capitulo 12 probabilidades

COMPENDIO ACADMICO 2 RAZONAMIENTO MATEMTICO

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INTRODUCCIN :

Muchas veces escuchamos expresiones

como: ha estudiado mucho es muy probable que ingrese a la universidad, el cielo est despejado es poco probable que llueva, etc. Frecuentemente el trmino probabilidad se usa para indicar duda o incertidumbre sobre lo que ocurrir. La prctica demuestra que existen acontecimientos que no se pueden predecir, sin embargo si es posible estimar el probable resultado.

Es, sin duda, ms probable obtener una bola blanca; ya que en la caja hay ms bolas blancas que rojas. Para este ejemplo, que no

es muy complicado, se deduce que la probabilidad de sacar una bola blanca es 4/5.; mientras que la probabilidad de sacar una bola roja es slo 1/5, pero cmo obtenemos estos resultados?; o ms an qu significan? Precisamente en esta parte explicaremos todo ello.

Conceptos Previos

EXPERIMENTO DETERMINS TICO

Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta de un nico resultado posible.

Ejemplo :

Al lanzar el dado se obtiene como nico resultado probable 1 punto.

EXPERIMENTO ALEATORIO

Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta con ms de un resultado posible.

Ejemplo :

No podemos predecir qu resultado saldr ya que podra ser: 1, 2, 3, 4, 5 6 puntos.

EXPERIMENTO MUES TRAL

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento

aleatorio.

Ejemplo : Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado.

Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Nmero de elementos del espacio muestral: n 6

EVENTO O S UICES O A, B, C, ...

Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota con las primeras letras del alfabeto (maysculas).

Ejemplo :

Experimento aleatorio: Lanzar un dado

Evento: Obtener un puntaje impar

1, 2, 3, 4, 5, 6 A 1, 3, 5

"Qu ser ms probable:

obtener una bola roja o

una bola blanca, al sacar

una bola de la caja?"

B B BR B

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejando huella


n 6 n A 3

DEFINICIN DE PROBABILIDAD

Si A es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y est dado por la relacin.

N de casos a favor de A n A P A

N total de casos posibles en n

Ejemplo 01:

Si se lanza un dado, cul es la probabilidad de obtener un puntaje impar? a) 1/3 b) 1/6 c) 4/5 d) 1/2 e) 2/3 Solucin:

Experimento aleatorio: Lanzar un dado Espacio muestral:

1, 2, 3, 4, 5, 6 n 6

Evento: Obtener un puntaje impar

A 1, 3, 5 n A 3

Luego:

n A 3P

n 6

1

2 Rpta.

Ejemplo 02:

Cul es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en ambas sello? a) 1/3 b) 5/6 c) 1/5 d) 1/4 e) 1/2 Solucin:

Al lanzar dos monedas los posibles resultados son:

Espacio

: c,c , c, s , s,c , s, s n 4muestral

Suceso : A n A 1s,s

Luego:

n AP

n

1

4 Rpta.

Ejemplo 03:

Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, cul es la probabilidad de obtener 7 puntos en total? a) 2/18 b) 1/4 c) 1/6 d) 3/7 e) 1/12

Solucin:

Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema:

Casos totales:

1,1 , 1, 2 , 1,3 , ... , 1,6

2,1 , 2, 2 , 2,3 , ... , 2,6

3,1 , 3, 2 , 3, 3 , ... , 3,6

6,1 , 6, 2 , 6,3 , ... , 6,6

n 36

Casos a favor:

A 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4 ,3 , 5 , 2 , 6 ,1 n A 6

Luego:

n A 6P

n 36

1

6 Rpta.

Ejemplo 04:

Una caja contiene 4 esferas azules y 5 esferas rojas: I. Cul es la probabilidad de que al extraer

una esfera, esta sea azul?

c

c

s

s

c

s

c

s

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

dado rojo

dado

blanco

Este resultado indica

que se obtuvo 1 punto

en el dado blanco y 6

en el rojo



II. Cul es la probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas?

III. Cul es la probabilidad de que al extraer 5 esferas, dos sean azules y 3 rojas?

a) 4/9 ; 5/18 ; 10/21 b) 4/9 ; 5/18 ; 11/21

c) 4/9 ; 5/18 ; 13/21 d) 4/9 ; 4/36 ; 10/21

e) 5/9 ; 5/18 ; 10/21

Solucin:

I. Probabilidad de que al extraer una esfera sea azul:

# de azules = 4

# de rojas = 5

# total = 9

Como al extraer una esfera se quiere que sea azul: Nmero de casos a favor = 4 (porque hay 4 azules) Nmero de casos totales = 9

(porque hay 9 esferas en total) 4

P9

II. Probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas:

Si denotamos a las esferas como:

1 2 3 4 5 1 2 3 4R , R , R , R , R , A , A , A , A

Casos a

favor: 1 2 1 3 1 4 2 3A R R , R R , R R , R R ,... Se observa que cualquier grupo de 2 esferas rojas que podemos formar con las 5 esferas rojas que tenemos representa un caso a favor, luego:

N de casos a favor 52

5 4C 10

2 1

Al extraer dos esferas podra salir cualquier de los grupos de 2 que podemos formar con las 9 esferas:

Casos totales:

1 1 1 2 1 3 1 2R A , R A , R A , A A ,...

N de casos totales 92

9 8C 36

2 1

N de casos a favor 10 5

PN de casos totales 36 18

III. Probabilidad de que al extraer 5 esferas, 2 sean azules y 3 rojas.

Anlogamente se deduce: N de casos totales

95

9 8C

7 6 5

5 4 3 2 126

1

N de casos a favor

60

P126

10

21

Rpta.

PROPIEDADES

Si A es un evento definido en , entonces:

0 P A 1

Cuando: P(A) = 0, se dice que A es un

evento imposible; porque nunca va a

ocurrir.

Ejemplo Evento A: Obtener un puntaje mayor que 7 en el lanzamiento de un dado.

Cuando: P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro; porque siempre ocurre.

Ejemplo Evento A: Obtener un puntaje menor que 7 al lanzar un dado

Probabilidad por complemento: Si A es un evento definido en el espacio muestral , entonces:

A A A

RRRRR

A

A

A A A

RRRRR

A

R R

5 4 5P

9 8 18

A A A

RRRRR

A

R R RA A

4 3 5 4 3 5 !P

9 8 7 6 5 2!3!

De las 4 azules

sacar 2

De las 5 rojas

sacar 3

4 52 3

4 3 5 4 3C C 60

2 1 3 2 1



P A 1 P A'

donde: P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A): Probabilidad de que no ocurra el evento A.

Ejemplo 05: Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas. a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 7/8 e) 5/8

Resolucin:

ccc , ccs , csc , css , scc , scs , ssc , sss

n 8

Como el complemento (lo contrario) de

obtener al menos una cara es no obtener ninguna cara (puros sellos). Hallemos la probabilidad de obtener puros sellos.

A sss n A' 1

Luego: 1

P A'8

Entonces: 1 7

P A 18 8

La probabilidad de obtener al menos una

cara es 7

8

Ejemplo 06: Las probabilidades que tienen Juan y Mara de resolver un mismo problema son 1/3 y 2/5 respectivamente. Si ambos intentan hacerlo, seale la probabilidad de que el problema sea resuelto. a) 2/5 b) 3/5 c) 1/4 d) 3/4 e) 11/15

Resolucin:

Aplicando la propiedad por complemento - Probabilidad de que Juan resuelva: 1/3

Probabilidad de que no resuelva: 1 1/3 = 2/3 - Probabilidad de que Mara resuelva: 2/5 Probabilidad de que no resuelva: 1 2/5 = 3/5

Como: P sea resuelto P no resuelto 1

2P sea resuelto3

3

15

2

P sea resuelto 15

3

5

Rpta.

Eventos mutuamente excluyentes: Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple:

P A o B P A P B

P A y B 0

donde: P A o B : Probabilidad de que

ocurra A o B

Eventos independientes: Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple:

P A y B P A P B

donde:

P A y B : Probabilidad de que ocurra A y B.

Ejemplo 07: Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja. a) 2/11 b) 10/11 c) 5/11 d) 4/11 e) 7/11 Resolucin: Del enunciado:

c

c

c

c

s

s

s

s

c

c

s

s

c

c

s

s

c

s

c

s

c

s

c

s

que Juan no resuelva que Mara no resuelva

R

B B B B

R R

R R

A A

Se extrae una

bola

Total: 11 bolas



2P azul11

5

P roja11

Como no es posible que la bola sea azul y roja a la vez (eventos mutuamente excluyentes), entonces:

2 5

P azul o roja11 11

7

11

Rpta.

Ejemplo 08: Calcular la probabilidad de obtener sello al

lanzar una moneda, y un puntaje impar mayor que 2 al lanzar un dado. a) 2/3 b) 1/12 c) 1/6 d) 2/11 e) 5/6 Resolucin: Sabemos que al lanzar una moneda:

1P sello2

Como al lanzar un dado los posibles

resultados son:

: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6

Los casos a favor son: 3 ; 5

Luego: 2 1

P impar 26 3

Como obtener sello en la moneda no afecta a que se obtenga un puntaje impar mayor que 2 en el dado, entonces:

1 1

P sello e impar > 22 3

1

6

Rpta.

Nota :

Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir

pueden ocurrir a la vez: P A o B P A P B A y B

Ejemplo 09: La probabilidad de que Anglica estudie RM es 0,75 y la probabilidad de que estudie RV es 0,50. Si la probabilidad de que estudie

RM o RV es 0,85, cul es la probabilidad de que estudie ambos a la vez? a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 Resolucin:

Como Anglica puede estudiar RM y RV a la vez, los eventos estudiar RM y estudiar RV no son mutuamente excluyentes, entonces: P RM o RV P RM P RV P RM y RV

0,85 0,75 0,50 P RM y RV

P RM y RV 0,40

La probabilidad de que estudie ambos cursos a la vez es 0,40.

Nota : Cuando dos sucesos A y B no son independientes:

P A y B P A P B/A donde:

P B/A : Probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurri el suceso A.

Ejemplo 10: En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 estn pintadas de rojo y el resto de blanco. Una persona extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color rojo. a) 4/9 b) 3/7 c) 5/9 d) 4/7 e) 2/7 Resolucin: Del enunciado:

N de rojos = 10

N de blancos = 5

N total = 15

Nos piden:

2do rojo, asumiendo

1er 2doP y P 1er rojo P que en la primera

rojo rojo sali rojo

R RB BB B

R

R R R R R R

R R R R

1 2



10 9

15 14

3 7

Rpta.

Ejemplo 11: Se han vendido 100 boletos de rifa

numerados del 001 al 100. Si el nmero ganador ha resultado par, cul es la probabilidad de que sea premiada una persona que ha comprado los nmeros 020, 021 y 022? a) 3/20 b) 3/100 c) 1/50 d) 1/25 e) 1/20

Resolucin: Se nos dice calcular la probabilidad que gane, sabiendo que el nmero ganador fue par. Utilizando:

casos favorablesProbabilidad

casos totales , tenemos

Casos totales: No son todos los resultados posibles, si no slo aquellos boletos cuya numeracin es par; es decir:

Casos totales: 50 casos

002 ; 004 ; 006 ;...; 100

Casos favorables: Son todos los boletos que compr la persona; pero que se encuentran en los casos totales; es decir los pares:

Casos favorables 2 casos

: 020 ; 022

2

Probabilidad50

1

25

Rpta.

Divirtete!!

Se tiene 6 canastas que contienen 10 canicas cada una; en cinco canastas las canicas pesan 10 gramos cada una y en una canasta las canicas pesan 11 gramos cada una. Cuntas pesadas como mnimo deben hacerse en una balanza de un solo platillo,

para saber qu canasta contiene a las canicas que pesan ms?

Cada canasta tiene 10 canicas

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar. a) 20% b) 40% c) 50% d) 30% e) n.a.

Resolucin: Experimento aleatorio: lanzar un dado

Espacio muestral: 1,2,3,4,5,6

n 6

Casos favorables: A 1,3,5

n A 3

n A 3P A 0,5

n 6

P A 50% Rpta.

2. Al lanzar tres monedas al aire. Cul es la probabilidad de que las tres sean iguales?

a) 1

2 b)

1

4 c)

1

6

d) 1

3 e)

1

5

Resolucin:

CCC;CCS;CSC;SCC;SSS;SSC;SCS;CSS D

e donde: n 8

A CCC,SSS n A 2

2P A8

1

4

Rpta.

3. Al abrir un folleto de 100 pginas, calcular la probabilidad que al observar sta pgina no termine en cero.

Hay 9 fichas rojas

que quedan

Como se extrajo

una ficha quedan 14



a) 9

5 b)

9

6 c)

9

10

d) 9

4 e) n.a.

Resolucin:

1 , 2 , 3 , 4 ........ , 100

De donde: n 100

A pgina que termina en cero

A 10,20,30,.......,100 n A 10

A' pagina que no termina en cero

Entonces:

P A' 1 P A

10P A' 1 100

P A' 9

10

Rpta.

4. Una casa est conformado por 11 nios y 7 nias, si se escoge 4 estudiantes al azar .Cual es la probabilidad que todos sean nios?

a) 11

50 b)

11

102 c)

11

40

d) 11

100 e) n.a.

Resolucin:

114

184

C (# casos fav.)Pr obabilidad

C (# Total casos fav.)

11 10 9 8Pr obabilidad

18 17 16 15

Pr obabilidad 11

102

Rpta.

5. Se lanzan dos dados al aire simultneamente. Cul es la probabilidad de obtener 8 puntos?

a) 5

4 b)

5

36 c)

5

8

d) 5

26 e) n.a.

Resolucin:

n 36 ; n A 5

P 8 puntos 5

36

Rpta.

6. Para una rifa se venden 20 cupones; Mario compra dos cupones, si se ofrecen dos premios. Cul es la probabilidad de que obtenga solo uno de los premios?

a) 9

5 b)

9

10 c)

9

8

d) 9

4 e) n.a.

Resolucin:

102

202

19 18C 2Pr obabilidad

20 19C2

Pr obabilidad 9

10

Rpta.

7. Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas verdes. Determinar cual es la probabilidad de que se extraiga una bola roja blanca.

a) 2

3 b)

5

9 c)

4

9

d) 1

3 e)

7

9

Resolucin:

F 3

P 1 rojoT 12

F 5P 1 blnacaT 12

Piden: P 1 roja 1 blanca

P 1 roja P 1 blanca

3 5 8

12 12 12

2

3 Rpta.

8. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul. Cul es la probabilidad de que al extraer una bola sea de color verde o azul?

a) 7

9 b)

7

2 c)

7

5

d) 7

8 e) n.a.

Resolucin: Total de bolas:

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

er1 dado

do2 dado



n 4 6 8 18

Verde azul n A 6 8 14

14P verde azul18

P verde azul 7

9

Rpta.

1. Se lanza un dado y se sabe que el

resultado es n nmero par. Cul es la probabilidad de que ese nmero sea divisible por 3?

a) 1

2 b)

1

3 c)

1

4

d) 1

5 e)

1

6

2. Diana quiere pintar un tringulo de la figura. Si escoge uno al azar, cul es la probabilidad de que pinte un tringulo que contenga a lo ms 2 regiones simples?

a) 15

9 b)

13

20 c)

9

10

d) 7

20 e)

11

20

3. Dos turistas encuentran tres hoteles denominados A, B y C, y se alojan al azar pudiendo estar ambos turistas en un mismo hotel. Cul es la probabilidad de

que el hotel B no aloje a ninguno?

a) 2

7 b)

4

7 c)

4

9

d) 1

3 e)

5

9

4. En una urna se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20. Se extrae una ficha y se sabe que su nmero es par. Cul es la probabilidad de que este nmero sea divisible por 3?

a) 2

13 b)

3

10 c)

1

10

d) 1

15 e)

7

10

5. Tres cazadores A, B y C estn apuntando con sus rifles a un len. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan, cul es la probabilidad de que los tres acierten?

a) 27

35 b)

17

35 c)

18

35

d) 8

35 e)

99

105

6. La probabilidad de que Magali compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0,5. Hallar la probabilidad de que compre slo una de dichas prendas, si la

probabilidad de que no compre ninguna es 0,5. a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

7. De una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Hallar la probabilidad de que la bola extrada no sea negra.

a) 1

3 b)

4

7 c)

5

9

d) 2

3 e)

4

9

8. Se ubican 5 personas (dos de ellas son Pedro y Walter) en una mesa circular. Qu probabilidad hay de que Pedro y Walter no se ubiquen juntos?

a) 1

3 b)

2

5 c)

1

4

d) 1

2 e)

3

4

9. De 100 pacientes examinados, 20

padecan de artritis, 32 padecan de gastritis y 8 tenan ambos males. Hallar la



probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis.

a) 11

25 b)

11

50 c)

17

50

d) 13

50 e)

19

25

10. En una caja hay 30 bolas del mismo tamao numeradas del 1 al 30. Si se eligen 3 nmeros al azar, cul es la probabilidad de que sean consecutivos?

a) 1

147 b)

1

145 c)

2

145

d) 3

406 e)

1

155

11. Determinar la probabilidad de que al extraer 2 cartas de una baraja stas sean corazones.

a) 1

13 b)

1

2 c)

1

17

d) 3

28 e)

4

25

12. A una seora embarazada le diagnostican que tendr trillizos. Cul es la probabilidad que el da del parto nazcan 3

mujeres?

a) 1

2 b)

1

4 c)

1

8

d) 1

16 e)

1

3

13. La probabilidad que tiene A de ganar a B en una partida de ajedrez es igual a 1/3. Cul es la probabilidad que tiene A

de ganar por lo menos una de tres partidas?

a) 1

9 b)

1

27 c)

8

27

d) 19

27 e)

4

27

14. De una que contiene 5 focos defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos.

a) 7

9 b)

4

11 d)

7

11

d) 8

11 e)

3

11

15. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30, todas del mismo tamao y forma. Si extrae una ficha al azar, cul es la probabilidad de que sta sea mltiplo de 3 de 5?

a) 8

15 b)

13

30 c)

1

2

d) 7

15 e)

3

10

16. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados de los dos dados sea igual a 10 o igual a 7.

a) 7

36 b)

1

6 c)

1

12

d) 1

4 e)

7

18

17. Si se lanzan 3 monedas sobre una mesa, cul es la probabilidad de que se obtengan 2 caras y 1 sello?

a) 1

2 b)

1

4 c)

5

8

d) 1

8 e)

3

8

18. En una reunin hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar, cul es la probabilidad de que todas sean

mujeres?

a) 8

102 b)

13

102 c)

7

102

d) 15

102 e)

11

102

19. Se lanzan 5 monedas al mismo tiempo sobre una superficie lisa. Cul es la

probabilidad de obtener 3 caras y 2 sellos?

a) 7

16 b)

5

16 c)

1

8

d) 3

16 e)

1

2

20. Suponga que se ha cargado un dado, de manera que la probabilidad que ocurra un

nmero determinado es proporcional al cuadrado mismo. Calcule la probabilidad que se obtenga 4 puntos.

a) 2

91 b)

4

21 c)

1

91

d) 4

91 e)

16

91

21. Un recipiente contiene 4 bolas rojas y 4 bolas blancas; todas del mismo tamao y material. Si se extraen dos bolas una a una. Calcule la probabilidad de obtener una de cada color. a) Con reposicin b) Sin reposicin



a) 1 3

;2 7

b) 24 2

;49 7

c) 12 2

;49 7

d) 1 4

;2 7

e) 8 4

;49 7

22. Al lanzar dos dados, cul ser la probabilidad de obtener 3 como diferencia de los resultados en los dados?

a) 1

19 b)

1

6 c)

1

12

d) 2

17 e)

1

18

23. En una carpeta se van a ubicar 4 hombres y 3 mujeres. La probabilidad de que se ubiquen de forma alternada es:

a) 2

35 b)

6

35 c)

3

35

d) 1

35 e)

4

35

24. Le piden a Tito que escriba un nmero de 3 cifras. Cul es la probabilidad de que el nmero escrito por Tito est formado slo por cifras impares?

a) 5

36 b)

1

8 c)

7

36

d) 7

18 e)

5

18

25. Se tiene dos urnas: en la primera hay 3 bolas azules y 6 rojas, en la segunda urna se tiene 4 bolas azules, 3 rojas y 2 blancas. Si

se extrae una bola al azar, determine: a) La probabilidad de que la bola extrada sea azul. b) Si la bola extrada result roja, cul es

la probabilidad de que sea de la primera urna?

a) 7 1

y 12 9

b) 7 3

y 24 4

c)

7 2 y

18 3

d) 3 4

y 17 7

e) 5 1

y 18 5

26. En un saln de clase se encuentran 10 nios y 4 nias. Si se escogen tres estudiantes al azar, cul es la probabilidad de que dos de ellos sean nios y la otra sea

nia?

a) 45

91 b)

36

53 c)

46

73

d) 49

81 e)

34

55

27. Un grupo de 12 amigas, entre las cuales se encuentran Juana y Mara, se van de excursin. Si se decide formar un grupo de 5 personas, calcule la probabilidad de que en dicho grupo siempre estn Juan y Mara.

a) 12

29 b)

4

28 c)

7

23

d) 9

35 e)

5

33

28. En una canasta hay 4 duraznos, 6 manzanas, 5 naranjas y 3 peras. Cul es la probabilidad de que al elegir 4 frutas al azar resulten ser del mismo tipo?

a) 25

102 b)

8

1050 c)

7

1020

d) 16

511 e)

11

1020

29. Se colocan aleatoriamente 6 obras en un mismo estante, entre las cuales hay una obra de 4 tomos, otra de 3 tomos, otra de 2 tomos y las restantes de un solo tomo cada

una. Cul es la probabilidad de que los tomos de cada obra estn juntos? (Obs: Todos los tomos son de diferente tamao)

a) 25

2333 b)

3

2320 c)

2

2315

d) 7

2310 e)

1

2310

30. Una persona lanza 3 dados, y gana si obtiene 8 puntos. Cul es la probabilidad de ganar?

a) 4

9 b)

1

9 c)

1

4

d) 7

72 e)

5

6

31. Sobre la superficie de una esfera marcamos tres puntos al azar. Cul es la probabilidad que los tres puntos queden en una misma semiesfera?

a) 1

10 b)

1

360 c)

1

4

d) 1

2 e) 1

32. Se elige al azar un nmero entre los 200 primeros nmeros enteros positivos. Cul es la probabilidad de que el nmero elegido sea divisible por 6 o por 8?

a) 1

15 b)

1

6 c)

1

4



d) 1

5 e)

1

8

33. Una bola contiene canicas de colores: 5 blancas, 7 negras y 4 rojas. Calcule la

probabilidad de que al extraer 3 canicas, las 3 sean blancas.

a) 3

4 b)

3

28 c)

3

16

d) 2

25 e)

1

56

34. Halle la probabilidad de obtener un

nmero primo al sumar los puntos luego de lanzar dos dados normales.

a) 3

17 b)

5

12 c)

7

12

d) 16

36 e)

17

23

35. Se tiene un circuito de 8 cm de radio. Si ubicamos en su interior un punto aleatoriamente, cul es la probabilidad de que este punto est ms cerca o a igual distancia del centro que de la circunferencia?

a) 2

3 b)

1

4 c)

2

5

d) 3

7 e)

7

9

36. En una caja se tiene 4 bolas azules y 6 bolas blancas. Se extrae 3 bolas al azar, una por una (sin reposicin). Hallar la probabilidad de que la primera sea blanca, la segunda azul y la tercera blanca.

a) 3

5 b)

1

5 c)

1

6

d) 5

6 e)

2

5

37. En una carrera de caballos participan 3 peruanos, 2 bolivianos y 4 ecuatorianos. Si todos tienen igual posibilidad de ganar, cul es la probabilidad de que primero

llegue un peruano y segundo un boliviano?

a) 1

5 b)

1

6 c)

1

24

d) 1

12 e)

1

9

38. En una carrera de autos participan 4 competidores A, B, C y D. Uno de ellos

necesariamente debe ganar. Si la probabilidad de que gane A es el doble de la

B, la de B es la mitad de C y la de D es el triple de A, cul es la probabilidad que gane A?

a) 1

5 b)

1

6 c)

1

24

d) 2

11 e)

1

9

39. Se extrae una carta de una baraja normal. Calcular la probabilidad de obtener un 4 o un 6.

a) 1

13 b)

2

13 c)

2

9

d) 1

9 e)

15

26

40. Sabiendo que la probabilidad de que ocurra una accidente en 1 km de una carretera es 1/3. Cul es la probabilidad de que ocurra al menos un accidente en 3 km de esa carretera?

a) 1

3 b)

1

27 c)

8

27

d) 2

3 e)

19

27

41. Cuatro personas que no se conocen entre s acuden al cine. En el cine aun quedan 2 filas, de 8 asientos cada una, vacas. Si todos se ubican cada uno en un asiento. Cul es la probabilidad de que se

ubiquen en una misma fila?

a) 2

13 b)

12

13 c)

1

13

d) 7

52 e)

5

52

42. Con 7 mdicos y 4 ingenieros se debe formar un comit de 6 miembros. Cul es la probabilidad que el comit incluya al menos 2 ingenieros?

a) 1

2 b)

53

66 c)

17

52

d) 1

3 e)

23

62

43. 6 parejas de casados se encuentran en una habitacin. Si 4 personas se seleccionan al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados.

a) 1

2 b)

1

3 c)

1

17

d) 1

33 e)

2

5



44. Si se lanza 5 veces un dado, cul es la probabilidad de que las 5 caras que aparecen sean diferentes?

a) 7

23 b)

31

32 c)

1

32

d) 7

22 e)

5

54

45. Se tienen 2 urnas: en la primera hay 5 esferas rojas y 2 blancas, y en la otra 3 rojas y 5 blancas. Se saca una esfera al azar de cada urna, se hecha en una tercera urna vaca y se revuelven. Si de esta tercera urna se saca al azar una esfera, halle la probabilidad de que esta esfera sea blanca.

a) 7

15 b)

8

15 c)

51

112

d) 13

21 e)

8

25

46. Se lanza n veces un dado. Cul es la probabilidad de no obtener en ningn lanzamiento el nmero 5?

a) n

n

6 1

5

b)

n1

6

c)n

51

6

d) n

11

6

e) n

5

6

47. Una anciana lleva en una canasta dos clases de fruta. Naranjas y limas. Se sabe

que el nmero de limas es la cuarta parte del nmero de naranjas; y adems la tercera parte del nmero de naranjas estn malogradas y de las limas la mitad estn malogradas. Si la anciana sin ver mete la mano en la canasta y saca una fruta, cul es la probabilidad que sea una naranja malograda?

a) 4

15 b)

3

17 c)

5

16

d) 3

19 e)

4

13

48. Se tienen las cifras 1, 2, 3, 5 y 7 y se quiere formar un nmero de dos cifras de ellas. Cul ser la probabilidad de formar un nmero mltiplo de 3?

a) 1

9 b)

9

25 c)

12

7

d) 3

7 e)

2

5

49. En una urna se tiene 5 esferas azules numeradas del 1 al 5, y 6 esferas rojas numeradas del 1 al 6. Si a una persona con los ojos vendados se le hace sacar dos esferas de esa urna, cul es la probabilidad de obtener una esfera azul y una roja cuya suma sea 8?

a) 13

50 b)

8

55 c)

4

55

d) 5

53 e)

6

53

50. De una baraja de 52 cartas se extraen 5 cartas al azar. Calcule la probabilidad de obtener:

a) Tres cartas del mismo nmero, y las otras dos tambin del mismo nmero pero diferente que el nmero que tienen las otras tres.

b) Dos rojas y tres negras.

a) 4 4 26 263 2 2 3

52 525 5

13C 12C C C;

C C

b)

2 1;

13 7

c) 8 52 55 5 2

52 525 5

13C C C;

C C

d)

5 6;

52 13

e) 1 1

;3 2

51. Se tiene 9 puntos en el espacio, en forma aleatoria se toman puntos para unirlos de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 y as sucesivamente; estos puntos se unen mediante rectas. Calcule la probabilidad de que al unir puntos se puedan formar pirmides de base triangular.

a) 60

531 b)

62

251 c)

63

251

d) 52

135 e)

49

154

52. Tres amigos: Juan, Pedro y Luis entran a una tienda en la cual slo hay tres marcas de gaseosas: Fanta, Inca Kola y Coca Cola, al ser consultado por la vendedora, ellos dicen que cualquier gaseosa les da igual. Cul es

la probabilidad de que los 3 tomen la misma gaseosa, si la probabilidad de que la vendedora coja cualquier gaseosa siempre es la misma?

a) 1

9 b)

2

5 c)

1

2

d) 3

7 e)

1

5



53. Se lanzan m monedas a la vez. Calcule la probabilidad de obtener n caras. (Obs. n



d) 112

2349 e)

157

3402

62. En una urna se tienen 3 bolas azules, 6 blancas, 4 verdes y 2 rojas. Calcule la

probabilidad que al extraer 3 bolas al azar: a) Ellas resulten del mismo color.

b) Ellas resulten de colores diferentes.

a) 5 6

;97 97

b) 5 13

;91 91

c) 8 11

;91 91

d) 5 36

;91 91

e) 19 40

;91 91

63. Dos jugadores que tienen la misma habilidad, juegan una secuencia de partidos hasta que uno de ellos gane 2 partidos

seguidos. Determina la probabilidad de que se necesite un nmero par de partidos para que se termine el juego.

a) 2

3 b)

1

3 c)

1

4

d) 1

2 e)

3

4

64. Un hombre se va a pescar y lleva 3 tipos de carnada, de las cuales slo una es la correcta para pescar. La probabilidad de que pesque si usa la carnada correcta es 1/3 y 1/5 si escoge la carnada incorrecta. Cul es la probabilidad de que pesque si escoge una carnada al azar?

a) 13

24 b)

14

31 c)

11

45

d) 15

54 e)

12

65

1. Se tiene 12 ampolletas en un botiqun, de

las cuales 9 son buenas, tomndose una por una dichas ampolletas. Cul es la probabilidad de que al tomar la sptima ampolleta sta sea la tercera mala? a) 0,1590 b) 0,25 c) 0,428571 d) 0,3 e) 0,0681

2. Una clase contiene 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos pardos. Encontrar la probabilidad de

que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos pardos.

a) 1

2 b)

1

3 c)

2

3

d) 4

5 e)

1

7

3. En una carrera de caballos; el caballo Claudio tiene las apuestas 5:1 en su contra, mientras que el caballo Royal las tiene 9:1 a su favor. Cul es la probabilidad que cualquiera de estos caballos gane?

a) 11

12 b)

1

3 c)

1

4

d) 4

15 e)

32

30

4. Ocho amigos participan en un campeonato de ajedrez. Este grupo est formado por 2 parejas de casados, 3 jvenes y una chica. Si las mujeres tienen la mitad

de la habilidad de los hombres, calcule cul es la probabilidad que una mujer casada gane.

a) 1

13 b)

2

13 c)

4

13

d) 7

13 e)

6

13

5. Tres hermanas van a cenar con tres amigos. Si todos se sientan en una mesa circular con 6 sillas, cul es la probabilidad de que las hermanas estn siempre juntas?

a) 4

5 b)

1

5 c)

7

10

d) 2

5 e)

3

10

6. Una urna (I) contiene una bola blanca y 3 negras; la urna (II) contiene 3 bolas blancas

y 2 negras y la urna (III) 4 bolas negras y 8 rojas; una urna se escoge aleatoriamente y de ella se extrae una bola. Calcule cul es la probabilidad que la bola elegida sea de color negro.

a) 89

193 b)

89

180 c)

19

180

d) 15

60 e)

77

120

7. Se quiere ordenar los nmeros del 1 al 6 en el tringulo. Cul es la probabilidad de que la suma de los vrtices sea la menor posible?



a) 1

6 b)

1

3 c)

1

120

d) 1

2 e)

1

24

8. En una habitacin 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen 3 personas al azar y se les pide que dejen la habitacin e inmediatamente se anotan los nmeros de las insignias. Cul es la probabilidad de que el nmero menor de las insignias sea el 5?

a) 2

5 b)

1

12 c)

1

6

d) 1

3 e)

9

10

9. Un juguero, muy creativo, prepara sus jugos utilizando nicamente pia, manzana, naranja, fresa y maracuya. Cierto da me

present una lista que indicaba todos los posibles jugos que l poda preparar; y eleg uno al azar. Cul es la probabilidad de que dicho jugo contenga pia, pero no fresa?

a) 8

31 b)

7

31 c)

1

31

d) 30

31 e)

11

31

10. Una habitacin tiene 3 porta bombillas conectadas a un mismo interruptor. De una caja con 20 bombillas, de las que 6 son buenas y el resto defectuosas, se saca al azar 3 bombillas que se colocan en las 3 porta bombillas. Al dar contacto con el interruptor, calcule la probabilidad de que la habitacin quede iluminada.

a) 1

6 b)

29

30 c)

11

30

d) 5

6 e)

11

23

11. De un grupo de 20 personas se quiere escoger a 8. Si Luisa y ngela se encuentran entre las 20 personas, cul es la probabilidad de que ellas dos se encuentren entre las elegidas?

a) 82

208

C

C b)

188

208

C

C c)

185

208

C

C

d) 1812

2012

C

C e)

1512

2012

C

C

12. Se tiene en una urna 8 bolas rojas y 4 bolas blancas. Se saca una bola y se reemplaza por dos bolas del mismo color, luego se saca otra bola. Hallar la probabilidad de que en la primera y en la segunda extraccin las bolas sean del mismo

color.

a) 23

39 b)

28

37 c)

21

42

d) 7

13 e)

17

39

13. Una caja contiene 4 focos defectuosos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez y se prueba uno de ellos, encontrndose que es bueno. Cul es la probabilidad de que el otro tambin sea bueno?

a) 1

2 b)

3

5 c)

5

9

d) 4

7 e)

4

9

14. En un casting se seleccionan a 5 varones y 7 mujeres, de los cuales se aceptarn a 4 de ellos. Cul es la probabilidad de que el grupo aceptado sea mixto?

a) 91

99 b)

90

101 c)

93

97

d) 1

2 e)

3

5

15. Manuel debe viajar a Huaraz, su tierra natal, pero slo puede hacerlo por mnibus o por auto. Si se sabe que la probabilidad de que viaje en auto es el triple de la que viaje

en mnibus, y adems la probabilidad de que no viaje es 0,4, hallar la probabilidad que realice el viaje en mnibus.

a) 7

20 b)

1

5 c)

5

7

d) 3

20 e)

4

25

16. En un juego de azar se dispone de 10 nmeros, el jugador debe elegir 3 nmeros sin importar el orden como los elija y marcarlos en la cartilla que va a comprar. Si el juego se realiza y una persona compra una cartilla, cul es la probabilidad que acierte los 3 nmeros?



a) 1

120 b)

1

60 c)

1

30

d) 7

120 e)

1

40

17. Se tiene dos urnas: la primera contiene 3 bolas blancas y 2 negras; y la segunda contiene 2 bolas blancas y 5 negras. Si se selecciona al azar una urna, se saca una bola y se coloca en la otra; luego se saca una bola de esta ltima, halle la probabilidad de que las dos bolas sacadas sean del mismo color.

a) 903

1680 b)

901

1680 c)

905

1680

d) 907

1680 e)

913

1680

18. Una caja contiene cuatro monedas: una moneda es corriente, la otra moneda tiene dos caras, la otra dos sellos y la ltima est

cargada de modo que la probabilidad de obtener sello es 1/5. Halle la probabilidad de que al seleccionar una moneda y lanzarla se obtenga cara.

a) 17

40 b)

11

20 c)

17

30

d) 23

40 e)

21

40

19. Una urna contiene 5 fichas numeradas con 1, 2, 3, 4, y 5. Un experimento consiste en lanzar un dado chino (4 caras numeradas del 1 al 4) y extraer una ficha. Cul es la probabilidad de obtener una ficha que sumada con el puntaje del dado sea 5?

a) 1

6 b)

1

5 c)

1

3

d) 1

4 e)

3

5

20. Se escoge al azar un punto interior a un tringulo equiltero de lado 3. Hallar la probabilidad de que su distancia a un vrtice sea mayor que 1.

a) 0,397 b) 0,427 c) 0,497 d) 0,597 e) 0,579

21. El grfico muestra canaletas de madera. En el punto A se suelta una canica que se desplaza por las canaletas, al llegar a una bifurcacin tiene la misma probabilidad

de seguir cualquiera ruta. Cul es la probabilidad de que la canica llegue al punto B?

a) 5

8 b)

6

7 c)

1

4

d) 3

8 e)

3

5

22. A un nio se le pide que pinte un cuadrado de la siguiente figura:

Cul es la probabilidad que pinte un cuadrado congruente con el sombreado?

a) 2

3 b)

11

18 c)

5

9

d) 1

2 e)

13

18

23. Un dispositivo electrnico debe activar

las vlvulas que se muestran en la figura. Si las probabilidades que se activen estn indicadas, cul es la probabilidad que llegue agua?

a) 0,0367 b) 0,0528 c) 0,0582 d) 0,0321 e) 0,0123 24. Tania Dispone de 3 pares de zapatos negros y 2 pares de zapatos blancos, 5

A

B

tanque

1P 0, 3 2P 0, 4

3P 0,8

4P 0, 2



pantalones blancos y 4 pantalones negros, 3 camisas negras y 4 blancas.

a) 71

315 b)

74

315 c)

77

315

d) 76

315 e)

79

315

25. Sobre un plano se han trazado dos circunferencias concntricas de radio 5 cm y

10 cm respectivamente. Hallar la probabilidad de que un punto marcado al azar en el crculo mayor caiga en la corona circular formada por las circunferencias (suponga que la probabilidad de que un punto incida en una figura plana es proporcional al rea de esta figura y no depende de su situacin).

a) 1

2 b)

2

3 c)

3

4

d) 4

5 e)

5

6

26. Dentro de una circunferencia de radio R se marca al azar un punto. Halle la probabilidad de que el punto resulte en el interior de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.

a) 3 3

4 b)

2

c)

1

2

d) 1

e)

2

27. Se selecciona al azar un punto P del

interior del pentgono con vrtice A 0 ; 2 ,

B 4 ; 0 , C 2 1 ; 0 , D 2 1 ; 4 y

E 0,4 . Cul es la probabilidad de que

APB sea obtuso?

a) 1

2 b)

5

16 c)

1

4

d) 3

8 e)

5

28. Cul es la probabilidad que una persona que avanza de A a C no pase por B?

a) 1

8 b)

2

17 c)

2

19

d) 1

9 e)

1

7

29. Estando en Lima, Ral y Elena deciden encontrarse entre los das lunes 13 y

mircoles 22 de mayo en la ciudad del Cusco, pero acuerdan que cada uno no espere ms de 1 da al otro. Calcular la probabilidad de que se encuentren. (Nota: No importa la hora del da que lleguen)

a) 16

81 b)

15

81 c)

19

81

d) 17

81 e)

1

9

30. Considerando que la semana comienza el lunes, cul es la probabilidad de que al escoger Manuel 2 das del mes de febrero para salir con su enamorada, estos resulten das consecutivos y de la misma semana; si adems el 1ro de febrero fue lunes?

a) 4

63 b)

2

63 c)

1

63

d) 1

21 e)

5

63

31. Lobito observa una casa de forma pentagonal desde 2 km de distancia (ver grfico)

Qu probabilidad hay que desde esa distancia puedan verse tres lados de la casa?

a) 1

4 b)

1

5 c)

1

6

d) 1

2 e)

1

8

32. Se escoge al azar un punto X sobre un segmento de recta AB con punto medio O. Halle la probabilidad de que los segmentos

A

B C

DE

A B C

Lobito



de recta AX, XB y AO puedan formar un tringulo.

a) 1

3 b)

1

4 c)

2

3

d) 1

2 e)

3

4

33. Al lanzar un dado 2 veces; determinar la probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos en su cara superior sea como mnimo 5. Sabiendo que el resultado obtenido la primera vez fue mayor que el obtenido la segunda vez.

a) 1

6 b)

5

8 c)

13

15

d) 1

18 e)

11

15

34. La vctima de un accidente morir, a menos que reciba en los prximos 10 minutos una transfusin de sangre tipo ARh positivo. Se dispone de 100 donantes, de

los cuales slo se sabe que el 40% tiene sangre de este tipo. Se necesitan 2 minutos para determinar el tipo de sangre del posible donante y 2 minutos ms para realizar la transfusin. Cul es la probabilidad de que se salve, si el hospital dispone de un solo tipo de tipificacin de sangre? a) 55,32% b) 57,92% c) 78,36% d) 87,56% e) 95,34%

35. Se tiene un recipiente como el mostrado en la siguiente figura:

Si Popis lanza una moneda de radio 2 cm dentro del recipiente, cul es la probabilidad que la moneda toque la circunferencia de radio 2,5 cm ubicado en la base?

a) 2

5 b)

35

36 c)

34

39

d) 2

3 e)

1

3

36. Considere el plano cartesiano 2

R , y desgnese X como el subconjunto de puntos para los cuales ambas coordenadas son

enteros. Se lanza una moneda de dimetro 1/2 al azar sobre el plano. Hallar la probabilidad de que la moneda cubra un punto de X. a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

37. Carlos y Manuel tiran dos dados y Carlos saca 9. Hallar la probabilidad que tiene Manuel de sacar un nmero mayor

a) 1

4 b)

1

5 c)

2

5

d) 3

5 e)

2

3

38. En una caja se tiene 4 bolas de color rojo, 3 bolas de color verde y 2 bolas de color azul. Cul es la probabilidad que al retirar dos bolas, ambas sean rojas?

a) 1

6 b)

1

5 c)

4

5

d) 3

5 e)

2

9

39. Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 negras; otra urna contiene 3 bolas rojas y 5 negras; se extrae una bola de cada bola. Determinar la probabilidad de que las dos bolas extradas sean rojas.

a) 1

4 b)

1

5 c)

2

5

d) 5

6 e)

1

9

40. Si se lanzan al aire 4 monedas. Cul es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos?

a) 1

2 b)

1

3 c)

1

4

d) 1

5 e)

1

6

5 cmbase

2,5

5

capitulo 12 probabilidades

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