Steel Frames”, CRC Press, Boca Raton,U.S.A., 1991.

7.23 “Specification for Structural Steel Buildings. Allowable Stress Design and PlasticDesign”, AISC, Chicago, Ill., junio de 1989.

7.24 “Specification for the Design, Fabrication and Erection of Structural Steel for Buildings”,AISC, Chicago, Ill, noviembre de 1978.

7.25 Comentario sobre la “Specification for Structural Steel Buildings. Allowable StressDesign and Plastic Design”, AISC, Chicago, Ill, junio de 1989.

7.26 Galambos, T.V., y R.L. Ketter, “Columns Under Combined Bending and Thrust”, J.Eng. Mechanics Div., Proc. ASCE, abril 1959. (También Trans. ASCE, Vol. 126, parte1, 1961).

7.27 Galambos, T.V., y J. Prasad, “Ultimate Strength Tables for Beam-Columns”, WeldingResearch Council, boletín Nº 78, Nueva York, junio de 1962.

7.28 “Rules for Plastic Design and Fabrication”, adoptadas al 4 de diciembre de 1958.Verlas, por ejemplo, en un apéndice de “Plastic Design in Steel”, AISC, Nueva York,959.

7.29 Chen, W.F., y S. Zou, “Cm Factor in Load and Resistance Factor Design”, J. Str. Eng.,ASCE, Vol. 113, Nº 8, agosto de 1987.




7.30 Galambos, T.V., “Combined Bending and Compression”, Cap. 11 de “Structural SteelDesign”, 2a. Ed., L. Tall, editor, The Ronald Press Company, Nueva York, 1974.

7.31 Santathadaporn, S., y W.F. Chen, “Analysis of Biaxially Loaded Steel H-Columns”,Proc. ASCE, Vol. 99, Nº. ST3, marzo de 1973.

7.32 “Limit States Design of Steel Structures”, “Steel Structures for Buildings-Limit StateDesign”, CAN-S16.1M78, Canadian Standards Association, Rexdale, Ontario, Canadá,diciembre de 1978.

7.33 “Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructurasmetálicas”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, Gaceta Oficial delDistrito Federal, México, D. F., 27 de febrero de 1995.

7.34 “Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructurasmetálicas”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, México, D. F.,2003 (En elaboración).

7.35 Baker, J.F., M.R. Horne y J. Heyman, “The Steel Skeleton”, Vol. 2, CambridgeUniversity Press, Cambridge, Inglaterra, 1956.

7.36 Yura, J.A., “Elements for Teaching Load and Resistance Factor Design”, AISC,Chicago, Ill, julio de 1988.

7.37 “Normas Técnicas Complementarias para diseño por sismo”, Reglamento deConstrucciones para el Distrito Federal, Gaceta Oficial del Distrito Federal, México, D.F., 27 de febrero de 1995.

7.38 “Hollow Structural Sections. Connections Manual”, American Institute of SteelConstruction (AISC), Steel Tube Institute of North America (STI), American Iron andSteel Institute (AISI), 1997.

7.39 “Load and Resistance Factor Design Specification for Steel Hollow StructuralSections”, AISC, Chicago, IL, noviembre de 2000 (se incluyen en la ref. 7.42).

7.40 Bruneau, M., C-M. Uang, y A. Whittaker, “Ductile Design of Steel Structures”, McGraw-Hill, Nueva York, 1998.

7.41 “Metric Properties of Structural Shapes”, AISC, Chicago, IL., 1992.

7.42 “Manual of Steel Construction. Load and Resistance Factor Design”, 3ª Ed., AISC,Chicago, IL, noviembre d e 2001.

7.43 “Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures”, ASCE 7-98, New York,NY, enero de 2000.

7.44 “Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal”, Diario Oficial de laFederación, México, D. F., 2 de agosto de 1993 (actualizado el 4 de junio de 1997).



Consejo Directivo de Fundación ICA

PresidenteIng. Bernardo Quintana

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Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el Registro Nacional de Instituciones yEmpresas Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, con el número 2001/213del 29 de agosto de 2001.

Esta edición de”Diseño de Estructuras de Acero. Columnas Flexocomprimidas” Se terminó en junio del 2003,se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, cada ejemplar consta de 123 páginas fue grabado en Av. delParque No. 91 Col. Nápoles C.P. 03810 México D.F. la edición estuvo al cuidado de César Arteaga Ibarra yAlfonso Espinosa Martínez.

http://c/Mis%20documentos/Semblanzas/fer_luna.htm

http://c/Mis%20documentos/Semblanzas/juan_visoso.htm

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SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL

Mesa Directiva 2003 - 2004

PresidenteIng. Sergio Alcocer Martínez de Castro

VicepresidenteIng. Javier Alonso Garcia

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Ing. Raúl Jean Perrilliat

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Esta edición de "Diseño de estructuras de acero. Columnas flexocomprimidas", se terminó degrabar en junio del 2003, se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, fue grabado en Av delparque # 91, Col. Nápoles, C.P. 03810, en México, D.F. La edición estuvo al cuidado de César Arteaga Ibarra y Alfonso Espinosa Martínez.

capitulo 7-columna aislada flexocomprimida

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