IntegracinLa integral definida de una funcin representa el rea limitada por la grfica de la funcin, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la funcin toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

La integracin es un concepto fundamental del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una generalizacin de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos.

Teorema fundamental del clculoLa derivada de la funcin integral de la funcin continua f(x) es la propia f(x).F'(x) = f(x)El teorema fundamental del clculonos indica que la derivacin y la integracin son operaciones inversas: si una funcin continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la funcin original.Integrales definidasDada una funcin f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, laintegral definidaes igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, y las lneas verticales x = a y x = b.

Se representa por.es el signo de integracin.almite inferior de la integracin.blmite superior de la integracin.f(x)es elintegrandoo funcin a integrar.dxesdiferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.

Propiedades de las integrales definidas1.El valor de la integral definidacambia de signo si se permutan los lmites de integracin.

2.Si los lmites que integracin coinciden, laintegral definidavalecero.

3.Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definidase descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.Laintegral definidade una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5.La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.

Funcin integralSeaf(t)unafuncin continuaen el intervalo[a, b]. A partir de esta funcin se define lafuncin integral:

que depende del lmite superior de integracin.Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.Geomtricamente lafuncin integral, F(x), representa elreadel recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A lafuncin integral, F(x), tambin se le llamafuncin de reasde f en el intervalo [a, b].

Conceptos y aplicaciones

Las integrales aparecen en muchas situaciones prcticas. Considrese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fcilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el rea de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.Para el clculo integral de reas se sigue el siguiente razonamiento:1. Inicialmente se puede considerar una curvaentrey, suponiendo que.2. La respuesta a la pregunta Cul es el rea bajo la funcin, en el intervalo desdehasta? Es que el rea coincidir con laintegralde. La notacin para esta integral ser.Como primera aproximacin, se mira al cuadrado unidad dado por los ladosx=0 hastax=1 yy=f(0)=0 yy=f(1)=1. Su rea es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tendr que ser ms pequeo. Reduciendo el ancho de los rectngulos empleados para hacer la aproximacin se obtendr un mejor resultado; as, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximacin los puntos 0,15,25, as hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, as,, y as hasta. Sumando las reas de estos rectngulos, se obtiene una mejor aproximacin de la integral que se est buscando,

Aproximaciones a la integral deentre 0 y 1, con5 muestras por la izquierda (arriba) y12 muestras por la derecha (abajo).

Ntese que se est sumando una cantidad finita de valores de la funcinf, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximacin sucesivos. Se puede ver fcilmente que la aproximacin contina dando un valor ms grande que el de la integral. Empleando ms pasos se obtiene una aproximacin ms ajustada, pero no ser nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se toma el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el rea, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeo. La idea clave es la transicin desde la suma deuna cantidad finitade diferencias de puntos de aproximacin multiplicados por los respectivos valores de la funcin, hasta usar pasos infinitamente finos, oinfinitesimales. La notacin

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la funcin multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamadosdiferenciales(indicados pordx).Con respecto alclculo real de integrales, elteorema fundamental del clculo, debido a Newton y Leibniz, es el vnculo fundamental entre las operaciones dederivacine integracin. Aplicndolo a la curva raz cuadrada, se tiene que mirar la funcin relacionaday simplemente tomar, dondeyson las fronteras delintervalo[0,1]. (ste es un ejemplo de una regla general, que dice que paraf(x)=xq, conq 1, la funcin relacionada, la llamadaprimitivaesF(x)= (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del rea bajo la curva se calcula formalmente como

Frmulas de integralesSeana,k, yCconstantes(nmeros reales) y consideremos aucomofunciny au'como laderivadade u.

rea de una funcin y el eje de abscisas1. La funcin es positivaSi la funcin es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por encima del eje de abscisas. Elrea de la funcinviene dada por:

Para hallar el rea seguiremos los siguientes pasos:1 Se calculan lospuntos de cortecon con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin.2 Elreaes igual a laintegral definida de la funcinque tiene como lmites de integracin los puntos de corte.Ejemplos1.Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = 4x x2y el eje OX.En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los lmites de integracin.

En segudo lugar se calcula la integral:

2.Hallar el rea de la regin del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

2. La funcin es negativaSi la funcin es negativa en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por debajo del eje de abscisas. Elrea de la funcinviene dada por un viene dada por:

Ejemplos1.Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = x2 4x y el eje OX.

2.Hallar el rea limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre /2 y 3/2.

3. La funcin toma valores positivos y negativosEn ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular elrea de la funcinseguiremos los siguientes pasos:1 Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin.2 Se ordenan de menor a mayor las races, que sern los lmites de integracin.3 Elreaes igual a lasuma de las integrales definidasen valor absoluto de cada intervalo.Ejemplos1.Calcular el rea de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 6x2+ 8x y el eje OX.

El rea, por razones de simetra, se puede escribir:

2.Calcular el rea del crculo de radio r.Partimos de la ecuacin de la circunferencia x + y = r.

El rea del crculo es cuatro veces el rea del primer cuadrante.

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos lmites de integracin.

rea comprendida entre dos funcionesEl rea comprendida entre dos funciones es igual al rea de la funcin que est situada por encima menos el rea de la funcin que est situada por debajo.

Ejemplos1.Calcular el rea limitada por la curva y = x2-5x + 6 y la recta y = 2x.En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los lmites de integracin.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parbola.

2.Calcular el rea limitada por la parbola y2= 4x y la recta y = x.

De x = o a x = 4, la parbola queda por encima de la recta.

3.Calcular el rea limitada por las grficas de las funciones 3y =x2e y = x2+ 4x.En primer lugar representamos las parbolas a partir del vrtice y los puntos de corte con los ejes.

Hallamos tambin los puntos de corte de las funciones, que nos darn los lmites de integracin.

4.Calcula el rea de la figura plana limitada por las parbolas y= x2 2x, y = x2+ 4x.Representamos las parbolas a partir del vrtice y los puntos de corte con los ejes.

5.Hallar el rea de de la regin limitada por las funciones:y = sen x, y = cos x, x = 0.En primer lugar hallamos el punto de interseccin de las funciones:

La grfica del coseno queda por encima de la grfica del seno en el intervalo de integracin.