capítulo 3 trabajo y energía
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Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-1
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Por: Jorge Rodríguez Hernández, Dipl.-Ing.Profesor del Área de Diseño
Sección de Ingeniería Mecánica
Cap. 3 Trabajo y Energía para la partícula
3.1 Campos escalares, vectoriales y tensoriales Campo escalar: Es una función en la que el argumento es un vector (en este caso un
vector posición) y su valor un escalar. Es decir: )(r
, el resultado de aplicar la función escalar al argumento
),,( zyxr
es un escalar .
Ejemplos: temperatura, densidad, presión, etc. Campo vectorial: Es una función en la que el argumento es un vector y su valor es un
vector. Es decir:
)(rFF
, el resultado de aplicar la función vectorial al argumento
),,( zyxr
es el vector ),,( zyx FFFF
.
Ejemplos: campo magnético, campo gravitacional, campo eléctrico, etc. Campo tensorial: Es una función en la que el argumento es un vector y su valor es una
matriz. Es decir:
)(r
, el resultado de aplicar la función tensorial al argumento
),,( zyxr
es la matriz
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
.
Ejemplo: campo de esfuerzos de un cuerpo deformable. 3.2 Algunos conceptos matemáticos A continuación repasaremos algunas herramientas matemáticas que nos serán útiles para analizar algunos conceptos de la mecánica referentes al trabajo de una fuerza sobre una partícula y a la energía que involucra el movimiento de una partícula.
Operador nabla :)(
kz
jy
ixzyx
ˆˆˆ,,
El operador
es análogo a un vector.
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-2
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Gradiente de un campo escalar :
grad
zyx
,,
(3.1)
Divergencia de un campo vectorial F
:
div z
F
y
F
x
FFF zyx
(3.2)
Rotacional de un campo vectorial F
:
rot
zyx FFF
zyx
kji
FF
ˆˆˆ
rot F
ky
F
x
Fj
x
F
z
Fi
z
F
y
F xyzxyz ˆˆˆ
(3.3)
Campo vectorial irrotacional
Si )(rFF
es un campo vectorial, se dice que es un campo irrotacional si su rotacional es nulo, es decir:
0 F
Entonces, deberá cumplirse simultáneamente que:
0
z
F
y
F yz ; 0
x
F
z
F yx ; 0
y
F
x
Fxy (3.4)
Si el campo vectorial es bidimensional, es decir ),( yx FFF
, basta que se cumpla la
condición:
0
y
F
x
Fxy
Teorema: sea el campo vectorial )(rFF
. Existirá una función escalar )(r
denominada función de campo tal que )()( rrF
0 F
.
Dem.: Si
)(rF :
zyx
FFF zyx
,,),,(
x
Fx
; y
Fy
; z
Fz
(3.5)
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-3
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derivando y
Fy
zyz
Fy
2
y también z
Fz
yzy
Fz
2
En forma análoga se demuestra que los demás términos del rotacional son nulos y que
entonces 0 F
.
Consecuencia: Sea la función de campo de )(rF
, es decir:
)(rF . Sabemos que si existe la función escalar )(r
, con ),,( zyxr
,
entonces: dzz
dyy
dxx
d
),,(,, dzdydxzyx
es decir: rdFd
integrando: B
A
B
A
rdFd
operando: B
A
B
A
rdF
B
A
AB rdFrr
)()( (3.6)
Ello resultará útil cuando necesitemos evaluar la integral B
A
rdF
. Para ello bastará
evaluar )()( AB rr
, lo cual será evidentemente más sencillo.
Notar que:
1) Puesto que para evaluar la integral B
A
AB rrd )()(
no se necesita conocer el
camino C, entonces, la integral B
A
rdF
será independiente del camino C.
2) 0rdF
, pues 0)()( AB rr
.
3) Si el rotacional de una función fuera diferente de cero y en consecuencia no existe una
función de campo , entonces la integral B
A
rdF
deberá ser evaluada a lo largo del
camino C.
0
y
F
z
Fzy
C
C
C
C
C
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-4
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3.3 Trabajo de una fuerza sobre una partícula Si una partícula se está moviendo a lo largo de la trayectoria C por la acción de una cierta
fuerza F
, se define el trabajo elemental de dicha fuerza al cambiar la posición de la partícula en rd
como:
rdFdU
El trabajo total de F
sobre la partícula entre A y B a lo largo de C será:
B
A
BA rdFU
(3.7)
Ejemplo 3.1:
Calcular el trabajo realizado desde t = 1 s hasta t = 2 s por la fuerza )12,,7( 2 tttF
cuyo punto de aplicación recorre la recta determinada por las superficies 932 zy y
0x , según la ley horaria .82 2 ts
Solución: Como dttdsts 482 2 (1)
y además: 932 zy yz3
23 dydz
3
2
o también: zy2
3
2
9 dzdy
2
3
y como 0x 0dx Sabemos que el diferencial de longitud de curva está dado por:
222 )()()( dzdydxds
entonces: dydydyds3
13
3
2)(0
22
análogamente: dzdzdzds2
13)(
2
30 2
2
C
F
r
rdr
rd
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Ahora podemos expresar dy y dz en términos de ds:
dsdy13
3 y dsdz
13
2
dsdsdzdydxrd
13
2,
13
3,0),,(
de (2):
dt
tdt
trd
13
8,
13
12,0
ahora, dttt
tttrdFU
13
8,
3
12,0)12,,7(
2
1
2
resolviendo: 48,7U unidades de trabajo 3.4 Campo vectorial conservativo Si un campo de fuerzas es irrotacional se denomina campo conservativo. Por lo que hemos
visto, para dicho campo de fuerzas se cumplirá que rot 0)( FF
y por consiguiente
existe /
F . Se define función potencial (o energía potencial) como: V
x
VFx
;
y
VFy
;
z
VFz
(3.8)
Los elementos de los campos conservativos se denominan fuerzas conservativas. Dado que las fuerzas conservativas juegan un papel importante en el tema que estamos encarando en este capítulo, es pertinente escribir las siguientes notas:
Si )(rF
es un campo de fuerzas conservativo, es decir, si se cumple que: 0 F
,
)(/)( rFr
y siendo )()( rrV
entonces se cumplirá: 1) El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria o
camino recorrido C :
B
A
BABA rVrVrdFU )()(
(3.9)
2) El trabajo que realiza una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado será:
0 rdF
. C
C
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-6
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Ejemplo 3.2: Dado el campo de fuerzas:
kzxzyxjzyxizxzyF ˆ)63(ˆ)2(ˆ)6( 2223232
Se pide calcular el trabajo realizado sobre una partícula que se desplaza desde el punto )2,1,1( A hasta )2,1,2(B a lo largo de la línea recta que los une.
Solución:
¿Será F
un campo conservativo? 232 6 zxzyFx
32 zyxFy
zxzyxFz222 63
Derivando: 066 22
zyxzyxz
F
y
F yz
0)123(123 2222
zxzyzxzyx
F
z
F yx
022 33
zyzy
y
F
x
Fxy
F
es un campo conservativo. Determinación de la función potencial V:
Aplicando lo establecido por la expresión (3.8) se cumplirá que:
232 6 zxzyFx
Vx
),(3 12232 zyfzxzyxV
32 xyzFy
Vy
),(232 zxfzyxV
zxzyxFz
Vz
222 63
),(3 33222 yxfzyxzxV
Observando los tres términos obtenidos para la función potencial V y teniendo en cuenta que dicha función es única, concluimos que:
czyf ),(1
czxzxf 222 3),(
cyxf ),(3
de donde: czyxzxV 32223
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-7
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Ahora podemos evaluar el trabajo rdFUB
A
BA
(el cual será independiente del
camino, según la expresión (3.9)):
B
A
BABA rVrVrdFU )()(
Para )2,1,1( Ar
crV A 4)(
Para )2,1,2(Br
crV B 32)(
28BAU unidades de trabajo
Ejemplo 3.3: Una partícula con masa m = 1 kg se mueve sobre el plano xy siguiendo la trayectoria
13 22 yx de manera que la componente horizontal de su velocidad es igual a (-y) en cualquier instante. Mostrar que la fuerza actuante sobre la partícula es conservativa y encontrar la función potencial. Solución: Se tiene de dato que yx (1) De la ecuación de la trayectoria: 13 22 yx
:dtd 026 yyxx 03 yyxx (2)
(1) en (2): 0)(3 yyyx xy 3 (3)
y al derivar (3): xy 3
y recordando (1): 03 yy (4)
la cual es una ecuación diferencial de 2do. orden.
su ecuación característica es: 032
cuyas raíces son: 32,1 j
la solución de (4) será: tsenctcy 33cos 21 (5)
de (3): tctsency
x 3cos3
33
3
3
3 21
(6)
utilizando la 2da. ley de Newton:
)3cos3(3 21 tctsencxmFx
)33cos(3 21 tsenctcymFy
C
C
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-8
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y comparando con (5) y (6): xFx 3
yFy 3
¿Es F
conservativa? x
F
y
F yx
!
y como 0
y
Fx y 0
x
Fy F
es conservativa.
Determinación de la función potencial
Puesto que F
es conservativa, entonces V tal que )( VgradF
entonces se debe cumplir que x
VFx
y y
VFy
En nuestro caso: xx
V3
)(2
31
2 yfxV
yy
V3
)(2
32
2 xfyV
Observando ambos resultados concluimos que:
cyxV 22
2
3
2
3 (c es una constante arbitraria)
es decir: cyxV )(2
3 22
Ejemplo 3.4: Una partícula de masa m se mueve en el plano xy de manera que su posición es:
jtsenbitar ˆˆcos 00
siendo a, b y 0 constantes positivas tal que
ba . Se pide:
a) Demostrar que la fuerza que hace que la partícula se mueva sobre dicha trayectoria es central.
b) Indicar si la fuerza es conservativa o no.
c) En caso de que la fuerza sea conservativa, hallar la función potencial.
d) Calcular el trabajo que realiza la fuerza desde A hasta B.
y
xO A
B
a
b
m
r
t0
Fig. 3-2
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-9
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Solución:
a) jtsenbitar ˆ)(ˆ)cos( 00
:/ dtd jtbitsenav ˆ)cos(ˆ)( 0000
:/ dtd jtsenbitaa ˆ)(ˆ)cos( 0200
20
La 2da. ley de Newton establece que: amF
)ˆˆcos( 0020 jtsenbitamF
es decir: rmF
20
se ve claramente que FrF
// es fuerza central.
b) En coordenadas cartesianas: ),(20 yxmF
o también: xmFx20
y ymFy20
F
es conservativa si 0Frot
, es decir si se cumple que: 0
x
F
y
F yx
0)(
0)(
20
20
ymxx
F
xmyy
F
y
x
0
x
F
y
F yx
c) Dado que 0Frot
, entonces, según el teorema estudiado, VgradFV
/ .
)(2 1
2202
0 yfxm
VxmFx
Vx
(1)
)(2 2
2202
0 xfym
VymFy
Vy
(2)
comparando (1) y (2): cym
xm
V 2202
20
22
cyxm
V )(2
2220
o en coordenadas polares: crm
V 220
2
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-10
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d) Dado que F
es conservativa, entonces el trabajo que realiza se puede evaluar de la siguiente manera:
B
A
BA BVAVrdFU )()(
cb
mca
m 2202
20
22
)(2
2220 ba
mU BA
Ejemplo 3.5: Sea el campo ky
xjxzyiyzF ˆ)2
1510(ˆ)15(ˆ)10(
2
donde F
en [N], zyx ,, en [m]. Se pide:
a) Determinar si el campo es conservativo o no.
b) Si el campo es conservativo hallar la función potencial V.
c) Sabiendo que la trayectoria por la que se desplaza una partícula es una recta que pasa
por los puntos A y B, evaluar la integral B
A
rdF
, donde )3,2,10(A y
)3,4,2( B [m].
Solución:
a) yzFx 10 1
y
Fx ; 10
z
Fx
xzyFy 15 1
x
Fy ; yz
Fy 15
2
1510
2yxFz 10
x
Fz ; yy
Fz 15
entonces: 0;0;0
x
F
z
F
y
F
z
F
x
F
y
F zxzyyx
y por consiguiente: 0Frot
el campo F
es conservativo.
b) Puesto que F
es conservativo, entonces se cumplirá que existe la función potencial V
tal que )( VF
.
Es decir: ),,(),,(z
V
y
V
x
VFFF zyx
yzx
V
10 ),(10 1 zyfxyzxV (1)
xzyy
V
15 ),(2
152
2 zxfyxzyV (2)
C
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-11
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2
2
1510 yx
z
V
),(2
1510 3
2 yxfzyzxV (3)
comparando (1), (2) y (3): czyyxzxV 2
2
1510
c) Dado que F
es campo conservativo el trabajo no depende del camino entre A y B:
B
A
BA BVAVrdFU )()(
)3()4(
2
15)4)(2()3)(2(10)3()2(
2
15)2)(10()3)(10(10 22
718)308(410 BABA UU Joule
3.4.1 Campo gravitacional uniforme cerca de la superficie terrestre
F
es de la forma:
),0,0( mgF
¿Será F
conservativa?
rot )0,0,0(
00
ˆˆˆ
mgzyx
kji
FF
F
es conservativa.
Cálculo de la función potencial:
0
xFx
V ),(1 zyfV
0
yFy
V ),(2 zxfV
gmFz
Vz
),(3 yxfzgmV
czgmV donde c es una constante arbitraria.
Podemos tomar c = 0 zgmV (3.10)
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-12
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Por consiguiente si se quiere evaluar el trabajo que efectúa el peso propio sobre la partícula si se mueve de ),,( AAA zyxA hasta ),,( BBB zyxB :
BABA zgmzgmBVAVU )()( )( AB zzgm (3.11)
Si AB zz : BAU será negativo.
Si AB zz : BAU será positivo. 3.4.2 Campo gravitatorio alrededor de un planeta
rer
mMGF ˆ
2
; redrrd ˆ
¿Es F
conservativa?
Si rot FFF
0 conservativa.
como F
es central conviene trabajar en coordenadas polares: e
re
r rˆ1ˆ
rr er
mMGe
re
rˆˆ1ˆ
2 rrrr er
er
mMGee
r
mMG
rˆˆˆˆ
22
0ˆˆˆˆ132
rr eer
mMGee
r
mMG
r
F
es conservativa.
Función potencial: dr
mMGdr
r
mMGrdF
2
r
mMG
r
mMGV (3.12)
Utilizando coordenadas cartesianas:
rer
mMGF ˆ
2
2r
mMGF
),( yxr
22
),(ˆyx
yx
r
rer
entonces:
2222
,
)( yx
yx
yx
mMGF
m
Fig. 3-4
M
re
F
C
Fig. 3-5
M
re
F
C
m(x, y, z)
x
y
z
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-13
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2/5222/322 )(
3
)( yx
yxmMG
y
F
yx
xmMGF x
x
2/5222/322 )(
3
)( yx
yxmMG
x
F
yx
ymMGF y
y
F
es conservativa.
)()()( 12/1222/322
yfyx
mMGV
yx
xmMGF
x
Vx
)()()( 22/1222/322
xfyx
mMGV
yx
ymMGF
y
Vy
Comparando: cr
mMGV (3.13)
3.4.3 Campo de fuerzas elásticas A continuación analizaremos las características de la fuerza elástica que ejercen los resortes sobre una cierta partícula. En este curso consideraremos únicamente los resortes que tienen comportamiento lineal-elástico.
rkF )( 0rrk
donde k es la constante de rigidez del resorte.
rerrkF ˆ)( 0
¿Constituye F
un campo de fuerzas conservativo?
2/1222 )(
),,(ˆzyx
zyx
r
rer
2/12220
2/1222
)(
),,()(
zyx
zyxrzyxkF
xzyx
rkFx
2/1222
0
)(1
2/32220)( zyx
yxrk
y
Fx
rot ( F
) = 0
r
F
k
1
O
F = k .r
F
r
Fig. 3-8
re
F
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-14
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yzyx
rkFy
2/1222
0
)(1
2/32220 )( zyx
yxrk
x
Fy
0
x
F
y
F yx
análogamente: 0
y
F
z
Fzy y 0
z
F
x
F xz
F
constituye un campo conservativo.
Trabajo realizado por fuerzas elásticas
Para evaluar el trabajo de la fuerza elástica F
entre A (resorte sin deformar) y B (resorte deformado):
Puesto que F
es conservativa
BBABA UU
El trabajo entre A y B es nulo (pues F es nula)
luego, rdFUUB
B
BBBA
ahora:
B
B
r
B
B
BB rderrkrdFU
ˆ)( 0 =
B
B
rr edrerrk ˆˆ)( 0
B
B
drrrk )( 0 r
rr O
rrk
20 )(
2= 2
0 )(2
rrk
Así: 20 )(
2rr
kU BA
Ahora, como la fuerza elástica es conservativa, entonces podemos escribir que:
20 )(
2)()( rr
krVrVU BABA
y como hemos elegido A de tal manera que allí el resorte no está deformado, es decir, que en esa posición no hay energía potencial elástica: 0)( ArV
. Entonces:
20 )(
2)( rr
krV B
de donde: 20 )(
2rr
kV (3.14)
Energía potencial del resorte (es siempre positiva)
Fig. 3-9
C
x
y
z
O
rO
A
B
rO
B'
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-15
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En general, si la partícula se mueve de P a Q siendo sus posiciones Pr y Qr ,
respectivamente: )()( QPQP rVrVU
20
20 )(
2)(
2rr
krr
kU QPQP
22
22 QPQP
kkU (3.15)
Nota: Las fuerzas elásticas lineales también se pueden analizar empleando coordenadas cartesianas. A modo de muestra analizaremos el caso de movimiento plano. Dejaremos como tarea al alumno que realice el procedimiento para el movimiento tridimensional.
xyx
rkF
x
Vx
2/1220
)(1
)()(2 1
2/1220
2
yfyxrkxk
V
yyx
rkF
y
Vy
2/1220
)(1
)()(2 2
2/1220
2
xfyxrkyk
V
Comparando: cyk
yxrkxk
V 2
)(2
22/122
0
2
cyyxrxk
])(2[2
22/1220
2
Si tomamos 2
20rk
c ])(2[2
1 20
2/12222 ryxyxkV
)2(2
1 200
2 rrrrk
es decir: 20 )(
2
1rrkV
3.4.4 Fuerzas de rozamiento Las fuerzas de rozamiento no son conservativas. Por consiguiente no existe una función potencial que nos permita calcular el trabajo que ellas realizan. Para evaluar dicho trabajo
tendremos necesariamente que evaluar la integral rdFf
.
En general, el trabajo que realiza una fuerza de fricción entre dos cuerpos que tienen movimiento relativo entre sí se debe evaluar a lo largo de la trayectoria relativa entre ambos.
C
F
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-16
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3.5 Principio del trabajo y energía
Sea F
la resultante del sistema de fuerzas que actúan sobre la partícula en un instante cualquiera de su movimiento. Aquí se consideran las fuerzas conservativas y las no conservativas.
Entonces: iFF
El trabajo elemental que realiza dicha resultante si la partícula cambia su posición en rd
es:
rdFdU
(3.16) Para el análisis que haremos convendrá utilizar coordenadas intrínsecas o curvilíneas. Ahora, el trabajo que realizan todas las fuerzas sobre la partícula cuando ella se mueve a lo largo de su trayectoria desde la posición A hasta la posición B será:
rdeFeFrdFU nn
B
A
tt
B
A
BA
)ˆˆ(
pero: tesv ˆ te
dt
ds
dt
rdˆ
de donde: ds
dt
dt
rdet
ˆ ds
rdet
ˆ tedsrd ˆ
reemplazando: )ˆ()ˆˆ( tnn
B
A
ttBA edseFeFU
entonces: dsFUB
A
tBA (3.17)
de la segunda ley de Newton: tt amF
es decir: ds
dvvm
dt
ds
ds
dvm
dt
dvmFt
en (3.17):
B
A
B
A
s
s
v
v
tBA dvvmdsFU
integrando: 222
2
1
2
1
2
1AB
v
vBA vmvmvmU
B
a
(3.18)
Definimos energía cinética como: 2
2
1vmT (3.19)
ABBA TTU (3.20) Principio del trabajo y de la energía o Teorema de las fuerzas vivas.
Fig. 3-11
1F
C
m
x
y
z
O
2F
3F
iF
nF
r
A
B
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-17
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o también: BBAA TUT (3.21)
Desdoblemos el trabajo de todas las fuerzas en dos partes:
BAOFBAFCBA UUU (3.22)
donde: BAFCU es el trabajo de las fuerzas conservativas cuyas funciones
potenciales son conocidas. Se evalúan según la expresión (3.9):
BABAFC VVU
BAOFU es el trabajo de otras fuerzas que actúan sobre la partícula, es decir
de las no conservativas y de las que, aún siendo conservativas, no conocemos sus funciones potenciales. Se evalúan con la expresión general de trabajo de una fuerza (3.7):
B
A
OFBAOF rdFU
BAOFBABA UVVU )(
en (3.21): BBAOFBAA TUVVT )(
ordenando: BBBAOFAA VTUVT (3.23)
aquí: AT es la energía cinética en la posición A,
AV es la energía potencial de la partícula en la posición A (incluye las energías potenciales por peso y por deformación elástica),
BAOFU es el trabajo de las fuerzas no conservativas y de aquellas cuyas
funciones potenciales son desconocidas,
BT es la energía cinética en la posición B,
BV es la energía potencial de la partícula en la posición B (incluye las energías potenciales por peso y por deformación elástica).
Si sobre una partícula no actúan fuerzas no conservativas, entonces se dice que la energía se conserva: BBAA VTVT (3.24)
Ecuación de la conservación de la energía
Ecuación del trabajo y de la energía para una partícula.
C
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-18
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Problema 3.6:
La partícula es dejada libre desde el reposo desde la parte más alta de la superficie semicilíndrica lisa de radio R. Se pide determinar:
a) La velocidad de la partícula y la fuerza normal que ejerce sobre ella la superficie semicilíndrica en función del ángulo .
b) El ángulo para el cual la partícula abandona la superficie semicilíndrica.
Solución: a) No hay fuerzas disipativas (o no conservativas), en consecuencia la energía se conserva. Aplicando conservación de la energía entre el punto de partida (1) y un punto cualquiera de la trayectoria (2) en que la partícula está en contacto con la superficie semicilíndrica:
2211 VTVT (1)
donde: 01 T
RgmV 1
222 2
1mvT
cos2 RgmV
reemplazando en (1): cos2
10 2
2 RgmvmRgm
de donde: )cos1(222 Rgv )cos1(22 Rgv (2)
El DCL de la masa en una posición genérica (2):
: nF nmagmN cos R
vm
22 (3)
(2) en (3) y ordenando: )2cos3( gmN (4) b) Condición física para que la partícula abandone la superficie: N = 0
en (4): 3
2cos ó 19,48
x
y
R
Fig. 3-12
(1)
(2)
N.R.
te
Fig. 3-13
ne
N
mgte
ne
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-19
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Ejemplo 3.7: Una partícula de masa m 3 kg se mueve sobre un plano horizontal liso. Durante todo el movimiento actúa la fuerza F = 640 r3 sobre la partícula y está dirigida hacia el punto fijo O. Aquí la fuerza F está en N cuando la distancia r entre la partícula y el punto 0 está en metros. Se pide:
a) Demostrar que F
es conservativa y hallar la función potencial V.
b) Calcular la velocidad de la partícula en el punto A si la distancia máxima entre la partícula y el punto O es 2,5 m.
Solución:
a) reFF ˆ
),(cos3 senrk
xyxkrrkrkFx )()cos(cos 2223
yyxksenrrksenrkFy )()( 2223
00
2
2
Frotx
F
y
F
yxkx
F
yxky
F
yx
y
x
F
es fuerza conservativa
Además: x
VFx
23 yxkxk
x
V
integrando: )(24 1
224
yfyxkxk
V (1)
y también y
VFy
32 ykyxk
y
V
integrando: )(42 2
422
xfykyxk
V (2)
Como V deber ser único, entonces comparando las expresiones (1) y (2) obtenemos:
cykyxkxk
V 424
4224
Fig. 3-14
A
vA
A
O
r
F
B
0,5 m
rmax = 2,5 m
C
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-20
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
de donde finalmente:
cyxk
V 222 )(4
o también: crk
V 4
4
donde c es una constante arbitraria.
Si tomamos c = 0: 4
4rkV
b) En el punto B donde maxB rr se cumplirá 0Br (la velocidad está íntegramente
contenida en la dirección de e ) y por lo tanto en ese punto:
ererv rBˆˆ
BB rv
Como no hay fuerzas no conservativas: BBAA VTVT
42
1
42
1 42
42 B
BA
A
rkvm
rkvm (3)
Como F
es central
const..)(
.)(
constsenvrh
constvrh
BBBAAA senvrsenvr (4)
observando que 90B y resolviendo (3) y (4): 34,65Av m/s
45,10Bv m/s
Fig. 3-15
A
B
O
B
0,5 m
rmax = 2,5 m
vB
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-21
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Ejemplo 3.8: El dispositivo mostrado está destinado a la determinación de los coeficientes de fricción. El soporte ABC es rotado lentamente hasta conseguir el deslizamiento del bloque de masa m = 6 kg. Si se observa que el deslizamiento se produce cuando 15 y la máxima deformación alcanzada por el resorte es 5 cm, se pide determinar los coeficientes estático y dinámico de fricción. Considere para el resorte 1500k N/cm.
Solución: El DCL para la posición de equilibrio estático es: En el estado de movimiento inminente:
:0xF NFFsengm sff ;0
:0 yF 0cos gmN
de aquí: 15tantan s 268,0s
Cuando se inicia el movimiento la inclinación de la rampa 15 permanece constante. En cualquier instante del movimiento de descenso se cumplirá, según la segunda ley de Newton que:
Se ve claramente que:
N permanece constante: cosgmN
y la fuerza de fricción es: NF kf
Aplicaremos la ecuación del trabajo y energía entre dos posiciones de la partícula: la primera es el punto de inicio del movimiento y la segunda es el punto en que se detiene momentáneamente la partícula y en la que el resorte sufre su máxima deformación. 222111 VTUVT
fF (1)
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-22
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Aquí: sgmsFrdFU kffFf cos
2
1
21
donde: 30525 s cm
en (1): 2
2
10cos00 ksensgmsgmk
reemplazando valores: (6) (9,8) (0,30) 2)05,0()1500(2
1)15cos15( ksen
de donde finalmente: 151,0k
Ejemplo 3.9: El collarín de 20 kg parte del reposo en A estando el resorte estirado 5 cm. Calcular la constante de rigidez k del resorte si se sabe que el collar se detiene 15 cm debajo de su posición inicial. El movimiento ocurre en un plano vertical, la barra es lisa y la fuerza F =150 N es siempre perpendicular a la dirección en que se encuentra el resorte. Solución: para una posición genérica determinada
por la coordenada y:
22
cosyb
b
Aplicamos la ecuación de trabajo y energía entre la posición inicial (1) y la posición genérica (2): 222111 VTUVT F
ygmkUk F 2221
21 2
1
2
1 (1)
Evaluamos el trabajo realizado por F:
dyby
bFdyFrdFU F
15,0
022
2
1
2
1
21 cos
65,21)(ln15,0
0
2221 byybFU F N-m (Joule)
reemplazando valores en (1): )15,0()8,9()20()0854,0(2
165,21)05,0(
2
1 22 kk
de donde finalmente: N/m21300k
b = 30 cm
F
Fig. 3.19
y
A
b
Fy
N. R.
Fig. 3.20
(1)
(2)
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-23
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Ejemplo 3.10:
La esfera pequeña de masa m se puede deslizar sin fricción sobre el aro en forma de circunferencia de radio r. Ella está unida al punto fijo A mediante un resorte de constante de rigidez k y longitud sin deformar 2r. La esfera inicia su movimiento en 0 con velocidad inicial 0v .
Sabiendo que el sistema se encuentra en un plano vertical, se pide:
a) Calcular la velocidad v de la esfera en función de .
b) Calcular el valor mínimo de 0v para que la masa alcance la posición determinada por
2/ . Solución: a) Dado que sobre la pequeña esfera solamente actúan fuerzas conservativas
(peso, fuerza del resorte) entonces aplicaremos conservación de energía entre la posición inicial (1) y la posición genérica (2):
2211 VTVT (1)
con: 201 2
1vmT
rgmV 1
22 2
1vmT
22 )(22
cos Lrk
rgmV
de la geometría se ve que: 2
cos2)( rL
222 )2/cos1(2cos rkrgmV
en (1): 22220 2/cos12cos
2
1
2
1 rkrgmvmRgmvm
de donde: 22
20 2
cos14
)cos1(2)(
m
rkrgvv (2)
b) Se debe determinar 0v tal que 0
2
v
en (2): 22
20 4
cos14
2cos120
m
rkrgv
rgm
rkv 2
2
21
42
2
0
x
y
r
Fig. 3.21
(1)
(2)
A
r
(1)
(2)
A
r
N. R.
Fig. 3.22
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-24
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Ejemplo 3.11: El collar liso de m = 2 kg se desliza sobre la barra horizontal AB. En la posición (1)
)90( el collar tiene v1= 5 m/s y el resorte (k = 60 N/m) está sin deformar. Sabiendo que el resorte y la barra están en un plano vertical, se pide calcular para el instante en que s = 0,5 m:
a) Velocidad, aceleración y fuerza entre el collar y la barra,
b) Las aceleraciones r y . Solución: Como no hay fuerzas disipativas (o no conservativas), entonces se conserva la
energía. 2211 VTVT
22
22
21 2
1
2
1
2
1 kvmvm
donde: 21,05,02)5,0(2 [m] 87,42 v m/s
Sistemas equivalentes según 2da. Ley de Newton:
: xF 2cos amFR
22 cos amk 39,445cos2
2
m
ka
m/s2
es decir: 39,42 a m/s2 ()
: yF 0 gmsenFN R
gmsenFN R
entonces: N 28,51 [N]
Fig. 3.24mg
FR
N
m a2
k
Fig. 3.23
s
m(1)A B
r
O
0,5
m
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-25
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Análisis de velocidades:
44,32
2cos 22 vvrvr m/s
2
222 vsenvrv
87,4 rad/s Análisis de aceleraciones:
2
2cos 22
2 aarrar
66,13r m/s2
2
22 22 asenarra
76,51 rad/s2
Ejemplo 3.12: El móvil de masa m = 75 kg se desplaza hacia la izquierda sobre una superficie sin fricción y tiene velocidad de 8 m/s en la posición mostrada. Sabiendo que A es punto de tangencia entre la superficie curva y la superficie horizontal, se pide calcular:
La velocidad, aceleración y fuerza normal cuando el móvil pasa por B. Solución: a) Sobre la partícula sólo hacen trabajo fuerzas conservativas, en consecuencia se
conserva la energía: BBAA VTVT
BBA ygmvmvm 22
2
1
2
1
1By m 66,6Bv m/s (1)
v2
Fig. 3.25
r
re
e
a2
Fig. 3.26
r
ree
22/12/1 yx
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-26
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
DCL del bloque en el instante pedido:
nF :
2
2
2 BnB
vmamgmN (2)
tF tamgm 2
2 (3)
de (3): 93,6ta m/s2 (4)
Necesitamos calcular el radio de curvatura en B para poder despejar BN de (2):
22
232
/
)/(1
dxyd
dxdy (5)
de la trayectoria: 22121 yx
dxd / : 02
1
2
1 2121
dx
dyyx
212121
21
yxy
x
dx
dy
(6)
en el punto B: 11,1
yxdx
dy )45(
derivando (6): x
xydx
dyyxxy
dx
yd
2
1
2
1
2
1
2
1 2321212123212
2
en el punto B: 11,1
2
2
yx
dx
yd
en (5):
83,2/
/122
232
dxyd
dxdy m
en (2): 69,152
B
n
va m/s2 y 1700BN N
Recordando el resultado (4) podemos evaluar ahora la aceleración total del móvil en B:
15,1722 ntB aaa m/s2
45°NB
m an
Fig. 3-28
m at
m g
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-27
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Ejemplo 3.13: El collarín de masa m = 4 kg mostrado se suelta del reposo en la posición (1). El sistema se encuentra en un plano vertical. Si la constante de resorte es k =1 kN/m y el resorte no está estirado en la posición (2) y sabiendo además que el coeficiente de fricción cinético entre el collarín y la guía es 4,0k se pide
calcular:
a) La velocidad del collarín cuando ha descendido a la posición (2)?
b) La aceleración y las fuerzas que actúan sobre el collarín en dicha posición.
Solución: a) Utilizaremos el principio del trabajo y la energía para una partícula. Es
decir:
222111 VTUVT F (1)
donde 01 T
211 2
1)25,0( kgmV
con 12,02,0)2,0()25,0( 22011 LL m
02,17)12,0()1000(2
1)25,0()8,9()4( 2
1 V Joule
22
222 2
2
1vvmT
02 V Cálculo del trabajo de la fuerza de fricción
21fFU :
25,0
0
)2(
)1(21
dyFrdFU ffFf
NF kf donde cosRFN
es decir: 2,012,0
)( 00
L
Lk
LLLkN
2,01 0
L
LkF kf donde 22
0 )25,0( yLL
Reemplazando: dyyL
LkU kFf
22
0
025,0
0 )25,0(1)2,0(
21
Fig. 3-29
(1)
200 mm
250
mm
(2)
k
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-28
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
dyy
kk
22
25,0
0 )25,0()2,0(
2,01)2,0(
dyyy
2
25,0
0 5,01025,0
2,0180
evaluando: 239,321
fFU Joule
en (1): 222239,302,17 v
de donde finalmente: 63,22 v m/s b) Cálculo de la aceleración y de las fuerzas sobre el collarín en posición (2): Según Newton, para ese instante se cumplirá:
:HF 0 RFN (2)
:VF amFgm f (3) Dado que en este instante la fuerza del resorte es nula (el resorte no está deformado) entonces, para que se cumpla el equilibrio en el sentido horizontal, ecuación (2), la fuerza normal también es nula. Si no hay fuerza normal, tampoco hay fuerza de fricción. Entonces, de (3): amgm
8,9a m/s2 ()
Fig. 3.31
mg
FR N
m a
Ff
Cap. 3 Trabajo y Energía Pág. 3-29
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3.6 Potencia y eficiencia
Potencia media: t
UPm
Potencia instantánea: dt
dU
t
UimPt
0
dt
rdFP
vFP [Joule/s = Watt]
Eficiencia )( : La eficiencia de un sistema es la relación entre la potencia de salida y la potencia de entrada. En otras palabras, la eficiencia es una medida de la potencia que se disipa entre la entrada y salida del sistema:
)1(e
s
P
P
PESistema
PS
Fig. 3.32