Capitulo 6

Análisis Tiempo-Frecuencia

CRITERIOS BÁSICOS 

Las técnicas de análisis espectral desarrollado hasta el momento representan la señal poderosa herramientas de procesamiento si no está especialmente preocupado con la señal de temporización. Clásica o modernos métodos espectrales proporcionar una solución completa y adecuada para formas de onda que son estacionarias, es decir, formas de onda que no cambian en su propiedades básicas a lo largo del análisis (en sentido estricto, que no cambio en sus propiedades estadísticas). Sin embargo, muchas formas de onda-en particular los de origen biológico, no son estacionarias, y el cambio sustancial en sus propiedades lazos con el tiempo. Por ejemplo, los cambios de la señal EEG considerablemente en función de varios estados internos del sujeto: es decir, la meditación, el sueño, los ojos cerrados. Más-más, son estos cambios con el tiempo que a menudo son de interés primordial.Fourier análisis proporciona una buena descripción de las frecuencias en una forma de onda, pero no su calendario. La transformada de Fourier "de una pieza musical nos dice qué notas se reproducen, pero es muy diferente de entender cuando se tocan " (Hubbard, 1998). Dicha información debe estar integrada en la especificación de la frecuencia espectro desde la transformada de Fourier es bilateral, y el pasaje musical se puede únicamente reconstruido utilizando la transformada inversa de Fourier. Sin embargo, el tiempo es codificados en la porción de la fase de la transformación, y esta codificación es difícil interpretar y recuperarse. En la transformada de Fourier, eventos específicos en el tiempo son dis-contribuido a través de todos los componentes de la fase. En esencia, una función de locales en el tiempo se ha transformado en una característica global de la fase.

 El tiempo es a menudo la información de interés principal en muchas señales biomédicas, y esto también es válido para las imágenes médicas, donde la información es análoga localizada en el espacio. Una amplia gama de enfoques han sido desarrollados para tratar de extracto de tiempo y la información de frecuencia de una onda. Básicamente se puede dividir en dos grupos: métodos tiempo-frecuencia y los métodos de escala de tiempo. Estos últimos son más conocidos como los análisis Wavelet, un nuevo enfoque popular describe en el siguiente capítulo. Este capítulo está dedicado a los métodos tiempo-frecuencia. 

Fourier a corto plazo de transformación: el espectrograma 

Los primeros métodos tiempo-frecuencia se basan en el método directo de cortar la forma de onda de interés en una serie de segmentos cortos y realizar un análisis en cada uno de estos segmentos, normalmente utilizando el estándar de la Transformada de Fourier. Una función de ventana similar a las descritas en el capítulo 3 se aplica a un segmento de datos, aislando ese segmento de la ola general- forma, y la transformada de Fourier se aplica a ese segmento. Esto se denomina espectrograma o "corto plazo transformada de Fourier" (STFT) * desde el de FourierTransformación se aplica a un segmento de datos que es más corto, a menudo mucho más corto, que la forma de onda en general. Dado que los segmentos de datos abreviados se utilizan, la selección de la longitud de la ventana más apropiada puede ser crítica. Este método ha tenido éxito aplicada con éxito en una serie de aplicaciones biomédicas. La ecuación básica para el espectrograma en el dominio continuo es:

donde w (t) es la función de la ventana y es la variable que se desliza la ventana a través de la forma de onda, x (t).

La versión discreta de la ecuación. (1) es la misma que fue dada en el Capítulo 2 parauna función general de sondeo (Ec. (11), Capítulo 2) donde la función de sondeo es sustituye por una familia de sinusoides representadas en formato complejas (es decir, el e-JNM / N):

Hay dos problemas principales con el espectrograma: (1) la selección de un opti-longitud de la ventana normal de los segmentos de datos que contienen variasfunciones diferentes pueden no ser posible, y (2) la compensación de tiempo-frecuencia:, acortando la longitud de los datos N, para mejorar la resolución temporal se reduzca la resolución de frecuencia que se aproxima-aproximadamente 1 / (NT). Acortar el segmento de datos también podría resultar en la pérdida de baja las frecuencias que ya no están plenamente incluidas en el segmento de datos. Por lo tanto, si la ventana se hace más pequeño para mejorar la resolución temporal, entonces la frecuenciala resolución se degrada y viceversa. Esta compensación de tiempo-frecuencia ha sidoasimilarse a un principio de incertidumbre, donde el producto de la resolución de

frecuencia (expresado como ancho de banda, B) y el tiempo, T, debe ser mayor que un cierto mínimo.

En concreto:

El trade-off entre el tiempo y la resolución de frecuencia inherentes a la STFT, o espectrograma, ha motivado una serie de otros métodos tiempo-frecuencia comoasí como los enfoques de escala de tiempo discutido en el próximo capítulo. A pesar de estas limitaciones, la STFT se ha utilizado con éxito en una amplia variedad de problemas,en particular aquellos en los que sólo componentes de alta frecuencia son de interés yresolución de la frecuencia no es crítica. El área de procesamiento del habla se ha beneficiado considerablemente de la aplicación de la STFT. En su caso, la STFT esuna solución sencilla que se apoya en una teoría bien comprendida clásica (es decir, la Fou-barrera transformar) y es fácil de interpretar. Las fortalezas y debilidades de laSTFT se exploran en los ejemplos de la sección de Implementación en MATLABa continuación y en los problemas al final del capítulo.

Distribución de Wigner-Ville: Un caso especial de la clase de Cohen

Una serie de enfoques se han desarrollado para superar algunas de las de cortovenidas del espectrograma. El primero de ellos fue la distribución de Wigner-Ville-ción * que es también uno de los más estudiados y mejor entendida de los muchostiempo-frecuencia métodos. El enfoque fue desarrollado por Wigner de el uso de la física, pero más tarde aplicada al procesamiento de señal por Ville, de ahí el doble nombre. Más adelante veremos que la distribución de Wigner-Ville es un caso especial de una amplia variedad de transformaciones similares conocidos bajo el título de Cohen clase de distribuciones. Para un amplio resumen de estas distribuciones ver Bou-dreaux-Bartels y Murry (1995).La distribución de Wigner-Ville, y otros de la clase de Cohen, utiliza un enfoqueque se remonta a los primeros usos de la función de autocorrelación para el cálculo deel espectro de potencia. Como se señaló en el capítulo 3, el método clásico para la determinación el espectro de potencia era tomar la transformada de Fourier de la autocorrelaciónfunción (ecuación (14), Capítulo 3). Para construir la función de autocorrelación, elforma de onda se compara con el mismo para todos los cambios relativos posible, o se queda (Ec.(16), capítulo 2). La ecuación se repite aquí en continua y discreta forma:

dónde y n son el cambio de la forma de onda con respecto a sí misma.

En la función de autocorrelación estándar, el tiempo es integrada (o resumen) fuera del resultado, y este resultado, Rxx (), es sólo una función de la demora, o cambio.El Wigner-Ville, y de hecho todos Cohenâ € ™ s la clase de distribuciones, usar unvariación de la función de autocorrelación donde el tiempo permanece en el resultado. Esto es logrado mediante la comparación de la forma de onda con la misma para todos los posibles retrasos, pero en su lugar de integrar con el tiempo, la comparación se hace con todos los valores posibles de tiempo.Esta comparación da lugar a la ecuación que define la instantaneidad de la llamada-función de autocorrelación espontáneo:

¿dónde? y n son los lapsos de tiempo como en autocorrelación, y representa la *complejo conjugado de la señal, x. La mayoría de las señales actuales son reales, en cuyo caso Eq. (4) se puede aplicar a cualquiera de la (real) de la señal en sí, o una versión compleja de la señal conocida como la señal analítica. Una discusión de las ventajas de utilizar la señal analítica, junto con métodos de cálculo de la señal analítica deel real (real, es decir,) la señal se presenta a continuación.La función de autocorrelación instantánea mantiene tanto retrasos y el tiempo, yes, por tanto, una función de dos dimensiones. La salida de esta función a unaentrada sinusoidal muy simple se muestra en la Figura 6.1 tanto como en tres dimensiones y un gráfico de contorno. La función de autocorrelación estándar de una sinusoide que una sinusoide de la misma frecuencia. La función de autocorrelación instantánea-ción de salida se muestra en la Figura 6.1 muestra una sinusoide a lo largo del tiempo y?eje como se esperaba, sino también a lo largo de las diagonales también. Estos productos cruzadosson particularmente evidentes en la Figura 6.1B y el resultado de la multiplicación dela ecuación de autocorrelación instantánea, la ecuación. (7). Estos productos cruzados

son una fuente de problemas para todos los métodos basados en la Autocor instantánea-relación con la función.

Como se mencionó anteriormente, el método clásico para calcular el espectro de potenciaera tomar la transformada de Fourier de la función de autocorrelación estándar. LaWigner-Ville se hace eco de la distribución de este enfoque tomando la transformada de Fourier de la función de autocorrelación instantánea, pero sólo a lo largo de la (Es decir, retardo) dimensión. El resultado es una función de la frecuencia y el tiempo. Cuando el uno-espectro de potencia dimensiones se calcula utilizando la función de autocorrelación,era común para filtrar la función de autocorrelación antes de tomar el Fouriertransformar para mejorar las características del espectro de energía resultante. Si bien no hay talfiltrado se realiza en la construcción de la distribución de Wigner-Ville, todos los demásenfoques aplicar un filtro (en este caso un filtro de dos dimensiones) a la instantaneidad-función de autocorrelación espontáneo antes de tomar la transformada de Fourier.De hecho, la principal diferencia entre muchos de las distribuciones en la clase de Cohen es simplemente el tipo de filtro que se utiliza.

La ecuación formal para determinar una distribución tiempo-frecuencia de Clase de Cohen de las distribuciones es bastante formidable, pero se puede simplificar en la práctica. En concreto, la ecuación general es:

donde g (v), proporciona las dos dimensiones de filtrado de la auto-instantáneacorrelación y también se conoce como un núcleo. Esta es la función de filtro, como la dife-entiates entre las diferentes distribuciones en Cohenâ clase € ™ s. Tenga en cuenta que el resto del integrando es la transformada de Fourier de la autocorrelación instantánea función.Hay varias maneras de simplificar la ecuación. (8) para un núcleo específico. Para elDistribución de Wigner-Ville, no hay ninguna filtración, y el núcleo no es más que una (es decir, g (v,) = 1) y la ecuación general de la ecuación. (8), después de la integración por dv, reducea la ecuación. (9), se presentaron en forma continua y discreta.

El Wigner-Ville tiene varias ventajas sobre la STFT, pero también tiene un serie de deficiencias. Su mayor fortaleza es que produce "un notablebuena imagen de la estructura de tiempo-frecuencia "(Cohen, 1992). También tiene a favor-marginales poder y momentos condicional. Los marginales se refieren la sumacon el tiempo o la frecuencia a la energía de la señal en ese momento o frecuencia. Por ejem-Por ejemplo, si sumamos la distribución de Wigner-Ville, sobre la frecuencia a una hora fija, queobtener un valor igual a la energía en ese punto en el tiempo. Por otra parte, si fijamos la frecuencia y cantidad con el tiempo, el valor es igual a la energía en esa frecuencia.En el momento condicional de la distribución de Wigner-Ville también tiene un significado:

donde p (t) es la marginal en el tiempo.

Este momento condicional es igual a la frecuencia instantánea de la llamada-cuencia. La frecuencia instantánea es generalmente interpretado como la media de los frecuencias en un punto dado en el tiempo. En otras palabras, el tratamiento de la Wigner-Ville de distribución como de densidad de probabilidad real (no lo es) y el cálculo de la media de la frecuencia proporciona un término que es lógicamente interpretarse como la media de la frecuencias presentes en un momento dado.La distribución de Wigner-Ville tiene un número de otras propiedades que puedenser útil para ciertas aplicaciones. Es posible recuperar la señal original,a excepción de una constante, de la distribución, y la transformación es invariantea los cambios en el tiempo y frecuencia. Por ejemplo, cambiando la señal en el tiempo por un retardo de T segundos se produce la misma distribución, excepto en el pasado por Tel eje del tiempo. Lo mismo podría decirse de un cambio de la frecuencia (aunque biológicos procesos que producen cambios en la frecuencia no son tan comunes como los que producen cambios de tiempo). Estas características son también el caso de la STFT y algunos de las otras distribuciones se describen a continuación. Una característica de la distribución de Wigner-Ville-distribución no es compartida por la STFT es soporte finito en el tiempo y frecuencia. Finitos apoyo en el tiempo significa que la distribución es igual a cero antes de la señal se inicia y después de que termine, mientras que el apoyo finitos en la frecuencia: la distribución no contienen las frecuencias más allá del alcance de la señal de entrada. El Wigner-Ville se contienen energías inexistente debido a los productos cruzados como se mencionó anteriormente y observa en la Figura 6.1, pero estos contenidos están dentro del tiempo y frecuencia los límites de la señal original. Debido a estos productos cruzados, la de Wigner-Ville distribución no es necesariamente cero cuando la señal es cero, una propiedad Cohen llamado soporte finito fuerte. Obviamente, desde la STFT no tiene apoyo finito- puerto no tiene soporte finito fuerte. Algunas de las otras distribuciones no tiene soporte finito fuerte. Ejemplos de los atributos deseables de la Wigner-Villese estudiarán en la sección de MATLAB de Aplicación, y en los problemas.

La distribución de Wigner-Ville tiene una serie de deficiencias. Lo más gravede ellos es la producción de productos cruzados: la demostración de las energías envalores de frecuencia de tiempo en el que no existen. Estas energías tienen fantasmasido el principal motivador para el desarrollo de otras distribuciones que se aplicanvarios filtros a la función de autocorrelación instantánea para mitigar los dañospúblico realizado por los productos cruzados. Además, la distribución de Wigner-Ville puede tienen regiones negativas que no tienen ningún significado. La distribución de Wigner-Ville también tiene malas propiedades de ruido. En esencia, el ruido se distribuye a través de todos los tiempos y la frecuencia incluyendo productos cruzados del ruido, aunque en algunos casos, la productos cruzados y las influencias del ruido se puede reducir mediante el uso de una ventana. En tales casos, la función de la ventana deseada se aplica a

n _t es UTF-8 2 1

la dimensión del rezago función de autocorrelación instantánea (Ec. (7)), similar a la forma en que se aplicó a la función de tiempo en el Capítulo 3. Al igual que en el análisis de la transformada de Fourier, de ventanas reducirá la resolución de la frecuencia, y, en la práctica, un compromiso que se solicita- entre una reducción de los productos cruzados y la pérdida de la resolución de frecuencia. Ruido propiedades y otras debilidades de la distribución de Wigner-Ville, junto con las influencias de ventanas se exploran en la aplicación y el problema secciones.

El Choi-Williams y Otras Distribuciones

La existencia de productos cruzados en la transformación de Wigner-Ville tiene motivadosel desarrollo de otras distribuciones. Estas otras distribuciones también se definenpor la ecuación. (8), sin embargo, ahora el núcleo, g (? V,), ya no es 1. La ecuación general(Ec. (8)) se puede simplificar dos maneras diferentes: para cualquier núcleo dado, la integraciónción con respecto a la variable v se puede realizar con antelación ya que el resto dela transformación (es decir, la porción de la señal) no es una función de v, o uso pueda llevar a cabode una función intermedia, llamada la función de ambigüedad.En el primer enfoque, el núcleo se multiplica por el exponencial de la ecuación. (9)para dar una nueva función, G (u,?):

donde la nueva función, G (u,) se conoce como la función de determinar(Boashash y Reilly, 1992). Entonces la ecuación. (9) se reduce a:

Note that the second set of terms under the double integral is just theinstantaneous autocorrelation function given in Eq. (7). In terms of the determin-ing function and the instantaneous autocorrelation function, the discrete form ofEq. (12) becomes:

donde t = u / fs. Este es el enfoque que se utiliza en la sección de MATLABaplicación a continuación. Alternativamente, se puede definir una nueva función como la de-verso transformada de Fourier de la función de autocorrelación instantánea:

donde la nueva función, Ax (,), que se denomina la función de ambigüedad. En este caso,la operación de convolución en la ecuación. (13) se convierte en multiplicación, y se desea lala distribución es sólo el doble transformada de Fourier del producto de la ambigüedadveces la función de la función de autocorrelación instantánea:

Una distribución popular es la de Choi-Williams, que también se conoce comouna distribución exponencial (ED), ya que tiene un núcleo de tipo exponencial. Específi-mente, la función del núcleo y la determinación de la distribución de Choi-Williamsson los siguientes:

La distribución de Choi-Williams también se puede utilizar en una forma modificada queincorpora una función de la ventana y de esta forma se considera uno de una clase dedistribución reducida interferencia (RID) (Williams, 1992). Además de tenerreducción productos cruzados, la distribución Choi-Williams también tiene mejor el ruidocaracterísticas que la de Wigner-Ville. Estas dos distribuciones se compararáncon otras distribuciones populares en la sección sobre implementación.Analítica de señalTodas las transformaciones en la clase de Cohen de la distribución de producir mejores resultadoscuando se aplica a una versión modificada de la forma de onda denomina la señal analítica,una versión compleja de la señal real. Mientras que la señal real puede ser utilizado, elseñal analítica tiene varias ventajas. La ventaja más importante se debe ael hecho de que la señal analítica no contiene frecuencias negativas, por lo que su usoreducirá el número de productos cruzados. Si la señal real es utilizado, entonces amboslos términos positivos y negativos espectral producir productos cruzados. Otro de los beneficioses que si la señal analítica se utiliza la frecuencia de muestreo puede ser reducido. Este esporque la función de autocorrelación instantánea se calcula utilizando de manera uniformelos valores de espacio, por lo que es, de hecho, undersampled por un factor de 2 (compárese con laversiones discretas y continuas de la ecuación. (9)). Por lo tanto, si la función analítica esno se utiliza, los datos deben tomarse muestras de dos veces el mínimo normal, es decir, dos vecesla frecuencia de Nyquist o cuatro veces fMAX .* Por último, si la frecuencia instantánea se desea, se puede determinar desde el primer momento (es decir, media) de la dis-distribución sólo si la señal analítica se utiliza.Varios enfoques pueden ser utilizados para la construcción de la señal analítica. Essen-cialmente se toma la señal real y añade un componente imaginario. Uno de los métodospara establecer el componente imaginario es argumentar que las frecuencias negativas-

políticas que se generan a partir de la transformada de Fourier no son físicos y, por tanto,debe ser eliminado. (Frecuencias negativas son equivalentes a la frecuencia redundante-cuencias por encima de fs / 2. Siguiendo esta lógica, la transformada de Fourier de la señal realse toma, las frecuencias negativas se ponen a cero, o equivalentemente, el redundantesfrecuencias por encima de fs / 2, y la señal (en la actualidad complejo) se reconstruye con eltransformada inversa de Fourier. Este enfoque también multiplica las frecuencias positivas-cie, los de abajo fs / 2, por 2 a mantener la energía total de la misma. Esto se traduce enuna nueva señal de que tiene una parte real idéntica a la señal real y uno imaginarioparte que es la transformada de Hilbert de la señal real (Cohen, 1989). Este es elenfoque utilizado por el Hilbert MATLAB rutina y la rutina en Hilberel disco, y el enfoque utilizado en los ejemplos siguientes.Otro método consiste en realizar la transformada de Hilbert directamente a través de laHilbert filtro de transformación para producir el componente complejo:z (n) = x (n) + j [x (n)] (18)donde H denota la transformada de Hilbert, que puede ser implementado como un FIRfiltro (capítulo 4), con coeficientes de:

A pesar de la transformada de Hilbert filtro debe tener un nuevo impulso infinitolongitud de respuesta (es decir, un número infinito de coeficientes), en la práctica un filtro FIRlongitud de aproximadamente 79 muestras se ha demostrado proporcionar una adecuadaaproximación (Bobashash y Negro, 1987).

MATLAB APLICACIÓNLa Fourier a corto plazo de transformación

La implementación de los algoritmos de tiempo-frecuencia descrito anteriormente es directa hacia adelante y se ilustra en los ejemplos siguientes. El espectrograma se puede generar con la función fft tipo descrita en el Capítulo 3, o con un especial función de la caja de herramientas de procesamiento de señal, specgram. Los argumentos para specgram(dada en la página siguiente) son similares a las utilizadas para pwelch descrito en Capítulo 3, aunque el orden es diferente.

[B,f,t] = specgram(x,nfft,fs,window,noverlap)

donde la salida, B, es una matriz compleja que contiene la magnitud y la fase de el espectro STFT tiempo-frecuencia con la codificación de las filas del eje del tiempo y las columnas que representan el eje de la frecuencia. Los argumentos de salida opcional, f y T, son vectores de tiempo y frecuencia que pueden ser útiles en el trazado. La entrada argumentos son el vector de datos, x, y el tamaño de la transformada de Fourier de ganar- ventana, nfft. Tres argumentos de

entrada opcionales incluyen la frecuencia de muestreo, fs, utilizado para calcular los vectores de trazado, la ventana de la función deseada, y el número de la superposición de puntos entre las ventanas. La función de la ventana es según se especifica en pwelch: si se da un escalar, entonces una ventana de Hanning que longitud se utiliza.

La salida de todos los métodos tiempo-frecuencia basados en MATLAB es una función de dos variables, tiempo y frecuencia, y requiere que sea una de tres dimensiones parcela o un gráfico de contorno de dos dimensiones. Ambos enfoques están tramando a través de gráficos de MATLAB estándar y se ilustran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.1 Construir una serie de tiempo que consiste en dos Sinusoides secuencial de 10 y 40 Hz, cada una activa durante 0,5 segundos (ver Figura 6.2). Los sinusoides debe estar precedida y seguida por 0,5 segundos de ausencia de señal (es decir, los ceros). Determinar la magnitud de la STFT y la trama ya que tanto una parcela cuadrícula de tres dimensiones y como un gráfico de contorno. No utilice el Procesamiento de Señales de rutina Cuadro de herramientas, sino que se desarrollan código de la STFT. Utilice una ventana Hanning para aislar segmentos de datos.

Ejemplo 6.1 utiliza una función similar a specgram MATLAB, salvo que la ventana es fijo (Hanning) y todos los argumentos de entrada se debe especificar. Esta función, spectog, tiene argumentos similares a los de specgram. El código de esta rutina es la siguiente el programa principal.

% Ejemplo 6.1 y las figuras 6.2, 6.3, y 6.4% Ejemplo del uso del espectrograma% Utiliza la función spectog se indican a continuación%clear all; close all;% Configure las constantesfs 500; % Muestra la frecuencia en Hz.N 1024; % Longitud de la Señalf1 10; % Primera frecuencia en Hzf2 40; % Segunda Frecuencia en Hznfft 64; % Tamaño de la ventananoverlap 32; % Número de puntos de superposición (50%)%% Construir un paso de cambio en la frecuenciatn (1:N/4)/fs; % Vector de tiempo utilizado para crear sinusoidesx [zeros(N/4,1); sin(2*pi*f1*tn)’; sin(2*pi*f2*tn)’...zeros(N/4,1)];

t (1:N)/fs; % Vector de tiempo utilizado para graficarplot(t,x,’k’);....labels....% Podría utilizar el specgram rutina de la señal de procesamiento de MATLAB% Caja de herramientas: [b, f, t]   specgram (x, nfft, fs, ventana, noverlap),% pero en este ejemplo, utiliza el "spectog" la función se muestra a continuación.

FIGURA 6.3  Gráfico de contorno de la STFT de dos sinusoides secuencial. Tenga en cuenta el amplio tiempo y el rango de frecuencia producida por este método de tiempo-frecuencia. La apariencia de la energía en tiempos y frecuencias en las que la energía no existe en la señal original es evidente.

%[B,f,t] spectog(x,nfft,fs,noverlap);B abs(B); % Get spectrum magnitudefigure;mesh(t,f,B); % Plot Spectrogram as 3-D meshview(160,40); % Change 3-D plot viewaxis([0 2 0 100 0 20]); % Example of axis andxlabel(’Time (sec)’); % labels for 3-D plotsylabel(’Frequency (Hz)’);figurecontour(t,f,B); % Plot spectrogram as contour plot....labels and axis....The function spectog is coded as:function [sp,f,t] spectog(x,nfft,fs,noverlap);% Function to calculate spectrogram

% Output arguments% sp spectrogram% t time vector for plotting% f frequency vector for plotting% Input arguments% x data% nfft window size% fs sample frequency% noverlap number of overlapping points in adjacent segments% Uses Hanning window%[N xcol] size(x);if N xcolx x’; % Insure that the input is a rowN xcol; % vector (if not already)endincr nfft—noverlap; % Calculate window incrementhwin fix(nfft/2); % Half window sizef (1:hwin)*(fs/nfft); % Calculate frequency vector% Zero pad data array to handle edge effectsx_mod [zeros(hwin,1); x; zeros(hwin,1)];%j 1; % Used to index time vector

% Calculate spectra for each window position% Apply Hanning windowfor i 1:incr:Ndata x_mod(i:i_nfft-1) .* hanning(nfft);ft abs(fft(data)); % Magnitude datasp(:,j) ft(1:hwin); % Limit spectrum to meaningful% pointst(j) i/fs; % Calculate time vectorj j _ 1; % Increment indexend

Figuras 6.3 y 6.4 muestran que la STFT produce un gráfico tiempo-frecuencia con el cambio en la frecuencia de paso aproximadamente en el tiempo correcto, aunque ni el cambio de ritmo ni las frecuencias son muy definidos con precisión. La falta de soporte finito en el tiempo o la frecuencia se manifiesta por la aparición de energía poco antes de 0,5 segundos y un poco después de 1.5 segundos, y las energías en frecuencias otras de 10 y 40 Hz. En este ejemplo, el tiempo de resolución es mejor que la resolución de frecuencia. Al cambiar la ventana de tiempo, el compromiso se-tiempo entre la resolución y frecuencia puede ser alterado. La exploración de este comercio fuera se da como un problema al final de este capítulo.

Una señal popular que se usa para explorar el comportamiento de los métodos tiempo-frecuencia es una sinusoide que aumenta en frecuencia con el tiempo. Esta señal se llama una señal chirp por el sonido que hace si se trata como una señal de audio. Una muestra de como una señal se muestra en la Figura 6.5. Esta señal puede ser generada por la multiplicación del argumento de una función seno por un término lineal en aumento, como se muestra en ejemplo 6.2. Por otra parte, el Signal Processing Toolbox contiene un especial la función de generar un chip que proporciona algunas características adicionales, tales como logarítmica o cambios en la frecuencia de segundo grado. La rutina de chirrido de MATLAB se utiliza en un último ejemplo. La salida de la STFT a una señal chirp se demuestra en Figura 6.6.Ejemplo 6.2 Generar un linealmente creciente ola sinusoidal que varía se- entre 10 y 200 Hz durante un periodo de 1 seg. Analizar este chirrido de la señal mediante e STFT programa utilizado en el ejemplo 6.1. Trazar el espectrograma resulta tanto como 3 - D de la red y como un gráfico de contorno. Suponga una frecuencia de muestreo de 500 Hz.

% Example 6.2 and Figure 6.6% Example to generate a sine wave with a linear change in frequency% Evaluate the time–frequency characteristic using the STFT% Sine wave should vary between 10 and 200 Hz over a 1.0 sec period% Assume a sample rate of 500 Hz%clear all; close all;% ConstantsN 512; % Number of points

fs 500; % Sample freq;f1 10; % Minimum frequencyf2 200; % Maximum frequencynfft 32; % Window sizet (1:N)/fs; % Generate a time% vector for chirp% Generate chirp signal (use a linear change in freq)fc ((1:N)*((f2-f1)/N)) _ f1;x sin(pi*t.*fc);%% Compute spectrogram using the Hanning window and 50% overlap[B,f,t] spectog(x,nfft,fs,nfft/2); % Code shown above%subplot(1,2,1); % Plot 3-D and contour% side-by-sidemesh(t,f,abs(B)); % 3-D plot....labels, axis, and title....subplot(1,2,2);contour(t,f,abs(B)); % Contour plot....labels, axis, and title....

La distribución de Wigner-VilleLa distribución de Wigner-Ville proporcionará una imagen mucho más definitiva de las características tiempo-frecuencia, pero también producen productos cruzados: la energía de

tiempo-frecuencia que no está en la señal original, aunque se encuentra dentro los límites de tiempo y frecuencia de la señal. Ejemplo 6.3 muestra estas propiedades en una señal de que los cambios de frecuencia bruscamente, la misma señal utilizada en Ejemplo 6.1with la STFT. Esto permitirá una comparación directa de los dos métodos.Ejemplo 6.3 Aplicar la distribución de Wigner-Ville a la señal de examen-ejemplo 6.1. Utilice la señal analítica y ofrecer parcelas similares a las del ejemplo 6.1.

% Example 6.3 and Figures 6.7 and 6.8% Example of the use of the Wigner-Ville distribution% Applies the Wigner-Ville to data similar to that of Example% 6.1, except that the data has been shortened from 1024 to 512% to improve run time.%clear all; close all;% Set up constants (same as Example 6–1)fs 500; % Sample frequencyN 512; % Signal lengthf1 10; % First frequency in Hzf2 40; % Second frequency in Hz

%% Construct a step change in frequency as in Ex. 6–1tn (1:N/4)/fs;x [zeros(N/4,1); sin(2*pi*f1*tn)’; sin(2*pi*f2*tn)’;zeros(N/4,1)];%% Wigner-Ville analysisx hilbert(x); % Construct analytic function[WD,f,t] wvd(x,fs); % Wigner-Ville transformationWD abs(WD); % Take magnitudemesh(t,f,WD); % Plot distributionview(100,40); % Use different view....Labels and axis....figurecontour(t,f,WD); % Plot as contour plot....Labels and axis....The function wwd computes the Wigner-Ville distribution.function [WD,f,t] wvd(x,fs)% Function to compute Wigner-Ville time–frequency distribution% Outputs% WD Wigner-Ville distribution% f Frequency vector for plotting% t Time vector for plotting

% Inputs% x Complex signal% fs Sample frequency%[N, xcol] size(x);if N xcol % Make signal a column vector if necessaryx x!; % Standard (non-complex) transposeN xcol;endWD zeros(N,N); % Initialize outputt (1:N)/fs; % Calculate time and frequency vectorsf (1:N)*fs/(2*N);%%%Compute instantaneous autocorrelation: Eq. (7)for ti 1:N % Increment over timetaumax min([ti-1,N-ti,round(N/2)-1]);tau -taumax:taumax;% Autocorrelation: tau is in columns and time is in rowsWD(tau-tau(1)_1,ti) x(ti_tau) .* conj(x(ti-tau));end

%WD fft(WD);

La última sección del código se utiliza para calcular la autocorrelación instantánea- ción de función y su transformada de Fourier como en la ecuación. (9c). El bucle for se utiliza para la construcción de una matriz, WD, que contiene la autocorrelación instantánea en la que cada columna contiene las correlaciones en diversos rezagos de ti con el tiempo,. Cada columna se calcula en un rango de retardos, taumax ±. La primera declaración en el bucle restringe la gama de taumax para estar dentro de la señal matriz: utiliza todos los datos que es simétrica disponibles en ambos lados de la variable tiempo, ti. Tenga en cuenta que la fase de la señal de retardo colocados en el documento de matriz varía según la columna (es decir, el tiempo).Normalmente, esto no importa ya que la transformada de Fourier se tendrán en cada conjunto de grupos de acción local (es decir, cada columna) y sólo la magnitud va a ser utilizado. Procedimientos Sin embargo, la fase se ajustó adecuadamente antes de trazar el Autocor instantánea- relación en la Figura 6.1. Después de la autocorrelación instantánea se construye, laTransformada de Fourier se toma más de cada conjunto de rezagos. Tenga en cuenta que si una matriz se presenta a la rutina fft de MATLAB, se calcula la transformada de Fourier para cada col-NMS, por lo que la transformada de Fourier se calcula para cada valor en el tiempo la producciónuna función de dos dimensiones de tiempo y frecuencia. El Wigner-Ville es particularmente eficaz en la detección de sinusoides único que cambio en la frecuencia con el tiempo, como el chirrido de la señal se muestra en la Figura 6.5 y utilizado en el ejemplo 6.2. Para tales señales, la distribución de Wigner-Ville produce productos cruzados muy pocos, como se muestra en el ejemplo 6.4.

Ejemplo 6.4 Aplicar la distribución de Wigner-Ville, a una señal chirp la rangos de forma lineal entre 20 y 200 Hz durante un período de tiempo de 1 segundo. En este ejemplo, utilizar la rutina chirrido de MATLAB.

% Example 6.4 and Figure 6.9% Example of the use of the Wigner-Ville distribution applied to% a chirp% Generates the chirp signal using the MATLAB chirp routine%clear all; close all;% Set up constants % Same as Example 6.2fs 500; % Sample frequencyN 512; % Signal lengthf1 20; % Starting frequency in Hzf2 200; % Frequency after 1 second (end)% inHz%% Construct “chirp” signaltn (1:N)/fs;

x chirp(tn,f1,1,f2)’; % MATLAB routine%% Wigner-Ville analysisx hilbert(x); % Get analytic function[WD,f,t] wvd(x,fs); % Wigner-Ville—see code aboveWD abs(WD); % Take magnitudemesh(t,f,WD); % Plot in 3-D.......3D labels, axis, view.......

Si la señal analítica no es usada, entonces el Wigner-Ville genera considerar-hábilmente los productos más cruz. Una demostración de las ventajas del uso de la analítica es la señal dada en el problema 2 al final del capítulo.

Choi-Williams y Otras DistribucionesPara llevar a cabo otras distribuciones en Cohenâ`s de clase, vamos a utilizar el enfoquedefinido por la ecuación. (13). A raíz de la ecuación. (13), la distribución deseada se puede obtenerpor convolución de la función relacionada con la determinación (Ec. (17)) con la instantáneafunción de autocorrelación (Rx (t), la ecuación (7).) luego tomar la transformada de Fourier conrespecto a. Como se ha mencionado, esto es simplemente una de dos dimensiones de filtrado de la función de autocorrelación instantánea por el filtro adecuado (es decir, la determi-función de la minería), en este caso un filtro exponencial. Cálculo de la instantaneidad-función de autocorrelación espontáneo ya se ha hecho como parte de la Wigner-Ville cálculo. Para facilitar la evaluación de las otras distribuciones, primero extraer el código de la autocorrelación instantánea de la función de Wigner-Ville, WVD en el ejemplo 6.3, y la convierten en una función separada que se puede utilizar para determinar las diferentes distribuciones. Esta función se ha denominado int_autocorr, y toma los datos como entrada y produce la función de autocorrelación instantáneacomo la salida. Estas rutinas están disponibles en el CD.

function Rx int_autocorr(x)% Function to compute the instantenous autocorrelation

% Output% Rx instantaneous autocorrelation% Input% x signal%[N, xcol] size(x);Rx zeros(N,N); % Initialize output%% Compute instantaneous autocorrelationfor ti 1:N % Increment over timetaumax min([ti-1,N-ti,round(N/2)-1]);tau -taumax:taumax;Rx(tau-tau(1)_1,ti) x(ti_tau) .* conj(x(ti-tau));End

Los distintos miembros de la clase de Cohen de las distribuciones de ahora se puede implementado con una rutina general que comienza con la autocorrelación instantánea función, evalúa la función adecuada determinación, los filtros de la instantánea función de autocorrelación de la función de determinar el uso de convolución, a continuación, toma la transformada de Fourier del resultado. La rutina se describe a continuación, Cohen, toma los datos, el intervalo de la muestra, y un argumento que especifica el tipo de distribu- distribución deseada y produce la distribución como una salida a lo largo del tiempo y frecuencia útil para trazar vectores. La rutina está configurado para evaluar cuatro diferentes distribuciones: Choi-Williams, Born-Jordan Cohen, Rihaczek-Marge- náuseas, con la distribución de Wigner-Ville como predeterminado. La función también parcelas la determinación de la función seleccionada.

function [CD,f,t] cohen(x,fs,type)% Function to compute several of Cohen’s class of time–frequencey% distributions%% Outputs% CD Desired distribution% f Frequency vector for plotting% t Time vector for plotting%Inputs% x Complex signal% fs Sample frequency% type of distribution. Valid arguements are:% ’choi’ (Choi-Williams), ’BJC’ (Born-Jorden-Cohen);% and ’R_M’ (Rihaczek-Margenau) Default is Wigner-Ville%% Assign constants and check inputsigma 1; % Choi-Williams constantL 30; % Size of determining function%[N, xcol] size(x);if N xcol % Make signal a column vector ifx x’; % necessaryN xcol;endt (1:N)/fs; % Calculate time and frequencyf (1:N) *(fs/(2*N)); % vectors for plotting%% Compute instantaneous autocorrelation: Eq. (7)

CD int_autocorr(x);if type(1) ’c’ % Get appropriate determining% functionG choi(sigma,L); % Choi-Williams

elseif type(1) ’B’G BJC(L); % Born-Jorden-Cohenelseif type(1) ’R’G R_M(L); % Rihaczek-MargenauelseG zeros(N,N); % Default Wigner-VilleG(N/2,N/2) 1;end%figuremesh(1:L-1,1:L-1,G); % Plot determining functionxlabel(’N’); ylabel(’N’); % and label axiszlabel(’G(,N,N)’);%% Convolve determining function with instantaneous% autocorrelationCD conv2(CD,G); % 2-D convolutionCD CD(1:N,1:N); % Truncate extra points produced% by convolution%% Take FFT again, FFT taken with respect to columnsCD flipud(fft(CD)); % Output distribution

El código para producir la Choi-Williams determinar la función es una recta adelante la aplicación de G (t) en la ecuación. (17) como se muestra a continuación. La función es generado por sólo el primer cuadrante, entonces duplicado en los otros cuadrantes. La propia función se representa en la figura 6.10. El código para otras funciones que determinen sigue la misma estructura general y se puede encontrar en el software de acompañar-ción de este texto.

function G choi(sigma,N)% Function to calculate the Choi-Williams distribution function% (Eq. (17)G(1,1) 1; % Compute one quadrant then expandfor j 2:N/2wt 0;for i 1:N/2G(i,j) exp(-(sigma*(i-1)v2)/(4*(j-1)v2));wt wt _ 2*G(i,j);end

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