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Capítulo 6

EEMMPPUUJJEESS DDEELL TTEERRRREENNOO

Problemas de Geotecnia y Cimientos

184

Capítulo 6 - Empujes del terreno

185

PROBLEMA 6.1 Aplicando el método de Rankine, calcular la resultante de empujes y su punto de aplicación en el muro indicado en la figura 6.1 si el nivel freático se encuentra a 5 m de la coronación. Las propiedades geotécnicas del terreno son:

φ' = 28º ; c' = 0 ; γ = 18 kN / m3 ; γsat = 19'5 kN / m3

5 m

5 m

N.F.

z

IMPERMEABLE

Figura 6.1


186

SOLUCIÓN Aplicando la teoría de Rankine, la distribución de empujes activos en un muro de trasdós vertical y terreno horizontal en coronación viene dada por la siguiente expresión:

aava k·c·2k·e ′−σ′=′ (1)

siendo e'a y σ'v el empuje unitario activo efectivo y la presión efectiva vertical a una profundidad z, respectivamente, y ka el coeficiente de empuje activo. Se hace pues necesario determinar la distribución de presiones efectivas verticales. Adoptando el origen del eje z en la coronación (figura 6.1), se tiene:

0 ≤ z ≤ 5 σν = γ · z = 18 · z kN / m2

u = 0 (Se supone que no existe capilaridad) σ'ν = σν - u = 18 · z kN / m2

5 ≤ z ≤ 10 σν = γ · 5 + γsat (z - 5) = 19'5 · z – 7'5 kN / m2

u = γw · (z - 5) = 10 · (z - 5) kN / m2

σ'ν = σν - u = 9'5 · z + 42'5 kN / m2 El coeficiente de empuje activo viene dado por:

361'0º28sen1º28sen1

sen1sen1

ka =+−=

φ+φ−=


187

Así pues, y a partir de la expresión (1), se obtiene la siguiente distribución de empujes activos efectivos:

0 ≤ z ≤ 5 e'a = 0'361 · 1 8 · z = 6'498 · z kN / m2 z = 0 → e'a = 0 z = 5 → e'a = 32'49 kN / m2

5 ≤ z ≤ 10 e'a = 0'361 · (9'5 · z + 42'5 ) = 3'43 · z + 15'34 kN / m2 z = 5 → e'a = 32'49 kN / m2 z = 10 → e'a = 49'64 kN / m2

Además de los empujes efectivos, sobre el muro actuará el empuje del agua, cuya distribución es:

0 ≤ z ≤ 5

u = 0

5 ≤ z ≤ 10 u = 10 · (z - 5) Para z = 10 → u = 50 kN / m2


188

32'49 kN / m

49'64 kN / m

E'

2

2

a1

E'a2

E'a3 Ew

50 kN / m 2

Figura 6.2

En la figura 6.2 se han representado las leyes de empujes unitarios activos efectivos y del agua.

La resultante de empujes totales sobre el muro será:

E = E'a + Ew

siendo E'a y Ew las resultantes del empuje activo efectivo y del empuje del agua. Por comodidad en los cálculos, se hace la siguiente descomposición: E'a = E'a1 + E'a2 + E'a3 siendo:

E'a1 = 0'5 · 32'49 · 5 = 81'23 kN / m E'a2 = 5 · 32'49 = 162'45 kN / m E'a3 = 0'5 · 5 · (49'64 - 32'49) = 42'88 kN / m Ew = 0'5 · 5 · 50 = 125 kN / m

En consecuencia el empuje total sobre el muro es:

E = 411'56 kN / m


189

411'56 kN / m

2'98 m

Figura 6.3

El punto de aplicación de la resultante h (figura 6.3) se obtiene tomando momentos con respecto a la base del muro:

m98'256'411

35

·E35

·'E25

·'E35

5·'E

hw3a2a1a

=+++

+

=

E = 411'56 kN / m m98'2h =


190

PROBLEMA 6.2 Aplicando el método de Rankine, determinar en el muro indicado en la figura 6.4 la resultante de los empujes y su punto de aplicación.

3 m

4 m

z

N.F.

Arenas

Arcillas

IMPERMEABLE

Figura 6.4 Las características geotécnicas del terreno son:

Terreno φ' (º)

c' (kN / m2)

γsat (kN / m3)

Arcillas

28

10

20

Arenas

35

0

22


191

SOLUCIÓN Como se ha indicado en el problema 6.1, la aplicación del método de Rankine al cálculo de los empujes efectivos en un muro de trasdós vertical y terreno horizontal en coronación exige la determinación previa de la distribución de presiones efectivas verticales existente en dicho trasdós. Estando el agua en reposo, la distribución de presiones intersticiales será la hidrostática. Con el método de Rankine, los empujes efectivos unitarios se obtienen a partir de la siguiente expresión:

aaa k·'c·2k·''e −σ= ν

siendo ka el coeficiente de empuje activo y c' la cohesión efectiva. Adoptando el origen del eje z en la coronación del muro (figura 6.4), se tienen las siguientes distribuciones:

0 ≤ z ≤ 4

(Nivel superior de arcillas)

σν = γsatarcilla

· z = 20 z kN / m2 u = γω · z = 10 z kN / m2 σ'ν = σν - u = 20 z - 10 z = 10z kN / m2

361'028sen128sen1

'sen1'sen1

kº

º

arcilla

arcillaa =

+−=

φ+φ−

=

2a m/kN02'12z·61'3361'0·10·2z10·361'0'e −=−=

Si se analiza la última expresión, puede comprobarse que la distribución de empujes es negativa (tracciones) desde la coronación hasta una cierta profundidad zg. En esta zona, teóricamente, el terreno rompe a tracción, dando lugar a la aparición de grietas de tracción y los empujes efectivos son nulos.


192

0'67 m 2'42 kN / m2

zg = 3'33 m

210'83 KN / m

220'58 kN / m

+

70 kN / m2

3 m

Figura 6.5

La profundidad zg es aquella en donde e'a = 0, es decir: 3'61 · zg - 12'02 = 0

m33'361'302'12

zg ==

La distribución de empujes efectivos es lineal y tiene los siguientes valores: z = 3'33 m e'a = 0 z = 4 m e'a = 3'61 · 4 - 12'02 = 2'42 kN / m2

4 ≤ z ≤ 7

(Nivel de arenas)

σν = γsat arcilla

· 4 + γsat arena

· ( z - 4 ) = 20 x 4 + 22 ( z - 4 ) = 22 z - 8 kN / m2 u = γω · z = 10 z kN / m2 σ'ν = σν - u = 12 z - 8 kN / m2

271'035sen135sen1

'sen1'sen1

kº

º

arena

arenaa =

+−=

φ+φ−

=

y como c' = 0 ( ) 2

aa m/kN17'2z25'38z12·271'0k·''e −=−=σ= ν


193

+

zg = 3'33 m

1

32

= T

E

0'67 m

3 m

E'

E'E'

E

E

dT

W

Figura 6.6

Esta distribución es también lineal y adopta los siguientes valores: z = 4 m e'a = 3'25 x 4 - 2'17 = 10'83 kN / m2 z = 7 m e'a = 3'25 x 7 - 2'17 = 20'58 kN / m2 En la figura 6.5 se representan las distribuciones de empujes activos efectivos unitarios y del agua sobre el muro. Como se puede observar, la presencia de dos terrenos diferentes produce una discontinuidad en la distribución de empujes activos efectivos unitarios. Por comodidad, para el cálculo de la resultante de los empujes sobre el muro se realiza la descomposición indicada en la figura 6.6. Como:

m/kN81'067'0·42'2·21

'E 1 ==

m/kN49'3283'10·3'E 2 ==

( ) m/kN63'143·83'1058'20·21

'E 3 =−=

m/kN2457·70·21

E ==ω

la resultante total de empujes vale: ET = E'a + Eω = E'1 + E'2 + E'3 + E'ω = 292'93 kN / m


194

Su punto de aplicación se puede obtener tomando momentos estáticos respecto a la base del muro. Si dET es la distancia de dicha resultante a la base, entonces:

37

·24533

·63'1423

·49'323

0'673 · 0'81 dE · E TT +++

+=

de donde: m2'18 dET = ET = E'a + Eω = 292'93 kN / m m2'18 dET =


195

PROBLEMA 6.3 Calcular por el método de Rankine la distribución de empujes activos actuantes en el trasdós del muro indicado en la figura 6.7. El terreno tiene las siguientes propiedades:

φ' = 22º ; c' = 20 kN / m2 ; γ = 18'5 kN / m3

8 m

q = 25 kN / m2

z

Figura 6.7

Solución:

1'85 m

251'75 kN / m

6'15 m


196

PROBLEMA 6.4 Aplicando el método de Rankine, calcular la resultante de los empujes en el trasdós del muro indicado en la figura 6.8, cuya coronación se mantiene inundada con una lámina de agua de 1 m.

1'5 mN.F.

Arena 12'5 m

1 m Agua

Arena 2

Figura 6.8

Las características geotécnicas del terreno son:

Terreno

φ' (º)

γsat (kN / m3)

k (m / s)

Arena 1

28

21

5 · 10-2 Arena 2 32 22 8 · 10-2


197

A

Bz

Arena 2

Agua

Arena 1

N.F.

1 m

2'5 m

1'5 m

C

Figura 6.9

SOLUCIÓN Al igual que en los problemas anteriores, la aplicación del método de Rankine al cálculo de los empujes efectivos exige en principio la determinación de la distribución de presiones efectivas verticales en el trasdós. Dadas las condiciones impuestas en el problema, a priori, debe sospecharse la existencia de un flujo de agua y ello es posible si existe una diferencia de potencial hidráulico. Si se toma el eje z en la superficie del terreno (figura 6.9), los potenciales en los puntos A y B son:

m404u

z- h AAA −=+−=

γ+=

ω

m110u

z- h BBB =+=

γ+=

ω

Hay pues una diferencia de potencial hidráulico y consecuentemente, existe un flujo de agua, que en este caso es vertical y hacia abajo, y a través de un terreno estratificado.


198

Para el cálculo de las presiones intersticiales se hace necesario determinar los gradientes existentes en cada estrato, y ello se realiza de la misma forma que en el problema 2.8. La permeabilidad equivalente vertical es:

s/m10·82'5

10·8

5'1

10·5

5'25'25'1

ke

e

k 2

22

2

!i i

i

2

1i

i

v−

−−

=

= =+

+==

∑∑

y el gradiente existente entre los puntos A y B vale:

25'145

Lh

iAB

AB ==∆=

Como debe verificarse por continuidad que: kv · i = k1 · i1 = k2 · i2

los gradientes que resultan son:

455'110·5

25'1·10·82'5i

2

2

1 ==−

−

909'010·8

25'1·10·82'5i

2

2

2 ==−

−

Ahora ya se puede proceder a calcular las presiones efectivas y los empujes.


199

En un punto Z situado a una profundidad z, se tiene:

0 ≤ z ≤ 2'5

(arena 1) 2

v m/kNz2110 +=σ

z455'11z·i1hhu

zh 1BZBz −=−=∆−=γ

+−=ω

( ) 2m/kN z55'41010·z455'01u −=−=

u = 0 para z = 2'2 m

2vv m/kNz55'25z55'41010z21u' =+−+=−σ=σ

361'028sen1

28sen1'sen1'sen1

kº

º

a =+−=

φ+φ−=

aava k·'c·2k·''e −σ=

2

ava m/kN z22'9361'0·z55'25k·''e ==σ= z = 0 → e'a = 0 z = 2'5 → e'a = 23'05 kN / m2


200

+

29'3

23'05

19'6 -1'375

101 m

2'5 m

1'5 m

Figura 6.10

2'5 ≤ z ≤ 4

(arena 2) ( ) 2

v m/kN5'7z2222·5'2z21·5'21·10 +=−++=σ

[ ] 365'0z909'0i·)5'2z(i·5'21hhu

zh 21BZBz −−=−+−=∆−=γ

+−=ω

2m/kN 65'3z91'0u −= 2

zvv m/kN15'11z09'21u' +=−σ=σ

307'032sen1

32sen1'sen1'sen1

kº

º

a =+−=

φ+φ−=

( ) 2

ava m/kN 42'3z47'6307'0·15'11z09'21k·''e +=+=σ= z = 2'5 → e'a = 19'6 kN / m2 z = 4 → e'a = 29'3 kN / m2

En la figura 6.10 se han representado las distribuciones de empujes activos unitarios y del agua.


201

+1

32

1

2

4

3

=

d19'6

23'05

29'3

1'375

10

E'

E' E'

U

U

U

U

TE

ET

0'3

1'5 m

2'5 m

1 m

Figura 6.11

Por comodidad y para obtener la resultante de los empujes sobre el muro y su punto de aplicación, se ha realizado la descomposición indicado en la figura 6.11. El empuje total sobre el muro será: ET = E'a + Eω con :

321a 'E'E'E'E ++=

4321 UUUUE +++=ω y siendo:

m/kN81'285'2·05'23·21

'E 1 ==

m/kN4'295'1·60'19'E 2 ==

( ) m/kN28'75'1·6'193'29·21

'E 3 =−=

m/kN51·10·21

U1 ==

m/kN1110·2'2·21

U2 ==

( ) m/kN21'0375'1·3'0·21

U3 −=−=

( ) m/kN03'15'1·375'1·21

U4 −=−=


202

entonces: m/kN 25'8077'1447'65E'EE aT =+=+= ω Tomando ahora momentos estáticos respecto a la base del muro, se obtiene que la distancia a la línea de acción de la resultante es: m86'1dET =

m/kN 25'80E'EE aT =+= ω

m86'1dET =


203

PROBLEMA 6.5 En el terreno indicado en la figura 6.12, se pretende realizar una excavación de 4 m de profundidad al abrigo de tablestacas, actuando en superficie una sobrecarga de 10 kN / m2. Se pide determinar la profundidad de empotramiento d de las tablestacas:

10 kN / m2

4 m

d

Arena

Figura 6.12 a) Sin apuntalamientos. b) Con puntales en coronación. En este caso se determinará la carga P en los

puntales. En ambos casos, se adoptará un coeficiente de reducción de 1'5 para los empujes pasivos. Las propiedades geotécnicas de la arena son:

φ' = 35º ; γ = 21 kN / m3


204

sd

Activo

Pasivod

O

Pasivo

Activo

4 m

10 kN / m2

Figura 6.13

SOLUCIÓN

a) Profundidad de empotramiento de las tablestacas en voladizo Se supone que cuando el tablestacado entra en carga, gira alrededor del punto O, movilizando los empujes activos y pasivos cuyas distribuciones se muestran en la figura 6.13. Por encima del punto O, en el trasdós se movilizan empujes activos mientras que en el intradós son pasivos los empujes movilizados.

Se trata de un problema hiperestático, cuya resolución requiere realizar una hipótesis. Si se cortara el tablestacado por el punto O, sea R (“contraempuje”) la acción horizontal de la parte inferior y V la vertical (figura 6.14). Usualmente, se supone que el momento flector en el punto O es nulo. Puesto que R no proporciona momento, ello permite escribir una ecuación en la que la única incógnita es d. El empotramiento real ds se admite en la práctica que es 1'2 d. El cálculo de los empujes se realiza aplicando el método de Rankine.


205

O R

d ActivoPasivo

4 m

V

z

z

10 kN / m2

Figura 6.14

Empujes en el trasdós

Se toma el origen del eje z en la superficie del terreno (figura 6.14):

0 ≤ z ≤ 4 + d σv = γ · z + q = 21z + 10 kN / m2 u = 0 σ'v = 21 z + 10 kN / m2

aaa k'c·2k·''e −σ= ν

27'035sen135sen1

'sen1'sen1

kº

º

a =+−=

φ+φ−=

( ) 2a m/kN7'2z67'527'0·10z21'e +=+=

para z = 0 → e'a = 2'7 kN / m2

z = 4 + d → e'a = 5'67 (4 + d) + 2'7 = 25'38 + 5'67 · d kN / m2


206

Empujes en el intradós Tomando ahora el origen del eje z en el fondo de la excavación (figura 6.14), se tiene:

0 ≤ z ≤ d σv = γ · z = 21 z kN / m2 u = 0 σ'v = 21z kN / m2 Según Rankine, los empujes pasivos unitarios en un trasdós vertical vienen dados por:

ppp k'c·2k·''e +σ= ν

siendo kp el coeficiente de empuje pasivo que se calcula del siguiente modo:

69'3k1

'sen1'sen1

ka

p ==φ−φ+=

Por lo tanto: 2

p m/kNz49'7769'3·z21'e ==

para z = 0 → e'p = 0

z = d → e'p = 77'49 d kN / m2 Como en el enunciado se indica un coeficiente reductor para el empuje pasivo de 1'5, en los cálculos debe adoptarse: z = 0 → e'p = 0

z = d → e'p = 77'49 d/1'5 = 51'66d kN / m2


207

O

a1

2'7 kN / m2

25'38+5'67·d kN / m2

a2

P

51'66 · d kN / m2

Activo

Pasivo

4 m

d E'

E'

E'

Figura 6.15 En la figura 6.15 se han representado las distribuciones unitarias de empujes activos y pasivos obtenidas y la descomposición que se realiza para el cálculo de las resultantes. - Empuje activo.

E'a = E'a1 + E'a2 E'a1 = 2'7· (4 + d) = 10'8 + 2'7 d kN / m E'a2 = 0'5 (25'38 + 5´67 d – 2'7) (4 + d) = 2´835 d2 + 22'68 d + 45'36 kN/m E'a = 2'835 d2 + 25'38 d + 56'16 kN / m

- Empuje pasivo máximo.

m/kNd·75'38d·d·49'77·21

E' 2p ==

Como en el enunciado se indica un coeficiente reductor para el empuje pasivo de 1'5, en los cálculos debe adoptarse:

m/kNd83'255'1

d75'38E' 2

2

p ==


208

sd

P A

Pasivo

Activo

4 m

Figura 6.16

Como el momento flector en O se admite nulo, entonces:

E'a1 · dE'a1 + E'a2 · dE'a2 - E'p · dE'p = 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0d·83'25·31

d4·31

·36'45d·68'22d·835'22

d4·d·7'28'10 32 =−++++++

Resolviendo esta ecuación cúbica, resulta

d = 4'09 m Debido a la hipótesis realizada en el cálculo, la longitud de tablestaca por debajo del punto O suele admitirse que es del orden del 20% de d, y en consecuencia, la longitud de empotramiento resultante de las tablestacas es: ds = 1'2 · d = 1'2 ·4'09 = 4'91 m


209

b) Profundidad de empotramiento para el tablestacado apuntalado en cabeza En este caso es usual admitir que cuando el tablestacado entra en carga, el giro se produce alrededor del punto de aplicación del puntal (A), movilizándose los empujes indicados en la figura 6.16.

Ahora, la ecuación de equilibrio de momentos en A permite obtener la profundidad de empotramiento y seguidamente, la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales proporciona la fuerza P en el puntal. Las distribuciones de empujes son las mismas que en el caso anterior si se sustituye d por ds (figura 6.17). Estableciendo el equilibrio de momentos en A:

( ) ( ) ( ) ( ) 0)d32

4(·d83'25d432

·36'45d68'22d835'22

d4·d7'28'10 s

2sss

2s

ss =+−++++

++

ecuación cúbica que resuelta proporciona el siguiente valor: ds ˜ 1'74 m


210

Pasivo

Activo

4 m

d

2'7 kN / m2

s

s

25'38+5'67·d kN / m2s

AP

51'66 · d kN / m2

E'a1

a2E'

E'P

Figura 6.17

El equilibrio de fuerzas horizontales impone que:

2ss

2spa d83'2516'56d38'25d835'2'E'EP −++=−=

que proporciona el siguiente resultado: P = 30'70 kN/m

Como se puede observar, la colocación de un apuntalamiento en coronación reduce la profundidad de empotramiento de 4'91 m a 1'74 m.


211

PROBLEMA 6.6 Determinar el ancho de la cimentación del muro indicado en la figura 6.18 para cumplir las condiciones de estabilidad al vuelco, al deslizamiento y del paso de la resultante por el núcleo central.

2'5 m

1 m 0'8 1V:2H

Figura 6.18 Se adoptarán los siguientes valores para los coeficientes de seguridad:

Vuelco (Fv) = 2'0 Deslizamiento (Fd) = 1'5.

Las características geotécnicas del terreno son:

φ' = 33º ; δ = 20º ; c' = 0 ; γ = 19 kN / m3

Para el hormigón se adoptará un peso específico γh = 25 kN / m3.


212

W

2'5 m

1 m 0'8 1V:2H

T

N = N'

E = E'

δ

Figura 6.19

SOLUCIÓN El dimensionamiento de la base de muro requiere conocer las acciones que actúan sobre el mismo, siendo el primer paso la determinación de los empujes del terreno. a) Cálculo de los empujes El problema impone un valor del coeficiente de rozamiento muro-terreno (δ). En consecuencia, se aplicará para el cálculo de los empujes de tierras el método de Coulomb ya que el de Rankine no es válido. El método de Coulomb para la estimación del empuje activo se basa en establecer el equilibrio de una cuña de empuje que desliza sobre un plano, debiéndose buscar el plano de rotura que proporciona el empuje máximo. Sea un plano de deslizamiento cualquiera definido por su inclinación α respecto a la horizontal. Sobre la cuña así delimitada actúan las fuerzas indicadas en la figura 6.19.


213

3'5 mW

1

2'5 m

1 m

2 m

Figura 6.20

Puesto que no hay agua, las reacciones normales efectiva (N') y total (N) en el plano de deslizamiento son iguales, así como las resultantes del empuje activo efectivo (E') y total (E). En el cálculo del peso W, deben distinguirse dos casos, dependiendo del valor del ángulo α:

- Caso 1: 0 ≤ α ≤ α1 = 60'26º (figura 6.20)

1tg13'6

2·1·21

tg5'3

·21

Área2

−α

=−α

=

m/kN19tg

47'116área·19W −

α==

- Caso 2 : 60'26º ≤ α ≤ 90º (figura 6.21)

1tg25'2

xx·2

x5'2tg

−α=→+=α

1tg275'118

x·2·5'2·19·21

W−α

==


214

2'5 m

2 · x

1V:2H

x

Figura 6.21

La resultante de los empujes está inclinada un ángulo δ respecto a la normal al trasdós y puede descomponerse en sus componentes horizontal y vertical (figura 6.22):

E'x = E' cos 20º (1) E'y = E' sen 20º (2)

En el plano de deslizamiento actúan la resultante de las tensiones normales (N') y la resultante de la máxima resistencia a esfuerzo cortante (T) que puede movilizarse en ese plano:

T = N' tg 33º (3)

Con ello, el equilibrio fuerzas verticales se escribe:

W - N' cos α - T sen α - E'y = 0 (4)

y el de fuerzas horizontales como: E'x + T · cos α - N' · sen α = 0 (5)


215

E

E E

N'

T

20º

W

y

x

'

'

'

Figura 6.22

Sustituyendo (1) en (5), (2) en (4), (3) en (4) y en (5), despejando N' de (4) y sustituyendo en (5), se obtiene el empuje E' en función de α, determinándose su valor máximo igualando a cero la derivada respecto a α, que resulta ser:

E' = 23'50 kN / m para

α = 54º Es importante señalar, que el punto de aplicación de la resultante de los empujes de tierras sobre el muro no queda definida cuando se utiliza el método de Coulomb. En este problema se aceptará la aproximación de situar la resultante a un tercio de la altura del muro desde la cimentación.


216

T

W

N' = N

20º

H_3

E = E'

b 0'8

B

O

2'5 m

T

O

N' = N

2'5 m W

b 0'8

B

W2

1

_H3

hE

vE

Figura 6.23

b) Cálculo de las acciones sobre el muro El muro debe ser dimensionado para que sea estable frente a las acciones que ha de soportar. Las fuerzas actuantes sobre el muro son las siguientes (figura 6.23):

W: Peso del muro. E: Resultante de los empujes en el trasdós del muro. T: Resultante de la resistencia a deslizamiento desarrollada en la

cimentación del muro. N': Resultante de las presiones efectivas normales en la cimentación

del muro. Por comodidad en los cálculos, el peso del muro se descompone del siguiente modo:

W1 = 25 · 0'8 · 2'5 = 50 kN / m

W2 = 25 ·21

· 2'5 · b = 31'25 b kN / m


217

Y las resultante de los empujes en sus componentes horizontal y vertical:

Eh = E · cos δ = 23'5 · cos 20º = 22'08 kN / m Ev = E · sen δ = 23'5 · sen 20º = 8'04 kN / m

El equilibrio de fuerzas horizontales exige:

T = Eh → T = 22'08 kN / m Y el equilibrio de fuerzas verticales se escribe :

N' = W1 + W2 + Ev = 50 + 31'25 · b + 8'04 = 58'04 + 31'25 · b kN / m

c) Comprobación de la seguridad al vuelco El coeficiente de seguridad frente al vuelco se define como el cociente entre la suma de los momentos estabilizadores y la suma de los momentos volcadores:

∑∑=

vol

estv

M

MF

Los momentos deben ser tomados respecto del punto O (figura 6.23). Para la diferenciación entre momentos volcadores y momentos estabilizadores se adoptará como criterio el contemplado en la ROM 0.5 – 94 que dice: “Cada acción individual será descompuesta en dos direcciones una vertical y otra horizontal. Se considerarán como fuerzas estabilizadoras todas las componentes verticales de las acciones, ya sea su momento de uno u otro signo (la subpresión, por ejemplo, sería una fuerza estabilizadora negativa). El posible empuje pasivo que se pueda oponer al vuelco, también será contabilizado como estabilizador. El resto de las componentes horizontales se contabilizaran, con su signo correspondiente, en el cálculo de la suma de los momentos volcadores”.


218

Si el coeficiente de seguridad debe ser igual a 2, con este criterio deberá verificarse:

2

35'2

·E

)8'0b(·Eb32

·W)4'0b(·WF

h

v21

v =++++

=

Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente y resolviendo la ecuación, se obtiene un valor de b = 0'17 m. d) Comprobación de la seguridad al deslizamiento No existiendo empujes del terreno en la puntera, el coeficiente de seguridad al deslizamiento se expresa como:

nec

máxd T

TF =

Tmax es la resultante de la máxima resistencia a deslizamiento que ofrece el cimiento:

Tmax = ca · B' + N' · tg δ

siendo ca la adherencia entre el cimiento y el terreno (nula si lo es la cohesión del terreno) y B' el ancho eficaz de la cimentación. Así pues:

Tmax = (58'04 + 31'25 b) · tg 20º kN / m

Tnec es la resultante de la resistencia a deslizamiento que debe movilizarse para que haya equilibrio:

Tnec = E'h = 22'08 kN / m


219

Para tener un coeficiente de seguridad frente al deslizamiento de 1'5, se debe verificar que:

5'108'22

º20tg·)b25'3104'58(Fd =+=

Esta ecuación resuelta proporciona un valor de b = 1'05 m que es más restrictivo que el valor deducido para la condición de vuelco. Se adoptará pues:

B = b + 0'8 = 1'85 m .

e) Comprobación de paso de la resultante por el núcleo central del cimiento

Para el ancho B calculado anteriormente, las fuerzas que actúan por encima del cimiento del muro son:

W1 = 50 kN / m W2 = 32'81 kN / m Eh = 22'08 kN / m Ev = 8'04 kN / m

Este sistema de fuerzas, figura 6.24, se reduce en el centro de gravedad del cimiento a un momento (M), a una fuerza vertical (N) y a una fuerza horizontal (H):

N = 50 + 32'81 + 8'04 = 90'85 kN / m M = 50 · 0'52 − 32'81 · 0'22 – 22'08 · 0'83 + 8'04 · 0'92 = 7'85 kN · m / m

H = Eh = 22'08 kN/m


220

2'5 m W1

2W

v

h

E

E

0'8 m1'05 m

1'85 m

0'83 m

0'92 m 0'92 m

H

N M

Figura 6.24

Para que la resultante de fuerzas pase por el núcleo central se debe cumplir que la excentricidad sea:

m 6B

e ≤

en este caso:

m 31'0685'1

6B

m 09'085'9085'7

'NM

e ==<=== ? cumple


221

PROBLEMA 6.7 Aplicando el método de Coulomb, calcular la resultante del empuje activo sobre el muro indicado en la figura 6.25. Las características del terreno son:

φ' = 28º ; δ = 20º ; c' = 0 ; γ = 18 kN / m3

6 m

20º

E

2 m

20º

Figura 6.25

Solución: E = 149 kN / m


222

PROBLEMA 6.8 Comprobar las condiciones de estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco del muro indicado en la figura 6.26. Las características del terreno son:

Terreno Pesos específicos (kN/m3)

φ' (º)

c' (kN/m2)

Arcillas Arenas

γ = 17

γsat = 21

28 35

15 0

1'5 m

1 m

4 m

1'5 m

4'5 m

Arenas

Arcillas

q = 15 KN/m2

N.F.N.F.

z

z

Figura 6.26 En el nivel de arcillas se despreciarán los efectos capilares y para el hormigón se adoptará un peso específico del hormigón γH = 25 kN / m3. Para los pasivos se considerará un coeficiente de reducción de 1'5.


223

SOLUCIÓN a) Cálculo de empujes Puesto que el problema no impone un rozamiento muro - terreno (δ), se pueden calcular los empujes aplicando el método de Rankine.

Empujes activos en trasdós Se adopta el origen del eje z en la coronación (figura 6.26).

0 ≤ z ≤ 4

(Nivel de arcillas) Si se desprecian los efectos capilares en las arcillas, las presiones intersticiales de cálculo son nulas. Por consiguiente:

σν = σ'ν = 17 z + 15 kN / m2

361'028sen1

28sen1k

º

º

a =+−=

e'a = σ'ν · ka – 2 · c' · ak

e'a = 6'14 z – 12'61 kN / m2 Puesto que la arcilla presenta cohesión, se debe comprobar la existencia de grietas de tracción y en su caso estimar la profundidad. Si

m05'214'661'12

z0'e ga ==→=

Para

z = 4 m → e'a = 11'95 kN / m2


224

4 ≤ z ≤ 6'5

(Nivel de arenas)

σν = 83 + ( z - 4 ) 21 = 21 z - 1 kN / m2 u = ( z - 4 ) · γw = 10 z - 40 kN / m2 σ'ν = 11 z + 39 kN / m2

e'a = σ'ν · ka - 2 · c' · ak

271'035sen1

35sen1k

º

º

a =+−=

e'a = 2'98 z + 10'57 kN / m2

Para

z = 4 m → e'a = 22'49 kN / m2 z = 6'5 m → e'a = 29'94 kN / m2

Empujes pasivos posibles en la puntera Se adopta el origen del eje z en la superficie del terreno (figura 6.26).

0 ≤ z ≤ 2'5

σν = 21 z kN / m2

u = z · γw = 10 z kN / m2 σ'ν = 11 z kN / m2

e'p = σ'ν · kp + 2 · c' · pk

69'335sen1

35sen1k

º

º

p =−+=

e'p = 40'59 z kN / m2

Para z = 0 m → e'p = 0 z = 2'5 m → e'p = 101'48 kN / m2


225

E

1'5 m

2'5 m

25 kN / m2

+ E'

1'95 m

2'05 mzg

+E'E'

25 kN / m229'94 kN / m2

11'95 kN / m2

222'49 kN / m

puntW a3 WEa2

E'a1

q = 15 KN/m2

4'5 m

W (zg)E

Figura 6.27 En la figura 6.27 se han representado las leyes de empujes. La resultante del empuje activo efectivo se calcula del siguiente modo:

E'a1 = 21

· 11'95 · 1'95 = 11'65 kN / m

E'a2 = 22'49 · 2'5 = 56'22 kN / m

E'a3 = 21

· ( 29'94 - 22'49 ) · 2'5 = 9'31 kN / m

El empuje efectivo vale pues:

E'a (total) = 77'18 kN / m

estando su línea de acción a una distancia d = 1'49 m de la base del cimiento del muro.


226

La resultante del máximo empuje pasivo efectivo vale:

E'p =21

· 101'48 · 2'5 = 126'85 kN / m

estando su línea de acción a una distancia d = 0'83 m de la base del cimiento del muro. En cuanto a los empujes del agua deben tenerse en cuenta las siguientes consideraciones: 1. Existen grietas de tracción, debiéndose considerar que pueden llenarse de

agua y consecuentemente suponer un empuje hidrostático:

m/kN01'2110·05'2·21

·z·21

E 2w

2g)zg(W ==γ=

estando su línea de acción a una distancia d = 5'13 m de la base del cimiento.

2. El muro está parcialmente sumergido y en consecuencia, estará sometido al empuje de Arquímedes. Si se considera en la puntera del muro el intradós ficticio indicado en la figura 6.27, los empujes hidrostáticos Ew en el trasdós e intradós son iguales y de sentido contrario, quedando únicamente los empujes hidrostáticos en la base del cimiento (“subpresion”), siendo Fw su resultante de valor:

Fw = 25 kN / m2

· 4'5 m = 112'5 kN / m

b) Equilibrio del muro Además de las resultantes de los empujes, las fuerzas que intervienen en el equilibrio del muro son las siguientes (figura 6.28): W1+W2: peso del muro.

W1 = 1'5 · 5 · 25 = 187'5 kN / m W2 = 4'5 · 1'5 · 25 = 168'75 kN / m


227

W

W

F

T

N'

W

a (total)

E

1'5 m

1'5 m

1 m

4 m

3 m

puntE'

W

E'

1

t

2

W (zg)

O

Figura 6.28

Wt: peso del terreno situado por encima de la puntera.

W t = 1 · 3 · 21 = 63 kN / m

N': reacción efectiva normal en el cimiento.

T: reacción horizontal necesaria para el equilibrio y movilizada por resistencia a deslizamiento en el contacto terreno-cimiento y cuyo valor máximo es:

Tmáx = N' · tag δ + ca · B'

donde δ y ca son el ángulo de rozamiento y la adherencia, respectivamente, entre el terreno y el cimiento, y B' el ancho eficaz de la cimentación. Puesto que en el enunciado no se proporciona un valor de δ, se adopta en el cálculo la estimación δ = 2 / 3 · φ' = 23'33º. Por otro lado, si la cohesión del terreno es nula la adherencia también lo es.


228

Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas se escriben:

Σ Fν = 0 N' = W1 + W2 + W t – Fw = 306'75 kN / m

Σ Fh = 0 T + E'punt = Tnec = E'a + Ew( zg )

E'punt es el empuje efectivo en la puntera, sobre el trasdós ficticio. Debe señalarse que en los cálculos se admite que no se moviliza empuje pasivo si:

T < Tmax = N' · tg δ + ca · B' = 306'75 · tg (23'33º) = 132'3 kN / m

Como en la puntera actuarán como mínimo los empujes al reposo, se tiene que:

T = E'a + Ew (zg) - E'0 = 77'18+ 21'01 - E'0 = 98'19 - E'0 kN / m

siendo E'0 la resultante de los empujes al reposo sobre el trasdós ficticio de la puntera. Fácilmente se comprueba que el equilibrio no exige movilizar empujes pasivos. El coeficiente de empuje al reposo es: 426'0º35sen1'sen1k0 =−=φ−= y la resultante de los empujes efectivos al reposo será:

m/kN64'145'2·11·426'0·21

5'2·'·k·21

'E 2200 ===γ=

estando su línea de acción a una distancia de 0'83 m de la base del cimiento.


229

c) Coeficiente de seguridad al deslizamiento El coeficiente de seguridad al deslizamiento se define como:

Fd = 5'1T

'ET

nec

)adm(pmáx>

+

En esta expresión, si el coeficiente de reducción de pasivos es 1'5, el empuje pasivo admisible en la puntera es:

E'p (adm) = m/kN57'845'185'126

5'1

'E p ==

Sustituyendo valores:

Fd = 5'121'219'98

57'843'132 >=+ ? Válido

d) Coeficiente de seguridad al vuelco Se sigue el criterio de la ROM 0.5-94. El coeficiente de seguridad se define como:

Fν = ∑∑

vol

est

M

M

y debe ser superior a 2.


230

Como el equilibrio no exige la movilización de empujes pasivos, entonces, los momentos respecto al punto O (figura 6.28) que resultan son:

Σ Mest = W1 · 3'75 + W2 · 2'25 + W t · 1'5 − FW · 2'25+E'0 · 0'83 = = 187'5 · 3'75 + 168'75 · 2'25+63 · 1'5 − 112'5 · 2'25 + 14'64 · 0'83 = = 936'34 kN · m / m

Σ Mvol = E'a · 1'49 + EW(zg ) · 5'13 = = 77'18 · 1'49 + 21'01· 5'13 = 222'78 kN · m / m

y en consecuencia:

20'447'22234'936

Fv == ? Válido

Observación: En las condiciones de estabilidad comprobadas en el problema, se

han tenido en cuenta los empujes en la puntera del muro. Normalmente no se tienen en cuenta en el cálculo ya que no puede asegurarse la existencia del terreno en la puntera durante toda la vida del muro, quedando esta hipótesis del lado de la seguridad.

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