capitulo 02 grafica de una ecuacion y lugares geometricos

8/16/2019 Capitulo 02 Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos

1/36

CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS

Capítulo 2 GRAFICA DE UNA

ECUACION Y LUGARES

GEOMETRICOSGRUPO 5

En cada uno de los ejercicios 1-25 discútase la ecuación estudiando las inter-secciones, simetría y extensión. Después trácese la grá…ca correspondiente.

1. 5x + 4y 20 = 0.

Solución.

109876543210-1-2-3-4

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

2. 3x 2y = 0.

Solución.

32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3

5

4

3

2

10

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

3. 3x2 + 3y2 10 = 0.Alvaro Cabrera Javier 45 GEOMETRIA ANALITICA


2/36

GRUPO 5

Solución.

420-2-4

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

4. 3x2 + 4y2 12 = 0.

Solución.

43210-1-2-3-4

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

5. 4x2 + 3y2 12 = 0.

Solución.

43210-1-2-3-4

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

6. 4x2 9y2 36 = 0.Alvaro Cabrera Javier 46 GEOMETRIA ANALITICA


3/36


Solución.

543210-1-2-3-4-5

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

x

y

x

y

7. 9x2 4y2 36 = 0.

Solución.

3.532.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

8. 16x2 y = 0.

Solución.

10-1

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

9. 16y2 x = 0.Alvaro Cabrera Javier 47 GEOMETRIA ANALITICA


4/36

GRUPO 5

Solución.

543210-1

1

0

-1

x

y

x

y

10. x3 y3 9 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

11. y = x3 + x2 9x 9.

Solución.

52.50-2.5-5

75

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

12. 8x3 y = 0.Alvaro Cabrera Javier 48 GEOMETRIA ANALITICA


5/36


Solución.

0.750.6250.50.3750.250.1250-0.125-0.25-0.375-0.5-0.625-0.75

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

13. x3 x y = 0.

Solución.

1.751.51.2510.750.50.250-0.25-0.5-0.75-1-1.25-1.5-1.75

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

14. x4 9x2 y = 0.

Solución.

7.552.50-2.5-5-7.5

5

0

-5

-10

-15

-20

x

y

x

y

15. x y4 + 9y3 = 0.Alvaro Cabrera Javier 49 GEOMETRIA ANALITICA


6/36

GRUPO 5

Solución.

543210-1-2-3-4-5

0.75

0.625

0.5

0.375

0.25

0.1250

-0.125

-0.25

-0.375

-0.5

-0.625

-0.75

x

y

x

y

16. x3 y3 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

17. x2 + y2 4y = 0.

Solución.

52.50-2.5-5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

18. x2 6x + y2 = 0.Alvaro Cabrera Javier 50 GEOMETRIA ANALITICA


7/36


Solución.

6420

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

19. x2 + y2 2x 2y = 14.

Solución.

7.552.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

20. x2 4x 4y + 16 = 0.

Solución.

4.543.532.521.510.50-0.5

5

4.8

4.6

4.4

4.2

4

3.8

3.6

3.4

3.2

3

x

y

x

y

21. x2 + 4x + 3y + 1 = 0.Alvaro Cabrera Javier 51 GEOMETRIA ANALITICA


8/36

GRUPO 5

Solución.

2.50-2.5-5

1.25

0

-1.25

-2.5

-3.75

-5

x

y

x

y

22. y3 2x 8y + 12 = 0.

Solución.

107.552.50-2.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

23. x2 + 4y2 2x 16y + 13 = 0.

Solución.

3.752.51.250-1.25-2.5

4

3

2

1

0

x

y

x

y

24. 4x2 y2 2y = 2.Alvaro Cabrera Javier 52 GEOMETRIA ANALITICA


9/36


Solución.

2.51.250-1.25-2.5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

25. y2 9x2 18x 8y 2 = 0.

Solución.

2.50-2.5-50

-1.25

-2.5

-3.75

-5

x

y

x

y

26. Enunciar y demostrar el recíproco del teorema 1, Artículo 16.

27. Demostrar el teorema 2, Artículos 16.

28. Enunciar y demostrar el recíproco del teorema 3, Artículo 16.

29. Demostrar el siguiente teorema: Si la ecuación de una curva no se altera alsustituir la variable x por y y la variable y por x, la curva es simétricacon respecto a la recta que pasa por el origen y es bisectriz de los cuadrantesII y IV.

GRUPO 6

En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la curva correspondiente ala ecuación dada.

1. xy 2y 3 = 0.

Solución.

y (x 2) 3 = 0

y = 3

x 2Alvaro Cabrera Javier 53 GEOMETRIA ANALITICA


10/36

GRUPO 6

52.50-2.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

2. xy 2x 1 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

3. x4 + y4 = 16.

Solución.

52.50-2.5-5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

4. x3 + x y = 0.Alvaro Cabrera Javier 54 GEOMETRIA ANALITICA


11/36


Solución.

1.51.2510.750.50.250-0.25-0.5-0.75-1-1.25

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

5. xy 3y x = 0.

Solución.

52.50-2.5

5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

6. xy 3x y = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

7. xy 2x 2y + 2 = 0.Alvaro Cabrera Javier 55 GEOMETRIA ANALITICA


12/36

GRUPO 6

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

8. x4 4x2 y = 0.

Solución.

21.510.50-0.5-1-1.5-2

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

x

y

x

y

9. x2 + 2xy + y2 + 2x 2y 1 = 0.

Solución.

0.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.5-5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.50

x

y

x

y

10. x2 2xy + y2 6x 6y + 3 = 0.Alvaro Cabrera Javier 56 GEOMETRIA ANALITICA


13/36


Solución.

107.552.50

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

11. x3 + y3 4y + 4 = 0.

Solución.

43210-1-2-3-4

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

12. y3 x2 + 3y2 + 2x + 3y = 0.

Solución.

52.50-2.5-5

4

2

0

-2

x

y

x

y

13. x3 3x2 y2 + 3x 2y 2 = 0.Alvaro Cabrera Javier 57 GEOMETRIA ANALITICA


14/36

GRUPO 6

Solución.

53.752.51.250

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

14. x2y 4y x = 0.

Solución.

x2y 4y x = 0

yx2 4

= x

y = x

(x 2) (x + 2), x 6= 2 ^ x 6= 2

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

15. xy2 9x y 1 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

Alvaro Cabrera Javier 58 GEOMETRIA ANALITICA


15/36


16. x2y xy 2y 1 = 0.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

17. xy2 + xy 2x 2 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

18. x2 xy + 5y = 0.

Solución.

32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.5-5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-3.5

-4

-4.5

-5

xx

19. x2y x2 4xy + 4y = 0.Alvaro Cabrera Javier 59 GEOMETRIA ANALITICA


16/36

GRUPO 6

Solución.

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

20. xy2 + 2xy y2 + x = 0

Solución..

86420

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

21. x2y x2 + xy + 3x = 2.

Solución.

52.50-2.5-5

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

22. xy2 y2 xy + y = 0.Alvaro Cabrera Javier 60 GEOMETRIA ANALITICA


17/36


Solución.

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

23. x2y2 4x2 4y2 = 0.

Solución.

1050-5-10

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

24. x3 xy2 + 2y2 = 0.

Solución.

0-2.5-5-7.5-10

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

25. y3 + x2y x3 = 0.Alvaro Cabrera Javier 61 GEOMETRIA ANALITICA


18/36

GRUPO 7

Solución.

543210-1-2-3-4-5

3

2.5

2

1.5

1

0.50

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

x

y

x

y

GRUPO 7

En cada uno de los ejercicios 1-10, factorizar la ecuación correspondiente ytrazar la grá…ca.

1. x2

4y2

= 0.Solución.

x2 4y2 = 0

(x 2y) (x + 2y) = 0

y = x

2 ^ y =

x

2

543210-1-2-3-4-5

2.5

2

1.5

1

0.50

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

x

y

x

y

2. 9x2 2y2 = 0.

Solución.

21.510.50-0.5-1-1.5-2

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y



19/36


3. x3 x2y 2xy2 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

4. x2 + 2xy + y2 = 1.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

5. 6x2 + xy 2y2 + 7x + 7y 3 = 0.

Solución.

3.532.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

6. x3 + y3 + x2y + xy2 4x 4y = 0.Alvaro Cabrera Javier 63 GEOMETRIA ANALITICA


20/36

GRUPO 7

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

7. x3 x2y xy + y2 = 0

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

8. x2y2 4x3 + 4xy3 y4 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

9. x2y + x2 xy2 + xy + 2x = 0.Alvaro Cabrera Javier 64 GEOMETRIA ANALITICA


21/36


22/36

GRUPO 7

Solución.

543210-1-2-3-4-5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-3.5

-4

-4.5

-5

x

y

x

y

13. x + y 5 = 0; 3x + 3y + 7 = 0.

Solución.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

14. y2 x = 0; 2x y 6 = 0.

Solución.

54.543.532.521.510.50

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

15. x2 y = 0; y2 x = 0.Alvaro Cabrera Javier 66 GEOMETRIA ANALITICA


23/36


Solución.

54.543.532.521.510.50-0.5-1-1.5-2

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.50

-0.5

-1

-1.5

-2

x

y

x

y

16. x2 + y2 = 4; y2 = 2x.

Solución.

52.50-2.5-5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

17. x2 + y2 = 8; y2 = 2x.

Solución.

52.50-2.5-5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

18. x2 + y2 = 1; x2 y2 = 4.Alvaro Cabrera Javier 67 GEOMETRIA ANALITICA


24/36

GRUPO 8

Solución.

7.552.50-2.5-5-7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

19. x2 + y2 = 13; xy = 6.

Solución.

7.552.50-2.5-5-7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

20. x2 + y2 4x 6y + 8 = 0; 3x y 8 = 0.

Solución.

52.50-2.5-5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

GRUPO 8

En cada uno de los ejercicios siguientes se recomienda al lector que, despuésde obtener la ecuación del lugar geométrico, construya la curva de acuerdo con lodicho en el Artículo 19:Alvaro Cabrera Javier 68 GEOMETRIA ANALITICA


25/36


1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que: a) se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje y; b)está siempre 4 unidades arriba del eje x; c) está siempre a igual distancia delos ejes x y y.

Solución. (a) segun la condición del problema: la distancia al eje y es siempre2, esto es

x 0 = 2 =) x = 2

(b) la distancia al eje x es siempre 4, esto es:

y 0 = 4 =) y = 4

(c) según la condición del problema las distancias a los ejes son iguales:

d1 = d2

x 0 = y 0 =) y = x

876543210-1-2-3-4-5-6-7-8

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que: a) su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada; b) suordenada es siempre igual a su abscisa incrementada en 2; c) su abscisa essiempre igual a la recíproca de su ordenada.

Solución. (a) Según la condición del problema

x = 2y

(b)y = x + 2

(c)

x = 1

y

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y



26/36

GRUPO 8

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y disminuida en 3es siempre igual al doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación de sulugar geométrico y dar su interpretación geométrica.

Solución.

q (x 0)

2

+ (0 0)2

3 = 2q

(0 0)2

+ (y 0)2

x 3 = 2y

x 2y 3 = 0

76543210-1-2-3

3

2

1

0

-1

-2

-3

x

y

x

y

4. Un punto se mueve de tal manera de su distancia al origen es siempre iguala 2. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación ge-ométrica.

Solución.

p x2 + y2 = 2 =) x2 + y2 = 4

43210-1-2-3-4

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

5. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2; 3) es siempreigual a 5. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretacióngeométrica.

Solución.

q (x 2)2 + (y 3)2 = 5 =) (x 2)2 + (y 3)2 = 25

(5 2)2 + (y 3)2 = 25Alvaro Cabrera Javier 70 GEOMETRIA ANALITICA


27/36


107.552.50-2.5-5-7.5

7.5

6.25

5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que se conserva siempre equidistante de los dos puntos A (1;2) yB (5; 4). Identi…car el lugar geométrico, y construirlo grá…camente.

Solución. q

(x 1)2 + (y + 2)2 =

q (x 5)2 + (y 4)2

x2 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = x2 10x + 25 + y2 8y + 16

2x + 3y 9 = 0

11109876543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

x

y

x

y

7. Una recta contiene los dos puntos A (1; 5) y B (1; 3). Expresar analítica-mente, el hecho de que un punto cualquiera P (x; y) está sobre la recta.

Deducir la ecuación de la recta.

Solución. Una recta tiene una pendiente única, por lo tanto

m = 3 5

1 + 1 = 1

para un punto cualquiera y el punto A, se cumple también

1 = y 5

x + 1 =) x + y 4 = 0



28/36

GRUPO 8

11109876543210-1-2-3-4-5

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

x

y

x

y

8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que el cuadrado de su distancia al punto (4; 1) es siempre igual a sudistancia del eje y.

Solución

. q (x 4)2 + (y 1)2

2

= x 0

x2 8x + 16 + y2 2y + 1 = x

x2 + y2 9x 2y + 17 = 0

876543210-1

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

9. Una recta l, que pasa por el punto A (5; 1), es perpendicular a otra cuya pen-

diente es 1

2. Expresar, analíticamente, el hecho de que un punto cualquiera

P (x; y) está sobre la recta l, y deducir, de aquí, su ecuación.

Solución. Por condición de perpendicularidad

m2 = 2

entonces la ecuación que pasa por el punto A y tiene una pendiente m2

2 = y 1

x + 5 =) 2x + y + 9 = 0



29/36


86420-2-4-6-8-10-12-14 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

xy xy

10. Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (3;2). A partirde la de…nición, hallar la ecuación de esta circunferencia:

Solución.

(x + 3)2 + (y + 2)2 = 32

210-1-2-3-4-5-6-7-8-9

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

11. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje x es siempre iguala su distancia del punto A (0; 4). Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

Solución.q

(x x)2 + (y 0)2 =

q (x 0)2 + (y 4)2

y2 = x2 + y2 8y + 16

x2 8y + 16 = 0

86420-2-4-6-8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1 x

y

x

y



30/36

GRUPO 8

12. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los dos puntosA (3; 5) y B (4; 2) es siempre igual a 30:

Solución.

q (x 3)2 + (y 5)2

2

+

q (x + 4)2 + (y 2)2

2

= 30

x2 6x + 9 + y2 10y + 25 + x2 + 8x + 16 + y2 4y + 4 = 30

x2 + y2 + x 7y + 12 = 0

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

x

y

x

y

13. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntosA

(2;2) y

B(4;

1) es siempre igual a 12. (Dos casos).Solución. Primer caso:

q (x 2)2 + (y + 2)2

2

q (x 4)2 + (y 1)2

2

= 12

x2 4x + 4 + y2 + 4y + 4 x2 8x + 16 + y2 2y + 1

= 12

simpli…cando

L1 : 4x + 6y 21 = 0

Segundo caso:

q (x 2)2 + (y + 2)2

2

q (x 4)2 + (y 1)2

2

= 12

x2 8x + 16 + y2 2y + 1 x2 4x + 4 + y2 + 4y + 4

= 12

simpli…cando

L2 : 4x + 6y + 3 = 0Alvaro Cabrera Javier 74 GEOMETRIA ANALITICA


31/36


6543210-1-2-3-4-5-6

5

4

3

2

1

0

-1 x

y

x

y

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2; 4) es siempreigual a su distancia del eje y aumentada en 3. Hallar la ecuación de su lugar

geométrico.

Solución.

q (x 2)2 + (y 4)2 =

q (x 0)2 + (y y)2 + 3q

(x 2)2 + (y 4)22

= (x + 3)2

x2 4x + 4 + y2 8y + 16 x2 6x 9 = 0

y2 8y 10x + 11 = 0

121086420

8

6

4

2

0

-2

x

y

x

y

15. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que la suma de sus distancias a los dos puntos A (3; 0) y B (3; 0)es siempre igual a 8.



32/36

GRUPO 8

Solución.

q (x 3)2 + (y 0)2 +

q (x + 3)2 + (y 0)2 = 8

q (x 3)2 + y2 + q (x + 3)

2 + y2 = 8q (x 3)2 + y2

2

=

8

q (x + 3)2 + y2

2

x2 6x + 9 + y2 = x2 + y2 + 6x + 73 16p

6x + x2 + y2 + 9

(3x + 16)2 =

4p

6x + x2 + y2 + 92

9x2 + 96x + 256 = 16x2 + 16y2 + 96x + 144

7x2 + 16y2 112 = 0

x2

16 +

y2

7 = 0

543210-1-2-3-4-5

3

2

1

0

-1

-2

-3

x

y

x

y

16. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de talmanera que la suma de sus distancias a los dos puntos A (0; 3) y B (0;3) essiempre igual a 8. Compárese el resultado con el obtenido en el ejercicio 15.

Solución.

q (x 0)2 + (y 3)2 + q (x 0)2 + (y + 3)2 = 8q (x 0)2 + (y 3)2

2=

8

q (x 0)2 + (y + 3)2

2

x2 + y2 6y + 9 = x2 + y2 + 6y + 73 16p

6y + x2 + y2 + 9

(3y + 16)2 =

4p

6y + x2 + y2 + 92

9y2 + 96y + 256 = 16x2 + 16y2 + 96y + 144

16x2 + 7y2 112 = 0

x2

7 +

y2

16 = 1



33/36


86420-2-4-6-8

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

x

y

x

y

la disferencia está en la intersección con los ejes cartesianos.

17. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a losdos puntos A (3; 0) y B (3; 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación de sulugar geométrico.

Solución.

q (x 3)2 + (y 0)2

q (x + 3)2 + (y 0)2 = 4q

(x 3)2 + (y 0)22

=

4 +

q (x + 3)2 + y2

2

x2 6x + y2 + 9 = 6x + x2 + y2 + 8p

6x + x2 + y2 + 9 + 25

(3x + 4)2 = 2p 6x + x2 + y2 + 92

24x + 9x2 + 16 = 24x + 4x2 + 4y2 + 36

5x2 4y2 20 = 0

86420-2-4-6-8

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

18. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a losdos puntos A (0; 3) y B (0;3) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación de sulugar geométrico. Comparar el resultado con el obtenido en el ejercicio 17.



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GRUPO 8

Solución.q (x 0)2 + (y 3)2

q (x 0)2 + (y + 3)2 = 4q

(x 0)2 + (y 3)22

=

4 +

q x2 + (y + 3)2

2

(3y + 4)2 =

2p

6y + x2 + y2 + 92

9y2 + 24y + 16 24y 4x2 4y2 36 = 0

4x2 5y2 + 20 = 0

9876543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

19. Un círculo de radio 4 tiene su centro en el punto C (1;1). Hallar la ecuacióndel lugar geométrico de los puntos medios de todos sus radios.

Solución.(x 1)2 + (y + 1)2 = 22

1086420-2-4-6

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

20. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (3; 1) es siempreigual a la mitad de su distancia al eje y. Hallar la ecuación de su lugargeométrico.

Solución.

q (x 3)2 + (y 1)2 =

q (x 0)2 + (y y)2

22

q (x 3)2 + (y 1)2

2

= x2

3x2 24x 8y + 4y2 + 40 = 0Alvaro Cabrera Javier 78 GEOMETRIA ANALITICA


35/36


76543210-1

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

21. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (1; 2) essiempre el doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación de su lugargeométrico.

22. Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de

los puntos extremos permanece siempre sobre el eje x y el otro permanecesiempre sobre el eje y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del puntomedio del segmento. Sugestión. Véase el ejercicio 5 del grupo 4. Art. 11.

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos …jos A (1; 3) y B (5; 1).Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve detal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del ladoBC .

24. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos …jos A (1; 0) y B (5; 0).Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve detal manera que la diferencia entre las longitudes de los lados AC y BC es

siempre igual a la mitad de la longitud del lado AB.

25. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A (0; 0) y B (3; 0).Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto C si se muevede tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble delángulo en la base CBA.



36/36

GRUPO 8

capitulo 02 grafica de una ecuacion y lugares geometricos

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