Capitulo 1:

RAZONES Y PROPORCIONES

BIMESTRE I : 01 de marzo al 04 de mayo

Semana Tema Fecha

2

Unidad 1: Razones y Proporciones Razones Razón Aritmética y Geométrica

Lu: 05/03

Aplicaciones Ju: 08/03

3

Series de Razones Equivalentes Propiedades - Aplicaciones

Lu: 12/03

Propiedades - Aplicaciones Ju: 15/03

4

Proporciones Proporción Aritmética y Geométrica

Lu: 19/03

Aplicaciones Ju: 22/03

5

Proporciones Proporción Aritmética y Geométrica

Lu: 26/03

Aplicaciones Ju: 29/03

1

RAZONES 1.DEFINICIÓN: Se llama RAZON o RELACION a la comparación de dos cantidades por sustracción o división.

1.1 RAZON ARITMETICA – Por Diferencia – Consiste en determinar en cuantas unidades una de las cantidades excede a la otra. Así: consecuente

a – b = r razón aritmética antecedente

Significa que: a es mayor que b, en r unidades b es menor que a, en r unidades a excede a b, r unidades b es excedido por a, r unidades GURPO A : Definición Formar la razón aritmética con los siguientes nume-

ros y escribir las frases que la interpretan: 1) Para 6 y 2 :

Solución 1o) Datos: 6 y 2 2o) Razón Aritmética:

6 – 2 = 4 3o)Significa que: 1) 6 es mayor que 2, en 4 unidades 2) 2 es menor que 6, en 4 unidades 3) 6 excede a 2 , 4 unidades 4) 4 es excedido por 6, 2 unidades

2) Para 12 y 3 :

Solución

1.2 RAZON GEOMETRICA – Por Cociente – Consiste en determinar cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra. Así: antecedente

consecuente

Significa que: a contiene a b, k veces b está contenido en a, k veces GRUPO A : Definición Formar la razón aritmética con los siguientes nume-

ros y escribir las frases que la interpretan: 1) Para 6 y 2 :

Solución 1o) Datos: 6 y 2 2o) Razón Geométrica:

3o)Significa que:

1) 6 contiene a 2, 3 veces

2) 2 está contenido en 6, 3 veces

2) Para 12 y 3 : Solución

kb

a razón geométrica

32

6

2

3) Para 27 y 9 : Solución

1o) Datos: 4) Para 36 y 6 :

Solución 1o) Datos:

3) Para 27 y 9 : Solución

1o) Datos: 4) Para 36 y 6 :

Solución 1o) Datos:

3

GRUPO B: Consolidación de la Definición En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los ele-mentos que faltan:

1) — = 3 2) — = 5 3) 17 — = 4) — 5 = 5) — = 7

GRUPO B: Consolidación de la Definición En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los ele-mentos que faltan:

1) 2) 3) 4) 5)

5

7

24

8

5

4

GRUPO C: Enunciados de Razones Geométricas

1)Enunciado: Las edades de A y B están la relación de 2 a 5 Interpretación:

La edad de A es tan grande como 2 La edad de B es tan grande como 5 Simbólicamente: Se Lee:

“a es a b como 2 es a 5”

En Particular:

En General:

Otras formas de enunciar: Las edades de A y B están la razón de 2 a 5 La relación de las edades de A y B es de 2 a 5 La razón de las edades de A y B es de 2 a 5 La relación de las edades de A y B es de La razón de las edades de A y B es 1)Las edades de A y B están la relación de 2 a 5, si actualmente A tiene 30 años, cuantos años tiene B?

Solución 1o)Datos:

A = 30

2o) Por teoría y dato:

3o)Piden. B tiene 75 años

2)Las edades de Juan y Toño están la relación de 3

a 7, si actualmente Toño tiene 42 años, ¿cuántos años tiene Juan?

Solución 1o)Datos:

....20

8

15

6

10

4

5

2

B

A

5

2

5

2

A tiene 2k años

B tiene 5k años

2)Enunciado: Las edades de A y B están la relación de 3 a 7

5

2

B

A

5

2

B

A

15k

k230

k5B

k2A

5

2

B

A

k5B

k2A

5

3)Enunciado: Las velocidades de dos autos M y P están la relación de 6 a 7 Simbólicamente: Se Lee:

3)Las velocidades de dos autos M y P están la relación de 6 a 7, si la suma de las velocidades de ambos es 390 km/h . ¿A qué velocidad va cada uno?.

Solución 1o)Datos:

4)Enunciado: Lo que gana y lo que gasta una persona están en la razón de 11 a 8. Simbólicamente: Se Lee:

4)Lo que gana y lo que gasta una persona están en la razón de 11 a 8. ¿Cuánto gana esa persona si lo que gasta es 960 soles?

Solución 1o)Datos:

6

GRUPO D: Aplicaciones Típicas 1)Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a

9 y la suma de ellas es 84. ¿Qué edad tiene Juan?. T1

Solución 1o)Datos:

y J + R = 84

2o)Por teoría y dato:

3o)Piden: Juan tiene 30 años

3)La razón geométrica de las edades de Elena y Luis es

8/5 y su diferencia es 12. ¿Cuál es la edad de Elena?

Solución 1o)Datos:

2)Las canicas que tienen Pepo y Toño están en la rela-

ción de 5 a 2 y juntan las de ambos son 70 canicas.

Hallar cuantas canicas tiene cada uno.

Solución 1o)Datos:

4)Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferen-

cia de ellos es 160. Hallar el menor. T2

Solución 1o)Datos:

k9R

k5J

9

5

R

J

6k

84k14

84k9k5

84RJ

7

5)La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la relación de 7 : 4. ¿Calcule el peso del vehículo menos pesado?

Solución 1o)Datos:

7)La razón de las longitudes de los lados de un rectángu- lo es 2 : 5 . Si la diferencie entre la longitud de sus lados es 24 cm. ¿Cuánto mide el área del rectángulo?.

Solución

1o) Datos-Figura:

6)La razón entre las velocidades de un tren y de un avión es 3 : 5 si la velocidad del tren es de 400 km/h menos que la del avión. ¿Cuál es la velocidad del avión?.

Solución 1o)Datos:

8)La razón de las longitudes de los lados de un rectángu lo es 3 : 4 . Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?

Solución

1o) Datos-Figura:

:

8

9)De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mujeres, si del colegio hay 120 varones. ¿Cuántos alumnos son en total?

Solución 1o)Datos:

y H = 120

2o)Por teoría y dato:

H + M = 13k 120 + 3k = 13k 120 = 10k k = 12 M = 36

3o)Piden: Hay en total 156 alumnos

11)Una elección fue ganada por una votación de 5 a 3. ¿Cuántas personas del total están en contra del candidato ganador, si votaron 800 personas?

Solución 1o)Datos:

10)De cada 10 autos en una playa de estacionamiento, 4 son Toyota y el resto de otras marcas, si en dicha pla ya hay 60 Toyotas. ¿Cuántos autos hay en total?.

Solución 1o)Datos:

12)Dos amigos deben repartirse $ 54 000 en la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor?

Solución 1o)Datos:

k13MH

k3M

13

3

MH

M

9

13)Mario tiene 38 años y Julio 24 años. ¿Hace cuánto sus edades fueron como 2 a 1?. T1

Solución 1o)Datos:

2o)Por condición del problema:

3o)Piden: Hace 12 años

15)Dentro de cuántos años, la relación de las edades de dos personas será 6/5. Si sus edades actuales son 30 y 20 años. T1

Solución 1o)Datos:

14)Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años

respectivamente. Dentro de cuántos años sus edades

estarán en la relación de 7 a 6.

Solución 1o)Datos:

16)Mona tiene 18 años y Jano 12 años. ¿Dentro de cuan tos años sus edades estarán en la relación de 4 a 3 ?.

Solución 1o)Datos:

:

24x24:J

38x38:F

ActualxPasado

12x

3648xx2

x248x38

)x24(2x38

1

2

x24

x38

10

GRUPO E: Problemas Audaces 1)En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo el número de hombres al número total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres?. T2

Solución 1o)Datos:

y M — H = 24

2o)Por teoría y dato: M — H = 24

5k — 3k = 24 2k = 24

k = 12

3o)Reemplazo en 1o):

H = 36 M = 60

4o)Se retiran 33 mujeres: M = 60 — 33 M = 27 5o)Piden:

3)A una fiesta concurrieron 320 personas entre hombres y mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, cuál es la nueva razón entre hombres y mujeres?.

Solución 1o)Datos:

2)En una granja el número de pollos es al de gallinas como 9 es a 5 siendo su diferencia 120. ¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 30 gallinas?.

Solución 1o)Datos:

4)En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay

3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva

relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres.

¿Cuántos personas habían inicialmente en la reunión?

Solución 1o)Datos:

:

k8MH

k3H

8

3

MH

H

9

20

M

H

27M

60H

11

5)La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 Soles a Pedro ambos tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene Juan?. T2

Solución 1o)Datos:

2o)Variación: Actual Le da 30 J = 17k 17k - 30 P = 8k 8k + 30 3o)Consecuencia: P + 63 = J - 63

8k + 63 = 17k — 63k

63 + 63 = 17k — 8k

126 = 9k

k = 14

4o)Piden: Juan tiene 238 soles

7)La señora Linda le dice a su esposo: “Si me quitára 5 añi tos y te los pusiera a tí, ambos tuviéramos las mismas edades”. Sabiendo que sus edades están en la relación de 4 a 3, ¿cuántos años tiene cada uno?.

Solución 1o)Datos:

6)Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. T2

Solución 1o)Datos:

8)El dinero que tiene Andrea es al dinero que de Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?

Solución 1o)Datos:

:

k17J

k8P

17

8

J

P

12

9La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?

Solución 1o)Datos:

2o)Variación: + x Actual Futuro P = 5k 5k + x L = 6k 6k + x

3o)Consecuencia:

4o)Piden:

11)Un campamento esta dividido en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuál es la población del campamento?.

Solución 1o)Datos:

2o)Variación: + x Original Pasan 60 A = 7k 7k - 60 B = 3k 3k + 60

3o)Consecuencia y 2o) :

4o)Piden: reemplazo en 1o):

La población es de 150 personas

10)En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsidera-

ción se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en con-tra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo abstenciones

Solución 1o)Datos:

12)Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está e relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5?

Solución 1o)Datos:

k6J

k5P

6

5

L

P

k4x

x9k54x10k50

)xk6(9)xk5(10

10

9

xk6

xk5

k6

k4

k6

x

LuisinicialEdad

dotranscurriTiempo

3

2

Luisinicial.E

dotranscurri.T

k3B

k7A

3

7

B

A

k3B

k7A

7

3

B

A

15k

420180k40

180k9420k49

)60k3(3)60k7(7

7

3

60k3

60k7

13

GRUPO D: Aplicaciones Típicas 17)Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una

razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el mayor de los

números.

18)Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus lados, de sus perímetros y de sus áreas. 20)La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números 21)El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área. 22)La razón de las longitudes de los lados de un rectán gulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? 23)Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 años?

24)La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos la nueva relación es de 3 a 5. Hallar el mayor

GRUPO E: Problemas Audaces 13)A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mu jeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? 14)En una academia la relación de hombres y mujeres es 2 : 5, la relación del semestral es 7 : 3 ¿Cuál es la rela ción de los hombres que están en el semestre y el total de alumnos? 15)La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, des pués de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En que relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis? 16)El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido do por dicho empleado? 17)Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se alte re, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 18)De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo. 19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus lados, de sus perímetros y de sus áreas.

GRUPOS en CASA

! Yeee ….ya sé RAZONES,

QUE VENGAN LAS . . .

PROPORCIONES . . .

! Me encanta la Aritmética!

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