capitulo 13

2012

MATEMÁTICA INTERMEDIA II

Edwin Alexis Cordero Pesquera © 201145938

Hugo René Días Linares 201145972

Keneth Obed Rodas Linares 201146031

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz

Capitulo 13

Determine una ecuación vectorial y ecuación paramétrica para el

segmento rectilíneo P y Q.

P(0,0,0) Q(1,2,3)

Ver ejemplo 3 pagina 819 de James Stewart

Utilizando la ecuación 12.5.4 que se encuentra en la página 797 del

libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta

edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

ISBN 13: 978-970-686-638-7

En este caso se toma ⟨ ⟩ y ⟨ ⟩ para obtener una

ecuación vectorial del segmento rectilíneo que va de P a Q.

Se determinó una ecuación vectorial para el segmento rectilíneo que

une la punta del vector con la del vector .

( ) ( )

Sustituyendo valores:

(1-t)(0,0,0) + t(1,2,3),

Obtenemos la ecuación vectorial:

( ) ⟨ ⟩

13.1.15


Ecuación paramétrica

Determine una ecuación vectorial y paramétrica para el segmento

rectilíneo que une P y Q.





P(1,0,1) Q(2,3,1)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Ecuación Paramétrica

13.1.16


Encuentre una función vectorial que representa la curva de

intersección de las dos superficies.

Cilindro y la superficie z = xy

xy= plano z=

( )( ) ( )

Convertimos el 4costsent por identidad trigonométrica ver página

542 del libro de Precálculo, James Stewart-Lothar Redlin-Saleem

Watson, quinta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10:

970-686-638-8 ISBN 13: 978-970-686-638-7

Ecuaciones paramétricas

( )

Función vectorial

( ) ( )

El paraboloide y el cilindro

13.1.36

13.1.38


La función vectorial que representa la curva de intersección de la

grafica son:

Si [

]

Si [ ]

Si tenemos que

= ( )

( ) ( )

Calcule la derivada de la función vectorial:

( ) ( )

( )

[ ]

[ ]

[ ]

( ) ( )( )

( )

Encuentre el vector tangente T(t) en el punto con el valor dado del

parámetro t.

( )

( ) ⟨ ⟩

13.2.9

13.2.21


Utilizando la formula:





ISBN 13: 978-607-481-152-0

( ) ( )

| ( )|

( ) ( )

( )

( )

| ( )| √ √

( ) ( )

| ( )|

√ ( )

√

√

√

( )

( ) ( ) ⌈

⌉

( ) ( ) ⌈

⌉ ⌈

⌉ ⌈

⌉

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


Evalué la integral:

∫( )

((∫

) (∫

) (∫

) )

[ ]

[ ]

[ ]

Evalué la integral dada:

∫ ( )

((∫

) (∫

)

(∫

) )

[ ]

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

13.2.33

13.2.35


13.3.1

Determine la longitud de la curva:

( )

( )

| ( )| √( ) ( )

| ( )| √ ( ) ( ) √ √

∫ | ( )| ∫ √ √ ]

√

= 107.70

Determine la longitud de la curva



libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta


ISBN 13: 978-970-686-638-7

( )

( ) √

| ( )| √ √ ( ) ( )

∫ | ( )| ∫ ( ) [ ]

13.3.7


Encuentre la longitud de la curva:

( ) √

( )

√

| ( )| √(

√ ) ( ) √

Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida

desde el punto t =0 en la dirección en que se incremente:

( ) ( ) ( )

( )

| ( )| √ √

( ) ∫ | ( )| ∫ √

√

√

√

( ( ))

√ (

√ ) (

√ )

13.3.6

13.3.13


a) Determine los vectores unitario, tangente y normal unitario T(t) y

N(t).

b) Aplique la fórmula 9 de la página 832 del libro para calcular la

curvatura.

La ecuación 9, que se encuentra en la página 832 del libro de Cálculo

Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage

Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0

( ) | ( ) ( )|

| ( )|

( ) ⟨ ⟩

( ) ⟨ ⟩

( ) ⟨ ⟩

| ( )| √ √ ( ) √

| ( )| √

( ) ( )

| ( )|

√ ⟨ ⟩

√ ⟨ ⟩

( )

√ √

√

( ) ( )

| ( )|

√

√

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

B) ( ) | ( )|

| ( )|

√

√

√

13.3.18


Aplique el teorema 10 de la pagina 833 del libro para calcular la

curvatura.

( )




( ) | ( ) ( )|

| ( )|

( )

( )

| ( )| √( ) ( ) √

( ) ( )

| ( ) ( )|

( )

(√ )

( ) ⁄

Mediante la formula 11 de la pagina 834 del libro, determine la

curvatura

13.3.21

13.3.27





( ) | ( )|

[ ( ( )) ] ⁄

( )

( )

( )

( ) | |

[ ( ) ] ⁄

[ ] ⁄

Calcule los vectores tangente T, normal N y binormal B en el punto

dado:

( ) ⟨ ⟩ ( )

( ) ⟨ ⟩

| ( )| | |

( ) ( )

| ( )| ⟨ ⟩

( ) ⟨ ⟩ ( ) ( )

( ) ⟨ [( )( ) ( )( )] ( )( ) ⟩

( ) ⟨ ⟩

13.3.44


( ) ( )

| ( )| ( )

√

√ ( ) ⟨

√

√ ⟩

( ) ( ) ( ) ( ) (

√

√ )

( ) (

√

√ )

( ) ⟨ ⟩

( ) ⟨

√

√ ⟩

( ) (

√

√ )

Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de

la curva en el punto dado:

( )

( )

( ) ( )

| ( )|

( )

√

( )

√ ( )

( )

√ ( ) ( ) ( )




13.3.45


Ecuación del plano tangente:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

√ ( )

| ( )| √

√

√

| ( )| ( )

( ) ⟨ ⟩

( ) ( )

√ ( ) ( )

√ ( )

( ) ( ) Ecuación del plano osculador:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Calcule la velocidad, la aceleración y la rapidez de una partícula con

la función de posición dada.

( ) (

)

13.4.3


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

| ( )| √

Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula con la

función de posición dada:

( ) ⟨ ⟩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

| ( )| √( ) ( ) ( ) √

Determine los vectores de velocidad y posición de una partícula que

tiene la aceleración dada y la velocidad y posición iniciales dadas:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ∫ ( ) ∫( )

13.4.9

13.4.15


Constante cuando v(t = 0) = c; Entonces tenemos que c = k

( )

( ) ∫ ( ) ∫( )

( )

Cuando r(t = 0) = D entonces D = i entonces:

( ) (

)

Encuentre el vector de posición de una partícula que tiene la

aceleración y la velocidad y posición iniciales especificadas:

( )

v(t = 0) = k

r(t = 0) = j+k

( ) ∫( )

Cuando k = v(t = 0) tenemos que:

( )

( )

( )

Entonces:

Entonces tenemos que:

( )

( ) ( )

13.4.18


( ) ∫ ( ) ∫(

( ) ( ) )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Entonces: D = 0

( )

( ) ( )

La función de posición de una partícula está definida por

( ) ⟨ ⟩ Cuando la rapidez sea:

( ) ( ) ( )

| ( )| | ( )| √( ) ( )

| ( )| | ( )| √

| ( )| | ( )| √

| ( )|

( ) ⁄ ( )

Si el número es cero tenemos que:

16t - 64= 0 ; t=4

13.4.19


Si

| ( )|

| ( )|

Sustituyendo t = 4 en

| ( )| | ( )| √ ( ) ( ) √

Una fuerza de magnitud de 20N actúa en forma directriz hacia arriba

del plano xy sobre un objeto con masa de 4kg, el objeto parte del

origen con velocidad inicial ( )

Determine la función de posición y su rapidez en el tiempo t:

| ( )| en la dirección positiva de z.

m = 40kg

F = ma

( ) [ ( )]; ( )

Entonces: ( )

( )

Velocidad magnitud: ( ) √ √

Entonces: ( )

Entonces: pues la partícula parte del origen.

( )

13.4.21


Calcule las componentes tangencial y normal del vector aceleración:

( ) ( )

( ) ( )

| ( )| √( ) ( )

| ( )| √( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

| ( )|

Ecuación 9, que se encuentra en la página 843 del libro de Cálculo



Por la relación,

( )

| ( ) ( )|

| ( )|




( )

( )

13.4.33


Encuentre el vector unitario tangente T(t) en el punto con el valor

dado del parámetro z.

( ) √

( )

√

( )

( ) ( )

| ( )|

√ ( )

( )

( )

Encuentre la función vectorial que representa la curva de

intersección de estas dos gráficas:

Si

Si

:

( )

( ) ( )

13.9.18

13.9.38


Ejercicio de repaso:

Una partícula parte del origen con velocidad inicial i-j+3k. Su

aceleración es a(t) = 6ti + 12 j - 6tk. Calcule su función de posición

( ) ∫ ( ) ∫( )

( ) ∫( ) ( ) ( )

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

13.118

capitulo 13

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