PADRE DE LA NANOTECNOLOGIA

Cuaderno de Actividades: Fsica II

2) Movimiento Armnico SimpleTUNQUI SANTI JAVIER ANGEL

2)Movimiento ArmnicoAquel movimiento que es posible describir con funcin armnica.Movimiento ( Armnico: sen, cos

Movimiento peridico complejo admite soluciones armnicas.Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos para descripcin de movimiento peridicos complejos.

Movimiento oscilatorio y peridico en torno a la PE (x (0), la oscilacin esta confinada para A ( x ( A,

Cmo debera ser x (t) (? (

Donde,

w: Frecuencia de oscilacin natural del sistema.w = w(k,m(A, (: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.c.i.:(x (0) ( v (0)(Para la velocidad,

(

Para la aceleracin,

(

Estas ecuaciones tambin se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).La proyeccin del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estara reportando un comportamiento cinemtico idntico al MAS. ii)Descripcin Dinmica del MAS La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posicin, esto es,

, c: depende del sistema

F(x) ( x

-A 0 x A Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma MAS.

F = FR = Fs FRes = FR 2da ley, FR ( ma

a ( ( ( v ( ( ( x ( (FR ( F = -k x ( m

m+kx ( 0

+ ( 0

+ w2x ( 0,

W: frecuencia angular (

A,(: c.i.X: Posicin

ElongacinA: Amplitud

(: DesfasajeCURVA DE ENERGA POTENCIAL

La funcinEp=m2x2/2 representa una parbola cuyo vrtice est en el origen, que tiene un mnimo enx=0 cuyo valor esEp=0.Las regin donde se puede mover la partcula est determinada por la condicin de que la energa cintica ha de ser mayor o igual a cero Ek >=0. En otras palabras, que la energa total sea mayor o igual que la energa potencialE>=Ep. Si la partcula tiene una energa totalE, la partcula solamente se podr mover en la regin comprendida entre-Ay+A, siendoAla amplitud de su M.A.S.

2.2) Casos especiales de MASi) Sistema m-k

PE

m k ( =0

1)

1)

PE

2) k

d

m PE PE

PE

k o m d o (

3)Siempre el MAS se observar de la PE (caso 1) y de las PE (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular informacin entre sistemas coordenados de Os en PE ( PE, donde la conexin ser d, la cual se obtiene del equilibrio de m.

Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE (2,3).ii) Sistema lg O O

g

t

g (

l

wt ( PE n

PE

(: describe la posicin

wt ( w sen(( FRes ( wt ( -mg sen( (: pequeo( sen( ((( F ( -mg(, FRes ( - cx

FR,t ( mat

( ((t) ( (m sen(wt + (( ; (m ( A(, . ( : desfasajeAhora, si la descripcin ha de darse en los s, usando s ( l(,( ; ,

iii) Pndulo Fsico

Es un CR pendular,

CR 0

PE

0

C

( PE

produce un ( restaurador que debe llevar al CR a la PE,( ( - r w sen(, w ( mg(: pequeo ( ( = - r w ( ( Sen( ( (

( O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),

EMBED Equation.DSMT4 ,

(( (t( ( (m sen (wt + ((

iv) Pndulo de Torsin

A 0 0

P ( P

PE PEDebido a la torsin en la varilla vertical (segn el eje del disco) se producir un torque restaurador proporcional a ( (para pequeos (s) de tal forma que:(restaurador ( ( ( - k(

(k: constante de torsin (de la varilla)

Analoga: k ( k (resorte) (FRes = - kx(

( O: punto fijo.

( ;

(((t) ( (m sen(wt + (( ( ,

2.3) Energa en el MASi) Energa Cintica, Ek

Si x(t) ( A sen (wt + ((v(t) ( (t) ( Aw cos(wt + ((

ii) Energa Potencial (Elstica), Ep,el

; x : posicin ( deformacin , 0 ( PE

iii) Energa Mecnica, EM EM ( Ek + Ep ( cte ( sistemas MAS,

(mw2 = k

( En particular sistema mk

Grficos:i) Ek Ek

0 T t

Ek -A 0 +A xii) Ep Ep

0 T t

Ep x

0 ??Observaciones:En los casos de sistemas m k donde se tenga una contribucin gravitacional, la EM deber considerarse,EM ( Ek + Ep,el +Ep,g ( PE

EM ( Ek + Ep,el ( PE

2.4) Oscilaciones amortiguadasSe considerara medios de amortiguacin modelables mediante la velocidad, esto es, la fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas fsicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de friccin

f ( a + bv + cv2 +

0

x ( f (v)

Ahora, para describir el sistema planteamos la 2 ley,

( MAAComparaciones: ( MASm k :

l g :

PF :

PT :

1) Caso de inters: MOVIMIENTO AMORTIGUADO OSCILATORIO (MAA) wb < wr

Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

A ( A(0) ( amplitud inicial

: Frecuencia de oscilacin

La ecuacin se interpreta como una parte oscilatoria y una modulacin de la oscilacin dada por el factor exponencial.

( w del resorte, ( w del medio. X A

0 t

2) Caso cuando wb ( wr, Movimiento crticamente amortiguado, x

t3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,

S1P5) Un oscilador armnico simple amortiguado tiene ( = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,

a)Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento dbil?

b)Determinar el valor ( para el movimiento amortiguado dbil.

c)Escriba la ecuacin de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m.

SOLUCION:

( = 0, 11 kg/s (=b)MAAk = 180 N/m

m= 0, 31 kgOscilador armnico amortiguado

Wb < w0 ( wkOscilador crticamente amortiguado

Wb ( w0Oscilador sobreamortiguado

Wb > w0

en donde

a)

(;

( wb < w0 ( wk :MAAb)

((15c)

x(0) = 0,5

X A

0 t

2.6) Oscilador armnico forzado y resonancia

Como es bien sabido, ningn sistema fsico podra librarse de la accin de la fuerza de friccin (factor de amortiguamiento, b(r), por lo tanto, para mantenerlo activo se requiere de la intervencin de una fuerza externa al sistema, esto es, se debe considerar la accin de una fuerza externa impulsora,.

Supongamos que la fuerza externa est dada por,

Aplicando la 2da Ley de Newton,

,

La solucin estacionaria de esta ecuacin diferencial es,

Este resultado muestra resonancia en la amplitud del movimiento para una frecuencia de la fuerza externa , dependiendo tambin la forma de la curva de resonancia del parmetro de amortiguamiento, b, tal como se aprecia en la figura siguiente (,.

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw? Como se producira la resonancia por energa.

Resonancia En energa

La amplitud de la velocidad de oscilacin del sistema es diferente para distintas frecuencias de la fuerza externa.

La funcin v presenta un mximo cuando la frecuencia w coincide con la frecuencia propia del oscilador wo.

se dice que a esa frecuencia se produce resonancia en energa.

En resonancia la velocidad est en fase con la fuerza oscilante aplicada la transferencia de energa de la fuerza aplicada al oscilador forzado es mximaS1P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:

a)El desplazamiento en funcin del tiempo.

b)La velocidad cuando x = +A/2.

c)La aceleracin cuando x = + A/2.

d)Cul es la fuerza sobre el bloque cuando t = (/15 s?

SOLUCIN:

a) x(t) = A sen (wt + ()( x(0) = A sen (w(0) + ()=Asen(()=+0,05

v(t) = Aw cos (wt + ()( v(0) = Aw cos (w(0) + ()= Aw cos (()= 0

De la ltima Ec ( = (/2 {la v (-) para t ( 0} ( A=0,05

( x(t) = 0,05 sen (10t + (/2)

( v(t) = 0,5 cos (10t + (/2)

Observen la consistencia de tomar ((=()= (/2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema cerca de 0, tanto para x como para v. Que ocurre si tomamos ((=()= 3(/2?b) Recordando la relacin v-x

c) Recordando la relacin a-x

d) FR= FRES ( -kx= -k A sen (wt + ()= -(200)(0,05) sen (10t + (/2)=?

(( F (+)! veamos

FR (t=(/15) = -10 sen (10{(/15} + (/2) ( (-10) (-0, 5) = +5S1P52) Una partcula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) Con que amplitud oscila la partcula?, b) Cual es la ecuacin de movimiento para la partcula? (Elija la direccin hacia arriba como positiva).SOLUCIN:

g

k

v(0)

m

t =0 X x(0)=0 v(0)

v(0)

Nos proporcionan directamente la , las condiciones iniciales son,

Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),

a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuacin para la A, en particular para t=0,

Reemplazando datos,

b) La ecuacin para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),

Para t=0 y vecindades,

Para satisfacer x(0)=0, , el valor correcto es , con lo cual las ecuaciones quedan,

g

k

+

X = 0 m -S1P4) En el sistema mostrado en la figura

Obtenga la expresin de la energa mecnica para todo instante de tiempo t.

Si: X = A cos (w0 t + ()

g: aceleracin de la gravedad

SOLUCION:

PE

0

d

PE 0 x

x

X, XEn

Desde 0:

Esta ecuacin nos dice que desde 0 se observara MAS de frecuencia

. Ahora, debido a que la fuerza resultante es , cuando se

escriba la EM desde 0 solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,

como la , es una fuerza elstica conservativa, solo tendr asociada

una energa potencial elstica, por lo tanto,

S1P32)

(s

B

k

PUna placa P hace un movimiento armnico simple horizontal sobre una superficie sin friccin con una frecuencia ( = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de friccin esttico entre el bloque y la placa es (s = 0,6 Cul es la mxima amplitud de oscilacin que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?

SOLUCIN:

a

m

Fres M

0

a

fS,M ( (s mg

FRES FR ( FRES -(s mg

DCL (M):De las ecuaciones anteriores,

(

S1P6)

k

R

MEn la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeos desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogneo rueda sin deslizar, considere, M( masa del disco,

R ( radio del disco y k ( constante del resorte.

t

M

k

0 FR

P

0 oSOLUCIN:

x pequeo ( MAS , w0 = ?

x = s = R(P // CM : ( = I (

k

r

(S1P33) Un cilindro de peso W y radio r est suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda est unido directamente a un soporte rgido mientras que el otro extremo est unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ngulo ( y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.

SOLUCION:

P

x

P

0 O T kx x O

X ( w P P

() De la dinamica rotacional,

Por la rodadura:

De la dinmica traslacional,

Usando nuevamente la rodadura,

De 1 y 2,

1)De la rodadura:

2)2) ( 1):

3)Sea

EMBED Equation.DSMT4

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