cap´ıtulo 3 composicion de movimientos - e.t.s.i.a ... · problema 3.1.1: la rueda de un...

Capıtulo 3

Composicion de movimientos

3.1. Composicion de movimientos

Ademas de los problemas y ejercicios de este capıtulo, es conveniente resolver los delanterior con las tecnicas de composicion de movimientos, y comparar las ventajas de unou otro camino.

Ejercicio 3.1.1: Un disco de radio r (solido 2) rueda sin deslizar por el interior de unacircunferencia fija de radio 2r y centro O (Solido 1). El eje Ox0 del sistema intermedio 0contiene en todo momento al centro del disco C. En un instante generico, se pide:

Velocidades angulares relativa y absoluta.

Aceleracion del punto de contacto I por compo-sicion de movimientos.

Aceleracion de I mediante el campo de acelera-ciones del solido 2.

Razonar los pasos que habrıa que dar para cal-cular la aceleracion de I derivando su vector po-sicion.

Se trabajara en ejes 0, dejando los resultados en fun-cion de las derivadas del angulo θ que forman Ox1 yOx0.

C

I

x1

x0

O

θ

Por definicion, ~ω01 = θ ~k. El punto C de 2 esta fijo en 0, por lo que:

~vC21

= ~vC01

= −r ω21~j = r θ~j ⇒ ~ω21 = −θ ~k

En consecuencia,

~ω20 = ~ω21 − ~ω01 = −2θ ~k

El movimiento relativo es un giro alrededor de C, y el de arrastre otro alrededor de

15

16 CAPITULO 3. COMPOSICION DE MOVIMIENTOS

O:

~aI21

= ~aI20+ ~aI

01+ 2 ~ω01 ∧ ~vI20 =

~aC20+ ~ω20 ∧

−→CI + ~ω20 ∧

(

~ω20 ∧−→CI

)

+

~aI01+ ~ω01 ∧

−→OI + ~ω01 ∧

(

~ω01 ∧−→OI

)

+ 2 ~ω01 ∧(

~ω20 ∧−→CI

)

=

=

0

−2rθ0

+

−4rθ2

00

+

0

+2rθ0

+

−2rθ2

00

+2

2rθ2

00

= ~aI

21=

−2rθ2

00

Para aplicar el campo de aceleraciones hay que conocer la aceleracion de un puntode 2, y el unico con un movimiento conocido es C. Para cualquier otro punto hayque calcular antes su aceleracion por otro camino, y eso es tan complicado comohallar la de I. Es un error grave usar O pensando que no se mueve. El punto Odel sistema 0 sı esta fijo, pero no el de 2: el punto del disco que en cada momentoesta pasando por O tiene su aceleracion, que en algun caso podra ser nula, pero quesiempre hay que calcular.

~aI21

= ~aC21+ ~ω21 ∧

−→CI + ~ω21 ∧

(

~ω21 ∧−→CI

)

=

=

−rθ2rθ0

+

0

rθ0

+

−rθ200

= ~aI

21=

−2rθ2

00

Por definicion, ~aP =d2−→OP

dt2, siendo P siempre el mismo punto material. Pero

I es en cada momento un punto distinto del solido, por lo que no tiene sentido

derivar−→OI. Eso nos darıa ~aI

01.

Para poder obtener su aceleracion derivando, habrıa que identificar un punto generi-co de la periferia del disco con un parametro cualquiera (el angulo ϕ con una direc-cion fija del disco, por ejemplo); derivar sus coordenadas manteniendo ϕ constante(pues lo que hace es identificar al punto); y calcular luego para cada θ el valor de ϕque identifica en ese momento a I.

Ejercicio 3.1.2: Sea S1 un sistema de referencia con origen en el Sol y direcciones fijasen el espacio; el eje Sz1 es normal a la orbita de la Tierra. Sea S0 un sistema con origen enel Sol, eje Sz0 ≡ Sz1, y el eje Sx0 pasa siempre por el centro de la Tierra. Finalmente, seaS2 un sistema de referencia unido a la Tierra, con origen en su centro. Se llama dıa solaral periodo de rotacion de la Tierra respecto al radio vector desde el Sol Sx0. Se llama dıasidereo a su periodo de rotacion respecto a los ejes de direcciones fijas.

Se supondra, para simplificar, que el eje derotacion absoluta de la Tierra ω21 (Eje depolos) es paralelo a Sz1. Se supondra tambienque la orbita de la Tierra es circular y serecorre con velocidad uniforme. Inicialmentecoinciden S1 y S0. Sabiendo que el periodo dela orbita (ano) vale aproximadamente 365,25dıas y que el dıa solar dura 24 horas, calcularla duracion del dıa sidereo. x1

y1

z1 ≡ z0

x0

y0

ω21

3.1. COMPOSICION DE MOVIMIENTOS 17

Ejercicio 3.1.3: Se repetira el ejercicio an-terior, pero teniendo en cuenta la inclina-cion del eje polar: la direccion de la velo-cidad angular absoluta de la Tierra ω21 esparalela al plano Sx1z1 y forma un anguloθ = 23,45o con Sz1, en la direccion nega-tiva de Sx1. Comparar la duracion del dıasidereo con la calculada antes. (El Interna-tional Earth Rotation Service da un valor|ω21| = 0,000072921 rad/s).

x1

y1

z1 ≡ z0

x0

y0

θ ω21

Ejercicio 3.1.4: Un disco S2 de radio R rueda ypivota sin deslizar sobre un plano fijo Ox1y1 man-teniendose siempre perpendicular a el. Sean (x, y) lascoordenadas en ejes S1 de la proyeccion del centro deldisco. Expresar en funcion de estas coordenadas, delos angulos de Euler y de sus derivadas la condicioncinematica de no deslizamiento. x1 y1

z1

x0

y0

z0

ϕ

ϕ

ψ

ψ

I

C

Ejercicio 3.1.5: Un disco S2 de radio R rueda y pi-vota sin deslizar sobre un plano fijo Ox1y1. Sean (x, y)las coordenadas en ejes S1 de la proyeccion del centrodel disco. Expresar en funcion de estas coordenadas,de los angulos de Euler y de sus derivadas la condicioncinematica de no deslizamiento. x1 y1

z1

x0

y0

z0

ϕ

ϕ

θ

θ

ψ

ψ

I

C

Ejercicio 3.1.6: Una esfera de radio R (solido S2) rueda y pivota sin deslizar sobre unplano fijo Ox1y1. Sean (x, y, R) las coordenadas de su centro en dichos ejes. Expresar lacondicion cinematica de no deslizamiento en funcion de las coordenadas, de los angulosde Euler de la esfera, y de sus derivadas.

Ejercicio 3.1.7: En la pelıcula 2001: Una odisea del espacio, sepresenta un sistema para crear gravedad artificial en una astronave.Se trata de un cilindro girando alrededor de su eje, y los astronautasviven en la superficie interior. La fuerza centrıfuga proporciona unasensacion de gravedad.

Suponiendo un radio de 10m, calcular la velocidad angulardel cilindro en rpm para obtener una gravedad de 0,1g.

Sea un caso generico con un cilindro de radio R girando convelocidad angular ω. Un astronauta corre por la superficieinterior del cilindro con velocidad constante en el mismo sen-tido de la rotacion. Calcular la gravedad que experimenta (sepuede despreciar la altura del astronauta frente al radio delcilindro.

Supongase ahora que corre en sentido opuesto a la rotacion.¿A que velocidad empezarıa a flotar?

Problema 3.1.1: La rueda de un ferrocarril de radio r se mueve rodando sin deslizar


sobre un raıl que traza una circunferencia de radio R en el plano horizontal. El plano quedefine la rueda es en todo momento tangente al raıl y perpendicular al plano horizontal.Supongamos que el centro geometrico O de la rueda se mueve con una velocidad demodulo constante (v0). Consideremos un sistema de referencia S0 ligado al movimiento dela rueda: su origen esta en el centro de la rueda, el eje Z0 es perpendicular a su superficie,Y0 es vertical y X0 es perpendicular a los dos anteriores. Utilizar coordenadas cartesianasreferidas a estos ejes para responder a las siguientes preguntas:

1) Velocidad angular y aceleracion angular de larueda respecto al sistema de referencia S0 y res-pecto a otro fijo en la vıa. (7 puntos)

2) Velocidad y aceleracion del punto mas alto dela rueda respecto al sistema de referencia S0 yrespecto al fijo en la vıa. (7 puntos)

3) Eje instantaneo de rotacion y mınimo desliza-miento de la rueda, ası como su velocidad demınimo deslizamiento. (6 puntos)

R

r

O

Z0X0

Problema 3.1.2: Un proyectil cilındrico gira con velocidad angular constante Ω alrede-dor de su eje. A su vez, el centro geometrico O del cilindro describe, respecto a un sistemade referencia absoluto S1, una trayectoria plana que es tangente en todo momento al ejedel cilindro.Definimos un sistema de referencia S0 asociado al movimientodel proyectil: esta centrado en el punto O de forma que el ejeXO coincide con el eje de simetrıa del cilindro. El eje YO esta entodo momento contenido en el plano del movimiento del centrodel cilindro, y es perpendicular a la trayectoria que describe elpunto O. Finalmente ZO se define de forma que el sistema deejes esta orientado positivamente (a derechas). Estudiaremosdos casos:

O

XO

YO

O1 X1

Y1

Ω

1) El punto O describe una circunferencia de radio R con velocidad de modulo cons-tante v0. Expresar en el sistema de ejes SO:

a) Velocidad y aceleracion angular absolutas del proyectil (7/20).

b) Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento. Velocidad de mınimo des-lizamiento (6/20).

2) El punto O describe la trayectoria correspondiente a un tiro parabolico de angulo45 sobre la horizontal y velocidad inicial v0, sometido a un valor arbitrario g de laaceleracion de la gravedad. Expresar en el sistema de ejes SO:

c) Velocidad angular absoluta del proyectil en el punto mas alto de la trayectoria(7/20).

Problema 3.1.3: Un disco de radio R gira sobre el plano horizontal con velocidad an-gular constante Ω alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Lo ejes dibujadosen la figura pertenecen a un sistema de referencia S0 solidario al movimiento del disco.Sobre el disco hay dos barras, AB y CD, con las siguientes propiedades:


Durante el movimiento del disco ambas barras permane-cen en el plano Y0Z0.

La barra AB tiene una longitud 2R y su extremo Aesta unido al borde del disco.

La barra CD tiene una longitud R. Gira con velocidadangular constante 2ω en el plano Y0Z0 de forma que suextremo C permanece fijo en el centro del disco y el ex-tremo D desliza a lo largo de la barra AB mediante unacorredera.

Se pide calcular:

RA

B

C

D

X0

Y0

Z0

2ωθ

1) Velocidad angular de la barra AB relativa al sistema de referencia S0 ligado al disco(4 puntos).

2) Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento de la barra AB respecto alsistema de referencia absoluto. Hallar la velocidad de deslizamiento (4 puntos).

3) Velocidad y aceleracion del punto B relativas al sistema S0. Velocidad y aceleracionabsolutas del punto B (2 puntos).

Problema 3.1.4: Se quiere estudiar el movi-miento de las helices durante el despegue y tran-sicion a vuelo horizontal de la aeronave de ro-tores pivotantes Osprey. Para simplificar se su-pondra que los rotores son solidos rıgidos, quegiran con velocidad angular constante respecto aejes ligados a la barquilla, ωri0 el derecho y −ωri0el izquierdo. Inicialmente los motores estan verti-cales (θ = π/2), y se van inclinando hasta alinear-se con el eje longitudinal del aparato Ox1, segununa ley conocida θ(t).

xT

zT

OT

x1

z1

O

x0θ

Los ejes ligados al aparato, Ox1y1z1 se mantienen siempre paralelos a los fijos en tierra,y a todos los efectos se consideraran como fijos. Se conoce OA = a, AB = b y BC = R.Todos los resultados se proyectaran en los ejes 0.

Se pide:

1. Velocidad angular absoluta del rotor derecho (solido 2), ω21, proyectada en los ejesOx0y0z0 solidarios a las barquillas de los motores, en funcion de ωr y las derivadasde θ.

2. Aceleracion angular absoluta de este rotor, α21.

3. En el instante inicial, aceleracion respecto al sistema fijo 1 (ejes aparato) del extre-mo C de la pala, que en ese momento se encuentra en (b, a + R, 0), aplicando lasexpresiones del campo de aceleraciones del solido 2.

4. Calcular esa misma aceleracion ~aC21

mediante la composicion de movimientos 2/0 +0/1, y comprobar que se obtiene la misma expresion.


ωr

−ωr

x0

z0

x1

y1 ≡ y0

z1

O

A

B

C

θ

θ

1 Usando la composicion de velocidades angulares:

ω21 = ω20 + ω01 ⇒ ω21 = ωr i0 + θ j0

2 Para obtener la aceleracion angular, hay que tener en cuenta que los ejes S0 sonmoviles:

ω21|1 = ω21|0 + ω01 ∧ ω21 =

0

θ0

+

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ 0

ωr θ 0

∣∣∣∣∣∣

⇒ α21 =

0

θ

−θωr

3 Para aplicar el campo de aceleraciones, hay que buscar un punto del solido 2 cuyomovimiento sea conocido. Como el eje se mueve con el sistema S0, cualquier punto del ejeservirıa, como A o B:1

Es posible calcular la aceleracion de C basandose en el punto O, pero entonces hayque calcular la aceleracion ~a0

21, con lo que no ganamos nada porque es tan difıcil como la

de C. Por eso es mejor apoyarse en B o A, que estan fijas en S0.

~aC21

=

a︷︸︸︷

~aB21

+

b︷︸︸︷

ω21 ∧BC+

c︷︸︸︷

ω21 ∧ (ω21 ∧BC)

1Un error grave es apoyarse en el punto O para el movimiento del rotor: ~aC21

= ~a021

+ . . . , y afirmarluego que ~a0

21= 0. O es un punto fijo de los sistemas S1 y S0, pero no del rotor: este se fija a S0 en B.

Un punto del rotor que pasara por O —eso es lo que significa ~aO21— tendrıa aceleracion porque estarıa

girando alrededor de AB, que a su vez gira. Decir que ~a021

= 0 equivaldrıa a fijar un extremo del rotoren O y hacerlo girar alrededor de este punto, lo que es absurdo.


a) ~aB21

≡ ~aB01

=~aO01+ ω01 ∧OB+ ω01 ∧ (ω01 ∧OB) =

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ 0b a 0

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ 0

0 0 −bθ

∣∣∣∣∣∣

=

−b θ20

−b θ

b)

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ −θ ωr

0 R 0

∣∣∣∣∣∣

=

R θ ωr

00

c) ω01 ∧

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

ωr θ 00 R 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

ωr θ 00 0 Rωr

∣∣∣∣∣∣

=

Rωr θ−Rω2

r

0

⇒ ~aC20

=

2R θ ωr − b θ2

−Rω2

r

−b θ

Aquı se ha tomado B, pero serıa mas sencillo tomando A, que es un punto fijo de lossistemas S0 y S1, por lo que ~aA

21= 0.

4 Aplicando la composicion de aceleraciones:

~aC21

=

relativa︷︸︸︷

~aC20

+

arrastre︷︸︸︷

~aC01

+

Coriolis︷︸︸︷

2ω01 ∧ vC20

r) ~aC20

=~aB20+ω20 ∧BC+ ω20 ∧ (ω20 ∧BC) =

0−Rω2

r

0

a) ~aC01

=~aO01+ ω01 ∧OC + ω01 ∧ (ω01 ∧OC) =

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ 0b a+R 0

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ 0

0 0 −bθ

∣∣∣∣∣∣

=

−b θ20

−b θ

C) 2

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 θ 00 0 Rωr

∣∣∣∣∣∣

=

2Rωr θ00

⇒ ~aC20

=

2R θ ωr − b θ2

−Rω2

r

−b θ

Problema 3.1.5: Un vehıculo rectangular (solido 0), de 4R de largo y 2R de ancho, tienecuatro ruedas de radio R en los vertices. Todas estan contenidas en planos verticales, yruedan y pivotan sin deslizar sobre el plano horizontal O5x5y5. Las dos delanteras (1 y2) son directrices y sus planos forman angulos φ1 y φ2 con Ox0z0. Las dos traseras (3 y4) son motrices y sus planos estan fijos respecto a 0. Para que no deslicen en las curvas,el motor las mueve a traves de un diferencial, de modo que sus velocidades angulares derodadura cumplen la relacion ωr

45+ ωr

35= 2ω, siendo ω constante. Se pide:

1. Determinar φ2 en funcion de φ1 para que el movimiento 0/5 sea posible.

2. Determinar ωr45, ωr

35y la velocidad angular del vehıculo en funcion de ω y φ1.

3. En el caso tanφ1 = 2, hallar razonadamente la base y ruleta del movimiento delvehıculo y la trayectoria de O (punto medio del eje trasero). En el instante inicial,O esta sobre O5 y los ejes tienen las mismas direcciones.

Con las mismas condiciones iniciales, y manteniendo ω constante, el vehıculo se muevede modo que O recorre el arco de cicloide x = R(1− cosu), y = R(u− sin u), u ∈ [0, 2π].Se pide:

4. Determinar la ley horaria u = u(t).

5. Hallar la ley de mando de la rueda, φ1(t), para que O recorra dicha trayectoria.


Ox

yx

y

O1

2

3

4

ψ

φ

φ

5

5

5

1

20

0

1 Al mantenerse el plano de cada rueda vertical, la velocidad angularde rodadura tiene que ser normal a este plano, y la velocidad del centro—que esta unido al vehıculo— sera horizontal y contenida en el plano:vCi5 = ωr

i5R.Para que el vehıculo se mueva como un solido, el Centro Instantaneo deRotacion tiene que estar en la normal a las velocidades de los vertices, ypor tanto a los planos de las ruedas:

v

ω

c

r

D

CIR φφ

φφ

12

12

tanφ1 =4R

D⇒ D =

4R

tanφ1

tanφ2 =4R

D − 2R⇒ tanφ2 =

4R4R

tanφ1

− 2R⇒

tanφ2 =2 tanφ1

2− tanφ1

Tambien se podrıa llegar a este resultado planteando las ecuaciones del movimientode los centros de las ruedas —en las 9 coordenadas generalizadas del sistema— lo quedarıa lugar a 8 ecuaciones. Dos son iguales por la ligadura redundante de que las ruedas3 y 4 no deslicen en la direccion y0. Estas 7 ecuaciones independientes, mas la condiciondel enunciado, se pueden usar para obtener φ2 = f(φ1). Obviamente, esto es mucho maslargo y complejo, se calculan cosas que no se piden (ni se puntuan), y se multiplica laposibilidad de equivocarse.

2 Por ser parte del solido, los centros de las ruedas 3 y 4 tienen que cumplir:

vC3

35= vC3

05⇒ ωr

35R = ψ(D − 2R)

vC4

45= vC4

05⇒ ωr

45R = ψD

ωr35

ωr45

=D − 2R

D=

4Rtanφ1

− 2R4R

tan φ1

ωr35

= ωr45

2− tanφ1

2⇒ ωr

45+ ωr

45

2− tanφ1

2= 2ω

ωr45

(2 + 2− tanφ1

2

)

= 2ω ⇒ ωr45

=4ω

4− tanφ1

ωr35

=4ω

4− tanφ1

2− tanφ1

2⇒ ωr

35=

2ω(2− tanφ1)

4− tanφ1

ψD = ωr4R ⇒ ψ =

ω tanφ1

4− tanφ1


3 Cuando φ1 es constante, el C.I.R. es un punto fijo del eje trasero —y por tanto,tambien del plano fijo: si la ruleta es un punto, la base tambien tiene que serlo— y elvehıculo gira alrededor de el. en este caso, siendo tanφ1 = 2, el C.I.R. es el centro de larueda 3.

Base y ruleta: el centro de la rueda 3 (axoides: eje vertical que pasa por ese punto)

Trayectoria de O: circunferencia de radio R y centro el de la rueda 3

4 Conocida la trayectoria de O, hay que hallar su velocidad. Basandose en el campode velocidades del solido:

vO05

= ψ(D − R) =ω tanφ1

4− tanφ1

(4R

tanφ1

−R

)

= ωR

De la ecuacion de la trayectoria: vO05

=√

x2 + y2.

x = R sin uuy = R(1− cos u)u

⇒ vO05

= Ru√

1− 2 cosu+ cos2 u+ sin2 u =

R u√2− 2 cosu = 2R u

√

1− cosu

2= 2R u sin

u

2= ωR

Que se integra sin dificultad:

ωt = −4 cosu

2+ C

Notese que, en el intervalo pedido, u ∈ [0, 2π], sin u2es siempre positivo y no hay que

preocuparse por el signo. Si recorriera otro arco, habrıa que ajustar el signo de la raız—pues el modulo de la velocidad es siempre positivo— de modo que se tomara − sin u

2

cuando el seno sea negativo.

Como O esta en el origen en t = 0, x = 0, y = 0, u = 0, y se tiene:

cosu

2= 1− ωt

4u ∈ [0, 2π] , t ∈ [0, 8/ω]

Si recorriera otro arco, habrıa que integrar con el nuevo signo, y ajustar las condicionesiniciales al comienzo del segundo arco.

5 Conocidas las ecuaciones horarias, se puede hallar ψ en funcion de t, que da inme-diatamente φ1(t):

tanψ =y

x=

1− cosu

sin u=

1−(2 cos2 u

2− 1

)

2 cos u2sin u

2

=sin2 u

2

sin u2cos u

2

= tanu

2⇒ ψ =

u

2;

ψ =u

2=

ω

4 sin u2

=ω

4√

1−(1− ωt

4

)2=

ω tanφ1

4− tanφ1

⇒

tanφ1 =1

4+

√

1−(

1− ωt

4

)2


Problema 3.1.6: Un sistema material (un raton de bola) esta apoyado sobre el planofijo O1x1y1 y consta de:

Un paralelepıpedo (S0) que se apoya ydesliza sobre el plano fijo; lleva asocia-do el sistema Oxyz de ejes paralelos alos lados.

Una esfera de radio R (S2) cuyo centroesta fijo en el punto O de S0; rueda ypivota sin deslizar sobre el plano fijo.

Dos discos de radio r (S3 y S4) que pue-den girar libremente alrededor de ejesfijos en S0; sus centros son (R+r, 0, 0)0y (0, R + r, 0)0, respectivamente, y susvelocidades angulares relativas ω30 =(0, α, 0) y ω40 = (β, 0, 0); estan en con-tacto sin deslizamiento con la esfera enlos puntos A y B respectivamente.

x1

y1

z1

b

x

y

z

O

αβ

θ(ξ, η, 0)

x

z

OAα

y

z

OB

β

Se usaran: (ξ, η), coordenadas en ejes fijos de la proyeccion de O; θ, angulo entreO1x1 y una paralela a Ox; angulos α y β girados por los discos S3 y S4 alrededor desus respectivos ejes (ver figuras); velocidad angular absoluta de la esfera, proyectada enejes S0: ω21 = (ωx, ωy, ωz)0. Los resultados se proyectaran en ejes S0, salvo los que pordefinicion exigen otros. Se pide:

1. Ecuaciones de la ligadura de no deslizamiento de la esfera sobre el plano fijo, pro-yectadas en ejes S0.

2. Expresar las componentes de la velocidad angular ω21 en funcion de α, β y θ.

3. A continuacion se estudia un movimiento particular: Se coloca O sobre el eje O1z1,con los ejes S0 paralelos a los fijos, y se mueve el raton de modo que vO

01= ΩR i1 y

θ = Ω, ambos constantes. Calcular ω21(t).

4. Ecuaciones parametricas de la axoide fija de la esfera, rAF (t, λ)

5. Identificar que superficie es.

6. Por razonamientos geometricos, identificar la axoide movil.

7. Obtener α(t) y β(t), suponiendo que ambas sean nulas en t = 0.

8. Calcular la aceleracion angular relativa de la esfera, ω20.

1 El punto mas bajo de la esfera tiene velocidad nula. La proyeccion de O (que es

siempre el centro de la esfera) tiene coordenadas (ξ, η, 0) en ejes fijos. Por tanto, aplicandoel campo de velocidades del solido,

vI21

=

000

1

= vO21+ ω21 ∧OI =

ξη0

1

+

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

ωx ωy ωz

0 0 −R

∣∣∣∣∣∣

=

=

ξ cos θ + η sin θ

−ξ sin θ + η cos θ0

0

+

−Rωy

+Rωx

0

0

⇒ Rωy = ξ cos θ + η sin θ

Rωx = ξ sin θ − η cos θ

Se llegarıa al mismo resultado basandose en el punto I de velocidad nula:

vO21

=vI21+ ω21 ∧ IO


2 Para relacionar el giro de la bola con los de los discos, tenemos las ecuaciones delcontacto sin deslizamiento en A y B. Notese que se da la velocidad angular de la bolarespecto a S1, y de los discos respecto a S0, por lo que hay que aplicar composicion demovimientos en una u otra direccion. Es mas facil considerar los movimientos respecto aS0, porque todos los solidos tienen un punto fijo:

vA20

= vA30

vB20

= vB40

ω20 = ω21 − ω01 = (ωx, ωy, ωz)− (0, 0, θ)

vA20

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

ωx ωy ωz − θR 0 0

∣∣∣∣∣∣

=

0

R(ωz − θ)−Rωy

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 α 0−r 0 0

∣∣∣∣∣∣

=

00rα

⇒ ωy = − r

Rα

ωz = θ

vB20

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

ωx ωy ωz − θ0 R 0

∣∣∣∣∣∣

=

−R(ωz − θ)0

Rωx

=

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

β 0 00 −r 0

∣∣∣∣∣∣

=

00

−rβ

⇒ ωx = − r

Rβ

3 Sustituyendo los datos del enunciado en las ecuaciones de la P2 y en la ωz de P3, conla condicion inicial θ0 = 0 , se obtiene directamente:

ξ = ΩR, η = 0, θ = Ω ⇒ ω21 = Ω(sin Ω t, cosΩ t, 1)

4 La axoide fija esta proyectada en ejes fijos por definicion. Proyecta-mos la velocidad angular en ejes fijos:

ω21 = Ω

sinΩ tcosΩ t

1

0

= Ω

011

1

y queda un vector de direccion constante. Tenemos la velocidad de unpunto de coordenadas conocidas (O) y la velocidad angular: podemosaplicar la ecuacion de la Axoide Fija:

rAF = rO +ω21 ∧ vO

21

ω2

21

+ λω21

El unico vector que falta es rO, que se obtiene integrando trivialmentesu velocidad: (RΩ t, 0, R). No hay mas que sustituir y operar. Tambiense puede obtener directamente: conocemos un punto de velocidad nula(el de contacto de la bola I, justo debajo de O) y la direccion del EIR,que es la velocidad angular. Podemos escribir directamente la ecuacion:

rI + λω21 = (RΩ t, 0, 0) + λΩ (0, 1, 1) = rAF = Ω(R t, λ, λ)

5 Un vector de direccion fija (0, 1, 1) se desplaza por el eje O1x1: setrata de un plano que contiene al eje O1x1 y al punto (0, 1, 1).

Ω t

Ω t

Ω

x1

y1

z1

b

b

ω

O

I


6 Para estudiar como se mueve el EIR respecto a la esfera (AxoideMovil), lo mas conveniente es tomar unos ejes paralelos a los fijos conorigen en O. En esos ejes, O es un punto fijo, y la esfera gira alrededorde un eje de direccion fija en el espacio (la de ω21). El EIR pasa por I,que esta a una distancia R/

√2, y se ve girar alrededor del eje paralelo

que pasa por O: describe un cilindro de centro O, eje de direccion(0, 1, 1) (en ejes fijos), y radio R/

√2, que es la distancia de I al eje.

7 Sustituyendo el valor de ω21 en las relaciones P3,

ωx = Ωsin Ω t = − rRβ

ωy = ΩcosΩ t = − rRα

⇒ α = −RrsinΩ t

β = Rr(cosΩ t− 1)

x1

y1

z1

b

b

ω

O

I

8 Obtenida en P3 la velocidad angular relativa, proyectada en ejes S0, no hay mas quederivar:

ω20 = Ω

sinΩ tcosΩ t

0

α20 =

dω20

dt

∣∣∣∣0

= α20 = Ω2

cosΩ t− sinΩ t

0

Problema 3.1.7: Una esfera de radio a rueda y pivota sin deslizar por el interior de unasuperficie conica de revolucion de eje Oz1 y semiangulo conico 60o. El centro C de la esferadescribe, con velocidad angular ω constante, una circunferencia de radio a contenida enun plano perpendicular a Oz1 y con centro sobre este eje. Una figura representa la vistageneral del sistema y la otra es un corte por el plano auxiliar xOz que contiene el centrode la esfera y que gira alrededor de Oz en el curso del movimiento con velocidad angularω. Se pide:

1. Demostrar que con las condiciones impuestas, el vector velocidad angular de laesfera Ω ha de quedar contenido en el plano xOz. En lo sucesivo supondremosque la relacion entre las velocidades de rodadura y de pivotamiento se mantieneconstante a lo largo del movimiento.

2. Demostrar que con esta nueva condicion el eje instantaneo de rotacion de la esferacorta a Oz1 en un punto fijo.

3. Determinar las superficies axoides y la velocidad angular Ω en los siguientes movi-mientos particulares:

a) Cuando en todo momento la velocidad de pivotamiento es nula.

b) Cuando la axoide fija se reduce a un plano.

c) Cuando el movimiento de la esfera es un movimiento plano.

d) Cuando el punto de tangencia H de la esfera y el eje Oz1 se mantiene fijo.

4. Calcular dΩ/dt en el movimiento particular a).

5. calcular la aceleracion de H en este caso particular.


Problema 3.1.8: El sistema material de la figura esta constituido por:

a) Un cono circular recto (Solido 1) fijo en el espacio de semiangulo en el vertice 30o,radio de la base R y eje vertical Oz1.

b) Un cilindro circular recto (Solido 2) movil de altura R y radio de la base R/2.

El cilindro rueda, pivota y desliza sobre la superficie exterior del cono de forma queen todo momento tienen una generatriz comun. Se sabe que la generatriz de contactocilindro/cono gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz1, y que la baseinferior del cilindro rueda sin deslizar sobre la base del cono.

En el movimiento cilindro/cono descrito se pide:

1. Eje instantaneo de rotacion y deslizamiento.

2. Velocidad angular.

3. Velocidad angular de rodadura y pivotamiento.

4. Axoides fija y movil.

5. Aceleracion angular.

6. Velocidad del punto M situado en la base superior del cilindro segun se indica.

Nota: todos los calculos deben realizarse en los ejes Ox0y0z0 que se indican en la figura yque en todo momento acompanan a la generatriz de contacto cilindro/cono.

Problema 3.1.9: Se considera el sistema material constituido por:

a) Una esfera E, de centro O1 y radio R (solido 3) cuyo movimiento respecto a unsistema fijo (solido 1) es una rotacion pura de valor ω constante alrededor de undiametro vertical AB.

b) Un plano horizontal π (solido 4) cuyo movimiento respecto al solido 1 es tambienuna rotacion pura de valor Ω constante alrededor de la vertical AB. Dicho planoesta situado a una distancia 2R por debajo del centro O1 de la esfera E.

c) Un cono circular recto C (solido 2) de vertice el punto O (interseccion de la rectaAB y el plano π), que rueda sin deslizar por el exterior de la esfera y por la carasuperior del plano π.


En la figura se representa la seccion meridiana del sistema material considerado. Losejes Ox0y0z0 estan ligados a dicha seccion y deben utilizarse para el calculo de todas lasmagnitudes vectoriales que intervienen en el problema.

Se pide:

1. Velocidad angular absoluta del eje del cono.

2. Velocidad angular absoluta del movimiento absoluto del cono.

3. Axoides fija y movil del movimiento absoluto del cono.

4. Aceleracion angular absoluta del cono.

Para el caso en que Ω = −ω/2.

5. ¿Cuales son las superficies axoides?

6. Aceleracion del punto M del cono en contacto con la esfera.

Problema 3.1.10: Un diferencial de automovil esta formado por dos conos iguales (soli-dos 1 y 2) de eje comun y semiangulo en el vertice de 30o. Dichos conos pueden girarlibremente alrededor de su eje con movimientos independientes.El tercer cono (solido 3) de semiangulo en el vertice de 60o,puede moverse sobre los conos anteriores girando alrededor desu eje OE3 y rodando sin deslizar sobre las generatrices decontacto con los conos 1 y 2.El eje del cono 3, OE3, es un radio fijo de una corona circular(solido 4) cuyo plano es constantemente perpendicular al eje delos conos 1 y 2, y a la que se comunica una velocidad angularconstante Ω4.Si la velocidad angular del cono 1 es Ω1, se pide:

1. Velocidades angulares ω30 y ω20.

2. Eje instantaneo de rotacion en el movimiento del solido 3.

3. Axoides fija y movil del movimiento anterior.

4. Para una velocidad angular Ω4 dada, ¿que valor debe tomar Ω1 para que el modulode ω34 sea mınimo? ¿Cual sera en ese caso la velocidad angular ω20?


5. Representar graficamente ω20 en funcion de Ω1 para una Ω4 dada y determinar elvalor de Ω1 que hace maxima la rotacion de ω20.

Problema 3.1.11: Un disco infinitamente delgado (solido 2), de radio R, rueda y pivotasin deslizar sobre un plano fijo Ox1y1 (solido 1). Sea I el punto de contacto del disco yel plano. Para especificar su configuracion se usaran: ξ, η coordenadas en ejes 1 de laproyeccion del centro del disco C sobre el plano; ψ, θ y ϕ, angulos de precesion, nutaciony rotacion propia del disco, respectivamente. Los resultados se proyectaran en los ejesauxiliares Ix0y0z0 (solido 0), con origen en el punto de contacto y girado el angulo deprecesion respecto a S1. Para el caso general, se pide:

1. Velocidad angular del disco en funcion de los angulos de Euler y sus derivadas.

2. Obtener ξ y η en funcion de los angulos de Euler y sus derivadas.

Del movimiento del disco se sabe que la axoide fija es un cono circular con centro enel origen, eje Oz1, radio de la base R, y semiangulo en el vertice 30o. En el instante inicialel punto I esta sobre el eje Oy1. La proyeccion de C se mueve sobre el plano con velocidadde modulo constante ωR

(1 +

√3/2

). Para este movimiento, se pide:

3. Basandose en las propiedades de las axoides, deducir razonadamente:

a) Direccion del vector velocidad angular en el momento inicial

b) Axoide movil

c) Valores de los angulos de Euler en el momento inicial.

4. Velocidad angular del disco.

5. Aceleracion angular del disco

ψ

ϕ

I

Cθ θ

x1

y1

z1

x0 ≡ x3

y0

z0 y3

z3

y1

z1

IO

➊ La velocidad angular en funcion de los angulos de Euler se obtiene directamente;usando los ejes de la figura:

ω21 = ω23 + ω30 + ω01 = ϕk3 + θ i0 + ψ k1 =

θ−ϕ sin θ

ψ + ϕ cos θ

0

➋ El disco esta siempre en contacto con el plano: con las coordenadas del enunciado, estoequivale a la ligadura geometrica

zC = ζ = R sin θ


Al derivarla se obtiene la velocidad vertical del centro:

zC = ζ = R cos θ θ

Para expresar la condicion de no deslizamiento, podemos usar el campo de velocidadesdel disco:

vI21

= 0 = vC21+ ω21 ∧CI

donde vC21

y ω21 son conocidas en funcion de las coordenadas y de la ligadura. Tambiense puede escribir en la forma

vC21

=

ξη

ζ

1

=vI21+ ω21 ∧ IC =

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

θ −ϕ sin θ ψ + ϕ cos θ0 R cos θ R sin θ

∣∣∣∣∣∣

=

−Rϕ− Rψ cos θ

−Rθ sin θ

Rθ cos θ

0

La tercera es la misma ligadura geometrica, ya derivada. Las otras dos se pueden proyectaren ejes 1, para obtener ξ y η

ξ = R[

−(

ϕ+ ψ cos θ)

cosψ + θ sin θ sinψ]

η = R[

−(

ϕ+ ψ cos θ)

sinψ − θ sin θ cosψ]

o en ejes 0, que parece mas simple para usarla mas adelante:

−R(

ϕ+ ψ cos θ)

= ξ cosψ + η sinψ

−Rθ sin θ = −ξ sinψ + η cosψ

➌ Movimiento del disco:

a Direccion del vector velocidad angular en el instante inicial: Elpunto de contacto en t = 0 esta sobre la base de la AF, en (0, a, 0);por tanto, la direccion de la velocidad angular es la del E.I.R. enese punto, es decir, la generatriz del cono:

ω21

∣∣0= λ

(

0,−1

2,√3

2

)x1

y1

z1

ω21

b Axoide movil: Del movimiento del disco sabemos:

Rueda sin deslizar: el punto de contacto tiene velocidad nula(mınima) y pertenece al eje; por tanto:

La axoide movil se apoya en la periferia del disco.

La axoide fija se apoya en una curva del plano, lugar geometri-co de los puntos que han estado en contacto con el disco.

Las dos curvas tienen tangente comun: por plano tangentecomun de los dos solidos, o por trayectoria del seguidor delEIR como punto independiente.

bbb

b

bb b b

bb

b

b

x1 y1

z1

dd d

d′


La axoide fija es un cono: la movil tiene que ser otro cono (o un plano) con el mismovertice (aristas de retroceso en contacto). Por tanto:

• La axoide movil es otro cono que se apoya en el borde del disco.

• Tiene que ser un cono recto, porque todas las generatrices, del vertice al disco,tienen que tener la misma longitud d que en la fija. Si no, cuando el disco ruedapor la circunferencia base de la axoide fija, los vertices no coincidirıan.

• Serıa un plano si el radio del disco fuera igual a la generatriz del cono fijo, perono es ese nuestro caso, pues lo que son iguales son los radios de las bases.

c Se coloca el disco en el punto inicial, de modoque las axoides esten en contacto sobre la gene-ratriz. Los angulos son obvios:

ψ = 0 θ =π

3(Cte.) ϕ = arbitrario

x1

z1

x0 ≡ x3

y0 ≡ y1

z0

y3

z3

θ

➍ Velocidad angular: conocemos la direccion de la veloci-dad angular en un punto arbitrario, y la velocidad de C. Elenunciado habla de la proyeccion, pero visto que θ es cons-tante, es la misma velocidad de C. Aplicamos el campo develocidades:

vC21

= ω21 ∧ IC =

=

−ωR(

1 +√3

2

)

00

= λ

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 −1

2

√3

2

0√3

2R 1

2R

∣∣∣∣∣∣

x1

y1

z1

ω21

x0 ≡ x3

y0

z0

y3

z3

vC

θ

−ωR(

1 +√3

2

)

= −λR√3

2⇒ ω21 = ω

(

1 +2√3

)

0−1

2√3

2

Tambien se podrıa obtener por composicion de velocidades angulares: de la velocidad de Cse deduce que ω01 = ω k0, y la velocidad angular relativa tiene la direccion del eje del cono.

➎ Aceleracion angular: la velocidad angular es constante en ejes 0; por tanto,

ω21

∣∣1=

ω21

∣∣0+ ω01 ∧ ω21 ⇒ ω21 =

ω2√3

18

(

2 +√3)2

i0

Otros caminos:

Se ha obtenido la axoide movil basandose en las propiedades de las axoides desarrolla-bles. Hay otras lıneas de razonamiento, todas basadas en las propiedades del movimientode solidos en contacto; por ejemplo:

Como el punto de contacto del disco tiene velocidad nula, es siempre parte del EIR.

La periferia del disco rueda sin deslizar por la circunferencia base del cono, lugargeometrico de los cortes del EIR con el plano.


Al rodar una circunferencia sobre otra, tienen la tangente comun, precisamente eleje Ix0. La proyeccion de la velocidad angular sobre ese eje es la de nutacion θ.

La velocidad angular tiene la direccion de la generatriz, y por tanto es normal a Ix0,θ = 0 y el angulo de nutacion es constante.

Si θ es constante, el eje del disco —que tiene que estar contenido en el plano me-ridiano OIz1 por la tangencia de las circunferencias— corta siempre al eje Oz1 enun punto fijo, que va a tener velocidad nula: es un punto fijo para el disco y elplano intermedio Iy0z0. Si tiene velocidad nula, es parte del EIR y tiene que sernecesariamente el vertice de la AF; de ahı se deduce que la axoide movil es un conode vertice ese punto y base la periferia del disco.

Problema 3.1.12: Una esfera de radio a ycentro C (S2) rueda y pivota sin deslizar so-bre un cilindro circular fijo de radio R (S1).El punto de contacto M recorre sobre el ci-lindro la helice

R (cos θ i1 + sin θ j1 + θ tanα k1)

con velocidad Rω. Sobre la esfera recorre unacircunferencia de radio a cos β. De las dos po-siciones posibles, la circunferencia queda porencima del centro C.En la resolucion convendra usar los ejes inter-medios Mx0y0z0 asociados a las coordenadascilındricas del punto de contacto. Salvo quealgun resultado exija otra cosa, las solucionesvectoriales se proyectaran en estos ejes.Se pide:

x

y

z

x0

y0

z0

bb

θ

M

C

b bβ

C

M

1. Velocidad angular de Mx0y0z0.

2. Eje instantaneo de rotacion del movimiento 2/0.

3. Modulo de la velocidad angular ω20.

4. Aceleracion angular absoluta α21

5. Axoide fija del movimiento 2/1.

1 Los ejesMx0y0z0 son los mismos que los de las cilındri-cas de M : ur, uθ, uz, que por definicion estan girados unangulo θ respecto a los fijos. Por tanto, su velocidad angu-lar sera (0, 0, θ). Se obtiene facilmente de la velocidad deM (dato).

vM01

= rM =

r

rθz

rθz

=

0

Rθ

Rθ tanα

= Rω

0cosαsinα

θ = ω cosα ⇒ ω01 = (0, 0, ω cosα) xy

z

x0

y0

z0

b

θ

M

vM01

2 Para obtener el EIR20 tenemos que situar correctamente la esfera. Tenemos dos datos:


Contacto entre la esfera y el cilindro: La normal comun es el eje Mx0. El centro dela esfera esta a un radio, y por tanto es un punto fijo en ejes S0: (a, 0, 0).

Trayectoria de M sobre la esfera: M recorre la helice sobre el cilindro, y una cir-cunferencia de radio a cos β sobre la esfera. Como no hay deslizamiento, las recorrecon la misma velocidad, vM

01= vM

02, que determina la tangente comun a las dos

curvas. Para situar la circunferencia, tendremos que dar:

• Giro α alrededor de Mx0 para que las dos tangentes coincidan

• Giro β alrededor de la tangente comun (velocidad de M) para situar la circun-ferencia de radio a cos β respecto a un cırculo maximo.

Con esto podemos definir el movimiento 2/0:

Es un giro alrededor del punto fijo C

En el movimiento 0/2, el puntoM independiente re-corre sobre la esfera la circunferencia de radio a cos β;en el movimiento 2/0, los puntos de la esfera que vana ser punto de contacto recorren esa misma circun-ferencia.

Por tanto, el movimiento 2/0 es un giro alrededor de uneje normal a la circunferencia y que pasa por C. El ejeinstantaneo 2/0 sera

EIR2/0 =

a00

+ λ

− sin β− cos β sinαcos β cosα

αβ

x0

y0

z0

bb

bC

M

3 El punto independiente M , en el movimiento 0/2, recorre sobre la esfera la circunfe-rencia de la figura. En el movimiento inverso, el 2/0, los puntos de la circunferencia vanpasando por el origen M de S0 con una velocidad igual y de sentido contrario. Como yaconocemos la direccion del EIR20, el modulo de la velocidad angular se calcula mediantela expresion del campo de velocidades 2/0:

vM20

= −vM02

= −Rω

0cosαsinα

= Ω

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

− sin β − cos β sinα cos β cosα−a 0 0

∣∣∣∣∣∣

→ Ω =Rω

a cos β

4 La velocidad angular es conocida, pues hemos calculado ω01 y ω20. Es constante enejes moviles S0:

ω21

∣∣1=

ω21

∣∣0+ ω01 ∧ (ω01 + ω20) = α21 = α20 =

Rω2 cosα

a(sinα,− tanβ, 0)

5 La Axoide Fija se obtiene sin problemas: conocemos un punto de velocidad nula, M ,y la direccion de la velocidad angular. Lo unico necesario es proyectar el vector velocidadangular, que conocemos en ejes S0, en los ejes fijos S1. Y tampoco completa, pues lacomponente ω01 ya esta en los ejes adecuados. Como los ejes S0 han girado un angulo θ,se tiene:

AF21 = rM + λ cosα

001

+ λ

R

a

− tan β cos θ + sinα sin θ− tan β sin θ − sinα cos θ

cosα


Problema 3.1.13: Una esfera de radio a se mueve sobre un cilindro circular fijo, de ejevertical y radio R, de manera que:

La esfera rueda sin deslizar sobre el cilindro.

La velocidad angular de la esfera es un vector de modulo ω(t), contenido en el planotangente comun a los dos solidos, y que forma un angulo θ constante con la vertical.

En un instante arbitrario la posicion del punto geometrico de contacto M viene dada porsus coordenadas cilındricas (ψ, z), y su velocidad v forma un angulo α con la horizontal.

Se pide:

1. Trabajando en los ejes auxiliares Mx0y0z0, determinar la condicion de no desliza-miento de la esfera sobre el cilindro, en funcion de ω, θ, α y v.

2. Hallar v y α en funcion de ω y θ. Identificar la trayectoria del punto M sobre el

cilindro para las condiciones iniciales ψ(0) = 0, z(0) = 0, v(0) = v(√

2

2j1 +

√2

2k1

)

.

3. Identificar la trayectoria de M sobre la esfera. Para ello puede ser util introducircomo sistema intermedio el triedro intrınseco de la trayectoria deM sobre el cilindro.

4. Ecuaciones parametricas de la axoide fija. Identificar la axoide movil, sin necesidadde hallar su ecuacion.

5. Aceleracion del punto M considerado como de la esfera en el movimiento absoluto.

6. Se estudia ahora el movimiento de la esfera respecto a unos ejes paralelos a los fijoscon origen en el centro de la esfera: identificar las axoides fija y movil, sin hallar susecuaciones.

3.2. MOVIMIENTO PLANO 35

3.2. Movimiento plano

Ejercicio 3.2.1: En un movimiento plano, una recta del plano movil pasa siempre porun punto fijo O, y un punto de la recta describe una circunferencia que pasa por O. Hallarla base y la ruleta.

Ejercicio 3.2.2: La base de un movimiento es una recta, y un punto del plano movilrecorre otra recta que forma un angulo ϕ con la anterior. Hallar la ruleta.

Ejercicio 3.2.3: En un cuadrilatero plano ABCD, AB =CD = a, BD = AC = b > a, CD es fijo. Hallar la base yla ruleta del movimiento de AB.

Ejercicio 3.2.4: Repetir el ejercicio anterior para el caso b <a.

Ejercicio 3.2.5: En un movimiento plano la base es una recta y un punto del planomovil describe una circunferencia tangente a la base. Hallar la ruleta.

Ejercicio 3.2.6: En un movimiento plano, la base es una recta y un punto describe lacatenaria y = a cosh x

a. Hallar la ruleta.

Ejercicio 3.2.7: En un movimiento plano, una circunferenciadel plano movil pasa siempre por un punto fijo P , y un puntoM de esta circunferencia describe una recta r que pasa por P .

1. Hallar la base y la ruleta del movimiento.

2. Ecuacion del movimiento del punto que tiene trayectoriarectilınea admitiendo que la velocidad de sucesion de loscentros instantaneos es una constante v.

Problema 3.2.1: Los engranajes A, B, C, que aparecen en la figura, estan unidos porun pasador en su centro a la barra ABC. El engranaje A es fijo, mientras que la barraABC gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular ω constante.Sabiendo que en su movimiento los engranajes ruedan sin deslizar sobre sus circunferenciasprimitivas de radios RA > RB > RC , calcular:

1. Velocidad angular del engranaje B en su movimiento absoluto.

2. Base y ruleta del engranaje B en dicho movimiento.

3. Velocidad angular del engranaje C en su movimiento absoluto. ¿Depende del tamanodel engranaje intermedio?

4. Velocidad del engranaje C respecto del engranaje B.

5. Base y ruleta del engranaje C en su movimiento absoluto.

6. Aceleracion lineal del diente del engranaje C situado en cada instante en el puntode tangencia entre las circunferencias primitivas de los engranajes C y B.


Problema 3.2.2: La figura representa un tren de engranajes planetario con los siguienteselementos:

Sol: Rueda de radio 2r que gira respecto de su eje fijo a tierra.

Planetarios: Ruedas de radio r cuyos ejes estan articulados al brazo AB.

Brazo: Barra AB articulada tanto al engranaje sol como a los planetarios. Poseeuna velocidad angular constante ω0 en el sentido de las agujas del reloj.

Corona: Engranaje estatico y concentrico con el sol.

Teniendo en cuenta que durante la transferencia del movimiento rotatorio las ruedasacopladas ruedan sin deslizar, calcular:

1. Velocidad angular de los engranajes planetarios respecto al brazo.

2. Velocidad angular absoluta de los engranajes planetarios.

3. Velocidad angular absoluta del engranaje sol.

4. Velocidad lineal absoluta del punto C del planetario.

5. Aceleracion lineal absoluta del punto C del planetario.

NOTA: se recomienda utilizar los ejes OXY Z ligados al brazo y la numeracion de solidosde la figura.

Problema 3.2.3: Una varilla AB, de longitud 2a, se mueve en un plano, referido a unosejes ortogonales O1X1Y1 de forma que su extremo A describe el eje O1X1 con velocidadconstante v, mientras que la velocidad del extremo B forma con la varilla el mismo anguloque esta forma con el eje O1X1.

3.2. MOVIMIENTO PLANO 37

En el instante inicial la varilla esta situada sobre el eje O1Y1 encontrandose el extremoB en la parte negativa de dicho eje. Se pide:

1. Determinar en funcion del tiempo la velocidad angularde la varilla.

2. Determinar la base y la ruleta correspondientes al movi-miento de la varilla.

3. Determinar el valor maximo de la aceleracion angular dela varilla.

O1

y1

x1v

θ

θA

B

vB

Problema 3.2.4: Consideremos un plano horizontal referido a dos ejes ortogonales Oxy.Sea Oz la vertical que pasa por O. Sobre los ejes Ox, Oy ruedan sin deslizar dos discosiguales A y B de radio R que quedan contenidos respectivamente en los planos Oxz, Oyz.Sean x, y las distancias de los centros de los discos al eje Oz.

Un plano P que se mantiene horizontal en todo momento se apoya en ambos discosrodando y pivotando sobre ellos sin deslizamiento.

El movimiento del disco B viene determinado por la ecuacion

y = a sin ω t

y el disco A vendra obligado por las ligaduras cinematicas que tiene impuestas. Si inicial-mente vale x = a, se pide:

1. Demostrar que la distancia entre los centros de ambos discos se mantiene constantea lo largo del movimiento verificandose la relacion x2 + y2 = a2.

2. Calcular la velocidad angular Ω del plano P .

3. Determinar la base del plano P .

4. Determinar e identificar la trayectoria del punto de P que inicialmente se proyectaen O.

5. Determinar la ruleta del movimiento de P .

cap´ıtulo 3 composicion de movimientos - e.t.s.i.a ... · problema 3.1.1: la rueda de un...

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