resolucióndetriángulosrectángulos desdenuestrocontexto · 2020-03-25 · | emplea razones...
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152 Resolución de Triángulos Rectángulosdesde nuestro contexto
Figura 2.1. Orinoca, Oruro; Triángulo Rectángulo
Objetivo Holístico.
Observamos nuestro alrededor identificando formas geométricas en diferente tipos dealimentos, analizando las propiedades que contienen los triángulos rectángulos, asu-miendo valores de trabajo comunitaria y respeto, para mejorar adecuados hábitos ali-menticios
Criterios de Evaluación
♣ Aplicar las propiedades de la trigonometria en problemas cotidianos
♣ resolver triángulos rectángulos utilizando distintas propiedades
♣ Analizar geometricamente el teorema de pitagoras geometricamente
♣ Comprender el teorema de suma de angulos a travez de experimentos con papel
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.1 Practica
♣ Emplea razones trigonométricas para resolver problemas.
♣ Establecen modelos matemáticos en la resolución de problemas reales.
Resolver un triángulo consiste en hallar los seis elementos de un triangulo (los tres lados y lostres ángulos). Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos porlo menos sea un lado.
2.1 Practica
2.2 Calculando alturas que no se pueden Medir fá-cilmente
2.2.1 Objetivo
Calculamos alturas inalcanzables utilizando materiales de producción, utilizando un teodolitoo astrolabio casero.
2.2.2 Materiales
Figura 2.2. Imagen de portada
1 hoja de papel de 20 x 2 cm aproximadamente.
Transportador compás
Escuadra del estuche geométrico
Un pequeño cartón de 25 x 25 cm aproximadamente.
Una cuerda fina de 30 centímetros de largo
Una plomada pequeña (puede ser un aro de metal o plástico pesado)
Una bonbilla de plástico (si no es descartable mejor)
Pegamento (silicona, uhu) y cinta adhesiva de papel
Tijeras o estilete.
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2.3 Teoría
2.2.3 Desarrollo
♦ Usando la escuadra y el compás realizar el siguiente dibujo en la hoja de papel
♦ Utilizando el transportados y la regla marcar los ángulos sobre el borde circular. A los efectosde esta experiencia es suficiente marcar cada cinco grados.
♦ Pegar con plasticola el dibujo al cartón dejando 2 cm de distancia entre los bordes rectos delpapel y el cartón y dejar que seque. Pegar el sorbete a la parte superior usando la cintaadhesiva
♦ Atar la plomada a un extremo de la cuerda. El otro extremo pasarlo por el orificio en el car-tón. Hacer un nudo o atar a un maderita para que se sostenga
♦ Y el astrolabio o teodolito esta acabado.
2.3 Teoría
2.4 IntroducciónPara comprender el significado de trigonometria, los textos señalan que la palabra trigonome-tría viene (del griego trigonon, triángulo, y metria, medición) se refiere a la medición de trián-gulos. En idioma aymara triángulo significa kimsak´uchu.En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto grado deprecisión.Para hacer las mediciones de ciertas alturas muchas veces se estudia la longitud de la sombray su ángulo de elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se sigue para hallarla relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que se conocecomo la relación pitagórica.
2.5 Triángulos rectángulosUn triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto (α =90ž), también podemos señalar que es aquel triangulo que tiene uno de sus angulos 90ž
Figura 2.3. Triángulos rectángulos
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.6 Suma de Ángulos
2.5.1 Resolución de Triángulos rectángulos
Resolver un triángulo consiste en hallar los seis elementos de un triangulo (los tres lados y lostres ángulos). Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos porlo menos sea un lado.Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de loscuales debe ser un lado.Para resolver un triángulo rectángulo debemos estudiar primero los siguientes teoremas:
2.6 Suma de Ángulos
Teorema 2.1 Suma de ángulos
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º:
Figura 2.4. Suma de ángulos en todo triángulo
α+β+γ= 180◦
La suma de ángulos se cumple en todo triangulo, no importando su forma.También este teorema tiene consecuencias en triángulos rectángulos. La suma de las medidasde los ángulos agudos de un triángulo rectangulo es de 90º:
Figura 2.5. Suma de ángulos en un triangulo recto
A+B = 90◦
2.7 Teorema de Pitágoras
Teorema 2.2 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-drados de los catetos. Es decir:
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2.7 Teorema de Pitágoras
Figura 2.6. Demostración gráfica del Teorema
c2 = a2 +b2
El recíproco del teorema de Pitágoras señala que si en un triángulo se cumple c2 = a2 + b2,entonces el triangulo es un triangulo rectángulo
Definición 2.1 Razones trigonométricas del triángulo rectángulo
Dado un triángulo rectángulo ABC , se definen las razones trigonométricas del ánguloagudo β, de la siguiente manera:
Figura 2.7. Razones trigonométricas en un triangulo Rectángulo
♣ senβ= co
h
♣ cosβ= ca
h
♣ t gβ= co
ca
♣ cosecβ= h
co= 1
senβ
♣ secβ= h
ca= 1
cosβ
♣ ct gβ= ca
co= 1
t gβ
Recuerda que:
El seno del angulo (abreviado como sen, o sin por llamarse “sinus” en latín) es la razónentre el cateto opuesto y la hipotenusa
El coseno del angulo (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o con-tiguo, al lado) y la hipotenusa
La tangente del angulo (abreviado como t an o t g ) es la razón entre el cateto opuesto y elcateto adyacente:
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
2.1
Un niño esta con su cometa y desea calcular la altura que vuela el cometa. El angulo deelevación del cometa es de 42° y el hilo que extendio el cometa es 50 m.
Figura 2.8. Niño aymara con su volador o cometa
Sea h la altura desde el suelo hasta el cometa. De la figura vemos que se puede relacionarla altura con el larco del hilo y el angulo de elevación, utilizando la función sen:
sen42◦ = h
50=⇒ 50sen42◦ = h
=⇒ 33,45 = h
=⇒ h = 33,45
2.2
Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con elsuelo si su base está a 1,2 m de la pared?
Figura 2.9. Escalera apoyada a una pared
Para hallar el angulo de inclinación del escalera debemos buscar una relación entre lahipotenusa y el cateto adyacente, esta relación sera la función coseno:
cosα= 1,2
3=⇒ α= cos−1
[1,2
3
]=⇒ α= cos−10,4
=⇒ α= 66r25′19"
21
2.7 Teorema de Pitágoras
2.3
Un árbol de eucalipto proyecta una sombra de 532 pies. de largo. Encuentre la altura delárbol si el ángulo de elevación del Sol es 25,7°.
Figura 2.10. Árbol que genera una sombra
Sea h la altura del árbol. De la figura vemos que se puede relacionar la altura con la sombray el angulo de elevación, utilizando la función tg:
t g 25,7◦ = h
532=⇒ 532t g 25,7◦ = h
=⇒ 256,03 = h
=⇒ h = 256,03
2.4
Desde un punto en el suelo a 500 pies de la base de un edificio, un observador encuentraque el ángulo de elevación a lo alto del edificio es 24° y que el ángulo de elevación a loalto de una astabandera que está en el edificio es de 27°. Encuentre la altura del edificioy la longitud de la astabandera
Figura 2.11. Un Edificio que tiene una bandera en su cúspide
Sea h la altura del edificio y k la altura del piso hasta el extremo de la bandera. De la figuravemos que se forman dos triángulos rectángulos que tienen en común sus bases, luego
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
utilizando la función tg tenemos:
t g 24◦ = h
500=⇒ 500t g 24 = h
=⇒ 223 = h
=⇒ h = 223
Vemos que la altura del casa es aproximadamente 223 pies. Para hallar la altura de la astade bandera, primero hallaremos la altura desde el suelo hasta la asta:
t g 27◦ = k
500=⇒ 500t g 27◦ = k
=⇒ 225 = h
=⇒ h = 225
Para hallar la longitud de la astabandera, restamos h de k. Por lo tanto, la longitud delasta es aproximadamente 255 - 223=32 pies
2.5
Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radiode la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
Figura 2.12. El compás: Instrumento para generar circunferencias
Notemos que se forma un triangulo equilatero. Sea x la distancia del centro a un extremode la punta del compás, luego relacionamos el angulo con un lado del compás:
sen25◦ = x
12=⇒ 12sen25 = x
=⇒ 5,07 = x
=⇒ x = 5,07cm
23
2.7 Teorema de Pitágoras
2.6
Desde el lugar donde se encuentra un personaje, la visual de la torre forma un ángulo de32° con la horizontal.Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. cuál es la altura del salón defiestas?
Figura 2.13. Salón de Fiestas en Av. Bolivia, El Alto
Formamos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
t g 32 = h
25+x
t g 50 = h
x
ordenando se tiene
25t g 32◦+xt g 32◦ = xt g 32xt g 50 = h
}de igualando h se tiene:
25t g 32◦+xt g 32◦ = xt g 50◦ =⇒ 25t g 32 = x(t g 50− t g 32)
=⇒ 25t g 32◦
t g 50◦− t g 32◦ = x
=⇒ x = 27,56m
Por tanto la altura del salon de fiestas es
h = 27,56t g 50 = 32,84m
2.7
Hallar el valor de xº
24
Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
α+β+γ= 180◦ =⇒ x +32+28 = 180
=⇒ x = 180−32−28
=⇒ x = 120
Aquí estamos utilizando el teorema de suma de ángulos en un triángulo cualquiera
2.8
Hallar el valor de xº
A+B = 90ž =⇒ x +28 = 90
=⇒ x = 180−28
=⇒ x = 62
Acá hemos utilizado la consecuencia de la suma de ángulos para triángulos rectángulos,pero también se puede utilizar el teorema completo:
A+B +C = 180ž =⇒ x +28+90 = 180
=⇒ x = 180−90−28
=⇒ x = 62
claramente el primer desarrollo es mas cómodo
2.9
Hallar el valor de xº
25
2.7 Teorema de Pitágoras
A+B = 90ž =⇒ x +65 = 90
=⇒ x = 90−65
=⇒ x = 25
2.10
Hallar el valor de xº
A+B = 90ž =⇒ x +63 = 90
=⇒ x = 90−63
=⇒ x = 27
2.11
Hallar el valor de xº
26
Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
A+B = 90ž =⇒ x +25 = 90
=⇒ x = 90−25
=⇒ x = 65
2.12
Hallar el valor de xº
Sabemos que un triangulo isósceles es aquel que tiene dos ángulos y dos lados iguales,por tanto se cumple:
x +x +40 = 180ž =⇒ 2x +40 = 180
=⇒ 2x = 180−40
=⇒ 2x = 140
=⇒ x = 140
2=⇒ x = 70
2.13
Hallar el valor de xº
Tarea para el estudiante
27
2.7 Teorema de Pitágoras
2.14
Hallar el valor de xº (Tarea para el estudiante)
2.15
Hallar el valor del lado que falta
a2 = 42 +62 =⇒ a2 = 16+36
=⇒ a2 = 52
=⇒ a =p52
28
Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
2.16
Hallar el valor del lado que falta
52 = 42 +a2 =⇒ 25 = 16+a2
=⇒ 25−16 = a2
=⇒ 9 = a2
=⇒ a2 = 9
=⇒ a =p9
=⇒ a = 3
2.17
Resolver el triangulo:
52 = 42 +a2 =⇒ 25 = 16+a2
=⇒ 25−16 = a2
=⇒ 9 = a2
=⇒ a2 = 9
=⇒ a =p9
=⇒ a = 3
2.18
Resolver el triangulo:
29
2.7 Teorema de Pitágoras
2.19
Resolver el triangulo:
30
Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
2.20
Resolver el triangulo:
2.21
Resolver el triangulo:
31
2.7 Teorema de Pitágoras
2.22
Resolver el triangulo:
2.23
Resolver el triangulo:
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
2.24
Resolver el triangulo:
33
2.7 Teorema de Pitágoras
2.25
Resolver el triangulo:
2.26
Resolver el triangulo:
34
Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.7 Teorema de Pitágoras
2.27
Resolver el triangulo:
2.28
Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo θ :
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2.7 Teorema de Pitágoras
♣ senθ = 2
3
♣ cosθ =p
5
3
♣ t gθ = 2p5
♣ cosecθ = 3
2
♣ secθ =p
3
5
♣ ct gθ =p
5
2
2.29
Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo α :
♣ senα=p
7
4
♣ cosα=p
3
4
♣ t gα=p
7
3
♣ cosecα= 4p7
♣ secα= 4p3
♣ ct gα= 3p7
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.8 Valoración
2.8 ValoraciónPreguntas Tus respuestas
Menciona lasaplicaciones dela trigonome-tría en nuestracotidianidad
Menciona unaaplicación de latrigonometría queutilizas en algu-na actividad querealizas
¿Cual sera la im-portancia de co-nocer la leyes tri-gonométricas?
Realiza un re-sumen sobre laimportancia delestudio de latrigonometría
Escribe una refle-xión sobre la im-portancia de la tri-gonometrica en latecnología
En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto grado deprecisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de elevacióndel sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las longitudes delos lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la relación pitagórica.
Figura 2.14. La trigonometría durante la historia
Los agrimensores y constructores de pirámides trazaban líneas perpendiculares sobre el te-rreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el
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2.9 Producto
suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.Un sistema de medición de la tierra que suponeel conocimiento de los fundamentos de la trigonometría o cálculo de triángulos.Pero en el Antiguo Egipto la acción de «tender la cuerda» entre dos piquetes era una de las másimportantes operaciones sagradas de la fundación de un templo: después de observar las estre-llas circumpolares, después de medir el tiempo con la clepsidra a fin de fijar la orientación deltemplo, se tensaba la cuerda sobre el emplazamiento de los muros y se determinaban cuatroángulos picando el rey sobre las estacas con un mazo de oro, mientras se recitaban los textossagrados.Para los egipcios, éste era el triángulo sagrado, porque era el secreto de todas las medidas. Suslados se relacionan entre sí con los números 3, 4, 5, que sumados dan 12, el circuito zodiacal ociclo fundamental formado por tres veces cuatro
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenóme-nos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con laspropiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medirdistancias a las estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, yen sistemas de navegación satelital.
Para ver mas aplicaciones de la trigonometria en otras ciencias puedes visitar:
2.9 Producto2.9.1 Objetivo
Crear una escuadra casera, a base de materiales casero y utilizando conocimiento matemáticos
2.9.2 Materiales
Figura 2.15. Escuadra a partir del del trazo de la hipotenusa como diámetro(creación propia)
Una cuerda o hilo.
Trozo de cartón.
tijeras o instrumento para hacer el corte.
2.9.3 Desarrollo
♦ Trazamos un circulo con la cuerda.
♦ Ubicamos el centro de la circunferencia.
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.10 Ejercicios y Problemas Propuestos
♦ Trazamos un segmento que pase por el centro (Diametro).
♦ Ubicamos un punto cualquiera dele circulo, que no este sobre el diámetro y unimos lospuntos.
♦ ¡Y listo, ahí esta nuestra escuadraaaa!
2.9.4 Conclusiones
Una vez realizada la actividad concluimos que una escuadra puede ser fabricada de forma ca-sera a partir del trazado de una circunferencia.
Sugerencias de modelación:
1. Hallar la altura de la fachada del muro del tinglado del Colegio Convifacg, a fin de conocerel área total de la pared que forma la misma, para calcular el presupuesto que permitiríahacer la fachada.
2. Se tiene un tanque de agua que esta en una altura determinada en la plaza de la ZonaSenkata Convifacg, calcular la capacidad del tanque de agua.
3. En la Zona Senkata Convifacg se cuenta con una antena de Entel, calcula la altura quealcanza, para saber cual es el promedio de altura que deben tener estas estaciones.
2.10 Ejercicios y Problemas Propuestos1. Utilizando el Teorema de Pitágoras, calcular la medida del lado que falta en cada uno de
los siguientes triángulos rectángulos:
2. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rec-tángulos (C = 90r):
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2.10 Ejercicios y Problemas Propuestos
♦ a = 24,c = 25
♦ a = 3,b = 1
♦ a = 2,c = 5
♦ b =p7,c = 4
♦ a = 2,c = 2p
5
3. Un angulo de un triangulo rectángulo mide 47°y el cateto opuesto 8 cm, halla la hipote-nusa.
4. La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 26 cm y un angulo 66°. Calcula los catetos.
5. Un angulo de un triangulo rectángulo mide 44°y el cateto adyacente 16 cm, calcula elotro cateto.
6. En un triangulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm, halla los ángulos agudos.
7. La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 45 cm y un cateto 27 cm, calcula los án-gulos agudos.
8. En un triangulo isósceles los ángulos iguales miden 78°y la altura 28 cm, halla el ladodesigual
9. Los lados iguales de un triangulo isosceles miden 41 cm y los angulos iguales 72°, calculael otro lado.
10. El cos de un angulo agudo es 3/4, calcula el seno del angulo.
11. La tangente de un angulo agudo es 12/5 calcula el seno.
12. Calcula la apotema de un hexágono regular de 10cm de lado
13. El lado de un exagono regular mide 30 cm, calcula la apotema.
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Resolución
deTriángulos
Rectángulos
desdenuestro
contexto2.10 Ejercicios y Problemas Propuestos
14. La apotema de un octogono regular mide 30 cm, calcula el area del poligono.
15. La longitud del radio de un pentagono regular es 15 cm. Calcula el area.
16. Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángu-lo de 60r. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?. Sol h = 6
p3cm; A =
120p
3cm2
17. Calcular la altura de la escalera
18. La sombra de un arbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un angulo de36°, mide 11 m. Cual es la altura del arbol?.
19. El hilo de una cometa mide 50 m de largo y forma con la horizontal un angulo de 37°, Aque altura vuela la cometa?
20. Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60r. Nos alejamos6 metros en línea recta y este ángulo es de 50r.¿Cuál es la altura del edificio?. Sol.22,9
21. Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rom-bo y sus ángulos.Sol. l = 8,6; A = 71r4′31′′;B = 108r55′29′′
22. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el puntomás alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos 5 metros a la torre en línearecta y el ángulo es de 80°. Halla la altura de la torre.Sol.12,47m
23. Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura.Calcularla altura del árbol y la distancia que está Pablo del árbol. Sol. H = 3,9m;d = 3,9m
41
2.10 Ejercicios y Problemas Propuestos
24. Hallar el valor de x
433 Resolución de Triángulos Oblicuángu-los desde nuestro contexto
Figura 3.1. Los “Cholets”, construcciones características de la Ciudad de El Alto
Los edificios diseñados por Mamani son conocidos como “cholets”, suntuosas cons-trucciones caracterizadas por mezclar sin límite los diseños culturales tradicionales conmodernos, las formas andinas plasmadas en sus fachadas con amplios ventanales, los“cholets” sobresalen también por los colores intensos que se usan dentro y fuera de laconstrucción.
En estos diseños podemos observar varia figuras geométricas que también incluyen atriángulos. En declaraciones a un medio de prensa como Efe, Mamani explicó que seinspiró en la cultura prehispánica de Tiahuanaco para hacer sus diseños.
Objetivo Holístico.
Elaboramos con materiales caseros triángulos, analizando las relaciones entre sus ladosy ángulos, asumiendo valores de solidaridad entre compañeros, para mejorar adecuadoshábitos alimenticios
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Resolución
deTriángulos
Oblicuángulos
desdenuestro
contexto3.1 Practica
Criterios de Evaluación
♣ Comprende las propiedades que se cumplen en todo tipo de triángulos.
♣ Resuelve triángulos oblicuángulos utilizando distintas propiedades.
♣ Analiza los diferentes casos en la resolución de triángulos oblicuángulos.
♣ Establecen modelos matemáticos en la resolución de problemas reales.
3.1 Practica
3.2 Hallando el área de mi terreno triangular3.2.1 Objetivo
Hallar el área o superficie de cualquier objeto de forma triangular, a partir de medidas de suslados utilizando la formula de Heron.
3.2.2 Materiales
Figura 3.2. Imagen de portada
Clavos,chinches, o alfileres
Flexómetro, o cinta métrica.
pequeña cuerdo o hilo.
Calculadora
Cuaderno de apuntes
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3.3 Teoría
3.2.3 Desarrollo
♦ Salir al patio de nuestro colegio; buscar lugar adecuado donde podamos tener espacio sufi-ciente
♦ Ubicar tres puntos que serán los vértices de un triangulo, marcar los vértices con los clavos.
♦ Unir con una cuerda los clavos.
♦ Pedir a los estudiantes que puedan estimar el área del triangulo rectángulo, y el área decualquier otro tipo de triángulo.
3.3 Teoría
3.4 IntroducciónEn la sección anterior, usamos las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectán-gulos. Las funciones trigonométricas también se pueden usar para resolver triángulos obli-cuángulos, es decir, triángulos sin ángulos rectos. Para hacer esto, primero estudiamos la Leyde Senos aquí y a continuación la Ley de Cosenos en la siguiente sección. Para expresar es-tas leyes (o fórmulas) con más facilidad, seguimos la convención de marcar los ángulos de untriángulo como a, b, c, como en la figura.
3.4.1 Triángulos oblicuángulos
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene un angulo recto, por lo que no se puede resol-ver directamente por el teorema de Pitágoras.
Figura 3.3. Triángulo oblicuángulo
3.4.2 Resolución de Triángulos oblicuángulos
En general, un triángulo está determinado por tres de sus seis partes (ángulos y lados) mientrasal menos una de estas tres partes sea un lado.Para resolver un triángulo rectángulo debemosestudiar primero los siguientes teoremas:
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Resolución
deTriángulos
Oblicuángulos
desdenuestro
contexto3.5 Ley de Senos
3.5 Ley de Senos
Teorema 3.1 Ley de Senos
La Ley de Senos dice que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son propor-cionales a los senos de los ángulos opuestos correspondientes.
Figura 3.4. Triángulo Oblicuángulo
a
si nα= b
si nβ= c
si nγ
3.1
El satélite Tupac Katari que gira en órbita alrededor de la Tierra pasa directamente so-bre estaciones de observación en Amachuma y La Guardia, que están a 340 millas entresí. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, se observa simultá-neamente que su ángulo de elevación es 60° en Amachuma y 75° en La Guardia. ¿A quédistancia está el satélite de Amachuma?
Figura 3.5. Imagen ilustrativa de las señales que manda el satelite Tupac Katari a estaciones en laTierra
47
3.6 Ley de Cosenos
Necesitamos hallar la distancia b en la figura. Como la suma de los ángulos en cualquiertriángulo es 180°, vemos que C = 180°-(75°+60°)=45°, de modo que tenemos:
b
si nB= c
si nC=⇒ b
si n60= 340
si n45
=⇒ b = 34045
si n340=⇒ b = 416
3.6 Ley de CosenosTeorema 3.2 Ley de Cosenos
Sean los ángulosα,β y γ, y los lados opuestos a ellos sean a, b y c, como se ve en la figura.Entonces se cumple
Figura 3.6. Ley de Cosenos en un triángulo Oblicuángulo
a2 = b2 + c2 −2bcCosα
b2 = a2 + c2 −2acCosβ
c2 = a2 +b2 −2bcCosγ
Muchas veces debemos hallar el angulo utilizando el teorema de coseno, haciendo los despejestenemos:
A =Cos−1[
b2 + c2 −a2
2bc
]
B =Cos−1[
a2 + c2 −a2
2ac
]
C =Cos−1[
a2 +b2 − c2
2ab
]
3.2
Un túnel se ha de construir por una montaña ubicada en los yungas. Para estimar lalongitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones que se ven en la figura. Use la in-formación del topógrafo para aproximar la longitud del túnel.
48
Resolución
deTriángulos
Oblicuángulos
desdenuestro
contexto3.7 Casos de resolución de triángulos oblicuángulos
Figura 3.7. Montaña de los Yungas paceños
Para aproximar la longitud c del túnel, usamos la Ley de Cosenos:
c2 = a2 +b2 +2bccosC =⇒ c2 = 3882 +3122 −2(388)(312)Cos82,4◦
=⇒ c2 = 173730,2367
=⇒ c =√
173730,2367
=⇒ c = 416,8
Por lo tanto, el túnel será de aproximadamente 417 pies de largo.
3.7 Casos de resolución de triángulos oblicuángu-losPara resolver un triángulo, necesitamos conocer cierta información acerca de sus lados y án-gulos. Para determinar si tenemos suficiente información, con frecuencia es útil hacer un dia-grama. Por ejemplo, si nos dan dos ángulos y el lado entre ellos, entonces es claro que se puedeformar un triángulo y sólo uno (vea Figura(a)). Análogamente, si se conocen dos lados y elángulo incluido, entonces se determina un triángulo único (Figura (c)). No obstante, si cono-cemos los tres ángulos pero ninguno de los lados, no podemos determinar de manera única eltriángulo porque numerosos triángulos tienen los mismos tres ángulos. (Todos estos triángu-los serían semejantes, desde luego.) Por lo tanto, no consideraremos este último caso
Figura 3.8. Casos de resolución de triángulos oblicuángulos
49
3.7 Casos de resolución de triángulos oblicuángulos
En general, un triángulo está determinado por tres de sus seis partes (ángulos y lados) mientrasal menos una de estas tres partes sea un lado. Por lo tanto, las posibilidades ilustradas en laFigura 2 son como sigue.
♠ Caso 1. Un lado y dos ángulos (ALA o LAA)
♠ Caso 2. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados (LLA)
♠ Caso 3. Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)
♠ Caso 4. Tres lados (LLL)
Los casos 1 y 2 se resuelven usando la Ley de Senos; los Casos 3 y 4 requieren la Ley de Cosenos.
3.3
Tres niños al jugar forman un triangulo oblicuángulo, si medimos las distancias que losseparan tenemos los siguientes datos 5 metros, 8 metros y 12 metros; encontrar los án-gulos que forma el triángulo.
Figura 3.9. Niños aymaras jugando forman un triángulo
Para aproximar los ángulos, usamos la Ley de Cosenos y despejamos sus ángulos:
a2 = b2 + c2 −2bccos A =⇒ a2 +2bccos A = b2 + c2
=⇒ 2bccos A = b2 + c2 −a2
=⇒ cos A = b2 + c2 −a2
2bc
=⇒ A =Cos−1[
b2 + c2 −a2
2bc
]Luego reemplazando en las ecuaciones despejadas, para A tenemos:
A =Cos−1[
b2 + c2 −a2
2bc
]=⇒ A =Cos−1
[82 +122 −52
2(8)(12)
]=⇒ Cos A = 183
192=⇒ A =Cos−1(0,953125)
=⇒ A = 18◦
Para B tenemos:
50
Resolución
deTriángulos
Oblicuángulos
desdenuestro
contexto3.7 Casos de resolución de triángulos oblicuángulos
B =Cos−1[
a2 + c2 −b2
2ac
]=⇒ B =Cos−1
[52 +122 −82
2(5)(12)
]=⇒ CosB = 0,875
=⇒ B =Cos−1(0,875)
=⇒ B = 29◦
Para C tenemos:
C =Cos−1[
a2 +b2 − c2
2ac
]=⇒ C =Cos−1
[52 +82 −122
2(5)(8)
]=⇒ CosC =−0,6875
=⇒ C =Cos−1(−0,6875)
=⇒ C = 133◦
luego los tres niños forman formen A=18°,B=29° y C=133°. Desde luego, una vez calcu-lados dos ángulos, el tercero se puede hallar con la suma de ángulos de un triángulo es180°. No obstante, es buena idea calcular los tres ángulos usando la Ley de Cosenos ysumar los tres ángulos como prueba en los cálculos.
3.4
En la Grafica donde esta hilando una señora,podemos observar un triangulo. Resolver eltriangulo ABC, donde A=46.5°, b=10.5 y c=18.0.
Figura 3.10. El hilado una característica de las mujeres aymaras
Si esta figura lo representamos gráficamente:
51
3.8 Área de un triángulo
Figura 3.11. Triángulo con datos del problema
Hallamos a, utilizando la ley de cosenos:
a2 = b2 + c2 −2bcCos A =⇒ a2 = 102 +18,52 −2(10)(18,5)Cos46,5
=⇒ a2 = 174,05
=⇒ a =√
174,05
=⇒ a = 13,2
Para B tenemos:
B =Cos−1[
a2 + c2 −b2
2ac
]=⇒ B =Cos−1
[13,22 +182 −10,52
2(13,2)(18)
]=⇒ CosB = 0,816477
=⇒ B =Cos−1(0,816477)
=⇒ B = 35,3◦
Para C tenemos:
C =Cos−1[
a2 +b2 − c2
2ac
]=⇒ C =Cos−1
[13,22 +10,52 −182
2(13,2)(10,5)
]=⇒ CosC =−0,142532
=⇒ C =Cos−1(−0,142532)
=⇒ C = 98,2◦
luego los datos requeridos son: a=13,2;B=35,3 y C=98,2
3.8 Área de un triánguloPara hallar áreas de triángulos rectángulos, solo podemos utilizar la ecuación:
Figura 3.12. Área de un triangulo de angulo recto
Ar ea = (B ase)(Al tur a)
2
52
Resolución
deTriángulos
Oblicuángulos
desdenuestro
contexto3.9 Formula de Heron de Alejandria.
3.9 Formula de Heron de Alejandria.Una aplicación interesante de la Ley de Cosenos involucra una fórmula para hallar el área deun triángulo a partir de las longitudes de sus tres lados, por lo cual debemos estudiar el teore-ma de Heron
Teorema 3.3 Formula de Herón
El área de un triángulo ABC está dada por:
Figura 3.13. Área en un triangulo no recto
Ar ea =√
s(s −a)(s −b)(s − c)
donde s = 1
2(a +b + c) es el semiperímetro del triángulo.
3.5
La ciudad de El Alto tiene una zona franca ubicada en la Zona Kiswaras, el cual podemosobservar en la siguiente figura. Calcular la superficie o área que ocupa?
Figura 3.14. Imagen satelital de la zona franca utilizando Google Eart
El Semiperimetro del terreno es:
s = 1
2(a +b + c) =⇒ s = 1
2(462,7+837,8+988)
=⇒ s = 1
2(2288,5)
=⇒ s = 1144,25
Luego reemplazando a la formula de Heron, tenemos:
53
3.10 Valoración
Ar ea =√
s(s −a)(s −b)(s − c) =⇒√
1144,2(1144,2−462,7)(1144,2−837)(1144,2−988)
=⇒ 1106802420,5
luego el area es 1106802420,5 m2
3.10 ValoraciónPreguntas Tus respuestas
Describe los pasos para hallarel área de un terreno que formatriangulo
Investiga las aplicaciones de latrigonometria en el Area de Fí-sica
¿Cual sera la importancia deconocer la leyes trigonométri-cas?
Menciona un problema que in-cluya la utilizacion de la leys deseno o cosenos
Escribe una reflexión sobre laimportancia de la trigonomé-trica en nuestras culturas
Describe a travez de dibujostriángulos oblicuángulos en tucontexto
3.11 Producto3.11.1 Objetivo
Presentadas situaciones con comportamiento periódico, cada estudiante modelará la situacióncon funciones trigonométricas con un mínimo de error.En situaciones del mundo real es común encontrar situaciones que se repiten una y otra vez, esdecir, presentan un comportamiento periódico. Por ejemplo, el cambio temperatura durantedel día, entre otros. En esta lección vamos a aprender a modelar este tipo de situaciones.
3.11.2 Materiales
Figura 3.15. Datos del la temperatura
Cuaderno de apuntes
Calculadora
54
Resolución
deTriángulos
Oblicuángulos
desdenuestro
contexto3.11 Producto
3.11.3 Desarrollo
♦ Graficar los puntos para visualizar gráficamente la forma de la curva de la función corres-pondiente e identificar el periodo y la amplitud.
♦ Trazar un plan para crear el modelo.
♦ Definir una función base utilizando el periodo y la amplitud.
♦ Trasladar la función para que se corresponda a los datos del problema.
3.11.4 Conclusiones
Una vez realizada la gráfica verificamos que ciertas situaciones se pueden representar median-te funciones trigonométricas en este caso la función SenxGráficamente seria:
Figura 3.16. Gráfica que se ajusta a la funcion Senx
Sugerencias de modelación:
1. El tamaño de nuestro planeta fue determinado utilizando alguno conocimientos de tri-gonometría. Una buena forma de comprender la trigonometria seria repetir la experien-cia de esos primeroa matemáticos.
55
3.11 Producto
2. Dos automóviles se encuentran transitando una misma autopista, en un punto la auto-pista se bifurca en dos caminos que forman entre sí un ángulo de 32º y cada automóvilsigue por un camino diferente. Si el primer automovilista continúa por uno de los nuevoscaminos a una velocidad constante de 75 km por hora y el otro automovilista lo hace a90 km por hora, ¿a qué distancia se encuentran los automóviles una hora después que sesepararon?
3. Una de las demostraciones del teorema de Pitágoras se hizo con el trabajo de áreas. po-dría repetirse es misma experiencia trabajando con volúmenes?