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probabilidad binomialTRANSCRIPT
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ESTADÍSTICA APLICADA EN MANUFACTURA
MTRO. JORGE VELAZQUEZ C.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
En la mayoría de los problemas de estadística interesan uno o varios números, que están
relacionados con los resultados de experimentos. Cuando inspeccionamos un producto puede
interesarnos el número de productos rechazados, al analizar una carrera de autos puede
interesarnos la velocidad promedio y el consumo promedio de combustible. Todos estos números
están asociados a situaciones en que interviene un elemento al azar, en otras palabras son valores
de variables aleatorias.
Se tienen dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas. Las variables aleatorias
discretas pueden ser por ejemplo el número de botellas que se rompen cuando se cae una caja de
ellas, tome en cuenta que se pueden romper 0, 1, 2,..., 24, y que este fenómeno se sucede sólo en
cantidades enteras. Cuando no es posible asignarle al suceso o evento una cantidad entera, se está
hablando de variables aleatorias continuas, por ejemplo si se quiere saber la altura de una persona,
se tiene por costumbre un valor discreto por ejemplo 1.72 mts, pero en realidad sólo es una
costumbre, por que los aparatos o instrumentos que se utilizan así lo determinan, pero si se
contara con otros dispositivos la medida pudiera ser 1.72125......mts. En términos generales no es
posible asignar un valor a un evento, dicho de otra manera la cantidad de números que hay entre
los dígitos 0 y 1 es infinita, o entre cualquier par de dígitos.
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA
Cuando es posible definir cada evento y asignarle a cada uno de ellos una parte de la probabilidad,
se refiere a funciones de distribución de probabilidad discretas.
Por ejemplo: considere el experimento que consiste en tirar un dado de seis caras, los eventos que
pueden suceder son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y a cada uno de esos eventos les corresponde una
probabilidad. En este caso como las caras todas tienen la misma oportunidad de ocurrir, la
probabilidad de cada una de ellas es 1 / 6, por lo que la distribución de probabilidad queda de la
siguiente forma:
Analizando la tabla anterior se puede decir que al tirar el dado “algo” necesariamente va a ocurrir,
esto es cae 1, cae 2, etc. por lo que la probabilidad de ese “algo” P (algo) = 1, en este caso por así
convenir el 1 se presenta como 6 / 6, para poder ver que se va a repartir entre los diferentes
eventos como se muestra en la tabla, por eso se denomina función de distribución de probabilidad
discreta.
Existen muchos otros experimentos en los cuales la probabilidad no se reparte en cantidades
iguales como el caso de la tabla anterior, considere por ejemplo que en lugar de tirar un dado,
ahora se tiran dos simultáneamente, y que los eventos que interesan son el total de puntos que se
obtienen con los dados, esto es 2, 3, 4,..., 10, 11, 12. Para calcular la probabilidad asociada a cada
uno de estos eventos es necesario conocer las formas favorables en que estos pueden ocurrir, por
ejemplo para obtener dos puntos sólo se da cuando ambos dados caen en 1, para el evento 3
puntos se puede dar (1,2) y (2,1), o sea dos formas favorables, de la misma forma para obtener
EVENTO CARA 1 CARA 2 CARA 3 CARA 4 CARA 5 CARA 6 TOTALPROBABILIDAD 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 6/6
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siete puntos se puede dar (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4) y (4,3), siguiendo un procedimiento
semejante se construye la siguiente tabla:
En algunos casos las distribuciones de probabilidad siguen un patrón característico, que permite
formular un modelo que las represente. Entre los modelos más comunes para las distribuciones de
probabilidad discretas se tiene: La distribución Binomial, la distribución Hipergeométrica, la
distribución Multinomial, la distribución Geométrica, la distribución de Poisson entre otras.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
A menudo los experimentos que se realizan en pruebas repetidas, sólo dan como respuesta “el
éxito o el fracaso”, esto frecuentemente se puede asociar a muchas situaciones, por lo que es
posible describir su comportamiento mediante el modelo de Bernoulli, que conlleva a la
distribución Binomial.
Para distinguir a la distribución Binomial de otras distribuciones es necesario identificar los
siguientes elementos:
1° El experimento consiste en “n” pruebas que se repiten.
2° Cada prueba del experimento produce un resultado que se puede clasificar como éxito o
fracaso.
3° La probabilidad de éxito se denota como p, y es la misma en todas las pruebas, esto es
no cambia. La probabilidad del fracaso se denomina q o (1 – p) 4° Las pruebas que se repiten son independientes, esto significa que la ocurrencia de un
éxito o fracaso en una prueba no modifica las posibilidades para las próximas pruebas.
Se tiene entonces la siguiente expresión para la distribución:
p(x) = nCx px qn – x
A partir de un ejemplo, será desarrollada una ecuación que permita solucionar cualquier problema
que tenga este tipo de distribución.
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan
2 águilas.
Solución: Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es
identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que
efectivamente así es ,ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos
de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, estas probabilidades de ocurrencia son
constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o
repeticiones del experimento son constantes, n = 3.
EVENTO 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 total
Formas posibles 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
Probabilidad 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36
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Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en
donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y
posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.
δ = {AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS}
Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:
n = número de lanzamientos de moneda
x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2
p = probabilidad de “éxito” = p(aparezca águila) = ½
q = probabilidad de “fracaso” = p (aparezca sello) = ½
Es posible partir de la siguiente expresión para desarrollar la ecuación; P (aparezcan 2 águilas) =
(No. De ramas del árbol en donde aparecen 2 águilas) (probabilidad asociada a cada rama)
Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener enumerando las
ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿qué tipo de arreglos son estos elementos del
espacio muestral?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el número
de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente:
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4
!!!
!
21
,2,1
k
xkxxnxxx
nP
LL
=
Donde
n = x1 + x2 +...+ xk
Sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente:
)!(!
!)(,
xnx
nP xnxn
−=−
Esta ecuación puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de
objetos, si hay más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula original, como
se observará en el caso de la distribución multinomial, pero ¿por qué vamos a cambiar de
ecuación? , simplemente porque las combinaciones en realidad son un caso particular de
permutaciones especiales con elementos idénticos, esto es “no importa el lugar de acomodo en el
arreglo”:
)!(!
!
xnx
nCxn
−=
Sustituyendo valores, es posible darse cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de interés, que
son donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.
ramas 3)!13(!2
!323 =
−=C
¿Y la probabilidad asociada a cada rama?
Probabilidad asociada a cada rama = p (águila) p (águila) p (sello) = (p) (p) (q) = p2q
De aquí que se puede inferir para lo general:
xnx
qp−
Uniendo las dos ecuaciones obtenidas, se puede obtener la ecuación para la distribución binomial:
xnx
xn qpCpxnP−=),,(
Donde: p(x, n, p) = probabilidad de obtener en “n” ensayos “x” éxitos, cuando la probabilidad de
éxito es = p.
La media y la distribución estándar de las distribuciones de probabilidad son importantes, en el
caso de la binomial estas son utilizadas como propiedades, y a manera de elementos para poder
hacer cálculos mediante aproximaciones por otras distribuciones, que serán explicadas más
adelante.
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Ejemplo: La probabilidad de que un agente de tarjetas de crédito logre adquirir un nuevo cliente
por teléfono es de 1/3, si elige al azar a 10 personas de un directorio telefónico, ¿cuál es la
probabilidad (CELP) de que logre adquirir exactamente a tres nuevos clientes?
Este experimento consiste en realizar 10 veces el intento.
En cada uno de los intentos puede haber “éxito” (adquirir un nuevo cliente) o fracaso.
El hecho de que una persona decida aceptar la tarjeta, no implica que otra persona lo vaya a hacer,
ya que son llamadas por teléfono, y ni siquiera conoce a los otros.
La probabilidad de éxito p = 1/3 y la de fracaso por tanto es 1 – p = q = 1 – 1/3 = 2/3
Se tiene entonces que:
p(x) = nCx px qn – x = p(3) = 10C3 (1/3)3 (2/3)10 – 3 = ( ) ( ) 2601203
23
173
10 73.
!!*
!=
Suponga ahora en el ejemplo anterior que desea evaluar a lo probabilidad de adquirir “al menos a
tres nuevos clientes”. De forma semejante, sólo que ahora se deben evaluar varias probabilidades
y es necesario pensar en todas las opciones, esto es: es posible que 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10
clientes acepten la tarjeta. Para cada uno de esos 11 posibles eventos existe una probabilidad
asociada, que componen la función de distribución de probabilidad, para este caso “al menos
tres” equivale a que 3, 4, 5, 6, 7 8, 9 o 10 clientes acepten la tarjeta, por lo que la probabilidad de
que suceda corresponde a:
P = p (3) + p (4) + p (5) + p (6) + p (7) + p (8) + p (9) + p (10) Resulta un poco incomodo calcular tantas probabilidades, por lo que es posible analizar el
problema desde otro ángulo. Como se comentó la probabilidad se distribuye entre las 11 posibles
opciones, de forma tal que la suma de todas ellas deberá ser igual a uno, por lo que es posible
desarrollar la siguiente expresión:
p (0) + p (1) + p (2) + p (3) + p (4) + p (5) + p (6) + p (7) + p (8) + p (9) + p (10) = 1 Si se agrupan adecuadamente los elementos de esta expresión, buscando resolver la pregunta del
problema es posible desarrollar la siguiente expresión:
p (3) + p (4) + p (5) + p (6) + p (7) + p (8) + p (9) + p (10) = 1 – {p (0) + p (1) + p (2)} Por consiguiente la cantidad de operaciones disminuye de forma considerable. Aplicando la
formula p (x) = n C x p x q n – x para x = 0, x = 1, x = 3 se obtiene:
p (3) + p (4) + p (5) + p (6) + p (7) + p (8) + p (9) + p (10) = 1 – {0.01734 + 0.08670 + 0.19509}
y en consecuencia la probabilidad de “al menos tres”= 0.70086
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Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una distribución
binomial se utilizan las propiedades de dicha distribución, que fácilmente pueden ser demostradas
a partir de la definición, ∑= )(xxpµ , con lo que se llega a:
Media o valor esperado: np=µ
Donde: n = número de ensayos o repeticiones del experimento p = probabilidad de éxito o la
probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media de la distribución, q =
complemento de p (1 – p).
Partiendo de la definición de la desviación estándar: ∑ −= )()( 22xpx µσ
Con lo anterior es posible hacer las substituciones correspondientes, y se llega a:
npq=σ , que es la desviación estándar para la distribución binomial.
Ejemplos:
1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un
período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que: a) dos de los
accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a
errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
Solución:
a) n = 5;
x = variable que define el número de accidentes debidos a errores humanos x = 0, 1, 2,..., 5
accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p (éxito) = p (un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p (fracaso) = p (un accidente no se deba a errores humanos) = 1- p =1 – 0.75 = 0.25
p(x = 2, n = 5, p = 0.75) = 5 C2 (0.75)2(0.25)
5−2 = (10) (0.5625) (0.015625) = 0.08789
{En el inciso b) se detalla el manejo de la función con Excel}
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7
b) p(x = 0,1, n = 5, p = 0.75) = p(x = 0) + p (x = 1) = 5 C0 (0.75)0(0.25)
5 + 5C1 (0.75)
1(0.25)
4 =
0.000976 + 0.014648 = 0.015625. Con la ayuda de Excel es mucho más sencillo realizar los
cálculos, como se muestra en la figura siguiente:
� Pulse el icono fx.
� Localice en funciones estadísticas DISTR.BINOM.
� Ponga los datos como se muestra.
� La ventana acumulado, se utiliza con los valores 0 y 1 (falso y verdadero), en este caso
dado que se requiere calcular P(0) + P(1) se pone el valor de 1 (verdadero)
c) En este caso se cambia el valor de p;
n = 5
x = variable que define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano.
x = 0, 1, 2,..., 5 accidentes debidos a errores humanos
p = p (probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
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q = p (probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1 – p = 0.75
p(x = 3, n = 5, p = 0.25) = 5 C3 (0.25)3(0.75)
2 = (10) (0.015625) (0.5625) = 0.08789
2. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a
10atm. De presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones,
determine la probabilidad de que:
a) el vapor se condense en 4 de los tubos;
b) en más de 2 tubos se condense el vapor;
c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
Solución:
a) n = 12;
x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa
x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa
p = p (se condense el vapor en un tubo de aluminio a 10 atm) = 0 .40
q = p (no se condense el vapor en un tubo de aluminio a 10 atm) =1 – p = 0.60
p(x = 4, n = 12, p = 0.40) = 12 C4 (0.40)4(0.60)
8 = (495) (0.0256) (0.016796) = 0.21284
b) p (x =3, 4,..., 12, n =12, p = 0.40) = p(x = 3) + p(x = 4) +… + p(x = 12) =1 - [p(x = 0, 1, 2)]
=1 − [12 C0 (0.40)0(0.60)
12 + 12C1 (0.40)
1(0.60)
11 + 12C2 (0.40)
2(0.60)
10]
=1 − [0.002176 + (12) (0.4) (0.003627) + (66) (0.16) (0.006047)]
= 1 – [0.002176 + 0.0174096 + 0.06385632] = 0.91656
c) p (x = 5, n =12, p = 0.40) = 12 C5 (0.40)5(0.6)
7 = (792) (0.01024) (0.0279936) = 0.22703
3. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2dB
(decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad
de que: a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2
de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c) que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de
los 2 dB, d) encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido
de 2 dB y su desviación estándar.
Solución: a) n = 10 x = variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que
su nivel de ruido excede de 2dB; x = 0, 1, 2,..., 10 amplificadores en los que el nivel de ruido
excede de los 2 dB; p = P (un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15; q = p (un
amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1 – p = 0.85
p(x = 5,n = 10, p = 0.15) = 10 C5(0.15 )5(0.85 )
7 =(252 )(0.00007593 )(0.4437053 ) = 0.00849
b) P(x = 2, 3... 10, n =10, p = 0.15) = 1 - p(x = 0.1) =
=1 − [10 C 0 (0 .15)0 (0 .85)
10 + 10C 1 (0 .15)
1 (0 .85)
9]
=1– [(0.19687 + (10) (0.15) (0.231617)] =1 - 0.544296 = 0.455705
c) n = 10
x = variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no
excede de 2dB
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x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2dB
p = p (un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2dB)=0.85
q = p (un amplificador exceda su nivel de ruido de 2dB) = 1 – p = 0.15
p(x = 4, 5, 6, n = 10, p = 0.085) =
10C4 (0.85)4(0.15)
6 +10C5 (0.85)
5(0.15)
5 + 10C6 (0.85)
6(0.15)
4 =
= (210) (0.522) (0.00001139) + (252) (0.4437) (0.000075937) + (210) (0.3771495) (0.0005063)=
= 0.001249 + 0.00849 + 0.0400997 = 0.04983
d) n = 10; p = 0.15; q = 1 – p = 0.85
µ = np = (10) (0.15)=1.5 ≈ 2amplificadores
Interpretación:
Se espera que en promedio 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido
de 2Db.
1 11291.1)85.0)(15.0)(10( ±≈=== npqσ amplificador
Interpretación: Este experimento puede variar en 2 ± 1amplificador, esto es, de 1 a 3
amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 Db.
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1° Determinar la probabilidad de sacar tres seises en cinco tiradas de un dado.
R = ya que cada vez que se tira el dado la probabilidad de cada una de las caras no ha cambiado
se pude decir que los eventos son independientes. Existe en cada caso un éxito llamado obtener 6
y un fracaso no obtenerlo, también existe una cantidad definida en la duración del experimento
(cinco tiros), y una cantidad deseada de éxitos, todo ello conduce a la distribución binomial.
Sea: xnX
XN qpCXP −=)(
Se tiene por otro lado que: n = 5; x = 3; p = 1 / 6; q = 5 / 6 por lo que: xnX
XN qpCXP−=)( = 3888/125)36/25)(216/1(
!2!3
!5)6/5()6/1()(
353
35 === −CXP = 0.0321
Si se desea llevar a cabo el cálculo mediante la ayuda de Microsoft Excel, utilice la ventana que a
continuación se muestra:
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2° De todas las unidades producidas en cierto proceso, 10% es defectuosa. ¿Cuál es la
probabilidad de que en una muestra de 12 unidades producidas en este proceso:
a) al menos dos sean defectuosas?
b) cuatro unidades máximo sean defectuosas?
R = El problema reúne las características de la distribución binomial al igual que el anterior, ya
que se tiene éxito (obtener defectuosas) y fracaso (no obtenerlas), al no conocer la cantidad de
unidades producidas, se considera que es una cantidad lo suficientemente grande para no verse
afectada al sacar una de ellas, y por tanto se supone que la probabilidad de ocurrencia no cambia,
esto es existe independencia en la repetición del experimento.
Sea: n = 12; p = 10% = 0.1; q = 1 – p = 0.9 Para el inciso a) al menos dos lleva a x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 por lo que se requiere
calcular la probabilidad de cada una de ellas y sumarla, esto es:
P (al menos dos) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12) que representa demasiados cálculos, por lo que se recomienda calcular la probabilidad
complementaria: P (al menos dos) = 1 – { P(0) + P(1) } 1 – 111
112
120
012 )9.0()1.0()9.0()1.0( CC − = 1 – 0.6590= 0.3410
De la misma forma mediante la ayuda de Microsoft Excel:
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Ya que la probabilidad pedida es el complemento sólo es necesario escribir:
Complementaria: P (al menos dos) = 1 – {P (0) + P (1)} = 1 – 0.6590 = 0.3410 Para el inciso b) cuatro máximo = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 9956.0)9.0()1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()9.0()1.0( 84
412
93
312
102
212
111
112
120
012 =++++ CCCCC
De la misma forma que el anterior mediante el uso de Excel:
3° Un fabricante asegura que al lo mas el 10% de sus frascos de café contienen menos café del
que dice la etiqueta. Para probar la afirmación se eligen 16 frascos y se pesan, su afirmación es
aceptada si menos de tres frascos contienen menos café del que indica la etiqueta. Encuentre las
probabilidades de que sea aceptada la afirmación del empresario si el contenido real de los frascos
que contienen menos café del que indica la etiqueta es de 15%.
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12
R = Las condiciones del problema también se refieren a una distribución normal, ya que el éxito
es contener menos café del que dice la etiqueta, existe una cantidad definida de experimentos, y la
probabilidad de éxito no cambia a pesar de lo que ocurra.
Sea: n = 16; P = 15% = 0.15; q = 1 – p = 0.85 P( menos de tres) = P(0) + P(1) + P(2) = 5613.0)85.0()15.0()85.0()15.0()85.0()15.0( 142
216
151
116
160
016 =++ CCC
Mediante Excel, se obtiene el mismo resultado como se muestra:
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13
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Suponga que se desea conocer el número de clientes morosos presentes en una muestra de “n”
unidades extraídas de un listado que contiene “N” clientes, dentro de la cual “a” de ellos son
morosos. Si la muestra de “n” clientes se extrae de forma tal que al elegirlo se tacha de ese listado,
esto hace que ya no sea elegible de nuevo, y por tanto la cantidad de clientes morosos “a”, ha
cambiado a “a – 1”, y del mismo modo la existencia total de clientes “N” también ha cambiado a
“N – 1”. Al estar modificando las cantidades disponibles, en realidad produce cambios en los
valores de la probabilidad de los eventos siguientes, ya que los elementos favorables, así como los
posibles van cambiando.
La Distribución Hipergeométrica permite modelar este tipo de problemas, por lo que es posible
identificar las características de esta función de distribución de probabilidad:
1° Existe una cantidad definida inicial de elementos que poseen una característica
particular: “morosos, defectuosos, bonitos, etc”.
2° Se elige una cantidad sucesiva de elementos (n) de la población (N), sin que los
elementos elegidos sean nuevamente elegibles (se descartan una vez obtenidos).
3° Se desea evaluar la probabilidad de obtener una cantidad definida de elementos (x), que
posee la característica en cuestión (a)
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de
resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
La expresión que representa a la función de distribución de probabilidad hipergeométrica es:
( )( )
nN
xnaNxa
C
CCxP −−=)(
Ejemplo: suponga que en un almacén de materia prima se tienen 100 cubetas con productos
químicos, 25 de los cuales ya han caducado. Durante una auditoria se eligen 10 cubetas, ¿CELP
de obtener exactamente 3 de las que están caducadas?
Se tienen los siguientes datos:
N = 100 que es el total de cubetas
n = 10 que son las cubetas que se van a elegir
a = 25 que son las cubetas caducadas (característica particular)
x = 3 es la cantidad que se desea evaluar para calcular la probabilidad.
( )( )
nN
xnaNxa
C
CCxP −−=)( =
( )( )
10100
310251003253C
CCP −−=)( =
( )( )
10100
775325
C
CC =0.2637
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14
Ejemplo: En una urna o recipiente hay un total de “N” objetos, entre los cuales hay una cantidad
“a” de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna “n” objetos al azar, y sin
reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener “x” objetos defectuosos?
Solución:
Luego;
nN
xnxa
C
CCnxp −= a-N
);(
Donde: p(x, n) = probabilidad de obtener “x” objetos defectuosos de entre “n” seleccionados.
xnxa CC −a-N = muestras de “n” objetos en donde hay “x” que son defectuosos y n-x buenos.
δ=nN C = todas las muestras posibles de seleccionar de “n” objetos tomadas de entre “N”
objetos en total = espacio muestral
Ejemplo; Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos,
si se seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?
Solución:
N =10 objetos en total
a = 3 objetos defectuosos
n = 4 objetos seleccionados en muestra
x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra
30.0
)4;2(410
243-1023 ==== −
C
CCnxp
Es importante señalar que en esta distribución las probabilidades no permanecen constantes a lo
largo del experimento.
Ejemplos:
1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una
botella que con tiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la
aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el
viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
arrestado por posesión de narcóticos?
Solución:
a) N = 9 + 6 = 15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que indica el número de tabletas de narcótico que
se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
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15
p (viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p (de que entre las 3 tabletas seleccionadas
haya 1 o más tabletas de narcótico)
81538.0
)3 ;3 ,2 ,1(315
0936
315
1926
315
2916 =++===C
CC
C
CC
C
CCnxp
Otra forma de resolver;
P (el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1– p (de que entre las tabletas
seleccionadas no haya una sola de narcótico)
81538.0
)3 ;0(1315
3906 ====−C
CCnxp
b) p (no sea arrestado por posesión de narcóticos)
184615.0
)3 ;0(315
3906 ====C
CCnxp
2. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3
proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que, a) los 4 exploten?,b) al
menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total
a = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que
explotan entre la muestra que se dispara
16667.0
)4 ;4(410
0347 ====C
CCnxp
b) N = 10 proyectiles en total
a = 3 proyectiles que no explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p (al menos 2 no exploten) = p (2 o más proyectiles no exploten) = p (x = 2 o 3; n = 4) =
= 333333.0
)4 ;3 ,2(410
1733
410
2723 =+===C
CC
C
CCnxp
3. a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente
a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de
los cuales 4 no tienen la edad suficiente?;
b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores
de edad?
Solución:
a) N = 9 total de estudiantes;
a = 4 estudiantes menores de edad;
n = 5 identificaciones seleccionadas;
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16
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de
edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
47619.0
)5 ;2(59
3524 ====C
CCnxp
b) N = 9 total de estudiantes;
a = 4 estudiantes menores de edad;
n = 5 identificaciones seleccionadas;
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de
edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
64286.0
)5 ;2 ,1,0(59
3524
59
4514
59
5504 =++===C
CC
C
CC
C
CCnxp
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 1° Un anuncio contiene fotografías de 10 piezas de joyería. Ocho son piezas baratas y dos son
gemas muy costosas. Si no pueden distinguirse las fantasías de las gemas.
a) ¿CELP de que al elegir dos piezas al azar ambas sean gemas?
b) ¿CELP de elegir al menos una gema?
R = Este problema tiene la característica de que el universo está partido en fantasías y gemas, al
elegir la primera pieza, el universo se altera y por tanto la probabilidad cambia por lo que tiene las
características de una distribución hipergeométrica:
Sea nN
XnaNXa
C
CCXP −−=)(
Se tiene de acuerdo a la ecuación que:
a = (característica especial “gemas”) = 2; N = de un total de 10 = 10; n = elegir dos = 2 X = elegir dos gemas = 2
Por lo que: nN
XnaNXa
C
CCXP −−=)( 0222.0
210
0822 ==C
CC
También mediante Excel es posible obtener el resultado como se muestra:
![Page 17: CAPITULO 1.pdf](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022081719/55721371497959fc0b925040/html5/thumbnails/17.jpg)
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17
Para el inciso b) al menos una equivale a decir que salga una o que salgan dos, lo que corresponde
a calcular P (1) + P (2) = +=210
1812
C
CC3777.0
210
0822 =C
CC
Mediante Excel sólo hace falta calcular P (1), ya que P (2) se encuentra en la ventana mostrada
para el inciso anterior, esto es P (2) = 0.0222, y para P (1) se muestra:
Por lo que la probabilidad pedida = 0.0222 + 0.35555 = 0.3777
2° Un producto industrial determinado se embarca en lotes de 20. La prueba para determinar si un
artículo es defectuoso es muy costosa y por lo tanto se utiliza el muestreo, en lugar de hacer
inspección al 100%. Un proyecto de muestreo elaborado para minimizar el número de artículos
defectuosos exige un muestreo de 5 artículos del lote y este es rechazado si se encuentran más de
un artículo defectuoso. Si en particular un lote contiene 4 defectuosos, ¿CELP de que sea
rechazado?
R = como el lote en realidad contiene a = 4 defectuosos, y la probabilidad cambia al extraer el
primer artículo, teniendo que N = 20; n = 5 se tiene que la probabilidad pedida es rechazar si se
encuentra más de uno esto es:
P (rechazo) = P (2) + P (3) + P (4) no pueden salir 5 malos puesto que sólo hay cuatro; como
son demasiados cálculos se plantea como una probabilidad complementaria:
P (rechazo) = P (2) + P (3) + P (4) = 1 – P (0) – P (1)
P (rechazo) −−=520
516041C
CC2487.04696.02817.01
520
41614 =−−=C
CC
Como se puede observar en las ventanas de Excel, se obtienen los mismos resultados:
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18
3° Las especificaciones piden que cierto tipo de termistor soporte entre 9 y 10 mil ohms a 25 ° C.
De 10 termistores disponibles, se seleccionan tres para usarlos. Sea X entre los tres que no se
apeguen a las especificaciones. Calcule la distribución de probabilidad de X, si entre los 10 hay
dos que no se apegan a las especificaciones.
R = sea “a” = dos que no se apegan = 2; “N” = 10 termistores disponibles = 10; “n” = se
seleccionan tres para usarlos = 3; “X” = 0, 1, 2 no puede haber tres porque no hay tres malos. Como piden la distribución de probabilidad es necesario calcular cada una de las probabilidades;
nN
XnaNXa
C
CCXP −−=)( para X = 0, 1, 2
4666.015
7)0(
310
3802 ===C
CCP
Cálculos mediante Excel Cálculos realizados manualmente
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19
4666.015
7)1(
310
2812 ===C
CCP
0666.015
1)2(
310
1822 ===C
CCP
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20
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA GENERALIZADA.
Características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de
resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes.
c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entres í.
d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.
Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:
nN
yxnbaNybxa
C
CCCnyxp
−−−−=
),,(
Donde:
N = x + y + z = total de objetos
a = total de objetos del primer tipo
b = total de objetos del segundo tipo
c = N – a – b = total de objetos del tercer tipo
n = objetos seleccionados en la muestra
x = objetos del primer tipo en la muestra
y = objetos del segundo tipo en la muestra
z = n – x – y = objetos del tercer tipo en la muestra
Ejemplos:
1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con
defectos mayores, deseleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de
que:
a) 3de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores;
b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.
Solución:
N = 20 + 3 + 2 = 25 total de artículos
a = 20 productos sin defectos
b = 3 productos con defectos menores
N – a – b = 2 productos con defectos mayores
n = 5 productos seleccionados en la muestra
x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que define e l # de productos sin defectos en
la muestra.
y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que define el # de productos con
defectos menores en la muestra
z = n – x – y = 5 – 3 – 1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que define el
# de productos con defectos mayores en la muestra
![Page 21: CAPITULO 1.pdf](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022081719/55721371497959fc0b925040/html5/thumbnails/21.jpg)
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21
128741.0
)5,1,3(525
1213320 =====C
CCCnyxp
b) N = 25
a = 20 productos sin defectos
b = 3 productos con defectos menores
N – a – b = 2 productos con defectos mayores
n = 5 productos seleccionados en la muestra
x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que define el # de productos sin defectos en
la muestra
y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos
con defectos menores en la muestra
z = n – x – y = 5 – 4 – 1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos
define el # de productos con defectos mayores en la muestra
27357.0
)5,1,4(525
0213420 =====C
CCCnyxp
2. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y
2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad
de que:
a) estén representadas todas las nacionalidades;
b) estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.
Solución:
a)
N = 12 estudiantes
a = 2 Canadienses
b = 3 Japoneses
c = 5 Italianos
N – a – b – c = 2 Alemanes
n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité
x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado
y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado
z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado
n – x – y – z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado
121212.0
)4;1,1,1(412
12151312 ======C
CCCCnzyxp
b)
N = 7 estudiantes quitando a los Italianos
a = 2 Canadienses
b = 3 Japoneses
N – a – b = 2 Alemanes
n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité
x = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado
y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionado
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22
n – x – y = 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionado
p (estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana)
Las combinaciones de personas, en las que queden de las tres nacionalidades son:
p(x = 1, y = 1; n = 4) + p(x =1, y = 2; n = 4) + p(x = 2, y = 1; n = 4) =
04848.0
412
121322
412
122312
412
221312 =++C
CCC
C
CCC
C
CCC
MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La media “µµµµ”de una distribución de probabilidad es el “valor esperado” de su variable aleatoria.
El valor esperado de una variable aleatoria discreta puede considerarse como el promedio pesado
(ponderado) sobre todos los resultados posibles, siendo los pesos (ponderaciones) la probabilidad
asociada con cada uno de los resultados. La expresión para el valor esperado de una función de
distribución de probabilidad discreta queda de la siguiente forma:
µµµµ = E(x) = ∑=
N
i
ii XPX1
)(
Considerando nuevamente el ejemplo del par de dados con el que se mostró la función de
distribución de probabilidad, se presentará en la siguiente tabla la misma función de distribución,
y el cálculo de E(X)
Como puede observarse en la tabla la suma que se obtiene de los productos ∑=
N
i
ii XPX1
)( =7, esto
significa que el valor esperado (promedio, o más probable) para el par de dados es el número 7.
La varianza σ
2 de una variable aleatoria discreta puede definirse como el promedio pesado
(ponderado) de las diferencias cuadradas entre cada resultado posible y su media, siendo los pesos
Evento Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sumas
Formas posibles 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
Probabilidad P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36
Probabilidad P(Xi) 0.03 0.06 0.08 0.11 0.14 0.17 0.14 0.11 0.08 0.06 0.03 1.00
Xi P(Xi) 0.06 0.17 0.33 0.56 0.83 1.17 1.11 1.00 0.83 0.61 0.33 7
(x - µµµµ )2
P(x) 0.694 0.889 0.750 0.444 0.139 0.000 0.139 0.444 0.750 0.889 0.694 5.83
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23
(ponderaciones) las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados. De acuerdo a esto la
expresión para el cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta es:
σ 2 =
( )∑ −
=
N
iii PxX
1
2)(µ
Continuando con la tabla anterior sólo basta agregar los cálculos que requiere esta fórmula, para
obtener la siguiente tabla, y con ella el valor de la varianza:
Evento Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sumas
Formas posibles 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
Probabilidad P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36
Probabilidad P(Xi) 0.03 0.06 0.08 0.11 0.14 0.17 0.14 0.11 0.08 0.06 0.03 1.00
Xi P(Xi) 0.06 0.17 0.33 0.56 0.83 1.17 1.11 1.00 0.83 0.61 0.33 7
(x - µµµµ)2P(x) 0.7 0.9 0.8 0.4 0.1 0 0.1 0.4 0.8 0.9 0.7 5.83
De acuerdo a la tabla el valor de la varianza para este caso es 5.83.
Si se desea calcular el valor de la desviación estándar sólo es necesario obtener la raíz cuadrada
del valor de la varianza, que para este caso es 2.415229
En cualquier distribución de probabilidad discreta es posible calcular los valores de la media y la
varianza, mediante los procedimientos antes mencionado, sin embargo como puede observarse, es
necesario calcular la probabilidad asociada a cada uno de los eventos, para poder realizar los
cálculos correspondientes, esto puede en muchos casos resultar poco practico e innecesario,
afortunadamente las distribuciones de uso frecuente como son la Binomial, la Hipergeométrica, la
de Poisson, cuentan con un procedimiento mucho más simple, que además se convierte en una
propiedad muy útil e interesante de ellas.
Para la distribución Binomial la media y la varianza de la distribución, pueden además del método
anterior ser calculadas mediante las siguientes expresiones:
µµµµ = E(x) = np σσσσ 2 = npq
Como puede notarse no es necesario calcular la probabilidad de cada evento, con los valores
conocidos de n, p, q que se utilizan para el cálculo de cualquier probabilidad de la distribución, es
posible calcular la media y la varianza.
Para el ejemplo de las tarjetas de crédito los cálculos son mostrados a continuación:
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24
µµµµ = E(x) = np = (10)*(1/3) = 3.333
σσσσ 2 = npq = (10)*(1/3)*(2/3) = 2.2222
Para la distribución hipergeométrica las expresiones correspondientes para la media y la varianza
son las siguientes:
µµµµ = E(x) =
N
an σσσσ
2 =
( )( )( )( )( )( ))12 −
−−
NN
nNaNan
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados
que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson. El intervalo dado puede ser de cualquier longitud, como un minuto, un día, un año, etc.
Por ello un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que
representa por ejemplo el número de llamadas telefónicas por hora que recibe un conmutador de
oficina, el número de accidentes por año en una empresa, el número de bacterias por muestra de
cultivo, etc.
Un experimento de Poisson se deriva del proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:
a) El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es
independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio
disjunto. Esto es que el proceso de Poisson no tiene memoria.
b) La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en
una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región
y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.
c) La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en
tal región pequeña es insignificante.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo,
pieza, etc.,
# de defectos de una tela por m2
# de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.,
# de bacterias por cm2 de cultivo # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.
# de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.
La media µµµµ = λ se calcula del promedio en la región de interés, generalmente asociado con el
tiempo por ejemplo el promedio de llamadas por hora, etc.
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25
La probabilidad asociada se calcula como:
!)(
X
eXP
x DD
−
= para x = 0, 1, 2, ...
Donde: P(x) = probabilidad de que ocurran “x” éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia
de ellos es λ = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto, e = 2.718
x = variable que denota el número de éxitos que se desea que ocurra.
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de
tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de
otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es
independiente de otro producto dado.
Ejemplos:
1. El número promedio de personas que son atendidas por una cajera en un supermercado es de 25
por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora en particular sean atendidas 12 personas?
El promedio de personas es µµµµ = λ = 25
X = 12 por lo que !
)(X
eXP
x DD
−
= =!12
25 2512 −
=e = 0.001728
2. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de
que reciba?:
a) cuatro cheques sin fondo en un día dado;
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos
Solución:
a) x = variable que define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día
cualquiera = 0, 1, 2, 3,....., etc.
= 6 cheques sin fondo por día
e = 2.718
13392.0!4
6)6,4(
64
====−
exP λ
b) x = variable que define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días
consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......,etc. λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al
banco en dos días consecutivos
Nota: λ debe siempre estar en función de “x”, o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo
que x.
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26
104837.0!10
12)12,10(
1210
====−
exP λ
3. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2
imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una
imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una
imperfección en 15 minutos.
Solución:
a) x = variable que define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2,
3,...., etc.
λ = 0.2 x 3 = 0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
329307.0!1
6.0)6.0,1(
6.01
====−
exP λ
b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0,
1, 2, 3, ....,etc.
λ = 0.2 x 5 = 1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata.
El universo de oportunidades en cuanto a defectos es que ocurran 0, 1, 2, 3, 4,…etc., por lo que al
menos dos equivale a 2, 3, 4, …, etc. Esto obliga a pensar en la necesidad de calcular la
probabilidad complemento que equivale a 1 – P (0) – P (1)
26416.0!1
1
!0
11
1110
=−−−−
ee
c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos =
0, 1, 2, 3, .....,etc.,etc.
λ = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata.
Cuando mas una equivale a P (0) + P (1), por lo que:
1992106.0!1
3
!0
3 3130
=−−−
ee
APROXIMACIÓN DE POISSON A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Debe ser evidente de los tres principios del proceso de Poisson que la distribución de Poisson se
relaciona con la distribución binomial. Aunque la de Poisson por lo regular encuentra aplicaciones
relacionadas con el tiempo y el espacio, puede funcionar como una buena aproximación para
realizar cálculos de esta última.
Considerando las propiedades sobre la media y la varianza de la distribución binomial, que
nuevamente se mencionan:
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27
npxE == )(µ npq=2σ
Es posible establecer una relación entre la media (valor esperado) de ambas distribuciones, y por
tanto hacer cálculos de la distribución binomial, mediante la distribución de Poisson.
En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus
características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son,
∞→n (n es muy grande) y 0→p (p es muy pequeña), por lo que:
!),,(
x
eqpCpnxP
xxnx
xn
λλ −− ==
La expresión anterior solo se cumple cuando ∞→n y 0→p , si esto no se cumple, la
aproximación no se puede llevar a efecto.
Una regla que ayuda a evitar lo complicado de interpretar lo anterior equivale a considerar valores
de n 20≥ aceptable y p 05.0≤ : sí n ≥ 100, la aproximación es generalmente excelente siempre y
cuando np ≤ 10.
Mediante los ejemplos que a continuación se detallan, es posible observar la aplicación de la
aproximación de Poisson para la distribución binomial.
Ejemplo:
1. En un proceso de fabricación de artículos de vidrio aparecen defectos, como son burbujas o
manchas, lo que deja a la pieza fabricada indeseable para su venta. Se sabe que en promedio uno
de cada 1000 artículos son rechazados para su venta. ¿Cuál es la probabilidad de que en una
muestra de 800 artículos elegidos para su revisión siete de ellos sean rechazados?
Dado que es un defecto en cada 1000 se tiene que P (defecto) = 1 / 1000 = 0.001, y por tanto
q = 1 – 0.001 = 0.999
Se elige una muestra de n = 800, se desea evaluar la probabilidad de X = 7
Como el hecho de que salga un artículo defectuoso no afecta al hecho de que otro aparezca, y
como sólo existe el éxito (salga defectuoso) o fracaso (no salga) se tiene un problema con
características binomiales, por lo que:
P (x) = n C x p x q n – x = p (7) = 800C7 (0.001)7 (0.999)800 – 7
= ( ) ( ) 00001830999000107937
800 7937...
!!*
!=
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Realizar estos cálculos puede resultar complicado, sobretodo si se hacen en forma manual, por lo
que de acuerdo a la aproximación y como “n es grande 800, y p es pequeña 0.001 de forma que el producto np = 0.8”, se tiene que:
µµµµ = λ = np = 0.8
!)(
X
eXP
x DD
−
= =!
. .
7
80 807 −
=e = 0.0000186
Es evidente la similitud en los resultados.
2. Si un banco recibe en promedio 5 de cada 100 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba?:
a) Dos cheques sin fondo en un día dado;
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos
Solución:
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día
cualquiera = 0, 1, 2, 3,....., etc.
En este caso el valor pedido, es x = 2 cheques sin fondo por día
0812.0)95.0()05.0()05.0,100,2( 982
2100 ===== CpnxP
La solución mediante la aproximación de Poisson, se puede calcular:
= promedio = np = 5
5)05.0)(100( === npλ
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29
��2� =���
�!=5���
2!= 0.08422
Como puede ser observado los resultados son bastante semejantes, considerando que es un cálculo
mediante una aproximación. Es importante mencionar que el uso de hojas de cálculo como Excel
evita la necesidad de hacer este tipo de aproximaciones, considere el lector que el cálculo manual
mediante la distribución binomial puede resultar laborioso.
El uso de la función en Excel es semejante a lo explicado para otras funciones, solamente debe
buscarse “POISSON” en las funciones estadísticas con el icono fx.
b) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días
consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......,etc. = 5 x 2 = 10 cheques sin fondo en promedio que llegan al
banco en dos días consecutivos
Nota: λ debe siempre estar en función de “x”, o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo
que “x”.
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1° Supóngase que 0.005% de la población de un país muere debido a cierto tipo de accidente cada
año y que una compañía de seguros tiene entre sus clientes 10,000 que están asegurados contra
ese tipo de accidente. ¿CELP de que la compañía pague más de dos pólizas en un año dado?
R = Se tiene que la probabilidad de sufrir un accidente es 0.005% = 0.00005, y que no cambia ya
que el hecho de que un apersona se accidente no afecta a que a otra le pase, existe una cantidad
definida de eventos, que suceda en 0, 1, 2,... etc. por lo que es una distribución binomial.
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30
La pregunta más de dos implica P (2) + P (3) + P (5) + P (6) +... + P (10,000) lo cual sería muy
difícil de calcular, por lo que es preferible calcular la probabilidad complemento:
P (más de dos) = 1 – {P (0) + P (1) + P (2) }
( )99982
210000
99991
110000
100000
010000 )99995.0()00005.0()99995.0()00005.0()99995.0()00005.0(1 CCC ++−=
= 1 – 0.9856 = 0.01438
Ahora como la probabilidad es realmente pequeña (0.00005) y “n” es muy grande (10,000) de
forma que np = 0.5, la aproximación de POISSON a la distribución binomial funciona de forma
muy adecuada:
Sea: !
)(X
eXP
X λλ −
= de forma tal que 5.0=== npλµ se tiene que:
P (más de dos) = 1 – {P (0) + P (1) + P (2)} =
( )( ) 01438.09856.01125.05.011!2
5.0
!1
5.0
!0
5.01 5.0
5.025.01050
=−=++−=
++− −
−−−
eeee
Como se pude apreciar la aproximación de POISSON es muy buena y mucho más fácil de
calcular que la expresión binomial.
También puede usarse Excel para calcular la expresión de POISSON como se muestra:
Que mediante Excel queda:
![Page 31: CAPITULO 1.pdf](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022081719/55721371497959fc0b925040/html5/thumbnails/31.jpg)
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31
2° En un andén de carga de una empresa los camiones llegan en promedio de 7 camiones por día,
¿CELP de que en un día determinado no lleguen más de tres camiones?
R = Cuando la información con la que se dispone presenta el promedio relacionado a una unidad
de tiempo y pregunta la probabilidad de algo relacionado a dicho promedio, la distribución de
POISSON es la herramienta apropiada.
Sea 7Pr == λomedio
No lleguen más de tres = lleguen 0 “o” llegue uno “o” lleguen dos “o lleguen tres =
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) y con la expresión de POISSON
!)(
X
eXP
X λλ −
= se tiene que:
( ) 0818.0)17.575.2471(!3
7
!2
7
!1
7
!0
7)3( 7
73727170
=+++=+++=≤ −−−−−
eeeee
xP
3° El número de llamadas telefónicas que entra a un conmutador es de cuatro llamadas por
minuto. ¿CELP de que;
a) ¿En un minuto determinado lleguen cinco llamadas?
b) ¿En dos minutos consecutivos cualquiera lleguen 7 llamadas?
R = sea 4Pr == λomedio
Mediante Excel:
![Page 32: CAPITULO 1.pdf](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022081719/55721371497959fc0b925040/html5/thumbnails/32.jpg)
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32
Para el inciso a) !
)(X
eXP
X λλ −
= = 1562905
45
45
.!
)( ==−
eP
Para el inciso b) se tiene una propiedad de los procesos de POISSON que permite suponer que si
en un minuto el promedio es de 4, en dos minutos consecutivos el promedio será 8. por lo que
1396.0!7
8)7(
87
==−
eP
4° Un estacionamiento cuenta con dos accesos, por el primero de ellos entran un promedio de 4
autos por hora, y por el segundo acceso un promedio de tres por hora (se supone que las llegadas
sigue una distribución de poisson). ¿CELP de que en una hora determinada entren al
estacionamiento tres autos? (suponga que le número de autos que llegan a cada entrada son
independientes)
R = Las diferentes maneras en que pueden llegar los autos y siempre ser tres queda expresado
mediante la siguiente tabla:
Entrada I Entrada II
0 3
1 2
2 1
3 0
Corresponde ahora calcular las probabilidades asociadas a cada uno de los eventos formados por
los renglones de la tabla, esto es 0 autos por la entrada I “y” 3 por la entrada II, o 1 auto por la
entrada I “y” 2 por la entrada II, etc.
0522.0!0
4
!3
3
!1
4
!2
3
!2
4
!1
3
!3
4
!0
3) (
4033413242314330
=
+
+
+
=
−−−−−−−−eeeeeeee
autostresP
Otra forma mucho más sencilla es utilizar el proceso de poisson. Como la pregunta en realidad
dice que lleguen 3 autos al estacionamiento (sin especificar por cuál puerta), y como la legada de
los autos es independiente de la puerta que utilicen, en realidad se reciben en el estacionamiento
un promedio de 3 + 4 = 7 autos por hora, por lo que la probabilidad pedida queda:
052203
77
73
.!!
)( ===−−
e
x
eP
X λλ
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33
LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad “p”, y
un fracaso con probabilidad “q = 1 – p”, entonces la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria X, el número de la prueba en el que ocurre el primer éxito, es:
g (x) = p qx –1
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por
primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula
de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo: Se lanza al aire 8 veces una moneda cargada, de tal manera que la probabilidad de que
aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine
la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca un águila.
Solución: Si se traza un diagrama de árbol que represente los 8 lanzamientos de la moneda, se
observará que la única rama de ese árbol que interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos
seguidos y por último un águila; como se muestra a continuación:
SSSSSSS A
Sí se denota; x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito
por primera y única vez = 8 lanzamientos; p = probabilidad de que aparezca un águila = p (éxito)
= 2/3; q = probabilidad de que aparezca un sello = p (fracaso)=1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P (aparezca un águila en el ultimo lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A)=
=q*q*q*q*q*q*q*p = qp x−1
Luego, la ecuación a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(x) = qx − 1
p
Donde: p (x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez p =
probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por
primera vez una águila p = 2/3 probabilidad de que aparezca un águila q = 1/3 probabilidad de que
aparezca un sello
p(x = 8) = (1/3)8−1
(2 /3) = 0.0003048
Ejemplo 2. Si se sabe que en promedio uno de cada 100 billetes que recibe la cajera de un banco
esta roto, ¿cuál es la probabilidad de que el quinto billete que reciba la cajera este roto?
Dado X = 5, p = 1 / 100 = 0.01
Se tiene que el interés de que aparezca por primera vez en el quinto billete, el roto y ahí se
termina, ya que la idea era encontrar el primero, por lo que es una distribución geométrica, y en
consecuencia:
g (x) = p qx –1 = (0.01)(0.99) 4 = 0.0096
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34
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 1° Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces. ¿CELP de que acierte por primera vez
en el quinceavo disparo?
R = De acuerdo a lo descrito en el tema correspondiente a distribución geométrica corresponde este
ejemplo por sus características, ya que la probabilidad no cambia, y la pregunta es el evento “éxito” que
ocurre por primera vez en el intento “n”.
Por lo tanto de acuerdo a lo anterior:
Dado g (x) = p q x – 1 se tiene que “éxito” = fallar = p = 5% = 0.05; por lo que q = 1 – p =0.95; x = 15: g(x) = p q x – 1 = g (15) = (0.95) (0.05) 15 – 1 = 0.0244 2° Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo
productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es de 0.2. ¿CELP de que no
encuentre ningún pozo productivo si sólo puede perforar un máximo de 10 pozos?
R = en este caso no se da el éxito, sólo fracasos por lo que:
1° no y 2° no y 3° no... y 10° no = (0.8)(0.8)(0.8)... (0.8) = (0.8)10 = 0.1073 no aparece el valor
de p, por que el “éxito” nunca se da.
3° Se estima que 60% de una población de consumidores prefiere una marca en particular.
¿CELP, al entrevistar un grupo de personas, de que se tengan que entrevistar a exactamente cinco
para encontrar el primero que prefiere dicha marca?
R = 1° no y 2° no y 3° no y 4° no y 5° si = g (x) = p q x – 1 = g (5) = (0.6) (0.4) 5 – 1 =0.01536
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35
DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Los experimentos binomiales se convierten en multinomiales, si cada prueba tiene más de dos
resultados posibles. Por ejemplo el rendimiento de las acciones en la bolsa puede ser alto, medio o
bajo.
Características:
a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de
resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.
d) El número de repeticiones del experimento, “n” es constante.
En general, si una prueba dada puede tener “k” resultados posibles E1, E2,..., Ek, con
probabilidades respectivas p1, p2,..., pk, entonces la distribución multinomial dará la
probabilidad de que E1 ocurra X1 veces; E2 ocurra X2 veces,...; Ek ocurra Xk, en “n” pruebas
independientes, donde:
k
k
x
k
xx
k
xxxn pppxxx
nP ...
!!...!
!21
21 21
21
.. =
Al igual que se hizo con la distribución binomial, en este caso se parte de un ejemplo para obtener
la ecuación general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.
Ejemplo: Se lanza al aire un dado normal, 5veces, determine la probabilidad de que aparezca dos
números uno, dos números tres y un número cinco.
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36
Solución:
Si se piensa en la forma que se han resuelto otros problemas, el diagrama de árbol, es una
herramienta visual muy importante, en donde se muestran los 5 lanzamientos del dado; esto sería
muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación;
Del diagrama de árbol se podría calcular el espacio muestral y enseguida se determinarían las
probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, se obtendrá una ecuación a partir de la
siguiente expresión:
P (aparezcan dos unos, dos tres y un cinco) = (número de ramas en donde haya dos unos, dos tres
y un cinco) (probabilidad asociada a cada una de las ramas)
Para esto se requiere definir lo siguiente:
n = número de lanzamientos del dado
x1 = número de veces que aparece el número (1) = 2
x2 = número de veces que aparece el número (2) = 0
x3 = número de veces que aparece el número (3) = 2
x4 = número de veces que aparece el número (4) = 0
![Page 37: CAPITULO 1.pdf](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022081719/55721371497959fc0b925040/html5/thumbnails/37.jpg)
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37
x5 = número de veces que aparece el número (5) = 1
p1 = probabilidad de que aparezca el número (1) = 1/6
p2 = probabilidad de que aparezca el número (2) = 1/6
p3 = probabilidad de que aparezca el número (3) = 1/6
p4 = probabilidad de que aparezca el número (4) = 1/6
p5 = probabilidad de que aparezca el número (5) = 1/6
p6 = probabilidad de que aparezca el número (6) = 1/6
Luego, ¿cómo se obtendrá el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y
un número 5?
Enunciando algunas de las ramas, se tiene lo siguiente;
(1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5),...etc.
¿Qué tipo de arreglos son estos: combinaciones, permutaciones o qué? Son permutaciones en
donde hay objetos iguales. Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:
El número de ramas = 304
120
!1!2!2
!51,2,25 ===P 5! = 120
En forma general,
!!!
1
21
,2,1
k
xkxxnxxx
nP
LL
=
Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería;
p (asociada a cada una de las ramas) = p (#1) p (#1) p (#3) p (#3) p (#5) = p1 * p1 * p3 * p3 * p5 =
=p12*p3
2*p5
Es posible inferir para lo general la fórmula:
( ) kx
k
xx
k
k PPPxxx
nxxxP L
LL 21
21
21
21!!!
!,, =
Donde:
p(x1, x2,...., xk, n) = probabilidad de que en”n” ensayos aparezcan x1 objetos del primer tipo, x2
objetos del segundo tipo.......y xk objetos del último tipo.
n = x1 + x2 +....+ xk
Resolviendo el ejemplo;
n = 5
x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2
x2 = número de veces que aparece el número 3 = 2
x3 = número de veces que aparece e l número 5 = 1
p1 = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6
p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6
p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6
( ) 003858.06
1
6
1
6
1
!1 !2 !2
!55,3,2,1
122
321 =
===== nxxxP
Ejemplos:
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ESTADÍSTICA APLICADA EN MANUFACTURA
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38
1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue a
una convención: por aire, en autobús, en automóvil o en tren.
¿Cuál es la probabilidad (CELP) de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta
convención:
a) ¿3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?
b) ¿4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?
Solución:
n = 9
x1 = # de delegados que llegan por aire = 3
x 2 = # de delegados que llegan en autobús = 3
x3 = # de delegados que llegan en auto = 1
x4 = # de delegados que llegan en tren = 2
p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40
p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20
p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30
p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0077414.01.03.02.04.0!2 !1 !3 !3
!99,2,1,3,3
2133
4321 ======= nxxxxP
b) n = 9
x1 = 4 por aire p1 = 0.40
x2 = 1 en autobús p2 = 0.20
x3 = 2 en auto p3 = 0.30
x4 = 2 en tren p4 = 0.10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 017418.01.03.02.04.0!2 !2 !1 !4
!99,2,2,1,4
2214
4321 ======= nxxxxP
2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una
descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que entre 8
descendientes:
a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco,
b) 3 sean rojos y 2 sean negros.
Solución:
n = 8
x1 = 5 rojos; p1 = probabilidad sean rojos = 8/16 = 0.50;
x2 = 2 negros; p2 = probabilidad sean negros = 4/16 = 0.25;
x3 = 1 blanco; p3 = probabilidad sean blancos = 4/16 = 0.25;
( ) ( ) ( ) ( ) 082031.025.025.05.0 !1 !2 !5
!88,1,2,5
125
321 ====== nxxxP
b) n = 8
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39
x1 = 3rojos; p1=0.50
x2 = 2negros; p2=0.25
x3 = 3blancos; p3=0.25
( ) ( ) ( ) ( ) 068359.025.025.05.0 !3 !2 !3
!88,3,2,3
323
321 ====== nxxxP
3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para
gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde,
un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6
personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1
por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul.
Solución:
a) n = 6
x1 = 2 voten por partido verde; p1 = probabilidad de que una persona vote por partido verde = 0.52
x2 = 1 vote por partido azul; p2 = probabilidad de que una persona vote por partido azul = 0.40
x3 = 3 voten por otros partidos; p3 = probabilidad de que una persona vote por otros partidos=0.08
( ) ( ) ( ) ( ) 0033226.008.040.052.0 !3 !1 !2
!66,3,1,2
312
321 ====== nxxxP
b) n = 6
x1 = 2 voten por el partido verde; p1 = probabilidad de que una persona vote por partido verde =
0.52
x2 = 4 vote por partido azul; p2 = probabilidad de que una persona vote por partido azul = 0.40
x3 = 0 voten por otros partidos; p3 = probabilidad de que una persona vote por otros partidos =
0.08
( ) ( ) ( ) ( ) 103834.008.040.052.0 !0 !4 !2
!66,0,4,2
042
321 ====== nxxxP
4. Las probabilidades de que un determinado tipo de acción suba menos de 40 puntos, entre 40 y
80, o más de 80 puntos son respectivamente: 0.30. 0.50, y 0.20. ¿Calcule la probabilidad de que
entre 8 de tales acciones, 2 suban menos de 40 puntos, cinco suban entre 40 y 80 puntos, y una
suba más de 80 horas.
Se tiene una partición del universo, ya que no pueden ocurrir simultáneamente, y la suma de las
tres probabilidades es igual a 1, por otro lado se debe suponer independencia entre los eventos,
dado que no se tiene información del mercado, y necesariamente algún evento deberá ocurrir, ya
que el campo unido de los tres corresponde a todas las posibilidades.
Entonces se tiene la distribución multinomial:
Sea: n = 8, X 1 = 2, X 2 = 5, X 3 = 1, P 1 = 0.30, P 2 = 0.50, P 3 = 0.20, por lo que:
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40
k
k
x
k
xx
k
xxxn pppxxx
nP ...
!!...!
!..
21
21 2121
=
( ) ( ) ( ) 09450200500300152
8 1521528 ....
!!!
!,, ==P
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL 1° En un tablero para dardos circular, se tiene un pequeño círculo que se llama centro y 20 áreas
numeradas del 1 al 20. cada una de estas áreas se divide a su vez en cuatro partes, de tal forma que
una persona que lanza un dardo y que acierta en un número determinado, obtiene un marcador
sencillo, doble o triple del número, según donde haya acertado. Si la probabilidad de que una
persona atine en el centro es 0.01, de que sea el doble es 0.10, de que sea el triple es de 0.05 y de
que no atine es 0.02. ¿CELP de que en siete lanzamientos no atine ninguno en el centro, no haga
triples, haga un doble dos veces y no atine una vez al tablero?
R = Se tiene que P (centro) + P (sencillo) + P (doble) + P (triple) +P (no atine) =1
Y como P (centro) = 0.01; P (doble) = 0.10; P (triple) = 0.05; P (no atine) =0.02, por
complemento P (sencillo) = 1 – 0.01 – 0.10 – 0.05 – 0.02 = 1 – 0.18 = 0.82
Por otra parte si se hacen 7 tiros y se desea que 0 al centro, 2 doble, 0 triples y 1 afuera, por
complemento se obtiene que son 4 sencillos, por lo que de acuerdo a la expresión multinomial:
k
K
x
k
xx
k
XXXn pppxxx
nP K
LL
21
21 21
21 !!!
!=
0095.0)02.0()05.0()10.0()82.0()01.0(!1!0!2!4!0
!7 10240
1,0,2,4,07 ==P
2° Los artículos que se inspeccionan están sujetos a dos clases de defectos. Se supone que 70% de
los artículos de un lote grande no tienen defectos, en tanto que 20% tienen defectos tipo A, y sólo
10% tiene defectos tipo B, ninguno tiene simultáneamente ambos defectos. Si se extraen al azar 6
artículos del lote para inspeccionarlos, ¿CELP de que tres no tengan defectos, uno tenga defecto
tipo A y dos tengan defectos tipo B?
R = sea P (no-defecto) = P (C) = 70% =0.7; X1 = 3
P (Defecto A) = P (A) = 20% = 0.2; X2 = 1
P (Defecto B) = P (B) = 10% = 0.1; X3 = 2
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41
k
K
x
k
xx
k
XXXn pppxxx
nP K
LL
21
21 21
21 !!!
!= = 041.0)1.0()2.0()7.0(
!2!1!3
!6 213
2,1,36 ==P
3° Se fabrican lápices mecánicos mediante un proceso que implica una gran calidad de mano de
obra en las operaciones de ensamble. Este es un trabajo altamente repetitivo y hay un pago de
incentivo. La inspección final ha revelado que 85% del producto es bueno, 10% defectuoso pero
que se puede arreglar, y el 5% restante es defectuoso sin arreglo. Se elige una muestra aleatoria de
10 productos, ¿CELP de que salgan 7 buenos, 2 que se pueden arreglar y uno que no tenga
arreglo?
R = De forma semejante al ejemplo anterior:
sea P (no-defecto) = P (C) = 85% =0.85; X1 = 7
P (Defecto con arreglo) = P (A) = 10% = 0.1; X2 = 2
P (Defecto sin arreglo) = P (B) = 5% = 0.05; X3 = 1
k
K
x
k
xx
k
XXXn pppxxx
nP K
LL
21
21 21
21 !!!
!= = 0577.0)05.0()1.0()85.0(
!1!2!7
!10 127
1,2,710 ==P
SIMULACIÓN
En los últimos tiempos, las técnicas de simulación han sido aplicadas a diversos problemas, y si
los procesos de simulación contienen algún elemento aleatorio, a estas técnicas se les conoce con
el nombre de métodos de Monte Carlo. Con frecuencia, este método permite ahorrar los gastos
de construcción y operación de equipos muy costosos, estos métodos se emplean también cuando
la experimentación directa es imposible (estudiar epidemias).
En apoyo a estas técnicas se tiene la asignación de números aleatorios (random en la calculadora),
que pueden ser utilizados para asignar valores a los experimentos. Por ejemplo si se dispone que
los números pares equivalen al sello de la moneda y los números nones al águila, es posible
encontrar mediante tablas o calculadora el número aleatorio que permita simular el volado de la
moneda.
En problemas de otra índole es posible mediante simulación calcular los riesgos de invertir,
estimar el tiempo de terminación de un proyecto, y muchos otros más.
PROBLEMAS PROPUESTOS DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1. La probabilidad de un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos
es de 0.8. Si los disparos son independientes, determine la probabilidad de un
hundimiento: a) en los primeros dos disparos; b) en los primeros tres.
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42
R = a) 0.96; b) 0.992
2. Un dado se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca al menos un cinco o
un seis?
R = 0.7037
3. De un lote grande de neumáticos nuevos, un comprador potencial selecciona “n” y se
registra el número de neumáticos defectuosos X. Si se observa por lo menos uno
defectuoso en la muestra “n”, el cliente potencial rechazará el lote completo. Calcular “n”
de modo que la probabilidad de que se descubra por lo menos un neumático defectuoso
sea aproximadamente de 0.90, en caso de que:
a) 10 % del lote sea de neumáticos defectuosos,
b) 5 % del lote sea de neumáticos defectuosos.
R = a) 22; b) 45
4. La compañia XYZ ha planeado presentaciones de ventas a una docena de clientes
importantes. La probabilidad de recibir un pedido como resultado de tal presentación se
estima en 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de recibir cuatro o más pedidos como resultado de
las reuniones?
R = 0.927
5. Un proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción
de 2 % de piezas defectuosas. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de
tamaño 50. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas, el proceso debe
interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso deba interrumpirse mediante el
esquema de muestreo indicado.
R = 0.078
6. Se planean seis misiones espaciales independientes a la luna. La probabilidad estimada de
éxito de cada misión es de 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cinco de las
misiones planeadas tengan éxito?
R = 0.9672
7. Suponga que aviones pequeños llegan al aeropuerto del Bajio según un proceso de
Poisson, con una tasa 8=α por hora, de modo que el número de llegadas durante un
período de “t” horas es una variable del proceso de Poisson con un parámetro t8=λ(considere que tαλ = ). ¿CELP de que en una hora determinada lleguen exactamente 5
aviones?
R = 0.091
8. Una vendedora se da cuenta de que la probabilidad de venta en una entrevista única es
aproximadamente de 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que haga al menos una venta al
tener 100 compradores posibles?
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43
R = 0.9524
9. La probabilidad de que un ratón inoculado con un suero contraiga la enfermedad es de 0.2.
Mediante el uso de una aproximación por Poisson, encuentre la probabilidad de que un
máximo de tres ratones entre 30 contraigan la enfermedad.
R = 0.1512
10. Suponga que en promedio una de cada mil personas comete un error numérico al preparar
su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 mil formas, encuentre la
probabilidad de que seis, siete u ocho tengan error.
R = 0.2657
11. Si 0.8 % de los fusibles depositados en un lote están defectuosos, úsese la aproximación de
Poisson para determinar la probabilidad de que cuatro fusibles estén defectuosos en una
muestra aleatoria de 400.
R = 0.178
12. El número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radiactiva es una
variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con 8.5=λ . Si un detector deja de
operar cuando hay más de 12 rayos por segundo, ¿cuál es la probabilidad de que este
instrumento deje de funcionar durante un segundo cualquiera?
R = 0.007
13. Entre 16 máquinas nuevas que se vendieron a un distribuidor, hay siete con defectos
mínimos. Si el departamento de control de calidad selecciona al azar dos de estas
máquinas para revisar si hay defectos, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) ninguna de las máquinas revisadas tenga defectos?
b) una de las máquinas tenga defectos?
c) ambas máquinas tengan defectos?
R =a) 0.3; b) 0.525; c) 0.175
14. Si siete de 14 maletas contienen artículos de contrabando, determine la probabilidad de
que exactamente cuatro de seis maletas seleccionadas al azar en la inspección de pasajeros
contengan artículos de contrabando.
R = 0.2447
15. Un auditor comprueba la contabilidad de una empresa y toma como muestra tres cuentas
de una lista de ocho cuentas por cobrar. Calcular la probabilidad de que el auditor revise
por lo menos una cuenta vencida si hay:
a) dos de éstas entre las ocho,
b) cuatro de éstas entre las ocho,
c) siete de éstas entre las ocho.
R = a) 9/14; b) 13/14; c) 1
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44
16. En un mazo hay 10 cartas, de las cuales cinco son corazones. Se desea tomar cuatro cartas
y se quiere determinar la probabilidad de que dos de las extraídas sean corazones.
R = 0.4762
17. De una urna que contiene nueve canicas de color azul y tres de color negro se extraen ocho
sin remplazo. Encontrar la probabilidad de obtener precisamente x canica de color azul.
R = 812
839
C
CCP XX −=
18. Una caja contiene cinco canicas, de las cuales tres están dañadas. Se eligen dos canicas al
azar sin remplazo. ¿Cuál es la función de probabilidad para el número de canicas dañadas
en la muestra?
R = 25
223
C
CCP KK −=
19. Se aplican análisis a los obreros de una empresa que fabrica material aislante, a fin de
detectar la existencia de asbesto en sus pulmones. La fábrica tiene que mandar tres
obreros, con indicaciones positivas de asbesto, a un centro médico para realizar más
pruebas. Si 40 % de los trabajadores tienen indicaciones positivas de asbesto en los
pulmones, encuentre la probabilidad de que se tengan que examinar a 10 operarios para
encontrar tres "positivos". (es importante considerar que los primeros dos operadores con
el “problema”, pueden aparacer en cualquier lugar dentro de los nueve, pero el último
necesariamente se dará en la décima posición)
R = [ ]4.0)6.0()4.0(72
29 C = 0.0644
20. Diez por ciento de las máquinas producidas en una línea de montaje resultan defectuosas.
Si se seleccionan máquinas aleatoriamente de una por una para probarlas, ¿cuál es la
probabilidad de encontrar la primera máquina defectuosa:
a) en la segunda prueba?
b) en la quinta prueba?
c) en la quinta prueba o antes?
R = a) 0.09; b) 0.0656; c) 0.4095
21. Suponer que 10 % de los motores fabricados en determinada línea de montaje son
defectuosos. Si se seleccionan al azar, uno a uno, los motores para probarlos, calcular la
probabilidad de que se encuentre el primer motor no defectuoso en el segundo intento.
R = 0.09
22. Una compañía aeroespacial ha construido cinco misiles. La probabilidad de un disparo
exitoso es, en cualquier prueba, de 0.95. Si se suponen lanzamientos independientes, ¿cuál
es la probabilidad de que la primera falla ocurra en el quinto disparo?
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45
R = 0.0407
23. Un agente de bienes raíces estima que la probabilidad de vender una casa es de 0.10. El
día de hoy tiene que ver cuatro clientes. Si tiene éxito en las primeras tres visitas, ¿cuál es
la probabilidad de que su cuarta visita no sea exitosa?
R = 0.0009
24. En Chihuahua la probabilidad de que ocurra una tormenta en cualquier día durante la
primavera es de 0.05. Bajo el supuesto de independencia, ¿cuál es la probabilidad de que
la primera tormenta ocurra el 5 de abril? Suponga que la primavera empieza el 1 de marzo.
R = 0.0083
25. Como puede verificarse fácilmente, las probabilidades de obtener 0, 1 o 2 lados A con un
par de monedas balanceadas son de 1/4, 1/2 y 1/4, respectivamente. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener dos lados A dos veces, una A y una B tres veces y dos B una vez
en seis lanzamientos de un par de monedas legales?
R = 0.117
26. Las probabilidades de que al conducir en cierta ciudad un modelo específico de automóvil
importado se obtenga en promedio menos de 22 Km./litro, entre 22 y 25 Km./litro o más
de 25 Km./litro son de 0.40, 0.40 y 0.20, respectivamente. Calcúlese la probabilidad de
que entre 12 de tales automóviles probados, cuatro den en promedio menos de 22
Km./litro; seis, entre 22 y 25 Km./litro, y dos más Km./litro.
R = 0.058
27. Las probabilidades de que una declaración de impuestos se llene correctamente, que
contenga un error que favorezca al declarante, que lleve un error que favorezca al fisco o
que contenga ambos tipos de errores son de 0.60, 0.20, 0.10 y 0.10, respectivamente.
Calcule la probabilidad de que entre 10 de tales declaraciones de impuestos aleatoriamente
elegidas para una auditoría, cinco estén correctas, tres contengan un error que favorezca al
declarante, una lleve un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de
errores.
R = 0.0313
28. Un supermercado suburbano vende los siguientes porcentajes de tres tipos de carne de res
según la oficina de inspección de alimentos: 10 % de primera calidad, 60 % de carne
selecta y 30 % de carne buena. ¿Cuál es la probabilidad de que entre nueve clientes
seleccionados al azar tres compren carne de primera calidad; tres, carne selecta, y tres,
carne de buena calidad?
R = 0.0099
29. Si cuatro empleados elaboran todas las facturas de la oficina de una compañía y se ha
determinado que 40 % de todas las facturas con errores son elaboradas por el empleado A,
20 % por el empleado B, 10 % por el C y el resto por el empleado D, ¿cuál es la
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46
probabilidad de que entre siete facturas con errores elegidas al azar dos hayan sido
elaboradas por el empleado A, una por B, una por C y tres por D?
R = 0.036
30. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos
producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para
embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo
defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificar la al 100%. S i no
se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de
que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b) ¿Cuál es la probabilidad
de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación?
31. Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos han sido
contaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al
inspeccionar 4 duraznos:
a) Los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneo b) cualquier cantidad entre 1 y
3 esté contaminada.
R. a) 16/81 b) 64/61
32. De acuerdo con una investigación llevada a cabo por la Administrative Management
Society, 1/3 de las compañías en EstadosUnidos le dan a sus empleados cuatro semanas de
vacaciones después de 15 años de servicio. Encuentre la probabilidad de que 6 de las
compañías investigadas al azar, el número que les dan a sus empleados cuatro semanas de
vacaciones después de 15 años de servicio es:
a) Cualquier cantidad entre 2 y 5; b) menos de 3.
R. a) 0.647 b) 0.680
33. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos, aproximadamente 60%
de los adictos al Valium, lo tomaron por primera vez debido a problemas psicológicos.
Encuentre la probabilidad de que los siguientes 8 adictos entrevistados:
a) exactamente 3 han comenzado a usarlo debido a problemas psicológicos. b) al menos 5
de ellos comenzaran a tomarlo por problemas que no fueron psicológicos.
R. a) 0.1239 b) 0.5941
34. Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró
que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados. De los
siguientes 15 camiones probados encuentre la probabilidad de que:
a) De 3 a 6 tengan pinchaduras; b) menos de 4 tengan pinchaduras; c)más de 5 tengan
pinchaduras.
R. a) 0.7073 b) 0.4613 c) 0.1484
35. De acuerdo con un reporte publicado en la revista Parade, septiembre 14 de 2004, una
investigación a nivel nacional llevada a cabo por la Universidad de Michigan reveló que
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ESTADÍSTICA APLICADA EN MANUFACTURA
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47
casi el 70% de los estudiantes del último año desaprueban las medidas para controlar el
hábito de fumar mariguana todos los días. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar
y se les pregunta su opinión, encuentre la probabilidad de que el número que desaprueba
dicha medida sea:
a) Cualquier cantidad entre 7 y 9 b) cuando mucho 5 ;c) no menos de 8
R. a) 0.6294b) 0.0386c) 0.7237
36. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazones de
0.9.¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se
sometan a esta intervención sobrevivan?
R= 0.1240
37. Un ingeniero de control de tráfico reporta que el 75% de los vehículos que pasan por un
punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que hasta 3
de los siguientes 9 vehículos no sean del estado?
R= 0.8343
38. Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que 20%
preferían un teléfono blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la
probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 20 teléfonos que se instalen en esta
ciudad sean de color blanco?
R= 0.0006
39. El dueño de una casa planta 6 tallos que selecciona al azar de una caja que contiene 5
tallos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 tallos de narciso y
4 de tulipán?
R= 5/14
40. El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de 5 acres se estima
que es de 12. Encuentre la probabilidad de que menos de 7 ratas de campo se encuentren
a) en una acre de terreno determinado; b) en 2 de los siguientes 3 acres inspeccionados.
R= a) 0.0458 b)0.0060
41. Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes.
Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verduras
a) En un determinado día; b) en 3 de lo siguientes 4 días; c) por primera vez el 5deabril.
R= a) 0.3840b) 0.1395c) 0.0553
42. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002.
Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas
infectadas.
R= 0.6288
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ESTADÍSTICA APLICADA EN MANUFACTURA
MTRO. JORGE VELAZQUEZ C.
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43. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su
declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10000 formas y se examinan,
encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.
R. 0.2657
44. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral
sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004.De los
siguientes 1875 estudiantes revisados encuentre la probabilidad de que:
a) Menos de 5 presenten este problema b) 8, 9 o 10 presenten este problema
R. a) 0.1321b) 0.3376
45. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la
línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A
partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad
defectuosa es 0.05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentran dos
o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que
la probabilidad de defectos se incremente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se
detenga? (suponga un 5% de defectos)
b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a 0.07. ¿Cuál es
la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga?
46. Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar. Se considerará
exitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras. De otra manera, no se
considerará eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100
soldaduras. La máquina se aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres
soldaduras.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras
correctas sea aceptada?
47. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford, 7
Chevrolet, 4 Dodge ,3 Datsun y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de
estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de
convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen 2
Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsuny 2 Toyota.